Teoria e ettiva dell'interazione tra due particelle - infn.it 3.2.1 Calcolo dello shift nel caso di...

Universita del Salento

FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

Corso di Laurea Triennale in Fisica

Teoria effettiva dell’interazionetra due particelle α

Candidato:

Ada Chiara CapuanoRelatore:

Luca Girlanda

Anno Accademico 2011–2012

Indice

1 Introduzione 1

1.1 Motivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Principi generali delle teorie eettive . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Costruzione della teoria eettiva per l'interazione tra due par-

ticelle α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Teoria dello scattering 7

2.1 Sezione d'urto e sfasamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Potenziale Coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Dipendenza degli shift dal potenziale . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Approssimazione di Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Procedure Numeriche 16

3.1 Studio delle unità di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Metodo di Numerov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1 Calcolo dello shift nel caso di potenziale scalare . . . . 183.2.2 Calcolo dello shift nel caso di aggiunta di potenziale

coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Studio della convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.1 Convergenza con potenziale senza Coulomb . . . . . . 203.3.2 Convergenza con potenziale di Coulomb, onde distorte 21

4 Applicazione e confronto coi dati sperimentali 28

4.1 Determinazione del potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Confronto coi dati sperimentali e discussione . . . . . . . . . . 30

A Armoniche sferiche indipendenti da ϕ 34

B Programmi 35

B.1 Algoritmo di Numerov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35B.2 Shift di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36B.3 Shift di Coulomb II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

C Trasformata di Fourier del potenziale di Coulomb 40

i

INDICE ii

D Trasformata di Fourier del potenziale di Coulomb con cuto 41

Bibliograa 42

Capitolo 1

Introduzione

1.1 Motivazione

Oggetto di questa tesi è lo studio dell'interazione tra due particelle α.Queste particelle, formate da due neutroni e due protoni, costituiscono il nu-cleo degli atomi di 4He e sono di fondamentale importanza non solo in sicanucleare (basti pensare alla radiazione α, che consiste proprio nell'emissionedi queste particelle da parte di nuclidi pesanti), ma anche in astrosica e nellanucleosintesi (processo con cui sono generati i nuclei pesanti). La nucleosin-tesi primordiale, scaturita dal Big Bang, riesce a spiegare la formazione deinuclei pesanti no al 4He [1]. Gli elementi più pesanti hanno invece avuto vi-ta da fusioni nucleari nei nuclei delle stelle (nucleosintesi stellare), attraversoreazioni che coinvolgono le particelle α (processi α). La principale di questereazioni è il processo triplo α: α+ α+ α −→ 12C + γ, che è reso possibiledall'esistenza di uno stato eccitato del 12C, lo stato di Hoyle [2] (dal nomedi colui che ne ipotizzò l'esistenza). Si può pensare al processo triplo α comela successione di due reazioni: α + α −→ 8Be e 8Be + α −→ 12C + γ. Ilprocesso complessivo passa attraverso la formazione del nuclide 8Be che nonè stabile, dal momento che la sua energia di legame è di poco superiore aquella di due particelle α separate. In virtù di ciò si presenta come riso-nanza nello scattering α− α, ossia come un incremento della sezione d'urtodel processo, che per il momento possiamo semplicemente denire come unaquantità proporzionale alla probabilità che un processo avvenga. Questo perenergia nel centro di massa del sistema di particelle α di 0.092 MeV.Trattare l'interazione α − α tuttavia presenta alcune dicoltà di fondo. Ilsistema con cui si ha a che fare è infatti composto da ben 8 nucleoni, aloro volta costituiti da particelle elementari da studiare con la cromodina-mica quantistica. Le interazioni di queste particelle sono forti, perciò nonsi potrebbe nemmeno ricorrere ad uno sviluppo perturbativo per lo studiodel problema. Anche solo studiare il sistema come composto da otto nucle-oni interagenti presenterebbe delle dicoltà notevoli, anche perché è ancora

1

1.2 Principi generali delle teorie eettive 2

poco nota l'interazione tra nucleoni. Il problema si semplica parecchio seci si limita ad una descrizione alle basse energie: dato che la particella α èmolto stabile per romperla, o metterne in evidenza la struttura facendolapassare attraverso stati eccitati, si ha bisogno di energie molto maggiori diquelle a cui ci interessiamo. In questo range di energie possiamo considerar-la puntiforme. Per risolvere il problema dell'interazione α − α costruiamofenomenologicamente un modello eettivo al primo ordine di uno svilupposistematico di basse energie.

1.2 Principi generali delle teorie eettive

L'idea alla base della costruzione di una teoria eettiva è la separazionedelle scale. Ogni fenomeno sico consiste di processi che avvengono a deter-minate scale siche, tuttavia per ognuno è utile identicare le scale rilevanti,ignorando le altre, i cui eetti possono essere considerati in un'espansioneperturbativa nel rapporto tra queste scale. Il procedimento da seguire è fa-miliare: ad esempio, per velocità molto inferiori a quelle della luce è utileformulare il problema in termini di meccanica newtoniana (invece di ottenerei risultati come limite dell'applicazione della meccanica relativistica). Per lostesso principio è opportuno scegliere i gradi di libertà appropriati per undato problema: se si vuole descrivere un urto tra due palle da biliardo èinutile conoscerne la struttura cristallina. Nel nostro caso le scale di interes-se sono quelle di distanza (o allo stesso modo dei momenti), e la procedurada seguire è uguale a quella di uno sviluppo in multipoli: a distanze moltograndi rispetto alla sua estensione, una distribuzione di carica può essereaccuratamente rappresentata da una somma di contributi locali, che manmano aggiungono dettagli sulla sua struttura interna.Nel caso dell'interazione α − α conosciamo il comportamento a lunga di-stanza, regolato dall'interazione di Coulomb ∼ α/r, ma non sappiamo cosasuccede a corto raggio. Come succede per lo sviluppo in multipoli, schema-tizziamo questa interazione come somma di termini locali, che contino inmisura tanto minore quanto più grande è la scala di distanza in gioco. Unapossibilità è quella di considerare un'hamiltoniana del tipo:

Happ =p2

2m+α

r+ Cδ3(r), (1.1)

con C parametro da determinare. Nel caso di interazione debole potrem-mo studiarne l'eetto in teoria delle perturbazioni: se il potenziale fossecoulombiano e attrattivo (cioè α < 0, anche se non è questo il nostro caso),l'interazione produrrebbe uno shift nello spettro degli stati legati dato da [3]:

Eappn = ECoulombn + |ψCoulombn (0)|2 = − α2mc2

2n2− C

δl,0m3α3c3

~3πn3, (1.2)

1.2 Principi generali delle teorie eettive 3

non nullo solo per stati S (per questo la δl,0). Procedendo oltre con losviluppo, al secondo ordine si ha:∑

m 6=n

< n|Cδ3(r)|m >< m|Cδ3(r)|n >En − Em

, (1.3)

e si osserva che, considerando anche gli stati intermedi del continuo, la sommadiverge.Possiamo cercare di migliorare la descrizione aggiungendo più dettagli sullastruttura a corto raggio, proprio come succede nel caso dei multipoli. La cosaè più facile nello spazio dei momenti, perciò si considera la trasformata diFourier del potenziale a corto raggio Vs(r). Dato che è un potenziale a cortoraggio, la sua trasformata vs(q

2) dipenderà debolmente dal momento q2,perciò possiamo svilupparla in serie di Taylor limitandoci ai primi termini:

vs(q2) = vs(0) + q2v

′s(0) + ... (1.4)

Fermarci al primo termine dello sviluppo equivale ad approssimare Vs(r) conuna δ, ossia, equivale ad aermare che il raggio di azione del potenziale Vs èinnitamente piccolo. Procedendo oltre nello sviluppo, si tiene conto anchedei termini successivi, che sono derivate della δ:

Vs(r) −→ Cδ3(r) +D52 δ3(r). (1.5)

Tuttavia, anche in questo caso già il primo termine dello sviluppo perturba-tivo, < n|D52 δ3(r)|n >, diverge. In conclusione, la δ è una funzione tropposingolare da usare.Questo tipo di divergenze sorge anche nella teoria quantistica dei campi, ela tecnica della rinormalizzazione nacque proprio per dare un senso alla serieperturbativa. La rinormalizzazione consiste prima di tutto nel regolarizzarele divergenze, imponendo per esempio un cuto Λ agli impulsi degli stati in-termedi nella (1.3), così la divergenza si manifesta solo nel limite Λ −→ ∞.Dopo si indaga se queste divergenze siano assorbibili mediante la ridenizionedi un numero nito di parametri della teoria (come la massa della particellao gli accoppiamenti). Se ciò è possibile la teoria si dice rinormalizzabile. Perle teorie eettive invece questo non è un requisito fondamentale, dato che lateoria stessa non prevede di descrivere fenomeni a tutte le scale. Nelle teorieeettive il cuto Λ è insito nella loro stessa denizione, e non c'è motivodi considerare il limite Λ −→ ∞: teoria eettiva e teoria a cuto nitosono a volte considerati sinonimi [4]. La rinormalizzazione quindi ci dice chenon c'è alcuna necessità di conoscere i dettagli dell'interazione a corto raggio(cioè alle alte energie) per capire quanto avviene negli esperimenti alle basseenergie. Esistono cioè innite teorie che hanno lo stesso comportamento allebasse energie, che assumono lo stesso comportamento alle grandi distanze.Gli eetti delle dinamiche di short range quindi possono essere determinati

1.3 Costruzione della teoria eettiva per l'interazione tra due

particelle α 4

in modo semplice.Possiamo ricavare la teoria eettiva direttamente dai dati delle basse energie,ignorando completamente la dinamica a corto raggio: da questo l'irrilevanzadel potenziale a short range. Alle alte energie, tuttavia, la natura a cortoraggio del potenziale inizia a non essere più una perturbazione trascurabile,perciò è necessario denire una teoria che includa i fenomeni che emergonoalla nuova scala. Il passaggio dalla teoria reale a quella eettiva avviene intre passi [3] :

1. incorporando il comportamento a lungo raggio, che deve essere noto;

2. introducendo un momento di cuto Λ, dell'ordine del momento in cor-rispondenza del quale una sica ignota inizia ad assumere maggiorrilievo: si riterranno nei calcoli solo i momenti k < Λ (inseriamo per-ciò solo la sica a noi nota, escludendo gli inniti), e con questo siregolarizzeranno le interazioni a r = 0;

3. introducendo correzioni locali nella lagrangiana, che in qualche modosimulino gli eetti della reale sica alle corte distanze. Esse compren-dono anche i contributi di stati intermedi di alto momento nella serieperturbativa: per il principio di indeterminazione di Heisenberg, questisi propagheranno su distanze molto corte dando solo un contributolocale.

