Il lago, genius loci del territorio bresciano: occasione di educazione ambientale e di introduzione al pensiero scientifico - Anno 2014-2015
Seminario N°°°° 2
Quanto tempo è necessario per svuotare un
lavandino ?
Classe IV del Liceo Calini
Liceo Leonardo da Vinci
Professori : Aldo Auditore
Marco Longhi
OGGETTO DEL SEMINARIO N. 2
• Immaginiamo, per semplicità, che un lago sia occupato da acqua uniformemente inquinata e che non vi siano meccanismi di autodepurazione in atto. Allora l’unico modo per “pulire” il lago è quello di ricambiarne l’acqua
• Il problema è: quanto tempo è necessario ? Infatti la Water Framework Directive dà tempo fino al 2015 (o al massimo 2027).
• Assimiliamo il lago ad un serbatoio che vogliamo svuotare, in assenza di afflussi: questa semplificazione drastica ci consente di inquadrare il problema alla luce di alcuni principi fisici fondamentali
• Condurremo un esperimento di svuotamento misurando il livello dell’acqua in funzione del tempo
• Il processo di svuotamento di questo serbatoio può essere bene interpretato alla luce dalla legge di conservazione della massa + teorema di Bernoulli
• Utilizzeremo poi queste principi per derivare un modello matematico del processo e mostrarne il potere predittivo
• Strumenti di calcolo: utilizzeremo un foglio elettronico per elaborare e mostrare i dati misurati
SEMINARIO N. 2: cosa impareremo ?
• Utilizzeremo un foglio elettronico per elaborare e mostrare I dati misurati
• Determineremo sperimentalmente una funzione che lega il livello nel lago al tempo
• Deriveremo l’equazione che esprime la conservazione della massa in un serbatoio
• Verificheremo il potere predittivo di un modello teorico
• Controlleremo sperimentalmente, in due modi diversi, il Teorema di Bernoulli
SEMINARIO N. 2: il foglio elettronico come strumento di elaborazione dei dati e di visualizzazione
Utilizzeremo un foglio elttronico “Open Access”(scaricabile da http://www.openoffice.org/it/)
In un foglio elettronico I dati sono individuati dalle loro coordinate, come nel piano cartesiano
E’ possibile rappresentare le funzioni in un grafico
In questo la caso la nostra funzione è la serie dei dati che misureremo
SEMINARIO N. 2: Alcune nozioni indispensabili
Poniamo un cilindro graduato sotto al getto per un tempo ∆t.Misureremo un volume V nel cilindro
Definiamo portata media in uscita dal serbatoio in ∆t, q [m3/s]
Per esempio:∆t = 8 s; V=0.4 l = 0.0004 mcq = 0.0004/ 8= 0.00005 m3/s
Formula di Torricelli (ipotesi di dissipazioni energetiche nulle)
gYU 2=
U [m/s]: velocità del gettoY [m]: livello del serbatoiog [m/s2]: accelerazione di gravità
t
Vq
∆=
SEMINARIO N. 2: il primo ingrediente del modello matematico - la conservazione della massa
dove q [m3/s] è la portata media in uscitadal serbatoio in ∆t
Concentriamoci sulla massa presente nel serbatoio al tempo t.Questa massa si conserva; possiamo anche esprimerla come
)t(YA)t(M ⋅⋅= ρρ [kg/m3]: densità o massa per unità di volumeA [m2]: superficie trasversale del serbatoio cilindricoY(t) [m]: livello del lago al tempo t
La massa rimasta nel serbatoio diminuisce nel tempo
E’ evidente che
tq)t(M)tt(M
V)tt(M)t(M
∆⋅−=∆+⋅+∆+=
ρρ
SEMINARIO N. 2: il primo ingrediente del modello matematico - la conservazione della massa
tqA)t(YA)tt(Y
tq)t(V)tt(V
tq)t(V)tt(V
∆−=∆+∆−=∆+
∆⋅−=∆+ ρρρ
tA
q)t(Y)tt(Y ∆−=∆+
Questa è l’equazione di conservazione della massa e ci dice come varia la massa presente nel serbatoio In funzione del tempo t.“La massa al tempo t+∆t è uguale a quella presente al tempo t meno quella che si è accumulata nella bacinella”
Riscriviamo ora questa equazione in termini dilivello dell’acqua, una quantità che possiamo facilmente leggere durante la prova
La densità si può semplificare e il volume scriverecome prodotto dell’area retta A per il livello Y
Legge di conservazione della massa per un serbatoio scritta in termini di livello Y. Problema: come esprimere q ?
tq)t(M)tt(M ∆⋅−=∆+ ρ
SEMINARIO N. 2: il secondo ingrediente del modello matematico - il T.ma di Bernoulli
Modello di variazione del livello nel lagoin funzione del tempo. Adesso implementeremo questa eq.neper verificare se è in grado di interpretare i dati che misureremo, ovvero per verificare se il modello ha potere predittivo
)t(gYa)t(q
gYaaUq
2
2
=
==
)t(YA
tga)t(Y)tt(Y
A
t)t(gYa)t(Y)tt(Y
∆−=∆+
∆−=∆+
2
2
A
tgaC)t(YC)t(Y)tt(Y
∆=−=∆+
2
q è la portata uscente dalla luce di fondo. E’ cioè il volume di acqua che esce in un secondo. Possiamo ottenerlo come prodotto della velocità di uscita, fornito dalla f.la di Torricelli, per l’area della luce.
