[UNITEXT] Calcolo stocastico per la finanza ||

Alla mia famiglia

Che giova all’uomo guadagnare il mondointero, se poi perde se stesso?

Mc. 8, 36

Andrea Pascucci

Calcolo stocasticoper la finanza

Andrea PascucciDipartimento di Matematica, Bologna

In copertina: Tonino Guerra “Presenze sul mare” (2007). Affrescoacrilico su tela.Collezione privata.Per gentile concessionedell’autore.

ISBN 978-88-470-0600-3

Springer Milan Berlin Heidelberg New York

Springer-Verlag fa parte di Springer Science+BusinessMediaspringer.comc© Springer-Verlag Italia,Milano 2008

Quest’opera e protetta dalla legge sul diritto d’autore. Tutti i diritti, in particolare quellirelativi alla traduzione, alla ristampa, all’uso di figure e tabelle, alla citazione orale, alla tra-smissione radiofonica o televisiva, alla riproduzione su microfilm o in database, alla diversariproduzione in qualsiasi altra forma (stampa oelettronica) rimangono riservati anche nelcaso di utilizzo parziale.Una riproduzione di quest’opera, oppure di parte di questa, e anchenel caso specifico solo ammessa nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d’autore ed e sog-getta all’autorizzazione dell’Editore. La violazione delle norme comporta sanzioni previstedalla legge. L’utilizzo di denominazioni generiche,nomi commerciali,marchi registrati, ecc.,in quest’opera, anche in assenza di particolare indicazione, non consente di considerare talidenominazioni omarchi liberamente utilizzabili da chiunque ai sensi della legge sulmarchio.

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Impianti: PTP-Berlin GmbH Protago TEX Production, www.ptp-berlin.euProgetto grafico della copertina: Simona Colombo,MilanoStampa: Signum, Bollate (Mi)Stampato in Italia

Springer-Verlag Italia srl –Via Decembrio 28 – 20137Milano

Prefazione

Questo libro e principalmente rivolto a studenti di corsi universitari e di spe-cializzazione post-laurea, ma spero possa interessare anche ricercatori e pro-fessionisti dell’industria finanziaria. Il calcolo stocastico e le applicazioni allavalutazione d’arbitraggio dei derivati finanziari costituiscono il tema centra-le. Nel presentare questi argomenti ormai classici, ho scelto di porre l’enfa-si sugli aspetti quantitativi, matematici e numerici, piuttosto che su quellieconomico-finanziari.E doveroso riconoscere che la letteratura in questo campo e ormai vasta:

fra le monografie i cui contenuti si sovrappongono con quelli del presentetesto, appaiono Avellaneda e Laurence [5], Benth [18], Bjork [20], Dana eJeanblanc [33], Dewynne, Howison e Wilmott [170], Dothan [47], Duffie [48],Elliott e Kopp [54], Epps [55], Follmer e Schied [59], Glasserman [71], Huange Litzenberger [79], Ingersoll [81], Karatzas [90, 92], Lamberton e Lapeyre[108], Lipton [116], Merton [121], Musiela e Rutkowski [125], Neftci [127],Shreve [152, 153], Steele [156], Zhu, Wu e Chern [175].Questo testo si distingue dalla maggior parte delle pubblicazioni preceden-

ti per il tentativo di presentare la materia attribuendo uguale peso al punto divista probabilistico, fondato sulla teoria delle martingale, e a quello analitico,basato sulle equazioni alle derivate parziali. Non e mia intenzione descriveregli sviluppi piu recenti della finanza matematica, obiettivo che appare assaiambizioso, vista la velocita dell’avanzare della ricerca in questo campo. Alcontrario ho scelto di sviluppare solo alcune delle idee essenziali della teoriaclassica della valutazione per dedicare spazio ai fondamentali strumenti ma-tematici e numerici ove essi emergano. In questo modo spero di fornire uninsieme minimo di conoscenze di base che consenta di affrontare in manieraautonoma anche lo studio delle problematiche e dei modelli piu recenti.La parte centrale del libro e costituita dalla teoria del calcolo stocasti-

co in tempo continuo: i Capitoli 4 sui processi stocastici, 5 sull’integrazioneBrowniana e 9 sulle equazioni differenziali stocastiche possono costituire ilmateriale per un corso semestrale o annuale dedicato ad un’introduzione alcalcolo stocastico. In questa parte ho cercato di affiancare costantemente ai

VI Prefazione

concetti teorici l’intuizione sul significato finanziario per rendere la presen-tazione meno astratta e piu motivata: molti concetti, da quello di processoadattato a quello di integrale stocastico, si prestano naturalmente ad unainterpretazione economica estremamente intuitiva e significativa.L’origine di questo libro e legata al Corso di Alta Formazione in Finan-

za Matematica dell’Universita di Bologna che, insieme a Sergio Polidoro, hodiretto a partire dal 2004. Nella prima edizione del corso, per iniziativa dialcuni allievi, gli appunti della serie di lezioni che ho svolto sono stati raccoltiin forma di dispensa; in questi anni ho riordinato e completato tale mate-riale fino alla versione attuale che, pur essendo molto piu ampia, mantieneessenzialmente inalterata la struttura originaria.Sono molti i colleghi e amici a cui vanno i miei ringraziamenti per l’aiuto,

i suggerimenti e gli utili commenti con cui hanno sostenuto e incoraggiato lastesura del testo. In particolare vorrei esprimere la mia profonda gratitudinea Ermanno Lanconelli, Wolfgang J. Runggaldier, Sergio Polidoro, Paolo Fo-schi, Antonio Mura, Piero Foscari, Alessandra Cretarola, Marco Di Francesco,Valentina Prezioso e Valeria Volpe.Infine mi assumo la responsabilita di eventuali errori nel testo: spero che

questi, insieme ad altri commenti, mi vengano prontamente segnalati dai let-tori. Un elenco costantemente aggiornato delle correzioni e disponibile nellamia pagina web all’indirizzohttp://www.dm.unibo.it/∼pascucci/

Bologna5 Novembre 2007

Andrea Pascucci

Indice

Notazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XIII

1 Derivati e arbitraggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Opzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Finalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Leggi di capitalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4 Arbitraggi e formula di Put-Call Parity . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Prezzo neutrale al rischio e valutazione d’arbitraggio . . . . . . . . . 71.2.1 Prezzo neutrale al rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Probabilita neutrale al rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Prezzo d’arbitraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Una generalizzazione della Put-Call Parity . . . . . . . . . . . . 101.2.5 Un esempio di mercato incompleto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Elementi di probabilita ed equazione del calore . . . . . . . . . . . . 152.1 Spazi di probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Variabili aleatorie e distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 Valore atteso e varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.3 Alcuni esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.4 Disuguaglianza di Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.5 σ-algebre e informazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Indipendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.1 Misura prodotto e distribuzione congiunta . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Equazioni paraboliche a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.1 Il caso b = 0 e a = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.2 Il caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.3 Dato iniziale localmente sommabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.4 Problema di Cauchy non omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.5 Operatore aggiunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4 Distribuzione multi-normale e funzione caratteristica . . . . . . . . . 49

VIII Indice

2.5 Teorema di Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.6 Attesa condizionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.6.1 Proprieta dell’attesa condizionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.6.2 Attesa condizionata in L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.6.3 Attesa condizionata e cambio di misura di probabilita . . 61

2.7 Processi stocastici discreti e martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.7.1 Tempi d’arresto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.7.2 Disuguaglianza di Doob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3 Modelli di mercato a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.1 Mercati discreti e arbitraggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.1.1 Arbitraggi e strategie ammissibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.1.2 Misura martingala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.1.3 Derivati e prezzo d’arbitraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1.4 Prova dei teoremi fondamentali della valutazione . . . . . . 863.1.5 Cambio di numeraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.2 Modello binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2.1 Proprieta di Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2.2 Misura martingala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.2.3 Completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.2.4 Algoritmo binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.2.5 Calibrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.2.6 Modello binomiale e formula di Black&Scholes . . . . . . . . 1123.2.7 Equazione differenziale di Black&Scholes . . . . . . . . . . . . . 119

3.3 Modello trinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.3.1 Valutazione in un mercato incompleto . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.4 Opzioni Americane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.4.1 Prezzo d’arbitraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.4.2 Relazioni con le opzioni Europee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.4.3 Algoritmo binomiale per opzioni Americane . . . . . . . . . . . 1373.4.4 Problema a frontiera libera per opzioni Americane . . . . . 1403.4.5 Put Americana e Put Europea nel modello binomiale . . 143

4 Processi stocastici a tempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.1 Processi stocastici e moto Browniano reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.1.1 Legge di un processo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.1.2 Equivalenza di processi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.1.3 Processi adattati e progressivamente misurabili . . . . . . . . 155

4.2 Proprieta di Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.2.1 Moto Browniano ed equazione del calore . . . . . . . . . . . . . 1574.2.2 Distribuzioni finito-dimensionali del moto Browniano . . 158

4.3 Integrale di Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604.3.1 Funzioni a variazione limitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.3.2 Integrazione di Riemann-Stieltjes e formula di Ito . . . . . 1654.3.3 Regolarita delle traiettorie di un moto Browniano . . . . . 168

Indice IX

4.4 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.4.1 Alcuni esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.4.2 Disuguaglianza di Doob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.4.3 Spazi di martingale:M 2 e M 2

c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.4.4 Ipotesi usuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.4.5 Tempi d’arresto e martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.4.6 Variazione quadratica e decomposizione di Doob-Meyer 1854.4.7 Martingale a variazione limitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5 Integrale stocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.1 Integrale stocastico di funzioni deterministiche . . . . . . . . . . . . . . 1925.2 Integrale stocastico di processi semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.3 Integrale di processi in L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.3.1 Integrale di Ito e integrale di Riemann-Stieltjes . . . . . . . . 2025.3.2 Integrale di Ito e tempi d’arresto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.3.3 Processo variazione quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5.4 Integrale di processi in L2loc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.4.1 Martingale locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.4.2 Localizzazione e variazione quadratica . . . . . . . . . . . . . . . 212

5.5 Processi di Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2155.6 Formula di Ito-Doeblin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

5.6.1 Formula di Ito per il moto Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . 2185.6.2 Formulazione generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2225.6.3 Martingale ed equazioni paraboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . 2235.6.4 Moto Browniano geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5.7 Processi e formula di Ito multi-dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . 2275.7.1 Formula di Ito multi-dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2305.7.2 Alcuni esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2345.7.3 Moto Browniano correlato e martingale . . . . . . . . . . . . . . 236

5.8 Estensioni della formula di Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2395.8.1 Formula di Ito e derivate deboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2395.8.2 Tempo locale e formula di Tanaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2425.8.3 Formula di Tanaka per processi di Ito . . . . . . . . . . . . . . . 2465.8.4 Tempo locale e formula di Black&Scholes . . . . . . . . . . . . . 246

6 Equazioni paraboliche a coefficienti variabili: unicita . . . . . . . 2496.1 Principio del massimo e problema di Cauchy-Dirichlet . . . . . . . . 2526.2 Principio del massimo e problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 2546.3 Soluzioni non-negative del problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 259

7 Modello di Black&Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2637.1 Strategie autofinanzianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2647.2 Strategie Markoviane ed equazione di Black&Scholes . . . . . . . . . 2667.3 Valutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

7.3.1 Dividendi e parametri dipendenti dal tempo . . . . . . . . . . 272

X Indice

7.3.2 Ammissibilita e assenza d’arbitraggi . . . . . . . . . . . . . . . . . 2737.3.3 Analisi di Black&Scholes: approcci euristici . . . . . . . . . . . 2757.3.4 Prezzo di mercato del rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

7.4 Copertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2797.4.1 Le greche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2807.4.2 Robustezza del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2887.4.3 Gamma e vega hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

7.5 Opzioni Asiatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2927.5.1 Media aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2937.5.2 Media geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

8 Equazioni paraboliche a coefficienti variabili: esistenza . . . . . 2978.1 Soluzione fondamentale e problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 298

8.1.1 Metodo della parametrice di Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3008.1.2 Stime Gaussiane e operatore aggiunto . . . . . . . . . . . . . . . . 302

8.2 Problema con ostacolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3038.2.1 Soluzioni forti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3058.2.2 Metodo della penalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3088.2.3 Problema con ostacolo sulla striscia di RN+1 . . . . . . . . . . 313

9 Equazioni differenziali stocastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3159.1 Soluzioni forti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

9.1.1 Unicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3189.1.2 Esistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3209.1.3 Proprieta delle soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

9.2 Soluzioni deboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3269.2.1 Esempio di Tanaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3269.2.2 Esistenza: il problema delle martingale . . . . . . . . . . . . . . . 3279.2.3 Unicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

9.3 Stime massimali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3329.3.1 Stime massimali per martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3339.3.2 Stime massimali per diffusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

9.4 Formule di rappresentazione di Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . 3389.4.1 Tempo di uscita da un dominio limitato . . . . . . . . . . . . . . 3409.4.2 Equazioni ellittico-paraboliche e problema di Dirichlet . 3419.4.3 Equazioni di evoluzione e problema di Cauchy-Dirichlet 3459.4.4 Soluzione fondamentale e densita di transizione . . . . . . . 3469.4.5 Problema con ostacolo e arresto ottimo . . . . . . . . . . . . . . 348

9.5 Equazioni stocastiche lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3539.5.1 Condizione di Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3579.5.2 Equazioni di Kolmogorov e condizione di Hormander . . . 3629.5.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

Indice XI

10 Modelli di mercato a tempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36710.1 Cambio di misura di probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

10.1.1 Martingale esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36710.1.2 Teorema di Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

10.2 Rappresentazione delle martingale Browniane . . . . . . . . . . . . . . . 37310.3 Valutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

10.3.1 Misure martingale e prezzi di mercato del rischio . . . . . . 37910.3.2 Esistenza di una misura martingala equivalente . . . . . . . 38210.3.3 Strategie ammissibili e arbitraggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38610.3.4 Valutazione d’arbitraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38910.3.5 Formule di parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

10.4 Mercati completi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39210.4.1 Caso Markoviano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

10.5 Analisi della volatilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39710.5.1 Volatilita locale e volatilita stocastica . . . . . . . . . . . . . . . . 401

11 Opzioni Americane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40711.1 Valutazione e copertura nel modello di Black&Scholes . . . . . . . . 40711.2 Call e put Americane nel modello di Black&Scholes . . . . . . . . . . 41311.3 Valutazione e copertura in un mercato completo . . . . . . . . . . . . . 416

12 Metodi numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42112.1 Metodo di Eulero per equazioni ordinarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

12.1.1 Schemi di ordine superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42512.2 Metodo di Eulero per equazioni stocastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

12.2.1 Schema di Milstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42912.3 Metodo delle differenze finite per equazioni paraboliche . . . . . . . 430

12.3.1 Localizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43012.3.2 θ-schemi per il problema di Cauchy-Dirichlet . . . . . . . . . . 43212.3.3 Problema a frontiera libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

12.4 Metodo Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43812.4.1 Simulazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44112.4.2 Calcolo delle greche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44312.4.3 Analisi dell’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

13 Introduzione al calcolo di Malliavin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44713.1 Derivata stocastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

13.1.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45013.1.2 Regola della catena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

13.2 Dualita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45613.2.1 Formula di Clark-Ocone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45913.2.2 Integrazione per parti e calcolo delle greche . . . . . . . . . . . 46013.2.3 Altri esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

XII Indice

Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469A.1 Teoremi di Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469A.2 Topologie e σ-algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473A.3 Generalizzazioni del concetto di derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

A.3.1 Derivata debole in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476A.3.2 Spazi di Sobolev e teoremi di immersione . . . . . . . . . . . . . 479A.3.3 Distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480A.3.4 Mollificatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

A.4 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487A.5 Convergenza di variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

A.5.1 Funzione caratteristica e convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . 491A.5.2 Uniforme integrabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

A.6 Separazione di convessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

Notazioni generali

• N = {1, 2, 3, . . .} e l’insieme dei numeri naturali• N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} e l’insieme dei numeri interi non-negativi• Q e l’insieme dei numeri razionali• R e l’insieme dei numeri reali• R+ = ]0,+∞[• ST = ]0, T [×RN e una striscia in RN+1

• B = B(RN) e la σ-algebra dei Borelliani di RN• |H | e m(H) indicano indifferentemente la misura di Lebesgue di H ∈B• 1H e la funzione indicatrice dell’insieme H , p.18• ∂x =

∂∂x e la derivata parziale rispetto a x

Dati a, b ∈ R:• a ∧ b = min{a, b}• a ∨ b = max{a, b}• a+ = max{a, 0}• a− = max{−a, 0}

Abbreviazioni

• A := B significa “per definizione, A e uguale a B”• v.a. = variabile aleatoria• p.s. = processo stocastico• q.s. = quasi sicuramente• q.o. = quasi ovunque• i.i.d. = indipendenti e identicamente distribuite (riferito ad una famigliadi variabili aleatorie)

• mg = martingala• PDE = equazione alle derivate parziali (Partial Differential Equation)• SDE = equazione differenziale stocastica (Stochastic Differential Equa-tion)

XIV Notazioni generali

Spazi di funzioni

• mB (risp. mBb) e lo spazio delle funzioni B-misurabili (e limitate), p.20• BV e lo spazio delle funzioni a variazione limitata, p.161• Lip (risp. Liploc) e lo spazio delle funzioni (localmente) Lipschitziane, p.477• Ck (risp. Ckb ) e lo spazio delle funzioni differenziabili con derivate continuefino all’ordine k ∈ N0 (limitate assieme alle loro derivate)

• Ck+α (risp. Ck+αloc ) e lo spazio delle funzioni differenziabili fino all’ordinek ∈ N0 con derivate (localmente) Holderiane di esponente α ∈]0, 1[

• C∞0 e lo spazio delle funzioni test, funzioni a supporto compatto e conderivate continue di ogni ordine, p.476

• Lp (risp. Lploc) e lo spazio delle funzioni (localmente) sommabili di ordinep, p.24, p.476

• W k,p (risp. W k,ploc ) e lo spazio di Sobolev delle funzioni che ammettono

derivate deboli fino all’ordine k in Lp (risp. Lploc), p.477• C1,2 e lo spazio delle funzioni u = u(t, x) che ammettono derivate continuedel second’ordine nelle variabili “spaziali” x ∈ RN e derivata continua delprim’ordine nella variabile “temporale” t, p.39

• CαP (risp. C2+αP ) e lo spazio delle funzioni Holderiane paraboliche di espo-

nente α (risp. con le derivate del second’ordine in x e del prim’ordine in tHolderiane), p.298

• Sp e lo spazio di Sobolev parabolico delle funzioni che ammettono derivatedeboli del second’ordine in Lp, p.305

Spazi di processi

• Lp e lo spazio dei processi progressivamente misurabili in Lp([0, T ]× Ω),p.194

• Lploc e lo spazio dei processi X progressivamente misurabili e tali cheX(ω) ∈ Lp([0, T ]) per quasi ogni ω, p.215

• Ac e lo spazio dei processi (Xt)t∈[0,T ] continui, Ft-adattati e tali che

[[X]]T =

√E

[sup

0≤t≤TX2t

]e finito, p.317

• M 2 e lo spazio vettoriale delle martingale continue a destra (Mt)t∈[0,T ]tali che M0 = 0 q.s. e E

[M2T

]e finita, p.175

• M 2c e il sotto-spazio delle martingale continue di M

2, p.175• Mc,loc e lo spazio delle martingale locali continue tali che M0 = 0 q.s., 210

Norme e prodotti scalari

Il punto x ∈ RN e identificato col vettore colonna N × 1. Per il prodottoscalare Euclideo utilizziamo indifferentemente le notazioni

Notazioni generali XV

x∗y = 〈x, y〉 = x · y =N∑i=1

xiyi,

dove x∗ e il trasposto di x.

• | · | e la norma Euclidea in RN• ‖ · ‖p = ‖ · ‖Lp e la norma nello spazio Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, p.24• [[·]]T e la semi-norma nello spazio Ac, p.317

Sia A = (aij) una matrice di dimensione N × d:

• A∗ e la trasposta di A• trA e la traccia di A• rankA e il rango di A

• |A| =√

N∑i=1

d∑j=1

a2ij

• ‖A‖ = sup|x|=1

|Ax|

Ricordiamo che ‖A‖ ≤ |A|.

1

Derivati e arbitraggi

Opzioni – Prezzo neutrale al rischio e valutazione d’arbitraggio

Un derivato finanziario e un contratto il cui valore dipende da uno o piu titolio beni, detti sottostanti. Tipicamente il sottostante e un’azione, un tasso diinteresse, un tasso di cambio di valute, la quotazione di un bene come oro,petrolio o grano.

1.1 Opzioni

L’opzione e l’esempio piu semplice di strumento derivato. Un’opzione e uncontratto che da il diritto (ma non l’obbligo) a chi lo detiene di comprare ovendere una certa quantita di un titolo sottostante, ad una data futura e adun prezzo prefissati. In un contratto di opzione sono quindi specificati:

• un sottostante;• un prezzo d’esercizio K, detto strike;• una data T , detta scadenza.

Un’opzione e di tipo Call se da il diritto di acquistare, ed e di tipo Put seda il diritto di vendere. Un’opzione e di tipo Europeo se il diritto puo essereesercitato solo alla scadenza, ed e di tipo Americano se il diritto puo essereesercitato in un qualsiasi momento entro la scadenza.Consideriamo una Call Europea con strikeK, scadenza T e indichiamo con

ST il prezzo del sottostante a scadenza. Al tempo T si hanno due eventualita(cfr. Figura 1.1): se ST > K, il valore finale (payoff) dell’opzione e pari aST − K corrispondente al ricavo che si ottiene esercitando l’opzione (ossiaacquistando il sottostante al prezzo K e rivendendolo al prezzo di mercatoST ). Se ST < K, non conviene esercitare l’opzione e il payoff e nullo. Indefinitiva il payoff di una Call Europea e pari a

(ST −K)+ = max{ST −K, 0}.

La Figura 1.2 rappresenta il grafico del payoff come funzione di ST . E chiaro

Pascucci A, Calcolo stocastico per la finanza. c© Springer-Verlag Italia, Milano, 2008

2 1 Derivati e arbitraggi

K

tT

S0

ST(1)

ST(2)

Fig. 1.1. Payoff di un’opzione Call Europea in differenti scenari

K ST

Payoff

Fig. 1.2. Payoff di un’opzione Call Europea

che il payoff aumenta con ST e offre un guadagno potenzialmente illimitato.Con un ragionamento analogo si vede che il payoff di una Put Europea e paria

(K − ST )+ = max{K − ST , 0}.

Le opzioni Call e Put sono gli esempi piu semplici di strumenti derivati e

K ST

Payoff

Fig. 1.3. Payoff di un’opzione Put Europea

per questo motivo sono anche chiamate opzioni plain vanilla. E molto facilecostruire nuovi derivati combinando questo tipo di opzioni: per esempio, ac-quistando una Call e una Put con medesimi sottostante, strike e scadenza, si

1.1 Opzioni 3

K ST

Payoff

Fig. 1.4. Payoff di uno Straddle

ottiene un derivato, detto Straddle, che ha un payoff tanto maggiore quantoST e lontano dallo strike. Si puo essere interessati a questo tipo di strumentoquando si confida in un ampio movimento del prezzo del sottostante pur nonpotendone prevedere la direzione. Chiaramente la valutazione di questa op-zione e facilmente riconducibile alla valutazione di opzioni plain vanilla. Neimercati reali esiste tuttavia una grande varieta di derivati (solitamente dettiesotici) che possono avere strutture molto complesse: il mercato di questi de-rivati e in continuo sviluppo ed espansione. Si veda, per esempio, Zhang [173]per una trattazione enciclopedica dei derivati esotici.

1.1.1 Finalita

L’utilizzo di derivati ha essenzialmente due scopi:

• l’immunizzazione o gestione del rischio;• la speculazione.

Per esempio, consideriamo un investitore che possiede un titolo azionario S:comprando un’opzione Put su S, egli si assicura il diritto di vendere in futuroS al prezzo strike. In questo modo l’investitore si protegge dal rischio di crollodella quotazione di S. Analogamente, un’industria che utilizza come mate-ria prima il petrolio, puo comprare un’opzione Call per assicurarsi il dirittodi acquistare in futuro tale bene al prezzo strike prefissato: in questo modol’industria si immunizza dal rischio di crescita del prezzo del petrolio.Da alcuni anni i derivati stanno assumendo un ruolo sempre piu pervasivo:

se fino a pochi anni fa, un mutuo per la casa era disponibile solo nella versione“tasso fisso” o “tasso variabile”, ora l’offerta e molto piu ampia. Per esempio,non e difficile trovare mutui “protetti” a tasso variabile con un tetto massimo:questo tipo di prodotto strutturato contiene chiaramente uno o piu strumentiderivati la cui valutazione non e assolutamente banale.I derivati hanno anche una finalita speculativa: osserviamo ad esempio che

acquistare opzioni Put e il metodo piu semplice per guadagnare scommet-tendo sul crollo del mercato. Notiamo anche che, a parita di investimento, le


opzioni offrono rendimenti (e perdite) percentuali molto maggiori rispetto alsottostante. Per esempio, indichiamo con S0 il prezzo attuale del sottostantee assumiamo che $1 sia il prezzo di una Call con K = S0 = $10 e scadenza unanno. Supponiamo che a scadenza ST = $13: comprando un’unita del sotto-stante, ossia investendo $10, si ha un profitto di $3 (pari al 30%); comprandouna Call, ossia investendo solo $1, si ha un profitto di $2 (pari al 200%). D’al-tra parte si deve anche tener conto del fatto che nel caso in cui ST = $10,investendo nella Call perderebbe tutto!

1.1.2 Problemi

Un’opzione e un contratto di cui e stabilito il valore finale in dipendenza dalprezzo del sottostante a scadenza che e incognito. Si pone dunque il problemanon banale della valutazione, ossia della determinazione del prezzo “equo”dell’opzione: tale prezzo e il premio che chi compra l’opzione deve pagare altempo iniziale per acquisire il diritto stabilito nei termini del contratto.Il secondo problema e quello della replicazione: abbiamo osservato che

un’opzione Call ha un payoff potenzialmente illimitato e di conseguenza chivende una Call si espone al rischio di una perdita illimitata. Una banca chevende un derivato ha dunque il problema di determinare una strategia di inve-stimento che, utilizzando il premio (i soldi ricevuti vendendo il derivato), riescaa replicare a scadenza il payoff, qualsiasi sia il valore finale del sottostante.Come vedremo fra breve, i problemi della valutazione e replicazione sono

intimamente legati.

1.1.3 Leggi di capitalizzazione

Prima di procedere e bene ricordare alcune nozioni di base sul valore del tempoin finanza: ricevere $1 oggi non e come riceverlo fra un mese. Ricordiamo chee usuale considerare come unita di tempo l’anno e quindi, per esempio, T = .5corrisponde a sei mesi.Le leggi di capitalizzazione esprimono la dinamica di un investimento con

tasso di interesse fissato e privo di rischio, corrispondente in parole povereal lasciare i soldi sul conto corrente in banca. In tutti i modelli finanziarisi assume l’esistenza di un titolo (localmente1) privo di rischio, solitamentechiamato bond. Se Bt e il valore del bond al tempo t ∈ [0, T ], la seguenteformula di capitalizzazione semplice con tasso di interesse annuale r

BT = B0(1 + rT ),

esprime il fatto che il valore finale BT e uguale al valore iniziale B0 rivalu-tato degli interessi B0rT pari alla percentuale rT (corrispondente al tasso

1 Nel senso che il tasso ufficiale d’interesse e garantito e privo di rischio per unbreve periodo (per esempio, qualche settimana), ma nel lungo periodo e anch’essoaleatorio.

1.1 Opzioni 5

di interesse per periodo [0, T ]) del capitale iniziale. Dunque in un regime dicapitalizzazione semplice l’interesse e pagato sul capitale iniziale.Al contrario nella capitalizzazione composta l’interesse viene pagato sul

capitale continuamente rivalutato. Intuitivamente possiamo considerare il pe-riodo [0, T ], suddividerlo in N intervalli [tn−1, tn] di uguale lunghezza pari aTN e calcolare gli interessi semplici alla fine di ogni intervallo: si ottiene

BT = BtN−1

(1 + r

T

N

)= BtN−2

(1 + r

T

N

)2

= · · · = B0

(1 + r

T

N

)N.

Passando al limite per N → ∞ ossia pensando di pagare gli interessi sem-plici sempre piu frequentemente, si ottiene la formula di capitalizzazionecontinuamente composta con tasso di interesse annuale r:

BT = B0 erT . (1.1)

La (1.1) esprime il capitale finale in termini di quello iniziale. Viceversa, echiaro che per ottenere un capitale finale (al tempo T ) pari a B, e necessarioinvestire al tempo iniziale la somma Be−rT : tale somma viene anche dettavalore scontato o attualizzato di B.Mentre nella pratica si utilizza la capitalizzazione semplice, in ambito teo-

rico e soprattutto nei modelli a tempo continuo e piu usuale l’utilizzo dellacapitalizzazione composta.

1.1.4 Arbitraggi e formula di Put-Call Parity

Genericamente un arbitraggio e un’opportunita di compiere operazioni finan-ziarie a costo zero che producono un profitto privo di rischio. Nei mercatireali gli arbitraggi esistono anche se hanno generalmente vita breve perchesono sfruttati in modo da ristabilire istantaneamente l’equilibrio del mercato.In ambito teorico e chiaro che in un modello finanziario sensato deve escluderetali forme di profitto. In effetti il principio di assenza d’arbitraggi e diventatoil criterio dominante per la valutazione dei derivati finanziari.Alla base della valutazione in assenza d’arbitraggio c’e l’idea che se due

strumenti finanziari hanno con certezza lo stesso valore2 in una data futura,allora anche attualmente devono avere lo stesso prezzo. Se cosı non fosse, sicreerebbe un’ovvia possibilita d’arbitraggio: vendendo lo strumento piu costo-so e comprando quello meno costoso si avrebbe un profitto immediato e privodi rischio poiche la posizione di vendita (posizione corta) sul titolo piu costosoe destinata ad annullarsi con la posizione di acquisto (posizione lunga) sul ti-tolo meno costoso. Sinteticamente, possiamo esprimere il principio di assenzad’arbitraggi nel modo seguente:

XT ≤ YT =⇒ Xt ≤ Yt, ∀t ≤ T, (1.2)

2 Notiamo che non si richiede di conoscere i valori futuri dei due strumentifinanziari, ma solo che siano uguali con certezza.


dove Xt e Yt indicano rispettivamente il valore i due generici strumentifinanziari. Dalla (1.2) segue in particolare

XT = YT =⇒ Xt = Yt, ∀t ≤ T. (1.3)

Consideriamo un modello di mercato finanziario libero da arbitraggi, com-posto da un’azione S, sottostante di un’opzione call c e una put p Europeeentrambe con scadenza T e strike K:

cT = (ST −K)+, pT = (K − ST )+.

Indichiamo con r il tasso di interesse composto annuale, privo di rischio eassumiamo la dinamica (1.1) per l’investimento localmente non rischioso. Inbase ad argomenti d’arbitraggio ricaviamo la classica formula di Put-Call pa-rity che lega i prezzi c e p, e alcune stime inferiori e superiori per tali prezzi.E significativo il fatto che le seguenti formule siano “universali” ossia indipen-denti dal modello considerato e basate unicamente sul principio generale diassenza di arbitraggi.

Corollario 1.1 (Put-Call parity). Nelle ipotesi precedenti, vale

ct = pt + St −Ke−r(T−t), t ∈ [0, T ]. (1.4)

Dimostrazione. E sufficiente osservare che gli investimenti

Xt = ct +K

BTBt e Yt = pt + St,

hanno lo stesso valore finale

XT = YT = max{K, ST }.

La tesi e conseguenza della (1.3). 2

Nel caso in cui il sottostante paghi un dividendo D in una data compresafra t e T , la formula di Put-Call parity diventa

ct = pt + St −D −Ke−r(T−t).

Corollario 1.2 (Stime inferiori e superiori per opzioni Europee). Perogni t ∈ [0, T ] vale (

St −Ke−r(T−t))+

< ct < St,(Ke−r(T−t) − St

)+< pt < Ke−r(T−t).

(1.5)

1.2 Prezzo neutrale al rischio e valutazione d’arbitraggio 7

Dimostrazione. Per la (1.2) si ha

ct, pt > 0. (1.6)

Di conseguenza dalla (1.4) si ha

ct > St −Ke−r(T−t).

Inoltre, essendo ct > 0, si ottiene la prima stima dal basso. Infine cT < ST equindi per la (1.2) si ha la prima stima dall’alto. La seconda stima si provain maniera analoga ed e lasciata per esercizio. 2

1.2 Prezzo neutrale al rischio e valutazione d’arbitraggio

Per mettere in luce le idee cruciali della valutazione di derivati basata su argo-menti d’arbitraggio e utile esaminare un modello estremamente semplificatoin cui consideriamo solo due istanti di tempo, la data iniziale 0 e la scadenzaT . Assumiamo al solito che esista un bond con tasso r e valore iniziale B0 = 1.Supponiamo inoltre che ci sia un titolo rischioso S il cui valore finale dipendada un evento casuale: per semplificare al massimo il modello, assumiamo chel’evento abbia solo due stati possibili E1 e E2 in cui ST assuma rispettiva-mente il valore S+ e S−. Per fissare le idee, consideriamo l’esito del lancio diun dado e poniamo, per esempio,

E1 = {1, 2, 3, 4}, E2 = {5, 6}.

In questo caso S rappresenta una scommessa sull’esito del lancio del dado: seil lancio corrisponde ad un numero compreso fra 1 e 4 la scommessa paga S+,altrimenti paga S−. Il modello e riassunto nel seguente schema

Tempo 0 T

Bond 1 erT

Titolo rischioso ? ST =

{S+ se E1,

S− se E2.

Il problema e di determinare il valore S0 ovvero il prezzo della scommessa.

1.2.1 Prezzo neutrale al rischio

Il primo approccio e quello di assegnare una probabilita agli eventi:

P (E1) = p e P (E2) = 1− p, (1.7)


dove p ∈ ]0, 1[. Per esempio, nel caso del lancio del dado, sembra naturaleporre p = 4

6. In questo modo si puo dare una stima del valore “medio” finale

della scommessaST = pS+ + (1 − p)S−.