1.3 Costruzione della teoria eettiva per l'interazione

tra due particelle α

La teoria eettiva prevede quindi hamiltoniana:

Heff =p2

2m+ Veff(r), (1.6)

in cui il potenziale eettivo Veff(r) consta sia di un termine che a lungo rag-gio deve essere coulombiano, sia di termini di contatto, che hanno il ruolodi simulare gli eetti dell'interazione a corto raggio.Come forma di cuto scegliamo una gaussiana, ossia moltiplichiamo il poten-ziale nello spazio dei momenti per exp(−q2/2Λ2). Questo fa sì che il poten-ziale coulombiano sia regolarizzato a r = 0. Iniziamo con l'introdurre ilcuto nel potenziale di Coulomb, mediante la sua trasformata di Fourier (icui dettagli sono riportati in appendice D):

1

r

F.T.−→ 4π

q2

cutoff−→ 4π

q2e−

q2a2

2F.T.−→ erf(r/

√2a)

r, (1.7)


particelle α 5

dove erf(x) = 2√π

∫ x0 e−t

2dt.

Il potenziale è perciò nito ad r = 0 e si comporta come 1/r per r >> a: sonoesclusi momenti di ordine Λ = ~

a o maggiore. Per introdurre le correzionilocali si fa riferimento alla (1.4), ossia allo sviluppo in serie nello spazio deimomenti. Ritornando allo spazio delle coordinate otteniamo un polinomionell'operatore p ≡ ~5

i moltiplicato per una funzione δ. Usando il cutogaussiano introdotto, la δ assumerà la forma:

δ3a(r) ≡ e−

r2

2a2

(2π)3/2a3. (1.8)

In denitiva, il potenziale eettivo ha forma:

Veff (r) =4αfs~c

rerf(r/2

√a) (1.9)

+ Ca2δ3a(r)

+D1a4 52 δ3

a(r) +D2a4 5 ·δ3

a(r)5+ ...

+Gan+2 5n δ3a(r)

+ ...,

in cui C,D1, D2, G, ... sono costanti di contatto adimensionali e αfs è lacostante di struttura ne, adimensionale, del valore di 1

137 . Il potenziale hala forma di uno sviluppo in serie di potenze inverse del cuto Λ (in quantoa = ~

Λ), perciò ci aspettiamo che all'aumentare delle potenze di a i terminicontino sempre meno. Ci limiteremo solo al prim'ordine, considerando quin-di solo il termine in C, ma è possibile migliorare sistematicamente i risultatiincludendo anche gli ordini successivi dello sviluppo.La teoria vera è chiaramente indipendente dal cuto, quella eettiva, invece,vi dipende in serie di potenze qa

~ (q è il momento tipico del processo valuta-to). Sono proprio i termini di contatto a rimuovere questa dipendenza delcuto, ordine per ordine: ad esempio, il termine in a2 nel potenziale eetti-vo elide l'errore di ordine ( qa~ )2, così come i termini di contatto dell'ordinedi a4 cancellano la dipendenza dell'errore dalla potenza ( qa~ )4, e così via.I coecienti dei termini di contatto devono variare con a dato che devonoin qualche modo simulare la dinamica alle alte energie che il cuto stessoesclude, per questo sono denite running coupling constants.La scelta del cuto non è completamente arbitraria: è già stato visto cosaimplica considerare a −→ 0, allo stesso modo sarebbe sbagliato considerarea < rs, con rs raggio d'azione del potenziale. In questo caso, infatti, ver-rebbero inclusi stati ad alto momento sensibili alla struttura della teoria adistanze minori di rs, ma le energie che sfruttiamo per costruire la teoriasono troppo basse per essere sensibili a ciò che succede a queste distanze: lastruttura vista da questi stati ad alto momento sarebbe quindi certamente


particelle α 6

sbagliata.In sica nucleare o atomica, di solito il cuto è utilizzato per tener conto dialcuni eetti come le dimensioni nite dei nuclei atomici: a questo punto cisi dovrebbe interrogare sulla correttezza della forma del cuto inserito. Nelnostro caso, tuttavia, il cuto è solo un cuto: eetti derivanti dalla nitezzadelle dimensioni nucleari sono automaticamente contenuti in esso mediantei termini di contatto. Non dobbiamo quindi preoccuparci, per esempio, del-la distribuzione di carica nel nucleo, ed è questa l'importanza della teoriaeettiva: ci permette di dare una parametrizzazione universale degli eettidei fenomeni legati alla struttura a corto raggio. Solo i valori delle costantidi accoppiamento dipendono esplicitamente dalla forma del cuto stabilita.Proprio come nel caso dei multipoli, nel nostro caso le costanti di accoppia-mento sono analoghe ai momenti di multipolo, mentre i potenziali δ-iformisono come i multipoli che generano il campo.La tesi è organizzata nel modo seguente: nel capitolo 2 ci saranno brevirichiami agli elementi della teoria dello scattering necessari per il presentelavoro. Nel successivo saranno introdotti i metodi numerici utilizzati pertrovare i valori delle autofunzioni e degli sfasamenti, quindi sarà studiatala convergenza degli algoritmi utilizzati, i programmi che sfruttano questisono in appendice. In ultimo, si confrontano i risultati sperimentali conquelli ottenuti dai programmi, mettendo in evidenza come il nostro approc-cio conduca ad una buona descrizione dei dati no ad energie di 2 MeVnel riferimento del laboratorio. L'accordo potrebbe essere sistematicamentemigliorato includendo gli ordini superiori della teoria eettiva.

Capitolo 2

Teoria dello scattering

2.1 Sezione d'urto e sfasamenti

Per studiare le proprietà delle particelle, un processo parecchio utilizzatoè quello dello scattering, ossia la deessione delle particelle in seguito ad unurto. In un processo di scattering elastico (quello a cui ci limitiamo qui)le particelle coinvolte all'inizio dell'esperimento sono le stesse ritrovate poinello stato nale e la loro struttura interna non cambia nella collisione.Immaginando che Oz sia la direzione di propagazione del fascio di parti-celle incidente e che il potenziale V (r) sia localizzato attorno all'origine Odegli assi del sistema di riferimento, chiamiamo Fi il usso delle particelledel raggio incidente, ossia il numero di particelle che nell'unità di tempoattraversano una supercie unitaria perpendicolare ad Oz. Supponendo diporre un rivelatore a notevole distanza dalla regione d'azione del potenziale,in una posizione ssata da determinati angoli θ e ϕ (che sottendono l'angolosolido dΩ), il numero di particelle diuse nell'unità di tempo in questo an-golo solido è dn, e sarà proporzionale sia all'angolo solido dΩ che al ussoFi:

dn = Fiσ(θ, ϕ)dΩ, (2.1)

secondo il fattore di proporzionalità σ(θ, ϕ), detto sezione d'urto dieren-ziale. Le sue dimensioni, data la dimensionalità di dn (che essendo il numerodi particelle scatterate nell'unità di tempo ha le dimensioni di [t]−1), sonoquelle di una supercie, e la sezione d'urto totale sarà quindi data da:

σ =

∫σ(θ, ϕ)dΩ. (2.2)

Per la denizione degli stati di scattering stazionari, partiamo dall'equazionedi Scrödinger tridimensionale ed indipendente dal tempo. Possiamo dasubito semplicarla, adattandola al nostro problema di due corpi e trasfor-mandola in un'equazione di Scrödinger per un solo corpo di massa pari alla

7

2.1 Sezione d'urto e sfasamenti 8

massa ridotta µ: [− ~2

2µ∆ + V (r)

]φ(r) = Eφ(r). (2.3)

In prima analisi conviene considerare un potenziale che decresce all'innitopiù velocemente di 1/r (eventualmente un potenziale gaussiano).Deniamo quindi:

E =~2k2

2µ, V (r) =

~2

2µU(r), (2.4)

in modo da poter riscrivere l'equazione precedente come:

[∆ + k2 − U(r)]φ(r) = 0. (2.5)

