Teoria dell’integrazione secondo Riemann
un’ introduzione
Analisi Matematica 2
Corso di Laurea in Fisica
Proff. M. Calanchi, F. Messina, C. Tarsi, C. Zanco
DEFINIZIONE E PRIME PROPRIETÀ
Motivazione: determinazione delle curve alle regioni sottese dalle quali è
possibile attribuire una misura (area) e, possibilmente, calcolo di tale misura.
La teoria dell’integrazione può essere introdotta in vari modi: alcuni sono tra
loro equivalenti. Noi ci focalizzeremo sull’integrazione di Riemann con le
somme di Darboux.
Sia [a, b] ⇢ R un intervallo chiuso e limitato.
Definizione (Partizione)
Una partizione P di [a, b] è un insieme ordinato di n + 1 punti
P = {x0, x1, . . . , xn} tali che
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b.Scriveremo �xi = xi � xi�1.
La partizione più grezza che si possa fare è quella ridotta a due punti: P = {a, b}.
1/???
Somme inferiori e somme superiori
Sia f : [a, b] ! R una funzione limitata su I = [a, b], i.e. 9K > 0: |f (x)| K ,o, equivalentemente
�1 < m := infx2I
f (x) M := supx2I
f (x) < +1.
Sia P = {x0, x1, ..., xn} una partizione di [a, b]. Scriviamo
Mi = supx2[xi�1,xi ]
f (x) mi = infx2[xi�1,xi ]
f (x)
e definiamo S(P, f ) =nX
i=0
Mi�xi e s(P, f ) =nX
i=0
mi�xi
rispettivamente somme superiori e somme inferiori relative alla part. P
Se f è non-negativa S(P, f ) e s(P, f ) hanno un chiaro significato geometrico.
2/???
Integrale inferiore e superiore
oss. Indichiamo con il corsivo P l’ insieme di tutte le partizioni di [a, b]. Allora,
M(b � a) � S(P, f ) � s(P, f ) � m(b � a), 8P 2 P
! le somme superiori e quelle inferiori sono limitate
È possibile passare all’estremo superiore rispetto a tutte le partizioni di [a, b]delle somme inferiori, e analogamente all’estremo inferiore delle somme
superiori ottenendo due quantità finite.
In simboli, definiamo Integrale Superiore e Integrale inferiore rispettivamenteZf (x) dx = inf
P2PS(f ,P);
Zf (x) dx = sup
P2Ps(f ,P).
In generale, Zf (x) dx �
Zf (x) dx
Può valere la disuguaglianza stretta, come mostra il seguente esempio
f (x) =⇢
1 se x 2 [a, b] \Q,0 se x 2 [a, b] \Q.
Zf (x) dx = b � a > 0 =
Zf (x) dx .
3/???
Integrale di Riemann
Definizione (Integrale di Riemann)
Sia f : [a, b] ! R limitata. Diremo che f 2 R([a, b]) i.e. è integrabile secondo
Riemann se Zf (x) dx =
Zf (x) dx =:
Z b
af (x) dx .
Come mostra l’esempio nella pag precedente, esistono funzioni che non
sono integrabili secondo Riemann.
Q. Come è possibile individuare le funzioni integrabili secondo Riemann?Evidentemente usare la definizione non è molto pratico. Urge un criterio che
sia più prét à porter.
Criterio di integrabilità
Sia f : [a, b] ! R limitata. Allora f 2 R([a, b]) se e solo se
8" > 0, 9P 2 P : S(P, f )� s(P, f ) < ".
Questa caratterizzazione può essere anche usata come definizione.
4/???
f 2 R([a, b]) , 8" > 0, 9P 2 P: S(P, f )� s(P, f ) < ".
Dimostriamo prima un risultato preliminare.
Una partizione P⇤ = P [ {⇠1, ..., ⇠m} che si ottiene aggiungendo punti a P, si
dice raffinamento di P.
Se P⇤è un raffinamento di P, allora
(⇤) S(P, f ) � S(P⇤, f ) � s(P⇤, f ) � s(P, f ).
È sufficiente mostrarlo per la partizione che si ottiene aggiungendo un solo
punto.
Basta osservare che se ⇠ 2 (xi�1, xi), allora
supx2[xi�1,xi ]
f (x) = max
(sup
x2[xi�1,⇠]f (x), sup
x2[⇠,xi ]f (x)
)
quindi
Mi�xi = supx2[xi�1,xi ]
f (x)�xi = supx2[xi�1,xi ]
f (x)(xi � ⇠ + ⇠ � xi�1)
� supx2[xi�1,⇠]
f (x)(⇠ � xi�1) + supx2[⇠,xi ]
f (x)(xi � ⇠).
Aggiungendo un punto le somme superiori decrescono e quelle inferiori
crescono.
f 2 R([a, b]) () 8" > 0, 9P 2 P : S(P, f ) � s(P, f ) < ". 4/???
Dimostrazione
Criterio di integrabilità secondo Riemann
f 2 R([a, b]) , 8" > 0, 9P 2 P : S(P, f )� s(P, f ) < ".
