Cosa sono?

SISTEMI CAOTICI

Pagliari Luca

5D Liceo Scientifico , Empoli A.S 2012/2013

IL MECCANISMO

Una semplice forma di caos

Una specie di clessidra riversa il suo contenuto su una ruota di mulino; alle estremit di ogni braccio di questultima si trova un secchiello dal fondo bucato, da cui la sabbia scorre via. Ne deduciamo che: Il riempimento avviene ad un ritmo che dipende dalla

velocit di rotazione Lo svuotamento mantiene un ritmo costante

Ci determina una ripartizione irregolare dei secchielli vuoti e dei secchielli pieni, quindi avremo accelerazioni e decelerazioni nelle due direzioni. Ora che conosciamo il meccanismo e possiamo modificarlo a nostro piacimento, ma a pari condizioni iniziali , levoluzione sar differente. La teoria del caos cerca di spiegarne il motivo.

Il meccanismo sotto la marionetta

SISTEMA CAOTICO Definizione

E un sistema deterministico, ovvero un sistema il cui comportamento futuro determinato completamente dal suo stato presente(condizioni iniziali). A due condizioni inizial identiche corrispondono due traiettorie identiche, e a due condizioni iniziali diverse corrisponderanno due traiettorie differenti. Si dir che un sistema caotico se amplifica esponezialmente le differenze iniziali.

Pi esattamente, a ogni sistema caotico associato un intervallo di tempo T, tale che al termine di T, lo scarto tra due traiettorie inizialmente vicine sia pi o meno decuplicato.

MODELLI MATEMATICI Funzioni elementari

+1 = ( 1 )

MODELLI FISICI La meccanica celeste

KEPLERO

COPERNICO

NEWTON

EINSTEIN

Sole al centro delluniverso, al posto della terra.

Pianeti che percorrono ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi, descrizione in ogni dettaglio delle velocit orbitali.

Legge dellattrazione universale. Collega la fisica e la matematica. La conoscenza dello stato iniziale ci consente di prevedere le evoluzioni future. Determinismo. Piccole correzioni della legge di

Newton, i pianeti non sono attratti esclusivamente dal Sole.

Relativit generale, piccole correzioni sul moto di Mercurio

ILLUSIONE Non ottica, di scala

Henri Poincar (1854-1912)

Andrej Kolmorogov (1903-1987)

Oggi sappiamo, con laiuto di hardware moderni, che il sistema solare caotico, ma il suo tempo T caratteristico nellordine di 10 milioni di anni.

1988 - Gerald Jay Sussman e Jack Wisdom dimostrarono che il moto di Plutone caotico, con un tempo caratteristico di cinquanta milioni di anni.

1989 Jacques Laskar dimostr che il moto dei pianeti interni (tra cui il nostro) caotico, con un tempo caratteristico dellordine di dieci milioni di anni.

Nascita nuovi modelli

MODELLO LASKAR Linee principali

Le orbite dei grandi pianeti esterni, da Giove a Nettuno, sono stabili.

I movimenti di Marte e della terra sono caotici, ma restano confinati in regioni separate

Il caos presente nel moto di venere Venere tale da aver capovolto il pianeta, addirittura pi di una volta.

Mercurio il pianeta pi instabile, pu portare la sua orbit al di l di Venere e causare una collisione. C anche la possibilit che venga espulso dal sistema solare.

Scopriamo anche che il sistema solare pieno , cio che se in un suo punto introducessimo un altro pianeta daremmo origine a una situazione di grave instabilit, che in breve termine condurrebbe a una collsione o a unespulsione

Siamo come nani sulle spalle di giganti, cos che possiamo vedere pi cose di loro e pi lontane, non

certo per l'altezza del nostro corpo, ma perch siamo sollevati e portati in alto dalla statura dei giganti. -

Metalogicon III, Bernardo di Chartres

THE BUTTERFLY EFFECT La meteorologia di Lorenz

Il meteorologo Edward Lorenz (1917-2008) riusc a costruire un modello estremamente ridotto , che dipendeva solo da dodici fattori, e altrettanto imprevedibile del modello completo. Si accorse, casualmente, che ogni piccola variazione nei fattori iniziali portava un enorme differenza allevoluzione del sistema. Lorenz tenne un conferenza nel 1979 intitolata Puo il batter d'ali di una farfalla in Brasile provocare un tornado in Texas? , da cui riprendiamo la seguente definizione: Con Effetto Farfalla (o Butterfly Effect)si definisce la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali di un sistema complesso. Ci significa che nei sistemi particolarmente complessi, una piccola variazione delle condizioni iniziali (un soffio di vento, unimprecisione microscopica nel determinare un dato) pu portare cambiamenti di imprevedibile portata sulla storia futura del sistema stesso.

