Corso Pratico Appunti ed Esercizi Svolti di: Teoria dei Sistemi Pce i coesi oi lccccei= lroen=1ic= A cura di: Francesco di Dio crididio@tin.it I ndice 1. Definizione di Sistemi e Teoria dei Sistemi .....................................................3 1.2Contesto e Radici della Teoria dei sistemi ............................................................ 3 1.3 IlModello e il Sistema Astratto............................................................................ 3 1.4 Tipi di Sistemi ..................................................................................................... 4 2. I sistemi allo studio........................................................................................6 2.1 Le rappresentazioni con lo stato........................................................................... 6 2.2 Le classi di rappresentazioni dei sistemi allo studio................................................ 6 2.3 Sistemi a tempo continuo e a tempo discreto........................................................ 8 3 Introduzione ai metodi di Analisi.....................................................................8 3.1 Analisi nel dominio del tempo............................................................................... 9 3.2 Analisi del comportamento in Frequenza............................................................. 11 3.3 Analisi qualitativa delle soluzioni......................................................................... 11 3.4 Sistemi interconnessi......................................................................................... 11 4 Rappresentazioni Approssimate....................................................................13 4.1 Tecnica per LApprossimazione Lineare............................................................... 13 4.2 Campionamento e Tenuta per sistemi a tempo continuo...................................... 15 5 Analisi nel Tempo delle rappresentazioni Lineari...........................................17 5.1 Impulso di Dirac................................................................................................ 17 5.2 La Realizzazione Esplicita (nel tempo continuo)................................................... 19 5.3 La realizzazione esplicita (nel tempo discreto) ..................................................... 25 6 La trasformata di Laplace..............................................................................30 7 Analisi nel dominio complesso nel caso generale..........................................31 7.1 Analisi nel Tempo Continuo................................................................................ 31 8 Forma e Diagrammi di Bode...........................................................................33 8.2 Diagrammi di Bode............................................................................................ 34 9 Propriet dello stato:.....................................................................................40 La Stabilit..........................................................................................................40 9.2 Tecniche per lo studio della Stabilit................................................................... 42 10 Propriet dello stato: ...................................................................................51 Raggiungibilit e Osservabilit ...............................................................................51 10.2 La scomposizione di Kalman............................................................................. 53 Appendice A.....................................................................................................56 Forma di J ordan ..................................................................................................56 1. Definizione di Sistemi e Teoria dei Si stemi Per Sistema intendiamo un aggregato di oggetti rispetto ad un certo punto di vista, che possono essere trattati come se si trattasse di un unico oggetto. Punto di Vista Forma Sistema Arterioso, Sistema Venoso Funzione Sistema Circolatorio, 1.2Contesto e Radici della Teoria dei sistemi Il contesto nel quale nasce la teoria dei sistemi quello del novecento, caratterizzato da: Spinta verso teorie unitarie; Metodi di analisi descrittiva; Nascita della teoria dellinformazione; Questo favorisce la teorizzazione di unanalogia tra i processi naturali, fisici, comportamentali, che costituisce la base sulla quale si sviluppano i primi modelli matematici validi per diversi tipi di sistemi. 