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Logica Fuzzy (Applicazione nella valutazione degli investimenti) November 8, 2006 0-0
Logica Fuzzy
(Applicazione nella valutazione degli investimenti)
November 8, 2006
0-0
Cosa e la logica Fuzzy?
Nasce intorno alla meta degli anni ’60 per merito del professore
Lofti Zadeh e si tratta di una teoria che cerca di studiare e di
trattare con l’incertezza.
Si pone in una posizione parallela rispetto alla teoria delle
probabilita (teoria principe) perche considera un diverso tipo di
incertezza che riguarda essenzialmente l’ambiguita linguistica.
Esempio del dado
1
Esempio del dado
Supponiamo di avere un dado a 6 facce e di voler determinare la
probabilita di ottenere un numero pari tramite il suo lancio.
Il ragionamento per la determinazione di questa probabilita sara:
L’universo dei casi possibili e di numerosita 6, il numero dei casi
favorevoli e 3 (numeri pari) quindi la probabilita sara data da:
P (pari) =36
= 0.5
Esempio del dado fuzzy
2
Esempio del dado fuzzy
Supponiamo adesso di avere lo stesso dado ma di voler
determinare la possibilita di ottenere tramite il suo lancio “un
numero intero piccolo”. Come ragioniamo?
Occorre per prima cosa andare a definire che cosa e un “Numero
intero piccolo”. A differenza di prima non abbiamo a che fare con
un insieme universalmente definito (numeri pari - numeri dispari),
ma un insieme che e vago, ha contorni sfocati e Fuzzy .
Nasce l’esigenza di andare a definire questo insieme con contorni
sfocati e non nettamente definiti.
Ma come determiniamo questi insiemi?
3
Logica tradizionale
Secondo la logica Booleana un elemento fa parte di un insieme
con un grado di verita completamente vero o completamente falso:
da quı nasce il modo di rappresentazione tramite “0” e “1” o tramite
“vero” e “falso”.
Punti critici:
• Occorre essere in grado di definire in modo preciso e
universale un insieme mentre alcune grandezze non hanno
queste caratteristiche: vedi il numero intero piccolo;
• Non sempre un elemento ha una classificazione univoca
perche se siamo incerti sulla natura di un elemento siamo
incerti anche sulla appartenenza a qualche classe.
(paradossi).
4
Classificazione stature
Supponiamo che venga chiesto di classificare gli individui in base
alla statura, con i tre sottoinsiemi:
• Bassa;
• Media;
• Alta.
Logica tradizionale;
Logica Fuzzy.
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Logica tradizionale
Stabiliva separazioni nette fra gli insiemi:
• Individui bassi→ x < 1.60m
• Individui medi→ 1.60 ≤ x ≤ 1.75m
• Individui alti→ x > 1.75m
Bassa Media Alta
1.60m 1.75m
1
Statura
← Critiche
6
Critiche
• Siamo tutti concordi nel definire i limiti dei tre sottoinsiemi,
quindi per tutte le persone gli individui bassi, medi e alti sono
classificati nel suddetto modo;
• Per variazioni infinitesime nella statura si ha il passaggio da un
sottoinsieme all’altro, cioe un individuo alto 1.599 metri viene
considerato basso mentre un individuo piu alto di questo di
solo un millimetro viene considerato di media statura.
Conclusioni
Non considera l’incertezza insita nella definizione dei tre insiemi:
“bassa”, “media” e “alta statura” siete in grado voi di definire con
esattezza cosa si intende per bassa statura?
Esistono in realta molte grandezze che non hanno una
classificazione univoca perche la definizione dei sottoinsiemi che
portano alla classificazione non sono nette “crisp”, ma “fuzzy”. Es:
intensita della pioggia, bellezza di una donna etc....
Fuzzy
7
Logica Fuzzy
Con l’utilizzo della logica Fuzzy non si stabiliscono dei limiti netti fra
i sottoinsiemi, ma il passaggio da un insieme ad un altro avviene in
maniera graduale.
La gradualita si presenta perche a ciascun elemento non viene
associato un grado di appartenenza completamente vero o falso [0
1], ma un grado di appartenenza compreso nell’intervallo {0 1}.
Ciascun elemento puo far parte di piu sottoinsiemi, ma con un
grado di verita diverso che viene indicato dalla funzione di
Membership.
8
Funzione di Membership
Si tratta di una funzione che associa a ciascun elemento un valore
compreso fra {0 1}. Sostanzialmente si tratta della funzione che
definisce un sottoinsieme come potrebbe essere quello degli
“individui bassi” e associa a ciascun individuo che presentera una
determinata statura un valore che esprime il grado di appartenenza
al sottoinsieme “individui bassi”.