Scontando tale valore al tempo attuale si ottiene il cosiddetto prezzo neutraleal rischio:

S0 = e−rT(pS+ + (1− p)S−

). (1.8)

Tale prezzo esprime il valore che un investitore neutrale al rischio attribuisceal titolo rischioso (alla scommessa): infatti il prezzo attuale e pari al profittoatteso futuro e scontato. In base a tale valutazione (che dipende dalla proba-bilita p attribuita all’evento E1), l’investitore non e propenso ne avverso adacquistare il titolo.

1.2.2 Probabilita neutrale al rischio

Supponiamo ora che S0 sia il prezzo stabilito dal mercato e, come tale, sianoto. Il fatto che S0 sia osservabile fornisce informazioni sull’evento casualeche si sta considerando. Infatti, imponendo che S0 = S0 ossia che valga laformula di valutazione neutrale al rischio rispetto ad una certa probabilitadefinita in termini di q ∈ ]0, 1[ come in (1.7), si ha

S0 = e−rT(qS+ + (1− q)S−

),

da cui si ricava

q =erTS0 − S−

S+ − S−, 1− q =

S+ − erTS0S+ − S−

. (1.9)

Chiaramente q ∈ ]0, 1[ solo se

S− < erTS0 < S+ ,

e d’altra parte, se cosı non fosse, ci sarebbero ovvie possibilita di arbitraggio.La probabilita definita in (1.9) e detta probabilita neutrale al rischio e rap-presenta l’unica probabilita da assegnare agli eventi E1, E2 in modo tale cheil prezzo di mercato S0 sia un prezzo neutrale al rischio.In questo semplice modello esiste dunque una relazione biunivoca fra prez-

zi e probabilita neutrali al rischio: stimando la probabilita degli eventi, sidetermina un prezzo “equo” del titolo rischioso; viceversa dato un prezzo dimercato, esiste un’unica stima della probabilita degli eventi che e “coerente”con tale prezzo osservato.

1.2.3 Prezzo d’arbitraggio

Supponiamo ora che ci siano due titoli rischiosi S e C:


Tempo 0 T

Bond 1 erT

Titolo rischioso S S0 ST =

{S+ se E1,

S− se E2,

Titolo rischioso C ? CT =

{C+ se E1,

C− se E2.

Per fissare le idee, si puo pensare a C come un’opzione con sottostante iltitolo rischioso S. Se il prezzo S0 e quotato dal mercato, possiamo ricavare lacorrispondente probabilita q neutrale al rischio definita in (1.9) e attribuire aC il prezzo neutrale al rischio nella probabilita q:

C0 = e−rT(qC+ + (1− q)C−

). (1.10)

Tale procedura di valutazione sembra ragionevole e coerente col prezzo dimercato del sottostante. Sottolineiamo il fatto che il prezzo C0 in (1.10) nondipende dalla nostra personale stima delle probabilita degli eventi E1, E2, ma econtenuto implicitamente nella quotazione di mercato del sottostante. In parti-colare, questo metodo di valutazione non richiede di stimare preliminarmentela probabilita degli eventi casuali. Diremo che C0 e il prezzo neutrale al rischiodel derivato C.

Un approccio alternativo e basato sull’ipotesi di assenza di arbitraggi. Ri-cordiamo che i due principali problemi della teoria (e pratica) dei derivatisono la valutazione e la replicazione. Supponiamo di essere in grado di deter-minare una strategia di investimento su bond e titolo rischioso S che replichiil payoff di C. Indicando con V il valore di tale strategia, per la condizione direplicazione si ha

VT = CT . (1.11)

Dalla condizione (1.3) di non-arbitraggio deduciamo che

C0 = V0

e l’unico prezzo che garantisce di non creare opportunita di arbitraggio. Inaltri termini per valutare correttamente (senza dar luogo ad arbitraggi) unostrumento finanziario, e sufficiente determinare una strategia di investimentoche ne riproduca il valore finale (payoff): per definizione il prezzo d’arbitrag-gio dello strumento finanziario considerato e il valore attuale della strategiareplicante. Tale prezzo puo anche essere inteso come il premio che la bancariceve vendendo il derivato e che coincide col valore da investire nel portafoglioreplicante.Vediamo ora come costruire una strategia replicante nel nostro semplice

modello. Si ha


V = αS + β,

dove α e β rappresentano rispettivamente le quote di titolo rischioso e bond.Imponendo la condizione di replicazione (1.11) si ha{

αS+ + βerT = C+ (se E1),

αS− + βerT = C− (se E2),

che e un sistema lineare, risolubile univocamente sotto l’ipotesi S+ �= S−. Lasoluzione del sistema e

α =C+ −C−

S+ − S−, β = e−rT

S+C− − C+S−

S+ − S−;

pertanto il prezzo di arbitraggio di C e pari a

C0 = αS0 + β = S0C+ − C−

S+ − S−+ e−rT

S+C− − C+S−

S+ − S−

= e−rT(C+ e

rTS0 − S−

S+ − S−+C−

S+ − erTS0S+ − S−

)=

(ricordando l’espressione (1.9) della probabilita neutrale al rischio)

= e−rT(C+q +C−(1− q)

)= C0,

dove C0 e il prezzo neutrale al rischio in (1.10). I risultati fin qui ottenuti sipossono esprimere dicendo che in un mercato libero da arbitraggi e completo(ossia in cui ogni strumento finanziario sia replicabile), i prezzi d’arbitraggioe neutrale al rischio coincidono: essi sono determinati dalla quotazione S0osservabile sul mercato.In particolare il prezzo d’arbitraggio non dipende dalla stima soggettiva

della probabilita p dell’evento E1. Intuitivamente, la scelta di p e legata allavisione soggettiva sull’andamento futuro del titolo rischioso: il fatto di sceglierep pari al 50% oppure al 99% e dovuto a differenti valutazioni sugli eventi E1,E2. Come abbiamo visto, scelte diverse di p inducono prezzi diversi per S e Cin base alla formula (1.8) di valutazione neutrale al rischio. Tuttavia l’unicascelta di p che e coerente col prezzo di mercato S0 e quella corrispondentea p = q. Tale scelta e anche l’unica che evita l’introduzione di opportunitad’arbitraggio.

1.2.4 Una generalizzazione della Put-Call Parity

Consideriamo nuovamente un mercato con due titoli rischiosi S e C, masupponiamo che S0 e C0 non siano quotati:


Tempo 0 T

Bond 1 erT

Titolo rischioso S ? ST =

{S+ se E1,

S− se E2,


{C+ se E1,

C− se E2.

Consideriamo un investimento sui titoli rischiosi

V = αS + βC

e imponiamo che replichi a scadenza il bond, VT = erT :{αS+ + βC+ = erT (se E1),

αS− + βC− = erT (se E2).

Come in precedenza otteniamo un sistema lineare che ha soluzione unica (ameno che S e C non coincidano):

α = erTC+ −C−

C+S− −C−S+, β = −erT S+ − S−

C+S− − C−S+.

Per la condizione di non-arbitraggio (1.3), deve valere V0 = 1 ossia

αS0 + βC0 = 1. (1.12)

La condizione (1.12) fornisce un legame fra i prezzi dei due titoli rischiosi chedeve sussistere affinche non si creino opportunita di arbitraggio. Fissato S0,il prezzo C0 e univocamente determinato dalla (1.12), confermando i risultatidella sezione precedente. Questo fatto non deve sorprendere: poiche i due titoli“dipendono” dallo stesso fenomeno casuale, i relativi prezzi devono muoversiin modo coerente.La (1.12) suggerisce anche il fatto che la valutazione di un derivato non

richiede necessariamente la quotazione del sottostante, ma puo essere fatta apartire dalla quotazione di un altro derivato sullo stesso sottostante. Un casoparticolare della (1.12) e la formula di Put-Call parity che esprime il legamefra il prezzo di una Put e di una Call sullo stesso sottostante.

1.2.5 Un esempio di mercato incompleto

Riprendiamo l’esempio del lancio di un dado e supponiamo che i titoli rischiosiabbiano valore finale descritto dalla seguente tabella:


Tempo 0 T

Bond 1 erT

Titolo rischioso S S0 ST =

{S+ se {1, 2, 3, 4},S− se {5, 6},


{C+ se {1, 2},C− se {3, 4, 5, 6}.

Conviene ora porre

E1 = {1, 2}, E2 = {3, 4}, E3 = {5, 6}.

Se supponiamo di poter attribuire le probabilita agli eventi

P (E1) = p1, P (E2) = p2, P (E3) = 1− p1 − p2,

dove p1, p2 > 0 e p1 + p2 < 1, allora i prezzi neutrali al rischio dei titoli sidefiniscono come nella Sezione 1.2.1:

S0 =e−rT (

p1S+ + p2S

+ + (1 − p1 − p2)S−)

=e−rT((p1 + p2)S

+ + (1− p1 − p2)S−)

C0 =e−rT (

p1C+ + p2C

− + (1 − p1 − p2)C−)

=e−rT(p1C

+ + (1− p1)C−) .

Viceversa, se S0 e quotato sul mercato, imponendo S0 = S0, si ottiene larelazione

S0 = e−rT(q1S

+ + q2S+ + (1 − q1 − q2)S

−)e dunque esistono infinite probabilita neutrali al rischio.Analogamente, procedendo come nella Sezione 1.2.3 per determinare una

strategia replicante per C, si ottiene⎧⎪⎨⎪⎩αS+ + βerT = C+ (se E1),

αS+ + βerT = C− (se E2),

αS− + βerT = C− (se E3).

(1.13)

Tale sistema non e in generale risolubile, quindi il titolo C non e replicabile esi dice che il modello di mercato e incompleto. In questo caso non e possibilevalutare C in base ad argomenti di replicazione: potendo risolvere solo dueequazioni su tre, non si riesce a costruire una strategia che replichi C in tuttii casi possibili e la copertura del rischio e solo parziale.Notiamo che se (α, β) risolve la prima e la terza equazione del sistema

(1.13) il valore finale VT della corrispondente strategia e pari a


VT =

⎧⎪⎨⎪⎩C+ (se E1),

C+ (se E2),

C− (se E3).

Con questa scelta (e assumendo che C+ > C−) otteniamo una strategia chesuper-replica C.

Riassumendo:

• in un modello di mercato libero da arbitraggi e completo, da un parte esisteed e unica la probabilita neutrale al rischio; dall’altra parte per ogni deri-vato esiste una strategia replicante. Di conseguenza esiste un unico prezzoneutrale al rischio ed esso coincide col prezzo d’arbitraggio;

• in un modello di mercato libero da arbitraggi e incompleto, da un parteesistono infinite probabilita neutrali al rischio; dall’altra parte non tutti iderivati sono replicabili. Di conseguenza esistono infiniti prezzi neutrali alrischio ma non e in generale possibile definire un prezzo d’arbitraggio.

2

Elementi di probabilita ed equazione del calore

Spazi di probabilita – Indipendenza – Equazioni paraboliche a coefficienti costanti –Distribuzione multi-normale e funzione caratteristica – Teorema di Radon-Nikodym– Attesa condizionata – Processi stocastici discreti e martingale

In questo capitolo sono raccolti gli elementi di base della teoria della proba-bilita e sono messi in luce i legami con le equazioni differenziali paraboliche acoefficienti costanti. Lo scopo e di introdurre alcune nozioni elementari suppo-nendo nota la teoria del calcolo differenziale e integrale di una o piu variabilireali. In particolare assumiamo la conoscenza della teoria dell’integrazione diRiemann e Lebesgue. Alcuni dei risultati piu classici sono presentati senzadimostrazione e vengono fornite opportune indicazioni bibliografiche.

2.1 Spazi di probabilita

Indichiamo con Ω un insieme non vuoto, Ω �= ∅.

Definizione 2.1. Una σ-algebra F e una famiglia di sottoinsiemi di Ω taleche:

i) ∅ ∈ F ;ii) se F ∈ F allora1 F c := (Ω \ F ) ∈ F ;iii) per ogni successione (Fn)n∈N di elementi di F ,

∞⋃n=1

Fn ∈ F .

Notiamo che l’intersezione di σ-algebre e ancora una σ-algebra. Data unafamigliaM di sottoinsiemi di Ω, poniamo

σ(M ) :=⋂

F σ−algebraF⊇M

F ,

e diciamo che σ(M ) e la σ-algebra generata da M . Essendo l’intersezione ditutte le σ-algebre contenenti M , σ(M ) e la piu piccola σ-algebra contenenteM .

1 La scrittura A := B significa che A e per definizione uguale B.


16 2 Elementi di probabilita ed equazione del calore

Esempio 2.2. La σ-algebra dei BorellianiB(RN) e la σ-algebra generata dallatopologia Euclidea di RN , ossia

B(RN) = σ({A | A aperto di RN}).

Ove non ci sia confusione, scriveremo semplicemente B = B(RN).Posto

I = { ]a, b[ | a, b ∈ Q, a < b}, J = { ]−∞, b] | b ∈ Q},

non e difficile provare che

σ(I) = σ(J ) =B(R).

Dato un intervallo non banale I ⊆ R, poniamo anche B(I) = σ({ ]a, b[| a, b ∈I, a < b}). 2

Definizione 2.3. Una misura sulla σ-algebra F di Ω e un’applicazione

P : F → [0,+∞]

tale che:

i) P (∅) = 0;ii) per ogni successione (Fn)n∈N di elementi di F , a due a due disgiunti, vale

P

( ⋃n≥1

Fn

)=

∑n≥1

P (Fn).

Se P (Ω) <∞, diciamo che P e una misura finita. Inoltre, se vale

iii)P (Ω) = 1,

allora diciamo che P e una misura di probabilita.

Dalla definizione segue che se E, F ∈ F allora

E ⊆ F =⇒ P (E) ≤ P (F ).

Enunciamo2 un utile risultato di unicita.

Proposizione 2.4. Sia I una famiglia di sottoinsiemi di Ω chiusa rispettoall’intersezione, ossia tale che

E, F ∈ I ⇒ E ∩ F ∈ I.

Siano P,Q misure finite definite su σ(I), tali che P (Ω) = Q(Ω) e

P (E) = Q(E), E ∈ I.

Allora P = Q.

2 Per la dimostrazione, rimandiamo alla Proposizione A.5.

2.1 Spazi di probabilita 17

Per esempio, le famiglie I e J dell’Esempio 2.2 sono chiuse rispetto all’in-tersezione e generano B. Come conseguenza della proposizione precedente,per provare che due misure di probabilita P,Q su B sono uguali e sufficienteverificare che

P (]a, b[) = Q(]a, b[), a, b ∈ Q, a < b,

oppure cheP (]−∞, b]) = Q(]−∞, b]), b ∈ Q.

Un analogo risultato vale in dimensione maggiore di uno.

Definizione 2.5. Uno spazio di probabilita e una terna (Ω,F , P ) con F σ-algebra su Ω e P misura di probabilita su F .

L’insieme Ω e detto spazio campione (o spazio dei risultati): si puo pensaread ogni elemento ω di Ω come al risultato di un esperimento o allo stato di unfenomeno, per esempio la posizione di una particella nello spazio o il prezzodi un titolo azionario. Un elemento E di F e chiamato evento e P (E) e dettaprobabilita dell’evento E. Per fissare le idee, se Ω = R+ := ]0,+∞[ e lo spaziocampione che rappresenta l’insieme dei possibili prezzi di un titolo rischioso,allora P (]a, b[) rappresenta la probabilita che il prezzo sia maggiore di a eminore di b.Diciamo che E ∈ F e un evento trascurabile (rispettivamente, certo) se

P (E) = 0 (risp. P (E) = 1).

Notazione 2.6 Indichiamo con N la famiglia degli eventi trascurabili di(Ω,F , P ).Un ruolo particolarmente importante giocano le misure di probabilita

definite sullo spazio Euclideo.

Definizione 2.7. Una misura di probabilita definita su (RN ,B) e detta di-stribuzione.

Il prossimo risultato e diretta conseguenza di alcune ben note proprieta del-l’integrale di Lebesgue: esso mostra come sia relativamente facile costruire unadistribuzione a partire dalla misura di Lebesgue.

Proposizione 2.8. Sia f : R→ R una funzione B-misurabile (ossia tale chef−1(H) ∈B per ogni H ∈B), non-negativa e tale che∫

R

f(x)dx = 1.

Allora P definita da

P (H) =

∫H

f(x)dx, H ∈B, (2.1)

e una distribuzione. Diciamo che f e la densita di P rispetto alla misura diLebesgue.


Esempio 2.9 (Distribuzione uniforme). Dati a, b ∈ R con a < b, la distribu-zione con densita

f(x) =1

b− a1[a,b](x), x ∈ R, (2.2)

e detta distribuzione uniforme su [a, b]. In (2.2), 1A denota la funzioneindicatrice dell’insieme A, definita da

1A(x) =

{1, x ∈ A,

0, x /∈ A.

Nel seguito indichiamo indifferentemente con |H | o m(H) la misura diLebesgue del Borelliano H . Allora si ha

P (H) =1

b− a|H ∩ [a, b]| , H ∈B.

Intuitivamente, P distribuisce uniformemente su [a, b] la probabilita che una“particella” (o il prezzo di un titolo) si trovi in [a, b]: e invece impossibile chela particella sia fuori da [a, b]. 2

Per una distribuzione P della forma (2.1) vale necessariamente

|H | = 0 =⇒ P (H) = 0. (2.3)

La (2.7) si esprime dicendo che P e assolutamente continua rispetto alla misuradi Lebesgue.

Esempio 2.10 (Delta di Dirac). Non tutte le distribuzioni sono del tipo (2.1)ossia non tutte le distribuzioni hanno densita rispetto alla misura di Lebesgue.Per esempio, dato x0 ∈ RN , consideriamo la distribuzione Delta di Diracconcentrata in x0 definita da

δx0(H) =

{1, x0 ∈ H,

0, x0 /∈ H,

per H ∈ B. Intuitivamente, con tale distribuzione rappresentiamo la certez-za di “trovare la particella” nella posizione x0. Questa distribuzione non hadensita rispetto a m, poiche non si annulla se valutata nell’evento {x0} cheha misura di Lebesgue nulla, contraddicendo la (2.3). 2

Consideriamo ora altri esempi di distribuzioni definite specificando ladensita rispetto alla misura di Lebesgue.

Esempio 2.11 (Distribuzione esponenziale). Dato λ > 0, la distribuzione condensita

fλ(x) = λe−λx1R+(x), x ∈ R,

e detta distribuzione esponenziale (di parametro λ). 2


Esempio 2.12 (Distribuzione di Cauchy). La distribuzione con densita

f(x) =1

π

1

1 + x2, x ∈ R,

e detta distribuzione di Cauchy.2

Esempio 2.13 (Distribuzione normale reale). Dati μ ∈ R e σ > 0, poniamo

Γ (t, x) =1√2πt

exp

(−x

2

2t

), x ∈ R, t > 0. (2.4)

Una distribuzione con densita della forma f(x) = Γ (σ2, x − μ) e dettadistribuzione normale o di Gauss in R.

Fig. 2.1. Grafico della densita Gaussiana Γ (t, x)


Notazione 2.14 Indichiamo con Nμ,σ2 la distribuzione normale di parametriμ, σ:

Nμ,σ2 (H) =

∫H

Γ (σ2, x− μ)dx

=

∫H

1

σ√2πexp

(−(x− μ)2

2σ2

)dx, H ∈B.

Poniamo anche Nμ,σ2 = δμ per σ = 0.

2

Notiamo che le funzioni degli esempi precedenti sono densita, nel senso chesono B-misurabili, non-negative e hanno integrale su R pari a 1.

2.1.1 Variabili aleatorie e distribuzioni

Definizione 2.15. Una variabile aleatoria (nel seguito v.a.) sullo spazio diprobabilita (Ω,F , P ), e una funzione misurabile X da Ω a valori in RN , ossiauna funzione

X : Ω → RN t.c. X−1(H) ∈ F , H ∈B.

Nel caso N = 1, X e detta v.a. reale.

Notazione 2.16 Indichiamo con mB (rispettivamente, mBb) la famigliadelle funzioni su RN a valori reali, B-misurabili (risp., e limitate).

Osservazione 2.17. SiaX : (Ω,F) −→ (Ω, F),

con F = σ(M ) dove M e una (qualsiasi) famiglia di sottoinsiemi di Ω.Osserviamo che se vale

X−1(M ) ⊆ F

alloraX e misurabile ossiaX−1(F) ⊆ F . Un caso particolarmente significativoe Ω = R e M = {[a, b] | a < b}.Infatti

G = {F ∈ F | X−1(F ) ∈ F}e una σ-algebra, poiche

X−1(F )c = X−1(F c), e X−1( ⋃n≥1

Fn

)=

⋃n≥1

X−1 (Fn) .

Inoltre M e inclusa in G e di conseguenza anche F = σ(M ) ⊆ G ossia X emisurabile. 2


Definizione 2.18. Data una v.a. X, definiamo l’applicazione

PX : B → [0, 1]

ponendoPX(H) = P (X−1(H)), H ∈B.

E facile verificare che PX e una distribuzione detta distribuzione (o legge) diX e scriviamo

X ∼ PX .

Notazione 2.19 Essendo

X−1(H) = {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ H},

nel seguito utilizziamo la scrittura piu intuitiva P (X ∈ H) per indicareP (X−1(H)). Dunque

PX(H) = P (X ∈ H),

indica la probabilita che la v.a. X appartenga al Borelliano H.

Esempio 2.20. Nell’esempio classico del lancio di due dadi poniamo

Ω = {(m, n) ∈ N× N | 1 ≤ m, n ≤ 6},

F = P(Ω) e definiamo la misura P con P ({(m, n)}) = 136per ogni (m, n) ∈

Ω. Consideriamo la v.a. X(m, n) =m+ n: allora si ha

PX({7}) = P (X = 7) = P (X−1({7})) = 6

36,

poiche 6 sono le combinazioni di lanci con cui si ottiene 7 rispetto ai 36 lancipossibili. Analogamente si ha:

P (3 ≤ X < 6) = P(X−1 ([3, 6[)

)=2 + 3 + 4

36=1

4.

2

Definizione 2.21. Sia X una v.a. su (Ω,F , P ) a valori in RN . La funzionedi distribuzione di X e la funzione

ΦX : RN → [0, 1]

definita daΦX(y) = P (X ≤ y) , y ∈ RN ,

dove X ≤ y significa Xi ≤ yi per ogni i = 1, . . . , N.


Osservazione 2.22. In base alla Proposizione 2.4 e alla successiva osservazione,la funzione di distribuzione ΦX determina univocamente la distribuzione PX .In particolare, nel caso N = 1, se PX ha densita f allora

ΦX(y) =

∫ y

−∞f(x)dx

e quindi se f e continua nel punto x0 allora ΦX e derivabile in x0 e vale

d

dyΦX(x0) = f(x0). (2.5)

Piu in generale, essendo f sommabile e non-negativa, la (2.5) vale in sensodebole (cfr. Proposizione A.19). 2

Notiamo che diverse v.a. (anche definite su spazi di probabilita differenti)possono avere la stessa distribuzione. Per esercizio, si provi che una v.a. Xdefinita sullo spazio di probabilita (Ω,F , P ) ha la stessa distribuzione PXdella v.a. identita id, id(y) = y, definita su (R,B, PX). Si provi anche che seA,B ∈ F hanno la stessa probabilita, P (A) = P (B), allora le v.a. 1A e 1Bhanno la stessa distribuzione.Come vedremo in seguito, nella maggior parte delle applicazioni e in par-

ticolare in finanza, e spesso sufficiente conoscere la distribuzione di una v.a.X piuttosto che la sua espressione esplicita e lo spazio di probabilita su cui edefinita.

2.1.2 Valore atteso e varianza

Uno dei concetti fondamentali associati a una v.a. X e quello di valore atteso:intuitivamente esso corrisponde ad una media dei valori assunti da X, pesa-ti rispetto alla probabilita P . Per introdurre rigorosamente questa nozione,occorre definire l’integrale di X nello spazio (Ω,F , P ):∫

Ω

XdP. (2.6)

La costruzione dell’integrale in (2.6) e analoga a quella dell’integrale diLebesgue su RN e ne diamo un breve cenno in modo schematico:

[I passo] cominciamo col definire l’integrale di v.a. reali semplici. Diciamoche una v.a. X : Ω → R e semplice se la cardinalita di X(Ω) e finita, ossia

X(Ω) = {α1, . . . , αn}.

In tal caso, posto Ak = X−1(αk) ∈ F per k = 1, . . . , n, vale

X =n∑k=1

αk1Ak (2.7)


ossia X e una combinazione lineare di funzioni indicatrici. Affinche sia∫Ω

1AdP = P (A), A ∈ F ,

e l’integrale sia un funzionale lineare, e naturale definire∫Ω

XdP =

n∑k=1

αkP (Ak). (2.8)

[II passo] consideriamo una v.a. reale non-negativa ossia tale che X(ω) ≥ 0per ogni ω ∈ Ω e poniamo∫

Ω

XdP = sup

{∫Ω

Y dP | Y v.a. semplice, 0 ≤ Y ≤ X

}. (2.9)

Chiaramente la definizione (2.9) coincide con la (2.8) per le v.a. semplici e non-negative, ma in generale

∫ΩXdP ≤ +∞ ossia non e detto che l’integrale di X

converga. Questa definizione e simile a quella di integrale di Riemann, consi-derando che il concetto v.a. semplice e analogo a quello di funzione costantea tratti in R.

[III passo] data X, v.a. reale, poniamo

X+ = max{0, X} e X− = max{0,−X}.

Allora X+ e X− sono v.a. non-negative e vale X = X+ − X−. Se almenouno fra

∫ΩX+dP e

∫ΩX−dP (definiti nel passo II) e finito, diciamo che X e

P -integrabile e definiamo∫Ω

XdP =

∫Ω

X+dP −∫Ω

X−dP.

In generale∫ΩXdP puo essere finito o infinito (±∞). Se entrambi

∫ΩX+dP e∫

ΩX−dP sono finiti, diciamo cheX e P -sommabile e scriviamoX ∈ L1(Ω, P ):

in questo caso ∫Ω

|X|dP =∫Ω

X+dP +

∫Ω

X−dP <∞.

[IV passo] infine se X : Ω → RN e una v.a. e X = (X1, . . . , XN), poniamo∫Ω

XdP =

(∫Ω

X1dP, . . . ,

∫Ω

XNdP

).

Con questa definizione di integrale tutti i principali risultati della teoriadell’integrazione di Lebesgue su RN rimangono validi: in particolare valgonoi teoremi di passaggio al limite sotto al segno di integrale, di Beppo Levi, diFatou e della convergenza dominata di Lebesgue.


Definizione 2.23. Dato p ≥ 1, indichiamo con Lp = Lp(Ω,F , P ) lo spaziodelle funzioni reali F-misurabili e P -sommabili di ordine p, ossia tali che

‖X‖p :=(∫

Ω

|X|pdP) 1

p

<∞.

Notiamo che ‖ · ‖p e una seminorma3 in Lp.

Notazione 2.24 Per mettere in evidenza la variabile di integrazione, a volteusiamo la notazione ∫

Ω

XdP =

∫Ω

X(ω)P (dω).

Per esempio, se al solito m indica la misura di Lebesgue, allora scriviamoindifferentemente∫

RNf(x)dx =

∫RN

f dm =

∫RN

f(x)m(dx).

Definizione 2.25. Data una v.a. X : Ω → RN sommabile, il valore atteso diX e il vettore di RN

E [X] :=

∫Ω

XdP.

Notiamo che il valore atteso di X, essendo una media, in generale non coincidecon il valore piu probabile di X. Questo e vero nel caso particolare delladistribuzione normale ma non nel caso della distribuzione uniforme oppuredella distribuzione bimodale in Fig. 2.2.

Fig. 2.2. Densita della distribuzione bimodale

Un’altra fondamentale nozione relativa ad una variabile aleatoria e quelladi varianza.

3 In particolare ‖X‖p = 0 se e solo se X = 0 q.s.


Definizione 2.26. La varianza di una v.a. reale X e definita da

var(X) = E[(X − E [X])2

]. (2.10)

La covarianza di due v.a. reali X, Y e definita da

cov(X, Y ) = E [(X −E [X])(Y −E [Y ])] , (2.11)

ammesso che (X −E [X])(Y −E [Y ]) sia integrabile.Nel caso in cui X = (X1, . . . , XN ) sia una v.a. a valori in RN , la matrice

di covarianza Cov(X) = (cij) e definita da

cij = cov(Xi, Xj), i, j = 1, . . . , N,

e in forma matriciale,

Cov(X) = E [(X −E [X])(X − E [X])∗] .

La varianza fornisce una stima di quanto X si discosta in media dal propriovalore atteso. Notiamo che, per X, Y reali,

var(X) = E[X2

]−E [X]

2, (2.12)

evar(X + Y ) = var(X) + var(Y ) + 2cov(X, Y ). (2.13)

Osservazione 2.27. Se X e una v.a. reale e α, β ∈ R, allora per la linearita delvalore atteso, e immediato provare che

E [αX + β] = αE [X] + β, var(αX + β) = α2var(X).

Piu in generale, se X e una v.a. in RN , α e una matrice d×N e β ∈ Rd, allora

E [αX + β] = αE [X] + β, Cov(αX + β) = αCov(X)α∗. (2.14)

2

Vediamo ora come e possibile calcolare il valore atteso e la varianza divariabili aleatorie di cui e nota la distribuzione.

Teorema 2.28. Siano X : Ω → RN una v.a sullo spazio di probabilita(Ω,F , P ) e g : RN → Rn una funzione misurabile. Allora

g ◦X ∈ L1(Ω, P ) ⇐⇒ g ∈ L1(RN , PX)

e in tal caso vale ∫Ω

g(X)dP =

∫RN

g dPX . (2.15)


Dimostrazione (Cenni). Anzitutto e sufficiente considerare il caso N = n = 1.La dimostrazione e basata sul cosiddetto4 “metodo standard” che riconduceil problema a considerare solo il caso in cui g sia una funzione indicatrice. Seg = 1H con H ∈B, vale∫

Ω

1H(X)dP =

∫X−1(H)

dP = P (X ∈ H)

= PX(H) =

∫H

dPX =

∫R

1HdPX .

Avendo dimostrato la tesi per le funzioni indicatrici, dalla linearita dell’in-tegrale segue la tesi anche per g semplice e misurabile. Applicando il teoremadi Beppo Levi proviamo poi la tesi anche per g misurabile a valori non ne-gativi. Infine in generale scomponiamo g in parte positiva e parte negativa eutilizziamo ancora una volta la linearita dell’integrale per concludere la prova.

2

Osservazione 2.29. Supponiamo che la distribuzione di X sia assolutamentecontinua rispetto alla misura di Lebesgue e quindi PX sia della forma (2.1)con densita f : allora una semplice applicazione del “metodo standard” mostrache la (2.15) diventa ∫

Ω

g(X)dP =

∫RN

g(x)f(x)dx. (2.16)

Per esempio, se X ha distribuzione esponenziale con densita λe−λx su R+,allora ∫

Ω

g(X)dP = λ

∫ +∞

0

g(x)e−λxdx.

2

2.1.3 Alcuni esempi

Utilizziamo il Teorema 2.28 per calcolare valore atteso e varianza relative alledistribuzioni introdotte precedentemente.

Esempio 2.30 (Distribuzione uniforme). Sia X una v.a. con distribuzioneuniforme su [a, b]:

X ∼ 1

b− a1[a,b](y)dy.

Il valore atteso di X vale

E [X] =

∫Ω

XdP =

∫R

yPX(dy) =

∫R

y

b− a1[a,b](y)dy =

a+ b

2.

4 Terminologia adottata da Williams [169], Cap.5.


Inoltre si ha

var(X) =

∫Ω

(X − E [X])2dP =

∫R

(y − a+ b

2

)2

PX(dy) =(a− b)2

12.

2

Esempio 2.31 (Distribuzione di Dirac). Se X ∼ δx0 allora

E [X] =

∫R

yδx0 (dy) =

∫{x0}

yδx0 (dy) = x0 δx0 ({x0}) = x0,

var(X) =

∫R

(y − x0)2δx0 (dy) = 0.

2

Esempio 2.32 (Distribuzione esponenziale). Se X ∼ λe−λy1R+(y)dy, allora

E [X] =

∫ +∞

0

yλe−λydy =1

λ, var(X) =

1

λ2.

2

Esempio 2.33 (Distribuzione di Cauchy). Poiche la funzione g(y) = y non eintegrabile rispetto alla distribuzione di Cauchy, il valore atteso di una v.a.con distribuzione di Cauchy non e definito. 2

Esempio 2.34 (Distribuzione normale). Se X ∼ Nμ,σ2 allora

E [X] =

∫R

yNμ,σ2 (dy) =

∫R

y

σ√2πexp

(−(y − μ)2

2σ2

)dy =

(col cambio di variabili z = y−μσ√2)

=1√π

∫R

ze−z2

dz+μ√π

∫R

e−z2

dy = μ.

Inoltre

var(X) =

∫Ω

(X − μ)2dP =

∫R

(y − μ)2

σ√2π

exp

(−(y − μ)2

2σ2

)dy =

(col cambio di variabili z = y−μσ√2)

= σ2∫R

2z2√πe−z

2

dz = σ2.

Verificare per esercizio l’ultima uguaglianza, integrando per parti. 2


Osservazione 2.35. Dati X ∼ Nμ, σ2 e α, β ∈ R, si ha che (αX + β) ∼Nαμ+β, α2σ2 . Infatti per α = 0 il risultato e ovvio, mentre se α �= 0 allora,per il Teorema 2.28, per ogni H ∈B si ha

P ((αX + β) ∈ H) =

∫Ω

1H(αX + β)dP =

∫R

1H(αy + β)

σ√2π

e−(y−μ)2/2σ2dy =

(col cambio di variabili z = αy + β)

=

∫H

1

σα√2π

e−(z−αμ−β)2/2α2σ2dz = Nαμ+β, α2σ2 (H).

In particolareX − μ

σ∼ N0,1 (2.17)

dove N0,1 e detta distribuzione normale standard. Inoltre vale

P (X ≤ y) = P

(X − μ

σ≤ y − μ

σ

)= Φ

(y − μ

σ

)(2.18)

dove

Φ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−

y2

2 dy, (2.19)

e detta funzione di distribuzione normale standard. E facile verificare laseguente utile proprieta di Φ:

Φ(−x) = 1− Φ(x), x ∈ R. (2.20)

2

Osservazione 2.36. Siano X una variabile aleatoria reale con densita f eF ∈ C1(R) una funzione monotona strettamente crescente. Allora la variabilealeatoria Y = F (X) ha densita

f(G(y))G′(y), y ∈ F (R),

dove G = F−1 e la funzione inversa di F . Infatti, per ogni ϕ ∈ mBb, si ha

E [ϕ(Y )] = E [ϕ(F (X))] =

∫R

ϕ(F (x))f(x)dx =

(col cambio di variabili x = G(y))

=

∫F (R)

ϕ(y)f(G(y))G′ (y)dy.