1.3 I lModello e il Sistema Astratto Il modello, una rappresentazione per analogia dell oggetto che vogliamo rappresentare, pi in generale, il modello matematico la rappresentazione pi astratta. Per esempio, una popolazione di conigli pu essere rappresentata matematicamente,dallespressione:) ( ) ( ' t cp t p = ;dovep(t) rappresentailnumerodiconiglineltempo,eciltassodi crescita.Ma si visto che: Fenomeni diversi possono essere rappresentati dallo stesso Modello; Lo stesso Fenomeno pu essere rappresentato da pi Modelli; Per esempio: Una resistenza ed una forza sono rappresentati dallo stesso modello: Resistenza:) (t RI V = ; Forza:); (t ma F =Questo ci porta a considerare che lo studio di un solo modello, con le dovuteinterpretazioni,sipuapplicareaidiversicontestiacuipu far riferimento. Lapopolazionedeiconiglipuesseremodellizzatasiacon lequazione: ); ( ) ( ' t cp t p =Maancheconunequazioneequivalente,doveperesempiop(t) risulta: ) ( ) (0) (0t p e t pt t c =; Ci suggerisce lidea che un modello non lequivalenza astratta del fenomeno, ma una classe di equivalenza. 1.4 Tipi di Sistemi Abbiamo diversi tipi di sistemi: Sistema Astratto Sistema Orientato Sistema Autonomo Sistema Dinamico Sistema Causale Sistema Stazionario Sistema astratto: Quando associamo ad un fenomeno fisico, non uno specifico modello matematico,maunaclassedequivalenzadipossibili rappresentazioni (modelli matematici); Sistema astratto Orientato: Lostudiodelfenomenocomprendelerelazionicheintercorronotra le cause (input) e gli effetti (output), che ci consente di comprendere come il fenomeno si comporta. Lasceltadellegrandezzacheciinteressastudiare,condizionala costruzione del corretto modello matematico associato. Sistema Autonomo: Gliinputdelfenomenononsempresononecessariallevoluzione delsistema.Unapopolazionidiconigliadesempiosievolvea prescindere se continuiamo ad immettere conigli nel sistema. Sistema Dinamico: Unsistemadinamico,quandolasuaevoluzioneequindilasua uscitavariaalvariaredeiparametridingresso(t0)eallistantet1 continuo ad avere diverse possibili uscite. Lapopolazionediconiglianchessounsistemadinamico.Ilsuo andamentosardiversoseallistantet0hounacoppiadiconiglio diecicoppie,eallistantet1avrdiversipossibiliscenariche dipendono dalle condizioni di partenza. La resistenza invece non un sistema dinamico, ad ogni entrata corrisponde unuscita. Sistema causale: Quandoluscitadipendenonsolodallingresso,maanche dallandamentodelfenomenofinoallistantedinteresse(passato), ma non dal futuro. Sistema Stazionario: Sitratta,comel'intuizionesuggerisce,disistemiincuiipossibili comportamentinondipendonodaltempo;inaltreparoleilrisultato diesperimentisulsistemanondipendedall'istanteincui l'esperimento inizia. I comportamenti sono dunque invarianti rispetto alla traslazione temporale. Isistemiallostudiosonodeltipo:Lineari,Dinamicie Stazionari. 2. I si stemi allo studio 2.1 Le rappresentazioni con lo stato Unarappresentazionediunsistemanonfattasolodivariabilidi entrataevariabiliduscita,mailrapportocheintercorretraloro mette in gioco altre variabili che vengono chiamate di stato. Questevariabilihannoloscopodimanteneretuttele informazioni sul passato del sistema. Esempio: Popolazioni di farfalle BRUCOCRISALIDEFARFALLA ConXiidentifichiamoilnumerodiindividuinellediversefasi,ein particolare: X1= numero di Bruchi X2=numero di Crisalidi X3=numero di Farfalle Xi(k) il numero di individui nella fase i; Consideriamocomesisviluppailsistemainunperiodofinito, supponiamo un mese. )) ( ( ) 1 (3 1k X f k X = + Ilnumerodibruchifunzionedelnumerodifarfallecheli producono; 1 )); ( ( ) 1 (1 2< = + s k X s k X Il numero di crisalidi inferiore di un fattore s al numero di bruchi; )) ( ( ) 1 (2 3k X n k X = + Il numero di farfalle proporzionale al numero di crisalidi; g(k)=X3(k)G(k) rappresenta luscita del sistema e cio il numero di farfalle; Come si vede, grazie alle variabili di stato (X1,X2), possibile per ogni istantekdelsistemaaveretutteleinformazionisulpassatodel sistema. Quindi fissati gli ingressi, per ogni istante di tempo ho una sola uscita che contiene tutte le informazioni sul sistema. 2.2 Le classi di rappresentazioni dei sistemi allo studio 2.2.l l sis1cni tic=ei Isistemilineariatempocontinuo( R t e ),eatempodiscreto( Z t e ) che AMMETTONO rappresentazioni con lo stato, vengono tipicamente descritte dal seguente sistema, seR t e) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( 't Du t Cx t yt Bu t Ax t x+ =+ = 2.0.1 Tempo continuo Dove: uvettore degli ingressi di dimensione Rn; y vettore che rappresenta le uscite del sistema di dimensione Rm; xvettore che rappresenta le variabili di stato di dimensione Rp; Amatrice pxp (x)(Matrice di Stato); Bmatrice pxn (x n) (Matrice che forza lentrata; Cmatrice mxp(y x)(Matrice delle uscite dello Stato); Dmatrice mxn (y n) (Matrice delle uscite delle entrate; Se per esempio abbiamo un sistema con 2 variabili dingresso,1 duscita e 2 di stato, quindi abbiamo: n=2; m=1; p=2; Il sistema che descrive ci : ( ))`||.|

