Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 8
TERMODINAMICA DELL'ATMOSFERA
Evaporazione, condensazione e precipitazione influiscono notevolmente sul contenuto atmosferico di acqua
in forma vapore, liquida o solida. I loro rapporti, anche rispetto all'aria secca, variano in un ampio intervallo.
Pertanto la quantità di umidità contenuta in una certa "porzione" di aria deve essere considerata come una
delle proprietà specifiche dell’atmosfera alla stessa stregua della temperatura e della pressione.
Di seguito vengono presentate le principali grandezze dell’aria umida.
L’umidità specifica q (nota anche come contenuto di vapore) è la massa di vapor d'acqua vm contenuta
nella massa d'aria m :
m
mq v (2.1)
Le curve di ugual contenuto di vapore sono dette isoigrometriche.
Il rapporto di mescolamento r è la massa di vapor d'acqua contenuta in una massa unitaria di aria secca dm :
d
v
m
mr (2.2)
Queste due grandezze sono misurate in kgkg . Si usano tuttavia frequentemente le unità kgg che
risultano essere più pratiche in quanto mmv .
Essendo ovviamente:
vd mmm
q ed r sono legate tra loro dalle seguenti espressioni:
q
qr
1 (2.3 a)
r
rq
1 (2.3 b)
Le grandezze q ed r :
risultano essere conservative rispetto a variazioni termiche isobariche ed adiabatiche subite da una massa
d’aria all’interno della quale non si produce evaporazione o condensazione;
forniscono una misura assoluta del contenuto di vapore presente in atmosfera.
La pressione di vapore e rappresenta il contributo che il vapor d’acqua fornisce alla pressione atmosferica
totale in una miscela di aria umida non satura. Poiché una massa di aria secca ed una di aria umida,
nell’intervallo termico di interesse meteorologico, seguono con buona approssimazione l’equazione di stato
dei gas perfetti, si ha che:
TRe vv (2.4)
in cui:
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115,461 KkgJM
RR
v
v è la costante specifica per il vapor d’acqua;
1015,18 molgMv è il peso molecolare dell’acqua.
E’ possibile inoltre esprimere vR in funzione di dR considerando che la costante specifica:
dd
v
dd
v
dv
vvdd
RRm
mR
M
MR
RMRMR
1
in cui: 1964,28 molgMd è il peso molecolare dell’aria secca;
622,0d
v
d
v
m
m
M
M
Nel caso in cui la pressione parziale del vapor d’acqua si riferisca ad una miscela di aria satura sarà
rappresentata da we (funzione esponenziale di T ) che, in aria non satura, risulta essere:
eTew )(
Impiegando l’equazione di stato dei gas per l’intero miscuglio di gas e la legge di Dalton:
TRmRmTRmVpVp vvddi iii i )()()(
La costante dei gas può pertanto essere riscritta come:
vdvvdd RqRq
m
RmRmR )1(
Essendo pe , si possono ottenere le relazioni approssimate che legano q , r ed e :
p
e
ep
e
R
Rep
e
R
R
TR
Ve
TR
Vp
TR
Ve
m
mq
v
dd
v
d
vd
d
vv
)1( (2.5 a)
p
e
ep
e
p
e
R
R
TR
Vp
TR
Ve
m
mr
dv
d
d
d
v
d
v (2.5 b)
rp
e (2.5 c)
qp
e (2.5 d)
dalle quali risulta ovviamente:
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rq (2.6)
Nel caso in cui il contenuto di vapore raggiunga il valore di saturazione rispetto all’acqua si ha che:
ww
w
ww r
p
Te
Tep
Teq
)(
)()1(
)( (2.7 a)
Nel caso in cui il valore di saturazione sia riferito al ghiaccio, si ha analogamente:
ii
i
ii r
p
Te
Tep
Teq
)(
)()1(
)( (2.7 b)
L’umidità relativa wU , in condizioni di p e T ambiente, è comunemente definita dal rapporto percentuale
tra la massa di vapore rispetto alla massa di vapore saturo:
wwww
vw
r
r
q
q
e
e
m
mU (2.8 a)
Anche in questo caso, qualora il valore di saturazione sia riferito al ghiaccio, si ha:
iiii
vi
r
r
q
q
e
e
m
mU (2.8 b)
L’umidità relativa è pertanto quella grandezza fisica che fornisce indicazioni sullo stato della massa d’aria,
cioè sul suo rapporto di saturazione. Pertanto, insieme a p e T , rappresenta una delle tre grandezze
osservabili che, mediante l’impiego di appositi sensori, permettono di indagare il profilo verticale
dell’atmosfera e quindi conoscerne lo stato termodinamico.
