Teoria perturbativa 1Abbiamo gia’ considerato il caso del limite Newtoniano, inteso come limite di campo debole, statico e con particelle che si muovono lentamente. Consideriamo nuovamente il limite di campo debole ma senza altre limitazioni sulla staticita’ e sulla velocita’ degli oggetti.Il limite di campo debole implica che la metrica sia decomponibile in una metrica di Minkowski piu’ un termine perturbativo.

Consideriamo coordinate in cui il T. di Minkowsky puo’ essere scritto nella sua forma canonica. Nel limite di piccole perturbazioni possiamo ignorare le quantita’ al secondo ordine, ottendendo per la metrica inversa:

Dove abbiamo usato il tensore di Minkowski per alzare gli indici.Si noti che l’espansione perturbativa non necessita di un background di Minkowsky. Essa puo’ essere fatta anche sul background descritto da una metrica differente ma nota.

Nel limite perturbativo i simboli di Cristoffel diventano:.

Teoria perturbativa 2

Possiamo considerare l’approccio perturbativo, e da questo la versione linearizzata della Relativita’ Generale, come quello che descrive la propagazione del tensore simmetrico hµn in uno spazio tempo piatto. Vogliamo dunque trovare le equazioni che descrivonom il moto del tensore hµn che otterremo dale equazioni di Eisnstein al primo ordine. Per farlo utilizziamo la sequente procedura: 1) si ricavano i simboli di Cristoffel (gia’ fatto) 2) da questi formiamo il tensore di Riemann eliminando i termini G2 3) formiamo il tensore di Ricci contraendo 2 indici e 4) otteniamo lo scalare di Ricci:

5) e infine otteniamo il tensore di Einstein linearizzato (in h)

Teoria perturbativa 3Siamo ora in grado di esplitaere le Equazioni di Einstein linearizzate

Il tensore energia momento contiene solo termini di ordine 0 in hµn poiche’ si assume che il contenuto di energia e momento sia sufficientemente piccolo per consentirel’approccio preturbativo.

La decomposizione in Minkowski + perturbazione non specifica ilsistema di coordinate nello spazio temp. Ci possono essere alter scelte di coordinate (gauge) in cui gµn puo’ essere come metricz di Minkowski + una piccola perturbazione, heµn differente da quella originale. Questo grado di liberta’ si traduce in una relazionetra le metriche perturbate

Dove il campo vettoriale exµ individua la direzione di un diffeomorfismo infinitesimo per la metrica gµn. Chiameremo questa trasformazione una trasformazione di gauge. Esistono varie possibili scelte di gauge. Tra le piu’ popolari ci sono il gauge trasversale, quello sincrono e quello armonico. Per le onde gravitazionali si utilizza principalmente al gauge trasversale.

Teoria perturbativa 4A questo punto si potrebbe scegliere un gauge e risolvere le equazioni di Eintsein linearizzate. Per comprendere meglio il significato fisico dell’operazione e’ pero’ piu’ conveniente agire in analogia con quanto veien fatto per il campo elettromagnetico in cui si sceglie un sistema do coordinate inerziali fisso nel background di Minkowski e si decompone la perturbazione in base alle sue proprieta’ di trasformazione sotto rotazioni spaziali. La perturbazione hµn e’ un tensore (0,2) simmetrico. Sotto rotazione spaziale la componente 00 e’ uno scalare, le componenti 0i formano un 3-vettore e le componenti (i,j) un tensore spaziale simmetrico. Che puo’ essere a sua volta decomposto in una parte con traccia e una senza traccia. Quindi possiamo scrivere hµncome:

In questo modo la metrica perturbata diventa

Dove Y contiene informazioni sulla traccia di h ed sij e’ senza traccia

Teoria perturbativa 5

Procediamo ora a esplicitare le equazioni di Einstein linearizzate. Dopo aver calcolato i simboli di Cristoffel e, da questi, il tensore e lo scalare di Ricci, otteniamo le componenti non nulle del tensore di Einstein

Inserendo queste Equazioni in quelle linearizzate di Einstein si vede che solo alcune componenti della metrica corrispondono a veri gradi di liberta’. Le altre, dovendo obbedire a vari vincoli, risultano essere mutuamente dipendenti. In particolari, noto il tensore energia momento e la matrice di strain, sij, tutte le altre componenti sono esprimibili in funzione di queste quantita’. In altri termini l’unico grado di liberta’ che si propoaga nello spazio-tempo e’ sij.

