Capitolo 2Spazi vettoriali

Marco Robutti

Facoltà di ingegneriaUniversità degli studi di Pavia

Anno accademico 2017-2018

Tutorato di geometria e algebra lineare

Marco Robutti Capitolo 2

Definizione (Spazio vettoriale)Uno spazio vettoriale reale è un inseme V in cui siano definitedue operazioni:

1) L’addizione; dove: ∀u, v ∈ V , (u, v) 7−→ u + v ∈ V ;

2) La moltiplicazione per scalare; dove:∀v ∈ V , ∀λ ∈ R, v 7−→ λv ∈ V ;

tali che siano soddisfatte le PROPRIETA’ 2.3 di pag. 111-112del libro di testo Lezioni di algebra lineare con applicazioni allageometria analitica(F.Bisi,F.Bonsante,S.Brivio).

Marco Robutti Capitolo 2

Definizione (Sottospazio vettoriale)Dato uno spazio vettoriale reale V , un sottoinsieme W di V èun sottospazio vettoriale di V se W è non vuoto e se:

1) 0V ∈W ;

2) ∀v ,w ∈W =⇒ v + w ∈W ;

3) ∀v ∈W , ∀λ ∈ R =⇒ λv ∈W

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Definizione (Span di un insieme di vettori)Siano V uno spazio vettoriale reale, e u1, . . . ,uk una lista di kvettori di V ; Span (u1, . . . ,uk) è l’insieme di tutti i vettori di Vche si ottengono come combinazioni lineari di u1, . . . ,uk . Insimboli:

Span (u1, . . . ,uk) = {λ1u1 + λ2u2 + · · ·+ λkuk | λi ∈ R}

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Definizione (Vettori linearmente indipendenti)Sia u1, . . . ,uk una lista di vettori di V . I vettori u1, . . . ,uk sidicono:

• linarmente indipendenti, se sono tutti non nulli e ciascunelemento ui non è combinazione lineare degli altri elementi dellalista;

• linearmente dipendenti, se è possibile scrivere almeno unvettore di tale lista come combinazione lineare degli altri;

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Algoritmo - Verificare se i vettori in un insieme sonolinearmente indipendenti

Dati i vettori {u1, . . . ,uk} ⊂ V , i vettori sono linearmenteindipendenti se e solo se:

u1 6= 0V

u2 /∈ Span (u1)u3 /∈ Span (u1,u2)...

......

......

...uk /∈ Span (u1, . . . ,uk−1)

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Definizione (Base)Un insieme di vettori B = {u1, . . . ,uk} ⊂ V è una base per V sesoddisfa contemporaneamente le due proprietà:

• B è un sistema di generatori di V ;

• i vettori di B sono linearmente indipendenti;

Per ottenere una base a partire da un insieme di generatori di Vesistono due metodi, che non sono nient’altro che l’applicazionedi uno stesso algoritmo, detto “Algoritmo di estrazione”,seguendo strade differenti.

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Definizione (Coordinate di un vettore in una base)Dato un vettore u ∈ V e una base B = {v1, . . . , vn} di V , perdeterminare le coordinate di u nella base B bisogna risolvere laseguente equazione vettoriale:

u1u2...

un

B

= λ1

v11v12...

v1n

+ λ2

v21v22...

v2n

+ · · ·+ λn

vn1vn2...

vnn

La soluzione univoca di tale equazione, cioè il vettore(λ1, . . . , λn) ∈ Rn rappresenta le coordinate del vettore u nellabase B.

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Algoritmo di estrazione (standard)

Dato un insieme di vettori U = {u1, . . . ,uk} ⊃ V , per estrarreuna base di V a partire da tali vettori bisogna verificare che:

1) uk ∈ Span (U)? Se sì, allora il vettore uk va eliminato e ilsuccessivo passo dell’algoritmo andrà applicato all’insieme Uprivato del vettore uk , cioè U ′ = {u1, . . . ,uk−1}. Se no invece ilvettore ukva tenuto e quindi U1 = U;

2) uk−1 ∈ Span (U1)? Se sì, allora il vettore uk−1 va eliminato eil successivo passo dell’algoritmo andrà applicato all’insieme U1privato del vettore uk−1, che chiameremo U2.Se no invece ilvettore ukva tenuto e quindi U2 = U1;.

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Algoritmo di estrazione standard

.

.k − 1) u2 ∈ Span (Uk−2)? Se sì, allora il vettore u2 va eliminato,altrimenti va tenuto.

Questo algoritmo impiega k − 1 passi! E’ piuttosto scomodoquando si ha a che fare con spazi vettoriali di modestedimensioni (per esempio R3 o R4).In tal caso conviene usare la variante mostrata nella prossimaslide.

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Algoritmo di estrazione (“in avanti”)

Dato un insieme di vettori U = {u1, . . . ,uk} ⊃ V , per estrarreuna base di V a partire da tali vettori bisogna verificare che:

• u1 6= 0V ? Se sì, allora il vettore va tenuto, altrimenti èsuperfluo e viene eliminato;

• u2 ∈ Span (u1)? Se sì, allora il vettore va eliminato in quantosuperfluo. Se no, allora il vettore va tenuto;

• u3 ∈ Span (u1,u2)? Se sì, allora il vettore va eliminato inquanto superfluo. Se no, allora il vettore va tenuto;

• .......................

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Algoritmo di estrazione (“ in avanti”)

• .......................