Il contenuto di vapore ed il rapporto di mescolamento sono quindi facilmente calcolabili impiegando valori
di wr , tabulati in funzione di T .
Di seguito sarà utilizzata la simbologia più generale wUU , cioè l’umidità relativa riferita all’acqua in
quanto:
gli igrometri sono in grado di effettuare osservazioni in tutto l’intervallo termico caratteristico
dell’atmosfera;
la maggior parte delle nubi, nell’intervallo CTC 020 , è costituita comunque da particelle di
acqua liquida, in condizioni cioè di sopraffusione. Solo in alta troposfera, a quote tali per cui
CT 40 , le formazioni nuvolose assumono caratteristiche ghiacciate.
L’Organizzazione Meteorologica Mondiale (OMM), nel 1947, ha definito l’umidità relativa U come il
quoziente dei rapporti di mescolamento dell’aria umida e di saturazione (wr
rU ).
Tale grandezza è significativa per giudicare la distanza di una massa d’aria dalla saturazione ed è
direttamente legata alle sensazioni fisiologiche di caldo/freddo, nonché ai fenomeni biologici collegati
all’umidità dell’aria, quindi all’ambiente in cui vivono piante ed animali.
La temperatura di rugiada dT rappresenta la temperatura alla quale l’aria deve essere raffreddata in
condizioni di constp e constrq affinché diventi satura. Per cui se:
)()( dwwd TeTeeTT
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La dT rappresenta pertanto quel valore per il quale il contenuto di vapore saturo wq decresce fino ad
uguagliare il contenuto di vapore q .
Dalla definizione discende immediatamente che:
TTd con l’uguaglianza valida solo in condizioni di saturazione;
la differenza dTT è un indice del livello di saturazione della massa d’aria;
la dT è conservativa rispetto a variazioni isobariche di T .
Nelle regioni umide la dT presenta un massimo durante il giorno ed un minimo durante la notte. Nelle
regioni aride si ha l’inverso a causa della secchezza del suolo.
La temperatura virtuale è la temperatura che deve assumere una massa d’aria secca affinché abbia la stessa
densità di una data massa d’aria umida, ovvero, temperatura dell’aria secca avente la stessa pressione e
volume specifico di quella umida.
La forma algebrica si ottiene applicando all’equazione di stato dei gas perfetti l’ipotesi che l’aria umida sia
costituita da una miscela di aria secca e vapore:
TqRmTm
mRm
TR
R
m
mRmT
R
RmmmR
TR
RmmRTRmRmVepVp
dv
d
d
vvd
d
vvvd
d
vvddvvddd
11
111
1
11
)()(
vdd TRmTqRmVp )608,01(
da cui:
TTqTv )608,01( (2.9)
dove:
061,0608,011
qqq
La correzione da apportare a T per avere vT è:
TUqTqTTT wvv 608,0608,0
Il valore massimo di vT si avrà per:
1U
quando la vT raggiunge il valore di saturazione, vwT .
Quindi, in generale:
vwv TUT
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Allo scopo di individuare l’ordine di grandezza del contenuto di vapore, è necessario impiegare l’equazione
di Clapeyron dalla quale si ottiene la relazione per l’andamento della pressione di vapore. Per fare ciò si
consideri il seguente ciclo reversibile:
- avendo kg1 di acqua a temperatura dTT
- si fornisce calore ee llQQ
- ottenendo kg1 di vapor saturo a temperatura dTT
- si raffredda fino a temperatura T
- si sottrae calore elQ
- si scalda per riottenere kg1 di acqua a dTT
Il lavoro è quindi:
T
dTde
l
VV
l
dL
deVVdL
w
e
lw
e
wlw
)(
)(
con:
lV = volume del liquido
el = calore latente di evaporazione
Essendo inoltre:
l
w
vw V
Te
TRV
)(
si ottiene:
2
)(
TR
lkdTk
e
de
T
dT
Tel
TR
T
dTde
l
V
v
ett
w
w
we
vw
e
w
integrabile solo per constkt (ovvero constT ):
)( 0
0
TTk
wwteee (2.10)
Fig. 1.
