Indice Indice ....................................... i 1 L’acqua nell’atmosfera 3 1.1 Introduzione ................................. 3 1.2 Nozioni di termodinamica ......................... 4 1.2.1 L’equazione di stato di un gas ideale ............... 4 1.2.2 Lavoro ................................ 4 1.2.3 Capacit´ a termica .......................... 5 1.2.4 Conservazione dell’energia ..................... 5 1.2.5 Energia interna e calori specifici di un gas ............ 6 1.2.6 Processi adiabatici ......................... 9 1.2.7 L’entropia e la seconda legge della termodinamica ........ 9 1.2.8 Processi reversibili ed irreversibili ................. 12 1.3 Potenziali termodinamici .......................... 12 1.3.1 Approccio all’equilibrio ....................... 13 1.4 Il potenziale chimico ............................ 14 1.4.1 Potenziale chimico di un gas ideale in una miscela ........ 16 1.4.2 Potenziale chimico di un liquido .................. 16 1.5 Condizioni generali di equilibrio ...................... 16 1.5.1 Equilibrio termico, meccanico e chimico di un sistema eterogeneo 17 1.5.2 Regola delle fasi di Gibbs ..................... 18 1.6 Esercizi sulla termodinamica dell’aria secca ................ 19 1.6.1 Processi termodinamici ....................... 19 1.7 Termodinamica dell’aria umida ...................... 26 1.8 Propriet´ a termiche della sostanza acqua .................. 28 1.9 L’equazione di stato dell’aria umida .................... 29 1.10 Calori latenti e cambiamenti di fase .................... 31 1.10.1 Dipendenza dalla temperatura dei calori latenti ......... 32 1.11 L’equazione di Clausius Clapeyron .................... 33 1.12 Processi adiabatici per aria satura ..................... 39 1.12.1 Equazione pseudoadiabatica .................... 40 1.13 Diagrammi termodinamici ......................... 44 1.13.1 Requisiti generali .......................... 44 1.13.2 Diagramma di St¨ uve ........................ 45 i
D Eq. di Navier Stokes 309D.1 Stream function per flussi attorno a corpi assisimmetrici . . . . . . . . 309
D.1.1 Equazione di Navier-Stokes per la stream-function . . . . . . . . 310
Capitolo 1
L’acqua nell’atmosfera
1.1 Introduzione
Eccetto che per le variazioni dovute al vapor acqueo, la composizione relativa dell’at-mosfera e costante sino a 90 km sopra il livello del mare. L’aria e composta da unmiscuglio di diversi gas: azoto 78%, ossigeno 20% e CO2, gas rari, NO2, NO e vapored’acqua per il restante 2% (vedi tab.1.1).
Il vapore d’acqua e uno dei minori costituenti dell’atmosfera e benche sempre pre-sente, la sua concentrazione varia grandemente nello spazio e nel tempo. Esso vienefornito agli strati inferiori dell’atmosfera per evaporazione dagli oceani della superficieterrestre; e rimosso dalla media troposfera per formazione di precipitazioni (pioggia,neve, grandine, rugiada e brina). Mediamente, pertanto, il vapore deve diffondere versol’alto attraverso la bassa troposfera: il suo trasporto ha luogo piu per turbolenza cheper diffusione molecolare. Cio comporta che la sua concentrazione a differenza deglialtri costituenti deve decrescere verso l’alto nei primi strati. Il flusso di vapore dallasuperficie terrestre (evaporazione) dipende dal tipo di superficie e dalla sua tempera-tura, dalla intensita del vento e dalla umidita dell’aria sovrastante. Il flusso inversodall’atmosfera al suolo e principalmente dovuto alle precipitazioni, essendo trascurabilein confronto la condensazione diretta per rugiada e brina: presenta quindi valore zero
Tabella 1.1: Composizione dell’aria secca: principali componenti. La massa molaremedia dell’aria secca e Md = 28.97 g/mol.
Componente Massa molare g/mol Frazione molare Frazione di massa
per una maggior parte del tempo salendo a valori elevatissimi durante piogge intense.I due flussi devono, mediamente, uguagliarsi in ampi intervalli di tempo e di spazio,ma per la grande variabilita si verifica su tutte le scale un complesso meccanismo ditrasporto, fino a coinvolgere la stessa circolazione generale dell’atmosfera. Cosı i trop-ici sono sorgenti di vapore ed i poli pozzi, gli oceani sorgenti ed i continenti, per lopiu, pozzi. Per l’elevato calore latente di condensazione (597.3 cal/g), il vapore giocaun ruolo molto importante nel trasporto di energia. La diffusione del vapore versol’alto (evaporazione dalla superficie), rappresenta una gran parte del flusso di energiadalla superficie all’atmosfera. Su scala globale lo scorrimento verso i poli del vaporetrasporta una grande frazione dell’energia radiativa in arrivo sulle regioni tropicali.
Infine il comportamento nell’infrarosso dell’atmosfera dipende grandemente dal con-tenuto del vapore d’acqua, molecola triatomica, ed influisce sulla circolazione generaledell’atmosfera. Per tutte queste ragioni il ciclo dell’acqua e importante e si connettecon l’idrologia sopra e sotto la superficie terrestre. Noi ci proponiamo di studiare meglioun passaggio di questa catena: il passaggio vapore-nubi-precipitazioni nell’atmosfera.
1.2 Nozioni di termodinamica
1.2.1 L’equazione di stato di un gas ideale
Un’equazione di stato e una relazione tra le variabili di stato p, α, T o tra quantita daesse derivate. L’equazione dei gas perfetti ottenuta sperimentalmente (Charles-Boyle)che useremo in seguito si scrive nella forma:
pα = RT α =1
ρ=
∆V
∆M(1.1)
ove α e il volume specifico a pressione p e temperatura T e R e la costante specifica delgas considerato. Essa e legata alla costante universale R dalla relazione R = R/M,ove M e il peso molecolare del gas. (R = 8.314 J/(mol K)). Quindi ad esempio perl’aria secca (dry) Rd = 287 J/(kg K).
Se consideriamo una mole di un gas (cioe una massa di gas pari al peso molecolareM), il suo volume sara V = Mα e l’equazione (1.1) diviene:
pV = MRT ; (1.2)
per N moli del gas stesso avro:
V = N Mα ⇒ pV = N MR T ⇒ pV = N RT (1.3)
che e l’equazione dei gas perfetti nella forma piu nota.
1.2.2 Lavoro
La sola forza con la quale un fluido non viscoso puo produrre lavoro sull’ambiente ela pressione sulla superficie del fluido stesso. Per ogni elemento di superficie dA il
1.2. NOZIONI DI TERMODINAMICA 5
fluido esercita sull’ambiente una forza pdA; questa forza e normale all’elemento d’area.Supponiamo ora che il fluido compia un’espansione muovendo la superficie dA di unospostamento ds ad un angolo θ rispetto alla normale a dA. Il lavoro compiuto sarap dA ds cos θ, ma dA ds cos θ = dV e la variazione infinitesima del volume consideratocosı che
dW = pdV. (1.4)
D’ora in poi con lettere minuscole indicheremo le grandezze per unita di massa. Divi-dendo la (1.4) per la massa del campione abbiamo:
dw = pdα.
Diciamo poi che dw e positivo quando il sistema si espande e compie lavoro sull’ambi-ente. Nel passaggio da α1 ad α2 , differenti per un valore finito, si ha:
w =
α2∫
α1
p dα
ove p puo variare durante il processo. Il valore dell’integrale e dato dall’area sottostantela curva p(α); c’e un numero infinito di cammini, che connettono lo stato iniziale allostato finale. Se si ritorna allo stato iniziale, il lavoro e l’area compresa fra i due percorsi.
1.2.3 Capacita termica
La capacita termica di un corpo si definisce come il rapporto tra il calore somministratoal corpo e la variazione di temperatura che il corpo subisce:
C ≡ ∆Q
∆T
C = capacita termicaQ = quantita di caloreT = temperatura
(1.5)
In generale tale grandezza non sara esattamente costante con le temperature, di modoche e piu opportuno scrivere
C = dQ/dT (1.6)
e, dividendo per la massa, l’eq.(1.6) diventa:
c = dq/dT c = capacita termica specifica o calore specifico.
1.2.4 Conservazione dell’energia
L’energia di un sistema ne quantifica la capacita di compiere lavoro. La conservazionedell’energia trovata per l’energia potenziale e cinetica meccanica, vale anche in termo-dinamica. Dall’esperienza di Joule si ricava che l’equivalente meccanica del calore e1 cal = 4.186 J = 4.186 × 107 ergs. Un incremento di calore dQ puo essere utilizzatoin parte per aumentare la temperatura del gas o per superare la forza di attrazione fra
6 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
le molecole (entrambe costituiscono l’energia interna del sistema dU) ed in parte percompiere lavoro:
dQ = dU + dW.
In termodinamica classica, (nel caso in cui non si considerino variazioni dell’energiacinetica e potenziale organizzate) l’equazione sopra scritta e rigorosa. In ogni formu-lazione generale invece ogni incremento di energia fornita ad un sistema e la sommadella variazione di energia cinetica organizzata, di energia potenziale, di energia elettri-ca e magnetica, di energia interna (soprattutto termica) e del lavoro fatto sull’ambiente.Per i sistemi meteorologici sono possibili alcune semplificazioni. Innanzitutto possiamoescludere le variazioni di energia elettrica e magnetica; rimangono quelle legate alla en-ergia cinetica organizzata, potenziale, interna e al lavoro sull’ambiente. Da semplicicalcoli si osserva che si possono trascurare le variazioni dell’energia cinetica organiz-zata, confrontate con le variazioni di energia interna. Inoltre le variazioni di energiapotenziale di una particella d’aria possono essere trascurate poiche nei processi a largascala c’e un equilibrio tra la forza di gravita e la forza verso l’alto dovuta alla dimin-uzione di pressione. Cosı l’aumento di energia potenziale avviene a spesa del lavorofatto dal gradiente verticale di pressione. Pertanto partendo dalla dQ = dU + dW edividendo per la massa si ha:
dq = du+ dw = du+ pdα, con du= energia interna specifica. (1.7)
Per renderla utile ai fini meteorologici dobbiamo ricordare il concetto di calore specificodei gas. Il calore necessario per innalzare di un grado la temperatura del gas dipendedal modo in cui il processo avviene: se lasciamo espandere il gas (e quindi compierelavoro) o se manteniamo il suo volume costante. Definiamo cosı il calore specifico avolume costante ed il calore specifico a pressione costante:
cV =
(
dq
dT
)
v
, cP =
(
dq
dT
)
p
.
E’ ovvio che cP > cV in quanto parte del calore deve anche compiere lavoro.
1.2.5 Energia interna e calori specifici di un gas
La teoria cinetica-molecolare dei gas ipotizza che un gas ideale consista di un grande nu-mero di molecole in rapido movimento, di dimensioni trascurabili rispetto alle distanzeche percorrono, con forze intermolecolari trascurabili, ed urti perfettamente elastici.In tal caso la temperatura e proporzionale all’energia cinetica media e la pressione ela forza per unita d’area dovuta al bombardamento delle molecole. In un tale sistemal’energia interna e funzione della sola temperatura, poiche il calore applicato a volumecostante va ad accrescere la sola energia cinetica delle molecole.
Nei gas reali dell’energia puo venire spesa nelle forze intermolecolari ma per definizionecio non accade per i gas ideali. Quindi, in teoria du = cV dT nei gas ideali. Le duecondizioni necessarie perche un gas si comporti come ideale sono:
1.2. NOZIONI DI TERMODINAMICA 7
1. deve essere soddisfatta la legge dei gas perfetti (1.1),
2. l’energia interna deve essere funzione solo della temperatura.
Nessun gas reale le soddisfa (causa le dimensioni finite delle molecole e l’esistenzadelle forze intermolecolari). Possiamo pero discutere le condizioni sperimentali per lequali queste condizioni possono considerarsi soddisfatte. Per quel che concerne la leggedei gas perfetti possiamo dire che il comportamento reale si avvicina a quello idealeal decrescere di p o al crescere del volume specifico. Consideriamo ora la secondacondizione di idealita. Per un gas reale l’energia interna sara in generale una funzionedi stato del gas della forma u(p, α, T ). Se la legge dei gas perfetti e applicabile, unadelle variabili (ad esempio p) puo essere eliminata e u = u(α, T ). Si puo scrivere:
du =
(
∂u
∂α
)
dα+
(
∂u
∂T
)
dT
con du variazione di energia interna in processi in cui variano sia α che T . Si notiche, a differenza che nella derivazione totale, nella derivazione parziale si varia solo lavariabile rispetto alla quale si deriva, cosı qui sopra
(
∂u∂α
)
=(
dudα
)
T. Sostituendo nella
prima legge (1.7) della termodinamica, si ha:
dq =∂u
∂TdT +
(
∂u
∂α+ p
)
dα.
Imponendo che il processo sia isosterico (cioe α = cost), allora
cV =
(
dq
dT
)
α
=∂u
∂T⇒ du =
(
∂u
∂α
)
dα+ cV dT. (1.8)
Ora siamo in grado di esaminare, sperimentalmente, la variazione ∂u∂α
. L’esperimentoclassico e di porre due recipienti termicamente isolati in comunicazione tra loro tramiteuna valvola. Uno sia vuoto e l’altro a pressione p. Aprendo la valvola il gas si espandenel recipiente vuoto. Poiche si ha espansione libera su un volume ove la pressione p = 0,non si ha lavoro. Poiche i recipienti sono isolati, non si ha trasmissione di calore algas. Cosı la prima legge della termodinamica (1.7) richiede che dq = dw = 0 e quindidu = 0 e l’eq.(1.8) diviene:
∂u
∂α= −cV
dT
dα.
Cosı, nell’esperimento precedente, per poter calcolare la variazione di u con α ci oc-corre solo misurare la variazione in T durante una variazione nota del volume specifico,essendo cV noto per altra via. I primi tentativi non mostrarono alcuna variazione in T ,mentre esperimenti piu dettagliati (effetto Joule-Thompson) mostrarono un raffredda-mento anche se la variazione dT
dαdecresceva diminuendo la pressione. Quindi piu si e
vicini alle condizioni della teoria cinetica molecolare (ovvero piu bassa e p) piu il gasreale si comporta come ideale ed e:
∂u
∂α= 0 e du = cV dT
8 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
come nei gas perfetti. Questo risultato mostra che l’energia interna di un gas ideale efunzione della sola temperatura, se cV e funzione della sola temperatura.
Viceversa, seguendo lo stesso ragionamento fatto per u, cV sara funzione di duevariabili cV = cV (α, T ) e, poiche cV = ∂u
∂T, si ha
∂cV∂α
=∂
∂α
(
∂u
∂T
)
=∂
∂T
(
∂u
∂α
)
e quindi cV e funzione della sola temperatura essendo che, per un gas ideale, ∂u∂α
= 0.Abbiamo quindi dimostrato che l’energia interna di un gas ideale e funzione della solatemperatura se e solo se cV e funzione della sola temperatura. Se ora consideriamol’aria secca, le variazioni di cV con la temperatura sono piccole (cV e costante con Tentro 0.01% per C): pertanto per l’aria secca si puo fare l’approssimazione di gasideale.
Ora siamo in grado di scrivere la prima legge della termodinamica (1.7) per un gasideale nella forma:
dq = cV dT + p dα.
ove tutte le quantita possono essere misurate e calcolate. Un’altra forma puo ottenersisostituendo dα dall’equazione di stato:
p dα + α dp = R dT
⇓dq = (cV +R) dT − α dp
Per un processo isobarico dp = 0:
cP =
(
dq
dT
)
p
= cV +R.
Per un gas ideale cP e cV sono costanti e la loro differenza e uguale alla costante specificadel gas in esame. Si puo dimostrare che per un gas ideale di molecole diatomichecP = 7/2R e cV = 5/2R. L’aria secca e un gas di questo tipo con:
cP = 0.240 cal g−1 C−1
cV = 0.171 cal g−1 C−1
Sostituendo cP − cV = R nella precedente ho un’altra forma della prima legge (1.7) chepuo usarsi diffusamente:
dq = cP dT − α dp (1.9)
che e particolarmente utile perche incrementi in dT e dp si osservano comunemente inmeteorologia. Notare che cP dT non e la variazione di energia interna e α dp non e illavoro fatto.
1.2. NOZIONI DI TERMODINAMICA 9
1.2.6 Processi adiabatici
Un aumento di calore dq puo essere aggiunto ad una porzione d’aria da molti processicosı detti diabatici : radiazione, attrito, condensazione di vapore, trasferimento turbo-lento. Molti sono difficili da trattare matematicamente e fisicamente. C’e un’evidenzaempirica che questi processi siano di secondaria importanza in tempi relativamentebrevi. Esaminiamo percio le implicazioni della prima legge della termodinamica (1.7)per processi adiabatici, in cui non si ha trasferimento di calore:
0 = cP dT − α dp (1.10)
Sostituiamo α = RTp
, per cui la (1.10) diventa:
dT
T= k
dp
pcon k =
R
cPadimensionale (1.11)
e quindi integrando:
d(logT ) = kd(log p) ⇒ T = cost · pk formula di Poisson (1.12)
L’equazione di Poisson (1.12) mette in relazione tra loro due variabili di stato (p, T )[relazioni simili valgono per (α, T ), (α, p)]. La costante dell’equazione puo assumerediversi valori a seconda della pressione e temperatura iniziale del gas. Se 1000 mb e θsono i valori iniziali, allora:
T
θ=
(
p[mb]
1000
)k
(1.13)
e θ e detta temperatura potenziale e si puo definire come la temperatura che uncampione di gas avrebbe se fosse portato adiabaticamente da uno stato (p, T ) a 1000mb. Chiaramente θ e una caratteristica della porzione d’aria che e invariante durante unprocesso adiabatico, cioe e una grandezza conservata. Cosı la temperatura potenzialepuo usarsi per caratterizzare una porzione d’aria e facilitare la sua identificazione da ungiorno all’altro. Per aria secca Rd/cP = k = 0.286. Poiche θ e funzione di due variabilidi stato, e essa pure variabile di stato. Si possono tracciare nei diagrammi di stato,linee di temperatura potenziale costante, oltre alle isoterme. Una linea a θ costantee chiamata adiabatica secca. In figura 1.1 si mostrano distribuzioni schematiche dialcune adiabatiche secche (linee continue) e di processi isotermi (linee tratteggiate)su un piano (α, −p) e su un piano (T, −p) (scala logaritmica). Con l’aiuto delleadiabatiche secche si possono riportare graficamente le variazioni di stato durante iprocessi adiabatici.
1.2.7 L’entropia e la seconda legge della termodinamica
In tutti i sistemi termodinamici e necessario considerare le alterazioni che avvengono inprossimita del sistema ed all’interno del sistema stesso. Un processo reversibile e quello
10 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
-
6
-T
?
p
AAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAAAA
T1 T2
θ1
θ2
--α
?
p6 θ1
θ2
T1
Figura 1.1: Diagrammi di adiabatiche secche (curve continue) e isoterme (curvetratteggiate) in diagrammi (T , p) in scala logaritmica e (α, p).
in cui ogni stato e di equilibrio. Cosı il sistema attraversa il processo passando per unnumero infinito di stati di equilibrio che differiscono per infinitesimi uno dall’altro. Intal caso si puo invertire il processo ed il sistema puo ritornare alla situazione iniziale:anche l’ambiente sara ritornato alla condizione iniziale. I processi irreversibili avven-gono per salti finiti: se il sistema ritorna alla sua condizione iniziale, l’ambiente saraalterato dalla sua condizione originaria. Cosı irreversibile non significa che non si puotornare alla condizione iniziale, ma che il sistema + il suo ambiente non lo possono. Unesempio di processo irriversibile e l’espansione nel vuoto: infatti per tornare indietro sideve comprimere e raffreddare e quindi si altera l’ambiente.
Giungiamo cosı al concetto di entropia. Dividendo la (1.9) per T e usando l’eq distato dei gas:
dq
T= cP
dT
T−R
dp
p⇒ dq
T= cP d(logT ) −R d(log p). (1.14)
I due termini alla destra sono differenziali di funzioni di variabili termodinamiche. Talidifferenziali sono esatti. Se uno integra un tale differenziale, per esempio d(lnT ) da T1
a T2, il risultato, ln(T1/T2) dipende solo dallo stato iniziale e finale e non dal processoper il quale si ha la variazione. Tali differenziali non dipendono dal cammino percorsoe, se il cammino e chiuso il risultato dell’integrale e zero. Infatti condizione necessariae sufficiente perche un differenziale sia esatto e che il suo integrale su un qualunquepercorso chiuso sia zero. Se integriamo la prima legge della termodinamica (1.7) su unpercorso chiuso in un diagramma (α, −p), abbiamo:
∮
dq =∮
cV dT +∮
p dα.
Ma per un gas perfetto cV dT e un differenziale esatto ed il suo integrale su un percorsochiuso e zero. Viceversa
∮
p dα e il lavoro fatto lungo il percorso chiuso ed e ugualeall’area contenuta all’interno del percorso chiuso nel diagramma. Per cui:
∮
dq =∮
p dα = w 6= 0.
1.2. NOZIONI DI TERMODINAMICA 11
Cosı ne dq ne p dα = dw sono differenziali esatti poiche i loro integrali di lineadipendono dal percorso.
Le proprieta matematiche dei differenziali esatti sono tali che e sempre preferibileporre le equazioni in forma di differenziali esatti. Ecco perche andiamo adesso adintrodurre un altro differenziale esatto. Torniamo alla equazione (1.14) e prendiamonel’integrale di linea:
∮ dq
T=∮
cP d(logT ) −∮
R d(log p) = 0.
poiche i due termini a destra sono integrali chiusi di differenziali esatti, dq/T deveessere pure un differenziale esatto: cosı l’aver diviso per T trasforma dq in differenzialeesatto mentre prima non lo era. Questo e un risultato nuovo ed importante. Si puodefinire
dφ = dqrev/T
funzione di due variabili di stato ed essa pure variabile di stato: φ e l’entropia delsistema per unita di massa (m2 s−2 K−1). Abbiamo messo un apice rev alla variazionedi calore perche nella derivazione che e stata fatta per ricavare dφ si e implicitamenteassunto che il sistema passi per stati di equilibrio (la legge dei gas perfetti vale istanteper istante solo per trasformazioni reversibili!).
Dedotta da considerazioni matematiche, l’entropia in realta ha una notevole rile-vanza fisica: la sua interpretazione viene data dalla seconda legge della termodinamica.
Vediamo ora che l’entropia e in relazione con la temperatura potenziale. Differen-ziando logaritmicamente l’equazione di Poisson (1.12) si ha:
T =(
p
1000
)k
θ ⇒ dT
T= k
dp
p+dθ
θ(1.15)
cPdθ
θ= cP
dT
T−R
dp
p
(1.16)
il secondo membro e identico a dq/T = dφ, per cui:
dφ = cP d(log θ) ⇒ φ = cP log θ + cost.
Cosı una variazione di entropia e funzione della sola temperatura potenziale, cioe, ameno di una costante, l’entropia di un sistema e data dal logaritmo della temperaturapotenziale. Avendo a che fare non con l’entropia totale, ma con le sue variazioni,la costante additiva e inessenziale. Un processo a temperatura potenziale costantee anche un processo ad entropia costante o isoentropico. In meteorologia, piuttostoche dell’entropia, si preferisce fare uso come variabile fondamentale della temperaturapotenziale.
La prima legge della termodinamica (1.7) stabilisce una equivalenza quantitativatra diverse forme di energia, senza imporre ulteriori restrizioni. Ma mentre il lavoropuo sempre trasformarsi in calore completamente, l’inverso non e possibile. La naturaopera restrizioni che sono espresse dalla seconda legge.
12 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
1.2.8 Processi reversibili ed irreversibili
Quando si ha un processo irreversibile, parte della energia diventa non piu utilizzabileper produrre lavoro. Questa quantita e T ∆φ se ∆φ e la differenza di entropia tra lostato iniziale e lo stato finale del (sistema + ambiente). Cosı l’entropia e una misuradella indisponibilita della energia, o una misura del disordine del sistema. Il secondoprincipio della termodinamica dice appunto che tutti i processi naturali tendono versostati di maggior disordine.
E da ricordare che l’entropia e definita per sistemi in equilibrio, e la variazionedi entropia da uno stato all’altro e associata al processo reversibile che connette i duestati. Inoltre se passo da uno stato A ad uno stato B con un processo reversibile od unoirreversibile la variazione di entropia sara la stessa (perche l’entropia e una funzione distato) pero si avra:
∆φA→B =∫ B
rev A
dq
T<∫ B
irrev A
dq
T(1.17)
ovvero i processi reversibili sono i piu efficienti, cioe necessitano di una quantita dicalore inferiore per realizzare la stessa variazione di entropia. Alternativamente la(1.17) puo essere riscritta dicendo che
∮ dqT
≤ 0 ove il segno di uguaglianza vale pertrasformazioni reversibili. Tale equazione e nota come teorema di Clausius.
1.3 Potenziali termodinamici
Oltre all’energia interna si possono introdurre una serie di altre grandezze energeticheche, sotto condizioni sperimentali tipiche risultano particolarmente utili. Di fatto,riesprimendo l’energia interna U si ha che1 dU = dQ−dW = TdΦ−pdV che suggerisceche le variabili naturali indipendenti utilizzate per esprimere U siano l’entropia Φ eil volume V , ovvero U = U(Φ, V ). Come conseguenza si evince che, per processireversibili, U e conservata in processi a entropia e volume costante, ma tali processinon sono certo tra le condizioni sperimentali maggiormente incontrate. Ecco perche sifa ricorso a tutta una serie di altri potenziali termodinamici, grandezze energetiche chesaranno conservate in trasformazioni sperimentali piu comunemente verificate.
Per sistemi termodinamici omogenei (=ad una sola fase) possiamo definire:
H = U + pV entalpia (1.18)
F = U − T Φ en. libera di Helmotz (1.19)
G = U − T Φ + p V en. libera di Gibbs (1.20)
tutte dimensionalmente energie (Φ e l’entropia). Dalla prima legge della termodinamicanel caso di trasformazioni reversibili (dU = T dΦ − p dV ) possiamo derivare formedifferenziali:
dH = dU + p dV + V dp = TdΦ + V dp (1.21)
1Si noti che la seconda uguaglianza sussiste solo nel caso in cui la trasformazione sia reversibile!
1.3. POTENZIALI TERMODINAMICI 13
dF = dU − TdΦ − ΦdT = −Φ dT − p dV (1.22)
dG = dH − TdΦ − ΦdT = −Φ dT + V dp. (1.23)
L’entalpia rimane conservata per trasformazioni reversibili a pressione ed entropiacostante. Per trasformazioni reversibili a pressione costante (quali reazioni chimiche)dH = TdΦ = dQrev. L’energia libera di Helmholtz F invece e costante a temperaturae volume costanti mentre invece l’energia libera di Gibbs G lo e per trasformazionireversibili a temperatura e pressione costanti. Queste condizioni vengono realizzatedurante le transizioni di fase (scioglimento, bollitura) e sono particolarmente rilevantiper l’equilibrio chimico.
1.3.1 Approccio all’equilibrio
Si e detto che spontaneamente un sistema isolato tende ad evolvere verso condizioni dientropia massima: se il sistema evolve tramite trasformazioni reversibili la variazione dientropia sara nulla altrimenti sara positiva. Ma cosa succede per sistemi non isolati (chepossono cioe scambiare lavoro e calore con l’ambiente) coi quali molto spesso abbiamoa che fare? Ovviamente l’entropia dell’universo aumenta ma vogliamo poterci riferirea descrivere solo il sistema e non le sorgenti. Ecco perche per sistemi non isolati non sitende piu a ragionare in termini di entropia ma di altre grandezza. Se la temperaturae la pressione esterna al sistema sono T0 e p0 ci viene in aiuto il concetto di energiadisponibile:
A ≡ U − T0 Φ + p0 V (1.24)
che, per cambiamenti spontanei, tende sempre a diminuire. Si noti che A viene calcolatautilizzando U , Φ e V del sistema ma T0 e p0 dell’ambiente esterno (che in generale ediverso da T e p del sistema!!). Infatti se il sistema assorbe una quantita di calore Qed il suo volume varia di ∆V compie un lavoro p0∆V (il lavoro viene fatto contro lapressione esterna, che e costantemente p0) di modo che il calore assorbito dal sistemae Q = ∆U + p0∆V mentre la variazione di entropia dell’ambiente che cede calore Qalla temperatura costante T0 e ∆Φamb = − Q
T0. Ma allora la variazione di entropia
dell’universo e:
∆Φun = ∆Φsist + ∆Φamb =T0∆Φsist −Q
T0=T0∆Φsist − ∆U − p0∆V
T0
∆Φun =∆(T0Φ
sist − U − p0V )
T0= −∆A
T0(1.25)
siccome la (1.25) deve essere ≥ 0 ne segue che ∆A ≤ 0. Si puo anche dimostrare che−∆A rappresenta la quantita di lavoro utile estraibile da un sistema che sia inizialmentenon in equilibrio con l’ambiente circostante che si trovi ad una temperatura T0 e aduna pressione p0.
14 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
Piu in generale per un processo infinitesimo irreversibile che si verifica alla pressionep e alla temperatura T si ricava analogamente a quanto appena fatto che:
dU − TdΦ + pdV ≤ 0. (1.26)
Per un processo che inizia e finisce alla T e p dell’ambiente (cioe Tin = Tfin = T0,pin = pfin = p0), Ain = Gin e Afin = Gfin di modo che tali processi tendono aminimizzare l’energia libera di Gibbs (ovvero dG ≤ 0 col simbolo di uguaglianza incorrispondenza di processi reversibili).
Per un processo che inizia e finisce alla T dell’ambiente (cioe per il quale Tin =Tfin = T0, ma per il quale in generale pin 6= pfin 6= p0) e che avviene a volume costante∆V = 0 di modo che ∆A = ∆F di modo che tali processi tendono a minimizzare l’en-ergia libera di Helmholtz (ovvero dH ≤ 0 col simbolo di uguaglianza in corrispondenzadi processi reversibili).
Per un sistema isolato infine sia V (perche altrimenti il sistema farebbe lavoro)che U rimangono costanti quindi una decrescita di A corrisponde semplicemente adun aumento di Φ (dΦ ≥ 0 col simbolo di uguaglianza in corrispondenza di processireversibili).
Pertanto le particolari trasformazioni appena descritte per sistemi non isolati ten-dono a minimizzare l’appropriata energia libera (G o H). In ogni processo spontaneo(in generale irreversibile) poiche lo stato finale deve essere piu vicino all’equilibrio dellostato iniziale, F e G devono diminuire. Se un sistema ha raggiunto l’equilibrio a tem-peratura e volume costante (dT = dV = 0), allora F e minima (dF = 0); se il sistemae in equilibrio a temperatura e pressione costante (dT = dp = 0), allora G e minima(dG = 0).
1.4 Il potenziale chimico
Possiamo ora introdurre un altro concetto termodinamico importante, quello di poten-ziale chimico. Tale concetto risulta rilevante quando si ha a che fare con sistemi apertiche scambiano oltre che lavoro e calore anche massa con l’ambiente. Supponiamo diavere un sistema omogeneo (stessa fase) che abbia c componenti con N1, N2, . . .Nc
moli (per esempio una miscela di gas). Notiamo subito che possiamo distinguere tra:
• variabili estensive quali V , Φ, F , G, U , Nk che sono proporzionali a Nk (cosı seraddoppio il numero di moli di ogni singolo componente del sistema il volumeraddoppia, a parita di condizioni intensive). equivalentemente le variabili esten-sive sono quelle che si dimezzano (raddoppiano) dimezzando (raddoppiando) ilvolume. Φ, V e Nk sono un sistema completo di variabili estensive indipendenti;
• variabili intensive quali T , p che non lo sono.
Il concetto di potenziale chimico del componente k−esimo (nella particolare fase) vieneintrodotto facendo riferimento ad una variazione dNk del numero di moli di componente
1.4. IL POTENZIALE CHIMICO 15
k − esimo. Se il sitema viene mantenuto a Φ e V costante, la variazione di energiainterna corrispondente consente di definire:
µk =
(
∂U
∂Nk
)
Φ, V, Nj 6=k
(1.27)
dette i potenziali chimici del componente k (dimensionalmente il potenziale chimico euna energia per mole, [J/mole]). In tal modo la variazione di energia interna si scriverain generale come:
dU = T dΦ − p dV +c∑
k=1
µkdNk (1.28)
L’ultimo termine che compare nella (1.28) andra quindi aggiunto in tutte le equazio-ni (1.21-1.22-1.23) di modo che il potenziale chimico potra equivalentemente esserepensato come:
µk =
(
∂H
∂Nk
)
Φ, p, Nj 6=k
=
(
∂F
∂Nk
)
T, V, Nj 6=k
=
(
∂G
∂Nk
)
T, p, Nj 6=k
. (1.29)
Ora pero U sara una funzione U(Φ, V,N1, . . . ,Nc), ovvero solo di variabili estensive.Se indichiamo con xi le variabili estensive e con yi = ∂U/∂xi le variabili intensive si hache per una costante λ, U(λx1, λx2, . . .) = λU(x1, x2, . . .) di modo che:
U(x1, x2, . . .) =d
dλU(λx1, λx2, . . .) =
no var est∑
i=1
∂U(λx1, λx2, . . .)
∂(λxi)xi =
no var est∑
i=1
yixi
(1.30)dove nel penultimo passaggio si e potuto scrivere il differenziale totale in funzione diderivate parziali rispetto alle sole variabili estensive perche U non e funzione esplicitadi variabili intensive. Ma allora:
U(Φ, V,N1,N2, . . . ,Nc) = TΦ − pV +c∑
k=1
µkNk (1.31)
che sostituita nella (1.20) fornisce:
G(T, p,N1,N2, . . . ,Nc) =c∑
k=1
µkNk (1.32)
ovvero µk puo essere pensato come una energia libera di Gibbs parziale molare (µk =gk). Si noti che in generale la grandezza µk dipende oltre che da p e da T anche dallafrazione molare xi = Ni/N (che e una variabile intensiva!) di tutti i componentei− esimi. Se ad esempio la sostanza 1 e etanolo e la sostanza 2 e l’acqua, il potenzialechimico dell’etanolo e diverso nella birra (5%) e nella vodka (40%). D’altro canto inveceper miscele di gas ideali, siccome non ci sono interazioni intermolecolari, i potenzialichimici dei singoli componenti saranno indipendenti cioe dipenderanno solo da p, T edalla frazione molare xk.
16 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
1.4.1 Potenziale chimico di un gas ideale in una miscela
Prendiamo un gas ideale in una miscela. Dall’equazione:
dG = −Φ dT + V dp+c∑
k=1
µkdNk (1.33)
si puo usare la condizione che G sia un differenziale esatto, di modo che derivando inmodo incrociato µk e V rispetto alle variabili indipendenti p e Nk per Schwartz si trova:
(
∂µk
∂p
)
T, Nj
=
(
∂V
∂Nk
)
T, p, Nj 6=k
= Vk (1.34)
ove con Vk abbiamo indicato il volume molare. Ora se la pressione parziale del gask − esimo e pk = xkp allora Vk = RT/pk che introdotta nella (1.34) ed integratafornisce:
ove µk,0(T ) e una costante di integrazione che dipende solo da T . Come gia preannuciatoil potenziale chimico del componente k−esimo di una miscela di gas ideali dipende soloda xk.
1.4.2 Potenziale chimico di un liquido
A differenza dei gas per i quali i potenziali chimici aumentano logaritmicamente conla pressione, il potenziale chimico di un liquido e direttamente proporzionale ad essa.Questo lo si capisce bene usando la (1.34) e ricordandosi che i liquidi sono pressoccheincompressibili, di modo che il volume molare e una costante. Per l’acqua detto Vk =Vw,0 integrando la (1.34) si trova infine:
µw,0(p, T ) = µw,0(0, T ) + Vw,0pk (1.36)
1.5 Condizioni generali di equilibrio
Consideriamo un sistema isolato che non si trovi in equilibrio. Il secondo principiodella termodinamica ci dice che il sistema evolvera, attraverso processi irreversibili,aumentando la sua entropia. Il sistema potra alla fine raggiungere uno stato di entropiamassima, di equilibrio: potranno continuare solo i processi reversibili. Il sistema haraggiunto uno stato di equilibrio. La condizione di equilibrio per un sistema omogeneocostituito da c componenti con N1, . . . , Nc moli tenuto a V e U costanti puo esserescritta come:
(δ Φ)U, V, Nk≤ 0 (1.37)
che sottolinea come, spostandosi dalle condizioni del sistema verso gli stati vicini (cioestati caratterizzati da variabili intensive diverse ma con la stesse variabili estensive),
1.5. CONDIZIONI GENERALI DI EQUILIBRIO 17
le variazioni virtuali di entropia δΦ siano tutte negative. La cosa sancisce appunto lacondizione che nello stato dato l’entropia sia massima. Equivalentemente lavorandoin termini di energia interna la condizione di equilibrio, come si ricava dalla (1.26),diventa:
(δ U)Φ, V, Nk≥ 0 (1.38)
L’equilibrio inoltre sara:(
δ2 Φ)
U, V, Nk
< 0 eq. stabile(
δ2 Φ)
U, V, Nk
> 0 eq. instabile(
δ2 Φ)
U, V, Nk
= 0 eq. metastabile
L’equilibrio instabile non puo verificarsi in natura mentre invece un tipico esempio diequilibrio metastabile e quello fornito da acqua sottoraffreddata che si trova in equilibriostabile con il vapor d’acqua circostante, e in equilibrio instabile rispetto al ghiaccio.
1.5.1 Equilibrio termico, meccanico e chimico di un sistemaeterogeneo
Consideriamo ora un sistema isolato eterogeneo, costituito cioe da diverse fasi, le qualisaranno in generale caratterizzate da valori diversi della variabili intensive quali T ,p e µk. Supponiamo di avere Nf fasi, originariamente isolate. Il sistema eterogeneopuo essere pensato come l’insieme di Nf sistemi omogenei che saranno in equilibrio seper ognuno e verificata la (1.37) o equivalentemente la (1.38). Quali condizioni sononecessarie e sufficienti sulle variabili intensive per assicurare l’equilibrio se viene menol’isolamento delle diverse fasi? Siccome le variabili estensive sono additive, si avra:
U =Nf∑
α=1
U (α) Φ =Nf∑
α=1
Φ(α) V =Nf∑
α=1
V (α) Nk =Nf∑
α=1
N (α)k
e usando la (1.28) e la (1.38) si trova:
δ U =Nf∑
α=1
[
T (α)δΦ(α) − p(α)δV (α) +c∑
k=1
µ(α)k δn
(α)k
]
≥ 0 (1.39)
ove Φ, V e Nk vengono tenute costanti per il sistema complessivo cioe:
δΦ =Nf∑
α=1
δΦ(α) = 0 δV =Nf∑
α=1
δV (α) = 0 δNk =Nf∑
α=1
δN (α)k = 0 (1.40)
Ragioniamo ora con due sole fasi (1) e (2) per semplicita, per ricondurci a variazioniindipendenti delle variabili estensive (che indipendenti non sono dovendo soddisfare le
18 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
(1.40)). Allora ad esempio e δΦ(1) = −δΦ(2) e la (1.39) si riscrive:
δ U =(
T (2) − T (1))
δΦ(2) −(
p(2) − p(1))
δV (2) +c∑
k=1
(
µ(2)k − µ
(1)k
)
δn(2)k ≥ 0 (1.41)
Ora le variazioni δΦ(2), δV (2) e δn(2)k possono essere prese indipendentemente e quindi
l’eq. (1.41) puo essere soddisfatta solo se ogni coefficiente di tali variazioni si annulla.Ma allora si trova che le condizioni di equilibrio termodinamico del sistema eterogeneosono:
T (1) = T (2) = . . . = T (Nf ) (1.42)
p(1) = p(2) = . . . = p(Nf ) (1.43)
µ(1)k = µ
(2)k = . . . = µ
(Nf )k k = 1, 2, . . . , c (1.44)
che esprimono le condizioni di equilibrio termico, meccanico e chimico.Cosı per esempio, se consideriamo una superficie d’acqua con dell’aria satura sopra
di essa, il potenziale chimico di una molecola nel vapore saturo sopra la superficieliquida piana e il medesimo di quello di una molecola nel liquido; la temperaturadell’acqua sara la stessa dell’aria, la pressione dell’acqua sara la stessa dell’aria (che siottiene sommando le pressioni parziali dei diversi gas costituenti).
1.5.2 Regola delle fasi di Gibbs
Vogliamo ora determinare il numero di variabili intensive indipendenti (detta varianzaw del sistema), che possono essere specificate senza far deviare il sistema dall’equilibrio.All’equilibrio abbiamo visto che si ha equilibrio termico, meccanico e chimico, cioe2+Nf c variabili intensive da specificare (T , p comuni ad ogni componente e Nf valoridella frazione molare xk per ciascuno dei c componenti presenti). Tuttavia non tuttequeste variabili sono indipendenti perche per ogni fase si deve mantenere la massatotale della fase ovvero deve essere che
∑ck=1 xk = 1, cioe Nf condizioni indipendenti.
A queste si aggiungono le condizioni (1.44) che sono Nf − 1 condizioni indipendentiper ciascun costituente quindi c (Nf − 1), condizioni indipendenti. Quindi la varianzadel sistema e:
w = 2 +Nf c−Nf − c (Nf − 1) = 2 + c−Nf (1.45)
che e la regola di Gibbs per fasi a strati (il risultato e diverso se sono presenti interfaccecurve). Alternativamente 2 + c sono le variabili indipendenti nelle (1.42)-(1.43)-(1.44),Nf sono le condizioni imposte dalla costanza di massa totale della singola fase.
Applicazione della regola delle fasi
1. Fluido omogeneo in equilibrio: Nf = 1, c = 1 e quindi w = 2: le tre variabilitermodinamiche intensive ρ, T e p sono legate dall’eq. di stato;
1.6. ESERCIZI SULLA TERMODINAMICA DELL’ARIA SECCA 19
2. mistura di due gas: Nf = 1, c = 2 e quindi w = 3: alle due variabili termod-inamiche intensive indipendenti si aggiunge la concentrazione relativa dei duegas;
3. acqua in equilibrio col suo vapore: Nf = 2, c = 1 e quindi w = 1: il sistema emonovariante, la pressione di vapore e funzione della T ;
4. acqua in equilibrio col suo vapore e con il ghiaccio: Nf = 3, c = 1 e quindi w = 0:l’equilibrio e possibile per un solo valore di p e T , che definisce il punto triplo.
1.6 Esercizi sulla termodinamica dell’aria secca
1.6.1 Processi termodinamici
1. Quanto calore e necessario per aumentare la temperatura dell’aria di 5C apressione costante?
2. Quante calorie sono richieste per una salita isoterma di 1 kg di aria per unaaltezza di 500 m?
C’e solo variazione di energia potenziale gravitazionale (la variazione di energiainterna ∆u = cV ∆T = 0); pertanto
W = mgh = 1 kg 9.8m/s2 500m = 4900 J = 1170 cal,
cioe 1.17 cal/g.
3. Proprieta termiche dell’acqua
Quanto calore e necessario somministrare a 0C ad 1kg di ghiaccio per scioglierlo equanto ad 1kg di acqua per evaporarla? E per innalzare la temperatura dell’acquadi 1C? Se l’acqua di una sorgente sgorga a 2500 m ad una temperatura di 2C,a quale temperatura arriva al mare, assumendo che tutto l’eccesso di energiacinetica venga convertito in energia interna?
A 0C il calore latente di evaporazione vale Lev = 2501J/g mentre il calore latentedi fusione vale Lf = 333 J/g; quindi per far evaporare una eguale quantita diacqua serve una energia 7.5 volte piu grande che per farla sciogliere. La capacitatermica dell’acqua invece e cw = 4187J/(kg K) = 1cal/(g K) (si mantiene entrol’1% di questo valore per temperature superiori a 0C): sciogliere un grammo diacqua e equivalente a innalzare la temperatura di quello stesso quantitativo diacqua di ∼ 80C. (Ecco perche, in montagna, se dovete farvi il te utilizzando laneve impiegate circa il doppio del tempo).
20 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
La variazione di temperatura sara tutta dovuta alla conversione di energia poten-ziale gravitazionale iniziale in energia termica quindi:
g hin = cw ∆T ⇒ ∆T =ghin
cw=
9.8 × 2500
4187= 5.9C.
4. Quale lavoro di espansione e compiuto da una porzione d’aria che sale adiabati-camente se la sua temperatura diminuisce di ∆T ?
Per trasformazioni adiabatiche il lavoro compiuto dal gas e:
w = −∆u = −cV ∆T ;
siccome cV = 0.171cal/(gC) per aria secca allora
w = −0.171∆T cal/g = −0.72 ∆T J/g = −720∆T J/kg.
5. Una porzione d’aria avente una temperatura iniziale di 300 K sale adiabatica-mente da 1000 mb a 500 mb. Quale temperatura avra al livello superiore?
Ricordando la legge di Poisson2 per aria secca si ha:
T1 = T2
(
p1
p2
)0.286
e quindi:
T (500mb) = T (1000mb)(
1
2
)0.286
= 246K.
6. In un motore di aereo, l’aria viene rapidamente compressa a 1/25 del suo volumeoriginario, e poi usata per bruciare il carburante. Trovare la T dell’aria, primache bruci, a 12 km di altezza (T = 227K).
Si tratta di una trasformazione adiabatica per cui T V γ−1 = cost (γd = 1.4) equindi
Tf = Ti
(
Vi
Vf
)(γ−1)
= 227 × 250.4 = 823K.
2Ricordiamo che per trasformazioni adiabatiche valgono le leggi:
pV γ = cost TV γ−1 = cost γ =cP
cV
ed inoltre:
Tp−k = cost k = 1 − 1
γ=
R
cP
.
1.6. ESERCIZI SULLA TERMODINAMICA DELL’ARIA SECCA 21
7. Una porzione d’aria sale su un versante montuoso avente inclinazione di 5 sul-l’orizzontale, con velocita di 10 m/s. Quanto cambiera la sua temperatura inun’ora se la porzione si muove adiabaticamente?
La derivata totale vale:
dT
dt=∂ T
∂ t+ ~v · ~∇T = +vz
∂ T
∂ z
perche la derivata locale e nulla e si suppone che non ci siano gradienti termiciorizzontali. Ma vz = v sinα = 0.87m/s e ∂ T
∂ z= −9.7/km , gradiente adiabatico
secco. Quindi ∆ T = vz∂ T∂ z
∆ t = −30.4.
8. Si calcoli la variazione di entropia per mole quando un campione di idrogeno siespande isotermicamente al doppio del proprio volume. (Risp.: 5.76J/K/mole,positiva perche se aumento il volume a parita di T aumento lo spazio dove lemolecole possono strae, quindi il disordine).
9. Calcolare la variazione di entropia per la fusione di ghiaccio in acqua a 0C eper la vaporizzazione a 100C (Lev(100C = 2.26kJ/g). (Risp: 22 J/K/mole,109 J/K/mole).
10. Computare le variazioni di energia specifica in cal g−1, per i seguenti processi:
• Riscaldamento di aria secca a volume costante da 0 C a 10 C.
In questo caso ∆ u = cV ∆ T = 0.171 cal/(gC) × 10C = 1.710 cal g−1.
• Espansione isoterma di aria secca da volume specifico 900 cm3 g−1 a 1000cm3 g−1 ad una temperatura di 77C.
In questo caso siccome:∂ u
∂ α= −cV
d T
d α
e dT = 0 allora ∆ u = 0 cal g−1.
• Incremento della velocita orizzontale dell’aria da 10 m sec−1 a 50 m sec−1.
L’aumento e l’aumento dell’energia cinetica specifica:
∆ E
m=
1
2(v2
2 − v21) = 1200J/kg = 0.287 cal g−1
Sono, questi, tutti processi meteorologicamente possibili. Dai risultati visti sem-bra possible trascurare gli ultimi due processi relativamente al primo.
11. Un processo politropico per un gas ideale e un processo nel quale si ha:
pV ι = cost con ι costante. (1.46)
Ad esempio se ι = 0 si ha un processo isobaro, se ι = cP/cV un processo adia-batico, se ι = 1 un processo isotermo. Si supponga che 1kg di aria secca a 280
22 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
K e 1000 hPa sia sottoposto ad un’espansione politropica nel quale la pressionescende di 700 hPa e la sua temperatura potenziale aumenta di 10 K. Determi-nare il valore di ι, la variazione di energia interna, il lavoro compiuto dall’aria eil calore da essa assorbito.
La temperatura potenziale iniziale coincide con la temperatura iniziale vistoche la pressione e proprio di 1000 mb. Pertanto la temperatura potenziale fi-nale e di 280+10=290 K, corrispondente ad una temperatura finale di: Tf =
θf (pf/1000mb)k = 290 (0.7)0.286 = 261.8 K. Ora usando la formula (1.46) siottiene:
pi (Ti/pi)ι = pf (Tf/pf)
ι
da cui si ricava ι come:
ι =log (pf/pi)
log (Tipf/(Tfpi))=
log (.7)
log (280 × 0.7/261.8)= 1.23.
per quel che concerne la variazione di energia interna si ha:
∆U = N cV ∆T =(
1
28.97
)
[moli] (717.85) [J/K] (−18.2) [K] = −1.3 × 104 J.
Invece il lavoro compiuto e:
L =∫ Vf
Vi
pdV =∫ Vf
Vi
cost
V 1.23dV =
cost
0.23
(
1
V 0.23i
− 1
V 0.23f
)
=1
0.23(piVi − pfVf) =
NR0.23
(Ti − Tf ) =8314.32
0.23 · 28.97× 18.1 = 2.25 × 104 J.
Il calore assorbito infine si ricava banalmente dal primo principio e vale:
Q = W + ∆U = 9.5 × 103 J.
12. Una massa d’aria con Ti = −3C sale politropicamente dal livello 1000 mb allivello 700 mb. La capacita termica politropica e 0.06 cal/(g). Quale T dellamassa d’aria ci si attende a 700 mb? 249 K
13. 200 g d’aria secca vengono riscaldati isobaricamente. L’entropia aumenta di19.2J/K e il lavoro fatto dall’espansione e 1.61 × 103 J. Trovare la temperaturafinale dell’aria.
I valori per entropia e lavoro moltiplicati per 5 danno le grandezze per unita dimassa, coi quali si imposta immediatamente il sistema:
δ q = cP dT ⇒ ∆φ = cP lnTf
Ti= 96 J/(kg K)
δ w = δ q − du ⇒ w = Rd∆T = 8.05 × 103J/kg;
1.6. ESERCIZI SULLA TERMODINAMICA DELL’ARIA SECCA 23
si trova immediatamente che:
Tf = 1.1Ti;
∆T = 28 K;
da cui risolvendo Tf = 308K.
14. Si supponga che un pacchetto di 1 kg d’aria si stia alzando ad una velocitaverticale costante. Se il pacchetto viene riscaldato dalla radiazione ad una velocitadi 10−1Wkg−1 quale deve essere la velocita di ascesa del pacchetto per mantenereuna temperatura costante?
La radiazione incidente induce un riscaldamento pari a (il processo puo essereconsiderato a pressione costante):
(
dT
dt
)
rad
=1
cP
dq
dt=
10−1J/s
1005 J/K= .995 × 10−4K/s.
Ora pero:(
dT
dt
)
ascesa
=dT
dz
dz
dt= w
dT
dz
e quindi tenendo conto che il lapse rate dell’atmosfera adiabatica secca e 9.8K/km,in condizioni di equilibrio, si trova che
(
dT
dt
)
rad
+
(
dT
dt
)
ascesa
= 0 ⇒ w =dTdt
−dTdz
=.995 × 10−4K/s
.98K/(100m)= 1.02 cm/s.
15. L’entalpia: l’entalpia specifica e definita come:
h = u+ pα (1.47)
Provare che dh per un gas ideale e un differenziale esatto e quindi che l’entalpiae una funzione di stato.
Si ha infatti:
dh = du+ p dα + α dp = du+R dT = cP dT ;
in particolare, in una trasformazione a pressione costante, l’entalpia assume ilsignificato di calore scambiato nel processo e quindi l’entalpia sara conservata inprocessi adiabatici (per i quali non c’e scambio di calore) a pressione costante.Alternativamente si ha anche:
dh = du+ p dα + α dp = dq + α dp = T dφ+ α dp (1.48)
24 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
16. Si calcoli la variazione di entalpia di 1 kg di aria secca che viene compressaadiabaticamente da pi = 700 hPa e Ti = 10 C ad una pf = 1000 hPa.
Si tratta in pratica di calcolare la variazione di temperatura ma dalla legge diPoisson (1.12):
Tf = Ti
(
pf
pi
)0.286
= 283 × 1.42850.286 = 313.4
e quindi ∆ T = 30.4. Infine ∆h = 30540 J/kg.
17. Determinare l’entalpia specifica per un pacchetto d’aria saturo costituito da md
kg di aria secca, mv kg di vapore e mw kg di acqua liquida. L’entalpia totalesara data da:
md h ' (md +mv +mw) h = H = Hd +Hv +Hw = md hd +mv hv +mw hw
da cui infine:
h ' hd +mv
mdhv +
mw
mdhw = hd + ws hv + χ hw = cP T + ws hv + χ hw (1.49)
Ora il vapore e l’acqua si troveranno alla stessa temperatura e pressione e siamoin condizioni di saturazione; pertanto acqua e vapore avranno la stessa energialibera di Gibbs G ma allora ricordando che G = h− Tφ si trova:
che ci dice che il vapore ha una entalpia specifica che, in fase di saturazionedifferisce da quella del liquido per una quantita che e proprio il calore latentedi evaporazione (cioe proprio il calore specifico richiesto per cambiare la fase daliquido a vapore). La (1.49) diventa allora:
h ' cP T + ws (hw + Lev) + χ hw = cP T + qtot hw + ws Lev (1.51)
ove si e definito il rapporto di mescolamento totale dell’acqua:
qtot ≡ ws + χ. (1.52)
Infine ricordando che hw = cw T si trova:
h ' (cP + cw qtot) T + ws Lev. (1.53)
18. Calcolare l’entalpia specifica di vapor d’acqua satura alla temperatura di 0 C e aquella di 20 C sapendo che Lev(0
C) = 2501.6 J/g e Lev(20 C) = 2454.3 J/g.
Il conto e presto fatto ricordando che cw = 4.187J/(kg K) (e non varia di moltocon la T ) di modo che si trova: hv(0
C) = 1144.3 + 2501.6 J/g = 3646 J/g ehv(20 C) = (1228 + 2454.3) J/g = 3682 J/g. Si noti che a volte l’entalpia vienedata assumendo come zero di riferimento quello del liquido a 0C; nel nostro casoad esempio si avrebbe hv(0
C) = Lev(0C).
1.6. ESERCIZI SULLA TERMODINAMICA DELL’ARIA SECCA 25
19. Qual e il massimo lavoro disponibile da una mole di gas monatomico, raffredda-to a V costante da una temperatura iniziale T alla temperatura dell’ambientecircostante T0? (Risp.: Wmax = cV (T − T0 − T0 log T
T0)).
20. Provare che il geopotenziale ψ e l’entalpia h = u+ pα di un pacchetto d’aria checompie un processo adiabatico secco sono connessi dalla relazione:
ψ + h = cost.
Si ha infatti, differenziando:
dψ + dh = du+ g dz + p dα + α dp = du+ p dα = dq = T dφ = 0
essendo in un processo adiabatico secco l’entropia costante.
21. Mostrare che il geopotenziale ad un livello di pressione p in una atmosfera inequilibrio idrostatico e data da:
ψ(p) = Rd T lnp0
p
ove ψ(p0) = 0.
Si ha infatti:
dψ = g dz = −dpρ
= −α dp =Rd T
pdp = −Rd T ln p
da cui integrando:
ψ(p) − ψ(p0) = −∫ p1
p0
Rd T ln p = Rd T lnp0
p.
22. Durante il suo massimo sviluppo, un cumulonembo ricopre un’area orizzontale di200 km2 e produce pioggia al suolo pari a 2 Tg/h. Qual e la piovosita media? Eil tasso di rilascio di calore latente?
Si trova immediatamente che 2 Tg/h corrispondono a 2×106 m3/h che distribuitisu 200 km2 originano 10 mm/h. Assumendo che il tasso di evaporazione uguagliquello di precipitazione si trova Pev = Lev × 2 Tg/h = 2501 × 2 × 1012/3600 =1.39 × 1012 W = 1.39 TW . Si noti che la potenza solare irraggiata sulla stessasuperficie per sole al nadir e pari a 1370 W/m2 × 2 × 108 m2 = 0.27 TW .
23. Quanta acqua evapora da una piscina in un giorno? Supponete che la piscina sicomporti come la media di tutti gli oceani (si ricordi che la precipitazione mediasul pianeta e di 3 mm/day e che gli oceani ricoprono in media il 70% del pianetae che il run-off e in media pari al 30%). In realta da cosa dipendera fortementel’evaporazione?
24. Calcolare la variazione di potenziale chimico che si ha per acqua sulla superficieed in fondo ad un oceano alto 10.000 m.
26 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
Figura 1.2: Diagramma di fase dell’acqua nel piano (α, e) con la campana di Andrews.Le linee piu spesse separano fasi distinte.
1.7 Termodinamica dell’aria umida
Come si deriva dalla legge (1.1) le isoterme di un gas ideale in un piano (α, p) sonodelle iperboli rettangole. Le condizioni fisiche del nostro pianeta sono tali che l’acquapuo esistere nelle fasi gassose, liquida, solida. Quando il vapore d’acqua e lontano dallacondensazione o dalla sublimazione e pressoche un gas ideale, cosı che le isoterme sonopure simili ad iperboli. Disegnamo una figura ove il volume specifico α e rappresentatoin funzione della pressione della sostanza acqua e (vedi fig. 1.5). Lasciamo le e cres-centi verso l’alto non essendoci necessita di mantenere la corrispondenza con l’altezzanell’atmosfera. Consideriamo il punto A. Su A tutta l’acqua e in forma di vapore.Se aumentiamo la pressione a temperatura costante, il volume specifico α diminuira inaccordo con la legge dei gas perfetti (α = RT/p). Cosı lo stato del campione sara rapp-resentato su un diagramma (α, e) da una isoterma approssimativamente iperbolica. Sipuo raggiungere uno stato rappresentato da B in cui un leggero aumento di pressionefa condensare parte del vapore. In questo stato solo un incremento infinitesimo di pres-sione e necessario per condensare tutto il vapore a temperatura costante. Cosı comelo stato del campione si muove da B a C la pressione rimane essenzialmente costanteed il volume specifico varia da quello del vapore ad una data pressione e temperaturaa quello del liquido alla stessa pressione e temperatura. Questa pressione costante edetta pressione di vapore di saturazione es a quella temperatura. In C tutto ilcampione e liquido, e solo leggermente compressibile. Cosı l’isoterma dopo C si innalzaquasi verticalmente. Il volume specifico e quasi costante all’aumentare della pressione.
A destra di B il campione e solo gassoso. Tra B e C vapore e liquido coesistono, a
1.7. TERMODINAMICA DELL’ARIA UMIDA 27
Tabella 1.2: Punto triplo e punto critico per alcune sostanze rilevanti per le atmosfereplanetarie.
Punto triplo Punto criticoSostanzaTT [K] PT [mbar] Tc [K] Pc [bar]
sinistra di C il campione e solo liquido. Poiche il diagramma delinea le aree in cui pos-sono sussistere le varie fasi, tale diagramma e detto diagramma di fase. Similarmente,se si segue l’“isoterma di stato triplo” si ha una situazione speciale. Comprimendo ilvapore si ha un punto dove si verifica una variazione di fase, ma tra vapore, liquido eghiaccio. L’equilibrio sussiste tra le tre fasi lungo la parte orizzontale delle isoterme.Questa condizione di equilibrio e detta “stato triplo”. La pressione di vapore es e latemperatura dello stato triplo dell’acqua sono 6.11 mb e 0.01 C. Sono invecepermessi valori di α nel range 10−3 ÷ 206 m3/kg. Per pressioni e temperature inferioria quelle dello stato triplo, lo stato liquido non si presenta e si ha equilibrio solamentetra ghiaccio e vapore. Una eccezione e costituita dall’acqua sopraffusa, caso che trat-teremo meglio in seguito. Viceversa, per certo, per pressioni e temperature superiori aquelle dello stato triplo, lo stato solido non si presenta e si ha equilibrio solamente traacqua e vapore. Si noti che sulla Terra al livello del mare, ove la pressione e di 1atm,si osserva la coesistenza della fase solida e di quella liquida solo ad una temperatura di0C. Invece siccome la pressione di vapore assume valori altamente variabili e moltopiu facile che si verifichi la coesistenza fra la fase liquida e quella di vapore e tra quellasolida e quella di vapore. Ad esempio e quello che tipicamente si verifica all’interno dinubi in equilibrio (cioe non in fase evaporativa/condensazione/sublimazione).
Un altro caso speciale e l’isoterma per il punto D. Alla destra lungo l’isoterma si hasolo vapore, alla sinistra solo liquido. In D la distinzione tra liquido e gas si annulla.
Con temperature oltre i valori critici la tensione superficiale dell’interfaccia liquido-vapore si annulla: l’interfaccia stessa scompare. Questo stato anomalo e detto puntocritico. Per l’acqua si ha a pc = 221 bar (cioe circa 221 volte la pressioneatmosferica al suolo), Tc = 374 C, αc = 3.1 cm3/g. Cosı l’acqua nell’atmosferae largamente al di sotto del punto critico. Il significato generale del punto critico e
28 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
questo: sopra la temperatura critica e impossibile liquefare il gas per compressioneisoterma. Cosı alle condizioni medie regnanti sulla superficie di Venere (p = 90atm;T = 475C), si puo osservare come sia impossibile la presenza di acqua liquida (siamoal di sopra della Tc!). Su Marte (sulla superficie p = 6 ÷ 10mb, di modo che l’acquabollirebbe a temperature prossime alla TT ; −140C < T < +25C con T = −63C),invece, questa potrebbe essere presente. Non basta, pero, considerare solo la pressionee la temperatura medie del pianeta, ma anche la pressione parziale della sostanza inesame (che in generale sara ≤ della pressione totale): per l’acqua, su Marte, essa valecirca 0.0005÷ 0.001atm (inferiore, quindi, a 0.006atm); ecco perche non si trova, oggi,acqua liquida sul pianeta rosso (ci sono pero grossi quantitativi di ghiaccio nelle calottepolari).
Inoltre si capisce anche la grande differenza fra i gas permanenti nell’atmosfera ed ilvapore d’acqua. I gas permanenti non condensano perche le loro temperature critichesono molto inferiori a quelle che si hanno nell’atmosfera3 (vedi Tab. 1.2) di modo chelo stato dei gas per le T della nostra atmosfera giace sempre al di sopra della campanadi Andrews o alla sua estrema destra. Il vapor d’acqua invece condensa perche pc eTc sono molto al di sopra dei valori tipici di T e p in atmosfera; inoltre c’e spessosufficiente vapore (piccolo volume specifico) per permettere allo stato di esistere nellaposizione multifase del diagramma (α, e) (cioe i valori di α sono tali per cui ci si possatrovare in campana di Andrews e non rimanere alla sua destra). Un controesempioa questo proposito e costituito dalla CO2 che ha una temperatura critica di 31 C euna pressione critica di 74 bar, sufficienti per permettere la condensazione. Tuttaviala quantita di CO2 e cosı piccola (α grande) che il suo stato e largamente sulla destradella regione multifase, e non condensa. Su Venere CO2 e in maggiori concentrazionie si ha condensazione. Su tale pianeta oltre che d’acqua sono possibili piogge di acidosolforico H2SO4.
1.8 Proprieta termiche della sostanza acqua
Il ghiaccio puo esistere in numerose fasi cristalline. Solo una di esse, ghiaccio I puoesistere in condizioni atmosferiche normali e non consideriamo, per ora, le altre. Ilvolume specifico del ghiaccio e 1.091 cm3 g−1 che e maggiore del volume specificodell’acqua alla stessa temperatura, causandone il galleggiamento. E assai insolito perla fase solida di una sostanza essere meno densa della fase liquida e questa proprietaanomala dell’H2O ha molteplici conseguenze per le condizioni fisiche del pianeta. Ilvolume specifico del ghiaccio varia lentamente con la temperatura, ma per i nostripropositi puo essere considerato costante. Il calore specifico del ghiaccio a 0Ce ci = 0.503 cal g−1 C−1. Esso pure varia con la temperatura ma con un andamentocosı lento che questa variazione puo essere trascurata. H2O liquida ha volumi specificivicini a 1 cm3 g−1 da 0 C a 8 C e anche a 40C e entro lo 0.8% da questo valore, cosı
3Ad esempio l’H2 liquefa a pressione atmosferica a −252.76C, il metano NH4 a −161.52C, l’O2
a −182.97 C.
1.9. L’EQUAZIONE DI STATO DELL’ARIA UMIDA 29
Tabella 1.3: Andamento della pressione di vapore di saturazione es al variare dellatemperatura con il confronto tra volume specifico reale e ideale.
che queste variazioni possono essere ignorate. Il calore specifico dell’acqua e perdefinizione: cw = 1calg−1 C−1 a 15C (quindi e circa due volte piu facile scaldare unpezzo di ghiaccio che non un ugual massa d’acqua!). La variazione con la temperaturae di nuovo cosı piccola che possiamo trascurarla. Discutendo le proprieta termiche delvapore assumiamo che esso soddisfi l’equazione di stato di un gas perfetto. Nel rangedelle condizioni di interesse questa e una buona approssimazione. Poiche la pressionedi vapore di saturazione sull’acqua e la piu alta pressione di vapore possibile, ad ognifissata temperatura, e poiche lo scostamento dal comportamento di gas ideale crescecon la pressione, si puo esaminare la conformita del vapore alle leggi del gas perfettocontrollando il suo comportamento con la pressione di saturazione. E chiaro da tab. 1.3che il vapore soddisfa la legge dei gas perfetti entro il fattore 1% nel range di interessein meteorologia.
1.9 L’equazione di stato dell’aria umida
L’aria secca ed il vapore soddisfano separatamente l’equazione dei gas perfetti, consufficiente accuratezza per i nostri scopi. Possiamo ora chiederci quale e la formaappropriata dell’equazione di stato per la mistura dei due gas. Un appropriato pesomolecolare medio di una mistura si ottiene prendendo una media armonica pesata deipesi molecolari dei costituenti. Possiamo considerare l’aria secca ed il vapore come idue costituenti. Indicheremo con R = 8.314J/(molK) la costante dei gas perfetti, conNi, con Mi e con Mi rispettivamente il numero di moli, la massa e il peso molecolaredel costituente i-esimo di una generica mistura di gas4 Il peso molecolare medio di unamistura sara dato allora da:
M =
∑
iMi
N =
∑
iMi∑
iMi
Mi
(1.55)
4Si ricorda che per miscele di gas vale la legge di Dalton:
p =∑
i
pi =RT
V
∑
i
Ni =RT
V
∑
i Mi
M . (1.54)
30 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
e invertendo:1
M =
∑
iMi
Mi∑
iMi(1.56)
Applicando la (1.56) all’aria umida composta da aria secca (d) e vapore (v) si ha:
1
Maria umida
=1
Md +Mv
(
Md
Md+Mv
Mv
)
=1
Md
Md
Md +Mv
1 +Mv
Md
Mv
Md
(1.57)
Nella (1.57) il rapporto adimensionale w ≡ Mv
Mde il rapporto di mescolamento, cioe
la massa di vapore per unita di massa di aria secca: questo rapporto indica quanto idue costituenti devono mescolarsi al fine di corrispondere ad un dato campione di ariaumida. In termini della pressione dell’aria p e della pressione di vapore e si puo anchescrivere come:
w =Mv
Md=ρv
ρd=
Mv
Md
e
p− e≈ Mve
Mdp. (1.58)
Nella (1.57) invece ε ≡ Mv
Mde una costante essendo il rapporto tra peso molecolare del
vapore (' 18) e quello dell’aria secca (=28.97) e vale quindi ε = 0.622. Dividendonumeratore e denominatore della (1.57) per Md e sostituendovi l’espressione (1.58) siha:
1
Maria umida
=1
Md
1 + wε
1 + w(1.59)
Cosı il peso molecolare medio dell’aria umida e espresso in termini di peso molecolaremedio dell’aria secca Md, del rapporto di mescolamento w, e della costante ε.
Ricordando che α e il volume per unita di massa cioe:
α =V
∑
iMi
e sostituendo nella legge di Dalton (1.54), possiamo ora scrivere l’equazione di statodell’aria umida come:
pα =RMd
(
1 + wε
1 + w
)
T. (1.60)
L’espressione (1.60) e esattamente la stessa dell’equazione di stato per l’aria seccaeccetto il fattore in parentesi, che e ovviamente una correzione da applicare alla costantespecifica dei gas per aria secca per ottenere il valore della costante specifica dell’ariaumida contenente un ammontare di vapore dato da w. Comunque questo comporta chela costante del gas diviene variabile, cosa che non e del tutto gradevole. Si preferisceapplicare la correzione alla stessa temperatura e definire cosı una nuova temperatura:
T ∗ =1 + w
ε
1 + wT (1.61)
1.10. CALORI LATENTI E CAMBIAMENTI DI FASE 31
che e detta virtuale. E una temperatura fittizia ed e quella che soddisfa l’equazionedi stato utilizzando la costante dei gas dell’aria secca:
pα =RMd
T ∗ = RdT∗ = 287 T ∗ J/kg = 2.87 · 106 T ∗ erg/g (1.62)
essendo T ∗ espressa in K. La temperatura virtuale e ovviamente la temperatura cheavrebbe l’aria secca se la sua pressione ed il suo volume specifico fossero uguali a quellidi un dato campione di aria umida. Cosı noi possiamo continuare ad usare l’equazionedi stato per l’aria secca, sostituendo al posto della temperatura reale osservata dell’ariaumida una temperatura leggermente diversa; questa e una pratica usuale in meteorolo-gia. Poiche il vapore e meno denso dell’aria la sua presenza aumenta sempre il volumespecifico. Cosı la temperatura virtuale e sempre superiore alla temperatura assunta.Infatti inserendo il valore di ε = 0.622 nell’equazione (1.61) si ha:
T ∗ =1 + 1.609w
1 + wT ≥ T (1.63)
Poiche w non supera5 40g di vapore per kg di aria secca (w ≤ 4 · 10−2), la differenzafra le due temperature non e mai superiore a 7K ed e di solito ≤ 1K. Ad esempio conT = 303K e w = 20g/kg si ha T ∗ = 306.7K.
1.10 Calori latenti e cambiamenti di fase
Quando una sostanza cambia fase (fonde, ghiaccia, evapora, condensa o sublima) sideve fornire una certa quantita di calore anche se la temperatura della sostanza rimanecostante. Questa quantita di calore e detta “calore latente della variazione di fase”.Si misura in cal g−1 ed ha dimensioni L2 T−2. Indichiamo coi pedici 1 e 2 le due fasiin transizione. Il calore latente nella transizione di fase sia L1→2 e l’inverso L2→1. Peril primo principio della termodinamica durante il cambiamento di fase, per unita dimassa si avra:
δq = du+ esdα (1.64)
ove es e la pressione di vapore di saturazione e, per definizione,
L1→2 =∫ 2
1δq (1.65)
Con es e T costanti durante l’integrazione, combinando la (1.64) e la (1.65) ed inte-grando si trova:
L1→2 = u2 − u1 + es(α2 − α1) (1.66)
Abbiamo gia visto che u e una funzione della sola temperatura [(u = u(T )] solo per lafase vapore, ideale, ma per liquidi e solidi l’energia interna dipende pure dal volume
5Questo in “condizioni equatoriali”; al polo non si ha piu di 1 g di vapore per kg di aria secca.
32 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
specifico. Se le fasi 1 e 2 sono rispettivamente acqua e vapore, L e il calore latentedi evaporazione (positivo) ed es e la pressione di vapore di saturazione. Nel caso che1 e 2 siano ghiaccio e vapore rispettivamente, L e il calore latente di sublimazione,positivo ed es e ancora la pressione di vapore di saturazione. Nel caso restante 1 e2 ghiaccio e liquido, L e il calore latente di fusione (positivo) e es e la saturazione opressione di equilibrio della mistura ghiaccio - acqua. Nello stato triplo queste pressionidi saturazione sono uguali, percio quando l’equazione (1.66) e scritta per ogni variazionedi fase e le tre equazioni sono combinate, si ha:
Lsub = Lf + Lev (1.67)
Alle alte temperature questo e vero solo approssimativamente, poiche i calori latentivariano in modo diverso al variare della temperatura.
1.10.1 Dipendenza dalla temperatura dei calori latenti
Calcoliamo ora dalla teoria la dipendenza dalla temperatura di Lev cioe la funzione:
Lev = f(T ).
Utilizzando la(1.66) si puo scrivere:
Lev = uv − ul + es(αv − αl)
A parita di massa, in condizioni atmosferiche, il volume specifico dell’acqua e moltopiccolo confrontato con quello del vapore6, cosı si puo trascurare αl. Sostituendo adαv la sua espressione dall’equazione di stato
Lev = uv − ul +RMv
T
differenziando rispetto alla temperatura:
d Lev
dT=d uv
dT− d ul
dT+
RMv
(1.68)
Introducendo il calore specifico del vapore a volume costante:
(cV )v =
(
d qvdT
)
α
=
(
d uv
dT
)
α
e il calore specifico del liquido:
cl =d q
dT=d ul
dT+ e
d αl
dT' d ul
dT
6Si pensi che ρw = 1 kg/dm3 mentre la densita del vapore e sicuramente inferiore a 50g/m3.
1.11. L’EQUAZIONE DI CLAUSIUS CLAPEYRON 33
essendo d αl
dTtrascurabile (nei liquidi il volume e pressoche invariante con T ). Cosı la
(1.68) si puo riscrivere come:
d Lev
dT' (cV )v − cl +
RMv
(1.69)
oppure per un gas ideale per il quale (cP )v = (cV )v + RMv
:
d Lev
dT' (cP )v − cl (1.70)
Cosı la velocita di variazione del calore latente di evaporazione con la temperaturaassoluta e uguale alla differenza tra il calore specifico del vapore a pressione costanteed il calore specifico del liquido. Inserendo valori numerici [((cP )v = 0.4454 cal/(g C),cl = 1 cal/(g C)] si ha:
d Lev
dT' .566 cal g−1 C−1 (1.71)
Il valore e corretto entro l’1% nel range di temperatura della meteorologia. Poichea 0 C il calore latente di evaporazione e 597.3 cal g−1, questo comporta una variazionedi meno dello 0.1% per C e spesso puo essere trascurata.
Un simile argomento puo essere dato per il calore latente di sublimazione col risul-tato di trovare una variazione ancora minore con la temperatura. Inoltre la fusione sipresenta nell’atmosfera intorno a 0C quindi non ci occorre una trattazione della va-riazione con la temperatura del calore latente di fusione. Cosı il nostro risultato finalee: per i propositi meteorologici i calori latenti della sostanza acqua possono ritenersicostanti. A 0C i valori sono:
Lev = 597.3 cal g−1 Lsub = 677.0 cal g−1 Lf = 79.7 cal g−1 (1.72)
1.11 L’equazione di Clausius Clapeyron: relazione
tra es e T
Deriviamo ora una equazione importante, basata sul concetto di entropia, che ponein relazione la pressione di vapore di saturazione al calore latente della transizione difase. Se una transizione di fase avviene reversibilmente non si ha alcuna alterazionenell’entropia del sistema tranne che per addizione o sottrazione di calore7. Indicandocon φ l’entropia, il calore aggiunto per unita di massa (e quindi il calore latente dellatransizione di fase) su una qualunque trasformazione dalla fase 1 alla fase 2 e8
L1→2 =∫ 2
1dq =
∫ 2
1T dφ (1.73)
7Ricordiamo infatti che dφ = dqT
solo su trasformazioni reversibili; a riscontro di cio si ricordi chetrasformazioni adiabatiche non reversibili determinano un aumento di entropia e non una invarianzadi tale quantita.
8Importante: nella (1.73) vale il segno uguale perche la trasformazione e reversibile.
34 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
-
6es
α
J
JJA
B C
D
1 2
1 e 2
Figura 1.3: Ciclo di trasformazioni reversibili all’interno della campana di Andrews.
e per una transizione di fase reversibile (e isoterma a temperatura T ) si puo scrivere:
L1→2 = T (φ2 − φ1). (1.74)
Il problema ora sta nel valutare φ2 − φ1. Consideriamo un ciclo di variazionireversibili che riporta una sostanza, attraverso due cambiamenti di fase, allo statooriginario. Il ciclo sia quello mostrato in fig. 1.3 e consista:
• Stato A : la sostanza e in fase 1 alla pressione di equilibrio es, temperatura T evolume α1.
• Prima transizione: attraverso un leggero aumento della temperatura ∆T , senzavariazione di fase sino allo stato B.
• Stato B: la sostanza e ancora in Fase 1 a es + ∆es, T + ∆T , α1 + ∆α1.
• Seconda transizione: cambiamento di fase isotermo allo stato C.
• Stato C: fase 2, es + ∆es, T + ∆T , α2 + ∆α2.
• Terza transizione: attraverso un leggero decremento −∆T , senza variazione difase allo stato D.
• Stato D: fase 2, es, T , α2.
• Quarta transizione: transizione di fase isoterma allo stato A di partenza.
Poiche in ogni stadio del ciclo la sostanza e ad una pressione pari alla pressione diequilibrio per una transizione da 1 a 2 (p = es), scriviamo la prima legge (1.7) nellaforma:
dq = T dφ = du+ es dα.
1.11. L’EQUAZIONE DI CLAUSIUS CLAPEYRON 35
Integrando nel ciclo chiuso si trova:∮
T dφ =∮
es dα.
poiche∮
du = 0. Il membro a destra e l’area racchiusa dal ciclo ed e approssimativa-mente l’area di un rettangolo (α2 − α1)∆ es. Cosı
∮
T dφ = (α2 − α1)∆ es.
Per valutare il termine di sinistra consideriamo che:∮
d(T φ) =∮
T dφ+∮
φ dT = 0
poiche d(Tφ) e un differenzialo esatto. Percio∮
T dφ = −∮
φ dT.
Ora valutiamo questo integrale sui 4 cammini del ciclo:
1. − ∫ BA φ dT = −φ1 ∆T ove φ1 e l’entropia di fase 1 nello stato tra A e B. Per
∆T → 0 φ1 sara l’entropia di Fase 1, dello stato (es, α1, T );
2. − ∫ CB φ dT = 0 poiche il processo e isotermo;
3. − ∫DC φ dT = φ2 ∆T ove φ2 sara l’entropia di fase 2 nello stato (es, α2, T );
4. − ∫ AD φ dT = 0 poiche il processo e isotermo.
Cosı si trova∮
T dφ = −∮
φ dT = (φ2 − φ1)∆T.
e quindi
(φ2 − φ1)∆T = ∆es(α2 − α1).
Dividiamo per ∆T e lasciamo tendere ∆T a 0. Si ha:
φ2 − φ1 = (α2 − α1)d es
d T.
e sostituendo nella (1.74):
L1→2 = (α2 − α1)d es
d TT
o, risolvendo per d es
d T:
d es
d T=
L1→2(T )
[α2 − α1] (T ) T(1.75)
36 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
−30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 100
2
4
6
8
10
12
T [ °C]
e s [ m
b]
curva di sopraffusionecurva di sublimazionecurva di evaporazionecurva di fusione
punto triplo
GHIACCIO
ACQUA
VAPORE
Figura 1.4: Diagramma di punto triplo per l’acqua.
che e l’equazione di Clausius Clapeyron che da la pendenza della curva dellapressione di vapore di saturazione con la temperatura T , come funzione del calorelatente del cambio di fase, della temperatura, e della differenza tra i volumi specificidelle due fasi. Se L1→2, α1, α2 sono noti come funzioni della temperatura, alloral’equazione puo essere integrata e dare es, come funzione della temperatura.
Integriamo la (1.75) per i casi di evaporazione e sublimazione, per i quali abbiamovisto che il calore latente e circa costante. In tal caso la fase 2 sara costituita dal vaporee α2 α1, cosı che:
d es
d T=L1→2
α2 T=
Mv L1→2 es
R T 2(1.76)
d es
es=
Mv L1→2
Rd T
T 2
che integrata da:
ln es = −Mv L1→2
R T+ cost (1.77)
ove la costante di integrazione e fissata una volta nota la pressione di vapore di sat-urazione ad una temperatura di riferimento. A 273 K es = 6.11 mb e la tensionedi vapore di saturazione sia sopra l’acqua che sopra il ghiaccio di modo che la (1.77)diventa:
lnes
6.11=
Mv Lev
R(
1
273− 1
T
)
(1.78)
lnes
6.11=
Mv Lsub
R(
1
273− 1
T
)
(1.79)
1.11. L’EQUAZIONE DI CLAUSIUS CLAPEYRON 37
Tabella 1.4: Dipendenza da T della tensione di vapore di saturazione sopra l’acqua esopra al ghiaccio, di Lev e di Lsub.
rispettivamente per la curva di evaporazione e per la curva di sublimazione.Si noti che invertendo la (1.78) si trova:
ewaters [mb] = 6.11 · e5413.2( 1
273− 1
T ) (1.80)
mentre invertendo la (1.79) si trova:
eices [mb] = 6.11 · e6135.5( 1
273− 1
T ) (1.81)
formule che consentono di ricavare es nota la temperatura. Si veda tabella 1.4 peralcuni valori.
Questi due risultati, piu il corrispondente per la fusione che non deriviamo, cipermettono di tracciare un altro diagramma di fase, con coordinate T ed es come infigura 1.4. La curva di evaporazione inizia al punto triplo e piega verso l’alto a destra.Lungo di essa vapore ed acqua sono in equilibrio, a sinistra solo liquido, a destra solovapore, possono coesistere. La curva di evaporazione termina al punto critico dovecessa la distinzione tra liquido e vapore. Il punto di ebollizione si ha dove la pressionedi vapore diventa uguale alla pressione atmosferica totale.