Tra le innite soluzioni che si potrebbero ottenere al variare di k, scegliamoquelle tali che per distanze molto grandi (in cui l'inuenza del potenzialenon si percepisce ancora) la particella sia libera, quindi rappresentabile conun'onda piana. Quando la particella si addentra nella zona d'inuenza delpotenziale, la sua evoluzione si complica non poco, ne esce quindi divisa inonda trasmessa (che procede nella direzione positiva di propagazione) e ondadiusa. Nel complesso perciò possiamo esprimere la funzione d'onda comesovrapposizione di un'onda piana eikz e un'onda diusa, la cui forma dipendedal potenziale [5]. Quindi:

φk(r) −→r→∞

eikz + fk(θ, ϕ)eikr

r, (2.6)

dove fk(θ, φ) è l'ampiezza di scattering.Consideriamo che gli stati stazionari di scattering deniscono una correntedi probabilità: J(r) = 1

µRe[φ∗(r)~i 5φ(r)

], da cui calcolare i contributi alla

corrente di probabilità sia dell'onda incidente che di quella diusa.Dato che per l'onda incidente la funzione d'onda φ(r) è eikz, allora il suocontributo alla corrente di probabilità, Ji, sarà diretto lungo l'asse di propa-gazione z (in direzione positiva), e avrà modulo:

|Ji| =~kµ. (2.7)

Per ottenere invece la corrente Jd dell'onda diusa nella regione asintoticaè suciente scrivere fk(θ, ϕ)eikr/r al posto di φ(r). Le sue componentisaranno:

(Jd)r =~kµ

1

r2|fk(θ, ϕ)|2, (2.8)

(Jd)θ =~µ

1

r3Re[1if∗k (θ, ϕ)

∂

∂θfk(θ, ϕ)

], (2.9)

(Jd)φ =~µ

1

r3 sin θRe[1if∗k (θ, ϕ)

∂

∂ϕfk(θ, ϕ)

]. (2.10)


Dato che siamo in regione asintotica, la componente (Jd)r sarà di gran lungamaggiore di quelle angolari, quindi possiamo dire che la corrente di proba-bilità dell'onda diusa ha solo componente radiale.Il usso di particelle incidenti Fi quindi è proporzionale al usso del vettoreJi attraverso questa stessa supercie, perciò:

Fi = C|Ji| = C~kµ, (2.11)

e, analogamente, il numero di particelle diuse (dn) che colpisce il rivelatorenell'unità di tempo è:

dn = CJddS = C(Jd)rr2dΩ = C

~kµ|fk(θ, ϕ)|2dΩ. (2.12)

Sostituendo i risultati nella (2.1) otteniamo che la sezione d'urto dierenzialeè:

σ(θ, ϕ) = |fk(θ, ϕ)|2. (2.13)

Questa posizione ci permette di denire la sezione d'urto come il moduloquadro dell'ampiezza di scattering.Nel caso di potenziale centrale V (r), è meglio separare le variabili e risol-vere l'equazione di Schrödinger in coordinate sferiche. Il momento ango-lare orbitale L risulta costante del moto, quindi esisteranno stati stazionaricon momento angolare ben denito, ossia autostati comuni ad H,L2 ed Lz.La loro dipendenza angolare sarà data unicamente dalle armoniche sfericheY ml (θ, φ), mentre la loro componente radiale sarà inuenzata unicamente dal

potenziale V (r). Cercando quindi autofunzioni comuni a queste osservabili,si ottengono:

φk,l,m(r) = Rk,l(r)Yml (θ, ϕ) =

1

ruk,l(r)Y

ml (θ, ϕ). (2.14)

Le uk,l(r) sono soluzioni dell'equazione puramente radiale

[− ~2

2µ

d2

dr2+l(l + 1)~2

2µr2+ V (r)

]uk,l(r) =

~2k2

2µuk,l(r), (2.15)

che soddisfano la condizione al contorno uk,l(0) = 0.Supponiamo che il vettore k sia un asse di simmetria rotazionale del sistema:se lo consideriamo come asse polare, allora né l'autofunzione né l'ampiezza discattering risulteranno dipendenti da ϕ. Supponiamo inoltre di aver ssatok, così da ometterlo nelle formule per semplicità.La ul, quindi, assume asintoticamente la forma:

ul(r)

r= Bljl(kr) + Clnl(kr), (2.16)


in cui le jl(kr) sono le funzioni sferiche di Bessel mentre le nl(kr) sonole funzioni sferiche di Neumann, soluzioni dell'equazione (2.15) nel caso diparticella libera, il cui comportamento asintotico:

jl −→r→∞

1

krsin(kr − π

2l) (2.17)

nl −→r→∞

− 1

krcos(kr − π

2l) (2.18)

ci permette di aermare che

ul(r) −→r→∞

Blk

sin(kr − lπ

2) +

Clk

cos(kr − lπ

2) =

alk

sin(kr − lπ

2+ δl), (2.19)

in cui δl è lo shift.Data l'indipendenza da ϕ, le armoniche sferiche considerate in (2.14) sarannosolo quelle con m = 0. Questo ci permette, senza perdere di generalità, discrivere le soluzioni in serie di polinomi di Legendre (vedere appendice A):

φ(r, θ) =∞∑l=0

ul(r)

rPl(cos θ). (2.20)

Espandendo allo stesso modo sia l'onda incidente eikz che l'ampiezza discattering f(θ) (in cui omettiamo la ϕ), otteniamo [6]:

eikz =

∞∑l=0

(2l + 1)iljl(kr)Pl(cos θ)r→∞

=

∞∑l=0

(2l + 1)ilPl(cos θ)sin(kr − lπ

2 )

kr.

(2.21)

f(θ) =

∞∑l=0

flPl(cos θ) ≡ 1

2ik

∞∑l=0

(2l + 1)blPl(cos θ). (2.22)

Alla luce di queste equazioni, il secondo membro della (2.6) diventa:

eikz + f(θ)eikr

r=∞∑l=0

(2l + 1)(iljl(kr) +

bl2ik

eikr

r

)Pl(cos θ). (2.23)

Considerandone il comportamento asintotico:

eikz+f(θ)eikr

r

r→∞=

∞∑l=0

(2l+1)(il

sin(kr − lπ/2)

kr+

bl2ik

eikr

r

)Pl(cos θ). (2.24)

Allo stesso modo, considerando la (2.19), l'autofunzione ha comportamentoasintotico:

φ(r, θ) =

∞∑l=0

ul(r)

rPl(cos θ)

r→∞=

1

kr

∞∑l=0

al sin(kr−lπ/2+δl)Pl(cos θ). (2.25)

2.2 Potenziale Coulombiano 11

Passiamo alla notazione di Eulero, otteniamo:

eikz + f(θ)eikr

r→ 1

2ikr

∞∑l=0

(2l + 1)[eikr(1 + bl)− (−1)le−ikr

]Pl(cos θ)

(2.26)

φ(r, θ)→ 1

2ik

∞∑l=0

al[(−i)leikreiδl − (i)le−ikre−iδl

]Pl(cos θ) (2.27)

Dalla (2.22) risulta:

al = (2l + 1)ileiδl , bl = e2iδl − 1. (2.28)

Quindi, poiché per la (2.6) f(θ) eikr

r = φ(r, θ)− eikz :

f(θ)eikr

r=

∞∑l=0

(2l + 1)eiδl sin δlPl(cos θ)eikr

kr. (2.29)

Da qui la sezione d'urto dierenziale:

σ(θ) =1

k2|∞∑l=0

(2l + 1)eiδl sin δlPl(cos θ)|2, (2.30)

e quella totale:

σ =4π

k2

∞∑l=0

(2l + 1) sin2 δl. (2.31)

Confrontando il comportamento asintotico della (2.17), cioè quello di unaparticella libera, con quello della (2.19), la prima risulta sfasata di un fat-tore δl rispetto alla seconda (onda che è stata deviata dalla presenza di unpotenziale): proprio questo shift è l'eetto principale della presenza di unpotenziale di scattering [5] [6]. In g. 2.1 è riportato l'andamento asintoticodella funzione seno, cioè (2.17), della (2.19) e della funzione vera, che risul-ta sovrapporsi perfettamente a quella asintotica. Si nota lo sfasamento traqueste due e la funzione seno.

2.2 Potenziale Coulombiano

Se il potenziale fosse Coulombiano, si dovrebbe tener conto del suo lentodecrescere a distanze innite, che provoca un comportamento delle funzioniasintotiche un po' più complicato di quello già esposto. L'equazione diSchrödinger da risolvere sarà:

[− ~2

2µ∆ +

Z1Z2e2

r

]φ(r) = Eφ(r), (2.32)

2.2 Potenziale Coulombiano 12

Figura 2.1: Confronto del comportamento della funzione asintotica (2.19)con quella vera. Entrambe sono confrontate con la funzione seno, che indicail comportamento asintotico di una generica particella libera (vedi (2.17)).Mentre le prime due si sovrappongono perfettamente, risultano invece sfasaterispetto al seno come previsto: è questo lo shift. Il calcolo si riferisce ad ener-gia di 4.5 MeV, e momento angolare l = 0. I calcoli sono eettuati secondoil procedimento esposto nel Capitolo 4. Le funzioni sono rinormalizzatearbitrariamente.

