TESI RIVISTA E COMPLETA - infn.it L' obiettivo della tesi è verificare che la sezione d' urto (1)...

Introduzione

1

INTRODUZIONE

Sin dalla concezione del modello a partoni è stata evidenziata l'importanza

dei jet nelle collisioni adroniche, ma la loro esistenza è stata dimostrata solo

nell' esperimento [1] all'acceleratore del CERN nel 1982-83. Essi possono essere

definiti come un certo numero di partoni le cui rapidità ed angoli azimutali (y,�

(cap. 3))sono in una piccola regione del piano (y,�). Si consideri la produzione di

jet nel seguente processo:

H + H → jet + jet + ��

mostrata nella figura seguente:

Esso è composto da due contributi: un contributo che descrive lo scattering

iniziale tra partoni, caratterizzato da una scala di 4-momento trasferito Q dura

(~10 GeV, quindi da brevi distanze, poiché λ= h/p e ħc ~ 0,2 GeV × fm, allora λ =

10 ² fm) dell' ordine dell' energia trasversa dei jet, e un contributo che descrive

invece come i partoni diffusi si separino dagli adroni da cui originano e come essi

adronizzino, caratterizzato da una scala ~Λ�� (quindi distanze λ ~ 1 fm.)

Introduzione

2

Il valore elevato del momento trasferito ai partoni permette di fare uso della

teoria perturbativa della cromodinamica quantistica (QCD). Parte del processo,

comunque, è di origine non perturbativa. Questa componente viene trattata

attraverso l' introduzione delle funzioni di distribuzione (PDF) dei quark e dei

gluoni.

Il teorema di fattorizzazione (Collins, Sofer Estermann,[2]) assicura che la

parte perturbativa possa essere separata da quella non perturbativa. Quest'ultima è

universale e quindi può essere estratto dai dati sperimentali.

Queste considerazioni portano a una sezione d'urto inclusiva che si può

scrivere come convoluzione del contributo perturbativo (sezione d'urto partonica)

con il contributo non perturbativo (funzioni di densità partoniche).

Richiedendo inoltre che i due jet del procedimento in figura abbiano energie

trasverse, E� (definizione cap. 3) elevate (E� >> ��) ma comparabili, e che tra

essi ci sia una netta separazione in rapidità, si avrà che il contributo perturbativo (la

sezione d'urto partonica) sarà descritto dalla dinamica BFKL.

Nei lavori [3], [4] di Bartels, Colferai, Vacca è stata ottenuta la sezione

d' urto differenziale del jet tramite l'azione della distribuzione S� (che seleziona le

configurazioni finali del jet) sulla sezione d'urto totalmente esclusiva:

�� = 12# $%2&)'('∞

)*+,-. − -0 − $ -1

)

1*+2 ×

× 4|ℳ.0→)|+7�ф)%-1 , … , -))

per il processo seguente:

(1)

Introduzione

3

che darà luogo alla sezione d'urto differenziale:

��: = ��;<��<�ф< = = �� <

In particolare sono stati calcolati i contributi NLO (Next To Leading Order)

fino all' ordine >?@ del processo in Fig.2 dimostrando che la sezione d'urto (1)

assume la forma fattorizzata seguente: correzione NLL (Next To Leading log s) al

fattore d' impatto del partone b, contributi LL (Leading log s) della regione centrale

e correzioni NLL al vertice del jet.

In conseguenza della fattorizzazione, i risultati per il vertice del jet possono

estesi a processi come quelli in Fig.1.

L' obiettivo della tesi è verificare che la sezione d' urto (1) nel limite in cui

non venga selezionato il jet nello stato finale e che lo stato iniziale sia puramente

partonico, si riconduca (per l'ordine considerato) alla sezione d' urto totale

partonica, come è definita, per esempio, in [3].

Il caso considerato è quello in cui le particelle a,b della Fig.1 siano:

a → quark

b → gluone.

Introduzione

4

La struttura della tesi è la seguente:

Nel capitolo 1 verrà descritta brevemente la teoria con la quale si descrivono

i processi soggetti all' interazione forte: la QCD

Nel capitolo 2 verrà mostrato come la QCD porti, in un particolare regime

cinematico, all' approccio BFKL, e come in questa descrizione la sezione d' urto

totale tra partoni assuma la forma fattorizzata: fattore d'impatto 1, funzione di

Green, fattore d' impatto 2. Ciò sarà fatto in approssimazione LL e seguendo

l'esposizione data nei testi [4], [5]. Seguiranno poi le generalizzazioni e la

descrizione dell' approssimazione NLL, secondo l' articolo[3].

Nel capitolo 3 si discuteranno prima i dettagli degli articoli [1], [2] e si

presenterà poi la verifica del limite:

sezione d' urto differenziale del jet

↓

sezione d' urto partonica totale

all' ordine >?@.

Capitolo 1: QCD

5

CAPITOLO 1: QCD

L’interazione forte è una delle interazioni fondamentali presenti in natura.

Le particelle che risentono della sua azione sono chiamate generalmente adroni:

barioni se fermioni, mesoni se bosoni.

Tutti gli adroni sono composti da particelle elementari: i quark. I sei tipi di

quark, distinti in base al numero quantico chiamato “flavour” sono organizzati, in

base alle analisi sulle loro interazioni elettrodeboli, nelle seguenti famiglie:

AB�C AD#C EFGH

La carica elettrica dei quark del rigo in alto è + +@ I, degli altri − J

@ I dove I è la

carica del protone.

La dinamica che governa le interazioni forti tra i quark è la cromodinamica

quantistica, essa è una teoria di gauge non abeliana, cioè i generatori del gruppo di

simmetria non sono commutativi (appartengono al gruppo %3)). ‘t Hooft,

Gross, Wilczek e Politzer [9] hanno dimostrato che essa gode della proprietà

chiamata libertà asintotica.

Questa proprietà permette di far uso della teoria perturbativa per analizzare

le reazioni a “short range”: (QCD perturbativa).

Una delle prime applicazioni della QCD fu lo studio della diffusione

elettrone-protone profondamente anelastica (DIS) per analizzare lo scaling delle

funzioni di struttura del nucleone (scaling di Bjorken [10]).

Mediante l’uso delle seguenti tecniche, OPE (Operator Product Expansion) e RGE

(Renormalization Group Equations), fu prevista una leggera discrepanza dello

scaling delle funzioni di struttura, che fu poi effettivamente verificata

sperimentalmente.

In corrispondenza alla descrizione mediante un campo di gauge i sistemi composti

da quark devono mostrare una ulteriore simmetria. Essa è descritta dal numero

quantico del colore.

Capitolo 1: QCD

6

Si assume che tutti i sistemi fisici osservabili siano singoletti della simmetria

di colore %3). Infatti, gli adroni, sperimentalmente, sono stati senza colore,

mentre i quark hanno numero quantico di colore non nullo.

Quindi la QCD ha la proprietà della libertà asintotica per interazioni a breve

distanza, e impone il confinamento dei quark per le lunghe distanze.

L’introduzione del numero quantico di colore permette di superare le

difficoltà seguenti dei primi modelli di quark:

• Costruzione della funzione d’onda dei barioni

• Mancanza di rilevazione sperimentale di quark isolati e predizione dei

dati sperimentali sulla sezione d’urto totale IL IM → N�OPQR e

decadimento &S → 2TS Come il fotone è il campo di gauge che media l’interazione elettromagnetica tra

particelle cariche, l’interazione di colore è mediata dal gluone, il campo di gauge

non abeliano della QCD. Esso è responsabile, per esempio, del legame dei quark

all’interno dei nucleoni. Mentre il fotone non è carico elettricamente, il gluone

trasporta carica di colore, quindi si hanno interazioni tra gluoni, anche in assenza di

quark.

Ulteriori riscontri sperimentali delle previsioni della QCD sono derivati dai

processi di annichilazione IL IM e dai decadimenti degli stati :/ψ e Υ . Usando la quantizzazione delle teorie di campo non abeliane sviluppata da

Faddeev, Popov [11] la lagrangiana della cromodinamica quantistica assume la

forma (per una sola specie di quark):

ℒ = ℒY + ℒYZ + ℒZ[ + ℒZ dove, il termine di gauge ℒY è dato da:

ℒY = − J\ ] _]`^_ , ] _ = a �_L` a_�^ + bc`0d�0�_d

il termine di “gauge fixing” è

ℒYZ = − J+e fa^ �^g+

Capitolo 1: QCD

7

la lagrangiana di Faddeev-Popov è

ℒZ[ = fa^ h`∗g �^ 0h0 ; �^ 0 = (`0a − bc`0d�d

e infine la lagrangiana per il campo fermionico è:

ℒZ = kl1fRT^�1m − �(1mg km

con

�1m = a (1m − Rb%n`)1m �^

I campi della lagrangiana sono i seguenti:

km campo fermionico R = 1, … … ,3

�^ campo di gauge N = 1, … … ,8

h` campo “ghost” di Faddeev-Popov N = 1, … … ,8

b è la constante di accoppiamento forte

n1m è il generatore di %3) nella rappresentazione fondamentale

%n`)0d = −Rc`0d nella rappresentazione aggiunta.

Capitolo 2: Dinamica BFKL

8

CAPITOLO 2: Dinamica BFKL

Diffusione Quark-Quark in LLA

L’uso della teoria perturbativa in QCD nel limite di grandi energie nel centro di

massa (~ s ) con quadrato del 4-momento trasferito % t = −ql 2 ) fisso, permette

di sommare contributi del tipo α n logn s ( leading ln s approximation (LLA)) dalla

sezione d’urto e porta alla nozione di Pomerone (Lipatov ’76; Kuraev, Lipatov,

Fadin ’76, ’77; Balitsky, Lipatov ’78, Lipatov ’86 [12]).

Si consideri lo scattering Quark-Quark con scambio di singoletto in LLA. Nel

centro di massa si pone:

%�q = �r = 0) p1 =

2,0,0,

2ss

p2 =

−

2,0,0,

2ss

I contributi all’ordine più basso implicano lo scambio di due gluoni e sono:

Gli altri danno termini sottodominanti in log s e si trascurano in LLA.

# = 2 tJ ∙ t+ F = v+ = 2>w ftJ ∙ t2g − v+ = >w# − v+

(2.1)

p1’

p2’

p1 p1

’

p2’

p2

k k - q

p1

p2

k k - q

Figura 1


9

Per calcolare le ampiezze dei due diagrammi conviene usare la relazione di

Cutkosky. Essa deriva dall’unitarietà della matrice S:

x = x = 1 scrivendo questa relazione in termini della matrice di transizione T (S = 1 + i T)

si ottiene:

% 1 − R nx ) % 1 + R n ) = 1

da cui:

R %nx − n ) = nx n

considerando l'elemento di matrice tra gli stati iniziale e finale e inserendo un

insieme completo di stati intermedi { }n al secondo membro, l'espressione

precedente si scrive:

R < c | fnx − n g| R > = $ < c z nxz Q >{)|

< Q| n| R >

da cui segue la regola di Cutkosky:

2 �� n1} = $ n})∗ n1){)|

Il contributo del primo diagramma avrà quindi la forma:

Im A(1) (s, t) =

(2.2)

(2.3) ))(,(),(21 2)0(2)0(

2 qksAksAd −Π +∫


10

dove:

=−−+=Π ∫∫ )()2()()()2()2(

'2

'121

422

213

24

31

4

2 pppphhhdhd

d δπδδππ

))(())(()2(

22

212

4

kpkpkd −−= ∫ δδ

π

e si rappresenterà come:

Usando la parametrizzazione di Sudakov:

⊥++= kppk 21 βα

il limite s >> 1, e le condizioni di mass shell dei quark derivanti dall’applicazione

della regola di Cutkosky si trovano le relazioni seguenti:

12

<<≅=s

kβα

22 kk −≅ 22 )()( qkqk −−≅−

(2.4)

p1,j

p2,ℓ

h1,m

h2,n

p’1,i h1,m

h2,n p’2,k

k , a k – q, b

(2.5)

(2.6)

(2.7)


11

222)( qqkk ≅−≅

kddds

kd 24

2βα=

∫∫∫ =

−

+=Π kd

ss

k

s

kkddd

sd 2

2

22

222 8

1

8

1

παδβδβα

π

Per calcolare il termine A(0) (s, t) rappresentato come:

usando di nuovo la parametrizzazione si Sudakov:

⊥++= qppq 21 βα

( )0,,0 qq =⊥

e considerando che le condizioni di mass-shell per i quark uscenti implicano:

( ) ( ) 0122

1 =−−−=− qsqp βα

( ) ( ) 0122

2 =−−=− qsqp βα

(2.8)

(2.9)

p 1,j

p 2,ℓ

q , a

p’1,i

p’2,k

a = 1, ... , 8

i, j = 1,…, 3

(2.10)

(2.11) > = −w


12

nel limite s >>t, si trova:

22 qq −≅

Sempre nell’approssimazione s>>1 si può usare il vertice iconale quark-gluone:

( ) ( ) µµγ 111 2 pigpuqpuig s−≅+−

ottenendo infine:

( )

t

sttA akl

aijsπα80 =

La regola di Cutkosky (2.3) quindi dà:

( )∫ −

=22

221

)()()(4),(Im

1. qkk

kdstttttsA kl

baij

bas

fig

α

usando:

( ) πiss −=− lnln

si otterrà:

( )∫

−

−=22

22

1.

1

)(ln)()(4),(

qkk

kd

t

sstttttsA kl

baij

bas

fig πα

da cui ponendo.

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16)

12

<<≅=s

qβα


13

( )22

2

22

)(4 qkk

qkd

Nt sc

−

−

= ∫παε

e introducendo il cut-off µ2 per la divergenza infrarossa:

( ) ( )

+−

+

−

= ∫ 2222

2

224 µµπ

αεqkk

qkd

Nt sc

si ottiene:

( ) ( )tt

s

t

stttt

NtsA kl

baij

ba

c

s

figεπα

−= ln)()(16

),(1.

1

La corrispondente ampiezza del secondo diagramma di Fig.1

sarà data, per la proprietà di crossing, da ( ) ),(1.

1 tsAfig

con us ↔ e i corrispondenti

fattori di colore.

Tenendo in considerazione che nel limite s>>1 vale us −≅

si troverà:

( ) ( )tt

s

t

stttt

NtsA kl

abij

ba

c

s

cfigεπα

+= ln)()(

16),(

rossing1.

1

quindi sommando i due contributi:

( ) [ ] ( )tttit

stt

t

stt

NtsA kl

bakl

baij

ba

c

s εππα

−

−= )(ln,)(

16),(1

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

(2.21)

( ) ),(crossingfig.1

1 tsA


14

Per estrarre da questo risultato il contributo al pomerone si deve estrarre il

contributo del singoletto, tramite l’operatore di proiezione:

PPPP ( )ll kij

c

ijk N

δδ11 =

si ricava quindi:

( ) ( )tt

s

N

NitsA

c

ckijs

kijεδδαπ 1

4),(2

2

,1

1 −=l

l

(2.22)

(2.23)

I contributi a due loop alla diffusione quark

seguente tipo:

Utilizzando ancora la regola di Cutkosky si dovranno considerare i diagrammi

precedenti con tutti i possibili tagli. Si ha la

diagrammi con i loop di auto energia e con correzioni ai vertici.

Si consideri la seguente classificazione:

diagrammi con emissione di un gluone reale:

quelli in cui la linea di taglio interseca i propagatori dei

diagrammi con correzioni virtuali radiative:

quelli in cui il taglio interseca solo propagatori dei quark.

a)

d)

g)

l)


Primo diagramma a scala

I contributi a due loop alla diffusione quark-quark derivano da


precedenti con tutti i possibili tagli. Si ha la possibilità di eliminare però tutti i

diagrammi con i loop di auto energia e con correzioni ai vertici.

Si consideri la seguente classificazione:

iagrammi con emissione di un gluone reale:

quelli in cui la linea di taglio interseca i propagatori dei

iagrammi con correzioni virtuali radiative:


b) c)

e) f)

h) i)

m) n)


15

quark derivano da diagrammi del


possibilità di eliminare però tutti i

quelli in cui la linea di taglio interseca i propagatori dei gluoni.



16

Esempi del I° tipo sono:

mentre del secondo tipo:

Si considerino i diagrammi del primo tipo. Si trova che la somma delle

ampiezze si può scrivere (tenendo in considerazione i limiti cinematici s >> |t| e

introducendo di nuovo la parametrizzazione di

⊥++= 121111 kppk βα

( )

( )s

s

pigk

ix

fk

ipigiA

222

2

21

132

2

2

−

−

−−=→

µρ

dove

+=Γ νµ

ρµν β

α2

21

112

22

s

kpp

è il vertice di Lipatov.