La curva di sublimazione inizia al punto triplo e curva verso il basso alla sinistra.Dall’equazione (1.79) si vede come in prossimita del punto triplo essa debba avere una
38 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
Figura 1.5: Diagramma termodinamico tridimensionale della sostanza acqua.
pendenza piu ripida della curva di evaporazione, perche il calore latente di sublimazionee superiore a quello di evaporazione. Per stati lungo la curva di sublimazione, ghiaccioe vapore sono in equilibrio: alla destra solo vapore, alla sinistra solo ghiaccio (conl’eccezione dell’acqua sopraffusa).
Benche non la abbiamo derivata si puo vedere come deve essere qualitativamente lacurva per la fusione. Poiche α1 (ghiaccio) e solo leggermente superiore ad α2 (acqua) ilsecondo membro della (1.75) e molto grande. Se i due volumi specifici fossero uguali lacurva di melting sarebbe una retta verticale: poiche α1 e leggermente superiore di α2 lapendenza e leggermente negativa e la linea di melting e solo leggermente curva. Lungola linea di melting acqua e ghiaccio sono in equilibrio, mentre alla sua destra esiste soloacqua, alla sinistra solo ghiaccio. E ben noto che quando l’acqua e raffreddata sotto273 K, spesso non ghiaccia per ragioni che spiegheremo e riguardano la meteorologiafisica9. Per ora registriamo l’osservazione e ricordiamo che nella libera atmosfera questaeccezione e la regola. L’acqua liquida sotto lo 0 C si dice sopraffusa.
L’equilibrio tra l’acqua sopraffusa ed il suo vapore saturo non e dato dalla curvadi sublimazione ma dal prolungamento tratteggiato della curva di condensazione. Eda notare che la pressione di vapore di saturazione sull’acqua sopraffusa e superiorea quella sul ghiaccio alla stessa temperatura (vedi figura 1.4). Questo a motivo diLev < Lsub. Cio significa che se introduciamo un cristallo di ghiaccio entro una nube
9In laboratorio si riesce ad ottenere acqua sopraffusa sino a −43C.
1.12. PROCESSI ADIABATICI PER ARIA SATURA 39
sopraffusa di goccioline, il vapore comincia rapidamente a sublimare sul ghiaccio. Cosıil cristallo cresce in dimensioni sino a diventare un piccolo fiocco di neve. Questoprocesso fisico e la base del meccanismo di Bergeron-Findeisen.
Ora siamo in grado di rappresentare completamente i vari stati che la sostanza acquapuo assumere. Per questo specifichiamo le relazioni tra es, α, T per tutti gli stati e lefasi; si puo costruire un diagramma tridimensionale α, es, T (vedi fig. 1.5). Ogni statosara un punto per la sostanza acqua, nello spazio tridimensionale, e tutti i possibilistati della sostanza definiscono una superficie nello spazio: superficie termodinamicadi H2O. Ogni area sulla superficie termodinamica, ove le isoterme sono orizzontali,e un’area di equilibrio tra due o piu fasi. Nota che se la superficie termodinamica evista parallela a T , asse x, si riduce al diagramma (α, es) e se vista parallela ad α siriduce al diagramma (T , es). Cosı abbiamo gia studiato la vista frontale e di fiancodel diagramma tridimensionale. E difficile apprezzare le superfici termodinamiche daun disegno bidimensionale: un plastico sarebbe utile.
1.12 Processi adiabatici per aria satura
Abbiamo gia studiato i processi adiabatici per aria secca ed abbiamo visto che latemperatura e regolata dall’equazione di Poisson (1.12): la temperatura potenziale ecostante durante processi adiabatici secchi. Per aria umida non satura si applicanoi risultati trovati per l’adiabatica secca. Non appena si ha condensazione di vapore,tuttavia, compaiono grandi differenze, perche si libera il calore latente di condensazione.Il gradiente con il quale l’aria si raffredda espandendo adiabaticamente e inferiore diquello dell’aria non satura, poiche parte del raffreddamento e compensato dal calorelatente rilasciato dal passaggio allo stato liquido del vapor acqueo. Si possono pensaredue casi estremi.
1. I prodotti di condensazione rimangono sospesi (goccioline o cristalli): il campionedi atmosfera rimane composto dallo stesso materiale ed il processo puo essere ver-amente reversibile. Il calore latente riscalda l’aria secca, il vapore, ed i prodotti dicondensazione. Tale processo e adiabatico nel senso che nessun calore e aggiuntodall’esterno alla porzione d’aria, anche se compare il calore latente all’interno.Tale processo si chiama umido-adiabatico o adiabatico-saturo.
2. Si suppone che tutti i prodotti di condensazione cadano immediatamente dallaporzione d’aria. Cosı il campione cambia in massa e composizione ed il processonon e reversibile. Consideriamo una porzione d’aria satura che salga e si espan-da in queste condizioni, con precipitazioni dei prodotti di condensazione. Se laporzione si abbassa di nuovo si avra un aumento di temperatura. Tuttavia questonon potra causare di nuovo la variazione di fase perche i prodotti di condensazionenon sono piu presenti e non possono quindi evaporare. Cosı aumentera la tem-peratura con un gradiente adiabatico secco, che e diverso da quello col quale siera, precedentemente, raffreddata. In questo caso la porzione non puo tornare al
40 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
-
6
?
p
-α
B
A
T + dT
T
p
p+ dp
Figura 1.6: Espansione adiabatica: passaggio da A a B.
suo stato originario senza alterazione dell’ambiente, condizione che rappresentail requisito della irreversibilita. Poiche l’acqua condensata che cade all’esternoporta calore con se, il processo non e realmente adiabatico ed e noto come pseu-doadiabatico. Il calore latente rilasciato durante tutto il processo scalda l’ariasecca ed il vapore che essa contiene, ma non i prodotti di condensazione.
La situazione atmosferica concreta sta tra questi due estremi poiche parte dei prodottidi condensazione puo cadere e parte restare come goccioline nella nube. Fortunata-mente il rapporto di mescolamento w dell’aria e cosı piccolo, in atmosfera, che laquantita di prodotti che cade non puo portare molto calore con se ed il successivoeffetto della loro mancanza sara trascurabile.
Per esempio supponiamo che 5 g di vapore su 1 kg di aria (questo e un quantitativopiuttosto forte) condensino durante un’espansione umido-adiabatica. In ogni raffred-damento ulteriore ∆ T , il rapporto del calore che deve essere ceduto dai 5 g di vaporerispetto a quello del kg di aria e:
5 g cw ∆ T
103 g cV ∆ T=
5 · 1.0103 · 0.17
=1
34
Cosı anche se tutto il prodotto di condensazione cadesse, la sua assenza comporterebbesolo ∼ 3% di differenza nei processi successivi. Questa e una differenza trascurabile, amaggior ragione perche abbiamo trascurato effetti non adiabatici quali la radiazione,il mescolamento turbolento, etc.. Cosı siamo autorizzati a confondere processi umidoadiabatici e pseudoadiabatici, per quanto riguarda i processi di raffreddamento di ariasatura che sale.
1.12.1 Equazione pseudoadiabatica
Deriviamo ora un’equazione per i processi pseudoadiabatici di aria satura. Consideri-amo una porzione di 1 kg di aria secca contenente ws grammi di vapore (in condizioni
1.12. PROCESSI ADIABATICI PER ARIA SATURA 41
di saturazione come evidenzia il pedice s). Lo stato iniziale della porzione e definitodalla pressione p, dalla temperatura T e dall’ammontare di vapore ws. Compiamo unapiccola espansione adiabatica con dp, dws e dT negativi fino a p+dp, T +dT , ws +dws
come illustrato in fig. 1.6. La condensazione di dws (quindi dws < 0) grammi di vaporefornisce una quantita di calore data da −L dws ove con L indichiamo indifferentementeo Lev o Lsub. Possiamo pensare che questo vada a scaldare l’aria umida. Poiche ws 1il calore assorbito dal vapore e piccolo rispetto a quello assorbito dall’aria secca. Perciopensiamo che tutto il calore vada al kilogrammo di aria secca. Dalla prima legge dellatermodinamica (1.9) abbiamo:
−L dws = cP dT − RTMd
d(p− es)
p− es; (1.82)
poiche w = ws = ε es
p−esed es e una funzione nota della sola temperatura, l’equazione
(1.82) e una relazione differenziale fra p e T durante un processo pseudoadiabatico.Puo essere integrata numericamente o graficamente e i risultati possono essere tabulati.L’equazione (1.82) puo essere ulteriormente semplificata trascurando es in confrontoa p, quando compare la combinazione p − es, senza compiere errori gravi (si vedaTab. 1.4). Dividendo per T , l’equazione (1.82) diviene:
−L dws
T= cP
dT
T− R
Md
dp
p(1.83)
ma la differenziazione logaritmica dell’equazione di Poisson (1.12) porta:
cPdθ
θ= cP
dT
T− R
Md
dp
p(1.84)
Confrontando la (1.83) e la (1.84), per un processo di condensazione (per il qualedws < 0), si ha:
0 < −L dws
T= cP
dθ
θ(1.85)
Poiche dws e negativa (condensazione) nell’espansione, l’equazione (1.85) mostra chedurante un processo pseudoadiabatico d’espansione, la temperatura potenziale non siconserva, ma aumenta (dθ > 0); ovviamente per la cessione del calore latente. Latemperatura reale della porzione continua a decrescere (altrimenti non continuerebbela condensazione), ma meno rapidamente che per aria non satura (vedi figura 1.7). L’e-quazione (1.85) puo essere integrata formalmente compiendo un’altra semplificazione,
42 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
giustificabile in base ad alcune considerazioni10: poniamo cioe
d(
ws
T
)
' dws
T(1.87)
e l’equazione (1.85) puo scriversi
−L d(
ws
T
)
= cPdθ
θ
che integrata porge:
−L ws
T= cP ln θ + C0 (1.88)
con C0 costante di integrazione. Possiamo valutare C0 a temperatura molto bassadove ws ' 0: indicheremo con θe, temperatura equivalente potenziale, la temperaturapotenziale dell’aria per la quale ws e stato ridotto a zero. In tal caso:
θ = θe e−L ws
T cP (1.89)
La quantita θe e la temperatura potenziale di una particella d’aria quando il suo rap-porto di mescolamento e stato ridotto a 0 e tutto il calore latente e divenuto caloresensibile. Una porzione d’aria puo raggiungere θe col seguente processo (vedi fig. 1.7):dal punto P= (p, T ) si espande adiabaticamente sino al punto di saturazione Pc. Quindiespande pseudoadiabaticamente finche tutto il vapore condensa (teoricamente si devearrivare a 0K), rilascia il calore latente, e precipita. Poi si comprime l’aria adiabatica-mente fino a 1000 mb: tutto il calore latente e stato cosı trasformato in calore sensibile.Per questo θe e detta temperatura equivalente potenziale. Questa temperatura echiaramente conservata durante processi secchi e praticamente anche per processi sa-turi adiabatici e si aggiunge alla temperatura potenziale (conservata solo in processiadiabatici!) come mezzo di identificazione della massa d’aria.
Ci sono altri processi oltre a quello pseudoadiabatico per evidenziare il calorelatente: per esempio si potrebbe condensare il vapore con un processo isobarico,e potremo definire una temperatura equivalente potenziale isobarica, ma per taleprocesso non c’e una possibilita fisica di realizzazione in atmosfera e si preferisce ilprimo.
Poiche la temperatura equivalente potenziale e costante durante un processo pseu-doadiabatico, ogni curva a θe costante sul diagramma rappresenta gli stati successivi
10Tale relazione vale se∣
∣
∣
dws
ws
∣
∣
∣∣
∣
dTT
∣
∣ ovvero se
∣
∣
∣
∣
1
es
des
dT− 1
p
dp
dT
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
T
∣
∣
∣
∣
⇒∣
∣
∣
∣
Lev
RvT− g
Rd
1
dT/dz
∣
∣
∣
∣
1 (1.86)
ove dT/dz e il gradiente adiabatico saturo (2.7) che e comunque inferiore a quello secco. In realtaessendo dT/dz < 0 il secondo termine all’interno del modulo si somma al primo. A temperatureatmosferiche la (1.86) e abbondantemente soddisfatta (con T = 273 K Lev/(RvT ) = 19.8).
1.12. PROCESSI ADIABATICI PER ARIA SATURA 43
6
- T
?
pk
θe Te
ee
ee
ee
ee
ee
ee
ee
`P
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
Pc
0 K
1000 mb
-θ
adiabatica satura
Figura 1.7: Adiabatica secca (retta) e pseudoadiabatica in un diagramma di Stuve.
di una porzione sottoposta al processo umido adiabatico. Viceversa ad ogni processopseudoadiabatico corrisponde uno ed un solo valore di θe. Si noti che θ < θe cioe inun processo pseudoadiabatico la temperatura potenziale si mantiene sempre inferiorea quella equivalente potenziale.
E possibile, e talvolta conveniente, definire una temperatura equivalente Te. Ilprocesso fisico che porta aria satura alla sua temperatura equivalente e il seguente (vedifig. 1.7):
• espansione pseudoadiabatica sino ad ottenere ws = 0;
• compressione adiabatica secca alla pressione originaria (andando a 1000 mb trovola θe).
Matematicamente si puo derivare una espressione nel modo seguente per Te. Risolvendola (1.89) per θe si ha:
θe = θ eL wsT cP (1.90)
θe e Te sono in relazione per un processo adiabatico secco(
Te
θe=(
p(mb)1000
)k)
, ma anche
T e θ lo sono (Tθ
=(
p(mb)1000
)k) per cui T
θ= Te
θee quindi
Te = T
(
θe
θ
)
= T eL wsT cP (1.91)
Cosı la temperatura equivalente ha la stessa relazione alla temperatura reale che l’equiv-alente potenziale a quella potenziale. Le (1.90-1.91) sono valide entro 0.5K [si ricordiche per ottenere tale relazione si e fatta l’ipotesi (1.87)] per tipici valori in atmosfera.Chiaramente Te > T , come dovrebbe, poiche l’aria alla temperatura equivalente hasviluppato tutto il suo calore latente.
44 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
Osservazione: ricordiamo che, nelle (1.90-1.91), T rappresenta la temperatura dellostato per i soli processi adiabatici saturi, e ws il rapporto di mescolamento sullo stato(sempre in saturazione). Se si ha una porzione d’aria inizialmente non satura e che lodiviene per adiabatica secca, allora ws e T nelle (1.90-1.91) vanno considerati come ws
e T al punto iniziale della saturazione: ws e uguale a w (contenuto iniziale di vaporedella massa d’aria), poiche w si conserva nel processo adiabatico secco, mentre T sarainvece uguale a Tc (vedi seguito).
La distinzione fra la condensazione (> 0C) e la sublimazione (< 0C) e ignorataperche nell’atmosfera reale il passaggio non e brusco ma graduale, per la presenza dellostato sopraraffreddato.
Vogliamo riassumere infine gli effetti di un processo di condensazione irreversibile:se una massa d’aria viene sollevata al di sopra del proprio livello di condensazione e iprodotti di condensazione precipitano, nella successiva discesa adiabatica al livello dipartenza si avra:
• crescita della T e della θ della massa d’aria dovuta al calore latente guadagnatodalla condensazione;
• decrescita di w;
• nessun cambiamento di θe e della θw.
1.13 Diagrammi termodinamici
Le trasformazioni termodinamiche vengono rappresentate in diagrammi termodinamici.
1.13.1 Requisiti generali
Le coordinate di un generico diagramma termodinamico sono della forma: A = A(p, α)e B = B(p, α). Caratteristiche e requisiti per avere un buon diagramma termodinamicosono:
1. l’area racchiusa entro un processo ciclico e proporzionale al calore scambiato oal lavoro fatto durante il processo. In termini matematici si ha un diagrammatermodinamico quando
J
(
A, B
p, α
)
= 1 (1.92)
cioe quando lo jacobiano della trasformazione di coordinate e unitario, quindipreserva l’area, ovvero l’area racchiusa da un ciclo rappresenta il lavoro fatto nelciclo.
2. si devono poter rappresentare in esso processi fisici principali (isobarici, isoter-mi, adiabatici secchi, pseudoadiabatici, linee a ws costante (isoigrometriche)) nelmodo piu semplice possibile (preferibilmente con rette).
1.13. DIAGRAMMI TERMODINAMICI 45
3. l’angolo tra le isoterme e le adiabatiche secche sia il piu grande possibile.
Ad esempio sul piano (α, −p) (il −p sta ad indicare semplicemente che per unifor-marci al fatto che la p decresce con l’altezza sull’asse delle ordinate mettiamo valoridi p decrescenti) il terzo criterio non e soddisfatto (e noto infatti come le adiabatichesiano solo leggermente piu pendenti delle isoterme) mentre dw = p dα. In termini diaree la condizione (1.92) si esprime come:
∮
−dw =∮
−p dα =∮
A dB = −∮
B dA∮
(p dα + A dB) = 0.
Indicabdo con ds = p dα + A dB la condizione appena scritta equivale a dire che ds eun differenziale esatto. Siccome il differenziale della funzione s(α, B) si scrive come:
ds(α, B) =
(
∂s
∂α
)
B
dα+
(
∂s
∂B
)
α
dB (1.93)
ne segue che dovra essere:
p =(
∂s∂α
)
B⇒
(
∂p∂B
)
α= ∂2s
∂α∂B
A =(
∂s∂B
)
α⇒
(
∂A∂α
)
B= ∂2s
∂B∂α
⇒(
∂p
∂B
)
α
=
(
∂A
∂α
)
B
(1.94)
Quindi da un diagramma (p, α) (la prima coordinata esprime l’ordinata), che nonsoddisfa alla condizione 3), si puo passare ad un diagramma (A, B) (o equivalentemente(−B, A)) che invece ottempera ad essa, purche sia soddisfatta la condizione sullederivate parziali espressa dalla (1.94).
1.13.2 Diagramma di Stuve
Il diagramma di Stuve, chiamato anche carta pseudoadiabatica, e un diagramma ter-modinamico basato sull’eq. (1.12) per le adiabatiche: per un fissato valore di θ esisteuna relazione lineare tra T e pk. Quindi in tale diagramma (A, B) = (− pk, T ). Talicarte sono molto semplici e chiare anche se manca la corrispondenza tra area ed en-ergia cioe la (1.92) non e soddisfatta (non si ha quindi un vero e proprio diagrammatermodinamico). Gli andamenti delle curve fondamentali sulla carta pseudoadiabaticasono mostrati in fig. 1.8.
Sono tracciati 5 tipi di curve (vedi fig. 1.8):
• isobare: parallele all’asse delle ascisse. Scala di pressione (espressa in millibar)non lineare, decrescente verso l’alto. La scala non lineare si basa sulla formuladi Poisson (1.12): se p0 e l’isobara iniziale e p e l’isobara generica, la distanza Dtra le due isobare e D = |p0.286
0 − p0.286|. Ricordiamo infatti che per l’aria seccak = 0.286.
• isoterme: rette parallele all’asse delle ordinate, in scala lineare, con T in C o F(usata negli US).
46 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
Figura 1.8: Isobare, isoterme, adiabatiche secche, isoigrometrica a ws = 10 g/kg (ivalori di ws crescono spostandosi verso destra) e pseudoadiabatica con θe = 400 K inun diagramma termodinamico di Stuve.
• adiabatiche secche: rette concorrenti al punto T = 0, p = 0, fuori del diagram-ma. Vista la lontananza di tale punto tali rette appaiono tutte con la stessainclinazione11. Su ogni retta viene indicato in C il valore della temperaturapotenziale θ: su tali rette θ = cost e w = cost (mentre ws diminuisce, quindiquando ws raggiunge w si va in saturazione).
• adiabatiche sature o umide: curve tangenti a 0 K alle adiabatiche secche la cui θcoincide con la θe dell’adiabatica umida (vedi figura 1.7) e sulle quali (θe = cost)pur variando sia θ che w. Hanno pendenza piu negativa delle adiabatiche secche.
• isoigrometriche: linee di ugual umidita specifica massima (ws = cost), cioe li-nee che individuano quegli stati che hanno come umidita specifica di saturazioneun ben preciso valore. Sono curve con pendenza piu negativa rispetto alle adia-batiche. Non sono analiticamente delle rette. Hanno pendenza piu negativa siadelle adiabatiche secche che di quelle sature.
1.13.3 Emagramma
Consideriamo ora il particolare diagramma termodinamico che va sotto il nome diemagramma (diagramma di energia per unita di massa). In esso si assume B = T e
11In realta la loro inclinazione e − 10000.286
θ[K] essendo T = − θ−(1000)k pk.
1.13. DIAGRAMMI TERMODINAMICI 47
−60 −40 −20 0 20 40
100
125.9
158.5
200.0
251.2
316.2
398.1
501.2
631.0
794.3
1000213
233
253
273
293
313
0.10.2
0.51
25
101520
3040
60
233253
273
293
313
333
353
373
393
413
curve su un emagramma
T [° C]
p[m
b]
Figura 1.9: Curve fondamentali in un emagramma.
A = f(p), passando cosı alle due variabili piu usate in meteorologia. Per determinarela dipendenza di A da p vado a vedere come diventa la (1.94):
(
∂A
∂α
)
T
=
(
∂p
∂T
)
α
(1.95)
ma, per un gas con costante R:
p α = R T ⇒(
∂p
∂T
)
α
=R
α
per cui usando la (1.95)
(
∂A
∂α
)
T
=R
α⇒
(
∂A
∂α
)
dα = Rdα
α
A = R lnα + F (T ). (1.96)
Se prendiamo il logaritmo dell’equazione di stato:
p α = R T ⇒ lnα = − ln p+ lnR + lnT
e la immettiamo nella (1.96) si trova:
A = R (− ln p + lnR + lnT ) + F (T )
A = −R ln p+ [R lnR +R lnT + F (T )] . (1.97)
48 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
Figura 1.10: Isobare, isoterme, adiabatiche secche, isoigrometrica (linea spessa) a ws =10 g/kg e pseudoadiabatica (linea tratteggiata) con θe = 40 C in un emagramma.
Prendendo F (T ) = −R lnR − R lnT in modo da annullare la [ ] si trova che unemagramma e caratterizzato da:
A = −R ln pB = T
EMAGRAMMA (1.98)
Come controllo si ha:
∮
dw =∮
(R dT − αdp) =∮
R dT −∮
R Tdp
p= −R
∮
T d log p.
e quindi prendendo B = T e A = −R log p si ha un diagramma termodinamico. Lecurve fondamentali su tale diagramma sono plottate in fig. 1.9. Le adiabatiche secche invirtu dell’eq. di Poisson (1.12) sono delle curve logaritmiche che diventano piu pendential decrescere della T ma che appaiono sostanzialmente come delle rette. Tipicamentel’angolo tra adiabatiche e isoterme e intorno ai 45.
1.13.4 Tefigramma
Altro diagramma usato comunemente e il tefigramma, cosı detto perche e un diagram-ma (T, φ), essendo φ l’entropia. Partendo sempre dalla A = R lnα + F (T ) unitaalla
T
θ=
(
p
p0
)k
=(
RT
1000 α
)k
(1.99)
1.13. DIAGRAMMI TERMODINAMICI 49
-
6
T -
log θ
T1 T2 T3
θ2
θ1
p1 p2
p3
6
Figura 1.11: Sinistra: tefigramma schematico. Destra: isobare, isoterme, adiabatichesecche, isoigrometrica (linea spessa) a ws = 10 g/kg e pseudoadiabatica (linea trat-teggiata) con θe = 40 C in un tefigramma ruotato di modo che le isobare sianoapprossimativamente orizzontali.
e prendendone il logaritmo:
log T − log θ = k [logR + logT − log 1000 − logα]
logα =1
klog θ +G(T )
si ottiene:
A =R
klog θ +G(T ) + F (T ).
Prendendo infine G(T ) = −F (T ) si ha:
A = cP log θB = T
T, φ DIAGRAMMA O TEFIGRAMMA (1.100)
Si ha:∮
dw =∮
dq =∮
T dφ = cP
∮
T d log θ.
In conclusione prendendo B = T e A = cP log θ si ha un diagramma termodinamico lecui curve fondamentali sono tracciate in fig. 1.11.
Di solito i tefigrammi sono ruotati di modo che le isobare sono quasi orizzontalicon pressione decrescente andando verso l’alto; in tali diagrammi sono le isotermee le adiabatiche secche ad essere tra loro perpendicolari. Solo le pseudoadiabaticheappaiono apprezzabilmente incurvate. I tefigrammi sono particolarmente importantiperche su di essi vengono tracciati quasi tutti i sondaggi ovvero i profili di T e di Td.
50 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
1.14 Variabili di umidita
L’aria dell’atmosfera e un miscuglio di aria secca e vapor d’acqua. Vi sono modidiversi di descrivere il contenuto di vapore, a seconda dell’applicazione. Elenchiamoper il momento le variabili principali.
• Pressione di vapore e, la pressione parziale del vapor d’acqua.
• Densita di vapore ρv, detta anche umidita assoluta:
ρv =e
Rv T.
• Rapporto di mescolamento w, in g/kg, definito dalla massa di vapor d’acqua perunita di massa di aria secca:
w =Mv
Md=ρv
ρd= ε
e
p− e∼ ε e
p.
• Umidita specifica q, in g/kg, definita come la massa di vapor d’acqua per unitadi massa di aria umida:
q =ρv
ρ=
Mv
Mv +Md= ε
e
p− (1 − ε)e=
w
1 + w≈ w
Si noti che rapporto di mescolamento e umidita specifica danno una misura as-soluta sul contenuto di vapore acqueo ma non ci danno informazioni sullo statofisico della massa d’aria cioe sul fatto se si sia o meno in saturazione (per vederequesto vanno confrontati con ws e qs).
• Umidita relativa f , generalmente espressa in %, definita come:
f =w
ws=
e
es
p− es
p− e≈ e
es.
• Temperatura virtuale, la temperatura di aria secca avente la stessa densita di uncampione di aria umida alla stessa pressione:
T ∗ = T + ∆ T =1 + w
ε
1 + wT ≈ T [1 + 0.6w].
1.14.1 Altre variabili di umidita
Supponiamo di avere una massa d’aria caratterizzata da una certa temperatura T(quindi con un ben definito es = es(T )) e da una data pressione p (quindi con un bendefinito ws = ws(p, T )). Il contenuto di vapor acqueo puo venire specificato da unoqualunque dei parametri e, ρv, w, q, f , T ∗. In generale comunque bastera avere, oltre apressione e temperatura, una qualsiasi variabile di umidita per risalire a tutte le altre.Oltre a quelli gia definiti e possibile determinare alcuni parametri caratteristici dellamassa d’aria, parametri che si ritrovano spesso in meteorologia.
1.14. VARIABILI DI UMIDITA 51
-
6
- T
?
pk
Pd = (Td, p) P = (T, p)
1000 mbJJ
JJ
JJ
JJ
JJ
JJ
JJBBBBBBBBBBBBBB
θw θ
+
adiabatica secca
=
adiabatica satura
+
Tw
isoigrometrica
L.C.S. Pc = (Tc, pc)
Figura 1.12: Metodo di calcolo della temperatura di rugiada e di bulbo bagnato.
• Temperatura di rugiada (= dew) Td:
e la temperatura alla quale bisogna raffreddare un’aria, tenendo p e w costanti peravere la saturazione rispetto all’acqua (va precisato perche al di sotto di T = 0Cvi e anche la saturazione rispetto al ghiaccio), cioe per avere w → ws. In altreparole, il punto di rugiada e la temperatura alla quale il rapporto di saturazione ws
decresce sino a diventare uguale al rapporto di mescolamento w. Per determinarlasi traccia la parallela all’asse delle ascisse sino ad incontrare l’isoigrometrica divalore q (vedi fig. 1.12), umidita specifica. L’ascissa corrispondente e Td. E chiaroche Td < T ed e tanto piu vicina a T quanto piu si e vicini alla saturazione.
• Punto di condensazione Pc:
e l’incontro dell’adiabatica secca per P con l’isoigrometrica di valore q (vedifig. 1.12). Se si conosce Td, e il punto di incontro della isoigrometrica tracciata daPd sino ad incontrare l’adiabatica secca passante per P . Il punto di condensazionedefinisce automaticamente:
– Temperatura di condensazione isoentropica Tc:
e la temperatura del punto di condensazione;
– L.C.S.= livello di condensazione per sollevamento:
livello (di pressione) pc al quale alzare adiabaticamente aria non satura peravere condensazione. Durante il sollevamento w e θ dell’aria rimangonocostanti: e ws che decresce sino ad arrivare ad essere uguale a w. Ecco cheil L.C.S. si ottiene dall’intersezione della linea di temperatura potenzialepassante per il punto a temperatura T e pressione p con l’isoigrometrica ilcui ws coincide proprio con w (vedi fig. 1.12).
• Temperatura di bulbo bagnato (=wet) Tw:
52 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
temperatura alla quale l’aria viene raffreddata tramite evaporazione di acqua inessa, a pressione costante, fino a saturarla. Viene misurata direttamente con untermometro, il cui bulbo e coperto da un batuffolo bagnato sul quale viene fattapassare l’aria. Si puo assumere che quando il bulbo raggiunge una temperaturastazionaria (TW per l’appunto) tutto il calore richiesto per evaporare l’acqua dalbulbo venga fornito dal raffreddamento dell’aria che viene a contatto col bulbo.In tali condizioni inoltre quest’aria verra raffreddata a Tw e diventera satura.Si noti la similarita con la definizione di temperatura di rugiada. In questo casopero w non resta costante perche l’aria che lascia il bulbo bagnato ha un rapportodi mescolamento w′ > w, se l’aria che finisce sul bulbo non e satura (nel qualcaso invece w = w′). Il processo e isobarico; per un campione di aria umida,corrispondentemente ad una evaporazione di massa dw d’acqua si ha una perditadi calore:
(1 + w) dq = −Lev dw (1.101)
e dal primo principio:
dq = (cP )mdT = cP dT [1 + 0.9 w] (1.102)
uguagliando la (1.101) e la (1.102) si trova:
cP dT = −Lev dw(
1
1 + w
) (
1
1 + 0.9 w
)
≈ −Lev dw [1 − 1.9 w] ≈ −Lev dw.
(1.103)La (1.103) descrive il processo di bulbo bagnato. Trascurando la debole dipen-denza di Lev dalla temperatura questa equazione puo essere integrata per dare:
T − Tw
ws(p, Tw) − w=Lev
cP(1.104)
che combinata con la definizione di ws(p, Tw) e la dipendenza di es(T ) da unadelle quantita T , Tw o w date due di queste. Si noti in particolare come la (1.104)possa venire utilizzata per ricavare w una volta che si misuri T e la Tw con unopsicometro. Si noti infine che T > Tw > Td e che gocce di pioggia o di nubeevaporanti sono proprio alla temperatura di bulbo bagnato.
• Temperatura equivalente:
Te = T eL wsT cP
ottenuta seguendo l’adiabatica satura da Pc sino a p molto basse in modo dacondensare tutto il vapore, quindi ritornando alla p di partenza con l’adiabaticasecca (vedi fig. 1.13).
• Temperatura equivalente potenziale:
θe = θ eL wsT cP ,
e la temperatura potenziale associata alla Te.
1.14. VARIABILI DI UMIDITA 53
Figura 1.13: Determinazione grafica di Te e θe in un diagramma di Stuve.
• Temperatura adiabatica di bulbo bagnato Tsw:
valore di temperatura ottenuta seguendo la pseudoadiabatica da Pc sino alla poriginale. Il risultato cosı trovato differisce al piu di 0.5C dalla Tw.
• Temperatura potenziale di bulbo bagnato θw:
temperatura potenziale corrispondente alla Tsw temperatura alla quale si ha l’in-tersezione della pseudo-adiabatica passante per Pc di una massa d’aria con l’iso-bara a 1000 mb (vedi fig. 1.12). Come la θe la temperatura potenziale di bulbobagnato θw e conservata sia durante processi adiabatici secchi che saturi.
Osservazione: alla superficie della Terra la pressione varia molto poco. Pertantoil punto di rugiada Pd individuato da (Td, p) e un buon indicatore del contenuto divapore della massa d’aria: w infatti corrispondera al valore dell’isoigrometrica passanteper Pd. Con tempo caldo e umido e anche un buon indicatore del disagio umano. Unvalore critico si raggiunge quando il punto di rugiada sale al di sopra dei 20 C; valorial di sopra dei 24 C sono di fatto molto pesanti. L’umidita relativa invece oltre chedipendere dal contenuto di vapor acqueo dipende anche dalla temperatura; in unagiornata di sole l’umidita relativa puo abbassarsi del 50% dalla mattina al pomeriggioproprio a causa dell’aumento della temperatura (aumentando T cresce ws!!). Cosıun’umidita relativa del 70% puo essere tranquillamente sopportabile a 20 C mentrelo e sicuramente meno a 30 C.
Regola di Normand: come illustrato in fig. 1.12, su una carta pseudo-adiabatica,il L.C.S. di una massa d’aria e situato all’intersezione:
• della curva di temperatura potenziale costante (θ = cost) (adiabatica secca)passante per il punto (T , p) della massa d’aria,
54 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
• della curva di temperatura equivalente potenziale costante (θe = cost) (cioe dellapseudoadiabatica) passante per il punto di bulbo bagnato Pw = (Tw, p) dellamassa d’aria e
• della isoigrometrica passante per il punto di rugiada Pd = (Td, p) della massad’aria.
Tale regola, avendo a disposizione una carta pseudoadiabatica, consente di ricavarefacilmente anche Tw.
1.15 Complemento I: mescolamento di masse d’aria
a p costante
Molto spesso o nella fase dissipativa o in quella di formazione delle nubi sono importantii fenomeni di mescolamento. In generale il mescolamento di masse d’aria insature puodare origine a masse sature; questo fenomeno ad esempio si realizza dall’osservazionedel respiro umano in giornate molto fredde ed e il meccanismo fondamentale che portaappunto al fenomeno delle cosı dette “nebbie di mescolamento”. La ragione intrinsecadi questo fenomeno risiede nella forma concava della curva di equilibrio liquido-vaporedi Clausius-Clapeyron.
Vediamo quantitativamente la cosa. Consideriamo allora due masse d’aria, una dimassa M1, temperatura T1 e umidita specifica q1 l’altra di massa M2, temperaturaT2 e umidita specifica q2 che vengono mescolate a p costante. Vogliamo determinarnela nuova umidita specifica, il nuovo rapporto di mescolamento, la nuova pressione divapore e la nuova temperatura.
Dalla definizione di umidita specifica segue che:
q =Mv
Md +Mv=
(Mv)1 + (Mv)2
M1 +M2
q =(Mv)1
(Mv)1 + (Md)1
(Mv)1 + (Md)1
M1 +M2
+(Mv)2
(Mv)2 + (Md)2
(Mv)2 + (Md)2
M1 +M2
q = q1M1
M1 +M2+ q2
M2
M1 +M2(1.105)
e in maniera analoga per il rapporto di mescolamento si trova:
w =Mv
Md
=(Mv)1 + (Mv)2
(Md)1 + (Md)2
=(Mv)1
(Md)1
(Md)1
(Md)1 + (Md)2
+(Mv)2
(Md)2
(Md)2
(Md)1 + (Md)2
w ≈ w1M1
M1 +M2+ w2
M2
M1 +M2(1.106)
ed una equazione analoga vale per la pressione di vapore. Per la temperatura si hainvece che se il mixing avviene senza perdita di calore allora il calore perso dall’ariapiu calda viene guadagnato dall’aria piu fredda, cioe se Tf e la T finale:
cioe anche la temperatura della mistura e una media pesata delle temperature dei duecampioni.
Esempio: un campione d’aria ha T1 = 30 C e f1 = 90% mentre un secondocampione, di ugual massa, ha T2 = 2 C e f2 = 80%. Se il mescolamento e isobarico a1000mb trovare la T della nebbiolina che si forma e il contenuto di acqua liquida chesi forma (per kg di aria).
Siccome i due campioni hanno la stessa massa la Tf sara proprio la media delle dueT cioe Tf = 16 C. Usando i valori di es(2
C) = 7.06 mb e es(30 C) = 42.45 mbsi ricava che e1 ∼ f es = 38.2 mb e e2 = 5.65 mb da cui w1 ∼ ε e1
p= 23.8 g/kg e
w2 ∼ 3.51 g/kg da cui infine wf = 14.0 g/kg.A 16 C la tensione di vapore e di 18.18 mb, cui corrisponde un rapporto di
mescolamento di ws(Tf) = 11.3 g/kg; pertanto l’aria che si e formata e sovrassatura.
1.15.1 Condensazione in presenza di sovrassaturazione
Se vi e stata condensazione in forma di goccioline e il mescolamento ha portato asovrassaturazione vi sara crescita delle goccioline per condensazione; questo ridurrala tensione di vapore e riscaldera la miscela finche verra raggiunto un nuovo puntodi equilibrio sulla curva di Clausius-Clapeyron. Trascurando la capacita termica divapore e acqua condensata possiamo scrivere:
cP dT ≈ −Levdw = −Levεde
p(1.109)
di modo che dal punto di mescolamento la tensione di vapore si muovera sulla retta:
e = emix −cP p
Lev ε(T − Tmix)
sino ad incontrare la curva di Clausius-Clapeyron. Il procedimento viene illustratograficamente in fig. 1.14. In questo esempio la temperatura finale di equilibrio cor-risponde a Tend = 18.4 C che sara la temperatura finale dopo il processo di conden-sazione. Siccome a tale T ws = 13.4 g/kg allora wf − ws(Tend) = 0.6 g/kg sara ilcontenuto di acqua liquida che approssimativamente si viene a formare.
1.16 Complemento II: dissipazione di nubi per mesco-
lamento isobarico con aria limpida
Supponiamo di avere 1 kg di aria di nube a temperatura T +∆T in saturazione [quindicon w = ws(T+∆T )]. Il contenuto di vapore sara pari a qs(T+∆T ) mentre il contenuto
56 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
0 5 10 15 20 25 30 355
10
15
20
25
30
35
40
T [ °C ]
e [m
b]
Figura 1.14: Mescolamento di due masse d’aria subsature che porta ad una massad’aria satura. La successiva fase di condensazione con conseguente riscaldamento vieneillustrata dalla freccia.
di acqua condensata lo scriviamo pari a χ0 ≡ ζ0 qs(T ) (che coincide con l’umiditaspecifica dell’acqua condensata) con ζ0 coefficiente adimensionale di proporzionalitatra vapore e acqua liquida della nube. Supponiamo che tale massa d’aria si mescoli conm kg di aria limpida a temperatura T con umidita relativa fclear. Vogliamo valutare laproporzione di aria limpida che deve essere mescolata con l’aria di nube per evaporaretutta la nube. Come mostrato in fig. 1.15, al variare di m, il mescolamento delle duemasse d’aria portera ad avere un punto sulla linea punto-tratteggiata via via piu vicinoalle caratteristiche dell’aria limpida all’aumentare di m. La massa d’aria risultantesara insatura; siccome vi e presenza di goccioline queste tenderanno ad evaporareraffreddando la massa d’aria e rendendola piu umida. Lo stato della massa d’ariasi sposta cosı lungo le freccie. Se vi e sufficiente acqua liquida si raggiunge uno statodi equilibrio con umidita al 100%; altrimenti (in fig. 1.15 se m > 1.1 kg) si raggiungeuno stato insaturo nel quale tutta l’acqua e evaporata e la nube si e pertanto dissolta.
Alla fine del mescolamento avremo una massa d’aria a T = T + ∆T ′ e con acquacondensata con umidita specifica pari a ζ1qs(T )/(1+m). ∆T ′ e ζ1 sono le due incognitedel problema.
mentre la conservazione dell’entalpia (calore scambiato a p costante) porge (trascurando
1.16. MESCOLAMENTO ISOBARICO CON ARIA LIMPIDA 57
−8 −7.5 −7 −6.5 −6 −5.5 −5 −4.5 −41.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
T [° C]
e [m
b]0.1
0.3
0.5
0.9
1.1
1.5 1.9
Figura 1.15: Mescolamento di 1 kg d’aria di nube e diversi quantitativi di aria limpida.Al di sopra di un certo valore di m l’aria risultante non e piu satura. Qui p = 600 mb,T + ∆T = −5 C, T = −7 C e fclear = 50%.
Ora nei termini in ζ0 e ζ1 rimangono solo quelli in Lev in quanto Lev cw∆T eLev cw∆T ′ di modo che si puo ricavare l’incognita ∆T ′ come:
∆T ′ =∆T − qs(T )Lev
cp(ζ0 − ζ1)
1 +m(1.112)
Sostituendo questa nella (1.110) si puo ricavare ζ1 e quindi ∆T ′. Se si lavora nell’ap-prossimazione lineare di Clausius-Clapeyron allora qs(T + ∆T ) = qs(T )[1 + Lev
RvT 2 ∆T dimodo che si puo riscrivere la (1.110) come:
(ζ0 − ζ1) +Lev
Rv T 2∆T =
Lev
RvT 2(1 +m)∆T ′ +m(1 − fclear) (1.113)
Intoducendo la (1.112) in questa equazione si ricava allora:
ζ1 = ζ0 −m(1 − fclear)
1 + Lev
RvT 2qs(T )Lev
cp
(1.114)
∆T ′ =∆T − qs(T )Lev
cpm(1 − fclear)/(1 + Lev
RvT 2qs(T )Lev
cp)
1 +m(1.115)
58 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
10 20 30 40 50 60 70 80 90
220
230
240
250
260
270
280 0.5
1
2
3
5
10
15
20
30
RH [%]
T [° C
]
Figura 1.16: Curve di livello di m al variare dell’umidita relativa della massa di arialimpida e della sua T (la p varia corrispondentemente come in una atmosfera standard).La concentrazione di acqua liquida della nube e pari a 1 g/kg.
Il caso in cui la mistura abbia la stessa temperatura che l’aria limpida si verificaper ∆T ′ = 0 e se tutta l’acqua e evaporata allora ζ1 = 0; ma allora ∆T = qs(T )Lev
cpζ0 e
m =ζ0(1+ Lev
RvT2qs(T )Lev
cp)
1−fclearche dimostra come il rapporto tra aria di nube e aria limpida da
mescolare per avere evaporazione completa e indipendente dall’eccesso di T della nuberispetto all’ambiente (nell’ipotesi di linearita della relazione di Clausius-Clapeyron,quindi con valori di ∆T piccoli). Curve di livello di m vengono tracciate in fig. 1.16e mostrano come il valore di m cresca al diminuire di RH e di T . Questo in qualchemodo dimostra il perche nubi alte quali cirri che si sviluppano ad alte quote in zone dialta umidita relativa possono persistere per molte ore ed estendersi per molti km (sipensi agli scudi di cirri generati da cumulonembi).
Si noti infine che la massa d’aria che deriva dal mescolamento puo essere piu densadella massa d’aria limpida circostante. A basse temperature dove non serve tenere contodella diversa umidita dell’aria finale la condizione che porta ad avere aria mescolata allastessa temperatura dell’aria limpida e che cp ∆T0 = χ0Lev, ovvero che il raffreddamentoevaporativo della massa di nube venga esattamente compensato dal raffreddamento diaria di nube nel passaggio T + ∆T → T . Quindi se ∆T > ∆T0 ci aspettiamo di finirecon aria piu calda dell’aria limpida (ma piu umida, quindi potrebbe essere piu densa,bisogna confrontare le T ∗), se ∆T < ∆T0 arriveremo ad avere aria piu fredda. Questoindurra movimenti di subsidenza; e quello che tipicamente si verifica ai bordi delle nubi:l’evaporazione sara rafforzata e i confini della nube diventeranno piu marcati.
In tale processo il rapporto di mescolamento totale qtot = ws + χ e conservato e ilsistema termodinamico e isolato di modo che l’entropia viene conservata. L’entropiaspecifica si puo scrivere come
φ = φd + wsφv + χφw = φd + qtotφw +Lev
Tws (1.116)
essendo φv = φw + Lev
T. In un processo isoentropico allora:
dφ = 0 = dφd + qtotdφw + d(
Lev
Tws
)
= cPd(lnT ) − Rdd(ln pd) + qtotcwd lnT + d(
Lev
Tws
)
0 = (cP + qtotcw)d(lnT ) − Rdd(ln pd) + d(
Lev
Tws
)
che si puo riscrivere come:
d ln
T
p(
RdcP +qtotcw
)
d
exp
(
Lev ws
T (cP + qtotcw)
)
= 0 ⇒ T
p(
RdcP +qtotcw
)
d
exp
(
Lev ws
T (cP + qtotcw)
)
= cost
che consente in amniera analoga alla temperatura potenziale, di definire la temperaturaequivalente potenziale bagnata:
θq ≡ T
(
1000mb
pd
)(Rd
cP +qtotcw)
exp
(
Lev ws
T (cP + qtotcw)
)
(1.117)
che e una grandezza conservata su tutti i processi adiabatici saturi reversibili.
1.18 Esercizi
1.18.1 Termodinamica dell’aria umida
Costanti dei gas per miscele di gas
Calcoliamo ora le costanti dei gas per diverse miscele presenti su diversi pianeti delsistema solare. Aiutandosi con le diverse composizioni planetarie date in Tab. 1.5 sipuo calcolare per ogni atmosfera la massa molare media:
M =
∑
iMi∑
iMi
Mi
=1
∑
ifi
Mi
(1.118)
60 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
Tabella 1.5: Composizione atmosferica percentuale volumetrica e in massa per diversipianeti.
Nome Composizione Composizione M Rpianeta %molare Fi %massa fi g/mol J/(kg K)
Mercurio privo di atmosfera privo di atmosfera −− −−Venere CO2 (96.5%), N2 (3.5%) CO2 (97.5%), H2O, CO 43 189Terra N2 (78%), O2 (21%) N2 (75.5%), O2 (23%) 28.97 287Marte CO2 (96%), N2 (2.5%) CO2 (98%), N2 (1.6%) 44 189Giove H2 (89%), He (11%) H2 (89%), He (11%) 2 4157
Saturno H2 (89%), He (11%) H2 (89%), He (11%) 2 4157
con fi = Mi∑
iMi
e con Mi rispettivamente la frazione di massa fi (calcolata sulla terza
colonna) (e non la frazione molare o volumetrica12 Fi = Ni
Ntot=
MiMi
∑
i
MiMi
che e quella
data in colonna 2) e il peso molecolare del costituente i-esimo della mistura di gascostituente (vedi quarta colonna della Tab. 1.5).
Detta R = 8.314J/(mol 0K) la costante dei gas perfetti, la costante dei gas perl’aria dell’atmosfera in esame sara R = R/M (vedi quinta colonna della Tab. 1.5).
Calcolare il dT/dz adiabatico per le atmosfere di Venere13, Marte e Giove. Dallaformula
dT
dz= −gpianeta
cpianetaP
,
usando per Marte e per Venere cP = 834 J/(kg K) (che spetterebbe ad una atmosferadi sola CO2) e per Giove cP = 14450 J/(kg K) (che spetterebbe ad una atmosfera disolo H2) ed i valori della accelerazione di gravita (vedi Vol. I) si trova subito che:
(
−dTdz
)
Marte= 4.5 K/km
(
−dTdz
)
V enere= 10.6 K/km
(
−dTdz
)
Giove= 1.8 K/km
Come mai su Venere e su Marte c’e cosı tanta anidride carbonica?
12Si ricorda che a parita di p e T una mole di qualunque gas occupa lo stesso volume. La relazionetra frazione di massa e frazione volumetrica e fornita dall’equazione:
fi =Fi Mi∑
i Fi Mi
.
13In questo pianeta sono presenti anche altre sostanze come l’anidride solforosa (180 ppm), l’argon(70 ppm), il vapor acqueo (30 ppm), il monossido di carbonio (23 ppm), il neon (7 ppm). Non solol’acqua allo stato liquido e assente ma la stessa atmosfera e estremamente secca.
1.18. ESERCIZI 61
1.18.2 Vapor d’acqua, mixing e convezione
1. Determinare il calore specifico a pressione e a volume costante per l’aria umida.
Tabella 1.6: Costanti termodinamiche per aria secca (dry) (d), vapor d’acqua (v) e ariaumida (moist) (m). Per ogni tipo di gas vale R + cV = cP .
Cominciamo con una trasformazione a volume costante (δQ = dU), pensando diaggiungere una quantita di calore dQ a 1kg di aria secca e wkg di vapor d’acqua;indicando con (cV )d e (cV )v i calori specifici a volume costante dell’aria secca edel vapor d’acqua si ha:
dqv =1
1 + w(cV )d dT +
w
1 + w(cV )v dT ≡ (cV )m dT
e quindi (cV )m = (cV )d+w(cV )v
1+we siccome (cV )v
(cV )d= 1.96 ≈ 2 e w 1 si trova in
definitiva: (cV )m ≈ (cV )d[1 + w].
Passando ora invece ad una trasformazione a pressione costante il primo principioporge dQp = dU + dW = dU + p dV da cui:
Siccome, in atmosfera, w si mantiene orientativamente < 0.02 (ai tropici si ar-riva fino a w = 40 g/kg) e una buona approssimazione prendere come costantitermodinamiche per l’aria umida quelle dell’aria secca: quando ai parametri ter-modinamici non e assegnato alcun pedice come consuetudine si intende che sonoriferiti all’aria secca. Alcune costanti utili in atmosfera sono riassunte in Tab. 1.6.
62 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
2. Formule di Bolton e di Magnus
Utilizzando l’eq. di Clausius Clapeyron per la curva liquido/vapore:
des
dT=Lev es
Rv T 2(1.119)
integrarla ipotizzando dapprima che il calore latente di evaporazione sia costantecon la temperatura, quindi che dipenda da T come:
Viceversa se si impone la dipendenza da T della (1.120) si trova:
es(T ) = A C(T )e−B′
T (1.125)
C(T ) =(
T0
T
)
cw−(cP )vRv e
cw−(cP )vRv = 153.7
(
T0
T
)5.035
B′ = L0+(cw−(cP )v) T0
Rv= 6.79456 × 103 K
(1.126)
che e nota come formula di Magnus.
Riportiamo in Tab. 1.7 i valori di es(T ) calcolati con le due formule e li con-frontiamo con i valori reali nell’intervallo −30 ÷ 30 C; si vede che la formuladi Bolton da risultati entro il 6%, quella di Magnus entro lo .6%. Si noti cheuna formula del tutto analoga con Lsub al posto di Lev consente di calcolare latensione di vapore di saturazione sopra il ghiaccio. Si trova Ai = 354.54× 108mband Bi = 6140.8 K.
3. Il punto di ebollizione di un liquido e la temperatura alla quale la pressionedi vapore eguaglia la pressione atmosferica. Derivare un’espressione per la va-riazione del punto di ebollizione dell’acqua con l’altitudine. Mostrare che percondizioni tipiche a livello del mare il punto di ebollizione dell’acqua decrescecon una velocita di circa 3C per km.
1.18. ESERCIZI 63
Tabella 1.7: Valori della tensione di vapore sopra l’acqua es(T ) in Pascal.
Assumendo valida la formula di Bolton per la pressione di vapore sopra l’acqua:
es(T ) = A e−B/T A = 2.53 × 108 kPa; B = 5.42 × 103 K;
la temperatura di ebollizione all’altezza z sara:
Teb(z) = − B
ln p(z)A
; (1.127)
il cui andamento viene graficato in fig.1.17, corrispondentemente ad una varia-zione di p con z dell’atmosfera standard, ma allora:
dTeb(z)
dz=
B(
ln p(z)A
)2
d ln p(z)
dz= − B
(
ln p(z)A
)2
g
RdT; (1.128)
Assumendo a livello del mare una temperatura di 290 K e una pressione di1000 hPa si trova il risultato dTeb(z)
dz= −3K/km. Ecco perche in alta montagna
la cottura degli spaghetti non e ottimale: la temperatura alla quale “bollono” einferiore di qualche grado a quella al livello del mare! In processi di vinificazionee necessario portare il mosto ad ebollizione attorno ai 20C. A quale pressionebisogna scendere? (Risp.: a 23 mbar.) Si noti infine che le pentole a pressione inqualche modo funzionano all’opposto sullo stesso criterio.
4. Dimostrare la formula di Clausius Clapeyron utilizzando il fatto che la transizionedi fase conserva G.
Indicate con (1) e (2) le due fasi della sostanza possiamo scrivere che g(1)(T ) =g(2)(T ) e g(1)(T + dT ) = g(2)(T + dT ) di modo che dg(1)(T ) = dg(2)(T ), ovvero−φ(1)dT + α(1)dp = −φ(2)dT + α(2)dp da cui si arriva al risultato voluto.
5. Utilizzando un tefigramma mostrare i processi che portano a condensazione.
64 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
0 2 4 6 8 10 12330
335
340
345
350
355
360
365
370Temperatura di ebollizione con l’altezza
altezza (km)
T_e
b (K
)
Figura 1.17: Andamento della temperatura di ebollizione per l’acqua al variaredell’altezza in una atmosfera standard (vedi linea tratteggiata della fig. 2.14).
6. Dare l’equazione delle isobare e delle isoigrometriche nei tefigrammi e nei dia-grammi di Stuve.
In un tefigramma le coordinate cartesiane sono fornite dalle variabili (x = T, y =log θ). Si trattera di scrivere le curve a p = cost in termini di queste due variabili.Dalla definizione di temperatura potenziale (1.13) se p = cost = p si ha:
log θ = log T + k log
(
1000
p
)
(1.129)
cioe le isobare hanno andamento logaritmico. Passando ora alle isoigrometricheimporre ws = cost = ws comporta che:
log θ = log
(
T ws
[ε es(T )]k
)
(1.130)
e vengono mostrate in fig. 1.18.
In un diagramma di Stuve le variabili sono (x = T, y = pk). Le isobare quindisono banalmente delle rette parallele all’asse delle x; per le isoigrometriche invecesi trova:
pk =
(
εes(T )
ws
)k
1.18. ESERCIZI 65
−60 −40 −20 0 20 40
2.42
2.43
2.44
2.45
2.46
2.47
2.48
2.49
2.5
500
750
1e+03
0.1
0.20.5
1 510
2040
60
273
293
313
333
353
373
393
413curve su un tefigramma
T [° C]
log 10
(θ [K
])
Figura 1.18: Curve fondamentali in un tefigramma.
7. Un campione d’aria ha una temperatura di −5C, una pressione di 80 kPa e unaumidita relativa f = 65%. Determinare:
(a) Il rapporto di mescolamento.
Si trova che in tali condizioni es(−5C) = 421.85 Pa quindi e = f es =274.2 Pa da cui
w = εe
p= 0.622
274.2
800= 2.11 g/kg.
(b) La temperatura potenziale.
Si ha:
θ = T
(
p0
p
)k[1−0.2w]
= 268.15 × (1.25)0.2858 = 285.64K.
(c) La temperatura di rugiada.
Si puo determinare graficamente con un tefigramma oppure usando la for-mula di Bolton dalla condizione:
Td =B
ln(Aεwp
)
che nel nostro caso da Td = 5.42×103 K20.65
= 262.4 K = −10.6 C.
(d) La temperatura di brina.
Si procede come al punto precedente usando la formula di Bolton con Lsub
al posto di Lev. Si trova Tbrina = −9.5 C, che come deve essere e > Td.
66 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
(e) La densita.
ρ =p
Rm T=
p
Rd T
[
1 + w
1 + w/ε
]
= 1.04 kg/m3.
(f) La temperatura virtuale.
T ∗virt = T [1 + 0.6 w] = 268 × [1 + 0.6 × 2.11 × 10−3] = 268.3 = −4.7 C.
(g) La temperatura di bulbo bagnato.
Si puo determinare graficamente oppure cercando numericamente la soluzioneall’equazione:
Tw = T − Lev
cP
(
ε
pA e−B/Tw − w
)
(1.131)
che e stata risolta numericamente per iterazione, come ricerca di zeri. Si etrovato, con i dati del problema: Tw = −6.85C.
(h) La temperatura di condensazione isoentropica Tc, cioe la temperatura allaquale viene raggiunta la saturazione quando aria umida viene raffreddataadiabaticamente mantenendo w costante.
La risposta e molto semplice se si ha in mano una carta termodinamica.Alternativamente si puo risolvere iterativamente l’equazione approssimata(si usa la formula di Bolton)
Tc = B/ ln
[
A ε
w pc
]
= B/ ln
[
A ε
w p
(
T
Tc
)1/k]
(1.132)
che si ottiene notando che Tc = Td(w, pc) con pc e Tc connesse alle temper-ature e pressioni iniziali dalla legge adiabatica:
Tc
T=
(
pc
p
)k
.
Cosı facendo si trova Tc = −11.9C.
8. Determinare approssimativamente il L.C.S. per uno stato caratterizzato dallatemperatura e dalla temperatura di rugiada.
Si tratta essenzialmente di determinare come varia la Td su una isoigrometrica.Alla Td si ha es(Td) = e e quindi in una trasformazione in cui ho variazione dipressione di vapore e avro una corrispondente variazione della Td:
de
e=
des(Td)
e=des(Td)
dTd
dTd
ede
e=
εes(Td) Lev
Rd T 2d
dTd
e=
ε Lev
Rd T 2d
dTd. (1.133)
1.18. ESERCIZI 67
D’altro canto quando un pacchetto d’aria viene innalzato dalla superficie a wcostante (su una isoumida in particolare w = ws(Td, psurf), differenziando la(1.141) si trova:
de
e=
dp
p=
−ρ g dzp
(1.134)
e uguagliando la (1.133) e la (1.134) si ricava:
−ρ g dzp
=ε Lev
Rd T2d
dTd ⇒ dTd
dz= − T 2
d g
ε Lev T. (1.135)
Siccome in un sollevamento adiabatico (si ricordi la definizione di L.C.S.) si ha−dT
dz= Γd si trova infine che la differenza tra la T del pacchetto e la sua Td in un
sollevamento adiabatico varia come:
d
dz(T − Td) = −Γd +
T 2d g
ε Lev T= −Γd
(
1 − T 2d cP
ε Lev T
)
. (1.136)
Per un valore tipico di un pacchetto di Td ∼ 270 K approssimando T ≈ Td la(1.136) fornisce infine un valore approssimativo
d
dz(T − Td) = −0.83 Γd = −8K/km. (1.137)
Infine, integrando tale equazione dal livello 0 al LCS, si trova:
∫ zLCS
0
d
dz(T − Td) dz = −8K/km
∫ zLCS
0dz
[T − Td]zLCS
0 = − [T − Td]suolo ≈ −8K/km zLCS (1.138)
e quindi una buona approssimazione per il calcolo di zLCS e:
zLCS [km] ≈ (T − Td)/8. (1.139)
9. Se l’aria contiene vapor acqueo con w = 5.5 g/kg e la pressione totale e 1026.8mb, calcolare la pressione di vapore e.
Invertendo la
w =Mv
Md
=ρv
ρd
=Mv
Md
e
p− e≈ Mve
Mdp. (1.140)
in forma esatta si ha:e =
w
w + εp (1.141)
da cui sostituendo ε = 0.622 si trova e = 9 mb.
10. Che cosa succede se si introduce una gocciolina d’acqua in un ambiente a −10Cin cui sia presente una tensione di vapore e = 2.8 mb. E se invece introduco uncristallino di ghiaccio?
68 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
11. Si dimostri la (1.104), formula base per il calcolo della temperatura di bulbobagnato, assumendo che il processo che conduce alla misura di bulbo bagnato eessenzialmente un processo isoentalpico.
Si assume cioe che l’entalpia dell’aria umida alla temperatura ambiente T siauguale all’entalpia dell’aria satura alla temperatura Tw: l’entalpia χhw del liquidoχ = ws − w che e evaporato viene trascurata. Usando l’espressione (1.53) oveil termine in cwQ viene trascurato si trova: cP T + w L = cP Tw + ws L che eappunto equivalente alla (1.104).
Questo problema spiega il perche nei diagrammi termodinamici le linee isoen-talpiche siano praticamente parallele alle linee di egual temperatura di bulbobagnato.
12. Mescolamento adiabatico di masse d’aria a p diverse
Si consideri una colonna d’aria che si estende da p1 a p2 caratterizzata da rapportodi mescolamento w(p). Se il mescolamento della colonna avviene in modo adia-batico determinare il rapporto di mescolamento finale e la temperatura potenzialefinale.
Quando c’e mescolamento tutto lo strato avra la stessa umidita specifica:
〈q〉 =
∫ z2z1ρ q dz
∫ z2z1ρ dz
(1.142)
ove si e pesato il contributo di ciascun livello con la massa per unita di volumedel livello. Uando l’equazione della statica la (1.142) diventa:
〈q〉 =
∫ p1p2q dp
∆p. (1.143)
Una relazione del tutto analoga vale per il rapporto di mescolamento. Se latrasformazione non scambia calore con l’esterno dello strato varra una relazionesimile anche per la temperatura potenziale θ.
13. Studiare la dipendenza di w dalla temperatura a fissata umidita relativa f .
Il rapporto di mescolamento w e dato da:
w =Mv
Md=ρv
ρd= ε
e
p− e≈ ε e
p=ε f es(T )
p. (1.144)
In fig. 1.19 abbiamo plottato le curve di livello di w in g/kg al variare dell’umiditarelativa e della temperatura. Come si vede a parita di umidita relativa, w crescecon la temperatura; cosı, ad esempio, con f = 80% a −15C si ha un contenutodi massa d’acqua di 1 g per ogni kg di aria secca mentre con la stessa umiditarelativa a +10C si ha un contenuto d’acqua 6 volte superiore. Analogamentew(f = 100%, T = 0C) = 4 g/kg mentre w(f = 100%, T = 10C) = 8 g/kg.
1.18. ESERCIZI 69
0 20 40 60 80 100−20
−10
0
10
20
30
40
0.250.5
1
2
4
8
15
2530
f [%]
Tem
pera
tura
[° C]
Curve di livello di w [g/kg]
Figura 1.19: Curve di livello del rapporto di mescolamento w espresso in g/kg al variaredell’umidita relativa e della temperatura. Si e assunto p = 1000 hPa.
Questo spiega l’abbondanza delle pioggie tropicali (in regioni calde) e la scarsezzadelle nevicate nel grande Nord, ove giorni e giorni di nevicate non hanno lo stessoeffetto che in regioni con temperature piu miti.
14. E piu fastidiosa (e il contenuto di vapore w ad essere un buon indicatore deldisagio) una umidita relativa del 90 % a 15C oppure del 75% a 30C (si assumauna pressione di 1000mb in ambedue i casi)? Quanto valgono le temperature dirugiada nei due casi? Si traccino le curve di livello della Td al variare della T edell’umidita relativa.
15. Gli umidificatori domestici lavorano evaporando acqua in volumi d’aria confinati,innalzandone cosı l’umidita relativa. Una stanza del volume V = 100m3 contienearia a 23 C con una umidita relativa f = 15%. Calcolare la quantita d’acqua chedeve essere evaporata per innalzare l’umidita al 65 %. Assumere che il processosia isobaro ad una p = 100 kPa e che il calore richiesto ad evaporare l’acquavenga fornito dall’aria.
Possiamo scrivere che:
cP dT = −L dw [1 − 1.9w] ' −L dw
equazione che puo essere integrata per dare:
T1 − T2
w2(p, T1) − w1(p, T2)=
L
cP(1.145)
70 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
Ora pero w1 = f ε es(T1)p
= 2.64 g/kg di modo che la (1.145) diventa:
296 − T2 = 2437.8
[
0.65 0.622 es(T2)
1000− 2.64 × 10−3
]
(1.146)
che risolta iterativamente da: T2 = 13.7 C e ∆w = 3.8× 10−3 g/kg. Assumendouna densita dell’aria pari a ρ = 1.225 kg/m3 si trova che bisogna evaporare unamassa d’acqua pari a ρ× ∆ w × V = 0.46 kg.
16. Una massa d’aria con T = 15 C e Td = 2 C viene alzata adiabaticamente apartire da 1000 mb. Determinare il L.C.S. e la Tfin. Se la massa viene alzata dialtri 200 mb oltre il suo L.C.S. trovare quanta acqua condensa.
Leggendo dalla carta pseudoadiabatica l’isoigrometrica passante per il punto(Td = 2 C, p = 1000mb) si ricava immediatamente il valore di w della massad’aria. In questo caso w = 4.4 g/kg. A T = 15 C invece il rapporto di mescola-mento di saturazione e di 10.7 g/kg. L’aria viene quindi innalzata sull’adiabaticasecca con θ = 273 + 15 = 288K; seguendo tale adiabatica si inferisce dalla cartache l’intersezione con l’isoigrometrica con ws = 4.4 g/kg avviene a 830 mb chesara il L.C.S.. La temperatura dell’aria a questo livello e di −0.5 C. Innalzandoulteriormente la massa d’aria dovremo seguire l’adiabatica satura che parte dalpunto (T = −0.5C, p = 830mb) sino ad arrivare al livello di p = 630mb. Qui latemperatura vale T = −15C mentre ws = 1.8g/kg. Cio significa che 4.4-1.8=2.6g di acqua sono condensati da ciascun kg di aria durante l’innalzamento da 830a 630 mb.
17. Un’aria a 1000 mb e 18 C ha rapporto di mescolamento di 6 g/kg. Qual el’umidita relativa? e il punto di rugiada?
Si risolve consultando la carta pseudoadiabatica (allegata). Dapprima si individ-ua il punto di pressione 1000 mb e temperatura 18 C (= θ). Si osserva14 che,per questo stato ws = 12.9g/kg. Siccome w = 6 g/kg, in questo stato l’aria einsatura ed ha una umidita relativa di 100 · 6
12.9= 46.5%. Per trovare il punto
di rugiada bisogna muoversi lungo l’ordinata da 1000 mb verso sinistra sino adincontrare l’isoigrometrica da 6 g/kg: questo si verifica ad un valore dell’ascissadi 6.4 C, che sara per l’appunto la temperatura di rugiada.
18. La massa di vapor d’acqua in una colonna verticale di area unitaria che si estendedalla superficie ad una altezza z viene chiamata il vapore colonnare od anchel’acqua precipitabile, espressa in kg/m2. Il vapore colonnare viene anche definitocome l’equivalente in volume di questa massa, quindi espresso in m, essendo
14Senza usare la carta pseudoadiabatica usando la
ewaters [mb] = 6.11 · e5413.2( 1
273−
1
T ) (1.147)
si ha: es(T = 18 C) = 20.83mb e quindi ws = ε es
p−es= 13.1 g/kg ' ε es
p= 12.9 g/kg.
1.18. ESERCIZI 71
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
altezza (km)
dens
ita’ (
kg/m
^3)
Andamento della densita’ con l’altezza
Figura 1.20: Andamento della densita con l’altezza nel caso di modello esponenzialecon H = 8 km (linea continua) e nell’atmosfera standard (linea tratteggiata). Si eassunto ρ0 = 1.225 kg/m3. Si noti la bonta del modello esponenziale nel fittare i datidi atmosfera standard.
1 kg/m2 = 10−3 m = 1 mm (la densita dell’acqua e 1 kg/dm3). Derivare unaespressione del vapore colonnare tra la superficie e l’altezza z in funzione delrapporto di mescolamento, assumendo che rapporto di mescolamento e densitadecrescano esponenzialmente (vedi fig. 1.20) come:
w(z) = w0 e− z
Hw
ρ(z) = ρ0 e− z
H .
Con H = 8 km, Hw = 4 km (si noti che Hw < H perche non solo la densitadei componenti atmosferici decade esponenzialmente con la quota ma per effettodella diminuzione di temperatura l’atmosfera e meno capace di supportare vapord’acqua) e ρ0 = 1 kg/m3, determinare il vapor d’acqua colonnare totale in m.
Essendo w = ρv
ρdsi ha che:
ρ = ρd + ρv =ρv
w+ ρv
⇓ w << 1
ρv ' wρ.
Ma allora l’altezza colonnare, espressa in kg/m2, e:
hwv =∫ z
0w(z)ρ(z) dz.
72 CAPITOLO 1. L’ACQUA NELL’ATMOSFERA
Nel caso specifico di andamenti esponenziali si trova:
hwv(z) = w0 ρ0
∫ z
0e−z( 1
Hw+ 1
H )dz = w0 ρ0H Hw
H +Hw
(
1 − e−z( 1Hw
+ 1H ))
.
L’altezza colonnare totale in particolare si ottiene estendendo l’integrale sinoall’infinito: con i dati del problema si trova
hwv[m] = w0ρ0
ρL
H Hw
H +Hw
= w0 10−332 × 103 m
12= 2.67 w0[g/kg]]
e quindi valori tipici per l’altezza colonnare sono comunque inferiori agli 8 cmovvero a 80 kg/m2 = 800 Pa. Si noti che tale quantitativo di vapor d’acqualimite esercita al suolo una pressione di 8 mb.
19. Relazione tra altezza colonnare di vapore hwv e SST (sea surface temperature)
Assumendo che l’umidita specifica segua un profilo verticale qsurf(p/psurf)λ e che
esurfs ≈ b exp [a(SST − T0)] derivare una relazione tra vapor d’acqua integrato
verticalmente e la temperatura superficiale del mare SST .
Si trova subito che:
hwv =∫ ∞
0ρv(z) dz = −
∫ 0
psurf
q
gdp =
qsurf
g(λ+ 1)psurf
da cui poi usando la definizione di umidita specifica qsurf = εesurf/psurf =εfesurf
s /psurf si arriva a:
hwv =εf
g(λ+ 1)esurf
s (SST ) =εf
g(λ+ 1)b exp [a(SST − T0)]
che dimostra come hwv cresca quasi esponenzialmente con l’SST.
Capitolo 2
Stabilita e convezione
2.1 Idrostatica delle atmosfere speciali
Si e visto (vedi Vol.I) come in atmosfera vi sia un bilancio quasi esatto tra forza digradiente di pressione e gravita: tale bilancio viene espresso dall’eq. della statica:
dp
dz= −ρ g. (2.1)
E utile ora esaminare le conseguenze della validita della (2.1) per certi casi di atmosferespeciali.
Atmosfera omogenea: ρ e costante, indipendentemente dall’altezza.
Se pensiamo l’atmosfera divisa in tanti strati, ogni strato contribuira ugualmentealla pressione totale alla superficie. Poiche la pressione totale non e infinita cideve essere solo un numero finito di tali strati: l’atmosfera ha solo un’altezzatotale finita; integrando l’equazione della statica dal livello del mare p0, ad H ovep = 0, si ha:
0∫
p0
dp = −ρ gH∫
0
dz p0 = ρ g H H =p0
ρg.
Ma la densita e costante attraverso questa atmosfera, cosı possiamo sostituire ap l’equazione di stato al livello del mare p0 = ρ Rd T0 ⇒ H = Rd T0
g. L’altezza
dell’atmosfera omogenea e solo funzione della temperatura del suolo; per T0 =273K ⇒ H = 8 km.
Poiche la pressione diminuisce ma la densita e costante l’equazione di statorichiede che anche la temperatura decresca con la quota. Per calcolare il gradientescriviamo (p = ρ Rd T ):
−ρ g =dp
dz= ρ Rd
dT
dz⇒ dT
dz= − g
Rd= − 9.8
0.287= −34.1 C/km
73
74 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
La variazione di temperatura con l’altezza in una atmosfera omogenea e costantee molto grande. Il valore e sei volte superiore al gradiente normalmente osser-vato nella bassa atmosfera: la ragione e nella astrazione di assumere la densitanell’atmosfera reale costante.
Chiamiamo γ = −dTdz
il gradiente termico. Il gradiente dell’atmosfera omo-genea γ = g
Rd, come vedremo, e instabile, cioe l’atmosfera si capovolge quando
la convezione e innescata. Ovviamente il concetto non e realistico ma e utileteoricamente.
Atmosfera isoterma: T e costante.
Assumendo costante la temperatura, al posto della densita, con l’altezza l’e-quazione della statica assume la forma:
dp = − p g
Rd Tdz ρ =
p
Rd T
che puo essere integrata, scrivendola come:
dp
p=
g
Rd Tdz.
Integrata dal livello del mare (z = 0, p = p0) fino ai livelli arbitrari di z ove lapressione e p, si ottiene:
p∫
p0
dp
p= − g
Rd T
z∫
0
dz ⇒ lnp
p0= − g z
Rd T.
e quindi:p = p0 e
− zH .
La pressione decresce esponenzialmente con l’altezza nel caso isotermo. Comerisultato, per questa atmosfera, non si ha confine superiore definito: essa si assot-tiglia gradualmente con la quota e la pressione si annulla solo a z → ∞. L’altezzadi scala H = Rd T
gappare come un parametro. Quando z = H la pressione e 1/e
del valore al suolo. Inoltre il gradiente termico γ = 0 per definizione.
Atmosfera con gradiente termico costante: T = T0 − γ z.
T varia cioe linearmente con l’altezza; T0 e la temperatura al livello del mare, γe il gradiente costante della temperatura. In questo caso:
dp = −ρ g dz dp = − p g
Rd Tdz ⇒ dp
p=
g
Rd (T0 − γ z)dz.
Integriamo nel modo ormai consueto:p∫
p0
dp
p= − g
Rd
z∫
0
dz
(T0 − γ z)
lnp
p0=
g
Rd γ[ln (T0 − γ z)]z0 =
g
Rd γln(
T0 − γ z
T0
)
.
2.1. IDROSTATICA DELLE ATMOSFERE SPECIALI 75
Prendendo gli argomenti
p = p0
(
T0 − γ z
T0
)
gRd γ
p = p0
(
T
T0
)
gRd γ
. (2.2)
Passando alla densita si ha invece:
ρ = −1
g
dp
dz=
1
g
p0 g
Rd γ
γ
T0
(
T0 − γ z
T0
)
gRd γ
−1
ρ =p0
Rd T0
(
T0 − γ z
T0
)
gRd γ
−1
= ρ0
(
T0 − γ z
T0
)
gRd γ
−1
.
Nei casi usuali troposferici ove T diminuisce con z (γ > 0) l’eq. (2.2) richiede chela pressione diminuisca con la quota, in accordo con l’equazione della statica. Seγ < 0 (caso raro di inversione) T
T0> 1, ma γ < 0 e l’esponente e negativo, per
cui e sempre vero che p diminuisce con la quota, in accordo con l’equazione dellastatica. L’eq. (2.2) non e applicabile per γ = 0 (ci sono dei γ a denominatorenel corso della dimostrazione). Da notare che l’esponente e il rapporto del gra-diente termico costante − g
Rddell’atmosfera omogenea al gradiente reale γ. Una
proprieta dell’atmosfera omogenea appare ancora come parametro.
Una atmosfera con gradiente termico costante e positivo (T decresce con z) hasolo una limitata estensione (non piu esponenziale). Infatti per z ≡ zmax = T0
γsi
ha T = 0 e sostituendo nella (2.2) p = 0. Cosı, ad esempio, con T0 = 273 K eγ = 10C/km si trova zmax = 27.3 km.
Atmosfera adiabatica secca T = f(p) dalla legge di Poisson
Differenziando l’equazione di Poisson (1.12), con θ = cost.
T
θ=
(
p
p0
) RcP
⇒ 1
T
dT
dz=
R
cP p
dp
dz
dT
dz=T R
cP p
(−ρ g dz)dz
= − g
cP
oveΓd =
g
cP= 9.7 C/km
e il gradiente adiabatico secco. Il gradiente termico di un’atmosfera adiabaticasecca diverra una misura di quanto una atmosfera e stabile o no.
Ricapitolando per i gradienti termici si ha:
γ =
0 atmosfera isotermagRd
= 34.1 C/km atmosfera omogenea
Γd = gcP
= 9.7 C/km atmosfera adiabatica.
(2.3)
76 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
2.2 Stabilita idrostatica e convezione
Ipotizzando di lavorare in un’atmosfera nella quale valga l’equazione della statica ciproponiamo di discutere l’equilibrio di una tale atmosfera, in analogia con i problemidella meccanica; in generale ci chiederemo se un campione d’aria, mosso dalla suaposizione di equilibrio tenda a ritornarvi (atmosfera stabile), sia soggetto a forze chelo spingono ulteriormente via (atmosfera instabile) o non sia soggetto ad alcuna forzanetta (equilibrio neutro).
Parleremo in un primo tempo di una porzione in un ambiente, senza pensare adun rimescolamento tra i due ed ai movimenti compensativi che lo spostamento dellaporzione genera nell’ambiente. Procederemo per modelli, passando dai piu antichi aipiu sofisticati, tentando di spiegare anche i fenomeni piu complicati che si verificanoad esempio nei cumuli e nei cumulonembi.
2.2.1 Gradiente secco ed umido-adiabatico
Per la costruzione di modelli sono di cruciale importanza i concetti di gradienti adi-abatici di una porzione d’aria, cioe delle variazioni di temperatura con l’altezza permasse d’aria che compiano trasformazioni adiabatiche. Indicheremo convenzionalmen-te con l’apice ′ le grandezze riferite all’ambiente, senza apice quelle riferite alla porzioned’aria.
Gradiente adiabatico secco di una massa d’aria
Quando una massa d’aria, non satura, si muove verticalmente sappiamo che conservala sua temperatura potenziale θ e quindi dalla (1.11) dividendo per dz si ha:
1
T
dT
dz=k
p
dp
dzcon k =
R
cPadimensionale. (2.4)
Ipotizzando che vi sia equilibrio dinamico con l’ambiente, cioe p = p′, la grandezzadpdz
= dp′
dzdipendera dalla densita dell’ambiente e non dalla densita della porzione, cioe,
usando l’equazione della statica:
dp′
dz= −ρ′g = − p′g
RT ′ = − pg
RT ′ .
Quindi:dT
dz= −T R
cP p
p g
R T ′ = − g
cP
T
T ′ (2.5)
il gradiente termico della porzione non e esattamente il gradiente adiabatico secco Γd.Essendo pero T molto vicino a T ′ ( T
T ′ ' 1) allora per processi adiabatici secchi si potratranquillamente approssimare:
−dTdz
' g
cP= Γd.
2.2. STABILITA IDROSTATICA E CONVEZIONE 77
Gradiente umido-adiabatico di una massa d’aria
Consideriamo ora il caso del gradiente umido-adiabatico; riprendendo l’eq. (1.82) conp− es ' p
−Lev dws = cP dT − RTMd
d(p− es)
p− es
= cP dT − RTMd
dp
p; (2.6)
inoltre ws ' ε es
pche differenziata da:
dws
ws=des
es− dp
p.
Moltiplicando e dividendo il primo membro della (2.6) per ws ed usando l’eq. dellastatica (dp = dp′):
−Lev wsdws
ws
= cP dT +RTMd
Md g
R T ′ dz
−Lev ws
(
des
es
+Md g
R T ′ dz
)
= cP dT +T
T ′gdz
e utilizzando il fatto che es = es(T ) e che TT ′ ' 1 si trova:
−Lev ws
(
1
es
des
dT
dT
dz+
Md g
R T
)
' cPdT
dz+ g
e quindi raccogliendo:
Γs ≡ −dTdz
= g1 + Lev ws
Md
R T
cP + Levws
es
des
dT
= Γd
1 + Levε es Md
p R T
1 + Levε
cP pdes
dT
(2.7)
che e il gradiente adiabatico umido. Si vede che Γs non e costante, ma e ugualea Γd moltiplicato per un fattore che e funzione di pressione e temperatura (perchews e funzione di p e T ). Dalla (2.7) e guardando ai valori in tabella 2.1 si evinceche Γs ≤ Γd, ma si avvicina a Γd quando p aumenta o T diminuisce. In tali casiinfatti il contenuto di vapore diminuisce e quindi l’effetto del riscaldamento innescatodalla transizione di fase vapore-liquido diventa via via trascurabile. In un qualsiasidiagramma termodinamico nelle regioni di basso ws le adiabatiche sature diventano difatto tangenti a quelle secche!
Valori realistici di Γs vanno da 4 C/km vicino al suolo in aria umida calda ove dws
dT
e molto grande a 6 − 7 C/km a meta troposfera. Nella tropopausa Γs ' Γd essendotrascurabile l’effetto della condensazione.
2.2.2 Metodo della porzione
Questo semplice metodo considera il moto di una porzione ascendente con due ipotesi:
78 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
Tabella 2.1: Dipendenza da p e T di Γs, espresso in C km−1. Ricordiamo che Γd =9.7 C km−1
1000 mb 700 mb 500 mb
−30 C 9.2 C km−1 9 C km−1 8.7 C km−1
0 C 6.5 C km−1 5.8 C km−1 5.1 C km−1
20 C 4.3 C km−1 3.7 C km−1 3.3 C km−1
1. non c’e moto compensante nell’ambiente;
2. non c’e mescolamento della porzione con l’ambiente.
Nessuna delle due ipotesi e completamente giustificabile visto che la porzione non puolasciare il vuoto e visto che non c’e separazione fra la porzione e l’ambiente. Faremopertanto un discorso qualitativo considerando una atmosfera in equilibrio idrostaticocon gradiente termico γ. Guardando alla fig. 2.1 vogliamo valutare la stabilita dell’at-mosfera nel punto P . Concettualmente dobbiamo pensare di innalzare un pacchettodria adiabaticamente e vedere se in seguito all’innalzamento il pacchetto sia o menopiu caldo dell’ambiente alla stessa altezza.
Aria secca
La porzione ha temperatura T , densita ρ, e pressione p che, inizialmente in P , coinci-dono con T ′, ρ′, p′ dell’ambiente.
-
6
6
h
-T-
6
6
h
-T(a) (b)
γ
Γd
uA
TA TB γΓd
u uB A
HHHHHHHHHHH
@@
@@
@@
@@
@
P
uB
@@
@@
@@
@@
@@
AA
AA
AA
AA
AA
P
Figura 2.1: Condizioni di instabilita (a) e stabilita per aria non satura (b).
La porzione “naviga” nell’ambiente. Viene sollecitata dall’esterno e subisce unprocesso adiabatico secco (se non e satura) e quindi la sua temperatura variera con ungradiente Γd = g
cP. Ora, aiutandosi con la figura 2.1:
• se γ > Γd [caso (a)], la porzione una volta salita si trovera ad una tempera-tura superiore a quella dell’ambiente (T ′ = TA > T = TB) per cui, una volta
2.2. STABILITA IDROSTATICA E CONVEZIONE 79
stabilizzatasi la pressione, essa sara meno densa dell’ambiente e continuera amuoversi verso l’alto. Ci troviamo pertanto in una situazione di EQUILIBRIOINSTABILE.