Relazione tra temperatura e pressione
di vapore saturo. Sono graficate le
curve per:
KTT 15,2730 : )(Tew (blu);
0TT : wE (in tratteggio rosso, acqua
liquida sopraffusa);
iE (in punteggiato verde,
ghiaccio).
Per 0TT , hPaeTe 1,6)( 00 .
p ew(T)
ew
20
e
10
e0
Ew Ei (ghiaccio) T0 Td T T
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 13
Tale risultato rappresenta una forma approssimata della relazione tra pressione di vapore saturo e
temperatura.
Tuttavia le ipotesi fatte sono realistiche in relazione ai valori atmosferici e pertanto la (2.10) rappresenta un
risultato soddisfacente.
Questa forma esponenziale, ottenibile sia con procedimenti meno elementari e formalmente più corretti, sia
per via sperimentale (formula di Magnus), è quella citata nella definizione della pressione di vapore saturo e
rappresentata graficamente nella figura 1.
Per quanto riguarda l’ordine di grandezza del contenuto di vapore, in condizioni di aria satura a:
CTThPap 0;1000 0
si ottiene che:
hPaTew 1,6)( 00
kggqw 6,31000
1,6622,0103
Dall’espressione del vapore saturo si vede come questo raddoppi ogni C10 circa:
kggCTqw 2,7)10(
kggCTqw 4,14)20(
kggCTqw 8,28)30(
Da cui si comprende coma i valori siano sempre molto piccoli sebbene, come nell’ultimo esempio, ad un
contenuto di vapore dei circa il 3% corrispondano condizioni di nebbia.
Capacità termica dell’aria umida
Nella termodinamica è noto che la capacità termica varia in funzione del tipo di gas in relazione alla sua
struttura molecolare. Infatti, per un gas:
monoatomico: ddvpdv RRCCRC2
5;
2
3
biatomico: dpdv RCRC2
7;
2
5
In tal modo, è possibile ottenere alcuni rapporti significativi per le successive applicazioni:
v
p
v
p
pp c
c
C
C
c
R
C
R;
*
per l’aria secca, considerata biatomica in quanto composta essenzialmente da 2O e 2N , si ha che:
1111
1111
24,0005,1
171,0718,0
4,15
7;286,0
7
2
KgcalKgJc
KgcalKgJc
d
d
p
v
dd
Nel caso di aria umida la molecola di vapor d’acqua è triatomica e non lineare. La sua posizione può essere
descritta attraverso tre coordinate rotazionali e tre traslazionali. Pertanto nell’equazione dell’energia cinetica
compaiono sei termini quadratici. Dal teorema dell’equipartizione dell’energia, nell’ipotesi in cui la
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 14
componente vibrazionale non contribuisca al calore specifico (tutte le molecole sono nello stato di riposo), si
ha che:
33,13
4
441,0846,14
331,0385,132
6
1111
1111
v
vp
vvv
KgcalKgJRc
KgcalKgJRRc
v
v
E’ opportuno tuttavia ricordare che nelle bande dello spettro IR (p.es. m27,6 ) sono presenti bande di
assorbimento roto-vibrazionali prodotte dal vapor d’acqua a temperatura atmosferica.
Da osservazioni sperimentali e nell’ipotesi che tali grandezze siano indipendenti da T , si può scrivere con
buona approssimazione che:
1111
1111
337,041,1
447,0870,1
KgcalKgJc
KgcalKgJc
v
v
v
p
Considerando ora una massa d’aria umida, il calore assorbito a constp per un incremento termico dT è:
qc
cccqcqc
dT
Q
qqqqqmqmQ
d
dvd
p
vp
pppp
vdvvdd
11)1(
)1(
Quindi, le relazioni che legano i calori specifici in atmosfera umida sono:
)87,01()87,01( rcqccdd ppp (2.11 a)
ed in modo simile, essendo:
d
p
d
p q
q
cq
Rq
c
R
d87,01
61,01
)87,01(
)61,01(
)97,01()97,01( rcqccdd vvv (2.11 b)
)26,01()26,01( rq dd (2.11 c)
)10,01()10,01( rq dd (2.11 d)
Tali grandezze sono pertanto funzioni del contenuto di vapore e, in particolare:
dd vvppdd cccc ,,,
Il segno di uguaglianza è ovviamente valido solo in condizioni di aria secca.