Si considerino i diagrammi del primo tipo. Si trova che la somma delle

si può scrivere (tenendo in considerazione i limiti cinematici s >> |t| e

introducendo di nuovo la parametrizzazione di Sudakov per i gluoni scambiati:

⊥++= 222122 kppk βα

( )

) bnl

samjabc

t

xkkgtf 21,Γρµν

( )

+−

++

⊥⊥

ρρρρ

αβ 212

1

22

21

2kkp

s

kp

;

Si considerino i diagrammi del primo tipo. Si trova che la somma delle loro

si può scrivere (tenendo in considerazione i limiti cinematici s >> |t| e

Sudakov per i gluoni scambiati:

(2.24)

(2.25)

Esso è non locale perché incorpora i propagatori dei gluoni emessi.

esso si rappresenta con un punto marcato nel

Facendo le stesse considerazioni per i diagrammi dall’altra parte del taglio, si avrà

che la parte immaginaria della somma di tutti i contributi dei diagrammi con

emissione di gluone reale saranno contenuti nell’espressione seguente:

( ) gtsAreale

−= ∫

)2(

2,Im ρσ

dove

( )4

14

532

1kdkdd =Π ∫∫ π

Graficamente i contributi con gluone reale all’ordine


Esso è non locale perché incorpora i propagatori dei gluoni emessi.

on un punto marcato nel vertice:




( ) ( )qkqkAkkAd −−Π +→→ 213221323 ,, σρ

( )( ) ( )( ) ( )( )221

222

2112 kkkpkpk −+− δδδ

Graficamente i contributi con gluone reale all’ordine >?@ sono rappresentati da:


17

Esso è non locale perché incorpora i propagatori dei gluoni emessi. Graficamente




sono rappresentati da:

(2.26)

(2.27)


18

Procedendo come nel caso di �%J), cioè tenendo conto che il limite # ≫ |F| implica:

1 ≫ >J ≫ >+

1 ≫ |w+| ≫ |wJ| �J+ ≃ −�lJ+, �++ ≃ −�l++, �J+ ≃ �++ ≃ vl+

Si otterrà il seguente risultato:

�� `��%+) %#, F) = +e�� −fF`�F`g1mfF0�F0g��c 0dc`�0�d� ×

× # ln A ?|�|C � �+ �lJ�+�l+ � rl�

�l �� l ��f�l � Mrlg� f�l � Mrg� +� �− J

�l ��f�l � Mrlg� f�l � M�l � g� − J�l ��f�� Mrg�f�l � M�l � g��

Si considerino adesso i contributi derivanti dalle correzioni radiative virtuali come

quelle nelle seguenti figure:

Usando per �%S) e �%J) le espressioni trovate precedentemente si può scrivere

�� 1��`��%+) %#, F) = J+ � � &+ �%J)%#, �++)�%S)x A#, f�+ − vg+C +

+ J+ � � &+ �%S)%#, �J+)�%J)x A#, f�J − vg+C

cioè

(2.32)

(2.33)

;

(2.28)

(2.29)

(2.30)

(2.31)


19

�� 1��`�%+) %#, F) = − ��e�� AF` F0C1m AF` F0C�� ×

× # ln A ?|�|C � �+ �lJ � �+ �l+ ×

x� � J�l ��f�l � Mrlg� f�l � M�l � g� + J

�l ��f�l � Mrlg�f�l � M�l � g� ��

Da queste espressioni, estraendo il contributo del singoletto e ricostruendo la parte

reale si ottiene:

�� J,��`��%+) %#, F) = 1+e�� A− ��MJ\ C (1m(�� # ln A ?

|�|C � �+ �lJ � �+ �l+ x

x� rl��l �� l ��f�l � Mrlg� f�l � Mrlg� −� � J

�l ��f�l � Mrlg� f�l � M�l � g� − J�l ��f�l � Mrlg�f�l � M�l � g��

�� J,�1��`��%+) %#, F) = 1�� e�� A− ��MJ\�� C (1m(�� # ln A ?

|�|C � �+ �lJ � �+ �l+ x

x� � J�l ��f�l � Mrlg� f�l � M�l � g� + J

�l ��f�l � Mrlg�f�l � M�l � g� ��

(2.34)

(2.35)

(2.36)


20

Ordini successivi e equazione BFKL

Generalizzando le considerazioni precedenti si trova che nel livello ad albero i

contributi con lo scambio di gluoni reali per lo scattering qq sono dati dal

diagramma seguente in cui vv → vv + Q gluoni:

con due vertici iconali alle estremità superiori e inferiori e con i punti scuri che

rappresentano i vertici di Lipatov.

Si trascurano i diagrammi con sezioni costituite dai seguenti

sottodiagrammi:


21

in quanto daranno contributi sottodominanti.

Il limite # ≫ |F| e le condizioni di mass-shell per i gluoni determinano quella che

viene chiamata “Multi-Regge” Kinematics:

parametrizzando i momenti dei gluoni scambiati secondo Sudakov:

�1 = >1tJ + w1t+ + �1� , R = 1, 2, … … … , Q + 1

Essa indica le condizioni:

1 ≫ >J ≫ >+ ≫ >@ … … … ≫ rl�?

1 ≫ |w)LJ| ≫ |w)| ≫ . . . … … ≫ rl�?

�lJ+ ≅ �l++ ≅ . … … . . ≅ �l)+ ≅ �l)LJ+ ≅ vl+

L’ampiezza sarà:

R�+→)L+��…�� = %−2Rb?)tJ �F1m� A− 1��C x

x b? c �`�0��μ�μ�¡� %kJ, k+) A− 1

��C x

x b? c �`�0��μ�μ�¡�%k+, k@) A− 1

��C x

x … … . … … … … … … … … … … … .. x

x b? c �`�£�0��μ�£�^�¡�%k), k)LJ) A− 1

��£�� C x

x %−2Rb?)t+ �£�F��£�

(2.37)

(2.38)

(2.39)

(2.40)

(2.41)


22

Si considerano adesso le correzioni radiative virtuali. Seguendo Lipatov’76,

Kuraev, Lipatov, Fadin’76 [12], l’effetto di queste correzioni è quello di

modificare il propagatore dei gluoni nel modo seguente:

M1�¤� → M1

�¤� EM?¤�¤� H¥ f�¤�g

dove

#1 = %�1MJ − �1LJ)+ ≅ e¤¦�e¤ f�l1 − �l1LJg+

quindi

1

�¤� E− ?¤�¤�H§ f�¤�g ≅ E− 1�¤�H Ae¤¦�e¤ C§ f�¤�g

e è dato da

¨f�1+g = �� e�\�� + ℎl M�l ¤�ª« � Aª« M�l ¤ C�

Un gluone con un propagatore (gauge di Feynman)

�^_f#1 , �1+g = M1q¬�¤� E ?¤�l � H§ %�)

Prende nome di gluone reggeizzato (si indica con un asterisco sul propagatore).

La parte immaginaria dell’ampiezza calcolata con la regola di Cutkosky si

rappresenta come:

(2.42)

(2.43)

(2.44)

(2.45)

(2.46)


23

e sarà data da:

�� %#, F) = J+ %−1))b®�¯�b®�¯� … … b®�¯� x

x � � Π)L+ �+→)L+®�…®� %�J, … … , �)) �+→)L+¯�…¯� %�J − v, … … , �) − v)

dove

� Π)L+ = ?�£�+�£�%+�)��£� � ∏ ²�>1�w1�+�l1³)LJ1*J

x ( f– wJ%1 − >J)# − �lJ+g( f>)LJ%1 + w)LJ)# − �l)LJ+ g x

x ∏ ( Ef>m − >mLJgfwm − wmLJg# − f�lm − �lmLJg+H)m*J

(2.47)

(2.48)


24

Si trova infine (a parte un fattore J

�� (1m(��):

�� J%#, F) = J+ ∑ 4#+·)*S b?\ A��MJ

\�� C � � Π)L+ x

x J

�l ��f�l � Mrg� A Je�C§ f��gL § %%��Mr)�)

x

x ∏ ¸ q��l ¤£�� A�l ¤£�MrlC� %−2�d) ¹f�l1 , �l1LJg�)1*J x

x �A e�e¤£�C§ f�¤£�� gL§ %%�¤£�Mr)�)º

dove ¹f�l1 , �l1LJg è dato da

¹f�l1 , �l1LJg = �vl+ − �l ¤�A�l ¤£�MrlC�

A�l ¤ M�l ¤£�C� − �l ¤£�� A�l ¤ MrlC�

A�l ¤ M�l ¤£�C� �

Per determinare l’espressione precedente se ne calcola prima la trasformata di

Mellin, definita come:

cJ%», F) = � � A ?|�|C A ?

|�|CM¼MJ ½¾¿�%?,�)?

·J

da cui l’antitrasformata è:

½¾¿�%?,�)

? = J+�1 � � » A ?

|�|C¼ cJ%», F)dL1·dM1·

L’uso della trasformata di Mellin permette di scrivere:

(2.49)

(2.50)

(2.51)

(2.52)


25

cJ%», F) = %4&>?)+ A��MJ\�� C ∑ � ∏ À��l ¤ %+�)�)LJ1*J·)*S

x � J�l ��f�l � Mrlg�

J ¼M¥ f��gL¥ %%��Mr)�) � f−2>?�d g¹f�lJ , �l+g

x � J�l ��f�l � Mrlg�

J ¼M¥ f��gL¥ %%��Mr)�) � f−2>?�d g¹f�l+ , �l@g

x … … … … … … … … … … … … … x

x � J�l �£�� f�l �£�Mrlg�

J ¼M¥ f��£�� gL¥ %%��£�Mr)�) � f−2>?�d g¹f�l) , �l)LJg

L’ultima espressione si può scrivere come relazione ricorsiva:

cJ%», F) = %4&>?)+ A��MJ\�� C � À��l

%+�)�ℱ�%¼,�,« rl)�l � %�l Mrl)�

dove

ℱJf», �,« vlg �» − ¨ f−�l+ g − ¨ A−f�l − vlg+C� =

= 1 − �� e�+�� +ℎ �%�l ,ª« )ª«� %ª«Mrl)� ℱJ%», ℎ,« vl)

Questa è l’equazione BFKL per il singoletto. Introducendo la funzione

]f», �,« �′,lll vlg definita attraverso:

ℱJf», �,« vlg = � À��l � �l �� l+ ]f», �,« �′,lll vlg

(essa è in relazione con cJ%», vl+) tramite l'espressione

cJ%», vl+) = %8&+>?)+ A��MJ\�� C � À��l

%+�)� � À��l � %+�)�

Z%¼,�,« �Ã,llllrl)�l ��%�l Mrl)� )

(2.53)

(2.54)

(2.55)

(2.56)

(2.57)


26

l’espressione (2.55) si scrive

�» − Ä f−�l+ g − Ä A−f�l − vlg+C� ]f», �,« �′,lll vlg =

= (+f�l − �Ã« g − �� e�+�� +ℎ Å%�l ,ª« )�l � %ª«Mrl)� ]f», ℎ,« �Ã,llll vlg

Usando

� À�ª«ª«� %�l Mª«)� = 2 � À�ª«

%�l Mª«)�Æª«� L%�l Mª«)� Ç

� À�ª«%ª«Mrl)�%�l Mª«)� = 2 � À�ª«

%�l Mª«)�È%ª«Mrl)�L%�l Mª«)� É

Si ottiene la forma standard per l’equazione BFKL:

» ]f», ℎ,« �Ã,llll vlg = (+f�l − �Ã« g

+ �� e�+�� +ℎl Ê Mrl�%ª«Mrl)��l � ]f», ℎ,« �Ã,llll vlg�

+ J%ª«M�l )� �]f», ℎ,« �Ã,llll vlg − �l � Zf¼,�,« ��,llllrlg

ª«� L%�l Mª«)� � �+ J

%ª«M�l )� �%�l Mrl)�ª«� Z%¼,ª,« �Ã,llllrl)%ª«Mrl)��l � − %�l Mrl)�Z%¼,�,« �Ã,llllrl)

%ª«Mrl)�L%�l Mª«)� �Ë

L’antitrasformata di Mellin della soluzione di questa equazione

]f#, �,« �Ã,llll vlg = J+�1 � � » A ?

|�|C¼ ]f», �,« �Ã,llll vlgdL1·dM1·

dà la parte immaginaria dell’ampiezza di scattering

½¾¿�%?,�)

? = %8&+>?)+ A��MJ\�� C � À��l

%+�)� � À��l � %+�)�

Zf?,�,« ��,llllrlg�l ��%�l Mrl)�

(2.58)

(2.60)

(2.59)

(2.61)

(2.62)

(2.63)


27

L’equazione BFKL diventa, per il valore trasferito del momento t=0

» ]f», �,« �Ã« g = (+f�l − �Ã« g + �� e�� À�ª«%�l Mª«)� x

x �]f», ℎ,« �Ã« g − �l �ª«� L%�l Mª«)� ]f», ℎ,« �Ã« g�

che si può scrivere nella forma

» ]f», �,« �Ã« g = (+f�l − �Ã« g + � �+ℎl Ìf�l, ℎlg]f», ℎ,« �Ã« g

dove

Ìf�l, ℎlg = 2 Ä f– �l+ g (+f�l − ℎlg + �� e��J

%�l Mª«)�

kernel kernel virtuale kernel reale

(2.64)

(2.65)

(2.66)


28

Soluzione dell'equazione BFKL per t=0

La soluzione dell’equazione BFKL per t=0 è data da (dopo aver fatto

l’antitrasformata di Mellin):

]f#, �,« �Ã,llll vlg = JÍ+��Î��l � �l �� J

Í�)%Ï/�l � ) x E ?

�l � H exp �− �)�%�l � /�l ��)+Î�� )%?/�l � )�

dove

Ò = �� e�� 4 ln 2 ; ÒÃ = �� e�� 28 Ó%3)

Sostituendo nell’espressione dell’ampiezza e considerando che per il singoletto

domina la parte immaginaria, cioè essa si può considerare puramente immaginaria,

si trova (in LLA):

�J%#, 0) = %8&+>?)+ A��MJ\�� C (1m(��R# � À��l

%+�)� � À��l � %+�)�

Zf?,�,« ��lllg�l ��%�l Mrl)�

Dall’ultima espressione, utilizzando il teorema ottico, si può derivare la sezione

d’urto totale per lo scattering quark-quark:

�FPFvv = 1# ��1%#, F = 0) = 4>#2 E�D2−14�D2 H � �2�« �2�«′ ]E#,�,« �′« H

�«2 �«′2

che può essere scritta come:

(2.67)

(2.68)

(2.69)

(2.70)

(2.71)


29

�FPFvv = 4>#2fb2g2 � ΦqΦq ] E#, �,« �′« H

dove ΦÕ = b+ Í��MJ\�� definisce il fattore d’impatto all’ordine LLA del quark.

Il processo può essere schematizzato come indicato in figura:

Ottenere l’espressione (2.72) era l’obbiettivo del presente paragrafo. Essa mostra

come all’ordine LLA l’ampiezza per lo scattering qq abbia la struttura:

ÖPQ×PØBÙRPQI �R , ]NFFPOI �ÃR�tNFFP tNOFPQI Ú ]BQÙRPQI �R ÛOIIQ Ú cNFFPOI �ÃR�tNFFP tNOFPQI2

Questa forma verrà conservata anche all’ordine NLLA come si mostra nel

paragrafo seguente.

(2.72)

ΦÕ

ΦÕ

]%#, ¹,« ¹Ãlll)

Ampiezza

Scattering

qq


30

Generalizzazioni e correzioni NLLA

Generalizzando l’espressione della sezione d’urto totale allo scattering elastico di

due particelle AB→AB con lo scambio dei numeri quantici del vuoto nel canale t,

si ottiene [4]:

��Ü%#) = ��Ü�Ü#

con

��Ü%#) = � � »2&R 1%2&)�−2D+R∞D−R∞ � ��−2v«�⊥��−2v«Ü⊥ A ##0C»

x ßàArlá C

rlá� â¼ %vl¿ , vlã ) ßäAMrlå Crlå�

dove le integrazioni sono fatte sui momenti trasversi e lo spazio-tempo si considera

a � = 4 + 2ℰ dimensioni %ℰ > 0)

inoltre â¼ è la funzione di Green che soddisfa l’equazione

» â¼fvlJ , vl+ g = (%'M+)fvlJ − vl+ g

+ = �'M+qç Ì AvlJ , vçllllC â¼ Avçllll, vl+ C

mentre il kernel Ì è dato da

ÌfvlJ , vl+ g = 2» %vlJ+)(%'M+)fvlJ − vl+ g + ÌèfvlJ , vl+ g

con:

(2.73)

(2.74)

(2.75)

(2.76)

(2.77)


31

Ì� = ℊ+�%2&)'MJ 2fvlJ − vl+ g+

dove N è il numero dei colori (per %�), � = 3), mentre »%J) è la traiettoria di

Regge del gluone ed è stata regolarizzata attraverso il metodo di regolarizzazione

dimensionale invece che con l’introduzione del cut-off (come fatto nel paragrafo

precedente):

»%J) f−vl+ g = − ℊ��%\�)�£ℰ +

ℰ fvl+ gℰ ê�%JLℰ)ê%JL+ℰ) Γ%1 − ℰ)

Φìfvl¿ g è il fattore d’impatto della particella A

Φìfvl¿ g = Jí�î�MJ ∑ zΓ¿ï¿ð z+¿ï,ñ

con

Γ¿ï¿1 = ℊ < �òzT1 z� > Γ¿ï¿

In LLA si conserva l’elicità’ delle particelle diffuse così che:

Γ¿ï¿ = (Î¿ï , (Î¿

Mentre l’approssimazione LLA considera la risommazione dei termini

>?)ØQ)# l’approssimazione next-to-leading logarithmic (NLLA) considera nella

risommazione tutti i contributi del tipo >?)LJØQ)#

Come per l’approssimazione LLA anche per l’approssimazione NLLA si

utilizza la reggeizzazione del gluone per calcolare le ampiezze che contribuiscono

attraverso la regola di Cutkosky.

(2.78)

(2.79)

(2.80)

(2.81)


32

In MRK considerare le correzioni NLLA corrisponde a calcolare i contributi

a due loop »%+)%F) alla traiettoria di »%F) del gluone e calcolare le correzioni a un

loop dei vertici reggeone-reggeone-gluone e ai fattori d’impatto. Ma in NLLA,

però, MRK non e’ la sola cinematica possibile, perché le condizioni di

ordinamento forte:

1 ≫ >J ≫ >+ ≫ >@ … … … ≫ rl�?

1 ≫ |w)LJ| ≫ |w)| ≫ . . . … … ≫ rl�?

non valgono più. E’ possibile che si abbia una qualsiasi coppia di particelle

prodotte con momenti longitudinali dello stesso ordine.

Questa cinematica prende il nome quasi-multi-regge kinematics (QMRK). Essa

porta ad includere, oltre alla produzione di un gluone, nella collisione reggeone-

reggeone, anche la produzione di coppie gluone-gluone e quark-antiquark.