I valori spaziano nell’intervallo {0 1} con “0” che esprime il valore
minimo (non appartenenza) e “1” il valore massimo (completa
appartenenza).
Ciascun sottoinsieme avra la propria funzione di membership che
ne definisce le caratteristiche. Nel nostro esempio avremo 3
funzioni di membership: una per gli individui “bassi”, una per i
“medi” e una per gli “alti”.
Come stimarla?
9
Stima funzione di Membership
Esistono molti metodi classificabili in:
• Metodi oggettivi: alcuni seguono un procedimento statistico
altri no, ma tutti richiedono dei dati da cui partire;
• Metodi soggettivi: si basano esclusivamente sull’analisi delle
informazioni di tipo qualitativo e sullo studio dell’universo da
considerare.
La forma piu utilizzata e quella di tipo triangolare ma esistono varie
forme: trapezzoidale, sigmoide, campanulare etc...
10
Funzione triangolare
Il punto di partenza e generalmente una terna di valori del tipo
(xa, xb, xc) sui quali viene costruita una funzione definita a tratti:
µ(x) =
x−xa
xb−xase xa ≤ x ≤ xb
xc−xxc−xb
se xb ≤ x ≤ xc
0 se altrimenti
Graficamente
α− cut
11
Funzione triangolare
α
xa xb xc
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Esempio statura
α− cut
12
Esempio statura
Partiamo dal sottoinsieme degli individui con bassa statura e
facciamo le seguenti considerazioni:
• Non ci sono dubbi nel considerare un individuo con statura
inferiore a 1.45 metri un individuo “basso”
• Non ci sono dubbi nel considerare un individuo con statura
superiore a 1.65 metri un individuo “non basso”;
• Supponiamo che fra i limiti 1.45 metri e 1.65 il passaggio
dell’opinione e quindi di classificazione avvenga in modo
lineare.
Graficamente
13
Individui bassi
1.45 1.65
bassi non bassi
→
14
Individui bassi
1.45 1.65
bassi non bassi
Membership
15
Funzione membership “Individui bassi”
µB(x) =
1 se 0 ≤ x ≤ 1.451.65−x
1.65−1.45 se 1.45 < x < 1.65
0 se x ≥ 1.65
Individui medi
16
Individui medi
Per il sottoinsieme degli individui con media statura facciamo le
seguenti considerazioni:
• Non ci sono dubbi nel considerare un individuo con statura
inferiore a 1.45 e superiore a 1.80 metri un individuo “non
medio”
• Non ci sono dubbi nel considerare un individuo con statura
compresa fra 1.65 e 1.75 metri un individuo “medio”;
• Supponiamo che al di fuori dell’intervallo in cui siamo certi
della classe di appartenenza le opinioni si modifichino in modo
lineare.
Graficamente
17
Individui medi
1.45 1.65 1.75 1.80
non medi non medimedi
→
18
Individui medi
1.45 1.65 1.75 1.80
non medi non medimedi
Membership
19
Funzione membership “Individui medi”
µM (x) =
1 se 1.65 < x ≤ 1.75x−1.45
1.65−1.45 se 1.45 ≤ x ≤ 1.651.80−x
1.80−1.75 se 1.75 < x ≤ 1.80
0 se x < 1.45 o x > 1.80
Individui alti
20
Individui alti
Per il sottoinsieme degli individui con alta statura facciamo le
seguenti considerazioni:
• Non ci sono dubbi nel considerare un individuo con statura
inferiore a 1.75 metri un individuo “non alto”
• Non ci sono dubbi nel considerare un individuo con statura
superiore a 1.80 metri un individuo “alto”;
• Supponiamo che fra i limiti 1.75 e 1.80 metri le classificazioni
degli individui avvengano in modo lineare.
Graficamente
21
Individui alti
1.75 1.80
non alti alti
→
22
Individui alti
1.75 1.80
non alti alti
Membership
23
Funzione membership “Individui alti”
µA(x) =
1 se x > 1.80x−1.75
1.80−1.75 se 1.75 ≤ x ≤ 1.80
0 se x < 1.75
Rappresentazione finale stature
24
Rappresentazione finale stature
1.45 1.65 1.75 1.80
Bassi AltiMedi
Definizione numero intero piccolo nel lancio del dado
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Funzione membership “numero intero piccolo”
Potremmo definire il numero intero piccolo nel lancio del dado con
la seguente funzione di membership:
• µ(1) = 1
• µ(2) = 0.8
• µ(3) = 0.6
• µ(4) = 0.4
• µ(5) = 0.2
• µ(6) = 0
Differenze con la probabilit a
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Differenze con la probabilit a
Il valore espresso con la funzione di membership non e indicativo
della probabilita dell’avverarsi di un evento µ(1) = 1 non significa
che il numero 1 e piu probabile degli altri, la probabilita e sempre
1/6.
