Scuola di Storia della fisicaCorso di formazione

l’evoluzione del concetto di campo dall’ottocento ai giorni

nostri

MEMO Multicentro Educativo di Modena Sergio NeriCol patrocinio del Comune di Modena

27 novembre – 1 dicembre 2006

Perché una teoria relativistica del campo gravitazionale deve essere tensoriale

Silvio BergiaSilvio Bergia

Dipartimento di Fisica, Univ. di BolognaDipartimento di Fisica, Univ. di Bologna

INFN, Sezione di BolognaINFN, Sezione di Bologna

``What is (not) wrong with scalar gravity’’

Domenico GiuliniDomenico Giulini

arXiv:gr-qc/0611100arXiv:gr-qc/0611100

19/11/200619/11/2006

Una teoria relativistica del campo gravitazionale

Una breve Premessa storicaUna breve Premessa storica Perché deve essere tensorialePerché deve essere tensoriale Una costruzione autoconsistente delle equazioni di campoUna costruzione autoconsistente delle equazioni di campo Il limite non relativisticoIl limite non relativistico Ci vogliono anche le equazioni del motoCi vogliono anche le equazioni del moto! La prima versione di ! La prima versione di

NordstrNordström öm e il perche il perché del cambiamento di rotta da parte di Einsteiné del cambiamento di rotta da parte di Einstein Somiglianza formale delle equazioni di campo con quelle della teoria Somiglianza formale delle equazioni di campo con quelle della teoria

einsteinianaeinsteiniana La teoria formulata è in effetti unLa teoria formulata è in effetti un’approssimazione (’approssimazione (linearizzatalinearizzata) della ) della

teoria completa, valida in teoria completa, valida in approssimazione di campo deboleapprossimazione di campo debole.. Serve a qualcosa? Per esempio per trattare le onde gravitazionali. Serve a qualcosa? Per esempio per trattare le onde gravitazionali.

Premessa storica

“In 1907, it seemed that any number of minor modifications could make Newtonian gravitation theory compatible with Einstein’s newnew special theory of relativity”.*

“In particular, what of the possibility of a small modification toNewtonian gravitation theory in order to render it Lorentz invariantand thus compatible with special relativity? Had Einstein considered this possibility? It turns out that Einstein had considered and rejected this conservative path in the months immediately prior to his firstpublication of 1907 on relativity and gravitation.”**

John D. Norton, “Einstein and Nordström: Some Lesser-Known Thought Experiments in Gravitation”, in The Attraction of Gravitation, edited by

J. Earman, M. Janssen, J.D. Norton, Birkhäuser, Boston, 1993: * p.3; ** p. 4.

Perché una teoria relativistica del campo gravitazionale deve essere tensoriale

Abbiamo un esempio: quello dell’elettromagnetismo

j

cF

4 0, F

412

Atc

Jctc

At

A

cA

4112

2

2

2

Le relazioni fra campi e potenziali nondeterminano questi ultimiunivocamente: i campi vanno in se stessi sotto la trasformazione, detta di gauge,

AA

dove

x

e Λ è una funzione arbitraria del punto.

jc

At

A

c

41 2

2

2

2

Nel gauge di Lorentz

),( Jcj

0 j

Campi o potenziali? La teoria newtoniana provvede un’equazioneper il (un) potenziale:

G42

(1

che presenta una somiglianza formale con la (1).

(2

La (2) soddisfa a due requisiti richiesti da una teoria di campo:

Le sorgenti sono descritte da una densità

Le soluzioni sono funzioni del punto

E però sono statiche: il campo (del potenziale) non si propaga.

Non ci è dato nulla che presenti una somiglianza formale con leequazioni elettrodinamiche scritte in termini dei campipropriamente detti.

La teoria einsteiniana della gravitazione – non solo quindi la suaforma linearizzata – è formulata in termini di potenziali e non dicampi.

La somiglianza formale suggerisce un’immediata estensione della (2):

2 dovrebbe essere sostituito da 2

2

2

2

1

tc

Osservazione parentetica: l’operatore differenziale in questioneè relativisticamente invariante.

x

Infatti per l’operatore vale la regola di trasformazione

xx

x

x

''

Le si trasformano quindi come le componenti di un

quadrivettore covariante (“secondo le derivate delle vecchie coordinate rispetto alle nuove”).

Le (η è il tensore metrico:

1 0 0 0

0 1- 0 0

0 0 1- 0

0 0 0 1

) si trasformano allora come le componenti di un quadrivettorecontrovariante.

è quindi un invariante.