ATTRATTORE DI LORENZ Attrattori matematici

Lorenz studiando un sistema idrico analogo a quello precedentemente studiato ha prodotto una serie di equazioni differenziali che non sono sufficienti a descrivere con precisione il comportamento del fluido, ma ne rappresentano solo un modello semplificato, ma soddisfacente.

Rappresentazione 3D

DIPENDENZA SENSIBILE DA CONDIZIONI INIZIALI

Effetto farfalla

Bastava infatti un minuscolo errore di rilevamento degli stati di partenza per rendere le equazioni totalmente inaffidabili nella descrizione del fenomeno, e provocare nellattrattore dei cambiamenti di traiettoria assolutamente imprevedibili. Vediamo qui accanto, due traiettorie tridimensionali dellattrattore di Lorenz, il cui stato iniziale differisce per un errore di ordine 10-5, in un intervallo di tempo di 30 secondi. Con il passare del tempo, la differenza nelle condizioni iniziali le porti a prendere percorsi radicalmente diversi, come si pu notare osservando la parte superiore dellattrattore

Le due diverse traiettorie dell'attrattore

Una definizione tanto matematica pu far credere che lEffetto Farfalla sia soltanto un fenomeno legato alla fisica e alla matematica.

Guardandoci attorno, ci possiamo accorgere che non cos: che il sistema in questione sia un modello di analisi matematica, o le

dinamiche sociologiche di una societ, o leconomia, o il nostro cervello e la nostra psicologia, oppure luniverso intero, il risultato lo stesso:

anche se in modi diversi, dove c complessit e non-linearit, c dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali. C Butterfly Effect.

Le moderne teorie economiche descrivono il sistema economico attuale come un sistema fortemente dinamico, dominato dalla presenza di migliaia e migliaia di variabili di diversa natura, che possono dipendere sensibilmente sullandamento generale. Comunque, almeno a livello statistico, possibile formulare dei modelli credibili che possano dare previsioni degli andamenti dei vari ambiti economici. Risulta altres chiaro anche dallesperienza comune, che questi sistemi sono terreno fertile per il proliferare di continui fenomeni di Butterfly Effect ( borse ). Storicamente, non si pu parlare di Butterfly Effect prima della conferenza di Lorenz: tuttavia, un evento molto importante nella storia del 900, reca gi le cicatrici di questo fenomeno in campo economico, per quanto con caratteristiche leggermente diverse: la crisi del 29.

SISTEMI ECONOMICI C Butterfly Effect

LA GRANDE DEPRESSIONE Effetto domino

Grande richiesta di materie agricole da parte dei paesi europei, i cui contadini erano al fronte a combattere

Grande incremento della produzione agricola statunitense, contadini che contraggono debiti per incrementare i profitti

Lagricoltura europea si ristabilisce, la richiesta e il prezzo dei prodotti agricoli crolla: un milione di contadini perdono le terre e non possono pagare i debiti

La prospettiva di guadagni rapidi e facili aveva precedentemente alimentato la speculazione, facendo salire artificiosamente i prezzi dei titoli azionari e degli immobili.

24 Ottobre 1929 (The Black Thursday)

Crollo di Wall Street

Durante questo percorso alla scoperta del fenomeno del Butterfly Effect ci siamo accorti di quanto i suoi effetti possano essere catastrofici; in un contesto complesso (come quello in cui ci muoviamo quotidianamente, in qualsiasi ambito a cui ci si riferisca), lincertezza, limprecisione, lerrore, per quanto piccoli, possano portare conseguenze fuori dal nostro controllo. Tali constatazioni, offrono un altro spunto di riflessione: che effetto pu avere un tale pensiero sulla vita umana?