Inoltre deve essere modificato il vertice reggeone-particella includendo la

possibilità di produzione di particelle nella regione di frammentazione della

particella iniziale.

Quindi la sezione d’urto totale continua a mantenere la forma (2.74) ma in

essa cambiano i fattori d’impatto:

Φì%S)fvl¿ g → Φì%S)fvl¿ g + Φì%J)fvl¿ g

in cui vanno incluse le correzioni radiative e la produzione di particelle nella

regione di frammentazione della particella iniziale.

La funzione di Green continua a soddisfare l’equazione (2.75) con il kernel

che mantiene la stessa forma (2.76) della LLA. Però la traiettoria di regge del

gluone è data da:

(2.82)

(2.83)

(2.84)


33

»%F) = »%J)%F) + »%+)%F)

dove »%+)%F) è dato in 67-66 di Fadin [4], mentre la parte legata ai contributi

derivanti dalla produzione di particelle reali, cioè Ì�fvlJ , vl+ g tiene in

considerazione, adesso, che nella collisione reggeone-reggeone si possono

ottenere:

un gluone, due gluoni, una coppia quark-antiquark, quindi il kernel sarà:

Ì�fvlJ , vl+ g = ÌôôYõ)�M�õõ�fvlJ , vl+ g + ÌôôYY0õ�) fvlJ , vl+ g + Ìôôööl0õ�) fvlJ , vl+ g

dove i termini del secondo membro sono dati, rispettivamente nelle (83), (106),

(108) di Fadin [4].

I capitoli successivi saranno dedicati alle correzioni NLLA ai fattori

d’impatto.

Capitolo 3: Dettagli del lavoro

34

CAPITOLO 3: Dettagli del lavoro

Uno dei modi per verificare sperimentalmente i risultati della teoria BFKL

consiste nella misura dei JET nella collisione adrone-adrone e nel DIS (Deep

Inelastic Scattering).

Il primo processo è raffigurato dal seguente diagramma:

e i jet prodotti prendono il nome di Mueller-Navelet jet.

Il secondo processo si rappresenta come:

(Fig. 3.1)

(Fig. 3.2)


35

il jet prodotto prende il nome di forward jet.

I dati ottenuti indicano la necessità di aumentare l’accuratezza delle

previsioni teoriche fino a considerare i contributi NLLA. Questo comporta che si

debbano conoscere non solo le correzioni NLLA al Kernel ma anche ai fattori

d’impatto del fotone e del vertice dei jet.

Lo scopo dei lavori di Bartels et al. è quello di calcolare al livello NLL i

vertici dei jet originati dai quark e dai gluoni. Ciò si ottiene dallo studio della

sezione d’urto del processo: (per la tesi partone ≡ gluone)

v + tNOFPQI → v + ÷ + øIF

all’ordine >?@ nel limite di alte energie, considerando oltre ai contributi LL (quindi

>?@ log A ??ûC ), anche i termini costanti in s all’ordine >?@. La sezione d’urto si

scriverà come prodotto del fattore d’impatto del quark q all’ordine NLL, di un

termine che contribuirà all’ordine LL allo sviluppo BFKL e delle correzioni NLL

al vertice del jet. Il vertice ottenuto potrà poi essere usato come vertice del

“forward jet” e dei jet di Mueller-Navelet.


36

Notazioni e definizione di operatore di selezione del jet

Si consideri quindi il processo indicato in figura in cui un adrone H

interagisce con un quark q e nello stato finale viene rilevato il jet della direzione

dell’adrone iniziale H

usando le coordinate “del cono di luce”

t^ = %tL, tM, tü) ; t± = %tJ ± t@)/√2

(quindi t ∙ v = tLvM + tMvL − tü� ∙ vl� ⇒ t+ = 2tLtM − tü�+)

poniamo:

t. = EÍ ?+ , 0, 0lH

t0 = EÍ 0, ?+ , 0lH

# = %-. + -0)+

(Fig. 3.3)

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)


37

Introducendo la rapidità �, nel centro di massa del sistema adrone-quark, definita

come:

� = J+ ØQ �L[�

�M[�

da cui

�� = FNQℎ�

t� = |tü�| #IQℎ� � = |tü�| DP#ℎ�

un 4-vettore generico espresso mediante le componenti del cono di luce si scriverà:

t = %tL, tM, tü�) = A�L��√+ ,

�M��√+ , tü�C =

= A|tü�| ð��L?�)ª �√+ , |tü�| ð��L?�)ª �

√+ , tü�C = A|tü�| ��

√+ , |tü�|�¦�√+ , tü�C

e nel limite × ≪ 1 %vBRQ�R � ≅ �, t� ≅ �×�) � si riduce alla velocità della

particella.

Definendo inoltre l’energia trasversa come:

� ≡ |tü�|

la particella i-esima sarà parametrizzata come:

t1 = �1 A��¤√+ ,

�¦�¤√+ , �1C

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)


38

dove �1 è il vettore unitario azimutale

�1 // tü1

Poiché il jet consiste di un certo numero di partoni le cui rapidità �1 e i cui angoli

azimutali �1 definiscono una regione nel piano %� �1) si definiscono �< , �l<

come i centri di queste regioni.

Si definisce quindi, per il processo N + G → v + R + øIF con:

t< ≅ �< A��¤√+ ,

�¦�¤√+ , �1C

e

� ≡ f-. − -<g+

il limite di alte energie

�<+cR##P, F cR##P; # → ∞

con

�<+~− F ≫ Λöñ'+

Queste condizioni permettono di considerare i partoni dell'adrone H a massa nulla

e collineari con esso:

t�`��õ)� = Ú t. = EÍ ?+ , 0, 0lH

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

(3.18)


39

Inoltre le stesse condizioni danno luogo, come visto nel capitolo 2, alla

dinamica descritta dalla teoria BFKL in cui la sezione d’urto totale può essere

fattorizzata secondo la (2.74) sia nel limite LL che in quello NLL.

Si definisce la distribuzione del jet < in modo che essa selezioni gli stati

finali con una data configurazione delle variabili di jet. Data quindi la sezione

d’urto totalmente esclusiva

�� = J+? ∑ %2&)' (' %t. + t0 − ∑ t1)1*+ ) 4|ℳ.0→)|+7·)*+ x

x ��) %tJ, … … , t))

dove � = 4 + 2ℰ sono le dimensioni dello spazio-tempo, ��) è lo spazio delle

fasi delle n particelle finali.

L’azione di < sarà, secondo quanto detto:

À¯À< ≡

À¯À� À� À� = � �� <

Poiché si considera la sezione d’urto tra un adrone e un partone, essa sarà data

dalla convuluzione della corrispondente sezione d’urto partonica ��` con la

funzione densità di distribuzione (PDF) c . Delle due solo la prima costituisce un

termine calcolabile perturbativamente.

Ciò è giustificabile se le singolarità infrarosse derivanti dalla presenza di

particelle a massa nulla possono essere riassorbite dalla ridefinizione delle PDF.

La convoluzione è:

�� = ∑ � �Ú ��JS`∈. %Ú) c%S)%Ú)

(3.19)

(3.20)

(3.21)


40

dove Ú = [�£[�£ è la frazione d’impulso longitudinale dell’adrone trasportata dal

partone N, c(S) sono le PDF all’ordine più basso.

Secondo la definizione si < la sezione d’urto del jet è data quindi da:

��: =$ = �Ú ��0`

¯%Ú) #< %Ú) c%S)%Ú)

(3.22)


41

Vertice del jet all'ordine più basso

Un primo risultato di Bartels et al. è costituito dal vertice per il jet all’ordine

in cui non sono presenti loop, cioè la sezione d’urto tra partoni che ha come

contributo dominante lo scambio di un quark nel canale-t. Poiché il jet che si

considera è quello che si origina dall’adrone, e i due partoni tra cui avviene la

diffusione si muovono inizialmente in direzione opposte, si identifica il momento

del jet con quello della particella 1 in fig.(3.4).

Si pone:

� = tJ − t = −Ù t + »t + �� ; �� = %0, 0, �)

# ≡ %t` + t0)+ = Ú#

sarà [13]

�� 0%S) = ℎ0%S) f�gℎ%S)f�g�� ; �� ≡ ��+L+ℰ

(Fig. 3.4)

(3.23)

(3.24)

(3.25)


42

dove i fattori d’impatto all’ordine ℎS sono dati da:

ℎ1(S)f�g = � ñ¤�� ; � = +�£ℰ e�^�ℰê%JMℰ)í��MJ %R = N, G)

Ö1 = ¸ ��¦�� r�`��

ñá*�� q��õ)1 �

>? = >?%S) ≡ q�^�ℰ ê%JM ℰ)%+�)%�£ ℰ)

Dalle considerazioni cinematiche fatte prima segue che la funzione di distribuzione

del jet per due particelle nello stato iniziale è data:

<%+) %tJ, t+, t, t) = f�J − �<g f�J − �<g + f�J − �<g

che diventa, in funzione delle variabili indipendenti ¹ , Ú

<%+) f�; Úg ≡ <%+) %-J, -+, - , -0) = A1 − � � C %� − �<) �<JL+ℰ

dove

Ú< ≡ � �� √?

Usando queste espressioni si può scrivere la sezione d’urto inclusiva per il jet

usando la (3.22):

À¯(û)À< = ∑ � �Ú � ��` ℎ0%S) f�gℎ%S)f�g <%+) f�, Úg c%S)%Ú)

(3.26)

(3.27)

(3.28)

(3.29)

(3.31)

(3.30)

(3.32)


43

Raccogliendo i termini <(+) f�, Úg ℎ%S)f�g come vertice del jet �%S) f�, Úg si avrà:

À¯%û)

À< = ∑ � �Ú � ��` ℎ0%S) f�g�%S) f�, Úg c%S)%Ú)

Nel corso della tesi si dimostrerà che la precedente sezione d’urto inclusiva

si riduce, nel caso in cui non si selezioni il jet, alla sezione d’urto totale ottenibile

dallo sviluppo (2.74) con i fattori d’impatto � considerati al primo ordine e la

funzione di Green ottenuta senza iterazioni dell’equazione ricorsiva (2.75).

(3.33)


44

Fattorizzazione della sezione d'urto del jet nell'analisi ad un loop

Per l’analisi ad un loop della sezione d’urto del jet, nell’articolo di Barteles

et al. si parte dall’approssimazione LL del processo di scattering: Partone-Partone

indicato in Fig. (3.5).

In questa approssimazione gli stati finali che danno contributi dominanti

corrispondono alla MRK (eq. (2.38),(2.59),(2.40) come detto al capitolo 2) che in

termini delle rapidità e delle energie trasverse può essere espressa come:

�J ≫ �@ ≫ �+

�J ∼ �@ ∼ �+

Le particelle sono individuate dai numeri nel senso indicato in Fig. (3.5).

Introducendo i 4-momenti trasferiti nella parametrizzazione di Sudakov:

� ≡ t0 − t+ = −» t` + » t` + �� ; �� = %0, 0, �)

�Ã ≡ tJ − t` = −Ù t` + Ù t0 + ��Ã ; �� = %0, 0, �Ã)

(Fig. 3.5)

(3.34)

(3.35)


45

Le (3.34) diventano:

» ∼ Ù ≪ » ∼ Ù ≪ 1

��Ã� ∼ �� − �Ã� ∼ z�z

Si trova quindi:

�� 0%J) = >? ℎ0%S) f�g ℎ%S) A�ÃC ��%S) A�, �ÃC log ??û + DP#FNQFI� ��Ã

(dove #S è la costante di scala delle energie che all’ordine LL non ha conseguenze

fisiche, sarà rilevante invece per le correzioni NLL).

Dove il kernel del LL BFKL è

Ì%S)f�l, �Ã« g = Ì%S,��)f�l, �Ã« g + Ì%S,��è !��)f�l, �Ã« g

e le sue parti derivanti da contributi reali e virtuali sono:

Ì%S,��) = �à �J

�ℰf�l M��lllg� ; &ℰ = &+Lℰ"+ℰГ%1 − ℰ)

Ì%S,��è !��) = 2ω%J)f�lg(+L+ℰf�l − �Ã« g

ω%J)f�lg ≡ FONRIFFPORN �R �IbbI �IØ bØBPQI N BQ ØPPt

in conformità all’analisi BFKL a livello LL trattata al capitolo 2.

A partire dall’espressione Eq. (3.37) con considerazioni cinematiche simili a

quelle usate nel paragrafo precedente si può definire la sezione d’urto del jet.

Infatti a causa dell’ordinamento forte in rapidità, il forward jet prodotto dall’adrone

potrà avere come 4-momento solo:

-< ∼ -J

e quindi la distribuzione <%@) per tre particelle nello stato finale si riduce a:

<%@) → <%+) del paragrafo precedente.

(3.36)

(3.37)

(3.38)

(3.39)

(3.40)

(3.41)

(3.42)


46

Quindi la sezione d’urto a livello LL sarà:

À¯%�,%%)À< = >? ∑ � �Ú ∫ �� Ã` ℎ0(S)f�gÌ(S)f�l, �Ã« g ØPb &�

�û x

x �(S) A�Ã, ÚC c%S)(Ú)

dove, come nel paragrafo precedente:

�(S) f�, Úg = ℎ`(S)f�g <%+) f�, Úg

Il calcolo delle correzioni all’ordine >?@, non logaritmiche, della espressione

precedente permette di ottenere il vertice del jet al’ordine NLL.

Le correzioni derivano dai contributi costanti nello sviluppo perturbativo a

un loop dei termini seguenti:

ℎ = ℎ(S) + >?ℎ%J) � = �(S) + >?�%J) c = c(S) + >?c%J)

che forniscono la generalizzazione seguente della Eq. (3.43):

À¯À< = >? ∑ � �Ú ∫ �� Ã` ℎ0f�g âfxs, �l, �Ã« g � A�Ã, ÚC c %Ú)

(3.43)

(3.44)

(3.45)

(3.46)


47

con

âfxs, �l, �Ã« g ≡ (f�l − �Ã« g + α� Ì%S)f�l, �Ã« g ØPb &)�û

che sviluppata darà il termine seguente come contributo a un loop:

À¯(�)À< = >? ∑ � �Ú ∫ �� ` *��Ã �ℎ0(S)f�g Ì%S)f�l, �Ã« g ØPb &�

�û �%S) A�Ã, ÚC c %Ú)�+� + ℎ0%J)f�g �%S) E� , ÚH c%S)(Ú)+ ℎ0%S)f�g �%S) E� , ÚH c%J)(Ú)+

�+ ℎ0%S)f�g �%J) E� , ÚH c%S)(Ú)Ë

ℎ`(J)f�g indica il fattore d’impatto calcolato all’ordine NLL [(13),(14),(15)], c(J) indica le correzioni alle PDF che consistono nelle funzioni di splitting di Altarelli

Parisi:

c(J)(Ú,"Z+) ≡ J+�ℰ A

^+�^�C

ℰ ∑ � À,, � - d

J� (-) cd%S) A�,C` =

= J+�ℰ A

^+�^�C

ℰ ∑ - d ⨂ cd%S)`

�(J) indica il jet vertex all’ordine NLL.

(3.47)

(3.48)

(3.49)


48

Correzioni virtuali a un loop

Le prime correzioni ad essere calcolate sono date dai contributi virtuali.

Nel caso di diffusione tra partoni:

v b

si avrà [16]:

��rq�1��`� = >? � �Ú ∫ �� ℎr(S)f�g x

x �2»(J)f�g ØPb &�� + ∏ f�gr + ∏ f�gq � ℎq%S)f�′g

dove >? è stata definita in Eq.(3.30) e AℎqMr(S) C in Eq.(3.26), il primo termine

costituisce il contributo LL alle correzioni virtuali ed è dato dal prodotto del

logaritmo per la parte virtuale del kernel (a parte la s) si ha:

ω(J)f�lg = − �à �J

+ℰГ^�%JLℰ)ê(JL+ℰ) E��

^�Hℰ

Si noti inoltre che nell’espressione (3.30) è stata fatta una scelta precisa per la

costante di scala dell’energia, cioè

Ì%S,��è !��)f�l, �Ã« g log ?�� = 2ω(J)f�lg #f�l − �Ã« g

� sS = z�lz z�Ã« z

La scala di energia non potrà essere modificata perché si aggiungerebbe una

costante che cambierebbe i contributi NLL.

(3.50)

(3.51)

(3.52)


49

Essi sono costituiti dalle espressioni

∏ f�gr = E��^�Hℰ �− JJ/îM+/0J+�

Jℰ + A12

@3 + ��\ C ñá� − 2

J1�4� − A J

ℰ� − @+ℰ + 4 − ��

3 C ñá� �

∏ f�gq = E��^�Hℰ �− JJ/îM+/0J+�

Jℰ + ñá� A− J

ℰ� + JJ3

Jℰ + 2��

J+ − 35@3C + A− J

@ℰ + 2J1C �4� �

che sono le correzioni virtuali NLL ai fattori d’impatto, rispettivamente, del quark

e del gluone.

Negli articoli di Bartels et al. i primi termini di entrambe le espressioni, che

moltiplicano il polo Jℰ sono usate per rinormalizzare la costante di accoppiamento

α�f�l+g ≡ α�%S) �1 − α�%S) 6ûℰ E��

^�Hℰ� bS = JJ/îM+/0

J+�

Usando le espressioni rinormalizzate e combinando il fattore d’impatto del gluone

con la distribuzione <(+) si avrà (con la convoluzione con le PDF):

À¯(8¤9:;�<)

Àm = >? � �Ú � �� ℎr(S)f�g �2»(J)f�g ØPb &)�� +�

�+ ∏ f�gr + ∏ f�gq Ç x �q(S) E� , ÚH cq%S)(Ú)

dove si considera ogni α� rinormalizzata e:

(3.54)

(3.53)

(3.55)

(3.56)

(3.57)


50

Π=Õf�g = ∏ f�g— A0ûℰ Cr = = �A12

@3 + ��\ C ñá

� − 2J1

�4� − A Jℰ� − @

+ℰ + 4 − ��3 C ñá� − bS ØPb E��

^�H� E��^�Hℰ

Π=?f�g = ∏ f�g— A0ûℰ Cq = = �A− J

ℰ� + JJ3

Jℰ + 2��

J+ − 35@3C ñá� + A− J

@ℰ + 2J1C �4� − bS ØPb E��

^�H� E��^�Hℰ

Le correzioni virtuali ai fattori d’impatto mostrano poli dovuti a singolarità

infrarosse (IR) soffici e collineari.

