STATISTICA A – K STATISTICA A – K (60 ore)(60 ore)Marco RianiMarco Riani

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http://www.riani.it

Tipologia di v.a.Tipologia di v.a.

• v.a. discreta numero finito di valori (infinità numerabile)

• x1 x2, …, xk

• con probabilità

• p1 p2 …, pk

• Esempio: lancio di una moneta (dado)

Tipologia di v.a.Tipologia di v.a.

• v.a. continua può assumere tutti i valori di un intervallo

• La probabilità di un singolo valore è 0

• Si calcola la probabilità che X sia compresa in un intervallo

• a ≤ X ≤ b

Definizione formale di funzione di Definizione formale di funzione di ripartizione calcolata nel punto xripartizione calcolata nel punto x00

55

Proprietà della Proprietà della FF((xx))

)()()(.4

)(/)(.3

)()(.2

1)(lim)(

0)(lim)(.1

aFbFbxaP

xfxxF

bFAFbaper

xFF

xFF

x

x

)()()(.4

)()(lim.3

)()(.2

1)(lim)(

0)(lim)(.1

aFbFbxaP

xFhxF

bFAFbaper

xFF

xFF

oh

x

x

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 2 4 6 8 10 12 14 16

V.A DISCRETA

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16

V.A CONTINUA

continua a destra

assolutamente continua

Caratteristiche della funzione di Caratteristiche della funzione di densità densità ff((xx) )

Legame tra la funzione di ripartizione F(x) e la funzione di densità f(x)

Rappresentazione grafica funz rip continuaRappresentazione grafica funz rip continua

• Con Ψ interno a [x Δx] (teorema di Lagrange, del valor medio)

Se Δx tende a zero dx

Esercizi da svolgere per Esercizi da svolgere per

Lunedì 29 marzo Lunedì 29 marzo

Es. v.c. associata al lancio di un dadoEs. v.c. associata al lancio di un dado

• Calcolare

• F(3,14)? F(-0,37)? F(3,57)? F(6,5)?

• E(X)?

• VAR(X)?

Valori xi

Probabilità pi

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

1

EsercizioEsercizio

• Dimostrare che

• f(x)=2(x-10)/50 se 10<x<15

• f(x)=2(20-x)/50 se 15<x<20

è una densità

• Rappresentare graficamente la funzione di densità e di ripartizione

Calcolare Calcolare – Pr(X>12) – Pr(X<10)– Pr(X<11) – Pr(14 < X < 18)– Pr( 13<X <14 oppure 17<X <19)– E(X)?– VAR(X)?

– Calcolare il quantile x0,95 ossia la coordinata x che lascia alla sua destra una probabilità pari a 0,05 e a sinistra una probabilità pari a 0,95

EsercizioEsercizio

• Si calcoli la probabilità di ottenere un 2 almeno una volta in tre lanci consecutivi di un dado.

EsercizioEsercizio

• Un docente di statistica ha distribuito un elenco di 20 domande da cui sceglierà a caso quattro domande per l’esame finale. Avendo poco tempo lo studente x prepara solo 4 domande. Qual è la probabilità che proprio queste costituiscano la prova di esame

EsercizioEsercizio

• Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Estraendo 5 carte a caso, qual è la probabilità di avere due carte di quadri, due di cuori e una di fiori?

EsercizioEsercizio

• Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Si estrae una sola carta. Qual è la probabilità di estrarre una carta di quadri oppure una carta rossa?

EsercizioEsercizio

• Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Si estrae una sola carta. Qual è la probabilità di estrarre una carta di quadri oppure un re?

Tutte le soluzioni agli Tutte le soluzioni agli esercizi precedenti esercizi precedenti

verranno pubblicate nel verranno pubblicate nel sito lun 29 marzosito lun 29 marzo

Buon week endBuon week end