20

2

xxx

Ma

2

2

2

2

1

tc

e dunque (cvd) è un invariante l’operatore

Il campo incognita dell’equazione di Poisson è scalare.Verrebbe fatto di dire: l’estensione relativistica naturalesi otterrà semplicemente sanzionando che le soluzioni dellanuova equazione siano scalari invarianti di Lorentz.

L’idea fu sanzionata dal fisico finlandese Gunnar Nordström nel 1907 (cfr. Norton, op. cit. p. 9). Norton esaminò a fondo la (amichevole) critica mossa da Einstein a

questo lavoro. Forti del senno di poi seguiremo qui una strada indipendente.

'v

12

2

dxc

dx

'v

1'''v

12

2

2

2

dVc

dzdydxc

dxdydzdV

'v

1

1

'v1

1

'v

12

2

2

2

2

2

c

dV

dm

cdV

c

dm

dV

dm

Allora il primo membro sarà a sua volta uno scalare invariantedi Lorentz. Ma, se è così, dovrà esserlo anche il secondo membro.

Ma ρ non lo è:

per una trasformazione speciale diLorentz da S’ a S

(m è un invariante!)

Ma una massa può scomparire, la corrispondente energia diriposo trasformandosi integralmente (caso dell’annichilazioneelettrone-positrone) in energia cinetica. E non possiamo pensareche l’energia, l’energia cinetica in particolare, “non graviti”. Si dovrà sostituire alla densità di massa una densità d’energia.

Ma le cose vanno allora ancora peggio: E/c è la componentetemporale del quadrivettore energia-impulso e, come tale, sitrasforma secondo la

Passare da m a E, anziché eliminare il fattore γ, ne introduce un secondo!

'v

1

'

2

2E

c

EE

Parentesi:

Come si trasformano le componenti del quadrivettore energia-impulso (sotto una trasformazione speciale di Lorentz)?

)()('' 100

xPc

EPPP

c

E

Se il sistema di riferimento “senza apice” è quello comovente,l’impulso è nullo.

La densità d’energia DEVE figurare come sorgente. E non è uninvariante.

Ma – e questo è il punto centrale – è UNA COMPONENTE DI UN TENSORE DOPPIO SIMMETRICO.

Introduciamo questo tensore. Denotiamo con

)(0 x

(x indica la dipendenza generica dall’evento) la densità propria del fluido, cioè quella che sarebbe misurata da un osservatore in moto con il fluido, e con

ds

xdxxu

(le componenti della) “quadrivelocità” del filetto di fluido.

N.B.: la densità è quella di massa relativistica: per avere quella d’energia basta moltiplicare per

;2c

s è l’elemento di linea. Si può alternativamente usare τ, ottenendouna quadrivelocità senza virgolette.

Introduciamo allora:

ds

xdx

ds

xdxxxT

0

Si tratta delle componenti di un tensore doppio simmetrico.

Osservato che

2

2

0

v1

1

c

d

dt

cd

ctd

ds

dx

abbiamo 2

000T

00T è quindi proprio la “densità di massa relativistica” vista

da un sistema inerziale esterno rispetto al quale il filetto di fluido ha il corrispondente valore di γ (la corrispondente densità d’energiasi ottiene da essa moltiplicando per il quadrato di c).

Poiché, come abbiamo detto, la densità d’energia deve figurare comesorgente ed è d’altra parte una componente di un tensore, sarà quel tensore che si candida a costituire la sorgente.

Quel tensore? Proprio quello? Ci torneremo. Per il momento vediamodi analizzarne le altre componenti.

Si verifica facilmente che si ha

c

uT

ii 0

2c

uuT

jiij

Per comprendere pienamente il significato fisico del tensore, è opportuno considerare le equazioni

0,

TT

x

T

(si tratta quindi delle componentidella densità d’impulso)

e

Se ne ottengono le equazioni esplicite seguenti: dalla 0,0 T

la 0

ut

che esprime la legge di conservazione locale della massa-energia.

Dalle 0, iT

le 02

i

i

uut

u

c

Quella che compare in parentesi quadra è la derivata euleriana dellecomponenti della velocità. Le equazioni descrivono allora il motolibero del fluido; in altri termini, la conservazione delle tre componenti dell’impulso.

Abbiamo capito che cosa sono le componenti 00 e 0i del tensore:ma che cosa ci stanno a fare le componenti i j?