(() Per ogni partizione P abbiamo
s(P, f ) Z
f Z
f S(P, f ), da cui S(P, f )� s(P, f ) �Z
f �Z
f .
8" > 0 esiste P tale che
" > S(P, f )� s(P, f ) �Z
f �Z
f )Z
f =
Zf .
()) Sia f 2 R([a, b]). Allora
Z b
af =
Zf =
Zf .
Poichè
Zf è estremo inferiore, per ogni " > 0,
Zf + "/2 non è minorante:
esiste una partizione P1 tale che S(P1, f ) <R
f + "/2.
Analogamente esiste una partizione P2 tale che s(P2, f ) >R
f � "/2.
Prendendo P = P1 [ P2, raffinamento sia di P1 che di P2 e usando il risultato
preliminare (⇤) si ha l’asserto.
5/???
Classi di funzioni in R([a, b])Il criterio appena dimostrato è utile per mostrare il seguente
Teorema
Sia f : [a, b] ! R una funzione limitata.
(1) f è continua ) f 2 R([a, b]);
(2) f è monotona ) f 2 R([a, b]);
(3) f ha un numero finito di punti di discontinuità ) f 2 R([a, b]).
Oss. Se f è una funzione continua, non è necessario specificare l’ipotesi di
limitatezza (l’immagine è compatta e quindi limitata).
dim. (1). f è continua su [a, b] compatto ) uniformemente continua:
8✏ > 0 9� > 0: 8x , y : |x � y | < �, |f (x)� f (y)| < ✏/(b � a).Sia P = {x0, ..., xn} una partizione dell’intevallo [a, b] tale che �xi < �.
Poiché f è continua, per ogni sottointervallo [xi�1, xi ] esistono si , ti tali che
Mi = f (si), mi = f (ti) (sup e inf sono assunti, Weierstrass!!!). In particolare
|si � ti | < � ) |Mi � mi | < ✏/(b � a).
Allora
S(P, f )� s(P, f ) =nX
i=0
(Mi � mi)�xi <✏
b � a
nX
i=0
�xi = ✏.
6/???
(2) f è monotona ) f 2 R([a, b]).
Supponiamo che f sia monotona crescente non costante
Sia P = {x0, ..., xn} una partizione dell’intevallo [a, b] tale che �xi <✏
f (b)�f (a) .
Poiché f è monotona, Mi = f (xi) e mi = f (xi�1). Allora,
S(P, f )� s(P, f ) =nX
i=0
(Mi � mi)�xi <✏
f (b)� f (a)
nX
i=0
[f (xi)� f (xi�1)] = ✏.
(3) f è continua tranne in un numero finito di punti ) f 2 R([a, b]).
Idea: prendere una partizione che abbia tra i suoi punti i punti discontinuità e
nel resto dell’intervallo usare la continuità.
Per semplicità supponiamo che ci sia solo un punto di discontinuità c 2 (a, b).Sia M = sup
x2[a,b]|f (x)|. Fissato ✏ > 0, sia �✏ = ✏/6M, e
E = [a, b] \ (c � �✏, c + �✏), che risulta l’unione di due intervalli disgiunti
chiusi e limitati: E = [a, c � �✏, ] [ [c + �✏, , b] = I1 [ I2.
Su ciascuno di questi intervalli f risulta Riemann integrabile (continua!!),
quindi, se consideriamo le restrizioni f1 e f2 di f rispettivamente in I1 e I2,
esistono una partizione P1 di I1 e P2 di I2, tali che
S(Pi , fi)� s(Pi , fi) < ✏/3, i = 1, 2.
Ora è sufficiente prendere come partizione
P = P1 [ {c � �✏} [ {c + �✏} [ P2.7/???
Quanti punti di discontinuità?
Una funzione Riemann integrabile può avere un numero infinito di punti di
discontinuità
-0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75
0,25
0,5
0,75
1
1,25
La funzione ritratta in figura (una funzione a scala i cui gradini si
infittiscono/assottigliano sempre più ) è Riemann integrabile (perchè?)
7/???
Una caratterizzazione significativa
Diamo adesso la seguente caratterizzazione delle funzioni
Riemann-Integrabili. Non ne daremo la dimostrazione, ma risulterà molto
utile.
Teorema
Sia f : [a, b] ! R una funzione limitata. Allora f 2 R([a, b]) se e solo sel’insieme dei suoi punti di discontinuità ha L-misura nulla.
Def. Diciamo che un insieme S ⇢ R ha misura di Lebesgue (L-misura) nulla
e si scrive µ(S) = 0 se per ogni ✏ > 0 esiste una successione {In}n2N di
intervalli tale che
S ⇢+1[
n=1
In,+1X
n=1
`(In) < ✏
dove `(In) denota la lunghezza (diametro) di In
Esempi:
1 Ogni punto ha L-misura nulla;
2 Ogni insieme al più numerabile ha L-misura nulla.
3 ...(cfr Appunti prof. Zanco)
8/???