2.3 Dipendenza degli shift dal potenziale 13

dove E, come prima, è l'energia nel centro di massa del sistema. Passandoa coordinate sferiche (quindi si conserverà solo la componente radiale) eponendo E = ~2k2

2µ = mv2

2 e γ = 4e2

~v = 4e2m~2k , otteniamo:

[∆ + k2 − 2γk

r− l(l + 1)

r2

]yl(r) = 0. (2.33)

Le sue soluzioni sono [6] le funzioni d'onda regolari di Coulomb, Fl:

Fl −→r→∞

sin(kr − γln(2kr)− 1

2lπ + δC,l), (2.34)

e le funzioni d'onda irregolari di Coulomb, Gl, il cui comportamento asin-totico è:

Gl −→r→∞

cos(kr − γln(2kr)− 1

2lπ + δC,l), (2.35)

dove δC,l = argΓ(l+ 1 + iγ) è lo shift di Coulomb. Mediante queste soluzioni

possiamo denire la forma asintotica dell'onda entrante ed uscente: u(+)l =

e−iσl(Gl + iFl) ed u(−)l = e+iδC,l(Gl − iFl).

Così nel complesso la soluzione della (2.33) sarà:

yl(r) = A[u(−)l − e2iδle2iδC,lu

(+)l ]. (2.36)

Poiché k si suppone ssato, il pedice è stato omesso in tutte le equazioni.Nella g. 2.2 sono confrontati gli andamenti delle funzioni seno e (2.36). Siosserva che la distanza tra i due picchi delle funzioni non rimane costante: èquesta la distorsione indotta dal potenziale di Coulomb.

2.3 Dipendenza degli shift dal potenziale

Si dimostra [6] che, dati due potenziali V e V , i loro rispettivi shift, δl eδl, sono legati dalla relazione:

sin(δl − δl) = − 2m

~2k

∫ ∞0

ul(V − V )uldr. (2.37)

Se V è nullo, allora δl = 0 e yl = krjl(kr), perciò la relazione precedentediventa:

sin δl = −2m

~2

∫ ∞0

jl(kr)V ylrdr. (2.38)

In particolare, se ∆V è innitesima, lo sarà anche ∆δl, e la dierenza tra ule ul può essere trascurata, perciò la (2.37) si potrà scrivere come:

∆δl = − 2m

~2k

∫ ∞0

u2l ∆V dr. (2.39)

2.3 Dipendenza degli shift dal potenziale 14

Figura 2.2: Si confrontano la funzione seno e la funzione (2.36). La distanzatra i loro picchi non è costante, e questo è l'eetto di distorsione indottodal potenziale di Coulomb. Il calcolo si riferisce ad energia di 3.0MeV, emomento angolare l = 0. Il graco è stato ricavato secondo il procedimentoesposto nel Capitolo 4. Le funzioni sono rinormalizzate arbitrariamente.

2.4 Approssimazione di Born 15

Se perciò la dierenza tra i potenziali assume lo stesso segno su tutto l'inter-vallo di integrazione, allora la variazione del phaseshift ha il segno opposto.Gli sfasamenti sono deniti a meno di 2nπ (come risulta dalla (2.19)), perrimuovere questa ambiguità immaginiamo una variazione continua del poten-ziale, da 0 a V (r), così lo shift varierà a sua volta con continuità tra 0 e δl(si può dimostrare che questo valore non dipende dal cammino seguito dalpotenziale per raggiungere il valore V (r)).

2.4 Approssimazione di Born

Se il potenziale V (r) è sucientemente piccolo, le soluzioni ul per leautofunzioni ad esso associate dieriranno molto poco dalle onde sferichekrjl(kr) soluzioni dell'equazione associata alla particella libera, e lo shiftsarà molto vicino allo 0. Scrivendo krjl(kr) nella (2.38) otteniamo:

δl ≈ −2mk

~2

∫ ∞0

jl(kr)V ylrdr. (2.40)

Se V (r) è piccolo confrontato con E − l(l+1)~22mr2

, allora l'errore commessoapprossimando gli shift con la formula di Born è molto piccolo. Questaespressione sarà perciò utilizzata per valutare la bontà degli shift calcolatiin presenza di un potenziale gaussiano, scelto di debole entità.

Capitolo 3

Procedure Numeriche

3.1 Studio delle unità di misura

Poichè il calcolatore manipola quantità adimensionali, è opportuno in-trodurre delle costanti dimensionali che ci permettano di rendere privi didimensioni i dati in input. Per farlo è suciente iniziare col porre r = r0x,in cui r è la variabile radiale dell'equazione di Schrödinger, mentre r0 è laquantità dimensionale che ci permetterà di ottenere i dati adimensionali e xè la variabile adimensionale corrispondente ad r. Poichè nel caso trattato siparla di interazione tra due particelle α, è chiaro che una parte del potenziale(puramente coulombiano) sarà del tipo V (r) = Z1Z2e2

r = 4e2

r , l'interazione acorto raggio sarà invece data da una gaussiana che indichiamo genericamentecon Vs(r). L'equazione di Schrödinger radiale per le onde S è:

− ~2

2µr

d2[rR(r)]

dr2+ Vs(r)R(r) +

4e2R(r)

r= ER(r) (3.1)

Sostituendo r con r0x e ponendo y(r) = rR(r) si ottiene

− ~2

2µr20

d2y

dx2+ Vs(r0x)y(r0x) +

4e2y(r0x)

r0x= Ey(r0x), (3.2)

dove µ è la massa ridotta del sistema. Manipolandola ulteriormente ottenia-mo:

−d2y

dx2+

2µr20

~2Vs(r0x)y(r0x) +

8µr0αc

~y(r0x)

x= Ey(r0x)

2µr20

~2, (3.3)

dove α è la costante di struttura ne, precedentemente indicata con αfs.Imponendo che 8µr0αc

~ valga 1, otteniamo il valore di r0:

r0 =~

8µcα= 1.71 fm. (3.4)

16

3.2 Metodo di Numerov 17

Ponendo poi E = e0ε, allo stesso modo si ottiene il valore di e0 imponendo2µr20e0

~2 = 1, da cuie0 = 3.17 MeV. (3.5)

Ponendo Vs(r)/ε0 = vs(x), l'equazione di Schrödinger adimensionale, ossiaquella letta dal programma, sarà perciò:

−d2y

dx2+ vs(x)y +

y

x= εy. (3.6)

3.2 Metodo di Numerov

Il metodo di Numerov [7] serve per integrare equazioni dierenziali delsecondo ordine del tipo:

d2y

dx2= −g(x)y(x) + s(x), (3.7)

con g(x) e s(x) funzioni date.Il procedimento da seguire è quello di dividere l'intervallo spaziale in Nintervallini di ampiezza dx, in modo da formare una griglia di cui xi sonoi nodi e yi = y(xi) i valori della funzione incognita y(x) in questi punti.Analogamente, siano gi ed si i valori di g(x) e di s(x) negli stessi. Per ottenereun'equazione alle dierenze nite sviluppiamo in serie di Taylor, spingendocino al quinto ordine la funzione y(x) attorno ad un punto generico dellagriglia xn:

yn−1 = yn − y′ndx+

1

2y′′n(dx)2 − 1

6y′′′n (dx)3 +

1

24y′′′′n (dx)4 − 1

120y′′′′′n (dx)5+

O[(dx)6],

yn+1 = yn + y′ndx+

1

2y′′n(dx)2 +

1

6y′′′n (dx)3 +

1

24y′′′′n (dx)4 +

1

120y′′′′′n (dx)5+

O[(dx)6].

Sommando le due equazioni si ottiene:

yn+1 + yn−1 = 2yn + y′′n(dx)2 +

1

12y′′′′n (dx)4 +O[(dx)6]. (3.8)

Dalla (3.7) sappiamo che y′′n = −gnyn + sn: chiamandola zn, possiamo

scriverezn+1 + zn−1 = 2zn + z

′′n(dx)2 +O[(dx)4], (3.9)

dato che i risultati della (3.8) continuano a valere a prescindere dalla varia-bile, perciò

y′′′n = z

′′n =

zn+1 + zn−1 − 2zn(dx)2

+O[(dx)2]. (3.10)


Inserendo il risultato in (3.8) otteniamo che:

yn+1 = 2yn − yn−1 + (−gnyn + sn)(dx)2

+1

12(−gn+1yn+1 + sn+1 − gn−1yn−1 + sn−1 + 2gnyn − 2sn)(dx)2

+O[(dx)6].

(3.11)

Da quest'ultima è possibile ricavare la formula di Numerov

yn+1

[1 + gn+1

(dx)2

12

]= 2yn

[1− 5gn

(dx)2

12

]− yn−1

[1 + gn−1

(dx)2

12

]+ (sn+1 + 10sn + sn−1)

(dx)2

12+O[(dx)6].

(3.12)

Possiamo perciò ricavare ricorsivamente a partire da yn e yn−1 la forma diyn+1, quindi il valore della funzione incognita in tutto l'intervallo d'interesse.Nel nostro caso, l'equazione (2.15) è proprio del tipo (3.7) con s(x) = 0, econdizioni al contorno y(0) = 0 e y(1) = dx, con dx incremento generico. Lascelta di questo valore è completamente arbitraria, dato che eventualmente,se necessario, si può normalizzare l'intera onda parziale successivamente.

