Sommario lezione
●Insieme microcanonico gas ideale relativistico
●Corpo nero microcanonico
●Caso massivo generale: sviluppo in molteplicita'
Insieme microcanonico di un gas ideale relativistico
(Approssimazione di autostati di quadrimpulso)
Per semplicita' trascureremo le cariche esattamente conservate oppure sommeremosu tutte le possibili cariche iniziali (insieme granmicrocanonico).E' equivalente al caso di un gas di particelle completamente neutre.
Per il caso di bosoni, occorre dare a x0 una piccola componente immaginarianegativa e in modo tale che la serie sui numeri di occupazione converga
Procedendo analogamente al caso canonico otteniamo (nota la notazione sinteticasul dominio di integrazione)
Se ci sono anche cariche conservate, ci saranno ulteriori integrali su intervalli finiti,ma la struttura resta analoga.
Calcolo di
Il calcolo analitico esplicito della funzione di partizione microcanonica e' impossibileper il caso di particelle relativistiche libere con relazione di dispersione
E' invece possibile per il caso ultrarelativistico
e per quello nonrelativistico
Corpo nero microcanonico
Gas di bosoni senza massa a 2 stati di polarizzazione con energia, impulso e volume fissato
Si fa il calcolo nel sistema di riposo
Prima di tutto si osserva che:
perche' x0 ha una piccola componente immaginaria negativa
L'integrale nell'impulso puo' essere risolto esplicitamente e fornisce
Dunque, si calcola la serie
E allora
Si sviluppa adesso in serie l'esponenziale e si integra termine per termine (sviluppo amolteplicita' fissate)
e si integra in x ricordandosi che x0 ha una parte immaginaria
Si ottiene
NOTA: il termine n=0 richiede un trattamento a parte. Il risultato e' zero.
Re x0
Im x
0
polo
Si sceglie per l'integrazione un circuito con semicerchio sul semipiano superioredel piano complesso
NOTA: se M <0 devo scegliere il cerchio sul semipiano inferiore e l'integrale fa zero!
Dopo un po' di algebra si arriva alla formula finale
COMMENTI
La costante dimensionale 1/M4 dipende dalla presenza della delta. In effetti questae' una densita' di stati per cella di quadrimpulso. Per grandi (M, V), in log W, mentre il fattore 1/M4 da' luogo ad un termine che cresce
logaritmicamente, la sommatoria da' luogo ad un termine lineare (entropia)
La serie e' convergente per qualsiasi valore finito di VM3 essendo minore della serie esponenziale dipende essenzialmente dall' unica possibile variabile adimensionale VM3, essendo m=0.
E' allora banale mostrare che p=1/3 M/V anche nel caso microcanonico (ESERCIZIO)
Tutte le osservabili fisiche dipendono da log W
Il logaritmo della densita' di stati ha senso solo per la parte adimensionale
adimensionale
?
Si puo' definire allora l'entropia solo in base all'ultimo fattore, pero' ci sara' daaggiungere qualcosa in modo che per M>0 si abbia S>0
Limite termodinamicoPer V e M grandi, i termini della serie da tenere in conto sono moltissimi. Ci si aspetta di ritrovare le leggi note del corpo nero.
Sviluppo del punto di sella di
NOTA: Per avere il corretto punto di sella, la soluzione in x0 deve essere immaginaria negativa
Re x0
Im x
0
polo
Ci sono 4 punti di sella candidati
Il punto di sella con parte immaginarianegativa soddisfa la richiesta di negativita' della derivata seconda (punto di massimo)
La direzione di attraversamento del punto disella deve essere mantenuta sulla direzione reale
Asintoticamente dunque:
Se ho altre particelle, la scalava divisa per il loro numero, datoche il numero dei gradi di liberta'moltiplica V a fattore in tutte leespressioni. Il limite termodinamicoe' raggiunto prima.
Esempi
Gas di fotoni a T=300 KDensita' di energia = 2.94 1031 MeV4 e con x=106 si ha V = 1.9 108 cm3
Gas di fotoni a T=3 KDensita' di energia = 2.94 1039 MeV4 e con x=106 si ha V = 1.9 102 cm3
A temperature ancora piu' basse il volume critico puo' diventare abbastanza grandema in pratica e' impossibile creare un sistema di fotoni a energiaimpulso esattamente costante
Gas di gluoni liberi a T=300 MeV (8 gradi di liberta')
Densita' di energia = 4.3 1010 MeV4 e con x=105 si ha V = 1.45 fm3
SpettroMetodo generale per calcolare lo spettro:perturbare l'esponenziale con una funzionee fare la derivata in zero.
Spettro continuo
Da notare che deve essere
pertanto e la serie e' dunque una somma finita di termini
ESERCIZIO: Calcolare lo spettro e farne dei grafici in x = /M
Gas ideale relativistico massivo
Partiamo dall'espressione della funzione di partizione microcanonica:
e calcoliamo la funzione di partizione microcanonica a molteplicita' fissata
che e' tale che
Si opera esattamente come nel caso canonico, cioe' scrivendo la delta di Kroneckercome un integrale di Fourier, passando al piano complesso e calcolandolo con il teorema dei residui
essendo
Adesso deve essere sviluppato in serie anche l'esponenziale
Di tutti questi termini devo considerare soltanto quelli che
Si riduce al problema di trovare le partizioni di un intero N nella rappresentazione dellamolteplicita', che indicheremo con
e riesplicitando i vari z si ottiene
Conclusione:la f.d.p a N fissato e' una somma su tutte le partizioni di N in cui compaiono H oggetti(clusters) di quadrimpulso associato np, spin S, e tutti devono rispettare la conservazione dell'energiaimpulso
DECOMPOSIZIONE A CLUSTER DELLA FUNZIONE DI PARTIZIONE PER UNGAS QUANTISTICO
Statistica di Boltzmann
Tornando alle formule iniziali, questo consiste nel tenere solo il primo termine dellosviluppo del logaritmo, cioe' il termine con n=1
Boltzmann: solo una partizione, quella con N clusters
I termini successivi comportano potenze di V di ordine inferiore: VH con H < N
Dunque, nel limite termodinamico solo il termine a N clusters domina e i restantisono trascurabili. Questo corrisponde al limite di temperatura 0, essendo M fissatae V infinito. Dato che m/T > ∞ si recupera il limite di statistica classica.