Teoria perturbativa 6Le espressioni precedenti sono generali. Riflettono solamente la decomposizione di hµn sotto rotazione spaziale. Ora specializziamole in base alla scelta del gauge. Scegliamo il gauge trasversale in cui sij e wi dono spazialmente trasversi, ovvero:

Queste equazioni vincolano il diffeomorfismo xµ ,ovvero il gauge, a meno di termini di bordo. In questo gauge le equazioni di Einstein diventano:

Questo e’ il gauge in cui studieremo il fenomeno della propagazione delle onde gravitazionali.

Onde Gravitazionali: propagazione 1Consideriamo ora la radiazione grazitazionale in campo debole. Qui ci interessa la propagazione delle onde e non la loro generazione. Quindi possiamo eliminare ogni termine sorgente e scrivere Gµn =Tµn=0. Consideriamo il gauge trasversale:

Dal termine 00 otteniamo: . Se le condizioni al contorno sono regolari

Dal termine 0j otteniamo: . Che nuovamente implica

Dalla traccia dell’equazione ij e con le condizioni precedenti:

Rimaniamo con la parte traceless di ij ovvero con l’equazione:

In letteratura, anziche’ lavorare con sij si preferisce considerare l’intera perturbazione hµn Nel caso di Gauge trasversale in cui (F,Y,wi)=(0,0,0) la perturbazione e’:

Cosicche’ l’equazioneprecedente puo’ essereriscritta come

Onde Gravitazionali: propagazione 2Per analogia con l’elettromagnetismo cerchiamo soluzioni tipo onda piana:

Dove Cµn e’ un tensore costante (0,2) puramente spaziale e tracelessQuesto ansatz rappresenta una soluzione a sotto la condizione Corrispondente alla richiesta che k sia di tipo luce ovvero che le onde gravitazionali si propaghino alla velocita’ della luce. Ricordando che la componente 0 del vettore d’onda e’ la sua frequenza riscriviamo ks=(w,k1,k2,k3). Per un’onda che propaga lungo x3 : ks=(w,0,0,k3) la condizione sulla norma di k diventa ks=(w,0,0,w) ovvero

Inoltre la condizione di trasversalita’ per sij (e quindi per hTTij) implica

il che indica che il vettore d’onda e’ ortogonale a Cµn

Per l’onda che viaggia in direzione x3: ks=(w,0,0,w) la condizione di ortogonalita’ implica C3n=0. Da cui otteniamo l’espressione per il tensore Cµn

Quindi un’onda piana che viaggia in direzione x3

E’ completamente caratterizzata dalle componenti C11 e C12 e dalla frequenza w.

Onde Gravitazionali: propagazione 3Per apprezzare l’effetto del passaggio di un’onda non e’ sufficiente considerare il moto di una singola perticella lungo una sua geodetica. Possiamo infatti scegliere un altro distema di coordinate in cui la particella appare ferma. Dobbiamo invece considerare il moto relativo di due particelle vicine che e’ descritto dall’equazione della deviazione delle geodetiche per la separazione Sµ:

Per un’onda che si propaga in direzione x3 solo i termini S1 ed S2 sono diversi da zero e le particelle di tests si muoveranno solamente nel piano (x1,x2) in analogia con il campo elettromagnetico in cui E e B sono perpendicolari al vettore d’onda.