\|=||.|

\|||.|

\|+||.|

\|||.|

\|=|||.|

\|--212 12122 2112 112122 2112 1121xxc c yuub bb bxxa aa axx Lo schema sarebbe: Seinveceilsistemaatempodiscreto,lunicoaccorgimentoda attuarecheladerivatadellevariabilidistatorispettoaltempo sostituita dalla variabile al tempo (t+1), quindi diventa: ) ( ) ( ) () ( ) ( ) 1 (t Du t Cx t yt Bu t Ax t x+ =+ = + 1.2 Tempo discreto Tutti i sistemi lineari: Possono esseri descritti con questa rappresentazione (1.1 e 1.2); Vettoriduscita(y1yn)ecombinazionilinearidiessisonoancora soluzioni del sistema; Possiamo fare diverse scelte sulle variabili di stato. S X1,2 U1 U2 y 2.2.2 C=nsio oi v=ei=siti Lacorrettasceltadellevariabilidistatopusemplificareilsistema, per cui a partire da: x(t)possiamofissareunnuovovettorez(t)legatoadx(t)dalla relazione: z(t)=T(x(t)) Con T matrice non singolare. In questo caso avremo il sistema del tipo : ) ( ) ( ) () ( ) ( ) (11t Du t x CT t yt TBu t x TAT t z+ =+ =- Nota che: Questa rappresentazione equivalente pu non essere lineare. 2.3 Sistemi a tempo continuo e a tempo discreto Allerappresentazionicheabbiamogivisto(1.1e1.2)implicite(in quanto sono presenti le variabili di stato, associato uno schema di realizzazione o di simulazione. Questo dispositivo simula il sistema in oggetto, per i sistemi a tempo discreto, basta sostituire lintegratore con un elemento che genera ritardo. B A CIntegra+ + + +U(t)Y(t)x(t) x(t) B A CRitardo X(t+1) + + + +U(t)Y(t)x(t) x(t) 3 Introduzione ai metodi di Analisi Vediamo ora quali sono i metodi di analisi dei sistemi che utilizzeremo nel corso: Analisi nel dominio del tempo Analisi nel dominio della frequenza Analisi qualitativa delle soluzioni Analisi dei sistemi interconnessi 3.1 Analisi nel dominio del tempo .l.l 5scnrio oi ==tisi oct 1cnro Effettuiamo ora lanalisi nel dominio del tempo di una popolazione di studenti di un corso di studi di tre anni. Indichiamo con Xi(t) Il numero di studenti iscritti nellanno di corso i nel tempo (anno) t; Indichiamo con ri il numero di studenti ripetenti nellanno di corso i; Indichiamo con u il numero di iscritti allinizio dellanno; Indichiamo con y(t) il numero di studenti che frequentano il corso di studi al tempo t; Le equazioni che descrivono il modello sono: Tabella 3-1 ) ( ) ( ) 1 (1 1 1t u t x r t x + = + Ilnumerodistudentidelprimoannodipendedalnumerodi ripetenti del primo anno pi il numero di iscritti; ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 (2 2 1 1 2t x r t x r t x + = + Ilnumerodistudentidelsecondoannodipendedalnumero di studenti che passano il primo pi quello degli studenti che ripetono il secondo; ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 (2 3 2 2 3t x r t x r t x + = + Ilnumerodistudentidelterzoannodipendedalnumerodi studenti che passano il secondo pi quello degli studenti che ripetono il terzo; ) ( ) ( ) ( ) (3 2 1t x t x t x t y + + = Ilnumerototaledeglistudentialtempotlasommadegli studenti di tutti e tre gli anni del corso; Fissiamo i coefficienti dei ripetenti di ogni anno a: r1= 0.3 (30%); r2= 0.2 (20%); r3= 0.1 (10%); Questo un sistemalineare a tempo discreto (annuale) ed quindi possibile esprimerlo attraverso la relazione: ) ( ) ( ) () ( ) ( ) 1 (t Du t Cx t yt Bu t Ax t x+ =+ = + Dove le matrici A,B,C,D sono cos definite: |||.|