• se γ < Γd [caso (b)], la porzione una volta salita si trovera ad una temperaturainferiore dell’ambiente (T ′ = TA < T = TB). In questo caso poiche la pressionep si adegua subito alla pressione ambientale p′, la porzione essendo piu densadell’ambiente (ρ′ = ρA < ρ = ρB) tendera subito a ritornare al livello originario.Analogamente se la porzione si abbassa. Ci troviamo pertanto in una situazionedi EQUILIBRIO STABILE.
Pertanto Γd segna la linea di demarcazione tra stabilita e instabilita. A livellodi diagrammi termodinamici ricordando che sulle adiabatiche secche la temperaturapotenziale θ rimane costante e che:
1
θ
dθ
dz=
1
T
(
dT
dz+
g
cP
)
=1
T(Γd − γ)
allora un dato profilo di temperatura atmosferico in cui θ diminuisce con l’altezza(dθ
dz< 0) sara instabile, uno in cui θ aumenta sara stabile.
Oscillazioni di Brunt-Vaisala
Cerchiamo di rendere quantitativo il ragionamento; consideriamo una atmosfera chesia stratificata e stabile, e consideriamo il moto di una porzione di fluido in essa.Supponiamo di spostare dall’equilibrio di δz la porzione senza disturbare l’ambiente,pertanto sara ρ′ g = −dp′/dz, mentre l’accelerazione verticale del pacchetto sara:
dw
dt=
d2
dt2(δ z) = −g − 1
ρ
∂p
∂z(2.8)
p e ρ essendo pressione e densita della porzione; ora pero la pressione della porzione siaccomoda a quella dell’ambiente di modo che p = p′ e la (2.8) diventa:
d2
dt2(δ z) = −g +
1
ρρ′ g = g
(
ρ′ − ρ
ρ
)
= g
(
T − T ′
T ′
)
= g
(
θ − θ′
θ′
)
(2.9)
Supponiamo ora che la porzione sia inizialmente a z = 0 ove la temperatura potenzialedell’ambiente e θ0, allora a δz la temperatura potenziale dell’ambiente sara:
θ′ (δz) = θ0 +dθ′
dzδ z. (2.10)
Ora se il pacchetto si alza adiabaticamente θ (δ z) = θ0 e la (2.9) diventa:
d2
dt2(δ z) = −ω2
BV δ z ω2BV =
g
θ′dθ′
dz=
g
T ′
(
dT ′
dz+ Γd
)
(2.11)
80 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
Se dθ′
dz> 0 allora il moto e di tipo armonico attorno allo 0 con oscillazioni ad una
frequenza ωBV , detta frequenza di Brunt-Vaisala. Questo tipo di oscillazioni sonoun caso particolare di onde gravitazionali. Un valore tipico in troposfera e dT ′
dz=
−6.5 K/km da cui segue che ωBV = 0.011 s−1 ovvero un periodo di 9.5 minuti.Se invece la temperatura potenziale decresce con l’altezza allora si ha instabilita e si
ha allontanamento dalla posizione di equilibrio che cresce esponenzialmente col tempo.Si noti che ha senso allora introdurre il parametro di stabilita:
ω2BV =
g
θ′dθ′
dz= −g2 ρ′
d ln θ′
dp′; (2.12)
se ω2BV > 0 allora definisco una atmosfera staticamente stabile per aria secca, se e
nullo aria neutra, se e negativo aria instabile. Su scale sinottiche l’atmosfera e semprestratificata in modo stabile.
Aria satura
Valgono gli stessi criteri adottati per aria secca solo che ora il parametro di riferimentodiventa Γs e non Γd: se γ < Γs si ha stabilita, se γ > Γs si ha instabilita.
Poiche Γs < Γd e piu facile avere instabilita con aria satura. Qualora sia Γs < γ < Γd
si parla di stabilita condizionale nel senso che si ha stabilita per quel che concerne laparte non satura ed instabilita per la parte satura.
Nota bene: Strati d’aria con dTdz> 0 cioe con crescita di T verso l’alto vengono detti
inversioni. Questi strati sono caratterizzati da grande stabilita statica. Un’inversionenegli strati piu bassi dell’atmosfera agisce come un coperchio e come tale, ad esempio,intrappola tutti gli inquinanti. Allo stesso modo il fatto che la stratosfera corrispondaad una forte inversione termica ne spiega la sua struttura stratiforme ed il fatto che losviluppo verticale delle nubi termini al piu all’altezza della tropopausa.
Riassumendo si ha:
• stabilita assoluta con γ < Γs;
• neutralita satura con γ = Γs;
• stabilita condizionale con Γs < γ < Γd;
• neutralita secca con γ = Γd;
• instabilita assoluta con γ > Γd.
Per verificare la stabilita o meno dell’atmosfera e quindi sufficiente andare a vederela struttura termica dell’atmosfera, confrontando il gradiente termico γ con Γd e Γs.Siccome pero Γs varia con p e T conviene tracciare, a partire dal profilo di temperatura,conviene tracciare il profilo di θ e di θ∗e , temperatura equivalente potenziale di unaatmosfera ipoteticamente satura che ha la stessa struttura termica dell’atmosfera sottoanalisi (si noti che il profilo di θe sara in generale diverso e dovra tenere conto anche del
2.2. STABILITA IDROSTATICA E CONVEZIONE 81
Figura 2.2: Tipico sondaggio in atmosfera tropicale con profilo di θ, θe e θ∗e .
profilo di umidita relativa). Un tipico sondaggio in atmosfera tropicale viene mostratoin fig. 2.2.
A questo punto basta vedere se θ∗e aumenta o diminuisce con z; corrispondentementesi avra assoluta stabilita o instabilita condizionale. L’atmosfera media tropicale non emai assolutamente instabile (∂θ
∂z> 0 sempre) ma e condizionatamente instabile nella
bassa e media troposfera. Questa instabilita condizionale verra innescata quando siprodurra saturazione.
2.2.3 Variazioni di stabilita durante spostamenti di strati
Abbiamo discusso la stabilita di una porzione confrontando il gradiente di tempera-tura] dell’ambiente γ con Γd e Γs. Esaminiamo ora le variazioni di stabilita che sihanno durante spostamenti di strati: ci sono infatti situazioni (ascesa o discesa lungo ilfianco di strutture orografiche) nelle quali tutta l’atmosfera partecipa ad innalzamentio abbassamenti. Cio influenza γ = − dT ′
dze quindi la stabilita della porzione.
Consideriamo uno strato di atmosfera avente una differenza finita di pressione trasuperficie superiore ed inferiore e costante nel tempo (non ci siano apporti di massa nellostrato). Supponiamo ora che tale strato si alzi adiabaticamente (in condizioni di nonsaturazione); vogliamo ricavare un legame tra variazione verticale della temperaturapotenziale e variazione verticale della temperatura. Differenziando logaritmicamentel’eq. di Poisson (1.12) si avra:
1
θ′dθ′
dz=
1
T ′
(
dT ′
dz+
g
cP
)
=1
T ′ (Γd − γ) .
82 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
D’altra parte usando l’eq. della statica:
dθ′
dz=dθ′
dp′dp′
dz= −dθ
′
dp′ρ′g
e quindi1
θ′dθ′
dp′= −Rd (Γd − γ)
g p′= −(Γd − γ)
g ρ′ T ′
dunque se tutto lo strato si innalza su un’adiabatica secca θ′ e conservato, ma anchela differenza in θ′ tra top e bottom dello strato e conservata, ovvero 1
θ′dθ′
dp′e costante e
quindi si ha:|Γd − γ| = cost · p′.
Nel caso di instabilita assoluta una diminuzione di p′ (innalzamento dello strato) stabi-lizza l’atmosfera (perche la variazione verticale della temperatura diventa piu prossimaa quella adiabatica secca) mentre un aumento di p′ (abbassamento dello strato) desta-bilizza l’atmosfera. Viceversa nel caso di atmosfera stabile, una diminuzione di p′ tendea riportare l’atmosfera verso la condizione di neutralita secca.
Instabilita convettiva
Se l’innalzamento e cosı consistente da provocare saturazione nello strato il risultato ecompletamente diverso.
Figura 2.3: Risultato di un innalzamento di uno strato insaturo inizialmente stabile.Le linee solide spesse sono i lapse rate prima e dopo, le linee solide sottili le adiabatichesecche, quelle tratteggiate le adiabatiche sature.
In fig. 2.3 vengono mostrati 3 casi di innalzamento di 300 mb (sufficienti a saturare)di uno strato spesso 50 mb, inizialmente isotermo (γ = 0) e quindi assolutamentestabile. Distinguiamo 3 situazioni:
1. ∂θe
dz= 0 nello strato; allora ogni punto dello strato dopo una espansione su una
adiabatica secca si aggancia alla stessa adiabatica satura avente la θe = θe(strato).
2.2. STABILITA IDROSTATICA E CONVEZIONE 83
In particolare il top dello strato sta piu tempo sull’adiabatica secca e quindi siraffredda piu velocemente del bottom della nube. Dopo il sollevamento quindisara creato un gradiente verticale di temperatura; siccome tutti i punti si trovanosempre alla stessa θe tale gradiente sara pari a Γs. In tal caso si parlera dineutralita convettiva.
2. ∂θe
dz> 0 nello strato; allora il top dello strato segue prima una adiabatica secca e
poi una adiabatica satura che essendo caratterizzata da una θe(top) > θe(bottom)e a destra dell’adiabatica satura che percorre il bottom dello strato. Ma allora,dopo il sollevamento, la variazione verticale della temperatura nello strato sarainferiore a Γs (il tempo in cui il top della nube sta sull’adiabatica secca e inferioreal caso precedente quindi si creera meno divario tra temperatura del top e delbottom della nube). In tal caso si parlera di stabilita convettiva.
3. ∂θe
dz< 0 nello strato; allora il top dello strato segue prima una adiabatica secca e
poi una adiabatica satura che essendo caratterizzata da una θe(top) < θe(bottom)e a sinistra dell’adiabatica satura che percorre il bottom dello strato. Ma allora,dopo il sollevamento, la variazione verticale della temperatura nello strato sarasuperiore a Γs. In tal caso si parlera di instabilita convettiva.
Si noti che vista la corrispondenza tra temperatura potenziale equivalente θe e tempe-ratura di bulbo bagnato θw analoghi criteri si possono enunciare usando quest’ultima.
2.2.4 Il metodo dello strato
Rispetto al metodo della porzione prendiamo in considerazione i moti verticali dicompensazione quando l’aria sale. Siccome vogliamo modellizzare essenzialmente la
6w A A’
?w′
Figura 2.4: Idea base del metodo dello strato.
formazione di cumuli consideriamo uno strato inizialmente orizzontale di aria satura.
• Entro lo strato ci sono regioni di sezione A in cui l’aria sale con velocita w esi raffredda seguendo trasformazioni umido-adiabatiche e regioni di sezione A′
(ambiente che compensa) in cui l’aria scende con velocita w′ e si riscalda comein figura 2.4;
• ad ogni massa che sale deve corrispondere una massa che scende dM = dM ′:
dM = ρ A w dt = ρ A dz = −Adpg
dM ′ = ρ′ A′ w′ dt = ρ′ A′ dz′ = −A′dp′
g
84 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
ove con dz, dz′ indichiamo le distanze verticali percorse nel tempo dt e con dp,dp′ le variazioni in pressione corrispondenti.
• All’istante iniziale supponiamo lo strato omogeneo, cioe ρ = ρ′ e quindi:
A′
A=
w
w′ =dz
dz′=dp
dp′
• Variazioni locali di temperatura sono dovute solamente ai moti verticali.
Figura 2.5: Livelli termici nel metodo dello strato in uno strato condizionamente in-stabile come risultato di una discesa adiabatica secca ed una ascesa adiabatica saturarispetto al livello di riferimento z0.
Guardando alla fig. 2.5, sopra sta il livello dal quale scende l’aria nel tempo dt,sotto sta il livello dal quale sale l’aria nel tempo dt: l’aria che sale, da T a z0 − dzraggiunge il livello z0 con T1 = T − Γs dz poiche si raffredda su una adiabatica satura;l’aria che discende da T ′ al livello z0 + dz′ avra come temperatura T ′
1 = T ′ + Γddz′
quando sara al livello z0. Analogamente a quanto fatto per la porzione d’aria perche siabbia instabilita si dovra richiedere forza di spinta positiva per aria ascendente ovverola temperatura a z0 dell’aria ascendente deve essere superiore a quella della circostantearia discendente: T1 > T ′
1 cioe T − Γs dz > T ′ + Γd dz′.
Ma T e T ′ sono collegati attraverso γ, il gradiente termico iniziale dello strato, dalleequazioni: T = T0 + γ dz e T ′ = T0 − γ dz′ per cui la condizione di instabilita diventa:
T0 + γ dz − Γs dz > T0 − γ dz′ + Γd dz′
(γ − Γs) dz > (Γd − γ) dz′
ricordando infine che A′
A= dz
dz′si avra:
• (γ − Γs)A′ > (Γd − γ)A instabilita;
• (γ − Γs)A′ = (Γd − γ)A neutralita;
2.3. LA FORMAZIONE DELLE NUBI 85
• (γ − Γs)A′ < (Γd − γ)A stabilita.
Oppure introducendo il parametro della neutralita:
γn ≡ Γs A′ + Γd A
A′ + A
come la media pesata di Γs e Γd con pesi le aree A′ e A i criteri divengono:
• γ > γn instabilita;
• γ = γn neutralita;
• γ < γn stabilita.
cioe analoghi a quelli ottenuti con il metodo della porzione solo che ora il termine diconfronto e γn invece che Γd o Γs. Siccome Γs < γn < Γd (per costruzione essendoΓs < Γd), considerare i moti conpensatori da piu facile instabilita che per il metododella porzione nel caso di spostamenti secchi (perche γn < Γd e piu facile ottenereγ > γn che non γ > Γd) ma piu difficile per spostamenti umido saturi (perche γn > Γs
e piu difficile ottenere γ > γn che non γ > Γs).Il metodo dello strato e un miglioramento teorico rispetto a quello della porzione1,
perche elimina una delle ipotesi non realistiche. Ma in pratica non e facile applicarloperche esso richiede la conoscenza delle aree relative di salita e discesa, che non sononote se non dopo la formazione del cumulo. E difficile prevedere l’instabilita; tuttaviafacilita la comprensione teorica dei processi di formazione dei cumuli. Le possibilita diinstabilita sono massime con A′ grande e A piccolo (in tal caso γn e piccolo e facilmentesuperabile). Questo rende plausibile lo sviluppo delle nubi cumuliformi.
Inoltre il movimento di subsidenza compensante aiuta a ridurre l’eccessiva spin-ta ascensionale (controllata dalla ∆T tra nube e ambiente) propria del metodo dellaporzione. Infatti l’aria che discende si scalda lungo una adiabatica-secca e riduce ladifferenza di temperatura fra nube e ambiente (compensazione) rispetto al caso diambiente a riposo (T1 − T ′
1 e non T1 − T0).
2.3 La formazione delle nubi
Dopo questa introduzione di termodinamica possiamo dare ora quella che e l’idea fon-damentale alla base della formazione delle nubi, che verra sviluppata nei prossimi capi-toli. Le nubi si formano come risultato dell’espansione e conseguente raffreddamentodell’aria ascendente. Il processo puo essere studiato nella sua forma piu semplice con-siderando la storia di una particella d’aria sollevata adiabaticamente, nonostante lacosa sia complicata dalla caduta delle precipitazioni e dal mescolamento di particelled’aria con diverse proprieta. Si e visto che in un pacchetto adiabatica di aria senza
1Si noti che quando A A′, γn = Γs e ci si riporta al metodo della porzione.
86 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
nube, si osserva un gradiente termico di −0.98C/100m (gradiente adiabatico secco).Nello stesso tempo si riduce la pressione parziale del vapore, in proporzione alla pres-sione totale, cosı che anche il punto di rugiada si abbassa, anche se con un gradienteinferiore −(0.1 ÷ 0.2C/100m). Se il raffreddamento continua ancora, la temperaturaraggiunge la temperatura di rugiada ed inizia la condensazione. Da questo punto inpoi le cose si fanno piu complicate, poiche la condensazione produce una gran quantitadi calore latente. Nell’aria tropicale, ricca di vapore condensabile, il gradiente saturo,o umido adiabatico, e soltanto la meta di quello secco. Nelle regioni polari, o nell’altatroposfera, c’e poca differenza tra i due gradienti.
Confrontando il ws dell’aria al livello di condensazione con quello al livello superiore,si trova la concentrazione di acqua liquida che deve comparire in una porzione d’ariache viene alzata adiabaticamente: valori tipici sono di 2g/kg/km in regioni tropicalie 1g/kg/km in aria fredda. Raggiungendo il livello di 0C le gocce rimangono so-praraffreddate finche la temperatura scende molto piu in basso. Quando la nube vienetrasformata in ghiaccio, c’e un’altra cessione di calore latente (∼ 13% di quella cherisulta alla condensazione).
2.4 Complemento I: l’entrainment
Il termine entrainment sta ad indicare l’inclusione di aria relativamente fredda e seccaall’interno di una massa d’aria in risalita. E quello che tipicamente si verifica per massed’aria di una nube ascendenti: l’aria dell’ambiente circostante in parte si insinuera, ed,essendo generalmente piu fredda e piu secca, tendera a ridurre il gradiente termicotra aria della nube e aria circostante, la spinta archimedea verso l’alto (quindi i motiverticali) e il rapporto di mescolamento dell’aria della nube. Descriviamo alcuni effettidel mescolamento di aria circostante nelle masse d’aria sature ascendenti (un cumuload esempio puo proprio essere pensato come un jet d’aria che si innalza in un ambienterelativamente a riposo).
Supponiamo allora che ad un campione di massa m di aria di nube a temperatura Tin saturazione w = ws, mentre risale di dz (con corrispondente variazione dp) si aggiun-ga, inglobata dai lati della nube, una massa dm di aria con rapporto di mescolamentow′ dell’ambiente circostante a temperatuta T ′. Consideriamo l’ascesa e l’inclusionecome consistente di 3 fasi:
1. un innalzamento con conseguente raffreddamento saturo adiabatico della massadella nube m;
2. un raffreddamento isobarico di m e un riscaldamento di dm nella fase di mesco-lamento;
3. l’evaporazione di parte del contenuto di acqua liquida della nube per saturare dme produrre una miscela finale satura.
Supporremo che nube ed aria trascinata costituiscano un sistema isolato.
2.4. L’ENTRAINMENT 87
Il calore guadagnato da dm deve essere uguale a quello perso da m a parte illavoro di espansione. La massa m perde il calore dQ1, impiegato per scaldare dm dallatemperatura originaria T ′ alla temperatura T (al solito trascuriamo gli scambi di caloredel vapore e dell’acqua liquida):
dQ1 = cP (T − T ′) dm
e il calore dQ2, impiegato per far evaporare il liquido necessario a saturare dm:
dQ2 = Lev (ws − w′) dm
ove ws e w′ sono i rapporti di mescolamento nella nube e nell’ambiente circostante.Infine sviluppa il calore dQ3, dalla parte che continua a condensare:
dQ3 = −m Lev dws.
Dal primo pricipio della termodinamica poiche m perde dQ1 e dQ2 e guadagna dQ3, siha:
−cP (T − T ′) dm− Lev (ws − w′) dm−mLev dws = m
(
cP dT − R T
Md
dp
p
)
. (2.13)
Usando l’eq. della statica, quella di Clausius Clapeyron e il fatto che dws
ws≈ des
es− dp
psi
puo ricavare (farlo come esercizio) il tasso di cambiamento della T in una nube nellaquale si sviluppi inclusione di aria secca:
−dTdz
=
gcP
[
1 + Lev
Rd
ws
T
]
+ 1m
dmdz
[
(T − T ′) + Lev
cP(ws − w′)
]
1 + ε L2ev
cP Rd
ws
T 2
(2.14)
che nel caso non vi sia diluzione dm/dz = 0 rida il tasso adiabatico saturo. Se dm/dz >0 e T > T ′ (come deve essere se la nube riceve una spinta ascensionale) allora dT
dzin
una nube che trascini e > Γs e quindi piu vicino a Γd. Come conseguenza l’inclusioneproduce una forte diminuzione della spinta ascensionale delle masse d’aria, cosı comesi era trovato nel metodo della porzione. Quindi una nube con effetti di inclusione avraminor spinta ascensionale di una nube priva di questi. Di fatto e quello che si osservain natura: osservazioni da aereo rivelano valori di T − T ′ molto piu piccoli di quelliattesi dalla diversita tra Γs e Γd e quindi piccole spinte ascensionali.
Il parametro chiave che entra nella (2.14) e il tasso di mescolamento
Er =1
m
dm
dz≡ 1
L (2.15)
ove L e una lunghezza di scala caratteristica del processo di mescolamento. Ci sonodiversi modellini che cercano di correlare questa lunghezza alle dimensioni orizzontalidella nube. Studi in laboratorio hanno rivelato che per un jet secco Ljet = 5Rjet, per
88 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
pennacchi termici Lpenn = 5/3Rpenn, per modelli di nube sembrerebbe che una sceltaottimale sia invece Lnube = 5Rnube.
Si noti che dividendo per m cP T la (2.13) si trova:
dθ
θ= − Lev
cP Tdws −
[
T − T ′
T+
Lev
cP T(ws − w′)
]
dm
m. (2.16)
Nel caso non vi sia diluizione (dm = 0) si ritrova l’eq. delle pseudoadiabatiche. Siccomeil termine nella quadra e positivo la (2.16) ci dice che la temperatura decrescera piurapidamente nel caso di mescolamento.
Differenziando rispetto al tempo la (2.16) si trova il tasso di variazione della tem-peratura di un elemento di nube rispetto alla temperatura dell’ambiente circostante:
d
dt(T − T ′) = (γ − Γs)
dz
dt−[
(T − T ′) +Lev
cP(ws − w′)
]
Er, (2.17)
ove γ e il tasso di decrescita della temperatura dell’ambiente.
2.5 Complemento II: i radiosondaggi
E molto spesso fondamentale sia a scopi previsionistici che per caratterizzare ben deter-minate situazioni meteorologiche (in particolare valutare l’evoluzione delle masse d’ariae la stabilita o meno dell’aria) avere dei profili verticali di temperatura, di umidita rel-ativa, di vento. In generale i radiosondaggi sono utili per lo studio della medio-bassaatmosfera (possono inviare segnalazioni fino ad un altezza di 12000 ÷ 14000mslm).
I radiosondaggi vengono effettuati grazie a delle radiosonde che vengono portate inquota da palloni che ascendono con velocita costante (generalmente 5 m/s). La ra-diosonda e un apparato elettronico costituito da sensori capaci di rilevare temperatura,pressione e umidita alle diverse quote e trasmetterli alla stazione a terra attraver-so un radiotrasmettitore. Attraverso lo spostamento del pallone dalla verticale dellastazione viene determinato anche il vento in quota. La maggior parte delle stazionieffettuano due radiosondaggi al giorno, alle ore sinottiche 00.00 e 12.00 UTC. L’Italiadispone di sette stazioni di rilevamento. Sei sono gestite dall’Aeronautica MilitareItaliana: Campoformido (UD), Milano, Pratica di Mare, Brindisi, Cagliari e Trapani,mentre la Base Meteorologica di S.Pietro Capofiume e a cura della Struttura Tem-atica Servizio Meteorologico dell’ARPA (Agenzia regionale prevenzione e Ambiente)dell’Emilia Romagna.
Generalmente dei sondaggi vengono rappresentati su dei tefigrammi come in fig. 2.7ove viene tracciato il profilo di temperatura e quello della Td. La temperatura di rugiadasi mantiene sempre al di sotto della temperatura; le due curve si toccano quando siva in saturazione. La rappresentazione sul tefigramma e particolarmente utile perindividuare le zone di stabilita e instabilita. Sappiamo infatti che se dθ
dz< 0 si ha
instabilita. Siccome le linee a θ = cost sono le rette inclinate a ≈ −45 nel tefigrammatale relazione e di facile verifica. L’analogo per la stabilita convettiva coinvolge la θe:
2.5. I RADIOSONDAGGI 89
Figura 2.6: Esempio di radiosondaggio con il profilo di Td (in alto al centro), di Tamb
(in alto a destra) e di Tpac (in alto a sinistra).
le pseudoadiabatiche vengono rappresentate dalle fasce grigie in fig. 2.7. Mentre infig. 2.7 la θe aumenta sempre con l’altezza dimostrando che ci si trova in una atmosferaconvettivamente stabile la stessa cosa non accade nei primi 2 km della fig. 2.8. Lı siha instabilita. Come nota finale si osservi come balzi subito agli occhi il passaggio instratosfera attorno ai 9.5 km: il profilo di temperatura tende infatti ad essere paralleloalle isoterme con una brusca variazione della sua pendenza.
I tefigrammi sono particolarmente utili oltre che per studiare la stabilita dell’at-mosfera per studiare la stabilita di porzioni d’aria che abbiano caratteristiche proprie eche vengano immessi in un dato profilo atmosferico ambientale. Una situazione tipicae quella in cui la porzione d’aria viene immessa al suolo con caratteristiche tipiche dellostrato di atmosfera superficiale.
Confrontando i profili di temperatura dell’ambiente Tamb e il profilo termico Tpac cheavrebbe un pacchetto d’aria caratterizzato dalla pressione, temperatura, e temperaturadi rugiada media dello strato 500 m al di sopra della superficie innalzato dalla superficie
90 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
Figura 2.7: Tefigramma con profilo verticale della temperatura dell’aria (linea continua)e della temperatura di rugiada (linea tratteggiata) per aria stabile.
lungo un’adiabatica fino al LCL e poi lungo una adiabatica satura, e possibile definirediverse grandezze.
• Indice di innalzamento, LIFT : e un parametro di stabilita definito come ladifferenza tra la temperatura dell’ambiente e quella del pacchetto innalzato comeora specificato a 500mb ovvero:
LIFT = Tamb(550 mb) − Tpac(550 mb).
Valori positivi riflettono condizioni stabili, valori negativi riflettono conditioniinstabili. Nel caso in fig. 2.6 si ha LIFT = −4.1K.
• Livello di convezione libera, LFCT : livello al quale un pacchetto innalzato dallasuperfice diventa galleggiante positivamente ovvero ove il pacchetto diventa in-
2.5. I RADIOSONDAGGI 91
Figura 2.8: Tefigramma con profilo verticale della temperatura dell’aria (linea continua)e della temperatura di rugiada (linea tratteggiata) per aria instabile.
stabile (cioe e piu caldo dell’ambiente circostante) e tende ad essere spinto versol’alto. La temperatura dell’ambiente all’LCL di solito e tipicamente piu calda(a destra nel diagramma di fig. 2.6) della temperatura del pacchetto. Pertantoil profilo di temperatura ambientale si mantiene a destra della adiabatica saturache si origina al LCL. Il punto dal di sopra del LCL ove il profilo di temperaturaTamb interseca e passa a sinistra del profilo del pacchetto e il livello di convezionelibera, LFCT . Se esistono piu di un LFCT viene scelto il livello piu basso. Seil pacchetto “galleggia positivamente” su tutto il sondaggio LFCT viene postouguale alla pressione al LCL. Nel caso in esame in fig. 2.6 si ha LFCT = 656 mb.
• Inibizione Convettiva, CIN : e l’ammontare di energia richiesta per alzare il
92 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
pacchetto superficiale fino al LFCT :
CIN = g∫ LFCT
0
Tpac − Tamb
Tambdz (2.18)
ove l’integrale (in realta una sommatoria) e esteso solo ai livelli di sondaggio doveTpac < Tamb. Graficamente, questa energia e proporzionale all’area nel tefigrammaal di sotto del LFC limitata tra il profilo di Tamb e quello di Tpac. Nel caso inesame in fig. 2.6 si ha CIN = 305 J/kg. Tanto maggiore e questa energia tantopiu stabile sara l’atmosfera e tanto piu difficile sara innescare la convezione.
• Energia potenziale convettiva disponibile, CAPE: e l’ammontare di energiadisponibile a un pacchetto d’aria che dalla superficie abbia raggiunto il suoLFCT . Graficamente in una situazione instabile, al di sopra dell’LFCT , l’a-diabatica satura originantesi dall’LCL del pacchetto sara a destra del profiloambientale,Tamb. Ad un certo punto verra pero incontrato un livello stabile (det-to EQLV o livello di equilibrio, detto anche LOC=limit of convection) (forsenon prima della tropopausa) sufficientemente forte da far sı che il profilo termicoambientale riattraversi e passi sulla destra del profilo Tpac. Se esistono piu EQLVviene scelto il piu alto fra tutti. L’area tra le due curve al di sopra del LFC e aldi sotto di questo livello stabile e proporzionale al CAPE.
CAPE = g∫ EQLV
LFCT
Tpac − Tamb
Tambdz (2.19)
ove qui l’integrale e esteso solo ai livelli di sondaggio dove Tpac > Tamb. Nel casoin esame in fig. 2.6 si ha CAPE = 1357 J/kg ed e rappresentato dall’area innero.
Tanto per avere degli ordini di grandezza potremo dire che se CAPE < 300 J/kgsi ha poca instabilita, con CAPE = 300÷1000 J/kg si ha instabilita debole, conCAPE = 1000 ÷ 2500 J/kg moderata, con CAPE = 2500 ÷ 3000 J/kg forte econ CAPE > 3000 J/kg si hanno condizioni potenzialmente altamente instabili.
2.5.1 Livello di condensazione convettiva
Finora abbiamo introdotto solamente il concetto di livello di condensazione per soll-evamento o LCL. Il sollevamento e un fenomeno tipico con il quale si ha a che farein prossimita delle superfici frontali. Piu comunemente invece si ha a che fare con ilriscaldamento solare della superficie. Questo induce un mescolamento della colonnad’aria in prossimita della superficie. Si tende in pratica ad arrivare ad una situazionein cui lo strato vicino alla superficie e ben mescolato, ovvero e caratterizzato da unrapporto di mescolamento costante ed ha gradiente termico adiabatico secco. In prati-ca il Sole riscalda la superficie; il calore viene trasferito per conduzione dalla superficieall’aria immediatamente in contatto con la superficie determinando un gradiente ter-mico molto grosso nei primi strati. Questo genera movimenti verticali che portano a
2.5. I RADIOSONDAGGI 93
mescolamento. Se questo processo continua in generale il profilo termico di tutto lostrato vicino alla superficie verra innalzato.
@@
@@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@@
TA
@@TB
Td,CTd,A
CCL
TC
1000mb
850 mb
275 K
θ = 290 K
isoigrometrica
Figura 2.9: Determinazione del livello di condensazione per convezione su untefigramma.
Consideriamo lo strato superficiale stabile mostrato in fig. 2.9 con una inversionetermica nello strato vicino alla superficie (come tipicamente si instaura durante il raf-freddamento radiativo notturno). Sia TA la temperatura superficiale iniziale e Td,A
la temperatura di rugiada. Quando si innesca il riscaldamento diurno il profilo di Tambientale cambiera. Per iterazioni successive prima la temperatura della superficiecrescera al valore TB: si innescano moti convettivi e l’aria della superficie si andra arimescolare con lo strato piu vicino alla superficie. Si generera un primo strato benmescolato con gradiente adiabatico secco e ugual w. Riscaldamento ulteriore modi-fichera il profilo termico iniziale in strati sempre piu spessi, seguendo la successionedi linee adiabatiche secche verso destra. Il rapporto di mescolamento dello strato saracostante e pari al valor medio del w dello strato (in pratica a istanti di tempo suc-cessivi a quello iniziale i radiosondaggi varierebbero come illustrato in figura; il profilodi temperatura viene modificato nello strato superficiale ben mescolato con il primotratto di adiabatica secca, quello di temperatura di rugiada con il primo tratto carat-terizzato dalla stessa Td). Alla fine si arrivera al punto C, ovvero l’adiabatica seccache parte dalla superficie calda TC intersechera l’isoigrometrica passante per Td,C e siavra condensazione al livello CCL, il “convective condensation level” (si noti che perun ipotetico radiosondaggio effettuato all’istante C CCL = LCL). Si noti che Td,C ingenerale coincidera con Td,A solo se lo strato era inizialmente caratterizzato dallo stessow. Normalmente invece w e piu alto vicino alla superficie di modo che il w in superficieall’istante C tenderebbe ad essere inferiore al w in superficie all’istante A. D’altrocanto e anche vero che il riscaldamento superficiale favorisce l’evaporazione di modoche tende ad aumentare il w della colonna. Ci sono quindi due effetti contrastanti chebisogna tenere in considerazione.
Per calcolare il CCL bisognera dunque procedere iterativamente dal basso verso
94 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
l’alto calcolando man mano il rapporto di mescolamento dello strato piu basso carat-terizzato dalla stessa temperatura potenziale, man mano crescente. Quando adiabaticasecca e isoigrometrica dello strato si incontrano sul profilo di temperatura si e trovatoil CCL.
Per il momento abbiamo studiato la stabilita rispetto a moti di tipo verticale ed ab-biamo visto che c’e spinta archimedea verso l’ alto la temperatura potenziale decrescecon l’altezza. Una atmosfera e stabile per galleggiamento se θ cresce con l’altezza,ovvero se ∂θ
∂z> 0. Tale concetto si generalizza a pacchetti d’aria saturi introducendo il
concetto di condizionatamente stabile nel caso in cui ∂θe
∂z> 0.
Una tipica distribuzione di θe viene mostrata in fig. 2.10 e mostra come l’atmosferasia in media sempre gravitazionalmente stabile. Si noti pero che per un sollevamentoinclinato con pendenza inferiore alle curve di livello di θe il pacchetto finisce con l’esseregalleggiante e quindi col ricevere una ulteriore spinta verso l’alto. Tutti i cammini incli-nati compresi tra la curva di livello corrispondente alla θe originale e la superficie oriz-zontale saranno instabili. Questa situazione mostra come l’atmosfera sia stabile rispettoa spostamenti verticali ma instabile rispetto ad alcuni spostamenti obliqui; questo puoportare a convezione obliqua. Come ultima notazione una situazione di questo tipo sipuo innescare solo su una atmosfera baroclina: in una atmosfera barotropica infatti lesuperfici isoentropiche sono orizzontali.
2.6.1 Instabilita inerziale
L’instabilita inerziale e l’analogo orizzontale dell’instabilita gravitazionale; ovvero, seun pacchetto viene spostato orizzontalmente dallo stato base di equilibrio geostroficoritornera alla sua posizione originale o verra accelerato ulteriormente lontano da taleposizione?
Per analizzare questa situazione consideriamo un tipico flusso occidentale geostrofi-co, caratterizzato quindi da vgeo = 0 e ugeo = − 1
f∂Φ∂y
. Supponiamo adesso di introdurreun pacchetto d’aria che non modifichi il campo di pressione, quindi non cambi il flussobase. Le equazioni del moto applicate a tale pacchetto sono:
dudt
= fv = f dydt
dvdt
= f(ugeo − u)(2.20)
Supponiamo adesso che il pacchetto si muova con il flusso di base nella posizioney = y0 e che venga spostato di una posizione δy. La sua nuova velocita si puo ottenereintegrando la prima delle (2.20):
u(y0 + δy) = ugeo(y0) + fδy.
2.6. INSTABILITA INERZIALE, SIMMETRICA E BAROCLINA 95
Figura 2.10: Illustrazione di una situazione di stabilita gravitazionale (questa e untipica sezione verticale di θe nella nostra atmosfera): a possibili spostamenti verticalidel pacchetto dalla posizione di partenza corrispondono accelerazioni che tendono ariportarlo nella posizione di partenza.
Del resto ugeo(y0 + δy) = ugeo(y0)+ ∂ugeo
∂yδy di modo che la seconda delle (2.20) diventa:
dv
dt=d2δy
dt2= −f
(
f − ∂ugeo
∂y
)
δy (2.21)
che e la solita equazione differenziale del secondo ordine: se il coefficiente f(
f − ∂ugeo
∂y
)
>0 il pacchetto sara forzato a tornare nella sua posizione originale, altrimenti verra ac-celerato via da tale posizione. Nell’emisfero Nord dove f > 0 la condizione di stabilitainerziale si tradurra quindi come:
f − ∂ugeo
∂y
> 0 stabile= 0 neutro< 0 instabile
(2.22)
96 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
Ma f − ∂ugeo
∂ye proprio la vorticita assoluta del flusso geostrofico di base ηgeo; se tale
vorticita e dunque positiva ho equilibrio inerziale, se e negativa ho instabilita. Tipica-mente nel nostro emisfero i moti su scala sinottica possiedono quasi sempre vorticitapositiva. Di fatto la comparsa di una regione con vorticita assoluta negativa innescaimmediatamente movimenti inerziali che mescolano rapidamente il fluido lateralmentee riducono lo shear finche la vorticita assoluta non ridiventa positiva. La frequenza
delle oscillazioni inerziali risulta essere ωiner =√
f ηgeo.
Momento geostrofico
Alle medie latitudini, il vento in troposfera e predominantemente occindentale ovveroha solo componente u. Possiamo considerare allora il flusso come definito da uno statobase di flusso puramente occidentale ugeo con perturbazioni in u o in v. E possibileintrodurre allora una quantita, detta “momento geostrofico” Mg:
Mg = ugeo − fy
ove y e semplicemente la coordinata locale meridionale. Mg decresce verso N (yaumenta) e cresce verso l’alto (ugeo generalmente aumenta con la quota).
Figura 2.11: Instabilita inerziale.
Fig. 2.11 illustra la stabilita per spostamenti orizzontali in uno stato base ove Mg
aumenta andando verso l’alto e verso S. Come si vede il pacchetto e inerzialmente
2.6. INSTABILITA INERZIALE, SIMMETRICA E BAROCLINA 97
θ1
θ2
θ3
Aδy
B
δzβ
Sud Nord
Caldo Freddo
6
-
z
y
Figura 2.12: Spostamento obliquo da una posizione di equilibrio.
stabile ovvero le accelerazioni associate con spostamenti orizzontali tendono a riportareil pacchetto nella sua posizione originaria; ad esempio quando lo spostamento e verso Sla velocita zonale del pacchetto tende ad essere subgeostrofica di modo che il pacchettoverra accelerato alla sua sinistra verso le pressioni piu basse. Si noti invece che peruno spostamento inclinato, ad una pendenza maggiore di quella delle curve di livellodi Mg, il pacchetto tende ad essere accelerato nella direzione stessa dello spostamento.Si avrebbe quindi una instabilita inerziale obliqua.
2.6.2 Spostamenti obliqui
Nel paragrafo (2.2) abbiamo capito cosa succede se spostiamo un pacchetto d’aria ver-ticalmente rispetto alla propria posizione di equilibrio e al par. 2.6.1 che cosa succecdese lo spostiamo orizzontalmente rispetto alla propria posizione di equilibrio.
Vogliamo adesso vedere cosa succede se spostiamo il pacchetto in obliquo (rispettoalla verticale), rispetto alla propria posizione di equilibrio. Supponiamo che le lineeisoentropiche siano piegate come in fig. 2.12. e che, inizialmente, T , p, θ e ~v delpacchetto d’aria in A siano le stesse che T ′, p′, θ′ e ~v′ dell’ambiente. Pensiamo dispostare il pacchetto in B. Se non vi e condensazione si conserva θ, di modo che latemperatura del pacchetto in B sara:
TB = TA +
(
dT
dp
)
θ
dp = TA +Rd
cPTA
pA
(
∂p
∂yδy +
∂p
∂zδz
)
mentre la temperatura dell’ambiente in B sara:
T ′B = T ′
A +∂T ′
∂yδy +
∂T ′
∂zδz = TA +
TA
θA
∂θ
∂y+
Rd
cPTA
pA
∂p
∂y
δy +
TA
θA
∂θ
∂z+
Rd
cPTA
pA
∂p
∂z
δz
di modo che la forza di galleggiamento dalla (2.9) e:
FB = −g(
1
θA
∂θ
∂zδz +
1
θA
∂θ
∂yδy
)
.
Ora pero oltre alla forza di galleggiamento c’e anche una forza dovuta al fatto che laforza di Coriolis e di pressione non sono piu in equilibrio. Infatti, passando da A a B
98 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
nel tempo δt la forza di Coriolis varia di ∆FCor = fδv = f fvδt = f 2 δy mentre la forzadi pressione varia di
∆Fpres =∂
∂y
(
−1
ρ
∂p
∂y
)
δy +∂
∂z
(
−1
ρ
∂p
∂z
)
δz = f∂ugeo
∂yδy + f
∂ugeo
∂zδz.
Ma allora in B vi sara una forza orizzontale che tende a far ritornare il sistemaall’equilibrio pari alla differenza tra le due:
FH = ∆Fpres − ∆FCor = f
[
∂ugeo
∂zδz −
(
f − ∂ugeo
∂y
)
δy
]
.
L’equazione del moto lungo la direzione dello spostamento ξ diventa:
d2ξ
dt2= FB sin β + FH cosβ = −g
[
1
θ
∂θ
∂zδz +
1
θ
∂θ
∂yδy
]
sin β + f
[
∂ugeo
∂zδz −
(
f − ∂ugeo
∂y
)
δy
]
cosβ(2.23)
2.6.3 Instabilita simmetrica
Supponiamo ora che un pacchetto d’aria venga spostato dalla sua posizione di equilibriolungo una superficie a θ costante. In tal caso il primo termine a secondo membro nella(2.23) si annulla e la forza cui e sottoposto il pacchetto e solo quella orizzontale dimodo che la (2.23) diventa:
d2ξ
dt2= FH cos β = f δy cos β
∂ugeo
∂z
δz
δy−f − ∂ugeo
∂y∂ugeo
∂z
(2.24)
Se come per l’usuale situazione di vento termico alle nostre latitudini ∂ugeo
∂z> 0 allora
si ha equilibrio stabile se il termine in parentesi quadra e negativo, instabile viceversa.In parentesi quadra il primo termine e la pendenza della superficie isoentropica tan β,mentre il secondo termine si puo riscrivere come:
f − ∂ugeo
∂y∂ugeo
∂z
=ηgeo
ηorgeo
cioe come rapporto tra componente verticale e sul piano orizzontale della vorticitaassoluta del vento geostrofico. Ma allora cio che si deve confrontare sono le pendenzedelle superfici isoentropiche e del vettore vorticita assoluta del vento geostrofico. Se laprima pendenza e maggiore della seconda l’equilibrio e simmetricamente instabile, see uguale l’equilibrio e simmetricamente neutro, viceversa e stabile. In particolare se lelinee isoentropiche sono linee di ugual altezza, la loro pendenza sull’orizzontale e nullaper cui non c’e modo di avere instabilita simmetrica.
Pertanto puo succedere che l’atmosfera sia inerziamente e gravitazionalmente stabilema sia simmetricamente instabile.
2.6. INSTABILITA INERZIALE, SIMMETRICA E BAROCLINA 99
Quanto fatto vale per atmosfera secca. Quando passiamo al caso saturo, rimanetutto uguale a quanto fatto eccetto che anziche considerare la pendenza delle superfici aθ costante vanno considerate le pendenze delle superfici a θe. Questo tipo di instabilitasi rivela essere importante per spiegare strutture a bande in sistemi ciclonici frontalialle medie latitudini alla mesoscala.
con la quota).
Figura 2.13: Instabilita simmetrica.
Un metodo pratico piu semplice per valutare la stabilita simmetrica e considerarela pendenza delle superfici a θe costante e quelle a Mg costante come mostrato infig. 2.13. Per pacchetti saturi (se parliamo di stabilita condizionale) nel caso di stabilitamuovendosi lungo una superficie a Mg costante si troveranno in una regione dove laloro accelerazione viene frenata dal galleggiamento. In questa situazione θe aumentacon l’altezza lungo una curva di livello di Mg.
D’altro canto invece come illustrato nel pannello di destra di fig. 2.13 la condizionedi instabilita simmetrica condizionale e associata ad una decrescita di θe con l’altezzalungo curve di livello di Mg. I pacchetti che risalgono sulla curva con Mg = 40 m/s sitroveranno ad avere un θe piu alto dell’ambiente circostante, di modo che si presenterauna spinta di galleggiamento positiva che tendera ulteriormente a farli risalire.
2.6.4 Instabilita baroclina
Supponiamo ora che nella (2.23) l’unico termine rilevante sia quello di galleggiamento:
d2ξ
dt2= FB sin β = −g
(
1
θ
∂θ
∂z
)
δy sin β
δz
δy−
−∂θ∂y∂θ∂z
(2.25)
100 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
ove ora δzδy
e la pendenza dello spostamento del pacchetto d’aria, mentre il termine den-
tro la tonda nella (2.25) e la pendenza della superficie isoentropica. Per una atmosferastaticamente stabile (∂θ
∂z> 0) si avra atmosfera baroclinamente stabile nel caso in cui
la pendenza della superficie isoentropica sia minore della pendenza dello spostamento,neutra se tali pendenze sono uguali, instabile se la prima e maggiore della seconda.
2.7 Complemento IV: energia potenziale totale di
una massa d’aria
Consideriamo una colonna statica d’aria: essa possiedera due contributi energetici:l’energia interna u = cV T e l’energia potenziale gravitazionale eg = gz. Se integriamosu una colonna, usando l’eq. della statica, abbiamo che:
ET,pot =∫ ∞
0(cV T + gz) ρ dz = cV
∫ ∞
0Tρ dz −
∫ 0
p0
z dp
ET,pot = cV
∫ ∞
0Tρ dz +
∫ ∞
0p dz = (cV +R)
∫ ∞
0Tρ dz =
cPg
∫ p0
0T dp (2.26)
che mostra come Eg
U= R
cV' 0.4, ovvero che l’energia potenziale gravitazionale e
quella interna di una colonna d’aria mantengono un rapporto costante tra di loro.La conversione in energia cinetica avverra pertanto a spese sia dell’energia interna Uche dell’energia potenziale gravitazionale Eg, sempre nello stesso rapporto (se vienemantenuta la legge della statica). La somma delle due venne chiamata da Margulesenergia potenziale totale ET,pot (dimensionalmente un’energia per unita d’area).
Si noti che l’energia cinetica EK di una colonna verticale si scrive come:
EK =∫ ∞
0
v2
2ρ dz =
1
2g
∫ p0
0v2 dp.
Siccome la (2.26) si puo riscrivere in termini della velocita del suono vsuono =√
cP
cVRT
come:
ET,pot =cVRg
∫ p0
0v2
suono dp. (2.27)
ed essendo vsuono ∼ 20v, ET,pot/EK ≈ 2cV
R× 202 ≈ 2000, che dimostra come solo una
piccolissima parte di energia potenziale sia effettivamente poi convertita in cinetica.
2.7.1 Energia potenziale disponibile
In generale non tutta l’energia potenziale totale ET,pot e disponibile per la conversionein energia cinetica (anzi di fatto l’atmosfera e un motore termico di bassa efficienza).Per esempio una atmosfera uniformemente stratificata, stabile rispetto a moti verti-cali e nella quale non ci siano variazioni di densita orizzontali, sebbene possegga una
2.7. ENERGIA POTENZIALE TOTALE DI UNA MASSA D’ARIA 101
grande energia potenziale totale non ne ha alcuna disponibile ad essere convertita incinetica. Supponiamo adesso che questa stessa atmosfera venga riscaldata in una suaregione ristretta; l’energia potenziale totale aumentera ma cosa ancora piu importantela stratificazione viene perturbata: creo gradienti orizzontali di pressione e quindi sigenerano forze di pressione, quindi venti. Cosı facendo parte dell’energia potenzialetotale si convertira in cinetica. Si noti che nelle stesse ipotesi, nel caso si abbia unraffreddamento locale, pur essendo che l’energia potenziale totale diminuira l’energiadisponibile ad essere convertita aumentera.
Lorenz nel 1955 introdusse il concetto di energia potenziale disponibile, definitacome la differenza tra l’energia potenziale totale dello stato in considerazione e del-lo stato staticamente stabile stratificato uniformemente che si ottiene dallo stato inconsiderazione tramite una redistribuzione delle masse d’aria attraverso processi adi-abatici (per tale condizione l’energia potenziale disponibile e nulla). Il processo diriaggiustamento ad uno stato di riferimento staticamente stabile richiede che si portinole isoentropiche a coincidere con le linee di geopotenziale. Tale processo determina lasalita di aria calda e la discesa di aria fredda che variera profondamente sia l’energiapotenziale gravitazionale che quella interna. Per calcolare tale variazione ragioniamocome Lorenz pensando all’atmosfera suddivisa in tante superfici a θ costante. Di talisuperfici isoentropiche possiamo definire una pressione media p (facendone una me-dia areale). Le superfici isoentropiche che intersecano il suolo possono essere pensateproseguire al suolo ove p = p0.
Se andiamo a riscrivere la (2.26) usando la definizione di θ (1.13) ed una integrazioneper parti si ottiene:
ET,pot =cPgpk
0
∫ p0
0θ pk dp =
1
k + 1
cPgpk
0
(
θ0pk+10 +
∫ ∞
θ0
pk+1 dθ)
(2.28)
Siccome ogni valore di θ sulla superficie (diciamolo θ0) e piu basso di ogni valore di θsulla colonna sovrastante si puo incorporare il termine al di fuori dell’integrale della(2.28) estendendo l’integrale da 0 all’+∞ pensando che tutte le superfici con θ < θ0
coincidano a p = p0 (e quindi∫ θ00 pk+1 dθ = pk+1
0
∫ θ00 dθ = pk+1
0 θ0):
ET,pot =1
k + 1
cPgpk
0
∫ ∞
0pk+1 dθ (2.29)
che vale per una singola colonna di atmosfera. Per l’intera atmosfera avremo chel’energia potenziale totale per unita d’area puo essere scritta come:
ET,pot =1
k + 1
cPgpk
0
∫ ∞
0pk+1 dθ (2.30)
ove il valor medio e al solito una media superficiale. L’energia potenziale totale eminima quando p = p su una data superficie isoentropica (ovvero quando l’atmosferae perfettamente stratificata). La differenza tra l’energia totale (2.30) e il suo valorminimo (che coincide con la (2.30) valutata per p = p) definisce l’energia potenziale
102 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
disponibile:
ET,av =1
k + 1
cPgpk
0
∫ ∞
0
[
pk+1 − pk+1]
dθ. (2.31)
Siccome k+1 > 1, pk+1 > pk+1 (a meno che non sia p = p nel qual caso vale l’uguaglian-za) di modo che ET,av > 0. Se nella (2.31) scriviamo p = p + p′, si puo espanderep1+k = (p+p′)1+k = pk+1[1+(k+1)p′/p+k(k+1)/2(p′/p)2] ed ottenere (si usa il fattoche p′ = 0):
ET,av =k
2
cPgpk
0
∫ ∞
0
pk+1
(
p′
p
)2
dθ (2.32)
che esprime l’energia potenziale disponibile in termini della deviazione di p dal suovalor medio su una superficie isoentropica. Un metodo alternativo di scrivere la (2.32)e:
ET,av =cP2g
∫ ∞
0T(
1 − γ
Γd
)−1 (T ′
T
)2
dp (2.33)
che e piu utile per stime dirette. E possibile ad esempio confrontare la (2.33) con la(2.26) valutando il rapporto tra energia potenziale disponibile ed energia potenziale
totale. Con valori tipici γ/Γd = 2/3 e (T ′/T )2 = (1/16)2 si trova ET,av/ET,pot = 3/(2×256) = 0.6% e quindi una frazione molto piccola dell’energia potenziale e realmentedisponibile.
2.7.2 Energia zonale e vorticosa
In una discussione sulla circolazione globale e conveniente suddividere l’energia cineticain due componenti, una zonale e una vorticosa, a seconda dei diversi moti atmosferici:
1. una componente zonale media, ovvero la componente del vento mediata su tuttii cerchi alla stessa latitudine;
2. le componenti vorticose, ovvero tutte le componenti N − S e tutte le deviazionidalle componenti zonali.
Tanto per dare degli ordini di grandezza l’energia cinetica media e di 13 × 105 J/m2
che corrisponde, su uno strato di 105 Pa ad una velocita media di ∼ 13 m/s. Di questauna frazione pari al 30% e zonale, il rimanente 70% e vorticosa.
La stessa suddivisione puo essere fatta per l’energia potenziale disponibile prenden-do nella (2.33) per T ′ la varianza della temperatura mediata zonalmente e la varianzadella temperatura lungo i paralleli. L’energia potenziale totale disponibile e in mediapari a 50 × 105 J/m2 di cui una frazione pari al 68% e zonale, il rimanente 32% evorticosa.
2.8. COMPLEMENTO V: LA BUOYANCY 103
2.8 Complemento V: la buoyancy
Su larga scala vale tipicamente il balancio idrostatico. L’eq.del moto scritta nel Vol I:
d~v
dt= −1
ρ~∇p− f~k × ~v − g~k (2.34)
si puo riscrivere usando il fatto che p(x, y, z) = p0(z)+p∗(x, y, z) ρ = ρ0(z)+ρ∗(x, y, z)e quindi:
1
ρ
∂p
∂z+ g =
1
ρ0 + ρ∗
(
∂p0
∂z+∂p∗
∂z
)
+ g
≈ 1
ρ0
∂p0
∂z
(
1 − ρ∗
ρ0
)
+1
ρ0
∂p∗
∂z+ g =
1
ρ0
∂p∗
∂z+ρ∗
ρ0g (2.35)
Ma allora la (2.34) si riscrive come:
d~v
dt= −1
ρ~∇p∗ − f~k × ~v +B~k (2.36)
ove abbiamo introdotto la spinta di galleggiamento o “buoyancy”:
B ≡ −gρ∗
ρ0= −gρ− ρ0
ρ0. (2.37)
Quando lavoriamo con pacchetti d’aria in atmosfera questi potranno contenere delvapor (con rapporto di mescolamento w) e idrometeore (con rapporto di mescolamentoqH). Le idrometeore raggiungono velocemente la loro velocita limite, quindi il dragdell’aria sulle particelle puo essere considerato in equilibrio con la forza di gravita cheagisce sulle particelle. Quindi la forza di drag esercitata dalle idrometeore sull’ariae pari a −gqH
~k (uguale e opposta per la terza legge di Newton alla forza esercitatadall’aria sulle idrometeore), va inglobata nella definizione (2.37). Per far cio bastaconsiderare la densita ρ come definita da:
ρ = ρa(1 + qH) (2.38)
cosı che la definizione di buoyancy diviene:
B = −gρa(1 + qH) − ρ0
ρ0' −gρa − ρ0
ρ0− gqH = g
(
T ∗
T0− p∗
p0+ 0.61w − qH
)
(2.39)
ove si e usato il fatto che per ρa vale p = ρaRdT (1 + 0.61w). La (2.39) rappresental’espressione della buoyancy in termini del contenuto di idrometeore e delle grandezzefondamentali che caratterizzano lo stato di un pacchetto di aria umida p, T , w. SeT ∗ > 0 ho spinta verso l’alto (aria piu calda tende a salire), se p∗ > 0 ho spinta versoil basso (aria piu densa tende a scendere), le idrometeore comunque contribuiscono aspingere verso il basso.
104 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
2.9 Complemento VI: forma perturbata delle equa-
zioni termodinamiche
Quando si ha a che fare con processi turbolenti e fondamentale scrivere le eq. termodi-namiche in forma perturbata esprimendo cioe ogni variabile A come somma di un valormedio A e di una perturbazione A′. L’eq. termodinamica si puo scrivere come:
dθ
dt= H H ≡ 1
cP
(
p0
p
)k
H (2.40)
dove H rappresenta il tasso di riscaldamento/raffreddamento associato ai cambiamentidi fase, a processi radiativi e di diffusione molecolare. Tale equazione si puo ancheriscrivere come:
∂θ
∂t+
1
ρ0∇ · (ρ0θ~v) = H (2.41)
ove si e usato il fatto che
1
ρ0∇ · (ρ0θ~v) =
1
ρ0[ρ0~v · ∇θ + θ∇ · (ρ0~v)] = ~v · ∇θ
essendo che ∇ · (ρ0~v) = 0 (approssimazione anelastica dell’eq.di continuita). Se orapassiamo a riscrivere tale eq. con valori medi e perturbazioni troviamo:
∂θ
∂t+∂θ′
∂t+
1
ρ0∇ ·
[
ρ0(θ + θ′)(~v + ~v′)]
= H + H′. (2.42)
Il terzo termine a primo membro si puo riscrivere come:
1
ρ0∇ ·
[
ρ0(θ + θ′)(~v + ~v′)]
= ~v · ∇θ + ~v · ∇θ′ + 1
ρ0
[
∇ ·(
ρ0~v′θ)
+ ∇ · (ρ0 ~v′θ′)
]
ove si e usato il fatto che ∇ ·(
ρ0~v)
= 0 e ∇ · (ρ0~v′) = 0. Se ora prendiamo il valor
medio della (2.42) e utilizziamo l’ipotesi di separazione di scala2 troviamo (annullandotutti i valori medi di variabili che contengono perturbazioni lineari):
D θ
Dt+
1
ρ0∇ ·
(
ρ0 ~v′θ′)
= H D
Dt≡ ∂
∂t+ ~v · ∇ (2.43)
che mostra come il valor medio della temperatura potenziale di un pacchetto d’aria puocambiare (seguendo il moto) anche per effetto di divergenze di flussi turbolenti dellatemperatura potenziale (flusso rappresentato dal termine ρ0 ~v′θ′).
2Cio corrisponde ad assumere che derivate di medie spaziali corrispondono a medie spaziali di
derivate spaziali, ovvero ad esempio che ∂A∂x
= ∂A∂x
.
2.10. ESERCIZI 105
Se ora sottraiamo la (2.43) alla (2.42) troviamo:
D θ′
Dt+
1
ρ0
[
∇ ·(
ρ0~v′θ)
+ ∇ · (ρ0 ~v′θ′) −∇ ·
(
ρ0 ~v′θ′)]
= H′. (2.44)
Si noti che siccome in generale detto qi il rapporto di mescolamento di una deter-minata idrometeora vale una equazione del tipo
dqidt
= Si (2.45)
essendo Si una funzione sorgente e siccome tale equazione ha struttura del tutto analogaalla (2.40) con qi al posto di θ e Si al posto di H quando si scriveranno le eq. perturbatedella (2.45) saranno anloghe alle (2.43-2.44).
2.10 Esercizi
2.10.1 Atmosfere speciali
1. Calcolare lo spessore dello strato 100-50 kPa (=1000-500 mb) in una atmosferaisoterma a 273 K. Ripetere il calcolo in una atmosfera con γ = cost = 6.5Kkm−1
e T0 = 273K.
In una atmosfera isoterma p = p0 e− gz
RdT quindi:
z2 − z1 =RdT
glog
(
p1
p2
)
.
Nel nostro caso introducendo Rd = 287J/(kg K) si trova ∆z = 5, 536 km.
In una atmosfera con gradiente termico costante invece p = p0
(
1 − γzT0
)g
Rdγ quindi:
z2 − z1 =T0
γ
(
p1
p0
)
Rdγ
g
−(
p2
p0
)
Rdγ
g
.
Nel nostro caso, introducendo Rdγg
= 0.19 e p0 = 1000mb, si trova ∆z = 5, 187km.
2. Determinare il geopotenziale in una atmosfera con gradiente termico costanteγ. Trovare quindi il geopotenziale nel caso particolare di temperatura potenzialecostante. Si ha:
Φ(z1) − Φ(z0) = Rd
∫ p0
p1
T d ln p = Rd
∫ T0
T1
g
Rd γT d lnT
=g
γ(T0 − T1) =
g
γ
T0 − T0
(
p1
p0
)
Rd γ
g
106 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
300 400 500 600 700 800 900 10000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
alte
zza
(km
)
p (mb)
Figura 2.14: Andamento dell’altezza al variare della pressione nello strato 1000-300mb per una atmosfera con T (z = 0) ≡ T0 = 273 K isoterma (linea continua), in unaatmosfera con gradiente termico costante γ = cost = 6.5 Kkm−1 (linea puntinata) enell’atmosfera standard che ha p(z = 0) = 1013.2mb (linea tratteggiata).
da cui l’altezza di geopotenziale
Z =Φ(z)
g=T0
γ
1 −(
p1
p0
)
Rd γ
g
Con temperatura potenziale θ costante si ha γ = gcP
e quindi:
Z =Φ(z)
g=cP θ
g
1 −(
p
p0
) RcP
.
3. La taratura degli altimetri
Se un altimetro fornisce una pressione in quota di 850 mb, determinare l’erroreche si commette sulla misura di altezza nel caso in cui lo strumento non sia statocalibrato al livello del mare (si assuma come variazione tipica della pressione alsuolo l’intervallo tra 960 mb e 1050 mb). Supponiamo ora che lo strumento vengatarato ogni tre ore ad una altezza nota. Prendendo come variazione massimadella pressione al suolo un valore di 1.5 mb/hr determinare quale e l’indetermi-nazione massima sull’altezza dovuta alla variazione causata dal “cambiamentodel tempo”. (Sugg.: si usi l’atmosfera esponenziale dp/p = −dz/H).
2.10. ESERCIZI 107
4. Un pallone atmosferico scoppierebbe se gonfiato oltre ad un raggio pari ad a.Viene gonfiato ad un raggio b (< a) con un gas piu leggero dell’aria e viene lasciatodal suolo in una atmosfera isoterma. Calcolare la massima altezza raggiuntatrascurando la differenza tra pressione interna ed esterna al pallone se il pallone:
• sale lentamente prima di esplodere;
in tal caso il volume del pallone passa attraverso stadi di equilibrio e si hapV = cost. Indicando con la ∗ le grandezze all’esplosione si ha: p∗V ∗ = p0V0
ma p = p0 e− z
H con H scala di altezza dell’atmosfera isoterma quindi:
V ∗
V=a3
b3= e
z∗
H
cioe z∗ = 3H ln(a/b).
• sale molto rapidamente prima di esplodere;
in tal caso mentre la pressione del pallone continua ad essere in equilibrio conquella dell’ambiente (p = p0e
− zH ), il suo volume crescera in modo adiabatico
e si ha p V γ = cost. Sostituendo come prima si trova: z∗ = 3 γ H ln(a/b)cioe di un fattore γ diverso dal risultato precedente.
2.10.2 Forze di galleggiamento
1. Una mongolfiera sgonfia pesa 1100N e, quando gonfiata, ha un volume di 1000m3.Assumendo una atmosfera standard ed una pressione all’interno della mongolfierauguale all’esterno, stimare la temperatura alla quale deve venire riscaldata l’ariaall’interno della mongolfiera affinche sorregga dei passeggeri del peso di 1500 Nad una altezza stazionaria di 2 km.
A tale altezza la pressione standard e di 800 mb e la temperatura T ′ = 273 K.In questo caso il peso totale dei passeggeri e della carlinga dovra uguagliare laforza di galleggiamento (in inglese buoyancy, di qui il perche dei pedici B qui diseguito) (risultante netta di gravita e spinta di Archimede) dell’aria del pallonecioe:
P = FB = ρ V gTmong − T ′
T ′ = gp V
Rd Tmong
Tmong − T ′
T ′ (2.46)
da cui segue:
P = gp V
Rd T ′ − gp V
Rd Tmong⇒ Tmong =
11T ′ − Rd P
g p V
= 370K.
2. Si supponga che un pacchetto d’aria parta a riposo da 80 kPa e si alzi verti-calmente sino a 50 kPa mantenendo un eccesso di temperatura costante pari a1K rispetto all’ambiente. Assumendo che la temperatura media dello strato sia
108 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
di 260 K, calcolare l’energia rilasciata a causa del lavoro della forza di galleg-giamento. Assumendo che tutta l’energia rilasciata venga convertita in energiacinetica dell’aria, qual e la velocita del pacchetto a 50 kPa?
La forza di galleggiamento per unita di massa su aria a temperatura T e densitaρ immersa in un ambiente a temperatura T ′ e densita ρ′ vale:
fB = gρ′ − ρ
ρ= g
T − T ′
T ′ (2.47)
cioe e positiva (rivolta verso l’alto) se il pacchetto e piu caldo dell’ambiente,viceversa se e piu freddo. Il lavoro fatto dalla forza di galleggiamento vale:
wB =∫
fB dz =∫ p2
p1
gT − T ′
T ′dz
dpdp =
wB =∫ p2
p1
gT − T ′
T ′−RdT
′
gpdp =
∫ p2
p1
Rd(T′ − T )d ln p
wB = Rd(T′ − T ) ln
p2
p1
.
Con Rd = 286.99J/(kg K) e i dati del problema si trova: wB = 134.9J/kg.Se tutto questo lavoro finisce in energia cinetica allora: 1/2v2 = wB e quindiv =
√2wB = 16.4m/s.
3. In uno strato d’aria instabile la temperatura decresce linearmente verso l’alto a3C/100m. Una massa d’aria si trova in fondo a questo strato con una tempera-tura di 280 K e con una velocita iniziale verso l’alto di 0.5m/s. Assumendo chela massa salga verso l’alto in maniera adiabatica secca, senza resistenza aerodi-namica alcuna, determinare di quanto e risalita e che velocita ha raggiunto dopo1 minuto.
In questo caso γ = 3C/100m mentre Γd = 0.98C/100m; pertanto ci sarainstabilita. L’equazione del moto sara:
d2z
dt2= − g
T(Γd − γ) z (2.48)
Detta ω =√
gT
(γ − Γd) = .0266s−1 le equazioni del moto saranno:
z(t) = Ae−ω t +Beω t; (2.49)
dz(t)
dt≡ w(t) = ω
(
−Ae−ω t +Beω t)
(2.50)
le condizioni iniziali:
z(0) = 0w(0) = 0.5m/s
⇒
A+B = 0ω(B − A) = 0.5m/s
⇒
A = −9.4B = 9.4
Ma allora valutando le (2.49-2.50) per t = 60 s si trova:
z(60 s) = 44.5m w(60 s) = 1.3m/s.
4. Dimostrare che CAPE[m2/s2] ≈ 38CAPE[oC km].
2.10. ESERCIZI 109
2.10.3 Convezione e stabilita
• Il gradiente verticale dell’atmosfera e γ = 0.63C/100m. Quanto calore dovrebbeessere ricevuto da una porzione che si muove verticalmente per essere in stato diequilibrio neutrale?
Dal primo principio della termodinamica il calore assorbito da una porzione cheviene sottoposta a variazioni dp e dT e: dq = cP dT − α dp da cui si ricava che:
dq
dz= cP
dT
dz− α
dp
dz= −cP γ + g.
Ora pero g = 9.8 m/s2 = 0.235 cal/(g 100 m) mentre cP = 0.240 cal/(gC) einfine:
dq
dz= 0.084 cal/(g 100m).
• La condensazione dell’acqua si puo verificare nei moti verso l’alto perche il rap-porto di mescolamento di saturazione decresce in processi di salita adiabatici3.Questa proprieta dell’acqua e dovuta all’alto valore del suo calore latente di con-densazione. Mostrare che, in generale, gas con valori di L piu bassi del vapord’acqua possono condensare in moti verso il basso purche sia:
Lev <cP T
ε.
Ragioniamo con l’acqua. Partendo dalla (2.6) e usando la sola equazione dellastatica si trova che la variazione del rapporto di mescolamento di saturazionecambia con l’altezza come:
(
dws
dz
)
pseudoadiab.
=cPLev
(
dT
dz
)
adiab
−(
dT
dz
)
pseudoad.
=cPLev
Γs − Γd (2.51)
quindi si avrebbe condensazione in moti verso il basso solo se dws/dz > 0 (in talcaso infatti il rapporto di mescolamento in saturazione decresce in moti verso ilbasso e quindi c’e condensazione di acqua) e quindi con Γs − Γd > 0. Inserendoil valore di Γs come funzione di Γd:
Γs = Γd
1 + Lev ws
Rd T
1 + L2ev ε ws
Rd cP T 2
si vede subito che perche Γs sia > Γd deve essere:
Lev ws
Rd T>
L2ev ε ws
Rd cP T 2⇒ Lev <
cP T
ε⇒ T > 1547K
3Questa proprieta si vede bene in qualsiasi diagramma termodinamico: seguendo le adiabatichesecche o quelle sature si vedono scorrere infatti isoigrometriche con valori di ws via via decrescenti.
110 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20200
300
400
500
600
700
800
900
1000
curve di livello di Γs
8
7
76
6
5
5
4
4
3
p [m
b]
T [°C]
Figura 2.15: Curve di livello di Γs espresse in C/km in funzione della temperatura Te della pressione.
che chiaramente non e mai soddisfatta in atmosfera. Le curve di livello di Γs infunzione della temperatura T e della p vengono mostrate in fig. 2.15. A parita dip, T piu elevate danno Γs piu grandi (essendo caratterizzate da maggiori contenutidi vapore, quindi maggiori apporti di riscaldamento da condensazione).
E chiaro che sostituendo i valori relativi ad un’altra sostanza il valore della tem-peratura limite al di sopra della quale si possono verificare condensazioni in motidiscendenti si puo abbassare notevolmente sino a diventare possibile in atmosfera.
• Determinare il cambiamento del rapporto di mescolamento di acqua liquida inprocessi adiabatici con l’altezza.
Supponiamo che aria al punto di condensazione consista di 1 kg di aria secca e ws
kg di vapore. Quando quest’aria si espande pseudoadiabaticamente, il rapporto dimescolamento di saturazione decresce di dws. Se l’aria deve rimanere saturata lostesso ammontare di acqua deve condensare, cioe dws = −dχ ove dχ e l’aumentonel contenuto di acqua liquida in condizioni adiabatiche sature. Si ha allora che:
(
dχ
dz
)
pseudoadiab.
= −(
dws
dz
)
pseudoadiab.
=cPL
−Γs + Γd
• Derivare un’espressione per il cambiamento dell’umidita relativa con l’altezza.Far vedere poi che in uno strato d’aria ben mescolato e non saturo l’umidita cresce
2.10. ESERCIZI 111
sempre con l’altezza. In tali assunzioni valutare l’espressione per T = 250 K ef = 50%.
Dalla definizione di f = w/ws si ricava subito che:
1
f
df
dz=
1
w
dw
dz− 1
ws
dws
dz
ora pero, usando ws = ε es
pe la formula di Bolton:
1
ws
dws
dz=d lnws
dz= −d ln p
dz− B
d(1/T )
dz
e quindi:
1
f
df
dz=
1
w
dw
dz+
1
p
dp
dz− B
T 2
dT
dz1
f
df
dz=
1
w
dw
dz− cP Γd
Rd T+Lev γ
Rv T 2
ove γ = −(
dTdz
)
ambe Γd = g
cP; se l’atmosfera e ben mescolata allora w = cost e
γ = Γd da cui:1
f
df
dz=
Γd
Rd T
(
Lev ε
T− cP
)
(2.52)
ed, a temperature atmosferiche il secondo membro e > 0. L’esempio numericodiventa:
df
dz=
f Γd
Rd T
(
Lev ε
T− cP
)
=0.5 × 0.98[K/100m]
287 × 250[J/Kg]
(
2501 × 622
250− 1005
)
[J/(K Kg)] = 3.6%/100m.
112 CAPITOLO 2. STABILITA E CONVEZIONE
Capitolo 3
La nucleazione
3.1 Introduzione
In fisica delle nubi abbiamo tre principali variazioni di fase:
• condensazione del vapore in goccioline
• ghiacciamento di goccioline e crescita di cristalli
• formazione diretta dei cristalli dal vapore per sublimazione.
Il passaggio di fase richiede nucleazione: la nuova fase inizia con goccioline, ma questesono instabili per effetto dell’agitazione termica. Il vapore allora permane in una situ-azione metastabile e non si ha condensazione effettiva. Al crescere della soprassat-urazione le piccole goccioline diventano piu stabili e la probabilita di sopravvivenzaaumenta, fino a determinare, per soprassaturazioni critiche una vera e propria nebbia.Quando questo processo avviene all’interno di una sostanza pura si chiama nucleazioneomogenea ed e caratterizzato da un elevato valore della soprassaturazione richiesta.
Quando invece il vapore contiene piccole particelle di aerosol estranee, queste pos-sono servire da nuclei di condensazione; la nucleazione si dice eterogenea e la sopras-saturazione richiesta e molto inferiore. E necessario premettere una breve descrizionedella nucleazione omogenea, anche se in atmosfera si ha solo nucleazione eterogenea,perche rende piu espliciti i concetti della trattazione.
3.2 Nucleazione omogenea
In ogni fase, vicino al punto di transizione vi sono fluttuazioni nella densita e strutturadette omofase e eterofase. Una fluttuazione omofase e una variazione microscopicadi parametri quali densita, temperatura e pressione rispetto ai valori medi. Una flut-tuazione eterofase e una variazione della struttura corrispondente ad una transizionetemporanea di un embrione nella nuova fase.
113
114 CAPITOLO 3. LA NUCLEAZIONE
3.2.1 La formula di Kelvin
Consideriamo ora la formazione di una goccia di raggio r, assumendo che il richiestocambiamento di fase avvenga a T costante. Sia µV l’energia libera di una molecolad’acqua nella fase vapore: essa non dipendera dalla pressione e dalla temperatura; siaµL l’energia libera di una molecola d’acqua allo stato liquido. Supponiamo che entrola fase vapore, le molecole si aggreghino per fare una gocciolina liquida di raggio r,volume V e superficie A. L’energia libera della gocciolina e aumentata di:
∆G = (µL − µV )nL V + σLVA (3.1)
ove nL e il numero di molecole per unita di volume nel liquido e σLV e l’energia libera diinterfaccia fra liquido e vapore per unita d’area. Questa quantita σLV e in un liquido,l’equivalente della tensione superficiale e, per il momento, trascuriamo ogni possibilevariazione della stessa con la curvatura della superficie.
Analizziamo la forma di µV e µL. Se consideriamo una superficie liquida piana(liquido ad una pressione pL) con del vapore sopra di essa in una condizione di equilibrioquesto dovra essere la tensione di vapor saturo es(∞) (il simbolo ∞ indica che lasuperficie e piana ed ha raggio di curvatura ∞); siccome le due fasi sono in equilibrioil potenziale chimico e il medesimo nelle due fasi, ovvero µV (es(∞)) = µL. Se invececonsideriamo del vapore ad una generica pressione di vapore e si avra:
µL − µV = µV (es(∞)) − µV (e). (3.2)
Se la pressione cambia di de a temperatura costante, ne segue che dG = −ΦdT+V de =V de e quindi il potenziale chimico (che non e altro che l’energia libera di Gibbs permolecola) cambia di:
dµV = VV de =kBT
ede
ove VV e il volume occupato da una singola molecola, in fase vapore, a (T , e). Analoga-mente per la fase liquida la variazione del potenziale chimico per un cambiamento dipressione dpL, a T costante, sara:
dµL = VLdpL
ove VL e il volume occupato da una singola molecola in fase liquida a (T , pL). SiccomeVV VL:
d(µV − µL) ' VV de =kBT
ede
integrando si ha:∫ µV −µL
0d(µV − µL) =
∫ e
es(∞)
kBT
ede
e quindi:
µL − µV = −kBT loge
es(∞)(3.3)
3.2. NUCLEAZIONE OMOGENEA 115
ove kB e la costante di Boltzmann e ees(∞)
e il rapporto di saturazione1, che verra
indicato con la lettera S. Dalla (3.3) si vede che la variazione µL−µV e positiva quandoil vapore e non saturo e negativa quando il vapore e soprassaturo. Se assumiamo lacostituzione di un embrione sferico possiamo scrivere la (3.1) come:
∆G = −4
3π r3 nL kB T log
e
es(∞)+ 4π r2 σLV , (3.4)
essendo 43π r3 nL il numero di molecole d’acqua che vanno a costituire l’embrione.
-
e < es(∞)
e > es(∞)
r∗
∆G∗
∆G
6
10−3
10−2
10−1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
r [µ m]
∆ G
[J×
10−
16]
RH=98%RH=104%RH=108% r*
∆ G*
Figura 3.1: Andamento di ∆G per l’energia libera di un sistema dovuta alla formazionedi una goccia d’acqua di raggio r da vapor d’acqua a pressione e; es(∞) e la pressionedi vapore di saturazione rispetto ad una superficie infinita piana d’acqua che si trovaalla temperatura del sistema.
La variazione di ∆G con r e mostrata in figura 3.1, per il caso non saturo e perquello soprassaturo. Esaminando il caso non saturo [e < es(∞)] vediamo che l’energialibera richiesta per formare goccioline aumenta bruscamente con la loro dimensione. Amotivo delle fluttuazioni termiche ci si aspetta che il numero di goccioline di una datadimensione sia dato da una distribuzione di Boltzmann. Se si assume che il numerototale di embrioni sia trascurabile in confronto col numero di molecole dissociate, allorala distribuzione e:
n(r) ≈ n(I)exp
(
−∆G(r)
kBT
)
(3.5)
con n(r) il numero di embrioni per unita di volume di raggio r, e n(I) il numero dimolecole di vapore dissociate per unita di volume.
Si nota che anche nel caso e < es(∞) c’e un gran numero di embrioni presenti;questo e in accordo con quanto si e detto sulla fluttuazione eterofase: la distribuzione
1La sovrassaturazione invece viene definita come s ≡ (S − 1)100%.
116 CAPITOLO 3. LA NUCLEAZIONE
-
6
n(I)
n(r)
r∗
n(r∗)
r
e > es(∞)
>
e < es(∞)
Figura 3.2: Numero totale di embrioni in funzione di r a seconda che sia e > es(∞)e e < es(∞). es(∞) e la pressione di vapore di saturazione rispetto ad una superficieinfinita piana d’acqua che si trova alla temperatura del sistema.
e in equilibrio dinamico e non c’e nessuna tendenza alla condensazione, perche ∆G euna funzione monotona crescente delle dimensioni delle gocce.
Il caso di maggiore interesse e quello del vapore soprassaturo. Per e > es(∞)l’energia libera che occorre per la formazione di un embrione ha un massimo ∆G∗ ar∗ (vedi fig. 3.1). Embrioni di raggio r < r∗ sono instabili e tendono a scompariresotto l’effetto dell’agitazione termica. Embrioni con r > r∗ tendono a crescere senzalimite e divengono goccioline macroscopiche. Si noti anche come ∆G∗ decresca moltorapidamente al crescere del rapporto e/es. Per trovare r∗ poniamo ∂∆G
∂r= 0 e ricaviamo:
r∗ =2σLV
nL kB T loge
es(∞)
. (3.6)
Si noti che a 0C si ha: σ = 0.0756Nt/m2 ed nL = 3.3 × 1022 cm−3 (in 1 cm3 c’e 1 gdi acqua, cioe 1/18NA molecole, NA = 6.022 × 1023) mentre kBT = 3.77 × 10−21J dimodo che la (3.6) diventa:
r∗[nm] =1.22
log ees(∞)
. (3.7)
Poiche goccioline di raggio r∗ sono in equilibrio col vapore a pressione e (perche perpiccole variazioni attorno ad esse ∆G = 0), si puo scrivere la (3.6) in modo da averela pressione di vapore su superfici curve, nella forma:
es(r) = es(∞) exp(
2σLV
nL kB T r
)
> es(∞) (3.8)
nota come formula di Kelvin. La tensione di vapore di equilibrio al di sopra di unasuperficie curva e dunque maggiore che quella sopra una superficie piana. Viceversamaggiore e la supersaturazione e piu piccole sono le dimensioni della gocciolina che sta
3.2. NUCLEAZIONE OMOGENEA 117
4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.810
−3
10−2
10−1
100
101
102
103
e/es
J [c
m−
3 s−
1 ]
T=270 K
Figura 3.3: Andamento del tasso di nucleazione J , calcolato con la (3.12) al variare delrapporto di saturazione S = e/es(∞) con T = 270K.
in equilibrio con la data tensione di vapore, maggiori sono dunque le possibilita chetale gocciolina si formi a partire dalla collezione casuale di molecole d’acqua.
Sostituendo la (3.6) nella (3.4) si ottiene il valore massimo della variazione di energialibera per la formazione di un embrione:
∆G∗ =4
3π r∗2 σLV . (3.9)
Ora i rapporti di saturazione presenti in atmosfera raramente oltrepassano i valori di1.01 (cui corrisponde un valore di r∗ ≈ 0.12µm). Ne consegue che il tasso di nucleazioneomogenea e praticamente nullo perche non si riescono a creare embrioni cosı grandi apartire dalla fase vapore tramite fluttuazioni eterofase. Ma vediamo meglio questoaspetto.
3.2.2 Il tasso di nucleazione
Ora siamo interessati a valutare il tasso di produzione di embrioni di raggio critico en-tro il vapore; tale grandezza corrisponde di fatto al numero di goccioline che compaionoper unita di volume e per unita di tempo. Vediamo come in prima approssimazionesi puo calcolare tale grandezza (qui seguiamo il calcolo eseguito da Volmer e Weber).La popolazione di embrioni cresce senza limiti in corrispondenza alla crescita dellafase condensata, il che viola chiaramente l’ipotesi iniziale del modello. Tuttavia poicheci interessa la fase in cui la soprassaturazione cresce, possiamo interrompere la dis-tribuzione a r = r∗ e supporre che tutti gli embrioni che superano r = r∗ ritornino alsistema come molecole individuali. Cosı il sistema e in uno stato stazionario, con un
118 CAPITOLO 3. LA NUCLEAZIONE
flusso di embrioni che cresce attraverso tutti i valori di r < r∗. Possiamo postulare chen(r∗) rimanga inalterato e pari a:
n(r∗) ' n(I) exp(−∆G∗
kB T
)
. (3.10)
Il flusso di embrioni attraverso r∗, cioe il numero di embrioni che nell’unita di tempoaggiungono una molecola a r∗, cioe passano la soglia, sara:
J ' B n(I) exp(−∆G∗
kB T
)
. (3.11)
dove B e il tasso netto al quale un embrione di raggio critico guadagna molecole percollisione con le molecole di vapore circostanti. Esso si misurera in numero di molecoleper secondo e dipendera dalla T e dal rapporto di saturazione. Con una ragionevoleapprossimazione l’area sul piano dell’embrione critico e π(r∗)2 ed il tasso d’impatto perunita d’area della molecola del vapore e e√
2πm kB Tcome viene dalla teoria cinetica2,
essendo m la massa di una molecola di vapore. Ma allora
J ' e√2πmkB T
π(r∗)2 n(I) exp(−∆G∗
kB T
)
. (3.12)
Un valore ragionevole per il quale si ha nucleazione e pari a J ' 1 goccia cm−3s−1.Se andiamo a vedere dalla (3.12) quali sono le di S per cui si trova questo valore atemperature T ≈ 273K si vede che il rapporto di saturazione richiesto per questo tassodi nucleazione e circa 4.35. Diamo in fig. 3.3 la variazione del tasso di nucleazione con ilrapporto di saturazione nei pressi del valore critico. Come si vede, il tasso di nucleazionepassa da valori molto piccoli (tipo 10−3) a valori molto grandi (∼ 103) in un rangemolto ristretto del rapporto di saturazione, ma comunque con valori di e/es superioria 4. In termini fisici questo comporta che al crescere della soprassaturazione il tasso dinucleazione rimane zero fino all’avvicinarsi della soprassaturazione critica, in prossimitadella quale cresce rapidissimamente in un intervallo ristretto di soprassaturazione: siforma cosı nebbia in un modo quasi brusco e discontinuo.
