UNIVERSITA DEGLI STUDI ROMA TREDipartimento di matematica e fisica
Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Tesi di Laurea Magistrale in Matematica
Superficie Minima di Costa:
Immersione ed Embedding
SINTESI
Candidato Relatore
Federico Di Rienzo Prof. Massimiliano Pontecorvo
Anno Accademico 2012/2013
Introduzione
Il termine superficie minima inizio a circolare negli ambienti matematici in-torno alla meta del diciottesimo secolo, attraverso gli scritti di Gauss e diLagrange, volti alla ricerca di una soluzione del problema dell’esistenza diuna superficie, limitata da una curva chiusa, che minimizzasse l’area. Comevedremo successivamente l’uso del termine minimo riferito a queste superfi-ci e in realta improprio. Nella prima meta dell’Ottocento matematici comeLegendre, Monge, Sherk e Catalan si interessarono alla ricerca di tali su-perfici proponendone esempi e giungendo a risultati rilevanti; per esempioCatalan, dimostro che l’unica superficie minima rigata e l’elicoide. I pro-blemi che suscitavano maggior interesse erano il cosı detto “Problema diBjorling” e il “Problema di Plateu”. Il primo riguardava la ricerca di unasuperficie minima che avesse una data curva come sua geodetica; il secondo,invece, la ricerca di una superficie minima avente un dato bordo. Con laconvergenza dell’analisi complessa nella risoluzione di queste questioni, laricerca delle superfici minime si armo di mezzi piu sofisticati che permise-ro di raggiungere risultati notevoli, come la formula di rappresentazione diWeierstrass o le formule di Enneper. Nel secondo quarto dello scorso secolosi giunse alla soluzione completa del problema di Plateu grazie ai lavori diJesse Douglas e Tibor Rado; venne formulato il problema di Bernstein, sela minimalita del grafico di una funzione su Rn−1, considerato come super-ficie in Rn, fosse legato alla linearita della funzione, mentre Osserman siconcentro sulle superfici minime di curvatura totale finita. Importantissimofu il lavoro del matematico brasiliano da Costa agli inizi degli anni ottanta;egli scoprı infatti una nuova superficie, detta superficie di Costa, la qualeinificio la congettura secondo la quale le uniche superfici minime completein R3 fossero il piano, l’elicoide e il catenoide. Nei suoi studi si rivelo fonda-mentale un nuovo strumento, il computer, che permise di graficare e quindivisualizzare concretamente le superfici studiate. Ancora oggi lo studio dellesuperfici minime risulta importante in alcuni ambiti della fisica matematica(ad esempio nella “positive mass conjecture” o nella “Penrose conjecture”),dell’ingegneria molecolare e nella scienza dei materiali. Non di meno ci sonoapplicazioni anche nell’ambito delle arti, ad esempio in architettura o nelleopere di Robert Engman.
2
3
Siamo oggi in grado di definire le superfici minime in 8 modi differenti, [13],ognuno legato alla particolare applicazione che se ne puo fare:
Definizione 1. Sia X : M → R3 un’immersione isoterma da una 2-varieta
riemanniana in R3, con X = (x1, x2, x3). Allora questa e una carta locale
minima se xi e una funzione armonica per ogni i.
Definizione 2. Una superficie Σ e minima se e solo se la sua curvatura
media H si annulla in ogni punto.
Definizione 3. Una superficie Σ e minima se e solo se puo essere local-
mente espressa come grafico di una funzione f(u, v) che risolve la seguente
equazione alle derivate parziali del secondo ordine, non lineare:
fuu(1 + f2v )− 2(fufv)fuv + fvv(1 + f2
u).
Definizione 4. Una superficie Σ ⊂ R3 e minima se e solo se e un punto
critico per la funzione variazione d’area:
A(t) = A(Xt(D)) =
∫ ∫D
√EtGt − (F t)2dudv
.
Definizione 5. Una superficie Σ e minima se e solo se ogni punto p ∈ Σ
ha un intorno avente la piu piccola area rispetto al suo bordo.
