Le trasformazioni geometriche e le funzioni trigonometriche
Andrea ZiggiotoLiceo Scientifico Statale C.Cattaneo, Torino
24 ottobre 2013
1 Dilatazioni e contrazioni orizzontali
Supponiamo di volere disegnare il grafico della funzione
y = sin 2x
In generale, vogliamo imparare a disegnare il grafico della funzione
y = f(hx) conh > 0
a partire dal grafico della funzione y = f(x).Poniamo {
x′ = hx
y′ = y
Avremo y′ = f(x′). Disegniamo allora il grafico di y′ = sin x′ nel nuovo sistema di riferimento (x′, y′).
Ora disegniamo il grafico di y = sin 2x. Avendo posto x′ = 2x avremo x =1
2x′, cioe passando al
sistema di riferimento (x, y) la variabile x subisce una contrazione di fattore1
2. Dunque
1
In generale, avremo x =1
hx′. Pertanto se
1
h> 1 allora il grafico subisce una dilatazione orizzontale
di fattore1
h, se
1
h< 1 allora il grafico subisce una contrazione orizzontale di fattore
1
h.
h < 1 =⇒ dilatazione orizzontale di fattore1
h
h > 1 =⇒ contrazione orizzontale di fattore1
h
Osservazione. Cosa e successo al periodo passando da sin x a sin 2x? Si e dimezzato...
Esempio. Grafico di y = sin1
2x
2
2 Dilatazioni e contrazioni verticali
Supponiamo di volere disegnare il grafico della funzione
y = 2 sin x
In generale, vogliamo imparare a disegnare il grafico della funzione
y = Kf(x) conK > 0
a partire dal grafico della funzione y = f(x).Poniamo {
x′ = x
y′ =y
K
Avremo y′ = f(x′). Disegniamo allora il grafico di y′ = sin x′ nel nuovo sistema di riferimento (x′, y′).
Ora disegniamo il grafico di y = 2 sinx. Avendo posto y′ =y
2avremo y = 2y′, cioe passando al
sistema di riferimento (x, y) la variabile y subisce una dilatazione di fattore 2. Dunque
3
In generale, avremo y = Ky′. Pertanto se K > 1 allora il grafico subisce una dilatazione verticaledi fattore K, se K < 1 allora il grafico subisce una contrazione verticale di fattore K.
K < 1 =⇒ contrazione verticale di fattore K
K > 1 =⇒ dilatazione verticale di fattore K
Osservazione. Cosa e successo al periodo passando da sin x a 2 sin x? E’ rimasto invariato...
Esempio. Grafico di y =1
2sinx
3 Traslazioni orizzontali
Supponiamo di volere disegnare il grafico della funzione
y = sin(x+
π
3
)4
In generale, vogliamo imparare a disegnare il grafico della funzione
y = f(x+ h) conh ∈ R
a partire dal grafico della funzione y = f(x).Poniamo {
x′ = x+ h
y′ = y
Avremo y′ = f(x′). Disegniamo allora il grafico di y′ = sin x′ nel nuovo sistema di riferimento (x′, y′).
Ora disegniamo il grafico di y = sin(x + π). Avendo posto x′ = x + h avremo x = x′ − h, cioepassando al sistema di riferimento (x, y) la variabile x subisce una traslazione di ampiezza |h|. Inparticolare, se −h > 0 cioe h < 0 si ha una traslazione verso destra, se −h < 0 cioe h > 0 si ha unatraslazione verso sinistra.
h > 0 =⇒ traslazione verso sinistra di ampiezza |h|h < 0 =⇒ traslazione verso destra di ampiezza |h|
Dunque
Osservazione. Cosa e successo al periodo passando da sin x a sin(x+ π3)? E’ rimasto invariato...
5
Esempio. Questo e il grafico di y = cos(x− π
4
)
4 Traslazioni verticali
Supponiamo di volere disegnare il grafico della funzione
y = sin x+ 2
In generale, vogliamo imparare a disegnare il grafico della funzione
y = f(x) +K conK ∈ R
a partire dal grafico della funzione y = f(x).Poniamo {
x′ = x
y′ = y −K
Avremo y′ = f(x′). Disegniamo allora il grafico di y′ = sin x′ nel nuovo sistema di riferimento (x′, y′).
6
Ora disegniamo il grafico di y = sin x + 2. Avendo posto y′ = y − K avremo y = y′ + K, cioepassando al sistema di riferimento (x, y) la variabile y subisce una traslazione di ampiezza |K|. Inparticolare, se K > 0 si ha una traslazione verso l’alto, se K < 0 si ha una traslazione verso il basso.
K > 0 =⇒ traslazione verso l’alto di ampiezza |K|K < 0 =⇒ traslazione verso il basso di ampiezza |K|
Dunque
Osservazione. Anche in questo caso il periodo e rimasto invariato...
Esempio. Disegniamo il grafico di y = arctan x− 1
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5 Simmetrie
Supponiamo di voler disegnare il grafico di y = sin(−x). In generale vogliamo imparare a disegnareil grafico della funzione
y = f(−x)
a partire dal grafico della funzione y = f(x).Poniamo {
x′ = −x
y′ = y
da cui otteniamo x = −x′. Passando dunque dal sistema di riferimento (x′, y′) al sistema diriferimento (x, y), si e operata una simmetria rispetto all’asse y.
Supponiamo ora di voler disegnare il grafico di y = − sin x. In generale vogliamo imparare adisegnare il grafico della funzione
y = −f(x)
a partire dal grafico della funzione y = f(x).Poniamo {
x′ = x
y′ = −y
da cui otteniamo y = −y′. Passando dunque dal sistema di riferimento (x′, y′) al sistema di riferimento(x, y), si e operata una simmetria rispetto all’asse x.
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6 Grafici di |f (x)| e di f (|x|)Abbiamo che
y = |f(x)| =
{f(x), se f(x) ≥ 0
−f(x), se f(x) < 0
Applichiamo al grafico della funzione y = | sinx|.
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Abbiamo che
y = f(|x|) =
{f(x), se x ≥ 0
f(−x), se x < 0
Applichiamo al grafico della funzione y = |x|2−|x|, ottenendolo dal grafico della funzione f(x) =x2 − x.
Osservazione. La funzione y = f(|x|) e sempre una funzione pari (infatti f(| − x|) = f(|x|)).
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