Il valore di soglia del rapporto di saturazione alla quale si ha questa brusca tran-sizione di J ha una considerevole variazione con la temperatura, come si vede in fig. 3.4.All’aumentare della T infatti aumenteranno sia il coefficiente cinetico che il termineesponenziale presenti nella (3.11); pertanto lo stesso J si otterra con valori di S piupiccoli a T piu alte.
Verifiche sperimentaliE possibile riprodurre condizioni di nucleazione omogenea con una combinazione di
filtraggi e applicazione di forti campi elettrici per rimuovere gli ioni presenti. Tuttavianei processi di espansione la sovrassaturazione e un processo transiente e non puo esserenoto con accuratezza; inoltre le prime gocce variano la soprassaturazione rimuovendovapore e rilasciando calore latente.
2Infatti si ha che il numero di collisioni per unita di tempo e di superficie e pari a n(I)√
kB T2πm
mentre e = n(I)kBT .
3.3. NUCLEAZIONE ETEROGENEA 119
−60 −40 −20 0 20 401
2
3
4
5
6
7
8
9
10
T [° C]
S [%
]
1e−10
1e−10
1e−10
1e−10
0.001
0.001
0.001
0.001
1
1
1
1
1000
1000
1000
1000
1e10
1e10
1e10
Figura 3.4: Curve teoriche della velocita di nucleazione J in funzione del rapporto disaturazione e della temperatura.
3.3 Nucleazione eterogenea
Siccome i rapporti di saturazione in natura molto raramente oltrepassano i valori di1.01 e chiaro dalla fig. 3.4 che i meccanismi di nucleazione omogenea non giocherannoalcun ruolo nelle nubi dei nostri cieli. Vediamo adesso di studiare dei meccanismi che“agevolano” la nucleazione per poi capire quali siano realmente attivi in natura.
3.3.1 Condensazione sugli ioni
La condensazione e condizionata dalla presenza di ioni e di particelle estranee nelvapore. Wilson (1897, 1899: camera a nebbia) ha trovato goccioline a rapporti disaturazione S = 4.2 in contrasto con la nebbia formata per rapporti di saturazione S >7.8. Egli attribuı la differenza alla presenza di ioni e verifico l’osservazione ionizzandocon raggiX. Successivamente, separando positivi e negativi, osservo che i negativi sonoattivi a S = e/es(∞) = 4 e a −6C mentre i positivi sono attivi a S = e/es(∞) = 6.Si pongono le basi per una teoria in grado di spiegare il fenomeno, ma non ve n’e unaben consolidata.
Consideriamo vapore con pressione parziale e, con un ione di carica Q e raggio r0.Se una goccia di raggio r condensa nello ione, la variazione di energia libera e
∆G = −4
3πr3nLkBT log
(
e
es(∞)
)
+ 4πr2σ +Q2
2
(
1
4πε0− 1
4πεW
)(
1
r− 1
r0
)
(3.13)
120 CAPITOLO 3. LA NUCLEAZIONE
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 240
1
2
3
4
5
6
Raggio della gocciolina [A]
S
non caricacarica
A
B
C
E
Figura 3.5: Andamento di e/es(∞) al variare di r per goccioline d’acqua cariche e non.
ove εW e la costante dielettrica dell’acqua, r0 e il raggio dello ione e la costante dielet-trica del vapore circostante e stata presa uguale a 1. Nella (3.13) l’ultimo termine adestra (che e negativo!!) rappresenta la differenza tra l’energia elettrostatica finale equella iniziale del sistema; quest’ultima si puo calcolare come differenza tra l’energiaelettrostatica di un condensatore sferico di raggi r0 e r contenente dielettrico di costanteelettrica ε (pari a 1
2Q2
4πε
(
1r0− 1
r
)
) e quella di un condensatore sferico vuoto carico con
carica Q in ambedue i casi. (pari a 12
Q2
4πε0
(
1r0− 1
r
)
).
Per trovare il raggio di equilibrio procediamo come nel caso della nucleazioneimponiamo ∂∆G
∂r= 0 e troviamo:
log
(
e
es(∞)
)
=2σLV
nL kB T r− Q2
8π nL kB Tr4
(
1
4πε0− 1
4πεW
)
(3.14)
risultato trovato da Thompson (1888). Il rapporto di saturazione e dunque inferiorenel caso di una goccia carica [si confronti la (3.14) con la (3.8)]. Per determinare lavera soglia di nucleazione si deve usare la teoria della fluttuazione.
Consideriamo la linea orizzontale in fig. 3.5. In A c’e una condizione di equilibriometastabile e tutti gli ioni prendono molecole. Sotto l’influenza di fluttuazioni statis-tiche alcune goccioline subiscono una transizione da A al punto di equilibrio stabile C,se la linea e abbastanza prossima al picco B della curva. Dal confronto tra C ed E sivede che la condensazione degli ioni e favorita. Per il tasso di nucleazione varra unaformula analoga alla (3.12). Un inconveniente di tale teoria e che essa non spiega ladifferenza di comportamento fra ioni positivi e negativi.
3.3. NUCLEAZIONE ETEROGENEA 121
Φ
CCristallo
VVapore
LLiquido
r
Figura 3.6: Embrione sferico di liquido L in contatto con il suo vapore V e la superficienucleante C.
3.3.2 Nucleazione da superfici insolubili
La nucleazione in atmosfera avviene su particelle estranee (nucleazione eterogenea),quindi e cruciale capire come piccole particelle di polvere, cristalli igroscopici o altricontaminanti naturali agiscano come nuclei di condensazione. Esaminiamo il caso diuna calotta di liquido su una superficie insolubile come illustrato in fig. 3.6. I parametriche descrivono la geometria del problema sono il raggio di curvatura della superficiesferica r e l’angolo di contatto Φ, formato dalle intersezione delle tangenti all’interfaccialiquido-vapore e solido-vapore.
In questo caso, abbiamo tre energie libere di interfaccia σLV , σCV , σCL, e, dalbilancio tra le diverse tensioni superficiali si ricava:
σLV cos Φ + σCL = σCV (3.15)
Y ≡ cos Φ =σCV − σCL
σLV(3.16)
nota come equazione di Young. Oltre che l’angolo di contatto, la conoscenza dei variσ consente di determinare l’ammontare del bagnamento.
La variazione di energia libera per la formazione dell’embrione e
Il calcolo dell’embrione critico al solito si puo determinare imponendo ∂∆G∂r
= 0 e siritrova la (3.6), cioe lo stesso risultato della nucleazione omogenea, poiche la superficiecurva dell’embrione deve essere in equilibrio con il vapore. L’energia critica e
∆G∗ =16πσ3
LV
3[
nLkBT log(
ees(∞)
)]2f(Y) (3.19)
f(Y) =(2 + Y)(1 − Y)2
4; (3.20)
122 CAPITOLO 3. LA NUCLEAZIONE
0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Angolo di contatto Φ (°)
S [%
]
J=1 cm−3 s−1
Figura 3.7: Rapporto di saturazione critico per J = 1 cm−3s−1 su un substrato pianoal variare dell’angolo di contatto Φ, con T = 0C.
inoltre poiche −1 ≤ Y ≤ 1 si deve avere 0 ≤ f(Y) ≤ 1. E’ proprio in questo fattoref(Y) la differenza con il caso della nucleazione omogenea. Le superfici estranee hannola proprieta di ridurre l’energia libera necessaria per formare un embrione critico. Ilcalcolo del tasso di nucleazione procede sulla stessa linea. Se n′(I) e il numero dimolecole assorbite per unita di superficie, allora il numero di embrioni critici e :
n(r∗) = n′(I) exp(−∆G∗
kB T
)
. (3.21)
e varra una equazione analoga alla (3.12). Si puo poi desumere la soprassaturazionenecessaria per ottenere un fissato J in funzione dell’angolo di contatto come mostratoin fig. 3.7.
3.3.3 Nucleazione da particelle insolubili
Si puo estendere quanto detto or ora allorche a fare da substrato non sia piu unasuperficie ma una particella insolubile, estranea, di raggio rp. Il discorso e analogo aquello delle superfici, ma la geometria e molto piu complicata. Si trova:
∆G∗ =16πσ3
LV
3 [nLkBT log (e/es(∞))]2f(m, Y) (3.22)
dove
x =rp
r∗=rp nL kBT log (e/es(∞))
2σLV(3.23)
3.3. NUCLEAZIONE ETEROGENEA 123
Figura 3.8: Rapporto di saturazione critico per nucleazione di una goccia d’acqua suuna particella di raggio dato e con proprieta di superficie definite da differenti valoridi m.
mentre f e una funzione complicata di x e di m. La soprassaturazione dipende da cos Φe dal raggio rp della particella estranea; come si vede in fig. 3.8 rapporti di saturazionecritici per la nucleazione sono notevolmente piu bassi che nel caso omogeneo e possonovenire raggiunti anche in atmosfera.
3.3.4 Nucleazione da particelle solubili
Se il nucleo di condensazione e costituito da un materiale solubile in acqua, l’efficaciadel processo di nucleazione aumenta ulteriormente. La nucleazione da particelle sol-ubile e simile a quella da ioni; ora pero le particelle sono cosı grandi che si possonotrascurare gli effetti delle fluttuazioni statistiche e trattare le gocce da un punto di vistadi equilibrio macroscopico. La base del processo di crescita (ovvero della nucleazione)della gocciolina risiede nella legge di Raoult, ovvero nel fatto che la pressione di vaporee′ su una soluzione acquosa (costituita dal solvente acqua e da un soluto) e inferiore aquella sopra l’acqua pura e. Infatti quando del soluto viene aggiunto all’acqua alcunedelle molecole d’acqua che stavano sullo strato superficiale vengono rimpiazzate. Se lapressione di vapore del soluto e inferiore a quella dell’acqua allora la tensione di vaporesulla soluzione diminuisce proporzionalmente all’ammontare di soluto presente:
e′(r)/e(r) = e′(∞)/e(∞) = ξw =Nw
Ns + Nw(3.24)
ove ξw e la frazione molare di acqua nella soluzione. Consideriamo un nucleo di solutodi massa Ms di sostanza di peso molecolare Ms dissolta in acqua di peso molecolareMw che costituisca una goccia di soluzione di raggio r e densita ρ′. La gocciolina
124 CAPITOLO 3. LA NUCLEAZIONE
contiene Nw = (43π r3 ρ′ −Ms)/Mw moli di acqua e Ns = i Ms/Ms moli di soluto ove
si e introdotto il fattore i di van’t Hoff3 che tiene conto della dissociazione elettroliticanella soluzione. Ma allora:
ξw =Nw
Ns + Nw=
(43π r3 ρ′ −Ms)/Mw
(43π r3 ρ′ −Ms)/Mw + i Ms/Ms
Ora usando la (3.24) (che vale anche in condizioni di saturazione) e l’eq. di Kelvin(3.8) si ricava che:
e′s(r)
es(∞)=
es(r)
es(∞)
e′s(r)
es(r)=
es(r)
es(∞)ξw =
[
e2σ′
n′L
kB T r
]
1 +i Ms Mw
Ms
(
43π r3 ρ′ −Ms
)
−1
(3.25)
ove le quantita con gli apici si riferiscono alla soluzione alla concentrazione data. Nelcaso in cui Ms 4
3π r3 espandendo l’esponenziale in potenze di 1/r e usando il fatto
che (1 + x)−1 ≈ 1 − x con x piccolo si trova che il rapporto di saturazione S vale:
S ≡ e′s(r)
es(∞)' 1 +
(
2σ′
n′L kB T
)
1
r−(
i Ms Mw
4/3 π ρ′ Ms
)
1
r3≡ 1 +
a
r− b
r3(3.26)
a[cm] ' 3.3×10−5
T [K]
b[cm3] ' 4.3 i Ms
Ms
(3.27)
essendo e′s(r) la pressione di vapore di equilibrio per una goccia di soluzione di raggio re ove si sono trascurati i termini in a2/r2 e in a3/r3 perche trascurabili rispetto a quelliin a/r (che a 300K passa da 0.1 a 10−4 con r che passa da 0.01 a 10µm). Il terminein b/r3 invece viene mantenuto perche puo dare contributi rilevanti.
Un andamento tipico di questa funzione (queste sono dette curve di Kohler) emostrato in fig. 3.9. Il termine − b
r3 , detto termine di soluzione e la novita rispetto alcaso di nucleazione omogenea ed ha l’effetto di ridurre la pressione di vapore di satu-razione, dominando a raggi piccoli. Il parametro b[cm3] e direttamente proporzionalealla massa del soluto e si puo approssimare come b[cm3] ' Ms[g]/7 per l’NaCl eb[cm3] ' Ms[g]/14 per (NH4)2SO4. Siccome Ms varia su molti ordini di grandezza sipuo utilizzare l’approssimazione b[cm3] ≈Ms[g]/10.
Andando a studiare la derivata prima della (3.26) si trova che il raggio piu piccolor∗ per il quale si verifica la condensazione ad una data supersaturazione critica s∗
(raramente > 1% in atmosfera), e dato da:
r∗ =√
3ba
S∗ ≡ S(r∗) = 1 +√
4a3
27b
(3.28)
3In soluzioni estremamente diluite tale fattore coincide con il numero di ioni corrispondenti ad unamolecola di soluto (2 per NaCl, 3 per (NH4)2SO4). Per diluizioni piu moderate, quali quelle chestiamo trattando, tale coefficiente e tipicamente inferiore (e.g. 1.9 per l’NaCl, e nel range 1.9 ÷ 2.2per (NH4)2SO4.
3.3. NUCLEAZIONE ETEROGENEA 125
Figura 3.9: Curve di Kohler che mostrano la relazione tra dimensione di equilibrio esupersaturazione critica s∗ per nuclei di solfato di ammonio di diversa massa Ms. Peruna data s∗, le particelle con una massa maggiore della massa critica possono crescere,mentre quelle piu piccole rimangono gocce piccole.
e invertendo le (3.28) si trova:
a = 32s∗ r∗
b = 12s∗ (r∗)3 = 3 a (r∗)2 s∗ ≡ S∗ − 1 (3.29)
In fig. 3.9 la retta parallela alle ascisse S = S, corrispondente al particolare valore S diS, individua le particelle che tendono a crescere (quelle i cui raggi hanno valori S minoridi S) e quelle che tendono ad evaporare (quelle i cui raggi hanno valori S maggiori di S).Cosı gocce di soluzione molto piccole sono in equilibrio con il vapore ad umidita relativeanche inferiori al 100% a differenza di quello che succedeva per nucleazione omogenea.Si parla in tal caso di “haze particles” cioe di particelle di foschia. Se l’umidita relativaaumenta leggermente anche la goccia crescera leggermente sino a raggiungere un nuovostato di equilibrio. Questo processo di crescita dell’umidita relativa che permette allagocciolina di crescere in condizioni di equilibrio puo procedere sino a umidita relative del100% e leggermente superiori (il vantaggio della nucleazione eterogenea viene appuntoda questo poter avvenire gradualmente e non “di botto” come quella omogenea). Nonappena pero l’umidita supera il valore di saturazione critica, S∗, la goccia cresceraoltre r∗ senza bisogno che il rapporto di saturazione cresca ulteriormente: il vaporediffondera naturalmente sulla goccia. Mentre al di sotto di r∗ la goccia e in equilibrio
126 CAPITOLO 3. LA NUCLEAZIONE
stabile4 al di sopra di r∗ l’equilibrio e instabile.
La crescita non continua indefinitivamente perche in ogni nube vi sono tante gocceche competono per il vapore disponibile e tendono ad abbassare la supersaturazioneuna volta che la velocita di condensazione supera quella di produzione della super-saturazione. Dopo la nucleazione la velocita di crescita e rapida: come vedremo alcap. 8 per le particelle piu piccole, in pochi decimi di secondo il processo e completoconsentendo una separazione tra il nucleo e le particelle non attive.
3.4 Camere di sovrassaturazione
Nello studio di nucleazione eterogenea della fase liquida vengono utilizzate molto spessocamere per stabilire un ambiente sperimentale con un livello di supersaturazione bennoto e aggiustabile. Ne discutiamo qui di seguito due tipi particolarmente usati: lacamera a gradiente termico e a gradiente chimico.
3.4.1 Camere a gradiente termico
In questo tipo di camere la soprassaturazione e prodotta in maniera diversa dall’es-pansione, mantenendo la superficie superiore satura a temperatura T2 e quella inferioresatura a T1 con T2 > T1 (vedi fig. 3.10). Sia questa che quella a gradiente chimico sononate prima per lo studio della traccie ionizzanti dei raggi cosmici e solo recentementesono passate alla fisica delle nubi.
T2
T1
H
x
Figura 3.10: Camera a diffusione di gradiente termico.
Il vapore e distribuito attraverso la camera per mescolamento e diffusione e, se nonc’e perdita di calore dalle pareti, la pressione di vapore di una data porzione di aria ein diretta relazione con la temperatura.
Ma la pressione di vapore sull’acqua non e linearmente proporzionale alla tempera-tura; cosı il mescolamento e la diffusione portano a condizioni di soprassaturazione.
4Infatti goccioline piu grandi sono in equilibrio con valori di S piu grandi, quindi tendono a evap-orare, goccioline piu piccole tendono a far condensare vapore essendo in equilibrio con rapporti S piupiccoli. Quindi, per un fissato S, uno spettro disperso attorno al valore di equilibrio tende a converegertutto verso quel valore.
3.4. CAMERE DI SOVRASSATURAZIONE 127
19 20 21 22 23 24 25 26 27 2820
22
24
26
28
30
32
34
36
T (C)
es (
mb)
Saturazione entro una camera a gradiente termico
19 20 21 22 23 24 25 26 27 280
0.5
1
1.5
2
2.5
3
T (C)
s(%
)
Supersaturazione in una camera a gradiente termico
Figura 3.11: Sinistra: andamento della tensione di vapore all’interno di una cameraa gradiente termico (linea puntinata) e della tensione di vapore di saturazione nell’in-tervallo di T = 20 ÷ 26 C. Destra: andamento della supersaturazione nella cameranell’intervallo 20 ÷ 26 C. Come si vede vi e un massimo attorno al valore T = T1+T2
2.
Il vapore nella camera deve avere in tutti i punti i valori di e e di T sulla lineatratteggiata: la pressione di vapore dell’acqua a temperatura T e pero e′ e la sopras-saturazione che ne risulta e s = (e − e′)/e′ (vedi fig. 3.11-sinistra). Questa ha unmassimo a (T2 −T1)/2 e, se c’e convenzione nella camera, ci si aspetta che tutte le par-ticelle siano in presenza di questa soprassaturazione in qualche istante. In figura 3.11-destra e mostrata la soprassaturazione come funzione della differenza di temperaturatra coperchio e fondo della camera.
Un contatore cosı fatto ha il vantaggio che le sua soprassaturazione e costante; epoi di uso piu conveniente alle basse soprassaturazioni (da 0.1 fino a pochi %) ove lecamere a espansione sono in difetto.
3.4.2 Camere a gradiente chimico
Vollrath ha costruito una camera simile alla precedente con acqua sul coperchio e HClconcentrato sul fondo, tutti alla stessa temperatura. Il processo per cui si stabiliscesoprassaturazione e prodotto in maniera simile a quello del gradiente termico. E’ basatosulla non linearita delle curve della pressione di vapore, questa volta come funzione dellacomposizione piuttosto che della temperatura. Le componenti che diffondono sono due:vapore e HCl. In una particella d’aria la concentrazione di vapore acqueo e funzionelineare della concentrazione di HCl, mentre la pressione di vapore di equilibrio nellasoluzione non e funzione lineare della concentrazione, perche il fattore di Van’t Hoffnon e costante. Cosı si forma una soprassaturazione che dipende dalla concentrazionedell’acido.
128 CAPITOLO 3. LA NUCLEAZIONE
Due obiezioni al metodo.
1. Nella teoria della nucleazione si e visto che la velocita di nucleazione dipendefortemente dalla tensione superficiale; tuttavia nelle concentrazioni la variazionedella tensione superficiale del sistema HCl - acqua e trascurabile.
2. Ci possono essere reazioni chimiche che alterano l’efficienza dei nuclei. Il discor-so della bassa concentrazione porta ad escludere il fatto che reazioni chimichealterino l’efficienza dei nuclei.
Twomey ha confrontato i conteggi con quelli di una camera a espansione, trovando ac-cordo anche a concentrazioni elevate di HCl. Questo comporta che gli effetti collateralinon sono importanti.
3.5 Nucleazione della fase ghiaccio
Quando una nube si estende ove T < 0 C si possono formare cristalli di ghiaccio oper deposizione di vapore o per congelamento di goccioline d’acqua.
3.5.1 Nucleazione omogenea
Il congelamento di una gocciolina d’acqua si verifica quando le fluttuazioni statistichedelle molecole d’acqua producono un struttura cristallina stabile che possa fungere danucleo di ghiacciamento. Due condizioni determinano le condizioni per la nucleazioneomogenea di ghiacciamento:
1. le dimensioni del nucleo stabile;
2. la probabilita che si produca un nucleo embrionico di ghiacciamento per riarran-giamento delle molecole d’acqua.
Ambedue queste grandezze dipendono dalla energia libera di superficie dell’interfaccialiquido/cristallo (che e dell’ordine di 2×10−2 N/m), l’analogo della tensione superficialeliquido-vapore. Si predice cosı che goccioline piu piccole di 5 µm ghiacciano spontanea-mente a T ≈ −40C. Cio significa che ogniqualvolta la temperatura della nube e piufredda di −40C (ed in natura si puo arrivare sino a −80C) qualsiasi gocciolina chesia presente ghiaccia istantaneamente per nucleazione omogenea. Ecco perche per nubipiu fredde di −40C si parla di nubi ghiacciate. Nelle nubi naturali pero, quantunquenon sia inusuale trovare goccioline liquide5 in nubi sino a T ≈ −20C, solamente moltoraramente se ne trovano a T ≈ −40C il che significa che devono essere attivi meccan-ismi di nucleazione eterogenea. D’altro canto la presenza di ghiaccio e improbabile senon in nubi la cui sommita traggiunge temperature inferiori a −5C.
5Questo va contro il senso comune che ci sia ghiacciamento appena superata la soglia di 0C, mala nostra esperienza e basata sul ghiacciamento della cosı detta bulk water.
3.5. NUCLEAZIONE DELLA FASE GHIACCIO 129
La stessa deposizione omogenea (ovvero la formazione di un embrione di ghiacciostabile a partire da molecole di vapore) si verifica solo per supersaturazioni rispetto alghiaccio gia superiori al 2000% pochi gradi sotto 0C e ancora piu estreme scendendocon la T . Pertanto tale tipo di nucleazione non puo certo verificarsi in natura.
3.5.2 Nucleazione eterogenea
La nucleazione della fase ghiaccio in acqua sopraffusa o in ambiente sovrassaturo e quin-di facilitata da superfici o particelle estranee chiamati nuclei di ghiacciamento. Comeper la nucleazione di goccioline d’acqua infatti la superficie esterna sulla quale nucleail ghiaccio riduce le dimensioni critiche che devono essere raggiunte dall’aggregazionecasuale di molecole. Ora pero vi e una difficolta aggiuntiva visto che le molecole dellafase ghiaccio sono organizzate in una struttura molto ordinata cristallina. Ecco percheper consentire la formazione di una superficie di interfaccia tra l’embrione di ghiaccio ela sostanza esterna e necessario che quest’ultima abbia essa stessa una struttura similea quella del ghiaccio (ecco perche il ghiaccio stesso e la miglior particella nucleante,seguita da alcuni minerali di argilla quali la caolite e da alcuni batteri). Si possonoindividuare diversi meccanismi di nucleazione in nube:
• deposizione diretta sulla particella di aerosol; in questo caso si parla di nucleo disublimazione o di deposizione. Si parla in tal caso di “nucleation or sublimationnucleus”;
• ghiacciamento di una gocciolina sopraffusa; costituisce probabilmente il mecca-nismo principale per la formazione di ghiaccio in nube. Due sono i meccanismiprincipali che portano al ghiacciamento delle goccioline:
1. condensazione/immersione seguita da ghiacciamento: la particella di aerosolpuo essere contenuta all’interno della gocciolina o perche ha fatto la conden-sazione liquida oppure perche e entrata nella gocciolina per altri meccanis-mi. Per un abbassamento successivo della T la particella all’interno causaghiacciamento;
2. ghiacciamento per contatto: in tal caso una particella estranea per qualchemotivo (ad esempio per forze foretiche) entra in contatto con una gocciolinasopraffusa provocando il ghiacciamento. Si parla in tal caso di “contactnucleus”.
La probabilita di avere ghiacciamento decresce al decrescere delle dimensioni dellagocciolina; pertanto molto spesso l’esistenza di piccolo cristallini (di raggi inferiori ai50µm) si deve per lo piu alla nucleazione da vapore.
Un tipico esempio di nucleazione eterogene viene fornito dai “contrails” cioe conden-sation trails, le tipiche scie di cristallini di ghiaccio lasciate dagli aerei al loro passaggio,che possono persistere per varie ore. Si formano perche il gas di scarico che viene dallacombustione dell’idrogeno e caldo e umido; appena uscito il gas di scarico si raffredda
130 CAPITOLO 3. LA NUCLEAZIONE
rapidamente per mixing con l’ambiente (tale processo si verifica in qualche secondo:ecco il perche il contrail si presenta con un gap di 50, 100 m dietro all’aereo), e va aformare i contrails. Questi persisteranno tanto piu a lungo quanto piu l’aria e saturarispetto al ghiaccio.
3.5.3 Studi sperimentali della nucleazione della fase ghiaccio
In camere ad espansione si possono fare misure per determinare quanti nuclei di ghi-acciamento possono essere attivati abbassando la temperatura. Queste misure gen-eralmente non distinguono tra nucleazione per condensazione, immersione, contatto odeposizione, ne indicano l’effetto di variazioni dell’umidita. Tuttavia si osserva sper-imentalmente che il numero di nuclei di ghiacciamento Nice per litro d’aria aumentaesponenzialmente al decrescere della temperatura secondo la formula empirica:
lnNice = aice(253 K − T ) (3.30)
ove aIce varia da zona a zona nel range 0.3 ÷ 0.8. Si noti che in accordo con la (3.30),indipendnetemente da aice a −20 C vi e solo un nucleo di ghiacciamento per litro.Con aice = 0.6 per una diminuzione di 4 C , Nice aumenta approssimativamente di unfattore dieci.
3.6 Complementi
3.6.1 Tensione superficiale
Nelle nubi le fasi solide e liquide dell’acqua sono altamente disperse, con rapportisuperficie/volumi molto alti. Cio signfica che l’aprrossimazione a strati, la descrizionecioe della cosidetta “bulk phase” va ampliata. Diverse fasi a contatto sono generalmenteseparate da una regione di transizione molto sottile, spessa solo poche molecole. Eragionevole pertanto pensare a tale interfaccia come ad una superficie geometrica ameno che le bulk phases non siano anch’esse di spessore microscopico.
In completa analogia al contributo −pdV all’energia interna dovuto al lavoro delleforze di pressione per aumentare il volume si puo introdurre un contributo σdA, doveA denota l’area della superficie di separazione e σ e una variabile termodinamica inten-siva detta tensione superficiale (dimensionalmente una energia per unita di superficiemisurabile quindi in J/m2 o in N/m nel sistema MKS), che esprime l’incremento del-l’energia interna per effetto di un incremento dA della superficie. Questo incrementosi spiega molto agevolmente in una goccia d’acqua: le molecole all’interno si trovanoin un campo di forze attrattivo ma simmetrico (e quindi la forza netta e nulla) mentrele molecole sulla superficie risentono di una forza netta attrattiva verso l’interno ed epertanto necessario del lavoro per aumentare la superficie.
Le proprieta termodinamiche della superficie sono cosı peculiari che e opportunoconsiderarla come una fase distinta con la propria entropia Φ(σ), numero di moli del
3.6. COMPLEMENTI 131
componente k−esimo n(σ)k , etc. L’analoga della (1.39) per la sola fase di superficie
diventa:
dU (σ) = T (σ)dΦ(σ) + σdA+c∑
k=1
µ(σ)k dn
(σ)k (3.31)
3.6.2 Condizioni di equilibrio: la formula di Laplace
Ragionimo come nel caso di equilibrio tra una fase (1) e una fase (2), includendo oraanche la fase “superficie che separa (1) e (2)” (=fase (σ). Le avriabili estensive delproblema ora saranno V = V (1) +V (2), Φ = Φ(1) +Φ(2) +Φ(σ), A, nk ed anche l’energiainterna avra un contributo aggiuntivo dato dalla (3.31); la condizione di equilibrio (1.38va modificata nella:
(δ U)Φ, V, A, nk≥ 0 (3.32)
che diventa:
δ U = T (1)δΦ(1) + T (2)δΦ(2) + T (σ)δΦ(σ) − p(1)δV (1) − p(2)δV (2) + σdA
+c∑
k=1
µ(1)k δn
(1)k +
c∑
k=1
µ(2)k δn
(2)k +
c∑
k=1
µ(σ)k δn
(σ)k ≥ 0 (3.33)
ove la condizione di isolamento del sistema complessivo porge:
Possiamo ora supporre che la phase (2) sia una sfera di raggio r, cosı che dA = 8πrdr =
24πr2drr
= 2dV (2)
r, imporre che le variazioni δΦ(1) = 0 e δn
(1)k = 0 siano nulle di modo
che la (3.33) diventa:
δ U =(
T (2) − T (σ))
δΦ(2) +(
p(1) − p(2) +2σ
r
)
δV (2) +(
δn(2)k − n
(σ)k
)
δn(2)k ≥ 0 (3.34)
Al solito le variazioni δΦ(2), δV (2) e δn(2)k sono arbitarie e pososono essere messe alterna-
tivamente a zero. Accanto alle relazioni di equilibrio termico e chimico che rimangonoidentiche al caso di assenza di interfaccia (vedi eqs. 1.42-1.43) l’equazione di equilibriomeccanico ha ora una nuova forma:
p(2) − p(1) =2σ
r(3.35)
La pressione non e piu uguale nelle due fasi ma e maggiore sul lato concavo dell’inter-faccia ove il raggio di curvatura e positivo.
132 CAPITOLO 3. LA NUCLEAZIONE
3.7 Esercizi
1. In un contatore di nuclei di Aitken, un campione di aria viene portato dentro aduna camera, umidificata e improvvisamente viene espanso. L’espansione crea unvalore molto alto di supersaturazione, attivando tutti i nuclei che hanno sogliadi attivazione al di sotto di tale valore. Supponendo che l’aria sia inizialmentesatura alla temperatura T0 e venga espansa adiabaticamente ad un volume Ω voltequello iniziale e trascurando ogni condensazione durante il processo di espansione,trovare la supersaturazione come funzione di T0 e del rapporto di espansione Ω.Quanto vale la supersaturazione per T0 = 15 C e Ω = 1.2?
Dalle leggi di Poisson (nelle quali possiamo usare gli stessi parametri che per ariasecca) si ha:
Tf
T0=(
1
Ω
)0.4
= 0.93
mentrepf
pi=(
1
Ω
)1.4
= 0.775
Ma ef = eipf
piquindi, essendo ei = Ae
− BT0 la saturazione vale:
S =ef
es(Tf )=pf
pi
Ae− B
T0
Ae− B
Tf
=(
1
Ω
)1.4
e− B
T0(Ω0.4−1).
Per ricavare la supersaturazione bastera calcolare (S − 1) × 100%. Nel casoparticolare analizzato inserendo i valori numerici e ricordando che B = 5420 Ksi trova S = 3.2 e quindi una supersaturazione del 220%.
2. Camere a diffusione di gradiente termico (vedi fig. 3.10) vengono utilizzate perstabilire un ambiente sperimentale con un livello di supersaturazione ben notoe aggiustabile nello studio di nucleazione eterogenea della fase liquida. In talicamere la superficie superiore viene mantenuta satura a temperatura T2 quellainferiore satura a T1 con T2 > T1.
La differenza di temperatura tra le due superfici e T2 − T1 mentre quella delledensita di vapore e ρv(T2) − ρv(T1) = ρs
v(T2) − ρsv(T1); in condizioni stazionarie
calore e vapore fluiscono dalla superficie calda a quella piu fredda e i profili ditemperatura e di densita di vapore sono lineari, cioe i rispettivi gradienti sonocostanti per 0 < x < H.
(a) Provare che alla posizione x la camera e supersaturata.
(b) Provare che se la differenza di temperatura e piccola (T2 − T1 T1), lasupersaturazione massima e collocata approssimativamente nel mezzo.
(c) Assumendo T1 = 273K, trovare la supersaturazione massima al variare diT2 tra 273 e 283 K.
3.7. ESERCIZI 133
Utilizzando il fatto che il gradiente di vapore e costante, la densita di vapore allatemperatura T vale:
ρv(T ) = ρv(T1) +(
T − T1
T2 − T1
)
[ρv(T2) − ρv(T1)]
mentre, alla stessa temperatura, la densita di vapore di saturazione vale:
ρsatv (T ) =
Ae−BT
RvT.
Si tratta di due funzioni della temperatura che per costruzione coincidono perT = T1 e per T = T2. Ora mentre la prima funzione e proprio la retta che uniscei due punti (T1, ρv(T1)) e (T2, ρv(T2)) la seconda invece pur passando per questidue punti e una funzione concava (lo si puo vedere calcolando la derivata secondaoppure guardando la fig. 3.11 (sinistra)), e quindi per definizione sta al di sottodella retta. Ma allora per tutti gli stati con 0 < x < H la densita di vapore emaggiore della densita di saturazione e quindi la camera e supersatura.
Passando esplicitamente al calcolo della saturazione si ha:
S =ρv(T )
ρsatv (T )
=Ae
− BT1 + A
(
T−T1
T2−T1
)
[
e− B
T2 − e− B
T1
]
Ae−BT
=
1 +(
T−T1
T2−T1
)
[
eB
(
1T1
− 1T2
)
− 1
]
e−B
(
1T− 1
T1
) ; (3.36)
se e T2−T1
T1 T2
B(B = 5420K) allora si possono sviluppare tutti gli esponenziali
al primo termine e si trova:
S '1 +B T−T1
T1T2
1 +B T−T1
TT1
'(
1 +BT − T1
T1T2
)(
1 −BT − T1
TT1
)
' 1 +BT − T1
T1
(
1
T2− 1
T
)
.
Studiando la derivata di quest’ultima espressione si trova subito che vi e unmassimo con T =
√T1T2 come si vede anche nella figura di destra della fig. 3.11.
3. Calcolare l’umidita relativa adiacente ad una goccia di acqua pura di raggio 0.2µm se la temperatura e di 0 C. (L’energia di interfaccia dell’acqua a 0 C e0.076 J/m2 e la densita numerica di molecole nell’acqua6 e di 3.3 × 1028 m−3)
essendo 18 il peso molecolare dell’acqua e NA il numero di Avogadro.
134 CAPITOLO 3. LA NUCLEAZIONE
10−3
10−2
10−1
100
0
1
2
3
4
5
6
7
r [µm]
e s(r)/
e s(∞)
water T=0° C
water T=−20° Cwater linear approx
ice T=0° C
ice T=−20° C
Figura 3.12: Andamento del rapporto di saturazione es(r)es(∞)
per una goccia di raggio ra 0C, a −20C per acqua e ghiaccio.
Dalla formula di Kelvin si trova:
es(0.2 µm)
es(∞)= e
2 σnL kB T r = e
2× 0.076
3.3×1028×1.38×10−23× 273× 0.2×10−6 = 1.006
cioe una umidita relativa del 100.6%. In buona approssimazione, essendo l’argo-mento dell’esponenziale piccolo, vale pertanto la relazione:
es(r)
es(∞)= 1 +
a
ra =
2 σ
nL k T' 3.3 × 10−5
T [K][cm]. (3.37)
Si noti che per valori caratteristici di T , a = 10−7 cm = 10−3µm; cio significa chees(r = 1 µm) ≈ 1.001es(∞), es(r = 0.1 µm) ≈ 1.01es(∞), es(r = 0.01 µm) ≈1.1 es(∞). In fig. 3.12 plottiamo l’andamento di es(r) a T = 0C.
Si noti che tracciando una retta parallela all’asse delle x si individua un raggiocritico: gocce, costituite da collisioni random di molecole d’acqua con r > rc
tenderanno a crescere in quanto in tal caso e − es(r) > 0; viceversa se r < rc.Cosı per s = 1% (S = 1.01) si trova rc = 0.121 µm: gocce con raggi inferiori a0.121 µm tenderanno a evaporare.
4. La tensione superficiale
Nel range di temperature da -20 C a 20 C i dati di laboratorio dicono che latensione superficiale varia in modo inversamente proporzionale alla temperatura.Questo andamento si spiega tenendo conto degli effetti di agitazione termica: seaumenta l’agitazione termica diminuira il lavoro necessario a portare una molecola
3.7. ESERCIZI 135
−50 0 500.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
T [° C]
σ× 1
03 [J/m
2 ]
σLV
σSL
σSV
Figura 3.13: Tensione superficiale per le diverse interfacce della sostanza acqua infunzione della T .
dall’interno alla superficie. Una buona approssimazione dei dati e fornita dallaformula:
Determinare il raggio minimo che deve essere superato se si vuole che es(r) crescacon la temperatura.
Si ha che:es(r) = es(∞) e
2σrRvρT = A e−
BT e
2(c1T+c2)
rRvρT
tale funzione chiaramente cresce al crescere di T solo se:
2c2rRvρ
− B < 0 ⇒ r >2c2
B Rv ρ
che inserendo i valori numerici diviene r > 0.094µm. Pertanto tutte le gocce d’ac-qua embrionali soddisfano questa condizione visto che i nuclei di condensazionepiu piccoli hanno proprio queste dimensioni minimali.
5. Un microbo si trova in una goccia d’acqua di raggio r = 1 µm in atmosfera aT = 0C. A quale pressione deve resistere?
Utilizzando la formula di Laplace si avra:
pgoccia − patm =2σ
r=
2 × 0.076 N/m
10−6m' 1.5atm (3.38)
e quindi approssimativamente dovra sopportare una pressione di 2.5atm.
136 CAPITOLO 3. LA NUCLEAZIONE
6. Gocce d’acqua cominciano a formarsi su una popolazione di nuclei di conden-sazione non appena il rapporto di saturazione gradualmente aumenta, mentrela temperatura viene mantenuta costante. I nuclei hanno ugual composizionechimica ma hanno una grossa dispersione dimensionale. Quando la sovrassatu-razione raggiunge lo 0.15% (S∗
1 = 1.0015) vengono attivate particelle con raggior∗1 = 0.5µm. Determinare il valore di r∗2 corrispondente ad una sovrassaturazionedell’1% (S∗
2 = 1.01). Determinare anche la temperatura.
In caso di nucleazione eterogenea da aerosol igroscopici solubili7 vale approssi-mativamente la formula (3.26). Sostituendo i valori del problema nella (3.29) siricava:
a1 = 1.125 × 10−7 cmb1 = 0.83 × 10−16 cm3
Ora il valore di a dipende solo dalla temperatura perche tiene conto dell’effettodella curvatura (cioe esprime la crescita del rapporto di saturazione di una gocciarispetto ad una superficie piana) secondo una legge del tipo (3.27) da cui si ricavaimmediatamente che nel nostro caso
T =3.3 × 10−5
a[cm]= 293K.
Il valore di b invece dipende dal numero effettivo di ioni nucleanti. Siccome nelproblema la temperatura rimane costante, costante sara anche il valore di a (cioea1 = a2). Come si vede dalla prima delle (3.29) tenendo fisso a, cioe a T costante,sovrassaturazione e raggio critico sono inversamente proporzionali, quindi satu-razioni piu grandi generano raggi critici piu piccoli e viceversa. Risolvendo allorail sistema nelle incognite b2 e r∗2 noti a e S∗
2 = 1.01 si ricava il nuovo raggio criticopari a r∗2 = 0.075µm. Si noti che r∗2 × s∗2 = r∗1 × s∗1: sovrassaturazioni piu alteattivano raggi piu piccoli.
7. Si considerino due gocce, una formata da un nucleante di cloruro di sodio NaCl(Ms = 58.4g) l’altra da solfato di ammonio (NH4)2SO4 (Ms = 132.1g) di massapari a Ms = 10−16 g. Assumendo una temperatura di 280 K, calcolare il raggiocritico r∗ e il rapporto di saturazione critico S∗ per ciascuna goccia.
Dalla (3.27) si ricava subito che a tale temperatura a ' 1.18 × 10−3 µm. Ilparametro b invece si ricava da:
b[ µm3] ' 4.3 iMs
Ms
=
1.55 × 10−5 µm3 per NaCl (i=2);6.51 × 10−6 µm3 per (NH4)2SO4 (i=2).
; (3.39)
Corrispondentemente utilizzando le (3.28) si trova un valore di r∗ = 0.20 µm edi r∗ = 0.13 µm e di s∗ = S∗ − 1 = 0.40% e di S∗ − 1 = 0.61% rispettivamente
7Per aerosol con comportamento neutrale nei confronti dell’acqua sono richieste soprassaturazionianaloghe a quelle del caso omogeneo, per aerosol idrofobici ancora maggiori.
3.7. ESERCIZI 137
10−1
100
0.99
0.992
0.994
0.996
0.998
1
1.002
1.004
1.006
1.008
raggio (micron)
S
Rapporto di saturazione per goccie
Figura 3.14: Andamento del rapporto di saturazione per NaCl (linea continua) e(NH4)2SO4 (linea puntinata) a 280 K. La linea punto-tratteggiata corrisponde a(NH4)2SO4 ad una temperatura di 260 K.
per NaCl e (NH4)2SO4 come si puo vedere anche in fig. 3.14. Si noti che se a ecostante dalla seconda delle (3.29) segue che r∗ ∝
√b e quindi con soluti con Ms
piu grande r∗ sara piu piccolo.
Diminuendo T invece a cresce quindi, tenendo b costante (cioe con lo stesso solutoe la stessa massa di soluto) dalla (3.28) segue che r∗ decrescera e s∗ aumentera(si veda anche la linea punto-tratteggiata di fig. 3.15).
8. Una goccia di condensa viene attivata per diventare una goccia d’acqua quandoil rapporto di saturazione supera il valore critico S∗ e il raggio della goccia superail raggio critico r∗. Studiare come varia ad una fissata temperatura T = 273 Kil rapporto di saturazione al variare della massa di soluto in un range tra 10−16 ge 10−12 g.
Sempre usando la seconda delle (3.29) si capisce che r∗ ∝√b ∝ √
Ms ∝ r3/2s e
quindi aumentando la massa di soluto aumentera anche il raggio critico di atti-vazione; al solito la sovrassaturazione diminuira dovendo essere r∗ s∗ = costante.Le curve che si ottengono (fig. 3.15) hanno quindi punti di massimo a valori sem-pre piu grandi di r∗ all’aumentare diMs ma i valori di massimo per s∗ sono semprepiu bassi. Come vedremo queste considerazioni saranno di cruciale importanzaquando andremo a studiare i processi microfisici che avvengono alla base dellanube.
138 CAPITOLO 3. LA NUCLEAZIONE
10−1
100
101
0.995
1
1.005
raggio (micron)
S
Rapporto di saturazione per goccie
Figura 3.15: Andamento del rapporto di saturazione per NaCl ad una temperatura di273 K con diverse concentrazioni di massa di sale disciolto: 10−16 g (linea puntinata),10−15 g (linea continua), 10−14 g (linea con +), 10−13 g (linea punto-tratteggiata) e10−12 g (linea con ∗).
Capitolo 4
Microstruttura delle nubi
Osservando il pianeta Terra dallo spazio e evidente come le strutture nuvolose risultinouna caratteristica dominante della nostra atmosfera. Nel capitolo 3 si e visto che dueelementi essenziali per la nucleazione (primo stadio della formazione delle nubi) sonocostituiti dalla presenza di particelle nucleanti e dalle condizioni di sovrassaturazione.La condensazione si puo verificare come conseguenza di processi dinamici quali movi-menti verticali diffusi, convezione e mescolamento. Pertanto, la struttura e il tipo dinubi sono influenzati da fattori dinamici quali la stabilita, la convergenza, la presenzadi strutture cicloniche e/o frontali, la presenza di barriere orografiche. Corrisponden-temente alle strutture dinamiche si parlera di strutture nuvolose alla macroscala oscala sinottica (> 1000 km) quali corpi nuvolosi associati ai fronti e ai cicloni extra-tropicali, alla mesoscala quali la nebbia in ValPadana o nubi di origine orografiche ealla microscala (< 1 km) quali le torri dei cumuli o le microstrutture delle nubi. Lenubi peraltro non sono degli oggetti passivi nella dinamica dell’atmosfera; esse infattiinfluenzano la circolazione tramite tutta una serie di meccanismi di feedback quali ilrilascio del calore latente, la redistribuzione di acqua e vapor d’acqua, la modulazionedel transfer radiativo visibile e infrarosso. In questo capitolo vogliamo cominciare conil caratterizzare sperimentalmente le nubi lasciando ai capitoli successivi il compitodi precisare meglio i meccanismi fisici che portano alla crescita e all’interazione tra legoccioline o i cristallini di ghiaccio formatisi dopo la fase di nucleazione.
Prima del 1940 mancano osservazioni dirette della microstruttura delle nubi: daallora pero si e accumulata una grande massa di dati. Cominciamo con una rassegnadelle tecniche sperimentali per poi mostrare alcuni risultati esemplificativi.
4.1 Caratteristiche delle nubi
La classificazione piu schematica delle nubi e quella proposta da Luke Howard nel 1803e suddivide le nubi in: cumuli (nubi con sviluppo verticale), strati (nubi presenti instrati piatti), cirri (nubi fibrose alte di ghiaccio) e nimbi (nubi di pioggia).
Nonostante vi sia una grossa variabilita naturale, la microstruttura delle nubi vienedi solito controllata da poche caratteristiche ambientali dell’aria: la temperatura della
139
140 CAPITOLO 4. MICROSTRUTTURA DELLE NUBI
base della nube, il tipo e la concentrazione di nuclei di condensazione/ghiacciamento,il profilo verticale di temperatura e umidita, il forcing dinamico determinato dall’up-draft. La microstrutura della nube viene tipicamente descritta in termini di campodi temperatura, vapor d’acqua, velocita verticale, contenuto di acqua liquida, spettrodelle goccioline, distribuzione dimensionale di gocce e particelle di ghiaccio.
4.2 Distribuzioni dimensionali
Si tenga presente che una distribuzione dimensionale (SD) viene espressa da una fun-zione n(r) (si noti che dimensionalmente n(r) e L−4), definita in modo che n(r)dr e ilnumero di particelle per unita di volume con raggi1 nell’intervallo tra r e r + dr.
4.2.1 Momenti delle distribuzioni dimensionali
E utile introdurre diversi momenti delle distribuzioni dimensionali coi quali si ha spessoa che fare. La concentrazione di particelle N0 si ricava integrando su tutto lo spettrodimensionale:
N0 ≡∞∫
0
n(r)dr. (4.1)
Invece il contenuto di acqua liquida deriva da:
LWC ≡∞∫
0
4
3πρL r
3 n(r)dr. (4.2)
La riflettivita radar definita come:
Z ≡∞∫
0
D6 n(D)dD. (4.3)
L’intensita della precipitazione invece e data da:
RR ≡ 4π
3
∞∫
0
r3 n(r) u(r)dr. (4.4)
Ci sono invece diversi parametri dimensionali coi quali si puo caratterizzare unaSD:
• il raggio mediano di volume R0 che e il raggio che splitta la SD in due parti diugual volume, definito dalla condizione:
2
R0∫
0
r3 n(r) dr =
∞∫
0
r3 n(r) dr (4.5)
1Se la distribuzione dimensionale viene espressa in funzione dei diametri n(D), uguagliando n(r)dra n(D)dD si trova immediatamente che n(r) = 2n(D).
4.2. DISTRIBUZIONI DIMENSIONALI 141
che viene spesso inferito da osservazioni sperimentali;
• il raggio di massa medio Rm definito da:
Rm ≡
∞∫
0r4 n(r) dr
∞∫
0r3 n(r) dr
=〈r4〉〈r3〉 (4.6)
• il raggio efficace (o raggio di area medio) Re definito da:
Re ≡
∞∫
0r3 n(r) dr
∞∫
0r2 n(r) dr
=〈r3〉〈r2〉 (4.7)
• il raggio modale Rc, che e il raggio ove la SD ha il suo massimo assoluto.
Si noti che mediando su aree o volumi e possibile definire anche parametri per lalarghezza della SD quali:
νeff =
∞∫
0(r − Re)
2 r2 n(r) dr
∞∫
0R2
er2 n(r) dr
(4.8)
e similarmente per quantita mediate sui volumi.
4.2.2 Differenti distribuzioni dimensionali
In letteratura si trovano diverse espressioni matematiche per descrivere le distribuzionidimensionali di idrometeore (Wyser and Yang, 1998). Qui introduciamo 3 SD checoprono uno spettro molto ampio di possibilita, che dipendono in generale da 3 o piuparametri.
• Distribuzione di Hansen and Travis:
n(r) =
N02R2
1 R22
R22−R2
11/r3 per R1 ≤ r ≤ R2
0 altrove(4.9)
dove R1 e R2 sono il raggio minimo e massimo della SD; i momenti di questa SDrisultano:
〈rn〉HT =
N02R2
1 R22
R22−R2
1ln R2
R1per n = 2
n0
n−2
(
Rn−22 − Rn−2
1
)
2R21 R2
2
R22−R2
1altrove;
(4.10)
142 CAPITOLO 4. MICROSTRUTTURA DELLE NUBI
di modo che e semplice calcolare i parametri dimensionale e il LWC:
LWCHT = N08 πρ
3
R21R
22
R2 +R1(4.11)
RHT0 = RHT
m =R1 +R2
2(4.12)
RHTe =
R2 −R1
ln R2
R1
(4.13)
• funzione Gamma modificata Γ:
n(r) =γ N0 b
α+1γ
Γ(
α+1γ
) rα exp(−brγ) (4.14)
ove γ e un parameter di best fit (γ = 1 e l’usuale distribuzione gamma), b e unparametro di dimensioni tipiche mentre α controlla la larghezza. I momenti dellaΓ modificata sono dati da:
〈rn〉Γ = N01
bn/γ
Γ(
α+n+1γ
)
Γ(
α+1γ
) (4.15)
quindi:
LWCΓ = N04 πρ
3
Γ(
α+4γ
)
Γ(
α+1γ
)b−3/γ (4.16)
RΓm =
1
b1/γ
Γ(
α+5γ
)
Γ(
α+4γ
) (4.17)
RΓ0 = Rc
(
2.67γ + α + 1
α
)1/γ
=
2.67 + α+1γ
b
1/γ
(4.18)
Rc =
(
α
b γ
)1/γ
; (4.19)
• Distribuzione Log-normale:
n(r) =N0√2πσg
1
rexp
(
−(ln r − ln rg)2
2σ2g
)
(4.20)
ove rg e σg sono raggi caratteristici e varianze della SD. Si noti che per questaSD:
〈rn〉LN = rng e
(
n2σ2g
2
)
(4.21)
4.2. DISTRIBUZIONI DIMENSIONALI 143
Tabella 4.1: Parametri della distribuzione Γ modificata per alcune nubi.
Stratocum.2 Water at 0 0C 6.98 6.914 0.5 0.754 100 12.5 10 15
Distribuzione di Marshall & Palmer
La pu famosa tra le distribuzioni dimensionali per le gocce di pioggia e costituita dallaMarshall & Palmer, per la quale:
n(r) = N r0 e
−Λrr
N r0 = 16 × 103 m−3 mm−1
Λr[mm−1] = 8.2/(RR[mm/hr])0.21 (4.25)
La distribuzione dimensionale delle gocce di pioggia pero varia sensibilmente sia daluogo a luogo sia da evento a evento, sia temporalmente per lo stesso evento. Altredistribuzioni esponenziali famose sono quella per “thunderstorm” con N r
0 = 2.8 ×103 m−3 mm−1, Λr[mm
−1] = 6/(RR[mm/hr])0.21 (che favorisce gocce grandi) e quellaper “drizzle” con N r
In fig. 4.1 ad esempio viene mostrato il contenuto di acqua liquida e la velocita verticalevolando con un aereo alla velocita di 70 m/s all’interno di un cumulo (con la tipicaforma di cavolo, base a 3.8 km T = 1.2 C e p = 635.5hPa) ad una altezza di 4.58 km.
4.2. DISTRIBUZIONI DIMENSIONALI 145
Figura 4.1: Misure di contenuto di acqua liquida e velocita verticale entro una nubead una altezza di 4.58 km.
Figura 4.2: Massimo e valor medio del contenuto di acqua liquida in funzionedell’altezza al di sopra della base della nube.
Si puo osservare la grossa variabilita sulla piccola scala ed il fatto che alti contenutidi acqua liquida sono associati ad alti updraft. Down draft sono comunque presenti,specie ai bordi della nube. La struttura verticale del contenuto di acqua liquida (ivalori sono acquisiti mediando su 0.5 s ovvero su 35 m) viene illustrata in fig 4.2. Ilcontenuto di acqua liquida medio aumenta con l’altezza, ma e tipicamente la meta delcontenuto di acqua liquida che sarebbe atteso nel caso adiabatico. I valori massimisono invece prossimi a quelli adiabatici. Cio significa che nella nube ci sono solo deipacchetti adiabatici mentre la gran parte della nube e caratterizzata da contenuti diacqua liquida significativamente piu piccoli (il mixing con aria ambientale secca deveessere consistente!!).
Lo sviluppo verticale della distribuzione dimensionale delle goccioline d’acqua conuna risoluzione di 2 µm viene mostrata in fig. 4.3 insieme con la concentrazione e ildiametro medio. In questo esempio si noti la crescita del diametro medio da 7−9 µm infondo a 13−14 µm in cima alla nube e la corrispondente diminuzione di concentrazione.
146 CAPITOLO 4. MICROSTRUTTURA DELLE NUBI
Figura 4.3: Variazione con l’altezza della concentrazione e della dimensione media dellegoccioline. Lo spettro dimensionale viene mostrato sulla destra.
Questo sembra suggerire che parte delle goccioline, possano avere colliso e costituitomeno gocce piu grandi.
4.2.4 Nubi calde/fredde, continentali/marittime
Le diverse concentrazioni di nuclei di condensazione che caratterizza aria marittimae aria continentale si ripercuote in diversi spettri dimensionali per nubi marittime econtinentali come si puo vedere in fig. 4.4. Nubi continentali hanno una maggior concen-trazione di goccioline piu piccole con uno spettro dimensionale ristretto; nubi marittimehanno invece uno spettro dimensionale piu allargato con minor concentrazioni ma an-che gocce piu grandi. Questo e dovuto al fatto che nel caso continentale, essendoci piunuclei di condensazione, piu goccioline competono per il vapore disponibile, e di con-seguenza sono piu piccole. Il contenuto di acqua liquida di nubi continentali e marittimerisulta invece molto simile. Si noti che la distribuzione dimensionale delle gocciolinecambia nel tempo: man man che la nube matura lo spettro tende ad allargarsi comeconseguenza di processi quali collisioni, coalescenze, condensazione, evaporazione, ef-fetti di turbolenza e di mixing. Tutti questi processi saranno materia dei prossimicapitoli.
4.3 Tipologie di nubi
• stratocumuli marini non precipitanti: crescita monotona del re dal bottom al topdella nube; re = 3 ÷ 30 µm, σ = 0.2 ÷ 0.6, LWC ≤ 0.5g/m3;
4.4. MODELLI MICROFISICI 147
Figura 4.4: Spettro dimensionale per cumuli marittimi al di sopra delle Hawaii (sinistra)e continentali al di sopra delle montagne vicino a Sidney.
• nebbie:dimensioni tipiche di qualche micron, concentrazioni N0 = 1 ÷ 100/cm3;
• cirri: da pochi a 1000 µm, N0 = 10 ÷ 50/l, IWC = 10−3 ÷ 0.25g/m3;
• cumuli: N0 = 10÷ 800/cm3 (quelli continentali dell’ordine delle centinaia, quellimarittimi delle decine), LWC fino a qualche g/m3, diametri fino a qualche decinadi µm;
4.4 Modelli microfisici
Come vedremo in seguito i processi microfisici fondamentali che si verificano dentrouna nube vanno dalla nucleazione alla diffusione di vapore, alla collezione, alla rotturadelle gocce in caduta, alla ricaduta, al cosı detto “ice enhancement”, allo scioglimentodelle idrometeore. In generale le varie idrometeore d’acqua e di ghiaccio coesistonoe interagiscono all’interno della nube in modi molto complessi interessa descrivere ilcomportamento generale della nube. Per far cio tipicamente si raggruppano le diverseforme della sostanza acqua in diverse categorie:
1. vapor d’acqua;
2. particelle di acqua liquida di nube tipicamente di pochi µm, che hanno veloc-ita terminali trascurabili e vengono quinditrasportate dall’aria di nube ove sonosospese;
3. acqua liquida precipitabile (costituita da “drizzle” con raggi tra 0.1 e 0.25 mm epioggia con r > 0.25 mm);
4. cristalli di ghiaccio anch’essi con velocita di caduta trascurabili;
148 CAPITOLO 4. MICROSTRUTTURA DELLE NUBI
5. ghiaccio precipitabile, ovvero particelle in fase solida con velocita di caduta su-periori a ∼ 0.3 m/s. Tipicamente si suddivide tale categoria in neve, gragnuola egrandine con velocita di caduta nei range 0.3÷ 1.5 m/s, 1÷ 3 m/s, 10÷ 50 m/s.
L’evoluzione della nube viene allora descritto in termini dei contenuti delle diverseidrometeore, con le varie categorie che interagiscono nei vari processi. In generale ognisingola categoria evolvera temporalmente; l’unico vincolo e che il contenuto totale di ac-qua nelle diverse fasi si conservi. Per quel che concerne i modelli dinamici si distinguonomodelli spettrali espliciti nei quali le idrometeore sono suddivise in classi dimensionaliquali quelli sviluppati recentemente da A. Khain e quelli cosı detti “bulk” nei quali siconsiderano solo le diverse categorie. Tra i piu utilizzati fra questi ultimi il GCE (God-dard Cumulus Ensemble) sviluppato dalla NASA e l’UW −NMS (University of Wis-consin Non-Hydrostatic Modeling System). A titolo di esempio quest’ultimo assumedistribuzioni esponenziali per neve con Λsnow = 0.3 mm−1 (densita dipendente dalledimensioni), con Λgr = 2.0 mm−1 per graupel ρg = 0.6 g/cm3, con Λr = 1.852 mm−1
per rain. Goccioline di pioggia monodisperse a 20 µm, cristalli di ghiaccio con densita0.22 g/cm3 monodispersi a 230 µm.
4.5 Esercizi
• L’aria di una nuvola consiste di aria secca, vapor d’acqua e gocce di nube. In unanube particolare vi sono N = 200gocce/cm3, tutte di raggio 10µm a temperaturadi 10C e pressione 800mb. Calcolare:
1. La massa di acqua liquida per unita di volume.
Si ha immediatamente:
LWC = ρL N4
3π r3 = 0.848g/m3.
2. La massa di vapor d’acqua per unita di volume.
In una nube la pressione di vapore sara leggermente superiore a quella disaturazione. In pratica si puo assumere e = es (T = 10C) = 12.28mb. Maallora la densita di vapore sara:
ρv =e
RvT=
1228
461.5 × 283.15= 9.4 g/m3.
3. La massa di aria secca per unita di volume.
La densita di aria secca sara:
ρd =p− e
RdT=
80000 − 1228
287.05 × 283.15= 0.97 kg/m3.
4.5. ESERCIZI 149
4. La distanza media tra le gocce.
In media si trova una goccia in un volume pari a V = 1N
= 5×10−3 cm3, cui
corrisponde un raggio r =(
3V4π
)1/3= 0.106 cm. Ma allora la distanza media
tra due molecole e proprio pari a d = 2r = 0.21 cm.
• Per una distribuzione dimensionale di tipo esponenziale dimostrare2 che il raggiomediano e rm = ln 2
Λr. Calcolare anche il raggio medio r, il raggio volumetrico
medio e il raggio mediano di volume r0, ovvero quello che divide la SD in dueregioni di ugual volume.
• La distribuzione dimensionale di goccioline in nube sia della forma:
n(r) = Ar2 exp(−Br)
Esprimere A e B in funzione della concentrazione N0 e del raggio medio r oppurein funzione di N0 e del LWC.
• Un aereo effettua misure microfisiche entro un cumulo isolato utilizzando unospettrometro che ha una sezione efficace di 20 cm2. L’aereo, che viaggia a80 m/s attraversa la nube in 2 min. Assumendo che la nube abbia forma cilin-drica con uno sviluppo verticale di 4 km calcolare la frazione di volume di nubeeffettivamente campionata.
• Determinare per una distribuzione di Marshall & Palmer della forma (4.25) unlegame tra LWC e RR. Quale deve essere la parametrizzazione della velocitadelle gocce nella forma v(D) = C1 D
x affinche valga la parametrizzazione di Λcontenuta nella (4.25)?
Utilizzando la definizione di LWC (4.2) si ottiene subito che per una distribuzioneesponenziale:
LWC =4
3πρLN
r0
Γ(4)
Λ4r
= 8πρLN r
0
Λ4r
= πρLNd
0
Λ4d
(4.27)
ed utilizzando il legame tra Λr e RR valido per la M&P si trova infine:
LWC[g/m3] = 8πρLN r
0
8.24RR0.84 = 0.0889 RR0.84 (4.28)
o equivalentemente RR[mm/hr] = 17.83LWC[g/m3]1.19.
La risposta alla seconda parte segue imponendo che sia 1/(4 + x) = 0.21 da cuix = 0.76.
2In tutte le integrazioni con funzioni Γ risulta di particolare aiuto la formula:
∫
∞
0
rαe−Λrdr =Γ(α + 1)
Λα+1. (4.26)
150 CAPITOLO 4. MICROSTRUTTURA DELLE NUBI
• Ripetere il problema precedente utilizzando semplicemente una distribuzioneesponenziale utilizzando un legame della forma v(D)[m/s] = 3.78D[mm]0.67.
In questo caso la (4.27) continua a valere mentre per il RR usando la (4.4) sitrova:
RR[mm/hr] = 3.6 × 10−3 × π
6× 3.78 × Nd
0
Γ(4.67)
Λ4.67d
= 0.1053Nd
0
Λ4.67d
(4.29)
con [Nd0 ] = m−3mm−1 e [Λd] = mm−1. Infine introducendo il valore di N d
0 dellaM&P si trova:
RR[mm/h] = 19.53(LWC[g/m3])1.1675.
Capitolo 5
Fisica degli aerosol
Il termine aerosol e l’espressione scientifica per indicare quello che in genere viene de-nominato materiale particolato o polveri sottili. Abbiamo gia visto come la sua presenzain atmosfera sia determinante per la formazione delle nubi. Oltre alla microfisica dellenubi lo studio dell’aerosol e diventato pero cruciale anche in altri campi quali quelli dellafisica sanitaria ambientale (monitoraggio, caratterizzazione, modellizzazione di disper-sione in aeree urbane sono all’ordine del giorno) o quelli del trasferimento radiativo (lapresenza dell’aerosol modifica il budget radiativo terrestre).
Riguardo agli aerosol si distinguono diversi ordini di problemi: origine, produzione,distribuzione geografica, distribuzione delle dimensioni e fisica.
Tabella 5.1: Aerosol in atmosfera.
Ambito/Nomenclatura Part. di Aitken Part. grandi Part. giganti
Elettricita atmosferica Piccoli ioni Grandi ioniOttica atmosferica Part. di nebbiaFisica delle nubi Nuclei di condensazione
Chimica Aerosols a massa
5.1 Spettro
L’aerosol atmosferico e distribuito su uno spettro che si estende a quattro ordini digrandezze comprendente tutte le particelle elencate nella Tab. 5.1 con la distinzionenelle 3 categorie:
1. particelle di Aitken con raggi r < 0.1 µm;
2. particelle grandi con raggi 0.1 < r < 1.0 µm;
3. particelle giganti con raggi r > 1.0 µm.
151
152 CAPITOLO 5. FISICA DEGLI AEROSOL
Come per lo spettro delle onde elettromagnetiche, le diverse parti sono responsabilidi fenomeni diversi. Le particelle di Aitken sono importanti nell’elettricita atmosferica,agendo sulla conducibilita. Per esse e essenziale il moto di tipo browniano che porta afenomeni di aggregazione.
Le particelle grandi si manifestano in foschie vista la loro efficacia nello scatteringe nell’estinzione della luce. Moti browniani e di sedimentazione possono essere spessotrascurati.
Per la formazione delle nubi, essendo la soprassaturazione sempre piccola, solo inuclei grandi e giganti vengono attivati come nuclei di condensazione, mentre quellidi Aitken rimangono inattivi. Comunque la linea di demarcazione e sempre vaga.Pertanto per determinare le caratteristiche delle nubi sara fondamentale studiare lacomponente spettrale di aerosol al di sopra di 0.1 µm. Le particelle poi cambianodimensioni e proprieta fisiche con l’umidita e altri processi descritti al cap. 6.
5.2 Origine dell’aerosol atmosferico
L’origine puo essere molteplice: combustione, dispersione di liquidi e di solidi, reazionigas - particelle. La combustione produce particelle nell’intervallo dei raggi molto pic-coli: l’aerosol viene generato per condensazione dei vapori prodotti durante la com-bustione, oppure per frammentazione delle ceneri. La dispersione produce particellemolto grandi. Sono generatori di aerosol per dispersione tutti i processi di generazionedi aerosol marino per frammentazione di goccioline (sea-spray, break-up di goccioline)che ad esempio si verifica dove le onde si infrangono. Altra fonte di aerosol e l’ero-sione del suolo da parte del vento. Si e visto che per staccare grani piccoli occorreuna componente normale del vento che stacchi i grani grossi, i quali a loro volta stac-cano i piccoli per generazione secondaria. Infine vi sono gas che, sotto l’azione dellaradiazione, producono grosse molecole, cioe particelle molto piccole.
5.3 Nuclei di Aitken
Misuriamo la concentrazione di tutti i nuclei dell’atmosfera, anche se hanno scarsaimportanza in fisica delle nubi. Come si vede in Tab. 5.2, c’e un’estrema variabilitanel numero di nuclei per cm3 nelle diverse localita ma anche nelle stesse localita alvariare del tempo. Elevati conteggi sono associati all’attivita umana e industrialementre i conteggi cadono quasi a zero in luoghi lontani dai centri urbani. Questo ein accordo con l’osservazione che la combustione produce un gran numero di piccolinuclei. Polveri e sabbie non influenzano il conteggio: consistono di concentrazioni bassedi particelle grandi che numericamente non incidono, a fianco degli elevati conteggi deinuclei piccoli.
I conteggi decrescenti con le quote sulle montagne indicano che la superficie terrestree la sorgente principale di tali nuclei. La dipendenza dalle nubi, dalle inversioni in
5.4. RIMOZIONE DI MATERIALE PARTICOLATO IN ATMOSFERA 153
Tabella 5.2: Concentrazione di aerosol sulle grandi citta, sugli oceani e in montagnaoltre i 2000m. In parentesi nella prima colonna si segnala il numero di localita diversedella medesima tipologia ove si sono effettuate osservazioni. Fra tutte le osservazioninelle diverse localita si sono poi estratte quelle che hanno dato i risultati massimi eminimi, mediandole poi sulle diverse localita.
Luogo Media Media Media Massimo Minimocm−3 massimi cm−3 minimi cm−3 ass. cm−3 ass. cm−3
quota, . . . indica che sono originati alla superficie e trasportati in quota da meccanismiconvettivi.
Le dimensioni delle particelle sono state misurate in due modi:
siccome un gran numero porta una carica elettrica singola, sono state misurate lemobilita in un campo elettrico e le dimensioni dedotte dalla legge di Stokes;
le particelle vanno a costituire goccioline d’acqua nel contatore di Aitken, che vengonopoi raccolte sulle griglie del microscopio elettronico, fatte evaporare e infine sonostate esaminate con tale strumento.
Si e trovato che tali particelle hanno dimensioni nel range 5×10−7÷2×10−5 cm e pertan-to non sono significative in atmosfera in quanto hanno dimensioni che richiederebberosupersaturazioni troppo grandi per diventare attive. A conferma, infine ricordiamo chele gocce della nube vanno da 30 a 103 particelle per cm3, mentre i nuclei di Aitkenvanno da 103 a 105 per cm3. Solo i piu attivi partecipano alla formazione delle nubi.
5.4 Rimozione di materiale particolato in atmos-
fera
Gli aerosol atmosferici sono di continuo sottoposti a trasformazioni fisiche e chimiche,che includono la coagulazione, la condensazione, lo scavenging, la sedimentazione, ladispersione, il mescolamento, . . . Tali meccanismi vengono descritti nel cap. 6.
5.5 Distribuzioni dimensionali dell’aerosol
Prima di presentare i risultati delle misure, e opportuno accennare alla rappresentazioneappropriata delle distribuzioni dimensionali dell’aerosol. In analogia a quanto si fa
154 CAPITOLO 5. FISICA DEGLI AEROSOL
Figura 5.1: Distribuzione dimensionale media di CCN in masse d’aria continentali.
anche per le idrometeore, ragionando in termini del raggio delle sfere di ugual volume, sipuo introdurre la distribuzione dimensionale n(r) (tipicamente espressa in cm−3µm−1),definita in modo che n(r)dr sia il numero di particelle per unitdi volume i cui raggisiano nell’intervallo r ÷ r + dr.
Volendo determinare la distribuzione volumetrica nV (r) bastera imporre che:
n(r) dr = nV (V )dV (5.1)
con V = 4/3πr3 di modo che:
nV (r) = nr(r)dr
dV=nr(r)
4πr2(5.2)
Un altro modo utilizzato e quello di utilizzare la distribuzione cumulativa dei raggidelle particelle:
N(r) =∫ r
0nr(r
′) dr′ (5.3)
che e connessa alla distribuzione dimensionale nr(r) dalla relazione:
nr(r) =dN(r)
dr(5.4)
5.5. DISTRIBUZIONI DIMENSIONALI DELL’AEROSOL 155
N(r) rappresenta dunque la concentrazione totale delle particelle di aerosol di raggio< r ed e tipicamente espressa in cm−3.
A motivo della grande varieta di dimensioni e concentrazioni degli aerosol e preferi-bile l’uso di scale logaritmiche. Tipicamente si definisce una funzione di distribuzionenlog(r) definita in modo che nlog(r)d(log10r) sia il numero di particelle per unita di vol-ume i cui raggi sono nell’intervallo d(log10r). In termini della distribuzione cumulativa(5.3):
nlog(r) =dN(r)
d(log10r)= r log10(e)
dN(r)
dr= r log10(e)nr(r) (5.5)
ove si e fatto uso della (5.4).
5.5.1 Distribuzioni di Junge
Le distribuzioni dimensionali nlog(r) assumono spesso la forma:
nlog(r) =C
rν(5.6)
ovvero se plottate in scala logaritmica delle linee rette di pendenza −ν. Tale formasi dice distribuzione di Junge e ν parametro di Junge; Junge ha fatto misure conimpattore a 2 stadi per particelle > 0.2 µm in Europa e in America (Stati Uniti - Est).Tipicamente nel range di diametri tra 0.1 e 10 µm ν = 3. Dalla (5.5) e chiaro che intermini della distribuzione dimensionale si ha:
nr(r) =C
log(10)rν+1(5.7)
5.5.2 Distribuzioni di superfici e volumi
E importante talora conoscere il contributo di un dato intervallo dimensionale al volumee alla massa totale. Cosı ad esempio si puo definire una distribuzione cumulativa dellesuperfici:
NS(r) =∫ r
04πr′2nr(r
′) dr′ (5.8)
e il contributo delle particelle in d(log10r) all’area superficiale e:
dNS
d(log10(r))= r log10(e)
dNS(r)
dr= 4πr2 dN
d(log10(r))= 4πr2nlog(r). (5.9)
In maniera simile la distribuzione cumulativa dei volumi:
NV (r) =∫ r
0
4
3πr′3nr(r
′) dr′ (5.10)
e il contributo delle particelle in d(log10r) al volume e:
dNV
d(log10(r))= r log10(e)
dNV (r)
dr=
4
3πr3 dN
d(log10(r))=
4
3πr3nlog(r). (5.11)
156 CAPITOLO 5. FISICA DEGLI AEROSOL
e, se ρ e la densita dell’aerosol, e chiaro come si possa passare anche alla distribuzionedelle masse in funzione di log r. Si sa poco di ρ, ma le composizioni chimiche indicanovalori da 1 a 2 g/cm3 a seconda dell’umidita relativa.
Le masse delle particelle grandi e delle giganti insieme costituiscono la maggior partedella massa degli aerosol. In termini di concentrazione invece sono essenzialmente leparticelle sotto 0.1 µm a determinare il numero di particelle per unita di volume. Poichele particelle nel range 0.1 ÷ 10 µm sono prodotte principalmente per dispersione, cheproduce una distribuzione log-normale, Junge suggerisce che la distribuzione osservatapossa essere prodotta dalla sovrapposizione di molte distribuzioni log-normali
dN(r)
d log10(r)=
m∑
i=1
ni√2πlog10σi
exp
−(
log10r
Ri
)2
2(log10σi)2
(5.12)
caratterizzate da diversi parametri ni, σi, Ri. Combinando i dati dei nuclei di Aitken,Junge e riuscito a sviluppare il modello di un aerosol continentale illustrato in fig. 5.1.I due picchi sotto 3 × 10−7 cm sono aggregati di aria e molecole di acqua su ioni, piuche vere e proprie particelle estranee.
10−3
10−2
10−1
100
101
102
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
100
102
104
106
108
radius [µm]
n(r)
[cm
−3 µm
−1 ]
backgroundcontinentaleruraleurbano
10−3
10−2
10−1
100
101
102
10−19
10−18
10−17
10−16
10−15
10−14
10−13
10−12
10−11
10−10
radius [µm]
dNV/d
log 10
(r)
[cm
3 /cm
−3 ]
backgroundcontinentaleruraleurbano
Figura 5.2: Distribuzione dimensionale e volumetrica cumulata di aersol su areecontinentali.
A titolo di esempio in fig. 5.2 mostriamo delle distribuzioni dimensionali tipicheper aerosol sopra aree continentali,ciascuna ottenuta come somma di tre distribuzionilognormali del tipo (5.12).
5.6 Composizione
La determinazione della composizione chimica di particelle grandi o giganti e stata fattadirettamente; i risultati ottenuti anche con diversi metodi sono abbastanza concordan-ti. Junge (da analisi chimiche e di diffrazione elettronica) ha concluso che le particelle
5.7. NUCLEI A BASSE SOPRASSATURAZIONI 157
grandi sono composte prevalentemente da solfati di ammonio, mentre le giganti con-tengono grandi percentuali di cloruro di sodio e possono avere origine marittima. Unmassimo per i nuclei marini e individuato sui 3 µm di diametro e, per i prodotti di com-bustione (solfato di ammonio) a 0.3 µm, anche se se ne trovano nel range 0.1÷ 10 µm.Questo conferma l’ipotesi che la distribuzione 1/r3 sia una sovrapposizione di diversedistribuzioni log-normali. Twomey ha campionato aerosol continentale e trovato parti-celle di sale di mare superiori a 1µm per centinaia di km sul continente, senza variaredi molto la concentrazione. Le precipitazioni pero le rimuovono molto efficacemente,essendo essi efficienti nuclei di condensazione.
Sono state trovate anche particelle di solfato di ammonio, carbonato di sodio eparticelle di suolo. Le analisi delle precipitazioni hanno confermato i risultati. Inoltrel’acidita dei campioni porta a ritenere presente l’acido solforico. Abbiamo quindi treprincipali componenti:
1. sale marino (> 1 µm);
2. solfati, acidi e sali (0.1 ÷ 1 µm);
3. particelle insolubili dal suolo (dipendono dal vento, etc).
I nuclei di sale marino sono predominanti in area veramente marittima, poiche lafrazione di nuclei di origine continentale e gia rimossa dalle precipitazioni. Cosı nell’areacontinentale i nuclei salini sono numericamente insignificanti rispetto a quelli prodottida altri processi. Tuttavia essi sono grandi e possono essere distinti e identificati e,come detto, una aria marittima ha nel continente la stessa concentrazione di nuclei cheha sul mare: questi nuclei hanno un ruolo importante nella formazione delle nubi enello sviluppo delle precipitazioni.
5.7 Nuclei a basse soprassaturazioni
Da quanto precede emerge chiaramente un punto: la concentrazione dei nuclei di con-densazione normalmente presenti nell’atmosfera e molto maggiore della concentrazionedelle goccioline delle nubi: quindi solo una piccola frazione di essi e interessata allaloro formazione (10 ÷ 103 e il numero di goccioline della nube).
La sola dimensione non costituisce un vero indice per l’efficienza di una paricellanucleante e, benche sia possibile porre in relazione l’attivita nucleante con le dimensioni,quando la composizione chimica e nota, e piu conveniente determinare lo spettro deinuclei in funzione della soprassaturazione. Il primo esame dello spettro dei nucleidi condensazione a basse soprassaturazioni e stato fatto solo recentemente (Wieland,1956). Wieland ha usato una versione delle camera a gradiente di temperatura, tra 0e 1% di soprassaturazione.
158 CAPITOLO 5. FISICA DEGLI AEROSOL
Figura 5.3: Sinistra: concentrazione di nuclei in masse d’aria tipiche. Le curve 5-13-15 sono con condizioni di Fohn, quella 19 per massa d’aria mescolate. Destra:concentrazione di nuclei in una massa d’aria modificata. 17=scroscio di pioggia16=discontinuita del vento.
5.7.1 Concentrazioni di nuclei in masse d’aria tipiche
Le piu prive di nuclei sono le masse d’aria da fohn che, salite sulle montagne sonostate private di nuclei dalle precipitazioni prima di scendere ai luoghi dove sono statemisurate (vedi fig. 5.3). Masse d’aria che hanno avuto lunghe traiettorie continentali(tipo la curva 19 in figura) risultano invece particolarmente ricche di nuclei.
In fig. 5.3) sono mostrati anche gli effetti di un rovescio e di una variazione delvento sullo spettro. E’ chiaro che vi sono sufficienti nuclei per formare una nube asoprassaturazioni di pochi decimi di 1%. Come si vede dalla curva 17 nel pannellodi destra il rovescio sembra aver privato la massa d’aria dei nuclei ottici attivi consupersaturazioni < 0.2%.
Twomey in Australia ha usato le camere a gradiente chimico. Le sue misure sonostate fatte a Sidney, sulla costa, ed e stato possibile definire con esattezza la carat-teristica continentale o marittima della massa d’aria (vedi fig. 5.4). L’accordo conle curve di Wieland esiste (confronto fig. 5.3-5.4) anche se queste salgono meno rap-idamente (cio puo derivare dagli inconvenienti delle camere a gradiente termico). Lemasse continentali sono molto piu ricche di nuclei attivi di quelle marittime e questo
5.8. SPETTRO DI ATTIVAZIONE 159
Figura 5.4: Concentrazione di nuclei in una massa d’aria tipica.
e in accordo col dato generale della maggiore concentrazione di goccioline nella nubicontinentali. La Terra e la maggiore sorgente di nuclei di condensazione attivi a bassesoprassaturazioni.
Le concentrazioni di aerosol sono quindi altamente variabili nello spazio e nel tempo;esse saranno comunque maggiori vicino al suolo e vicino a sorgenti quali citta, sitiindustriali, incendi e vulcani attivi. Un valore di soglia molto alto e di 105 cm−3 chee una concentrazione presente ad esempio nelle nostre citta quando si viene costrettia fermare il traffico. In termine di concentrazioni di massa persino in aria inquinata sirimane sempre al di sotto di 1000 µg/m3.
5.8 Spettro di attivazione
Una popolazione di aerosol e caratterizzata da uno spettro di attivazione, che rap-presenta il numero di particelle per unita di volume che sono attivate per diventaregoccioline (i cosiddetti CCN), ad una fissata supersaturazione. Tipicamente tale spet-tro di attivazione puo essere misurato in laboratorio per supersaturazioni s fino all’1%(che sono quelle tipiche in atmosfera) ed assume la forma:
N = C1
(
s
s0
)k
(5.13)
160 CAPITOLO 5. FISICA DEGLI AEROSOL
ove C1 e k sono parametri caratteristici della massa d’aria, s0 = 1% (s e misurato in%). Ad esempio per nubi continentali C1 = 300 ÷ 3000cm−3, k = 0.2 ÷ 2 mentre pernubi marittime C1 = 30 ÷ 300cm−3, k = 0.3 ÷ 1. Quindi C1 e un ordine di grandezzapiu grande per nubi continentali: in tali nubi ci sara una tendenza ad avere piu CCNma in generale di dimensioni piu piccole. Una volta noto lo spettro di attivazione diuna popolazione di aerosol, la concentrazione di goccioline che si verra a formare sarauna funzione della supersaturazione e quindi tipicamente della velocita dell’updraft.Le goccioline ai primi stadi di sviluppo della nube, sono cosı piccole che tipicamente iprocessi di sedimentazione e di coalescenza non sono ancora importanti: come vedremoe invece la condensazione il processo che domina il processo di crescita.
5.9 Esercizi
• Aerosols con raggi tra 1 e 20 µm sono sottoposti alla forza di drag pari a 6πµr v,con µ = 1.78 × 10−5kg/(m s) viscosita dell’aria e v velocita nel mezzo. Trascu-rando la densita dell’aria rispetto a quella dell’aerosol (ρ = 103 kg/m3) calcolarela velocita terminale vt dell’aerosol con diametri di 1 e 10 µm.