Definizione 6. Un’immersione conforme X : M → R3 e minima se e solo
se ogni punto p ∈M ha un intorno con la piu piccola energia di Dirichlet,
relativamente al suo bordo.
Definizione 7. Una superficie Σ ⊂ R3 e una superficie minima se e solo
se ogni punto p ∈ Σ ha un intorno Dp che e uguale all’unica soap films
idealizzata, avente ∂Dp come bordo.
Nota 1. Se, da un punto di vista fisico, consideriamo una membrana se-
parante due mezzi, allora la sua curvatura media dipendera, tramite una
costante non nulla, dalla differenza di pressione tra i due mezzi; in parti-
colare se tale differenza e nulla, sara nulla anche la curvatura media della
membrana. Ecco perche le soap films sono una realizzazione fisica nello
spazio del concetto di superficie minima.
4
Definizione 8. Una superficie Σ ⊂ R3 e minima se e solo se la proiezione
stereografica dell’applicazione di Gauss N : Σ → C ∪ ∞ e una funzione
meromorfa.
Durante la nostra trattazione avremo modo di mostrare come effettiva-mete alcune di queste siano equivalenti tra loro, rimandando per le altre allabibliografia. Questa tesi si sviluppera nel modo seguente:Nel primo capitolo forniremo delle nozioni base di geometria differnziale e dianalisi complessa, nozioni che saranno necessarie per comprendere i passag-gi dei successivi capitoli. Nel secondo ci soffermeremo invece sulle superficiminime e in particolar modo sulla loro definizione come variazione normaledella funzione area, iniziando a mostrare alcune delle loro principali pro-prieta. Nel terzo capitolo dimostreremo la formula di rappresentazione diWeierstrass, strumento necessario per l’immersione della superficie di Costain R3. Approfondiremo inoltre la trattazione delle superfici minime, soffer-mandoci in particolare sulla loro applicazione di Gauss e curvatura totale.Per applicare al nostro caso la formula di Weierstrass dovremo ricorrerealla funzione P(z) di Weierstrass, una fondamentale funzione ellittica; pertale motivo il quarto capitolo della tesi sara incentrato sulla presentazio-ne di tale funzione e di alcune sue proprieta. Nel quinto capitolo saremoquindi in grado di esporre il risultato principale, dimostrando sia l’immer-sione che l’embeddedness della superficie di Costa. Infine nel sesto e ultimocapitolo presenteremo i comandi necessari per rappresentare, attraverso ilsoftware Mathematica, la superficie studiata. In questo estratto riportiamoi principali risultanti, provenienti per lo piu dal quinto capitolo.
5
Figura 1: Superficie di Costa
Immersione ed embedding
della superficie di Costa
Mostreremo inizialmente come sia possibile immergere la superficie di Costain R3 [7] e come, partendo da tale risultato, si arrivi a dimostrarne anchel’embeddedness [9]. Concluderemo con un accenno alla generalizzazione ditale risultato a superfici di gene k ≥ 1 e 3 fini [10]. Un potente strumento,che ci permettera di raggiungere il primo risultato cercato, e la seguente
Formula di rappresentazione di Weierstrass. Siano f(z) e g(z) due
funzioni meromorfe definite in una regione U ⊂ C. Fissato z0 ∈ U si
definiscono x1(z) = <
(∫ zz0
f(w)2 (1− g(w)2)dw
)x2(z) = <
(∫ zz0
if(w)2 (1 + g(w)2)dw
)x3(z) = <
(∫ zz0f(w)g(w)dw
) (1)
e quindi l’applicazione X(z) = (x1, x2, x3), dove abbiamo posto z = u+ iv.
Vale la seguente proposizione:
Proposizione 2. Ogni superficie minima semplicemente connessa immersa
in R3 puo essere rappresentata attarverso la carta locale definita tramite la
formula di rappresentazione di Weierstrass, in cui le funzioni f(z) e g(z)
hanno le proprieta del lemma precedente e la regione U puo essere o il disco
unitario o l’intero piano complesso, e l’integrale calcolato su un qualunque
arco contenuto in U dal punto z0 al punto z. La superficie e regolare se e solo
se f(z) soddisfa la proprieta aggiuntiva che si annulla solo nei poli di g(z)
ed ha in questi punti uno zero il cui ordine e esattamente il doppio di quello
del polo di g(z). Indicheremo talvolta con (f(z), g(z)) la rappresentazione di
Weierstrass associata alle funzioni f(z) e g(z).