2


Esempio 2.37 (Distribuzione log-normale). Se X = eZ con Z ∼ Nμ,σ2 alloradiciamo che X ha distribuzione log-normale. Se W ∼ N0,1 allora si ha

E[eσW

]=

1√2π

∫R

eσx−x2

2 dx =eσ2

2

√2π

∫R

e−(x−σ)2

2 dx = eσ2

2 ,

e quindi vale

E [X] = eμ+σ2

2 , (2.21)

evar(X) = E

[X2

]− E [X]

2= e2μ+σ

2(eσ

2 − 1). (2.22)

2

Esempio 2.38 (Distribuzione chi-quadro). Sia X ∼ N0,1. La distribuzione χ2

e la distribuzione della v.a. X2 . Chiaramente, per y ≤ 0, si ha

P (X2 ≤ 0) = 0;

invece, per y > 0, vale

P (X2 ≤ y) = P (−√y ≤ X ≤ √y)

=1√2π

∫ √y

−√ye−

x2

2 dx =1√2π

∫ √y

0

2e−x2

2 dx =

(col cambio di variabile ξ = x2)

=1√2π

∫ y

0

e−ξ2

√ξdξ.

In definitiva, ricordando la (2.5), la densita della χ2 e data da

f(y) =

{0, y ≤ 0,

1√2πy

e−y2 , y > 0.

Se Y ha distribuzione χ2 allora

E [Y ] = E[X2

]= 1

evar(Y ) = E

[Y 2

]− E [Y ]

2= E

[X4

]− 1 = 2.

2

Esercizio 2.39. Consideriamo una v.a. X con distribuzione una combinazio-ne lineare di Delta di Dirac:

X ∼ pδu + (1− p)δd,


dove p ∈ ]0, 1[ e u, d ∈ R, d < u. Dunque X puo assumere solo due valori: ucon probabilita p e d con probabilita 1− p. Per la (2.8), si ha

E [X] = pu+ (1− p)d.

Provare che

var(X) = (u− d)2p(1− p) = (u− E [X])(E [X] − d), (2.23)

eE

[X2

]= (u+ d)E [X]− ud. (2.24)

2.1.4 Disuguaglianza di Markov

Proviamo un risultato utile a stimare l’attesa di una variabile aleatoria.

Proposizione 2.40. Siano X una v.a. e f ∈ C1([0,+∞[) tale che f ′ ≥ 0oppure f ′ ∈ L1(R+, P

|X|). Allora vale

E [f(|X|)] = f(0) +

∫ +∞

0

f ′(λ)P (|X| ≥ λ)dλ. (2.25)

Dimostrazione. Vale

E [f(|X|)] =∫ +∞

0

f(y)P |X|(dy) =

=

∫ +∞

0

(f(0) +

∫ y

0

f ′(λ)dλ

)P |X|(dy) =

(scambiando l’ordine di integrazione, per il Teorema 2.58 di Fubini)

= f(0) +

∫ +∞

0

f ′(λ)

∫ +∞

λ

P |X|(dy)dλ =

= f(0) +

∫ +∞

0

f ′(λ)P (|X| ≥ λ)dλ.

2

Esempio 2.41. Se f(x) = xp, p ≥ 1, per la (2.25) si ha

E [|X|p] = p

∫ +∞

0

λp−1P (|X| ≥ λ) dλ.

Di conseguenza, per dimostrare la sommabilita di ordine p di X e sufficientedisporre di una stima di P (|X| ≥ λ), almeno per λ grande.

La seguente classica disuguaglianza di Markov fornisce una stima nelladirezione opposta.


Proposizione 2.42 (Disuguaglianza di Markov). Siano X una variabilealeatoria, λ ∈ R+ e 1 ≤ p < +∞. Allora vale

P (|X| ≥ λ) ≤ E [|X|p]λp

. (2.26)

In particolare, se X e una v.a. reale, vale

P (|X − E [X] | ≥ λ) ≤ var(X)

λ2. (2.27)

Dimostrazione. Proviamo solo la (2.26). Vale

E [|X|p] ≥∫

{|X|≥λ}

|X|pdP ≥ λpP (|X| ≥ |λ|).

2

In seguito sara utile il seguente “principio di identita”.

Proposizione 2.43. Sia X una v.a. con densita strettamente positiva su H ∈B. Se g ∈ mB e tale che g(X) = 0 q.s. (rispettivamente g(X) ≥ 0 q.s.) allorag = 0 (risp. g ≥ 0) quasi ovunque (rispetto alla misura di Lebesgue) su H. Inparticolare se g e continua allora g = 0 (risp. g ≥ 0) su H.

Dimostrazione. Poniamo

Hn =

{x ∈ H | |g(x)| ≥ 1

n

}, n ∈ N,

e indichiamo con f la densita di X. Supponiamo che g(X) = 0 q.s. Allora siha

0 = E [|g(X)|] ≥ 1

nP (X ∈ Hn) =

1

n

∫Hn

f(x)dx

e quindi, essendo per ipotesi f strettamente positiva, Hn deve avere misuradi Lebesgue nulla. Si conclude osservando che

{g �= 0} =⋃n∈N

Hn.

Nel caso in cui g(X) ≥ 0 q.s., si procede in maniera analoga considerando lasuccessione di insiemi Hn = {g(t, ·) < − 1

n}, n ∈ N. 2

2.1.5 σ-algebre e informazioni

Definizione 2.44. Data una v.a. X sullo spazio di probabilita (Ω,F , P ), in-dichiamo con σ(X) la σ-algebra generata da X ossia la σ-algebra generatadalle contro-immagini mediante X dei Borelliani: piu precisamente

σ(X) = σ({X−1(H) | H ∈ B}

).


Ovviamente σ(X) ⊆ F e vale

σ(X) = X−1(B) = {X−1(H) | H ∈ B}.

Nel seguito, specialmente per le applicazioni finanziarie, e utile pensare ad unaσ-algebra come ad un insieme di informazioni. Per chiarire questa afferma-zione che per ora risulta abbastanza oscura, consideriamo il seguente sempliceesempio.

Esempio 2.45. Consideriamo un modello per studiare la probabilita che lan-ciando un dado il risultato sia un numero pari oppure dispari: sia Ω = {n ∈N | 1 ≤ n ≤ 6}, F la famiglia di tutti i sottoinsiemi di Ω e

X(n) =

{1, se n e pari,

−1, se n e dispari.

Allora si haσ(X) = {{2, 4, 6}, {1, 3, 5}, ∅, Ω}.

In questo caso σ(X) e strettamente contenuta in F : gli eventi di σ(X) sonoquelli di cui e necessario conoscere la probabilita al fine di studiare il fenomenodescritto da X. In questo senso σ(X) contiene le informazioni su X. 2

Siano X, Y variabili aleatorie su (Ω,F): per fissare le idee, pensiamo a X eY come al prezzo di due titoli rischiosi. La condizione “X e σ(Y )-misurabile”si esprime spesso dicendo che X dipende dalle informazioni su Y (o sem-plicemente da Y ). Matematicamente questo e giustificato dalla ProposizioneA.8 che afferma che X e σ(Y )-misurabile se e solo se esiste una funzione B-misurabile f tale che X = f(Y ), ossia X e funzione di Y . Piu in generale,se G e una σ-algebra e X e G-misurabile, allora diciamo che X dipende dalleinformazioni contenute in G.

Esempio 2.46. Se X e misurabile rispetto alla σ-algebra banale F = {∅, Ω},alloraX e costante. Infatti dato ω ∈ Ω poniamo a = X(ω). AlloraX−1({a}) �=∅ ma, per ipotesi, X−1({a}) ∈ F e quindi X−1({a}) = Ω ossia X(ω) = a perogni ω ∈ Ω.Piu in generale, se X e misurabile rispetto alla σ-algebra σ(N ) che con-

tiene solo eventi certi o trascurabili, allora X e costante quasi sicuramente.Dimostrare questo fatto nei dettagli e un po’ meno immediato. Poiche

Ω =⋃n≥1

X−1([−n, n])

e X e σ(N )-misurabile per ipotesi, esiste n ∈ N tale che P (X−1([−n, n])) = 1.Ora possiamo costruire due successioni an, bn tali che

−n ≤ an ≤ an+1 < bn+1 ≤ bn ≤ n, n ∈ N,

2.2 Indipendenza 33

elimn→0

an = limn→0

bn =: �

con P (An) = 1 per ogni n ∈ N dove An := X−1([an, bn]). Infine P (A) = 1dove

A = X−1({�}) =⋂n≥1

An

che prova la tesi. 2

2.2 Indipendenza

Definizione 2.47. Sia dato uno spazio di probabilita (Ω,F , P ) e un eventoB non trascurabile. La probabilita P (· | B) condizionata a B e la misura diprobabilita su (Ω,F) definita da

P (A|B) = P (A∩B)P (B)

, A ∈ F .

Intuitivamente la probabilita condizionata P (A|B) rappresenta la probabilitache avvenga l’evento A, ammesso che sia avvenuto anche B. E facile verificareche P (· |B) e una misura di probabilita su (Ω,F).

Definizione 2.48. Diciamo che due eventi A,B ∈ F sono indipendenti se:

P (A ∩B) = P (A)P (B). (2.28)

Nel caso in cui P (B) > 0, la (2.28) equivale a P (A|B) = P (A) ossiala probabilita dell’evento A e indipendente dal fatto che B sia accaduto omeno. Osserviamo che la proprieta di indipendenza dipende dalla misura diprobabilita considerata: in altri termini due eventi possono essere indipendentiin una misura e non esserlo in un’altra.Per esercizio, provare che se due eventi A,B sono indipendenti, allora lo

sono anche i complementari Ac, Bc. Inoltre anche Ac e B sono indipendenti.

Definizione 2.49. Diciamo che due famiglie G,H di eventi di Ω sono indi-pendenti se:

P (A∩B) = P (A)P (B), A ∈ G, B ∈ H.

Diciamo che due v.a. X, Y su (Ω,F , P ) sono indipendenti se lo sono lecorrispondenti σ-algebre σ(X) e σ(Y ).

Osserviamo che non e possibile stabilire se due v.a. sono indipendenti a partiredalla loro distribuzione.Il seguente semplice esercizio risultera utile in seguito, pertanto consiglia-

mo di svolgerlo ora.


Esercizio 2.50. Siano X, Y v.a. indipendenti. Provare che:i) se Z e una v.a. σ(Y )-misurabile, allora X e Z sono indipendenti;ii) se f, g sono funzioni reali B-misurabili, allora le v.a. f(X) e g(Y ) sono

indipendenti.

Osservazione 2.51. Se X, Y sono variabili aleatorie indipendenti e X e σ(Y )-misurabile, allora X e costante q.s. Infatti

P (A ∩B) = P (A)P (B), A ∈ σ(X), B ∈ σ(Y ),

e poiche σ(X) ⊆ σ(Y ), allora si ha

P (A) = P (A)2, A ∈ σ(X).

Dunque σ(X) ⊆ σ(N ). La tesi segue dall’Esercizio 2.46. 2

Nella pratica, per verificare se due σ-algebre o due v.a. sono indipendenti eutile il seguente risultato, conseguenza del primo teorema di Dynkin, TeoremaA.4.

Lemma 2.52. Consideriamo le σ-algebre G = σ(I) e H = σ(J ) generatedalle famiglie di eventi I,J e supponiamo che I,J siano ∩−stabili. Allora Ge H sono indipendenti se e solo se lo sono I e J .

Dimostrazione. Supponiamo che I,J siano indipendenti. Fissato I ∈ I, lemisure

H �→ P (I ∩H), H �→ P (I)P (H),

sono uguali per H ∈ J , verificano le ipotesi della Proposizione 2.4 e dunquecoincidono su H = σ(J ). Data l’arbitrarieta di I abbiamo provato che

P (I ∩H) = P (I)P (H), I ∈ I, H ∈ H.

Ora, fissato H ∈ H, applichiamo nuovamente la Proposizione 2.4 per provareche le misure

G �→ P (G ∩H), G �→ P (G)P (H), G ∈ G,

coincidono e concludere la prova. 2

Vediamo un utilizzo pratico: proviamo che due v.a. reali X, Y su (Ω,F , P )sono indipendenti se e solo se

P (X ≤ x, Y ≤ y) = P (X ≤ x)P (Y ≤ y), x, y ∈ R.

Infatti, posto I = {X−1(]−∞, x]) | x ∈ R} e J = {Y −1(]−∞, y]) | y ∈ R},la tesi e conseguenza del Lemma 2.52, una volta verificato che I,J sono chiusirispetto all’intersezione e inoltre σ(X) = σ(I) e σ(Y ) = σ(J ).Proviamo ora un’importante proprieta delle v.a. indipendenti: l’attesa del

prodotto di v.a. indipendenti e uguale al prodotto delle attese.

2.2 Indipendenza 35

Teorema 2.53. Se X, Y ∈ L1(Ω, P ) sono v.a. reali indipendenti, allora

XY ∈ L1(Ω, P ), E [XY ] = E [X]E [Y ] .

Dimostrazione. Con un procedimento analogo a quello utilizzato nella provadel Teorema 2.28, e sufficiente dare la prova nel caso di funzioni indicatrici:X = 1E , Y = 1F con E, F ∈ F . Per ipotesi X, Y sono indipendenti e quindianche E, F sono indipendenti. Allora si ha∫

Ω

XY dP =

∫E∩F

dP = P (E ∩ F ) = P (E)P (F ) = E [X]E [Y ] .

2

Esercizio 2.54. Dare un esempio di v.a. X, Y ∈ L1(Ω, P ) tali che XY /∈L1(Ω, P ).

Come conseguenza del teorema precedente, se X, Y sono indipendenti, allora

cov(X, Y ) = 0.

In particolare, ricordando la (2.13), si ha

var(X + Y ) = var(X) + var(Y ).

Non vale il viceversa: in generale due v.a. X, Y tali che cov(X, Y ) = 0 possononon essere indipendenti.

Estendiamo il concetto di indipendenza al caso di n variabili aleatorie nelmodo seguente.

Definizione 2.55. Diciamo che le famiglie di eventi H1, . . . ,Hn sono indi-pendenti se

P (Hi1 ∩ · · · ∩Hik) = P (Hi1) · · ·P (Hik),per ogni scelta di Hij ∈ Hij e differenti indici 1 ≤ i1, . . . , ik ≤ n. Dicia-mo che le v.a. X1, . . . , Xn sono indipendenti se lo sono le relative σ-algebreσ(X1), . . . , σ(Xn).

Per esempio, tre eventi E, F,G sono indipendenti se

i) sono a due a due indipendenti;ii) P (E ∩ F ∩G) = P (E)P (F )P (G).

In particolare notiamo che E, F,G possono essere a due a due indipendentisenza necessariamente essere indipendenti.Il seguente risultato generalizza il Teorema 2.53.

Teorema 2.56. Siano X1, . . . , XN ∈ L1(Ω, P ) v.a. reali indipendenti. Allora

X1 · · ·XN ∈ L1(Ω, P ), E [X1 · · ·XN ] = E [X1] · · ·E [XN ] ,

evar(X1 + · · ·+XN) = var(X1) + · · ·+ var(XN ).


2.2.1 Misura prodotto e distribuzione congiunta

Date due v.a.X : Ω −→ RN , Y : Ω −→ RM ,

sullo spazio (Ω,F), in questa sezione esaminiamo la relazione fra le distribu-zioni di X, Y e della v.a.

(X, Y ) : Ω −→ RN ×RM .

La distribuzione di (X, Y ) viene solitamente detta distribuzione congiuntadi X e Y ; viceversa le distribuzioni di X e Y vengono dette distribuzionimarginali di (X, Y ). Per esempio, proveremo (cfr. Proposizione 2.91) che ledistribuzioni marginali di una v.a. multi-normale sono normali.Per trattare l’argomento con maggiore generalita richiamiamo la definizio-

ne e alcune basilari proprieta della misura prodotto nel caso bidimensionale.I risultati di questa sezione si estendono in modo naturale al caso di piu didue variabili aleatorie.Dati due spazi con misura finita (O1, G1, μ1) e (O2, G2, μ2), definiamo

G = G1 ⊗ G2 := σ({H ×K | H ∈ G1, K ∈ G2}),

la σ-algebra prodotto di G1 e G2. Chiaramente G e una σ-algebra sul prodottocartesiano O := O1 ×O2.

Esercizio 2.57. Provare che B(R2) =B(R)⊗B(R).Il seguente teorema contiene la definizione di misura prodotto di μ1 e μ2.

Teorema 2.58. Esiste un’unica misura di probabilita μ su G tale che

μ(H ×K) = μ1(H)μ2(K), H ∈ G1, K ∈ G2. (2.29)

μ e detta misura prodotto di μ1 e μ2 e scriviamo μ = μ1 ⊗ μ2.

Per l’esistenza si veda, per esempio, il Cap.8 in Williams [169]. L’unicita econseguenza della Proposizione 2.4 e del fatto che la famiglia {H ×K | H ∈G1, K ∈ G2} e chiusa rispetto all’intersezione.Di seguito enunciamo il classico teorema di Fubini e Tonelli.

Teorema 2.59 (Teorema di Fubini e Tonelli). Sia f = f(ω1, ω2) : O1 ×O2 −→ R una funzione G-misurabile. Allorai) per ogni ω1 ∈ O1 la funzione ω2 �→ f(ω1 , ω2) e G2-misurabile e la funzione

ω1 �→∫O2

f(ω1 , ω2)μ2(dω2) e G1-misurabile (e un risultato analogo valescambiando il ruolo di ω1 e ω2);

ii) se f ≥ 0 oppure se f ∈ L1(O, μ) allora si ha∫O

fdμ =

∫O1

( ∫O2

f(ω1, ω2)μ2(dω2))μ1(dω1)

=

∫O2

( ∫O1

f(ω1, ω2)μ1(dω1))μ2(dω2).

2.2 Indipendenza 37

Osservazione 2.60. I Teoremi 2.58 e 2.59 valgono piu in generale nel caso dimisure σ-finite. Ricordiamo che una misura μ su (Ω,F) si dice σ-finita seesiste una successione (Ωn)n∈N in F tale che

Ω =⋃n∈N

Ωn e μ(Ωn) <∞, n ∈ N.

Per esempio, la misura di Lebesgue su RN e σ-finita ma non finita. 2

Corollario 2.61. Supponiamo che la distribuzione congiunta μ(X,Y ) delle v.a.X, Y abbia densita f(X,Y ). Allora

fX(z) :=

∫RN

f(X,Y )(z, ζ)dζ e fY (ζ) :=

∫RM

f(X,Y )(z, ζ)dz,

sono rispettivamente le densita delle distribuzioni di X e Y .

Dimostrazione. Segue dal Teorema 2.59. 2

La seguente proposizione risponde al problema di ricostruire la distribu-zione congiunta dalle marginali nel caso significativo di v.a. indipendenti.

Proposizione 2.62. Le seguenti affermazioni sono equivalenti5:

i) X e Y sono indipendenti su (Ω,F , P );ii) P (X,Y ) = PX ⊗ P Y ;iii)Φ(X,Y ) = ΦXΦY ;

Inoltre, se X, Y hanno densita congiunta f(X,Y ) allora i) e equivalente a

iv) f(X,Y ) = fXfY .

Dimostrazione. Proviamo solo che i) implica ii): il resto e lasciato per esercizio.Per ogni H,K ∈ B si ha

P (X,Y )(H ×K) = P ((X, Y ) ∈ H ×K) = P (X−1(H) ∩ Y −1(K)) =

(essendo X, Y v.a. indipendenti)

= P (X ∈ H)P (Y ∈ K) = PX(H)P Y (K).

La tesi e allora conseguenza dell’unicita della misura prodotto. 2

Come applicazione della proposizione precedente, abbiamo il seguenterisultato per la densita della somma di due v.a. indipendenti.

5 Ricordiamo che PX e ΦX indicano rispettivamente la distribuzione e la funzionedi distribuzione della v.a. X .


Corollario 2.63. Siano X, Y : Ω −→ R v.a. con densita congiunta f. Allorala v.a. X + Y ha densita

fX+Y (z) =

∫R

f(ζ, z − ζ)dζ.

In particolare, se X e Y sono indipendenti allora

fX+Y (z) = (fX ∗ fY ) (z) :=∫R

fX(ζ)fY (z − ζ)dζ. (2.30)

Dimostrazione. Per ogni z ∈ R, si ha

P (X + Y ≤ z) =

∫∫x+y≤z

f(x, y)dxdy =

(col cambio di variabili ζ = x+ y e per il Teorema di Fubini)

=

∫ z

−∞

(∫R

f(x, x− ζ)dx

)dζ.

Poiche la famiglia {]−∞, z] | z ∈ R} e chiusa rispetto all’intersezione e generaB, per il Teorema di Dynkin si ha la tesi. In particolare la (2.30) e conseguenzadella Proposizione 2.62. 2

Esercizio 2.64. Determinare la densita della somma di due v.a. normaliindipendenti.

2.3 Equazioni paraboliche a coefficienti costanti

Siano C = (cjk) una matrice N × N simmetrica e definita positiva6, b =(b1, . . . , bN) un vettore di RN e a ∈ R. Indichiamo con (t, x) il punto in R×RNe consideriamo la seguente equazione differenziale alle derivate parziali

Lu :=1

2

N∑j,k=1

cjk∂xjxku+

N∑j=1

bj∂xju− au− ∂tu = 0. (2.31)

Il fattore 12 nella parte del second’ordine appare semplicemente per ottene-

re un’espressione coerente con le notazioni probabilistiche (in particolare inriferimento alla distribuzione multi-normale, cfr. Paragrafo 2.4). In questoparagrafo assumiamo che cjk, bj, a siano reali e costanti: sotto queste ipotesi

6 Una matrice C, di dimensione N ×N , e definita positiva (scriviamo C > 0) se vale

〈Cx, x〉 > 0, x ∈ RN \ {0}.

2.3 Equazioni paraboliche a coefficienti costanti 39

diciamo che (2.31) e un’equazione differenziale di tipo parabolico a coefficienticostanti. Il prototipo di tale classe di equazioni, corrispondente al caso in cuiC e la matrice identita, b e a sono nulli, e l’equazione del calore

1

2�u− ∂tu = 0, (2.32)

dove

� :=N∑j=1

∂xjxj

e l’operatore differenziale di Laplace. L’equazione del calore e ben nota infisica poiche interviene nella descrizione del processo di diffusione del calorein un materiale.Consideriamo il classico problema di Cauchy per l’operatore L in (2.31){

Lu = 0, in ]0,+∞[×RN ,u(0, x) = ϕ(x), x ∈ RN , (2.33)

dove ϕ e un’assegnata una funzione continua e limitata su RN , ϕ ∈ Cb(RN),detta dato iniziale del problema.

Notazione 2.65 Indichiamo con C1,2 la classe delle funzioni che ammettonoderivate continue del second’ordine nelle variabili x e derivata continua delprim’ordine nella variabile t.

Una soluzione classica del problema di Cauchy e una funzione

u ∈ C1,2(]0,+∞[×RN) ∩ C([0,+∞[×RN)

che soddisfa (2.33). Nel caso in cui L sia l’operatore del calore, u(t, x) rappre-senta la temperatura, al tempo t e nel punto x, di un materiale di cui e notala temperatura iniziale ϕ al tempo t = 0.

Definizione 2.66. Soluzione fondamentale per L e una funzione Γ (t, x), de-finita su ]0,+∞[×RN, tale che per ogni ϕ ∈ Cb(RN), la funzione definitada

u(t, x) =

{∫RN

Γ (t, x− y)ϕ(y)dy, t > 0, x ∈ RN ,ϕ(x), t = 0, x ∈ RN ,

(2.34)

e soluzione classica del problema di Cauchy (2.33).

Presentiamo ora un metodo classico, basato sull’utilizzo della trasformata diFourier, per costruire una soluzione fondamentale per L. Rimandiamo al Pa-ragrafo A.4 dell’Appendice per alcuni brevi richiami sulla definizione e sulleproprieta fondamentali della trasformata di Fourier.


2.3.1 Il caso b = 0 e a = 0

Consideriamo prima il caso in cui i coefficienti b, a siano nulli. Come vedremo,in generale possiamo ricondurci a questo caso particolare con un opportunocambio di variabili.Procediamo formalmente (ossia senza giustificare i passaggi in modo rigo-

roso) per ricavare una formula risolutiva che, a posteriori, verificheremo essereesatta. Applicando la trasformata di Fourier F(u) = u solo nelle variabili x,all’equazione (2.31) e utilizzando la (A.24), otteniamo:

F(1

2

N∑j,k=1

cjk∂xjxku(t, x)− ∂tu(t, x)

)(ξ)

= −12

N∑j,k=1

cjkξjξku(t, ξ)− ∂tu(t, ξ) = 0,

o, in altri termini,

∂tu(t, ξ) = −1

2〈Cξ, ξ〉u(t, ξ), (2.35)

a cui associamo la condizione iniziale

u(0, ξ) = ϕ(ξ), ξ ∈ RN . (2.36)

Il problema di Cauchy ordinario (2.35)-(2.36) ha soluzione

u(t, ξ) = ϕ(ξ)e−t2 〈Cξ,ξ〉 .

Dunque, usando la i) del Teorema A.36, otteniamo7:

u(t, x) = F−1(ϕ(ξ)e−

t2 〈Cξ,ξ〉

)=

(F−1

(e−

t2 〈Cξ,ξ〉

)∗ ϕ

)(x), (2.37)

dove “∗” indica l’operazione di convoluzione. Utilizziamo ora il seguentelemma di cui rimandiamo la prova alla fine della sezione.

Lemma 2.67. Posto

Γ (t, x) =1√

(2πt)N det Cexp

(− 12t〈C−1x, x〉

), x ∈ RN , t > 0, (2.38)

valeF(Γ (t, ·))(ξ) = e−

t2 〈Cξ,ξ〉 . (2.39)

Nel Lemma 2.67, l’ipotesi C > 0 gioca un ruolo cruciale. Notiamo che perN = 1 e C = 1, Γ e la densita della distribuzione normale in (2.4). In basealla (2.39), la (2.37) diventa

7 Qui scriviamo formalmente u = F−1(v) per indicare che v = F (u).


u(t, x) =

∫RN

Γ (t, x− y)ϕ(y)dy

=1√

(2πt)N det C

∫RNexp

(− 12t〈C−1(x− y), (x− y)〉

)ϕ(y)dy,

(2.40)

per x ∈ RN e t > 0. Possiamo ora provare in modo rigoroso che la (2.40)fornisce una formula di rappresentazione di una soluzione classica del problemadi Cauchy (2.33).Finora abbiamo considerato ϕ ∈ Cb, tuttavia nelle applicazioni concrete si

ha spesso la necessita di considerare dati iniziali piu generali, possibilmentenon limitati. In effetti la convergenza dell’integrale in (2.40) richiede moltomeno della limitatezza di ϕ: e sufficiente imporre un’opportuna condizionesulla crescita di ϕ all’infinito. Infatti, per ogni fissato (t, x) ∈ ]0,+∞[×RN , siha

exp

(− 12t〈C−1(x− y), (x − y)〉

)≤ e−c|x−y|

2

, y ∈ RN ,

dove c = λ2t > 0 e λ e il minimo autovalore di C−1. Dunque e sufficiente8

assumere che esistano delle costanti positive c1, c2, γ con γ < 2 tali che

|ϕ(y)| ≤ c1ec2|y|γ , y ∈ RN , (2.42)

per assicurare che l’integrale in (2.40) sia convergente per ogni (t, x) ∈]0,+∞[×RN .

Teorema 2.68. Se ϕ e continua e verifica la condizione (2.42), allora la fun-zione u definita in (2.34) e soluzione classica del problema di Cauchy (2.33).In particolare Γ in (2.38) e soluzione fondamentale di L in (2.31).

Dimostrazione. Per semplicita consideriamo solo il caso dell’operatore delcalore. Anzitutto verifichiamo che la funzione

Γ (t, x) =1

(2πt)N2

exp

(−|x|

2

2t

), x ∈ RN , t > 0,

e soluzione dell’equazione del calore: per k = 1, . . . , N , si ha

∂xkΓ (t, x) = −xk

tΓ (t, x),

∂xkxkΓ (t, x) =

(x2kt2− 1

t

)Γ (t, x),

∂tΓ (t, x) =1

2

( |x|2t2− N

t

)Γ (t, x),

(2.43)

8 Basterebbe assumere l’esistenza di due costanti positive c1, c2 tali che

|ϕ(y)| ≤ c1ec2|y|2 , y ∈ RN , (2.41)

per assicurare che l’integrale in (2.40) sia finito almeno per t < λ2c2

.


e dunque segue immediatamente che 12�Γ (t, x) = ∂tΓ (t, x).

Per provare che u in (2.40) e soluzione dell’equazione del calore, e suffi-ciente utilizzare un teorema di scambio derivata-integrale e verificare che(

1

2�− ∂t

)u(t, x) =

∫RN

(1

2�− ∂t

)Γ (t, x− y)ϕ(y)dy = 0, (2.44)

per ogni x ∈ RN e t > 0. Ora, fissati x ∈ RN e t, δ > 0, si ha

∂xkΓ (t, x− y)ϕ(y) =

(xk − yk

tΓ (t, x− y)e

|y|2δ

)(ϕ(y)e−

|y|2δ

)dove ϕ(y)e−

|y|2δ e sommabile su RN grazie alla condizione (2.42), e assumendo

che δ > 4t e x appartenga ad un intorno limitato del punto x, la funzione

xk − yk

tΓ (t, x− y)e

|y|2δ

e limitata. Allora il Teorema della convergenza dominata assicura che

∂xku(t, x) =

∫RN

∂xkΓ (t, x− y)ϕ(y)dy.

In modo analogo mostriamo che

∂xkxku(t, x) =

∫RN

∂xkxkΓ (t, x− y)ϕ(y)dy,

∂tu(t, x) =

∫RN

∂tΓ (t, x− y)ϕ(y)dy,

per ogni x ∈ RN e t > 0. Questo conclude la prova di (2.44).Rimane ora da provare che la funzione u e continua fino a t = 0:

precisamente mostriamo che, per ogni fissato x ∈ RN , si ha

lim(t,x)→(0,x)

t>0

u(t, x) = ϕ(x).

Poiche ∫RN

Γ (t, x− y)dy = 1, x ∈ RN , t > 0,

si ha

|u(t, x)− ϕ(x)| ≤ 1

(2πt)N2

∫RNexp

(−|x− y|2

2t

)|ϕ(y) − ϕ(x)|dy =

(col cambio di variabile η = x−y√2t)

=1

πN2

∫RN

e−|η|2 |ϕ(x− η

√2t)− ϕ(x)|dy. (2.45)


In base alla condizione (2.42), per ogni (t, x) in un intorno di (0, x), si ha

e−|η|2 |ϕ(x− η

√2t)− ϕ(x)| ≤ ce−

|η|22 , η ∈ RN ,

per una certa costante c, e quindi la tesi segue applicando il Teorema dellaconvergenza dominata, passando al limite in (2.45) per (t, x) → (0, x) cont > 0. 2

Esempio 2.69. Consideriamo il problema di Cauchy in R2:{12∂xxu(t, x)− ∂tu(t, x) = 0, (t, x) ∈ R×]0,+∞[,

u(x, 0) = ex x ∈ R.

In base alla (2.40) e calcolando l’integrale come nell’Esempio 2.34, abbiamosemplicemente

u(t, x) =1√2πt

∫R

e−|x−y|2

2t +ydy =

(col cambio di variabile η = x−y√2t)

=ex+

t2

√π

∫R

e−(η+t2 )

2

dη = ex+t2 .

2

Esercizio 2.70. Determinare la soluzione del problema di Cauchy{12∂xxu(t, x)− ∂tu(t, x) = 0, (t, x) ∈ R×]0,+∞[,

u(x, 0) = (ex − 1)+ , x ∈ R,

dove ϕ+ indica la parte positiva della funzione ϕ.

Dimostrazione (del Lemma 2.67). Poniamo

Γ (t, ξ) = F(Γ (t, ·))(ξ)

con Γ definita in (2.38). Indicando con ∇ξ = (∂ξ1 , . . . , ∂ξN ) il gradiente inRN , per la proprieta (A.25) si ha

∇ξΓ (t, ξ) = iF(

x√(2πt)N det C

exp

(− 12t〈C−1x, x〉

))(ξ)

= −itF(−C C

−1x

tΓ (t, x)

)(ξ) =

(essendo ∇x〈C−1x, x〉 = 2C−1x)

= −itF (C∇xΓ (t, x)) (ξ) =


(per la proprieta (A.24))

= −t Cξ Γ (t, ξ).In definitiva, per ogni t positivo, Γ (t, ·) e soluzione del problema di Cauchy{

∇ξΓ (t, ξ) = −t Cξ Γ (t, ξ),Γ (t, 0) =

∫RN

Γ (t, x)dx= 1,

e di conseguenza, per l’unicita della soluzione, si ha la tesi:

Γ (t, ξ) = e−t2 〈Cξ,ξ〉 .

E possibile provare la formula (2.39) anche con un calcolo diretto utilizzandola definizione di trasformata di Fourier (si veda, per esempio, Lanconelli [111]Cap.4). 2

2.3.2 Il caso generale

Consideriamo ora l’operatore L nella sua forma piu generale (2.31). Mostriamoche con una semplice sostituzione ci possiamo ricondurre al caso precedente:fissati α ∈ R e β = (β1, . . . , βN), poniamo

v(t, x) = eαt+β·xu(t, x).

Per j, k = 1, . . . , N , si ha

∂tv(t, x) = eαt+β·x(αu(t, x) + ∂tu(t, x)),

∂xjv(t, x) = eαt+β·x(βju(t, x) + ∂xju(t, x)),

∂xjxkv(t, x) = eαt+β·x(βjβku(t, x) + βj∂ku(t, x) + βk∂ju(t, x) + ∂xjxku(t, x)),

quindi, posto

L0 =1

2

N∑j,k=1

cjk∂xjxk − ∂t

si ha

L0v(t, x) = eαt+β·x(L0u(t, x) +

(1

2〈Cβ, β〉 − α

)u(t, x) + 〈Cβ,∇xu(t, x)〉

).

In definitiva, con la scelta

α =1

2〈C−1b, b〉+ a, β = C−1b, (2.46)

otteniamo che u e soluzione del problema di Cauchy (2.33) se e solo se v esoluzione di {

L0v = 0, in R+ ×RN ,v(0, x) = eβ·xϕ(x), x ∈ RN .