3.2.1 Calcolo dello shift nel caso di potenziale scalare

Ponendo g(x) = 2µ~2 [E−V (x)] e fn = 1 + gn

(dx)2

12 , la formula di Numerovrisulta semplicemente essere:

yn+1 =(12− 10fn)yn − fn−1yn−1

fn+1. (3.13)

Si integra l'equazione no a un certo punto xi dove l'inuenza del potenzialeè sucientemente piccola, così da poter considerare dell'equazione il solocomportamento asintotico:

y(x1) = Akx1[cos(δ)j(kx1)− sin(δ)n(kx1)]. (3.14)

Il pedice agli shift viene omesso perché ci limitiamo solo allo studio delleonde S.Per liberarci dalla dipendenza dalla costante ignota A, è opportuno calcolarey(x) in un altro punto della griglia (a tal proposito scegliamo x1 = xngrid−50,in cui ngrid indica proprio il numero di punti di cui è costituita la griglia, ex2 = xngrid. Il punto scelto è proprio x1 = xngrid−50 per evitare denominatoripiccoli nella (3.17)), in cui l'inuenza del potenziale sia ancora piccola (x2 >x1), quindi:

y(x2) = Akx2[cos(δ)j(kx2)− sin(δ)n(kx2)], (3.15)


Ponendo

G =x1y(x2)

x2y(x1), (3.16)

si verica quindi che

δ = arctanGj(x1)− j(x2)

Gn(x1)− n(x2). (3.17)

3.2.2 Calcolo dello shift nel caso di aggiunta di potenziale

coulombiano

Diverso è il discorso nel caso in cui consideriamo non solo la componentescalare (gaussiana) del potenziale, ma anche quella coulombiana. Com'ènoto, infatti, il potenziale di Coulomb introduce una distorsione nelle onde,cosicchè il loro comportamento asintotico risulta leggermente sfasato rispettoa quello previsto (limitandoci sempre solo a onde S). Richiamando i risultatiottenuti nella sezione 2.2:

y = A[u(−) − e2iδe2iδCu(+)], (3.18)

si procede come prima nel calcolo della y(xngrid−50) = y(x1) e della y(xngrid) =y(x2), ottenendo, rimaneggiando la (3.18), che:

y(x1) =B(F0(1) cos δ +G0(1) sin δ), (3.19)

y(x2) =B(F0(2) cos δ +G0(2) sin δ), (3.20)

dove F0(1),F0(2),G0(1) e G0(2) sono le funzioni d'onda rispettivamente re-golari ed irregolari di Coulomb. I pedici indicano il valore del momentoangolare per cui sono valutate, come in sezione 2.2, mentre tra parentesitonde ci sono i punti in cui queste sono calcolate, ossia 1 = xngrid = x1 e2 = xngrid−50 = x2.Da qui è semplice calcolare gli shift δ:

δ = arctany(x2)F0(1)− y(x1)F0(2)

y(x1)G0(2)− y(x2)G0(1). (3.21)

Dalla (3.18),procedendo analogamente nel calcolo della y(x) sia in xngrid chein xngrid−50, si possono calcolare i δ anche considerando che:

e2i(δ+δC) =F0(2)y(x1)− F0(1)y(x2)

G0(2)y(x1)−G0(1)y(x2), (3.22)

Ponendo quindi δ + δC = δtot:

δtot =ln( F0(2)y(x1)−F0(1)y(x2)

G0(2)y(x1)−G0(1)y(x2))

2i. (3.23)

Quindi:δ = δtot − δC (3.24)

3.3 Studio della convergenza 20

xmax 10 50 100ngrid2000 -0.80403489959 -0.80403486 -0.804033804000 -0.80403489960 -0.80403489 -0.804034828000 -0.80403489960 -0.80403489 -0.8040348910000 -0.80403489960 -0.80403489 -0.80403489

Tabella 3.1: Valori di δ(e)(rad) per energia pari a 1.5 MeV.

3.3 Studio della convergenza

È opportuno procedere col controllo dei programmi utilizzati, per veri-care la validità e l'accuratezza dei risultati ottenuti mediante questi. Ilcontrollo da eettuare in tutti i programmi è quello della loro convergenzarispetto alla variazione e della griglia e del valore di xmax.

3.3.1 Convergenza con potenziale senza Coulomb

Il primo programma, algoritmo di Numerov, B.1 in appendice, calcola inbase all'algoritmo di Numerov la y(x) (nel programma indicata come u(i))secondo la formula (3.13), per cui risulta:

u(i) =2(1− 5dx2

12 k(i− 1))u(i− 1)− (1 + dx2

12 k(i− 2))u(i− 2)

1 + dx2

12 k(i). (3.25)

Le condizioni iniziali sono, come detto, y(0) = 0 e y(1) = dx, tradotte nelprogramma come u(1) = 0 e u(2) = dx, in quanto in i = 1 x1 = 0. Questoprogramma permette di calcolare gli shift δ secondo la (3.17). Essendo ilpotenziale coinvolto a corto raggio, i valori di xmax sono inferiori rispetto aquelli che incontreremo nel seguito quando il potenziale sarà coulombiano.Un'altra verica che è possibile fare, è il confronto degli shift ottenuti conquelli derivanti dall'approssimazione di Born: sfruttando la (2.40), siamo ingrado di stimare la qualità dei risultati ottenuti sfruttando il solo algoritmodi Numerov. Fissata quindi una generica energia, il coeciente del potenzialee il cuto a valori costanti (a = 1.0 e c = 1.0), si procede con le varie prove.I risultati esposti mantengono solo le cifre che non variano al variare dei dueparametri ngrid ed xmax.I valori di δ per energia di 1.5 MeV sono in tab. 3.1, per energia 3.0 MeV intab. 3.2 e per energia 4.5 MeV in tab. 3.3.Mantenendo costanti i valori dei parametri a e c del potenziale (a = 1.0 ec = 1.0), e variando l'energia, ngrid ed xmax, confrontiamo gli shift δ(e)con quelli ottenuti mediante l'approssimazione di Born, come detto. Lagrandezza riportata nelle seguenti tabelle è la dierenza (δ(e)-δBorn)(rad),in particolare la tab. 3.4 si riferisce ad energie di 1.5 MeV, la tab. 3.5 adenergie di 3.0 MeV e la tab. 3.6 a energie di 4.5 MeV.


xmax 10 50 100ngrid2000 -0.8487235244 -0.8487233 -0.8487174000 -0.8487235245 -0.8487235 -0.8487238000 -0.8487235245 -0.8487235 -0.84872310000 -0.8487235245 -0.8487235 -0.848723


xmax 10 50 100ngrid2000 -0.7777833838 -0.77778286 -0.7777664000 -0.7777833840 -0.77778335 -0.7777828000 -0.7777833840 -0.77778338 -0.77778310000 -0.7777833840 -0.777783383 -0.777783


3.3.2 Convergenza con potenziale di Coulomb, onde distorte

Il potenziale di Coulomb è singolare nell'origine, quindi per i = 1 siavrebbe x(1) = 0 e quindi il valore di k divergerebbe. Decidiamo di aggira-re il problema innanzitutto ridenendo la griglia in modo tale che il puntoi = 1 non corrisponda più a 0, bensì a 0.5 (la denizione della griglia è infattiarbitraria), inoltre introduciamo un potenziale a specchio rispetto a quellodi Coulomb (valido per x > 0), in modo che il comportamento di questonuovo potenziale sia analogo a quello del potenziale di Coulomb, ma perx < 0. Il potenziale complessivo sarà quindi pari. In virtù del teorema delleoscillazioni, sappiamo che la nostra soluzione può essere pari o dispari. Datoche comunque questa deve passare per l'origine, la soluzione dell'equazionesarà dispari. I dettagli della nuova griglia sono in g.3.1, mentre un'idea delpotenziale a specchio è in g.3.2.Poniamo perciò come prima condizione al contorno che u(1) = dx. Lascelta di questo valore è arbitraria perché comunque possiamo normalizzarea piacere la soluzione successivamente. La seconda condizione al contorno si

xmax 10 50 100ngrid2000 0.290202779553 0.2902028 0.2902034000 0.290202779541 0.2902027 0.2902028000 0.290202779542 0.2902027 0.29020110000 0.290202779545 0.2902027 0.290201

Tabella 3.4: Valori di (δ(e)-δBorn)(rad) per energia pari a 1.5 MeV.


xmax 10 50 100ngrid2000 4.158973651 4.158992 4.15954000 4.158973646 4.158974 4.15908000 4.158973645 4.158973 4.158910000 4.158973646 4.158973 4.1589

Tabella 3.5: Valori di (δ(e)-δBorn)(10−2rad) per energia pari a 3.0 MeV.

xmax 10 50 100ngrid2000 -3.650614693 -3.650562 -3.64894000 -3.650614707 -3.650611 -3.65058000 -3.650614708 -3.650614 -3.650610000 -3.650614708 -3.650614 -3.6506

Tabella 3.6: Valori di (δ(e)-δBorn)(10−2rad) per energia pari a 4.5 MeV.

Figura 3.1: La nuova griglia, confrontata con quella vecchia. Mentre og-ni punto della vecchia griglia (denita fra l'altro per valori solo positivi)corrisponde ad un intero, quelli della nuova griglia corrispondono a valorifrazionari della coordinata i, e sono deniti anche per valori negativi.