6
7
Nota 3. Faremo riferimento ad una rappresentazione di Weierstrass con la
forma (f, g), evidenziando le funzioni a cui la applichiamo.
Teorema (Costa) 4. [7] Esiste un’immersione minima completa in R3 di
genere 1 e 3 fini, con le seguenti proprieta:
1. La sua curvatura totale e −12π.
2. I suoi fini sono embedded.
La dimostrazione di questo teorema e basata sull’utilizzo della formu-
la (f(z), g(z)), con f(z) = P(z)dz e g(z) = 2e1√
2πP′(z)
. P(z) e una fonda-
mentale funzione ellittica, detta P di Weierstrass, che definiremo sul reti-colo L(1, i),formato cioe da quadrati, all’interno dei quali P(z) sviluppa leseguenti simmetrie:
Ω10 1
1+ ä
Ω2 + 1
Ω1 + ää
Ω2
I
II
III
IVV
VI
VII
VIII
Figura 2: FPP
Lemma 5. Sia P(z) definita sul reticolo L(1, i); concentrandoci sul FPP ,
Fig. 2, e ponendo ω1 = 1/2, ω2 = i/2 e ω3 = i+12 , valgono allora le seguenti
relazioni:
P(α(ω3 + z)) = −P(ω3 + z) con α(ω3 + z) = ω3 + iz riflessione rispetto alla
diagonale positiva;
P(ρ(ω3 + z)) = −P(ω3 + z) con ρ(ω3 + z) = ω3 + iz rotazione di π2 intorno
a ω3;
P(β(ω3 + z)) = P(ω3 + z) con β(ω3 + z) = ω3 + z riflessione rispetto alla
retta orizzontale.
Prendendo spunto dal lavoro di Costa, i matematici William H. Meekse David A. Hoffman sono riusciti a dimostrarne anche l’embeddedness. Pre-senteremo ora il percorso che porta a tale risultato. La strategia seguita e
8
la seguente:dimostreremo come prima cosa l’esistenza di un embedding per Σ al di fuo-ri di un insieme compatto K sufficientemente grande nella proposizione 6;sfruttando poi le simmetrie di Σ, derivanti dalle simmetrie della funzione P,dimostreremo l’embedding per una delle otto parti in cui e possibile scom-porrre Σ, estendendo il risultato alle rimanenti sette e quindi a tutta lasuperficie. Iniziamo quindi dalla seguente:
Proposizione 6. 1. I fini di Σ sono paralleli.
2. Fuori da un insieme compatto K ⊂ M sufficientemente grande X e
un embedding.
3. La terza coordinata X3(z) ha il seguente comportamento avvicinandosi
ai fini:
se z → ω1,X3(z)→ −∞se z → ω2,X3(z)→ +∞se z → 0,X3(z)→ 0 e il fine E0 e asintotico ad un piano x3 =costante.
Dimostrata questa prima parte, passiamo ora allo studio delle simmetriedi Σ. Sia G il gruppo diedrale con 8 elementi; considereremo che G agiscasu FPP attraverso le riflessioni per le rette verticali, orizzontali ed obliquepassanti per ω3, e rotazioni di multipli di π/2 intorno ad ω3. Gli elementidi G risultano quindi essere:
• β(ω3 + z) = ω3 + z riflessione rispetto alla retta orizzontale;
• ρk(ω3 + z) = ω3 + (ı)kz rotazione di kπ/2 di centro ω3 e con k =1, 2, 3;
• α(ω3 + z) = ρ(β(ω3 + z)) = ω3 + iz riflessione rispetto alla diagonalepositiva;
• α(ω3 + z) = ρ2(β(ω3 + z)) = ω3 − z riflessione rispetto alla rettaverticale;
• µ(ω3 + z) = ρ3(β(ω3 + z)) = ω3 + iz riflessione rispetto alla diagonalenegativa.