10−4
10−3
10−2
10−1
100
101
10−3
10−2
10−1
100
101
t (ms)
v (m
m/s
)
Sedimentazione di aerosol
r=0.5 µmr=5 µmr=10 µm
Figura 5.5: Andamento delle velocita per tre particelle di aerosols con diversi diametrie v0 = 0mm/s.
La legge di Newton si scrive:
mdv
dt= mg − 6πµ r v
5.9. ESERCIZI 161
che integrata da:
v(t) =
(
v0 −mg
6πµ r
)
e−6πµ r
mt +
mg
6πµ r
da cui
vt(r) ≡ v(t→ ∞) =mg
6πµ r=
2 ρ r2 g
9 µ;
e quindi vt(0.5 µm) = 3.1 × 10−5 m/s, vt(5 µm) = 3.1 × 10−3 m/s che sonocomunque molto basse.
Si noti che le costanti di tempo di rilassamento (vedi fig. 5.5) dei due processi
sono date da τr = m6πµ r
= 2ρ r2
9µ= vt
g, quindi come le velocita terminali sono
direttamente proporzionali ai quadrati dei diametri. Nei due casi si trova rispet-tivamente τr(0.5 µm) = 3.1 × 10−3 ms, τr(5 µm) = 3.1 × 10−1 ms, che sonovalori comunque molto bassi. In pratica per l’aerosol atnosferico le fasi transi-enti possono essere trascurate: gli aerosol avranno sempre le velocita di cadutaterminali.
• Una data popolazione di aerosols puo essere approssimata da una popolazione diJunge, estendendosi da 0.1 a 10 µm in diametro, cioe:
nlog(D) =
cD−3, 0.1µm ≤ D ≤ 10µm0, altrove.
ove nlog(D) = D log 10 n(D) e la distribuzione logaritmica. Se il volume totaledegli aerosols e di 10−9cm3 per cm3 di aria, determinare la densita di aerosols ela loro superficie totale in cm2/cm3. Ipotizzando poi che la velocita terminale diuna particella di aerosol possa essere data dalla formula di Stokes:
vt =ρp D
2 g
18 µ
dove ρp = 2g/cm3 e la densita della particella e µ e la viscosita dinamica dell’aria(' 1.7 × 10−5 kg/(m s) a 0 C), determinare un’espressione per la velocita disedimentazione.
Si ha che:
V =π
6
∫ Dmax
Dmin
D3 n(D) dD =π
6 log 10
∫
D2 nlog(D) dD =
V =π c
6 log 10log
(
Dmax
Dmin
)
=π c
3
da cui inserendo i dati del problema c = 0.955 × 10−9. La densita di particelle einvece:
N0 =∫ Dmax
Dmin
n(D) dD =∫ Dmax
Dmin
1
log 10Dnlog(D) dD =
c
3 log 10
(
1
D3min
− 1
D3max
)
162 CAPITOLO 5. FISICA DEGLI AEROSOL
che con i dati del problema porge: N0 = 1.38 × 105 cm−3. Per quanto concernela superficie totale invece:
S = π∫ Dmax
Dmin
D2 n(D) dD =π
log 10c∫ Dmax
Dmin
D nlog(D) dD =
S =πc
log 10
(
1
Dmin− 1
Dmax
)
= 1.29 × 10−4 cm2/cm3.
Infine la velocita di sedimentazione e invece:
vd =π
6ρp
∫ Dmax
Dmin
D3vtn(D) dD =ρ2
p g π
108 log 10 µ
∫ Dmax
Dmin
D4 nlog(D) dD
vd =cρ2
p g π
216 log 10 µ
(
D2max −D2
min
)
ed inserendo i dati del problema si trova: vd = 0.12 g/(m2 24h).
• Se il numero di CCN segue la legge (5.13) e se la distribuzione di aerosol e diJunge (5.7) qual e il legame tra k e ν?
La (5.13) ci fornisce la distribuzione cumulativa delle goccioline attivate di raggiorg. Usando la (3.29) possiamo ora scrivere:
dN
drg= −dN
ds
ds
drg= −C1 k
sk−1
sk0
(
−2
3
a
r2g
)
= C1k
sk0
(
2a
3
)k 1
rk+1g
il segno meno a secondo membro e stato imposto perche la distribuzione cumula-tiva (5.13) e fatta su goccioline da rg a +∞ e non da 0 a rg. Ora pero sappiamoche rg = Ar3/2 essendo r il raggio dell’aerosol di modo che:
dN
dr=dN
drg
drg
dr= C1
k
sk0
(
2a
3
)k 1
rk+1g
3
2Ar1/2 ∝ 1
r3/2(k+1)−1/2=
1
r3/2k+1
che confrontata con la (5.7) porge infine 3/2k = ν. Cosı per particelle con ν = 3ci aspettiamo che k = 2.
• Usando la distribuzione di Junge per particelle di aerosol di NaCl determinare ilnumero di particelle attivate in una camera a diffusione di gradiente termico infunzione della supersaturazione s assumendo che Dmax Dmin.
Se una camera ha supersaturazione s solo le particelle di aerosol che hannosupersaturazione critica s∗ ≤ s saranno attivate cioe:
Nattivate =∫ Dmax
Dn(D) dD =
∫ Dmax
D
1
D log 10nlog(D) dD
Nattivate =c
3 log 10
[
(
1
D
)3
−(
1
Dmax
)3]
∝(
1
D
)3
;
essendo D il diametro che ha come supersaturazione critica proprio s. Ora perodalla eq. (3.28) s∗ ∝ (D∗)−3/2 e quindi D ∝ (s)−2/3 e infine: Nattivate ∝ (s)2.
5.9. ESERCIZI 163
• Tab. 5.3 fornisce i tempi richiesti perche la concentrazione di particelle di aerosoldi diametro pari a 0.1 µm decresca per coaugulazione, per passare da N0 a N0/10Mostrare che tali dati sono compatibili con la legge:
dN
dt= −ιN2 (5.14)
e detrminare ι.
Tabella 5.3: Tempi di decadimento ad 1/10 della concentrazione iniziale percoaugulazione di aerosol.
N0[cm−3] 108 107 106 105
t1/10 2 min 20min 3.5 h 35 h
Integrando la (5.14) si trova:
1
N(t)− 1
N(t0)= ι(t− t0) (5.15)
e imponendo N(t) = N(t0)/10 si trova 9/N(t0) = ιt1/10. I dati a disposizioneforniscono i primi due ι = 0.75 10−9 cm3/s e i secondi due ι = 0.71 10−9 cm3/s.
164 CAPITOLO 5. FISICA DEGLI AEROSOL
Capitolo 6
Rimozione: i meccanismi fisici
6.1 L’equazione del moto di una particella singola
di aerosol
L’evoluzione di una popolazione di aerosols e determinata, nella maggior parte deicasi dal movimento delle singole particelle soggette a diverse forze esterne. In talunicasi pero, quando il moto browniano e quello turbolento sono efficaci, l’evoluzionedella popolazione di aerosols richiede una descrizione in termini statistici. Inoltrevariazioni in una popolazione di aerosols si possono verificare anche a causa di processitermodinamici (quali la nucleazione di goccioline o cristalli) o fisico chimici.
Per il momento trattiamo l’equazione del moto di una gocciolina individuale, sup-posta sferica, nell’atmosfera. Supponendo che i processi descritti da meccanismi diversipossano essere sovrapposti essa puo essere espressa nella seguente forma:
md~vp
dt= ~Fg + ~Fr + ~Fth + ~Fd + ~Fe + ~Ff (6.1)
Il primo termine a destra nella (6.1) puo essere scritto come segue:
~Fg = m~g(ρp − ρ)/ρp (6.2)
ove ρ la densita del fluido e ρp e la densita della particella, rappresenta la forza digravita corretta dal galleggiamento.
6.1.1 Il numero di Knudsen
Per tutti gli altri termini presenti nella (6.1) gioca un ruolo di fondamentale importanzail numero di Knudsen
NKn =λ
r(6.3)
ovvero il rapporto fra il libero cammino medio delle molecole λ nel fluido in questione edil raggio della particella. Si noti che per l’aria in condizioni standard (p0 = 1013.25 mb,
165
166 CAPITOLO 6. RIMOZIONE: I MECCANISMI FISICI
T0 = 293.15 K) il libero cammino medio e λstandardair = 6.6×10−6 cm e che in condizioni
generiche e:
λair = λstandardair
p0
p
T
T0.
Il valore di NKn puo variare da 0 a ∞ e si possono distinguere diversi regimi:
• nel limite NKn → 0 il gas che circonda la particella puo essere considerato uncontinuo; la particella ha dimensioni tali da influenzare la distribuzione dellevelocita delle molecole vicine ad essa e l’interazione viene descritta dalle equazionidella meccanica del continuo (eq. di conservazione della massa, del momento, eq.di Navier Stokes);
• l’intervallo 0 < NKn < 0.1 viene detta regione di slip-flow perche in tale regime siapplica la teoria del continuo con condizioni al contorno specifiche dette di slip-flow: nell’interazione gas-particella si ipotizza la presenza di alcuni effetti comelo scorrimento del gas relativamente alla superficie dell’aerosol e una differenzadi temperatura tra quest’ultima e le molecole del gas stesso;
• il limite NKn → ∞ viene invece detto regime molecolare libero. In tale regionela distribuzione delle velocita delle molecole del gas che colpiscono la particellanon e influenzata dalla presenza di quest’ultima. Questo perche il libero camminomedio delle molecole e molto piu grande rispetto al raggio della particella (λ r);
• la regione intermedia tra regime del continuo e regime molecolare libero vienedetta regione di transizione e l’analisi delle interazioni risulta essere molto com-plessa: nessun approccio teorico e realmente soddisfacente. Purtroppo e questala situazione nella quale ci si imbatte normalmente in processi di rimozione.
descrive la resistenza viscosa del fluido, come espressa dall’equazione di Navier-Stokesma corretta poi da Cunningham come una funzione del numero di Knudsen α e ilcoefficiente di Cunningham1. La resistenza del fluido per particelle piccole, nel regimemolecolare (NKn → ∞), e espressa dalla relazione di Waldmann:
~Fr =32
3r2(
1 +π
8a)
p(~v − ~vp)
c; NKn > 1 (6.5)
ove c e la velocita termica media delle molecole, p e la pressione del fluido e a e unparametro di riflessione.
1Una buona parametrizzazione viene fornita da Davies:
α = 1.257 + 0.400 exp(− 1.10
NKn
).
6.2. CATTURA AERODINAMICA 167
Il terzo termine, ~Fth, e la forza termoforetica che e originata dal momento trasferitoalla particella dalle collisioni delle molecole del gas in un gradiente di temperatura.L’effetto netto e una forza opposta al gradiente di temperatura.
La forza diffusioforetica, ~Fd, e legata all’esistenza di un gradiente di concentrazionedi due specie molecolari nel gas ed e tipicamente effettiva nell’atmosfera quando avven-gono condensazione ed evaporazione.
Il quinto termine ~Fe rappresenta la forza elettrostatica.
L’ultimo termine ~Ff raccoglie gli effetti collegati all’accelerazione del fluido derivan-ti dal gradiente di pressione nel gas che circonda le particelle, alla forza necessariaper accelerare la massa equivalente delle particelle rispetto al gas ed all’effetto diallontanamento del flusso di gas dal comportamento stazionario (forza di Basset).
L’eventuale asfericita della particella modifica sia la forza di Stokes che quelle fore-tiche. La validita della legge di Stokes puo essere generalizzata a particelle non sferiche,definendo un diametro aerodinamico come il diametro di una sfera di densita unitariaavente la stessa velocita di sedimentazione della particella non sferica, a bassi NRe.L’effetto di asfericita della particella influenza il moto della particella attraverso untipico meccanismo di retro-azione. L’intensita delle forze foretiche e funzione dell’areadella particella normale ai gradienti di temperatura e di concentrazione. D’altra partese si considera il moto della particella nel fluido soggetta alla sola resistenza del fluido,l’orientazione spaziale rispetto alle linee di flusso e determinata solo dalla forma dellaparticella e dalla velocita del fluido. Quando si raggiunge l’equilibrio tra tutte le forzein gioco, l’orientazione spaziale della particella sara diversa da quella raggiunta sottol’azione delle due forze pensate agire una alla volta.
Rimandiamo alla sezione 6.8 la discussione della sovrapposizione delle forze e vedi-amo ora di considerare separatamente l’effetto di ciascuna di queste forze.
6.2 Cattura aerodinamica
Consideriamo il problema generale della cattura aerodinamica o inerziale di una parti-cella (che oltre ad essere una particella di aerosol potrebbe essere anche una gocciolinao un cristallo) da parte di un ostacolo. Il problema e riconducibile alla fluidodinamica.Si ha cattura aerodinamica quando la particella, a causa della sua inerzia, abbandona lesue streamlines e tocca la superficie dell’ostacolo (una foglia, un ramo, un’idrometeora,un velivolo). La cattura aerodinamica dipende principalmente dalle caratteristiche delmoto del fluido, che hanno un ampio range di variabilita dovuto a differenti velocitadel flusso e a diverse forme e grandezze degli ostacoli. Tali caratteristiche possono es-sere descritte da tre numeri adimensionali che quantificano la mutua importanza delledifferenti forze attive. Tali numeri sono:
• Numero di Reynolds:
NRe =2 L U ρ
µ=
2 L U
ν(6.6)
168 CAPITOLO 6. RIMOZIONE: I MECCANISMI FISICI
• Numero di Stokes:
NStk =τr U
L=
1
9
r2
L2
ρp
ρNRe (6.7)
• Numero di Froude:
NFr =U2
2 L g(6.8)
ove µ e la viscosita, ν e la viscosita cinematica, L la dimensione caratteristica del-l’ostacolo e U la velocita media del fluido, τr = 2r2 ρp/(9µ) = m/(6π r µ) il tempo dirilassamento della particella. Il numero di Reynolds (indipente dal tipo di particella chedeve essere catturata) descrive il rapporto tra le forze inerziali e viscose nel fluido checirconda l’ostacolo. Piccoli valori di tale numero (< 1) indicano che gli effetti viscosidominano ed il moto del fluido e descritto dall’equazione di Navier-Stokes ove si con-serva il termine di dissipazione viscosa (flusso laminare-stazionario). Per valori di NRe
tra 100 e 1000 il moto del fluido e ancora laminare, ma i termini viscosi possono essereignorati. L’equazione di Eulero permette di determinare il campo di velocita esprimen-dolo come il gradiente di una funzione scalare (il regime di flusso e detto potenziale ovorticoso-turbolento). Valori di NRe fra 1 e 100 determinano la regione di transizionedal flusso viscoso a quello potenziale; in atmosfera ci si trova molto spesso in questacondizione: il moto del fluido viene allora studiato o con soluzioni numeriche o conopportune approssimazioni in termini di flusso potenziale.
Il numero di Stokes (che coinvolge anche caratteristiche dimensionali della parti-cella da catturare) indica il rapporto tra la distanza di sedimentazione della particella(τr U) e la dimensione lineare trasversale del corpo che la raccoglie L. Esso e un para-metro aerodinamico fondamentale nel determinare l’efficienza di cattura di particelleda ostacoli nel caso in cui la gravita sia trascurabile: alti valori di NStk indicano chela particella tende ad allontanarsi dalle streamlines in prossimita dell’ostacolo a causadell’inerzia, e quindi ad essere catturato (vedi fig. 6.1).
Quando la gravita e importante diventa significativo il numero di Froude che indicail rapporto tra i quadrati della velocita del fluido U e della velocita che acquista unaparticella in caduta libera che percorre uno spazio L.
6.2.1 Efficienza di cattura aerodinamica
I processi di rimozione asciutti e bagnati coprono un ampio range: in alcuni casipotremo considerare il flusso in regime viscoso (goccioline e piccoli cristalli di ghi-accio nelle fasi iniziali di crescita) oppure come potenziale (flusso attorno ad ostacoli digrandi dimensioni al suolo) utilizzando quindi soluzioni esatte alle equazioni del moto.Nei casi intermedi invece sara necessario studiare l’interazione fluido-ostacolo realiz-zando esperimenti in condizioni di similarita dinamica. Talora pero tali esperimentinon riescono a descrivere sistemi complessi (quali sono quelli costituiti dal sistemaostacolo-particella), nel senso che non riescono a riprodurre simultaneamente i numeri
6.2. CATTURA AERODINAMICA 169
Figura 6.1: Efficienza di cattura aerodinamica in funzione del parametro di Stokes perostacoli sferici.
fluidodinamici caratteristici del moto. In questo caso sono necessari vere e proprieriproduzioni dei sistemi naturali.
Il parametro che descrive il comportamento di una popolazione di aerosols inprossimita di un ostacolo basato sullo studio del moto di ciascuna particella individ-uale e l’efficienza di cattura aerodinamica E, il cui calcolo richiede pertanto la soluzionedelle equazioni di Navier-Stokes attorno all’ostacolo calcolando la traiettoria di ognisingola particella.
In generale ipotizzeremo che dopo aver colpito l’ostacolo la particella di aerosolsi attacchi alla superficie senza rimbalzare. Questa ipotesi e certamente vera per leparticelle piu piccole ma in taluni casi (ad es. per i pollini e le spore) l’effetto delrimbalzo puo essere sostanziale in quanto le forze di adesione superficiale non sonoabbastanza forti; in tal caso l’efficienza di cattura e ridotta grandemente se paragonataall’efficienza di collisione.
Nel caso in cui collisione e cattura coincidano, l’efficienza di cattura aerodinamicapuo essere definita come il rapporto tra l’area normale alla direzione del flusso (elontana dall’ostacolo) nella quale vi sono particelle le cui linee di flusso vanno a colpirel’ostacolo e l’area della sezione dell’ostacolo normale al flusso aumentata di una coronadi dimensioni pari al raggio della particella. Questa definizione fa riferimento al moto
170 CAPITOLO 6. RIMOZIONE: I MECCANISMI FISICI
relativo del fluido (che porta le particelle) e dell’ostacolo. Esempi tipici in atmosferasono moti di ostacoli (gocce, cristalli) in caduta in un fluido fermo oppure di ostacolifermi (quali rami, foglie) in un fluido fermo con particelle che cadono per gravita. Ladefinizione data si puo generalizzare a tali casi e puo essere generalizzata a qualsiasicampo di forze esterno che determini uno spostamento sistematico della particella manon e applicabile al caso di campi di forze che agiscano in una direzione diversa daquella del moto del fluido all’infinito.
Una definizione di efficienza di cattura piu generale, nell’ipotesi di una concen-trazione uniforme di particelle, e data dalla:
E =N
S h n(6.9)
con N numero di particelle catturate per unita di volume, S h volume intercettato en concentrazione totale delle particelle. L’efficienza di cattura e quindi il rapporto trail numero N di particelle catturate dall’ostacolo e quelle nel volume di fluido spazzatodall’ostacolo stesso. Le figs. 6.1-6.5 mostrano le efficienze di cattura per ostacoli diforme diverse in ben definiti regimi di flusso.
La fig. 6.1 mostra le curve teoriche dell’efficienza di cattura su sfere in regime diflusso potenziale (da Langmuir, 1945) e di flusso viscoso (Fonda e Herne, 1960) comefunzione del numero di Stokes (aumentare NStk per fissate dimensioni dell’ostacolosignifica aumentare le dimensioni delle particelle o la velocita del fluido) ed un confrontocon i dati sperimentali. Le misure concordano abbastanza bene con la curva per il flussopotenziale, eccetto che le misure di Ranz e Wong (1952) (realizzate a NRe > 1000) cheindicano valori di efficienza di cattura sistematicamente piu grandi di quelli indicatidal flusso potenziale.
Pochi esperimenti sono stati realizzati in regime di transizione; i dati sperimentalidi E disponibili hanno la tendenza a stare al di sotto della curva di flusso potenziale epiu vicini a questa che a quella di flusso viscoso.
La fig. 6.2 da invece alcuni dati di Starr e Mason (1966) in funzione del numerodi Reynolds. Per NRe < 100 i valori di E sono molto piu piccoli che per quelli dellecurve di flusso potenziale; aumentando NRe (cioe a parita di ostacolo aumentando U odiminuendo ν) i dati sperimentali vengono meglio rappresentati dalle curve teoriche.
6.2.2 Esperimenti riproducenti moti in regime di flusso inter-medio
Si e detto come esperimenti in condizioni di similarita siano inefficaci per simularesistemi complessi particella + ostacolo, perche non e possibile far combaciare simul-taneamente i numeri di Stokes e di Reynolds caratteristici del problema (la 6.7 rompe lasimilarita dinamica). Pertanto, in regimi di flusso intermedi tra quello viscoso e quellopotenziale, sono necessari esperimenti che verifichino la correttezza dell’approsimazioneviscosa o potenziale. Fra questo tipo di esperimenti vanno distinti gli esperimenti neiquali la cattura aerodinamica viene considerata da sola (e predominante per particelle
6.2. CATTURA AERODINAMICA 171
Figura 6.2: Efficienza di cattura aerodinamica in funzione del numero di Reynolds perostacoli sferici (triangolini) e per fogli di gelso (quadratini). La linea continua e unacurva teorica per flusso potenziale, Langmuir (1945).
piu grandi di 4 − 5 µm di diametro, quindi in particolare per la cattura di gocciolineda gocce o cristalli di ghiaccio) e quelli in cui altri effetti (foretici, elettrostatici) agis-cono simultaneamente. La caratteristica intrinseca di un esperimento di riproduzioneintralcia un confronto tra diversi dati sperimentali dal momento che le condizioni diflusso del fluido, le densita della particella, la forma e il comportamento degli ostacolidifferisce in ogni esperimento. Tuttavia in fig. 6.1, 6.3 sono raccolti esperimenti concondizioni abbastanza simili.
Risultati sistematici ed affidabili sono stati ottenuti da Starr e Mason e da Waltone Woolcock. Questi ultimi hanno realizzato esperimenti con 65 < NRe < 890, trovandoconcordanza entro il 15 − 20% con i calcoli di Fonda e Herne in condizioni di flussopotenziale. Si noti che pochi esperimenti sono stati realizzati per 0.5 < NStk < 2 e aNRe intermedi. Poiche tali condizioni di flusso e di ostacoli sono tipici dei processi dicoalescenza delle gocce e dei processi di rimozione e importante realizzare esperimentianche in questi regimi.
I dati sulla cattura aerodinamica da dischi e cristalli planari sono mostrati nellefigs. 6.4-6.5. Per i dischi, i dati di Prodi e al. (1981) e quelli di Starr e Mason (1966)sono relativi a diversi intervalli di NStk; sono consistenti e danno una efficienza dicattura che, per NStk > 0.5 e sensibilmente inferiore di quella calcolata sulle basi delflusso potenziale.
I risultati relativi a forme planari sono riportati in fig. 6.5; il NStk e calcolatoconsiderando come lunghezza caratteristica il raggio del disco di ugual area a quella
172 CAPITOLO 6. RIMOZIONE: I MECCANISMI FISICI
Figura 6.3: Efficienza di cattura aerodinamica in funzione del numero di Stokes perostacoli a forma di cilindro misurata da Gregory (1951) e Ranz e Wong (1952). Perconfronto sono mostrate le curve teoriche del Langmuir (1945) in regime di flussopotenziale e di Davies e Peetz (1956) in regime viscoso.
della forma planare. Per 0.1 < NStk < 0.5, la grossa dispersione dei dati e dovutaal forte incremento dell’efficienza di cattura; per valori piu grandi di NStk, l’efficienzadi cattura per forme stellari e dendritiche e in accordo con le predizioni teoriche diPitter e Pruppacher (1974), in relazione ai dischi. La forma composita di un esagonocentrale con rami e piatti ai suoi estremi ha una efficienza di cattura per unita di areamolto simile a quella di dischi isolati. I calcoli di Pitter e Pruppacher mostrano chel’interazione idrodinamica tra particella e ostacolo diminuisce l’efficienza di cattura peralti NStk. In fig. 6.4 per esempio, per uno sferoide oblato di 404 µm, il valore di NStk
per il quale l’efficienza diminuisce e attorno a 15. I dati di Prodi e al. indicano inveceun massimo dell’efficienza di cattura per NStk ' 2.5.
Per estrapolare gli effetti dello sparpagliamento periferico dell’area, l’efficienza dicattura e stata calcolata nel modello di Prodi et al. (1981), in funzione del rapportotra la superficie totale e la superficie dell’area centrale. Tale analisi attribuisce unacattura massima a forme stellari, per le quali il rapporto tra area totale e centrale vale5. Questo risultato sottolinea il fatto che forme con forti ramificazioni presentano unagrossa area efficace al flusso mentre l’effetto di separazione del fluido rimane basso inconfronto con forme a disco. L’efficienza di cattura per forme planari con piatti alle
6.3. FORZE FORETICHE 173
Figura 6.4: Efficienza di cattura aerodinamica in funzione del numero di Stokes perdischi.
estremita viene ridotta invece a valori vicini a quelli dei dischi: queste forme che hannoun’area centrale molto piccola si comportano analogamente a sei dischi separati.
Si sottolinea ancora che la cattura aerodinamica e un aspetto rilevante non soloper particelle giganti di aerosol ma anche per la cattura di gocce sopra-raffreddate dacristalli di ghiaccio.
6.3 Forze foretiche
In un fluido, in presenza di un gradiente di temperatura, le particelle si muovono versole regioni a bassa T : questo e il fenomeno della termoforesi.
In una miscela di gas isoterma e non omogenea le particelle si muovono a causa deigradienti di concentrazione: questo e il fenomeno della diffusioforesi.
Come gia visto al paragrafo 6.1.1 l’interazione tra molecole di fluido e particelledipende principalmente dal numero di Knudsen NKn. Vediamo come sia possibiledescrivere le forze foretiche per i diversi regimi di NKn.
6.3.1 Termoforesi
In regime molecolare (NKn → ∞) la forza termoforetica (in questo caso le molecoledi gas cedono un impulso piu grande dal lato caldo che non dal lato freddo dellaparticella, e quindi la spingono verso le regioni di gas piu fredde) e data dalla formuladi Waldmann:
~Fth =32
3r2 1
5
15 p µ
4 N m T
∇Tc
(6.10)
174 CAPITOLO 6. RIMOZIONE: I MECCANISMI FISICI
Figura 6.5: Efficienza di cattura aerodinamica per forme planari, in funzione del numerodi Stokes calcolato nell’approssimazione di disco di ugual area.
ove N e il numero di moli e c la velocita termica media:
c =
√
8 kB T
π m. (6.11)
All’equilibrio tra forze termoforetiche e di resistenza del fluido, le particelle si muovonoalla velocita termoforetica data da:
32
3r2 1
5
15 p µ
4 N m T
∇Tc
= −32
3r2(
1 +π
8a)
p
c~vth (6.12)
e quindi:
~vth = −3
4
µ
N m T∇T/
(
1 +π
8a)
= −3
4
ν
T∇T/
(
1 +π
8a)
(6.13)
dipendente dal valore del parametro di riflessione molecolare a (variabile da 0 a 1). Idati sperimentali di fig. 6.6 suggeriscono a = 1.
Per valori di transizione di NKn l’espressione della forza termoforetica piu comune-mente accettata e quella fornita da Brock:
~Fth = −12 π µ r2 QNKn C ∇T (6.14)
con :
C =(kf/kp + ct NKn) (1 + 1.33 a3 cm NKn) − 1.33 a3 cm NKn
(1 + 3 cm NKn) (1 + 2 kf/kp + 2 ct NKn)(6.15)
Q =3
4
(
2Reπ T
)1/2
(6.16)
6.3. FORZE FORETICHE 175
Figura 6.6: Velocita termoforetica in funzione del libero cammino medio del gas, pergocce di olio di silicio di dato raggio. Per confronto vengono date le curve teoriche diWaldmann (vedi eq. 6.13)
dove a3 e una costante del secondo ordine, ct e cm costanti che si riferiscono ai co-efficienti di accodamento termico e di riflessione molecolare rispettivamente, kf e kp
le conduttivita termiche del fluido e della particella. Fig. 6.7 mostra curve sperimen-tali e teoriche per le velocita termoforetiche (per gradiente unitario di temperatura)in regione di transizione. La curva sperimentale (Prodi et al. (1979)) per particelle dicloruro di sodio (curva 1) concorda a grandi NKn con il valore di Waldmann (curva 2)ma con NKn < 0.1 la velocita termoforetica decresce rapidamente, come atteso per ilpassaggio al regime continuo. Le altre curve producono valori piu elevati di velocitatermoforetiche.
Si noti che e proprio la regione meno nota (quella di transizione) ad essere anchela piu interessante in quanto gran parte dei processi di rimozione si verificano in taledominio.
6.3.2 Diffusioforesi
In regime molecolare (NKn → ∞) la forza diffusioforetica data dall’interazione tra laparticella e le molecole che diffondono in una miscela isoterma di s gas risulta:
~Fd = −32
3r2
s∑
i=1
(
1 +π
8ai
)
pi(~vp − ~vi)
ci(6.17)
176 CAPITOLO 6. RIMOZIONE: I MECCANISMI FISICI
Figura 6.7: Velocita termoforetica per gradiente unitario di temperatura in funzione deldiametro delle particelle nella zona di transizione. La Curva 1 fitta i dati sperimentali(piccoli quadrati) relativi a particelle di NaCl. La curva 2 si riferisce alla formula diWaldmann (6.13) con a = 1. La curva 3 corrisponde al miglior fit dei dati sperimentali,le curve 4-7 da relazioni teoriche.
ove il simbolo i indica l’i−esima componente della miscela, ~vp e la velocita della parti-cella e ~vi e la velocita dell’i−esima componente della miscela gassosa (separabile in unacomponente di velocita idrodinamica media e una velocita molecolare diffusiva media).
In una miscela binaria, la velocita molecolare diffusiva ~wi e definita dalla legge didiffusione come funzione della frazione molare dei componenti γi e del coefficiente didiffusione molecolare D12:
γ1 ~w1 = −γ2 ~w2 = −D12∇γ1 (6.18)
Nel caso di fluido con velocita molecolare media nulla della miscela, c’e solo diffusionee la velocita della particella e data da (prendendo ai = 1 nella (6.17)):
~vd = − m1 −m2
m +√m1m2
D12∇γ1 m = m1 γ1 +m2 γ2 (6.19)
ove mi sono le masse molecolari dei componenti; quindi, una particella si muove nelladirezione del gradiente della componente di piu elevata massa molecolare.
Nel caso in cui uno dei componenti della miscela abbia ~vi = 0 e l’altro stia dif-fondendo in esso, il gradiente di concentrazione della componente diffondente genera
6.4. FORZE ELETTROSTATICHE 177
un gradiente di pressione che e neutralizzato da un flusso idrodinamico della miscela(flusso di Stefan). La velocita di una particella della miscela e:
~vd = − m1 −m2
m +√m1m2
D12∇γ1 −D12
γ2∇γ1 = − m1
γ1 m1 + γ2√m1m2
D12
γ2∇γ1 (6.20)
Questa velocita e la somma di due contributi: quello della pura diffusione e quellodovuto al moto idrodinamico medio (il flusso di Stefan).
Per particelle in regime di transizione, la forza diffusioforetica e data da:
~Fd = −6 π µ r σ12 D12 ∇γ1 (6.21)
ove σ12 e una costante numerica chiamata fattore diffusivo di scivolamento che dipendedalla miscela di gas e dalla superficie della particella. Sotto l’azione della sola diffusione:
~vd = −σ12 D12 ∇γ1. (6.22)
Per gas privi di moto, in presenza di una componente diffondente, la velocita dellaparticella risulta dalla somma della velocita di Stefan e della velocita diffusioforetica:
~vd = −D12
γ2∇γ1 − σ12 D12 ∇γ1 = − (1 + σ12 γ2)
D12
γ2∇γ1. (6.23)
Il valore di σ12 puo essere calcolato sulla base della distribuzione di Maxwell dellavelocita delle molecole:
σ12 =m1 −m2
m +√m1m2
(6.24)
ottenendo per ~vd lo stesso valore che nel caso di particelle piccole. Nella regione ditransizione per NKn, la velocita diffusioforetica cosı calcolata non concorda con i datisperimentali e formulazioni semi-empiriche sono proposte da vari autori (Waldmann eSchmitt,1966; Brock, 1963).
Abbiamo detto che la diffusioforesi, come la termoforesi, praticamente scompareper particelle grandi (NKn → 0). In questa regione, solo il flusso di Stefan, sopramenzionato, e attivo.
Dati sperimentali sulla diffusioforesi riguardano principalmente il regime moleco-lare. Esperimenti di pura diffusioforesi nella regione di transizione sarebbero necessariper verificare la formulazione teorica proposta.
6.4 Forze elettrostatiche
La cattura di particelle di aerosols da parte delle idrometeore e anche influenzata dalleforze elettrostatiche, determinate sia dalle cariche elettrostatiche sulle idrometeore, e,a volte, dall’esistenza di un campo elettrostatico esterno.
178 CAPITOLO 6. RIMOZIONE: I MECCANISMI FISICI
Figura 6.8: Sinistra: efficienza di cattura in funzione del raggio della particella diaerosol, su sfere di raggio 11.4 µm, in presenza di cariche elettriche e di un campoesterno. Curva 1: carica della particella ±0.2esu/cm2, carica della sfera ±0.2esu/cm2.Curva 2: particella e sfera neutre, campo esterno ±500 V/cm. Curva 3: carica dellaparticella ±2esu/cm2, carica della sfera ±2esu/cm2. Curva 4: particella e sfera neutre,campo esterno ±3000 V/cm. Curva 5: carica della particella ±2 esu/cm2, carica dellasfera ±2 esu/cm2, campo esterno ±2847 V/cm. Destra: curve come a sinistra ma persfere con raggio 74.3 µm.
Il problema puo essere affrontato, in prima approssimazione, analizzando l’inter-azione di due sfere conduttrici. Davis (1964) definisce la forza tra le due sfere come:
~Fe,r = −[
εr2E20
(
F1 cos2 γ + F2 sin2 γ)
+ E0 cos γ (F3 QA + F4 Qr) (6.25)
+1
εr2
(
F5 Q2A + F6 QA Qr + F7 Q
2r
)
+ E0 Qr cos γ]
er (6.26)
+[
εr2E20 F8 sin 2γ + E0 sin γ (F9QA + F10 Qr) + E0 Qr sin γ
]
eγ (6.27)
~Fe,A = ~E0(QA +Qr) − ~Fe,r (6.28)
ove r e A sono i raggi delle due sfere interagenti (r < A), ~Fe,r e la forza sulla sfera diraggio r, γ e l’angolo tra la verticale e la linea che congiunge i centri delle due sfere.La direzione verticale coincide con la direzione del campo elettrico esterno ~E0 dovutoad una carica positiva in alto ed una negativa in basso. Qr e QA sono le cariche sulledue sfere, ε e la costante dielettrica dell’aria mentre i coefficienti Fi sono dati da Davis(1964).
Anallizziamo ora un caso particolare: idrometeora carica (descritta da una sfera
6.5. MOTO BROWNIANO 179
conduttrice) + particella puntiforme carica in assenza di campo elettrico esterno. Inquesto caso la forza tra le due sfere viene espressa dalla legge di Coulomb per distanzemaggiori o dell’ordine di pochi raggi della particella di idrometeora. Per distanze piupiccole il campo elettrico cambia a causa della distribuzione superficiale di carica sullaparticella sferica di idrometeora. L’interazione puo essere descritta allora dalla forzaimmagine, tenendo in considerazione la distribuzione locale della carica superficiale,modificata dalla presenza della carica sulla sfera puntiforme.
L’efficienza di collisione di particelle neutre, o di particelle cariche con segno op-posto alla carica sulla goccia di idrometeora (che funge da elemento collettore) vieneaumentata dall’introduzione di una forza elettrostatica, portando a valori piu grandi di1 (vedi fig. 6.8, sinistra). Il campo elettrico esterno normalmente aumenta l’efficienzaE, poiche la velocita relativa tra le sfere interagenti aumenta di modo che il tempotrascorso tra un’interazione e l’altra diminuisce.
Il parametro cruciale per questo processo e il tempo di stazionamento delle parti-celle piu piccole nella regione ove la forza elettrostatica e piu efficace. Questo tempo distazionamento e determinato essenzialmente dall’interazione idrodinamica tra le par-ticelle, e dall’effetto risultante delle forze esterne, incluse le forze elettrostatiche. Percollettori piu grandi (A > 70 µm) le forze elettrostatiche sono trascurabili, a causa delvelocita di caduta dell’idrometeora, che riduce il tempo di interazione (vedi fig. 6.8,destra).
6.5 Moto browniano
Il moto browniano e il nome dato a quei moti irregolari delle particelle immerse inun gas soggette al bombardamento termico con le molecole del gas stesso. L’aspettorilevante che caratterizza un moto browniano schematizzabile come un processo diMarkov (ovvero un processo stocastico nel quale la particella non ha memoria e per laquale spostamenti successivi sono scorrelati) e rappresentato dal fatto che la distanzaquadratica media 〈s2〉 percorsa dalla particella e proporzionale al tempo trascorso.
6.5.1 Teoria del random walk e eq. di Langevin
Valutiamo questa costante di proporzionalita scrivendo l’eq del moto (nota come eq.di Langevin) per la singola particella di aerosol:
d~v
dt= −β~v + ~A(t) (6.29)
ove il termine con β = 1/τr rappresenta la resistenza viscosa dell’aria. Le particelle diaerosol sono caratterizzate da NRe molto piccoli, ragione per cui e valida la legge diStokes per il drag viscoso; dalla (7.49) segue che, per una particella di massa m e raggio
r β = 6πr µair/m. La forza ~A(t) invece rappresenta una accelerazione fluttuante che ecaratteristica del moto browniano. La soluzione dell’eq. 6.29 e possibile solo in termine
180 CAPITOLO 6. RIMOZIONE: I MECCANISMI FISICI
di grandezze medie su molte diverse traiettorie. Se prendiamo il prodotto scalare conil vettore posizione ~s e facciamo una media sulle realizzazioni del moto troviamo:
Se ora si assume la legge di equipartizione dell’energia l’energia cinetica media 1/2m〈v2〉 =32kBT e assumendo completamente isotropa la direzione delle collisioni 〈~s · ~A〉 = 0 si
puo riscrivere e integrare la (6.30):
d
dt〈~s · ~v〉 =
3kBT
m− β〈~s · ~v〉 ⇒ 〈~s · ~v〉 =
3kBT
βm+ C exp(−βt) (6.31)
In realta per particelle di aerosol il tempo di rilassamento τr = 1/β e tipicamente moltopiccolo (vedi sect. 5.9), ragione per cui della (6.31) rimane:
〈~s · ~v〉 = 〈d(s2/2)
dt〉 =
3kBT
βm⇒ 〈x2〉 = 〈y2〉 = 〈z2〉 =
〈s2〉3
=2 kB T t
β m(6.32)
che e il risultato trovato anche da Einstein nel 1905.
6.5.2 Equazione e coefficiente di diffusione
In atmosfera la caratteristiche principale dei processi diffusivi di aerosol e una dipen-denza 〈z2〉 ∝ t del tutto simile alla (6.32). Vogliamo provare a descrivere il motostocastico di un gran numero di particelle (senza mutua interferenza) come un proces-so di diffusione. In teoria della diffusione detta n(~s, t) la concentrazione di particelle di
aerosol diffondenti al tempo t nel punto ~s, il flusso di particelle~j in un mezzo stazionarioe proporzionale al gradiente di concentrazione tramite un coefficiente di diffusione D(ha le dimensioni [L2 T−1]):
~j = −D ~∇n (6.33)
nota come prima legge di Fick. Vi sara anche una equazione di continuita per lasostanza che diffonde (l’analogia con l’eq di continuita per la massa e che n prende il
posto di ρ, ~j quello di ρ~v) nella forma:
∂n
∂t+ ~∇ ·~j = 0. (6.34)
Se si sostiusce la (6.34) nella (6.33), assunto D costante, si ricava la seconda legge diFick
∂n
∂t= D ~∇2n. (6.35)
Vediamo adesso di determinare 〈z2〉 per una particolare situazione di diffusione uni-dimensionale utilizzando la (6.35). Supponiamo quindi che N particelle di aerosolvengano immesse all’istante t = 0 nel punto z = 0 e che diffondano lungo le direzioni
6.5. MOTO BROWNIANO 181
Tabella 6.1: Parametri caratteristici per particelle browniane di diversi raggi in aria a288 K, p = 1 atm per la quale λair = 7.37 × 10−6cm, µair = 1.78 × 10−4 g/(cm s). Ilvalore di 〈s2〉1/2 e calcolato per un tempo di 1 min.
positive e negative di z con diffusivita D. All’istante t nel punto z la concentrazionesara allora n(z, t) (espressa in numero di particelle per unita di lunghezza) mentre 〈z2〉sara:
〈z2〉 =
∫+∞−∞ z2n(z, t)dz
N
ma allora derivando tale relazione rispetto a t si trova (si intergri due volte per parti):
N∂〈z2〉∂t
=∫ +∞
−∞z2∂n(z, t)
∂tdz = D
∫ +∞
−∞z2∂
2n(z, t)
∂z2dz = 2D
∫ +∞
−∞n(z, t)dz = 2DN
che integrata prge banalmente 〈z2〉 = 2Dt. Ma allora se vogliamo che ci sia compati-bilita con la descrizione browniana della (6.32) richiede che sia:
D =kB T
6 π µ r(6.36)
Si noti che, in regime molecolare, alla (6.36) si deve apportare la correzione diCunningham 1/(1 + α NKn). In Tab. 6.1 diamo alcune grandezze caratteristiche perparticelle di aerosol di diverse dimensioni. Come si vede solo le particelle di aerosol piupiccole rientrano nel regime molecolare. La correzione di Cunningham quindi e impor-tante solo per particelle di aerosol ben piu piccole del micron (particelle di Aitken). Lavelocita di sedimentazione vT e stata utilizzata usando la (7.50). L’andamento rapida-mente decrescente di D e di 〈s2〉1/2 (calcolato usando con t = 1 min) al crescere di rmostra come si possa concludere che la diffusione browniana di particelle di aerosol nel-la bassa troposfera sia sicuramente trascurabile rispetto ad altri processi per r ≥ 1 µm;invece il moto browniano risulta particolarmente rilevante per particelle piu piccole delcammino molecolare medio, ovvero solo per particelle di Aitken.
6.5.3 Cattura browniana
La cattura browniana di particelle molto piccole da un ostacolo puo essere valutatacalcolando il flusso di particelle verso la superficie dell’ostacolo, che si suppone trattenga
182 CAPITOLO 6. RIMOZIONE: I MECCANISMI FISICI
tutte le particelle che lo colpiscono. Considereremo due esempi: una concentrazioneiniziale di particelle uniforme n0 e due diverse forme di ostacolo, un foglio piano infinitoe una sfera di raggio A. Per la superficie piana, il flusso di particelle depositato e:
j = n0
√
D
π t(6.37)
e il numero totale di particelle depositate al tempo t e:
N(t) =∫ t
0j(t′) dt′ = 2 n0
√
Dt
π. (6.38)
Per la sfera invece:
j =D
An0
(
1 + A/√π D t
)
(6.39)
e il numero totale di particelle depositate al tempo t e:
N(t) =∫ t
0j(t′) dt′ =
D
An0
1 + 2A
√
t
π D
. (6.40)
Risulta importante definire una efficienza di collezione anche per questi processi, tenen-do in considerazione che ora il volume di spazio affetto dal processo di cattura e, ingenerale piu grande di quello spazzolato dall’ostacolo. In questo caso un “nucleo” dicollisione K viene definito come il rapporto tra il flusso totale di particelle verso l’osta-colo e la concentrazione a grandi distanze. Usando il nucleo K, le velocita imperturbatedei due corpi interagenti, l’efficienza di collezione puo essere definita, nel caso di motobrowniano come:
K = E π (A+ r)2 (vA, ∞ − vr, ∞) . (6.41)
Siccome il flusso di particelle nelle equazioni (6.37)-(6.39) dipende dal tempo, anchel’efficienza di collezione sara una funzione del tempo ed avremo quindi formule piucomplicate. Il tipico approccio e quello di considerare allora lo stato stazionario pert → ∞. Andra allora confrontato il tempo di rilassamento della particella, il tempotrascorso durante l’interazione tra particella e ostacolo, e il tempo caratteristico perraggiungere lo stato stazionario.
Per esempio, il tempo caratteristico per la sfera puo essere valutato mettendo ugualea 2 il termine in parentesi della (6.39); si ottiene cosı:
t =A2
π D. (6.42)
6.5.4 Coagulazione
La diffusione browniana e particolarmente efficace nel caso di particelle mutuamentediffondenti che hanno dunque una probabilita finita di collidere e di incollarsi. La
6.5. MOTO BROWNIANO 183
Figura 6.9: Variazione della distribuzione dimensionale di aerosol naturale per effettodella coagulazione risultante da moto browniano. h=ore, d=giorni.
crescita di particelle dovuta alla diffusione iniziale e susseguente unione, viene chia-mata coagulazione. Questo processo e importante nella rimozione perche modifica ladistribuzione dimensionale della popolazione di particelle. Di fatto, la coagulazione de-termina un aumento della dimensione media delle particelle. In questo modo l’efficienzadi collisione di molti dei meccanismi di cattura viene accresciuta. Inoltre, trattandosidi un processo dipendente dal tempo, puo avere effetti importanti sulla popolazione diparticelle durante il periodo di trasporto prima che si verifichi la rimozione.
Cerchiamo di vedere come puo essere descritta la coaugulazione tra due particellesferiche di raggi r1 e r2. Un possibile approccio (Pruppacher e Klett) e quello diconsiderare una particella sferica di raggio r12 = r1 + r2, fissa nello spazio ed un’altra,priva di dimensioni, con un coefficiente di diffusione browniana: D12 = D1 + D2 checaratterizza2 la diffusione delle particelle di raggio r2 rispetto a quelle di raggio r1.
Detta r la distanza della particella puntuale dal centro della sfera la concentrazionedi particelle avra simmetria radiale della forma n(r, t) e dovra soddisfare all’eq. 6.35con la condizione al contorno che n(r12, t) = 0 per ogni t e che il campo iniziale sian(r, 0) = n0 per r > r12. La soluzione ha la forma:
n(r, t) = n0
(
1 − r12r
+r12rerf
(
r − r12√4D12 t
))
; (6.43)
2Infatti se le particelle in ∆t si spostano di ∆~s1 e ∆~s2 il loro spostamento quadratico medio relativosara:
〈∆~s21,2〉 = 〈|∆~s1 − ∆~s2|2〉 = 〈∆~s2
1〉 + 〈∆~s22〉 − 2〈∆~s1 · ∆~s2〉 = 〈∆~s2
1〉 + 〈∆~s22〉.
Ora pero dalla (6.32) segue che 〈∆~s21〉 = 6D1∆t e 〈∆~s2
2〉 = 6D2∆t da cui definendo D12 in modo chesia 〈∆~s2
12〉 = 6D12∆t segue che D12 = D1 + D2.
184 CAPITOLO 6. RIMOZIONE: I MECCANISMI FISICI
usando la (6.33) si ricava il flusso di particelle coaugulanti, che corrisponde alla (6.39)con r12 al posto di A. Invece il tasso di coagulazione (e quindi il tasso di perdita diparticelle di raggi r1 ed r2, oppure il tasso di guadagno di particelle di raggi r12) sara:
−∫
S12
~j · d~S = D12
∫
S12
∂n
∂rdS = 4π r12 D12n0
(
1 +r12√π D12 t
)
; (6.44)
Questa relazione puo essere estesa al caso di una popolazione con uno spettrodimensionale continuo da:
d
dtnk(r, t) =
1
2
∑
i+j=k
4πDij rij ni nj −∑
i
4πDik rik ni nk. (6.45)
Questa equazione mostra che la concentrazione di particelle di un dato diametro crescegrazie alla coaugulazione delle particelle piu piccole e decresce a causa della coaugu-lazione con le altre particelle. L’interpretazione numerica della (6.45) per una tipicadistribuzione dimensionale di aerosol troposferico mostra la decrescita nella concen-trazione nel range dei diametri piu piccoli ed il conseguente cambio della forma delladistribuzione dimensionale nel tempo (vedi fig. 6.9).
6.6 Moto turbolento
Un’altra situazione che necessita di essere trattata con una descrizione stocastica e ilmoto di una particella in un fluido turbolento. Un fluido viene detto in regime turbo-lento quando le forze di inerzia sono molto maggiori delle forze di natura viscosa: in talicondizioni si hanno numeri di Reynolds tipicamente maggiori di 1000. Le linee del flussosono non stazionarie e la velocita di una particella di fluido viene usualmente descrittain termini di una componente media (stazionaria) ed una fluttuante. Le particelle intali fluidi seguono traiettorie che non coincidono con le linee di flusso e sono caratter-izzate da una componente random, fortemente correlata ai dettagli delle fluttuazioniturbolente del fluido. Da questo punto di vista sembra quindi che la descrizione intermini dell’equazione di diffusione sia un buono strumento per trattare il problema:l’analogia con il moto browniano e evidente. Tuttavia la descrizione in termini diffusivivale solo sotto ben definite condizioni che dipendono dalle scale spazio-temporali dellaturbolenza stessa: se il fenomeno coinvolge scale piu piccole di quelle del moto turbo-lento, allora l’approccio diffusivo non e accurato e altri modelli piu sofisticati vannoutilizzati.
In termini dell’eq. del moto (6.1) le forze che prevalgono in regime turbolento sono
quelle connesse all’accelerazione del fluido. Il termine ~Ff puo essere rielaborato dimodo che la (6.1) diventa:
md~vp
dt= 6 π µ r (~v − ~vp) −
4
3π r3∂p
∂r+
1
2
4
3π r3 ρ
d
dt(~v − ~vp) +
+6r2√πρµ∫ t
t0
ddt′
(~v − ~vp)√t− t′
dt′ (6.46)
6.6. MOTO TURBOLENTO 185
Figura 6.10: Rapporto della diffusivita turbolenta della particella e del fluido in fun-zione del rapporto K = τr/(λ
√π〈u2〉1/2) tra il tempo di rilassamento della particella
e il tempo speso dalla particella in una regione correllata di fluido. λ e λE sono lamicroscala e la scala euleriana della turbolenza
ove e stato trascurato il fattore di Cunningham. Di fatto l’eq. (6.46), con le opportunecondizioni al contorno, permette di ricavare la velocita quadratica media delle particellein funzione della velocita quadratica media del fluido. La diffusivita turbolenta dellaparticella puo quindi essere espressa in termini del rapporto tra il tempo di rilassamentodella particella e il tempo speso dalla particella in una regione correlata del fluido perdiversi valori del rapporto tra la microscala e la scala euleriana della turbolenza.
La discussione precedente si riferisce a turbolenza isotropa in un dominio infinito.La presenza di un muro o di un ostacolo, modifica alcuni aspetti del moto perche acausa della interazione con il muro la velocita quadratica media della particella vienemodificata. Questo fenomeno puo essere qualitativamente descritto usando le espres-sioni della teoria potenziale per la forza interagente; la struttura del flusso turbolentoattorno ad un muro e stata descritta da alcuni esperimenti (Kline, 1967, Corino eBrodley, 1969, Grass, 1971) mentre espressioni analitiche per il problema del moto del-la particella non sono disponibili. La diffusione turbolenta porta la particella verso ilmuro o la superficie dell’ostacolo, una regione ove l’effetto del boundary layer puo esseredifficilmente descritto: l’approssimazione viscosa non riesce a trattare correttamentela posizione della particella. Mancando un approccio teorico, e necessario realizzareopportuni esperimenti per ottenere una miglior veduta nella complessita del problemadella deposizione turbolenta sopra una superficie solida.
186 CAPITOLO 6. RIMOZIONE: I MECCANISMI FISICI
Figura 6.11: Efficienza di collezione su un ostacolo sferico, come funzione del raggiodelle particelle, calcolata dal modello di Wang et al. (1978) con T = 10, p = 900mbe densita delle particelle dimensione ρ = 2× 10−3 kg/m3. In alto: a sinistra NRe = 0.1(raggio ostacolo 18.6µm), a destra NRe = 1 (raggio ostacolo 42µm); in basso: a sinistraNRe = 10 (raggio ostacolo 106 µm), a destra NRe = 100 (raggio ostacolo 310 µm). Lacurva continua e tratteggiata corrispondono ad una umidita relativa del 100% e del 50%rispettivamente. La linea punto-tratteggiata ad umidita relativa del 50% con ostacoloe particella carichi.
6.6. MOTO TURBOLENTO 187
Figura 6.12: Efficienza di collezione su un ostacolo a forma di sferoide oblato, comefunzione del raggio delle particelle, calcolata dal modello di Martin et al. (1980) conT = −10, p = 700mb e densita delle particelle dimensione 2 × 10−3 kg/m3. In alto:a sinistra NRe = 0.1 (raggio ostacolo 50.6 µm), a destra NRe = 1 (raggio ostacolo112.8 µm); in basso: a sinistra NRe = 10 (raggio ostacolo 289 µm), a destra NRe = 50(raggio ostacolo 639 µm). La curva continua e tratteggiata corrispondono ad unaumidita relativa del 100% e del 50% rispettivamente.
188 CAPITOLO 6. RIMOZIONE: I MECCANISMI FISICI
6.7 Rimozione per nucleazione
Le particelle che costituiscono nuclei di condensazione o di formazione di ghiacciopossono essere rimosse dalla precipitazione. Il primo passo di questo processo e lanucleazione eterogenea. Questo processo si puo sviluppare in svariate condizioni disovrassaturazione, a seconda della composizione chimica delle particelle. Le particelleigroscopiche sono le prime sulle quali il vapore costituisce gocce: l’aerosol marino e difatto una parte rilevante dei nuclei di condensazione. Nelle aree continentali invece,particelle di solfato di ammonio sono adatte ad iniziare il processo di condensazione.Nel caso intermedio, la condensazione di vapore viene dettata dalle proprieta dellafrazione solubile del nucleo (vedi sezione 3.3.4).
Questo tipo di processi influenza la rimozione di particelle atmosferiche anche pernubi non precipitanti. In tal caso infatti alla fine le gocce evaporano lasciando unaparticella aggregata costituita dal nucleo iniziale e dalle altre particelle raccolte dallagoccia durante la sua vita. In tal modo si determina quindi una variazione dello spettrodimensionale.
6.8 Sovrapposizione di effetti
I processi fisici analizzati nei paragrafi precedenti sono caratterizzati da un range tipi-co di attivita, definito usualmente in termini del numero di Knudsen. Per esempio,la deposizione browniana e molto efficiente per particelle molto piccole, la catturaaerodinamica per particelle grandi (r > 1 µm in atmosfera). In generale, tuttavia,ed in particolare nel range dimensionale che riguarda maggiormente l’evoluzione del-l’aerosols atmosferico (0.1 µm < r < 1 µm), i processi fondamentali si sovrappon-gono e la rimozione deve essere descritta in termini di diversi meccanismi che agisconosimultaneamente.
Guardando l’eq. 6.1, che descrive il moto di una singola particella, appare come isingoli meccanismi si possono sovrapporre linearmente fintantoche’ influenzano il mo-to della particella. Nascono tuttavia due tipi di problemi. Il primo e connesso allatermodinamica del sistema: di fatto, parametri quali il campo di vapor d’acqua, ditemperatura o il campo elettrico non sono parametri esterni ma sono influenzati inmodo diverso dall’interazione tra le idrometeore e le particelle. Si e soliti trascurarequesta interazione o trattarla in modo semplificato. Il caso della rimozione di goccein crescita in nubi in fase mista e un caso tipico che non puo venire trattato con lasemplice sovrapposizione lineare.
La seconda complessita nasce quando un processo random e coinvolto, come per ladiffusione turbolenta o browniana. In questo caso le formulazioni di stato stazionario dialtri meccanismi non possono essere applicate dopo la procedura di media: e necessariauna trattazione piu attenta. Esempio di questo tipo di problema e la deposizione diparticelle su superfici evaporanti in un ambiente turbolento.
Slinn e Hales (1971) hanno dato la prima trattazione degli effetti di sovrapposizioneesaminando il comportamento di idrometeore sferiche durante evaporazione o conden-
6.9. NUMERI DI SHERWOOD E DI NUSSELT 189
sazione stazionaria, scrivendo un’equazione di bilancio tra il flusso diffusivo brownianao(nella approssimazione di tempi lunghi, t→ ∞) e i flussi foretici. Le conclusioni trattesono che la termoforesi gioca un ruolo rilevante anche se le ipotesi fatte sono molto sem-plificative: l’idrometeora viene assunta stazionaria rispetto all’ambiente e questo portaa trascurare l’effetto di ventilazione che modifica la struttura dei campi di temperaturae della concentrazione di vapore acqueo che circonda l’idrometeora. L’assunzione diequilibrio allo stato stazionario di tutti i processi non consente una valutazione delruolo della fase transiente di ciascun processo. Inoltre i differenti kernel di catturavengono sovrapposti trascurando le interazioni tra di loro.
Un primo passo verso un approccio piu realistico al problema della rimozione diaerosols e tenere in considerazione il moto dell’idrometeora rispetto all’ambiente e isuoi effetti nel modificare i campi di temperatura e di vapore.
6.9 Numeri di Sherwood e di Nusselt
E utile introdurre il numero di Sherwood, che descrive il flusso diffusivo globale dimassa in un gradiente di concentrazione:
NSh =
L∫
S−D~∇n · dn
S (ns − n∞)D(6.47)
dove S e la superficie totale dell’area di scambio, L e la scala delle lunghezze, n laconcentrazione (ns alla superficie, n∞ a grande distanza dalla superficie stessa), Dil coefficiente di diffusione e n il versore normale alla superficie S che punta versol’esterno; un caso particolarmente e rappresentato dal flusso di vapore (ρv = n m0 conm0 massa di una molecola d’acqua, D = Dv) su una sfera:
NSh =
2∫
S
(
−Dv∂ρv
∂r
)
dS
Dv 4π A (ρv − ρv∞).
Il numero di Sherwood fornisce il rapporto tra il trasporto diffusivo (flusso) reale dimateria (in presenza di un campo perturbato) da o verso una superficie S (pari a∫
S−D~∇n ·dn) e quello che si avrebbe su una superficie S in un campo con un gradiente
lineare su una distanza L con concentrazione che varia da ns a N∞. Da quindi un’ideadella deformazione del campo reale rispetto al campo lineare, deformazione dovuta allacomplessita geometrica della superficie e a fattori esterni (quali il moto del fluido).
C’e poi una analogia matematica completa tra i trasferimenti di massa e di calore.Cosı vi e un numero di Nusselt con la diffusivita termica kf al posto di Dv:
NNu =
L∫
S−kf
~∇T · dnS (Ts − T∞) kf
(6.48)
190 CAPITOLO 6. RIMOZIONE: I MECCANISMI FISICI
e un coefficiente di ventilazione per il calore fq con kf al posto di Dv.
La valutazione del numero di Sherwood (o Nusselt) si riduce eventualmente alcalcolo dell’integrale del flusso attraverso la superficie S. Per esempio, nel caso delladiffusione browniana di particelle di aerosol attraverso una sfera di raggio A trattatoprecedentemente, il flusso e dato dall’equazione (6.39) ed il numero di Sherwood risultaper t → ∞: NSh = L
A= 2, se scegliamo come lunghezza caratteristica L il diametro
della sfera.
6.9.1 L’analogo elettrostatico
Storicamente Maxwell risolse il problema della diffusione di massa e di calore su di unasuperficie S (che e cruciale ad esempio nel determinare il tasso di crescita di una goc-ciolina per condensazione o un cristallo per diffusione di vapore nel qual caso D = Dv)utilizzando una analogia tra l’equazione di diffusione e le equazioni dell’elettrostaticache descrivono la distribuzione del potenziale elettrostatico φ attorno ad un conduttorecarico. Le grandezze analoghe sono costituite da D n e da φ; l’analogia e possibile inquanto anche il campo scalare n soddisfa l’eq. di Poisson ∇2 n = 0, assunto che n(~r, t)sia stazionario, e purche si supponga che n e costante sulla superficie S cosı come φ ecostante sulla superficie di un conduttore. Nella (6.47) nel termine a numeratore siamo
interessati a calcolare il flusso di −D ~∇n; l’analogia ci consente di poter calcolare ilflusso ~φ attraverso la superficie S di un conduttore. Usando la legge di Gauss
essendo C la capacita elettrostatica (si noti che C ha le dimensioni di una lunghezzain cgs; ricordiamo che per passare in MKS basta sostituire a 4π 1/ε0).
di modo che il numero di Sherwood (6.47) puo essere espresso da:
NSh = 4π CL
S(6.51)
avendo assunto per il coefficiente di diffusione D un valore costante. Per un oggettoche cade, S/L puo essere valutato come il perimetro della sezione del corpo esposta alflusso.
Alcune espressioni per C, adatte a forme cristalline comuni, sono:
• per la sfera: C = A;
• per il disco circolare di raggio A: C = 2A/π;
6.9. NUMERI DI SHERWOOD E DI NUSSELT 191
• per lo sferoide oblato (semiassi A e B con A > B) che approssima forme planaridi diversi spessori:
C =Ae
arcsin ee =
√
1 − B2/A2;
• per lo sferoide prolato (semiassi A e B con A > B), che approssima cristallicolonnari prismatici:
C =a
ln[(a+ A)/B]a =
√A2 − B2;
se B << A lo sferoide prolato approssima bene i cristalli aghiformi e si ha:
C =a
ln[2A/B].
Per un oggetto in moto, il numero di Sherwood si modifica rispetto al caso di assenzadi moto a causa della deformazione del campo di concentrazione. Si introduce allora ilfattore di ventilazione
fv =dm/dt
(dm/dt)0
=NSh
NSh, 0(6.52)
rapporto tra i flussi di massa nel casi di una goccia in moto ed in quiete. Si noti cheNSh = 2fv per la sfera.
In modo del tutto generale ci si puo aspettare che NSh sia una funzione del numerodi Reynolds, del numero di Schmidt (NSc = ν/D) e del numero di Sherwood dellostesso oggetto in quiete NSh0. Sperimentalmente si ha una formula del tipo:
NSh = NSh0 + C NnSc N
mRe. (6.53)
Per alti numeri di Reynolds, Pasternak e Gauvin (1960) hanno mostrato che i valoridi NSh per particelle di diversa forma possono essere unificati calcolando il numero diReynolds mediante una lunghezza L? calcolata come il rapporto tra l’area superficialetotale e il perimetro normale al flusso.
Per particelle sferiche esistono misure sperimentali a bassi NRe (Beard e Pruppach-er, 1971)
NSh = 2.00 + 0.216(
N1/3Sc N
1/2Re
)2; N
1/3Sc N
1/2Re ≤ 1.4 (6.54)
NSh = 1.56 + 0.616(
N1/3Sc N
1/2Re
)2; N
1/3Sc N
1/2Re > 1.4 (6.55)
mentre per sferoidi oblati (rapporto tra gli assi 0.05) Pitter et al (1974) hanno risoltol’equazione di diffusione e convezione a NRe intermedi e propongono:
NSh = 1.312 + 0.186(
N1/3Sc N
1/2Re
)2; N
1/3Sc N
1/2Re ≤ 0.71 (6.56)
NSh = 1.229 + 0.234(
N1/3Sc N
1/2Re
)2; N
1/3Sc N
1/2Re > 0.71 (6.57)
192 CAPITOLO 6. RIMOZIONE: I MECCANISMI FISICI
Figura 6.13: Efficienza di cattura come funzione del raggio delle particelle di un pen-nacchio misurata da Hobbs et al.; per confronto vengono mostrate le misure ottenuteda altri autori e la curva derivata dal modello di Wang et al. (1978) con umiditarelativa del 95%, T = 10, p = 900mb e dimensione delle gocce 310 µm (NRe = 100.
Utilizzando l’ipotesi che la lunghezza L? possa essere usata anche a NRe interme-di, Hall e Pruppacher (1976) hanno fornito relazioni semiempiriche per il fattore diventilazione per il trasferimento di massa, fv = 0.5NSh:
fv = 1.0 + 0.14(
N1/3Sc N
1/2Re, L?
)2; N
1/3Sc N
1/2Re, L? ≤ 1.0 (6.58)
fv = 0.86 + 0.28(
N1/3Sc N
1/2Re, L?
)2; N
1/3Sc N
1/2Re, L? > 1.0 (6.59)
Analogamente e definito il fattore di ventilazione per il trasferimento di calore fh,sostituendo NSh con NNu e NSc con NPr. Poiche NPr ' NSc, in condizioni atmosferichetipiche, si puo assumere per fh la stessa forma di fv. Riassumendo, i coefficienti diventilazione permettono di valutare la variazione del flusso di massa o di calore tra uncorpo e l’ambiente causata dal moto del corpo stesso.
Questi fattori, ai fini del problema della rimozione dell’aerosol, permettono di tenerconto della modifica dei campi di vapore e temperatura attorno all’idrometeora comefunzione della velocita e quindi di valutare le variazioni delle forze foretiche agentisulle particelle di aerosol. Quando, in questo contesto, si tiene conto della diffusionebrowniana verso l’idrometeora si introduce un fattore di ventilazione fp per le par-ticelle, che tiene conto della modifica del campo di concentrazione. In mancanza dideterminazione diretta di fp si propone di utilizzare la stessa formula di fv, calcolandoil numero di Schmidt mediante il coefficiente di diffusione browniana delle particelle.
6.9. NUMERI DI SHERWOOD E DI NUSSELT 193
Figura 6.14: Efficienza di collezione in funzione del raggio sferico dell’ostacolo misuratada Kerker e Hampl (1974) per particelle di cloruro di argento (triangoli vuoti) e daWang e Pruppacher (1977) per particelle di acetil-acetonato di indio con densita ρ =1.3 × 10−3 kg/m3 e raggio 0.25 µm (triangoli pieni).
Poiche i numeri di Schmidt per le particelle sono alti, il fattore di ventilazione fp risultacorrispondentemente elevato, quindi la cattura browniana e fortemente accresciuta dalmoto dell’idrometeora.
Bisogna ora sottolineare che i fattori di ventilazione danno una stima globale dell’ef-fetto del moto in condizioni stazionarie (come richiesto dalla definizione del NSh). Moltiprocessi in atmosfera sono pero caratterizzati da condizioni transienti; tali processi nonpotranno quindi essere descritti da questo approccio medio e asintotico. Ciononostantequesto rimane l’approccio piu comunemente usato, vista la sua capacita di trattareproblemi molto complessi.
Si noti che la cattura di particella singola viene descritta dalla (6.1) usando le espres-sioni corrette per le forze elettrostatiche, foretiche e per la resistenza del mezzo. Invecela cattura dovuta alla diffusione browniana viene descritta dall’equazione di diffusioneapplicata alla concentrazione di particelle. Pertanto, l’espressione complessiva per lacattura di particelle da parte di una idrometeora, che includa la cattura aerodinamica,gli effetti foretici ed elettrostatici, e la diffusione browniana, sara data in termini delflusso di particelle verso l’idrometeora. Seguendo l’approccio prima discusso, viene pre-so l’equilibrio tra le varie forze e la resistenza del fluido (vp = 0 in eq.(6.1)) e si assumelo stato stazionario per il flusso browninano (evitando quindi dipendenza esplicita daltempo). Il flusso di particelle verso una idrometeora a riposo rispetto all’ambientediventa:
~j = n (~vs + ~vth + ~vd + ~ve) −D ∇n (6.60)
ove la velocita termoforetica ~vth si ottiene dalla (6.13), la velocita diffusioforetica ~vd
dalla (6.23), ~vs e la velocita di sedimentazione dovuta alla gravita e ~ve viene dall’equi-
194 CAPITOLO 6. RIMOZIONE: I MECCANISMI FISICI
librio tra forza di drag viscoso e forze elettrostatiche. Il termine D ~∇n rappresenta ilcontributo della diffusione browniana.
Per una idrometeora sferica in movimento, i campi circostanti (di vapore, tempera-tura, concentrazione) non hanno simmetria sferica. Per ogni forma dell’idrometeora icampi sono fortemente deformati dal fluido in movimento. In queste condizioni, Wanget al. (1978) hanno proposto che una correzione del primo ordine (rispetto alla situ-azione senza movimento) possa esser fatta introducendo i coefficienti di ventilazione fv,fp, fh per i campi di massa di vapore, concentrazione di particelle e temperatura. talicoefficienti sono utilizzati per valutare il rafforzamento dei flussi verso l’idrometeora.Pertanto il valore di ciascun contributo al flusso totale viene calcolato sulla base deigradienti rispetto all’idrometeora a riposo, e il valore risultante viene modificato con ilcorretto coefficiente di ventilazione.
I calcoli numerici basati su questo modello sono stati fatti per sfere da Wang et al.(1978) e per sferoidi oblati da Martin et al. (1980). I valori risultanti per l’efficienzadi collezione come funzione del raggio della particella possono essere raggruppati comefunzione del NRe (vedi figs. 6.11-6.12). Si puo notare che come NRe cresce l’efficienza dicollezione per particelle piccole diminuisce poiche l’aumento del flusso non bilancia lariduzione di efficienza causata dall’allargamento delle linee di flusso attorno all’ostacolo.D’altra parte, l’efficienza di collezione, dovuta all’impatto, mostra una forte crescitaper un valore critico di NRe (a seconda delle dimensioni della particella). Le efficienzedi collezione per sfere a NRe = 0.1, 1, , 10, 100, T = 10, umidita relativa 50% e100% sono riportate in fig. 6.11. Fig. 6.12 mostra l’efficienza di collezione per sferoidioblati con NRe = 0.1, 1, , 10, 50, T = −10, umidita relativa 50% e 100%. Nessunacarica elettrica e presente.E importante confrontare questi calcoli teorici con risultatisperimentali, sia da laboratorio che ambientali.
Hobbs et al. (1976) hanno analizzato la distribuzione dimensionale di un pennac-chio con particelle da 10−2 a 5 µm, prima e dopo una pioggia. Per coprire l’interospettro dimensionale hanno utilizzato diversi strumenti di conteggio. Le efficienze dicollezione ottenute sono riportate in fig. 6.13 insieme ad altri valori proposti da al-tri autori (vengono usati valori del RR misurati da aeroplani e spettri dimensionalidelle gocce di pioggia). Le efficienze misurate risultano piu grandi di quelle predetteteoricamente e presentano due minimi a 0.1 µm e 1 µm.
6.10 Conclusioni
Si e visto come il livello di conoscenza dei diversi meccanismi fisici che portano arimozione sia diversa e come sia solo parziale la descrizione dei processi di rimozioneche avvengono in presenza di sovrapposizione dei diversi meccanismi. Gli argomentiove sono necessari approfondimenti sono:
1. l’interazione tra il campo di flusso attorno alle idrometeore e quello delle particelleche per esempio, modifica il drag di cristalli in caduta;
6.11. ESERCIZI 195
2. l’uso di equazioni lineari per esprimere la sovrapposizione di vari meccanismi,valida solo in pochi casi;
3. gli aspetti dei transienti di molti processi reali, che richiedono una descrizionedipendente dal tempo come:
• l’oscillazione di cristalli e gocce in caduta, che ne influenza il meccanismo dicattura;
• il tempo di rilassamento di diversi campi (T e vapore) attorno ad unaidrometeora nell’ambiente reale;
• collisioni dipendenti dal tempo dovute al moto browniano e le sue interazionicon altre forze;
4. le forme geometriche reali dei cristalli e degli ostacoli, che possono essere impor-tanti nel determinare le velocita di collezione e le intensita locali dei campi ditemperatura e di vapore;
5. la profondita effettiva dello strato viscoso attorno agli ostacoli, e la sua strutturain regime turbolento;
6. impatti di particelle nel regime di transizione dei NRe;
7. diffusio e termoforesi nel regime di transizione dei NKn;
8. la presenza e la distribuzione delle cariche elettriche sulle particelle e sulle idrom-eteore che ne modificano l’efficienza di collezione;
9. esperimenti di laboratorio in condizioni controllate dei diversi meccanismi insovrapposizione, di modo da valutarne gli effetti combinati ed il singolo peso.
6.11 Esercizi
6.11.1 Numeri fluidodinamici
1. Calcolare il numero di Reynolds e quello di Froude di aria che soffia a U = 1m/spassante su un cilindro diametro 2L = 1 cm.
Il numero di Reynolds NRe (che non dipende dalle proprieta fisiche del cilindroma solo dalle sue dimensioni) vale:
NRe =ρ
µ2U L = .67 × 105 × 1 × 10−2 = 6.7 × 102 1
e quindi la viscosita e trascurabile, si puo applicare l’approssimazione di Eulero;Il numero di Froude NFr vale:
NFr =U2
2L g= 10.2 1
196 CAPITOLO 6. RIMOZIONE: I MECCANISMI FISICI
e quindi la gravita ha un ruolo importante.
Supponendo ora di avere una particella sferica di densita ρp = 103kg/m3 e raggior = 10 µm che sguazza nell’aria di cui sopra determinarne il numero di Stokes.
Il numero di Stokes NStk vale:
NStk =2r2 ρp U
9µ L= 4.4 × 10−3 1.
2. Calcolare il numero di Reynolds di un cristallo di ghiaccio (a −10C per l’ariasi ha una viscosita dinamica µ = 1.66 × 10−5 kg/(m s)) di forma ellissoidale consemiasse maggiore A = 850 µm, rapporto assiale 0.05 e velocita terminale dicaduta vT = 87.2 cm/s.
Si ha:
NRe =ρ
µ2vT A =
1.0
1.66 × 10−5× 0.872 × 1700 × 10−6 = 89 1
3. Dare una stima di NRe per una macchina da corsa in formula 1. Prendendo comevelocita 300 km/h = 83.3m/s, ν = 0.15 cm2/s, A = 1m si ha:
NRe =2U A
ν=
2 × 83.3
0.15 × 10−4= 1.1 × 107 1.
Capitolo 7
Idrodinamica degli elementi diprecipitazione
Abbiamo parlato in precedenza delle caratteristiche di moto del fluido dal punto divista della cattura aerodinamica delle particelle di aerosol, che e appunto influenzatadalle diverse velocita del flusso e dalle dimensioni e forme degli ostacoli o elementidi precipitazione. Ritorniamo un momento indietro per vedere come le caratteristichestesse di moto di un fluido entrano nella determinazione della idrodinamica della singolaparticella di nube o di precipitazione (a partire dalla stessa velocita terminale vT ).
7.1 Le equazioni di Navier-Stokes
Ricordiamo l’equazione di continuita per il fluido in moto
1
ρ
dρ
dt= −~∇ · ~u (7.1)
Se il fluido e incompressibile1 dρdt
= 0 e l’equazione di continuita diviene
~∇ · ~u = 0. (7.2)
1Il flusso di un fluido attorno ad un oggetto puo essere considerato incompressibile se sono verificatele seguenti:
• la velocita caratteristica del flusso e molto piu piccola della velocita del suono nel fluido (inaria a STP pari a 340 m/s) v vsuono;
• la frequenza di oscillazione dominante del flusso f soddisfa f vsuono/L, ove L e la dimensionecaratteristica dell’oggetto attorno al quale si studia il flusso;
• L g/v2suono con g accelerazione di gravita;
•∣
∣
∣
T−T∞
T∞
∣
∣
∣ 1 ovvero la temperatura dell’oggetto T e del fluido T∞ sono vicine.
197
198 CAPITOLO 7. IDRODINAMICA DEGLI ELEMENTI DI PRECIPITAZIONE
L’equazione del moto per fluidi ordinari incompressibili2 in presenza di gravita diventa
ρd~u
dt= ρ
∂~u
∂t+ ρ
(
~u · ~∇)
~u = −~∇p+ µ∇2~u − ρ~∇φ (7.4)
o equazione di Navier - Stokes. ρ e la densita del fluido, φ e il potenziale associato aqualsivoglia campo conservativo (ad esempio quello gravitazionale) mentre il termineµ∇2~u e il termine che tiene conto degli effetti viscosi e µ e il coefficiente di viscosita.
La soluzione della (7.4) consente di determinare il campo di velocita. Quando ilflusso avviene attorno ad un ostacolo dovremo risolvere la (7.4) imponendo le condizionial contorno. La piu importante delle condizioni al contorno e che un fluido reale (cioe unfluido che abbia viscosita, altrimenti non vi e motivo che la componente della velocitatangenziale alla superficie sia nulla, lo sara solo quella normale) aderisca alla superficiemateriale di contatto: e questa la condizione di non scorrimento3 (no-slip boundarycondition). Essa si traduce in ~vS = ~uS se ~vS e la velocita della superficie del corpo.L’altra condizione al contorno tipica consiste nell’imporre alla velocita del fluido agrande distanza un valore asintotico costante.
Se usiamo la (B.10) ed introduciamo la viscosita specifica ν = µ/ρ la (7.4) diventa:
∂~u
∂t+(
~ξ × ~u + 1/2~∇u2)
= −~∇pρ
+ ν∇2~u − ~∇φ (7.5)
ove ~ξ = ~∇× ~u e la vorticita. Se ora prendiamo il rotore della (7.5) e ci ricordiamo cheogni gradiente e irrotazionale si arriva a:
∂~ξ
∂t+ ~∇×
(
~ξ × ~u)
= ν∇2~ξ (7.6)
che se si trascura il secondo termine nel membro di sinistra diventa un’equazione didiffusione per la vorticita con ν come coefficiente di diffusivita. Il termine di destraci dice che la vorticita diffonde attraverso il fluido ovvero che, in qualche modo, sispargera in giro.
7.1.1 Pressione statica e pressione dinamica
Se il fluido e a riposo ~u = 0 e l’unica forza conservativa e la gravita, l’eq. (7.4) si riducead una eq. per la pressione statica ps:
~∇ps = ρ~g = −~∇(ρ g z) (7.7)
2Per fluidi compressibili l’eq del moto risulta invece:
ρd~u
dt= ρ~F −∇p + µ∇2~u + (µ′ + µ)∇ (∇ · ~u) (7.3)
3Questo effetto spiega ad esempio il perche le pale di un ventilatore raccolgano uno strato di polveree che questa permanga dopo che il ventilatore ha continuato ad agitare l’aria.
7.2. SIMILARITA DINAMICA E NUMERO DI REYNOLDS 199
con ρ assunto costante, g = |~g| e z l’altezza dalla superficie. Da questa legge si ricavail principio di Archimede osservando che la forza di pressione statica totale che agiscesu un corpo di volume V e superficie S (con normale n) diventa:
~FArchimede = −∫
Sn ps dS = −
∫
V
~∇ps dV =∫
V
~∇(ρ g z) dV = ρ g V ez. (7.8)
Tale legge puo essere applicata indifferentemente ad un volume V di fluido oppure alcaso di moto di una particella in un fluido. In tal caso la forza di galleggiamento cheagisce su un oggetto immerso in un fluido sara pari al peso del fluido spostato. Si noticomunque che, all’atto pratico, la forza di galleggiamento di una particella in aria equasi sempre trascurabile rispetto a quella di gravita, essendo
ρaria
ρpart.
' 10−3 (7.9)
Passando ad un regime dinamico possiamo usare la (7.7) e riscrivere il termine
− ~∇pρ
+ ~g come − ~∇p′
ρcon p′ = p − ps la pressione dinamica. D’ora in poi tutte le
pressioni saranno pressioni dinamiche.
7.1.2 Condizioni stazionarie
Un’altra semplificazione e possibile per la maggior parte delle considerazioni in atmos-fera. Supponiamo di lasciar cadere dalla quiete un elemento di nube o precipitazione(goccioline o cristalli). Se tale elemento non e troppo grande o troppo irregolare, leforze del fluido che oppongono resistenza al suo moto faranno equilibrio alla gravita esi avra una caduta in stato stazionario con una certa velocita terminale vT . Possiamoallora studiare il flusso del fluido nel sistema di riferimento solidale con la particella checade. Se il moto e intrinsecamente stazionario (assenza di oscillazioni e rotazioni dellaparticella), si puo eliminare ∂~u
∂te l’equazione di Navier - Stokes diventa stazionaria:
(
~u · ~∇)
~u = −~∇p′ρ
+ ν∇2~u (7.10)
Il cosidetto termine d’inerzia(
~u · ~∇)
~u non e lineare e la soluzione dell’equazione pre-senta notevoli difficolta. Le soluzioni complete sono possibili solo in casi specialissimi,quali ad esempio il flusso intorno a una sfera rigida impermeabile; tale modellizzazionefunziona bene nel caso delle goccioline. Per altri casi di notevole interesse in fisica dellenubi, quali il comportamento idrodinamico di gocce di pioggia e cristalli di ghiaccio sicercano soluzioni numeriche o approssimate vista la forma non sferica degli oggetti incaduta.
7.2 Similarita dinamica e numero di Reynolds
Cerchiamo ora di scrivere l’equazione di Navier-Stokes in modo che nessun parametrocon le dimensioni di una lunghezza o di una velocita compaia in essa. Supponiamo che la
200 CAPITOLO 7. IDRODINAMICA DEGLI ELEMENTI DI PRECIPITAZIONE
specificazione delle condizioni iniziali ed al contorno per un certo flusso implichi qualchelunghezza rappresentativa L e qualche velocita caratteristica U . L e U diverranno allorale scale di lunghezza e di velocita; di conseguenza L/U sara la scala di tempo. Possiamocioe introdurre i parametri adimensionali u′ = u/U , t′ = tU/L, x′ = x/L.
In queste nuove variabili, e con p′ = (p − p0)/ρ U2 (ove p0 e qualche valore rapp-
resentativo della pressione nel fluido), compare un numero Re = ρ L U/µ, parametroadimensionale. Infatti osservando che si ha ∇′ = L∇ l’eq. 7.4 si riscrive:
U2
L
∂~u′
∂t′+U2
L
(
~u′ · ~∇′)
~u′ = −U2
L~∇′p′ + ν
U
L2∇′2 ~u′ (7.11)
o meglio semplificando:
∂ ~u′
∂t′+(
~u′ · ~∇′)
~u′ = − ~∇′p′ +1
Re∇′2 ~u′ (7.12)
e, equivalentemente, in termini di vorticita ~ξ′ = LU~ξ
∂~ξ′
∂t′+ ~∇′ ×
(
~ξ′ × ~u′)
=1
Re∇′2~ξ′. (7.13)
Le soluzioni delle variabili incognite u′ e p′ che soddisfino le opportune condizioni alcontorno possono dipendere solo da:
• le variabili indipendenti x′ e t′,
• il parametro Re,
• i rapporti adimensionali che occorrono a specificare le condizioni al contorno ediniziali.