Come conseguenza del Teorema 2.68 vale


Teorema 2.71. La soluzione fondamentale dell’operatore L e data da

Γ (t, x) = e−αt−β·xΓ0(t, x), (t, x) ∈ R+ × RN ,

dove α, β sono definiti in (2.46) e Γ0 e la soluzione fondamentale di L0 (lacui espressione e data in (2.38)).

Se ϕ e una funzione continua che verifica la condizione (2.42), allora lafunzione u definita da

u(t, x) =

∫R

Γ (t, x− y)ϕ(y)dy, (t, x) ∈ R+ × RN , (2.47)

e da u(x, 0) = ϕ(x) per x ∈ RN , e soluzione classica del problema di Cauchy.

Osservazione 2.72. Per ogni s ∈ R e ϕ ∈ Cb, la funzione

u(t, x) =

∫R

Γ (t, x; s, y)ϕ(y)dy, t > s, x ∈ RN ,

e soluzione classica del problema di Cauchy{Lu = 0, in ]s,+∞[×RN ,u(s, x) = ϕ(x), x ∈ RN .

Per questo motivo la funzione

Γ (t, x; s, y) = Γ (t− s, x− y), t > s,

e usualmente detta soluzione fondamentale di L con polo in (s, y) e calcolatain (t, x). 2

2.3.3 Dato iniziale localmente sommabile

La formula

u(t, x) =

∫R

Γ (t, x; 0, y)ϕ(y)dy, t > 0, x ∈ RN , (2.48)

definisce una soluzione del problema di Cauchy anche sotto deboli ipotesisulla regolarita del dato iniziale: assumiamo che ϕ ∈ L1

loc(RN ) ed esistano

delle costanti positive c, R, β con γ < 2 tali che

|ϕ(x)| ≤ cec|x|γ

, (2.49)

per quasi tutti gli x ∈ RN con |x| ≥ R. Questa estensione ha interesse peresempio nel caso di opzioni digitali la cui valutazione puo essere ricondottaalla risoluzione di un problema di Cauchy con dato iniziale discontinuo

ϕ(x) =

{1, x ≥ 0,0, x < 0.


Definizione 2.73. Si dice che u ∈ C1,2(]0, T [×RN) assume il dato iniziale ϕnel senso di L1

loc se per ogni compatto K di RN vale

limt→0+

‖u(t, ·)− ϕ‖L1(K) = limt→0+

∫K

|u(t, x)− ϕ(x)|dx = 0.

Ci limitiamo ad enunciare il seguente risultato di esistenza: per la dimostra-zione si veda, per esempio, DiBenedetto [44], pag. 240.

Teorema 2.74. Se ϕ ∈ L1loc(R

N ) soddisfa la condizione (2.49), allora la fun-zione u in (2.48) e soluzione classica dell’equazione Lu = 0 in ]0,+∞[×RNe assume il dato iniziale ϕ nel senso di L1

loc.

Osservazione 2.75. La convergenza nel senso di L1loc implica la convergenza

puntualelimt→0+

u(t, x) = 0,

per quasi ogni x ∈ R. Tuttavia l’assunzione del dato iniziale nel senso dellaconvergenza puntuale non e sufficiente a garantire l’unicita della soluzione delproblema di Cauchy, come mostra l’Esempio 6.8. Notiamo che per ogni R > 0si ha ∫ R

−R

x

t32

e−x2

2t dx =1− e−

R2

t

√t

e dunque la funzione dell’Esempio 6.8 non assume il dato iniziale nullo nelsenso di L1

loc.Anche la soluzione fondamentale del calore Γ (t, x) tende a zero per t→ 0+

in RN \ {0}. Chiaramente, poiche per ogni R > 0 vale∫|x|<R

Γ (t, x)dx = π−N2

∫|y|< R

2√t

e−|y|2

dy −−−−→t→0+

1,

Γ non assume il dato iniziale nullo nel senso di L1loc. 2

2.3.4 Problema di Cauchy non omogeneo

Consideriamo il problema di Cauchy non omogeneo{Lu = f, in ]0, T [×RN ,u(0, ·) = ϕ, in RN ,

(2.50)

dove ϕ ∈ L1loc(R

N ) soddisfa la condizione (2.49) e f e continua e verifica lacondizione di crescita

|f(t, x)| ≤ cec|x|γ

, (t, x) ∈]0, T [×RN , (2.51)

con c, γ costanti positive e γ < 2. Assumiamo inoltre che f sia localmenteHolderiana in x, uniformemente rispetto a t, ossia per ogni compatto K diRN valga


|f(t, x)− f(t, y)| ≤ cK |x− y|β , t ∈]0, T [, x, y ∈ K,

con β, cK costanti positive. Allora vale il seguente

Teorema 2.76. La funzione definita su ]0, T [×RN da

u(t, x) =

∫RN

Γ (t, x; y, 0)ϕ(y)dy −∫ t

0

∫RN

Γ (t, x; s, y)f(s, y)dyds, (2.52)

appartiene a C1,2(]0, T [×RN) ed e soluzione del problema di Cauchy (2.50).

Dimostrazione (Cenni). Posto

F (t, x) =

∫ t

0

∫RN

Γ (t, x; s, y)f(s, y)dyds,

la tesi e provata una volta che abbiamo verificato che

lim(t,x)→(x,0)

t>0

F (t, x) = 0, (2.53)

LF (t, x) = −f(t, x), (t, x) ∈]0, T [×RN . (2.54)

La (2.53) e immediata poiche vale la stima∣∣∣∣∫RN

Γ (t, x; s, y)f(s, y)dy

∣∣∣∣ ≤ CeC|x|2

,

che si prova procedendo come nell’Osservazione 6.16. Per quanto riguarda la(2.54), formalmente si ha

LF (t, x) =

∫ t

0

∫RN

LΓ (t, x; s, y)︸︷︷︸=0

f(s, y)dyds

−∫RN

Γ (t, x; t, y)︸︷︷︸=δx(y)

f(t, y)dy = −f(t, x).

Per giustificare i passaggi precedenti e necessario un accurato studio di al-cuni integrali singolari in cui compaiono le derivate seconde della soluzionefondamentale: la dimostrazione non e banale e si basa sull’ipotesi cruciale diHolderianita di f : rimandiamo a DiBenedetto [44] per i dettagli. 2

2.3.5 Operatore aggiunto

Sia L l’operatore differenziale in (2.31). Per ogni u, v ∈ C2(RN+1) a supportocompatto, integrando per parti si ottiene la seguente relazione∫

RN+1

uLv =

∫RN+1

vL∗u,


dove

L∗ =1

2

N∑j,k=1

cjk∂xjxk −N∑j=1

bj∂xj − a+ ∂t (2.55)

e detto operatore aggiunto di L. Per esempio, l’operatore aggiunto del caloree

1

2Δ+ ∂t.

Definizione 2.77. Una soluzione fondamentale dell’operatore L∗ e una fun-zione Γ ∗(t, x; T, y) definita per ogni x, y ∈ RN e t < T , tale che per ognifunzione ϕ ∈ Cb(RN), la funzione

v(t, x) =

∫R

Γ ∗(t, x; T, y)ϕ(y)dy, t < T, x ∈ RN ,

e soluzione classica del problema di Cauchy{L∗v = 0, in ]−∞, T [×RN ,v(T, x) = ϕ(x), x ∈ RN . (2.56)

Notiamo che L∗ e un operatore retrogrado, nel senso che nel problema (2.56)per L∗ e assegnato il dato finale di v. Il seguente risultato stabilisce il legamedi dualita fra le soluzioni fondamentali di L e L∗.

Teorema 2.78. Vale

Γ ∗(t, x; T, y) = Γ (T, y; t, x), x, y ∈ RN , t < T.

Dimostrazione. E una verifica diretta, come nella prova del Teorema 2.68. 2

Osservazione 2.79. Il problema retrogrado per l’operatore del calore e equiva-lente, a meno di un semplice cambio di variabili, al corrispondente problemadiretto: u e soluzione di{

12Δu− ∂tu = 0, in ]0,+∞[×RN ,

u(0, x) = ϕ(x), x ∈ RN ,

se e solo se v(t, x) := u(T − t, x) e soluzione di{12Δv + ∂tv = 0, in ]−∞, T [×RN ,v(T, x) = ϕ(x), x ∈ RN .

2

Osservazione 2.80. Il problema per l’equazione del calore con dato finale{12Δu(t, x)− ∂tu(t, x) = 0, (t, x) ∈ ]0, T [×RN ,

u(T, x) = ϕ(x) x ∈ RN , (2.57)

2.4 Distribuzione multi-normale e funzione caratteristica 49

in generale e mal posto e non risolubile. Piu precisamente, anche in corrispon-denza ad un dato ϕ ∈ C∞ limitato, la soluzione puo diventare irregolare perT arbitrariamente piccolo. Per rendersi conto di cio e sufficiente considerarela soluzione di (2.57) con ϕ(x) = Γ (t, x) essendo Γ la soluzione fondamentaledell’operatore del calore.Questo fatto corrisponde al fenomeno fisico secondo cui la diffusione del

calore non e in generale reversibile e non e possibile determinare lo statoiniziale a partire dalla conoscenza della temperatura al tempo finale. 2

2.4 Distribuzione multi-normale e funzione caratteristica

Diciamo che una v.a. X su (Ω,F , P ) a valori in RN , e multi-normale se hadensita della forma

1√(2π)N det C

exp

(−12〈C−1(x− μ), (x− μ)〉

), x ∈ RN , (2.58)

dove μ e un vettore fissato di RN e C = (cjk) e una matrice N×N simmetricae definita positiva: in questo caso utilizziamo la notazione X ∼ Nμ, C (si vedaanche l’Osservazione 2.88). Analogamente all’Esempio 2.34, un calcolo direttomostra che

E [X] = μ, cov(Xj , Xk) := E [(Xj − μj)(Xk − μk)] = cjk,

per j, k = 1, . . . , N, dove X = (X1, . . . , XN). Dunque μ rappresenta il valoreatteso di X e C e la matrice, di dimensione N ×N , di covarianza di X:

C = E[(X − μ) (X − μ)

∗]. (2.59)

Osservazione 2.81. Sia ϕ una funzione limitata e continua su RN . In base allaformula di rappresentazione (2.40) e al Teorema 2.68, la soluzione classica delproblema di Cauchy⎧⎪⎨⎪⎩

12

N∑j,k=1

cjk∂xjxku− ∂tu = 0, (t, x) ∈ ]0,+∞[×RN ,

u(0, x) = ϕ(x), x ∈ RN ,

ha la seguente rappresentazione probabilistica

u(t, x) = E[ϕ(Xt,x)

]dove Xt,x ∼ Nx, tC. 2

Introduciamo il concetto di funzione caratteristica di una variabile aleatoria.


Definizione 2.82. La funzione caratteristica della v.a. X in RN e la funzione

ϕX : RN −→ C

definita da

ϕX(ξ) = E[ei〈ξ,X〉

], ξ ∈ RN .

In altri termini poiche

ϕX(ξ) =

∫RN

ei〈ξ,y〉PX(dy), ξ ∈ RN ,

semplicemente ϕX e la trasformata di Fourier della distribuzione PX di X.In particolare, se PX ha densita f , allora ϕX = F(f).Come conseguenza della Proposizione A.34 e del Teorema A.36, valgono le

seguenti semplici proprieta della funzione caratteristica, la cui dimostrazionee lasciata come utile esercizio.

Lemma 2.83. Se X e una v.a. in RN allora ϕX e una funzione continua e

|ϕX(ξ)| ≤ 1, ξ ∈ RN .

Se X e una v.a. reale in Lp(Ω, P ), con p ∈ N, allora ϕX e derivabile p voltee vale

dp

dξpϕX(ξ)|ξ=0 = ipE [Xp] ; (2.60)

Esempio 2.84. Come caso particolare della (2.60) si ha

ϕX(0) = 1, e ϕ′X(0) = iE [X] .

Se X ∼ Nμ,σ2 allora, utilizzando il Lemma 2.67, e immediato riconoscere che

ϕX(ξ) = eiμξ−(σξ)2

2 . (2.61)

Se X ∼ δμ, μ ∈ RN , allora

ϕX(ξ) =

∫R

eiξ·xδx0 (dx) = eiμ·ξ;

in questo caso |ϕX(ξ)| = 1 e quindi ϕX non e sommabile. 2

Il prossimo importante risultato afferma che la distribuzione di una v.a.e individuata dalla funzione caratteristica (per la dimostrazione si veda, peresempio, Chung [28] Cap.6.2).

Teorema 2.85. Vale ϕX(ξ) = ϕY (ξ) per ogni ξ ∈ RN se e solo se PX = P Y .Inoltre se ϕX ∈ L1(RN ) allora la distribuzione della v.a. X ha densita f ∈C(RN) definita da

f(x) =1

(2π)N

∫RN

e−i〈x,ξ〉ϕX(ξ)dξ. (2.62)

2.4 Distribuzione multi-normale e funzione caratteristica 51

La funzione caratteristica e uno strumento indispensabile in svariati am-biti. Fra i suoi possibili utilizzi mettiamo in evidenza i seguenti:

i) identificazione di v.a. normali (cfr. Teorema 2.87);ii) calcolo della distribuzione del limite di una successioni di v.a. (cfr. TeoremaA.43 di Levy).

Corollario 2.86. Le variabili aleatorie X1, . . . , Xm sono indipendenti se esolo se

ϕ(X1,...,Xm)(ξ1, . . . , ξm) = ϕX1 (ξ) · · ·ϕXm(ξ), ξ1, . . . , ξm ∈ RN .

Dimostrazione. Proviamo la tesi solo nel caso m = 2. Per la Proposizione 2.62X, Y sono indipendenti se e solo se P (X,Y ) = PX ⊗P Y . Ora per ξ, η ∈ RN , siha

ϕ(X,Y )(ξ, η) =

∫∫RN×RN

ei(〈ξ,x〉+〈η,y〉)P (X,Y )(dxdy),

ϕX(ξ)ϕY (η) =

∫∫RN×RN

ei(〈ξ,x〉+〈η,y〉)PX ⊗ P Y (dxdy),

e dunque la tesi segue dal Teorema 2.85. 2

Diamo ora un’utile caratterizzazione delle v.a. multi-normali.

Teorema 2.87. La v.a. X e multi-normale, X ∼ Nμ, C, se e solo se

ϕX(ξ) = exp

(i〈ξ, μ〉 − 1

2〈Cξ, ξ〉

), ξ ∈ RN . (2.63)

Dimostrazione. La tesi e diretta conseguenza del Teorema 2.85 e si provaprocedendo come nella dimostrazione di (2.39). 2

Osservazione 2.88. La (2.63) e una caratterizzazione della distribuzione multi-normale che ha senso anche se C e simmetrica e semi-definita9 positiva. Pos-siamo allora generalizzare la definizione di v.a. multi-normale: diciamo cheX ∼ Nμ, C, essendo μ ∈ RN e C = (cjk) una matrice N × N simmetrica esemi-definita positiva, se vale la (2.63). Per esempio, nel caso C = 0 alloraritroviamo X ∼ δμ poiche ϕX(ξ) = F(δμ)(ξ) = exp (i〈ξ, μ〉) per ξ ∈ RN . 2

Esercizio 2.89. SianoX, Y v.a. reali indipendenti con distribuzione normale:X ∼ Nμ, σ2 e Y ∼ Nν, 2 . Provare che

X + Y ∼ Nμ+ν, σ2+ 2 .

9 Una matrice C, di dimensione N ×N , e semi-definita positiva (scriviamo C ≥ 0)se vale

〈Cx, x〉 ≥ 0, x ∈ RN .


Soluzione. Essendo X,Y indipendenti, per il Lemma 2.83, si ha

ϕX+Y (ξ) = ϕX(ξ)ϕY (ξ) =

(per la (2.61))

= ei(μ+ν)ξ−ξ2

2(σ2+�2),

e la tesi segue dal Teorema 2.87. 2

Osservazione 2.90. Estendiamo l’Osservazione 2.35 nel modo seguente: sianoX ∼ Nμ, C , β ∈ Rd e α = (αij) una generica matrice costante d×N . Allora lav.a. αX +β e multi-normale con media αμ+β e matrice di covarianza αCα∗,dove α∗ indica la matrice trasposta di α, ossia:

αX + β ∼ Nαμ+β, αCα∗ .

Verificare per esercizio che αCα∗ e una matrice d×d simmetrica e semidefinitapositiva. 2

Diamo un’ulteriore caratterizzazione delle v.a. multi-normali.

Proposizione 2.91. La v.a. X e multi-normale se e solo se 〈λ,X〉 e normaleper ogni λ ∈ RN . Piu precisamente X ∼ Nμ, C se e solo se

〈λ,X〉 =N∑j=1

λjXj ∼ N〈λ,μ〉,〈Cλ,λ〉, (2.64)

per ogni λ ∈ RN .

Dimostrazione. Se X ∼ Nμ, C allora per ogni ξ ∈ R vale

ϕ〈λ,X〉(ξ) = E[eiξ〈λ,X〉

]= eiξ〈λ,μ〉−

ξ2

2 〈Cλ,λ〉,

cosicche, per il Teorema 2.87, 〈λ,X〉 ∼ N〈λ,μ〉, 〈Cλ,λ〉.Viceversa, se 〈λ,X〉 ∼ Nm, σ2 allora, per la (2.61), si ha

ϕX(λ) = E[ei〈λ,X〉

]= ϕ〈λ,X〉(1) = eim−

σ2

2

dove m = 〈λ, E [X]〉 e, posto μi = E [Xi], si ha

σ2 = E[(〈λ,X〉 − 〈λ, E [X]〉)2

]= E

[(〈λ,X −E [X]〉)2

]=

N∑i,j=1

λiλjE [(Xi − μi) (Xj − μj)] ,

pertanto X ha distribuzione multi-normale, in base al Teorema 2.87. 2

2.5 Teorema di Radon-Nikodym 53

2.5 Teorema di Radon-Nikodym

Date due qualsiasi misure P,Q su (Ω,F), diciamo che Q e P -assolutamentecontinua su F se, per ogni A ∈ F tale che P (A) = 0 si ha Q(A) = 0. In talcaso scriviamo Q � P oppure Q �F P se vogliamo mettere in evidenza laσ-algebra che si sta considerando. E chiaro che l’assoluta continuita dipendedalla σ-algebra considerata: se G ⊆ F sono σ-algebre, allora Q �G P nonimplica che Q�F P .Se Q�F P allora gli eventi di F trascurabili per P lo sono anche per Q,

ma non e detto il viceversa. Ovviamente se Q �F P , allora per ogni A ∈ Ftale che P (A) = 1 vale Q(A) = 1, ossia gli eventi in F certi per P lo sonoanche per Q, ma non e detto il viceversa.Se Q� P e P � Q allora diciamo che le misure P e Q sono equivalenti e

scriviamo P ∼ Q.

Esempio 2.92. Abbiamo gia visto in (2.3) che, per σ > 0, Nμ,σ2 e assoluta-mente continua rispetto alla misura di Lebesgue m in (R,B). Provare peresercizio che m� Nμ,σ2 .Inoltre la distribuzione δx0 non e assolutamente continua rispetto alla

misura di Lebesgue poiche m ({x0}) = 0 ma δx0 ({x0}) = 1. 2

Se P e una distribuzione del tipo (2.1), con densita rispetto alla misuradi Lebesgue m, allora P � m. Possiamo chiederci se tutte le misure P taliche P � m sono della forma (2.1). Il seguente importante risultato da unarisposta affermativa (si veda anche la successiva Osservazione 2.94). Per ladimostrazione rimandiamo a Williams [169].

Teorema 2.93 (Teorema di Radon-Nikodym). Sia (Ω,F , P ) uno spaziocon misura finita. Se Q e una misura finita su (Ω,F) e Q�F P , allora esisteL : Ω → [0,+∞[ tale chei) L e F-misurabile;ii) L e P -sommabile;iii)Q(A) =

∫ALdP per ogni A ∈ F .

Inoltre L e unica P -quasi sicuramente (ossia se L′ verifica le stesse proprietadi L allora P (L = L′) = 1). Diciamo che L e la densita di Q rispetto a P suF o anche la derivata di Radon-Nikodym di Q rispetto a P su F e scriviamoindifferentemente L = dQ

dP oppure dQ = LdP oppure Q(dω) = L(ω)P (dω).Per mettere in evidenza la dipendenza da F , scriviamo anche

L =dQ

dP|F . (2.65)

Siano P,Q misure di probabilita sullo spazio (Ω,F) con Q� P . Utilizzandoil metodo standard (cfr. dimostrazione del Teorema 2.28), possiamo provareche se L = dQ

dP e X ∈ L1(Ω,Q), allora XL ∈ L1(Ω, P ) e vale


EQ [X] = EP [XL] , (2.66)

dove EP e EQ indicano rispettivamente le attese nelle misure di probabilitaP e Q. In altri termini ∫

Ω

XdQ =

∫Ω

X

(dQ

dP

)dP

e questo giustifica la notazione (2.65).

Osservazione 2.94. Il Teorema 2.93 si estende al caso in cui P,Q siano σ-finite,a meno del punto ii). Ne viene in particolare che le distribuzioni con densitarispetto alla misura di Lebesgue m sono solo quellem-assolutamente continue.

2

2.6 Attesa condizionata

Nelle applicazioni finanziarie il prezzo di un titolo e generalmente descritto dauna v.a. X e l’insieme di informazioni disponibili e descritto da una σ-algebraG: di conseguenza risulta naturale introdurre la nozione di valore atteso di Xcondizionato a G, usualmente indicato con

E [X | G] .

Scopo di questo paragrafo e di introdurne gradualmente la definizione pre-cisa. Chi e gia familiare con questa nozione puo andare direttamente allaDefinizione 2.96.Data una v.a. reale sommabile X e un evento B di probabilita positiva,

definiamo l’attesa di X condizionata all’evento B come l’attesa di X rispettoalla misura P (· | B) (cfr. Definizione 2.47):

E [X|B] = 1

P (B)

∫B

XdP.

Dato B ∈ F tale che 0 < P (B) < 1, indichiamo con G la σ-algebra generatada B:

G = {∅, Ω, B, Bc}. (2.67)

L’attesa di X condizionata a G, E [X | G], e definita da

E [X|G] (ω) ={E [X|B] , ω ∈ B,

E [X|Bc] , ω ∈ Bc.(2.68)

Notiamo che E [X | G] e una variabile aleatoria.

Osservazione 2.95. Con una verifica diretta si prova che

2.6 Attesa condizionata 55

i) E [X|G] e G-misurabile;ii)

∫GXdP =

∫GE [X| G]dP per ogni G ∈ G.

Inoltre se Y e una v.a. che verifica le suddette proprieta, allora Y = E [X|G]P−q.s., ossia i) e ii) caratterizzano E [X|G] con probabilita 1. Infatti G ={Y > E [X | G]} e un evento G-misurabile e dalla ii) si ricava∫

G

(Y − E [X | G])dP = 0

che implica P (G) = 0. 2

Sottolineiamo il fatto che E [X|G] e G-misurabile anche se X non lo e.Intuitivamente E [X|G] rappresenta il “valore atteso di X note le informazionidi G”, ossia la migliore approssimazione di X in base alle informazioni di G.Possiamo generalizzare la definizione precedente al caso di una generica

σ-algebra nel modo seguente.

Definizione 2.96. Sia X una v.a. reale sommabile sullo spazio di probabilita(Ω,F , P ) e sia G una σ-algebra contenuta in F . Sia Y una v.a. tale che

i) Y e sommabile e G-misurabile;ii)

∫AXdP =

∫AY dP per ogni A ∈ G.

Allora diciamo che Y e una versione dell’attesa (o piu semplicemente, l’attesa)di X condizionata a G e scriviamo Y = E [X | G] .Notazione 2.97 Se Y = E [X | G] e Z e una v.a. G-misurabile10 tale cheZ = Y q.s. allora anche Z = E [X | G]. Dunque il valore atteso di X e definitoa meno di un evento trascurabile: l’espressione Y = E [X | G] non deve essereintesa come un’uguaglianza di variabili aleatorie bensı come una notazioneche indica che Y e una v.a. che gode delle proprieta i) e ii) della definizioneprecedente. Per convenzione, la scrittura

E [X | G] = E [Y | G] (rispettivamente E [X | G] ≤ E [Y | G])

significa che se A = E [X | G] e B = E [Y | G] allora

A = B q.s. (risp. A ≤ B q.s.).

Nel seguito usiamo anche la notazione

E [X | Y ] := E [X | σ(Y )] .

Osservazione 2.98. Come conseguenza del Teorema A.7 di Dynkin, la ii) dellaDefinizione 2.96 e equivalente al fatto che

E(XW ) = E(YW ), (2.69)

per ogni v.a. W limitata e G-misurabile. 2

10 Notiamo che se Z = Y q.s. e Y = E [X | G] non e detto che Z sia G-misurabile equindi che sia Z = E [X | G].


Infine, affinche la Definizione 2.96 sia ben posta occorre provare esistenzae “unicita” dell’attesa condizionata.

Teorema 2.99. Sia X una v.a. reale sommabile sullo spazio di probabilita(Ω,F , P ) e sia G una σ-algebra contenuta in F . Allora esiste una v.a. Y chesoddisfa i),ii) della Definizione 2.96. Inoltre tali proprieta caratterizzano Ynel senso che se Z e un’altra v.a. che soddisfa i),ii) della Definizione 2.96,allora Y = Z q.s.

Dimostrazione. Una dimostrazione semplice (ma indiretta11) e basata sul Teo-rema di Radon-Nikodym. Anzitutto e sufficiente provare la tesi nel caso in cuiX sia una v.a. reale, non negativa. Essendo X ∈ L1(Ω, P ), la posizione

Q(G) =

∫G

XdP, G ∈ G,

definisce una misura finita Q su G. Inoltre Q� P in G e quindi per il Teorema2.93 esiste Y v.a. G-misurabile tale che Q(G) =

∫GY dP per ogni G ∈ G. Per

concludere e provare l’unicita si procede come nell’Osservazione 2.95. 2

Osservazione 2.100. Se Y e G-misurabile e vale∫A

Y dP ≥∫A

XdP, A ∈ G, (2.70)

alloraY ≥ E [X | G] .

Infatti, se Z = E [X | G] e, per assurdo, A := {Y < Z} ∈ G non fossetrascurabile, allora si avrebbe∫

A

Y dP <

∫A

ZdP =

∫A

XdP,

contro l’ipotesi (2.70). 2

Esercizio 2.101. Sia X una v.a. reale sommabile sullo spazio di probabi-lita (Ω,F , P ) e sia G una σ-algebra contenuta in F . Procedendo come nelladimostrazione della Proposizione A.5, provare che Y = E [X | G] se e solo se:i) Y e G-misurabile;ii)

∫AXdP =

∫AY dP per ogni A ∈ A con A famiglia ∩-stabile, contenente

Ω e tale che G = σ(A).

11 Rimandiamo alla Sezione 2.6.2 per una dimostrazione piu diretta.


2.6.1 Proprieta dell’attesa condizionata

Le seguenti proprieta sono conseguenze immediate della definizione e costru-zione dell’attesa condizionata. Per ogni X, Y ∈ L1(Ω,F , P ) e a, b ∈ R siha:

(1) se X e G-misurabile allora X = E [X|G];(2) se X e G sono indipendenti (ossia se lo sono σ(X) e G) allora E [X] =

E [X|G]. In particolare E [X] = E [X|σ(N )];(3)E [X] = E [E [X|G]];(4) [linearita] aE [X|G] + bE [Y |G] = E [aX + bY |G];(4-bis) [linearita] EλP+(1−λ)Q [X|G] = λEP [X|G] + (1− λ)EQ [X|G] per ogni

P,Q misure di probabilita e λ ∈ [0, 1];(5) [monotonia] se X ≤ Y q.s. allora E [X|G] ≤ E [Y |G].La seguente proposizione contiene ulteriori proprieta dell’attesa condizio-

nata, molte delle quali sono richiamano analoghe proprieta dell’integrale.

Proposizione 2.102. Siano X, Y ∈ L1(Ω,F , P ) e G,H ⊆ F σ-algebre di Ω.Allora si ha:

(6) se Y e indipendente da σ(X,G) allora E [XY |G] = E [X|G]E [Y ];(7) se Y e G-misurabile e limitata allora Y E [X|G] = E [XY |G];(8) se H ⊆ G allora E [E [X|G] |H] = E [X|H];(9) [Beppo-Levi] se (Xn)n∈N, con 0 ≤ Xn ∈ L1(Ω, P ), e una successione

monotona crescente che converge puntualmente a X q.s. e Zn = E [Xn|G],allora lim

n→+∞Zn = E [X|G];

(10) [Fatou] sia (Xn)n∈N una successione di v.a. nonnegative in L1(Ω, P );allora posto Zn = E [Xn|G] e X = lim inf

n→+∞Xn, si ha lim inf

n→+∞Zn ≥ E [X|G];

(11)[Convergenza dominata] sia (Xn)n∈N una successione che converge pun-tualmente a X q.s. ed esiste Y ∈ L1(Ω, P ) tale che |Xn| ≤ Y q.s. PostoZn = E [Xn|G], allora lim

n→+∞Zn = E [X|G];

(12)[Disuguaglianza di Jensen] se ϕ e una funzione convessa tale che ϕ(X) ∈L1(Ω, P ) allora

E [ϕ(X) | G] ≥ ϕ (E [X | G]) .

Dimostrazione. (6) E [X|G]E [Y ] e G-misurabile e, per ogni W limitata e G-misurabile, vale

E [WE [X|G]E [Y ]] = E [WE [X|G]]E [Y ] =

(per l’Osservazione 2.98)

= E [WX]E [Y ] =

(per l’ipotesi di indipendenza)

= E [WXY ] ,


e questo prova la tesi.(7) Y E [X|G] e G-misurabile per ipotesi e, per ogni W limitata e G-

misurabile, valeE [(WY )E [X|G]] = E [WY X] ,

per l’Osservazione 2.98, essendo WY G-misurabile e limitata.(8) E [E [X|G] |H] e H-misurabile e per ogni W , limitata e H-misurabile

(e quindi anche G-misurabile), vale

E [WE [E [X|G] |H]] = E [WE [X|G]] = E [WX] .

(9) Per (5) si ha che (Zn) e una successione crescente di v.a. G-misurabilie non-negative, quindi Z := sup

n∈NZn e una v.a. G-misurabile. Inoltre per ogni

G ∈ G, applicando due volte il Teorema di Beppo-Levi, si ha∫G

ZdP = limn→∞

∫G

ZndP = limn→∞

∫G

XndP =

∫G

XdP.

(10-11) La prova e analoga a quella di (9).(12) Basta procedere come nella prova della classica disuguaglianza di

Jensen. Ricordiamo che ogni funzione convessa ϕ coincide con l’invilupposuperiore delle funzioni lineari � ≤ ϕ, ossia vale

ϕ(x) = sup�∈L

�(x), x ∈ R,

doveL = {� : R→ R | �(x) = ax+ b, � ≤ ϕ}.

Allora si ha:

E [ϕ(X) | G] = E

[sup�∈L

�(X) | G]≥

(per la (5))≥ sup�∈L

E [�(X) | G] =

(per la (4))= sup�∈L

� (E [X | G]) = ϕ ([X | G]) .

2

Esercizio 2.103. Provare che

var(E [X | G]) ≤ var(X).

ossia condizionando si riduce la varianza. Provare inoltre che se Xn → X pern→∞ in L1(Ω, P ), allora

limn→∞

E [Xn | G] = E [X | G] in L1(Ω, P ).


Il seguente risultato sara utilizzato nella prova della proprieta di Markov.

Lemma 2.104. Siano X, Y v.a. su uno spazio di probabilita (Ω,F , P ). SiaG ⊆ F una σ-algebra tale che

i) X e indipendente da G;ii) Y e G-misurabile.Allora, per ogni funzione h B-misurabile e limitata (oppure non-negativa),vale

E [h(X, Y ) | G] = g(Y ), dove g(y) = E [h(X, y)] . (2.71)

Nel seguito, scriveremo la (2.71) nella forma piu compatta

E [h(X, Y ) | G] = E [h(X, y) | G] |y=Y . (2.72)

Dimostrazione. Occorre provare che la v.a. g(Y ) e una versione dell’attesacondizionata di h(X, Y ). Usando la notazione PW per indicare la distribuzionedi una data v.a. W , si ha

g(y) =

∫R

h(x, y)PX(dx).

Allora, per il Teorema di Fubini e Tonelli, g e una funzione B-misurabile: diconseguenza, per l’ipotesi ii), g(Y ) e G-misurabile.Inoltre, dato G ∈ G e posto Z = 1G, si ha∫G

h(X, Y )dP =

∫Ω

h(X, Y )ZdP =

∫∫∫h(x, y)z P (X,Y,Z)(d(x, y, z)) =

(per l’ipotesi di indipendenza i) e la Proposizione 2.62)

=

∫∫∫h(x, y)z PX(dx)P (Y,Z)(d(y, z)) =

(per il Teorema di Fubini)

=

∫∫g(y)z P (Y,Z)(d(y, z)) =

∫G

g(Y )dP.

2

Osservazione 2.105. Nelle ipotesi del lemma precedente, in base alla (2.71), siha anche

E [h(X, Y ) | G] = E [h(X, Y ) | Y ] .Infatti, se Z = E [h(X, Y ) | G], essendo la funzione g in (2.71) B-misurabile,si ha che Z e σ(Y )-misurabile. Inoltre∫

G

ZdP =

∫G

h(X, Y )dP, G ∈ σ(Y ),

per definizione di Z e poiche σ(Y ) ⊆ G. 2


Concludiamo la sezione con la seguente utile

Proposizione 2.106. Siano X una v.a. in RN e G ⊆ F una σ-algebra. AlloraX e G sono indipendenti se e solo se

E[ei〈ξ,X〉

]= E

[ei〈ξ,X〉 | G

], ξ ∈ RN . (2.73)

Dimostrazione. Proviamo che se vale la (2.73) alloraX e indipendente da ogniv.a. Y ∈ mG. Per ogni ξ, η ∈ RN si ha

ϕ(X,Y )(ξ, η) = E[ei(〈ξ,X〉+〈η,Y 〉)

]= E

[ei〈η,Y 〉E

[ei〈ξ,X〉 | G

]]=

(per ipotesi)

= E[ei〈ξ,X〉

]E

[ei〈η,Y 〉

].