• ui ∈ Span (u1, . . . ,ui−1)? Se sì, allora il vettore va eliminato inquanto superfluo. Se no, allora il vettore va tenuto;

L’algoritmo ha termine nel momento in cui abbiamo un numerodi vettori pari a n, dove n è la dimensione dello spazio V .Questo metodo è molto comodo quando bisogna trovare basi dispazi vettoriali come R3, dove basta trovare 3 vettorilinearmente indipendenti e il gioco è fatto...Noi negli esercizi useremo sempre questa variante dell’algoritmodi estrazione.

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Algoritmo di completamento

Dato un insieme di vettori U = {u1, . . . ,uk} ⊂ V , per ottenereuna base di V a partire da tali vettori bisogna aggiungereall’insieme di vettori U i vettori della base canonica di V nelmodo seguente:

• e1 ∈ Span (U)? Se sì allora e1 non va preso. Definiamo U1 = USe no, e1 va preso e aggiunto all’insieme U, così da ottenerel’insieme U1 = {u1, . . . ,uk , e1};

• e2 ∈ Span (U1)? Se sì allora e2 non va preso. DefiniamoU2 = U1 Se no, e2 va preso e aggiunto all’insieme U1, così daottenere l’insieme U2 = {U1, e2};

• si ripete il procedimento appena descritto con i vettoririmanenti della base canonica;

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Algoritmo di completamento

Non è necessario tuttavia controllare tutti i vettori della basecanonica: infatti una volta che avremo un numero di vettorilinearmente indipendenti pari a n, dove n è la dimensione di V ,il procedimento termina.

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Definizione (Somma di sottospazi)Dati i sottospazi U ⊂ V , W ⊂ V , l’insieme somma deisottospazi è dato da:

U + W = {u + w | u ∈ U,w ∈W }

che è ancora un sottospazio di V .

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Algoritmo - Trovare una base per la somma disottospazi

Dati i sottospazi U ⊂ V , W ⊂ V , per trovare una base delsottospazio U + W bisogna seguire il seguente procedimento:

1) Si prendono due basi BU e BW qualsiasi di U e W , e le siuniscono in un unico insieme di vettori {BU ,BW };

2) Si applica l’algoritmo di estrazione di una base all’insieme{BU ,BW }. I vettori linearmente indipendenti che rimarrannoalla fine dell’algoritmo sono una base per U + W ;

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Definizione (Intersezione tra sottospazi)Dati i sottospazi U ⊂ V , W ⊂ V , l’insieme intersezione deisottospazi è dato da:

U ∩W = {v ∈ V | v ∈ U ∧ v ∈W }

che è ancora un sottospazio di V .

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Algoritmo - Trovare una base per l’intersezione disottospazi

Dati i sottospazi U ⊂ V , W ⊂ V , per trovare una base delsottospazio U ∩W bisogna seguire il seguente procedimento:

1) Si prendono due basi BU e BW qualsiasi di U e W , e le siuniscono in un unico insieme di vettori {BU ,BW };

2) Si applica l’algoritmo di estrazione di una base all’insieme{BU ,BW }. Si tengono i vettori scartati utilizzando talealgoritmo;

3) Si scrivono tali vettori scartati come combinazione linearedegli altri vettori dell’insieme {BU ,BW }. Quindi, se chiamiamoui ∈ BU uno di tali vettori scartati, dobbiamo scriverlo come:

ui = λ1u1+. . .+λi−1ui−1+λi+1ui+1+· · ·+λkuk+ν1w1+. . .+νmwm

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Algoritmo - Trovare una base per l’intersezione disottospazi

4) Per ciascuno dei vettori scartati, si riscrive:

ui−λ1u1−. . .−λi−1ui−1−λi+1ui+1−· · ·−λuk = ν1w1+. . .+νmwm = pj

Ovvero si portano a sinistra dell’uguale tutti i vettori cheappartengono allo stesso insieme del vettore scartato ui (inquesto caso tutti i vettori appartenenti a U), lasciando asinistra quelli dell’altro insieme. Il risultato di tale uguaglianzasarà il vettore pj della base di U ∩W ;

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Definizione (Unione tra sottospazi)Dati i sottospazi U ⊂ V , W ⊂ V , l’insieme unione deisottospazi è dato da:

U ∪W = {v ∈ V | v ∈ U ∨ v ∈W }

che NON E’ un sottospazio di V .

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Definizione (Formula di Grasssmann)Dati i sottospazi U,W ⊂ V , vale l’uguaglianza:

dim (U) + dim (W ) = dim (U ∩W ) + dim (U + W )

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Osservazione (Qualcosa di molto utile...)Dato uno spazio vettoriale V ed un suo sottospazio W , si hache:

dim (W ) = dim (V )− n°equazioni cartesiane di W

Questa formula ci tornerà estremamente utile nei capitolisuccessivi!

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Definizione (Somma diretta di sottospazi)I sottospazi U1, . . .Uk sono in somma diretta se:

U2 ∩ U1 = {0V} ;U3 ∩ (U2 ∩ U1) = {0V} ;

U4 ∩ (U3 ∩ (U2 ∩ U1)) = {0V} ;e così via;

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Definizione (Sottospazio complementare)Dati i sottospazi U,W ⊂ V , W è uno spazio complementare aU se:

• U e W sono in somma diretta;

• dim (U) + dim (W ) = n;

dove n = dim (V ).

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