Questo passaggio a variabili adimensionali non e superficiale come sembra, marivela che esiste una famiglia triplamente infinita di soluzioni, in base alla scelta di ρ,L, U e µ, in modo che il valore del parametro adimensionale Re rimanga invariato.Tutti quei flussi che soddisfano le stesse condizioni iniziali ed al contorno (se espressein forma adimensionale) ed hanno lo stesso Re sono descritti dalla medesima soluzionea-dimensionale. Questi flussi sono detti dinamicamente simili, poiche le grandezze deivari termini nell’equazione del moto, che rappresentano le forze (viscose, di pressione,di inerzia) che agiscono in una data posizione adimensionale del fluido, sono nello stessorapporto in tutti questi flussi.
Questo principio di similarita dinamica4 e usato ampiamente come un mezzo perottenere informazioni su flussi sconosciuti tramite esperimenti condotti in condizionifisiche piu convenienti di quelle del flusso incognito (si pensi ad esempio ai tunnelaerodinamici per aerei in scala ridotta o alle gallerie del vento).
4Si noti che questo principio vale solo nel caso di fluidi incompressibili. Altrimenti interviene ancheun altro numero, il numero di Mach, cioe il rapporto tra velocita e velocita del suono nel fluido. Intal caso due flussi saranno simili se sia il numero di Mach che quello di Reynolds sono gli stessi.
7.2. SIMILARITA DINAMICA E NUMERO DI REYNOLDS 201
7.2.1 Il numero di Reynolds
Il numero di Reynolds e espresso in funzione della viscosita specifica del fluido, diuna velocita caratteristica e di una lunghezza tipica del problema. Mentre U∞ sarala velocita del fluido imperturbato a grandi distanze dall’ostacolo attorno al quale sistudia il flusso le dimensioni lineari caratteristiche del problema sotto esame hannoun fattore 2 di ambiguita. Cioe o vengono definite come il diametro massimo di unostacolo, la distanza fra le pareti di un condotto, il diametro di una sfera ,. . . nel qualcaso scriveremo L = D e useremo la notazione
NRe ≡L U∞ν
=D U∞ν
(7.14)
oppure faremo riferimento a meta di tali grandezze e scriveremo L = a, usando lanotazione
Re ≡ L U∞ν
=a U∞ν
=NRe
2(7.15)
Il numero di Reynolds stabilisce l’importanza relativa del termine d’inerzia (~u · ~∇)~u
e del termine viscoso ν∇2~u nelle eqs. di Navier-Stokes. Infatti ~u · ~∇~u sara dell’ordinedi U2
∞/a e ν∇2~u dell’ordine di νU∞/a2 per cui∣
∣
∣
(
~u · ~∇)
~u∣
∣
∣
|ν∇2~u| ' U∞ a
ν≡ Re =
NRe
2(7.16)
Esempi: molte particelle di nube hanno NRe molto piccoli. Ad esempio particellesferiche con a = 10 µm con U∞ = 1.2 cm/s e ν = 0.15 cm2/s (viscosita dell’aria aT = 20C e p = 1000 mb) hanno NRe = 0.02; nelle stesse condizioni particelle cona = 30µm hanno NRe = 0.4. Al crescere delle gocce NRe va via via aumentando percheaumenta sia L che U∞: con a = 50 µm NRe = 2, con a = 150 µm NRe = 20 e cona = 4.5mm NRe > 2 × 103.
7.2.2 Classificazione dei flussi attorno ad una sfera/cilindrocon il numero di Reynolds
Vediamo cosa ci si deve attendere qualitativamente a vari NRe per un flusso attorno aduna sfera o equivalentemente ad un cilindro circolare. Usando un sistema di riferimentonel quale la sfera e a riposo, la condizione di non scorrimento sulla superficie richiedeche la velocita del fluido decresca a zero alla superficie. Cosı la superficie puo essereconsiderata come una sorgente di shear e di momento angolare. Questo puo esseremisurato dalla vorticita ~ξ ≡ ~∇× ~u = 2~ω ove ~ω e la velocita angolare locale del fluido.
Piccoli valori del numero di Reynolds Re 1 indicano che l’inerzia del fluido etrascurabile, gli effetti viscosi dominano ed il moto del fluido viene descritto dalla (7.10)
trascurando il termine non lineare ~u· ~∇~u: si parla di flusso viscoso o di Stokes, descrittodall’equazione:
~∇p′ρ
= ν∇2~u. (7.17)
202 CAPITOLO 7. IDRODINAMICA DEGLI ELEMENTI DI PRECIPITAZIONE
Figura 7.1: Flusso viscoso a bassa velocita intorno ad una sfera.
Figura 7.2: Flusso trasversale intorno ad un cilindro per piccoli numeri di Reynolds.
Alternativamente si puo dire che il flusso e caratterizzato da diffusione di vorticitalontano dalla sfera (vedi fig. 7.1). Il fluido in immediato contatto col corpo infattie trascinato via alla stessa velocita del corpo e cio comporta generazione di vorticitapresso il corpo (causa la presenza di shear della velocita). L’approssimazione di Stokesha questo significato: c’e generazione di vorticita e questa diffonde in tutte le direzioni(non in modo privilegiato avanti o dietro l’ostacolo). Questo lo si puo vedere prendendoil rotore della (7.17) e ricordando che ρ e costante e che i rotori dei gradienti sono nulli;solo il termine di destra ha rotore non nullo e sara:
∇2(
~∇× ~u)
= ∇2~ξ = 0 (7.18)
che e proprio l’equazione stazionaria di diffusione della vorticita. Questo flusso e ab-bastanza semplice e presenta una simmetria avanti-dietro rispetto al piano che separala sfera in emisfero a monte e a valle.
Per NRe ∼ 2 c’e una tendenza, per la parte della vorticita generata alla superficiedella sfera, di venire trasportata a valle. Cio porta ad una asimmetria del flusso, conla maggior parte della vorticita confinata nel retro della sfera in una regione simile adun paraboloide (wake), con il vertice sulla sfera e simmetria rispetto all’asse di moto(vedi fig. 7.2). In tale regione compare della circolazione.
A Re ≈ 10 la scia si restringe e la vorticita al suo interno cresce. Instabilitadell’onda si verifica per NRe ∼ 130 (Re ∼ 65) e per valori di Re piu grandi il flusso
7.2. SIMILARITA DINAMICA E NUMERO DI REYNOLDS 203
Figura 7.3: Flusso trasversale intorno ad un cilindro per alti numeri di Reynolds.
e intrinsecamente non stazionario. Per Re = 10 una regione di fluido circolante vienea formarsi dietro alla sfera e tale vortice cresce in forza e dimensioni all’aumentare diRe.
Il flusso cambia completamente carattere quando si arriva attorno a Re ∼ 20: unodei vortici dietro al cilindro diventa cosı lungo che si rompe e se ne va con la correntedel fluido. Poi il fluido si piega ad anello dietro al cilindro e produce un nuovo vortice.I vortici si staccano alternativamente dai due lati: si ha la scia di vortici di Karmancome illustrato in alto in fig. 7.3. Mentre i regimi di fig. 7.2 sono pressocche stazionaricon Re > 20 non esistono soluzioni stazionarie ma la velocita varia col tempo, anchese in un modo regolare e ciclico.
Aumentando ancora Re, cioe al crescere della velocita del fluido, vi e sempre menotempo perche la vorticita possa diffondere in una piu vasta regione di fluido. La regionevorticosa si va allora a concentrare una banda sottile detta strato limite: in tale regioneil flusso e caotico e irregolare. In tale regione turbolenta le velocita sono molto irregolarie rumorose e il flusso non e piu bidimensionale ma si “contorce” in 3 dimensioni. Intal caso si dice che si ha “separazione dello strato limite”.
A NRe ∼ 400 la vorticita generata entro la scia oscilla e anelli vorticosi comincianoa staccarsi entro la scia. Al di fuori della sfera vi e poca vorticita: il flusso al di fuoridell’onda tende ad essere irrotazionale (~ξ = ~∇× ~u = 0) in maniera crescente al crescere
di Re. La viscosita non ha alcun effetto essendo ∇2~u = ~∇~∇ · ~u − ~∇ × ~∇ × ~u = 0.Tale flusso si comporta cioe come un flusso non viscoso irrotazionale: si parla di flussopotenziale. Come dice il nome il campo di velocita puo essere espresso come il gradientedi un potenziale: ~∇× ~u = 0 implica che ~u = ~∇Φ con ∇2Φ = 0.
204 CAPITOLO 7. IDRODINAMICA DEGLI ELEMENTI DI PRECIPITAZIONE
Il flusso potenziale prevale quasi ovunque con Re 1 e riflette il prevalere deltermine di inerzia su quello di viscosita. Si noti pero che vicino alla sfera non puoesserci, come si e detto, flusso potenziale poiche la condizione di non slip genera shearse forze viscose della stessa intensita di quella d’inerzia. Tantomeno tale flusso puosussistere nell’onda portatrice di vorticita. Lo spessore di fluido nel quale si passa dallaregione dominata dal termine viscoso a quella dominata dal flusso potenziale vienedetta boundary layer e si puo vedere che e proporzionale a Re−1/2.
Aumentando ancora Re la regione turbolenta si fa man mano piu strada a valle delcilindro. Per flussi con Re 105 le linee di flusso abbandonano il cilindro: si e nelregime di “strato limite turbolento” come mostrato in basso a sinistra in fig. 7.3.
Nel caso di studio del flusso d’aria attorno alle gocce di pioggia in generale la fisica eresa difficile dal fatto che i numeri di Reynolds possono avere ordini di grandezza dellecentinaia; pertanto la conoscenza del flusso si potra ottenere solo con l’osservazionesperimentale oppure l’integrazione numerica della equazione completa del moto (chee appunto l’equazione di Navier Stokes). Si noti che per gocce d’acqua a cio va adaggiungersi una complicazione ulteriore: la deformazione della goccia, che a sua voltacambia il flusso che la circonda. Inoltre piu la goccia e grande maggiore e la tendenzaa sviluppare una complessa circolazione interna che va ad influenzare la circolazionecomplessiva. Solo per gocce con a < 500 µm (corrispondente a Re < 130, NRe < 260),la goccia puo considerarsi come una sfera rigida.
7.3 Forze idrodinamiche: portanza e drag (trasci-
namento)
Esaminate le forze principali generalmente presenti all’interno di un fluido ci poniamoil problema della forza che agisce su di un corpo immerso nel fluido in movimento,oppure su di un corpo che si muova entro un fluido in quiete.
Il tipo di flusso prodotto da un corpo in un fluido e di grande rilevanza per le appli-cazioni. L’aspetto che piu interessa per un corpo rigido in moto stazionario traslazionalee appunto la forza esercitata sul corpo dal fluido. I contributi a questa forza totalesono costituiti dallo sforzo tangenziale alla superficie del corpo, integrato su tutta lasuperficie, e dallo sforzo normale.
La parte di forza totale dovuta allo stress tangenziale sara opposta in direzionealla velocita del corpo (o del fluido) e viene chiamata resistenza frizionale poiche einteramente e direttamente conseguenza della viscosita o frizione interna nel fluido.
La parte di forza totale dovuta allo sforzo normale alla superficie del corpo in motostazionario ha un’origine piu complessa e dara origine sia ad una componente parallelache ortogonale alla velocita del corpo.
Riassumendo e utile individuare quattro contributi che si aggiungono alla forza digalleggiamento dovuta all’azione della gravita sul fluido:
• la forza portante o portanza o lift L. E la componente della forza totale normalealla direzione del moto del corpo ed e grande per corpi di una certa forma. E
7.3. FORZE IDRODINAMICHE: PORTANZA E DRAG (TRASCINAMENTO) 205
dovuta alla generazione di vorticita su una superficie rigida ed e la forza che “fastare in aria gli aerei”.
• il drag o resistenza D. E la componente della forza totale parallela alla direzionedel moto del corpo. E dovuta sia alla presenza dell’attrito viscoso del mezzosia agli effetti del campo di pressione sulla superficie del corpo. E la forza chefa raggiungere una “velocita terminale” agli oggetti in caduta. Se ne possonodistinguere tre contributi:
– la resistenza di frizione (skin-friction drag) Df , e la forza che viene dallaviscosita del fluido.
– il drag indotto Di. Alla portanza (quindi se non c’e portanza non c’e dragindotto) si accompagnano vortici che si allontanano nella scia. Il corpofornisce energia cinetica al fluido (o viceversa il fluido perde energia cineticaa favore del corpo) e l’energia e la manifestazione del lavoro fatto dal corpocontro quella parte di forza totale che e nota come resistenza indotta.
– la resistenza di forma (form drag) o resistenza di pressione Dp. Questae la componente della forza risultante di pressione parallela alla velocitadel corpo dopo che e stato sottratto il drag indotto. Essa dipende moltodalla forma del corpo ed e su questa parte che si appuntano le ricercheaerodinamiche, ad esempio delle case automobilistiche per la forma ottimaledelle vetture, allo scopo di ridurre il drag.
7.3.1 Il tensore degli sforzi
Per descrivere lo sforzo che agisce sulla superficie di un corpo immerso in un fluido siintroduce il tensore simmetrico, di rango 2, Tij detto tensore degli sforzi (che evidente-mente sara funzione della posizione). Le componenti Fi delle forze idrodinamiche cheagiscono sul corpo sono date da:
Fi =∫
S
∑
j
Tij nj dS (7.19)
nj essendo la j-esima componente del vettore normale uscente dalla superficie dS.L’effetto della pressione p(~r, t) nel fluido e quello di contribuire ad uno sforzo nor-
male verso l’interno su ogni elemento di superficie del corpo e quindi dara un contributonegativo e diagonale al tensore degli sforzi che si potra scrivere quindi come:
Tij = −pδij + T ′ij (7.20)
ove ora il tensore T ′ij tiene conto solo dei contributi della viscosita del fluido. Per
fluidi ordinari (tipo aria e acqua) si puo vedere che lo sforzo viscoso e proporzionaleall’ammontare di moto relativo che ha luogo vicino al punto in questione, cioe T ′
ij ∝ ∂vi
∂xj
206 CAPITOLO 7. IDRODINAMICA DEGLI ELEMENTI DI PRECIPITAZIONE
e osservando che esso deve essere simmetrico e identicamente nullo per moto rotatoriopuro si puo vedere che deve avere per fluidi incompressibili proprio la struttura:
T ′ij = µ
(
∂vi
∂xj+∂vj
∂xi
)
(7.21)
essendo µ = ρ ν la viscosita dinamica. La componente della forza parallela al motoindotta da questa parte del tensore degli sforzi e il friction drag e verra indicato conDf . La componente della forza parallela al moto indotta dalla camponente di pressionee il drag di pressione e verra indicato con Dp.
7.3.2 Il drag per la sfera rigida
Nel caso di moto di una sfera rigida in un fluido per ragioni di simmetria vi e solo unacomponente z non nulla delle forze idrodinamiche e se la sfera cade nella direzione zper simmetria e Fz = D dove D viene chiamato drag o forza resistente. Si noti quindiche in questo caso la portanza e nulla (non esistono aerei sferici!) e quindi anche Di
mentre invece avremo una componente sia dal drag di forma che da quello di frizionesuperficiale. Per il calcolo di D = Df + Dp per la sfera conviene esprimere il tensoredegli sforzi in coordinate polari. Per la simmetria del problema si trova che:
D =∫ 2π
φ=0
∫ π
θ=0(Trr cos θ − Trθ sin θ)r=a a
2 sin θ dθ dφ
D = 2π a2∫ π
0(Trr cos θ − Trθ sin θ)r=a sin θ dθ (7.22)
e si puo vedere che:
Trr = −p + 2µ∂vr
∂r(7.23)
Trθ = µ
(
1
r
∂vr
∂θ+∂vθ
∂r− vθ
r
)
(7.24)
ed usando il fatto che v|r=a = 0 e ∇ · v = 1r2
∂∂r
(r2vr) + 1r sin θ
∂∂θ
(sin θvθ) = 0 che quindi
sulla superficie della sfera porge ∇ · v|r=a = ∂vr
∂r+ 1
r∂vθ
∂θ= 0 la (7.22) diventa infine5:
D = −2π a2∫ π
0
[
p cos θ + µ∂vθ
∂rsin θ
]
r=a
sin θ dθ
ove si distinguono immediatamente i contributi
Dp = −2πa2∫ π
0[p cos θ]r=a sin θ dθ Df = −2πa2
∫ π
0
[
µ∂vθ
∂rsin θ
]
r=a
sin θ dθ(7.25)
determinati dal campo di pressione e dalla vorticita sulla superficie della sfera.
5Si noti che l’integrale contenente i termini in ∂vθ
∂θe in ∂vr
∂θsi annullano dopo una integrazione per
parti usando la condizione al contorno.
7.3. FORZE IDRODINAMICHE: PORTANZA E DRAG (TRASCINAMENTO) 207
7.3.3 Il coefficiente di drag
Riprendendo l’eq.(7.12) si vede che il tensore degli stress (essendo dimensionalmenteuna pressione) potra essere scritto nella sua forma adimensionale come:
T ′ij =
Tij
ρ U2∞
= −p′ δij +1
Re
(
∂v′i∂x′j
+∂v′j∂x′i
)
(7.26)
di modo che il drag, che dimensionalmente e una forza (un’area per una pressione), sipotra scrivere come
D = a2 ρ U2∞ h(NRe) (7.27)
con h(NRe) funzione del solo numero di Reynolds. E usuale esprimere la forza in termini
di un coefficiente adimensionale di drag CD ottenuto dividendo la forza per 12ρ U
2 eper l’area S del corpo proiettata sul piano normale ad U :
CD =2D
ρ U2∞ S
(7.28)
con S sezione del corpo normale al flusso. Il problema e di determinare CD = CD(NRe).Corrispondentemente a Df e Dp saranno definiti dei coefficienti di drag Cp
D e CfD.
Il drag in termini di pressione e vorticita sulla superficie della sfera
Se si introducono i parametri adimensionali corrispondenti al raggio, alla pressione ealla vorticita:
r′ ≡ r
a; χ ≡ (p− p∞)
ρ U2∞/2
; ξ′ ≡ ξ a
U∞(7.29)
da un confronto tra le (7.25) e la (7.28) si trova che:
CpD = 2
∫ π
0[χ(θ)]r′=1 cos θ sin θ dθ (7.30)
CfD =
8
NRe
∫ π
0[ξ′(θ)]r′=1 sin2 θ dθ (7.31)
ove si e usato il fatto che la vorticita sulla superficie della sfera, usando le simmetriedel problema e la C.11, e
~ξ = ~eϕ1
r
[
∂
∂r(rvθ) −
∂vr
∂θ
]
r=a
= ~eϕ1
r
[
r∂vθ
∂r− ∂vr
∂θ
]
r=a
e che come al solito il termine ∂vr
∂θda contributo nullo quando integrato sulla superficie
della sfera.Un’ultima considerazione: il campo di pressione e quello di vorticita sulla superficie
della sfera sono connessi. Infatti possiamo ricavare la pressione sulla sfera integrando su
208 CAPITOLO 7. IDRODINAMICA DEGLI ELEMENTI DI PRECIPITAZIONE
un cammino molto particolare da distanza infinita ove p = p∞ al punto sulla sfera ad unangolo θ. Prendiamo come linea di integrazione la linea di flusso centrale. Cominciamocon il calcolare la pressione sul “polo Nord” che risultera integrando:
ppolo Nord = p∞ +∫ a
+∞
∂p
∂zdz. (7.32)
Utilizzando la (B.11) che per il campo solenoidale delle velocita da
∇2~u = −~∇× (ξ~eϕ) = − ~er
r sin θ
(
∂
∂θ(sin θξ)
)
+~eθ
r
(
∂
∂r(rξ)
)
per cui l’eq. del moto (7.10), sull’asse z, ci fornisce:
1
ρ
∂p
∂z= −
(
~u · ~∇)
uz+ν∇2uz = −uz∂uz
∂z−ν 1
r sin θ
∂
∂θ(sin θξ) = −uz
∂uz
∂z−ν 1
r
∂ξ
∂θ(7.33)
perche sull’asse z la vorticita ξ = 0. Ma allora riprendendo la (7.32) si trova:
ppolo Nord − p∞ =ρ
2U2∞ + νρ
∫ +∞
r=a
(
∂ξ
∂θ
)
θ=0
dr
r(7.34)
ovvero riscritta in termini di variabili adimensionali (a me viene 4 e non 8)
χpolo Nord = 1 +8
NRe
∫ +∞
r′=1
(
∂ξ′
∂θ
)
θ=0
dr′
r′. (7.35)
Adesso dobbiamo “girare” sulla sfera. L’eq. del moto (7.10), sulla sfera, ci fornisce:
1
ρ
∂p
∂θ=r
ρ∇θp = νr∇2uθ = ν
∂
∂r(rξ) = ν
(
r∂ξ
∂r+ ξ
)
r=a
(7.36)
da cui integrando:
psfera(θ) = ppolo Nord +∫ θ
0
∂p
∂θdθ = ρν
∫ θ
0
(
a∂ξ
∂r+ ξ
)
r=a
dθ (7.37)
e in termini di variabili adimensionali:
χsfera(θ) = χpolo Nord +4
NRe
∫ θ
0
(
∂ξ′
∂r′+ ξ′
)
r′=1
dθ. (7.38)
Questo consente il calcolo dei coefficienti di drag dal solo campo di vorticita sullasuperficie della sfera.
7.4 Soluzioni analitiche per la sfera
Nel caso del flusso attorno ad una sfera, in casi particolari, si riescono a trovare dellesoluzioni analitiche. Cominciamo col trattare il caso di flussi incomprimibili attorno acorpi con simmetria assiale per poi discutere alcuni casi particolari per la sfera.
7.4. SOLUZIONI ANALITICHE PER LA SFERA 209
7.4.1 Formulazione generale per flussi incomprimibili a sim-
metria assiale
Siamo interessati a descrivere il moto di una sfera che cade lungo l’asse z positivo.Il problema e del tutto equivalente a quello della descrizione del flusso di fluido nelladirezione −z attorno ad una sfera ferma. Usando questo approccio le eq. che descrivonoquesto flusso sono quelle di Navier-Stokes, eq. vettoriali differenziali non lineari, didifficile trattazione. Possiamo pero sfruttare pesantemente la simmetria del problema(questo e quello che si fa quasi sempre in fisica dell’atmosfera: per semplificare granparte dei problemi tutte le idrometeore vengono prese a simmetria rotazionale) usandocoordinate polari ed il fatto che non ci dovra essere componente azimutale del campodi velocita ne dipendenza azimutale per le componenti radiale e polare della velocita.In D si mostra come per flussi incomprimibili a simmetria assiale anziche lavorarecon i campi di velocita (in coordinate radiali ~u = (ur, uθ, 0)) convenga lavorare conuna funzione scalare detta stream function che e connessa al campo di velocita dalle(D.7); la vorticita del campo si ottiene invece usando la (D.16). Infine le eq. vettorialidi Navier-Stokes diventano l’equazione scalare (D.18). Nel caso della sfera dovremopertanto cercare di risolvere tale equazione corredata dalle condizioni al contorno chela velocita del fluido si annulli sulla superficie della sfera, ovvero usando le (D.7) dovraessere ∂ψ/∂r|r=a = ∂ψ/∂θ|r=a = 0 Possiamo scegliere di assegnare valore nullo perla stream function alla linea di flusso centrale, di modo che le condizioni al contornodivengono:
ψ|r=a = 0∂ψ
∂r |r=a
= 0 (7.39)
mentre a grande distanza dalla sfera il flusso sara uniforme con velocita −U∞ z dimodo che per r a dovra essere:
ur = − 1
r2 sin θ
∂ψ
∂θ= −U∞ cos θ, uθ =
1
r sin θ
∂ψ
∂r= U∞ sin θ (7.40)
equivalentemente bastera che
ψ → U∞ r2 sin2 θ
2r → +∞ (7.41)
7.4.2 Legge di Stokes
A bassi Re il flusso, in condizioni stazionarie, e governato dalla legge di Stokes, ovveroe assente il termine di inerzia:
~∇p = µ∇2~u = −µ~∇× ~ξ. (7.42)
Usando la stream function l’equazione del moto diventa la (D.18) senza il membro didestra ovvero:
E4ψ = 0 (7.43)
210 CAPITOLO 7. IDRODINAMICA DEGLI ELEMENTI DI PRECIPITAZIONE
e le condizioni al contorno inducono a procedere tentativamente con una soluzione deltipo ψ = f(r) sin2 θ. Siccome E2(f(r) sin2 θ) = sin2 θ (f ′′(r) − 2f(r)/r2) l’eq. (7.43)diventa:
f (iv) − 4f ′′
r2+ 8
f ′
r3− 8
f
r4= 0
Integrando tale equazione ed imponendo le condizioni al contorno si arriva infine allastream function
ψsfera =U∞a
2 sin2 θ
4
(
2r2
a2− 3r
a+a
r
)
(7.44)
A questo punto, utilizzando il legame tra vorticita e stream function dato dalla (D.16)si ricava:
~ξ = ∇× ~u = ξsfera−Stokes~eϕ =3U∞a sin θ
2r2~eϕ. (7.45)
Dalla (7.42) il gradiente del campo di pressione risulta:
~∇p = −3U∞ aµ
(
cos θ
r3~er +
sin θ
2r3~eθ
)
(7.46)
ed integrando sull’asse z da infinito a r e poi con θ da 0 a θ si trova:
p = p∞ +3U∞ aµ cos θ
2r2χ =
3 aν cos θ
U∞ r2. (7.47)
Ma allora usando le definizioni (7.30-7.31) si calcola:
CpD =
4ν
a U∞=
8
NReCf
D =8ν
a U∞=
16
NReCD =
24
NRe(7.48)
ma allora invertendo la (7.28) si trova infine che il drag per la sfera in regime di Stokese:
D = CD1
2ρ U2 π a2 = 6πa U∞µ (7.49)
Ci poniamo ora il problema della velocita terminale vT , la velocita cioe della sferain caduta per gravita attraverso il fluido. Correggendo la gravita per la spinta diArchimede (buoyancy) si ha la velocita terminale vT di una sfera di densita ρ∗.
6π µ a vT =4
3π a3 g (ρ∗ − ρ)
⇓
vT =2
9a2 g
(ρ∗ − ρ)
µ=
2
9νa2 g
(
ρ∗
ρ− 1
)
(7.50)
ove µ/ρ = ν e la viscosita cinematica.Il numero di Reynolds, corrispondente alla sfera che cade a velocita terminale, sara:
2avT
ν= 2a
vT ρ
µ= 2a
ρ
µ
2
9νa2 g
(
ρ∗
ρ− 1
)
=4a3
9ν2g
(
ρ∗
ρ− 1
)
(7.51)
Passiamo ora a fornire due esempi di applicazione della legge di Stokes.
7.4. SOLUZIONI ANALITICHE PER LA SFERA 211
1. Una particella di sabbia che sedimenta in acqua a 20C: ρ∗/ρ = 2, ν = 0.01cm2/s,NRe = 4.4 × 106 a3, con a in cm.
L’ipotesi di trascurare l’inerzia equivale a considerare NRe piccolo, 1. Nel caso dellaparticella di sabbia tale condizione si traduce in a 0.006cm = 60µm, della gocciolinain a 0.004 cm = 40 µm (si noti che a queste dimensioni, e fino a circa 300 µm didiametro le goccioline sono ancora sferiche). Le velocita terminali sono 0.79 cm/s perla particella di sabbia, e 18.11 cm/s per la gocciolina. L’esperienza mostra in realtache la relazione di Stokes e accurata gia per NRe < 1 senza dover andare a NRe 1.
7.4.3 Flusso di Oseen
Nell’approssimazione di Stokes si assume che il termine ~u · ~∇~u sia trascurabile. Unmodo di controllare questa approssimazione e scrivere il rapporto tra inerzia e forzeviscose inserendo il campo di velocita di Stokes per ~u. Se si usa la stream function(7.44) e le (D.9) si ottiene:
uStokesr = −U∞ cos θ
2
(
2 − 3a
r+a3
r3
)
(7.52)
uStokesθ =
U∞ sin θ
4
(
4 − 3a
r− a3
r3
)
(7.53)
da cui ci si puo calcolare ~u · ~∇~u. Come ordine di grandezza si trova alloraa num iotroverei U 2
∞/r:∣
∣
∣~u · ~∇~u∣
∣
∣
|ν∇2~u| 'U2∞ar2
U∞aµr3
=Re ra
. (7.54)
Cio significa che a distanze sufficientemente grandi (r > a/Re) l’ipotesi che il terminedi inerzia sia trascurabile rispetto a quello viscoso cade, non importa quanto sia piccoloil Re. Percio il campo di flusso di Stokes e inaccurato a grandi distanze. Oseen (1910)
ha proposto una approssimazione per ~u · ~∇~u come ~U∞ · ~∇~u a grandi distanze. Perciole equazioni lineari per il campo delle velocita sono
~U∞ · ~∇~u = −~∇p′ρ
+ ν∇2~u (7.55)
Come soluzione approssimata il drag diviene
D = 6πa µ U∞
(
1 +3
16NRe
)
(7.56)
ed il corrispondente coefficiente e
CD =24
NRe
(
1 +3
16NRe
)
= (CD)Stokes + 4.5. (7.57)
212 CAPITOLO 7. IDRODINAMICA DEGLI ELEMENTI DI PRECIPITAZIONE
Non e affatto ovvio che questi risultati portino un miglioramento rispetto a Stokes,perche ~U∞ · ~∇~u non rappresenta le accelerazioni convettive presso la sfera. E’ stato tut-tavia provato con corpi di forma arbitraria che questa approssimazione e buona. Infattiil contributo del prim’ordine dell’inerzia del fluido al drag dipende dalle forze d’inerzialontano dal corpo, dove le equazioni di Oseen danno una valida rappresentazione.
7.4.4 Flusso potenziale
Non vi sono soluzioni analitiche capaci di descrivere il flusso attorno ad una sfera pernumeri di Reynolds intermedi o grandi (NRe ≥ 10). Tuttavia si e detto che per NRe 1il flusso e tale per cui, al di fuori di un sottile boundary layer, si possono trascurare itermini viscosi. In qualche modo bisognera poi “incollare” i due pezzi. Consideriamoallora il flusso potenziale, descritto in termini di un potenziale Φ tale che il flusso egradiente del potenziale
~upot = ~∇Φ ∇2Φ = 0. (7.58)
Siccome tale flusso ha vorticita nulla si ricava dalla (D.16) che, lavorando in terminidella stream function ψpot l’equazione risolvente sara E2ψpot = 0. Per risolvere taleequazione bisogna tenere conto del fatto che il flusso e senza attrito, di modo chela condizione al contorno imporra l’annullamento della sola componente normale allasuperficie della sfera mentre la condizione al contorno all’infinito sara sempre espressadalla (7.41). Ma allora, procedendo come per il regime di Stokes, si deve risolveref ′′(r) − 2f(r)/r2 = 0, ovvero detta f(r) = r2g(r) si ricava g(r) = A/r3 + C che con leopportune condizioni al contorno da infine:
ψpotsfera =
U2∞r
2 sin2 θ
2
(
1 − a3
r3
)
(7.59)
da cui il campo di velocita e dato da:
~upot = U∞ sin θ
(
1 +a3
2r3
)
~eθ − U∞ cos θ
(
1 − a3
r3
)
~er. (7.60)
Notiamo infine che, per il flusso potenziale, il termine di accelerazione convettivadiventa:
7.5. APPROCCIO NUMERICO ALLE EQUAZIONE DI NAVIER-STOKES 213
7.5 Approccio numerico alle equazione di Navier-
Stokes
Come si e visto e difficile trovare delle soluzioni analitiche anche per un problemasemplice come il flusso attorno ad una sfera. Con le capacita di calcolo attuali e peropossibile trovare soluzioni numeriche. Per la sfera, tipicamente, si ricavano inizialmentevorticita e stream function e da queste il campo di velocita, il campo di pressione ei coefficienti di drag di forma e di attrito per ciascun dato numero di Reynolds. LeClair (1970) ad esempio ha computato numericamente stream-function, vorticita e lavariazione del drag in funzione del NRe per la sfera rigida. Come risultato si puodire che la soluzione numerica fornisce risultati che concordano eccellentemente conle determinazioni sperimentali dei coefficienti di drag per 0.01 ≤ NRe ≤ 400 mentrele soluzioni analitiche non fanno certo cosı bene. Un esempio dei campi di vorticita edella stream function calcolati numericamente viene fornito in fig. 7.4: come si vede giaa NRe = 10 il flusso e fortemente asimmetrico (come mostrano sia le linee di vorticitache quelle di flusso) mentre a NRe = 30 un vortice stazionario e presente subito a valledella sfera.
Figura 7.4: Stream function (pannelli di sinistra) e vorticita (destra) attorno ad unasfera rigida a NRe = 10 (alto) e NRe = 30 (basso).
214 CAPITOLO 7. IDRODINAMICA DEGLI ELEMENTI DI PRECIPITAZIONE
7.5.1 Il coefficiente di drag per sfere e cilindri
L’approccio numerico consente uno studio del coefficiente di drag anche in regimi dialti NRe. Mentre i dati calcolati numericamente mostrano un’ottima concordanza con
100
101
102
10−2
10−1
100
101
102
NRe
CD
Numerical from Le ClairStokesOseen
Figura 7.5: Confronto tra valori di CD per una sfera come calcolati numericamente eteoricamente.
il risultato sperimentale, le soluzioni analitiche di Stokes (equazione (7.48)) e di Oseen(equazione (7.57)) sottostimano e sovrastimano CD per NRe ≥ 1.
Si puo considerare lo stesso problema per i cilindri anziche le sfere. A bassi numeridi Reynolds l’espressione della forza di resistenza sul cilindro nel fluido e D = 2µπU∞C,per unita di lunghezza del cilindro, ove C e una costante.
Fornito un resoconto su cilindri e sfere cerchiamo di vedere cosa succede quandoRe aumenta.
Variazioni della forza totale resistente D si accompagnano a questi cambiamenti nelflusso. CD della componente normale e funzione crescente di Re, quando 50 < Re <110.
Vogliamo ora sottolineare un aspetto molto interessante deducibile dalla fig. 7.6:la misura di CD per cilindri circolari mostra una diminuzione considerevole quandoNRe aumenta, passando per un valore che si trova tra 105 e 4 × 105, e che dipende daltipo di tunnel a vento impiegato. Anche per la sfera (il cui CD e attorno a 0.4) c’eun fenomeno di caduta del drag per valori di NRe simili a quelli visti per il cilindro.L’aspetto rilevante e che tale diminuzione del coefficiente di drag e cosı forte (cioedecresce piu che con U 2) una volta passato il valore critico del NRe che il drag Ddiminuisce all’aumentare di U .
7.5. APPROCCIO NUMERICO ALLE EQUAZIONE DI NAVIER-STOKES 215
Figura 7.6: Il coefficiente di trascinamento CD di un cilindro circolare in funzione delnumero di Reynolds.
Prandtl suggerisce che questo comportamento dipenda dal comportamento dellostrato limite alla superficie del cilindro. Quando Re per il corpo supera un certovalore, il flusso stazionario o laminare sullo strato limite diventa instabile e puo esseresostituito da un flusso turbolento fluttuante. Lo scambio di quantita di moto fra idiversi strati e molto piu efficiente in regime turbolento. Lo strato limite turbolentoresiste meglio allo sviluppo della separazione di uno strato limite laminare. Cosı quandosi ha il passaggio a strato limite turbolento la posizione di separazione dello stratolimite si riporta indietro. Nel cilindro si ritorna ad esempio da 80 a 120 dal punto distagnazione in avanti, quando NRe va da 105 a 7 × 105. Come conseguenza di questoritiro del punto di separazione si ha una scia piu stretta e di conseguenza un form dragpiu piccolo.
Il calo di CD a certi numeri di NRe dovuto alla transizione a turbolenza si prestaad applicazioni curiose. Ad esempio lo scopo di corrugare la superficie di una pallada golf e proprio di rendere turbolento lo strato limite e pertanto di ridurre il drag (eriuscire dunque a mandare la palla in buca anche da distanze considerevoli). In realtanon appena la pallina rallenta e rientra in regime non turbolento vi e una improvvisafrenata e quindi abbassamento; e un po’ quello che succede su certe punizioni tirate acalcio sulle quali i portieri devono stare particolarmente attenti.
Aumentando Re a 106 ÷ 107 cade la pressione sul retro ed il drag continua adaumentare fino al valore limite di 0.7.
Quest’ultimo esempio mostra come il flusso come un tuttuno dipenda fortementedallo sviluppo dello strato limite e in particolare dalla posizione di separazione. Lasostituzione di flusso laminare con flusso turbolento in varie parti del campo influenza
216 CAPITOLO 7. IDRODINAMICA DEGLI ELEMENTI DI PRECIPITAZIONE
il flusso come un tutto, e quando cambia la posizione di separazione del fluido l’effettosul drag totale e sulla portanza (lift) puo essere drammatico.
Possiamo pero dire che la soluzione di Stokes risulta adeguata per molti casi diinteresse nella fisica delle nubi; essa fornisce una accuratezza migliore del 10% perNRe ≤ 2 (ovvero per raggi delle gocce inferiori a ≤ 50µm).
A NRe ∼ 130 c’e il distacco da una situazione stazionaria e si introduce il numerodi Strouhel:
NStr =2 f a
u∞(7.63)
dove f e la frequenza del moto (in questo caso e frequenza di generazione di vortici nellascia, in altri casi di oscillazione, etc..) f ' 5 × 102 s−1 per NRe ∼ 400 e a = 662µm.
7.6 Idrodinamica delle gocce di pioggia
C’e poi un comportamento idrodinamico specifico per le gocce d’acqua grandi (r >500 µm). Infatti:
1. Si stabiliscono circolazioni interne del fluido entro la goccia, osservate da Bearde calcolate da Le Clair.
2. C’e una deformazione della goccia.
7.6.1 Forma delle gocce di pioggia
La forma di equilibrio di una goccia di pioggia puo determinarsi in linea di principiopartendo dalla condizione che le forze locali all’interfaccia debbano essere in equili-brio. I primi tentativi in questa direzione furono incompleti. Ad esempio Lenard nel1904 assumeva che la forma della goccia fosse controllata dall’equilibrio fra tensionesuperficiale e forza centrifuga derivante dalla circolazione interna. Successivamente(Spielhaus (1948)) l’appiattimento delle gocce grandi fu attribuito all’azione combina-ta di tensione superficiale e di pressione aerodinamica, ignorando cosı l’effetto dellacircolazione interna e dei gradienti di pressione idrostatica interni.
Diamo ora la sola impostazione iniziale del problema come affrontato da Pitter ePruppacher (1971). Consideriamo un punto della superficie per la quale i principaliraggi di curvatura siano R1 e R2. Chiamiamo l’elemento d’area locale con dS = dl1 ·dl2e lasciamo che abbia uno spostamento verso l’esterno (via dal centro della goccia) diuna piccola distanza δξ, e siano dl1 e dl2 gli elementi di lunghezza degli archi associatiad R1 e R2. Allora se le pressioni interna ed esterna sono pi e pe il lavoro di pressionefatto su dS per lo spostamento e (pe − pi) δξ dS, trascurando la variazione δS in dSche lo spostamento porta con se’. D’altra parte questa variazione d’area porta aduna variazione dell’energia di superficie di una quantita σ δ(dS). Pertanto per unasituazione di equilibrio statico, in cui la variazione netta di energia dovrebbe essere
7.6. IDRODINAMICA DELLE GOCCE DI PIOGGIA 217
zero per spostamenti arbitrariamente piccoli, si trova:
(pe − pi)δξdS + σ δ(dS) = 0
Ora la variazione del primo ordine nell’elemento d’area e δ(dS) = δ(dl1)dl2+dl1δ(dl2), ela variazione corrispondente negli elementi di lunghezza d’arco e δ(dli) = dli(δξ/Ri), i =1, 2. Pertanto:
(pe − pi) = σ (1/R1 + 1/R2)
che si riduce a 2σ/a quando R1 = R2 = a ( caso della superficie sferica).
7.6.2 Oscillazioni della goccia
I vortici liberati da una sfera rigida a NRe ≥ 400 nella scia generano vibrazioni internenella goccia che cade in caduta libera.
Ignorando gli effetti viscosi una vibrazione caratteristica si puo valutare da consid-erazioni dimensionali essendo che gli unici parametri fisici caratteristici in gioco sonola tensione superficiale σ, la densita dell’acqua ρw e il raggio equivalente a0. Si ha:
f ∼(
σ
ρw a30
)
(7.64)
Una analisi piu dettagliata mostra che in realta vi e uno spettro discreto di frequenzepermesse.
7.6.3 Break-up
Sperimentalmente si e visto che in aria quieta le gocce possono arrivare sino a 9 mm didiametro equivalente. Il meccanismo di break-up e legato allo sviluppo di una depres-sione concava nella base della goccia in caduta. Alle dimensioni critiche la depressionesi espande e la goccia diviene un sacco contornato da un anello liquido. Sempre perstimare gli ordini di grandezza si puo dire che l’instabilita incipiente si verifica quandoil drag sulla goccia (CD ρa U
2∞/2) supera lo stress da tensione superficiale (4σ/Dmax).
Quindi Dmax puo essere stimato come:
Dmax ∼(
8σ
CD ρa U2∞
)
(7.65)
7.6.4 Velocita terminale di gocce di pioggia
Abbiamo visto che la velocita terminale di goccioline in aria dedotta dalla legge diStokes e accurata entro il 2%, per NRe < 0.1 (a < 20µm).
Per NRe = 1 (a = 40µm) la velocita reale e gia 10% piu piccola della velocita diStokes corrispondente.
218 CAPITOLO 7. IDRODINAMICA DEGLI ELEMENTI DI PRECIPITAZIONE
Tabella 7.1: Velocita terminali di gocce d’acqua in aria a temperatura di 20C e pres-sione di 1012mb. I valori di NRe sono calcolati. Per D < 1.0mm le velocita terminalisono basate sulle misure di Beard e Pruppacher (1969), per gocce piu grandi, le velocitaterminali sono quelle di Gunn e Kinzer (1949).
Bisogna lavorare sperimentalmente, quando si e nell’intervallo 1 < NRe < 100,in condizioni di similarita. A questo scopo sono state fatte misure su sfere solide inrecipiente d’olio, ottenendo ±0.1% (Pruppacher e Steinberger).
In tunnel sono state fatte esperienze riproducendo le condizioni naturali (Beard ePruppacher, 1969).
A risultato delle diverse esperienze sono state formulate le seguenti formule em-piriche:
CD NRe/24 = 1 + 0.1N 0.955Re a 0.01 < NRe < 2
CD NRe/24 = 1 + 0.11N 0.81Re a 2 < NRe < 21
CD NRe/24 = 1 + 0.189N 0.632Re a 21 < NRe < 200
Si puo poi seguire la strada della soluzione numerica al calcolatore della equazionedi Navier Stokes completa. Essa fornisce risultati in accordo con i dati sperimentali(Gunn e Kinzer, 1949) riportati in Tab. 7.1.
7.6. IDRODINAMICA DELLE GOCCE DI PIOGGIA 219
7.6.5 Comportamento idrodinamico di dischi, sferoidi oblati
e cilindri
Figura 7.7: Coefficienti di drag e numeri di Best di modelli di cristalli di nube infunzione del numero di Reynolds NRe: 1 dischi, 2 forme piane esagonali, 3 cristalli aramificazioni estese, 3 cristalli stellari con piani alle estremita, 5 dendriti, 6 cristallistellari; A settori cono-sferici a 90, B a 70, C cono-emisferici a 90, D a lacrima 90,S sfera (List e Schemenauer, 1971).
Abbiamo esaminato per prime le gocce d’acqua perche sono le idrometeore piucomuni e per la loro geometria sferica, piu trattabile. Passando al comportamentoidrodinamico dei cristalli di nube, lo si deve basare su modelli geometrici idealizzatiche approssimino la loro forma.
Essenzialmente i cristalli possono raggrupparsi in due catergorie: forme planari eforme colonnari. Ebbene approssimeremo le prime con dischi o sferoidi oblati e leseconde con cilindri.
La velocita terminale degli elementi di precipitazione puo essere calcolata se ilcoefficiente di drag CD e noto come funzione del NRe. La condizione di caduta liberafornisce una relazione fra velocita terminale e lunghezza caratteristica. E’ comododefinire un nuovo numero adimensionale detto di Best = CDN
2Re, che dipende solamente
220 CAPITOLO 7. IDRODINAMICA DEGLI ELEMENTI DI PRECIPITAZIONE
dalle caratteristiche della particella e dai parametri atmosferici, ma non dalla velocitae dal drag.
Gli esperimenti per determinare drag e numero di Best in funzione diNRe consistonodi simulazioni di cadute di particelle in aria ottenute in condizioni di similarita conmisture di glicerina ed acqua o soluzioni saline. Cio nelle condizioni in cui NRe e lasola grandezza adimensionale che caratterizza il flusso. Riportiamo in Fig. 7.7 la figurache riassume i risultati di List e Schemenauer.
7.6.6 Velocita di cristalli, gragnuola e grandine
Figura 7.8: Velocita terminali per diversi cristalli.
Per i cristalli si idealizzano le forme di dischi e cilindri. Soluzioni teoriche sonostate studiate da Oberbek (1876) e Oseen (1915). Per i cilindri la geometria troncacrea notevoli complicazioni. Esiste un notevole numero di misure sperimentali sullevelocita dei cristalli naturali, dei fiocchi, delle graupels e dei chicchi di grandine. Dallafig. 7.8 si vede come le strutture “rimed” cadano approssimativamente ad 1m/s mentrei cristalli cadono a velocita ancora piu piccole. Formule empiriche danno:
u∞[m/s] = 3.43 (D[cm])0.6 per graupel (7.66)
7.6. IDRODINAMICA DELLE GOCCE DI PIOGGIA 221
u∞[m/s] = 1.6 (D[cm])0.3 per dendriti (7.67)
u∞[m/s] = 2.34 (D[cm])0.3 per piatti (7.68)
I chicchi di grandine cadono ancora piu veloci. A 800mb e 0 C Auer da la relazione
u∞[m/s] = 9 (D[cm])0.8 (7.69)
Per i chicchi di grandine e altresı molto importante l’assetto di caduta (con tumbling,costanza dell’asse di rotazione, etc...) L’assetto di caduta infatti ha conseguenze nelloshedding di acqua del chicco e sulla morfologia delle bolla d’aria del ghiaccio cresciuto.
222 CAPITOLO 7. IDRODINAMICA DEGLI ELEMENTI DI PRECIPITAZIONE
Capitolo 8
Crescita per diffusione edevaporazione di goccioline
Immediatamente dopo la nucleazione eterogenea le particelle di nubi crescono per diffu-sione di vapore. Tratteremo dapprima la crescita per diffusione delle particelle singoledi nube e di precipitazione, quindi analizzeremo la situazione piu realistica della cresci-ta collettiva di una popolazione di goccioline in competizione per il vapore disponibile.Il problema ha diverse analogie con il problema di diffusione visto per le particelle diaerosol su gocce ferme o in movimento: anziche utilizzare il coefficiente di diffusivitadell’aerosol in aria si utilizzera il coefficiente di diffusivita del vapore in aria.
8.1 Equazione di diffusione del vapore
Immaginiamo una gocciolina singola, isolata di massaM , raggio r, densita ρL, stazionar-ia rispetto ad una atmosfera infinita ed in lenta crescita per diffusione di vapore allasua superficie. Se ~jv e il vettore densita di flusso di massa del vapore (tale grandezza
e l’analogo della densita di corrente ~j elettromagnetica mentre la densita di vapore ρv
e l’equivalente della densita di carica ρ), allora per l’aria umida che si muove con la
velocita ~u relativa alla goccia o al cristallo, ~jv puo scriversi (si noti l’analogia con la(6.60)) come la somma del termine diffusivo (proporzionale al gradiente di densita divapore con un segno meno perche il vapore tendera ad andare da zone a grande a zonea bassa concentrazione) e del termine convettivo (dovuto al fatto che c’e movimentorelativo alla goccia):
~jv = −κairV
~∇ρv + ρv ~u (8.1)
223
224 CAPITOLO 8. DIFFUSIONE ED EVAPORAZIONE DI GOCCIOLINE
dove κairV e il coefficiente di diffusione molecolare1 del vapore in aria e ρv e la densita
del vapore.Inserendo la (8.1) nella equazione di continuita
∂ρv
∂t+ ~∇ ·~jv = 0 (8.3)
con l’ipotesi consueta di incompressibilita del fluido (~∇ · ~u = 0) e che κairV sia costante
nella regione di interesse (cioe che non vari su distanze dell’ordine della goccia in crescitao in evaporazione) si ricava l’equazione di diffusione2 convettiva del vapore:
dρv
dt=∂ρv
∂t+ ~u · ~∇ρv = κair
V ∇2ρv (8.5)
Una complicazione sorge dalla corretta condizione al contorno (generalmente siassume che ~u|S = 0 cioe che la velocita dell’aria si annulli sulla superficie S dellaparticella).
Alternativamente si puo descrivere il campo di vapore in termini della concen-trazione di molecole di vapore alla distanza ~r, n(~r) (la densita di vapore ρv(~r) = n(~r) m0
con m0 la massa di una singola molecola d’acqua), normalmente assunta come isotropa.Dalla (8.5) segue allora che, in ogni punto, la concentrazione di molecole soddisfal’equazione di diffusione di Fick:
∂n(~r, t)
∂t+ ~u · ~∇n(~r, t) = κair
V ∇2n(~r). (8.6)
8.1.1 Equazione di diffusione stazionaria
Esaminiamo la possibilita di semplificare l’equazione eliminando il termine in ∂ρv
∂t. A
questo scopo consideriamo il problema del valore iniziale di diffusione radialmentesimmetrica da una goccia in quiete (~u = 0) di raggio r, soggetta alla condizioneρv(r, t) = ρv, r = cost e alla condizione iniziale3 ρv(R, 0) = ρv,∞ = cost per R > r.
1κairV e noto solo se T > 0 C e viene estrapolato alle temperature inferiori. Una buona stima per
temperature comprese tra -40 e +40C e:
κairV = 0.211
(
T
T0 = 273.15 K
)1.94p0 = 1013.25 mb
pcm2/sec. (8.2)
2Le equazioni della formadA
dt= κ∇2A (8.4)
si chiamano appunto equazioni di diffusione per il campo scalare A, con κ coefficiente di diffusivita.In fisica dell’atmosferica e tipico imbattersi in equazioni di diffusione per il campo di temperatura (nelqual caso si ha a che fare con la diffusivita termica κT attraverso un mezzo, legata alla conduttivitatermica attraverso lo stesso dalla relazione: κT = K
ρcP), di vorticita [nel qual caso κ = ν, vedi eq. (7.6)],
di vapore κV , . . . .3Si noti che i simboli ∞ usati come pedici stanno qui di seguito a significare i valori ambientali,
ovvero a distanza ”infinita”.
8.1. EQUAZIONE DI DIFFUSIONE DEL VAPORE 225
Questo problema e matematicamente equivalente a quello di diffusione di una particellaverso una sfera visto al par. 6.5.4. La soluzione diventa:
ρv(R, t) = ρv,∞ + (ρv, r − ρv,∞)r
R
1 − erf
R − r
2√
κairV t
(8.7)
con erf(x) = 2/√π∫ x0 e
−x2dx; con questa espressione il flusso alla superficie della
goccia e a simmetria radiale per cui:
~jv · e|R=r = −κairV~∇ρv · e|R=r = −κair
V
(
∂ρv
∂R
)
R=r
=κair
V (ρv, r − ρv,∞)
r
1 +r
√
π κairV t
(8.8)Cosı si vede che la descrizione stazionaria sara valida quando il secondo termine nella
parentesi quadra diventa trascurabile rispetto al primo ovvero per tempi t tc = r2
π κairV
,
tempo di cattura; a T = 0C, p = 1 atm, si ha tc < 1.7 × 10−6 s, per gocce piu piccoledi 100 µm di raggio. Ma allora la diffusione molecolare rapidamente va a costituireun campo di vapore che corrisponde alla soluzione stazionaria. Poiche in atmosferavariazioni significative dei campi di densita di vapore si hanno per tempi ben piulunghi, si puo ignorare il contributo non stazionario alla crescita diffusiva. Questeconsiderazioni ci consentono di ridurci a studiare l’equazione (8.5) oppure la (8.6) in
cui le derivate parziali rispetto a t vengono messe a zero (ad esempio ∂n(~r, t)∂t
= 0).L’equazione di diffusione di Fick (8.6), in condizioni di stazionarieta per una gocciolinain quiete diventa:
∇2n(R) = 0 =1
R
∂
∂R
(
R2 ∂n
∂R
)
⇒ R2 ∂n
∂R= C2, (8.9)
e quindi la soluzione generale diviene:
n(R) = C1 −C2
R(8.10)
Le condizioni al contorno impongono:
• n −→ n∞, concentrazione di vapore dell’ambiente, con R −→ +∞;
• n −→ nr, concentrazione di vapore sulla superficie della gocciolina, con R −→ r.
La soluzione (8.10) che soddisfa queste condizioni al contorno e:
n(R) = n∞ − r
R(n∞ − nr) . (8.11)
Ma allora, riprendendo la (8.8), il flusso di molecole sulla superficie della gocciolina
S e pari a∫
S κairV
(
∂n∂R
)
R=rr2dΩ e quindi il tasso di crescita della massa della gocciolina
(considerata priva di moto) e:
dm
dt= 4π r2 κair
V
(
∂n
∂R
)
R=r
m0 (8.12)
226 CAPITOLO 8. DIFFUSIONE ED EVAPORAZIONE DI GOCCIOLINE
che combinata con la (8.11) porge:
dm
dt= 4π r κair
V (n∞ − nr) m0 = 4π r κairV (ρv,∞ − ρv(r)) (8.13)
o alternativamente
ρL rdr
dt= κair
V (ρv,∞ − ρv(r)) (8.14)
essendo ρv,∞ la densita di vapore dell’ambiente e ρv(r) la densita di vapore sulla goc-ciolina. La (8.13) e l’eq. di crescita diffusiva per una goccia isolata a riposo nel campodi vapore. La goccia cresce se ρv,∞ > ρv(r) ed evapora se ρv,∞ < ρv(r). ρv,∞ e de-terminabile dalle condizioni ambientali mentre ρv(r) dipende dalle dimensioni, dallacomposizione chimica e dalla temperatura della goccia. Note queste due grandezze epossibile calcolare la crescita per diffusione di una gocciolina.
8.1.2 La diffusione del calore
In generale, la temperatura sulla superficie della gocciolina Tr non e la stessa dell’ambi-ente (T∞) (le differenze sono dell’ordine della frazione di grado) e va calcolata tenendoin considerazione lo scambio di calore tra la goccia e l’ambiente esterno. Associato conla condensazione vi e il rilascio di calore latente ad un tasso Lev
dmdt
(Lev calore latente dievaporazione). Parte di questo calore verra impiegato per aumentare la temperaturadella goccia (al di sopra della temperatura ambientale), parte produrra un flusso dicalore sensibile principalmente per conduzione dovuto alla differenza di temperaturatra goccia e ambiente. In questo caso la legge di Fourier:
~jcalore = K~∇T (8.15)
e l’analogo della (6.33) ove K e la conduttivita termica del mezzo attraverso il quale
il calore viene trasportato, ~jcalore e il vettore densita di flusso di calore. La diffusionedel calore dalla goccia (Qdiff > 0 se la particella cede calore all’esterno) e descritta dauna equazione analoga alla (8.13):
dQdiff
dt= 4π r Kair (Tr − T∞) (8.16)
essendo T∞ la temperatura ambientale a distanza, Tr la temperatura sulla superficiedella goccia e Kair il coefficiente di conduttivita termica dell’aria4.
4Tale grandezza varia leggermente con la temperatura. Valori tipici per aria secca sono Kair =2.07× 10−2 J/(m s K) a −40, Kair = 2.40× 10−2 J/(m s K) a 0 e Kair = 2.55× 10−2 J/(m s K) a20. Una buona formula che interpola la dipendenza da T (espressa in K) e:
Kair = 211.64× 10−5 T 1.5
T + 120J/(m s K).
Il vapore ha un altro coefficiente di conduttivita termica (ad esempio Kv = 1.6 × 10−2 J/(m s K)a 0) per cui bisognerebbe tenere in considerazione questo fatto quando si calcola il coefficiente diconduttivita termica per aria umida.
8.2. EQUAZIONE DI CRESCITA DI UNA GOCCIA 227
Il bilancio di calore diventa allora:
Levdm
dt= mgoccia cw
dTr
dt+dQdiff
dt=
4
3π r3ρL cw
dTr
dt+dQdiff
dt(8.17)
essendo cw la capacita termica dell’acqua.
8.2 Equazione di crescita di una goccia
Se si assume un processo di crescita stazionario allora dTr
dt= 0 e quindi, imponendo
tale condizione nella (8.17), si ottiene la condizione di bilancio:
Levdm
dt=dQdiff
dt⇒ ρv,∞ − ρv(r)
Tr − T∞=
Kair
Lev κairV
(8.18)
ove le condizioni ambientali sono descritte da ρv,∞, T∞ e dal rapporto Kair
Lev κairV
(debol-
mente dipendente da T ) mentre quelle della goccia da ρv(r) e Tr e sono normalmenteignote. Si noti che dalla (8.18) si evince che una goccia che evapora (ρv,∞ − ρv(r) < 0)e piu fredda dell’ambiente circostante, e viceversa.
Se il processo di crescita della gocciolina per condensazione e stazionario allorapossiamo esprimere la densita di vapore in termini della tensione di vapore sopra unagoccia di raggio r si trova:
ρv(r) =e′s(r)
Rv Tr=
(
1 +a
r− b
r3
)
es(∞)(Tr)
Rv Tr(8.19)
Le eqs. (8.18-8.19) sono due equazioni in due incognite: possono essere risolte numeri-camente (la dipendenza di es(∞) da Tr e non banale!) e fornire Tr e ρv(r), e consentirequindi di valutare poi il tasso di crescita di una goccia per condensazione dalla (8.14).
Alternativamente vediamo come e possibile calcolare il ritmo di crescita di una goc-ciolina per condensazione facendo delle approssimazioni numeriche (seguendo il Ma-son). Cominciamo con lo studiare come varia la densita di vapore di saturazione inun campo di temperatura quasi costante (come quello che circonda una gocciolina increscita). Poiche la pressione di vapore e legata alla densita di vapore in saturazione daρv s = es
Rv Tdifferenziando e usando l’eq. di Clausius Clapeyron si trova che in un campo
di vapor saturo le variazioni di ρv s sono determinate dalle variazioni di temperatura:
dρv s
ρv s=Lev
Rv
dT
T 2− dT
T(8.20)
che integrata dalla temperatura Tr alla temperatura T∞ e approssimando5 ln(T∞/Tr) ≈T∞/Tr − 1 fornisce:
ln
(
ρvs(T∞)
ρvs(Tr)
)
= (T∞ − Tr)(
Lev
Rv Tr T∞− 1
Tr
)
. (8.21)
5Si noti che in condizioni di crescita tipiche Tr/T∞ − 1 ≤ 10−5.
228 CAPITOLO 8. DIFFUSIONE ED EVAPORAZIONE DI GOCCIOLINE
ove le densita di vapore sono in saturazione. Siccome anche ρvs(T∞)ρvs(Tr)
e vicino all’unita
sempre usando ln(x) ≈ x− 1 e usando anche T∞ Tr ≈ T 2∞ si trova infine:
(
ρvs(T∞) − ρvs(Tr)
ρvs(Tr)
)
=T∞ − Tr
T∞
(
Lev
Rv T∞− 1
)
(8.22)
che fornisce appunto la relazione cercata.Ora sostituendo dalla (8.16) il valore di T∞ − Tr (che e la grandezza che guida il
processo di conduzione di calore dalla gocciolina all’ambiente) ed usando il fatto che,
per un processo di crescita stazionario,dQdiff
dte connesso alla variazione di massa della
particella dmdt
, si trova:
(
ρvs(T∞) − ρvs(Tr)
ρvs(Tr)
)
=(
1 − Lev
Rv T∞
)
1
4π r Kair T∞
dQdiff
dt(
ρvs(T∞) − ρvs(Tr)
ρvs(Tr)
)
=(
1 − Lev
Rv T∞
)
Lev
4π r Kair T∞
dm
dt. (8.23)
Del resto riarrangiando la (8.13):
ρv,∞ − ρv(r)
ρv(r)=
1
4π r κairV ρv(r)
dm
dt(8.24)
Sottraendo infine la (8.23) alla (8.24), assunto ρv(r) = ρv s(Tr) (in generale sappiamoche la densita di vapore sulla gocciolina e di poco superiore a quella di saturazione) sitrova:
ρv,∞ − ρv s(T∞)
ρv s(Tr)=dm
dt
[
1
4π r κairV ρv s(Tr)
+(
Lev
Rv T∞− 1
)
Lev
4π r Kair T∞
]
(8.25)
ma dmdt
= 4π r2 ρLdrdt
e ρv,∞−ρv s(T∞)ρv s(Tr)
≈ ρv,∞−ρv s(T∞)ρv s(T∞)
= S−1 sovrassaturazione ambientale
e quindi la (8.25) diventa infine:
S − 1 = rdr
dtρL
[
1
κairV ρv s(T∞)
+(
Lev
Rv T∞− 1
)
Lev
Kair T∞
]
(8.26)
ovvero:
rdr
dt=
S − 1[
Rv T∞ ρL
κairV es(T∞)
+(
Lev
Rv T∞− 1
)
Lev ρL
Kair T∞
] ≡ S − 1
FK + FD
(8.27)
ove S = e(T∞)/es(T∞) = ρv,∞
ρv s(T∞)e il rapporto di saturazione ambientale mentre FK e
FD sono i termini termodinamici associati alla conduzione di calore e alla diffusione divapore valutati sulle variabili di ambiente:
FD = ρL Rv Tκair
Ves(T )
FK =(
LRv T
− 1)
ρL LKair T
(8.28)
8.2. EQUAZIONE DI CRESCITA DI UNA GOCCIA 229
Per gocce piccole vanno inclusi gli effetti di curvatura e di soluzione ovvero sara:
ρv s(r, Tr) = ρv s(∞, Tr)
(
1 +a
r− b
r3
)
(8.29)
e quindi infine:
rdr
dt=S − 1 − a
r+ b
r3
FK + FD(8.30)
Tale equazione descrive la velocita di crescita per condensazione di una goccia oequivalentemente quando S < 1 la velocita di evaporazione.
Chiaramente quando una goccia diventa sufficientemente grande i termini di cur-vatura e di soluzione possono venire trascurati e la (8.27) diventa una buona approssi-mazione. Cio significa che fino ad un certo raggio la crescita della goccia dipenderadalle caratteristiche del nucleante ma da un certo punto in poi ne sara indipendente.In tale approssimazione l’eq. (8.30) puo essere integrata e dare:
r(t) =√
r20 + 2ξ t ξ =
S − 1
FK + FD≡ ξ1(S − 1) (8.31)
Le curve di livello per il termine ξ1 al variare di pressione e temperatura vengonorappresentate in fig. 8.1.
−30 −20 −10 0 10 20 30
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
curve di livello di log10
(ξ1[µ m2/s])
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
T [ ° C]
p [m
b]
Figura 8.1: Dipendenza del parametro di crescita ξ1 = 1/(FK +FD) da p e T .Vengonomostrate le curve di livello di log10ξ1 con ξ1 in µm2/s.
Tale andamento fa sı che vi sia un restringimento della larghezza della distribuzionedimensionale delle gocce mentre avviene la crescita per condensazione. Infatti date due
230 CAPITOLO 8. DIFFUSIONE ED EVAPORAZIONE DI GOCCIOLINE
gocce di raggi iniziali r1(0) e r2(0) la loro differenza col passare del tempo (e quindi ilcrescere delle gocce) diminuisce essendo:
r2(t) − r1(t) = (r2(0) − r1(0))r2(0) + r1(0)
r2(t) + r1(t)(8.32)
8.3 Termini correttivi alla teoria di crescita diffu-
sionale
La teoria fin qui descritta si basa su alcune approssimazioni e assunzioni che non sempresono soddisfatte. Ne prenderemo ora in esame alcuni.
8.3.1 Effetti di ventilazione
Abbiamo assunto che il campo di vapore attorno alla gocciolina abbia simmetria radiale.Questo e corretto per una goccia a riposo ma se una goccia e sufficientemente grandeda cadere con una velocita di caduta significativa il campo di vapore si distorce. Inoltrele velocita di trasferimento di calore (se si e mai percorsa una lunga discesa in biciclettaci si rende facilmente conto di tale effetto!) e di massa aumenteranno. Per tener contodi questi effetti si moltiplicano le (8.13-8.16) per opportuni fattori di ventilazione chedipenderanno dalla velocita di caduta (per gocce a riposo saranno uguali a 1). Moltospesso essi vengono assunti essere uguali e si parla di un unico fattore di ventilazionefv che andra pertanto a moltiplicare il membro di destra della (8.31). Un esempio diparametrizzazione del coefficiente di ventilazione di goccioline di pioggia e ad esempio:
fv =
1 + 0.09NRe 0 ≤ NRe ≤ 2.50.78 + 0.28
√NRe NRe > 2.5
(8.33)
fv → 0 per v → 0 ed in generale per r ≤ 10 µm, fv = 1.06 per r = 20 µm, fv = 1.25per r = 40 µm. Gia a r = 100 µm gli effetti della ventilazione divengono consistenti.Le gocce di pioggia piu grandi possono arrivare ad avere fv piu grandi di 25.
8.3.2 Effetti cinetici
La descrizione non e buona per gocce piccolissime: l’ipotesi che l’aria umida sia uncampo continuo, fatta implicitamente, non e realistica per gocce il cui raggio non econfrontabile con il cammino libero medio delle molecole del gas. I meccanismi ditrasferimento di calore, massa e momento infatti dipendono dal numero di Knudsen,definito come il rapporto tra il libero cammino medio delle molecole del gas λ e ilraggio della goccia. Il libero cammino medio in aria e approssimativamente inversa-mente proporzionale alla densita ed e circa uguale a 0.06µm a livello del mare (vedisec. 6.1.1). Quando λ/r << 1, come succede per gocce grandi, i campi di vapore edi temperatura sono correttamente descritti dalle equazioni date, che valgono appunto
8.4. APPLICAZIONI ALLE POPOLAZIONI DI GOCCIOLINE 231
nell’approssimazione di Maxwell del “continuo”. Quando invece siamo nella situazioneopposta, cioe λ/r >> 1 allora gli scambi di calore e massa possono essere calcolatidalla teoria cinetica molecolare. Il problema e che le gocce che si vengono a formarehanno dimensioni che vanno da 0.1 a 1 µm e quindi non possono essere descritte nedalla teria cinetica ne dall’approssimazione del continuo.
8.4 Applicazioni alle popolazioni di goccioline
L’equazione di crescita puo essere usata per descrivere l’evoluzione in dimensioni di unapopolazione di goccioline di soluzione. Nelle nubi naturali le goccioline interagisconocon l’ambiente e tra di loro in modi che influenzano le dimensioni delle goccioline stessee la loro concentrazione. Le goccioline crescono per condensazione se l’ambiente ha uneccesso di vapore sul valore di equilibrio e cio si verifica tipicamente nei raffreddamentiadiabatici o isobarici. Possono poi evaporare se l’aria dell’ambiente piu secca si mescolacon l’aria della nube. Poi la sedimentazione puo intervenire a rimuovere le piu grosse.La coaugulazione di goccioline non e significativa per gocce di raggio r < 10 µm madiviene importante se si supera tale dimensione. Uno degli scopi della fisica delle nubie di comprendere i processi che determinano la “forma” delle popolazioni finali di unanube.
All’inizio le goccioline sono troppo piccole perche sedimentazione e coalescenza ab-biano effetto: domina la condensazione e quindi sara il rapporto di saturazione del-l’ambiente a controllare il processo di crescita. Pertanto bisognera esaminare il budgetdi vapore di una nube in evoluzione.
Si distinguono i casi di goccioline in nubi cumuliformi, con elevate velocita verticalie raffreddamento descritto dall’adiabatica satura corretta per l’entrainment, e il casodelle nubi stratiformi, con piccole velocita verticali e un raffreddamendo praticamenteisobarico.
8.4.1 Nubi cumuliformi
La crescita per diffusione o l’evaporazione di gocce con r < 50 µm in caduta e essen-zialmente non condizionata dal flusso di aria che le circonda. Per cio le forme deglispettri di gocce si possono calcolare trascurando gli effetti di ventilazione. Inoltre sipossono trascurare le interazioni fra goccioline. Infatti le minori distanze tra goccevicine sono sempre ≥ 102r con r il raggio medio delle gocce. La descrizione completadell’evoluzione di uno spettro di gocce richiede la soluzione numerica di diverse equazio-ni differenziali simultaneamente, ma alcune considerazioni qualitative si possono fare.Al salire di una porzione questa si raffredda per espansione e la sua umidita aumentarapidamente (in maniera quasi proporzionale alla sua velocita verticale). I piu igroscop-ici fra i nuclei di condensazione divengono deliquescenti e formano gocce di soluzione,che crescono al loro raggio critico. La supersaturazione continuera a crescere di modoche la popolazione di goccioline potra assorbire questo eccesso di vapore. Oltre questo
232 CAPITOLO 8. DIFFUSIONE ED EVAPORAZIONE DI GOCCIOLINE
punto la supersaturazione cadra, le goccioline attivate raggiungeranno una dimensionepressocche uniforme (poiche dr/dt ∼ r) mentre quelle non attivate evaporeranno.
Da questo schema fisico ci si attende una correlazione fra la concentrazione di gocceprodotte per crescita diffusionale e la soprassaturazione massima raggiunta entro laporzione che espande. Correlazioni di questo tipo sono state condotte da Twomay(1959) con sorprendente rispondenza con misure in nube.
Analizziamo innanzitutto il budget di vapore di una nube in fase di sviluppo ver-ticale: sovrassaturazione viene prodotta dall’aria satura che si raffredda (termine P ,proporzionale alla velocita verticale) e viene ridotta per condensazione sulle gocce increscita (termine C, proporzionale alla massa di liquido condensata) cioe:
dS
dt= P − C = Q1
dz
dt−Q2
dχ
dt(8.34)
piu precisamente:
P = Q1dzdt
= 1T
[
ε L gRd cP T
− gRd
]
dzdt
C = Q2dχdt
= ρ[
Rd Tε es
+ ε L2
p cP T
]
dχdt
(8.35)
che esprime la variazione del rapporto di saturazione con la variazione della velocitaverticale e del rapporto di mescolamento χ (g d’acqua/g d’aria). Tali equazioni siricavano a partire dall’espressione per S = e/es. Si ha infatti:
dS
dt=
(
esdedt− edes
dt
)
e2s; (8.36)
Ora cominciamo con il considerare solo il moto verticale senza l’apporto della con-densazione, tenendo cioe w = cost: l’ascesa verticale determinera una diminuzione dipressione e conseguentemente una diminuzione della tensione di vapore e
de
dt=w
ε
dp
dt=w
ε
dp
dz
dz
dt= −ρ gw
ε
dz
dt= − eg
Rd T
dz
dt(8.37)
ed una diminuzione di T e quindi, dall’eq. di Clausius-Clapeyron, una diminuzionedella tensione di vapore di saturazione es:
des
dt=des
dT
dT
dz
dz
dt= − L es
Rv T 2
g
cP
dz
dt. (8.38)
da cui, approssimando e con es nel rapporto della (8.36), si trova il termine Q1 della(8.35). L’effetto piu importante e quello fornito dalla (8.38) ( ε L
cP T 1) e quindi l’effetto
del solo movimento adiabatico verso l’alto e quello di una produzione (P), ovvero diun aumento della supersaturazione.
Analogamente se non c’e ascesa ma solo condensazione allora:
de
dt=
p
ε
dw
dt= −p
ε
dχ
dtdes
dt=
des
dT
dT
dws
dws
dt=
L es
Rv T 2
L
cP
dχ
dt
8.4. APPLICAZIONI ALLE POPOLAZIONI DI GOCCIOLINE 233
−30 −20 −10 0 10 200
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Q2
T [C]−30 −20 −10 0 10 20
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
Q1×
104 [m
−1 ]
Q1
Q2
p=1000 mb
p=600 mb
p=800 mb
Figura 8.2: Dipendenza di Q1 dalla T e di Q2 da T e p.
che inserite nella (8.36) danno il termine Q2 della (8.35): l’effetto della condensazionee una decrescita della tensione di vapore e dovuta ad una decrescita del rapportodi mescolamento ed una crescita della tensione di vapore di saturazione es dovutaall’aumento di T determinato dal calore latente di condensazione. In questo casoambedue gli effetti contribuiscono ad una decrescita del rapporto di saturazione ovveroad una condensazione (C). I valori di Q1 e Q2 vengono graficati in fig. 8.2. Si noti comeil termine in Q1 condurrebbe in una nube con updraft costante ad una crescita linearedi S. Essendo S − 1 = s
100possiamo scrivere:
ds
dt= 100
(
Q1dz
dt−Q2
dχ
dt
)
. (8.39)
Ora sulla base dell’eq. di crescita delle goccioline (8.30), e dall’eq. (8.39) per la su-persaturazione, si assume una distribuzione di nuclei di condensazione, si specifica unacorrente ascensionale e si calcola l’evoluzione dello spettro delle goccioline. Fig. 8.3 e ilrisultato di questi calcoli in presenza di un updraft debole di 15cm/s e con una concen-trazione moderata di nuclei di condensazione di NaCl con masse comprese tra 10−18 e10−9 g (le linee continue rappresentano le dimensioni delle goccioline che crescono suinuclei di condensazioni di dimensioni diverse). Il tratteggio indica le altezze raggiuntedalle differenti goccioline durante la simulazione. Siccome le gocce piu grosse cadonorispetto all’aria non raggiungono la stessa altezza delle gocce piu piccole (che invece simuovono con l’aria con w = 15 cm/s).
La linea tratto punto mostra la variazione di s con l’altezza. Tutte le gocce comin-ciano a crescere non appena risalgono dalla base della nube (ove S = 1). La supersat-urazione cresce ed arriva ad un massimo dello 0.5%, ∼ 10m al di sopra della base. Legocce che si formano sui nuclei di condensazione piu piccoli dopo aver superato il mas-simo della supersaturazione cominciano a evaporare. Cio significa che il massimo della
234 CAPITOLO 8. DIFFUSIONE ED EVAPORAZIONE DI GOCCIOLINE
Figura 8.3: Formazione iniziale di goccioline e variazione della supersaturazione al disopra della base della nube.
supersaturazione e inferiore alla supersaturazione critica necessaria per attivare questinuclei. Rimangono particelle di nebbia e non diventano gocce. I nuclei piu grossi invecevengono attivati e la crescita continua per tutto il periodo in cui vi e supersaturazione.Continuando a crescere la loro dispersione in dimensione si va riducendo per effettodella forma parabolica della (8.31). In maniera analoga in fig. 8.4 viene mostrato comevaria s e altri parametri fondamentali al di sopra della base della nube. Si noti comes cresca rapidamente ed abbia un massimo entro le prime decine di m dalla base (ovesi raggiunge anche il massimo nella concentrazione di goccioline) e poi decresca ad unvalore limite (ove si raggiunge un bilancio tra tasso di condensazione sulle gocciolinee aumento della sovrassaturazione indotto dall’updraft). Quindi nei primi metri dellanube si decide la storia della nube essendo che la sovrassaturazione controlla il numerodi nuclei attivati.
8.4.2 Condensazione in nubi stratiformi
Nubi stratificate sono caratterizzate da vite piu lunghe e da una minore intensita del-l’updraft. Queste caratteristiche amplificano il ruolo giocato dallo scambio turbolentodi aria fra la nube ed il suo ambiente. Mason ha preso una nube idealizzata con confinia ±z0 e con moti turbolenti sulla scala L << z0 in modo da applicare la teoria classicadella diffusione. Un numero N di goccioline viene introdotto a t = 0 e z = 0; la densitadi probabilita w(z, t) = n(z, t)
Ndi trovare gocce a una distanza z dall’origine z = 0, e
8.4. APPLICAZIONI ALLE POPOLAZIONI DI GOCCIOLINE 235
Figura 8.4: Sviluppi ai primi stadi delle proprieta di una nube in aria che sale ad unavelocita costante di 0.5 (linea tratteggiata) o 2 m/s.
governata dall’equazione
∂w
∂t= De
∂2w
∂z2
con De coefficiente di diffusione turbolenta. Le gocce che arrivano al confine sonoconsiderate essere perse cioe w(±z0, t) = 0. La soluzione di questo problema e:
w(z, t) =1√
4πDet
e−z2
4Det +∞∑
n=0
(−1)n[
e−(z+2nz0)2
4Det + e−(z−2nz0)2
4Det
]
(8.40)
di modo che la probabilita che le gocce possano venire trovate nella nube al tempo tsara:
P (t) =∫ z0
−z0
w(z, t)dz = erf(x) +∞∑
n=0
(−1)n erf [(2n+ 1)x] − erf [(2n− 1)x] x
P (t) ≡ z0√4Det
(8.41)
cosı se t1/2 e il tempo di dimezzamento delle gocce sara P (t1/2) = 0.5 che si ottiene perx = 0.81. Da qui poi la frazione di goccioline P (nt1/2) che rimangono nella nube puoessere determinata dalla (8.41) con xn = 0.81/
√n. Si assume che le goccioline perse
vengano rimpiazzate da un ugual numero di nuclei non attivi. Con questo modellodi dispersione di base e possibile allora costruire una evoluzione temporale di unanube stratiforme. I risultati numerici danno delle previsioni che sono quanto menocompatibili con alcune osservazioni sperimentali.
236 CAPITOLO 8. DIFFUSIONE ED EVAPORAZIONE DI GOCCIOLINE
8.4.3 Evaporazione di una goccia in aria subsatura
Esaminiamo ora l’effetto della ventilazione del moto della goccia sul tasso di evapo-razione o condensazione. Il problema e di risolvere l’equazione di stato stazionario delladiffusione convettiva:
~u · ~∇ρv = κairV ∇2ρv (8.42)
per una goccia sferica di raggio a attorno alla quale fluisce con velocita ~u aria umidacon densita di vapore ρv.
In fisica delle nubi il modo piu seguito per studiato l’effetto della convenzione sullacrescita per diffusione viene dall’introduzione del fattore di ventilazione fv definito in(6.52) che esprime il rapporto tra i flussi di massa di vapore nel caso di una goccia inmoto ed una in quiete. Una quantita simile usata in special modo in ingegneria chimicae il numero di Sherwood (vedi eq. 6.47), che descrive il flusso diffusivo globale di massain un gradiente di concentrazione (per la sfera NSh = 2 fv).
Per risolvere l’equazione (8.42) per ρv e necessario specificare ~u ed in generalequesto si ha risolvendo, con metodi numerici, le equazioni di Navier-Stokes. Per farecio si introducono le solite variabili adimensionali ~∇′ = a~∇, u′ = u/U∞, r′ = r/a,ρ′v = (ρv − ρ∞)/(ρv(a) − ρ∞). In queste nuove variabili l’equazione (8.42) diviene:
~u′ · ~∇′ρ′v =2
NPe, v
~∇′2ρ′v (8.43)
con NPe, v = 2 U∞ aκair
Vnumero di Peclet per il trasporto di vapore che e in relazione col
NRe attraverso il numero di Schmidt NSc = ν/κairV (rapporto tra la viscosita cinematica
ed il coefficiente di diffusione) dalla relazione:
NPe, v = NSc NRe.
Si e visto nel paragrafo (6.8) come possano essere valutati tali numeri e tali coeffici-enti di ventilazione: si puo cosı valutare la variazione del flusso di massa o di calore traun corpo e l’ambiente causata dal moto del corpo stesso. Nel paragrafo (6.8) era statatrattata la diffusione browniana di particelle di aerosol attraverso una sfera di raggio a.Quanto si va dicendo permette di tener conto della modifica dei campi di vapore e tem-peratura, per il moto dell’idrometeora, ai fini del problema della rimozione dell’aerosol,attraverso la modifica delle forze foretiche agenti. Quando, in questo contesto, si tieneconto della diffusione browniana verso l’idrometeora si introduce un fattore di venti-lazione fp per le particelle, che tiene conto della modifica del campo di concentrazione.In mancanza di determinazione diretta di fp si propone di utilizzare la stessa forma difv, calcolando il numero di Scmidt mediante il coefficiente di diffusione browniana delleparticelle (NSc = ν/D). Poiche i numeri di Scmidt per le particelle sono alti, il fat-tore fp risulta corrispondentemente elevato, quindi la cattura browniana e fortementeaccresciuta dal moto dell’idrometeora.
8.5. ESERCIZI 237
8.5 Esercizi
1. Una goccia cresce su un nucleo di NaCl di massa 10−16 g in un ambiente incui sono presenti condizioni stazionarie con T = 280K e p = 80 kPa ed unasovrassaturazione s = 0.8%. Calcolare come varia la dimensione della goccia inun intervallo di tempo di 20 min. In particolare confrontare la legge di crescitaa partire dal raggio critico r∗ data dalla (8.27) e quella piu accurata data dalla(8.30).
Introducendo i valori del problema si trovaKair = 0.0246J/(msK) e κairV = 2.89×
10−5m2 s−1 da cui FK = 0.0067s/µm2 e FD = 0.0045s/µm2 mentre si trova r0 =r∗ = 0.2µm, a = 0.0012µm e b = 1.55×10−5µm3. Integrando numericamente l’eq.differenziale (8.30) si trova l’andamento in fig. 8.5 che dimostra come l’effetto deitermini di curvatura e di soluzione sia significativo solo per piccoli valori di r. Inquesto caso il termine a/r da lo stesso contributo del termine S−1 con r = 0.15µmmentre il termine b/r3 con r = 0.125 µm. D’altro canto si noti l’importanza cheha il termine S− 1: la linea continua piu bassa di fig. 8.5 (destra) corrisponde adun valore di s = 0.39% di pochissimo inferiore ad s = s∗ = 0.396: la particellain pratica non e attivata nella sua crescita (ovvero si trova in una posizione diequilibrio stabile).