\| =1 . 0 2 . 0 1 00 2 . 0 3 . 0 10 0 3 . 0A|||.|

\|=001B|||.|

\|=1 0 00 1 00 0 1C|||.|

\|=000D E il sistema prende cos la forma di: x(t+1)= |||.|

\| =1 . 0 2 . 0 1 00 2 . 0 3 . 0 10 0 3 . 0A|||.|

\|321xxx+|||.|

\|0011000 y(t)= |||.|

\|1 0 00 1 00 0 1|||.|

\|321xxx+|||.|

\|0001000 Che assolutamente equivalente a ci che abbiamo scritto nella tabella 3.1; E possi bi l evi sual i zzar ei l gr af i codi quest osi st ema ut i l i zzandomat l ab.Si def i ni sconol emat r i ci A, B, C, D.Si di gi t aal pr ompt :S=ss( A, B, C, D, 1)Lt i vi ew( S) ; Come si vede dal grafico, il numero di studenti si assesta dopo 5 /6 anni,edilnumerodatodallasommadeglistudentidellediverse classi (X1,X2,X3); 3.2 Analisi del comportamento in Frequenza Lo studio del comportamento in frequenza rappresenta un approccio alternativo allanalisi dei sistemi dinamici. In particolaresi studianoi risultatiapartiredasollecitazioniditipoperiodicoallevariabilidi stato e alle variabili in ingresso che lo permettono. 3.3 Analisi qualitativa delle soluzioni Lanalisiqualitativadellesoluzioniconsistenellostudiodelsistema graziealqualepossibileconoscereilcomportamentogeneraledel sistema.Aquestopuntopossibilefaredelleconsiderazionisullo stesso senza dover calcolare la specifica soluzione. Nel caso della popolazioni di studenti, dal grafico emerge che: La numerosit della popolazione si stabilisce dopo un certo tempo t; Epossibileimporrecheglistudentiinuscitadalcorsosianoun determinato numero, e trarre delle conclusioni sul numero di studenti che devono entrare per soddisfare questa condizione; Epossibileimporreilnumeromassimodistudentipresentiaivari annieconoscereilnumerodistudenticheogniannoesconodal corso; Questeconsiderazionifannopartedellanalisiqualitativadelsistema che pi in generale prevede: Analisi QualitativaDescrizione StabilitForma delle soluzioni nel punto dequilibrio; RaggiungibilitE possibile avere certi valori di in e out? OsservabilitPosso analizzare lo stato a partire dalleequazioni di ingresso e di uscita? 3.4 Sistemi interconnessi Isistemiinterconnessisonogeneralmentetuttiqueisistemilostato dipendedalluscitaeviceversa.Sistemidiquestogeneresonoper esempioicontrolliaretroazione;Nellaformapigeneralesi presentano come in figura: Unmotoreeilsuodriversonosistemiinterconnessiinquantola velocitangolareinuscitadalsistemameccanico,deveessere misuratadaldriverperagiresullacorrente(osullatensione)in ingresso al motore. P(s) s Is0 4 Rappresentazioni Approssimate Lerappresentazionideisistemilinearinonsempresonofedelial 100% al modello reale, le cause di ci possono essere molteplici: Ipotesi Semplificative (ma non ce ne occuperemo) Semplificazioni del modello: 1. Non Lineare Lineare; 2. Tempo continuoTempo discreto; Quandocitroviamodifronteadunsistemanonlineare,(vedi Geometria) abbiamo una tecnica che ci permette di approssimarla ad unsistemalineare,allostessomododicomeladerivatadiuna funzioneinunpuntoapprossimaaquelpunto,inuncertointervallo I; 4.1 Tecnica per LApprossimazione Lineare Ammettiamo di avere un sistema non lineare del tipo: ) , () , (u x h yu x f x==- Esupponiamocheipuntidiequilibrio,cioipuntineiqualile equazioni di stato f(x,u) si annullano, siano xe,ue. Avremo: f(xe,ue) = 0; h(xe,ue) = y(e); Possiamo scrivere luguaglianza: ) , () () , () () ( ) ( ) , ( ) , (e eee eeu x eJacobianouu x eJacobianoxe eu ududfx xdxdfu x f u x f + + =