Temperatura potenziale, temperatura potenziale virtuale e temperatura equivalente
Una importante espressione che si vuole ora richiamare è l’equazione di Poisson. Si consideri in tal modo la
relazione del 1° principio della Termodinamica:
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 15
dVpdTcmQ v
Per eliminare il termine di volume, grandezza non usata in meteorologia in quanto non osservabile, si
differenzia l’eq.di stato dei gas perfetti:
p
dpTRmdTRmdTcmQ
p
dpTRmdTRmdVp
dTRmdpVdVp
ddv
dd
d
Per una trasformazione reversibile a constp si ricava quindi:
vpd
dvp
ccR
dTRmdTcmdTcmQ
che nel caso di una espansione o compressione adiabatica diviene:
p
dpTccdTcm
p
dpTccmdTccmdTcmQ
vpp
vpvpv
)(
)()(0
Quindi:
p
dp
p
dp
c
cc
T
dT
p
vp (2.12)
che, integrata, fornisce una delle forme dell’equazione di Poisson:
00 p
p
T
T (2.13)
Esempi:
1. Calcolo della variazione termica nel caso di aria secca:
286,0;287;1000 11
ddp KkgJRKkgJc
hPadphPapKT 100;1000;300
KdT 9
2. Qualora si costruisca un sistema di coordinate ortogonali in cui:
pyTx ;
l’equazione di Poisson si riduce ad un fascio di rette passante per l’origine:
yy
xx
0
0
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 16
Attraverso una semplice trasformazione, è possibile ottenere un sistema di riferimento (denominato
diagramma adiabatico o di Stüve) caratterizzato dall’asse y capovolto:
ppy
TTx
0
'
0
'
Fig. 2.
Schematizzazione di un diagramma adiabatico.
Il fascio di rette passanti per l’origine degli assi coordinati
rappresenta l’equazione di Poisson.
Dalla (2.13) è possibile definire il concetto di temperatura potenziale come la temperatura che assume una
massa d’aria quando, mediante una trasformazione adiabatica secca, raggiunge la pressione di riferimento
hPap 10000 :
pT
1000 (2.14)
In un processo adiabatico essa rappresenta una grandezza conservativa che rimane costante con la quota.
Fig. 3.
Rappresentazione schematica di una trasformazione
adiabatica in atmosfera impiegando un sistema di assi
coordinati ( z, ).
In analogia con il concetto di temperatura virtuale vT , è possibile definire altresì la temperatura potenziale
virtuale v :
)608,01( qv (2.15)
che assume nuovamente il valore massimo nel caso della saturazione. Le differenze tra v e scompaiono
solo nel caso di aria secca.
Nel caso di aria umida, dalla (2.11 c) si evince che il termine varia in funzione del contenuto di vapore;
pertanto nel punto di coordinate p e T passeranno differenti adiabatiche in ragione del diverso valore di q .
Da quanto espresso in precedenza, evidenziabile analizzando le (2.11), è possibile comprendere che la
rappresentazione grafica di un processo adiabatico umido in un diagramma ( pT , ) risulterà essere non molto
differente da quella di un processo adiabatico secco ed in particolare risulterà leggermente meno inclinata, in
quanto T varia più debolmente (figura 3 bis).
z
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 17
Fig. 3bis.
Rappresentazione schematica della differenza tra una
trasformazione adiabatica secca (in celeste) ed una umida (in
rosso) impiegando un sistema di assi coordinati ( zT , ).
La piccola differenza termica esistente tra i due andamenti è facilmente ottenibile differenziando l’equazione
di Poisson rispetto alla variabile q . In tal modo, per la pressione di riferimento hPapp 10000 :
Kpq
ppT
mm
m
d
1,01000
ln07,0
1000100007,0)26,01(
Pertanto si può esprimere il concetto fondamentale per il prosieguo della trattazione che un processo
adiabatico secco approssima bene una trasformazione adiabatica umida.
E’ noto che quando una certa quantità di vapore contenuto in una massa d’aria condensa, viene liberata una
certa quantità di calore latente di condensazione (o evaporazione) el .
Si consideri quindi un processo isoentalpico (adiabatico ed isobarico) ideale di evaporazione da un
contenitore (isolato termicamente) riempito di aria avente temperatura iniziale T e contenuto di vapore q .