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t [s]
r [µ
m]
Accrescimento di goccie in aria sovrassatura
S term onlyAll effectsS+a termS+b term
0 5 10 15 200
5
10
15
20
25
30
35
40
45
t [min]
r [µ
m]
Accrescimento di goccie in aria sovrassatura
S=1.008 no a+b termS=1.008 all effectsS=1.004S=1.0039
Figura 8.5: Andamento delle dimensioni di una goccia in crescita in ambiente di su-persaturazione considerando o meno l’effetto dei termini di curvatura e di soluzione. Sinoti come l’effetto di questi termini e significativo solo per piccoli valori di r (pannellodi sinistra), poi le soluzioni della (8.30) e della (8.30) vanno a coincidere (destra). Nelpannello di destra si noti la diversa crescita della gocciolina per due diversi valori di ssopra il valore s∗ = 0.396 (s = 0.4%, s = 0.8%) e per un valore di s immediatamenteinferiore a s∗.
2. Facciamo ora una stima del valore limite della supersaturazione in una nuvola
238 CAPITOLO 8. DIFFUSIONE ED EVAPORAZIONE DI GOCCIOLINE
costituita da gocce della stessa dimensione che assumiamo crescano per conden-sazione (coalescenza e sedimentazione diventano importanti in gocce grandi) inaccordo con la legge:
r(t) =√
r20 + 2ξ t (8.44)
cioe che nella equazione di crescita si possano trascurare gli effetti di curvaturae di soluzione (gocce sufficientemente grandi), si usi cioe la (8.27). Sia ν0 laconcentrazione di gocce per unita di massa d’aria (di modo che il numero diparticelle per unita di volume sia n0 = ρL ν0) e si consideri costante questaquantita (non vengono ne create ne perse gocce). Determinare l’eq. differenzialeche regola la supersaturazione.
L’eq. differenziale che regola la supersaturazione e la (8.39). Ora pero dχ =ν0 ρL 4π r2 dr e quindi il secondo termine della (8.39) si puo esprimere in terminidi dr
dt= s
r (FK+Fd)che si ricava dalla (8.44) (qui si assume che le gocce siano
sufficientemente grandi da poter trascurare il termine di soluzione e quello dicurvatura). Ma allora:
ds
dt=
(
100Q1dz
dt−Q24π r ν0 ρL
s
FK + Fd
)
≡ ω − η s. (8.45)
Assumendo ora che la T , p, e la dimensione delle gocce r siano grandezze chevariano molto piu lentamente della supersaturazione s, nell’eq.(8.45) i terminiω e η possono essere considerati costanti; l’eq. differenziale allora e lineare, siintegra e da:
s(t) =
(
s0 −ω
η
)
e−η t +ω
η(8.46)
che mostra che la supersaturazione tende al valore limite s∞ = ωη
e che la costante
di tempo in cui cio avviene e η−1.
Esempio: si calcoli la supersaturazione in un cumulo in cui le goccioline si stannosviluppando per condensazione, con contenuto d’acqua LWC = 0.2 g/m3, ad unaT = 0C, a p = 80kPa e con un moto verticale di 8 m/s. Si assuma che lo spettrodelle particelle sia gaussiano centrato attorno ad un raggio medio di 4 µm, conuna deviazione standard di 0.6 µm.
Il valore limite della supersaturazione e dato dalla (8.46):
s∞ =ω
η=G(p, T )
ν0 r
dz
dtG(p, T ) =
100Q1 (FK + Fd)
Q24π ρL
(8.47)
ove al posto del valore r del caso si gocce monodisperse si e sostituito il valormedio r dello spettro.
Usando i dati del problema si trova: Q1 = 5.84 × 10−4 m−1, FK + FD = 14.8 ×109 s/m2, Q2 = 383× 103 da cui G(p, T ) = 0.18 s/kg. Rimane quindi da ricavareil valore di ν0 dalla condizione sul contenuto d’acqua. Il numero di particelle per
8.5. ESERCIZI 239
unita di volume sara dato da: n(r) = n01√2πσ
e−(r−r)2
2σ2 di modo che dalla (4.2) siha che:
LWC =4π
3
∫ ∞
0ν0ρ
2L
1√2πσ
e−(r−r)2
2σ2 r3 dr ≈ 4π
3
∫ ∞
−∞ν0ρ
2L
1√2πσ
e−(r−r)2
2σ2 r3 dr;
sviluppando l’integrale facendo un cambio variabili, e tenendo presente che lefunzioni dispari hanno integrale nullo e che
∫ ∞
−∞e−t2 dt = 2
∫ ∞
−∞t2e−t2 dt =
√π
si ricava:
LWC =4π
3ν0 ρ
2L
(
r3 + 3rσ2)
e quindi ν0 = 6.9 × 105 kg−1. Infine inserendo tale valore nella (8.47) si trovas∞ = 0.52%.
3. Raffreddamento isobarico: nebbie, rugiada e gelate.
Sebbene gran parte delle traformazioni che portano a condensazione avvengano inatmosfera via l’espansione che accompagna il sollevamento, ci sono anche diversifenomeni di condensazione per raffreddamento isobarico. Ne sono un esempiole gelate e la rugiada che si formano causa il raffreddamento radiativo notturnodi aria umida a contatto con il terreno oppure la formazione di nebbie o nubi astrati a livello del terreno che puo essere determinata anche dal passaggio di ariaumida sopra terreno o superficie d’a cqua piu fredde.
Un campione di aria umida viene raffreddato isobaricamente. Quando si arrivaalla Td si forma una nube ed il raffreddamento continua. Il tasso di cambiamentodel rapporto di saturazione si puo scrivere nella forma:
dS
dt= q1
dT
dt− q2
dχ
dt. (8.48)
Derivare i fattori termodinamici q1 e q2. Stimare tali coefficienti a p = 800mb eT = 280K.
Usiamo sempre la (8.36). Ora, se non c’e condensazione, cioe se teniamo contosolo dell’effetto di raffreddamento:
de
dt=w
ε
dp
dt= 0
essendo la trasformazione a pressione costante, mentre il valore di des
dtdiventa:
des
dt=des
dT
dT
dt=
L es
Rv T 2
dT
dt(8.49)
240 CAPITOLO 8. DIFFUSIONE ED EVAPORAZIONE DI GOCCIOLINE
Ma allora q1 ≈ − LRv T 2 , essendo che es ∼ e (in pratica i valori di S si mantengono
sempre molto vicini a 1).
Analogamente se non c’e riscaldamento ma solo condensazione allora:
de
dt=
p
ε
dw
dt= −p
ε
dχ
dtdes
dt=
des
dT
dT
dt= 0
che inserite nella (8.36) danno il termine q2 ≈ pε es
della (8.48). Nelle condizioni
date si trova q1 ≈ −6.9%K−1 e q2 ≈ 129.
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
T [°C]
dχ/d
t [g/
kg/h
]
0.1 K/h0.5 K/h1 K/h
Figura 8.6: Tasso di produzione di acqua liquida in condizioni di raffreddamentoisobarico con diversi tassi di raffreddamento.
In fig. 8.6 viene graficato il tasso di produzione di acqua liquida con diversi tassidi raffreddamento in condizioni di stazionarieta di S; tale grandezza cresce alcrescere della T e del tasso di raffreddamento. Supposto che si mantengano talicondizioni di stazionarieta per 10 ore a partire da Tin = 7 K, la produzionedi acqua liquida in tale lasso temporale corrispondente ai tre valori di fig. 8.6sarebbe di 0.41, 1.82 e 3.15 g/kg.
4. Una goccia cresce per condensazione da un raggio di 2 µm a 20 µm in 10 minalla T = 0 C e a p = 70 kPa. Stimare la sovrassaturazione nell’ipotesi che valgala (8.44).
Si trova immediatamente che:
ξ ≡ S − 1
FK + FD=r2 − r2
0
2t= 0.33 × 10−12 m2/s.
8.5. ESERCIZI 241
Con questi valori di T e p si trova per il coefficiente di diffusione D = 3.16 ×10−5 m2s−1 e quindi FD = 6.53 × 109 s/m2 e FK = 7.81 × 109 s/m2. Ma allora:
S − 1 = ξ (FK + FD) = 0.45%.
5. Gocce di pioggia e gocce di nube
Calcolare lo spazio percorso da una goccia di raggio 200 µm e da una goccia di30 µm in un ambiente con S = 0.8 e ξ1 = 80 µm2/s assumendo per la gocciagrande una velocita di caduta vT = k3 r con k3 = 8 × 103s−1 e per la gocciapiccola una dipendenza vT = k1 r
2 con k1 = 1.2 × 106/(cm s).
Lo spazio percorso sara in ambedue i casi:
H =∫ t=tev
t=0vT (t)dt tev = − r2
0
2ξ(8.50)
Ma allora per le gocce grandi si ha:
Hgrandi = k3
∫ t=tev
t=0
√
r20 + 2ξtdt =
k3
3ξ
[
r20 + 2ξt
]tev
0=k3 r
30
3ξ(8.51)
Se r0 = 200 µm si trova H(200 µm) = 1.34 km.
Per le gocce piccole si ha invece:
Hpiccole = k1
∫ t=tev
t=0
(
r20 + 2ξt
)
dt = k1
[
r20 t + ξ t2
]tev
0= −k1 r
40
4ξ(8.52)
Se r0 = 30 µm si trova H(30 µm) = 1.52m.
Ecco il motivo per cui si distingue tra gocce di nube e gocce di pioggia. Le goccedi pioggia sono quelle sufficientemente grandi da raggiungere il terreno prima dievaporare. Le gocce di nube invece evaporano poco dopo aver lasciato la nube.Per convenzione la linea di demarcazione viene posta attorno a gocce che hannoraggi di 100 µm.
6. Per tenere conto dell’effetto di ventilazione l’eq. di crescita per diffusione vienetalora modificata introducendo un coef. di ventilazione parametrizzato comefv = 1 + 0.3
√NRe:
rdr
dt= (S − 1) ξ1
(
1 + 0.3√
NRe
)
ξ1 = 1FK+FD
NRe = 2ρ u rµ
(8.53)
ove ρ = 1kg/m3 e µ = 1.766×10−5kg/(ms) sono la densita e la viscosita dell’arianelle condizioni del problema. Confrontare i tempi necessari all’evaporazione pergocce con raggi iniziali di 1mm e 0.1mm usando la legge (8.53) e la (8.44) che nontiene conto della ventilazione. Come condizioni ambientali assumere T = 10 C
242 CAPITOLO 8. DIFFUSIONE ED EVAPORAZIONE DI GOCCIOLINE
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
t (min)
r (m
icro
n)
Evaporazione con e senza ventilazione
0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
t (min)
r (m
icro
n)
Evaporazione con e senza ventilazione
Figura 8.7: Andamento delle dimensioni di una goccia in evaporazione con r0 = 100µm(sinistra) e r0 = 1000 µm (destra) considerando l’effetto della ventilazione (linea con-tinua) o trascurandolo (linea tratteggiata). Come si vede l’effetto della ventilazione equello di velocizzare notevolmente il processo di evaporazione.
e p = 80 kPa ed una umidita relativa del 50%. Come legge di approssimazionedella velocita si usi u = k3 r con k3 = 8000 s−1.
Con queste condizioni ambientali si trova che FK = 6.47 × 10−3s/µm2 e FD =3.6 × 10−3s/µm2 mentre S = 0.5. L’eq. differenziale (8.53) e stata risolta nu-mericamente e nei due casi analizzati (r0 = 100, 1000 µm) i risultati sono statiplottati in fig. (8.7).
Includendo l’effetto della ventilazione gocce con raggio iniziale di 100 e 1000 µmevaporano in 1.06 e 27.7 min rispettivamente. Trascurando la ventilazione questitempi aumentano a 1.67 e 167 min. Pertanto l’effetto della ventilazione e giaimportante a r = 100 µm e lo diventa sempre piu al crescere delle dimensionidella particella (perche NRe cresce).
7. Evapora piu velocemente una goccia d’acqua a T = 0C o a T = 20C a paritadi umidita relativa (per esempio 60%)?
Capitolo 9
La pioggia
Gran parte della precipitazione del nostro pianeta viene prodotta nella fascia tropicaleda nubi la cui sommita non si estende a temperature al di sotto di 0C. Il meccanismoresponsabile per questo tipo di precipitazioni da nubi calde e la coalescenza tra le goc-cioline di nube. Tale processo peraltro e efficace anche in alcune nubi cumuliformi allemedie latitudini, la cui sommita si estende al di sopra del “freezing level”. Diamo alcu-ni numeri. Il processo che porta alla formazione della precipitazione puo essere moltobreve e durare anche solo una ventina di minuti (tempo minimo che puo intercorreretra la prima comparsa di nubi cumuliformi e l’evento di pioggia). In questo intervallodi tempo una popolazione iniziale con goccioline di 10 µm di raggio medio con unaconcentrazione dell’ordine di 100/cm3 evolve in una popolazione con concentrazione5 ordini di grandezza inferiore ma con raggi tipici attorno ai 500µm ÷ mm, quindicinquanta volte piu grandi dei diametri di partenza. Questa evoluzione e resa possi-bile dalla coalescenza, fenomeno che diventa significativo solo quando nello spettro digoccioline sono contenute goccioline con raggi superiori1 ai 20 µm (ne basta una ogni105). Infatti goccioline piu piccole hanno sezioni d’urto e velocita di caduta troppopiccole per avere probabilita d’urto significative. Siccome il processo di coalescenzacresce orientativamente con la quarta potenza del raggio, il processo procede poi “avalanga” (si tenga presente che una goccia con diametro di 1 mm risulta da ∼ 105
collisioni).
9.1 Interazione tra gocce in nube
Vogliamo ora cercare di analizzare piu dettagliatamente tutta quella seria di processiche a partire da una popolazione di goccioline (gia accresciute per condensazione) porta
1Si noti che nella formazione di goccioline con questi diametri l’effetto della condensazione spessonon basta. Infatti anche in condizioni di supersaturazione costante di 0.5% (raggiunte solo con updraftsostenuti) una goccia impiega almeno 10 min per raggiungere un raggio di 20 µm, e questo temposembra troppo lungo rispetto alle tipiche scale di evoluzione temporale in nube. Altri meccanismi cheincludono l’entrainment e il mixing turbolento devono giocare un ruolo importante, anche se ancoranon ben compreso, a questo livello.
243
244 CAPITOLO 9. LA PIOGGIA
alla formazione della pioggia.
Per effetto della diversa risposta delle goccioline alle forze gravitazionali, elettrichee/o arodinamiche le gocce in nube sono portate ad interagire. Le interazioni di goccein nube danno luogo a tre ordini di fenomeni:
• collisione
• coalescenza
• break-up.
Se si realizzano i primi due fenomeni parleremo di collezione. Come si e detto nelparagrafo 7.6.1, gocce caratterizzate da raggi inferiori ai 500 µm sono considerabilicome sfere rigide. Come primo argomento si puo affrontare il problema della collisione(dovuta alle diverse velocita terminali delle gocce) tra sfere con raggi inferiori ai 500 µm,che non conduce necessariamente alla coalescenza2 (formazione di un’unica goccia dimassa pari alla somma delle due incidenti). L’aspetto principale del problema, e cioelo stabilirsi di un contatto tra le superfici delle due sfere per cattura idrodinamica, egia stato trattato implicitamente nella parte sulla rimozione delle particelle di aerosol.Nelle nubi reali, tuttavia, questo processo e complicato dall’entrainment, dalle caricheelettrostatiche, dai campi esterni e dalla turbolenza. Anche questo e un problema amolti corpi, che puo, pero, essere ridotto a interazioni successive di due gocce allavolta. Infatti il contenuto di acqua liquida della nube, wc, in condizioni tipiche, euguale a 1 cm3 di acqua per metro cubo d’aria (talora in pioggie convettive si puoarrivare anche a 10) e lo si puo pensare come rapporto tra il volume di una sferadi raggio medio delle goccioline, a, ed il volume di una sfera di raggio s uguale alladistanza media delle goccioline
a
s= (wc)1/3 ≈ 10−2 :
la spaziatura e, pertanto, mediamente di cento raggi di gocciolina. Perche si originipioggia calda, tuttavia, tali interazioni devono essere assai frequenti. Grosso modo sipuo dire che per condensazione le gocce crescono a uno spettro abbastanza uniformeintorno a 20 µm di diametro che costituisce 10−6 volte la massa di una goccia tipica,di 1mm di diametro, quindi e dall’unione di piu di un milione di goccioline che derivauna goccia di pioggia!!.
2Quando una coppia di gocce collide diverse interazioni sono possibili:
1. possono rimbalzare via;
2. possono unirsi e rimanere permanentemente unite;
3. possono unirsi temporaneamente e poi separarsi, ritornando o alla situazione iniziale orompendosi in un certo numero di gocce.
9.2. L’EFFICIENZA DI COLLISIONE 245
9.2 L’efficienza di collisione
E necessario, per semplificare il problema, ritenere che non ci sia deformazione delledue sfere nel contatto, mantenendo cosı il modello di due sfere rigide, inizialmenteseparate nella verticale e soggette alla sola gravita. Indichiamo con yc la distanza
Figura 9.1: Geometria di collisione.
massima delle verticali per i due centri nella zona imperturbata per la quale si hatraiettoria di contatto (cioe, al di fuori di yc, le gocce non collidono piu). a1 e a2 sonorispettivamente il raggio della goccia superiore e il raggio della goccia inferiore (vedifig. 9.1). La quantita
Ecoll =y2
c
(a1 + a2)2 (9.1)
e l’efficienza di collisione e come si vede si definisce in modo analogo a quanto introdottoper la cattura inerziale dell’aerosol. Introducendo il rapporto tra i raggi p ≡ a2/a1 siha la semplice relazione
y2c
a1= (1 + p) E
1/2coll (9.2)
Vediamo ora la dipendenza di Ecoll dai parametri fisici che caratterizzano il proble-ma. La separazione verticale iniziale z0 si prende sufficientemente grande in modo chele gocce all’inizio cadano indipendentemente. Cosı Ecoll non dipendera da z0 (in gen-erale Ecoll non e sensibile a z0, cioe raggiunge il suo valore asintotico, se z0 ≥ 102a1, perogni rapporto a2/a1). I parametri importanti sono a1, a2, la viscosita cinematica ν, ladensita del fluido (aria) ρf , la densita delle sfere ρp, l’acc. di gravita g e la separazioneorizzontale iniziale y.
Una collisione (y = yc) puo essere descritta da qualche relazione della forma:f1(a1, a2, ν, ρf , ρp, g, y) = 0.
246 CAPITOLO 9. LA PIOGGIA
Figura 9.2: Efficienze di collisione simulate per coppie di gocce con raggi R = a1 er = a2. Le diverse curve sono etichettate con il raggio R della goccia piu grossa.
Applicando il teorema π dell’analisi dimensionale3 tale relazione si puo esprimere inquattro combinazioni adimensionali dei sette parametri, per esempio possiamo scriveref2(Ecoll, a2/a1, ρf/ρp, ga
31/ν
2) = 0, o , esplicitando Ecoll,
Ecoll = Ecoll(a2/a1, ρf/ρp, ga31/ν
2). (9.3)
Poiche ρf/ρp, g e ν sono fissati nel caso di una goccia che cade in aria, si ha:
Ecoll = Ecoll(a2/a1, a1). (9.4)
Si puo cosı descrivere il processo di collisione di gocce che cadono in aria da un setparametrico di curve: tipicamente si da Ecoll in funzione di a2/a1, tenendo a1 come pa-rametro variabile (attenzione: in generale ν e ρf varieranno con l’altezza, modificandoquindi i valori di Ecoll) come illustrato in fig. 9.2.
Per l’andamento qualitativo della curva si puo anzitutto riflettere che le sfere piccoletenderanno a muoversi insieme al flusso attorno alle sfere grandi e, per la deflessione
3Tale teorema afferma che in una formulazione equivalente adimensionale di un problema fisicoil numero di parametri adimensionali indipendenti e uguale al numero dei parametri dimensionaliindipendenti meno il numero di dimensioni coinvolte.
9.2. L’EFFICIENZA DI COLLISIONE 247
delle forze viscose dalla traiettoria di collisione, si avra Ecoll < 1 (eccetto che nel casoin cui a2/a1 → 1).
Le forze viscose devono diminuire d’importanza all’aumentare del raggio della sferaa1 perche in tal caso aumenta l’inerzia delle sfere: Ecoll e funzione monotona di a1
(vedi fig. 9.2). Per lo stesso motivo Ecoll deve anche essere funzione monotona di a2/a1,almeno per a2/a1 << 1.
Quando a2/a1 → 1 la soluzione non e ovvia. In particolare quando a2/a1 > 0.6ci sono due effetti contrastanti che intervengono all’aumentare di a2/a1. Siccome ledimensioni delle due gocce vanno a coincidere le loro velocita terminali si avvicinanosempre piu e il tempo d’azione delle interazioni e molto lungo: i campi di flusso in-tervengono fortemente e la gocciolina puo essere deflessa attorno alla goccia senzacollidere. D’altro canto puo subentrare la possibilita di cattura nella scia (che puoportare a Ecoll > 1, ma le computazioni numeriche non sono accurate), essendo che lagoccia “inseguitrice” entra nella scia della gocciolina e quindi trova minor resistenza almoto. Siccome la forza e le dimensioni della scia aumentano con il NRe ci si aspettache questo effetto aumenti con a1 come confermato in fig. 9.2.
Per questo argomento si puo ripetere quanto detto per gli esperimenti di similaritadinamica nei processi di cattura. In questo caso a2/a1, ρf/ρp e g a3
1/ν2 devono avere
gli stessi valori in laboratorio. Ma, se aumentiamo i raggi per rendere osservabili legoccioline e la viscosita per aumentare i tempi di osservazione, variera il rapportoρf/ρp, che in nube e dell’ordine di 10−3 e negli esperimenti con modelli non puo venirepreservato e diventa superiore a 5 × 10−2.
Si vede inoltre che g a31/ν
2 e funzione solo di ρf/ρp e del numero di Reynolds NRe, 1
della sfera a1 alla sua velocita terminale. Percio si ha anche:
Ecoll = Ecoll(a2/a1, ρf/ρp, NRe, 1). (9.5)
9.2.1 Metodo di sovrapposizione.
I calcoli di Schlamp e quelli di Lin e Lee di fig. 9.2 sono basati sul metodo di sovrap-posizione secondo il quale si suppone che ciascuna sfera si muova nel flusso generatodall’altra in caduta isolata. In tal modo si usa per le due sfere il risultato acquisito perlo studio del flusso intorno a una sfera singola. Se le sfere 1 e 2 si muovono con velocitaistantanee ~v1 e ~v2 rispettivamente, la forza ~F1, sup sulla sfera 1 si suppone abbia laforma:
~F1, sup = −6 π a1 µ(
CD NRe
24
)
1(~v1 − ~u2) (9.6)
ove µ = ρν e la viscosita dinamica, ~u2 e il campo di velocita dovuto al moto della sfera2, che si avrebbe nel punto della sfera 1, se questa fosse assente. Per le forze sulla sfera2 si usa la stessa espressione, scambiando tra di loro gli indici. La quantita
(
CD NRe
24
)
1,
funzione solo del NRe della sfera 1, dovrebbe essere basato sulla velocita relativa ~v1−~u2
ma talora e invece basato su ~v∞, 1, la velocita terminale della sfera 1 isolata.Il metodo non e molto accurato nel descrivere le interazioni tra sfere quando esse
sono molto vicine. Pertanto rimane valido quando il tempo trascorso dalle due sfere in
248 CAPITOLO 9. LA PIOGGIA
stretta vicinanza e basso (ovvero quando la velocita relativa e quindi a2/a1 e abbastanzagrande) e cade per a2/a1 → 1. Beard e Grover (1974) hanno usato il metodo, sullesoluzioni numeriche di Le Clair (1970), per l’interazione tra piccole gocce di pioggia egoccioline delle dimensioni dei µm.
Vediamo ora come diventa l’eq. del moto per le gocce nelle ipotesi che il metododi sovrapposizione descriva correttamente le forze idrodinamiche. La legge di Newtonper la sfera 2 diventa:
m2d~v2
dt= m2~g
∗ + ~F2 = m2ρp − ρf
ρp
~g + ~F2 (9.7)
ove ~F2 si trova dalla (9.6) scambiando gli indici 1 e 2. Rendiamo questa equazioneadimensionale usando a1 come unita di lunghezza e la velocita terminale della sfera 1V∞, 1 come unita di velocita. Introduciamo allora le quantita adimensionali:
~v′2 ≡
~v2
V∞, 1; ~u′
1 ≡~u1
V∞, 1; t′ ≡ t
V∞, 1
a1. (9.8)
Allora la (9.7) diventa:
d~v′2
dt′=
g∗
NFr−~v′
2 − ~u′1
NSt(9.9)
ove NFr =V 2∞, 1
g∗ a1e il numero di Froude per la sfera 1, g∗ e un versore diretto come la
gravita, mentre
NSt =2 a2
2ρp V∞, 1
9 µ a1
(
24
CD NRe
)
2
(9.10)
e il numero di Stokes o parametro di inerzia (si noti che il termine in parentesi tondavale 1 per sfere in regime di Stokes). Cerchiamo di approfondirne il significato: esso dauna misura della capacita della sfera 2 di mantenersi nel suo stato di moto pur essendoin un fluido viscoso. Per esempio nel caso in cui NRe,1 → 0 (la sfera 1 sia ferma)il numero di Stokes e direttamente proporzionale al range o distanza di penetrazionedella sfera 2 se immessa a velocita terminale di Stokes VSt, 2 nel fluido a riposo. Infattila legge che governa il moto della particella e quella di Newton con come unica forzafrenante quella del drag di Stokes:
m2d v2
dt= m2 v2
d v2
dx= −6 π a2 µ v2 ⇒ dx = − m2
6 π a2 µd v2 (9.11)
che integrata con v2 da VSt, 2 a 0 porge infine, una distanza percorsa pari a:
xSt =m2 VSt, 2
6 π a2 µ(9.12)
Ora siccome VSt, 2 =(
a1
a2
)2VSt, 1 e m2 = 4
3a3
2 ρp si trova infine che:
xSt
a1
=(
a1
a2
)2 2 a22 ρp VSt, 1
9 a1 µ=(
a1
a2
)2
NSt (9.13)
che dimostra appunto come, per NRe,1 → 0, la distanza di penetrazione nel fluido siaappunto proporzionale al NSt.
9.2. L’EFFICIENZA DI COLLISIONE 249
9.2.2 L’ipotesi quasi stazionaria
Le due sfere interagenti cadono con velocita diverse, quindi il flusso e intrinsecamentenon stazionario. Il metodo di sovrapposizione ignora questa intrinseca difficolta. Sisuppone che le condizioni del moto di caduta siano quasi-stazionarie: le velocita is-tantanee delle sfere definiscono in ogni istante condizioni al contorno per il campo divelocita generato dalla equazione stazionaria del moto.
9.2.3 Flusso di Stokes stazionario
Appare ragionevole applicare la teoria del flusso di Stokes indipendente dal tempo alproblema di collisione per NRe << 1. Si intende per goccioline < 30 µm (→ NRe ≤0.4 come limite. Strettamente la teoria di Stokes si applica rigorosamente solo perNRe = 0 e diviene progressivamente meno accurata all’aumentare del NRe. Le equazionidivengono:
~∇ p = µ∇2~u ~∇ · ~u = 0 (9.14)
con le velocita che si annullano all’infinito e assumono il valore di quelle delle sferesulle loro superfici. In generale vi saranno componenti di velocita ortogonali alla lineache unisce i due centri, con possibilita di velocita angolari e rotazioni per le sfere. Lecollusioni vere e proprie sono impossibili nel flusso di Stokes, poiche la resistenza al-l’approssimarsi delle sfere varia con l’inverso della loro distanza di separazione. Questosi supera con la teoria dello slip-flow. Si toglie l’ipotesi che il gap d’aria fra le goccesia un continuo, quando la separazione diviene dell’ordine di dieci volte il camminolibero medio: la viscosita effettiva tende a diminuire quando NKn) > 0.1. La teoriadello slip-flow rende capaci di determinare approssimativamente la forma della viscositaeffettiva.
9.2.4 Aumento della cattura gravitazionale per turbolenza
C’e sempre una certa turbolenza nelle nubi che va considerata ai fini della cattura. Ilproblema e come questa turbolenza si riflette sulla cattura ed e stato affrontato solo re-centemente da De Almeida. La presenza della turbolenza richiede una generalizzazionedella relazione di efficienza di collisione, perche le traiettorie acquistano un grado dicasualita quando interagiscono idrodinamicamente. Cosı mentre nel caso non turbo-lento una collisione e garantita se la distanza di offset iniziale y (vedi fig. 9.2) soddisfala condizione di cattura per y ≤ yc (e di cattura impossibile per y > yc) nel casoturbolento vi e una probabilita finita P (y) per una collisione ad ogni y e il problemada deterministico diviene probabilistico. Possono cosı succedere i casi in figura 9.3.
Si ha :
P (y) =n (yT )
T(9.15)
con n(y) numero di successi (eventi favorevoli, cioe collisioni) su T prove. De Almeideha scelto T = 200. Trovata P (y),la sezione d’urto totale efficace per le collisioni e
250 CAPITOLO 9. LA PIOGGIA
Figura 9.3: (a) Tipiche traiettorie relative della sistema goccia-gocciolina in aria tur-bolenta. (b) probabilita di collisione nel caso turbolento (curva continua) e nel casodeterministico (curva tratteggiata).
∫∞0 2 π y P (y) dy e quindi la generalizzazione di Ecoll al caso turbolento diviene:
Ecoll =2
(a1 + a2)2
∫ ∞
0y P (y) dy. (9.16)
9.2.5 Verifica sperimentale dell’efficienza di collisione
Le molte incertezze inerenti ai modelli teorici renderebbero utile una conferma speri-mentale.Tuttavia questa e resa praticamente impossibile dalla confusione concettuale esperimentale fra collisione e coalescenza. Quando due goccioline interagiscono si osser-va coalescenza e non-coalescenza: in quest’ultimo caso non e possibile dire se le goccesono realmente entrate in collisione o si sono “ sbagliate” di poco. Quella che si misurae una efficienza di cattura piu che una efficienza di collisione. Le difficolta sprimentalisono notevoli.
9.3 La coalescenza e il problema del rimbalzo
In generale una collisione tra due gocce non ne garantisce la coalescenza. Esse possonorimbalzare via oppure unirsi solo temporaneamente. La coalescenza procede quandole superfici delle gocce entrano in contatto, per la diminuizione di energia superficialeconseguente la diminuizione di area. Cosı il problema del rimbalzo e semplicemente unproblema di drenaggio dell’aria in film tra le due superfici. Il drenaggio del film d’ariae ostacolato quando le due sfere possono deformarsi facilmente. L’appiattimento localeimpedisce l’espulsione del film d’aria. Ma il processo, oltre che dalle dimensioni dellegocce, e controllato anche dalla velocita relativa ~vr e dall’angolo di impatto θ.
9.3.1 Frattura successiva alla coalescenza
Esperimenti hanno dimostrato che il sistema subito dopo coalescenza e altamente in-stabile e si puo fratturare, con espulsione di frammenti (fino a 10). Cio si ha quan-
9.4. EQUAZIONE DI CRESCITA 251
do l’energia cinetica delle gocce che hanno fatto coalescenza supera l’energia liberarichiesta per formare di nuovo il paio di partenza.
L’efficienza di coalescenza Ecoal, in tipiche condizioni atmosferiche, e elevata, speciese le goccioline sono elettricamente criche o se seono presenti campi elettrici. In quantosegue assumeremo per lo piu che essa sia pari ad 1. Pertanto l’efficienza di collezioneE definita dal prodotto delle efficienze di collisione e di coalescenza:
E = Ecoll × Ecoal (9.17)
si ridurra quasi sempre alla efficienza di collisione.
9.4 Equazione di crescita
9.4.1 Equazione di crescita continua
Vogliamo cominciare con lo scrivere una equazione per la crescita seguente alla collisionee alla coalescenza di una singola gocciolina. Supponiamo allora che una goccia diraggio R stia cadendo alla velocita V (R) attraverso una popolazione di gocciolinecon distribuzione dimensionale n(r) e velocita terminali V (r). Nell’unita di tempola gocciolina spazzola goccioline di raggio r da un volume π(R + r)2 |V (R) − V (r)|(si noti che tale grandezza e proporzionale alla velocita relativa). Pertanto verrannocollezionate:
π (R + r)2 |V (R) − V (r)| n(r) E(R, r) dr
goccioline con raggi tra r e r+ dr, E(R, r) essendo l’efficienza di collezione (si e dettoche tale efficienza, di solito, coincide con quella di collisione, essendo che l’efficienza dicoalescenza almeno per goccioline di diametri inferiori a 100µm e pari a 1). Ma alloral’aumento di volume della goccia collettore per unita di tempo sara:
dV
dt=∫ R
0π (R + r)2 |V (R) − V (r)| n(r) E(R, r)
4
3π r3 dr
che in termini del raggio R si scrive:
dR
dt=π
3
∫ R
0
(
R + r
R
)2
|V (R) − V (r)| n(r) E(R, r) r3 dr (9.18)
che, nell’ipotesi in cui r R porge:(
dR
dt
)
=π
3V (R)
∫ R
0n(r) E(R, r) r3 dr = V (R)
E LWC
4ρL
(9.19)
con E una efficienza media di collezione e LWC il contenuto di acqua liquida (espressoin unita di massa per volume); essa e valida, in generale, per qualsiasi tipo di collettore(e si applica quindi anche alla grandine). Passando alla determinazione del raggio dellagoccia con l’altezza si ha che, per nubi con updraft pari a Vupdraft:
dR
dz=dR
dt
dt
dz=E LWC
4 ρL
V (R)
Vupdraft − V (R)(9.20)
252 CAPITOLO 9. LA PIOGGIA
9.4.2 Equazione di crescita stocastica
L’eq. (9.20) puo essere usata in prima approssimazione per descrivere la crescita di unaparticella di raggio R. Essa descrive il processo di collezione come un processo continuo;in realta esso e un processo discreto che procede in maniera stocastica, ovvero in unintervallo di tempo ∆t gocce di ugual dimensioni all’interno della medesima nube noncrescono uniformemente. Quello che si verifica e che tutta la distribuzione dimensionaledelle particelle cambia. Sia allora n(m, t)dm il numero di gocce per unita di volumed’aria che all’istante t ha massa tra m e m + dm. E utile introdurre un kernel dicollisione goccia-goccia:
ovvero il tasso medio al quale il numero di gocce di massa m viene ridotto per effettodella coalescenza con qualsivoglia (ecco il motivo dell’integrazione) goccia di massa m′
e dato da:
P =dn(m, t)
dt=∫ ∞
0Kgocce−gocce(m,m
′)n(m′, t) n(m, t) dm′.
A questo punto si puo esprimere anche il tasso al quale si ha generazione di gocce dimassa m per effetto della coalescenza tra particelle di massa m′ e m−m′ come:
G =1
2
∫ m
0Kgocce−gocce(m−m′, m′)n(m′, t) n(m−m′, t) dm′
ove si e introdotto il fattore 1/2 per evitare di contare ciascuna collisione 2 volte. Allafine l’equazione di collezione stocastica per la popolazione di goccioline potra esserescritta nella forma:
(
∂n(m, t)
∂t
)
collezione
= G− P. (9.22)
A titolo di esempio si mostra in fig. 9.4 una simulazione di crescita per collezionestocastica. Come si vede man mano che la popolazione evolve il contenuto di acqualiquida va via via concentrandosi verso gocce piu grosse. Dopo mezz’ora mi ritrovo condue picchi: uno corrispondente alle goccioline di nube con raggi attorno ai 10 mum,l’altro di gocce di pioggia con raggi dell’ordine del mm.
9.5. IL BREAK-UP 253
Figura 9.4: Esempio di evoluzione di una popolazione di goccioline per effetto dicollezione stocastica. rf e il momento primo della distribuzione, rg il momento quarto.
9.5 Il break-up
Dalla trattazione gia discussa al paragrafo 7.6.3 si ricorda che quando le gocce diventanotroppo grandi si vanno a rompere in gocce piu piccole. Anche qui si puo usare unapproccio stocastico introducendo una funzione Pbreak−up(m) che fornisce la probabilitadi rottura per unita di tempo. Se R e in mm una formula empirica per questa funzione
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
raggio [mm]
Pro
babi
lita
di r
ottu
ra [s
−1 ]
Figura 9.5: Probabilita che una goccia di raggio R si rompa per unita di tempo.
e data daPbreak−up(m) [s−1] = 2.94 × 10−7 e3.4 R
e viene mostrata in fig. 9.5. Un’altra formula empirica Qbreak−up(m′, m)dm fornisce il
numero di gocce con massa tra m e m+ dm che si formano dalla rottura di una goccia
254 CAPITOLO 9. LA PIOGGIA
di massa m′. Il break-up andra pertanto a modificare l’evoluzione della popolazione digoccioline nella forma:(
∂n(m, t)
∂t
)
break−up
= −n(m, t)Pbreak−up(m) +∫ ∞
mQbreak−up(m
′, m)n(m′, t) Pbreak−up(m′) dm′.
9.6 Efficienza di conversione a pioggia
Alla fine di questo capitolo un breve paragrafo va dedicato ai processi antropici chepossono portare ad un aumento delle precipitazioni, un problema questo molto sentitoin regioni particolarmente poco piovose. Va innanzitutto definita una efficienza dellaconversione in pioggia tenendo in considerazione il rapporto tra il contenuto di pioggianella colonna verticale con quello di acqua liquida. Tale rapporto e fortemente variabileda zona a zona e da area a area (ad esempio nubi marittime sono di solito molto efficientida questo punto di vista). E chiaro che tanto piu questo rapporto e piccolo tantomaggiore sara la potenzialita di andare a modificare tale efficienza di conversione inpioggia agendo sui meccanismi tipici di formazione della pioggia. Ad esempio e possibileseminare la nube con dei nucleanti (e.g. sali igroscopici). Questi nuclei di condensazionepiu grossi di quelli naturali presenti in nube avrebbero l’effetto di modificare i processidi condensazione iniziali, consentendo a meno CCN di nucleare. Ne risulterebbe, per lanube seminata, uno spettro iniziale di goccioline piu largo alla base della nube. Questoaccelera e accresce i successivi processi di coalescenza e/o collisione. Il risultato finalesarebbe di avere temporali piu lunghi con una maggior quantita di precipitazione.
9.7 Esercizi
• Una nube sopra le isole Hawai e spessa 2 km ed ha un LWC = 0.5 g/m3. Unagoccia di 0.1mm di raggio comincia a cadere da in cima alla nube.
– Trovare le dimensioni della goccia quando emerge dalla base della nube,trascurando moti verticali d’aria nella nube. Si trascuri anche la crescitaper condensazione si assuma E = 1 e si usi la forma elementare dell’eq. dicrescita.
– Assumendo che la velocita terminale della goccia sia uguale a k3r, ove k3 =8 × 103 s−1, trovare il tempo impiegato a cadere attraverso la nube.
– Le nubi orografiche hawaiane sono di solito mantenute da leggeri movimentiverticali che causano moti verso l’alto deboli e stazionari. Cosa cambia se epresente un updraft di 20 cm/s?
Utilizziamo l’eq. di crescita (9.20) (senza contributo di updraft), che integrata inun sistema di riferimento rivolto verso l’alto che ha z = 0 in fondo alla nube, da:
R(z) = Rbottom − LWCE
4ρLz.
9.7. ESERCIZI 255
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100010
15
20
25
30
35
40
45
50
55
t (sec)
r(t)
Accrescimento di goccie
Figura 9.6: Crescita di gocce per condensazione (linea tratteggiata), per accrescimento(linea puntinata) e tenendo conto di ambedue gli effetti (linea continua).
Quindi:
Rbottom = Rtop +LWC
4ρL
hnube = 10−4 +0.5 × 10−3
4 × 1032 × 103 = 0.35mm.
Il tempo impiegato a percorrere la nube sara invece:
τ =∫ h
0
1
v(R(z))dz =
∫ h
0
1
k3 R(z)dz =
4ρL
LWC k3
[
ln
∣
∣
∣
∣
∣
Rbottom − LWC
4ρLz
∣
∣
∣
∣
∣
]
z
=4ρL
LWC k3
lnRbottom
Rtop
=4 × 103
8 × 103 5 × 10−3ln 3.5 = 20.9min.
Nel caso di updraft consideriamo l’eq. (9.20) e integriamola:
∫ R(z)
R(h)
U − u(R)
u(R)dR =
∫ z
h
LWC
4ρLdz
U
k3lnR −R
]R(z)
R(h)
=LWC
4ρL(z − h)
ed infine:
R(0)con updraft −U
k3
lnR(0)
R(h)= R(0)senza updraft
che risolta numericamente da R(0) = 0.38mm.
256 CAPITOLO 9. LA PIOGGIA
• Una piccola goccia viene spinta verso l’alto in un cumulo congesto e ivi cresceper accrescimento e condensazione in ambiente sovrassaturo. Il parametro dicondensazione ξ puo essere ritenuto costante mentre la velocita relativa alle altregocce sia v = k3R. Risolvere l’eq. differenziale che tiene conto di entrambe lecause di accrescimento.
Si ha:
dr
dt= Br +
ξ
rB =
E LWC k3
4ρL(9.23)
che elaborata da:dr2
dt− 2Br2 = 2ξ
che e una semplice eq. differenziale lineare non omogenea la cui soluzione:
r2(t) = Ae2Bt − ξ
B
con le condizioni iniziali diventa:
r2(t) =
(
r20 +
ξ
B
)
e2Bt − ξ
B.
Con situazioni tipiche (vedi due problemi precedenti) plottiamo in fig.9.6 gli an-damenti del raggio di una goccia a partire da r0 = 10 µm tenendo conto delsolo accrescimento (B = 10−3s−1), della sola condensazione (ξ = .33 µm2/s) o diambedue le cause.
• Come indice dell’efficienza della crescita di una precipitazione per accrescimen-to si puo considerare la frazione totale di area unitaria in una nube che vienegeometricamente spazzolata dalle particelle precipitanti per unita di tempo:
S ≡ π
4
∞∫
0
N(D) v(D)D2 dD. (9.24)
Determinare l’efficienza S e la riflettivita Z in funzione di RR nelle seguentiipotesi:
– La distribuzione dimensionale sia della forma N(D) = N0 exp(−b D) con bche dipende da RR e N0 = 0.08 cm−4.
– La velocita terminale di caduta u(D) = k D con k = 4 × 103 s−1.
– Velocita verticale dell’aria nulla (nube stagnante).
9.7. ESERCIZI 257
Valutare tale espressione per RR = 10mm/h.
In queste ipotesi si trova subito:
RR =π
6
∞∫
0
N(D) v(D)D3 dD =π
6
∞∫
0
N(D) k D4 dD
RR =kπ
6N0
4!
b5=
4 k π N0
b5; (9.25)
e per l’efficienza:
S =π
4
∞∫
0
N(D) k D3 dD
S =kπ
4N0
3!
b4=
3 k π N0
2 b4.
Ma allora:
2S3 k π N0
=(
RR
4 k π N0
)4/5
⇒ S =3
2 × 44/5(k π N0)
1/5 RR4/5.
Inserendo per RR il valore di 10 mm/h = 2.78 × 10−4 cm/s si trova:
S = 2.82 × 10−3 s−1.
La riflettivita radar Z in mm6/m3 invece e data da:
Z =
∞∫
0
N(D)D6 dD =N0
b7
∞∫
0
t6 e−t dt
Z = N06!
b7; (9.26)
che confrontata con la (9.25) porge:
Z =6!
N2/50
(
1
4π k
)7/5
RR7/5;
esprimendo Z inmm6/m3 (1012 mm6/m3 = cm3) eRR inmm/h (36×103 mm/h =cm/s) si trova:
Z [mm6/m3] = 216 (RR [mm/h])7/5 .
• Nelle assunzioni del problema precedente, calcolare la velocita di decrescita diLWC per collezione di pioggia. Mostrare che una pioggia stazionaria di 10 mm/hper 5 min riduce LWC al 45% del suo valore originale.
258 CAPITOLO 9. LA PIOGGIA
Partendo dalla (9.19) integrando su tutta la distribuzione dimensionale e utiliz-zando la definizione (9.24) per S, l’efficienza di crescita per aggregazione, si trovainfatti che il tasso di variazione dell’LWC per collezione e:(
dLWC
dt
)
coll.
= −4πρL
∞∫
0
N(r)r2dr
dtdr = −ELWCπ
∞∫
0
N(r)r2V (r)dr = −ELWCS
ove il segno meno e stato messo a significare che quello calcolato e il contenu-to d’acqua liquida della nube che viene perso perche collezionato dalla precip-itazione. Se E = 1, cioe se ogni goccia spazzolata viene poi effettivamenteinglobata, allora:
LWC(t) = LWC0 e−S t
da cui: LWC(t = 300 s)/LWC0 = e−2.82×10−3×300 = 0.43 che e il risultato voluto,ottenuto usando il valore di S del problema precedente.
• La velocita di produzione di acqua liquida ad un dato livello in una nube con-vettiva e proporzionale alla velocita di risalita a quel livello. Quando cade lapioggia attraverso il livello questa spazzola via le goccioline e svuota la nube delsuo contenuto d’acqua. Si tratta quindi di due processi antagonisti; derivare unaespressione tra precipitazione e velocita di risalita che corrisponda ad un bilanciotra velocita di produzione di goccioline e velocita di spazzolamento di queste. Sifacciano le seguenti ipotesi:
– Tutto il vapore in eccesso sopra il rapporto di saturazione di equilibriocondensi immediatamente per formare goccioline d’acqua.
– La distribuzione dimensionale delle gocce sia del tipo:
N(D) = N0 exp (−b D)
ove N0 = 0.08 cm−4 e b dipende dalla precipitazione.
– La velocita terminale delle gocce e legata al diametro da:
u(D) = k D k = 4 × 103 s−1.
Dal problema precedente segue che la variazione di contenuto d’acqua LWCdovuto allo spazzolamento delle gocciolinee:(
dLWC
dt
)
coll.
= −E LWC S = −E LWC3
2 × 44/5(k π N0)
1/5 RR4/5. (9.27)
Per quel che concerne invece la variazione di contenuto d’acqua LWC dovuto acondensazione nel moto verticale sara:
(
dLWC
dt
)
cond
= ρdχ
dt= −ρ dws
dt= −ρ dws
dz
dz
dt(9.28)
= −ρ cPL
(Γd − Γs)w. (9.29)
9.7. ESERCIZI 259
Perche ci sia equilibrio dovra essere:(
dLWC
dt
)
coll.
+
(
dLWC
dt
)
cond
= 0
da cui usando unita MKS ed un valore di ρ = 1kg/m3 segue:
Prendendo dei valori tipici E ≈ 1, LWC = 2g/m3, RR = 10mm/h e Γd − Γs =4 K/km si trova un valore di velocita verticale w = 3.6 m/s, che e compatibilecon gli ordini di grandezza tipici dei moti verticali.
• Si calcoli l’energia liberata dalla condensazione del 10% del vapore presente inun km3 di aria satura alla temperatura di 17C e alla pressione atmosferica.
• Si supponga di avere una nube con spessore ottico pari a 15 (il coefficiente diestinzione sia 2 π il momento di ordine due della distribuzione dimensionale);supponendo che il profilo sia adiabatico (ovvero LWC cresca linearmente conl’altezza) e che il raggio al top e al bottom della nube sia 4 e 10 µm rispettivamentecalcolare il LWC al top e al bottom, della nube, il LWP e la concentrazione N0,assunta costante. L’altezza della nube sia Hc = 0.3 km. Riguardo alla strutturaverticale di LWC e re si veda Platnick, 2000, JGR,22919-22935. Si noti che inun gran numero di stratocumuli marini e nubi basse si osservano crescite linearidi re con l’altezza (Miles et al., JAS, 2000). Per nubi convettive si veda inveceRosenfeld-Lensky, 1998 JAM
Con le assunzioni precedenti si puo scrivere che
LWC(z) = N04π
3ρLr
3e(z) = LWCbot + (LWCtop − LWCbot)
z
Hc
da cui dz = Hc
LWCtop−LWCbot4πρL r
2edre. Ora lo spessore ottico puo essere approssi-
mato come τ =∫
z 2π r2e(z)N0dz di modo che
τ =∫
8π2N20 ρL
LWCtop − LWCbotHcr
4edre =
8π2 N20 ρL
5 (LWCtop − LWCbot)Hc
[
r5e(top) − r5
e(bottom)]
di modo che:
N0 =5τ
6π Hc
r3e(top) − r3
e(bottom)
r5e(top) − r5
e(bottom)= 123/cm3
che consente poi di calcolare LWCbot = 0.034g/m3 e LWCtop = 0.52g/m3.(LWP = 89g/m2)
260 CAPITOLO 9. LA PIOGGIA
Capitolo 10
Crescita e aggregazione dei cristallidi ghiaccio
I processi che portano alla formazione del ghiaccio sono divisi in processi primari e sec-ondari. Nei processi primari (visti al paragrafo 3.5), noti come nucleazione (omogeneao eterogenea che sia), le particelle di ghiaccio vengono formate direttamente dall’acqualiquida o dal vapore.
La produzione secondaria di ghiaccio si riferisce invece a quei processi nei quali laformazione di nuovi cristalli di ghiaccio coinvolge particelle di ghiaccio gia esistenti (ilriming e la frammentazione per esempio). Questo tipo di processi deve essere sicura-mente rilevante per spiegare uno dei principali enigmi nella microfisica del ghiaccio,ovvero la forte discrepanza (che puo arrivare ad essere pari ad un fattore 104) trala concentrazione di cristalli osservata e quella di nuclei di ghiacciamento. Un ruolochiave in questo contesto e svolto dalle frammentazioni susseguenti a collisioni tra par-ticelle dense di gragnuola e cristalli, oppure al ghiacciamento di goccioline sopraffuseche impattano gragnuola.
10.1 Crescita diffusiva dei cristalli di ghiaccio
Il processo di crescita diffusiva dei cristalli di ghiaccio e del tutto analogo a quello dicrescita diffusiva della gocciolina; una differenza notevole risiede nel fatto che i cristallidi ghiaccio non hanno forma sferica ma si presentano sotto forma di dendriti, formespaziali, rami, . . . . I cristalli di forme semplici possono essere trattati come le goccefacendo l’analogia tra le condizioni al contorno elettrostatiche e quelle diffusive (vedisezione 6.9.1) e operando misure sperimentali di capacita.
L’eq. di crescita si scrive:
dm
dt= 4πC κair
V (ρv − ρv(r)) (10.1)
che e del tutto analoga alla (8.13) con la capacita C del cristallo in crescita al posto delraggio della gocciolina in crescita. In particolare, pur avendo forme molto complesse,
261
262 CAPITOLO 10. CRESCITA E AGGREGAZIONE DEI CRISTALLI
−45 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 00
1
2
3
4
5
6
T ° C
108 /(
4π C
) dm
/dt,
g/(c
m s
)
100 kPa50 kPa
Figura 10.1: Ritmo di crescita (normalizzato alla capacita del cristallo) di cristalli dighiaccio in funzione della temperatura. L’ambiente e assunto essere in saturazionerispetto all’acqua S = 1.
in prima approssimazione i cristalli di ghiaccio possono essere trattate con le forme perle quali abbiamo calcolato le capacita C. Cosı piatti e dendriti piane possono essereapprossimati come dischi di egual area mentre gli aghi come lunghi sferoidi oblati.Misure di Mc Donald (1963) e Pasternak (1966) della capacita elettrostatica di modellimetallici di cristalli di varia forma sono in accordo sorprendente con i valori teoricidelle forme idealizzate.
Seguendo gli stessi argomenti termodinamici che si sono seguiti nella sezione 8.2 sitrova una equazione analoga alla (8.27) con C al posto di r, Si di S, es, i (T ) al postodi es (T ) e Lsub di Lev:
dm
dt=
4 π C (Si − 1)[
Rv Tκair
Ves, i(T )
+(
Lsub
Rv T− 1
)
Lsub
Kair T
] . (10.2)
La crescita viene data in fig. 10.1 in funzione della temperatura, per due valoridi pressione. Come si vede la velocita di crescita decresce con la pressione ed ha unmassimo intorno ai −15 su un vasto intervallo di pressioni. Questo andamento econseguenza della dipendenza da T del numeratore della (10.2) illustrato in fig. 10.2 edella dipendenza da T e da p del denominatore della (10.2).
Ma, quando il cristallo cresce per diffusione a una dimensione alla quale ha unavelocita terminale apprezzabile, e necessario considerare l’effetto della ventilazione suvapore e calore, in modo esattamente analogo a quanto visto per le goccioline.
Infine ricordiamo che oltre all’effetto dei gradienti di vapore e calore ci sono delleforze superficiali dei cristalli, che controllano l’incorporazione di molecole nella strut-
10.1. CRESCITA DIFFUSIVA DEI CRISTALLI DI GHIACCIO 263
tura cristallina. Tali forze sono funzioni sensibili della T e sono diverse per le di-verse facce dei cristalli. Dall’osservazione si ricava una variazione netta delle forme(habits) cristalline con la temperatura, diversa per le diverse facce cristalline (basali oprismatiche) come mostrato in fig.10.3.
−45 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 00
10
20
30
40
50
60
T ° C
(es/e
i−1)
× 1
00 %
Figura 10.2: Supersaturazione rispetto al ghiaccio in una atmosfera con S = 1. Lacurva tratteggiata rappresenta i dati reali, quella continua il dato ricavato usando ilrapporto tra la (1.80) e la (1.81).
10.1.1 Il meccanismo di Bergeron-Findeisen
Quando un primo cristallo nuclea in una nube di goccioline sopraffuse, si viene a trovarenormalmente in un ambiente ove la pressione di vapore e uguale o leggermente maggiorealla pressione di vapore di saturazione es sull’acqua liquida. In tal caso allora il cristallocresce a spese delle goccioline stesse. Infatti il rapporto di saturazione rispetto alghiaccio si puo scrivere come:
Si =e
es, i=
e
es
es
es, i= S
es
es, i(10.3)
S essendo il rapporto di saturazione rispetto all’acqua. Come si vede in fig. 10.2 unanube che e esattamente in saturazione rispetto all’acqua (S = 1) ha una sovrassatu-razione rispetto al ghiaccio tanto maggiore quanto piu fredda e la nube: questo pertantoe un ambiente altamente favorevole per una rapida crescita diffusiva e per deposito.L’ambiente rimarra favorevole fintantoche vi sono goccioline disponibili ad evaporare eche mantengano la pressione di equilibrio relativamente all’acqua. Quando alla fine legocce scompaiono (o per evaporazione o per congelamento), il rapporto di saturazione
264 CAPITOLO 10. CRESCITA E AGGREGAZIONE DEI CRISTALLI
Figura 10.3: Differenti habits di cristalli in relazione alla T e alla supersaturazione.
decresce a quello di equilibrio sopra il ghiaccio. Questo meccanismo, noto come il mec-canismo di Bergeron-Findeisen, consente la crescita dei cristalli a spese delle gocciolineevaporanti.
10.2 Crescita dei cristalli di ghiaccio per collezione
Finora si e trattata la crescita dei cristalli considerandoli come isolati. Quando peroil cristallo cresce in dimensioni esso aumenta la sua velocita di caduta e cominciano adiventare importanti i processi di cattura aerodinamica di altre particelle della nube.E questo il processo fondamentale che porta alla costituzione dei fiocchi di neve, dellagragnuola e della grandine.
10.2.1 Tipi di collisione
La crescita per collezione di particelle di ghiaccio e uno dei problemi piu complicatinella microfisica delle nubi a fase mista, essendo legata a un gran numero di diverseinterazioni tra particelle di diversi tipi.
Una grossa differenza tra collisioni di tipo ghiaccio-ghiaccio e acqua-ghiaccio daquello tipo goccia-goccia e che in generale la particella risultante puo essere di tipodiverso dalle particelle origine. Tipiche regole di collisioni sono:
• collisione goccia-cristalli: se la massa della goccia e inferiore a quella dei cristalli
10.2. CRESCITA DEI CRISTALLI DI GHIACCIO PER COLLEZIONE 265
si formano nuovi cristalli di ghiaccio, altrimenti a seconda della temperaturadell’aria si forma graupel1 o gragnuola;
• collisione gocce-fiocchi di neve (aggregati): se la massa della goccia e inferiorea quella dei fiocchi si formano nuovi fiocchi di neve, altrimenti a seconda dellatemperatura dell’aria si forma graupel o grandine;
• collisione goccia-graupel: a seconda della temperatura dell’aria si forma graupelo grandine;
• collisione goccia-grandine: si forma grandine;
• collisione cristallo-cristallo: si formano fiocchi di neve;
• collisione cristallo-fiocchi di neve: si formano fiocchi di neve;
• collisione fiocchi di neve-fiocchi di neve: si formano fiocchi di neve;
• collisione graupel-cristalli e graupel-fiocchi di neve: si formano graupel o cristallio fiocchi di neve.
Il processo di collisione in una nube a fase mista e molto complesso e viene descrittoda un sistema di equazioni cinetiche stocastiche per tutti i tipi di idrometeore presenti.Come nel caso di collisione goccia-goccia, la velocita delle collisioni viene determina-to da dei nuclei (o kernel) di collezione, che descrivono la probabilita di collezione diparticelle che si muovono a velocita diverse. Tali nuclei dipendono dall’efficienza dicollisione e dal volume spazzolato, che a loro volta dipendono dalla forma delle parti-celle collidenti e dalla loro velocita relativa (vedi il paragrafo 7.6.6). Supponiamo adesempio di avere una nube in cui siano presenti cristalli di ghiaccio e fiocchi di neve condistribuzioni di massa dipendenti dal tempo ncri(m, t) e nneve(m, t) (ovvero la grandez-za n(m, t)dm ci dice quante particelle per unita di volume ci sono aventi massa tra me m + dm). Per effetto delle collisioni tra cristalli e fiocchi di neve tali distribuzionicambiano nel tempo. Consideriamo ad esempio i fiocchi di neve di massa m e l’effettodelle collisioni con i soli cristalli di neve (che con le regole sopra enunciate porta co-munque alla formazione di un fiocco); essi aumenteranno (termine di guadagno G) pereffetto di collisioni tra fiocchi di neve di massa m′ e cristalli di massa m−m′, mentrediminuiranno (termine di perdita P ) per effetto delle collisioni tra fiocchi di massa me cristalli di qualunque massa m′. Scritto in termini matematici:
[
∂nneve(m, t)
∂t
]
coalescenza
= G− P (10.4)
G =∫ m
0nneve(m−m′, t) Kneve−cri(m−m′, m′) ncri(m
′, t) dm′ (10.5)
P = nneve(m, t)∫ ∞
0Kneve−cri(m,m
′) ncri(m′, t) dm′ (10.6)
1Definiamo graupel particelle di ghiaccio rimed con densita variabile tra 0.1 e 0.8 g/cm3.
266 CAPITOLO 10. CRESCITA E AGGREGAZIONE DEI CRISTALLI
Il kernel di collezione e di facile determinazione nel caso si tratti di interazione traparticelle sferiche tipo gocce. Nel caso del kernel per neve e cristalli di ghiaccio laformula e del tutto analoga alla (9.21) con qualche leggera complicazione dovuta alfatto che le particelle interagenti non hanno forma sferica. Nella (10.4) infine bisogneratenere in considerazione tutte le interazioni con le altre idrometeore.
10.2.2 Il riming
Cominciamo con il considerare i meccanismi di crescita che coinvolgono il deposito digoccioline, processo noto con il nome di riming. Si puo avere riming su cristalli op-pure riming su gragnole, processo quest’ultimo che puo portare alla formazione dellagrandine. Al solito va studiato il problema dell’efficienza di collezione. Prima vi e ilproblema aerodinamico della determinazione dell’efficienza di collisione, quindi, sup-posto che vi sia una collisione, bisogna vedere qual e l’efficienza di coalescenza. Siccomei cristalli di ghiaccio cadono molto meno velocemente delle goccioline d’acqua di ugualmassa le efficienze di collisione sono piu alte di quelle che tra gocce e gocce. Si notiche studi di traiettorie attorno a cristalli di ghiaccio hanno mostrato come le aree sulperimetro dei cristalli sono preferenziali per le collisioni. Per quel che concerne il pro-cesso di coalescenza invece dipende molto dagli aspetti termodinamici del processo: sec’e ghiacciamento della gocciolina al contatto allora l’efficienza di coalescenza e atte-sa essere pari ad uno. Fondamentalmente si tratta quindi di determinare il kernel dicollezione di cristalli/fiocchi di neve/gragnuola/grandine con le goccioline sopraffuse.
10.2.3 Crescita secca e crescita bagnata
Consideriamo gli aspetti termodinamici legati alla cattura ed all’accretion del ghiaccio.Quando una gocciolina impatta sulla superficie dell’ostacolo essa e nucleata per contat-to con il ghiaccio gia presente. E la sopraffusione che garantisce la rapida formazionedei cristalli di ghiaccio, con conseguente liberazione del calore latente di ghiacciamen-to, che innalza la temperatura della gocciolina (rispetto a quella dell’aria). Sia T∞ latemperatura dell’aria, che e anche la temperatura iniziale della goccia d’acqua sopraf-fusa2. Sia Td la temperatura del deposito di ghiaccio sull’ostacolo e Ts la temperaturadi equilibrio superficiale.
Quando una gocciolina impatta su di una superficie di ghiaccio, questa assume unatemperatura superiore a quella dell’aria, per il rilascio del calore latente di fusionedurante il ghiacciamento. Il riscaldamento del ghiaccio (cosı formato) viene bilanci-ato dalla dissipazione di calore per convezione-conduzione (e quindi in riscaldamentodell’ambiente) ed eventualmente per evaporazione verso l’ambiente non saturo.
Se il deposito di ghiaccio dissipa sufficiente calore latente da mantenersi a Ts < 0C,tutta l’acqua catturata dal ghiaccio puo ghiacciare ed il regime di crescita si dice secco.
2In realta questo e vero solo se l’aria e satura. Se l’aria e subsatura allora essa e ben approssi-mata dalla temperatura di bulbo bagnato dell’aria. Se l’aria e secca tale temperatura puo esserenotevolmente inferiore rispetto a T∞.
10.2. CRESCITA DEI CRISTALLI DI GHIACCIO PER COLLEZIONE 267
La densita del deposito e in tal caso molto bassa (fino a 0.15 g/cm3 circa). Il ghiacciocresciuto in tale regime (detto secco) e detto “rime”.
Puo anche accadere che la goccia impatti su un’altra goccia gia catturata dal cristal-lo prima che il calore latente di ghiacciamento sia stato completamente liberato. In talcaso Ts ∼ 0C: non tutta l’acqua liquida gela e si ha la formazione di un film di acqualiquida sulla superficie stessa. In questo caso si parla di crescita bagnata. Questaquantita d’acqua puo rimanere intrappolata nella matrice solida del ghiaccio (crescitaspugnosa,“spongy”) o eliminata nella scia aerodinamica (shedding). La densita del de-posito e in entrambe i casi molto alta (∼ 0.9 g/cm3). Il ghiaccio viene detto “spongy”nel primo caso e “glaze” nel secondo. Quando invece il deposito raggiunge 0 C nontutta l’acqua puo convertirsi a ghiaccio e la quantita che puo convertirsi e regolata dalrate di dissipazione del calore latente.
La condizione limite tra i due regimi, col deposito a 0 C si dice condizione diSchuman-Ludlam.
Fasi del ghiacciamento
Consideriamo ora il ghiacciamento di una gocciolina singola. Per Td molto basse ebasse velocita di impatto la gocciolina ghiaccia quasi individualmente e forma conle successive delle “catene” a bassissima densita (∼ 0.2 g/cm3); aumentando Td e lavelocita di impatto le goccioline si deformano e si impacchettano piu strettamente.
Vogliamo studiare piu nel dettaglio il processo di ghiacciamento della gocciolinatipico dei processi di crescita asciutta. Il ghiacciamento si propaga in due stadi: nelprimo stadio la fase ghiaccio si propaga entro la gocciolina in una quantita che econsentita dalla sopraffusione della gocciolina stessa: il calore latente prodotto dalghiacciamento va a riscaldare la parte restante della gocciolina. Se la goccia vienesurriscaldata di ∆T (passando dalla temperatura iniziale alla temperatura di 0C),solo una frazione ∆T/80 della goccia viene convertita a ghiaccio nel primo stadio.Infatti se mi e mw sono le masse di ghiaccio ed acqua nella goccia alla fine dello stadio1, il bilancio di calore e:
mi Lf = (mi ci +mw cw) ∆T (10.7)
Ora ipotizzando che tutta l’acqua ghiacci mw = 0, ma allora dovrebbe essere ∆T =Lf
ci= 79.8
0.49= 160C; in generale con valori di ∆T tipici segue che mi ci mw cw (ad
esempio con ∆T = 10K mi ci
mw cw= 0.065 e quindi la (10.7) diventa:
mi Lf ≈ mw cw ∆T ⇒ mi
mw' cw ∆T
Lf' ∆T
80(10.8)
che era quanto volevamo dimostrare. Si noti che questo primo stadio e tanto veloce chenon conta la propagazione di calore verso l’interno del deposito e quindi, in particolare,non conta la temperatura del deposito stesso. Alla fine di questa prima fase si avra unpiccolo ramo di ghiaccio attorniato da una gocciolina d’acqua a 0C (della quale sonouna frazione ∆T
80e ghiacciata).
268 CAPITOLO 10. CRESCITA E AGGREGAZIONE DEI CRISTALLI
Nel secondo stadio anche la parte restante ghiaccia, con una velocita di ghiaccia-mento molto inferiore, che e controllata dalla dissipazione per condensazione forzatanell’ambiente e dalla perdita di calore per conduzione verso l’interno (in quanto lagocciolina si trova ad una temperatura superiore a quella del deposito). Per una sti-ma del tempo impegato perche questi due processi si realizzino rimandiamo il lettoreinteressato al complemento (10.4).
Seguendo lo schema sovraesposto si e cercato di spiegare le orientazioni in crescitasecca e bagnata. Nel primo caso la conduzione verso il substrato e prevalente e quindisono favorite le orientazioni dendritiche con direzione dell’asse c, che meglio conducenel solido il calore. Nella crescita bagnata la dissipazione e prevalente verso l’esterno,e sono favorite le orientazioni con c tangenziale alla superficie e la crescita radiale efavorita con l’asse a che ha velocita di crescita superiore.
10.2.4 Collisione cristallo-cristallo
L’altro grosso meccanismo che conduce alla crescita delle particelle di ghiaccio e ilprocesso di collisione tra cristalli. In particolare e il principale responsabile nella for-mazione dei fiocchi di neve. In questo caso l’efficienza di collezione e meno capita chenel caso precedente. In particolare il meccanismo di aggregazione dipende dal tipo dicristallo (strutture piu aperte quali le dendriti hanno piu probabilita di attaccarsi) ed efortemente dipendente dalla temperatura dell’aria. Dobrowolski ha osservato che talemeccanismo e principalmente (nell’83% dei casi) efficace fra +1C e −5C, solo nel 9%dei casi tra −5C e −10C e solo nell’8% al di sotto di −10C. Si e anche osservatoche i fiocchi hanno le loro massime dimensioni se si formano attorno allo zero. Altreosservazioni hanno segnalato un massimo secondario fra −1C e −17C oltre a quelloattorno allo zero.
L’aggregazione dei cristalli e uno dei fattori che concorrono alla formazione della“bright band” o banda luminosa al radar: vicina allo zero l’aggregazione dei cristalliproduce forme scatteranti piu estese. Altri fattori che determinano la risposta di talebanda sono la parziale fusione e l’aumento della velocita terminale per la avvenutafusione (con conseguente diminuzione della concentrazione spaziale).
Le osservazioni mostrano infine che i cristalli si attaccano per contatto tra le su-perfici se la T e relativamente vicina a 0C (“sticking mechanism”) (a tali T un filmpseudo-liquido promuove la formazione di una connessione di ghiaccio tra le due par-ticelle), o costituiscono un “interlocking” se trattasi di dendriti. Tale meccanismo equello privilegiato per T tra −12C e −17C ove le forme dendritiche sono appuntofavorite. Normalmente poi aggregati di dendriti tendono a diventare piu grandi (tipicifiocchi di neve hanno diametri tra i 2 e i 5 mm, anche se si puo arrivare sino a 15 mm)come mostrato in fig. 10.4.
Una classica distribuzione dimensionale per fiocchi di neve e analoga alla Marshall& Palmer:
n (D0) = n0 exp (−ΛD0)
Λ = 25.5RR−0.48 mm−1
n0 = 3.8 × 103 RR−0.87 m−3 mm−1 (10.9)
10.3. GRANDINE 269
Figura 10.4: Diametro massimo di fiocchi di neve osservato in corrispondenza a diversetemperature atmosferiche per diversi tipi di cristalli.
con D0 diametro equivalente della goccia d’acqua ed RR il rate di precipitazione inmm d’acqua per ora.
10.3 Grandine
Chicchi di grandine si formano quando o particelle di graupel o gocce ghiacciate didimensioni consistenti (che rappresentano quindi gli embrioni della grandine) cresconograzie all’apporto di goccioline sottoraffreddate.
10.3.1 Equazione di crescita di gragnola e grandine
Supponiamo che un chicco di raggio R stia cadendo alla velocita V (R) attraverso unapopolazione di goccioline con distribuzione dimensionale n(r) con velocita terminaliv(r). Procedendo in maniera simile a quanto fatto al paragrafo 9.4.1 tenendo presenteche V (R) v(r) e che ora solo gli apporti in massa ma non quelli in volume sarannoi medesimi si trova che l’aumento di massa e:
(
dm
dt
)
dry
= π R2 V (R) E LWC (10.10)
con E una efficienza media di collezione e LWC il contenuto di acqua liquida. Si notiche tale equazione vale anche per particelle che crescano in regime bagnato per unasituazione “spongy” senza shedding (senza cioe perdita d’acqua nella scia).
270 CAPITOLO 10. CRESCITA E AGGREGAZIONE DEI CRISTALLI
10.3.2 Bilancio termico nel processo di crescita del ghiaccio
Stimiamo ora la variazione di massa di ghiaccio per unita di di tempo nel regime dicrescita bagnata assumendo che l’eccesso di acqua liquida venga perso nella scia. In talicondizioni la quantita d’acqua liquida che impatta sull’ostacolo e ghiaccia e determinatadal tasso di dissipazione del calore latente (liberato nel processo di ghiacciamento). SeT0 e la temperatura superficiale di equilibrio della particella di ghiaccio (in crescitabagnata si assume che T0 rimanga 0C) e T∞ e la temperatura dell’ambiente (e quindila temperatura iniziale della gocciolina, sicuramente sotto zero) il calore che deve esseredissipato nell’unita di tempo, ovvero il calore entrante nella particella di ghiaccio e:
dQin
dt=
(
dmaccr
dt
)
wet
[Lf − cw (T0 − T∞)] ; (10.11)
ove si e tenuto conto che parte del calore latente viene speso per innalzare la tempe-ratura della gocciolina da T∞ a T0. L’unico mezzo per dissipare questo calore entrantee quello di trasferirlo all’aria circostante per convezione-conduzione ed eventualmenteper sublimazione verso l’ambiente piu freddo e generalmente non saturo (se invece essoe saturo rispetto al ghiaccio vi e deposizione che apportera ulteriore calore):
dQout
dt= 4π R
[
Lev κairV (ρv(R) − ρv, ∞) fv +Kair (T0 − T∞) fh
]
; (10.12)
con Kair conducibilita termica dell’aria, R raggio del deposito, Lev calore latente dievaporazione, κair
V diffusivita del vapore d’acqua in aria, fh e fv coefficienti di venti-lazione (in generale funzioni di R), ρv(R) densita del vapore d’acqua in prossimita dellasuperficie del deposito e ρv, ∞ densita del vapore d’acqua ad una grande distanza dalchicco.
La condizione di bilancio termico nello stato stazionario richiede che sia dQout
dt= dQin
dt
che puo essere risolta per determinare il tasso di crescita di particelle di ghiaccio inregime bagnato:
(
dmaccr
dt
)
wet
=4π R
[
Lev κairV (ρv(R) − ρv, ∞) fv +Kair (T0 − T∞) fh
]
[Lf − cw (T0 − T∞)](10.13)
da cui infine la velocita di crescita delle dimensioni del chicco risulta:
(
dR
dt
)
wet
=1
ρice R
[
Lev κairV (ρv(R) − ρv, ∞) fv +Kair (T0 − T∞) fh
]
[Lf − cw (T0 − T∞)](10.14)
Valori critici del contenuto d’acqua liquida
L’eq. (10.10) fornisce il tasso di crescita di particelle di ghiaccio in regime secco oequivalentemente in regime bagnato senza shedding. Ma allora si puo calcolare qualedeve essere il valore critico del contenuto di acqua liquida, LWCc richiesto perche tutta
10.3. GRANDINE 271
l’acqua ghiacci e la temperatura superficiale del ghiaccio rimanga a T0 = 0C. Talevalore si otterra uguagliando la (10.10) alla (10.13):
E LWCc = 4
[
Lev κairV (ρv, R − ρv, ∞) fv +Kair (T0 − T∞) fh
]
R V (R) [Lf − cw (T0 − T∞)]. (10.15)
E chiaro che per utilizzare sia questa relazione che la (10.14) sara ovviamente necessariouna valutazione dei coefficienti di ventilazione fv e fh, che in generale non e cosa facile.
10.3.3 La densita locale
Da uno studio sistematico a varie Td, rgoccia e vimpatto (nel punto di stagnazione) si e in-trodotto un fattore di spreading (sparpagliamento) della goccia, definito come rapportodel raggio della goccia deformata e quello della goccia indeformata.
La forma finale del cristallo dipende:
1. dall’energia cinetica all’impatto;
2. dalla tensione superficiale della goccia;
3. dal freezing rate.
Macklin ha studiato la densita del deposito ed ha parametrizzato tale grandezza infunzione di Td, rgoccia (raggio medio della gocciolina) e vimpatto media per −20 < Td <−5, 11 < rgoccia < 32 µm, 2 < vimpatto < 12m/s come:
ρ[g/cm3] = 0.11
(
−vimpatto[m/s] rgoccia[µm]
Td[C]
)0.76
≡ 0.11 (XMacklin)0.76 (10.16)
ove si e introdotto il parametro di Macklin XMacklin che tiene conto degli effetti ter-modinamici nei meccanismi di crescita, determinando la densita del deposito. Invece il
numero di Stokes (definito come NStk =2ρw r2
goccia Vflusso
9Rcollettoreµ) tiene invece conto degli effetti
aerodinamici e va a determinare i profili e i lobi del deposito (vedi fig. 10.5). Ad esem-pio si trova: ρ = 0.19 g/cm3 per rgoccia = 20 µm, vimpatto = 2m/s e Td = −20 mentreρ = 0.86 g/cm3 per rgoccia = 30 µm, vimpatto = 5 m/s e Td = −10. In fig. 10.6 vieneillustrata la (10.16) in diverse condizioni sperimentali.
Diversi esempi fotografici corrispondenti a diverse Ta, Td e vimpatto mostrano lediverse tipologie di crescita e la peculiarita di ciascuna.
10.3.4 Fusione della grandine
Quando il chicco di grandine scende sotto la quota dello zero termico inizia la fusione.Questa non e istantanea perche il tasso di cessione di calore per la fusione e limitato.Per il minore rapporto massa-area (proporzionale al raggio per sfere) sono le particelle
272 CAPITOLO 10. CRESCITA E AGGREGAZIONE DEI CRISTALLI
Figura 10.5: Numero di lobi sul deposito in funzione della velocita del flusso Vflusso.
piccole a fondere rapidamente. Cosı solo le particelle sufficientemente grosse (chicchi> 0.6, 1 cm) possono in generale sopravvivere ed arrivare fino al suolo.
Vogliamo ora scrivere una equazione per la velocita e il tempo di fusione per par-ticelle di ghiaccio sferiche. Consideriamo allora una particella sferica di raggio a checade a velocita terminale costante in aria di umidita relativa costante e a temperaturaT∞. La particella fonde e consiste di un nucleo di ghiaccio ri circondato da uno stratod’acqua di spessore a − ri, uniforme e simmetrico. Supponiamo che a sia costante(non ci sia ne shedding ne evaporazione ed inoltre trascuriamo il fatto che l’acqua hadensita leggermente piu elevata della grandine, lo stesso ragionamento non puo certoesser fatto per gragnuola o neve) e che T0 = 273 K (cioe che il nucleo di ghiaccio simantenga allo zero termico) e Ta siano la temperatura all’interfaccia ghiaccio-acqua ealla superficie esterna del liquido.
Il campo di temperature nel guscio tra ri e a soddisfa all’equazione della diffusioneconvettiva di Fick:
∂T
∂t+ ~u · ~∇T = κw
T∇2T (10.17)
ove κwT e la diffusivita termica3 attraverso il mezzo (acqua) mentre ~u e la velocita del
flusso nell’acqua. Assumendo che non ci sia circolazione interna ~u = 0 e condizioni
3La diffusivita termica di una sostanza e uguale alla conducibilita divisa per la capacita termica eper la densita:
κT =K
ρc
e si misura in m2/s. tale parametro come si vede dalla (10.17) e utile per capire quanto velocementecambi la temperatura di una sostanza caratterizzata da un campo non uniforme di temperatura.
10.3. GRANDINE 273
Figura 10.6: Relazione tra densita del deposito e parametro di Macklin in diversecondizioni sperimentali.
stazionarie il campo di temperatura diventa una funzione armonica (quindi soddisferal’eq. di Laplace ∇2T = 0) e, essendo a simmetria sferica verifichera:
∇2T =d2T
dr2+
2
r
dT
dr=d2(rT )
dr2= 0 (10.18)
che integrata porta alla soluzione4:
T (r) =A
r+B (10.19)
imponendo le condizioni al contorno T (ri) = T0 e T (a) = Ta si trova infine:
T (r) =(T0 − Ta) ri a
(a− ri) r+ri T0 − a Ta
ri − ari ≤ r ≤ a. (10.20)
Procediamo allora al bilancio termodinamico dei calori sulla superficie interna a r = ri.Ivi, in regime stazionario, il tasso di trasferimento di calore al ghiaccio attraverso lostrato d’acqua [4πr2
i Kw(dT/dr)r=ri] ove Kw e la conducibilita termica dell’acqua verra
utilizzato per fondere il ghiaccio [−Lf (dmi/dt) = −4πρiLfr2i (dri/dt)]. Uguagliando
questi due termini, dopo aver ricavato (dT/dr)r=ridalla (10.20), si trova:
4πρiLfr2i
dri
dt=
4π Kw [T0 − Ta]ri a
a− ri. (10.21)
4Ci si poteva attendere questo tipo di soluzione ricordando che la stessa equazione va risolta perdeterminare il potenziale elettrico generato da una distribuzione di cariche a simmetria sferica.
274 CAPITOLO 10. CRESCITA E AGGREGAZIONE DEI CRISTALLI
Ora scrivendo l’eq. (10.21) come:
dri
dt=
Kw
ρiLf
[T0 − Ta] a
(a− ri) ri(10.22)
si puo determinare il tempo di fusione completa della sfera come:
tfusione =∫ tfusione
0dt =
ρiLf
Kw a
∫ ri=a
ri=0
(a− ri) ri
T0 − Tadri (10.23)
Nell’integrale (10.23) il termine T0 −Ta non puo essere estratto dall’integrale perche inrealta Ta, temperatura della superficie esterna del liquido, e funzione di ri (in seguitoscriveremo Ta = Ta[ri]). Per determinare tale dipendenza si puo utilizzare il bilanciotermodinamico sulla superficie r = a. In regime stazionario infatti il tasso di trasferi-mento di calore attraverso l’acqua e bilanciato dal tasso di dissipazione per convezioneforzata ed evaporazione alla superficie r = a:
4π Kw T0 − Ta[ri]r3i
(a− ri)a= −4π aKairT∞ − Ta[ri]fh − 4π a Lev κ
airV ρv ∞ − ρv(a)fv
ove ρv ∞ = f ρv s(T∞) (f=umidita relativa dell’aria) e ρv(a) = ρv s(Ta(ri)). In gen-erale la distanza di fusione completa aumenta al decrescere dell’umidita relativa (menoumidita c’e piu evaporazione c’e e l’evaporazione e un processo in competizione con loscioglimento o la sublimazione) e al diminuire del gap tra T∞ e Ta[ri] (perche in talcaso diminuisce l’apporto della conduzione attraverso l’aria). I valori sperimentali sonoin accordo con questa semplice teoria di Mason; si discostano solo a T elevate perchela teoria trascura il calore che va a scaldare l’acqua fusa sopra lo 0 (e la fusione econseguentemente piu lenta).
10.4 Complemento I: il tempo di ghiacciamento del-
la gocciolina
I due stadi non sono rigorosamente successivi temporalmente, ma vengono ritenutitali, per cui tghiacciamento = t1 + t2. Macklin e Paijne hanno stimato t1 assumendo cheil substrato circondato dall’aria sia una sfera di raggio R, con temperatura inizialeTd. Ogni goccia incidente si sparge uniformemente con uno spessore δR, con il calorelatente che diffonde radialmente. Si trova allora che t1 ' δR
Gcon G la velocita di
ghiacciamento nell’acqua sopraffusa. Per le dendriti ad esempio, considerando il Gper crescita parallela al piano basale e perpendicolare alla superficie, si trova che aT∞ = −20C t1 = 10−6, 2 × 10−4 s per δ R = 0.2, 40 µm rispettivamente.