Figura 3.2: Potenziale di Coulomb attrattivo. Il potenziale complessivo,data la simmetria rispetto all'asse delle y, è pari.


xmax 6000 8000 10000ngrid10000 0.9698 0.9695 0.970915000 0.9697 0.9688 0.968520000 0.9696 0.9686 0.968125000 0.9696 0.9686 0.9680

Tabella 3.7: Valori di δC(e, xmax)(rad) per energia pari a 0.1 MeV. Lo shiftcalcolato tramite la funzione argomento è 0.8542.

determina con

u(2) =2(1− 5dx2

12 k(1))u(1) + (1 + dx2

12 k(0))u(0)

1 + dx2

12 k(2). (3.26)

Data la disparità delle soluzioni, per cui u(0) = −dx e vista la simmetria delpotenziale rispetto all'asse y risulterà:

k(0) = e− V (0) = e− V (1) = k(1), (3.27)

quindi in denitiva la funzione risulterà essere:

u(2) =2(1− 5dx2

12 k(1))u(1) + (1 + dx2

12 k(1))u(1)

1 + dx2

12 k(2). (3.28)

Il programma shift di Coulomb (B.2 in appendice) prevede un potenziale pu-ramente coulombiano, e permette il calcolo degli shift omonimi. Il valore diquesti può essere calcolato precisamente avvalendosi della δC = argΓ(1+iγ),nota dal paragrafo 3.2.2 (con l=0), e per vericare l'attendibilità del pro-gramma possiamo confrontare proprio questi valori, ottenuti mediante la fun-zione denita nel programma stesso arg(z), con quelli ottenuti dalla (3.24),in cui poniamo ovviamente δ = 0 (δ è infatti lo shift dovuto al potenziale acorto raggio, nel nostro caso posto nullo).Gli shift ottenuti mediante il programma sono indicati con (δC(e, xmax)),quelli ottenuti tramite la funzione argomento invece con (δC(e)). Anche inquesto caso, i controlli sono fatti variando contemporaneamente sia ngridche xmax.Per energia 0.1 MeV i valori di δC(e, xmax)(rad) sono riportati in tab. 3.7,per energia 1.5 MeV, in tab. 3.8, per energia 3.0 MeV in tab. 3.9, per energia4.5 MeV in tab. 3.10.Il programma converge molto lentamente (i valori degli shift del programmasono nella maggior parte dei casi sensibilmente dierenti da quelli esatti),quasi mai infatti i risultati concordano almeno entro la terza cifra decimalecoi valori attesi. Il programma convergerebbe, ma per valori eccessivamenteelevati di entrambi i parametri xmax ed ngrid. Inserendo un potenziale sia


xmax 6000 8000 10000ngrid4000 -0.29577 -0.29917 -0.29868000 -0.29578 -0.29918 -0.299510000 -0.29578 -0.29918 -0.299515000 -0.29578 -0.29918 -0.2996

Tabella 3.8: Valori di δC(e, xmax)(rad) per energia pari a 1.5 MeV. Lo shiftcalcolato tramite la funzione argomento è -0.29673.

xmax 100 500 1000ngrid4000 -0.2529789 -0.2540 -0.24888000 -0.2529782 -0.2541 -0.254010000 -0.2529782 -0.2541 -0.254215000 -0.2529783 -0.2541 -0.2543


xmax 100 500 1000ngrid4000 -0.220242 -0.22054 -0.20548000 -0.220239 -0.22090 -0.220110000 -0.220239 -0.22090 -0.220615000 -0.220239 -0.22090 -0.2209



xmax 50 100 200ngrid2000 2.1191 2.1192 2.11984000 2.1190 2.1192 2.11958000 2.1189 2.1189 2.119810000 2.1190 2.1189 2.1194

Tabella 3.11: Valori di δo per energia pari a 1.5 MeV.

xmax 50 100 200ngrid2000 6.9660 6.9662 6.96824000 6.9660 6.9661 6.96638000 6.9660 6.9661 6.966310000 6.9662 6.9660 6.9664


coulombiano che gaussiano, e valutandone lo shift totale δtot, sarebbe pocoaccurato stimare il δ sottraendo a δtot lo shift di Coulomb calcolato medianteil programma.Rientrando nel nostro interesse solo gli shift δ, possiamo valutare la stabilitàdel programma in relazione a questi, e utilizzare la (3.21) liberandoci dallanecessità di conoscere gli shift di Coulomb. Avvalendoci delle cernlib per ilcalcolo delle onde distorte di Coulomb, valutiamo gli shift δ col programmashift di Coulomb II, in appendice B.3.Gli shift δ(e)(in gradi) forniti dal programma in corrispondenza di energiapari a 0.1 MeV sono tutti inferiori a (10−3)o, ossia possiamo dirli nulli ac-cettando una precisione della stima al millesimo di grado. Quelli per energia1.5 MeV sono in tab. 3.11, per 3.0 MeV in tab. 3.12 e quelli per energia 4.5MeV in tab. 3.13.Questo tipo di approccio porta a risultati più stabili, in quanto gli shift ri-mangono in genere invariati almeno no alla terza cifra decimale, quindi è dareputarsi questo programma più ecace dell'altro in quanto si ottiene unaconvergenza più rapida e per valori non eccessivamente elevati di xmax ed

xmax 50 100 200ngrid2000 10.7171 10.7182 10.72314000 10.7173 10.7173 10.71788000 10.7173 10.7174 10.717510000 10.7173 10.7173 10.7175



ngrid. Tutti i calcoli sono stati eettuati per c = 1.0 e λ = 1.0 (λ indicanel caso del programma B.3 il cuto, che nei precedenti programmi è statoinvece indicato con a).

Capitolo 4

Applicazione e confronto coi

dati sperimentali

Come già detto, il nuclide 8Be si manifesta come risonanza, ossia unostato di vita molto breve, del processo di scattering α−α in onda S. Carat-terizzato da una sezione d'urto elevata per energia di 0.092 MeV, in cor-rispondenza di questa la sezione d'urto raggiungerà un massimo. Data ladenizione di sezione d'urto totale (2.31) è evidente che il suo massimo si at-testerà per δ = π

2 . Possiamo perciò sfruttare proprio questa condizione perdeterminare il valore della costante adimensionale che moltiplica il poten-ziale di contatto a corto raggio, simulando gli eetti delle dinamiche a brevidistanze che ci sono ignote. La costante da determinare è quindi la C delpotenziale in (1.9), che è adimensionale, nel programma viene indicata allostesso modo.Il potenziale da utilizzare è infatti:

V (r) =erf(r/

√2a)

r+ C

a2e−r2

2a2

(√

2πa)3(4.1)

E quello del programma è:

V (x) =erf(x/

√2λ)

x+ C

λ2e−x2

2λ2

(√

2πλ)3(4.2)

Fissata l'energia a 0.092 MeV, si varia con continuità il C, nché avremoshift pari a π

2 . Dato che il fenomeno si verica in condizioni di quasi as-soluto equilibrio tra la repulsione coulombiana e l'interazione attrattiva, cisi aspetta che l'intervallo in cui la σ assume il valore d'interesse sia moltopiccolo. Una volta determinata questa costante al variare dei cuto, si mo-dicheranno le energie in input, e saranno confrontati gli shift ottenuti dalprogramma con i dati ottenuti sperimentalmente (gli esperimenti di riferi-mento sono quelli di: Heydenberg e Temmer(1956), Tombrello e Senhouse

28

4.1 Determinazione del potenziale 29

(1963), Nilson, Jentschke, Briggs, Kerman e Snyder (1958))[8].Prima di esporre i risultati, è necessario sottolineare la dierenza tra i datidi energia nel laboratorio e quelli di energia nel centro di massa del sistema.Ci siamo sempre messi nell'ipotesi di energia nel centro di massa, e anche ilvalore di 0.092 MeV per cui si ha sezione d'urto massima è un'energia nelcentro di massa. Poiché i dati sperimentali si riferiscono invece ad energienel laboratorio, è necessario capire quale sia il fattore moltiplicativo che cipermette di passare dall'una all'altra, dato che le energie da immettere nelprogramma sono appunto quelle nel centro di massa.In laboratorio lo scontro tra le particelle α avviene mantenendone unaferma e facendo muovere l'altra a velocità v:

•ava−→

vb=0•b (4.3)

L'energia coinvolta nel processo è solo quella cinetica della particella a cheimpatta sulla b :

Elab =mv2

2. (4.4)

Se invece consideriamo il processo:

•av2−→

v2←−•b, (4.5)

l'energia coinvolta sarebbe

Ecdm =µv2

2. (4.6)

µ indica la massa ridotta del sistema, che essendo composto da particelleuguali è µ = m/2, quindi:

Ecdm =Elab

2. (4.7)

Quindi, disponendo delle energie nel laboratorio, dobbiamo dividerle per 2prima di immetterle nel programma, ma i risultati saranno sempre espressiin funzione delle energie nel laboratorio.

4.1 Determinazione del potenziale

Come detto nel paragrafo 2.3, si procede con una variazione continua delpotenziale e lo shift viene denito univocamente, aumentandolo di nπ (non2nπ come in 2.3, in quanto lo ricaviamo tramite l'arcotangente, che è denitoin un intervallo di π, e non 2π. Lo si nota dalla g.4.1). Si parte da C = 0,in corrispondenza del quale lo shift dovrebbe essere nullo, ma di fatto nonlo è in quanto è stata regolarizzata l'interazione di Coulomb a corto raggiocon la funzione errore. Dato che la condizione che deve vericarsi è che ci siaun equilibrio perfetto tra la forza repulsiva coulombiana e quella attrattiva,l'intervallo di C in cui si verica δ = π/2 è molto stretto. Questo rende C

4.2 Confronto coi dati sperimentali e discussione 30

λ 1 1.5 2 3 4 5 6

C -53.87 -42.89 -36.79 -29.88 -25.79 -22.92 -20.70

Tabella 4.1: Valori del coeciente C in corrispondenza dei diversi cuto.

