Considerazioni introduttive
• Un elemento strutturale è soggetto a sollecitazione di torsione quando su di esso agiscono due momenti uguali ed opposti giacenti su un piano perpendicolare al suo asse longitudinale
• In pratica, si può avere torsione anche se agisce una sola coppia
allorquando l’elemento è vincolato. Infatti alla coppia applicata, si oppone quella prodotta dalla reazione dei vincoli
• Dunque, in definitiva la trave risulta soggetta a due momenti uguali ed opposti (T e T’) normali all’asse longitudinale della struttura (in questo caso la barra)
Considerazioni introduttive
• Per effetto dell’applicazione dei momenti torcenti alle estremità, si ipotizza che le sezioni trasversali ruotino rigidamente l’una rispetto all’altra rispetto all’asse longitudinale, rimanendo quindi piane
• Segmenti radiali appartenenti alle sezioni rimangono rettilinei ed inoltre, se gli spostamenti sono piccoli, anche la lunghezza dell’asse del solido non cambia
• Ci occuperemo di analizzare Il caso della torsione pura quella, cioè, che si verifica in solidi cilindrici circolari retti e la trattazione parte dal considerare le deformazioni che avvengono nel solido quando è sottoposto a momento torcente
• La rotazione relativa tra le sezioni inziale e finale prende il nome di angolo di torsione, e si indica generalmente con φ
• Una generatrice del cilindro (AB) si deforma secondo un arco di elica cilindrica poiché l’estremo A si sposta in A’ .
• Una fibra interna, parallela alla generatrice, subisce lo stesso tipo di deformazione ma di entità minore poiché è più vicina al centro.
Considerazioni introduttive
• Se si considera una porzione del solido compresa tra due sezioni trasversali poste alla distanza dx, l’elementino di superficie abcd si deforma secondo uno stato di scorrimento puro nel quale, però, i lati non variano di lunghezza, mentre si modifica l’angolo tra i lati prima e dopo l’applicazione del momento.
• Questa variazione di forma è quantificata dalla deformazione angolare
abbb
e'=γ che è legata alla rotazione dφ dalla relazione rddxe ⋅=⋅ ϕγ
Angolo di torsione
La relazione rddxe ⋅=⋅ ϕγ
si può esprimere come Φ⋅=⋅= rdxdreϕγ
nella quale la quantità Φ=dxdϕ
prende il nome di angolo unitario di torsione
• Nel caso di torsione pura, la rotazione relativa tra la sezione iniziale (quella nella quale è applicato il momento torcente) ed una generica sezione posta alla distanza x vale:
x⋅Φ=ϕ
• Tutte le considerazioni fatte finora non tengono in conto le caratteristiche del materiale ma sono puramente di carattere geometrico. Tuttavia è possibile introdurre il legame tra sforzi e deformazioni che, come visto in precedenza, per i materiali a comportamento lineare elastico, è descritto dalla legge di Hooke
Sforzi tangenziali causati dalla torsione
• Per un elementino di materiale posto sulla superficie del cilindro possiamo scrivere:
Φ⋅⋅=⋅= rGG ee γτ• Ciò può essere facilmente esteso ad un elementino qualsiasi posto alla generica
distanza radiale � dall’asse x.
• Infatti poichè i segmenti radiali si mantengono rettilinei, le relazioni viste in precedenza sono ancora valide purchè si sostituisca ad r il valore di � e quindi:
Φ⋅=⋅= ρϕργdxd
e Φ⋅⋅=⋅= ργτ GG ee
• Si osserva, quindi, che gli sforzi tangenziali dovuti alla torsione sono, in ogni punto della sezione, diretti circonferenzialmente e variano linearmente con la distanza dall’asse dando luogo ad una distribuzione triangolare caratterizzata da valore massimo sulla superficie esterna
Legame tra angolo di rotazione e momento
• Nota la distribuzione degli sforzi, possiamo ora determinare il legame tra l’angolo di rotazione � e il momento torcente applicato Mt calcolando il momento risultante delle forze agenti sull’intera sezione, che deve essere appunto in equilibrio con il momento applicato
• Si consideri l’anello di raggio � e spessore d�.