(3.58)

(3.59)


51

Correzioni reali

Le correzioni reali a livello NLL alla sezione d’urto per la diffusione

partone-partone non possono essere presentate nella forma dell’Eq. (3.50) perché

c’è la possibilità che il jet sia costituito da più di una particella tra i partoni

inizialmente prodotti dallo scattering (dipende dalla cinematica).

Per le correzioni virtuali, invece, solo la particella con rapidità maggiore tra i

partoni può dar luogo al jet. Conviene per questo suddividere lo spazio delle fasi

delle particelle finali in due regioni.

Si consideri quindi il processo di diffusione quark-gluone indicato in

Fig.(3.6):

Nello stato finale ci saranno tre partoni:

BQ vBNO� → 2

BQN DPttRN → 1,3

la coppia può essere sia una coppia bb che una coppia vv.

I due momenti scambiati sono stati parametrizzati secondo Sudakov:

� ≡ tr − t+ = −» tq + » t + �� ; �� = (0, 0, �)

(Fig. 3.6)

(3.60)


52

�Ã ≡ tJ − tq = −Ù tq + Ù t + ��Ã ; �� = (0, 0, �Ã)

quindi le energie trasverse sono:

�J = ��Ã� , �+ = z�z, �@ = �� − �Ã� Per individuare le due regioni si attui una trasformazione di Lorentz che porti nel

centro di massa dei partoni. Essa consisterà in un “boost” lungo l’asse z che lascerà

immutate le energie trasverse e cambierà le rapidità secondo la formula

� → � + Δ� = 12 ln 1 + w

1 − w ≡ �Ã dove w caratterizza la trasformazione di Lorentz ed è data da

w = Ú` − Ú0Ú` + Ú0 = 1 − Ú1 + Ú

quindi

Δ� = J+ ln J

� e

tÃ^ = (tÃL, tÃM, tüÃ) = fIA�tL, IA�tM, tüg

Si definisce quindi per

�JÃ , �@Ã > 0 ⇒ #I�RtRNQP RQcIORPOI

�@Ã < 0 < �JÃ ⇒ #I�RtRNQP #BtIORPOI

Inoltre si avrà che

�@Ã = 0 ⇔ B = Ù = �@√Ú#

�@Ã < 0 ⇒ B > �@√Ú#

�@Ã > 0 ⇒ Ù > �@√Ú#

(3.61)

(3.62)

(3.63)

(3.64)

(3.65)

(3.66)

(3.67)

(3.68)

(3.69)


53

Adesso che si è definita la notazione che permette di descrivere la

cinematica del processo si possono stabilire le proprietà della funzione di

distribuzione del jet perché esse dipendono dalla cinematica. Ciò sarà fatto nel

prossimo paragrafo.


54

Proprietà del jet

Al fine di avere la sezione d’urto per il jet finita si devono definire dei limiti

per < nel caso tra gli stati finali ci siano singolarità soffici o collineari.Si richiede

quindi che data la distribuzione generica

<%)) (-J, … … , -) ; - , -0)

dove - , -0 sono i 4-momenti degli stati iniziali, lo stato con una particella finale i soffice, cioè:

-1 → 0

sia indistinguibile dallo stesso stato senza la particella quindi:

lim -m→S <%)) f… … , -m , … … ; - , -0g = <()MJ) ( … … ; - , -0)

Inoltre dato lo stato con n particelle nello stato finale:

f-J, … , -1 , -1LJ,… ,-) g

con due particelle collineari p.es. -1 // -1LJ esso deve essere indistinguibile

dallo stato a n particelle

f-J, … , -1 , -1LJ,… ,-) g

Quindi si impone che < abbia la proprietà:

<%)) (… , N-, G-, … … ; - , -0) = <()MJ) f… , %N + G)-m , … … ; - , -0g

(3.70)

(3.71)

(3.72)


55

La stessa proprietà varrà se c’è collinearità tra una particella dello stato iniziale e

una dello stato finale:

<%)) (… , N- , … … ; - , -0) = <()MJ) (… ; (1 − N)- , -0)

0 < N < 1

Nel processo in esame le singolarità soffici possono derivare solo da un gluone

nello stato finale con momento nullo.

Nel regime cinematico considerato, inoltre, per il quark finale è altamente

improbabile appartenere al jet prodotto dal gluone (in avanti), quindi solo le

particelle 1 e 3 hanno un ruolo nella costruzione del jet.

La distribuzione <(@) si scriverà quindi:

<(@)ftJ, t, t@ ; tq, trg → <%@) AtüJ, tü@, ��£��£ ; �E£��£C = <(@)f�lÃ, �l − �l Ã, ÚÙ ; Úg

e le possibili singolarità dovute a collinearità deriveranno dai casi seguenti:

1 // 3, b // 1, b // 3 Applicando le proprietà della distribuzione <%@) descritte precedentemente, si

trova:

1 #PccRDI <(@)(0l , -l, Ú ; Ú) = <(+)( -l ; Ú) 3 #PccRDI <(@)(-l, 0l, 0 ; Ú) = <(+)( -l ; Ú) 1 // 3 <(@)f(1 − Ò)-l, Ò-l, ÒÚ ; Úg = <(+)( -l ; Ú) b // 1 <(@)(0l , -l, - ; Ú) = <(+)( -l ; -) b // 3 <(@)(-l, 0l, - ; Ú) = <(+)( -l ; Ú − -)

(3.73)

(3.74)

(3.75)

(3.76)

(3.77)

(3.78)

(3.79)


56

Sezione d'urto partonica e contributo del semipiano superiore alla

sezione d'urto del jet

La forma della sezione d’urto partonica nel semipiano inferiore

AÙ > ��√�? ; �JÃ ,�@Ã > 0C è data nel lavoro [3]:

��rq→}1) = ℎr(S)f�g ]}1) A�, �Ã, ÙC ℎq(S) A�ÃC �Ù (Ù → Ùd��)

dove, per lo stato finale vvv, ]}1) diventa:

]rrr A�, �Ã, ÙC = e�+� �}nô FGE(�,§)

�HJ

rl� x

x �ñ+ñá + z (1 − z) r ∙ ��

frM ��g� � Av = � − �ÃC

e

Frq%Ù, ¨) = 1 − +� %JM�)JL§

è la parte reale della funzione di splitting b → v ( a parte nô = J+ ) in 4+2

dimensioni.

Invece per lo stato finale vbb, ]}1) è dato da:

]rqq A�, �Ã, ÙC = e�+� Ö¿ FEG(�)

�H �J��L(JMJ)�r�M� (JM�)r ∙ ��

r�frM ��g�

e

Fqq = JL�KL(JM�)K+� (JM�)

è la parte reale ( a parte 2Ö¿ ) della funzione di Splitting b → b.

(3.80)

(3.81)

(3.82)

(3.83)

(3.84)


57

Nella regione del semipiano superiore vale

�@Ã < 0

quindi il gluone è emesso lontano dalla regione del jet

�m ∼ J+ log #

quindi solo il quark 1 entrerà a far parte del jet e

<(@) → <(+)

Le correzioni reali che derivano da questa regione contribuiscono solo alle

correzioni NLL del fattore d’impatto del quark 1. Esse sono date solo dallo stato

finale

vbb

Da questo stato nasce anche un contributo LL quando la rapidità �@Ã di uno dei

gluoni tende a zero.

Considerando anche i contributi virtuali Π=Õ e sommando quindi questi ultimi con i

contributi reali e i contributi LL, e considerando:

�q(S) f�, Úg = ℎq(S)f�g <(+) f�, Úg dove <%+) è la (3.85), si ottiene il contributo totale della regione superiore alla

sezione d’urto del jet:

À¯GEEA�� LûCÀ< + �À¯(8¤9:)

À< �M=N= >? � �Ú � �� Ã ℎr(S)f�g Ì(S,è��)f�l , �Ã« g x

x ØPb √&�O�&%��;��) �q(S) A�Ã, ÚC cq%S)(Ú) +

+ >? � �Ú � �� ℎr(J)f�g �q(S) f�, Úg cq%S)(Ú)

dove (Eq.69 [2]):

(3.85)

(3.86)


58

ℎr%J)f�g = ℎr(S)f�g ¸�A− @\ + ℰ

\C Jℰ + 3J

@3 − 2��J+ − 2

J1 �Pñá� ñá� E��^�Hℰ − bS ØPb E��

^�Hº

Dall’espressione (3.86) non si ricavano informazioni sulle correzioni NLL al

vertice del jet, ma essa sarà usata nel corso della tesi nella sua forma non

rinormalizzata.

(3.87)


59

Correzioni reali al vertice del jet

Una volta descritta la sezione d’urto partonica del processo vb → v + 1 + 3

e determinato il contributo alla sezione d’urto del jet proveniente dalla regione

superiore, la parte rimanente del lavoro di Bartels et al.[3] viene dedicata al calcolo

dei contributi reali al vertice del jet.

Essi derivano dalla regione inferiore definita da:

�JÃ , �@Ã > 0 in questa regione dello spazio delle fasi il sottosistema {quark-quark} è separato ci

nematicamente dal sottosistema {g, 1, 3}, ed essi sono connessi solo dallo scambio

di un gluone di 4-momento:

� = E−»« Ú Í?+ , »Í?

+ , �l H Quindi con � fissato le dinamiche dei due sottosistemi sono indipendenti l’una

dall’altra.

Inoltre poiché » è fissata dalle condizioni di Mass-Shell e »« è trascurabile solo �l è

la variabile indipendente che separa i due sistemi f�l − cNFFPORÙÙNÙRPQI [13]g.

Pertanto l’accoppiamento del sottosistema {G, 2| col gluone scambiato sarà

descritto dal fattore d’impatto:

ℎr(S)f�g

quindi i contributi al vertice del jet deriveranno dalle due espressioni seguenti

(Ùd�� = ��√�?):

À¯GGG«À< = e�

+� � � �� Ãℎr(S)f�g � �Ù �}nôJ��;: FGE(�,§)

�H x

x J

�l ��r� �CR + Cì � (JM�) ��∙ r frM ��g� � � �Ú <(@)f�lÃ, vl, ÚÙ ; Úg cq%S)(Ú)

(3.88)


60

per lo stato finale vvvl , e:

À¯GEEÀ< = e�� Ö¿ � �� ℎr(S)f�g � À��

�H ℎq(S) A�ÃC x

x � �Ù -(Ù)J��;: �J��L(JMJ)r ∙frM��g�r�frM ��g� x

x � �Ú <(@)f�lÃ, vl, ÚÙ ; Úg cq%S)(Ú)

dove è stata fatta la convoluzione fra la sezione d’urto differenziale partonica e la

distribuzione <(@). Inoltre è stata usata la scomposizione:

Fqq(Ù) = -(Ù) + -(1 − Ù)

dove

-(Ù) = AJ� + �

+C (1 − Ù)

e si è fatto uso della simmetria della sezione d’urto e della distribuzione <(@) per lo

scambio dei gluoni:

Ù → 1 − Ù; �Ã« ⟷ �l − �Ã« Dalle due espressioni precedenti vengono quindi ricavati tutti i contributi reali al

vertice del jet. La parte centrale dell’articolo di Bartels et al.[3] consiste allora nel

separare questi contributi da quelli divergenti (sottraendo questi ultimi dai primi)

che sono interpretati come correzioni di ordine superiore della densità partonica.

Dalla seconda delle due equazioni deriva anche un termine che appartiene ai

contributi LL.

Come esempio del procedimento della sottrazione delle divergenze si

consideri uno dei termini derivanti dal contributo dello stato finale vbb:

(3.89)

(3.90)

(3.91)


61

À¯áÀ< = >? ñá

� � �� ℎr(S)f�g � �Ú cq(S)(Ú) � �Ù Ù+ -(Ù)JS x

x � À��H �ñá

r�frM ��g� <(@)f�l Ã, vl, ÚÙ ; Úg

dove è stato posto Ùd�� → 0 perché la presenza al numeratore di Ù+ elimina la

singolarità a Ù = 0 ed estendendo la regione di integrazione in Ù fino a 0 si

introduce un errore trascurabile ( dell'ordine ∼ ��? ).

Riscalando la variabile

Ø « ≡ r�

e integrando su Ø «, sostituendo:

�Ã« = �l − z Ø «

si riscrive il denominatore come:

J

r�frM ��g� → J��f�M �g�

e si attua la scomposizione:

J

��f�M �g� = J��LA�M �C� T J

�� + JA�M �C�U

si separano in questo modo le singolarità derivanti dalle collinearità nello stato

iniziale:

b // 3 ⟷ Ø = 0

e finale

1 // 3 ⟷ Ø ü − �l = 0

Si considerino le singolarità dello stato finale:

À¯á4À< ≡ >? � À�

��¦�H JS � À�

�H f�M�g� �fÙ, Øg dove

(3.92)

(3.93)

(3.94)

(3.95)

(3.96)


62

�fÙ, Øg = ñá� Ù -(Ù) � �� ℎr(S)f�g �ñá

��Lf�M �g� x

x � �Ú <(@)f� « − ÙØ, ÙØ, ÚÙ ; Úg cq%S)(Ú)

esse daranno luogo alla scomposizione:

À¯á4À< = À¯á4,VW44¤�¤

À< + À¯á4,XW<<.À< + À¯á4,+¤�¤:.

À<

dove il primo pezzo comprende la divergenza soffice, il secondo la divergenza

collineare e l’ultimo la parte finita.

Il primo termine è calcolato nel limite soffice:

Ù → 0

in questo limite, usando l’espressione (3.76):

<%@)(-l, 0l, 0 ; Ú) = <(+)( -l ; Ú)

si ottiene:

À¯á4,�W44¤�¤

À< = >? ñá� � �� ℎr(S)f�g � À�

��¦�H JS � À�

�H A�M�C� x

x �ñá

��LA�M �C� � �Ú <(+)f �l ; Úg cq(S)(Ú) =

= >? ñá� � J

+ℰ� − ��J+� A� �

^� Cℰ x

x ∫ �� Ú ℎr(S)f�g �q(S) f�, Úg cq%S)(Ú)

La singolarità collineare si calcola effettuando l’integrale (3.96) nel limite in cui

Ø = �

dopo aver sottratto il termine della singolarità soffice.

(3.97)

(3.98)

(3.99)


63

Si deve a questo punto introdurre un Cut-off Λ perché dopo aver praticato la

sottrazione il termine che rimane non è più integrabile nella regione ultravioletta

(UV) [�P�IQFP → ∞É. Si trova quindi:

À¯á4,XW<<.

À< = >? � À��¦�H JS x

x Æ�fÙ, �g − �f0, �gÇ θ A Λ+ − fØ − �g+ C =

= >? ñá� � �� ℎr%S)f�g �ñá �� À�

��¦�H JS x

x ÈÙ -%Ù) − 1É � À��H f�M�g� θ A Λ+ − fØ − �g+ C x

x � �Ú <%+)f �l ; Úg cq%S)%Ú) =

= >? ñá� �− JJJ+

Jℰ AZ�

^�Cℰ + 35@3� x

x � �Ú � �� ℎr%S)f�g �q%S) f�, Úg cq%S)%Ú)

La parte rimanente è finita per ℰ → 0:

À¯á4,+¤�¤:.

À< = >? � À�� JS � À�

� f�M�g� Æ�fÙ, Øg − �f0, Øg� +

�− �fÙ, �g − �f0, �g θ A Λ+ − fØ − �g+ C� =

= >? ñá� � �� ℎr%S)f�g � À�%JM�)£ JS x

x È%1 − Ù) -%1 − Ù)É � �Ú cq%S)%Ú) x

x � À�� ñá

��Lf�M �g� � <%@)fØ + Ù f� − Øg, %1 − Ù)f� − Øg, Ú%1 − Ù) ; Úg +

�q%S) f�, Úg �θ A Λ+ − Ø+C�

(3.100)

(3.101)


64

dove si è introdotta la notazione

%… )L ⇒ � �Ù }(�)(JM�)£ = � �Ù } (�)M } (J)

(JMJ) JS J

S

per riprodurre tutti i termini in modo compatto.

Il calcolo per tutti gli altri contributi prosegue secondo lo stesso schema:

vengono individuate le varie divergenze, ognuna di esse darà luogo ad un integrale

all’interno del quale la distribuzione <(@) si riduce a <(+) tramite le formule (3.75)-

(3.79) si sottraggono poi questi termini in un ordine definito dall’espressione

originaria e si ottiene il contributo finito.

L’unico termine per cui è necessaria un’analisi diversa è quello che dà luogo

al contributo LL. Esso viene estratto grazie all’annullarsi della sezione d’urto

partonica nel caso in cui il gluone 3 viene emesso con rapidità maggiore rispetto al

gluone 1. Si ottiene quindi il contributo LL nella regione inferiore:

À¯å%%

À< = >? � �� ℎr(S)f�g � ��Ã ñá� J

�H r� ℎq(S) A�ÃC x

x � À�� θfE@ − z%�J + �@)gJ[�;: � �Ú <(+)f �lÃ ; Úg cq(S)(Ú) =

= � �Ú � �� Ã ℎr(S)f�g Ì(S,è��)f�l , �Ã« g ØPb √&��\L�� q%S) A�Ã, ÚC cq%S)(Ú)

oltre a questo contributo si ottengo i contributi virtuali e i contributi reali.