Per particelle di test che si muovono lentamente U rappresenta la quadrivelocita’ di una particella ferma (t=t=x0) e l’equazione precedente diventa:

Onde Gravitazionali: propagazione 4Riscrivendo il tensore Cµn come a lato otteniamo le soluzioni esplicite all’equazione precedente.Esaminaimo separatamente gli effetti di h+=C11e hx= C12

\Cominciamo con hx=0. Le soluzioni all’equazione sono:

Particelle inizialmente separate lungo x1 oscillano lungo x1. Particelle inizialmente separate lungo x2 oscillano lungo x2. L’effetto e’ quello mostrato in figura. La perturbazione sono mostrate nel piano x1 x2.

Il tempo scorre da sinistra a destra. L’effetto e’ quello di distorcere un cerchio nel piano x1 x2 con una perturbazione a forma di +.

Onde Gravitazionali: propagazione 4Le soluzioni con h+=0 sono:

Che corrispondono a perturbazioni a forma di x nel piano x1 x2.

Le quantita’ h+ e hx misurano quindi i due modi indipendenti di polarizzazione lineare delle onde gravitazionali, Che possono essere combinati a formare modi di polarizzazione circolare, oraria ed antioraria:

Onde Gravitazionali: generazione 1Per affrontare il problema della generazione delle onde gravitazionali bisogna risolvere le equazioni di Einstein con Tµn non nullo. In questo caso le perturbazioni alla metrica conterranno componenti sia scalari che vettoriali oltre allo strain. Per risolvere il problema ci posizioniamo lontani dalla sorgente, ovvero nel vuoto, in cui possiamo considerare il gauge trasverso e senza traccia per il considerare il tensore hµn.

Conviene definire il tensore

Abbiamo ancora un grado di liberta’ legato alla scelta del gauge. Scegliamo quello di Lorentz corrispondente alla condizione: . N.b. in questo gauge la perturbazione originale non e’ trasversa Inserendo la definizione della perturbazione a traccia inversa nel tensore di Einstein:

E le equazioni di Einstein linearizzate diventano:

Detto a traccia inversa poiche’Lontano dalla sorgente utilizziamo il gauge trasverso e senza traccia in cui la perturbazione e’ quella originale

Onde Gravitazionali: generazione 2La soluzione alle Equazioni puo’ essere espresso in termini delle funzioni di Green, esattamente come accade nel caso del campo elettromagnetico. La soluzione generale e’ del tipo:

La perturbazione in (t,x) e’ la somma delle varie influenze dalle sorgenti dotate di energia-momento nelle posizioni (tr,x-y) lungo il cono luce passato, dove tr=t-|x-y| e’ detto ritardo temporale.

Questa soluzione puo’ essere pensata come ritardata o anticipata, a seconda che rappresenti un’onda che viaggia Avanti o indietro nel tempo. Noi siamo interessati alle soluzioni ritardate. Per queste soluzioni sono note le funzioni di Green G(.) le quali, inserite nell’equazione precedente danno la soluzione ritardata

Onde Gravitazionali: generazione 3Specializziamoci al caso di una singola sorgente distante, composta di materia non relativistica. Consideriamo la trasformata di Fourier di

Dove la seconda equazione e’ stata ottenuta inserendo l’espressione precedente e considerando la trasformata di Fourier di Tµn. Nell’approssimazione che la sorgente sia a distanza r grande rispetto alle dimensioni della sorgente, dr, e che la frequenza di emissione sia sufficientemente piccola perche’ valga dr<<w-1 (ovvero che la luce viaggi piu’ veloce delle parti della sorgente) si ha che |x-y|~r~costante e l’integrale precedente diventa

Nel gauge di Lorentz le component (0,n) della perturbazioni sono esprimibili in termini delle component spaziali. L’integrale puo’ essere risolto per parti. Tenendoconto della condizione di conservazione di Tµn si ottiene la soluzione:

Il termine a destra rappresenta il momento di quadrupolo del tensore energia momento della sorgente. Iij e’ un tensore costante su tutte le superfici con t costante

Onde Gravitazionali: generazione 4Facendo l’anti-trasformata di Fourier per ottenere il tensore a traccia inversa, otteniamo la formula del quadrupolo