Come si vede chiaramente dalla definizione di questi elementi, G risultagenerato da β e ρ. Possiamo anche considerare l’azione di G su tutto R3,identificando β e ρ rispettivamente con le matrici
9
B =
1 0 00 −1 00 0 1
, R =
0 −1 01 0 00 0 −1
.
Abbiamo quindi il seguente teorema:
Teorema 7. G agendo su R3, e un gruppo di simmetrie di Σ ⊂ R3. L’im-
mersione X : M −→ R3 e compatibile con l’azione di G su M e R3.Cioe:
1. X ρ = R
2. X β = B.
Nella metrica indotta su M , gli elementi di G sono isometrie.
I seguenti corollari ci evidenziano immediatamente le cercate simmetriedi M :
Corollario 8. 1. I piani x2 = 0 e x1 = 0 sono piani di simmetria per
Σ = X(M); i segmenti ω2, 1 + ω2 e 0, 1 sono mandati nel piano x2 = 0,
mentre i segmenti ω1, ω1 + i e 0, i sono mandati nel piano x1 = 0.
2. L’ isometria α = ρ β di M (ossia la riflessione rispetto alla diagonale
positiva di FPP ) e compatibile con la simmetria di Σ dovuta a RB,
cioe una rotazione di π intorno alla retta x1 − x2 = x3 = 0
Corollario 9. Σ e formata da 8 pezzi tra loro congruenti. Ognuno di essi
e isometrico a X(T ), con T ∈FPP definito come:
T = u+ iv|12≤ u ≤ 1;
1
2≤ u ≤ vr ω2 + 1, i+ i.
Tali isometrie sono quelle contenute in G.
10
Figura 3: X(T )
Nota 10. T cosı definito corrisponde al triangolo III nella figura 2.
I prossimi 4 lemmi serviranno per spiegare quale sia l’immagine del bordodell’insieme T attraverso la carta locale X(z).
Lemma 11. Data la componente X3(z) della carta locale di Weierstrass,
allora risulta X3(z) > 0⇔ z ∈M r (A ∪ β(A)) e X3(z) = 0⇔ z ∈ L con
L = 0, 1 + i ∪ i, 1,
e A il triangolo di vertici O, 1 e ω3 di Fig. 2, in cui <(P(z)) > 0. Inoltre
X(z) manda iniettivamente la diagonale con pendenza positiva sulla retta
x1 − x2 = x3 = 0 e la diagonale con pendenza negativa sulla retta x1 + x2 =
x3 = 0.
Lemma 12. Per δ > 0 sufficientemente piccolo, X(z) e un embedding
sull’insieme:
z ∈M | |X3(z)| < δ.
Lemma 13. Il segmento ω3, ω3 + 12 e mandato in maniera iniettiva in una
curva contenuta nel quadrante non negativo del piano x2 = 0. La curva
incontra gli assi solo in X(ω3) = 0.
Lemma 14. Il segmento ω2, i e mandato da X nel semipiano superiore del
piano x1 = 0. E un grafico lungo il semiasse positivo x3 e il valore x2 →∞quando ci si avvicina a ω2 o i.
Dalla seguente proposizione si vede in particolare come ω2, i e mandatonel piano x1 = 0.
11
Proposizione 15. Sia T ⊂FPP il triangolo definito come
T = u+ iv|12≤ u ≤ 1;
1
2≤ u ≤ vr ω2 + 1, i+ i
e sia R = T ∪ α(T ) (l’unione dei triangoli III e V I in figura 2), allora X(z)
manda l’interno di R nell’ insieme
E = (x1, x2, x3)|x2 > 0, x3 > 0
Ω2 + 1
1+ ä
Ω3
T
Figura 4: T
Siamo ora in grado di dimostrare che X(z)|T e un embedding:
Proposizione 16. Sia T il triangolo definito in precedenza; allora
X(z)|T
e un embedding di T nell’ottante non negativo di R3, che manda T nel bordo
e T nell’interno.