L’integrazione su un volume arbitrario della 0

ut

ci porta alla S i

ii

SVdTcdSnudV

dt

d 0ˆ

dSnd ii

Quella delle 02

i

i

uut

u

c

alle

dove

V S

jiji dTcdVu

dt

d 2

L’impulso all’inteno di un volume può variare se c’è un flusso della “densità di sforzo”.

Ammesso che sia un tensore di questo tipo a dover a descrivere le sorgenti della gravitazione, ci siamo chiesti se, nel caso, dovrà essere proprio questo.

La risposta sta nell’osservazione che esso è il “tensore energia-impulso” per un fluido piuttosto particolare: non potrebbe costituirlo,per esempio, per il caso che si trattasse di un gas, visto che i gassono caratterizzati, oltre che da una densità, anche da una pressione;né, per motivi analoghi, potrebbe costituirlo per un campo elettromagnetico, che è pure portatore di energia e impulso.

In ogni caso però ci si riduce a un tensore doppio simmetrico.

Abbiamo detto che la densità di massa-energia deve esseresorgente della gravitazione. Ma siamo sicuri che questo comportiche le sorgenti in generale debbano essere descritte da un tensoreenergia-impulso?

La risposta è sì, e la ragione risiede nel fatto che una trasformazione di Lorentz da un sistema in cui sussista la sola componente 00 ad unaltro fa di norma comparire altre componenti del tensore.

A questa ragione, di per sé sufficiente, affianchiamo altri motiviche, in assenza di essa, ci renderebbero inclini alla scelta.

Il primo è che, in ambito relativistico, le leggi di conservazione di energia e impulso sono indissolubilmente legate.

Il secondo ha a che fare con un parallelismo che riscontriamo, fatta la nostra scelta, con il caso dell’elettromagnetismo.

0 j

Le sorgenti del campo elettromagnetico stanno nella quadricorrente,che obbedisce, come ricordavamo, alla

che esprime la legge di conservazione locale della carica.

Ci dà una visione armoniosa delle cose il fatto che, nel caso delcampo gravitazionale, le sorgenti siano parimenti soggette a leggi di conservazione locale, quelle espresse dalle

0, T

Le sorgenti della gravitazione sono espresse da un tensore doppiosimmetrico. Ma allora anche l’argomento dell’operatore

2

2

2

2

1

tc

dovrà essere un tensore doppio simmetrico!

Sembra dunque che dovremmo scrivere le nostre equazioni dicampo nella forma

KThtc

2

2

2

2

1

con K costante da determinarsi (più avanti ne estrarremo un segno meno e la scriveremo - k).

Questo sembra segnare la fine della nostra storia:

dato che l’incognita della nostra equazione di campo – per il (i) potenziale – è un tensore (doppio) diremo che essa caratterizza la costruenda teoria della gravitazione come tensoriale, nella terminologia in uso in elettromagnetismo, teoria che chiamiamo vettoriale perché l’incognita dell’equazione di campo – per il (i) potenziale – è in quel caso un vettore.

Ma non lo è ...

Perché? Perché, rifacendoci al caso dell’elettromagnetismo,la forma

j

cA

tc

41 22

2

2

non è la più generale possibile, ma deriva da una scelta di gauge,quella del gauge di Lorentz, fissata dalla condizione

0 A o 0,

A

Nel trattato Gravitazione e spaziotempo, di Hans Ohanian e Remo Ruffini, si mostra come, partendo dall’equazione di campo più generale lineare del secondo ordine nel tensore h, che contiene costanti arbitrarie, queste si determinano sulla base di considerazioni generali e della richiesta che, posto che si annulla la quadridivergenza del tensore sorgente a secondo membro, lo stesso avvenga per la quadridivergenza dell’espressione a primo membro dell’equazione.

L’equazione scritta sembra implicare una scelta di gauge. Dunque,a monte di questa, una libertà di gauge.

Hans C. Ohanian, Remo Ruffini, Gravitazione e spazio-tempo,Zanichelli, 1997, p. 122 segg.

Gli stessi autori mostrano poi come l’equazione ottenuta vada in se stessa sotto la trasformazione

hh

dove le Λ sono funzioni arbitrarie del punto. L’equazione appareil corrispettivo della

AA

esprimente l’invarianza di gauge dell’elettromagnetismo: la comparsa di due termini derivativi nelle funzioni di gauge appare inevitabile data la simmetria del tensore. Si noti tuttavia che, in questo contesto, non entrano in gioco le relazioni fra potenziali e campi, posto che questi ultimi semplicemente non ci sono.