La tesi segue dal Corollario 2.86. 2

2.6.2 Attesa condizionata in L2

Consideriamo lo spazio Lp(F) := Lp(Ω,F , P ) con p ≥ 1. Data una sotto-σ-algebra G di F , si ha che Lp(G) e un sotto-spazio vettoriale di Lp(F) e perogni X ∈ Lp(F) vale

‖E [X | G] ‖p ≤ ‖X‖p. (2.74)

Infatti, per la disuguaglianza di Jensen con ϕ(x) = |x|p, si ha

E [|E [X | G]|p] ≤ E [E [|X|p | G]] = E [|X|p] .

Per la (2.74) l’attesa condizionata E [· | G] e un operatore lineare e continuoda Lp(F) a Lp(G): in altri termini, se lim

n→∞Xn = X in Lp, ossia se

limn→∞

‖Xn −X‖p = 0,

e poniamo Y = E [X | G], Yn = E [Xn | G], allora come conseguenza della(2.74) vale

limn→∞

‖Yn − Y ‖p = 0.

E di particolare importanza il caso p = 2. Se X, Y ∈ L2, indichiamo con

〈X, Y 〉L2 =∫Ω

XY dP,

il prodotto scalare12 che induce la semi-norma ‖ · ‖2.

12 Poiche 〈X,X〉L2 = 0 se e solo se X = 0 q.s., 〈·, ·〉L2 e un prodotto scalare a menodi identificare le variabili aleatorie uguali q.s.


Proposizione 2.107. Per ogni X ∈ L2(F) e W ∈ L2(G) si ha

〈X − E [X | G] ,W 〉L2 = 0. (2.75)

Dimostrazione. In base alla (2.69), la (2.75) vale per ogni W limitata G-misurabile. La tesi segue da un usuale argomento di densita. 2

Per la (2.75), X − E [X | G] e ortogonale al sotto-spazio L2(G): in altritermini, l’attesa condizionata E [X | G] e la proiezione di X su L2(G). Infatti,se Z = E [X | G], si ha che Z ∈ L2(G) e per ogni W ∈ L2(G) vale

‖X −W‖22 = 〈X − Z + Z −W,X − Z + Z −W 〉L2= ‖X − Z‖22 + ‖Z −W‖22 + 2 〈X − Z, Z −W 〉L2︸︷︷︸

=0

≥

(il doppio prodotto e nullo poiche X − Z e ortogonale a Z −W ∈ L2(G))

≥ ‖X − Z‖22.

Dunque E [X | G] realizza la minima distanza di X da L2(G) e quindi rap-presenta geometricamente la migliore approssimazione di X in L2(G). La ca-ratterizzazione dell’attesa condizionata in termini di proiezione nello spazioL2 puo essere utilizzata per dare un dimostrazione diretta e costruttiva delTeorema 2.99 (si veda, per esempio, Williams [169]).

2.6.3 Attesa condizionata e cambio di misura di probabilita

Nello spazio di probabilita (Ω,F , P ) consideriamo una sotto-σ-algebra G diF e una misura di probabilita Q�F P (e quindi anche Q�G P ). Indichiamocon LF (risp. LG) la derivata di Radon-Nikodym di Q rispetto a P su F(risp. su G). In generale LF �= LG poiche non e detto che LF sia G-misurabile.D’altra parte si ha

LG = EP[LF | G

]. (2.76)

Infatti LG e sommabile e G-misurabile e si ha∫G

LGdP = Q(G) =

∫G

LFdP, G ∈ G,

essendo G ⊆ F .Nel caso dell’attesa condizionata, un risultato di cambio di misura di

probabilita analogo alla formula (2.66) e dato dal seguente

Teorema 2.108 (Formula di Bayes). Siano P,Q misure di probabilita su(Ω,F) con Q �F P . Siano X ∈ L1(Ω,Q) e G una sotto-σ-algebra di F .Posto L = dQ

dP |F si ha

EQ [X | G] = EP [XL | G]EP [L | G] .


Dimostrazione. Poniamo A = EQ [X | G] e B = EP [L | G]. Dobbiamoprovare che

i) Q(B > 0) = 1;ii) AB = EP [XL | G].Per quanto riguarda i): poiche {B = 0} ∈ G, si ha

Q(B = 0) =

∫{B=0}

LdP =

∫{B=0}

BdP = 0.

Per quanto riguarda ii): AB e ovviamente G-misurabile e per ogni G ∈ G siha ∫

G

ABdP =

∫G

EP [AL | G]dP =∫G

ALdP

=

∫G

EQ [X | G]dQ =∫G

XdQ =

∫G

XLdP.

2

2.7 Processi stocastici discreti e martingale

Nel seguito indichiamo con N0 = N ∪ {0} l’insieme di numeri interi non-negativi.

Definizione 2.109. Un processo stocastico discreto (nel seguito p.s.) in RN

e una famiglia X = (Xn)n∈N0 di v.a. definite su uno spazio di probabilita(Ω,F , P ) a valori in RN :

Xn : Ω −→ RN , n ∈ N0.

La famiglia di σ-algebre (FXn )n∈N0 definita da

FXn = σ(Xk, 0 ≤ k ≤ n),

si dice filtrazione naturale per X.In generale, una filtrazione sullo spazio di probabilita (Ω,F , P ) e una fa-

miglia (Fn)n∈N0 crescente (cioe tale che Fn ⊆ Fn+1 per ogni n) di sotto-σ-algebre di F .

Il processo X si dice adattato alla filtrazione (Fn), se Xn e Fn-misurabile,o equivalentemente FXn ⊆ Fn, per ogni n ∈ N0. Il processo X si dicesommabile se Xn ∈ L1(Ω, P ) per ogni n ∈ N0.

In molte applicazioni i processi stocastici vengono utilizzati per descriverel’evoluzione nel tempo di un fenomeno aleatorio e l’indice “n” rappresenta lavariabile temporale. Poiche n ∈ N0, ci riferiamo spesso a X nella definizioneprecedente come ad un “processo stocastico a tempo discreto”. Il Capitolo 4

2.7 Processi stocastici discreti e martingale 63

sara dedicato ai processi stocastici a tempo continuo per i quali il parametro“n” assume valori reali.Per fissare le idee possiamo pensare ad Xn come al prezzo di un titolo ri-

schioso al tempo n: intuitivamente FXn rappresenta le informazioni disponibilisul titolo X al tempo n e la filtrazione FX := (FXn ) rappresenta il “flussocrescente” di queste informazioni.

Nella teoria della probabilita e nelle applicazioni finanziarie la seguenteclasse di processi gioca un ruolo centrale.

Definizione 2.110. Sia M = (Mn)n∈N0 un processo stocastico sommabile eadattato nello spazio con filtrazione (Ω,F , P,Fn). Diciamo che M e

• una martingala discreta (o, semplicemente, martingala) se

Mn = E [Mn+1 | Fn] , n ∈ N0;

• e una super-martingala se

Mn ≥ E [Mn+1 | Fn] , n ∈ N0;

• e una sub-martingala se

Mn ≤ E [Mn+1 | Fn] , n ∈ N0.

E chiaro che la proprieta di martingala dipende dalla filtrazione e dallaprobabilita P considerate. Per la linearita dell’attesa condizionata, le mar-tingale formano uno spazio vettoriale. Inoltre le combinazioni lineari a coef-ficienti non-negativi di super-martingale (risp. sub-martingale) sono ancorasuper-martingale (risp. sub-martingale).Se M e una martingala e n ≥ k ≥ 0, vale

E [Mn | Fk] = E [E [Mn | Fn−1] | Fk] = E [Mn−1 | Fk] = · · · =Mk, (2.77)

come conseguenza della proprieta (8) dell’attesa condizionata. Inoltre, perogni n, vale

E [Mn] = E [E [Mn | F0]] = E [M0] , (2.78)

da cui segue che una martingala e un p.s. che rimane costante in media.Analogamente una super-martingala e un p.s. che “decresce in media” e unasub-martingala e un p.s. che “cresce in media”.

Esempio 2.111. Sia X una variabile aleatoria sommabile nello spazio confiltrazione (Ω,F , P,Fn). Allora il processo M definito da

Mn := E [X | Fn]

e una martingala: infatti M e chiaramente adattato e sommabile, e si ha

E [Mn+1 | Fn] = E [E [X | Fn+1] | Fn] = E [X | Fn] =Mn.

2


Definizione 2.112. Nello spazio di probabilita con filtrazione (Ω,F , P,Fn),diciamo che il p.s. A e predicibile se, per ogni n ≥ 1, An e Fn−1-misurabile.

Il seguente risultato, che sara utilizzato in seguito nello studio delle opzioniAmericane, chiarisce la struttura dei processi adattati.

Teorema 2.113 (Teorema di decomposizione di Doob). Ogni p.s.adattato X si decompone in modo unico13 nella somma

X =M +A (2.79)

dove M e una martingala tale che M0 = X0 e A e un p.s. predicibile tale cheA0 = 0. Inoltre X e una super-martingala (risp. sub-martingala) se e solo seA e decrescente14 (risp. crescente).

Dimostrazione. Dato X, poniamo M0 = X0, A0 = 0 e definiamo

Mn+1 =Mn +Xn+1 − E [Xn+1 | Fn]

= X0 +

n∑k=0

(Xk+1 −E [Xk+1 | Fk]) ,(2.80)

e

An+1 = An − (Xn − E [Xn+1 | Fn])

= −n∑k=0

(Xk −E [Xk+1 | Fk]) .(2.81)

E facile verificare che M e una martingala, A e predicibile e vale la (2.79).Per quanto riguarda l’unicita della decomposizione: se vale (2.79) allora si

ha ancheXn+1 −Xn =Mn+1 −Mn − (An+1 − An),

e considerando l’attesa condizionata (nell’ipotesi che M sia una martingala eA sia predicibile), si ha

E [Xn+1 | Fn]−Xn = −(An+1 −An),

da cui si ha cheM,A devono essere definite rispettivamente da (2.80) e (2.81).Infine, per la (2.81) e chiaro che An+1 ≥ An q.s. se e solo se X e una

super-martingala. 2

Osservazione 2.114. Se M e una martingala e ϕ e una funzione convessa suR, tale che ϕ(M) e sommabile, allora ϕ(M) e una sub-martingala. Infatti

13 A meno di un evento trascurabile.14 Un processo A e decrescente se An ≥ An+1 q.s. per ogni n. Un p.s. A e crescente

se −A e decrescente.


E [ϕ(Mn+1) | Fn] ≥

(per la disuguaglianza di Jensen)

≥ ϕ(E [Mn+1 | Fn]) = ϕ(Mn).

Inoltre se M e una sub-martingala e ϕ e una funzione convessa e crescente suR, tale che ϕ(M) e sommabile, allora ϕ(M) e una sub-martingala. Come casiparticolarmente significativi, se M e una martingala allora |M | e M2 sonosub-martingale. Notiamo che il fatto che M sia una sub-martingala non esufficiente a concludere che anche |M | e M2 siano sub-martingale: le funzionix �→ |x| e x �→ x2 sono convesse ma non crescenti. 2

Definizione 2.115. Dati due processi adattati α e M , diciamo che

Gn(α,M) :=

n∑k=1

αk(Mk −Mk−1), n ∈ N, (2.82)

e la trasformata di M mediante α.

Il processo G(α,M) e l’analogo discreto dell’integrale stocastico che introdur-remo nel Capitolo 5.

Proposizione 2.116. SeM e una martingala e α e predicibile allora G(α,M)e una martingala con media nulla.

Viceversa, se per ogni processo predicibile α si ha

E [Gn(α,M)] = 0, (2.83)

allora vale[Mk | Fk−1] =Mk−1,

per ogni 1 ≤ k ≤ n.

Dimostrazione. Chiaramente G(α,M) e un processo adattato. Inoltre, perogni n, si ha

Gn+1(α,M) = Gn(α,M) + αn+1(Mn+1 −Mn),

e quindi

E [Gn+1(α,M) | Fn] = Gn(α,M) +E [αn+1(Mn+1 −Mn) | Fn] =

(essendo α predicibile)

= Gn(α,M) + αn+1E [Mn+1 −Mn | Fn] =

(essendo M una martingala)


= Gn(α,M).

Quindi G(α,M) e una martingala e vale

E [Gn(α,M)] = E [G1(α,M)] = E [α1(M1 −M0)]

= E [α1E [M1 −M0 | F0]] = 0.

Viceversa, dobbiamo mostrare che

E [Mk1A] = E [Mk−11A] , A ∈ Fk−1.Allora, fissato A ∈ Fk−1, poniamo

αj =

{1A, j = k,

0, j �= k.

Il processo α e predicibile e la tesi segue applicando la (2.83). 2

2.7.1 Tempi d’arresto

Definizione 2.117. Una variabile aleatoria

ν : Ω −→ N0 ∪ {+∞}tale che

{ν = n} ∈ Fn, n ∈ N0, (2.84)

si dice tempo d’arresto (o stopping time).

Intuitivamente, si puo pensare ad un tempo d’arresto come ad un istante incui si prende una decisione relativa ad un fenomeno aleatorio (per esempio, ladecisione di esercitare un’opzione Americana). Il vincolo e che tale decisionedeve dipendere solo dalle informazioni disponibili al momento: questo e ilsignificato della condizione (2.84).

Osservazione 2.118. La (2.84) ha le seguenti semplici conseguenze:

{ν ≤ n} =n⋃k=0

{ν = k} ∈ Fn, (2.85)

{ν ≥ n + 1} = {ν < n+ 1}c = {ν ≤ n}c ∈ Fn. (2.86)

2

Dato un processo stocastico X e un tempo d’arresto ν , definiamo il processoarrestato

Xνn(ω) = Xn∧ν(ω)(ω), ω ∈ Ω, (2.87)

dove abbiamo usato la notazione

a ∧ b = min{a, b}.Nel seguito scriveremo anche Xν∧n invece di Xνn . Il seguente lemma mostraalcune semplici proprieta dei processi arrestati.


Lemma 2.119. Vale:

i) se X e adattato allora anche Xν lo e;ii) se X e una martingala allora anche Xν lo e;iii) se X e una super-martingala allora anche Xν lo e.

Dimostrazione. Si ha

Xν∧n = X0 +

n∑k=1

(Xk −Xk−1)1{ν≥k}, n ≥ 1. (2.88)

Per la (2.86), il processo Yk := 1{ν≥k} e predicibile e quindi Xν e adattato

nel caso X lo sia. Inoltre, poiche Xνn+1 = Xνn su {ν ≤ n}, si ha

E[Xν∧(n+1) −Xν∧n | Fn

]= E

[(Xn+1 −Xn)1{ν≥n+1} | Fn

]=

(poiche 1{ν≥n+1} e Fn-misurabile)

= 1{ν≥n+1}E [Xn+1 −Xn | Fn] , (2.89)

da cui segue che se X e una (super-)martingala allora anche Xν lo e. 2

Dato un processo X e un tempo d’arresto ν finito q.s., tranne su un eventotrascurabile A, definiamo la variabile aleatoria Xν ponendo

Xν(ω) = Xν(ω)(ω), ω ∈ Ω \A,

e indichiamo con

Fν := {F ∈ F | F ∩ {ν ≤ n} ∈ Fn per ogni n ∈ N}, (2.90)

la σ-algebra associata a ν .

Osservazione 2.120. La definizione (2.90) e coerente con la notazione Fn perla filtrazione: in altri termini, se ν e un tempo d’arresto costante, uguale ak ∈ N, allora Fν = Fk. Infatti F ∈ Fν se e solo se

F ∩ {k ≤ n} ∈ Fn, n ∈ N,

se e solo seF ∈ Fn, n ≥ k,

ossia F ∈ Fk.Osserviamo anche che per ogni k ∈ N e tempo d’arresto ν vale

{ν = k} ∈ Fν ,

poiche

{ν = k} ∩ {ν ≤ n} ={{ν = k} per k ≤ n,

∅ per k > n,

appartiene a Fn per ogni n ∈ N. 2


Lemma 2.121. Se X e un processo adattato e ν e un tempo d’arresto finitoq.s. allora Xν e Fν-misurabile.

Dimostrazione. Poiche

Xν =∞∑n=0

Xn1{ν=n},

e sufficiente provare che Xn1{ν=n} e Fν-misurabile per ogni n ∈ N0, ossia

{Xn1{ν=n} ∈ H} ∈ Fν , H ∈B, n ∈ N0.

Se H ∈B e 0 /∈ H si ha

A := {Xn1{ν=n} ∈ H} = {Xn ∈ H} ∩ {ν = n},

e quindi A ∩ {ν ≤ k} ∈ Fk per ogni k poiche

A ∩ {ν ≤ k} ={A se n ≤ k,

∅ se n > k.

D’altra parte, se H = {0} abbiamo

B := {Xn1{ν=n} = 0} =

⎛⎝⋃i �=n{ν = i}

⎞⎠ ∪ ({Xn = 0} ∩ {ν = n}) .

Dunque B ∈ Fν poiche

B ∩ {ν ≤ k} =

⎛⎝ ⋃i �=n, i≤k

{ν = i}

⎞⎠︸︷︷︸

∈Fk

∪ ({Xn = 0} ∩ {ν = n} ∩ {ν ≤ k})︸︷︷︸∈Fk

per ogni k. 2

Teorema 2.122 (Teorema di optional sampling di Doob). Siano ν1, ν2tempi d’arresto limitati q.s., tali che

ν1 ≤ ν2 ≤ N q.s.

con N ∈ N. Se X e una super-martingala allora Xν1 , Xν2 sono v.a. sommabilie vale

Xν1 ≥ E [Xν2 | Fν1 ] . (2.91)

In particolare, se X e una martingala allora

Xν1 = E [Xν2 | Fν1 ] ,

e per ogni tempo d’arresto q.s. limitato vale

E [Xν ] = E [X0] . (2.92)


Dimostrazione. Le v.a. Xν1 , Xν2 sono sommabili poiche

|Xνi | ≤N∑k=0

|Xk|, i = 1, 2.

Per provare la (2.91) utilizziamo l’Osservazione 2.100: poiche, per il Lemma2.121, Xν1 e Fν1-misurabile rimane da provare che∫

A

Xν1dP ≥∫A

Xν2dP, A ∈ Fν1. (2.93)

Consideriamo prima il caso in cui ν2 sia costante, ν2 = N . Se A ∈ Fν1 si haA ∩ {ν1 = n} ∈ Fn e quindi∫

A∩{ν1=n}Xν1dP =

∫A∩{ν1=n}

XndP

≥∫A∩{ν1=n}

E [XN | Fn]dP =∫A∩{ν1=n}

XNdP.

Ne segue∫A

Xν1dP =N∑n=0

∫A∩{ν1=n}

Xν1dP ≥N∑n=0

∫A∩{ν1=n}

XNdP =

∫A

XNdP.

(2.94)

Consideriamo ora il caso generale in cui ν2 ≤ N q.s. Per il Lemma 2.119, Xν2

e una super-martingala e quindi applicando la (2.94) abbiamo∫A

Xν1dP =

∫A

Xν2ν1 dP ≥∫A

Xν2N dP =

∫A

Xν2dP.

2

Osservazione 2.123. La (2.92) vale anche assumendo che ν sia finito q.s. e Xsia una martingala uniformemente sommabile, ossia

|Xn| ≤ Y, n ∈ N0, q.s.

con Y ∈ L1(Ω, P ). Infatti, per il Lemma 2.119, vale

E [Xν∧n] = E [X0] , n ∈ N,

e la tesi segue passando al limite in n→∞, per il teorema della convergenzadominata. 2


2.7.2 Disuguaglianza di Doob

Fra i molti notevoli risultati della teoria delle martingale proviamo la seguentedisuguaglianza di Doob che utilizzeremo spesso nel seguito.

Teorema 2.124 (Disuguaglianza massimale di Doob). Sia M unamartingala nello spazio (Ω,F , P,Fn). Per ogni N ∈ N e p ∈ R, p > 1,vale

E

[max

0≤n≤N|Mn|p

]≤ qpE [|MN |p] , (2.95)

dove q = pp−1 e l’esponente coniugato di p.

Dimostrazione. Proviamo piu in generale che se X e una sub-martingala non-negativa allora

E

[max

0≤n≤NXpn

]≤ qpE [XpN ] , (2.96)

per ogni N ∈ N e p > 1. La (2.95) e immediata conseguenza della (2.96)applicata alla sub-martingala non-negativa X = |M |.Fissati N ∈ N e λ > 0, poniamo

νλ(ω) = min{n ≤ N | Xn(ω) ≥ λ}

e νλ(ω) = N + 1 se tale insieme e vuoto. Posto

Wn,λ = 1{νλ=n}, n = 0, . . . , N,

si ha ovviamenteλWn,λ ≤ XnWn,λ,

e, in valore atteso,λE [Wn,λ] ≤ E [XnWn,λ] ≤

(poiche per ipotesi X e una sub-martingala)

≤ E [E [XN | Fn]Wn,λ] =

(per l’Osservazione 2.98, poiche Wn,λ e Fn-misurabile e limitata)

= E [XNWn,λ] . (2.97)

Ora poniamo Y = max0≤n≤N

Xn ed osserviamo che

1{Y≥λ} =N∑n=0

Wn,λ

e in valore atteso, utilizzando la stima (2.97),


λP (Y ≥ λ) = λ

N∑n=0

E [Wn,λ] ≤ E[XN1{Y≥λ}

]. (2.98)

Inoltre, per l’Esempio 2.41, per ogni p > 0 vale

E [Y p] = p

∫ +∞

0

λp−1P (Y ≥ λ) dλ ≤

(per la (2.98))

≤ pE

[XN

∫ +∞

0

λp−21{Y≥λ}dλ

]=

p

p− 1E[XNY

p−1] ≤(per la disuguaglianza di Holder15)

≤ p

p− 1E [XpN ]

1p E [Y p]

1− 1p ,

e questo conclude la prova. 2

Osservazione 2.125. Sia (Mn)n∈N una martingala limitata in Lp con p > 1,ossia tale che

supn∈N

E [|Mn|p] <∞.

Per il Teorema 2.124, si ha

E

[supn∈N

|Mn|p]≤ qp sup

n∈NE [|Mn|p] ,

dove q e l’esponente coniugato di p. 2

Per brevita riportiamo senza dimostrazione un altro classico risultato cheafferma che sotto ipotesi molto generali una martingala converge quasi certa-mente per n → ∞. Per la prova del seguente teorema si veda, per esempio,[169].

Teorema 2.126. Sia (Xn)n∈N una super-martingala tale che

supn

E[X−n

]< +∞ (2.99)

dove X− = max{0,−X}. Allora esiste finito

limn→∞

Xn q.s.

15

E [|XY |] ≤ E [|X |p] 1p E [|Y |q] 1q ,per ogni p, q ≥ 1 esponenti coniugati ossia tali che

1

p+

1

q= 1.


Osserviamo che se (Mn)n∈N e una martingala limitata in Lp per p > 1, alloraper l’Osservazione 2.125 la condizione (2.99) e soddisfatta e quindi (Mn) con-verge q.s. per n → ∞ ad una variable aleatoria M tale che |M | ≤ sup

n|Mn|.

Inoltre poiche

|Mn −M |p ≤ 2p−1 (|Mn|p + |M |p) ≤ 2p supn|Mn|p,

per il Teorema della convergenza dominata vale

limn→∞

E [|Mn −M |p] = 0.

Abbiamo dunque provato il seguente

Teorema 2.127. Ogni martingala (Mn)n∈N, limitata in Lp con p > 1,converge q.s. e in norma Lp.

Proviamo un’utile conseguenza del risultato precedente.

Corollario 2.128. Siano X ∈ Lp, per un p > 1, e (Fn)n∈N una filtrazionesullo spazio (Ω,F , P ). Allora vale

limn→∞

E [X | Fn] = E [X | F∞] , in Lp,

dove F∞ indica la σ-algebra generata da (Fn)n∈N.Dimostrazione. La posizione

Xn = E [X | Fn] , n ∈ N,definisce una martingala limitata in Lp con p > 1 e quindi esiste

limn→∞

Xn =: M, in Lp.

Allora e sufficiente provare che

M = E [X | F∞] . (2.100)

PoniamoMn = E [M | Fn] , n ∈ N,

ed osserviamo che

E [|Xn −Mn|] = E [|Xn − E [M | Fn]|] ≤ E [|Xn −M |] −−−−→n→∞

0.

Ora fissiamo n ∈ N: per ogni F ∈ Fn e n ≥ n si ha∫F

(X −M)dP =

∫F

E [X −M | Fn]dP =∫F

(Xn −Mn)dP −−−−→n→∞

0.

Deduciamo che vale ∫F

MdP =

∫F

XdP, F ∈ F ∞;

ed essendo M ∈ mF∞ otteniamo la (2.100). 2


Osservazione 2.129. Utilizzando la nozione di uniforme integrabilita (cfr. Se-zione A.5.2), e possibile estendere il risultato di convergenza del Corollario2.128 anche al caso p = 1. 2

3

Modelli di mercato a tempo discreto

Mercati discreti e arbitraggi – Modello binomiale – Modello trinomiale – OpzioniAmericane

In questo capitolo diamo una descrizione dei modelli di mercato a tempodiscreto per la valutazione e copertura di derivati di stile Europeo e Ame-ricano. Presentiamo il classico modello binomiale introdotto da Cox, Rosse Rubinstein in [31] e accenniamo al problema della valutazione in mercatiincompleti.

3.1 Mercati discreti e arbitraggi

Consideriamo un modello di mercato discreto, costruito su uno spazio di pro-babilita (Ω,F , P ) con Ω che ha un numero finito di elementi e in cui assumia-mo che P ({ω}) > 0 per ogni ω ∈ Ω. Fissato un intervallo temporale1 [0, T ],supponiamo che le contrattazioni avvengano solo in alcune date fissate

0 = t0 < t1 < · · · < tN = T,

e che il mercato sia composto da d+ 1 titoli (bond, azioni, derivati...)

S = (S0, S1, . . . , Sd),

dove Skn e una variabile aleatoria reale non-negativa che indica il prezzo all’i-stante tn del titolo k-esimo: pertanto il titolo S

k = (Skn)n=0,...,N e un processostocastico a tempo discreto in (Ω,F , P ). Diciamo che S e un mercato discretosullo spazio di probabilita (Ω,F , P ).Nel seguito supponiamo che esista almeno un titolo che assume sempre

valori strettamente positivi: per semplicita sia S0n > 0, per ogni n. Ponendo

Skn =SknS0n

(3.1)

1 Ricordiamo che l’unita di tempo e l’anno: per fissare le idee, t = 0 indica la dataodierna e T la scadenza di un derivato.


76 3 Modelli di mercato a tempo discreto

definiamo il mercato normalizzato rispetto a S0. Nel mercato normalizzato siha ovviamente S0 = 1 e i prezzi dei titoli sono espressi in unita del titoloS0 , comunemente chiamato numeraire. Spesso S0 gioca il ruolo del titolo nonrischioso corrispondente all’investimento in banca: in tal caso Sk viene anchedetto prezzo scontato del titolo k−esimo. Nella pratica, scontando e possibileconfrontare prezzi quotati in istanti differenti.

Consideriamo la filtrazione (Fn) definita da

Fn = σ(S0, . . . , Sn), 0 ≤ n ≤ N. (3.2)

Come visto in precedenza, una σ-algebra rappresenta un insieme di informa-zioni: in particolare, Fn rappresenta le informazioni sul mercato disponibili altempo tn. E naturale assumere

F0 = {∅, Ω} (3.3)

ossia2 i prezzi S00 , . . . , S

d0 dei titoli all’istante iniziale sono osservabili e dunque

sono valori deterministici (numeri reali, non variabili aleatorie). Inoltre non erestrittivo assumere

F = FN . (3.4)

Definizione 3.1. Un portafoglio (o strategia) e un processo stocastico in Rd+1

α = (α0n, . . . , α

dn)n=0,...,N .

Nella definizione precedente αkn rappresenta la quantita del titolo Sk posseduta

(in portafoglio) all’istante tn. Pertanto indichiamo il valore del portafoglio αall’istante tn con

Vn(α) = αn · Sn :=d∑k=0

αknSkn .

Chiaramente il valore del portafoglio V (α) := (Vn(α))n=0,...,N e un processostocastico reale a tempo discreto. Notiamo che e ammesso che αkn assumavalori negativi: per esempio, sono ammessi la vendita allo scoperto di azionio il prestito di soldi dalla banca.

Definizione 3.2. Un portafoglio α e autofinanziante se vale la relazione

Vn(α) = αn+1 · Sn, (3.5)

per ogni n = 0, . . . , N − 1.

Esempio 3.3. Nel caso di due titoli, d = 1, la (3.5) e equivalente a

α0n+1 = α0

n − (α1n+1 − α1

n)S1n

S0n

.

2 Ricordando l’Esempio 2.46.

3.1 Mercati discreti e arbitraggi 77

La formula precedente esprime come deve cambiare α0n+1 in un portafoglio

autofinanziante se al tempo tn, essendo noti S0n e S1

n, vogliamo variare ilnumero di titoli α1

n+1. Nel caso d = 0 un portafoglio α e autofinanziante se esolo se e costante. 2

Per un portafoglio autofinanziante vale l’uguaglianza

αn · Sn = αn+1 · Sn,

che si interpreta nel modo seguente:

al tempo tn abbiamo a disposizione il capitale Vn(α) = αn ·Sn e ribilancia-mo il portafoglio con le nuove quantita αn+1 in modo tale da non mutareil valore complessivo.

Per esempio, al tempo iniziale, avendo a disposizione α0 · S0, modifichiamoportafoglio in modo che il suo valore α1 · S0 sia uguale al capitale disponi-bile α0 · S0. Notiamo che αn indica la composizione del portafoglio che sicostruisce al tempo n − 1. In particolare in un portafoglio autofinanziante iltermine α0 e “superfluo” poiche V0(α) = α1 ·S0 e il valore V (α) e determina-to solo da α1, . . . , αN : pertanto, per convenzione, indicheremo una strategiaautofinanziante semplicemente con

α = (α1, . . . , αN).

Nel seguito consideriamo solo strategie di investimento elaborate in base alleinformazioni sul mercato disponibili al momento (non conoscendo il futuro).Poiche in una strategia autofinanziante il ribilanciamento del portafoglio dallacomposizione αn a αn+1 avviene al tempo n, risulta naturale assumere che αsia predicibile. Ricordiamo la Definizione 2.112:

Definizione 3.4. Un portafoglio α e predicibile se αn e Fn−1-misurabile perogni n = 1, . . . , N .

Ritorniamo sul concetto di autofinanziamento per un ulteriore commento.Se α e autofinanziante si ha

Vn+1(α)− Vn(α) = αn+1 · (Sn+1 − Sn) =

d∑k=0

αkn+1(Skn+1 − Skn), (3.6)

e quindi la variazione del valore del portafoglio dal tempo tn a tn+1 e dovutasolo alla variazione dei prezzi dei titoli e non al fatto che e stata introdotta otolta liquidita. Dunque in una strategia autofinanziante stabiliamo al tempoiniziale la somma da investire e successivamente non aggiungiamo o togliamodenaro.Sommando in n nella (3.6), otteniamo

gn(α) := Vn(α)− V0(α) =

n∑j=1

αj · (Sj − Sj−1), n = 1, . . . , N. (3.7)


Il processo (gn(α))1≤n≤N rappresenta il guadagno della strategia α. Notiamoche (gn(α))1≤n≤N e la trasformata di S mediante α secondo la Definizione2.115. Chiaramente si ha

Vn(α) = V0(α) + gn(α), n = 1, . . . , N, (3.8)

e quindi vale la seguente

Proposizione 3.5. Una strategia α e autofinanziante se e solo vale la (3.8)ossia se in ogni istante il valore del portafoglio e pari alla somma dell’investi-mento iniziale e del guadagno maturato.

Consideriamo ora il mercato normalizzato S. Se α e autofinanziante vale

Vn(α) = αn · Sn = αn+1 · Sne

Vn+1(α) − Vn(α) = αn+1 ·(Sn+1 − Sn

).

Sommando in n, poiche S0j − S0

j−1 = 0, otteniamo

Vn(α) = V0(α) +Gn(α1, . . . , αd) (3.9)

dove

Gn(α1, . . . , αd) :=

n∑j=1

(α1j(S

1j − S1

j−1) + · · ·+ αdj (Sdj − Sdj−1)

)e la trasformata di S mediante α1, . . . , αd (cfr. Definizione 2.115). Diciamoimpropriamente3 che Gn(α

1, . . . , αd) e il guadagno normalizzato della strate-gia α. La (3.9) esprime il fatto che il valore normalizzato del portafoglio e parialla somma del capitale iniziale e del guadagno normalizzato, ottenuto inve-stendo nei titoli S1 , . . . , Sd secondo la strategia (α1, . . . , αd). Ovviamente la

strategia α determina V0(α) e i processi predicibili α1, . . . , αd. Ma vale anche

il viceversa:

Proposizione 3.6. Fissato un valore iniziale V0 ∈ R e dati d processi pre-dicibili α1, . . . , αd, esiste ed e unico il processo predicibile α0 tale che lastrategia

α = (α0, α1, . . . , αd)

sia autofinanziante e valga V0(α) = V0.

Dimostrazione. Dati V0 e α1, . . . , αd, il processo α0 e definito dalla condizione

di autofinanziamento:

α0n+1 +

d∑k=1

αkn+1Skn = Vn(α) = V0 +Gn(α

1, . . . , αd),

da cui segue anche che α0n+1 e Fn-misurabile, ossia α0 e predicibile. 2

3 Notiamo che Gn(α1, . . . , αd) = gn(α)

S0ne che Gn(α

1, . . . , αd) non dipende da α0!


Osservazione 3.7. Per ogni portafoglio autofinanziante α, il guadagno nor-malizzato Vn(α) − V0(α) dipende solo da α1, . . . , αd e non da α0 o da

V0(α). 2

3.1.1 Arbitraggi e strategie ammissibili

Nel seguito indichiamo con A la famiglia dei portafogli autofinanzianti epredicibili:

A = {α = (α0n, . . . , α

dn)n=1,...,N | α e autofinanziante e predicibile}.

Definizione 3.8. Diciamo che α ∈ A e un portafoglio di arbitraggio (osemplicemente un arbitraggio) se il valore V (α) del portafoglio e tale che4

i) V0(α) = 0;

ed esiste n tale che

ii) Vn(α) ≥ 0, P−q.s;iii)P (Vn(α) > 0) > 0.

Diciamo che il mercato S = (S0 , . . . , Sd) e libero da arbitraggi se la famigliaA non contiene portafogli d’arbitraggio.