I contributi virtuali della (3.57), a parte il contributo П=r che è stato combinato

con i contributi reali alla regione superiore, insieme al termine LL

precedente sono:

(3.102)

(3.103)


65

�À¯%8¤9:)À< �^(�) + �À¯(8¤9:)

À< �M=E+ �À¯(9_�<_)

À< �`` = = >? = �Ú � �� Ã ℎr(S)f�g Ì(S)f�l, �Ã« g ØPb xs

sSf�l, �Ã« g �q%S) A�Ã, ÚC cq%S)(Ú) +

+ >? �E��^�Hℰ A− ñá�

Jℰ� + JJñáM+�43�

JℰC + ñá� A 2

J+ &+ − 35@3C + 2

J1�4� − bS ØPb E��

^�H� x

x ∫ �Ú � �� ℎr(S)f�g �q(S) f�, Úg cq%S)(Ú)

E’ da notare come sia stato ottenuto il primo termine dell’espressione precedente.

Esso è ottenuto come la somma di:

1° FIO�RQI �IOR×NQFI �N �v. %3.50) + tOR�P FIO�RQI %3.86) + FIO�RQI %3.103) =

= >? � �Ú � �� Ã ℎr%S)f�g Ì%S,d�è !��)f�l, �Ã« g ØPb &�� q%S) A�Ã, ÚC cq%S)%Ú) +

+ >? � �Ú � �� Ã ℎr%S)f�g Ì%S,è��)f�l, �Ã« g ØPb √&�O�&%��;��) �q(S) A�Ã, ÚC cq%S)(Ú) + >? � �Ú � �� Ã ℎr(S)f�g Ì(S,è��)f�l, �Ã« g ØPb √&��\L�� q%S) A�Ã, ÚC cq%S)(Ú)

per gli ultimi due termini

ØPb √&�O�&(��;��) + ØPb √&��\L�� = ØPb &�f� L��g O�&(��;��)

Viene quindi posto, data l’arbitrarietà della scala dell’energia: max(�+; �@) → (�+ + �@) �+ → (�+ + �@) f�< + �@g

Si ottiene così la parte virtuale del primo termine dell’Eq.(3.104).

Nella prova di consistenza svolta nel capitolo successivo sarà usata una forma

diversa dalla precedente che implicherà le sostituzioni:

(3.104)

(3.105)


66

f�< + �@g → max%�J; �@)

θfE@ − z%�J + �@)g → θ(E@ − z�+), (nella (3.119))

I contributi reali sono invece i seguenti:

(3.106)

(3.107)

(3.108)

(3.109)


67

(3.110)

(3.111)

(3.112)

(3.113)


68

(3.115)

(3.116)

(3.117)

(3.114)


69

Le divergenze contenute nella (3.104) (3.110) (3.113) si annullano.

I poli semplici derivanti da (3.104) (3.106) (3.108) (3.111) (3.114) (3.116) danno

luogo al termine:

À¯�¤�EW<�9_

À< = e�+� J

ℰ AZ�^�Cℰ � �Ú � �� ℎr(S)f�g x

x * �r(S) f�, Úg �2�ô -rq ⨂ cq%S)� (Ú)� x

x � �q(S) f�, Úg � -rq ⨂ cq%S)� (Ú)f

infine tutti i termini finiti ma non LL che derivano dalle:

(3.104) (3.106) (3.107) (3.108) (3.109) (3.110) (3.113) (3.111) (3.114) (3.112)

(3.115) (3.116) (3.120) daranno l’espressione finale:

À¯(4¤�¤:�)

À< = >? � �Ú � �� ℎr(S)f�g �q(J) f�, Úg cq%S)(Ú)

(3.118)

(3.119)

(3.121)

(3.120)


70

dove:

�q%J� f�, Úg

è dato dalla:

(3.122)


71

Riduzione della sezione d'urto inclusiva del jet alla sezione d'urto

partonica totale: riduzione del vertice del jet

Il risultato finale del lavoro di Bartels et al. è stato quindi quello di ottenere i

contributi alla sezione d’urto del jet del processo in figura:

Essa è:

��: = >? = �Ú � �� Ã ℎrf�g âfxs, �l, �Ã« g �q A�Ã, ÚC cq%Ú)

all’ordine LO si trova:

À¯(û)

À< = >? � �Ú � �� Ã ℎr(S)f�g �q(S)f�, Úg cq%S)(Ú)

e all’ordine NLO:

(3.33)'


72

À¯%�)À< = >? � �Ú � �� *��Ã � � ℎr(S)f�g� Ì(S)f�l , �Ã« g ØPb &�

�û �q%S) A�Ã, ÚC �cq%S)(Ú)� +

+ ℎr(J)f�g �q(S) f�, Úg cq%S)(Ú) + ℎr(S)f�g �q(S) f�, Úg cq%J)(Ú) + ℎr(S)f�g �q(J) f�, Úg �cq%S)(Ú)f

In particolare è stato ottenuto (3.122) il vertice del jet:

�q(J) A�Ã, ÚC

La precedente sezione d’urto dipende dalle variabili di jet:

�ø ≡ ��< ��< ��<

e seleziona quindi fra le configurazioni finali quella corrispondente ad un

particolare stato del jet.

Inoltre lo stato iniziale del gluone è legato allo stato iniziale dell’adrone

attraverso le funzioni di densità partoniche (PDF). Nel limite in cui si rinunci alla

selezione del jet nello stato finale e si consideri uno stato iniziale puramente

partonico (quindi senza la presenza delle PDF) la sezione d’urto differenziale

inclusiva del jet deve ricondursi, ordine per ordine, alla sezione d’urto totale

partonica, il cui processo è indicato in figura:

dove le particelle 1, 3 sono una coppia vv oppure bb.

La sezione d’urto partonica è data in Fadin, cap.2 [4].

(3.48)'


73

Lo scopo dei paragrafi che seguono è quello di verificare la consistenza di

questo limite. In particolare nel paragrafo successivo si vedrà come l’espressione

(3.122), che fornisce le correzioni NLO al vertice del jet, riproduca le correzioni

NLO per il fattore d’impatto del gluone, nel caso in cui non venga selezionato il jet

tramite la distribuzione <.

Per far questo si mostrerà come sia necessario addizionare tutti i termini che

danno luogo alle singolarità, e che invece, per la sezione d’urto differenziale,

danno luogo alle correzioni d’ordine superiore alle funzioni PDF (per gluone e

quark) .

Il passaggio al limite si realizzerà attraverso la condizione

< = 1

inoltre, affinché l’energia del centro di massa adrone-quark √# diventi quella del

sistema gluone-quark, che nel limite viene considerato lo stato iniziale, verrà posto:

cq(S)(Ú) = (%Ú − 1) Nelle pagine seguenti si utilizzerà la forma limite ottenuta del vertice del jet,

effettuando la verifica della corrispondenza tra la forma limite della sezione d’urto

del jet e la sezione d’urto totale data in Fadin [4] all’ordine NLO.

Quella che segue è l’espressione precedente (3.122) nella quale ogni

termine sarà identificato con una sigla che rimanda all’espressione da cui origina il

contributo.In particolare delle espressioni (3.106), (3.114) si prendono in

considerazione solo i contributi dei secondi termini.


74

�q%J) f�l , Úg = �AJJ3

ñá� − J

@ �4� C ØPb �l �

Z� + ��\ ñá� + J@

@3 �4� − bS ØPb �l �

^�� q%S) f�l, Úg

+ ∫ �Ù �q%S) f�l , ÚÙg � �4� � ñáñ+ Ù%1 − Ù) �+ 2 ñá

� (1 − Ù)-(1 − Ù) A�õq(JM�)(JM�) CL�

�+ �4� � � À�l �

� � �Ù -rq(Ù)JS �ªG(û)(�l �)

rl�L�l �� <(@)f�l Ã, vl, ÚÙ; Úg� − � J

�l �� g AΛ+ − �l Ã+C �r%S) f�l, ÚÙg� �+ �4+� � ∫ À�l �

� ∫ �Ù -rq(Ù)JS �Ö¿ J(rlM��l �)

x �Ù(1 − Ù) vl ∙ �′«vl+ �l Ã+ <(@)f�l Ã, vl, ÚÙ; Úg�

− � J�l � g fΛ+ − fvl − Ù�lg²g <%+)f�l, Úg� �+ ñá� ∫ �Ù J

(JM�)£ È(1 − Ù)-(1 − Ù)ÉJS � ∫ À�ü�� ü �Ö¿ J

�ü�L(�üL�l )�

x � <(@)fÙ�l + (1 − Ù)Ø ü, (1 − Ù)f�l − Ø üg, Ú%1 − Ù); Úg� �+ <%@)f�l − (1 − Ù)Ø ü, (1 − Ù)Ø ü, Ú(1 − Ù); Úg� − g fΛ+ − Ø ü+g � �q%S) f�l, Úg + �q%S) f�l, ÚÙg� �+ ñá� � ∫ À�l �

� ∫ �Ù �-(Ù) i(1 − Ù) rl ∙ (rlM��l ) rl�(rlM��l )² � ℎq(S)f�l Ãg <%@)f�l Ã, vl, ÚÙ; Úg� JS

�− � J�l �� g AΛ+ − �l Ã+C �q%S) f�l, ÚÙg�C

�− � J�rl� g A|vl| − Ùf|vl| − z�l ÃzgC �q%S) f�lÃ, Úg��

(3.106')

(3.114')

(3.107')A

(3.107')B

(3.109')A

(3.109')B

(3.112')A

(3.115')A

(3.112')B + (3.115')B

(3.117')

(3.118')

(3.119')


75

Tutti i termini sono finiti per ℰ → 0 e quindi l’intera espressione si considera nel

limite:

ℰ → 0

Per poter procedere si utilizza l'originaria dipendenza da ℰ, nei vari fattori & (uno

al denominatore di ogni termine):

& → limℰ→S &ℰ; &ℰ = &JLℰ"+ℰΓ(1 − ℰ)

Inoltre

-qq(Ù) → nô Fqq �%Ù, ℰ)|ℰ→S

Nel seguito si sottintenderà sempre, per ogni termine la scrittura:

lim ℰ → 0

Si considerino i termini della (3.122) riscritta a pag. 75 derivanti dai contributi

(3.107')A (3.107')B si ottiene,(ripristinando la dipendenza da ℰ):

%3.107′)A+ (3.107′)B =

�= �4ñ4 � mP� � ∫ À�l ��ℰ ∫ �Ù �1 − +� (JM�)

JLℰ �JS ×

× J(rl�L�l �)²�l �� − � J

�l �� J�l � g AΛ+ − �l Ã+C� =

�= �4ñ4 � mP� � ∫ À�l ��ℰ ∫ �Ù {È1 − 2Ù %1 − Ù) + ℰÙ (1 − Ù)É�JS ×

× � J(rl�L�l ��)�l �� − �+[EELℰ(+�)(JM�)L n (Z�M�l �)

�l �� l � �º


76

Usando adesso (Appendice 1):

∫ �Ø üÃ J� ü�È� ü�L(�üM�l )�É = &JLℰ ê(JMℰ) ê�(JLℰ)

ℰ ê(JL+�) A�+CℰMJ =

≃ &JLℰΓ(1 − ℰ) �Jℰ − ��

3 ℰ� A��Cℰ

��

E, per il secondo termine (Appendice 3):

∫ À�l �� g fΛ+ − �l+g = Z�ℰ

ℰ��£ℰ

ê(JLℰ)

si trova

(3.107)A+ (3.107)B =

�= �4ñ4 � mP� J�ℰ

� o�+@ + J

@ ℰ� ��£ℰê(JMℰ) ê�(JLℰ)A��Cℰ¦�ℰ ê%JL+ℰ) p +

− �4ñ4 � mP� � Jê(JLℰ) ê(JMℰ)

J�l � AZ�

^�Cℰ ∫[+ℰ �-rq + 2Ù%1 − Ù)É�Ù ��

Si consideri adesso la somma:

(3.107')A + (3.107')B =

�4 mP+� ∫ À�l

�ℰ ∫ �Ù Fqq �(Ù, ℰ)�JS � ñá(rlM��l )� �Ù(1 − Ù) rl ∙ �l �rl� �l �� +�

�− J�l � gfΛ+ − (vl − Ù�l)+g� =

�= �} �Ö¿ nô2& � = ��l Ã&ℰ = �Ù {È1 − 2Ù%1 − Ù) + ℰ(2Ù)(1 − Ù)É�J

SÙ(1 − Ù) vl ∙ �l Ã

(vl − Ù�l)+ vl+ �lÃ+

��− È1 − 2Ù + 2Ù+ + ℰ%2Ù − 2Ù+)É J�l �

J(rlM��l )�f �=


77

�= �} �Ö¿ nô2& � = ��l Ã&ℰ = �Ù {È1 − 2Ù%1 − Ù) + ℰ(2Ù)(1 − Ù)É�J

SÙ(1 − Ù) vl ∙ �l Ã

(vl − Ù�l)+ vl+ �lÃ+

��− �4 �ñá mP+�J

��£ℰ ^�ℰ ê(JMℰ) J�l �

Z�ℰℰ

��£ℰê(JLℰ) � A+

@ + ℰ@C}�

Nel primo termine, notando che

fvl − Ù�lg+ = f�l − �l Ã − Ù�l Ã + Ù�l Ã − Ù�lg+ = fvl(1 − Ù) − Ù�l Ãg+

rl ∙ �l �

%rlM��l )� rl� �l �� = J(rl(JM�)M��l �)� rl� �l �� (rl(JM�)M��l �)�M(JM�)�rl�M�� l ��

(M+)(JM�)� �

esso diventerà:

�4 �ñá mP(M+)+� ∫ �Ù ∫ À�l �

�ℰ È1 − 2Ù%1 − Ù) + 2ℰÙ%1 − Ù)ÉJS × × � J

rl� �l �� − (JM�)��l �� (rl(JM�)M��l �)� – ��

rl�(rl(JM�)M��l �)��

Riconducendo, attraverso il cambio di variabile d’integrazione �l Ã, i tre integrali a:

∫ ��l 1�l+ f�l − �l Ãg+ = &JLℰΓ(1 − ℰ) Γ+(1 + ℰ)ℰ Γ(1 + 2ℰ) 2 E�Ã+HℰMJ

si trova:

1° FIO�RQI = �4 �ñá mP%M+)+� � �Ù J��£ℰ ^�ℰ ê%JMℰ)

JS × × +ê%JMℰ) ��£ℰ ê�%JLℰ)A��Cℰ¦�

ℰ ê%JL+ℰ)

× È1 − 2Ù%1 − Ù) + 2ℰÙ%1 − Ù)É È1 − %1 − Ù)+%1 − Ù)+ℰM+ − Ù+Ù+ℰM+É


78

L’integrale ∫ �Ù è:

∫ �Ù È1 − (1 − Ù)+ℰ − Ù+ℰ − 2Ù%1 − Ù) + 2%Ù)(1 − Ù)JL+ℰ � +JS

+ 2ÙJL+ℰ%1 − Ù) + 2ℰÙ%1 − Ù) − 2ℰÙ%1 − Ù)JL+ℰ − 2ℰÙJL+ℰ%1 − Ù)É

Facendo uso di:

∫ �Ù Ùe (1 − Ù)q = ê(JLe) ê(JLq)ê(�LeLq)

JS

e risolvendo gli altri tipi di integrali si trova per l’integrale precedente:

1 − 2 JJL+ℰ − J@ + ℰ@ + 4%1 − ℰ) J

(@L+ℰ)(+L+ℰ)

dove si è fatto uso della proprietà di ricorsività della funzione Γ:

x Γ(x) = Γ(1 + x) ; x > 0

usando ancora lo sviluppo:

J

JLð& ≃ 1 − cx ; Ú ≪ 1

i termini precedenti diventano

1 − 2 JJL+ℰ − J@ + ℰ@ + 4%1 − ℰ) J

(@L+ℰ)(+L+ℰ) =

= +@ − (2 − 4ℰ) + ℰ

@ + 4(1 − ℰ) �J@ A1 − +

@ ℰC� �J+ %1 − ℰ)� =

= − +@ + +@

s ℰ Quindi si trova infine:


79

(3.109')A+(3.109')B=

= +�4�ñá mP(M+) +� J��£ℰ ^�ℰ ê(JMℰ) ê(JMℰ) ��£ℰ ê�(JLℰ)A��Cℰ¦�

ℰ ê%JL+ℰ) A− +@ + +@s ℰC +

+ �4�ñá mP+� �+@

Jℰ + J

@� � J�l � AZ�^�Cℰ � J

ê%JMℰ) ê(JLℰ)

Si considerino adesso i termini (3.117')+(3.119') derivanti dall’espressione (3.122):

(3.117')+(3.119') =

�= ñá� � ∫ À�l ��ℰ ∫ �Ù �-(Ù) �(1 − Ù) rl ∙ (rlM��l )

rl�(rlM��l )² �� ñá��l �� +

�− �J� Jrl�

ñá��l �� g A|vl| − Ùf|vl| + z�l ÃzgC��

Poiché (???)non si deve più selezionare il jet si può porre

g A|vl| − Ùf|vl| + z�l ÃzgC → gf|vl| − Ùz�l Ãzg

Possiamo quindi scrivere:

�= ñá � �� ∫ À�l �

�ℰ ∫ �Ù JS �-(Ù) �(1 − Ù) rl ∙ (rlM��l ) r« ��l ��(rlM��l �) �� +

��− �1Ù 1vl+�lÃ+ gf|vl| − Ùz�l Ãzg��

Usando l’identità

g%Ù) = 1 − g(−Ù)

l’espressione precedente diventa:


80

(3.117')+(3.119') =

�= ñá � �� ∫ À�l �

�ℰ ∫ �Ù �-(Ù) �(1 − Ù) rl ∙( rlM�� « )�l �� rl�(rlM��l )� �� +

��− �J� Jrl��l �� + J

rl��l �� log z�l �z|rl| gfz�l Ãz − |vl|g��

usando (Ciafaloni, Colferai [13] alle appendici (B.4)’, (B.4)’’, (B.6)):

∫ ��l Ã rl ∙ (rlM��l )�l �� rl�(rlM��l )� = ��£ℰ ê(JMℰ) ê�(JLℰ)

ℰ ê(JL+ℰ) A�+CℰMJ� ×

× �JM ��ℰL(JM�)�ℰ JM� �

e

∫ ��l Ã J�l �� (�l M�l �)� = ��£ℰ ê(JMℰ) ê(ℰ)ê(ℰ)

ê(+ℰ) A�+CℰMJ =

= ��£ℰ ê(JMℰ) ê�(JLℰ)ê(JL+ℰ)

+ℰ A�+CℰMJ

e infine

∫ ��l Ã Alog z�l �z|rl| C gfz�l Ãz − |vl|g J

rl��l �� =

≃ ��£ℰ ê(JMℰ) ê�(JLℰ)ℰ ê(JL+ℰ)

J+ℰ A�+CℰMJ

si ottiene per l’espressione precedente:

� ñá � �� ∫ À�l �

�ℰ ∫ �Ù JS �(1 − Ù)-(Ù) � rl ∙ (rlM��l ) �l �� rl�(rlM��l )� �� +

��− �J� J�l �� rl� + J

�l �� rl� log z�l �z|rl| gfz�lÃz − |vl|g�� =

�= ñá �� ∫ À�

�ℰ JS �-(Ù)(�1 − Ù+ℰ + (1 − Ù)+ℰ �) − +� + J

+ℰ� ×

× ��A�+CℰMJ ��£ℰ ê%JMℰ) ê�(JLℰ)ℰ ê(JL+ℰ) �� (3.123)


81

L’ultimo termine che deriva dalla (3.120) è (per come è sottratto nella (3.122)):

(3.118') �= ñá� � ∫ À�l ��ℰ ∫ �Ù JS �-(Ù) J

�l �� ñá��l � � g AΛ+ − �l Ã+C��

Usando di nuovo la formula presente a pag. 76 si trova:

(3.118') �= ñá � �� ∫ �Ù -(Ù) J

�ℰ Z�ℰ�l � J

ℰ ��£ℰê(JLℰ)

= ñá � �� J

�l � AZ�^�Cℰ � Jℰ J

ê%JMℰ) ê(JLℰ) ∫ �Ù -(Ù)

Si considerino adesso i contributi nell'espressione (3.122) derivanti

dall’espressione (3.112) (ripristinando la dipendenza da ℰ compare un fattore

(1 − Ù)+ℰ) al numeratore)

(3.112')A+(3.112')B =

�= ñá� ∫ �Ù J(JM�)£

J(JM�)�ℰ È(1 − Ù)-(1 − Ù)ÉJS � ∫ À�ü

�ℰ� ü� {�Ö¿ � ×

× J�ü�L(�üM�l )� × � <(@)fÙ�l + (1 − Ù)Ø ü, (1 − Ù)f�l − Ø üg, Ú%1 − Ù); Úg� +

�− g fΛ+ − Ø ü+g �q%S) f�l, Úgf

Usando la definizione:

∫ �Ù } (�)(JM�)£ =JS ∫ �Ù } (�)M }(J)

(JM�)JS

e ponendo:

<(@) = <(+) = 1


82

si trova:

(3.112')A+(3.112')B=

�= ñá � �� ∫ À�

(JM�)¦�ℰ (JM�)[(JM�)MJ JM� � ∫ À�ü

�ℰ� ü� �JS � ×

�× A J�ü�L(�üM�l )� − g fΛ+ − Ø ü+g J

�l �C � =

che si può scrivere come:

�= ñá � �� ∫ �Ù [(�)

�¦�ℰ � ∫ À�ü�ℰ� ü� J

�ü�L(�üM�l )� �JS �� +

�− �∫ À�(JM�)�¦�ℰ � ∫ À�ü

�ℰ� ü� J�ü�L(�üM�l )� �JS �� +

�− �∫ �Ù [(�)�¦�ℰ � ∫ À�ü

�ℰ� ü� n (Z�M�ü�)�l � �JS �� +

�−� �∫ �Ù J(JM�)�¦�ℰ � ∫ À�ü

�ℰ� ü� n (Z�M�ü�)�l � �JS �

Il primo termine darà (formula pag.76):

�ñá � �� ∫ À�

�ℰ -(Ù) Ù+ℰ&JLℰ JS ê(JMℰ) ê�(JLℰ)ℰ ê(JL+ℰ) A�+CℰMJ

Per il secondo termine esplicitando la dipendenza da ℰ usando:

∫ �Ù (1 − Ù)MJL+ℰ = J+ℰ

JS

&ℰ = &JLℰ Γ(1 − ℰ) "+ℰ

∫ �Ø ü J�ü�L(�üM�l )� J

�ü� ≃ &JLℰ Γ(1 − ℰ) �Jℰ − ��

3 ℰ� A�+CℰMJ

ottenendo:

(3.124)


83

− �ñá � ��%+ℰ) � � J

��£ℰ ê(JMℰ) ^�ℰ� &JLℰ Γ(1 − ℰ) ×

× �Jℰ − ��

3 ℰ� A�+CℰMJ =

= − ñá � �� A�l �

^�Cℰ � J�l � � J

+ℰ� − ��J+�

Gli altri due termini possono essere scritti come:

�−� ñá � �� ∫ �Ù � � [(�)MJ

(JM�)�¦�ℰ� � ∫ À�ü�ℰ� ü� n (Z�M�ü�)

�l � �JS �

esplicitando anche qui la dipendenza da ℰ attraverso

∫ À�ü�ℰ

J�ü� g fΛ+ − Ø ü+g = J

�ℰ Z�ℰ

ℰ��£ℰ

ê(JLℰ)

∫ �Ù � [(�)MJ��¦�ℰ = ∫ �Ù J

��¦�ℰ �A1 + ��+ C %1 − Ù) − 1� = � �JS JS

= ∫ �Ù �−Ù+ℰ + ��ℰ£�+ − ��ℰ£�

+ � =JS

= �− J+ℰLJ + J

+J

+ℰL+ − J+

J+ℰL@� =

≃ �−1 + 2ℰ + J\ − J

\ ℰ − J3 + Js ℰ� = − JJ

J+ + 35@3 ℰ

Quindi gli ultimi due termini daranno:

≃ �−� ñá � �� l � J

��£ℰ ê(JMℰ) ^�ℰ A Z�ℰℰ

��£ℰê(JLℰ)C �− JJ

J+ + 35@3 ℰ� =

≃ �−� ñá � �� l � A Z�

^� Cℰ �− JJJ+

Jℰ + 35

@3�

Si considerino adesso i termini da (3.115):


84

(3.115')A+(3.115')B=

� ñá� ∫ �Ù J(JM�)£ È(1 − Ù)-(1 − Ù)ÉJS � ∫ À�ü�

�ℰ� ü� *� �ñá� ü�L(�üM�l )� �� ×

× �� <(@)f�l − (1 − Ù)Ø ü, (1 − Ù)Ø ü, Ú(1 − Ù); Úg� − g fΛ+ − Ø ü+g �q%S) f�l, ÚÙgf

usando di nuovo:

∫ �Ù } (�)(JM�)£ =JS ∫ �Ù } (�)M }(J)

(JM�)JS

si avrà (introducendo il termine J

(JM�)�ℰ ):

� ñá � �� *∫ �Ù J

(JM�)�ℰ -(1 − Ù)JS �� ∫ À�ü�ℰ� ü� J

�ü�L(�üM�l )� +

�− �∫ À�(JM�)�¦�ℰ � ∫ À�ü

�ℰ� ü� J�ü�L(�üM�l )� �JS �� +

�− �∫ �Ù (JM�)[(JM�)MJ(JM�)�¦�ℰ � ∫ À�ü

�ℰ� ü� n (Z�M�ü�)�l � �JS ��

Le espressioni trovate sono uguali ai contributi calcolati a pag.81

Per il primo termine, usando i risultati ottenuti, si può scrivere:

�ñá � �� ∫ À�

�ℰ -(Ù) Ù+ℰ JS ��£ℰ ê(JMℰ) ê�(JLℰ)ℰ ê(JL+ℰ) A�+CℰMJ

Per il secondo termine sarà:

− ñá � �� ∫ �Ù J

(JM�)�¦�ℰ JS ∫ À�ü�ℰ� ü� J

�ü�L(�üM�l )� =

= − ñá � �� A�l �

^�Cℰ � J�l � � J

+ℰ� − ��J+�

(3.125)


85

I rimanenti termini delle (3.115')A+ (3.115')B si possono scrivere:

�− ñá � �� ∫ �Ù (JM�)[(JM�)MJ

(JM�)�¦�ℰ � ∫ À�ü�ℰ� ü� �JS � n (Z�M�ü�)

�l � =

�= − ñá � �� ∫ �Ù (JM�)[(JM�)MJ

(JM�)�¦�ℰ JS � J�l � AZ�

ℰ Cℰ ��£ℰê%JLℰ) � J

��£ℰ ^�ℰ ê(JMℰ) = � �≃ �−� ñá � �

� �l � ∫ �Ù (JM�)[(JM�)MJ(JM�)�£�ℰ J

ℰJS � A Z�

^�ℰCℰ � [1 + � (ℰ+) É = � �= �−� ñá � �

� �l � ∫ �Ù *�(JM�)[(JM�)MJ(JM�) � (1 − Ù)+ℰfL JS �J

ℰ + � (ℰ+) � A Z� ^�ℰCℰ = �

Sviluppando in serie il termine:

(1 − Ù)+ℰ

si ottiene

�= �−� ñá � �� l � AZ�

^�Cℰ ∫ �Ù ÊA(JM�)[(JM�)(JM�) CL +� JS �

�+ �A%JM�)[(JM�)(JM�) C 2ℰ ln%1 − Ù)�L + g (ℰ+)Ë EJ

ℰ + � %ℰ)H =

�= �−� ñá � �� l � A Z�

^�ℰCℰ ∫ �Ù *(JM�)[(JM�)(JM�)£ AJ

ℰC +� JS � �−2 � �Ù ��%JM�)[(JM�)

(JM�) ØQ(1 − Ù)�LË JS �

Si consideri adesso la somma dei contributi derivanti dalle espressioni (3.123),

(3.124), (3.125):

�ñá � �� ℰ

� A�+CℰMJ ��£ℰ ê%JMℰ) ê�(JLℰ)ℰ ê(JL+ℰ) ×

× ∫ �Ù �-(Ù)� (1 − Ù+ℰ + (1 − Ù)+ℰ)� − +� + J

+ℰ�JS +


86

+ �ñá � �� ℰ

� A�+CℰMJ ��£ℰ ê%JMℰ) ê�(JLℰ)ℰ ê(JL+ℰ) ∫ �Ù -(Ù) Ù+ℰ JS +

+ �ñá � �� ℰ

� A�+CℰMJ ��£ℰ ê%JMℰ) ê�(JLℰ)ℰ ê(JL+ℰ) ∫ �Ù -(Ù) Ù+ℰ JS =

= �ñá � �� ℰ


× ∫ �Ù �-(Ù)� (1 + Ù+ℰ + (1 − Ù)+ℰ)� − +� + J

+ℰ�JS

effettuando l'integrazione in �Ù e ricordando che la definizione di -(Ù) è:

-(Ù) � = AJ� − �

+C %1 − Ù) = J� − 1 + �

+ − ��+ �

∫ �Ù �� AJ� − 1 + �

+ − ��+ C %1 + Ù+ℰ + (1 − Ù)+ℰ)� − +

� + J+ℰ�JS =

= ∫ �Ù �� (JM�)�ℰMJ� + �(JM�)�ℰ

+ − ��(JM�)�ℰ+ + Ù+ℰMJ + J

+ℰ − 1 − Ù+ℰ � +�JS

�+ �+ + ��ℰ£�

+ − ��+ − (1 − Ù)+ℰ − ��ℰ£�

+ � =

Usando per i primi tre termini all'interno della parentesi quadra:

∫ �w (JMq)ℰMJq

JS = k(1) − k(1 + ℰ)

∫ �ÙJS Ùe(1 − Ù)q = ê(JLe) ê(JLq)ê(+LeLq)

si trova:

k(1) − k(1 + ℰ) + 2 J+ℰ − JJJ+ − 2 J+ℰLJ +

+ J+

J+ℰL+ + J

+ê%+) ê(JL+ℰ)

ê(@L+ℰ) − J+(+ℰL@) +

+ J+

ê(@) ê(JL+ℰ)ê(\L+ℰ)


87

da cui si ottiene, usando di nuovo la propietà di ricorsività della funzione

gamma, lo sviluppo di pag.78 e l'approssimazione per la funzione k:

k%1 + ℰ) ≃ k(1) + ℰ &+6

il seguente risultato

k(1) − k(1 + ℰ) + 2 J+ℰ − JJJ+ − 2 J+ℰLJ +

+ J+

J+ℰL+ + J

+ê%+) ê(JL+ℰ)

ê(@L+ℰ) − J+(+ℰL@) +

+ J+

ê(@) ê(JL+ℰ)ê(\L+ℰ) =

≃ A− ��@ + 35

J1C ℰ − JJ\ + J

ℰ

Sarà quindi:

(3.117')+ (3.119')+ (3.115')A+(3.112')A=

≃ �ñá � �� ℰ


× �A− ��@ + 35

J1C ℰ − JJ\ + J

ℰ�

a parte un fattore moltiplicativo del vertice vbb

Si aggiungano adesso i contributi derivanti dai termini:

(3.107')A+(3.109')A

si avrà la somma:


88

(3.107')A+(3.109')A+(3.117')+ (3.119')+ (3.115')A+(3.112')A=

= ��4ñ+ �� ℰ nô �+

@ + J@ ℰ�� £ℰ ê%JMℰ) ê�(JLℰ)A��Cℰ¦�

ℰ ê%JL+ℰ) +

+ ��4ñá �� ℰ nô �J

@ − +@J1 ℰ�� £ℰ ê%JMℰ) ê�(JLℰ)A��Cℰ¦�

ℰ ê%JL+ℰ) +

+ �ñá� �+� �ℰ nô �A− +��

@ + 35s C ℰ − JJ

+ + +ℰ� � ��£ℰ ê%JMℰ) ê�(JLℰ)A��Cℰ¦�

ℰ ê%JL+ℰ) =

= ��ñá� +� �ℰ � ��£ℰ ê(JMℰ) ê�(JLℰ)A��Cℰ¦�

ℰ ê%JL+ℰ) ×

× *�4�X �J@ − +@

J1 ℰ� + �4ñ4�Xñá �+@ + J

@ ℰ� + �+ℰ − JJ

+ ℰ A− +��@ + 35

s C�f

( tenendo in considerazione che Cì ≡ N� )

Quest'ultimo termine rappresenta le correzioni reali al vertice (a parte un fattore

moltiplicativo).