Figura 4.1: Variazione dello shift per energia di 0.092 MeV in funzione di C.

molto sensibile alle variazioni di xmax ed ngrid, perciò per ottenere risultatistabili anche al cambiamento di questi due parametri si tiene conto dell'errorenumerico commesso, ossia si conserva il numero di cifre signicative che nonvariano al variare dei due parametri.Dalle prove eettuate i risultati ottenuti per il coeciente C sono in tab.4.1.

4.2 Confronto coi dati sperimentali e discussione

Poiché il programma opera con quantità adimensionali, è opportunocapire a quali valori di energia essi corrispondano. Il cuto λ inserito è sulledistanze, perciò possiamo determinare il suo valore nel caso dei momenti dal


principio d'indeterminazione: ∆p∆r ≈ ~. In virtù di questo possiamo porre:

p ≈ ~r. (4.8)

Ponendo p = Λc , così da valutare il momento in MeV/c ed ottenere poi

facilmente il valore di energia corrispondente:

Λ =~cr. (4.9)

Richiamando i risultati della sezione 3.1, e ponendo nel nostro caso λ = x,otteniamo:

Λ =~cλr0

. (4.10)

I valori scelti per λ nella tab. 4.1 corrispondono quindi a Λ nell'interval-lo 20 − 120 MeV. Per ognuno dei sette valori scelti, si riportano in g.4.2le corrispondenti predizioni per i phaseshift in funzione dell'energia, con-frontate coi dati sperimentali. Possiamo osservare che in corrispondenza deidue valori più alti di λ (per cui Λ ∼ 19 − 23 MeV), le curve comincianoad allontanarsi sensibilmente dai dati sperimentali. Ciò non è sorprendentenell'ambito della nostra teoria eettiva, che è costruita basandosi sul 8Be.L'energia di legame corrispondente al 8Be (0.092 MeV) ci permette di direche l'ordine di grandezza del momento caratteristico degli stati che generanoquesto nuclide è p =

√2µEleg ≈ 20 MeV, dove con Eleg indichiamo proprio

i 0.092 MeV [8].Anche valori troppo bassi per λ (corrispondenti a Λ ∼ 100 MeV) conduconoa risultati che deviano sensibilmente dai dati sperimentali. Osserviamo in-vece che in un range di cuto λ ∼ 1.5 − 3 vi è una dipendenza abbastanzamoderata dal cuto stesso. La banda costituita dalle curve che ne derivanorappresenta quindi le predizioni della nostra teoria eettiva al primo ordine,e l'ampiezza di tale banda ci fornisce una stima dell'incertezza teorica dellanostra descrizione.

L'approssimazione al prim'ordine è soddisfacente ed anche migliore deirisultati al prim'ordine in [9], ottenuti con una trattazione nell'ambito dellateoria dei campi.La dipendenza dal cuto, come detto nella sezione 1.3, è un comportamentoassolutamente naturale della teoria, dato che ci si ferma solo allo sviluppodel potenziale al primo ordine, per cui c'è da aspettarsi una dipendenzadal cuto almeno dell'ordine di O(a4). Questa dipendenza rientra nell'erroreteorico commesso. Inoltre, si nota che all'aumentare dell'energia le predizioniiniziano a non essere più in accordo coi dati sperimentali, ma anche questo ènaturale, in quanto la teoria è valida solo per basse energie (energie minori di5 MeV). Per migliorare i risultati avvicinandosi sempre più ai valori ottenutisperimentalmente, si potrebbe andare avanti nello sviluppo del potenziale,


energialab(MeV) δoexp λ = 1.5(Λ ∼80 MeV)

λ = 2(Λ ∼60 MeV)

λ = 3(Λ ∼40 MeV)

0.4 180±0.5 179 179 1780.6 178±1 177 176 1740.85 175±1 174 171 1690.95 173±1 172 169 1671.0 171±1 171 168 1661.5 159±1 161 157 1582.0 148±1 152 149 1522.5 137.5±1 144 142 1453.0 128.4±1 138 136 1393.84 114.1±1 129 128 131

Tabella 4.2: Valori degli shift risultati dagli esperimenti e ottenuti dal pro-gramma in corrispondenza di diversi λ. Tutti gli shift (e gli errori sui datisperimentali) sono espressi in (deg), mentre tutte le energie in MeV.

Figura 4.2: Confronto dei dati sperimentali con quelli ottenuti dal program-ma. Si nota che il valore di cuto in corrispondenza del quale c'è maggioraccordo coi dati è λ = 1.5.


inserendone i termini successivi. In questo caso si noterebbe come anche ladipendenza stessa dal cuto risulterebbe attenuata.

Appendice A

Armoniche sferiche

indipendenti da ϕ

La forma generale delle armoniche sferiche, che costituiscono la parteangolare delle soluzioni dell'Hamiltoniana cercate, è:

Y ml (θ, ϕ) = (−1)m

[2l + 1

4π

(l − |m|)!(l + |m|)!

] 12P|m|l (cos θ)eimϕ. (A.1)

Dato che la dipendenza dalle armoniche sferiche da ϕ è espressa nell'esponen-ziale eimϕ, l'unico modo per liberarsene, dal momento che le nostre soluzioninon dipendono da ϕ, è imporre m = 0. Le armoniche perciò diventeranno:

Y 0l (θ, ϕ) =

[2l + 1

4π

] 12Pl(cos θ). (A.2)

Alla luce di questo possiamo espandere la soluzione in serie di polinomi diLegendre senza perdere di generalità.

34

Appendice B

Programmi

B.1 Algoritmo di Numerov

Programma Algoritmo di Numerov.

program NUMEROV

implicit none

integer ngrid,i,jparameter (ngrid=10000)double precision dx,xmax,a,c,k0,e0,e,x1,x2parameter (e0=3.17)double precision delta, deltaBorn, dierenzaparameter (xmax=20.d0)double precision x(ngrid),v(ngrid),k(ngrid),u(ngrid),uf(ngrid)double precision j2, n1, n2, u1, u2, j1, G, ug(ngrid) 10

deltaBorn = 0.d0a=1.d0c=1.d0e=4.5d0/e0 !divisione per e0, necesaria per

!rendere l'energia in input(in Mev)

!adimensionale

k0=sqrt(2.*e)

dx = xmax/(ngrid-1.)

20

do i=2,ngrid

x(i)=(i-1.)*dx

v(i)=c*dexp(-x(i)**2/(2.d0*a**2))

k(i)= k0**2 - 2*v(i)

deltaborn=-2*k0*dx*(x(i)**2)*v(i)*

& (((sin(k0*x(i)))/(x(i)*k0))**2)+deltaborn 30

end do

35

B.2 Shift di Coulomb 36

u(1)=0.d0

u(2)=dx

do i=3,ngrid

u(i)=(2.d0*(1.d0-5*dx**2/12.d0*k(i-1))*u(i-1) -

& (1.+dx**2/12.*k(i-2))*u(i-2))/(1+dx**2*k(i)/12.) 40

end do

x1=x(ngrid-50)

x2=x(ngrid)

u1=u(ngrid-50)

u2=u(ngrid)

j1=sin(k0*x1)/(k0*x1)

j2=sin(k0*x2)/(x2*k0) 50

n1=-cos(k0*x1)/(x1*k0)

n2=-cos(k0*x2)/(x2*k0)

G=x1*u2/(x2*u1)

delta=atan((G*j1-j2)/(G*n1-n2))

differenza=delta - deltaBorn 60

do i=1,ngrid

uf(i)=(2.d0*(1.d0-5*dx**2/12.d0*k(i-1))*u(i-1) -

& (1.+dx**2/12.*k(i-2))*u(i-2))/(1+dx**2*k(i)/12.)

ug(i)=sin(k0*x(i)+delta)

write(17,*) x(i),uf(i),ug(i),sin(x(i))

end do

70

write(*,*) ngrid,xmax,differenza

end

B.2 Shift di Coulomb

Programma Shift di Coulomb.

program shift di Coulomb

implicit none

integer ngrid,i,l,p

parameter (ngrid=4000)double precision dx,xmax,k0,ga,e,e0

parameter (xmax=1000.d0,e0=3.17)