Un arbitraggio e una strategia in A che, pur non richiedendo un investimentoiniziale e non esponendo ad alcun rischio (Vn ≥ 0 P−q.s.), ha la possibilita diassumere un valore positivo. Per la condizione di predicibilita, non e possibileavere un guadagno certo e privo di rischio in un mercato libero da arbitraggia meno di conoscere il futuro.L’assenza d’opportunita d’arbitraggio e un’ipotesi fondamentale dal pun-

to di vista economico, che ogni modello sensato deve soddisfare. Il fatto checi sia assenza di arbitraggi dipende chiaramente dal modello probabilisticoconsiderato, ossia dallo spazio (Ω,F , P ) e dal tipo di processo stocasticoS = (S0 , . . . , Sd) utilizzato per descrivere il mercato. Nella Sezione 3.1.2 diamouna caratterizzazione matematica dell’assenza d’arbitraggio in termini di esi-stenza di una particolare misura di probabilita, equivalente a P , detta misuramartingala. Successivamente, nel Paragrafo 3.2 esaminiamo il caso particolar-mente semplice del modello binomiale in modo da vedere piu concretamenteil significato dei concetti introdotti. In particolare vedremo che nel model-lo binomiale il mercato e libero da arbitraggi sotto ipotesi molto semplici eintuitive.

Abbiamo assunto che i valori di una strategia possano essere negativi (ven-dita allo scoperto), tuttavia e ragionevole richiedere che il valore complessivodel portafoglio non sia negativo.

4 Abbiamo supposto che il vuoto sia l’unico evento di probabilita nulla: benchesia superfluo scrivere P−q.s. di fianco alle uguaglianze, lo faremo per uniformitarispetto al caso continuo.


Definizione 3.9. Una strategia α ∈ A si dice ammissibile se

Vn(α) ≥ 0, P − q.s.

per ogni n ≤ N .

In alcuni testi la definizione di arbitraggio include la condizione di ammis-sibilita della strategia. In effetti, in un mercato discreto ogni strategia diarbitraggio puo essere modificata in modo da renderla ammissibile. Questorisultato non si generalizza al caso continuo.

Proposizione 3.10. Un mercato discreto e libero da arbitraggi se e solo senon esistono strategie d’arbitraggio ammissibili.

Dimostrazione. Supponiamo che non esistano strategie d’arbitraggio ammis-sibili: dobbiamo provare che allora non esistono arbitraggi. Dimostriamo latesi per assurdo: supponendo l’esistenza di un arbitraggio α, costruiamo unaarbitraggio ammissibile β.Per ipotesi, V0(α) = α1 · S0 = 0 ed esiste n (non e restrittivo supporre

n = N) tale che αn ·Sn ≥ 0 q.s. e P (αn ·Sn > 0) > 0. Se α non e ammissibileesistono k < N e F ∈ Fk con P (F ) > 0 tali che

αk · Sk < 0 su F, e αn · Sn ≥ 0 q.s. per k < n ≤ N. (3.10)

Definiamo allora una nuova strategia d’arbitraggio nel modo seguente: βn ≡ 0su Ω \ F per ogni n, mentre su F

βn =

{0, n ≤ k,

αn − (αk · Sk)e0, n > k,

dove e0 = (1, 0, . . . , 0) ∈ Rd+1. 2

3.1.2 Misura martingala

In questa sezione consideriamo un mercato discreto S sullo spazio (Ω,F , P )e caratterizziamo la proprieta di assenza d’arbitraggi in termini di esistenzadi una nuova misura di probabilita equivalente5 a P e rispetto alla quale ilprocesso dei prezzi scontati e una martingala. Ricordiamo la notazione S per ilmercato normalizzato rispetto al numeraire S0 e diamo la seguente importante

Definizione 3.11. Una misura martingala con numeraire S0 e una misuradi probabilita Q su (Ω,F) tale che:i) Q e equivalente a P ;

5 Si veda il Paragrafo 2.5.


ii) per ogni n = 1, . . . , N vale

EQ[Sn | Fn−1

]= Sn−1, (3.11)

ossia S e una Q-martingala.

Per la proprieta di martingala, si ha

EQ[Sn | Fk

]= Sk, 0 ≤ k < n ≤ N,

e di conseguenza

EQ[Sn

]= EQ

[EQ

[Sn | F0

]]= S0. (3.12)

La formula (3.12) ha un’importante interpretazione economica: essa esprimeil fatto che il valore atteso dei prezzi futuri normalizzati e uguale al prezzoattuale. Dunque la (3.12) costituisce una formula di valutazione neutrale al

rischio nel senso stabilito nella Sezione 1.2.1: il valore atteso di Sn nella misuraQ corrisponde al valore attribuito da un investitore che pensa che il prezzoattuale di mercato del titolo sia corretto (e dunque non e propenso ne avversoad acquistare il titolo).Osserviamo che la definizione di misura martingala dipende dalla scelta

del numeraire. Inoltre sottolineiamo il fatto che, poiche Q e equivalente a P ,il mercato e libero da arbitraggi nella misura P se e solo se lo e in Q.

Il seguente risultato, data la sua importanza, e comunemente noto comePrimo Teorema fondamentale della valutazione.

Teorema 3.12 (Primo Teorema fondamentale della valutazione). Unmercato discreto e libero da arbitraggi se e solo se esiste almeno una misuramartingala.

Rimandiamo la dimostrazione del Teorema 3.12 alla Sezione 3.1.4 e analizzia-mo alcune importanti conseguenze della definizione di misura martingala. Ilseguente risultato mette in luce la fondamentale caratteristica dei portafogliautofinanzianti e predicibili di conservare la proprieta di martingala: se S euna martingala e α ∈ A allora anche V (α) e una martingala.Proposizione 3.13. Se Q e una misura martingala e α ∈ A, allora V (α) euna Q-martingala:

EQ[Vn+1(α) | Fn

]= Vn(α), n = 0, . . . , N − 1. (3.13)

In particolare vale la seguente formula di valutazione neutrale al rischio

V0(α) = EQ[Vn(α)

], n ≤ N. (3.14)

Viceversa, se Q e una misura equivalente a P e per ogni α ∈ A vale la (3.13)allora Q e una misura martingala.


Dimostrazione. Il risultato e immediata conseguenza della formula (3.9) chesinteticamente riassume il fatto che α e autofinanziante se e solo se V (α) e

la trasformata di S mediante α. D’altra parte, essendo α predicibile, la tesisegue direttamente dalla Proposizione 2.116.Per maggior chiarezza ci sembra comunque utile ripetere la dimostrazione:

per la condizione di autofinanziamento (3.5), si ha

Vn+1(α) = Vn(α) + αn+1 · (Sn+1 − Sn)

e considerando l’attesa condizionata a Fn, otteniamo

EQ[Vn+1(α) | Fn

]= Vn(α) +EQ

[αn+1 · (Sn+1 − Sn) | Fn

]=

(per la proprieta (7) dell’attesa condizionata, essendo α predicibile)

= Vn(α) + αn+1 · EQ[Sn+1 − Sn | Fn

]= Vn(α)

per la (3.11). Il viceversa e banale. 2

Il seguente risultato contiene la principale conseguenza, fondamentale dalpunto di vista operativo, della condizione di assenza d’arbitraggi: se due stra-tegie autofinanzianti e predicibili hanno lo stesso valore finale allora devonoavere lo stesso valore anche in tutti i tempi precedenti.

Proposizione 3.14. In un mercato libero da arbitraggi, se α, β ∈ A e vale

VN (α) = VN (β) P -q.s.,

alloraVn(α) = Vn(β) P -q.s.

per ogni n = 0, . . . , N.

Dimostrazione. La tesi e conseguenza del fatto che V (α), V (β) sono Q-martingale con lo stesso valore finale. Infatti, poiche le misure sono equivalenti,vale VN (α) = VN (β) Q-q.s. e dunque

Vn(α) = EQ[VN(α) | Fn

]= EQ

[VN (β) | Fn

]= Vn(β),

per ogni n ≤ N . 2

Osservazione 3.15. Analogamente, in un mercato libero da arbitraggi, seα, β ∈ A e vale

VN (α) ≥ VN (β) P -q.s.,

alloraVn(α) ≥ Vn(β) P -q.s.

per ogni n = 0, . . . , N. 2


3.1.3 Derivati e prezzo d’arbitraggio

Consideriamo un mercato discreto e libero da arbitraggi S sullo spazio(Ω,F , P ).

Definizione 3.16. Un derivato di tipo Europeo e una variabile aleatoria Xsu (Ω,F , P ).

Per fissare le idee, X rappresenta il valore finale (o payoff) di un’opzione conscadenza T . In particolare

- un derivato X si dice path-independent se dipende solo dal valore finale deititoli sottostanti:

X = F (ST ), (3.15)

dove F e una funzione data. E il caso tipico di una Call Europea con strikeK per la quale si ha

F (x) = (x −K)+;

- un derivato X si dice path-dependent se dipende anche dai valori dei sotto-stanti in tempi precedenti la scadenza: per esempio, nel caso di un’opzioneLook-back si ha

X = SN − min0≤n≤N

Sn.

I principali problemi legati allo studio di un derivato X sono:

1) la valutazione, ossia la determinazione di un prezzo per il derivato che evitidi introdurre possibilita d’arbitraggio nel mercato;

2) la replicazione, ossia la determinazione di una strategia (ammesso cheesista) α ∈ A che assuma q.s. a scadenza lo stesso valore del derivato

VN (α) = X q.s.

Se tale strategia esiste, X si dice replicabile e α e detta strategia replicante.

In un mercato libero da arbitraggi il primo problema e risolubile anche senon necessariamente in modo unico: in altri termini, e possibile determinarealmeno un valore per il prezzo di un’opzione in modo da conservare l’assenzad’arbitraggi. Per quanto riguarda il secondo problema, abbiamo visto nel-l’introduzione che e abbastanza facile costruire un modello di mercato liberod’arbitraggi in cui alcuni derivati non sono replicabili.Introduciamo le famiglie dei portafogli super e sub-replicanti X:

A+X = {α ∈ A | VN(α) ≥ X}, A−X = {α ∈ A | VN (α) ≤ X}.

Il valore iniziale V0(α), per α ∈ A+X , rappresenta il prezzo a cui chiunque

sarebbe disposto a vendere l’opzione: infatti V0(α) e una somma iniziale suf-ficiente a costruire una strategia che super-replica il derivato. Indichiamo conH0 ∈ R un prezzo per l’opzione X: e chiaro che necessariamente deve valere


H0 ≤ V0(α), ∀α ∈ A+X . (3.16)

Se non valesse la (3.16), introducendo nel mercato l’opzione al prezzo H0 >V0(α) per una certa strategia α ∈ A+

X si creerebbe un’ovvia possibilitad’arbitraggio che consiste nel vendere l’opzione e comprare la strategia α.Analogamente deve valere

H0 ≥ V0(α), ∀α ∈ A−X .

Infatti V0(α), per α ∈ A−X , rappresenta il prezzo a cui chiunque sarebbedisposto a comprare l’opzione: infatti vendendo α e comprando il derivatootterrebbe un guadagno.In definitiva il prezzo iniziale di X deve soddisfare la relazione

supα∈A−X

V0(α) ≤ H0 ≤ infα∈A+

X

V0(α). (3.17)

Osserviamo ora che, per l’ipotesi di assenza d’arbitraggi, esiste (e in ge-nerale non e unica) una misura martingala Q. Rispetto a Q, i prezzi scontatidei titoli e i valori scontati di tutte le strategie in A sono martingale e quindicoincidono con l’attesa condizionata del proprio valore finale. Per coerenza,sembra ragionevole valutare in modo analogo l’opzione X: fissata una misuramartingala Q, poniamo

HQn =HQnS0n

:= EQ[X | Fn

], n = 0, . . . , N, (3.18)

dove X = XS0N.

In effetti, la definizione (3.18) rispetta l’ipotesi di consistenza (3.17) peril prezzo di X, ossia non introduce possibilita d’arbitraggio. Infatti, vale ilseguente

Lemma 3.17. Per ogni misura martingala Q vale

supα∈A−X

Vn(α) ≤ EQ[X | Fn

]≤ infα∈A+

X

Vn(α),

per n = 0, . . . , N .

Dimostrazione. Se α ∈ A−X allora, per la Proposizione 3.13, vale

Vn(α) = EQ[VN (α) | Fn

]≤ EQ

[X | Fn

],

e una stima analoga vale per α ∈ A+X . 2

Osservazione 3.18. La famiglia delle misure martingale e un insieme convesso,ossia se Q1, Q2 sono misure martingale allora per la proprieta di linearitadell’attesa condizionata anche ogni combinazione lineare del tipo


λQ1 + (1 − λ)Q2, λ ∈ [0, 1],

e una misura martingala. Come semplice conseguenza si ha che l’insieme dei

prezzi iniziali scontati EQ[X

]forma un intervallo che puo consistere di un

solo punto oppure essere un intervallo non banale: in quest’ultimo caso sitratta di un intervallo aperto (cfr., per esempio, Teorema 5.33 in [59]). 2

Il teorema seguente definisce il prezzo d’arbitraggio di un derivato repli-cabile.

Teorema 3.19. Sia X un derivato replicabile in un mercato libero da arbi-traggi. Allora per ogni strategia replicante α ∈ A e per ogni misura martingalaQ vale

EQ[X | Fn

]= Vn(α) =: Hn, n = 0, . . . , N. (3.19)

Il processo (Hn) e detto prezzo d’arbitraggio (o prezzo neutrale al rischio)scontato di X.

Dimostrazione. Se α, β ∈ A replicano X allora hanno lo stesso valore finale e,per la Proposizione 3.14, hanno anche lo stesso valore in ogni istante. Inoltrese α ∈ A replica X allora α ∈ A−X ∩ A+

X e per il Lemma 3.17 vale

EQ[X | Fn

]= Vn(α),

per ogni misura martingala Q. 2

La formula di valutazione (3.19) e estremamente intuitiva: consideriamo,per esempio, il caso in cui il numeraire sia il titolo non rischioso (investimentoin banca)

S0n = ern

TN .

Allora la (3.19) per n = 0 diventa

H0 = e−rTEQ [X]

ed esprime il fatto che il prezzo attuale dell’opzione e dato dalla migliore stimadel valore finale (il valore atteso del payoff) scontato al tasso di interesse privodi rischio. Il valore atteso e calcolato in una misura Q neutrale al rischio,ossia in una misura rispetto alla quale il valore atteso dei prezzi dei titolie esattamente pari al prezzo attuale osservato sul mercato e rivalutato altasso di interesse. Cio e coerente con quanto avevamo visto nell’introduzione,Paragrafo 1.2.

Abbiamo visto che il problema della replicazione interessa chi vende underivato: per esempio, una banca che vende una Call si espone ad un rischiodi perdita potenzialmente illimitato. Quindi per una banca e importante de-terminare una strategia di investimento che, utilizzando il denaro ricavato dal-la vendita del derivato, ne garantisca la replicazione a scadenza “coprendo”l’esposizione al rischio assunto.


Definizione 3.20. Un mercato si dice completo se ogni derivato e replicabile.

In un mercato completo ogni derivato ha un unico prezzo d’arbitraggio,definito dalla (3.19), che coincide con il valore di una qualsiasi strategiareplicante.E facile vedere che, fissato il numeraire, in un mercato completo esiste al

piu una misura martingala: infatti se Q1, Q2 sono misure martingale alloraper la (3.19) vale

EQ1 [X] = EQ2 [X]

per ogni variabile aleatoria X: dunque e sufficiente considerare X = 1A, A ∈F per concludere che Q1 = Q2. In effetti, l’unicita della misura martingala euna proprieta che caratterizza i mercati completi.

Teorema 3.21 (Secondo Teorema fondamentale della valutazione).Un mercato S libero da arbitraggi e completo se e solo se esiste un’unicamisura martingala (con numeraire S0).

3.1.4 Prova dei teoremi fondamentali della valutazione

Dimostriamo il Primo Teorema fondamentale della valutazione che stabilisceil legame fra assenza d’arbitraggio ed esistenza di una misura martingala.

Dimostrazione (del Teorema 3.12). La dimostrazione del fatto che se esisteuna misura martingala allora S e libero da arbitraggi, e sorprendentemen-te semplice. Infatti sia Q una misura martingala e per assurdo esista unportafoglio d’arbitraggio α ∈ A. Allora V0(α) = 0 ed esiste n ≥ 1 taleche P (Vn(α) ≥ 0) = 1 e P (Vn(α) > 0) > 0. Essendo Q ∼ P , vale anche

Q(Vn(α) ≥ 0) = 1 e Q(Vn(α) > 0) > 0, e di conseguenza EQ[Vn(α)

]> 0.

D’altra parte per la (3.14) si ha

EQ[Vn(α)

]= V0(α) = 0,

che e assurdo.

Viceversa, assumiamo che S sia libero da arbitraggi e proviamo l’esistenzadi una misura martingala Q. Utilizzando la seconda parte della Proposizione2.116 con M = S, e sufficiente provare l’esistenza di Q ∼ P tale che

EQ

[N∑n=1

αn ·(Sin − Sin−1

)]= 0 (3.20)

per ogni i = 1, . . . , d e per ogni α predicibile. Fissiamo una volta per tutte i; laprova della (3.20) e basata sul risultato di separazione di convessi (in dimen-sione finita) del Paragrafo A.6. Pertanto risulta utile ambientare in problemanello spazio Euclideo: indichiamo con M la cardinalita di Ω e con ω1, . . . , ωM


i suoi elementi. Se Y e una variabile aleatoria su Ω, poniamo Y (ωj) = Yj eidentifichiamo Y col vettore di RM

(Y1, . . . , YM ).

Dunque, per esempio, vale

EQ [Y ] =

M∑j=1

YjQ({ωj}).

Per ogni α, processo predicibile a valori reali, usiamo la notazione

G(α) =

N∑n=1

αn

(Sin − Sin−1

).

Osserviamo anzitutto che l’ipotesi di assenza di opportunita di arbitraggio sitraduce nella condizione

G(α) /∈ RM+ := {Y ∈ RM \ {0} | Yj ≥ 0 per j = 1, . . . ,M}.

per ogni α predicibile. Infatti se esistesse α processo predicibile a valori realitale che G(α) ∈ RM+ , allora utilizzando la Proposizione 3.6 e scegliendo V0 = 0,si potrebbe costruire una strategia in A con valore iniziale nullo e valore finaleVN = G(α) ossia un arbitraggio, contro l’ipotesi.Di conseguenza

V := {G(α) | α predicibile}e un sotto-spazio vettoriale di RM tale che

V ∩K = ∅,

doveK := {Y ∈ RM+ | Y1 + · · ·+ YM = 1}

e un sottoinsieme compatto e convesso di RM . Siamo allora nelle condizioniper poter applicare il Corollario A.55: esiste ξ ∈ RM tale che

i) 〈ξ, Y 〉 = 0 per ogni Y ∈ V ,ii) 〈ξ, Y 〉 > 0 per ogni Y ∈K ,o equivalentemente

i)M∑j=1

ξjGj(α) = 0 per ogni α predicibile,

ii)M∑j=1

ξjYj > 0 per ogni Y ∈ K .


In particolare la ii) implica che ξj > 0 per ogni j e dunque possiamo norma-lizzare il vettore ξ per definire una misura di probabilita Q, equivalente a P ,mediante

Q({ωj}) = ξj

(M∑i=1

ξi

)−1.

Allora la i) si traduce inEQ [G(α)] = 0

per ogni α predicibile, concludendo la prova della (3.20) e quindi del teorema.2

Dimostriamo ora il secondo Teorema fondamentale della valutazione chestabilisce il legame fra completezza del mercato e unicita della misura mar-tingala.

Dimostrazione (del Teorema 3.21). Dobbiamo solo provare che se S e liberoda arbitraggi ed e unica la misura martingala Q con numeraire S0 , allora ilmercato e completo. Procediamo per assurdo, supponiamo che il mercato nonsia completo e costruiamo una misura martingala diversa da Q. Indichiamocon

V = {VN (α) | α ∈ A}lo spazio vettoriale dei valori finali normalizzati di strategie α ∈ A. Come nellaprova del Teorema 3.12 identifichiamo le variabili aleatorie con gli elementi diRM . Allora il fatto che S non sia completo si traduce nella condizione

V � RM . (3.21)

Definiamo il prodotto scalare su RM

〈X, Y 〉Q = EQ [XY ] =

M∑j=1

XjYjQ({ωj}).

Allora per la (3.21) esiste ξ ∈ RM \ {0} ortogonale a V ossia tale che

〈ξ, X〉Q = EQ [ξX] = 0, (3.22)

per ogni X = VN(α), α ∈ A. In particolare, con la scelta6 X = 1 deduciamo

EQ [ξ] = 0. (3.23)

Fissato un parametro δ > 1, poniamo

6 La variabile aleatoria costante uguale a 1 appartiene allo spazio V : in base al-la rappresentazione (3.9) di VN (α), e sufficiente utilizzare la Proposizione 3.6

scegliendo α1, . . . , αd = 0 e V0 = 1.


Qδ({ωj}) =(1 +

ξj

δ‖ξ‖∞

)Q({ωj}), j = 1, . . . ,M,

dove‖ξ‖∞ := max

1≤j≤M|ξj|.

Proviamo, che per ogni δ > 1,Qδ definisce una misura martingala (ovviamentediversa da Q poiche ξ �= 0). Anzitutto Qδ({ωj}) > 0 per ogni j poiche

1 +ξj

δ‖ξ‖∞> 0,

e

Qδ(Ω) =

M∑j=1

Qδ({ωj}) =M∑j=1

(1 +

ξj

δ‖ξ‖∞

)Q({ωj})

=

M∑j=1

Q({ωj}) +1

δ‖ξ‖∞

M∑j=1

ξjQ({ωj}) =

= Q(Ω) +1

δ‖ξ‖∞EQ [ξ] = 1

in base alla (3.23). Dunque Qδ e una misura di probabilita equivalente a Q (equindi anche a P ).

Proviamo ora che S e una Qδ-martingala. Utilizzando la seconda partedella Proposizione 2.116 con M = S, e sufficiente provare che

EQδ

[N∑n=1

αn

(Sin − Sin−1

)]= 0

per ogni i = 1, . . . , d e per ogni α processo predicibile a valori reali. Fissato i,usiamo la notazione

G(α) =

N∑n=1

αn

(Sin − Sin−1

).

Vale

EQδ [G(α)] =

M∑j=1

(1 +

ξj

δ‖ξ‖∞

)Gj(α)Q({ωj})

=

M∑j=1

Gj(α)Q({ωj}) +1

δ‖ξ‖∞

M∑j=1

ξjGj(α)Q({ωj})

= EQ [G(α)] +1

δ‖ξ‖∞EQ [ξG(α)] =

(per la (3.22))= EQ [G(α)] = 0,

per la Proposizione 2.116, poiche S e una Q-martingala e α e predicibile. 2


3.1.5 Cambio di numeraire

La scelta del numeraire non e generalmente univoca. Dal punto di vista teorico,vedremo che una scelta opportuna del numeraire puo semplificare i conti (cfr.Esempio 3.34); dal punto di vista pratico, e possibile che diversi investitoriscelgano di utilizzare differenti numeraire, come nel caso in cui i prezzi dimercato possano essere espressi in valute diverse, per esempio Euro o Dollaro.In questa sezione studiamo la relazione fra misure martingale relative a diversinumeraire, dando una formula esplicita per la derivata di Radon-Nikodym diuna misura rispetto ad un’altra. Il principale strumento usato e la formula diBayes (Teorema 2.108).Consideriamo un mercato discreto S libero da arbitraggi e completo. Allora

esiste un’unica misura martingala Q con numeraire S0. Se supponiamo cheanche il titolo S1 assuma sempre valori positivi, allora esiste anche un’unicamisura martingala Q con numeraire S1 e le misure P,Q, Q sono equivalenti.

Teorema 3.22. Sia S un mercato discreto libero da arbitraggi e completo.Siano Q e Q le misure martingale aventi numeraire rispettivamente S0 e S1,titoli con valori strettamente positivi. Allora si ha

dQ

dQ|Fn=

S1n

S0n

(S10

S00

)−1, 1 ≤ n ≤ N. (3.24)

Dimostrazione. Indichiamo con R la misura di probabilita su (Ω,F) definitada

dR

dQ|F =

S1N

S0N

(S10

S00

)−1,

o, in termini piu espliciti,

R(F ) =

∫F

S1N

S0N

(S10

S00

)−1dQ, F ∈ F .

Il teorema e dimostrato una volta che abbiamo provato che R = Q: a talfine basta verificare che R e una misura martingala con numeraire S1 e latesi seguira direttamente dal Teorema 3.21 che assicura l’unicita della misuramartingala.Poiche per ipotesi S0 e S1 assumono valori strettamente positivi, le misure

R,Q e P sono equivalenti. Inoltre, data7 una variabile aleatoria X, vale

ER[X

S1N

| Fn]=

(per il Teorema di Bayes)

7 Osserviamo che in uno spazio di probabilita finito, l’ipotesi di sommabilita di X ,necessaria per definirne l’attesa condizionata, e automaticamente soddisfatta.

3.2 Modello binomiale 91

=

EQ[XS1N

S1NS0N

(S10S00

)−1| Fn

]EQ

[S1NS0N

(S10S00

)−1| Fn

] =EQ

[XS0N| Fn

]EQ

[S1NS0N| Fn

] =(poiche Q e la misura martingala con numeraire S0 e indicando con (Hn) ilprezzo d’arbitraggio di X)

=HnS0n

(S1n

S0n

)−1=

HnS1n

.

Per l’unicita della misura martingala possiamo concludere che R = Q: inoltre,per la (2.76), si ha

dQ

dQ|Fn= EQ

[S1N

S0N

(S10

S00

)−1| Fn

]=

S1n

S0n

(S10

S00

)−1, 1 ≤ n < N,

e questo conclude la prova della (3.24). 2

3.2 Modello binomiale

Nel modello binomiale il mercato e composto da un titolo non rischioso B(bond), corrispondente al deposito in banca, e da un titolo rischioso S (stock),corrispondente, per esempio, ad un’azione quotata in borsa. Indichiamo conBn e Sn rispettivamente i valori (prezzi) del bond e dello stock al tempo tn.Se �n denota il tasso di interesse semplice nell’intervallo [tn, tn+1] allora la

“dinamica” del bond e data da

Bn+1 = Bn(1 + �n), n = 0, 1, . . . , N − 1. (3.25)

Per semplicita supponiamo che gli intervalli abbiano uguale lunghezza

[tn, tn+1] =T

N

e il tasso sia costante durante tutto il periodo [0, T ], �n = � per ogni n.La dinamica del bond, una volta che sia noto B0, e deterministica: Bn =B0(1 + �)n. Nel seguito assumiamo

B0 > 0,

cosicche, utilizzando le notazioni del paragrafo precedente, B gioca il ruolo deltitolo S0 . D’altra parte e anche logico assumere che il prezzo iniziale dell’azioneS0 sia positivo altrimenti il modello e banale.Per il titolo rischioso assumiamo una dinamica stocastica: in particolare

assumiamo che nel passaggio dal tempo tn al tempo tn+1 l’azione possa soloaumentare o diminuire il suo valore con tassi di crescita e decrescita costanti:


Sn+1 = ξn+1Sn, n = 0, 1, . . . , N − 1, (3.26)

dove ξ1, . . . , ξN sono variabili aleatorie indipendenti e identicamente distri-buite (i.i.d.) su uno spazio di probabilita (Ω,F , P ), aventi come distribuzioneuna combinazione di Delta di Dirac:

ξn ∼ pδu + (1− p)δd, n = 1, . . . , N. (3.27)

In (3.27) p ∈ ]0, 1[, u indica il tasso di crescita dello stock nel periodo [tn, tn+1]e d indica il tasso di decrescita8 . Assumiamo che

0 < d < u. (3.28)

Nel contesto del modello binomiale, la definizione di Fn data in (3.2) diventa

Fn = σ(S0 , . . . , Sn) = σ(ξ1, . . . , ξn).

Osserviamo anche che vale

P (Sn+1 = uSn) = P (ξn+1 = u) = p,

P (Sn+1 = dSn) = P (ξn+1 = d) = (1− p),

ossia

Sn+1 =

{uSn, con probabilita p,

dSn, con probabilita 1− p.

Osservazione 3.23. Il modello binomiale richiede come “input” i tre parametriu, d, p che devono essere determinati a priori a partire da osservazioni sulmercato o in base a dati storici dello stock. Per questo motivo, la probabilitaP viene a volte anche chiamata probabilita oggettiva o del mondo reale. 2

Osservazione 3.24. In base alle ipotesi su ξn, possiamo calcolare facilmente laprobabilita che S2 valga u

2S0:

P (S2 = u2S0) = P ((ξ1 = u) ∩ (ξ2 = u)) = p2,

dove l’ultima uguaglianza e conseguenza dell’indipendenza di ξ1 e ξ2. Analo-gamente:

P (S2 = udS0) = P ((ξ1 = u)∩ (ξ2 = d)) + P ((ξ2 = u)∩ (ξ1 = d)) = 2p(1− p).

In generale, si ha per n = 1, . . . , N ,

P (Sn = ujdn−jS0) =

(nj

)pj(1− p)n−j, j = 0, . . . , n. (3.29)

La (3.29) corrisponde alla ben nota distribuzione binomiale che rappresentainfatti la probabilita di ottenere j successi (j up) avendo compiuto n prove (nsteps temporali), essendo p la probabilita di successo della prova singola. 2

8 Lo stato u (up) corrisponde all’evento di crescita e lo stato d (down) all’eventodi calo del valore dell’azione.


Osservazione 3.25. Una “traiettoria” dell’azione e un vettore del tipo (peresempio, nel caso N = 4)

(S0, uS0, udS0, u2dS0, u

3dS0)

oppure(S0, dS0, d

2S0, ud2S0, u

2d2S0)

che possono essere identificati rispettivamente con i vettori

(u, ud, u2d, u3d)

e(d, d2, ud2, u2d2)

delle realizzazioni della variabile aleatoria (ξ1, ξ2, ξ3, ξ4). Dunque possiamoassumere che lo spazio campione Ω sia la famiglia

{(e1, . . . , eN) | ek = u oppure ek = d},

contenente 2N elementi, e F sia l’insieme delle parti di Ω. 2

3.2.1 Proprieta di Markov

In questa sezione mostriamo che il processo S del prezzo gode della proprietadi Markov: intuitivamente tale proprieta esprime il fatto che l’andamentoatteso futuro del prezzo dipende solo dal “presente” ed e indipendente dal“passato”. Questa proprieta gioca un ruolo importante nella valutazione deiderivati mediante l’algoritmo binomiale (cfr. Sezione 3.2.4). Ricordiamo laseguente

Definizione 3.26. Diciamo che un processo stocastico discreto X = (Xn) suuno spazio di probabilita (Ω,F , P ) con filtrazione (Fn), gode della proprietadi Markov se

i) X e adattato a (Fn);ii) per ogni n e funzione B-misurabile e limitata f, vale

E [f(Xn+1) | Fn] = E [f(Xn+1) | Xn] . (3.30)

Come conseguenza della (3.30) e della Proposizione A.8, esiste una funzionemisurabile g tale che

E [f(Xn+1) | Fn] = g(Xn).

La prova della proprieta di Markov di S e basata sul Lemma 2.104.

Teorema 3.27. Nel modello binomiale, il processo stocastico S gode dellaproprieta di Markov e per ogni funzione f vale

E [f(Sn+1) | Fn] = E [f(Sn+1) | Sn] = pf(uSn) + (1− p)f(dSn). (3.31)


Dimostrazione. Per ogni ω ∈ Ω, si ha9

E [f(Sn+1) | Fn] (ω) = E [f(Snξn+1) | Fn] (ω) =(applicando il Lemma 2.104 con X = ξn+1, Z = Sn, G = Fn e h(X, Y ) =f(XY ))

= E [f(Sn(ω)ξn+1)] = pf(uSn(ω)) + (1− p)f(dSn(ω)).

Applicando l’attesa condizionata a σ(Sn) alla precedente uguaglianza e uti-lizzando le proprieta (1) e (8) dell’attesa condizionata, otteniamo

E [f(Sn+1) | Sn] = pf(uSn) + (1− p)f(dSn),

che conclude la prova di (3.31) e della proprieta di Markov. 2

Esercizio 3.28. Se X e un processo di Markov allora vale

E [f(Xn+1, . . . , Xn+k) | Fn] = E [f(Xn+1, . . . , Xn+k) | Xn] ,per ogni n, k ≥ 1 e f funzione misurabile tale che f(Xn+1, . . . , Xn+k) siasommabile o non-negativa.

Dimostrazione (Risoluzione.). Consideriamo solo il caso k = 2. Posto

f(x, y) = 1H(x)1K(y)

con H,K ∈ B, valeE [1H(Xn+1)1K(Xn+2) | Fn] =

(per la proprieta (8) dell’attesa condizionata)

= E [E [1H(Xn+1)1K(Xn+2) | Fn+1] | Fn] =(per la proprieta (7) dell’attesa condizionata)

= E [1H(Xn+1]E [1K(Xn+2) | Fn+1) | Fn] =(per la proprieta di Markov)

= E [1H(Xn+1]E [1K(Xn+2) | Xn+1) | Fn] =(per la proprieta di Markov, poiche 1H(Xn+1)E [1K(Xn+2) | Xn+1] = g(Xn+1) peruna certa funzione misurabile, in base alla Proposizione A.8)

= E [1H(Xn+1]E [1K(Xn+2) | Xn+1) | Xn] =


= E [E [1H(Xn+1)1K(Xn+2) | Xn+1] | Xn] =


= E [1H (Xn+1)1K(Xn+2) | Xn] .

Col Teorema A.7 di Dynkin generalizziamo il risultato al caso di f misurabile elimitata. Col Teorema di Beppo-Levi otteniamo la tesi per f misurabile e non-negativa. Infine per linearita concludiamo la prova. 2

9 Per ipotesi il vuoto e l’unico evento con probabilita nulla e quindi c’e una solaversione dell’attesa condizionata che qui viene indicata con E [f(Sn+1) | Fn].


3.2.2 Misura martingala

In questa sezione studiamo esistenza e unicita della misura martingala nelmodello binomiale. Supponiamo che u, d in (3.27) siano tali che d < 1+� < u.Allora il fatto di prendere in prestito soldi dalla banca per investirli nell’azioneda una probabilita positiva di guadagno, superiore al lasciare i soldi nel contocorrente, essendo 1+� < u: cio corrisponde al punto iii) della Definizione 3.8.Tuttavia questa strategia di investimento non corrisponde ad un (portafogliodi) arbitraggio, perche ci esponiamo anche al rischio di perdita (essendo d <1 + �, c’e una probabilita positiva che l’azione renda meno rispetto al contoin banca) ossia e negata la proprieta ii).