Si supponga quindi che, versando dell’acqua all’interno del contenitore, questa evapori sottraendo del calore
all’aria. La quantità di calore sottratto all’aria per evaporazione della massa di acqua a constT è:
e
v
e lmd
Q
Il calore (sensibile) ceduto dall’aria all’acqua è:
dTcmQ pp
In questo processo isoentalpico:
0
0
vep
ep
dmldTcm
la variazione della temperatura dell’aria è quindi:
)(2500
5,2
kgkgoggdq
kggdqdT
dqc
l
m
md
c
ldT
p
ev
p
e
L’evaporazione di un g di acqua determina la diminuzione della temperatura dell’aria di circa C5,2 .
z
T
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 18
Si definisce quindi temperatura equivalente quella temperatura che la massa d’aria umida assumerebbe in un
processo a constp se tutto il vapore condensasse, venendo eliminato con continuità, ed il calore latente
el servisse solamente per scaldare l’aria secca:
qTdTTTe 5,2 (2.16)
Nella trattazione formale di tutte queste trasformazioni è necessario prestare molta attenzione ai segni. Nel
caso di:
evaporazione, l’atmosfera cede calore latente raffreddandosi;
condensazione, l’atmosfera si scalda acquisendo calore latente.
Il processo appena descritto è tuttavia puramente ideale e fisicamente impossibile, poichè a constp ,
quando il vapore condensa:
la massa d’aria si scalda;
il punto di saturazione si allontana;
il processo tende ad arrestarsi.
Una trattazione più approfondita dei processi isoentalpici verrà sviluppata successivamente.
Entalpia, Energia Interna, Entropia dell’aria umida
Considerando l’aria umida come un sistema chiuso, nell’ipotesi di gas perfetto le classiche funzioni di stato
per unità di massa sono:
0
0
0
lnln spRTcs
hTch
uTcu
p
p
v
in cui:
)97,01()97,01(
)87,01()87,01(
)608,01(
rcqcc
rcqcc
Rqm
RmRmR
dvdvv
dpdpp
dvvdd
Nello studio delle nubi (di gocce d’acqua o cristalli di ghiaccio) si dovrà tener conto di sistemi eterogenei
chiusi in cui ciascuna fase è un sistema aperto.
Nell’ipotesi che la fase condensata sia l’acqua, l’entalpia è:
ve
mTmp
vwv
mTmp
dmldpp
HdT
T
H
dmhhdpp
HdT
T
HdH
,,
,,
)(
(2.17)
L’entalpia del sistema è la somma delle H dei componenti nelle due fasi:
wtevdd
wtwvvddwwvvdd
hmlmhm
hmhhmhmhmhmhmH )( (2.18)
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 19
con:
constmmm wvt massa totale della componente acquosa (vapore+liquido);
constmd
La (2.18) può essere riscritta come:
dmldTmcdmldTcmcmcmdH epewwpdpd vd)( (2.19)
in cui pmc rappresenta il valor medio del termine in parentesi.
A tale risultato si giunge considerando che per l’acqua, nell’ipotesi di gas perfetto:
0,,,,,, mT
v
mT
d
vp
mp
v
dp
mp
d
p
h
T
hc
T
hc
T
h
wvp ccc (differiscono poco tra le fasi liquida e solida):
w
mp
w cT
h
,
Per ottenere l’entalpia di ciascuno stato è necessario integrare la (2.19) scegliendo uno stato di riferimento in
cui specificare un determinato valore di T e vm . Per cui nello stato di riferimento 0H , 0T è la
temperatura allo stato in cui tutta l’acqua è nella fase liquida.
Si consideri ora un processo in cui il sistema assume la temperatura T e la massa vm diventa gassosa. E’
possibile utilizzare due strade:
1) far evaporare vm grammi di acqua a p , constT0 ;
riscaldare il sistema fino a T .
2) riscaldare aria secca +acqua fino a T ;
far evaporare vm grammi di acqua a constT .
Si avranno, in corrispondenza delle due strade riassunte di seguito, due espressioni diverse nella forma, ma
equivalenti nella sostanza:
dmTlTTcmHH ep )()( 000 (2.20 a)
vewtpd mTlTTcmcmHHd
)()()( 00 (2.20 b)
T0
dm
temp: T 1) vm T
aria secca: dm wm dm
vapor d’acqua: 0 T vm
acqua liquida: tm 2) dm wm
0
tm
Pertanto:
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 20
))(()()( 00 TTccTlTl mvpee
Si ricorda che el decresce di circa lo C%1,0 di incremento di T .