Significa che l’avverarsi dell’evento di avere un numero intero
piccolo e massima se dal lancio del dado uscira il numero 1.
Zadeh poi ricollegava la funzione di membership al grado di
possibilita facendo il seguente ragionamento:
¿ dato l’avverarsi dell’evento numero intero piccolo il grado di
possibilita di avere 1 e massimo, o meglio, e maggiore rispetto alla
possibilita di avere 2, 3 etc...À
Applicazione investimenti
27
La valutazione degli investimenti
Quando valutiamo un investimento dobbiamo andare a stimare
delle grandezze (flussi cassa periodici, tasso interesse, costo
iniziale etc...).
Le alternative che possiamo utilizzare nella loro determinazione
sono:
• Utlizzo di un unico valore;
• Utilizzo di una distribuzione di probabilit a;
• Utilizzo di un numero fuzzy.
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Utilizzo di un valore deterministico
L’utilizzo di un valore deterministico implica che l’analisi delle
informazioni che abbiamo ci conducono tutte verso un unico valore.
Queste quindi non danno adito ad incertezza di nessun genere,
anche se parte dell’incertezza potrebbe essere contenuta nel tasso
di sconto utilizzato.
Sulla base delle informazioni che abbiamo consideriamo per
esempio l’insieme dei rendimenti relativi al primo esercizio costituiti
da un unico valore, quello preso come riferimento.
Quindi:
• Le informazioni portano verso un unico valore;
• Non consideriamo il fatto che queste possano cambiare o
possano essere non esatte;
• Tutti gli individui pensano allo stesso modo e quindi non ci sono
diversita di interpretazione delle informazioni a disposizione.
←
29
Utilizzo di una distribuzione di probabilit a
L’utilizzo di una distribuzione di probabilita permette di fare un
analisi piu approfondita:
• Permette di considerare parte dell’incertezza;
• L’incertezza tuttavia e di tipo randomness ;
• Se le informazioni evolvessero avremo un’altra distribuzione di
probabilita;
• Difficolta di stima;
• Problema della non ripetizione degli esperimenti;
• Problema della non indipendenza delle distribuzioni;
• Problema perdita informazioni andando avanti con il modello.
←
30
Perdita informazioni
L’utilizzo di una distribuzione di probabilita porta come risultato
finale dell’applicazione di un metodo di valutazione un valore unico.
Con l’utilizzo della logica fuzzy otteniamo un’insieme di valori.
L’ottenimento di questo risultato comporta la possibilita di effettuare
un numero maggiore di considerazioni in merito alla convenienza e
alle caratteristiche dell’investimento.
←
31
Non indipendenza distribuzione
Se vogliamo determinare la distribuzione della dimensione del
mercato per 3 esercizi futuri dobbiamo assumere come ipotesi
base che le distribuzioni siano indipendenti fra di loro.
Nella realta tuttavia questo non e vero perche sicuramente avere
una dimensione del mercato in t=2 di 8000 sara piu probabile se in
t=1 ho ottenuto una dimensione di 7000 rispetto al caso in cui
avessi ottenuto una dimensione di 1000.
Quindi nella realta le distribuzioni degli esercizi futuri non sono
indipendenti dal valore che si e verificato negli esercizi precedenti.
←
32
Ripetizione investimenti
Ragioniamo adesso sempre sull’esempio del dado, se supponiamo
di ricevere ad ogni lancio tante caramelle in base al numero che
appare sulla facciata, avremo che il valore atteso del numero delle
caramelle sara di 3.5 per ogni lancio.
Questo valore e il caso limite per il numero di lanci che tende ad
infinito, facendo una media del numero di caramelle per ogni lancio
otteniamo il valore 3.5.
Implicitamente questo presuppone la possibilita di rieffettuare il
lancio per un numero infinito di volte, ma non sempre la ripetizione
e possibile: per esempio se stimassi una distribuzione di
probabilita per la dimensione del mercato di domani, io non avrei la
possibilita di tornare dietro nel tempo.