) , ( ) , () ( ) ( ) , ( ) , (e e e eu x eJacobianou x eJacobianoe eu ududhx xdxdhu x h u x h + + = Da queste equazioni possiamo ricavarci le matrici che descrivono il nostro sistema. A=) , () (e eu x eJacobianox xdxdf; B=) , () (e eu x eJacobianou ududf; C=) , () (e eu x eJacobianox xdxdh; D=) , () (e eu x eJacobianou ududh Se poniamo:Avremo:eeey y yu u ux x x = A = A = A u D x C yu B x A xA + A = AA + A = A - La soluzione dei questo sistema coincide con lapprossimazione della soluzione del sistema non lineare. Esempio Preda-Predatore Lesempioprevededueequazionidistatononlineari,unaperla preda e laltra per il predatore. Preda: 2 121 1 1x cx bx ax x =- Predatore: 2 1 2 2' x x c ex x + =- Troviamo gli zeri delle equazioni che corrispondono ai punti dequilibrio. 0 ) ' (0 ) (1 22 1 1= + = x c e xcx bx a x 002 11 1==XXEE '''2 22 1ccbe acEceEXX== La matrice J acobiana delle equazioni vale: J ( 2 1;- -x x )=|||||.|

\|cccccccc22222 1111) ( ) () ( ) (xx fxx fx xx fxx f E quindi, calcolata nello specifico avremo: J ( 2 1;- -x x )=||.|

\|+ 1 21 2 1' '2x c e x ccx cx bx a Da cui, calcolandola nei punti E1 ed E2: J (0,0)( 2 1;- -x x )=||.|

\| ea00 J |.|

\| '',ccbe acce( 2 1;- -x x )=||||.|

\|0''cbe acecbe Queste due matrici rappresentano le approssimazioni lineari di stato per il sistema preda predatore nei punti E1 ed E2, quindi otteniamo due matrici A. 4.2Campionamentoe Tenutapersistemia tempo continuo Perapprossimareunsistemaatempocontinuoinunoatempo discretooccorrefareilcampionamentodelsistema.Questotipico dei processi economici molti dei quali evolvono in modo continuo ma una loro discretizzazione li semplifica enormemente. Landamento del PIL in una nazione evolvein maniera continua, ma possiamo creare unmodellomatematicochesfruttandodelleopportunevariabilidi stato gestiscailsistema con tempo unitariopari a un mese. Per far ci occorre campionare il sistema, le variabili ecc.. Campionamento Eunprocessodimisurazioneatempodiscreto.Ognitottempo effettuounamisurazione.Ilgraficorisultanteapprossimeraquello realeinmodoinversamenteproporzionalealtempotraun campionamento e laltro.

Comesivededaigrafici,maggioreiltempodicampionamento, minoresarlaprecisione.Maunaltroparametroimportantela quantizzazione. Quantizzazione Ilcalcolatorenonhaprecisioneinfinita,quindioltreallalimitazione della discretizzazione del tempo, abbiamo anche il limite della misura approssimatadelvaloredellafunzioneneltempo,datocheil calcolatore non lavora con precisione infinita. Se nellesempio precedente, fossimo limitati a soli tre valori della f(t), ilgrafico,purcontempodicampionamento(tc)ugualea1, risulterebbe molto poco accurato. Inoltre nel calcolodella derivata in sistemi a tempo discreto, questa approssima con lincremento della variabile tempo. ( )TkT x T kT xT k x) () ( +=- E quindi ( )( ) ) ( ), ( ) 1 () ( ), ( ) (k u k x f k xt u t x f t xc= +=- Sistema a tempo continuoSistema a tempo discreto (tc=1) Sistema a tempo discreto (tc=1/2) Sistema a tempo discreto (tc=1/2) Quantizzato 5 Analisi nel Tempo delle rappresentazioni Lineari Esistono due tipi di rappresentazioni dei sistemi. Il modello implicito e il modelloesplicito. La rappresentazione implicita, costituita dalle equazioni racchiuse dal sistema del tipo: ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( 't Du t Cx t yt Bu t Ax t x+ =+ = Larappresentazioneesplicitainvecequellacherestituiscele soluzioni del sistema differenziale visto in precedenza. Possiamo individuare due casi: CASO I Sistemiconunsoloingresso,unasolauscita,unsolostato. Praticamente, in questo caso le matrici A,B,C e D sono degli scalari. E il sistema un semplice sistema differenziale le cui soluzioni sono la somma della omogenea, pi la soluzione generale. ) ( ) ( ) ( ' t Bu t Ax t x + = diventa:) ( ) ( ' t ax t x = La cui soluzione data: Omogenea: x(t0)=x0 + Soluzione generale; Quindi: } + =ttt t a t t adt t bu e x e t x00 0) ( ) () (0) ( Analogamente, per lequazione implicita:) ( ) ( t du t cx y + =