Tutti gli altri termini dell’espressione (3.122) finora trattati sono dati da:

(3.107')B+(3.109')B+(3.118')+ (3.112')B+ (3.115')B=

= − ��4ñ+ �+�

Jê(JLℰ)ê(JMℰ) � J

�� AZ� ^�Cℰ ∫ �Ù �J

ℰ 2-rq + 2Ù%1 − Ù)� +

− ��4�ñá+�J+ �+

@Jℰ + J

@� J�� AZ�

^�Cℰ Jê%JLℰ)ê(JMℰ) � +

− �ñá� �� J

�� AZ� ^�Cℰ J

ℰJ

ê%JLℰ)ê(JMℰ) ∫ �Ù -(Ù)� +

− �ñá� �� E ��

^�ℰHℰ J�� J

+ℰ� − u�J+� −� ñá� �

� �� AZ� ^�Cℰ �− JJ

J+Jℰ + 35

@3� +

− �ñá� �� E ��

^�Hℰ J�� J

+ℰ� − u�J+� −� ñá� �

� �� Jℰ AZ�

^�Cℰ ∫ �Ù (JM�)[(JM�)(JM�)£ +

− �ñá� �� (2) J

�� AZ� ^�Cℰ � ∫ �ÙJS �(1 − Ù)-(1 − Ù) A�)(JM�)

JM� C L�


89

Trascurando i termini di ordine �%ℰ) questa espressione si può riscrivere:

≃ − ��4ñá �+� J

�� AZ� ^�Cℰ ∫ �Ù �+

ℰ -rq + 2Ù%1 − Ù)� +

− �ñá� �� J

�� Jℰ AZ�

^�Cℰ ∫ �Ù -(Ù)� +

− ñá� ��

J�� J

ℰ AZ� ^�Cℰ ∫ �Ù (JM�)[(JM�)

(JM�)£ +

− �+ ñá� ��

J�� AZ�

^�Cℰ � ∫ �ÙJS �(1 − Ù)-(1 − Ù) A�)(JM�)JM� C L� +

− �ñá� �� E ��

^�Hℰ J�� J

+ℰ� − u�J+� +�

− �ñá� �� E ��

^�Hℰ J�� J

+ℰ� − u�J+� +�

− ñá� ��

J�� AZ�

^�Cℰ �− JJJ+

Jℰ + 35

@3� +

− �4�ñá+�J+ �+

@Jℰ + J

@� J�� AZ�

^�Cℰ

I termini, che sono stati evidenziati con i cerchi, sono finiti per ℰ → 0 quindi si può

scrivere:

termini evidenziati =− ñá� �� J

�� −2 Au�J+C� +

− ñá� �� J

�� 35@3 − �4ñá �

� J�� J

J+

I termini fino ad ora non considerati, ma presenti nell’espressione (3.122) sono:


90

(3.122)-[(3.107')A+(3.109')A+(3.117')+(3.119')+(3.115')A+(3.112')A

+(3.107')B+(3.109')B+(3.118')+ (3.112')B+ (3.115')B] =

= �AJJ3 ñá� − J

@�4� C log E ��

Z�H + ��\

ñá� + J@@3 �4� +�

�− Gõ log E �� ^�H� � ñá

�� +

+∫ �Ù ñá � �� 4� ñ+ñá Ù(1 − Ù) + 2 ñá� %1 − Ù)-(1 − Ù) A�õq(JM�)

JM� C L�

Considerando un fattore d’impatto non rinormalizzato l’espressione

precedente diventa:

(3.122)-[(3.107)A+(3.109)A+(3.117)+(3.119)+(3.115)A+(3.112)A

+(3.107)B+(3.109)B+(3.118)+ (3.112)B+ (3.115)B] =

= �AJJ3 ñá� − J

@�4� C log E ��

Z�H +� �+ ��

\ñá� + J@

@3 �4� + MJJ ñáL + �4J+ � Jℰ E ��

^�Hℰ� ×

× � ñá �� +

+∫ �Ù ñá � �� 4� ñ+ñá Ù(1 − Ù) + 2 ñá� %1 − Ù)-(1 − Ù) A�õq(JM�)

JM� C L�

Adesso si hanno tutti i termini che compongono l’espressione (3.122). Essa si può

scrivere, mettendo insieme i vari contributi, come:


91

(3.122)=

= � ñá �� AJJ

3 ñá� − J@

�4� C log E �� Z�H + ��

\ñá� + J@

@3 �4� � �+ MJJ ñáL + �4J+ � J

ℰ E �� ^�Hℰ� +

+ ñá�� ∫ �Ù ��4� ñ+ñá Ù(1 − Ù) + 2 ñá� %1 − Ù)-(1 − Ù) A�õq(JM�)

JM� C L� +

− ��4ñ+ �+� � J

�� AZ� ^�Cℰ ∫ �Ù �J

@ 2-rq + 2Ù%1 − Ù)� +

− �ñá� �� J

ℰ J�� AZ�

^�Cℰ ∫ �Ù -(Ù)� +

− �ñá� �� J

�� Jℰ AZ� ^�Cℰ ∫ �Ù (JM�)[(JM�)

(JM�)£ +

− �+ ñá� ��

J�� AZ�

^�Cℰ � ∫ �Ù �(1 − Ù)-(1 − Ù) A�)(JM�)JM� C L� +

− �+ ñá� �� E ��

^�Hℰ J�� J

+ℰ� −� ñá� �� AZ�

^�Cℰ J�� A− JJ

J+JℰC +

− ��4ñá �+� � J+ A+

@JℰC J

�� AZ� ^�Cℰ +

− � ñá� ��

J�� − +��

J+ + 35@3�� +

− �4ñá �� A J

J+C +

+ �ñá� �+�

J�ℰ

� ��£ℰ ê%JMℰ) ê�(JLℰ)A��Cℰ¦�ℰ ê%JL+ℰ) ×

× *�4�X �J@ − +@

J1 ℰ� + �4ñ4�Xñá �+@ + J

@ ℰ� + �+ℰ − JJ

+ + ℰ A− +��@ + 35

s C�f

Per l’ultimo termine si può usare l’approssimazione

ê�%JLℰ) ê(JL+ℰ) ≃ 1 − ℰ+ ��

3


92

pertanto esso diventa

ê�%JLℰ) ê(JL+ℰ) Ê�4�X �J

@ − +@J1 ℰ� + �4ñ4ñá� �+

@ + J@ ℰ� + �+

ℰ − JJ+ + ℰ A− +��

@ + 35s C�Ë =

= ¸�}�ñ �13 − 2318 ℰ� + �}Ö}Ö²¿ �23 + 13 ℰ� + 2ℰ − &+3 ℰ − 112 + ℰ i− 2&+

3 + 679 wº

quindi

��ñá�+� J�� E ��

^�Hℰ Ê�4�X � J@ℰ − +@

J1� + �4ñ4ñá� �+@

Jℰ + J

@� + +ℰ� − ��

@ − JJ+

Jℰ + A− +��

@ + 35s CË =

= ℎq(S)f�g E �� ^�Hℰ *�4� � J

3ℰ − +@@3� + �4ñ4ñá� �J

@Jℰ + J

3� + Jℰ�

ñá� − ��3

ñá� − JJ\

Jℰ

ñá� ++ ñá� A− ��

@ + 35J1Cf

La (3.122) si scrive adesso:

= �AJJ3 ñá� − J@

�4� C log E �� Z�H + ��

\ñá� + J@

@3 �4� +� �+ MJJ ñáL + �4J+ � J

ℰ E �� ^�Hℰ� � ñá

�� +

− ��4ñá �+� � J

�� AZ� ^�Cℰ ∫ �Ù �+

ℰ -rq� +

− �ñá� �� J

�� AZ� ^�Cℰ ∫ �Ù -(Ù)� +

− �ñá� �� J

�� Jℰ AZ� ^�Cℰ ∫ �Ù (JM�)[(JM�)

(JM�)£ +

− �+ ñá� �� E ��

^�Hℰ J�� J

+ℰ� +� − ñá� �

� J

�� AZ� ^�Cℰ A− JJ

J+JℰC +

− ��4ñá �+� � J+ A+

@JℰC J

�� AZ� ^�Cℰ +

(3.126)

(3.127)

(3.128)

(3.129)

(3.130)

(3.131)

(3.132)

(3.133)


93

− �ñá� ��

J�� − +��

J+ + 35@3�� − �4ñá �

� �� A JJ+C +

+ ��ñá�� E ��

^�Hℰ *�4� � J3ℰ − +@

@3� + �4ñ4ñá� �J@

Jℰ + J

3�� +

+ Jℰ�

ñá� − ��3

ñá� − JJ\

Jℰ

ñá� +

+ �ñá� A− ��@ + 35

J1Cf

Consideriamo la somma dei termini in (3.126), (3.134):

��ñá��

\ñá� + J@

@3 �4� − �ñá� A− +��J+ + 35

@3C − �4� A JJ+C�� =

�= �ñá�� A 2

J+ &+ − 35@3C ñá� + 2

J1 �4� ��

Ai termini (3.126), (3.127), (3.134) si può sostituire la loro somma:

(3.126)+(3.127)+(3.134) =

= �2 AJJJ+ ñá� − +J+ �4� C log E �� Z�H +�

+ �A 2J+ &+ − 35

@3C ñá� − 2J1 �4� � +

�+ MJJ ñáL + �4J+ � Jℰ E ��

^�Hℰ� � ñá ��

Si considerino adesso i termini contenenti singolarità. Come detto a pagina

73 tutti questi termini devono essere addizionati all’espressione (3.122).

Nel lavoro di Bartels et al. [3] le singolarità trovate sono date dai termini seguenti,

che vengono riportati dopo aver messo in evidenza il fattore >? ∫ �Ú �� ℎr(S)f�g

(tenendo presente che cq = 1 ):

(3.134)

(3.135)

(3.136)

(3.137)


94

termine contenente il polo di secondo ordine della (3.104):

� E �� ^�Hℰ � A− ñá� J

ℰ�C � ñá ��

della (3.110):

� E �� ^�Hℰ � Añá+� J

ℰ�C � ñá ��

termine contenente il polo di primo ordine della (3.113):

� E �� ^�Hℰ � Añá+� J

ℰ�C � ñá ��

termine contenente il polo di primo ordine della (3.104)

�AZ� ^�C � ñá

�� AJJ3 ñá� − J

@�4� C J

ℰ �

della (3.106):

�AZ� ^�Cℰ �4�

� ñá �� J

ℰ � ∫ �Ù -rq(Ù)JS

della (3.108):

�AZ� ^�Cℰ �4�

J3ℰ

� ñá ��

della (3.111):

�AZ� ^�Cℰ ñá� ñá�

�� A− JJJ+ J

ℰC�

della (3.114):

�ñá� ñá� �� J

ℰ � ∫ À�%JM�)£ (1 − Ù)-(1 − Ù)JS

(3.138)

(3.139)

(3.140)

(3.141)

(3.142)

(3.143)

(3.144)

(3.145)


95

e infine della (3.118):

AZ� ^�Cℰ �ñá� ñá�

�� Jℰ � ∫ �Ù -(Ù)JS

Addizionando questi termini all’espressione della (3.122) data alle pagine

92-93 si vede che si hanno le seguenti semplificazioni:

(3.139) +(3.140) (3.131)

(3.142) (3.128)

(3.143) (3.133)

(3.144) (3.132)

(3.145) (3.130)

(3.146) (3.129)

Rimane l’ultima parte dell’espressione (3.104).

Adesso l’espressione (3.122) alla quale sono stati addizionati i termini divergenti è

data da:

(3.122)+termini divergenti=

= �2 AJJJ+ ñá� − +J+ �4� C log E �� Z�H +�

+ �A 2J+ &+ + 35

@3C ñá� − 2J1

�4� � + �MJJ ñáL + �4J+ � Jℰ E ��

^�Hℰ� � ñá �� +

+ AZ� ^�Cℰ ��ñá

�� AJJ3 ñá� − J

@�4� C J

ℰ +

+ ��ñá�� E ��

^�Hℰ *�4� � J3ℰ − +@

@3� + �4ñ4ñá� �J@

Jℰ + J

3�� +

− ��3

ñá� − JJ\

Jℰ

ñá� +

+ �ñá� A− ��3 + 35

J1Cf

(3.146)


96

Per i termini del primo e terzo rigo si può scrivere:

Jℰ �AJJ

3 ñá� − +3

�4� C ℰ log E �� Z�H +� �AZ�

^�Cℰ AJJ3 ñá� − J

@�4� C� ≃

≃ Jℰ �E1 + ℰ log E ��

Z�HH AJJ3 ñá� − J

@�4� C� �AZ�

^�Cℰ� ≃

≃ Jℰ ��

Z�Z� ^��ℰ AJJ

3 ñá� − J@

�4� C ≃

≃ Jℰ E ��

^�Hℰ AJJ3 ñá� − J

@�4� C

trascurando ancora �%ℰ):

�A 2J+ &+ + 35

@3C ñá� � ≃ �A 2J+ &+ + 35

@3C ñá� � E �� ^�Hℰ

2

J1�4� ≃ 2

J1�4� E ��

^�Hℰ

quindi:

(3.120)+termini divergenti=

= �Jℰ E ��

^�H AJJ3 ñá� − +

@�4� C +� AMJJ ñáL + �4%+) 3 � C �Jℰ E ��

^�Hℰ +�

+ E �� ^�Hℰ �A 2

J+ &+ + 35@3C ñá� � + � 2J1

�4� E �� ^�Hℰ� �ñá

�� +

+ ��ñá�� E ��

^�Hℰ *�4� � J3ℰ − +@

@3� +� �4ñ4ñá� �J@

Jℰ + J

3� +

− ��3

ñá� − JJ\

Jℰ

ñá� + �ñá� A− ��@ + 35

J1Cf =


97

= ¸− J+ℰ E ��

^�Hℰ �ñá�� ñá� º �− JJ

3 + J@

�4�X − ��+ ℰ + 35

J1 ℰ − 2s ℰ �4�X � + �4�X A− J

@ + +@J1 ℰC + �4ñ4�X� A− +

@ − J@ ℰC + JJ

+ + �A+��@ − 35s C ℰ�

Quindi il vertice del jet si riduce al fattore d’impatto del gluone come si vede

confrontando l'espressione (3.124) con la (5.11) del lavoro [13].

Ciò è stato fatto addizionando i termini divergenti al vertice del jet dopo aver

usato:

∫ �: < = 1

(3.147)


98


partonica totale: controllo di consistenza

Una volta ottenuta la forma limite del vertice del jet, rimane da verificare

che le correzioni NLL all'ordine >?@ della (3.48) si riducano effettivamente ai

corrispondenti termini della sezione d’urto totale data dalla (2.75).

Poiché i termini che danno luogo alle singolarità nella sezione d’urto del jet

forniscono le correzioni alle PDF, mentre nella riduzione del vertice del jet

vengono riassorbite nelle correzioni al fattore d’impatto del gluone, non comparirà

più il termine con la ridefinizione delle cq%S). Sommando quindi i contributi della regione superiore, il termine relativo alla

parte virtuale del kernel e il contributo del vertice del jet ridotto con il conseguente

termine LL modificato ( (3.119) con la modifica alla funzione θ del paragrafo

precedente), si ottiene, invece della (3.48):

�rq(J) = >? ∫ �� Ã ℎr(S)f�g Ì%S,d�è !��)f�l, �Ã« g ℎq%S) A�ÃC

+ ØPb �� +

+ >? ∫ �� Ã ℎr(S)f�g Ì%S,è��)f�l, �Ã« g ØPb √smax%�+, �@) ℎq(S) A�ÃC +

+ >? ∫ �� Ã δf�l − �Ã« g ℎr%J)f�g ℎq%S) A�ÃC +

+ >? ∫ �� Ã ℎr(S)f�g Ì%S,è��)f�l, �Ã« g ØPb √�O�&%��,��) ℎq(S) A�ÃC +

+ >? ∫ �� Ã ℎr(S)f�g ℎq%J) A�ÃC

L’espressione alla quale quest’ultima deve ricondursi è data dalla (2.75) dove

Û¼ %vlJ, vl+)

(3.148)a

(3.148)b

(3.148)c

(3.148)d

(3.148)e


99

è calcolato tramite l'equazione ricorsiva (2.76) con una sola iterazione.

Considerando i termini >?@ si avrà:

�¿ã(J) = ∫ À¼(+�1) yL1·yM1· J

(+�)�£�ℰ ∫ � vlì �vlz A ??ûC¼ ×

× Ê�á(û) (rlà)rlà�

J¼� ∫ � qçl δ(vlz − qçl)� ×

× �2»′ %−vlì+) δ(vlì − qçl) + ?�/{(+�)�£�ℰ+

frlàM Õ|«g�� ×

× �(û) (rlä)rlä� +

+ �á(û) (rlà)rlà� × �å(�) (Mrlä)

rlä� × }(rlàM rlä)¼ +

+ �á(�) (rlà)rlà� × �å(û)(Mrlä)

rlä� × �}(rlàM rlä)¼ f

Si noti che in questa espressione la scala delle energie #S è totalmente arbitraria.

Ponendo :

� → vBNO�

Ü → bØBPQI

sarà (Fadin et al. [14], [15] :

�q(S) fvl?g = �q(S) = b+ Í �X��X�MJ ; �r(S) fvlÕg = �r(S) = b+ Í�X�MJ\�X�

»′(J)(−vl+) = q� �X(\�)�£ℰ ê(JMℰ) ê�(JLℰ)

ê(JL+ℰ)+ℰ (vl+)ℰ

e per i fattori d'impatto con approssimazione NLL:

(3.149)a

(3.149)b

(3.149)c

(3.150 )

(3.151)


100

�r(J)f�g = �r(S)»′(J) A−�+C �AJS@ − J

@�4�XC + ℰ A− @1s + ��

3 + 2s �4�XC� +

+�r(S)b+�ñ�+ J(+�)�£�ℰ ∫ À~=«

~=«�A~=«M�C� log E~=«��H

�q(J)f�g = �q(S)»′(J) A−�+C �AJJ3 − �4@�XC + AJJ3 + A+Lℰ3�XC �}C� +

− ñ+�4�X� A+@ + ℰ

@C − � ℰ�X A�ñ A35

J1 − ��3 C − 2

s �}C� +

+ �q(S)b+�ñ �+ J(+�)�£�ℰ ∫ À~=«

A~=«C�A~=«M�C� log E~=«��H

Il primo termine della (3.149), cioé (3.149)a è, considerando che:

∫ ��%��¤) � A ??ûC¼ J

¼� = ln A ??ûC

(3.149)a = J

%+�)�£�ℰ ∫ � vlì �vlz �G(û) (rlà)rlà� �E(û) (Mrlä)

rlä� ×

× log A ??ûC � ∫ � qçl δ(vlz − qçl)� ×

× �2 »′ %vlì+) δ(vlì − qçl) + ?�/{(+�)�£�ℰ+

frlàM Õ|«g�� =

= b\ Í�X�MJ\�X� Í �X��X�MJ u¦�

(+�)K£Kℰ log A ??ûC ×

× ∫ Àrlà Àrlärlà� rlä� � ?�/{(rlà rlä)� − b+�ñ &ℰLJ � ×

�× ê(JMℰ) ê�(JLℰ)ℰ ê(JL+ℰ) (vlì+) δ(vlì − vlz)�

Invece per il secondo termine sarà:

(3.152)

(3.153)

(3.154)

(3.155)


101

(3.149)b=

J

%+�)�£�ℰ ∫ � vlì �vlz �G(û) (rlà)rlà� �E(�) (Mrlä)

rlä� δ(vlì − vlz) =

= J(+�)�£�ℰ ∫ � vlì �vlz δ(vlì − vlz) iq�

rlà� Í�X�MJ\�X� w iq�

rlä� Í �X��X�MJ w ×

× �AJJ3 − �4@�XC + AJJ3 + A+Lℰ3�XC �}C� − ñ+�4�X� A+@ + ℰ

@C +

− � ℰ�X A�ñ A35

J1 − ��3 C − 2

s �}C� ×

× A− �X q�(\�)�£ℰ

ê(JMℰ) ê�(JLℰ) ê(JL+ℰ)

+ℰ (vlz+)ℰC +

+ J%+�)�£�ℰ ∫ � vl� �vlz ib+Í�X�MJ

\�X� w ib+Í �X��X�MJ w ×

× �X q�(+�)�£�ℰ

Jrlä�rl{� (rl{Mrlä)� ln Arl{�rlä�C

Infine l’ultimo termine sarà dato:

(3.126)c=

J

%+�)�£�ℰ ∫ � vlì �vlz �G(�) (rlà)rlà� �E(û) (Mrlä)

rlä� δ(vlì − vlz) =

= J(+�)�£�ℰ ∫ � vlì �vlz δ(vlì − vlz) ×

× iq�rlà� Í�X�MJ

\�X� w iq�rlä� Í �X��X�MJ w ×

× �AJS@ − J

@�4�XC + ℰ A− @1

s + ��3 + 2

s�4�XC� ×

× A− �X q�(\�)�£ℰ

ê(JMℰ) ê�(JLℰ) ê(JL+ℰ)

+ℰ (vlì+)ℰC +

+ J%+�)�£�ℰ ∫ � vl� �vlz ib+Í�X�MJ

\�X� w ib+Í �X��X�MJ w ×

× �X q�(+�)�£�ℰ

Jrlä�rl{� (rl{Mrlä)� ln Arl{�rlä�C

(3.156)

(3.157)


102

Mettenendo insieme tutti i contributi, si ottiene:

�rq(J) = J(+�)�£�ℰ ¸ib+Í�X�MJ

\�X� w ib+Í �X��X�MJ w ×� × ∫ Àrlà Àrlä

rlà� rlä� × J� (+�)�£�ℰ log A ?