hhh 2

1

La libertà di gauge permetterà, in linea di principio, come nel casodell’elettromagnetismo, una semplificazione delle equazioni di campo. Introdotto formalmente il nuovo tensore

si mostra che è sempre possibile trovare un gauge nel quale siasoddisfatta la

dove

0, h

Le equazioni appaiono il corrispettivo 0, A

esprimente la scelta del gauge di Lorentz.

hh

Fatta questa scelta di gauge, l’operatore che agisce sui potenziali nel primo membro dell’equazione si riduce effettivamente a

2

2

2

2

1

tc

Tuttavia esso non agisce sul tensore di partenza, ma proprio su

hhh 2

1

e le equazioni di campo assumono (finalmente) la forma:

kThtc

2

22

1

Il limite non relativistico

Si tratta di dieci equazioni indipendenti (le matrici rappresentativedei tensori a primo e secondo membro sono quattro per quattro, masono simmetriche!). Il passaggio a una versione relativistica, quindi,ci porta da una a ben dieci equazioni. Il limite non relativistico dellanuova teoria dovrà dunque lasciarne sopravvivere una. È facilepronosticare che sarà quella in cui i due indici diventano entrambi 0.Ricordiamo infatti che si ha

20

00T

e che nel limite non relativistico la densità di massa-energia si riduce semplicemente a densità di massa.

Si mostra poi che, in quel limite, l’equazione si scrive

kh 002

cioè nella stessa forma dell’equazione di Poisson

G42

La calibrazione sull’equazione di Poisson ci dà:

200 2

ch

2

8

c

Gk

Ma che succede nel limite delle altre equazioni? È presto detto …

Ricordiamo l’espressione delle altre componenti del tensoredensità di energia-impulso:

c

uT

ii 0

2c

uuT

jiij

Esse sono dunque piccole del primo e del secondo ordine nelrapporto fra le componenti della velocità del fluido materiale alla velocità della luce nel vuoto, quindi trascurabili rispettoalla componente 00 del tensore nel (pieno) limite non relativistico.

Le altre equazioni tratteranno dunque, in quel limite, piccole correzioni alla trattazione newtoniana.

E le equazioni del moto?

Pare che abbiamo riposto compiutamente alla domanda implicitaposta nel titolo: non solo una teoria relativistica della gravitazioneDEVE essere tensoriale, ma essa PUÒ essere costruita in un modoche sembra essere autoconsistente e possedere il corretto limitenewtoniano.

Però una (completa) teoria della gravitazione deve anche dotarsidi equazioni che dicano come si muove un corpo di prova in un campo i cui potenziali siano determinati dalle equazioni

kThtc

2

22

1

Norton ci dice che Nordström aveva la risposta*: si trattava dicovariantizzare la legge fondamentale della dinamica nel caso diforze gravitazionali, partendo intanto dalla

*Norton, op. cit., p. 7.

gmF

o

ig

i

xmF

La relazione forza-potenziale si estenderebbe come:

x

mF g

x

mF g

Questo non è corretto per due motivi. Il primo è che la f=marelativistica si scrive nella forma

d

dUmK i

dove le componenti spaziali della “quadriforza di Minkowski” Kvalgono

ii FK

e nella formula covariantizzata si dovrebbe scrivere K e non F.

Ma proviamo ad andare avanti. Dimenticandoci del γ, scriveremmo

x

md

dUm gi

zd

dU z

dt

ud

d

dt

dt

dU

d

dU zzz )(Ora è

Eseguiamo la semplificazione fra i due fattori di massa (inerzialee gravitazionale!) e scriviamola per il moto di caduta lungo laverticale (asse z):

Abbiamo quindi

zdt

ud z

)(

La derivazione a primo membro comporterebbe un termine nellacomponente z della velocità, ma, se consideriamo il caso di unmoto per il quale ad un dato istante (diciamo, per definitezza, quello iniziale) quella componente si annulli, si ottiene:

zcdt

du z

2

2v1

Una componente x non nulla della velocità iniziale comporterebbedunque un’accelerazione verticale ridotta.

Notiamo che, se avessimo tenuto conto del fattore γ che distinguela quadriforza dalla forza, avremmo un tale fattore a moltiplicarela derivata del potenziale a secondo membro. La forma dell’ultimaequazione cambierebbe allora nel senso che il fattore che produceil guasto finirebbe sotto radice. Ma la conclusione qualitativa noncambierebbe: corpi lanciati da un’altura con componenti diverse di velocità orizzontale raggiungerebbero il suolo in tempi diversi!

Questo è il nocciolo della critica einsteiniana a Nordström. Di più: la sua ragione per abbandonare del tutto il tentativo di approdarea una versione relativistico-ristretta di una teoria della gravitazione.