• Sull’elementino anulare di area dA esiste una distribuzione di sforzi tangenziali �, che produce risultante nulla di forze ma un momento attorno all’asse. La somma di questi momenti vale:
pAA
et JGdAGdAM ⋅Φ⋅=⋅Φ⋅=⋅= ∫∫ 2ρρτ
Φ⋅⋅= ρτ Gee l’espressione del momento di inerzia polare
ricordando che: ∫=A
p dAJ 2ρ
• Per una sezione circolare 32
4dJ p⋅= π dunque l’angolo unitario
di torsione vale: p
t
JGM⋅
=Φ
• La rotazione tra due sezioni estreme vale: p
t
JGLMLx
⋅⋅=⋅Φ=⋅Φ=ϕ
Rigidezza torsionale e �max
p
t
JGLM
⋅⋅=ϕ La grandezza:
LJG p⋅
prende il nome di rigidezza torsionale
• La rigidezza torsionale rappresenta il momento torcente che occorre applicare per produrre un angolo di rotazione unitario (gli angoli sono espressi in radianti)
• Per calcolare lo sforzo tangenziale massimo si ha:
Φ⋅⋅= rGmaxτp
t
JGM⋅
=Φma quindi p
t
JGMrG⋅
⋅⋅=maxτ
p
t
JrM ⋅=maxτ
• Essendo per una sezione circolare il momento di inerzia 32
4dJ p⋅= π
344max16
232
32
2dM
ddM
d
dMtt
t
⋅⋅=
⋅⋅⋅=
⋅
⋅=
πππτ
Sezione circolare cava
p
t
JrM ⋅=maxτ
• Nel caso della sezione cava, il momento di inerzia vale ( )32
44 dDJ p−⋅= π
( ) ( )dDDM
dD
DMt
t
−⋅⋅⋅=
−⋅
⋅⋅= 444max
16232
ππτ
D/2
d/2 quindi
• Le sollecitazioni torsionali devono essere rappresentate sul piano della sezione a differenza di quanto accade per la flessione
Esempio 1
Un albero cilindrico cavo in acciaio è lungo 1.5 m ed ha diametri interni ed esterni rispettivamente uguali a 40 mm e 60 mm. Qual è il massimo momento torcente che può essere applicato all’albero se il valore della tensione tangenziale non deve essere superiore a 120 MPa ? Qual è il corrispondente minimo valore della tensione tangenziale nell’albero ?
Esempio
Per l’albero cavo mostrato in figura, sottoposto ad un momento torcente pari a 2400 Nm, determinare a) la massima tensione tangenziale b) il diametro di un albero pieno nel quale la massima tensione tangenziale è la stessa ottenuta al punto a)
Esempio
Nell’asta di ottone AB la tensione ammissibile è di 50 MPa, mentre per l’asta di alluminio BC il valore scende a 25 MPa. Sapendo che all’asta è applicato un momento torcente di 1250 Nm nella sezione di estremità (A), determinare i diametri necessari per le due aste.
Esempio
L’albero AB è costruito in acciaio con tensione tangenziale massima ammissibile pari a 90 MPa, mentre l’albero BC è realizzato in alluminio, con tensione tangenziale massima ammissibile pari a 60 MPa. Sapendo che il diametro dell’albero BC è pari a 50 mm determinare a) La massima coppia torcente che può essere applicata in A se non si deve
superare la sollecitazione ammissibile nell’albero BC b) Il corrispondente diametro dell’albero AB
Nel corpo umano...
• Il corpo umano si trova spesso soggetto all’azione di sollecitazioni torsionali.
• La colonna vertebrale, per esempio, consente di effettuare movimenti torsionali, limitati dall’azione di muscoli e strutture tendinee/legamentose.
• Queste devono essere in grado di resistere alla sollecitazione esterna, contrastandola con un momento torcente uguale e contrario affinché sia ripristinato l'equilibrio.
Momento torcente massimo sopportabile in funzione del diametro dell’osso
Momento torcente massimo sopportabile in funzione della sezione resistente