Proposizione 3.29. Nel modello binomiale, se il mercato (B, S) e libero daarbitraggi allora vale la relazione d < 1 + � < u.

Dimostrazione. Per assurdo sia 1 + � ≤ d < u: in tal caso, il titolo rischio-so rende sicuramente piu del conto in banca e, per costruire un portafogliod’arbitraggio, e sufficiente prendere soldi in prestito dalla banca e investir-li nel titolo rischioso. Il portafoglio costante definito da αn = (1,− S0B0

) pern = 0, . . . , N , e ovviamente autofinanziante e si ha

V0(α) = S0 −S0

B0B0 = 0

e

VN (α) = SN −S0

B0BN ≥

(poiche d ≥ 1 + � allora SN ≥ S0(1 + �)N )

≥ S0(1 + �)N − S0BNB0

= 0.

Infine, poiche SN = uNS0 con probabilita pN , e chiaro che l’evento

VN (α) = S0uN − S0(1 + �)N > 0

ha probabilita positiva. Dunque abbiamo costruito un arbitraggio.Con un ragionamento analogo proviamo che se d < u ≤ 1 + � allora il

mercato (B, S) non e libero da arbitraggi. 2

Ricordiamo che la nozione di prezzo d’arbitraggio di un derivato e stataintrodotta sotto l’ipotesi che il mercato sia libero da arbitraggi e completo:dunque la proposizione precedente indica che una relazione fra i parametridel modello che e necessaria per sviluppare una teoria della valutazione deiderivati. Il seguente risultato prova che tale relazione e anche sufficiente.

Teorema 3.30. Nel modello binomiale, la condizione

d < 1 + � < u, (3.32)

e equivalente all’esistenza e unicita della misura martingala.


Dimostrazione. Preliminarmente osserviamo che, essendo F = σ(ξ1, . . . , ξN),una misura Q e determinata univocamente da Q(ξn = u), n = 1, . . . , N , e Qe equivalente a P se e solo se 0 < Q(ξn = u) < 1 per ogni n.Ricordiamo che Q e una misura martingala (con numeraire B) se e

equivalente a P e vale

Sn−1Bn−1

= EQ[SnBn

| Fn−1], n = 1, . . . , N, (3.33)

o equivalentemente

(1 + �)Sn−1 = EQ [Sn | Fn−1] , n = 1, . . . , N.

Per la (3.26) e la proprieta (7) dell’attesa condizionata, si ha

(1 + �)Sn−1 = EQ [ξnSn−1 | Fn−1] = Sn−1EQ [ξn | Fn−1]

da cui, essendo Sn−1 > 0, otteniamo

1 + � = EQ [ξn | Fn−1] , n = 1, . . . , N. (3.34)

In valore atteso, si ha

1 + � = EQ[EQ [ξn | Fn−1]

]= EQ [ξn] = uQ(ξn = u) + d(1−Q(ξn = u))

da cui, con un semplice calcolo, otteniamo

q := Q(ξn = u) =1 + �− d

u− d. (3.35)

Osserviamo che la condizione (3.32) e equivalente al fatto che q sia stretta-mente positivo e minore di uno, 0 < q < 1.In definitiva, se esiste una misura martingala Q allora essa e univoca-

mente determinata da (3.35) e vale la (3.32). Viceversa, nell’ipotesi (3.32), la(3.35) definisce una misura di probabilita che, per costruzione, e una misuramartingala equivalente a P . 2

Proviamo ora che la misura Q conserva la proprieta di indipendenza dellevariabili aleatorie ξ1, . . . , ξN .

Proposizione 3.31. Nell’ipotesi (3.32), sia Q la misura martingala definitada (3.35). Le variabili aleatorie ξ1, . . . , ξN sono indipendenti in Q e il processoS gode della proprieta di Markov nello spazio (Ω,F , Q,Fn): per ogni funzionef vale

EQ [f(Sn+1) | Fn] = EQ [f(Sn+1) | Sn] = qf(uSn) + (1− q)f(dSn). (3.36)


Dimostrazione. Osserviamo che l’attesa condizionata in (3.34) coincide con ilnumero reale 1 + � e quindi vale anche

EQ [ξn | Fn−1] = EQ [ξn] . (3.37)

Poniamo A = {ξn = u}. Allora, per la (3.37) e la definizione di attesacondizionata, per ogni B ∈ Fn−1 si ha∫

B

ξndQ =

∫B

EQ [ξn | Fn−1] dQ = Q(B)EQ [ξn]

= Q(B)(uQ(A) + d(1−Q(A))) = (u − d)Q(A)Q(B) + dQ(B).

D’altra parte, vale∫B

ξndQ = uQ(A ∩B) + dQ(Ac ∩B) = (u− d)Q(A ∩B) + dQ(B),

da cui deduciamoQ(A ∩B) = Q(A)Q(B)

e quindi proviamo l’indipendenza (in Q) di ξn e Fn−1. Per la proprieta diMarkov e sufficiente procedere come nella prova del Teorema 3.27. 2

Nella misura martingala si ha

EQ [Sn] = (1 + �)nS0, n = 0, . . . , N. (3.38)

Come visto in precedenza, la (3.38) esprime la valutazione di Sn espressa daun investitore neutrale al rischio10 in base al valore attuale del titolo. Questoe il motivo per cui Q e detta misura neutrale al rischio o, piu frequentementemisura martingala equivalente (a P ).Nell’Osservazione 3.23, P e chiamata misura oggettiva, da determinare in

base ad osservazioni sul mercato. La misura martingala Q e invece una misuradefinita a posteriori a partire da P : non ha alcun “legame col modo reale”,ma e utile per provare risultati teorici e per ottenere espressioni semplici edeleganti per il prezzo di derivati.In particolare il Teorema 3.30 e i risultati generali della Sezione 3.1.2,

assicurano che sotto la condizione (3.32) il mercato binomiale e libero daarbitraggi e completo. In questo caso il prezzo d’arbitraggio (Hn) di ogniderivato X e definito (univocamente) e in base alla (3.19) vale la seguenteformula di valutazione neutrale al rischio

Hn = (1 + �)n−NEQ [X | Fn] , 0 ≤ n ≤ N. (3.39)

In particolare se X = F (SN), poiche per la Proposizione 3.31 le variabiliξ1, . . . , ξN sono indipendenti in Q, si ha la seguente formula esplicita per ilprezzo

10 Ossia un investitore che e ne propenso ne avverso ad acquistare S.


H0 =1

(1 + �)NEQ [F (SN )]

=1

(1 + �)N

N∑k=0

(Nk

)qk(1− q)N−kF (ukdN−kS0).

(3.40)

Come visto nella prova del Teorema 3.12, e abbastanza facile dimostrareche l’esistenza della misura martingala implica l’assenza di arbitraggi. Perquanto riguarda la completezza del mercato, pur essendo conseguenza delrisultato teorico del Teorema 3.21, nella prossima sezione forniamo anche unadimostrazione diretta e costruttiva dell’esistenza di una strategia replicanteper ogni derivato.

Riassumendo i risultati delle ultime due sezioni, nel modello binomiale leseguenti condizioni sono equivalenti:

i) il mercato e libero da arbitraggi;ii) d < 1 + � < u;iii) esiste ed e unica la misura martingala;iv) il mercato e libero da arbitraggi e completo.

3.2.3 Completezza

In questa sezione proviamo in maniera diretta il seguente risultato:

se vale la condizione (3.32) allora il mercato binomiale e completo ossiaogni derivato Europeo X (ogni variabile aleatoria sullo spazio (Ω,F , P ))e replicabile.

Osserviamo che, sotto la (3.32), il mercato e libero da arbitraggi e di conse-guenza, se X e replicabile allora e ben definito (cfr. Teorema 3.19) il prezzod’arbitraggio (Hn) di X mediante

Hn = Vn(α)

dove α ∈ A e una (qualsiasi) strategia replicante.Analizziamo prima il caso di un’opzione path-independent, in cui X sia

σ(SN )-misurabile e ricordiamo che, per la Proposizione A.8, esiste una fun-zione misurabile F tale che X = F (SN).Nel seguito, per comodita, indichiamo con

bn = βnBn

l’ammontare di capitale investito in bonds e con αn il numero di titoli rischiosiin portafoglio al tempo tn. Dunque, il valore del corrispondente portafoglio e

Vn = αnSn + bn, n = 0, . . . , N.

Per la condizione di replica si ha


αNSN + bN = VN = F (SN). (3.41)

Ricordiamo la dinamica (3.26)-(3.27) di S. Esprimendo il prezzo del sot-tostante al tempo tN in funzione del prezzo al tempo tN−1, abbiamo dueeventualita {

αNuSN−1 + bN = F (uSN−1),

αNdSN−1 + bN = F (dSN−1).(3.42)

Poiche e necessario che entrambe le equazioni siano soddisfatte, otteniamo unsistema lineare di due equazioni nelle incognite αN e bN , la cui soluzione edata da

αN =F (uSN−1) − F (dSN−1)

uSN−1 − dSN−1,

bN =uF (dSN−1)− dF (uSN−1)

u− d.

(3.43)

La (3.43) esprime αN e bN in funzione di SN−1 e quindi mostra che possiamocostruire in modo unico al tempo tN−1 un portafoglio predicibile che replica ilderivato al tempo T qualunque sia l’andamento del titolo sottostante. Notiamoche αN e bN non dipendono dal valore del parametro p (la probabilita reale dicrescita del sottostante); inoltre αN ha la forma di un rapporto incrementale(tecnicamente detto Delta).Possiamo ora scrivere il valore del portafoglio replicante al tempo tN−1 (o

equivalentemente il prezzo d’arbitraggio del derivato): per definizione HN−1 =VN−1 e affinche il portafoglio sia autofinanziante deve valere

VN−1 = αNSN−1 + bN1

1 + �=

(facendo qualche conto, utilizzando la (3.43) e la definizione di q in (3.35))

=1

1 + �(qF (uSN−1) + (1− q)F (dSN−1)) . (3.44)

Ricordando la proprieta di Markov (3.36) ed il fatto che q = Q(SN = uSN−1)e 1− q = Q(SN = dSN−1), la (3.44) e coerente con la formula di valutazioneneutrale al rischio (3.39). L’interpretazione e duplice: se SN−1 e un prezzoosservabile (un numero reale) allora HN−1 e una funzione deterministica diSN−1:

HN−1 = HN−1(SN−1) =1

1 + �EQ [F (SN)] . (3.45)

D’altra parte, se SN−1 non e osservabile (e una variabile aleatoria) alloraanche HN−1 e una variabile aleatoria e precisamente

HN−1 =1

1 + �EQ [F (SN ) | FN−1] =


10

α = 0.5, b = −4 12

F (uS0) = 2

8

F (dS0) = 0

Fig. 3.1. Copertura di una Call in un modello binomiale uni-periodale

(procedendo come nella prova del Teorema 3.27)

=1

1 + �EQ [F (SN ) | SN−1]

e quindiHN−1 e l’attesa di F (SN) scontata e condizionata a SN−1. Per fissarele idee, consideriamo il seguente semplice

Esempio 3.32. Supponiamo che il prezzo odierno di un’azione sia S0 = 10e che nel prossimo anno tale prezzo possa salire oppure scendere del 20%.Assumiamo che il tasso privo di rischio sia r = 5% e determiniamo la strategiadi copertura di un’opzione Call con scadenza T = 1 anno e strike K = 10. Inquesto caso u = 1.2 e d = 0.8 e la condizione di replicazione (3.42) diventa{

12α+ b = 2,

8α+ b = 0,

da cui α = 0.5 e b = −4. Allora il valore attuale del portafoglio di copertura(corrispondente al prezzo d’arbitraggio dell’opzione) e pari a

V0 = 10α+b

1.05≈ 1, 19.

2

Riprendiamo il discorso e ripetiamo il ragionamento precedente per calco-lare αN−1 e bN−1. Imponendo la condizione di replicazione al tempo N − 1,otteniamo

αN−1 =HN−1(uSN−2)−HN−1(dSN−2)


bN−1 =uHN−1(dSN−2)− dHN−1(uSN−2)

u− d.


Sostituendo poi l’espressione trovata in precedenza per HN−1 troviamo:

HN−2 =1

1 + �(qHN−1(uSN−2) + (1 − q)HN−1(dSN−2))

=1

(1 + �)2

(q2F (u2SN−2) + 2q(1− q)F (udSN−2) + (1 − q)2F (d2SN−2)

)o in altri termini

HN−2(SN−2) =1

(1 + �)2EQ [HN | SN−2] ,

coerentemente con la formula di valutazione neutrale al rischio.Piu in generale, per n = 1, . . . , N , si ha

Hn−1(Sn−1) =1

1 + �(qHn(uSn−1) + (1− q)Hn(dSn−1)) , (3.46)

e

αn(Sn−1) =Hn(uSn−1) −Hn(dSn−1)

(u− d)Sn−1,

bn(Sn−1) =uHn(dSn−1)− dHn(uSn−1)

u− d,

(3.47)

e iterando il ragionamento precedente otteniamo

HN−n =1

(1 + �)nEQ [F (SN ) | FN−n]

=1

(1 + �)n

n∑k=0

(nk

)qk(1− q)n−kF (ukdn−kSN−n).

In particolare il valore attuale del derivato e dato da

H0 =1

(1 + �)NEQ [F (SN )]

=1

(1 + �)N

N∑k=0

(Nk

)qk(1− q)N−kF (ukdN−kS0).

in accordo con la formula (3.40).Tali espressioni sono calcolabili esplicitamente in funzione del valore attua-

le del sottostante una volta data l’espressione di F ; tuttavia nella prossimasezione vedremo che, dal punto di vista pratico, e piu semplice calcolare ilprezzo utilizzando un opportuno algoritmo iterativo.

Osservazione 3.33. Come abbiamo gia sottolineato nel Paragrafo 1.2, il prezzod’arbitraggio di X non dipende dalla probabilita di crescita p nella misura realema solo dai tassi di crescita e decrescita u, d (oltre che da �). 2


Consideriamo ora il caso generale e sia X un derivato Europeo eventual-mente path-dependent: in questo caso X e una variabile aleatoria misurabilerispetto a σ(S0 , . . . , SN) e quindi

X = F (S0, . . . , SN )

per una certa funzione misurabile F . Allora possiamo ripetere la proceduraprecedente e in questo caso imponiamo

αNSN + bN = VN = F (S0, . . . , SN),

e quindi otteniamo

αNuSN−1 + bN = F (S0, . . . , SN−1, uSN−1),

αNdSN−1 + bN = F (S0, . . . , SN−1, dSN−1).

Come in precedenza il sistema lineare ha soluzione unica

αN =F (S0, . . . , SN−1, uSN−1) − F (S0, . . . , SN−1, dSN−1)


bN =uF (S0, . . . , SN−1, dSN−1)− dF (S0, . . . , SN−1, uSN−1)

u− d.

Piu in generale valgono formule analoghe alle (3.46)-(3.47): per n = 1, . . . , N ,si ha

Hn−1(S0, . . . , Sn−1) =1

1 + �

(qHn(S0, . . . , Sn−1, uSn−1)

+ (1− q)Hn(S0 , . . . , Sn−1, dSn−1)),

(3.48)

e

αn(S0, . . . , Sn−1) =Hn(S0, . . . , Sn−1, uSn−1) −Hn(S0 , . . . , Sn−1, dSn−1)

(u − d)Sn−1,

bn(S0, . . . , Sn−1) =uHn(S0 , . . . , Sn−1, dSn−1)− dHn(S0, . . . , Sn−1, uSn−1)

u− d.

(3.49)

Di conseguenza abbiamo provato che ogni derivato e replicabile con una stra-tegia univocamente determinata e per questo diciamo che il modello binomialee completo. Notiamo che nel caso path-dependent, αn e bn dipendono dallatraiettoria del titolo sottostante (S0, . . . , Sn−1) fino al tempo tn−1. 2

Esempio 3.34 (Opzione Call Europea). Consideriamo il payoff di un’opzioneCall Europea

F (SN ) = (SN −K)+ := max{SN −K, 0},


con strike K. Utilizzando la formula (3.40) e ricordando che q = 1+ −du−d , il

prezzo C0 dell’opzione e dato da

C0 =1

(1 + �)N

N∑h=0

(Nh

)qh(1 − q)N−h

(uhdN−hS0 −K

)+=S0

N∑h>h0

(Nh

)(qu

1 + �

)h((1− q)d

1 + �

)N−h

− K

(1 + �)N

N∑h>h0

(Nh

)qh(1− q)N−h;

quindi vale

C0 = S0N (q)−K

(1 + �)NN (q), (3.50)

doveq =

qu

1 + �(3.51)

e

N (p) =N∑h>h0

(Nh

)ph(1− p)N−h, p = q, q,

con h0 uguale al piu piccolo numero intero, non negativo, maggiore o ugualea

log KdNS0

log ud.

Notiamo che N (q) e N (q) nella formula (3.50) si possono esprimere in terminidi misure di probabilita. Infatti, per 0 ≤ n ≤ N , si ha

Cn = BnEQ

[(SN −K)+

BN| Fn

]= BnE

Q

[(SN −K)

BN1{SN>K} | Fn

]≡ I1 − I2,

dove

I2 =BnK

BNQ (SN > K | Fn) ,

e

I1 = BnEQ

[SNBN

1{SN>K} | Fn]

= BnS0B0

EQ[SNBN

1{SN>K}

(S0B0

)−1| Fn

]EQ

[SNBN

(S0B0

)−1| Fn

] EQ

[SNBN

(S0B0

)−1| Fn

]=


(in base alla formula di Bayes e al Teorema 3.22 sul cambio di numeraire,

indicando con Q la misura martingala con numeraire S)

= BnS0

B0Q(SN > K | Fn)

Sn

Bn

(S0

B0

)−1.

In definitiva, otteniamo la seguente formula

Cn = SnQ(SN > K | Fn)−K

(1 + �)N−nQ (SN > K | Fn) ,

e in particolare per n = 0

C0 = S0Q(SN > K) − K

(1 + �)NQ (SN > K) . (3.52)

Confrontando la (3.52) con la (3.50), vediamo che la misura martingala Q connumeraire S e la misura equivalente a P tale che (cfr. (3.35) e (3.51))

Q(ξn = u) = q =qu

1 + �.

E facile verificare che 0 < q < 1 se e solo se d < 1 + � < u.

Benche le formule (3.52) e (3.50) siano piu eleganti dal punto di vistateorico, per il calcolo numerico del prezzo di un derivato nel modello binomialee spesso preferibile utilizzare un algoritmo ricorsivo come quello presentatonella prossima sezione. 2

3.2.4 Algoritmo binomiale

In questa sezione illustriamo uno schema iterativo facilmente implementabileper la determinazione del prezzo e della strategia replicante di un deriva-to path-independent. Brevemente discutiamo anche alcuni casi particolari diderivati path-dependent.

Caso path-independent: in questo caso il prezzo Hn−1 e la strategia αn, bndipendono solo dal valore Sn−1 del sottostante al tempo tn−1. Poiche Sn e deltipo

Sn = Sn,k := ukdn−kS0, n = 0, . . . , N e k = 0, . . . , n, (3.53)

il valore del sottostante e individuato dalle “coordinate” n (il tempo) e k(numero di movimenti di crescita). Introduciamo allora la seguente notazione:

Hn(k) = Hn(Sn,k), (3.54)

e analogamente


αn(k) = αn(Sn−1,k), bn(k) = bn(Sn−1,k).

Dalla formula (3.46) e dalla condizione di replicazione, ricaviamo la seguenteformula iterativa per la determinazione del prezzo (Hn):

HN(k) = F (SN,k), 0 ≤ k ≤ N, (3.55)

Hn−1(k) =1

1 + �(qHn(k + 1) + (1− q)Hn(k)), 0 ≤ k ≤ n− 1, (3.56)

per n = 1, . . . , N e q definito in (3.35). Chiaramente il prezzo iniziale del deri-vato e uguale a H0(0). Una volta che abbiamo determinato i valori Hn(k), inbase alla (3.47), la corrispondente strategia di copertura e data esplicitamenteda

αn(k) =Hn(k + 1)−Hn(k)

(u− d)Sn−1,k,

bn(k) =uHn(k)− dHn(k + 1)

u− d,

(3.57)

per n = 1, . . . , N e k = 0, . . . , n− 1.Per esempio, consideriamo un’opzione Put Europea con strike K = 22 e

valore del sottostante S0 = 20. Assumiamo i seguenti parametri nel modellobinomiale a tre periodi:

u = 1.1, d = 0.9, � = 0.05

da cui otteniamo

q =1 + �− d

u− d= 0.75.

Anzitutto costruiamo l’albero binomiale in cui indichiamo il prezzo del sot-tostante all’interno dei cerchi e il payoff dell’opzione a scadenza all’esterno,utilizzando la notazione (3.54), ossia Hn(k) e il valore del derivato al tempo nnel caso in cui il sottostante sia cresciuto k volte. Ora utilizziamo l’algoritmo(3.55)-(3.56)

Hn−1(k) =1

1 + �(qHn(k + 1) + (1− q)Hn(k))

=0.75 ∗Hn(k + 1) + 0.25 ∗Hn(k)

1.05

e calcoliamo i prezzi d’arbitraggio dell’opzione, indicandoli sull’albero bino-miale in Figura 3.3.Infine, utilizzando le formule (3.57) indichiamo la strategia di copertura delderivato nella Figura 3.4.

Caso path-dependent: esaminiamo alcune opzioni path-dependent fra le piunote, Asiatiche, look-back e con barriera. Lo schema iterativo (3.55)-(3.56) e


20

22

18

24.2

19.8

16.2

26.62

H3(3) = 0

21.78

H3(2) = 0.22

17.82

H3(1) = 4.18

14.58

H3(0) = 7.42

Fig. 3.2. Albero binomiale a tre periodi per una Put con strike 22 e S0 = 20, conparametri u = 1.1, d = 0.9 e � = 0.05

basato sul fatto che il prezzo Hn di un derivato path-independent gode dellaproprieta di Markov e quindi e funzione dei prezzi al tempo tn e non dipendedai prezzi precedenti. In particolare lo schema (3.55)-(3.56) prevede che alpasso n, si debbano risolvere n+1 equazioni per determinare (Hn(k))k=0,...,n.Dunque la complessita computazionale cresce linearmente col numero dei passidella discretizzazione.Al contrario, abbiamo gia notato che nel caso path-dependent, Hn dipende

dalla traiettoria del titolo sottostante (S0 , . . . , Sn) fino al tempo tn. Essendoci2n possibili traiettorie, il numero delle equazioni da risolvere cresce esponen-zialmente col numero dei passi della discretizzazione. Per esempio, scegliendoN = 100, dovremmo risolvere 2100 equazioni solo per calcolare il prezzo allascadenza e questo e impraticabile.A volte, aggiungendo una variabile di stato che incorpora le informazioni

del passato (la variabile path-dependent), e possibile rendere Markoviano ilprocesso del prezzo: questa semplice idea verra utilizzata anche nel caso atempo continuo. Consideriamo i seguenti payoff:

F (SN , AN) =

{(SN − AN)

+ Call con strike variabile,

(AN −K)+ Call con strike fisso K,(3.58)

dove A indica la variabile path-dependent: piu precisamente, per n = 0, . . . , N ,


20

H0 = 0.6922

H1(1) = 0.31

18

H1(0) = 1.95

24.2

H2(2) = 0.05

19.8

H2(1) = 1.15

16.2

H2(0) = 4.75

26.62

H3(3) = 0

21.78

H3(2) = 0.22

17.82

H3(1) = 4.18

14.58

H3(0) = 7.42

Fig. 3.3. Prezzi d’arbitraggio di una Put con strike 22 e S0 = 20 in un modellobinomiale a tre periodi con parametri u = 1.1, d = 0.9 e � = 0.05

An =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1n+1

n∑k=0

Sk Asiatica con media aritmetica,(n∏k=0

Sk

) 1n+1

Asiatica con media geometrica,

min0≤k≤n

Sk Look-back con strike variabile,

max0≤k≤n

Sk Look-back con strike fisso.

(3.59)

Nel passaggio dal tempo tn−1 al tempo tn, si ha Sn = uSn−1 oppure Sn =

dSn−1 e di conseguenza An assume i valori A(u)n o A

(d)n dove

A(u)n =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩nAn−1+uSn−1

n+1 Asiatica con media aritmetica,

((An−1)nuSn−1)1

n+1 Asiatica con media geometrica,

min{An−1, uSn−1} Look-back con strike variabile,

max{An−1, uSn−1} Look-back con strike fisso,

(3.60)

e A(d)n e definito in modo analogo. Il seguente risultato si prova procedendo

come nella dimostrazione del Teorema 3.27.

Lemma 3.35. Il processo stocastico (S, A) gode della proprieta di Markov eper ogni funzione f vale

EQ [f(Sn+1, An+1) | Fn] = EQ [f(Sn+1, An+1) | (Sn, An)]= qf(uSn , A

(u)n ) + (1− q)f(dSn, A

(d)n ).


20

α = −0.41, b = 9.3322

α = −0.25, b = 6.1

18

α = −1, b = 20.95

24.2

α = −0.04, b = 1.21

19.8

α = −1, b = 22

16.2

α = −1, b = 22

26.62

21.78

17.82

14.58

Fig. 3.4. Strategia di copertura di una Put con strike 22 e S0 = 20 in un modellobinomiale a tre periodi con parametri u = 1.1, d = 0.9 e � = 0.05

Definito Sn,k come in (3.53), indichiamo con An,k(j) i possibili valori del-la variabile path-dependent corrispondenti a Sn,k, per 0 ≤ j ≤ J(n, k) conJ(n, k) ∈ N opportuno.

Esempio 3.36. Nell’ipotesi ud = 1, si ha

Sn,k =

{dn−2kS0 se n ≥ 2k,u2k−nS0 se n ≤ 2k;

e nel caso di un’opzione look-back con strike fisso, se n ≥ 2k allora Sn,k ≤ S0e

An,k(j) = uk−jS0, j = 0, . . . , n− k,

mentre, se n ≤ 2k allora Sn,k ≥ S0 e

An,k(j) = uk−jS0, j = 0, . . . , k.

Tanto per fissare le idee, puo essere utile costruirsi un albero binomiale conN = 4 e verificare la validita delle formule precedenti.Anche nel caso di un’opzione Call con strike K e barriera B > K, possiamo

utilizzare i processi precedenti: in questo caso, il payoff e dato da

F (SN , AN) = (SN −K)+1AN<B.

2


In generale poniamo

Hn(k, j) = Hn(Sn,k, An,k(j)). (3.61)

In base al lemma, poiche

Hn =1

1 + �EQ [Hn+1 | Fn]

possiamo valutare un derivato path-dependent utilizzando il seguente schemaiterativo:

HN(k, j) = F (SN,k, AN,k(j)),

per 0 ≤ k ≤ N, 0 ≤ j ≤ J(N, k), e

Hn−1(k, j) =1

1 + �

(qHn

(uSn−1,k, A

(u)n−1,k(j)

)+ (1− q)Hn

(dSn−1,k, A

(d)n−1,k(j)

) ),

per 0 ≤ k ≤ n− 1, 0 ≤ j ≤ J(n − 1, k), e n = 1, . . . , N . Infine la strategia dicopertura e data da

αn(k, j) =Hn(k + 1, j)−Hn(k, j)

(u− d)Sn−1,k,

bn(k, j) =uHn(k, j)− dHn(k + 1, j)

u− d,

(3.62)

per n = 1, . . . , N , k = 0, . . . , n−1 e j = 0, . . . , J(n, k). Notiamo che, nell’esem-pio dell’opzione Look-back con strike fisso, J(n, k) ≤ n

2e quindi la complessita

computazionale al passo n e dell’ordine di n2.

3.2.5 Calibrazione

La calibrazione di un modello consiste nella determinazione dei parametri apartire dall’osservazione del mercato reale. I parametri del modello binomialesono il tasso privo di rischio � nel periodo [tn−1, tn], i tassi di crescita e decre-scita del sottostante u, d e la probabilita p. Tuttavia abbiamo gia notato (cfr.Osservazione 3.33) che il prezzo d’arbitraggio di un derivato non dipende da p:quindi rimangono da determinare �, u, d. Sottolineiamo il fatto che i parametridipendono da N poiche ovviamente i tassi di crescita e decrescita dipendonodall’ampiezza T

Ndi ogni periodo: tuttavia in questa sezione N e fisso e quindi

omettiamo di esplicitare tale dipendenza.Se ammettiamo che il tasso di interesse privo di rischio, composto annuale

r sia noto, ricaviamo facilmente � dalla relazione

1 + � = erTN . (3.63)


Definiamo il tasso di rendimento (annuale) μ del titolo rischioso ponendo

ST = S0eμT , (3.64)

o equivalentemente

μT = logSTS0

.

E evidente che μ e una variabile aleatoria che gioca un ruolo analogo al tassodi interesse nella formula di capitalizzazione composta. In base alla (3.26) siha

logSTS0=

N∑n=1

log ξn,

e quindi, essendo le variabili aleatorie ξn identicamente distribuite, si ha laseguente formula che definisce il tasso di rendimento atteso m:

mT := E [μ]T = NE [log ξ1] = N (p logu+ (1− p) log d) . (3.65)

Analogamente la volatilita σ e definita dalla seguente uguaglianza:

σ2T := var

(log

ST

S0

)= var

(N∑n=1

log ξn

)=

(per l’indipendenza delle variabili aleatorie ξn)

= N var (log ξ1) =

(ricordando l’Esercizio 2.39)

= Np(1− p)(log

u

d

)2. (3.66)

In altri termini, il rendimento atteso e la volatilita sono rispettivamente ilvalore atteso e la deviazione standard del tasso di rendimento annuale. Lavolatilita rappresenta uno dei piu diffusi e noti stimatori della rischiosita deltitolo sottostante. Nella pratica i valori di m e σ possono essere considera-ti osservabili nel mercato reale. Per esempio, a partire da una serie storicadi quotazioni S0 , . . . , SN in un periodo di ampiezza T possiamo ottenere laseguente elementare stima dei valori di m e σ:

mT

N 1

N

N∑n=1

logSn

Sn−1,

σ2T

N 1

N − 1

N∑n=1

(log

Sn

Sn−1−m

T

N

)2

.


Supponiamo dunque che m e σ siano noti e cerchiamo di ricavare il valoredi u e d. Dalle equazioni (3.65)-(3.66) e posto δ = T

N, ricaviamo il sistema{

mδ = (p log u+ (1− p) logd) ,

σ2δ = p(1− p)(log u

d

)2.

(3.67)

Poiche abbiamo un sistema di due equazioni in tre incognite (u, d e p) enecessario imporre a priori un’ulteriore condizione. Le scelte adottate piucomunemente in letteratura sono due: p = 1

2 oppure

ud = 1. (3.68)

Imponendo la condizione p = 12il sistema (3.67) diventa{ud = e2δm,ud= e2σ

√δ,

e ha soluzioneu = eσ

√δ+mδ , d = e−σ

√δ+mδ . (3.69)

Imponendo la condizione11 (3.68) si ha d < 1 < u e il sistema (3.67) diventa{2p = 1 + mδ

log u ,

σ2δ = 4p(p− 1) (log u)2 ,

e ha soluzione

u = eσ√δ

√1+δ(mσ )

2

, d = e−σ√δ

√1+δ(mσ )

2

. (3.70)

In entrambi i casi (3.69) e (3.70), risulta12

u = eσ√δ+o(

√δ) = 1 + σ

√δ + o(

√δ),

d = e−σ√δ+o(

√δ) = 1− σ

√δ + o(

√δ),

per δ → 0; in altri termini, u−1√δe 1−d√

δapprossimano il valore σ della volati-

lita o rischiosita del titolo. Per semplicita, nell’implementazione del modellobinomiale e molto comune la scelta

u = eσ√δ, d = e−σ

√δ . (3.71)

11 Notiamo che se vale la condizione (3.68) allora

undnS0 = S0

ossia il prezzo si muove intorno al proprio valore iniziale.12 Ricordiamo che la funzione f e un “o piccolo” della funzione g per x → x0 (in

simboli f(x) = o(g(x))) se esiste una funzione w tale che f = gw e

limx→x0

w(x) = 0.


Osservazione 3.37. Assumendo la (3.71) e ricordando che δ = TN , per i valori

massimo e minimo del prezzo finale del sottostante, si ha

S(max)N = uNS0 = eσ

√NTS0 −−−−→

N→∞+∞,

S(min)N = dNS0 = e−σ

√NTS0 −−−−→

N→∞0,

e quindi, all’aumentare di N , l’intervallo dei valori finali di S si allarga fino adiventare tutto R+.La condizione di non-arbitraggio d < 1 + � < u diventa

e−σ√δ < erδ < eσ

√δ

ovvero−σ√N < r

√T < σ

√N.

Dunque per ogni scelta di σ, r (positivi) tale condizione e verificata a pattoche N sia abbastanza grande: in tal caso, per la (3.71) la misura martingalarisulta definita da

q =1 + �− d

u− d=

eδ − e−σ√δ

eσ√δ − e−σ

√δ=1

2+1

2σ

(r − σ2

2

)√δ + o(

√δ)

per δ → 0. 2

Esempio 3.38. Assumiamo i seguenti dati di mercato: tasso di interesse r = 5%e volatilita σ = 30%. Consideriamo un modello binomiale con 10 periodi perun’opzione con scadenza a 6 mesi: N = 10 e T = 1

2 . Per la (3.63) si ha

� = e5100

12

110 − 1 ≈ 0.0025.

Analogamente, per la (3.71), si ha

u ≈ e30100

1√20 ≈ 1.0693.