Risultato che puo essere quindi esteso a tutta la superficie, grazie alleisometrie di G:
Teorema 17. Sia X : M → R3 la carta locale definita tramite la formula
di rappresentazione di Weierstrass con funzioni f = P(z) e g = aP′(z)
, allora
X(z) e un embedding.
Prendendo spunto da questo risultato, gli stessi autori D.A. Hoffmane W.H. Meeks, sono riusciti a dimostrare il seguente teorema che qui cilimitiamo ad accennare [9]:
12
Teorema 18. ∀ k ≥ 1, esiste una superficie minima completa, corretta-
mente embedded, di gene k e 3 fini. La superficie di gene k, chiamata Mk,
ha le seguenti proprieta:
1. La curvatura totale di Mk e −4π(k + 2);
2. Mk ha due catenoidi e un piano come fini;
3. Mk interseca il piano x3 = 0 in k + 1 rette che formano angoli uguali
nell’ origine;
4. Rimuovendo una qualsiasi delle rette del punto precedente si discon-
nette la superficie;
5. L’ intersezione di Mk con un qualsiasi piano parallelo (ma non uguale)
al piano x3 = 0 e una curva di Jordan;
6. Il gruppo delle simmetrie di Mk e il gruppo diedrale con 4(k+1) ele-
menti generato da1 0 0
0 −1 0
0 0 1
e
Rk 0
0
0 0 −1
con Rk matrice di una rotazione di π/(k + 1) nel piano x3 = 0;
7. Mk puo essere scomposta in 4(k + 1) parti congruenti;
8. Mk e l’unica superficie minima correttamente embedded di gene k con
3 fini, curvatura totale finita, e un gruppo di simmetria contenente
almeno 4(k + 1) elementi.
Bibliografia
[1] Manfredo P. do Carmo. Differential Geometry of Curves and Surfaces.Prentice-Hall.
[2] A. Gray. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces withMATHEMATICA c©, second edition. CRC press, 1998.
[3] L. V. Ahlfors. Complex Analysis, third edition. McGraw-Hill BookCompany.
[4] E. Sernesi. Geometria 2. Bollati Boringhieri, 2006.
[5] R. Osserman. A Survey of Minimal Surfaces. Dover Publications.
[6] E. Pap. Complex Analysis through Examples and Exercises. KluwerAcademic Publishers.
[7] C. Costa. Examples of a Complete Minimal Immersion in R3 of GenusOne and Three Embedded End. Bull. Soc. Bras. Mat. 15 (1984), 47-54.
[8] L. P. Jorge, W. H. Meeks III. The Topology of Complete MinimalSurfaces of Finite Total Gaussian Curvature. Topology 22 (1983),203-221.
[9] D. Hoffman, W. H. Meeks III. Embedded minimal Surfaces of FiniteTopology. Ann. Mat. 131 (1990), 1-34.
[10] D. Hoffman, W. H. Meeks III. A Complete Embedded Minimal Surfacein R3 With Genus One and Three Ends. J. Dif. Geom. 21 (1985), 109-127.
[11] E. H. Neville. Elliptic Functions: a Primer. Pergamon Press.
[12] F. Tricomi. Funzioni Ellittiche. Nicola Zanichelli Editore, 1937.
[13] W. H. Meeks III, J. Perez. A Survey on Classical Minimal SurfacesTheory. University Lectures Series Vol. 60, American MathematicalSociety.
13
BIBLIOGRAFIA 14
[14] O. M. Melko. Visualizing Minimal Surfaces, Rendering Solid Modelswith the Aid of 3D Printers. The Mathematica Journal 12 (2010).
[15] A. Huber. On Subarmonic Functions and Differential Geometry in theLarge. Comment. Math. Helv. 32 (1957), 13-72.
[16] M. Cifani. Superfici minime a curvatura totale finita. Tesi sperimenta-le di Laurea in Geometria, Universita degli studi di Camerino, A.A.2001/2002.
