Studio del segno delle derivate
Lezione 11 del 6/12/2018
Segno della derivata prima
Data una funzione 𝑓(𝑥) derivabile in un intervallo 𝐼, allora
• se 𝑓′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼 allora la funzione 𝑓(𝑥) è strettamente crescente in 𝐼
• se 𝑓′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼 allora la funzione 𝑓(𝑥) è strettamente decrescente in 𝐼
Se 𝑓′ 𝑥 = 0, che andamento ha la funzione in tale punto?
Cosa vuol dire geometricamente? (Ripensare al significato geometrico della derivata in un punto)
Il coefficiente angolare della retta tangente è zero, cioè la retta tangente è orizzontale!
Teorema
Sia 𝑓: 𝑎, 𝑏 → 𝑅 una funzione continua, e supponiamo inoltre che sia derivabile in (𝑎, 𝑏). Se 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) è un punto di massimo (o minimo) locale (o assoluto), allora
𝑓′ 𝑥0 = 0
𝑥0 è detto punto critico (o stazionario) di 𝑓.
Riepilogando
• Nei punti di massimo o minimo locale la derivata prima, se esiste, è nulla.
• La retta tangente alla curva in questi punti è parallela all’asse 𝑥.
• Se la derivata prima è nulla in 𝑥0 non vuol dire che in 𝑥0 ci sia un massimo o un minimo locale!
Esempio 1
• 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6
• 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 − 5
• 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 − 5 ≥ 0
• 𝑥 >5
2⇒ 𝑓(𝑥) è crescente
• 𝑥 <5
2⇒ 𝑓(𝑥) è decrescente
• 𝑥 =5
2⇒ 𝑓
5
2è un minimo locale
Esempio 2
• 𝑓 𝑥 = 𝑥3
• 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2
• 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ 𝑅
• 𝑓′ 𝑥 = 0 per 𝑥 = 0
⇒ 𝑓 𝑥 sempre crescente
⇒ 𝑓 0 non è né massimo né
minimo locale
È un flesso a tangente orizzontale (perché cambia la
concavità della funzione)
Derivata seconda
Sia data una funzione 𝑓(𝑥). Se la sua funzione derivata prima 𝑓′(𝑥) è derivabile in un intervallo, la sua derivata si chiama derivata seconda di 𝑓(𝑥) e si indica con 𝑓′′ 𝑥 . Nelle stesse condizioni si può derivare la derivata seconda, ottenendo la derivata terza di 𝑓 𝑥 .
Data una funzione 𝑓(𝑥) derivabile in un intervallo:
• è convessa negli intervalli del dominio in cui si ha 𝑓′′ 𝑥 > 0
(esempio: la parabola con la concavità verso l’alto)
• è concava negli intervalli del dominio in cui si ha 𝑓′′ 𝑥 < 0
(esempio: la parabola con la concavità verso il basso)
• i punti del grafico della funzione in cui cambia la concavità si chiamano punti di flesso. In tali punti 𝑓′′ 𝑥 = 0
Asintoti (Approfondimento)• Se lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = ±∞ ⇒ 𝑥 = 𝑥0 asintoto verticale
• Se lim𝑥→±∞
𝑓(𝑥) = 𝑙 ⇒ 𝑦 = 𝑙 asintoto orizzontale
• Se lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = ±∞ ⇒ potrebbe esserci un asintoto obliquo (retta di equazione 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞).
Quindi se
lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑥= 𝑚 ∈ 𝑅 e lim
𝑥→+∞(𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥) = 𝑞 ∈ 𝑅
⇒ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 è asintoto obliquo
• Se lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = ±∞ ⇒ potrebbe esserci un asintoto obliquo (retta di equazione 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞).
Quindi se
lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥)
𝑥= 𝑚 ∈ 𝑅 e lim
𝑥→−∞(𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥) = 𝑞 ∈ 𝑅
⇒ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 è asintoto obliquo
Esempio (Approfondimento)
Sia 𝑓 𝑥 =𝑥2+2
𝑥𝐷 = −∞, 0 ∪ (0, +∞)
lim𝑥→−∞
𝑥2 + 2
𝑥= −∞
lim𝑥→0−
𝑥2+2
𝑥= −∞ lim
𝑥→0+
𝑥2+2
𝑥= +∞
lim𝑥→+∞
𝑥2 + 2
𝑥= +∞
Possibile asintoto obliquo
𝑥 = 0 asintoto verticale
Possibile asintoto obliquo
Ricerca dell’eventuale asintoto obliquo(Approfondimento)
Si cerca l’eventuale asintoto obliquo perché lim𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = −∞
L’asintoto obliquo di equazione 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 esiste se
lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥)
𝑥= 𝑚 ∈ 𝑅 e lim
𝑥→±∞(𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥) = 𝑞 ∈ 𝑅
lim𝑥→−∞
𝑥2 + 2
𝑥2 = 1 ∈ 𝑅 ⇒ 𝑚 = 1
lim𝑥→−∞
𝑥2 + 2
𝑥− 1 · 𝑥 = lim
𝑥→−∞
𝑥2 + 2 − 𝑥2
𝑥= lim
𝑥→−∞
2
𝑥= 0 ⇒ 𝑞 = 0
Per 𝑥 → −∞ la funzione tende asintoticamente alla retta 𝑦 = 𝑥.