?ûC ×

× � ?�/{(rlàMrlä)� − b+�ñ &ℰLJ � � ê(JMℰ) ê�(JLℰ)ℰ ê(JL+ℰ) (vlì+)ℰ δ(vlì − vlz)� +

+ ∫ Àrlä rlä� ib+Í �X��X�MJ w �∫ Àrlà

rlà� δ(vlì − vlz) A�−�ñ b+ � � ê(JMℰ) ê�(JLℰ)(\�)�£ℰ ê(JL+ℰ) �� ×

× �+ℰ (vlì+)ℰ C × ib+Í�X�MJ\�X� w × �AJS

@ − J@

�4�XC + ℰ A− @1s + ��3 + 2s �4�XC� +

+b+ �iÍ�X�MJ\�X� w ∫ Àrlà

rlà�J

%rlàMrlä)� �X q�(+�)�£�ℰ ln Arlà�rlä�C� +

+ ∫ Àrlà rlà� ib+Í�X�MJ

\�X� w �∫ Àrlä rlä� δ%vlì − vlz) A�−�ñ b+ � � ê(JMℰ) ê�(JLℰ)

(\�)�£ℰ ê(JL+ℰ) �� ×

× �+ℰ (vlì+)ℰ C × ib+Í �X��X�MJ w × �AJJ3 − �4@�XC + AJJ3 + A+Lℰ3�XC �}C� +

− ñ+�4�X� A+@ + ℰ

@C + − � ℰ�X A�ñ A35

J1 − ��3 C − 2

s �}C� +

�+b+ �iÍ �X��X�MJ w ∫ Àrlä rlä�

J%rlàMrlä)� �X q�

(+�)�£�ℰ ln Arlä�rlà� C�º

Si consideri adesso l’espressione (3.148). Per il primo termine sarà:

(3.148)a = >? ∫ �� Ã ℎr(S)f�g Ì%S,d�è !��)f�l, �Ã« g ℎq%S) A�ÃC

dove:

Ì%S,d�è !��)f�l, �Ã« g = 2»%J)f�gδf�l − �Ã« g

(3.158)


103

»%J)f�g = − ñá�J

+ℰ ê�(JLℰ)ê(JL+ℰ) E ��

^�Hℰ

e con le definizioni (3.26), (3.27), (3.28) forniscono:

ℎr%S)f�g = q�(+�)�£ℰ J

�� Í�X�MJ\�X�

ℎq(S)f�g = q�(+�)�£ℰ J

�� Í �X��X�MJ

si trova (�ñ ≡ Ö¿):

(3.148)a = J

(+�)�£�ℰ ∫ �� Ã J�� ×

× ib+Í�X�MJ\�X� w ib+Í �X��X�MJ w log A ?

��C ×

× E− �X� q�

%\�)�£ℰ ê(JMℰ) ê�(JLℰ)

ê(JL+ℰ)Jℰ A�+CℰH δf�l − �Ã« g

Per (3.148)b, (3.148)c, usando:

Ì%S,è��)f�l − �Ã« g = �àu J��£ℰê(JMℰ) ^�ℰ

Jf�l M��lllg�

e per ℎr%J)f�g (dedotta dalla (69) di [2] Appendice 2),

ℎr%J)f�g = ℎr(S)f�g A � ^�Cℰ Añá� C A− J

+ℰC ×

× �AJS@ − J

@�4ñáC + A2s �4ñá + ��

3 − @1s C ℰ�

e facendo uso dell’identità:

ØPb √�O�&%|rl|,|�l |) = log √�|�l | − g Avl+ − �+C log |rl|

|�l |

(3.159)

(3.160)

(3.161)

(3.162)


104

Si potrà scrivere la somma (3.148)b+(3.148)c come:

(3.148)b+(3.148)c =

>? ∫ �� Ã ℎr(S)f�g Ì%S,è��)f�l, �Ã« g log √�|�l | ℎq(S)f�Ãg +

−>? ∫ �� Ã ℎr(S)f�g Ì%S,è��)f�l, �Ã« g g Avl+ − �+C log |rl||�l | ℎq(S)f�Ãg +

+>? ∫ �� Ã δf�l − �Ã« g ℎr%J)f�g ℎq%S)f�Ãg =

= J(+�)�£�ℰ ∫ �� Ã ib+Í�X�MJ

\�X� w ib+Í �X��X�MJ w × log √�|�l | ×

× i �X q��

J (+�)�£�ℰ

J��f�l M��lllg�w +

− ∫ À� À��%+�)�£�ℰ ib+Í�X�MJ

\�X� w ib+Í �X��X�MJ w J��f�l M��lllg� ×

× q�(+�)�£�ℰ �ñ g Avl+ − �+C log Er�

��H +

+ J%+�)�£�ℰ ∫ �� Ã }f�l M��lllg

�� ib+Í�X�MJ\�X� w ib+Í �X��X�MJ w ×

× *AJS@ − J

@�4�XC + A2s �4�X + ��

3 − @1s C ℰf × × AM?�/{� ê(JMℰ)

+�£�ℰ ��£ℰJℰ f�l+gℰC

Per determinare la somma delle espressioni (3.148)d e (3.148)e si fa uso

dell’espressione (3.147), scrivendola come:

ℎq%J) A�′C = ¸− J+ℰ E�Ã�

^�Hℰ E�ñá�� H ñá� º ×

× �− JJ3 + J

@�4�X − ��

+ ℰ + 35J1 ℰ − 2s �4�X ℰ + �4�X A− J

@ + +@J1 ℰC +�

�− �4ñ+�X� A− +@ − J

@ ℰC + JJ+ + A+��

@ − 35s C ℰ� =

(3.163)


105

= ¸A− J+ℰC E�Ã�

^�Hℰ ℎq%S) A�′C ñá� º × �AJJ3 − �4@�XC +�

+ JJ3 + A+

3 + ℰ3C �4�X − ��4ñ+�X� A+

@ + ℰ@C − ℰ

�X iA35J1 − ��

3 C �ñ − �} 2sw�

e usando di nuovo l’dentità (3.162) si può scrivere:

(3.148)d+(3.148)e =

= >? ∫ �� Ã ℎr(S)f�g Ì%S,è��)f�l, �Ã« g log √�O�&%|�l �|,|�l M�l �|) ℎq(S)f�Ãg +

+>? ∫ �� Ãℎr(S)f�Ãg ℎq%J)f�g δf�l − �Ã« g =

= J(+�)�£�ℰ ∫ �� Ã ib+Í�X�MJ

\�X� w ib+Í �X��X�MJ w × log √�|�l �| ×

× i �X q� �(+�)�£�ℰ J

��f�l M��lllg�w +

− J%+�)�£�ℰ ∫ �� Ã J

��f�l M��lllg² ib+Í�X�MJ\�X� w ib+Í �X��X�MJ w ×

× q�(+�)�£�ℰ �ñ g Avl+ − �Ã+C log E r�

��H +

+ ∫ À� À��%+�)�£�ℰ }f�l M��lllg

�� ib+Í�X�MJ\�X� w ib+Í �X��X�MJ w ,− J

+ℰ i�� ^�wℰ ñá� 2 ×

× AM?� ^�ℰ ê(JMℰ)(\�)�£ℰ C * �AJJ3 − �4@�XC + AJJ3 + A+Lℰ3 C �4�X C� +�

− �4ñ+�X� A+@ + ℰ

@C − � ℰ�X iA35

J1 − ��3 C �ñ − �} 2

swº

Mettendo insieme i primi termini di ognuna delle espressioni (3.163), (3.164), si

otterrà un termine contente :

(3.164)

(3.165)


106

Ì%S,è��) log sz�l Ãzz�lz

che fornirà quindi la parte reale del kernel.

Scrivendo la somma di tutti i termini si ottiene:

(3.148)a, (3.163), (3.164)=

= J(+�)�£�ℰ ∫ �� Ã ib+Í�X�MJ

\�X� w ib+Í �X��X�MJ w J�� ×

× log A �|�l �||�l |C J

� %+�)�£�ℰ ×

�× � q��Xf�l M��lllg� � − b+�ñ ��£ℰ ê(JMℰ) ê�(JLℰ)

ℰ ê(JL+ℰ) A�+Cℰ δf�l − �Ã« g� +

+∫ ��Ã i q�� Í �X��X�MJ w o�∫ �� δf�l − �Ã« g ,M?� +/{ ê%JMℰ)A��Cℰ

%\�)�£ℰ ℰ 2� ×

× �AJS@ − J

@�4�XC + A2s �4�X + ��

3 − @1s C ℰ� ib+Í�X�MJ\�X� w +

− ib+Í�X�MJ\�X� w ?� /{%+�)�£�ℰ ∫ À�

��E��M��H g �Avl+ − �+C log Er��HË +

+∫ �� iq�� Í�X�MJ

\�X� w �∫ À��lll�� δf�l − �Ã« g ib+Í �X��X�MJ w� ×

× ,M?� +/{ ê(JMℰ)A�Ã�Cℰ%\�)�£ℰ ℰ 2 × ��AJJ

3 − �4@�XC + AJJ3 + A+

3 + ℰ3C �4�X C� +�

+ �4ñ+�X��A+

@ + ℰ@C − � ℰ

�X iA35J1 − ��

3 C �ñ − �} 2sw�� +

− �ib+Í �X��X�MJ w ∫ À�Ã��E��M��H ?� /{%+�)�£�ℰ g �Avl+ − �Ã+C log E r�

��HË�

Confrontando infine le espressioni (3.158), (3.166) si vede che esse sono uguali a

meno di g �%ℰ+)� se si identifica #S della (3.135) con

(3.166)


107

# → z�lzz�l Ãz

e si usa lo sviluppo:

Γ+%1 + ℰ)Γ(1 + 2ℰ) ≃ 1 − ℰ+ &+6

Si deve inoltre usare l’eguaglianza seguente [15]:

∫ À��A�M��C� log E ��

��H =

= − ∫ À��A�M��C� g �Af� − �Ãg+ − �+C log iA�M��C�

�� w�.

Conclusioni

108

CONCLUSIONI

Un primo obiettivo della tesi era quello di ricondurre il vertice del jet

originato dal gluone in processi come quelli rappresentati in figura a pagina 3

(riportato nell'espressione (3.122)) al corrispondente fattore d'impatto del gluone.

Ciò è stato fatto imponendo che per l'operatore di distribuzione del jet si abbia:

< = 1

E' stata ottenuta come risultato l'eq. (3.147). Per mezzo di essa è stata

effettuata la verifica che la sezione d'urto differenziale del jet (3.48) nel limite in

cui non venga selezionato il jet nello stato finale e che lo stato iniziale sia

puramente partonico, si riconduca alla sezione d'urto totale partonica. Tale verifica,

che costituiva il secondo obiettivo della tesi, è stata fatta, all'ordine >? e in

approssimazione NLL, ottenendo le due espressioni (3.158), (3.166) che risultano

effettivamente uguali a meno di O(ℰ+).

Appendice 1

109

APPENDICE 1

Calcolo dell'integrale

= �� 1�+È�+ + (� − �)+É Dall'uguaglianza:

= � � 1�+(� − �)+ = = �� 1�+ + (� − �)+1�+ + = �� 1�+ + (� − �)+

1(� − �)+

cambiando la variabile d' integrazione nel secondo termine : � → � + �

= = �� 1�+ + (� − �)+1�+ + = �� 1(� + �)+ + �+

1�+ =

cambiando ancora, nel secondo termine: � → −�

si ottiene:

= = �� 1�+ + (� − �)+1�+ + = �� 1(� − �)+ + �+

1�+ =

= 2 = �� 1�+È�+ + (� − �)+É quindi:

= �� 1�+È�+ + (� − �)+É ≃ &JL§ �1 − &+6 ¨� (�+ )§�+

a meno di ordini O(+)

Appendice 2

110

APPENDICE 2

L'espressione (69) Bartels et al. [2]:

ℎr%J)(�) =

= ¸Ö¿& �E− 34 + 4H 1 + 6736 − &+12 − 518 �}Ö¿� i��

"+w§ − GS ØPb i��

"+wº ℎr%S)(�)

riscritta senza rinormalizzazione è:

ℎr(J)(�) = ℎr(S)(�) ¸Ö¿& �E− 34 + 4H 1 + 6736 − &+12 − 518 �}Ö¿� − 11

12Ö¿&¨ + 1

6�}&¨º i��

"+w§

=

= ℎr(S)(�) i��"+w

§ Ö¿& E 1−2¨H ¸103 − 13 �}Ö¿ + i59

�ôÖ¿&+6 − 38

9 w ¨º

Appendice 3

111

APPENDICE 3

Per calcolare l'integrale:

= ��l Ã�+ g fΛ+ − �l+g = Λ+ℰ

ℰ &JLℰΓ(1 + ℰ)

si è fatto uso delle seguenti espressioni [17] (per uno spazio D-dimensionale

euclideo):

�'� = �'MJ �� '

dove:

∫ ��' = ∫ �gJ #IQ'M+�S gJ … ∫ �g'M+ #IQ�S g'M+ ∫ �g'MJ = +��/�ê('/+)

+�S

Bibliografia

112

BIBLIOGRAFIA

[1] UA2 Collaboration, M. Banner et al., Phys Lett. 118B, 203 (1982)

UA1 Collaboration, G. Arnison et al., Phys Lett. 123B, 115 (1983)

[2] Bartels

[3] Bartels gluone

[4] Fadin

[5] V.Barone, E. Predazzi, High-Energy Particle Diffraction Springer (2001)

[6] J.R.Forshaw, D. A. Ross, Quantum Chromodynamics and the Pomeron (1997)

[7] Nucl. Phys b254 (1985)

[8] D.J. Gross, F. Wilczek Phys. Rev. Lett. 30(1973)

[9] H.D. Politzer, Phys. Rev. Lett. 30(1973)

[10] J.D. Bjorken, Phys. Rev. Lett. 179(1969)

[11] L.D. Faddeev,V.N. Popov, Phys. Rev. Lett. 25B(1967)

[12] V.S. Fadin, E.A. Kuraev and Lipatov, Phys.Lett. B60, 50(1975); E.A.Kuraev,

L.N.Lipatov, V.S. Fadin, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 71, 840 (1976)[Sov. Phys. JETP

44, 443 (1976)]; 72, 377 (1977)[45, 199 (1977)]; Ya.Ya. Balitskii,

L.N.Lipatov, Sov. J. Nucl. Phys. 28, 822 (1987)

[13] M. Ciafaloni, D. Colferai, Nucl. Phys. B358 (1999)

[14]V.S.Fadin, R.Fiore, M.I. Kotsky, A. Papa, The Quark Impact Factor............

[15] V.S.Fadin, R.Fiore, M.I. Kotsky, A. Papa, The Gluon Impact Factor............

[16] ] V.S.Fadin, R.Fiore, A. Quartarolo Phys. Rev. D46 (1992)

[17] T. Muta, Foundation of Quantum Chromodinamics, World Scientific (2000)

Indice

I

INDICE

INTRODUZIONE .................................................................................................. 1

CAPITOLO1: QCD ................................................................................................ 5

CAPITOLO2: Dinamica BFKL ............................................................................. 8

Diffusione Quark-Quark in LLA ..................................................................... 8

Primo diagramma a scala ............................................................... 15

Ordini successivi e equazione BFKL .............................................. 20

Soluzione dell'equazione BFKL per t=0 ......................................... 28

Generalizzazioni e correzioni NLLA .............................................. 30

CAPITOLO 3: Dettagli del lavoro ....................................................... 34

Notazioni e definizione di operatore di selezione del jet ................. 36

Vertice del jet all'ordine più basso ................................................. 41

Fattorizzazione della sezione d'urto del jet nell'analisi ad un

loop ................................................................................................ 44

Correzioni virtuali a un loop ......................................................... 48

Correzioni reali ............................................................................. 51

Proprietà del jet ............................................................................ 54

Sezione d'urto partonica e contributo del semipiano superiore alla

sezione d'urto del jet ..................................................................... 56

Correzioni reali al vertice del jet ................................................... 59


partonica totale: riduzione del vertice del jet ................................. 71

Indice

II


partonica totale: controllo di consistenza ...................................... 98

CONCLUSIONI ................................................................................... 108

APPENDICE 1 ....................................................................................... 109

APPENDICE 2 ..................................................................................... 110

APPENDICE 3 ...................................................................................... 111

BIBLIOGRAFIA .................................................................................. 112

Ringraziamenti

Date post:	15-Feb-2019
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