In tal modo dalla (2.20 b) è possibile avere:
constmTlTcmcmH vewtpd d)()( (2.21)
Nel caso di massa d’aria secca unitaria (pedice 1):
constrTlTcrcH vwtpd)()(1
dove:
d
tt
m
mr .
Se infine si ipotizzano:
piccoli i valori dei calori specifici del vapore e dell’acqua;
dt mm
el indipendente da T :
constrlTcconstqlTchH epep1 (2.22)
valide per i processi 1) e 2).
Analogamente ad H , si ottiene per l’energia interna U :
constrlTcconstqlTc
constrTRlTc
constqTRlTcuU
evev
vev
vev
)(
)(1
(2.23)
avendo trascurato TRv ( el%65 ).
Nel caso di S , non si può trascurare il contributo di p ai processi:
constT
rlpRTc
constT
qlpRTcsS
edp
edp
lnln
lnln1
(2.24)
Trasformazione adiabatica di aria satura.
Si è mostrato in precedenza come l’equazione di Poisson descriva i processi adiabatici reversibili in aria
secca e come le trasformazioni umide siano riconducibili, con buona approssimazione, a quelle secche.
E’ necessario pertanto determinare una relazione più generale, valida per l’aria satura, che possa ricondurre a
quella di Poisson nel caso secco.
Si consideri pertanto una massa d’aria per la quale:
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 21
arrm
m
m
m
m
m
mmmm
lw
d
l
d
w
d
lwd
111
ed in cui si sono definiti la fase liquida con il pedice l ed i rapporti di mescolamento acqua/aria:
lw
d
ll
d
ww
rra
m
mr
m
mr ;
Ipotizzando una trasformazione adiabatica (in cui anche i cambiamenti di fase rimangono interni alla massa
d’aria umida) e reversibile (come successione di stati di equilibrio), l’entropia S del sistema si conserva. È
possibile quindi pensare ad un sistema chiuso in cui una particella d’aria satura (nube) si espande (adiabatica
reversibile) e trattiene l’acqua che condensa (ciò è valido anche nel caso del ghiaccio).
Per le proprietà additive di S , è possibile sommare le entropie degli stati iniziali e finali delle tre fasi del
sistema:
lwd SSSS (2.25)
che verranno meglio dettagliate di seguito.
Nel caso di aria secca:
constpccTcmS
p
dpcc
T
dTcm
T
QdS
ddvdpdpdd
d
d
dvdpdpdd
d
]ln)(ln[
)(
Da cui risulta che l’entropia specifica è:
constpccTcs ddvdpdpd ln)(ln (2.26)
Nel caso di acqua liquida:
constTcmS
T
dTcm
T
QdS
lll
lll
l
ln
Da cui risulta che l’entropia specifica è:
constTcs ll ln (2.27)
Nel caso di acqua che abbia subito un cambiamento di stato nella fase di vapore saturo (è una trasformazione
reversibile dal vapore saturo all’acqua liquida):
T
lmsmSsmS e
wlwevaplww
Da cui risulta che l’entropia specifica è:
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 22
constT
lss e
lw (2.28)
Per una massa unitaria di aria secca la (2.25) diventa pertanto:
constSrsAs
constSsrsrs
constsrsrsS
evapwld
evaplwlld
wwlld
)(
da cui, definendo lo stato iniziale con il pedice i , si ottiene che:
iii evapiwldevapwld SrsasSrsas (2.29)
Introducendo le (2.26), (2.27) e (2.28) nella (2.29), si ha:
i
e
wilddvpip
ewlddvpp
T
lrTcapccTc
T
lrTcapccTc
i
iid
d
lnln)(ln
lnln)(ln
da cui si ottiene l’espressione per l’adiabatica satura esatta:
T
lr
T
lr
cacp
p
cac
cc
T
T ew
i
e
iw
lpd
d
lp
dvp
i
i
did)(
1ln
)(
)(ln (2.30)
in cui è facilmente individuabile la differenza con l’equazione di Poisson (2.12):
idp
vp
i p
p
c
cc
T
Tlnln
E’ possibile semplificare la (2.30) ipotizzando che:
ppd ;
inizialmente non sia presente acqua liquida: wl raca ;
132 101010
dpw cr .