L’asintoto obliquo esiste anche per 𝑥 → +∞
Studio di funzione
1. Dominio
2. Limiti agli estremi del dominio => eventuali asintoti
3. Intervalli di crescita e decrescita della funzione, massimi e minimi.
4. Concavità e convessità della funzione, punti di flesso
5. Eventuali intersezioni con gli assi cartesiani
Osservazione: ogni informazione ricavata va inserita immediatamente nel grafico.
Esercizi: studi di funzione
• Disegnare i grafici delle seguenti funzioni
• 𝑓 𝑥 = 𝑒2
1−𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥2𝑓 𝑥 =
𝑒𝑥
𝑥
• 𝑓 𝑥 = 3 ln 𝑥2 + 1 𝑓 𝑥 = 2 ln(𝑥2 − 1)
• 𝑓 𝑥 =3𝑥
𝑥−2𝑓 𝑥 = −
2
𝑥−1
• 𝑓 𝑥 = ቊ1 + log 𝑥 , 𝑥 > 1
𝑥2, 𝑥 ≤ 1𝑓 𝑥 = ቊ
𝑒𝑥 − 2, 𝑥 ≥ 0
𝑥3 − 3𝑥, 𝑥 < 0
Esercizi sulle derivate:
• Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:
𝑓 𝑥 =𝑥2+3𝑥−1
−𝑥4+2𝑓 𝑥 =
𝑥2+1
−𝑥+2𝑓 𝑥 = cos 𝑥 ⋅ ln(𝑥2 + 1)
𝑓 𝑥 = 2 ⋅ ln1
𝑥𝑓 𝑥 =
𝑒5𝑥
𝑥2 − 3𝑥 𝑓 𝑥 =𝑥5⋅2𝑥
𝑒−𝑥2
𝑓 𝑥 = −10
−𝑥4+2𝑓 𝑥 = 10(−𝑥4 + 2) 𝑓 𝑥 = cos
1
𝑥
Esercizio
Date le seguenti informazioni, ricavare il grafico della funzione 𝑓(𝑥).
• 𝐷 = −∞, −2 ∪ −2, +∞ lim𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 0 lim𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = +∞
lim𝑥→−2−
𝑓(𝑥) = −∞ lim𝑥→−2+
𝑓(𝑥) = +∞
• 𝑓′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ (0, +∞) 𝑓′ 0 = 0, 𝑓 0 = 2
𝑓′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ −∞, −2 ∪ (−2,0)
• 𝑓′′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ −∞, −2
𝑓′′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ −2, +∞
Esercizio
Date le seguenti informazioni, disegnare il grafico della funzione 𝑓(𝑥).
𝐷 = 𝑅 lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = −1 lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = −∞
𝑓′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ (−∞, 3) 𝑓′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ (3, +∞) 𝑓′ 3 = 0, 𝑓 3 = 5
𝑓′′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ −∞, 0 ∪ (6, +∞) 𝑓′′ 𝑥 = 0 𝑝𝑒𝑟 𝑥 = 0, −6
𝑓′′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ (0,6) 𝑓 0 = 2, 𝑓 6 = −1
ቊ𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦 = 0→ ቊ
𝑥 = 5 𝑉 𝑥 = −3𝑦 = 0
Esercizio
Date le seguenti informazioni, ricavare il grafico della funzione 𝑓(𝑥).
• 𝐷 = −∞, 2 ∪ 2, +∞ lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = +∞ lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 3
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = +∞ lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = +∞
• 𝑓′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ −1,2 ∪ (3, +∞) 𝑓′ −1 = 0, 𝑓 −1 = 2
𝑓′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ −∞, −1 ∪ (2,3) 𝑓′ 3 = 0 , 𝑓 3 = 1
• 𝑓′′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ −∞, −5 ∪ (4, +∞) 𝑓′′ −5 = 0 𝑓 −5 = 5
𝑓′′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ −5,2 ∪ (2,4) 𝑓′′ 4 = 0 𝑓 4 = 2
ቊ𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑥 = 0→ ቊ
𝑥 = 0𝑦 = 4
Esercizio
Date le seguenti informazioni, disegnare il grafico della funzione 𝑓(𝑥).
𝐷 = 𝑅 lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = +∞ lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = +∞
𝑓′ −4 = 0, 𝑓 −4 = −1 𝑓′ 0 = 0, 𝑓 0 = 2 𝑓′ 4 = 0, 𝑓 4 = −1
𝑓′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ −∞, −4 ∪ (0,4) 𝑓′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ −4,0 ∪ (4, +∞)
𝑓′′ −1 = 0, 𝑓 −1 = 0 𝑓′′ 1 = 0, 𝑓 1 = 0
𝑓′′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ −∞, −1 ∪ (1, +∞) 𝑓′′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ (−1,1)
ቊ𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦 = 0→ ቊ
𝑥 = −6 𝑉 𝑥 = 6𝑦 = 0