L’onda gravitazionale prodotta da una sorgente non relativistica, isolata e distante e’ proporzionale alla derivata seconda del momento di quadrupolo della distribuzione di massa-energia nel punto in cui il cono luce dell’osservatore interseca la sorgente. Si noti che nel caso dell’elettromagnetismo il segnale viene generato dalla variazione del momento di dipolo della distribuzione. Per un gravitazionale cio’ e’ impossibile poiche’ variare il momento di dipole significa modificare la posizione del centro di massa che pero’ deve rimanere costante per la conservazione del momento.Il momento di quadrupolo e’ tipicamente piu’ piccolo di quello di dipolo. Per questo motive e per il debole accoppiamento tra materia e gravita’, le onde gravitazionali sono molto piu’ deboli di quelle elettromagnetico epercio’ difficili da rivelare.

Consideriamo come esempio un sistema binario compost da due oggetti di massa M che orbitano nel piano x1 x2 a distanza R dal comune centro di massa. Assumiamo, per semplicita’, che le orbite dei due corpi siano Kepleriane (campo debole).

Onde Gravitazionali: generazione 5Riferiamoci alla figura a lato. Per l’equilibrio centrifugo avremo che:

R

R

M

M

x1x2

Il tempo necessario per completare un’orbita, T, e la velocita’ angolare W sono:

Le orbite dei due corpi sono dunque:

Da cui la densita’ di energia corrispondente risulta:

Onde Gravitazionali: generazione 6

Da T00 si puo’ calcolare il momento di quadrupolo della densita’ di materia-energia

Le rimanenti componenti, temporali, possono essere ricavate dalla condizione del gauge di Lorentz

Da cui e’ facile, derivando rispetto a t, ricavare la perturbazione alla metrica

Onde Gravitazionali: rivelazione 1Consideriamo un esempio molto significativo: quello di 2 buchi neri da 30 masse solari che orbitano intorno al comune centro di massa ad una distanza di 400 Mpc da un osservatore. I BHs hanno una separazione pari a 10 volte Rs.L’onda gravitazionale sara’ caratterizzata da intensita’ e frequenza. La frequenza sara’ pari a quella orbitale:

Nel caso in esame:

L’intensita’ sara’ circa uguale al modulo di h

Quindi avremo:

Il passaggio di un’onda gravitazionale modifica le posizioni relative di 2 masse in caduta libera. 2 masse di test separate da una distanza L si avvicinano/allontanano di un fattore dL/L~h. Se consideriamo masse separate da ~ 1 Km allora per rivelare onde di questa ampiezza dovremmo misurare separazioni dL dell’ordine di

Che sono circa 10-3 volte inferiori a quelle di un nucleo atomico….

R

Onde Gravitazionali: rivelazione 2Tale misura puo’ essere eseguita con un interferometro come LIGO (in figura) con bracci di L=4Km.Un impulse laser di lunghezza d’onda l=10-4cm viene separatoe riflesso per circa 100 volte all’interno di ogni braccio prima di essere inviato al fotodiodo.In assenza di onde gravitazionali l’apparato e’ calibrato in modo che l’interferanza tra i due fasci sia distruttiva.

Se un onda gravitazionale attraversa il sistema essa causa una differenza nei cammini percorsi dai fotonopari a dL=10-16 cm . Questa diferenza produrra’ una differenza di fase tra i fasci pari a

Onde Gravitazionali: rivelazione 3Questa e’ stata la misura con cui LIGO ha rivelato per la prima volta delle onde gravitazionali in modo diretto nel 2017.In figura sono mostrati i risultati della misura contemporanea dei due interferometri. Nei pannelli in alto e’mostrata l’ampiezza di h (~10-21) in funzione del tempo ed in basso il valore della frequenza in funzione del tempo. La frequenza aumenta poiche’ due buchi neri stanno spiraleggaindo e, alla fine del processo, coalescono in un unico oggetto.