Per stimare t2 si considera il flusso di calore entro il substrato sferico di raggio R. Sedurante t1 la temperatura Td del substrato e innalzata istantaneamente a T0 = 273 K,il calore condotto entro la sfera in funzione del tempo e:
Q(t) ' 4 π
3R3 ρi ci
6(T0 − Td)√
κiT t
R√π
− 3(T0 − Td) κiT t
R2
(10.24)
10.5. BILANCI TERMODINAMICI IN FUSIONE 275
ove κiT e la diffusivita termica5 del ghiaccio. Ma allora sostituendo nella (10.24) il
valore di t2 e dividendo per 4π R2 il calore condotto per unita d’area internamente aldeposito durante il tempo di congelamento t2 e:
qin ≡ Qin
4πR2= ρi ci (T0 − Td)
2
√
κiT t2π
− κiT t2R
. (10.26)
Poi, usando la (10.12) si considera il calore dissipato per convezione forzata e perevaporazione verso l’ambiente:
qout ≡Qout
4πR2= t2
[
Kair (T0 − Td) fh + Lev κairV (ρv, R − ρv, ∞) fv
]
/R. (10.27)
Ora la quantita di vapore da rimuovere per unita d’area e ρw δ R [Lf − cw (T0 − T∞)],con ρw densita dell’acqua, t2 si trova come soluzione dell’equazione:
qout + qin = ρw δ R [Lf − cw (T0 − T∞)] . (10.28)
Quando t2 sono abbastanza piccoli (ovvero a basse temperature Td), qout qin cosı
che κiT t2/R
√
κiT t2/π e quindi vale approssimativamente:
t2 ≈π ρ2
w (δ R)2 [Lf − cw (T0 − T∞)]2
4 Ki ρi ci (T0 − Td)2 . (10.29)
Per esempio con T∞ = −20C e Td = −10C, t2 ' 10−5, 10−3, 5 × 10−2 s perδ R = 0.2, 2, 15 µm rispettivamente. Similmente per T∞ = −10C e δ R = 2 µmt2 ' 1, 10−3 s per Td = 0C, −10C rispettivamente. Questi risultati mostrano chet2 e fortemente dipendente dallo spessore δ R dello strato d’acqua e dalla Td, e che econsiderevolmente piu lungo di t1, eccetto che per strati d’acqua molto sottili.
Alla fase del ghiacciamento succede poi quello della uniformazione alla T del de-posito: la lenticola di ghiaccio formatasi dalla gocciolina da T = 0C raggiunge una Tdi equilibrio con il deposito.
10.5 Complemento II: bilanci termodinamici in fu-
sione
Il tasso al quale una particella sferica di diametro Dmelt si scioglie puo essere calcolatotramite la condizione di bilancio dei calori alla superficie della particella. Trascurando
5Vale anche la relazione:
κiT =
Ki
ρi ci
Ki ≈ (537.4− 1.48 T 2) × 10−5 cal/(cm s K) (10.25)
ove Ki e la conduttivita termica.
276 CAPITOLO 10. CRESCITA E AGGREGAZIONE DEI CRISTALLI
l’accumulo di calore entro la particella (a differenza che nel paragrafo 10.3.4 supponiamocioe che il ghiaccio e l’acqua rimangano a T0 = 0 C finche il processo di melting none completo) e il trasferimento di calore per conduzione attraverso lo strato d’acqua,abbiamo un bilancio molto semplice tra calore latente usato per sciogliere il ghiaccioda un lato e calore trasferito per conduzione e calore latente rilasciato/rimosso allasuperficie per condensazione/evaporazione dall’altro:
Lfdmf
dt=
dQcond
dt+ Lev
dmev
dt. (10.30)
Si noti che il secondo termine a destra puo essere positivo se vi e condensazione di vapord’acqua sulle particelle in scioglimento (aria supersatura6 come nella regione A), e neg-ativo se vi e evaporazione nell’ambiente (aria subsatura, area B e C). Nell’ultimo casolo scioglimento viene rallentato. In particolare, se il secondo termine diventa negativo(condizioni di sottosaturazione) puo accadere, come mostrato in fig. 10.7 area C, chenon vi sia calore disponibile per il melting. Per esempio, se l’ambiente si trova ad unaumidita dell’80% l’inizio del processo di melting sara possibile quando la temperaturaraggiunge 1.5 C.
0 2 4 6 8 1010
20
30
40
50
60
70
80
90
100
∆ T
Um
idit’
a re
lativ
a (%
)
NO MELTING
Regione C
MELTING
Regione B
Regione A
Evaporazione di tutte le idrometeore
Evaporazione delle idrometeore d’acqua
Figura 10.7: Aree di melting-no melting.
Il tasso di calore sensibile trasferito per conduzione e dato da:
dQcond
dt= 2π Kair Dmelt (T − T0) fm (10.31)
6Si ha supersaturazione se la tensione di vapore dell’ambiente e maggiore della tensione di vaporedi saturazione a 0 C ovvero se eamb > es(0
C)
10.6. TRASFERIMENTO DI CALORE DAL E AL SUOLO 277
con fm fattore di ventilazione per particelle in scioglimento (assumeremo fh = fv = fm).Analogamente il tasso di rilascio di calore latente per condensazione/evaporazione edato da:
Levdmev
dt= 2π κair
V Dmelt Lev [ρv(T ) − ρv(T0)] fm (10.32)
di modo che l’eq. (10.30) diventa:
Lfdmf
dt= 2πDmeltfm
Kair (T − T0) + Lev κairV [ρv(T ) − ρv(T0)]
(10.33)
In condizioni sature, per 0 < T < 4C, il termine δρv s = ρv s(T0 + δT ) − ρv s(T0) econnesso a δT da una relazione lineare (si usi la 1.76):
δρv s = δ(
es
Rv T
)
=1
Rv T
des
dT
[
1 − Rv T
Lev
]
δT ≈ η δT η = 3.45 × 10−4 kg
m3 K(10.34)
ove si e assunto un valore des/dT = 45.8 Pa/K. Per T < 1.5C l’approssimazione(10.34) e entro il 3%, mentre l’errore diventa superiore del 10% per T > 4C. Pertanto,in condizioni di saturazione vicino al “freezing level”, l’eq. (10.33) puo essere riscrittacome:
Lfdmf
dt= 2π Dmelt fm ξ ∆T ξ ≈ 4.9 × 10−4 J/(cm s K) (10.35)
ove si e assunto per κairV = 2.89× 10−5m2 s−1 (appropriato a 800mb). Quindi, in satu-
razione, il rapporto del calore trasferito per conduzione e di quello per condensazionedel vapor d’acqua e approssimativamente pari 1 [ovvero il termine di conduzione con-tribuisce per circa il 50% alla (10.35)]. Questo lo si vede facilmente osservando che lafrazione dovuta alla conduzione e pari a Kair/ξ e che un valore appropriato per Kair e2.40 × 10−2 J/(m sK).
10.6 Complemento III: Trasferimento di calore dal
e al suolo
10.6.1 Dipendenza della capacita e conducibilita termica dal-l’umidita e dal tipo di suolo
In generale la capacita termica di un suolo dipende dalla composizione minerale, dallapresenza di materia organica e d’acqua. usiamo la capacita termica volumetrica CV
(J/(m3 K) e la capacita termica di massa c (J/(kg K). Quando il suolo e umido siavra:
278 CAPITOLO 10. CRESCITA E AGGREGAZIONE DEI CRISTALLI
ove (ρsoil)d e la densita del suolo asciutto, (csoil)d e la capacita termica per i costituentisolidi del suolo, w e il rapporto di mescolamento dell’acqua rispetto al suolo asciutto(kg d’acqua per kg di suolo secco).
(csoil)d dipende dall’ammontare di sabbia, argilla, limo, e sostanze organiche. Perla maggior parte dei minerali si ha (csoil)d ≈ 840 J/(kgK) contro cw = 4187J/(kg K)(e cair
P = 1004J/(kg K)). Riscrivendo la (10.36) in funzione del contenuto volumetrico
di acqua wV = w (ρsoil)d
ρw(m3 d’acqua su m3 di suolo) si trova:
(CV )w = 840 (ρsoil)d + 4187 × 103wV (10.37)
Materiali organici costituenti il suolo sono caratterizzati da capacita termiche piu alte(≈ 1900J/(kg K)).
Cosı ad esempio per calcolare il calore richiesto per innalzare di 2 gradi la tempera-tura di 1 m3 di suolo con densita (ρsoil)d = 1300 kg/m3 e wV = 23% bastera utilizzarela formula Q = (CV )w ∆T V ove in questo caso (CV )w = 2.05 × 106 J/(K m3). Sitrova Q = 4.1 × 106 J .
10.6.2 Equazione del trasferimento di calore
Al di sotto della superfici terrestre la diffusione verticale del calore procede tramiteconduzione molecolare; supponendo di lavorare con geometrie 1D piatte, supposta unadipendenza solo verticale dei campi, il flusso di calore e espresso dall’equazione diFourier:
G(z, t) = −Ks∂T (z, t)
∂z[W/m2] (10.38)
dove Ks la conduttivita termica del suolo (misurata in W/(Km). Il segno - e statointrodotto perche cosı il trasporto di energia e > 0 nella direzione opposta a quella delgradiente di T , ovvero dalle T piu calde a quelle piu fredde.
Conideriamo adesso un volumetto di superficie unitaria e di spessore ∆z. Il flussonetto entrante nel volumetto e pari a G(z+∆z, t)−G(z, t) = ∂G
∂z∆z; per conservazione
dell’energia, tale flusso netto entrante deve essere uguale alla variazione nell’unita ditempo dell’energia termica contenuta in quel volume:
∂G
∂z∆z = − ∂
∂t(Cs T ∆z) (10.39)
C essendo la capacita termica per unita di volume, da cui, supposto K indipendenteda z segue l’eq. di conduzione del calore
∂T
∂t=
∂
∂z
(
K
csρ
∂T
∂z
)
=∂
∂z
(
κsT (z)
∂T (z, t)
∂z
)
(10.40)
ove si e introdotta la diffusivita termica del suolo κsT . L’equazione puo essere ulterior-
mente semplificata nel caso in cui la diffusivita non dipenda da z.
10.6. TRASFERIMENTO DI CALORE DAL E AL SUOLO 279
Pertanto per capire il tasso di variazione della T di un suolo (per esempio questo eimportante per capire che impatto hanno i diversi tipi di suolo sulla formazione dellanebbia, ovvero sul raffreddamento notturno, o sull’innesco della convezione termica).oltre alle sue capacita termiche conteranno le proprieta di conducibilita termica. κT
e direttamente proporzionale a K e inversamente proporzionale alla capacita termicavolumetrica CV = ρc; la diffusivita termica fornisce l’abilita che ha il suolo di diffondereil calore e puo essere visualizzata come una misura del tempo richiesto perche unavariazione di temperatura si sposti dentro al mezzo.
Tanto per caratterizzare la conducibilita termica di alcuni materiali ricordiamo che ilvapore (T = 373÷850K) ha Kv = 0.025÷0.064W/(mK), l’aria Kair = 0.025W/(mK),l’acqua con T = 273 ÷ 573K Kw = 0.54 ÷ 0.68W/(mK), il ghiaccio 2.2W/(mK), lasabbia 1.70−2.0W/(mK), il limo 1.30÷1.70W/(mK), l’argilla 1.20−1.30W/(mK),le rocce 1.25 − 4.0 W/(mK) mentre valori molto piu ali sono attesi per metalli qualil’alluminio, il rame, l’oro, l’argento (5.7, 7.6, 8.1 e 11.3W/(mK) rispettivamente).
Per quel che concerne invece la capacita di immagazzinare energia l’acqua eviden-temente ha una capacita termica volumetrica pari a ρwcw = 4.2×106 J/(m3K) di pocosuperiore a quella di terreno composto da materiale organico e inorganico (rispettiva-mente 2.5 × 106 J/(m3K) e 1.9 × 106 J/(m3K) e molto maggiore di quella dell’aria1.2 × 103 J/(m3K). In pratica 2.5 m d’acqua dell’oceano corrispondono alla colonnatotale di aria dell’atmosfera.
Con questi valori segue ad esempio che κwT = 1.5×10−3 cm2/s, κair
T = 2×10−1 cm2/smentre valori tipici di suolo si aggirano attorno a κs
T = 5 × 10−3 cm2/s.Sia K che Cv aumentano con il contenuto d’acqua nel suolo (che si va a sostituire
all’aria) la dipendenza del κT di un suolo dalla sua umidita non e banale. K aumentapiu rapidamente con il contenuto d’acqua quando il suolo e secco mentre tale crescitasatura quando il suolo diventa bagnato. Invece CV continua a crescere anche quandoil suolo e relativamente bagnato. Conseguentemente, per suolo secco, κT aumentacon il contenuto d’acqua (prevale l’effetto di crescita di K su quello di CV ) ma talecrescita rallenta e talora vi e una decrescita prima della saturazione. Pertanto lamassima risposta temporale si verifichera con contenuti d’acqua nel suolo al di sottodella saturazione.
10.6.3 Soluzione dell’equazione di Fourier
Per esempio si puo vedere che la soluzione di tale equazione nel caso di condizione alcontorno a z = 0 pari a T (0, t) = T0 + A0 sin(ω t) (ovvero di temperatura superficialeche oscilla sinusoidalmente con una frequenza ω attorno ad una temperatura media)ha un andamento del tipo:
T (z, t) = T0 + A0e−z/Dz sin(ω t− z/Dz) Dz ≡
√
2κsT/ω (10.41)
ovvero l’ampiezza dell’oscillazione termica decresce esponenzialmente nel suolo; inoltrel’onda presenta uno sfasamento, funzione anch’esso della profondita. Pertanto se as-sumiamo che ci sia una forzante periodica di periodo τ (che rappresenti un ciclo diurno,
280 CAPITOLO 10. CRESCITA E AGGREGAZIONE DEI CRISTALLI
stagionale, annuale, climatologico) la risposta di T (z, t) sara anch’essa periodica, masmorzata con la profondita e ritardata. La distanza di penetrazione per valori tipici diκs
T = 5 × 10−3 cm2/s vale Dz = 10 cm, Dz = 1.5 m, Dz = 150m rispettivamente perτ = 1 giorno, τ = 1 anno, τ = 10000 anni.
Pertanto il ciclo diurno presenta un forte ciclo diurno a 0.5 cm (diciamo un 20÷25Kcon un massimo attorno alle 2 pm, mentre si ha un ciclo diurno con un range di 6K a10 cm con un massimo attorno alle 6 pm e trascurabile attorno ai 50 cm 10 cm.
10.7 Esercizi
1. Un piatto esagonale di ghiaccio cresce per diffusione in un ambiente saturo rispet-to all’acqua a T = −4C e 800 mb. Determinare il tempo richiesto perche, da unamassa di 10−8 g cresca sino a 1 mm assumendo che la massa ed il diametro delpiatto siano legati dalla relazione m[g] = α (D[cm])3 = 1.9 × 10−2 (D[cm])3. Siassuma come capacita quella del disco circoscritto al piatto e si trascurino effettidi ventilazione. Assunto che u = χD con χ = 520 s−1 si calcoli lo spazio percorsodal cristallo.
E chiaro che va utilizzata la (10.2) con C = D/π. Detto F(T, p, ei) il denomi-natore della (10.2) si ricava che F(−4 C, 80 kPa) = 1.98 × 106 cm s/g mentreSi − 1 = 0.04. Introducendo la dipendenza della massa dal diametro si ricavaallora l’eq:
DdD
dt≡ β =
4
3α
Si − 1
F(−4 C, 80 kPa)= 14.1 × 10−7 cm2/s
che integrata porge infine:
tcrescita =D2
f −D2i
2β= 59 min
ove si e usato il fatto che Di = 0.08 mm. La distanza di caduta si trovaintegrando:
hcaduta =∫ tcrescita
0u dt =
∫ Df
Di
χ Ddt
dDdD =
∫ Df
Di
χD2
βdD =
χ
3
D3f −D3
i
β= 1.23 km.
2. Un cristallo di ghiaccio cresce per deposizione cadendo all’interno di una nubecaratterizzata da un rapporto di saturazione Si costante e con un updraft pari awupdraft. Determinare come varia la riflettivita del cristallo (ovvero come variaD6 del cristallo) con l’altezza.
La crecita per deposizione e descritta dalla (10.2). Se pensiamo che il cristalloabbia forma sferica allora C = r = D/2 da cui segue:
d(D3)
dt=
6
π ρice
dm
dt=
24 C (Si − 1)
ρice F(T, p, ei)=
12D (Si − 1)
ρice F(T, p, ei)
10.7. ESERCIZI 281
ove F(T, p, ei) e la funzione che compare a denominatore nella (10.2). Ora perosi ha che:
d ln(D6)
dt= 2
d ln(D3)
dt=
2
D3
d (D3)
dt=
24 (Si − 1)
D2 ρice F(T, p, ei)
da cui infine:
d ln(D6)
dz=d ln(D6)
dt
dt
dz=
24 (Si − 1)
(−vice + wupdraft) D2 ρice F(T, p, ei)
Se teniamo in considerazione solo la dipendenza da D si vede che se il cristalloe in caduta la riflettivita del cristallo decresce con la quota. Tale decrescita etanto maggiore quanto piu piccolo e il cristallo. Ora pero ci aspettiamo che unfiocco in crescita per deposizione vada via via aumentando le sue dimensioni.Ma allora il tasso di decrescita della riflettivita diventa sempre piu piccolo alcrescere delle dimensioni del cristallo stesso. Se osserviamo un profilo di riflettiv-ita radar sopra il melting layer per bassi rainfall rate si osserva effettivamente chela pendenza della curva di riflettivita diventa sempre piu negativa andando versol’alto. Questo perche per cristalli piccoli il meccanismo di crescita predominantee appunto quello per deposizione. Se viceversa osserviamo profili di riflettivita inzona ghiacciata corrispondenti ad alte precipitazioni questo non e piu vero; in talcaso infatti si innescano infatti altri meccanismi di crescita quali l’aggregazionevisto che la probabilita di collisione non e piu trascurabile.
3. Una piccola particella di grandine viene catturata entro una corrente ascen-dente di un cumulonembo. Il suo diametro iniziale e di 0.1 mm e l’updraft edi U = 10 m/s. Determinare il tempo τ richiesto dalla particella per cresceresino ad un diametro di 2 mm e la distanza ascesa in questo periodo. Si assumache il contenuto di acqua liquida sia pari a 2 g/m3; si trascuri la crescita persublimazione. Si assuma come relazione tra massa e raggio m = 0.52 r3 (unitacgs) e come dipendenza della velocita di caduta dalle dimensioni u(r) = 520 r0.6
(unita cgs).
L’eq. differenziale che regola l’accrescimento della particella e data dalla (10.10)che scrivendo dm
dt= dm
drdrdt
= 1.56 r2 drdt
con E = 1 diventa:
dr
u(r)
1.56
πE LWC= dt (10.42)
che integrata porge:
τ =[
2.5
520r0.4
]rf
ri
1.56
πE LWC= 5.58 min
un tempo relativamente breve se confrontato con quello trovato in un problemaprecedente per la crescita diffusiva di un cristallo sino a 1 mm.
282 CAPITOLO 10. CRESCITA E AGGREGAZIONE DEI CRISTALLI
Per calcolare lo spazio risalito all’interno del cumulonembo basta osservare che:
dr
dz=dr
dt
dt
dz=dr
dt
1
U − u(r)
e, usando la (10.42):
(
U
u(r)− 1
)
dr =π
1.56E LWC dz (10.43)
che con la dipendenza nota di u(r) si integra e da:
[
U2.5
520r0.4 − r
]rf
ri
= 2E LWC z;
sostituendo i valori si trova z = 3.1 km.
4. L’efficienza di spazzata di una precipitazione di particelle puo essere definita comeil volume spazzolato dalla particella per unita di tempo. Confrontare l’efficienzadi spazzolata di un chicco di grandine con quella di una goccia di ugual massaassumendo per la grandine le relazioni del problema precedente, per la gocciauna velocita di caduta
v(r) = k3 r k3 = 8 × 103 s−1. (10.44)
Dalla definizione segue che:
ε =π D2
4v(D)
e andando a scrivere il rapporto tra grandine e pioggia:
εgrandine
εpioggia
=πr2
g 520r0.6g
k3π r3g
=π 520
(
m0.52
)2.6/3
3/4 k3 m/ρL
= 0.48m−2/15.
Cosı l’efficienza del chicco di grandine e piu piccola di quella della goccia di ugualmassa solo se 0.48m−2/15 ≤ 1 cioe solo se m ≥ 4.1 × 10−3 g ovvero r ≥ 0.21 cm.
5. Il danneggiamento causato dalla caduta di grandine e approssimativamente pro-porzionale all’energia cinetica trasferita dai chicchi al terreno per unita di tempoper unita di area. Supponendo che vi siano N chicchi di grandine per unita divolume di aria, tutti di diametro D, e che la velocita di caduta sia connessa aidiametri da:
u(D) = k D1/2 k = 1.4 × 103 cm1/2 s−1 (10.45)
determinare il flusso di energia cinetica FKE e di massa FM .
Ripetere lo stesso esercizio per una pioggia con popolazione esponenziale N(D) =N0 exp(−α D) (N0 = 0.08 cm−4) con la stessa dipendenza per la velocita.
10.7. ESERCIZI 283
Confrontare i due flussi di energia cinetica nel caso di un uguale rainfall rateR = 20mm/h e di chicchi di dimensione D = 1 cm.
Per i chicchi di grandine si ha:
FKE
FM=N 1/2m(D) v2(D) v(D)
N m(D) v(D)=
1
2v2(D) =
k2
2D. (10.46)
Per le gocce di pioggia si ha invece:
fke
fm
=
∫
N(D) ρL π/12D3 v3(D) dD∫
N(D) ρL π/12D3 v(D) dD=
1
2
∫
N0 e−α D k3 D9/2dD
∫
N0 e−α D k D7/2dD
fke
fm
=1
2k2 Γ(11/2)/α11/2
Γ(9/2)/α9/2=k2
24.5/α = 2.25
k2
α. (10.47)
Rapportando la (10.46) e la (10.47) con ugual flusso di massa (FM = fm) si trova:
FKE
fke
=D α
4.5=
1 × 21.86
4.5= 4.85 (10.48)
cioe il danno provocato dai chicchi e circa 5 volte superiore. Volendo calcolare ilflusso di energia cinetica della pioggia si ha:
fke =π
12ρL
∫
N(D)D3 v3(D) dD =π
12ρL N0 k
3 Γ(11/2)
α11/2
fke =π
12× 103 × 0.08 × 1.43 × 106 52.3
21.8611/2= 0.109 W/s.
6. Un chicco di grandine di 2 mm comincia a cadere da una altezza di 5 km ove latemperatura ambiente e di T0 = 250K entro una nube. Si accresce in modo chela temperatura alla sua superficie sia costantemente 0 C. L’aria ha un lapse ratepari a γ = 6 C/km entro alla nube. Si assuma che non ci siano moti verticali eche durante la crescita ci sia bilancio tra la calore acquistato per congelamentodell’acqua di accrescimento e calore perduto per conduzione con l’aria. Sia validala (10.45) e come fattore di ventilazione si usi fh = 0.3
√Re. Determinare il
diametro del chicco dopo 3 km di caduta nelle ipotesi che si possano trascuraregli effetti di sublimazione e la capacita termica dell’acqua raccolta dal chicco.
Uno degli aspetti principali della crescita di grandine e il calore latente rilasciatoquando l’acqua sottoraffreddata va ad aggregarsi al chicco di grandine: a causadi questo riscaldamento la temperatura del chicco Tgr e sempre maggiore dellatemperatura dell’ambiente Tamb. Essendo π r2 u(r) il volume spazzato nell’unitadi tempo dal chicco ed E l’efficienza effettiva di collisione il tasso di riscaldamentodovuta all’accrescimento di gocce d’acqua sottoraffreddate, combinando la (10.10)e la (10.11) e dato da:
284 CAPITOLO 10. CRESCITA E AGGREGAZIONE DEI CRISTALLI
ove Lf e il calore latente di fusione che vale 333J/g a 0 C, cw e il calore specificodell’acqua, pari a 1 cal /(g K) = 4187 J /(kg K) entro l’1% a 0 C (questaquantita aumenta gradualmente, se la temperatura decresce, sino ad un valoredell’8% piu grande a −30 C). Nel nostro caso, potendo trascurare la capacitatermica dell’acqua che va ad accrescere il chicco la (10.49) diventa:
dQaccr
dt= π r2 E LWC u(r) Lf . (10.50)
La velocita alla quale viene perso calore per conduzione termica con l’aria einvece:
dQcond
dt= 4π r Kair (Tgr − Tamb) fh, (10.51)
ove Kair e il coefficiente di conduzione termica dell’aria (' 2.35×10−2 J/(msK)tra -15 e 0 C) e fh e il fattore di ventilazione. Il bilancio tra calore acquistato ecalore perso dalla goccia implica che:
ove h e la distanza percorsa dalla cima della nube, la cui base si trova a tempe-ratura T0. Il fattore di ventilazione e dato da:
fh = 0.3√Re = 0.3
√
2ρ u r
µ= 0.3
√
√
√
√
2ρ k√
2 r3/2
µ
e, usando ρ ' 1 kg/m3, k = 1.4× 102m1/2/s e µ ' 1.67× 10−5 kg/(ms) si trova:fh ' 1460 r3/4 con r espresso in m oppure fh = k2 r
3/4 ' 46 r3/4 con r espresso incm. Ora la velocita di crescita del chicco e proporzionale al contenuto di acqualiquida e all’efficienza di raccolta secondo la:
dr
dh=E LWC
4ρgr
. (10.53)
Dalla (10.52) si ricava:
E LWC =4Kair (Tgr − T0 − γ h) k2 r
3/4
√2 k r3/2 Lf
≡ C1 − C2 h
r3/4
C1 =4Kair (Tgr − T0) k2√
2 k Lf
' 16.4 × 10−7 g/cm9/4
C2 =4Kairγ k2√
2 k Lf
' 4.28 × 10−7 g/(cm9/4 km)
10.7. ESERCIZI 285
ove r e in cm, h in km e LWC in g/m3. Ma allora inserendo tale dipendenzanella (10.53) si trova, in termini differenziali:
4/7 d(
r7/4)
= d
(
C1 h− 1/2 C2 h2
4ρgr
)
che integrata da:
[r(h)]7/4 − [r(0)]7/4 = 7/4C1 h− 1/2 C2 h
2
4ρgr;
inserendo ρgr = 1 g/cm3 h = 3 km e r(0) = 0.1 cm si trova:
[r(3 km)]7/4 = 0.018 + 0.159 = 0.177 ⇒ r(3 km) = 0.37 cm
cioe un diametro di 7 mm abbondanti.
7. Un chicco di grandine a 700 mb cade attraverso una nube di gocce d’acqua so-praffuse con un contenuto d’acqua di 4 g/m3 ed una temperatura di −15 C. De-terminare la dipendenza delle dimensioni del chicco dalla temperatura del chicco,assumendo condizioni di equilibrio in crescita, su tutto il range di temperatureda -15 a 0 C. Si usi la dipendenza della velocita di caduta della (10.45) e lastessa dipendenza del fattore di ventilazione del problema precedente.
In questo caso oltre alla perdita di calore per conduzione data dalla (10.51) edal guadagno di calore per accrescimento dato dalla (10.49) bisogna tenere inconsiderazione anche il calore guadagnato per sublimazione:
dQsubl
dt= 4π r κair
V (ρv(amb) − ρv(surf))Ls fv ≡ 4π r κairV ∆ρ Ls fv, (10.54)
ove ρv(amb) e ρv(surf) sono la densita di vapore dell’ambiente e quella allasuperficie del chicco, Ls e il calore latente di sublimazione e a e un fattore diventilazione che assumeremo pari a fh. Si ha equilibrio quando:
dQaccr
dt+dQsubl
dt=
dQcond
dt(10.55)
⇓π r2 E LWC u(r) Lf + 4π r κair
V ∆ρ Ls fh = 4π r Kair (Tgr − Tamb) fh
⇓4 fh
[
Kair (Tgr − Tamb) − κairV ∆ρ Ls
]
= r E LWC u(r) Lf
4k2√2k LWC E Lf
[
Kair (Tgr − Tamb) − κairV ∆ρ Ls
]
= r3/4 (10.56)
Ora ρv(amb) = es(Tamb)Rv Tamb
mentre ρv(surf) = ei(Tgr)Rv Tgr
ove per ei si puo usare l’analogo
della formula di Bolton con A = 3410 × 109 Pa e B = 6130 K. Introducendo ivalori numerici si trova 4k2√
2k LWC Lf= 7.8918 × 10−5 m3 s
cm5/4 Jmentre il valore in []
cambia a seconda della temperatura di Tgr. Inserendo i valori di Kair e di κairV
corrispondenti a Tgr si trovano i risultati di Tab. 10.1.
286 CAPITOLO 10. CRESCITA E AGGREGAZIONE DEI CRISTALLI
Tabella 10.1: Dimensioni di equilibrio per un chicco di grandine a diverse temperature.I valori di D sono espressi ad una pressione di 1000 mb per passare ad una genericapressione p basta moltiplicare per 1000/p[mb].
8. Nel melting layer i fiocchi di neve si sciolgono. Contemporaneamente su di essi vie condensazione. Determinare quanti grammi d’acqua condensano mediamenteper ogni kg di neve che si scioglie.
Si puo riscrivere la (10.30) come:
dmev
dt=
1
Lev
(
Lfdmf
dt− dQcond
dt
)
=
=
Lf
Lev
(
1 − Kair
ξ
)
dmf
dt(10.57)
e il termine in parentesi in condizioni sature vicine allo 0C [di modo che iltermine in () e circa 0.5] e dell’ordine del 6.8%. Cio significa che l’aumento dimassa durante il melting dovuto alla condensazione di vapor d’acqua e inferioreal 7% della massa originale della particella. Questa stima cala in presenza dicondizioni non sature. Si noti infine che questo aumento di massa comporta unleggero incremento (stimato attorno ai 0.5dB) per il segnale radar nella cosı dettabanda luminosa.
9. Grandine in caduta che passa attraverso cielo privo o con nubi sottili e tipica-mente piu fredda dell’ambiente circostante. Assumendo che l’unico contributosignificativo al trasferimento di calore di un chicco di grandine in caduta sia quel-lo di conduzione valutare la costante di tempo associata alla perdita di calore,assumendo r = 0.5 cm, fattore di ventilazione 25, calore specifico del chiccoci = 0.5 cal/(g K).
Il calore scambiato per conduzione con l’ambiente andra ad aumentare la tempe-ratura del chicco, ovvero:
−4π r Kair fh (Tgr − Tamb) = mgr cidTgr
dt
10.7. ESERCIZI 287
che, introducendo mgr = 43π r
3 ρgr fornisce una equazione differenziale linearenon omogenea per Tgr della forma:
dTgr
dt+
3Kair fh
r2 ρgrciTgr =
3Kair fh
r2 ρgrciTamb
che fornisce come soluzione:
Tgr − Tamb = [Tgr(t = 0) − Tamb] e− t
τ τ =r2 ρgrci
3Kair fh
.
Inserendo i dati del problema si trova τ = 26.6 s. Pertanto c’e’ un certo gaptemporale (dell’ordine del mezzo minuto) nell’adeguamento della temperaturadella grandine in caduta a quello della temperatura ambientale circostante dovutoalla sua capacita termica.
10. Una delle proposte avanzate per sopprimere la grandine e quella di spargere nu-clei di condensazione nelle regioni di updraft ove i cristalli di ghiaccio tendono atrasformarsi in grandine. Questi embrioni artificiali cresceranno insieme a quellinaturali portando ad una competizione del contenuto d’acqua disponibile e quindiad una piu alta concentrazione di chicchi di grandine ma di dimensioni piu pic-cole e quindi che non creano danni. Stimare quanti embrioni artificiali bisognaintrodurre per ottenere questo effetto.
Per rispondere a questa domanda si puo fare un conto a spanne confrontandoil tasso di produzione di contenuto d’acqua nei moti verso l’alto e il tasso diproduzione di chicchi per accrescimento. Quando la concentrazione dei piccolichicchi di grandine eccede un valore critico il tasso di decrescita eccedera il tassodi crescita del contenuto d’acqua. Questo valore puo essere visto come quellodella concentrazione minima di grandine perche diventi effettiva la soppressionedi grandine. Calcoliamo tale concentrazione nel caso in cui i chicchi di grandineabbiano tutti forma sferica con diametro di 2mm, velocita terminale di 8m/s esi trovino ad una altezza di 6 km in una nube con updraft di 25m/s, contenutod’acqua LWC = 6 g/m3, efficienza di collisione E = 1 e in cui sia trascurabile lacrescita per sublimazione.
Lo svuotamento per accrescimento e dato da:
(
dLWC
dt
)
accr
= −π E LWC D2 V (D)N/4 (10.58)
mentre il tasso di condensazione determinato dal moto verso l’alto e:
(
dLWC
dt
)
cond
= ρcPL
(Γd − Γs) U. (10.59)
288 CAPITOLO 10. CRESCITA E AGGREGAZIONE DEI CRISTALLI
Imponendo che la somma delle due quantita sia inferiore a 0 si trova:(
dLWC
dt
)
accr
+
(
dLWC
dt
)
cond
< 0 (10.60)
⇓
N >4ρ cP (Γd − Γs) U
L π E LWC D2 V (D)(10.61)
Ora con dei valori tipici ρ = 0.6 kg/m3, Γd − Γs = 2K/km si trova un valore di:
(
dLWC
dt
)
accr
≈
5 × 10−12 U unita cgs5 × 10−7 U unita MKS
(10.62)
e sostituendo nella (10.61) si trova infine N > 100m−3. Quindi se si hanno piu di100 piccoli chicchi di grandine per m3 il contenuto d’acqua della nube non crescein risalita.
11. Una porzione sottoraffreddata di nube convettiva viene rapidamente convertitain ghiaccio tramite inserimento di materiale nucleante che promuove il congela-mento. Al livello di 600mb la temperatura della nube e inizialmente di −20C eil contenuto di acqua liquida e di 3g/kg. Calcolare la crescita nella temperaturatotale a questo livello causata dal ghiacciamento dell’acqua liquida.
Non appena vengono inseriti i materiali nucleanti siccome la nube si trova insaturazione rispetto all’acqua cioe e = es(−20C) = 1.275 mb (useremo la for-mula di Bolton sia per la es che per la ei). La massa di acqua liquida e pari am0 = 3g/kg, quella di vapore e win = ws = 0.991g/kg, la massa di ghiaccio eassente. Si costituiranno subito dei cristallini per deposizione di vapore essendoei(−20C) = 1.038 mb per il noto fatto che la tensione di vapore sopra l’acquae maggiore che sopra al ghiaccio (vedi fig. 10.8). Acqua continuera ad evaporaree ad arricchire i cristallini di ghiaccio sino ad esaurirsi. Alla fine del processo siavra una temperatura finale Tf , una massa di vapore pari a wfin = ε ei(Tf )/p,mentre non ci sara piu acqua liquida. Sara invece presente una massa di ghiacciopari a m0 + win − wfin: di questa m0 si e ghiacciata, win − wfin si e depositata.Ma allora siccome questi due processi andranno a scaldare l’aria, il ghiaccio e ilvapore (ma questi ultimi 2 contributi si possono trascurare!!):
cP (Tfin − Tin) = Lf m0 + Lsub(win − wfin)
cP (Tfin − Tin) = Lf m0 +Lsubε
p(Ae−B/Tin − Aie
−Bi/Tfin) (10.63)
Ai = 3.41 × 1010 mb Bi = 6130K (10.64)
ove i coefficienti nella (10.64) sono i coefficienti per il ghiaccio nell’analogo dellaformula di Bolton. La (10.63) va risolta numericamente e fornisce con i valori inesame un valore per Tfin = −18.8C.
10.7. ESERCIZI 289
−45 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 00
1
2
3
4
5
6
7
T (C)
es (
mb)
Tensione di saturazione sopra acqua e ghiaccio
−21 −20.5 −20 −19.5 −19 −18.5 −180.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
T (C)
es (
mb)
Tensione di saturazione sopra acqua e ghiaccio
Figura 10.8: Sinistra: andamento della tensione di vapore sopra acqua (linea continua)e sopra ghiaccio (linea tratteggiata) a temperature negative. Destra: particolare delletensioni di vapore sopra acqua (linea continua) e sopra ghiaccio (linea tratteggiata) inun intorno di −20C.
12. Stimare il rapporto tra diffusione di calore di un corpo in acqua e in aria.
Per la diffusione di calore da un corpo sferico di raggio r a temperatura T versol’ambiente a temperatura Tamb, in regime stazionario vale la:
dQcond
dt= 4π r K (T − Tamb) fh,
ove K sara il coefficiente di conduzione termica dell’acqua e dell’aria. A T = 0CKair = 2.4 × 10−2 J/(m sK) mentre Kw = 0.6 J/(m sK) da cui segue che
(
dQcond
dt
)
w(
dQcond
dt
)
aria
=Kw
Kair
= 25
cioe l’acqua conduce termicamente 25 volte di piu dell’aria a T = 0C. Questoe il motivo per cui stando in acqua fredde si consuma molto di piu (si pensi allanecessita delle tute da sub e ai brevissimi periodi di congelamento dei naufraghi).
13. Stimare il rapporto tra perdita di calore per irraggiamento e quella per diffusioneper una sfera di raggio r che presenti una differenza di temperatura ∆T rispettoall’ambiente circostante, in regimi stazionari.
Assumendo un comportamento tipo corpo nero si ha:
dQcond
dtdQirrag
dt
=4π r Kair (T − Tamb)
π r2 σB (T 4 − T 4amb)
=4Kair ∆T
4 r σBT 3 ∆T=
Kair
r σBT 3,
290 CAPITOLO 10. CRESCITA E AGGREGAZIONE DEI CRISTALLI
e prendendo una temperatura di 280K si trova infine:
dQcond
dtdQirrag
dt
=2.4 × 10−2
r 5.67 × 10−8 2803=
0.019
r
cioe i due contributi sono uguali per sfere di raggio r ≈ 2cm, per corpi con r = 1mil contributo da conduzione e il 2% di quello da irraggiamento in aria ferma perdecalore essenzialmente per convezione e per irraggiamento, ecco l’utilita dei telidi sopravvivenza!). Con particelle con r = 100 µm (tipiche dimensioni di gocce)invece il contributo dia conduzione e 200 volte piu grande. Pertanto per gocciolinein crescita e sensato trascurare il contributo da irraggiamento; lo e anche percristalli anche se lo e meno visto che questi hanno dimensioni maggiori.
Il corpo umano e un’ottima palestra per studiare i bilanci di calore. Infattila produzione di calore tramite il metabolismo (“bruciare le calorie”) deve esserebilanciato dallo scambio di calore convettivo, conduttivo, radiativo con l’ambienteesterno ed in piu dalla perdita evaporativa dovuta all’evaporazione di sudore.In tipiche condizioni a riposo la perdita per convezione+conduzione e pari al20%, quella radiativa al 60%, quella di evaporazione del sudore al 20%. Sottosforzo invece tali percentuali possono passare al 15, 5, 80% rispettivamente. Lapotenza media del metabolismo del corpo umano e pari a 110 W mentre sottosforzo si puo arrivare anche a 500 W . Le conduttanze7 tipiche sono Hconv =1.5 W/(m2 K) e Hrad = 5 W/(m2 K), da cui segue che con una superficiedi 1.5 m2 la potenza media viene erogata con un ∆T = 11 K, ovvero che lacondizione ideale di temperatura ambientale e pari a 25 ÷ 26 C. Sotto sforzochiaramente la temperatura ideale si abbassa. Se la temperatura esterna e piuelevata della temperatura ideale viene in soccorso la sudorazione.
7Tanto per dare degli ordini di grandezza diciamo che per dei materiali da costruzione valoridi conduttanze tipiche per conduzione sono Hcond = 6.5 W/(m2 K) per materiali non isolanti eHcond = 0.5 W/(m2 K) per materiali isolanti.
Capitolo 11
Campo elettrico terrestre
L’atmosfera e sede di un campo elettrico che, in condizioni di tempo non perturbato,ha un valore medio al suolo di ET =∼ 130 V/m (mentre si annulla attorno ai 20 kmdi altezza), pressoche costante nel tempo e diretto verticalmente verso la superficie1.L’atmosfera e carica positivamente rispetto alla Terra ed il campo diminuisce con l’al-tezza fino a raggiungere un valore prossimo allo zero intorno ai 12 km. Nello stratomolto prossimo al suolo si osservano variazioni del valore del campo in relazione aconcentrazioni locali di polluzione atmosferica, ovvero di particelle solide e liquide e digrandi aggregati molecolari in sospensione nell’atmosfera. Si noti che c’e una variazionegiornaliera con un minimo intorno alle 4 del mattino ed un massimo intorno alle 18-20.
Il potenziale, preso nullo alla superficie, aumenta con l’altezza fino a raggiungere ilvalore di 3.6 × 103 V a 18 km; al di sopra di tale quota rimane costante.
L’atmosfera e conduttrice perche parzialmente ionizzata. Gli agenti ionizzanti sonole particelle radioattive contenute nella crosta terrestre (i materiali radioattivi qualiuranio-238, uranio-235 e torio-232 decadono con emissione di particelle α, β e raggi γche vanno a produrre ioni in atmosfera) e la radiazione cosmica. Gli ioni presenti inatmosfera hanno diverse mobilita2 e corrispondentemente si dividono in due categorie:
1. piccoli ioni (generalmente singole molecole cariche) con mobilita ksmall ≈ 1.5 ×10−4 m2/(s V ). In realta la mobilita degli ioni negativi e leggermente piu grandedi quelli positivi ed aumenta esponenzialmente con la quota. Si puo scrivere:
ksmall+ [m2/(s V )] = 1.4×10−4e0.14 z[km] ksmall
− [m2/(s V )] = 1.9×10−4e0.14 z[km];
1Pertanto la differenza di potenziale tra il suolo ed un punto situato all’altezza di qualche m e dicentinaia di V . Il perche non si possa utilizzare praticamente questa differenza di potenziale e dovutoal fatto che l’aria e un ottimo isolante. Gli edifici, gli alberi ed il corpo umano stesso invece sono deibuoni conduttori e rimarranno pertanto al potenziale del suolo. Ne segue che le linee equipotenziali,e con esse le linee di campo, verranno modificate attorno a tali oggetti. Si noti infine che le linee dicampo origineranno su cariche positive nella regione inferiore dell’atmosfera entro qualche km dallasuperficie e finiranno su cariche negative sulla superficie stessa.
2Si definisce mobilita la velocita di drift in un campo elettrico unitario di 1 V/m.
291
292 CAPITOLO 11. CAMPO ELETTRICO TERRESTRE
2. grandi ioni (quali particelle di aerosol cariche) con mobilita kbig ≈ 10−8 m2/(s V ).Vista la loro bassa mobilita i grandi ioni contribuiranno molto poco alla correnteionica totale.
Figura 11.1: Numero di ioni prodotti al cm3 per secondo in bassa atmosfera a duediverse latitudini.
Il valore della concentrazione n dei piccoli ioni e determinato dal bilancio dei processiproduttivi (al tasso di produzione p per unita di volume per unita di tempo) e diquelli distruttivi. Fra questi ultimi vi sono la ricombinazione tra piccoli ioni stessiproporzionale a n2 mediante un coefficiente α detto fattore di ricombinazione per piccoliioni (che al suolo a p e T standard vale α = 1.6× 10−12 m3/s) e la cattura da parte dialtre particelle a concentrazione N . Questo termine saa proporzionale a n N medianteun coefficiente β detto coefficiente di cattura da parte di particelle di concentrazioneN (in condizioni standard vale β = 10−12 m3/s). All’equilibrio varra:
p = α n2 + β n N.
Il termine β n N e piu importante al suolo, quello α n2 in quota. L’andamentodi p con l’altezza mostra un massimo attorno ai 20 km (si veda fig. 11.1) che vainterpretato in rapporto all’attivita della radiazione cosmica in combinazione con lastruttura dell’atmosfera. Da un lato infatti verso il basso diminuisce l’attivita dellaradiazione cosmica per assorbimento, dall’altro verso l’alto dimunisce la concentrazionedelle molecole.
11.1. LA CONDUCIBILITA DELL’ARIA 293
--
--
r rElettrometro6
6
a
bflussod’aria R
VJJ
Figura 11.2: Schema del condensatore di Gardien per la misura della conducibilita.
11.1 La conducibilita dell’aria
Gli ioni (la cui presenza e funzione come detto dell’intensita della radiazione cos-mica e della radioattivita al suolo) pertanto rendono conduttrice l’atmosfera e taleconducibilita dipendera dalla mobilita delle singole frazioni conduttrici:
λatm = e∑
i
niki = λ+ + λ− + Λ+ + Λ−
ove si sono separate le conducibilita per piccoli e grandi ioni, carichi positivamente enegativamente (e.g. λ+ = en+k
small+ ). Come detto λatm sara una funzione dell’altezza.
Essa viene misurata sistematicamente sulla verticale di alcune stazioni utilizzando dellesonde che trasportano uno strumento detto condensatore di Gardien costituito da duecilindri coassiali (il cilindro interno e un cavo conduttore di raggio b, quello esternoun cilindro cavo di raggio a), dei quali quello interno e connesso ad un elettrometro.Tra i due elettrodi viene applicata una tensione V che puo essere variata di modo cheall’interno del condensatore cilindrico, ad una distanza r dall’asse, il campo elettricoha solo componente radiale pari a:
Er =V
r log(a/b).
Tramite una pompa aspirante, all’interno del cilindro viene fatta fluire aria con unavelocita Uaria. Ora pero gli ioni che ci sono nell’aria di mobilita K, sotto l’azione delcampo elettrico radiale si muovono perpendicolarmente all’asse (oltre che lungo l’assecon velocita Uaria) percorrendo nel tempo dt lo spazio:
dr = K Er dt ⇒ dt =r log(a/b) dr
K V.
Integrando tale equazione da a a b si trova il tempo che lo ione impiega per compierel’intero tragitto tra il cilindro esterno e quello interno (o viceversa a seconda della caricadello ione):
ttot =(a2 − b2) log(a/b)
2K V.
In questo stesso tempo lo ione percorre la distanza Uariattot. Se tale distanza e infe-riore alla lunghezza del cilindro interno L allora tutti gli ioni di mobilita K verrannocatturati. Tale condizione si scrive come:
L > Uariattot ⇒ V > V0 =Uaria
2K L
[
(a2 − b2) log(a/b)]
. (11.1)
294 CAPITOLO 11. CAMPO ELETTRICO TERRESTRE
Ma allora per V > V0 se n e il numero di ioni di ciascun segno contenuti per unita divolume, il numero di essi che viene catturato al secondo dal cilindro e nπ(a2 − b2) Uaria
e l’andamento della corrente che passa nel cilindro e indipendente dal valore di V . Lacorrente di saturazione sara infatti (e e la carica di ciascuno ione):
isat = nπ e (a2 − b2) Uaria. (11.2)
Da una misura di isat si ricava n, concentrazione di ioni.Variando le caratteristiche di utilizzazione dello strumento, la corrente dipende dalla
tensione applicata, perche se V < V0 non tutti gli ioni sono catturati. Essa pero andravia via aumentando sino a saturare per V = V0. Andando a determinare tale tensionedi soglia V0, sostituendo la(11.1) nella (11.2) si trova
isat = nπ e2K L V0
log(a/b)(11.3)
che consente di ricavare K.Se invece al cilindro e applicata una tensione V < V0 la corrente attraverso la
resistenza R vale:
i =2π K L V n e
log(a/b)=
2π L V λ
log(a/b)⇒ λ =
VR log(a/b)
2π L V R(11.4)
essendo VR la tensione ai capi della resistenza. Si ha quindi una misura di λ che era lavera grandezza di interesse.
11.2 Bilancio elettrico in atmosfera
Possiamo adesso cominciare a parlare del campo elettrico nella bassa atmosfera. Ab-biamo visto che in atmosfera in condizioni di bel tempo e presente un campo elettricocostante diretto ortogonalmente alla superficie verso l’alto. Cio significa che la super-ficie e carica negativamente; in particolare, considerando la Terra come un conduttoresferico, il teorema di Gauss applicato alla superficie terrestre ci dice che la carica totalepresente sulla Terra dovra essere tale che:
QTerra
ε0=∫
S
~E · ~n ⇒ σTerra = −4πε0ET = −10−9C/m2 (11.5)
da cui segue che QTerra = −5 × 105 C.Il moto degli ioni sotto l’azione del campo elettrico terrestre determina una corrente
diretta dall’atmosfera alla Terra. La densita di corrente e:
~j = λair~E = (λ+ + λ−) ~E (11.6)
dove la conducibilita o conduttivita (espressa in 1/(m Ω), inverso della resistivita)dell’aria e dovuta alla somma (ioni di segno opposto fluiscono in direzioni opposte in
11.2. BILANCIO ELETTRICO IN ATMOSFERA 295
un campo elettrico) di due contributi dei piccoli ioni a carica positiva λ+ e a caricanegativa λ−. La densita di corrente aria-suolo normalmente osservata ha intensitadell’ordine di j ≈ 2.7 × 10−12 A/m2. Ne segue che la conduttivita dell’aria al suolo epari a λair = 2.7 × 10−12/130 ≈ 2.1 × 10−14 Ω−1m−1.
Ne segue che la resistenza di una colonna d’aria di sezione unitaria e di altezza z sitrovera dall’integrale:
Rcolonna(z) =∫ z
0
dz
λ(z)(11.7)
La resistenza elettrica di tutta l’atmosfera e quindi di RTerra = 200 Ω e la correnteche attraversa tutta l’atmosfera e attorno ai 1800 A. L’atmosfera puo essere alloraschematizzata come un condensatore sferico le cui armature sono la superficie terretsreed uno strato conduttore ideale posto all’altezza z. Per scegliere z si prende quel
valore per cuidRcolonna(z))
dz → 0. Poiche sopra i 18 km fino alla ionosfera (60 ÷100 km) la variazione di Rcolonna con z non supera il 10% del suo valore si assumeuna distanza di 18 km fra le armature. La capacita del condensatore sferico vienestimata essere attorno a CTerra = 0.25 F , di modo che l’atmosfera in condizioni ditempo buono puo essere schematizzata come un circuito con una capacita CTerra inserie con una resistenza RTerra. La costante di tempo di tale circuito vale τTerra =RTerra × CTerra ≈ 50 s, di mod che ci si aspetta che dopo 50 s la differenza ai capi delcondensatore (e quindi in particolare sulla superficie terrestre) si riduca di un fattoree. Siccome questo non accade (il campo elettrico rimane pressoche costante nel tempo)bisogna postulare l’esistenza di un processo equilbratore, deve cioe essere presente un“generatore” di carica che fornisca una corrente di 1800 A diretta in senso oppostoa quella di scarica, ovvero rifornisca continuamente la superficie di carica negativa.Questo processo equilibratore e costituito dall’attivita temporalesca su tutto il globo:vi sono infatti da 3000 a 5000 temporali sempre presenti su tutto il globo. Lo scambiodi carica tra nubi e la Terra durante i temporali fornisce pertanto una corrente versol’alto esattamente di 1800 A, che compensa esattamente quella verso il basso di scaricain condizioni di bel tempo. Ogni cella temporalesca puo dar luogo ad una correntemedia di 0.5 A.
Si spiega cosı il puzzle relativo al campo elettrico terrestre, o meglio tutto il prob-lema viene ricondotto alla fisica delle nubi temporalesche, soggetto complesso e con-troverso. Nella cella temporalesca si verifica una separazione di carica schematizzabilecome in fig. 11.3. In pratica la nube si comporta come un dipolo elettrico, costituito dauna carica positiva in alto ed una negativa in basso, con momento di dipolo Pel = qd ilcui valore e in media di 100 C km (la singola carica del dipolo e circa 25 C, la distan-za 4 km). Per determinare il campo elettrico sulla superficie terrestre bisogna tenereconto che la superficie terrestre e una superficie equipotenziale (nel caso specifico siassume potenziale nullo). Per risolvere tale problema conviene introdurre due caricheimmagine3 e determinare il campo come risultante del campo elettrico generato dalle
3Il suolo puo essere approssimato da una lamina conduttrice piana e per effetto della presenza
296 CAPITOLO 11. CAMPO ELETTRICO TERRESTRE
Figura 11.3: Distribuzione di carica all’interno di una cella temporalesca (destra).L’effetto della distribuzione di carica al suolo equivale alla presenza di due caricheimmagine.
due cariche reali e dalle due immagine. Si ricava che ad una distanza r al suolo dallabase della cella:
Ez =1
4πε0
(
2 q h2
(r2 + h22)
32
− 2 q h1
(r2 + h21)
32
)
; (11.8)
Valori caratteristici medi sono h1 = 3km, h2 = 7km. Cosı ad esempio, al suolo (r = 0),direttamente sotto le cariche della nube il campo elettrico ha modulo E = 4.1×104 V/m(che e esattamente pari a due volte il valore del campo che si sarebbe trovato nel puntostesso se non ci fosse stata la Terra!).
Prima di esplorare i meccanismi microfisici elementari di produzione della caricaesaminiamo lo scambio elettrico terra-atmosfera. Il trasporto di carica dalla nube allaterra avviene per mezzo di tre meccanismi principali:
1. le scariche “oscure” per effetto punte (alberi, pali, cespugli);
2. i fulmini;
3. la caduta degli elementi di precipitazione quali pioggia, neve o grandine. In-fatti tali elementi sono essi stessi carichi (positivamente), avendo portato allacostituzione del dipolo della nube.
Analizziamo adesso piu in dettaglio i primi due meccanismi.
delle cariche sulla nube verranno indotte cariche al suolo, che produrranno un campo supplementare.Siccome tale campo e di difficile determinazione si ricorre al trucco delle cariche immagine.
11.2. BILANCIO ELETTRICO IN ATMOSFERA 297
11.2.1 La scarica oscura o effluvio
Molto spesso si possono verificare scariche anche in presenza di campi elettrici moltopiu piccoli di quelli necessari per innescare i fulmini (e necessaria una intensita delcampo elettrico, nota come rigidita dielettrica, di circa 3 × 106 V/m per iniziare talescarica). Tipicamente tale processo si innesca in presenza di oggetti elevati, appuntiti,emergenti dalla superficie piana conduttrice (quindi equipotenziale) terrestre. Il corpoappuntito si trova allo stesso potenziale della superficie e, causa la sua curvatura piuaccentuata, produce attorno a se un campo elettrico maggiore4. Ma allora il campoelettrico generato attorno a queste punte (parafulmini, piante,etc) puo raggiungerevalori sufficienti a produrre processi di ionizzazione per urto. Ovvero gli ioni presentinel gas atmosferico si muovono sotto l’azione del campo e, urtandole, ionizzano altremolecole, strappando loro un elettrone. L’effetto in cascata produce una carica spazialeche a sua volta abbassa i valori del campo. La scarica oscura puo innescarsi in presenzadi oggetti appuntiti per campi elettrici maggiori di 8V/cm (che come si vede e un valoremolto basso rispetto ai valori di campi elettrici calcolati al di sotto di una tipica nubetemporalesca); la corrente di scarica per ogni singolo oggetto (polo) varia da 0.07 a unmassimo di 15 µA (la corrente di scarica dipende anche dall’altezza e dal vento). Laperdita totale di carica positiva da parte della punta puo arrivare sino a 0.12C durantel’intera durata del temporale. L’effetto dunque e quello di un apporto di carica negativasulla Terra. Si osservi comunque che l’effluvio svolge in realta il ruolo principale neltrasferimento di carica dalla nube al suolo fornendo al circuito atmosferico una correntela cui intensita e parecchie volte l’intensita media della corrente fornita dal fulmine.Si stima che, per effetto dell’effluvio dalle punte, la superficie terrestre acquisti caricanegativa dell’ordine di 170 C/(km2 anno), pari ad una corrente media di 2750A.
11.2.2 Il fulmine
Il fulmine e un insieme di scariche in rapida successione che si puo produrre fra lecariche opposte all’interno della nube temporalesca, o fra la nube e l’aria serena, ofra la nube e il suolo (nel qual caso la scarica avviene tipicamente fra carica negativapiu bassa e il suolo). Noi vediamo solo un lampo perche gli intervalli fra una scaricae l’altra sono troppo brevi perche l’occhio possa risolverli: il primo lampo satura laretina. Per ricostruire la direzione e la velocita dello spostamento del fronte luminosoche accompagna il fulmine si utilizza una camera fotografica di Boys che ha risoluzionedi 1 µs.
La struttura fine del fulmine comincia con una “scarica guida” o “scarica pilota”.Essa parte dalla nube ed avanza verso terra non in modo regolare ma come un processointermittente costituito da una serie di tratti luminosi a gradini di circa 50÷ 100m (la
4Si pensi che il potenziale di una sfera conduttrice e Q/(4π ε0 R). Se si considerano allora tantesfere di raggio diverso allo stesso potenziale la carica su ciascuna sfera sara direttamente proporzionaleal raggio, la densita di carica (e quindi il campo elettrico E = σ/ε0) direttamente proporzionale adesso.
298 CAPITOLO 11. CAMPO ELETTRICO TERRESTRE
luminosita che accompagna il passaggio della corrente impiega circa 2µs a percorrerlo).Ogni tratto parte dalla fine del precedente. Dopo una pausa buia di circa 50 ÷ 100 µsparte un altro tratto che illumina il canale (che puo arrivare ad avere raggi sino a 5 m!)gia percorso precedentemente. La scarica guida prepara quindi un canale ionizzato chemostra diverse ramificazioni ed un cammino molto tortuoso. In questo caso la velocitamedia della scarica guida verso il suolo si aggira attorno ai 60 ÷ 100 km/s.
Quando la scarica pilota si avvicina al suolo (a circa 50 ÷ 100 m da terra) daquest’ultimo parte una scarica di ritorno (ovvero che si muove dal basso verso l’alto)composta da un flusso di cariche positive presenti sulla superficie terrestre. E il lampoprincipale, fortemente luminoso, che ripercorre a ritroso il canale preparato dalla scaricaguida. Quando la scarica ascendente incontra la scarica pilota a poche decine di m dialtezza, il circuito tra la nube ed il suolo si chiude. Ora e come se vi fosse un camminoconduttore continuo (con raggio di pochi centimetri) nel quale la carica negativa puofluire dalla nube al suolo senza incontrare resistenza.
Mentre gli elettroni defluiscono al suolo, lungo la traccia della scarica pilota unafortissima corrente elettrica risale verso la nube: le diramazioni e le tortuosita delcammino guida vengono nuovamente illuminate. La corrente di grande intensita (10÷20× 103 A) riscalda l’aria e produce una fortissima luminosita; essa si sposta dal suoloalla nube ad una velocita approssimativa di c/3 ÷ c/2 (per complessivi 10 ÷ 100 µs).Quando termina una corrente di intensita minore (qualche centinaio di A) continuaa fluire per parecchi ms: e questa corrente a causare i maggiori danni ai corpi che sitrovano sul suo cammino.
Poi dalla nube parte una scarica detta “guida veloce” che ripercorre il camminoconsueto senza le diramazioni, meno luminosa ma piu veloce della scarica guida in-termittente. Al suo arrivo a terra, dal suolo parte un secondo lampo, simile al lampoprincipale, ma di intensita luminosa molto minore, ripercorrendo in senso inverso ilcondotto senza interessare le diramazioni. Il processo si ripete piu volte (con lumi-nosita decrescenti) ma con ogni lampo principale preceduto da una guida veloce (equesto che causa l’effetto tremolante nella luce del lampo).
La durata totale del fulmine e di 0.1 ÷ 0.25 s ma puo arrivare a durare anche2 ÷ 3 s. La corrente del fulmine e di circa 10 ÷ 20 × 103 A con correnti di picco nellampo principale sino a 250×103A. Tuttavia il contributo di carica negativa che vieneportato a terra e dell’ordine dei 20 C. Siccome mediamente una cella temporalescaproduce 3 fulmini al minuto (per una durata media di 20 minuti) la corrente effettivadi una cella e dell’ordine di 1A. Sulla Terra cadono mediamente 100 fulmini al secondo;solo il 10% di essi trasporta carica negativa al suolo. In media quindi il contributo diciascun fulmine per tutta la sua durata e di 2 A, per un totale di 200 A, pari solo ad1/9 del contributo della corrente elettrica che fluisce in verso opposto in condizioni ditempo buono.
11.3. LA FORMAZIONE DELLA CARICA ELETTRICA 299
11.3 La formazione della carica elettrica
La costruzione di modelli teorici dell’elettrificazione nelle nubi e uno dei piu interessantie controversi. Discutiamo qui in modo qualitativo quattro tra i modelli principali.
11.3.1 Caricamento convettivo
La nube convettiva opera come un generatore elettrostatico:
• l’updraft porta cariche spaziali positive dai bassi livelli alla nube che cresce: lanube acquista uno schermo negativo ai contorni per cattura di ioni negativi chemigrano verso la nube dal di fuori;
• il down-draft porta le cariche negative piu vicine a terra aiutando il suolo ascaricare a punta altre cariche positive che alimentano il processo.
Questo modello pero prevederebbe inizialmente una base positiva ed un core, partecentrale, positiva in conflitto con quanto si osserva.
11.3.2 Caricamento per cattura selettiva di ioni
Particelle di nube cariche elettricamente possono catturare selettivamente ioni quandocadono. Cio succede perche la parte inferiore della goccia puo attirare e catturare ionidi segno opposto alla carica superficiale locale, mentre la parte superiore non e cosıefficace per questo.
L’effetto netto e una separazione a grande scala di cariche per sedimentazione digocce cariche. Cio rafforza il campo esistente . L’equilibrio dipende dall’intensita dicampo ambientale e dall’area della particella. Tuttavia una stima di Mason suggerisceche il meccanismo produca campi di 102 V/cm, sotto di 3 ordini di grandezza ai valoricaratteristici dei temporali.
11.3.3 Effetto termoelettrico
Reynolds (1957) ha evidenziato che un hail-pellet puo caricarsi come risultato di col-lisioni con cristalli che hanno temperature diverse da quella della pellet. Fisicamentecio sarebbe dovuto alla diffusione di ioni idrogeno lungo il gradiente di temperaturache esiste nella regione di contatto temporaneo. H+ hanno mobilita superiore di OH−
nel reticolo, ed un gradiente di temperatura applicato porta ad un eccesso di carichepositive nella regione piu fredda. Mason (1961) e Jaccard (1963) hanno lavorato aquesto apetto per una formulazione della teoria. La quantita di carica che puo essereseparata in condizioni naturali e pero il vero interrogativo ed il tempo di contatto eil fattore critico. Anche la presenza di impurezze nel ghiaccio e la velocita di impattosono parametri importanti e difficili da controllare in un esperimento.
300 CAPITOLO 11. CAMPO ELETTRICO TERRESTRE
11.3.4 Carica per induzione
Una gocccia scarica, polarizzata nel campo elettrico di bel tempo, porta una densitadi carica σ = ε0 Er |r=a = 3ε0 ET cos θ con θ angolo polare misurato dal punto inferioredella goccia. Cosı l’emisfero inferiore e carico positivamente e quello superiore negati-vamente (il campo elettrico terrestre e direto verso il basso). Percio se questa goccia haun contatto momentaneo con un’altra goccia similmente polarizzata ma piu piccola esusseguentemente si ha separazione, si puo arrivare ad avere una carica netta negativasulla goccia piu grande ed una positiva uguale ed opposta su quella piu piccola. Laseparazione spaziale entro la nube sarebbe poi affidata alle diverse velocita terminalidelle gocce; si spiegherebbero cosı gli alti valori dei campi normalmente osservati neitemporali. Il problema in realta e molto complesso: ad esempio il contatto puo avvenirea θ 6= 0 (e quest’angolo di contatto dipendera dalle forze elettrostatiche stesse) e congocce inizialmente cariche a Q1 e Q2. Poi bisogna considerare quelle che sono le effi-cienze di separazione dopo un contatto ed il fatto che la coalescenza verra aumentatatra gocce con cariche diverse (e questo diminuira l’effetto di carica per induzione).
11.4 Effetto dei campi elettrici e delle cariche sui
processi microfisici
11.4.1 Nucleazione di gocce e di cristalli
Abbiamo gia visto che la presenza di ioni negativi abbassa la sovrassaturazione richiestaper nucleare la goccia al di sotto del valore richiesto dalla nucleazione omogenea. Laspiegazione e nella tendenza delle molecole d’acqua a orientarsi con gli atomi di ossigenoverso l’esterno poiche la polarizzabilita di un atomo di ossigeno e superiore a quella diun atomo di idrogeno. La cattura di ioni negativi aumenta la tendenza dell’embrionea orientare le molecole in arrivo con l’idrogeno verso l’embrione.
E poi stato osservato che campi elettrici esterni aumentano la capacita nucleantedella fase ghiaccio. Nuclei carichi, ad esempio, formati con scarica a corona, provocanoil ghiacciamento di goccioline presenti.
11.4.2 Crescita diffusionale di cristalli di ghiaccio
La velocita e le modalita di crescita dei cristalli sono influenzate dai campi esterni.In presenza di campi elettrici esterni i cristalli tendono ad assumere la forma di aghi,indipendentemente dalla temperatura, orientati nelle direzioni delle linee di campo.
Prendiamo uno spigolo di un cristallo che punta nella direzione del campo. Lacurvatura maggiore nello spigolo fa aumentare il campo localmente, con emissione diioni che sono parzialmente catturati dalle molecole d’acqua che si muovono nel campoe aumentano il flusso stesso del vapore. Lo spigolo interessato cresce e il processo siautopropaga poiche le ramificazioni che potrebbero competere per il vapore disponibile
11.5. PROBLEMI 301
sono soppresse. Poi vi e da considerare l’aumento della distanza di migrazione dellemolecole a causa della presenza del campo.
Il tasso di crescita puo aumentare di 10 − 1000 volte, pero si devono avere campidi alcuni kV/cm.
11.4.3 Frattura di gocce
Una goccia in un campo elettrico si allunga nella direzione del campo per l’interazionetra campo e carica di polarizzazione indotta sulla goccia. La forma diventa un ellissoideprolato fino a che non si ha la frattura ad un valore critico del campo:
Ec = 1.625 × 4πε0
(
σ
a0[cm]
)
; (11.9)
con a0 raggio non deformato e σ tensione superficiale.
11.5 Problemi
1. Si calcoli la differenza di potenziale tra il suolo e la base della nube (posta ad1 km) in presenza di nubi temporalesche con i valori tipici del paragrafo 11.2. Sidetermini quindi l’energia dissipata nel canale del fulmine.
Sugg.: si usi il metodo delle cariche immagine (il potenziale risultera dalla sommadei potenziali delle 4 cariche). Si usi poi il fatto che la carica totale erogata alsuolo ammonta a circa −20 C.
Se in un tornado si producono 20 lampi al secondo qual e la potenza elettricadissipata da un tornado?
2. Si consideri un campo elettrico uniforme ~E0 e si immerga in esso una sfera con-duttrice isolata e scarica di raggio R. Calcolare la densita di carica indotta sullasfera e il campo elettrico sulla superficie.
La superficie della sfera rimarra allo stesso potenziale (per definizione di condut-tore) ma fisicamente si accumulera carica negativa su un emisfero e carica positivanell’emisfero opposto coerentemente col fatto che il campo tende ad attrarre lecariche negative e a respingere quelle positive. Il problema viene allora risoltousando il metodo delle cariche immagine e sostituendo la sfera con la densita dicarica indotta con un dipolo di momento
~p = 4πε0 R3 ~E0. (11.10)
Infatti si ricorda che il potensiale di dipolo e dato da Vdipolo = p4πε0
cos θr2 θ essendo
l’angolo polare dal dipolo, mentre quello associato al campo elettrico costante ~E0
e VE0 = V0 − E0 z = V0 − E0 r = cos θ. Ma allora il potenziale totale e proprio:
Vtot = V0 +(
p4πε0 R2 − E0 R
)
cos θ che con la scelta (11.10) risulta effettivamente
302 CAPITOLO 11. CAMPO ELETTRICO TERRESTRE
costante sulla superficie sferica a r = R. Ma allora il campo elettrico nel genericopunto P sulla superficie sara radiale (perche deve essere ortogonale alla superficieequipotenziale) e uguale a:
Er(P ) = E0 cos θ +p
4πε0
2 cos θ
R3= 3E0 cos θ.
La densita di carica e subito trovata come:
σ(θ) = ε0 Er(P ) = 3ε0 E0 cos θ.
La densita di carica non e uniforme ma varia da un massimo di densita di caricapositiva 3ε0 E0 per θ = 0 ad un minimo di carica negativa −3ε0 E0 per θ = πannullandosi a θ = π/2. Ovviamente (la sfera e isolata: la carica quindi siconserva) la carica totale indotta sulla sfera e nullo come si puo verificare conuna banale integrazione.
3. Il campo elettrico terrestre varia con la quota z espressa in km approssimativa-mente come:
~E[V/m](z) = −(81.8e−4.52 z + 38.6e−0.375 z + 10.27e−1.21 z)z;
determinare la corrispondente variazione con la quota della densita di caricaspaziale.
Si usa l’equazione di Maxwell ~∇ · ~E = ρ/ε0 e osservando che la sola derivata in zda contributo si trova immediatamente:
ρ(z) = 20.4e−4.52 z + 0.8e−0.375 z + 0.069e−1.21 z
ove la densita di carica e espressa in unita di cariche elementari per cm3. Cosı alsuolo e attesa una densita di carica pari a 21 cariche elementari per cm3, a 1 kma 5 e/cm3.
Appendice A
Costanti fisiche notevoli
A.1 Costanti fondamentali
Costante di gravitazione universale G = 6.673 × 10−11 N m2kg−2;
Costante universale dei gas R = 8.314 × 103 J K−1 kmol−1;
Numero di Avogadro NA = 6.022 × 1023;
Costante di Planck h = 6.6256 × 10−34 J s;
Costante di Boltzmann kB = 1.38 × 10−23 J K−1;
Costante di Stefan-Boltzmann σ = 5.67 × 10−8 W m−2 K−4;
Permeabilita magnetica del vuoto µ0 = 4π × 10−7 henry m−1;
Calore specifico dell’acqua a −10 cw = 1.02 cal/(g K);
Calore specifico del ghiaccio ci = 0.49 cal/(g K);
Calore latente di evap. dell’acqua a 0 Lev = 597.3 cal/g = 2.501 × 106 J/kg;
Calore latente di fusione del ghiaccio a 0 Lf = 79.8 cal/g = 333 J/g;
Coefficiente di viscosita dell’acqua a 20 µacqua = 10−3 kg/(m s);
Coefficiente di conduttivita termica a 0 Kw = 0.6 J/(m sK).
A.3 Costanti fisiche di aria secca
Peso molecolare medio 28.97; γ = cP/cV = 1.4;
Costante dei gas per aria secca Rd = 287 J/(K kg);
Densita per aria secca a 1000 mbρ = 1.276 kg/m3;
Calore specifico dell’aria secca a p costante cP = 0.240cal/(gK) = 1005J/(kgK);
Calore specifico dell’aria secca a V costante cV = 0.171cal/(gK) = 717.85J/(kgK);
Coefficiente di conduttivita termica a 0 [20] di aria secca Kair = 2.4 [2.55] ×10−2 J/(m sK);
Coefficiente di viscosita di aria secca a 0 [20] µ = 1.717 [1.815]×10−5 kg/(m s).
A.4 Costanti fisiche del vapor d’acqua
Peso molecolare medio 18.02; γ = cP/cV = 1.33;
Costante dei gas per vapore Rv = 461.5 J/(K kg);
Coefficiente di diffusivita di vapor acqueo in aria a 0 [20] D = 2.21 [2.52] ×10−5 m2/s;
Calore specifico del vapore a p costante a T = 0C cP = 0.445 cal/(g K) =1863.4 J/(kg K);
Densita a T = 0C e 1000 mb ρ = 0.794 kg/m3.
Appendice B
Equazioni vettoriali utili
A · (B× C) = (A × B) · C = (C × A) ·B (B.1)
A× (B × C) = (A · C)B − (A · B)C (B.2)
ogni rotore e solenoidale
∇ · (∇× A) = 0 (B.3)
ogni gradiente e irrotazionale
∇× (∇A) = 0 (B.4)
∇×(aA) = a∇× A − A ×∇a (B.5)
∇·(aA) = a∇ · A + A · ∇a (B.6)
∇(A · B) = (A · ∇)B + (B · ∇)A + A × (∇× B) + B × (∇× A) (B.7)
∇·(A× B) = B · (∇× A) − A · (∇× B) (B.8)
∇×(A × B) = A(∇ · B) − B(∇ · A) + (B · ∇)A − (A · ∇)B (B.9)
(A · ∇)A = ∇(A2/2) + (∇× A)×A (B.10)
∇× (∇× A) = ∇(∇ · A) −∇2A (B.11)
305
306 APPENDICE B. EQUAZIONI VETTORIALI UTILI
Appendice C
Proprieta delle coordinatecurvilinee
COORDINATE CILINDRICHE
∂er
∂φ= eφ
∂eφ
∂φ= −er
(C.1)
∇ψ =
(
er∂
∂r+ eφ
1
r
∂
∂φ+ ez
∂
∂z
)
ψ (C.2)
∇ · A =1
r
∂
∂r(rAr) +
1
r
∂Aφ
∂φ+∂Az
∂z(C.3)
∇× A =1
r
er reφ ez∂∂r
∂∂φ
∂∂z
Ar rAφ Az
=
= er
(
1
r
∂Az
∂φ− ∂Aφ
∂z
)
+ eφ
(
∂Ar
∂z− ∂Az
∂r
)
+
+ez
(
1
r
∂
∂r(rAφ) −
1
r
∂Ar
∂φ
)
(C.4)
∇2ψ =1
r
∂
∂r
(
r∂ψ
∂r
)
+1
r2
∂2ψ
∂φ2+∂2ψ
∂z2(C.5)
∇2A = er
[
∇2Ar −Ar
r2− 2
r2
∂Aφ
∂φ
]
+ eφ
[
∇2Aφ − Aφ
r2+
2
r2
∂Ar
∂φ
]
+
+ez∇2Az (C.6)
307
308 APPENDICE C. PROPRIETA DELLE COORDINATE CURVILINEE
A · ∇B = (Arer + Aφeφ + Azez) ·(
er∂
∂r+ eφ
1
r
∂
∂φ+ ez
∂
∂z
)
B =
(
Ar∂
∂r+ Aθ
1
r
∂
∂φ+ Az
∂
∂z
)
B = er
(
Ar∂Br
∂r+ Aθ
1
r
∂Br
∂φ− 1
rAφBφ
)
+
eφ
(
Ar∂Bφ
∂r+ Aφ
1
r
∂Bφ
∂φ+
1
rArBφ
)
+ ez
(
Az∂Bz
∂z
)
(C.7)
COORDINATE SFERICHE
∂er
∂θ= eθ
∂er
∂ϕ= sin θeϕ
∂eθ
∂ϕ= cos θeϕ
∂eθ
∂θ= er
∂eϕ
∂ϕ= − sin θer − cos θeθ
(C.8)
∇ψ = er∂ψ
∂r+ eθ
1
r
∂ψ
∂θ+ eϕ
1
r sin θ
∂ψ
∂ϕ(C.9)
∇ · A =1
r2
∂
∂r(r2Ar) +
1
r sin θ
∂
∂θ(sin θAθ) +
1
r sin θ
∂Aϕ
∂ϕ(C.10)
∇× A =1
r2 sin θ
er reθ r sin θeϕ∂∂r
∂∂θ
∂∂ϕ
Ar rAθ r sin θAϕ
=
=er
r sin θ
[
∂
∂θ(sin θAϕ) − ∂Aθ
∂ϕ
]
+eθ
r
[
1
sin θ
∂Ar
∂ϕ− ∂
∂r(rAϕ)
]
+
+eϕ1
r
[
∂
∂r(rAθ) −
∂Ar
∂θ
]
(C.11)
∇2ψ =1
r2
∂
∂r
(
r2∂ψ
∂r
)
+1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ∂ψ
∂θ
)
+1
r2 sin2 θ
∂2ψ
∂ϕ2(C.12)
∇2A = er
[
∇2Ar −2Ar
r2− 2
r2 sin θ
∂
∂θ(sin θ
∂ψ
∂θ) − 2
r2 sin θ
∂Aϕ
∂θ
]
+
+eθ
[
∇2Aθ −Aθ
r2 sin2 θ+
2
r2
∂Ar
∂θ− 2 cos θ
r2 sin2 θ
∂Aϕ
∂ϕ
]
+
+eϕ
[
∇2Aϕ − Aϕ
r2 sin2 θ+
2
r2 sin θ
∂Ar
∂ϕ+
2 cos θ
r2 sin2 θ
∂Aθ
∂ϕ
]
(C.13)
Appendice D
Eq. di Navier Stokes
D.1 Stream function per flussi incomprimibili at-
torno a corpi assisimmetrici
Attorno a corpi assisimmetrici la condizione di incompressibilita rende possibile ladescrizione del flusso in termini di derivata di una singola funzione scalare ψ che e notacome streamfunction.
Si consideri infatti un flusso stazionario di un fluido incompressibile attraverso uncorpo assi-simmetrico attorno all’asse z. Allora non vi sara componente azimutaledella velocita (cioe il moto sara lo stesso su ogni piano contenente l’asse z) e quindisara opportuno utilizzare un sistema di coordinate curvilinee, ortogonali, RH (q1, q2, φ)ove q1 e q2 descrivono la posizione nel piano meridiano di modo che in tale sistema lavelocita avra solo le prime due componenti non nulle ~v = (u1, u2, 0) e la condizione diincomprimibilita (cioe la solenoidalita del campo) si esprime come [vedi (D.3)]:
∂
∂q1(h2 h3 u1) +
∂
∂q2(h1 h3 u2) = 0 (D.1)
ove gli hi sono i fattori di scala associati alle coordinate1, ovvero hi dqi e l’elemento d’ar-co infinitesimo associato alla coordinata qi. L’eq. D.1 e automaticamente soddisfatta
1Coordinate curvilinee generali ortonormali (q1, q2, q3) possono essere derivate da coordinatecartesiane per mezzo di transformazioni x = x(q1, q2, q3). I vettori unitari sono dati da:
eq1=
1
h1
∂x
∂q1, eq2
=1
h2
∂x
∂q2, eq3
=1
h3
∂x
∂q3
ove i termini hi danno la normalizzazione a 1. Gli operatori differenziali sono dati da:
gradf =1
h1
∂f
∂q1eq1
+1
h2
∂f
∂q2eq2
+1
h3
∂f
∂q3eq3
(D.2)
div ~a =1
h1h2h3
(
∂
∂q1(h2h3aq1
) +∂
∂q2(h3h1aq2
) +∂
∂q3(h1h2aq3
)
)
(D.3)
rot ~a =1
h2h3
(
∂(h3aq3)
∂q2− ∂(h2aq2
)
∂q3
)
eq1+
1
h3h1
(
∂(h1aq1)
∂q3− ∂(h3aq3
)
∂q1
)
eq2+ (D.4)
309
310 APPENDICE D. EQ. DI NAVIER STOKES
se la velocita viene fatta derivare da una funzione scalare come:
h2 h3 u1 = − ∂ψ
∂q2h1 h2 u2 =
∂ψ
∂q1(D.7)
Nel caso delle coordinate cilindriche (z, r, φ) si ha h1 = 1, h2 = 1 e h3 = r, di modoche le due componenti non nulle della velocita sono:
uz = −1
r
∂ψ
∂r, ur =
1
r
∂ψ
∂z. (D.8)
Nel caso delle coordinate sferiche (r, θ, φ) si ha h1 = 1, h2 = r e h3 = r sin θ, dimodo che le due componenti non nulle della velocita sono:
ur = − 1
r2 sin θ
∂ψ
∂θ, uθ =
1
r sin θ
∂ψ
∂r. (D.9)
Usando la (D.2) le (D.7) possono essere riscritte come:
∇ψ = −h3 eφ × ~u (D.10)
che dimostra come il gradiente della stream function sia ortogonale alla velocita e quindiψ e costante lungo una streamline, ovvero le streamline sono le curve di livello dellastream function.
D.1.1 Equazione di Navier-Stokes per la stream-function
Nelle ipotesi precedenti vogliamo adesso scrivere le equazioni vettoriali di Navier-Stokescome una sola equazione per la stream function. Usando la solenoidalita del campo divelocita e alcune identita vettoriali:
e prendendone il rotore (essendo ogni gradiente irrotazionale):
∇× [(∇× ~u) × ~u] = −ν∇× [∇× (∇× ~u)] (D.14)
1
h1h2
(
∂(h2aq2)
∂q1− ∂(h1aq1
)
∂q2
)
eq3(D.5)
∇2f =1
h1h2h3
[
∂
∂q1
(
h2h3
h1
∂f
∂q1
)
+∂
∂q2
(
h3h1
h2
∂f
∂q2
)
+∂
∂q3
(
h1h2
h3
∂f
∂q3
)]
. (D.6)
D.1. STREAM FUNCTION PER FLUSSI ATTORNO A CORPI ASSISIMMETRICI311
Esprimendo ora il rotore di ~u, ovvero la vorticita, nel sistema di coordinate (q1, q2, φ)usando la (D.4) ed il fatto che u1 e u2 non dipendono da φ si ha:
~ξ = ∇× ~u =eφ
h1 h2
[
∂
∂q1(h2 u2) −
∂
∂q2(h1 u1)
]
(D.15)
e quindi utilizzando la (D.7) per riesprimere h2 u2 e h1 u1:
~ξ = ∇× ~u =eφ
h3
E2ψ E2 ≡ h3
h1 h2
[
∂
∂q1
(
h2
h1 h3
∂
∂q1
)
+∂
∂q2
(
h1
h2 h3
∂
∂q2
)]
(D.16)
che e una formula molto importante in quanto consente di calcolare la vorticita a partiredalla stream function.
Ma allora la (D.14) usano le (D.10-D.16) diventa:
[
∇ψ ×∇(
E2ψ
h23
)]
· eφ =νE4
h3
ψ. (D.17)
Nel caso di coordinate sferiche ad esempio l’eq. D.17 diventa:
sin θ
[
∂ψ
∂r
∂
∂θ− ∂ψ
∂θ
∂
∂r
](
E2ψ
r2 sin2 θ
)
= νE4ψ (D.18)
ove l’operatore E2 si scrive:
E2 =∂2
∂r2+
sin θ
r2
∂
∂θ
(
1
sin θ
∂
∂θ
)
. (D.19)
La (D.18) rappresenta il risultato cercato, ovvero l’eq di Navier-Stokes scritta in terminidella stream function per flusso incompressibile assi-simmetrico.