la soluzione : ) ( ) ( ) ( ) (00 0) (0) (t Du dt bu e x e c t yttt t a t t a+ + =} 5.1 I mpulso di Dirac Peravereunarappresentazionepisinteticadellarappresentazione esplicita utilizziamo la funzione: Dirac di Impulso ) ( = t oFunzione che vale + nellistante in cui si annulla largomento. Evoluzione Libera dello stato Q(t) Evoluzione Forzata dello stato H(t) Evoluzione libera della risposta (t) Evoluzione forzata della risposta W(t) }=bad 1 ) ( t t o] , [ 0 b a eIn t0 abbiamo limpulso) ( 0t o , quindi: }= bat f d t t f ) ( ) ( ) (0 0t o tda cui possiamo scrivere: t t o t d t u t uba} = ) ( ) ( ) (Sostituendo avremo: t t t otd u t d b e c x e c yt attt t a) ( )) ( ( ) () (0) (00 + + = }CASO II Abbiamo un sistema con pi ingressi, pi uscite e pi stati. In questo casoicoefficientidellenostreequazionidifferenzialinelmodello implicito sono delle matrici. Il risultato non cambia. E avremo: t ttd Bu e x e t xttt A t t A} + =00) ( ) () (0) ( t ttd u B Ce x C t yttt A t t A} + =00) ( ) ( ) () (0) ( Ate t Q = ) ( B e t HAt= ) ( ab Impulso AtCe t = +) ( B Ce t WAt= ) ( Quindi il calcolo del modello esplicito si riduce ad eAt. 5.2LaRealizzazione Esplicita( neltempo continuo)Percalcolareedanalizzareesplicitamenteilsistema,dobbiamo studiarelamatriceeAt.Lostudiodiquestamatriceportaad analizzaredellesoluzione.Iltipodiquestesoluzioniportaa comprendereinchemodoevolveilsistema.Abbiamoduecasidi studionellerappresentazionilineari:atempocontinuoeatempo discreto. 5.2.l C=tcoto oi c^1 Se poniamo D=TAT-1 E sappiamo calcolare eDt allora eAt= eT-1DTt= T-1eDtTLa matrice A nota ; La matrice D funzione di A e di T, allora basta calcolare T. La matrice T-1 la matrice degli autovettori di A. Studieremo i casi in cui A SEMPLICE, cio gli autovettori di A sono tuttidistinti,oselaloromolteplicitugualealladimensionedel rispettivo autospazio. (vedi Geometria). Esempio: ||.|

\|=2 12 3A 414 5 ) (21 2=== + = dSostituendoquestivaloriallamatrice ( )||.|

\|= kkI A2 12 3 ottengounamatrice,icuivettorilinearmenteindipendentisaranno gli autovettori (u,u1,uk), dellautospazio k . In questo caso sostituendo 1 ottengo u1=||.|

\|11 e con 2=||.|

\|12 Avremo che: ||.|

\|=1 12 11T ||.|

\| =1 12 1T||.|

\|=2 12 3AE che: A =||.|

\|=||.|

\|=4 00 10021 1AT TDato che: Ua=[;] Ub=[;- ] eAt=T-1etT=||.|

\|||.|

\|||.|

\| 1 12 1001 12 14ttee= ||.|

\|+ + + +t t t tt t t te e e ee e e e4 44 422 2 2 Aquestopuntosiamoingradodicalcolareesplicitamente levoluzione generale del sistema. 04 44 422 2 2) ( xe e e ee e e et Qt t t tt t t t||.|