Queste considerazioni hanno portato all’utilizzo della tecnica di
simulazione Monte Carlo.
←
33
Difficolt a di stima
Di fatto stimare una distribuzione di probabilita non e semplice.
Supponiamo che vogliate determinare la probabilita dei ritorni
relaviti ad un investimento in ricerca applicata relativa ad un nuovo
vaccino antinfluenzale .
←
34
Informazione e probabilit a
Se anche supponiamo di determinare, con le informazioni che
abbiamo, la distribuzione di probabilita piu accurata al mondo di
fatto non teniamo di conto che questa distribuzione e frutto delle
impressioni che abbiamo oggi e dello studio delle informazioni
disponiamo in un preciso istante.
Domani per esempio un leggero cambiamento di informazione
porterebbe alla modifica della mia distribuzione.
Quindi occorre anche considerare questo fattore quando
determiniamo il valore medio delle grandezze necessarie a
valutare un investimento.
Con la logica fuzzy non abbiamo la necessita di ricavare un unico
valore medio per valutare l’investimento e quindi consideriamo
anche l’incertezza implicita nel cambiamento di informazioni.
←
35
Incertezza solo randomness
Ritornando al lancio del dado, l’incertezza che si ha nella
probabilita e un incertezza che agisce prima del lancio del dado.
Noi non sappiamo se il lancio del dado mi produrra un numero pari
o un numero dispari. Tuttavia una volta lanciato il dado l’incertezza
scompare sia che sia uscito il numero pari che il numero dispari.
Nella possibilita di ottenere un numero intero piccolo invece
l’incertezza rimane anche dopo il lancio del dado, perche e insita
nella definizione dell’insieme stesso. La definizione di numero
intero piccolo non e universale, ma e incerta.
←
36
Utilizzo di un numero fuzzy
L’utilizzo di un numero fuzzy permette di fare delle analisi diverse
considerando parte dell’incertezza non considerata dalla
distribuzione di probabilita.
Lo scopo e di conservare piu a lungo possibile l’incertezza dato
che e sempre possibile ridurla tramite un procedimento di
perdita delle informazioni .
Quindi:
• Permette di fare un analisi ulteriore considerando una parte
dell’incertezza non considerata dalla probabilita;
• L’incertezza riguarda non solo i diversi risultati a cui le
informazioni portano, ma anche l’informazione stessa;
• In definitiva si tratta dell’incertezza insita nel termine delle
grandezze esempio cosa si intende per prezzo di vendita
approssimativamente di 20, o mercato in crescita?
Esempio
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Esempio valutazione investimento
Supponiamo che vengano forniti dei numeri fuzzy relativamente ai
flussi netti di cassa e al tasso di interesse.
In particolare dato che la funzione di membership da noi utilizzata
asssume la forma triangolare le grandezze vengono fornite sotto
forma di terne di numeri.
Flussi di cassa (δa, δb, δc)
Tasso interesse (ia, ib, ic)
Una volta fornite le terne determiniamo gli α− cut che altro non
sono che le funzioni inverse delle funzioni di membership
α− cut
38
α− cut
Flussi di cassa netti
[δa + α(δb − δa), δc − α(δc − δb)]
Tassi interesse
[ia + α(ib − ia), ic − α(ic − ib)]
Fattori sconto?
39
Aritmetica degli intervalli
Dati due intervalli del tipo [a1, a2] e [b1, b2] si vanno a definire le
seguenti operazioni algebriche:
• [a1, a2] + [b1, b2] = [a1 + b1, a2 + b2]
• [a1, a2]− [b1, b2] = [a1 − b2, a2 − b1]
• [a1, a2]/[b1, b2] = [α, β]
1. α = MIN(a1/b1, a2/b1, a1/b2, a2/b2)
2. β = MAX(a1/b1, a2/b1, a1/b2, a2/b2)
• [a1, a2] · [b1, b2] = [α, β]
1. α = MIN(a1b1, a2b1, a1b2, a2b2)
2. β = MAX(a1b1, a2b1, a1b2, a2b2)
Aritmetica Fuzzy
40
Aritmetica Fuzzy
Dati due numeri fuzzy del tipo A = [a(α)1 , a
(α)2 ] e
B = [b(α)1 , b
(α)2 ], dove il numero 1 come pedice indica il tratto
crescente del numero rispetto ad α ed il numero 2 il tratto
decrescente, si vanno a definire le seguenti operazioni algebriche:
∀ α ∈ [0 1]
• A + B = [a(α)1 + b
(α)1 , a
(α)2 + b
(α)2 ]
• A−B = [a(α)1 − b
(α)2 , a
(α)2 − b
(α)1 ]
• A/B = [α, β]
1. α =MIN(a(α)
1 /b(α)1 , a
(α)2 /b
(α)1 , a
(α)1 /b
(α)2 , a
(α)2 /b
(α)2 )
2. β =MAX(a(α)
1 /b(α)1 , a
(α)2 /b
(α)1 , a
(α)1 /b
(α)2 , a
(α)2 /b
(α)2 )
• A×B = [α, β]
1. α =MIN(a(α)
1 ×b(α)1 , a
(α)2 ×b
(α)1 , a
(α)1 ×b
(α)2 , a
(α)2 ×b
(α)2 )
2. β =MAX(a(α)
1 ×b(α)1 , a
(α)2 ×b
(α)1 , a
(α)1 ×b
(α)2 , a
(α)2 ×b
(α)2 )
Fattore di sconto
41
Fattore di sconto.
