Date post: | 02-May-2015 |
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Trasformazioni geometriche
Trasformazione
È una corrispondenza tra punti del piano Noi ci occuperemo solo delle trasformazioni che sono
corrispondenze biunivoche
I punti trasformati della figura F formano una nuova figura F’, detta figura trasformata
A seconda del tipo di corrispondenza, alcune caratteristiche di F rimangono inalterate, altre no
PPT :
FTF '
Invariante Si dice invariante ogni proprietà che rimane
inalterata a seguito di una trasformazione
Felix Klein (1849-1925)matematico tedesco
descrive la geometria come lo studio delle proprietà delle figure aventi carattere invariante rispetto ad un particolare gruppo di trasformazioni
Quindi classificare i vari gruppi di trasformazioni equivale a classificare le varie geometrie
Geometria euclidea
La geometria euclidea del piano, per esempio, è lo studio delle proprietà delle figure che si mantengono invarianti rispetto ad un particolare gruppo di trasformazioni le cosiddette trasformazioni rigide (movimento rigido)
Isometrie
Iso (uguale) metria (distanza) Dette anche congruenze (movimenti rigidi)
Def.: “una trasformazione che lascia invariata la distanza è detta isometria”
Un caso particolare di isometria è la trasformazione identica che associa ad ogni punto del piano sé stesso
Isometrie Simmetrie
Centrale Assiale Proprietà delle simmetrie: scheda di lavoro
Elementi uniti di una trasformazione
Traslazioni
Rotazioni
'PPO 'PPa
Simmetria centrale
La simmetria centrale di centro O è quella trasformazione che associa ad ogni punto P del piano un punto P’, tale che O sia il punto medio del segmento PP’
E quindi:
Scheda di lavoro
'PPO'OPOP
Simmetria centrale
La simmetria centrale conserva La distanza L’allineamento (e l’ordinamento) dei punti L’ampiezza degli angoli
La conservazione dell’allineamento e degli angoli è una conseguenza della conservazione della distanza, perciò valgono per qualsiasi isometria
Due rette che si corrispondono in una simmetria centrale sono parallele
Simmetria centrale nel piano cartesiano
Simmetria rispetto all’origine
yy
xx
'
'
Simmetria centrale nel piano cartesiano
Simmetria rispetto ad un punto M M è il punto medio di AA’
yyy
xxx
M
M
2'
2'
Simmetria assiale (riflessione) La simmetria assiale di asse a è quella
trasformazione che associa ad ogni punto P del piano un punto P’, tale che a sia asse del segmento PP’
E quindi:
Scheda di lavoro
'PPa CPPC '
Simmetria assiale nel piano cartesiano
Simmetria rispetto all’asse delle x
yy
xx
'
'
Simmetria assiale nel piano cartesiano
Simmetria rispetto all’asse delle y
yy
xx
'
'
Simmetria assiale nel piano cartesiano
Simmetria rispetto a una retta di equazione y=h
Da fare
yy
xx
'
'
Simmetria assiale nel piano cartesiano
Simmetria rispetto a una retta di equazione x=k
Da fare
yy
xx
'
'
Simmetria assiale nel piano cartesiano
Simmetria rispetto alla bisettrice I e III quadrante
xy
yx
'
'
Simmetria assiale nel piano cartesiano
Simmetria rispetto alla bisettrice II e IV quadrante
xy
yx
'
'
Elementi uniti di una trasformazione Un punto P è unito se il suo trasformato P’
coincide con P
In una simmetria centrale ci sono punti uniti? centro di simmetria
In una simmetria assiale ci sono punti uniti? punti dell’asse
Elementi uniti di una trasformazione Una retta r è unita se la sua trasformata r’ coincide
con r
In una simmetria centrale ci sono rette unite? ogni retta passante per il centro di simmetria
In una simmetria assiale ci sono rette unite? asse di simmetria (caso particolare) ogni retta perpendicolare all’asse
In generale una figura F è unita se la sua trasformata F’ coincide con F (viene trasformata in se stessa)
Elementi uniti di una trasformazione
Rispetto a quali simmetrie sono uniti: Un angolo
assiale: bisettrice Un segmento
centrale: punto medio; assiale: asse Un parallelogramma
centrale: punto di incontro delle diagonali Una circonferenza
centrale: centro; assiale: ogni diametro
Traslazione
La traslazione di vettore è quella trasformazione che associa ad ogni punto P del piano un punto P’, tale che
Scheda di lavoro
Composizione di due simmetrie centrali
v
vPP
'
Traslazione nel piano cartesiano
Da fare Simmetria rispetto alla
bisettrice II e IV quadrante
xy
yx
'
'