Ottenendo l’espressione per l’adiabatica satura semplificata:
T
lr
T
lr
cp
p
c
cc
T
T ew
i
e
w
pidp
vp
i
i
i
d
1lnln (2.31)
Senza entrare nei dettagli si fornisce infine l’equazione approssimata per l’adiabatica satura che, nel caso in
cui 0wq , coincide con la (2.12):
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 23
p
dp
TRc
ql
qc
lT
dT
vp
we
w
p
e
2
2
1
(2.32)
Processi pseudoadiabatici
Le espressioni dell’adiabatica satura dipendono dai rapporti di mescolamento del vapor d’acqua wr e
dell’acqua lr che variano in funzione della concentrazione di acqua liquida per ogni sistema considerato. In
ogni punto del diagramma termodinamico, corrispondente ad uno stato definito di p e T , si ha un unico
valore di wr , ma lr è un parametro arbitrario del sistema che in un processo adiabatico dipenderà dal livello
di saturazione. Quindi, per ciascun punto del diagramma passa un numero infinito di adiabatiche sature
reversibili che differiscono per un termine dipendente dal contenuto di acqua liquida.
Per evitare ciò si è convenuto di utilizzare un processo di espansione pseudoadiabatico che definisce
univocamente queste curve. Questo è irreversibile in quanto aperto: l’acqua, appena condensata nel sistema,
viene eliminata istantaneamente.
Ciò implica che 0lm , da cui:
wlw rrra
Si ipotizza ora che il processo di condensazione ed eliminazione della massa di acqua ldm avvenga in due
fasi distinte:
espansione adiabatica satura reversibile e condensazione di ldm ;
precipitazione di ldm .
Nel primo passo, dalla (2.30), si ottiene un’espressione che rappresenta la variazione di T e p in un
processo pseudoadiabatico:
0lnln)(T
lrdpdRTdcac ew
ddldp (2.34)
Nel secondo non si ha variazione di T e p . La dipendenza funzionale del contenuto di vapore wr dalla
temperatura comporta che l’integrale della (2.34) assuma la forma:
constT
lrpRTdrcTc ew
ddwldp lnlnln (2.35)
Essendo il processo pseudoadiabatico irreversibile, nel caso si voglia invertire la trasformazione sarà
necessario ipotizzare l’introduzione, istante per istante, di una quota d’acqua che mantenga la saturazione.
Usando le stesse approssimazioni dei processi (isoentropici) adiabatici saturi reversibili si ottiene anche per i
processi pseudoadiabatici la (2.32). Si può quindi affermare che non c’è significativa differenza tra questi
processi e quindi, qualora non sia richiesta elevata precisione si calcolo (diagrammi termodinamici)
l’adiabatica satura corrisponde ad un processo pseudoadiabatico.
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 24
La temperatura pseudo equivalente, la temperatura pseudo equivalente potenziale, la temperatura pseudo
potenziale e la temperatura equivalente potenziale
Si supponga ora di sviluppare un ciclo in cui una particella d’aria, avente caratteristiche iniziali ( Tpr ;; ),
non si mescoli o non si disperda nell’ambiente circostante.
La particella si espande inizialmente secondo una trasformazione adiabatica secca dal livello di riferimento
p fino al livello di condensazione cp . La temperatura a cui avviene la condensazione è:
p
pTT c
c
Successivamente la particella si espande ulteriormente secondo una trasformazione adiabatica satura fino al
livello 1p . Si supponga inoltre che l’acqua prodotta nel processo di condensazione precipiti istantaneamente.
Le nuove caratteristiche del sistema sono ora ( 11;; Tprw ). Tale processo, definito come pseudo-adiabatico, è
ovviamente irreversibile. La temperatura assunta dalla particella d’aria è quindi:
11
1
1
1
11
T
lr
T
lr
cT
lr
T
lr
c
c
c
ew
c
ce
p
ew
c
ce
p ep
pTe
p
pTT
Il ciclo viene infine chiuso attraverso una compressione adiabatica secca della particella d’aria fino alla
pressione p . La temperatura finale risulta essere TT ':
1
1
1
1
' T
lr
T
lr
c
ew
c
ce
peTp
pTT
Nell’ipotesi in cui tutto il vapore venga eliminato attraverso la precipitazione (si pensi che 0wr in un
processo idealmente espandibile sino al livello in cui 0p ) si ha che la temperatura finale rappresenta la
temperatura pseudo-equivalente (''
peTT ). In tal modo:
c
ce
p T
lr
c
pe eTT
1
(2.36)
La temperatura peT differisce dalla eT in quanto la prima si ottiene per condensazione in un processo di
espansione adiabatica, mentre la seconda si ottiene per condensazione in un processo isobarico. Tale
differenza, tuttavia, è piccola. Infatti, ricordando lo sviluppo in serie di un esponenziale:
...!3
1
2
11 3322 xaxaaxeax
la peT diventa al primo ordine:
cp
e
c
e
p
peT
T
c
lrT
T
lr
cTT cc
11 (2.37)
In condizioni di aria quasi satura, cioè se la condensazione avviene per TTc :
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 25
e
p
e
p
e
pe Tc
lqT
c
lrTT cc (2.38)
in cui, avendo trascurato nel procedimento termini positivi, risulta sempre epe TT .