Sostituendo nella equazione precedenteriusciamo ad ottenere una equazione in cui è presente la sola incognita Y, in funzione del tempo
SEMINARIO N. 2: L’esperimento e l’utilizzo del foglio elettronico
• Partiamo con la vasca, di area planimetrica A, riempita finoalla quota h e con la luce di fondo d’area a e coefficiente d’efflusso C
• Iniziamo l’esperimento aprendo la luce e facendo partire il timer
• Prepariamo sul foglio elettronico un vettore che partendo da h decresca fino a 4 cm con passo di 0.5 cm
• Seguendo il progressivo abbassamento del livello, leggiamo sulloschermo il valore del tempo quando l’acqua nel serbatoio raggiunge I livelli da noi predisposti sul foglio elettronico.
• Al termine otteniamo una serie Y(t), t
• Ripetiamo l’esperimento e mediamo le due serie ottenute, per tenere conto degli errori di lettura
• Rappresentiamo in un grafico la funzione sperimentale Y(t), t dove t è la variabile indipendente e Y quella dipendente
SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
• Proviamo ora a implementare nel foglio elettronico la relazione regressiva che abbiamo ottenuto teoricamente
• fissiamo nelle celle del foglio elettronico il valore a, A, g• Calcoliamo la colonna con I valori di ∆t e la colonna con I valori del coefficiente di efflusso C
• Implementiamo ora l’equazione (1). Partiamo dal livello iniziale Y(t=0) e calcoliamo il secondo valore di Y; prendiamo poi il secondo e calcoliamo il terzo e così via…
• Confrontiamo la serie misurata con quella teorica, facendo un grafico delle due in funzione del tempo• Facciamo anche un grafico che plotti una serie in funzione dell’altra• Funziona ?
• Conclusione: il modello teorico predice il comportamento sperimentale osservato ?
A
tgaC)t(YC)t(Y)tt(Y
∆=−=∆+
2
SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
Analizzando il filmato dello svuotamento riempire la colonna B (Tempo) inserendo i secondi corrispondenti al livello indicato nella colonna A. Ripetere quindi la stessa operazione una seconda volta riempiendo la colonna B; utilizzeremo quindi la media dei tempi misurati (colonna D)
SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
Implementiamo ora le relazioni indicate nella riga 10. Per esempio il passo temporale nella casella E11 si calcolerà come differenza fra la cella D12 e la cella D11.
Per trasferire questa formula a tutte le celle sottostanti fare un doppio cli sull’angolo in basso a sn della cella quando compare un “più”
SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
NB. Se la formula contiene un parametro costante (riquadro blu), questo andrà “bloccato” scirvendo la lettera corrispondente ala cella fra due dollari $ (es per l’area del serbatoio: $B$2)
SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
Confrontiamo ora le misure sperimentali con i risultati del modello matematico rappresentando in un grafico le curve (tempo, livello) misurate (colonna B11:B34, colonna A11:A34) e quelle calcolate (colonna B11:B34, colonna G11:G34) in funzione del tempo
SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
Lo stesso confronto si può fare plottando ogni dato misurato versus il corrispondente dato teorico. Se il modello predice perfettamente il processo i punti così rappresentati si devono allineare lungo la bisettrice del primo quadrante.
SEMINARIO N. 2: la conservazione della massa e la storia della scienza
La prima formulazione esplicita della legge diconservazione della legge di conservazione della massa è ad opera di Benedetto Castelli, un bresciano, allievo di Galileo e a sua volta maestro di Torricelli
Una lapide non lontano da qua ne ricorda la figura
dov’è ?
SEMINARIO N. 2: Il Teorema di Bernoulli e la storia della scienza
Daniel Bernoulli, matematico svizzero nato nel 1700
In questo libro fornisce per la prima volta una interpretazione energetica corretta del processo di efflusso, derivando la relazionegià ottenuta da Torricelli per via empirica
Bernoulli fu un genio di prima grandezza.
Per ironia della sorte, prima di iniziare la sua brillante carriera accademica suo padre (che pure insegnava matematica) cercò di convincerloche avrebbe dovuto fare il mercante “poiché la matematica non poteva fornire alcun sostanziale beneficio economico e reddito affidabile”.
Conclusione: fare seriamente le cose in cui si crede
SEMINARIO N. 2: una verifica finale sul valore della velocità Torricelliana
Effettuiamo due misure
1) per valori del livello assegnati e costanti nel tempo si procede a misurare la velocità in uscita mediante un micromulinello idrometrico, confrontando i valori con quelli che si ottengono dalla equazione di Bernoulli (verifica della relazione Torricelliana)
2) Effettuiamo una misura volumetrica della portata uscente nelle stesse condizioni. Dalla definizione di Portata, noto il coefficiente di efflusso e il livello calcoliamo la velocità.