[1/(1 + ic − α(ic − ib)), 1/(1 + ia + α(ib − ia))]
V.A.N.
V an =δa + (δb − δa) · α
1 + ic − (ic − ib) · α
V an =δc − (δc − δb) · α
1 + ia + (ib − ia) · αSe consideriamo piu periodi:
V an =n∑
j=1
δj
1 + ij− costo iniziale
V an =n∑
j=1
δj
1 + ij− costo iniziale
Analisi
42
Analisi
Occorre valutare la convenienza dell’investimento preso
singolarmente:
β =
∫ 0
xµ(x)dx
∫ x
xµ(x)dx
Che nel caso in cui xa ≤ 0 ≤ xb sara:
β =−xa · f(0)xc − xa
=x2
a
(xb − xa)(xc − xa)
E nel caso in cui xb ≤ 0 ≤ xc sara:
β =−xa − xb · f(0)
xc − xa=−xa(xc − xb)− xbxc
(xc − xb)(xc − xa)
Confronto
43
Confronto
Occorre confrontare i diversi investimenti per stabilire quale risulta
migliore:
• Metodo semplice di Yager;
• Metodo ponderato di Yager;
• Coefficiente di variazione di Cheng;
• Metodo della distanza di Cheng
Casi particolari
44
Metodo semplice di Yager
Determina un indice nel seguente modo:
V al(F ) =∫ 1
0
Average(Fα) dα
Dove:
Average(Fα) =F (α) + F (α)
2Il cui risultato nel caso di funzione di tipo triangolare e:
V al(F ) =xa + 2xb + xc
4Confronto
45
Metodo ponderato di Yager
Determina un indice nel seguente modo:
V al(F ) =
∫ 1
0Average(Fα) · f(α) dα∫ 1
0f(α) dα
Dove f(α) e una funzione peso, a questo riguardo Yager e Filev
introdussero 2 famiglie, quelle crescenti αq e quelle decrescenti
(1−α)q .Il cui risultato nel caso di funzione di tipo triangolare sara:
V al(F ) =(xa + xc)
2· 1q + 2
+ xb · q + 1q + 2
Per la famiglia delle funzioni crescenti e:
V al(F ) =(xa + xc)
2· q + 1q + 2
+ xb · 1q + 2
Per la famiglia delle decrescenti.
Confronto
46
Coefficiente di variazione di Cheng
Determina un indice nel seguente modo:
CV =σ(standard error)
x(mean)
Dove:
x(A) =
∫S(A)
(x · µA(x)
)dx
∫S(A)
(µA(x)
)dx
σ(A) =
[(∫S(A)
(x2 · µA(x)
)dx
∫S(A)
(µA(x)
)dx
)− (x(A))2
] 12
Confronto
47
Casi particolari
α
F (α)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1
0
.2
.4
.6
.8 Ta
Tb
Tc
Confronto
48
Metodo della distanza di Cheng
Determina un indice nel seguente modo:
R(A) =√
(x0)2 + (y0)2
Dove:
x0(A) =
∫ b
a
(x · fL
A
)dx +
∫ c
b(x)dx +
∫ d
c
(x · fR
A
)dx
∫ b
a
(fL
A
)dx +
∫ c
bdx +
∫ d
c
(fR
A
)dx
y0(A) =
∫ 1
0
(y · gL
A
)dy +
∫ 1
0
(y · gR
A
)dy
∫ 1
0
(gL
A
)dy +
∫ 1
0
(gR
A
)dy
Confronto
49