*Norton, op. cit., p. 7.

“I now abandoned as inadequate the attempt to treat the problem of gravitation […] within the framework of the special theory of relativity. It clearly failed to do justice of the most fundamental property of gravitation.”*

*A.Einstein, “Notes on the Origin of the General Theory ofRelativity”, in Ideas and Opinions, Carl Seelig ed., Sonja Bargmanntrad., Crown, New York 1954. Citato in Norton, op. cit.

Appaiono opportune alcune considerazioni:

1) Ho detto che il procedimento di Nordström non era corretto per due motivi, ma ho menzionato solo il primo. Il secondo emerge dalla considerazioni generali svolte su come formulare una teoria relativistica della gravitazione, che implicano la sostituzione di un potenziale scalare (?) con un potenziale tensoriale.

2) Il cambiamento di rotta da parte di Einstein avvenne, a quanto pare, all’insegna di una riflessione approfondita di quello che chiamò il “principio d’equivalenza”, per semplificare l’uguaglianzadi massa inerziale e gravitazionale. Ma questa ha poco a che fare con la dipendenza del tempo di caduta dalla componente orizzontaledella velocità! L’effetto di Nordström sussiste dopo aver cancellato le due masse fra primo e secondo membro!

3) Quello che occorre modificare non sono le equazioni del campo, ma quelle del moto.

4) Siamo sicuri che l’effetto legato alle componenti orizzontali dellavelocità non sussista né sperimentalmente né come previsione della teoria corretta?

5) Possiamo affrontare, nell’ambito della teoria linearizzata, anche il problema del moto di un corpo di prova in un campo dato?

Abbiamo appreso che non va bene l’equazione

xd

dU

Ebbene, essa è sostituita dalla:

UUhhk

d

dU)

2

1( ,,

Ohanian, Ruffini, op. cit., p. 134.

UUhhk

d

dU)

2

1( ,,

Poiché a primo membro figurano le componenti della quadriaccelerazione, a secondo membro figurano quelle della quadriforza per unità di massa.

Ebbene, esse dipendono dalle componenti della quadrivelocità del corpo di prova, e poiché

ii uU

dipendono anche dal modulo della velocità ordinaria (si noti,inoltre, che nelle equazioni del moto si ha una sommatoria doppia sulle componenti della quadrivelocità, ciò che comporta la presenza di tutte le componenti della velocità ordinaria).

Somiglianza formale delle equazioni di campo con quelle della teoria einsteiniana

Le equazioni di campo della teoria einsteiniana si scrivono:

kTRgR 2

1

Dunque sono anch’esse tensoriali, con lo stesso termine di sorgente! Ma la loro stessa struttura ricorda da vicino quella della teoria esposta:

kThhtc

2

11 222

hh

RR g

Rht

2

22

2

1Rh

t

2

22

2

1

RR e sono il risultato di operatori differenziali che agiscono su

g

(ricordiamo che ) g

La teoria einsteiniana non è lineare (basta pensare al termine

)Rg

La teoria formulata è in effetti un’approssimazione della teoria completa

È un’approssimazione lineare della teoria einsteiniana (“Teorialinearizzata”). Si ottiene da essa come “approssimazione di campodebole”, se cioè si ha

hg

hcon

Allora “tutto va come se” lo spazio tempo fosse piatto, cioècon metrica minkowskiana η, e su questo “giacesse”, o “viaggiasse” un campo tensoriale h.

Serve a qualcosa?

Certo: tutte le volte che è fisicamente soddisfatta la condizione dicampo debole.

E ci dice qualcosa di più, in tal caso, rispetto alla teoria newtoniana?

Si è già usato il termine “viaggiasse”: la teoria linearizzata prevedesoluzioni che si propagano.

L’equazione omogenea

01 2

22

htc

descrive la propagazione di un campo gravitazionale libero.

Essa è il corrispettivo della

01 2

2

2

Atc

descrivente la propagazione di onde elettromagnetiche nel vuotoin termini di potenziali.

Non appare necessario ricordare che essa avviene alla velocità c.

Né, crediamo, insistere sul fatto che la nostra equazione prevedela propagazione di onde piane monocromatiche alla stessa velocità.

La natura tensoriale del campo comporterà differenze per quantoriguarda gli stati di polarizzazione.

È infine forse opportuno che il limite newtoniano della teoria einsteiniana della gravitazione è un limite

a) di campo debole (per avere – intanto – la teoria linearizzata)

b) non relativistico

c) statico