Qualora tale processo fosse sviluppato fino al livello di riferimento standard ( hPap 10000 ), si otterrebbe
l’espressione per la temperatura pseudo-equivalente potenziale pe i cui valori sono simili a quelli della
temperatura pseudo-potenziale p :
e
T
lr
cT
lr
c
pepepc
ce
pc
ce
p eep
pT
p
pT
11
00 (2.39)
in cui, avendo trascurato come nella (2.38) i termini positivi, risulta sempre epe .
La temperatura equivalente potenziale e , rappresenta quindi la temperatura che assumerebbe una massa
d’aria quando la temperatura equivalente venisse riportata alla pressione di riferimento mediante un processo
adiabatico secco:
p
pTee
0 (2.40)
Ovviamente per aria secca ( 0qr ):
p
Fig. 4.
Rappresentazione schematica di alcune temperature
di interesse.
In verde i processi adiabatici secchi.
In violetto l’adiabatica satura.
In tratteggio grigio, le diverse temperature riportate a
livello hPap 10000 .
Da notare come sia stata appositamente ampliata la
differenza tra pepe TT ,,, affinchè sia possibile
il riconoscimento grafico.
L’errore commesso in quest’ultima approssimazione è tanto maggiore quanto più si è in quota, ovvero
quanto minore è p , infatti:
p
pfep
0
p
pC
p
p0 TC T Te Tp e p T
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 26
Tornando ai concetti di eT e peT , si vuole ricordare che, cedendo alla massa d’aria calore latente di
condensazione a:
constp si ottiene eT ;
constp (decrescente) si ottiene peT .
Poiché il calore latente varia con T (e quindi con la quota), il calore totale ceduto a pressione variabile è
maggiore del calore latente ceduto constp .
E’ possibile infine concludere che:
la rappresenta una grandezza conservativa nel caso di trasformazione adiabatica secca;
in un processo di espansione adiabatica satura (pseudo-adiabatica) la aumenta a causa della cessione
di calore latente. In un processo di espansione in cui si produce condensazione, infatti, il contenuto di
vapore diminuisce, per cui sviluppando la (2.39), si ottiene:
0drT
ldc
c
e
pc
in una trasformazione adiabatica satura le grandezze conservate sono pertanto rappresentate dalle
epep .
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 27
BOZZA
0
1
2
3
4
5
6
7
-50 -40 -30 -20 -10 0
T (°C)
Pre
ssio
ne d
i vap
or
satu
ro
(acq
ua liq
uid
a e
gh
iaccio
)
ew (hPa) ei (hPa)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
T (°C)
Pre
ssio
ne d
i vap
or
satu
ro
(acq
ua liq
uid
a e
gh
iaccio
)
ew (hPa) ei (hPa)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
-100 -80 -60 -40 -20 0 10 20 30 40 50
T (°C)
Calo
re s
pecif
ico
cw (J/kg K) ci (J/kg K)
Travaglioni.F – Appunti di Termodinamica dell’atmosfera 28
Tabella dei calori latenti
Evaporazione = Condensazione: 11 2260539 kgKJkgKcal
Fusione = Solidificazione: 11 33580 kgKJkgKcal
Sublimazione = Brinamento: 11 2595619 kgKJkgKcal
Fig. mm
Rappresentazione schematica delle diverse curve di
umidità relativa a livello del mare in un diagramma (
rT , ). La curva in blu spesso rappresenta il valore di
saturazione (100%). Le altre tre curve in blu fino
indicano valori di 75%, 40% e 20%.
r Uw=1 50
40
30
20
10
0 0 10 20 30 40 T