\|+ + + +=Be e e ee e e et Ht t t tt t t t||.|

\|+ + + +=4 44 422 2 2) (04 44 422 2 2) ( xe e e ee e e eC tt t t tt t t t||.|

\|+ + + += + D Be e e ee e e eC t Wt t t tt t t t+||.|

\|+ + + +=4 44 422 2 2) ( Segliautovalorinonappartengonotuttiaireali,ma abbiamo coppie di complessi coniugati, la soluzione esplicita ha una forma diversa. Poniamo il caso che n(A)=3. a a a d + + + = 1223) ( Con : 1Reale jComplessi Coniugati Adesso associamo gli autovettori agli autovalori in questo modo. 1u (come abbiamo fatto prima) (Dividendoli in parte reale (ua) ed immaginaria(ub)); Gliautovettoriassociatiaicomplessiconiugati,(peresseretrovati esplicitamente)devono soddisfare: ||.|

\|||.|

\|=||.|

\|o ee od bc ad bc aA ||.|

\|=baua;||.|

\|=dcub Risolto il sistema, possiamo trovarci le matrici di trasformazione T e T-1: |||.|

\|+ + +| | |=b au u u T1 |||.|

\|=bavvvT E TAT-1=|||.|

\| e oe o000 0=ma et... ||.|

\|=||.|

\|) cos( ) sin() sin( ) cos(t tt te ette ee eo e oe o Quindi et=|||.|

\| ) cos( ) sin( 0) sin( ) cos( 00 0t tt tete ee e infine: eAt=|||.|

\|+ + +| | |b au u u|||.|

\| ) cos( ) sin( 0) sin( ) cos( 00 0t tt tete ee e|||.|

\|bavvv Le cui soluzioni sono: eAt= etu v + et ua ( vacost + vb sin t ) + et ub ( vbcost va sin t ) Conclusioni Semoltiplichiamoquantoabbiamoottenutoperx0(eAtx0) siamo in grado di calcolare levoluzione libera dello stato del sistema. Tuttavia possiamo ancora applicare qualche sostituzione per semplificare i calcoli: Posto: b b a ac x v c x v c x v = = =0 0 0' ' ' (rappresentano le componenti di x0 nella nuova base u ua ub) E: mcmcc c mb ab a= = + = | | cos sin2 2 Troviamo che levoluzione libera vale: ( )b at tu t u t me u ce ) cos( ) sin( | e | e + + + + Evoluzione Libera E Inoltre: Calcolo Esplicito delle Soluzioni (a tempo continuo) Evoluzione LiberaEvoluzione Forzata eAtx0eAtB Risposta LiberaRisposta Forzata CeAtx0CeAtB+D 5.2.2 l nooi =1ue=ti ci 3is1cni = Tcnro Co1iuo Imodinaturaliciindicano,attraversolesoluzionicheabbiamo trovatoconlostudiodieAt,ilmodoincuievolveilsistema.Questa evoluzione(leggedimoto)neltempodipendedagliautovalori dellamatriceA.Incorrispondenzadegliautovalorirealiabbiamoun modo aperiodico, in corrispondenza di autovalori complessi abbiamo un modo pseudo-periodico. Nel caso generale (n dimensione) avremo: + autovalori reali; + autovalori complessi; Ma abbiamo sempre due modi: Uno dato dalla somma degli autovalori reali: aperiodico; Uno dato dalla somme degli autovalori complessi: pseudo-periodico; Lacombinazionelinearediquestedueleggidimoto,cid landamento del sistema in funzione del tempo. MODO APERIODICO Eilmodoassociatoagliautovalorirealinellospazionelladirezione dei corrispondenti autovettori che formano la nuova base sulla quale il sistema evolve. E definito dalla legge di moto: u et Legge di moto esponenziale nella direzione del vettore (autovettore) u. Il verso stabilito da . >0 Si muove in direzione u verso infinito; =0 Il moto zero sul vettore (componente) u; Il sistema evolve nella direzione di u ( uk ) Ma distinguiamo due casi: 00 k K dispari k crescente Alternante 3 PSEUDO PERIODICOC e E il modo associato agli autovalori complessi coniugati, da quello che abbiamo visto nel calcolo delle soluzioni, la legge di moto associata a questi tipi di autovalori sono descritte da equazioni del tipo:( )b aku k u k m ) cos( ) sin( o o + + +Per cui se: 0> >2 01 000 ) 1 ( ) 1 (0 ) 1 (T TB Ba addnnn 9.2. Hc1ooo oi Lx=ruov Il metodo di Lyapunov si basa su un concetto noto della fisica meccanica che ha applicato ai sistemi di equazioni differenziali. E noto infatti, prendendo come esempio le montagne russe, che nel percorso sono presenti dei punti di equilibrio, in corrispondenza dei massimi e dei minimi locali, che possono essere instabili (massimi) o stabili (minimi). a0 a1a2..an anan-1 an-2..a0 B0B1 Bn-1 Bn-1 Bn-2 B0 C0Cn-1 Cn-2 T0T1T2 Il metodo di Lyapunov, ci permette di avere in maniera diretta, informazione sulla stabilit di sistemi lineari e non, a tempo continuo o discreto. Per poterlo applicare correttamente sono per indispensabili alcuni concetti. Funzioni Definite Positive; Funzioni Quadratiche; Criterio di Sylvester; Derivata lungo il moto (Gradiente); Funzioni Definite Positive Supponiamo di avere:) (.x f x = Con xe punto dequilibrio, cio: 0 ) ( =ex fPer avere stabilit asintotica in xe necessario che esso sia isolato, cio:0 ) ( =e fx JSe adesso prendiamo un intorno sferico di S(xe,r), La nostra nuova funzione (applicazione): R R Vn :definita positiva se: 0 ) ( ), , ( e , 0 ) ( > e = x V r x S x x Ve e E semidefinita positiva se: 0 ) ( ), , ( e , 0 ) ( > e = x V r x S x x Ve e Funzioni Quadratiche Sono funzioni del tipo: 2ax y =le quali sono sempre positive o sempre negative, (in questo caso dipende unicamente dal Punto Dequilibrio Stabile Punto Dequilibrio Non Stabile Ricorda: I minori principali sono i determinanti delle sottomatrici che condividono la diagonale.||||||.|