VITA DELLUOMO C Butterfly Effect

Unaltro termine comunemente utilizzato per definire il Butterfly Effect leffetto delle Sliding Doors. Questa dicitura, derivata da un popolare modo di dire e resa celebre da un film di Peter Howitt (Sliding Doors, 1998), richiama al fatto che spesso, scelte apparentemente insignificanti nella nostra vita, casualit, piccoli dettagli, possono risultare decisivi ai fini della nostra vita. Spunti ideologici di questo genere sono presi come soggetto da diversi registi, ad esempio lomonimo film The Butterfly Effect(2004) diretto da Eric Bress e J. Mackye Gruber, o Match Point(2005) di Woody Allen. Di scelta ha parlato soprattutto il danese Sren Kierkegaard, di cui analizzeremo in particolare il concetto di angoscia e di possibilit

LUOMO E LA SCELTA Possibilit per Kierkegaard

Filosofia del singolo: lentit protagonista del mondo luomo, inteso appunto come singolo e non come genere. Ci responsabilizza l'individuo e le sue azioni. Il Singolo lascia l'uomo nella condizione aperta del libero arbitrio. Lesistenza stessa un insieme di possibilit che pongono luomo di fronte ad una scelta, e che allo stesso tempo mantengono una componente ineliminabile di rischio: lerrore sempre in agguato, senza eccezioni e senza la possibilit di tornare indietro (Aut-Aut).

LANGOSCIA La scelta di non scegliere

Lerrore non per lunico carattere negativo dellesistenza come scelta. Infatti, la possibilit e il libero arbitrio lasciano alluomo anche unaltra scelta che spesso viene dettata dalleccessiva paura di sbagliare: la scelta di non scegliere. Langoscia lo stato di incertezza, dubbio, instabilit in cui si trova luomo di fronte alla scelta. La forma primaria quella provata da Adamo posto di fronte al divieto di gustare i frutti dell'albero della conoscenza: ed nel divieto stesso che troviamo la genesi dellangoscia.

Un granello, un singolo, una persona sono in grado di cambiare qualcosa nello sconfinato spazio che li circonda? Forse s.Leffetto farfalla ci dimostra proprio questo: i sistemi in cui viviamo sono sensibili sono sensibili a noi. E se noi ci muoviamo, se noi sbattiamo le ali, potremmo essere in grado di provocare uragani. Ma pu essere anche la nostra condanna. I nostri pi piccoli movimenti possono determinare catastrofi che nemmeno sospettiamo, cos come, ogni nostro sforzo, per quanto grande, pu risultare vanificato da un semplice soffio di vento. Per, insegna Kierkegaard, anche il non battere le ali una scelta, che porta con s le proprie conseguenze: per dirla con un linguaggio coerente al nostro Butterfly Effect, il sistema sensibile non solo al nostro movimento, ma anche alla nostra staticit, che ha comunque la sua rilevanza nel risultato finale. Vale dunque la pena essere fermi e aspettare che il mondo intorno a noi decida il valore della nostra staticit, o muoversi tentando di migliorare le cose, accompagnati dallombra dellangoscia che ci rende inquieti rispetto alle nostre scelte? Al libero arbitrio di ognuno la possibilit di decidere.

BIBLIOGRAFIA: IVAR EKELAND, Come funziona il caos, dal moto dei pianeti alleffetto farfalla, Torino, Bollati-Boringhieri, 2010 C.S.BERUGLIA-F.VAIO, Non linearit, caos, complessit. Le dinamiche dei sistemi naturali e sociali, Torino, Bollati-Boringhieri, 2003 I. NEWTON, Principi matematici della filosofia naturale, Torino, A. Pala, 1978 G.J. SUSSMAN-J.WISDOM, Numerical evidence that the motion of Pluto is chaotic, in , vol 388, 1989, pp.237-8 J.LASKAR, A numerical experiment on the chaotic behaviour of the Solar system, in vol.388, 1989, pp 237-38 H. POINCARE, Scienza e metodo, Einaudi, Torino, 1997 N. ABBAGNANO-G. FORNERO, la filosofia, Pearson Paravia Bruno Mondadori, Padova, 2009 A. DE BERNARDI-S. GUARRACINO, I saperi della storia, Pearson Paravia Bruno Mondadori, Milano, 2007