B.2 Shift di Coulomb 37

double precision x(ngrid),v(ngrid),k(ngrid)

double precision u1, u2,u(ngrid),z1,z2

complex f1,f2, g1,g2,esp,z,deltac

real*8 arg 10

complex cgamma,j

external cgamma,arg

e=0.1d0/e0k0=sqrt(e)

ga=1.d0/(2.*k0)z=cmplx(1.,ga)dx = xmax/(ngrid-.5d0)j=(0.d0,2.d0)do i=1,ngrid 20

x(i)= (i -.5d0)*dxv(i)= 1./x(i)k(i)= (e - v(i))

end do

u(1)= dx

u(2)=(2.d0*(1.d0-5.*dx**2/12.d0*k(1))*u(1) +

& (1.+dx**2/12.*k(1))*u(1))/(1.+dx**2*k(2)/12.)do p=3,ngrid

u(p)=(2.d0*(1.d0-5.*dx**2/12.d0*k(p-1))*u(p-1) - 30

& (1.+dx**2/12.*k(p-2))*u(p-2))/(1.+dx**2*k(p)/12.)end do

z1=k0*x(ngrid-50) - ga*log(2.*k0*x(ngrid-50))z2=k0*x(ngrid) - ga*log(2.*k0*x(ngrid))

f1=cmplx(cos(z1),-sin(z1))

g1=cmplx(cos(z1),sin(z1))

f2=cmplx(cos(z2),-sin(z2))

g2=cmplx(cos(z2),sin(z2)) 40

u1=u(ngrid-50)u2=u(ngrid)

esp=(f2*u1-f1*u2)/(g2*u1-g1*u2)

deltac=(log(esp))/j

write(*,*) e,ngrid,xmax,deltac,arg(cgamma(z))

end

50

double precision function arg(z)

double precision x,y,pi,atg

complex z

x=real(z)

y=imag(z)

pi=dacos(-1.d0)atg=datan(y/x)

if((x.gt.0.d0).and.(y.ge.0.d0)) then

arg=atg 60

B.3 Shift di Coulomb II 38

else if (x.lt.0.d0) then

arg= pi + atg

else if ((y.lt.0.d0).and.(x.gt.0.d0)) then

arg= 2.d0*pi +atgelse if ((x.eq.0.d0).and.(y.gt.0.d0)) then

arg=pi/2.d0else if ((x.eq.0.d0).and.(y.lt.0.d0)) then

arg=pi/2.d0*3.d0end if

if (arg.gt.pi) then 70

arg=arg-2*piend if

return

end

B.3 Shift di Coulomb II

Programma Shift di Coulomb II. Per calcolare gli sfasamenti vengonoutilizzate le cernlib: le librerie del Cern, che forniscono i valori delle funzionidi Coulomb [10].

program shift di Coulomb II

implicit none

integer ngrid,i,p,d,jfail

parameter (d=10,NGRID=10000)double precision e,dx,xmax,k0,ga,e0,pi,l,c

parameter (xmax=100.d0,e0=3.17d0)double precision x(ngrid),v(ngrid),vc,u1,u2,u(ngrid),up2,k(ngrid)

complex*16 z1,z2,et2,eta

complex*16 cf2(0:d),cg2(0:d),cf1(0:d),cg1(0:d)complex*16 czlmin,csigma(0:d),cfp2(0:d),cgp2(0:d) 10

double precision fp2,gp2,tandelta,delta

pi=dacos(-1.d0)e=0.1d0/e0k0=sqrt(e)

ga=1.d0/(2.*k0)l=1.d0dx = xmax/(ngrid-.5d0)c=-53.87d0do i=1,ngrid 20

x(i)= (i -.5d0)*dxv(i)= erf(x(i)/dsqrt(2.d0)/l)/x(i)

& +c*l**2/(dsqrt(2.d0*pi)*l)**3*dexp(-(x(i)/l)**2/2.d0)

k(i)= (e - v(i))

end do

u(1)= dx

u(2)=(2.d0*(1.d0-5.*dx**2/12.d0*k(1))*u(1) +

B.3 Shift di Coulomb II 39

& (1.+dx**2/12.*k(1))*u(1))/(1.+dx**2*k(2)/12.) 30

do p=3,ngrid

u(p)=(2.d0*(1.d0-5.*dx**2/12.d0*k(p-1))*u(p-1) -

& (1.+dx**2/12.*k(p-2))*u(p-2))/(1.+dx**2*k(p)/12.)end do

u1=u(ngrid-50)u2=u(ngrid) 40

z2=cmplx(k0*x(ngrid),0.d0)eta=cmplx(1.d0*ga,0.d0)czlmin=cmplx(0.d0,0.d0)z1=cmplx(k0*x(ngrid-50),0.d0)

call wclbes(z2,eta,czlmin,0,cf2,cg2,cfp2,cgp2,& csigma,0,2,jfail,1)

call wclbes(z1,eta,czlmin,0,cf1,cg1,cfp2,cgp2,& csigma,0,2,jfail,1)

50

tandelta=dreal(u1*cf2(0)-cf1(0)*u2)/& (cg1(0)*u2-cg2(0)*u1)

delta=datan(tandelta)*180/piif(delta.lt.0.d0)thendelta=delta+180end if

return

end

Appendice C

Trasformata di Fourier del

potenziale di Coulomb

Dato il potenziale di Coulomb V (r) = 1r , la sua trasformata di Fourier

sarà data dall'integrale:

V (q) =

∫d3r

eiq·r

r= (C.1)∫

d3reiqr cos θ

r.

Vista la forma dell'integrale, conviene passare alle coordinate sferiche, otte-nendo: ∫ 2π

0dϕ

∫ 1

−1d(cos θ)

∫ ∞0

eiqr cos θr2

rdr = (C.2)

2π

iq

∫ ∞0

(eiqr − e−iqr)dr,

Introducendo un piccolo parametro ε negli esponenziali, da far poi tenderea zero, si considera ±iqr come una semplice fase, che quindi non inuisce inmodo determinante sul calcolo degli integrali:

2π

iq

∫ ∞0

(eiqr−εr − e−iqr−εr)dr = (C.3)

2π

iq

[eiqr−εriq − ε

∣∣∞0− e−iqr−εr

−iq − ε∣∣∞0

]= (C.4)

2π

iq

[− 1

iq − ε+

1

−iq − ε]

=

2π

iq

iq − ε+ iq + ε

q2 + ε2=

4π

q2 + ε2

ε−→0=

4π

q2.

40

Appendice D

Trasformata di Fourier del

potenziale di Coulomb con

cuto

Calcoliamo l'antitrasformata del potenziale di Coulomb regolarizzato nel-

lo spazio dei momenti 4πq2

e−q2a2

2 risolvendo l'integrale:

1

(2π)3

∫4π

q2e−

q2a2

2 eiq·rd3q = (D.1)

1

2π2

∫ 2π

0dϕ

∫ π

0sin θdθ

∫ ∞0

e−q2a2

2eiqr cos θ

q2q2dq = (D.2)

1

π

∫ 1

−1d(cos θ)

∫ ∞0

e−a2

2(q2− 2iqr cos θ

a2)dq, (D.3)

in cui si procede col completamento del quadrato nell'esponenziale della(D.3):

(q2 − 2iqr cos θ

a2

)=(q2 − 2iqr cos θ

a2− r2 cos2 θ

a4+r2 cos2 θ

a4

). (D.4)

41

42

Da qui:

1

π

∫ 1

−1d(cos θ)

∫ ∞0

e−a2

2(q2− 2iqr cos θ

a2)dq = (D.5)

1

π

∫ 1

−1e−

r2 cos2 θ2a2 d(cos θ)

∫ ∞0

e−a2

2(q− ir cos θ

a2)2dq

%=r cos θ=

1

rπ

∫ r

−re−

%2

2a2 d%

∫ ∞0

e−a2

2(q− i%

a2)2dq

v=q− i%

a2=

1

rπ

∫ r

−re−

%2

2a2 d%

∫ ∞− i%

a2

e−a2v2

2 dv =

1

rπ

∫ r

−re−

%2

2a2 d%[∫ ∞

0e−

a2v2

2 dv −∫ − i%

a2

0e−

a2v2

2 dv]

=

√2π

rπ2a

∫ r

−re−

%2

2a2 d%[1− erf(− i%

a2)]

=

1

ra√

2π

[∫ r

−re−

%2

2a2 d%−∫ r

−re−

%2

2a2 erf(− i%a2

)d%].

Poiché il secondo integrale è nullo (la funzione errore è dispari), l'integralein (D.1) risulta valere 1

r erf(

ra√

2

), in quanto:

1

ra√

2π

∫ r

−re−

%2

2a2 d% =1

2r

(erf( r√

2a

)− erf

(− r√

2a

)). (D.6)

La trasformata di Fourier di 4πq2

e−q2a2

2 è, quindi, 1r erf

(r

a√

2

).

Bibliograa

[1] S. Weinberg, The rst three minutes: a Modern View of the Origin ofthe Universe, Basic Books, 1993.

[2] F. Hoyle, On Nuclear Reactions Occurring In Very Hot Stars. TheSynthesis Of Elements From Carbon To Nickel, Astrophysical JournalSupplement 1 (1954) 121.

[3] G. P. Lepage, How to renormalize the Schrödinger equation, Lectures atthe VIII Jorge André Swieca Summer School (Brazil,Feb.1997), editedby World Scientic Press (Singapore, 1997). arXiv:nucl-th/9706029v1,Jun 1997.

[4] G. P. Lepage, What is renormalization?, in From Actions toAnswers, edited by World Scientic Press (Singapore, 1990).arXiv:hep-ph/0506330v1, Jun 2005.

[5] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, Quantum Mechanics, Vol.2,Hermann and John Wiley Sons, 1977.

[6] A. Messiah, Quantum Mechanics, North-Hollande publishing company,1961.

[7] S. E. Koonin and D. C. Meredith, Computational Physics, Addison-Wesley Publishing Company, 1990.

[8] S. A. Afzal, A. A. Z. Ahmad, S. Ali,Systematic Survey of the α − αInteraction, Review of Modern Physics 41 (1969) 247.

[9] R. Higa, H. W. Hammer, U. van Kolck, αα Scattering in Halo EectiveField Theory, Nuclear Physics A809 (2008) 171.

[10] http://cernlib.web.cern.ch/cernlib

43

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Teoria e ettiva dell'interazione tra due particelle - infn.it 3.2.1 Calcolo dello shift nel caso di...

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