\|x x x xxx x x xx x x xx x x x...... ... ... ............ESEMPIO coefficiente a ), possono essere anche vettoriali, in particolare (per quello che interessa questo specifico caso) del tipo: ( ) ( )1 xxx1) (nen n nTex x Q x x x V = Con Q matrice simmetrica definita positiva; Criterio di Sylvester La condizione necessaria e sufficiente affinch Q sia simmetrica definita positiva, che tutti i suoi minori principali siano positivi. Derivata Lungo il Moto |.|

\| .) (x VE il prodotto del gradiente della V(x) (FdL) per la f(x). . .) () ( xxx Vx Vcc=Ricapitolando: V(x) Funzione di Lyapunov se: E semidefinita positiva ed contenuta in f(x)V(x)>0 La sua derivata lungo il moto e semidefinita negativa;0 ) ( s.x V V(x) FdL asintotica se: V(x)>0 e0 ) ( = x x VVerifichiamo che la derivata lungo il moto sia def. Negativa; 0 2 ) ( 2 2 ) (4 3. .s = = = x x x x x x VQuindi: Il nostro punto dequilibrio localmente asintoticamente stabile! 9.2.= Tccic= R=rio= Per il calcolo rapido della stabilit asintoticanei sistemi lineari a tempo continuo e a tempo discreto, esiste una tecnica che ci permette di verificare immediatamente se abbiamo a che fare con sistemi stabili o no, cio ci consente di verificare se tutti gli autovalori del sistema siano a parte reale negativa. Sistemi a tempo continuo Si dimostra che comunque fissata una matrice P simmetrica def. Positiva, vale lequazione: P QA Q A = + ' Se Q esiste allora tutti gli autovalori di A sono a parte reale negativa. Sistemi a tempo discreto Per i sistemi a tempo discreto, comunque fissiamo P simmetrica e def. Positiva, se esiste Q soluzione dellequazione: P Q QA A = ' Allora, tutti gli autovalori di A sono a parte reale