2

3.2.6 Modello binomiale e formula di Black&Scholes

Abbiamo visto che il modello binomiale, fissando il numero dei periodi N ,

permette di determinare il prezzo iniziale d’arbitraggio H(N)0 di un dato de-

rivato X. E lecito chiedersi se il modello binomiale sia stabile nel senso cheaumentando il numero di passi il prezzo H

(N)0 converge ad un certo valore e

quindi non diverge oppure oscilla attorno a piu di un valore13.In questa sezione proviamo che il modello binomiale e stabile e appros-

sima, in senso opportuno, il classico modello di Black&Scholes al tendere di

13 Cio avanzerebbe il dubbio di una inconsistenza del modello.


Fig. 3.5. Convergenza del prezzo di una Put Europea ed Americana nel modellobinomiale al prezzo corrispondente di Black&Scholes al tendere di N all’infinito

N all’infinito. Nel seguito il numero di periodi N ∈ N e variabile e quindie opportuno segnalare esplicitamente la dipendenza da N dei parametri delmodello: pertanto indichiamo con �N , uN , dN i tassi di rendimento, con ξNkle variabili aleatorie in (3.26) per k = 1, . . . , N e con qN , QN la probabilitamartingala. Fissato l’intervallo temporale [0, T ], poniamo

δN =T

N,

cosicche, per la (3.63), si ha

1 + �N = erδN . (3.72)

Assumiamo inoltre uN e dN nella forma seguente:

uN = eσ√δN+αδN , dN = e−σ

√δN+βδN , (3.73)

dove α, β sono costanti reali. Tale scelta e conforme a quanto visto nellaprecedente sezione, infatti imponendo una delle condizioni p = 1

2o ud = 1 si

ottengono parametri della forma (3.73). Inoltre la scelta piu semplice (3.71)corrisponde a α = β = 0.Osserviamo anzitutto che il comportamento asintotico della misura mar-

tingala e indipendente da α, β. Vale infatti il seguente

Lemma 3.39. Se valgono le (3.72)-(3.73) si ha

limN→∞

qN =1

2. (3.74)


Dimostrazione. Per definizione

qN =erδN − e−σ

√δN+βδN

eσ√δN+αδN − e−σ

√δN+βδN

. (3.75)

Dunque, sviluppando in serie di Taylor gli esponenziali nell’espressione (3.75)di qN , otteniamo

2qN − 1 =2erδN − eσ

√δN+αδN − e−σ

√δN+βδN

eσ√δN+αδN − e−σ

√δN+βδN

=

(r − σ2

2 −α+β2

)δN + o(δN )

σ√δN(1 + o(1))

, per N →∞,

(3.76)

da cui la tesi. 2

Ora consideriamo un’opzione Put Europea con strike K e scadenza T : in

base alla formula (3.40), il prezzo P(N)0 dell’opzione nel modello binomiale

N -esimo e dato da

P(N)0 = e−rTEQN

[(K − S0

N∏k=1

ξ(N)k

)+]= e−rTEQN

[(K − S0e

XN)+]

,

(3.77)dove abbiamo posto

XN = log

N∏k=1

ξ(N)k =

N∑k=1

Y(N)k , (3.78)

essendoY

(N)k = log ξ

(N)k , k = 1, . . . , N,

variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite14. Inoltre vale

QN

(Y

(N)k = σ

√δN + αδN

)= qN ,

QN

(Y

(N)k = −σ

√δN + βδN

)= 1− qN .

(3.79)

Osserviamo che possiamo riscrivere la (3.77) nel modo seguente

P(N)0 = EQN [ϕ(XN )] ,

doveϕ(x) = e−rT (K − S0e

x)+ (3.80)

e una funzione continua e limitata su R, ϕ ∈ Cb(R). Il seguente risultatofornisce i valori asintotici di media e varianza di XN .

14 Per la Proposizione 3.31, le variabili aleatorie ξ(N)k sono indipendenti anche nella

misura martingala.


Lemma 3.40. Vale:

limN→∞

EQN [XN ] =

(r − σ2

2

)T, (3.81)

limN→∞

varQN (XN ) = σ2T. (3.82)

Prima di provare il lemma facciamo qualche commento. Per il Teorema dellimite centrale15 XN converge in distribuzione ad una variabile aleatoria Xdistribuita normalmente e quindi, per le (3.81)-(3.82), si ha

X ∼ N(r− σ2

2

)T,σ2T

. (3.83)

Poiche la funzione ϕ e continua e limitata, deduciamo16 che vale

limN→∞

P(N)0 = lim

N→∞EQN [ϕ(XN )] = E [ϕ(X)] . (3.84)

Poiche X ha distribuzione normale, l’attesa E [ϕ(X)] e esplicitamente calco-labile e, come vedremo, corrisponde alla classica formula di Black&Scholes.

Dimostrazione (del Lemma 3.40). Per provare la (3.81), calcoliamo

EQN

[Y

(N)1

]= qN

(σ√δN + αδN

)+ (1− qN)

(−σ

√δN + βδN

)= (2qN − 1)σ

√δN + δN (αqN + β (1− qN)) =

(per la (3.76) e la (3.74))

=

(r − σ2

2 −α+β2

)δN + o (δN )

1 + o(1)+ δN

(α+ β

2+ o(1)

)=

(r − σ2

2

)δN + o (δN ) , per N → ∞. (3.85)

Allora si ha, ricordando che δN =TN,

EQN [XN ] = NEQN

[Y(N)1

]=

(r − σ2

2

)T + o (1) , per N →∞,

da cui la (3.81).Proviamo ora la (3.82) utilizzando l’identita

varQN (XN ) = NvarQN (Y ) = N(EQN

[Y 2

]− EQN [Y ]

2)

(3.86)

15 Si veda il Lemma 3.41 per la prova rigorosa di questa affermazione.16 Per la (A.27): questo e il motivo per cui abbiamo considerato un’opzione Put

invece di una Call. La formula di Put-Call parity (cfr. Corollario 1.1) permettepoi di ricavare il prezzo dell’opzione Call: si veda anche l’Osservazione 3.45.


dove abbiamo posto Y ≡ Y(N)1 . Per la (2.24) dell’Esercizio 2.39 abbiamo

EQN[Y 2

]= (loguN + log dN)E

QN [Y ]− loguN log dN= δN (α+ β)EQN [Y ]−

(σ√δN + αδN

)(−σ

√δN + βδN

)= σ2δN + o (δN ) , per N →∞,

(3.87)

e dunque la tesi segue immediatamente sostituendo nella (3.86), tenendo ancheconto del fatto che

EQN [Y ]2= o(δN ) , per N →∞.

2

Lemma 3.41. La successione di variabile aleatorie (XN) definita in (3.78)converge in distribuzione ad una variabile X distribuita normalmente secondola (3.83).

Dimostrazione. Questo risultato e una variante del Teorema A.48 del limitecentrale: grazie al Teorema di Levy, e sufficiente verificare che la successione(ϕXN ) delle funzioni caratteristiche converge puntualmente. Si ha:

ϕXN (η) = EQN[eiηXN

]=

(poiche le variabili aleatorie Y(N)k sono i.i.d. e ponendo Y ≡ Y

(N)1 )

=(EQN

[eiηY

])N=

(per il Lemma A.44, applicando la formula (A.28) con ξ = η√δN e p = 2)

=

(1 + iηEQN [Y ]− η2

2EQN

[Y 2

]+ o(δN )

)Nper N →∞. (3.88)

Ora ricordiamo le formule (3.85) e (3.87):

EQN [Y ] =

(r − σ2

2

)δN + o (δN ) ,

EQN[Y 2

]= σ2δN + o(δN ) ,

per N →∞. Sostituendo tali formule nella (3.88), otteniamo

ϕXN (η) =

(1 +

1

N

(−iηT

(r − σ2

2

)− η2

σ2T

2+ o (1)

))Nper N →∞,

da cui


limN→∞

ϕXN (η) = exp

(−iηT

(r − σ2

2

)− η2

σ2T

2

), ∀η ∈ R.

Allora, per il Teorema di Levy, abbiamo XNd−−→ X dove X e una variabile

aleatoria con funzione caratteristica

ϕX(η) = exp

(−iηT

(r − σ2

2

)− η2

σ2T

2

),

e quindi, per il Teorema 2.87, X ha distribuzione normale e valgono le (3.83)-(3.84).

In definitiva, raccogliendo i risultati dei precedenti lemmi, abbiamo provatoil seguente

Teorema 3.42. Sia PN0 il prezzo di un’opzione Put Europea con strike K escadenza T nel modello binomiale con N periodi e con parametri


√δN+βδN ,

dove α, β sono costanti reali. Allora esiste

limN→∞

PN0 ≡ P0

e valeP0 = e−rTE

[(K − S0e

X)+]

(3.89)

dove X e una variabile aleatoria con distribuzione normale

X ∼ N(r− σ2

2

)T,σ2T

. (3.90)

Definizione 3.43. P0 e detto prezzo di Black&Scholes di un’opzione PutEuropea con strike K e scadenza T .

Una delle ragioni per cui il modello di Black&Scholes e famoso e il fatto che iprezzi delle opzioni Put e Call Europee hanno un’espressione in forma chiusa.

Corollario 3.44 (Formula di Black&Scholes). Vale la seguente formuladi Black&Scholes:

P0 = Ke−rTΦ(−d2) − S0Φ(−d1), (3.91)

dove Φ indica la funzione di distribuzione normale standard (cfr. (2.19)) e

d1 =log

(S0K

)+

(r + σ2

2

)T

σ√T

,

d2 = d1 − σ√T =

log(S0K

)+

(r − σ2

2

)T

σ√T

.

(3.92)


Dimostrazione. In base alla (3.89), dobbiamo provare che

e−rTE[(K − S0e

X)+]

= Ke−rTΦ(−d2)− S0Φ(−d1), (3.93)

dove X ha la distribuzione normale in (3.90). Ora (cfr. Osservazione 2.35)

X =

(r − σ2

2

)T + σ

√TZ

con Z ∼ N0,1, e un semplice conto mostra che

ST = S0eX < K ⇐⇒ Z < −d2. (3.94)

Si ha

E[(K − S0e

X)+]

= KE[1{ST<K}

]−E

[ST1{ST<K}

]≡ I1 + I2,

e per la (3.94), vale

I1 = KE[1{Z<−d2}

]= KΦ(−d2).

D’altra parte si ha

I2 = erTS0E[e−

σ2T2 +σ

√TZ1{Z<−d2}

]= erTS0

∫ −d2

−∞

1√2π

e−σ2T2 +σ

√Tx− x2

2 dx =

(col cambio di variabile y = x− σ√T )

= erTS0

∫ −d2−σ√T

−∞

e−y2

2

√2π

dy,

e questo conclude la prova della (3.93). 2

Osservazione 3.45 (Formula di Black&Scholes). In base alla formula diPut-Call parity, definiamo il prezzo di Black&Scholes C0 di un’opzione CallEuropea con strike K e scadenza T nel modo seguente:

C0 := P0 + S0 −Ke−rT .

Utilizzando la (2.20), un semplice conto mostra che vale la seguente formuladi Black&Scholes:

C0 = S0Φ(d1)−Ke−rTΦ(d2), (3.95)

dove d1, d2 sono definiti in (3.92) e Φ indica la funzione di distribuzionenormale standard. 2


3.2.7 Equazione differenziale di Black&Scholes

Proviamo ora un risultato di consistenza del modello binomiale col modellodi Black&Scholes. Abbiamo visto che al tendere di N all’infinito, il prezzobinomiale tende al prezzo di Black&Scholes: proviamo ora che e possibile in-terpretare lo schema di valutazione (3.55)-(3.56) del modello binomiale comeuna versione discreta del problema di Cauchy per un’equazione differenzialeparabolica, detta equazione di Black&Scholes. Nel Capitolo 7 presenteremol’analisi di Black&Scholes che, con strumenti di calcolo differenziale stocasti-co, permette di ottenere direttamente il prezzo di un derivato in termini disoluzione dell’equazione di Black&Scholes.Nel resto della sezione utilizziamo l’usuale notazione δ = T

N e assumiamole seguenti espressioni per i parametri del modello binomiale (cfr. (3.71)):

u = eσ√δ = 1 + σ

√δ +

σ2

2δ + o(δ),

d = e−σ√δ = 1− σ

√δ +

σ2

2δ + o(δ),

1 + � = erδ = 1 + rδ + o(δ),

(3.96)

per δ → 0, da cui segue anche che

q =1 + �− d

u− d=1

2+1

2σ

(r − σ2

2

)√δ + o(

√δ) (3.97)

per δ → 0.Data una funzione f = f(t, S) definita su [0, T ]×R+ (qui f gioca il ruolo

del prezzo d’arbitraggio di un derivato sul sottostante S) ricordiamo la formuladi valutazione (3.56) che con le attuali notazioni assume la forma seguente:

f(t, S) =1

1 + �(qf(t + δ, uS) + (1− q)f(t + δ, dS)) . (3.98)

Posto

f = f(t, S), fu = f(t + δ, uS), fd = f(t + δ, dS),

e definito l’operatore discreto

Jδf(t, S) = −(1 + �)f + qfu + (1− q)fd (3.99)

la (3.98) e equivalente aJδf(t, S) = 0.

Proposizione 3.46. Per ogni f ∈ C1,2([0, T ]×R+) vale

limδ→0+

Jδf(t, S)

δ= LBSf(t, S),


per ogni (t, S) ∈ ]0, T [×R+, dove

LBSf(t, S) := ∂tf(t, S) +σ2S2

2∂SSf(t, S) + rS∂Sf(t, S) − rf(t, S) (3.100)

e detto operatore differenziale di Black&Scholes.

Dimostrazione. Sviluppando in serie di Taylor al second’ordine la funzione fotteniamo17

fu − f = ∂tfδ + ∂SfS(u − 1) +1

2∂SSfS

2(u− 1)2 + o(δ) + o((u − 1)2) =

(per la (3.96), sostituendo l’espressione di u in termini di δ e ordinando secondole potenze crescenti di

√δ)

= σS∂Sf√δ + Lfδ + o(δ), δ → 0, (3.101)

dove

Lf = ∂tf +σ2

2S∂Sf +

σ2S2

2∂SSf,

e analogamente

fd − f = −σS∂Sf√δ + Lfδ + o(δ), δ → 0. (3.102)

Allora si ha

Jδf(t, S) = −(1 + �)f + qfu + (1− q)fd

= −rδf + q(fu − f − (fd − f)) + (fd − f) + o(δ) =

(sostituendo le espressioni (3.101) e (3.102))

= −δrf + δLf +√δ(2q − 1)σS∂Sf + o(δ) =

(per la (3.97))

= −δrf + δLf +√δ

((r − σ2

2

)√δ + o(

√δ)

)σS∂Sf + o(δ)

= δLBSf + o(δ),

per δ → 0 e questo conclude la dimostrazione. 2

In base alla proposizione precedente, l’equazione differenziale

LBSf(t, S) = 0, (t, S) ∈ ]0, T [×R+, (3.103)

17 Nel seguito della dimostrazione omettiamo sistematicamente l’argomento (t, S)delle funzioni.


e la versione asintotica della formula di valutazione (3.56). Inoltre la (3.55)corrisponde alla condizione finale

f(T, S) = F (S), S ∈ R+. (3.104)

La coppia di equazioni (3.103)-(3.104) costituisce un problema di Cauchy che,come gia anticipato, ritroveremo nel Capitolo 7 utilizzando gli strumenti dicalcolo stocastico a tempo continuo.Il problema (3.103)-(3.104) con dato finale, e un problema retrogrado del

tipo esaminato nella Sezione 2.3.5: l’operatore differenziale in (3.103) e deltipo �+ ∂t, aggiunto dell’operatore del calore �− ∂t. Col cambio di variabili

f(t, S) = u(T − t, logS)

ovvero ponendo τ = T−t e x = logS, il problema (3.103)-(3.104) e la versionediscreta del seguente problema di Cauchy parabolico a coefficienti costanti (cfr.Paragrafo 2.3):{

σ2

2∂xxu+

(r − σ2

2

)∂xu− ru− ∂τu = 0, (t, x) ∈ ]0, T [×R,

u(0, x) = F (ex), x ∈ R.

In base al Teorema 2.68, se il payoff x �→ F (ex) e una funzione che noncresce troppo rapidamente, possiamo esprimere la soluzione u in termini dellasoluzione fondamentale Γ dell’equazione differenziale:

u(τ, x) =

∫R

Γ (x− y, τ )F (ey)dy, τ ∈ ]0, T [, x ∈ R,

dove Γ e nota esplicitamente in base alla (2.38).La formula precedente puo anche essere interpretata in termini di valore

atteso del payoff che e funzione di una variabile aleatoria con distribuzionenormale con densita Γ . Utilizzando l’espressione di Γ , con un conto direttopossiamo ritrovare le formule di Black&Scholes (3.91) e (3.95) per il prezzo diopzioni Put e Call Europee.A posteriori, l’algoritmo binomiale puo essere anche interpretato come

uno schema di risoluzione numerica di un problema di Cauchy parabolico. Ineffetti, la Proposizione 3.46 contiene implicitamente il fatto che l’algoritmobinomiale e equivalente ad uno schema alle differenze finite esplicito di cuiparleremo nel Capitolo 12.

Nel recente articolo [85], Lishang e Dai estendono al caso di derivati path-dependent Europei e Americani i risultati di approssimazione del modellobinomiale al caso continuo di Black&Scholes e provano che il modello bino-miale e equivalente ad uno schema alle differenze finite per l’equazione diBlack&Scholes.


3.3 Modello trinomiale

Lo scopo di questo paragrafo e di illustrare un semplice esempio di mercato in-completo. Consideriamo un mercato trinomiale ossia un mercato formalmenteanalogo a quello binomiale tranne che per il fatto che assumiamo

ξn ∼ p1δu + p2δm + p3δd, n = 1, . . . , N

al posto della (3.27). Dunque in un mercato trinomiale il titolo rischioso hatre possibili movimenti in ogni istante di contrattazione. E naturale assumerele seguenti relazioni:

d < m < u, p1, p2, p3 ∈ ]0, 1[, p1 + p2 + p3 = 1.

Inoltre un ragionamento analogo a quello fatto nel modello binomiale mostrache l’assenza di arbitraggi implica la condizione

d < 1 + � < u, (3.105)

che nel seguito e assunta come ipotesi.Intendiamo ora procedere come nella Sezione 3.2.2 per determinare una mi-

sura martingalaQ. In particolare dalla condizione (3.34), otteniamo il seguentesistema di equazioni lineari che deve essere risolto dai parametri q1, q2, q3 chedefiniscono Q: {

uq1 +mq2 + dq3 = 1 + �

q1 + q2 + q3 = 1.(3.106)

Poiche (3.106) e un sistema lineare di due equazioni in tre incognite, essoha in generale piu di una soluzione: di conseguenza nel modello trinomiale lamisura martingala non e unica. Inoltre come conseguenza del Teorema 3.21,il mercato non e completo. Nel resto del paragrafo intendiamo verificare inmodo diretto tali affermazioni.Anzitutto vale il seguente

Lemma 3.47. Il numero 1 + � e l’unico valore di m tale che, per ogni q2 ∈]0, 1[, il sistema (3.106) ammetta una soluzione (q1, q3) tale che 0 < q1, q3 < 1.

Dimostrazione. E un conto diretto: fissato q2 ricaviamo

q3 = 1− q1 − q2,

e sostituendo nella prima equazione del sistema (3.106) otteniamo

q1 =1 + �− d− q2(m− d)

u− d, q3 =

u− 1− �− q2(u−m)

u− d. (3.107)

Ora

q1 > 0 ⇐⇒ q2 <1 + �− d

m− d

e data l’arbitrarieta di q2 ∈ ]0, 1[, cio equivale a m ≤ 1 + �. Notiamo che la(3.105) ed il fatto chem > d implicano che q1 < 1. Analogamente riconosciamoche q3 < 1 equivale a m ≥ 1 + �. 2

3.3 Modello trinomiale 123

In base al lemma precedente, nel seguito assumiamo che m = 1 + �: inparticolare, per ogni fissato q2 ∈ ]0, 1[ la soluzione del sistema (3.106) e datada

q1 =m− d

u − d(1− q2), q3 =

u−m

u− d(1− q2); (3.108)

nel caso q2 = 0 ritroviamo il modello binomiale con q1 = q in (3.35).La dimostrazione del Teorema 3.30 puo essere riprodotta nel contesto del

modello trinomiale, provando il risultato seguente:

Proposizione 3.48. Nel modello trinomiale, se vale la relazione (3.105),allora ogni q2 ∈ ]0, 1[ definisce una misura martingala (con numeraire B)mediante

Q(ξn = u) = q1, Q(ξn = d) = q3, 1 ≤ n ≤ N,

con q1, q3 definiti in (3.108). Le variabili aleatorie ξ1, . . . , ξN sono indipendentiin tale misura.

Dunque il mercato trinomiale e libero da arbitraggi ed esiste (non unica!)una misura martingala; in particolare se un derivato e replicabile allora edeterminato univocamente il prezzo d’arbitraggio in base al Teorema 3.19.Tuttavia non tutti i derivati sono replicabili: il resto della sezione e dedicatoalla verifica diretta del fatto che il mercato trinomiale e incompleto.Procediamo come nella Sezione 3.2.3: per semplicita, consideriamo il caso

di un periodo N = 1 e sia S0 = 1. Dato un derivato X = F (S1), la condizionedi replica (3.41) diventa

α1S1 + b1 = F (S1),

equivalente al seguente sistema lineare nelle incognite α1, b1:⎧⎪⎨⎪⎩α1u+ b1 = F (u)

α1m+ b1 = F (m)

α1d+ b1 = F (d).

(3.109)

E interessante notare che la matrice associata al sistema (3.109)⎛⎝u 1m 1d 1

⎞⎠e la trasposta della matrice associata al sistema (3.106): si intuisce quin-di la relazione di dualita fra il problema della completezza e dell’assenza diarbitraggio. Nel modello binomiale, un ruolo analogo e giocato dalla matrice(

u 1d 1

)


che, essendo quadrata e di rango massimo, garantisce completezza e assenzad’arbitraggi.E ben noto dall’algebra lineare che il sistema (3.109) ammette soluzione

solo se la matrice completa ⎛⎝u 1 F (u)m 1 F (m)d 1 F (d)

⎞⎠non ha rango massimo. Imponendo, per esempio, che la seconda riga siacombinazione lineare (con coefficienti λ, μ) della prima e della terza, otteniamo⎧⎪⎨⎪⎩

m = λu+ μd

1 = λ + μ

F (m) = λF (u) + μF (d),

da cui

μ =u−m

u− d, λ =

m− d

u − d,

e possiamo scrivere finalmente la condizione che un derivato deve verificareper poter essere replicato:

F (m) =m− d

u − dF (u) +

u−m

u− dF (d). (3.110)

Assumere la condizione (3.110) equivale a dire che la seconda equazione delsistema (3.109) e superflua e puo essere tralasciata. In tal caso il sistema puoessere risolto e si riconosce essere equivalente all’analogo sistema nel modellobinomiale la cui soluzione e data dalla (3.43): in questo caso otteniamo

α1 =F (u)− F (d)

u− d, b1 =

uF (d)− dF (u)

u− d. (3.111)

Per la condizione di autofinanziamento, il prezzo H0 del derivato e dunquedato da

H0 = α1S0 +b1m=(u−m)F (d) + (m− d)F (u)

m(u − d),

ed ovviamente non dipende dalla misura martingala fissata. D’altra parte conun semplice conto, verifichiamo che

H0 =1

mEQ [X] =

1

m(q1F (u) + q2F (m) + q3F (d)) ,

dove Q e una qualsiasi misura martingala. I derivati che non soddisfano lacondizione (3.110) non possono essere replicati, mostrando che il mercatotrinomiale e incompleto.


Riassumendo, l’idea di fondo e la seguente: “troppa aleatorieta” impli-ca l’incompletezza del mercato e viceversa, come vedremo in seguito, “pocaaleatorieta” implica la possibilita di arbitraggi18.

3.3.1 Valutazione in un mercato incompleto

L’incompletezza del mercato trinomiale e dovuta al fatto che un solo sotto-stante e insufficiente per poter costruire un portafoglio che replichi un as-segnato derivato: questo fatto si traduce nella non risolubilita del sistema(3.109). Possiamo allora supporre che sul mercato sia contrattato un altro ti-tolo (per esempio, un derivato sullo stesso sottostante) per cercare di costruireun portafoglio replicante. Per fissare le idee, la situazione tipica e quella in cuivogliamo prezzare (e coprire l’esposizione su) un derivato esotico su un datosottostante, sfruttando il fatto che sul mercato e possibile comprare e vendereun’opzione plain vanilla (per es. una Call Europea) sullo stesso sottostante.Questa procedura e detta “completamento del mercato”.Dunque introduciamo nel mercato trinomiale un secondo titolo S con S0 =

1 e la seguente dinamica

S1 ∼ p1δu + p3δm + p3δd.

Nelle ipotesi della sezione precedente, dato un derivato X = F (S1, S1), lacondizione di replica diventa

α1S1 + α1S1 + b1 = F (S1, S1),

equivalente al seguente sistema lineare nelle incognite α1, α1, b1:⎧⎪⎨⎪⎩α1u+ α1u+ b1 = F (u, u)

α1m+ α1m+ b1 = F (m, m)

α1d+ α1d+ b1 = F (d, d).

(3.112)

La matrice associata al sistema ⎛⎝u u 1m m 1d d 1

⎞⎠ (3.113)

ha rango massimo se i vettori (u,m, d) e (u, m, d) non sono proporzionali o inaltri termini se S, S sono effettivamente titoli diversi (e uno non e multiplodell’altro). In tal caso (3.112) determina in modo unico la strategia replicantee possiamo concludere che il mercato e completo.

18 Tanto per fissare le idee: in un mercato in cui ci sono due titoli diversi, entrambinon rischiosi, e possibile fare un arbitraggio vendendo quello con rendimentoinferiore e comprando quello con rendimento superiore.


In modo analogo, esiste ed e unica la misura martingala Q con numeraireB: essa e determinata dalla soluzione del sistema lineare (analogo a (3.106))la cui matrice associata e la trasposta di (3.113). Infine il prezzo d’arbitraggiodel derivato X e dato da

H0 = EQ[X],

e il portafoglio replicante, costruito con i titoli S e S, e la soluzione del sistema(3.112).

Osservazione 3.49. Con la procedura di completamento del mercato trinomia-le abbiamo definito il prezzo d’arbitraggioH0 di un generico derivatoX: notia-mo che tale prezzo dipende dal titolo S, nel senso che H0 e il prezzo assegnatoa X in modo da garantire una consistenza interna nel mercato completato edescludere possibilita di arbitraggio.Su questo argomento si basano le maggiori critiche a tale metodo. Esse si

riassumono in due punti:

i) occorre assumere come ipotesi l’esistenza di S;ii) i prezzi d’arbitraggio dipendono dalla particolare scelta di S.

D’altra parte, nella pratica, il completamento puo essere semplicemente con-siderato una calibrazione del modello (in cui il parametro aggiuntivo da cali-brare e il prezzo di S) al mercato reale e da questo punto di vista sembra unaprocedura ragionevole ed efficace. Inoltre il fatto che il completamento con unaltro titolo S dia un prezzo diverso per X, significa che nel mercato (S, S) cisono possibilita d’arbitraggio. 2

Discutiamo anche un approccio alternativo al problema della valutazionein un mercato incompleto. In un esempio tratto da [20] Cap.15, si considera uncontratto in cui il sottostante e la temperatura x del Palace Pier a Brighton.Il contratto paga una certa cifra, per esempio 100 Euro, se in una fissata datala temperatura e minore di 20 gradi: dunque il payoff del contratto e

F (x) =

{100 se x < 20,

0 se x ≥ 20.

In questo caso sembra piu lecito parlare di “assicurazione” piuttosto che di“derivato”: in effetti questo tipo di contratto e una vera e propria assicurazionecontro il fatto che ci sia brutto tempo proprio nel giorno in cui si intende fareuna gita a Brighton. Il sottostante del contratto e la temperatura di Brighton epoiche essa non e un titolo che possiamo comprare e vendere sul mercato, none possibile costruire un portafoglio di replica per il contratto, benche possiamocostruire un modello probabilistico per la dinamica della temperatura. Questosembra l’esempio piu semplice di mercato incompleto.

Ora consideriamo un mercato discreto libero da arbitraggi e fissiamo unamisura martingala Q. Se X e un derivato (non necessariamente replicabile) eα e una strategia predicibile e autofinanziante, la quantita


X − VN (α)

rappresenta l’errore di replicazione a scadenza della strategia α. Indicandocon X e V i valori scontati, possiamo assumere

RQ(α) = EQ[(X − VN (α)

)2](3.114)

come una misura del rischio di replicazione nella misura martingala Q. Orausiamo il fatto che V (α) e una Q-martingala e l’identita

E[Y 2

]= E [Y ]

2+ E

[(Y −E(Y ))

2],

con Y = X − VN (α), per riscrivere la (3.114) nel modo seguente:

RQ(α) =(EQ

[X

]− V0(α)

)2+EQ

[(X −E

[X

]−

(VN (α)− V0(α)

))2].

Ricordiamo (cfr. Osservazione 3.7) che VN (α)− V0(α) non dipende da V0(α),e dunque volendo minimizzare il rischio RQ e necessario porre

V0(α) = EQ[X

]. (3.115)

In altri termini ogni strategia che minimizzi il rischio RQ richiede un capita-

le iniziale normalizzato pari a EQ[X

]. Inoltre, per il Lemma 3.17, il prezzo

EQ[X

]per X non introduce possibilita d’arbitraggio. Dunque la seguente de-

finizione sembra coerente col Teorema 3.19 e con la nozione di prezzo neutraleal rischio data nella Sezione 1.2.1.

Definizione 3.50. Sia S =(S0, . . . , Sd

)un mercato libero da arbitraggi e sia

Q una misura martingala con numeraire S0. Il prezzo d’arbitraggio relativo aQ di un derivato X (non necessariamente replicabile) e definito da

HQn = EQ[X

S0n

S0N

| Fn], 0 ≤ n ≤ N. (3.116)

Osserviamo che, nel caso in cui X sia replicabile, per il Teorema 3.19 il prezzo(HQn ) e univocamente determinato ed e indipendente dalla misura martingalafissata.Concludiamo con un breve commento. La teoria classica della valutazio-

ne d’arbitraggio ha come punti cardine l’unicita del prezzo del derivato che eoggettivo, dipendente solo dalla quotazione dei sottostanti e non dalla stimasoggettiva della probabilita P (cfr. Sezione 1.2.3), e la copertura ovvero la neu-tralizzazione del rischio dell’esposizione sul derivato mediante l’investimentoin una strategia replicante. La definizione precedente solleva problemi propriosu questi due punti essenziali:


i) il prezzo d’arbitraggio non e unico poiche dipende dalla scelta della misuramartingala. Tale scelta puo essere fatta facendo intervenire una strutturadi preferenza degli agenti di mercato oppure in base a qualche criteriooggettivo (calibrazione ai dati di mercato);

ii) un derivato non e generalmente replicabile e occorre studiare possibili stra-tegie di copertura che limitino i rischi (sovra-copertura, minimizzazione delrischio nell’insieme delle misure martingale, etc).

Per l’affronto di tali tematiche, che esulano da questa trattazione elementare,rimandiamo a testi specifici fra cui, per esempio, le monografie di Follmer [59]e di Biagini, Frittelli e Scandolo [19].

3.4 Opzioni Americane

In questo paragrafo esaminiamo la valutazione e copertura dei derivati ditipo Americano. Per introdurre in ambito generale i concetti fondamentali,consideriamo un generico mercato discreto S = (S0, . . . , Sd) definito sullospazio (Ω,F , P, (Fn)). Ricordiamo che un derivato Americano e caratterizzatodalla possibilita di esercizio anticipato in un qualsiasi istante tn, 0 ≤ n ≤ N , divita del contratto. Per descrivere un derivato Americano e quindi necessariospecificare il premio (o payoff) Xn a cui il possessore ha il diritto nel casoeserciti nell’istante tn con n ≤ N . Per esempio, nel caso di una Call Americanacon titolo sottostante S e strike K, il payoff all’istante tn e pari a Xn =(Sn −K)+.

Definizione 3.51. Un derivato Americano e un processo stocastico discretoX = (Xn) non-negativo e adattato alla filtrazione (Fn).Per definizione, Xn e una variabile aleatoria non-negativa e Fn-misurabile: lacondizione di misurabilita descrive il fatto che il payoff Xn e noto al tempotn. Come nel caso Europeo, i derivati Americani si dividono in:

◦ path-independent, tali che, per ogni n, Xn e σ(Sn)-misurabile e quindiesiste una funzione misurabile Fn tale che Xn = Fn(Sn);

◦ path-dependent, tali che, per ogni n, Xn = Fn(S0, . . . , Sn) per una certafunzione misurabile Fn.

Poiche la scelta del momento migliore d’esercizio di un’opzione Americanadeve dipendere solo dalle informazioni disponibili al momento, la seguentedefinizione di strategia d’esercizio sembra naturale.

Definizione 3.52. Un tempo d’arresto

ν : Ω −→ {0, 1, . . . , N},

ossia una variabile aleatoria tale che

{ν = n} ∈ Fn, n = 0, . . . , N, (3.117)

3.4 Opzioni Americane 129

si dice strategia (o tempo) d’esercizio. Indichiamo con T0 l’insieme dellestrategie d’esercizio.

Intuitivamente, data una traiettoria ω ∈ Ω del mercato sottostante, il numeroν(ω) rappresenta l’istante in cui si decide di esercitare il derivato Americano.La condizione (3.117) significa semplicemente che la decisione di esercitare altempo n dipende da Fn, ossia dalle informazioni disponibili al tempo n.Nel resto del paragrafo assumiamo che il mercato S sia libero da arbi-

traggi e quindi esista almeno una misura martingala Q equivalente a P , connumeraire S0 : nel seguito S indica il mercato normalizzato e, piu in generale,

Wn =Wn

S0n

indica il prezzo normalizzato di un qualsiasi titolo W .

Definizione 3.53. Dati un derivato Americano X e un tempo d’esercizio ν ∈T0, la variabile aleatoria Xν definita da

(Xν) (ω) = Xν(ω)(ω), ω ∈ Ω,

e detta payoff di X relativo alla strategia ν. Un tempo d’esercizio ν0 si diceottimale in Q se

EQ[Xν0

]= supν∈T0

EQ[Xν

]. (3.118)

Osserviamo che la variabile aleatoria Xν puo essere interpretata come il payoff

scontato di un’opzione Europea: dunque EQ[Xν

]fornisce una valutazione

neutrale al rischio (dipendente dalla misura martingala Q) dell’opzione eser-citata secondo la strategia ν . Ad una strategia d’esercizio ottimale corrispondela valutazione maggiore fra tutte le strategie d’esercizio o, in altri termini, ilmaggior payoff atteso rispetto alla misura martingala fissata.

3.4.1 Prezzo d’arbitraggio

In questa sezione studiamo il problema della valutazione di un derivato Ame-ricano X. In un mercato completo e libero d’arbitraggi, il prezzo di un’opzioneEuropea con payoff XN e per definizione uguale al valore di una strategia re-plicante: in particolare, il prezzo scontato e una martingala nella misura Qneutrale al rischio. La valutazione di un’opzione Americana e un problemaun po’ piu complicato poiche e chiaro che non e possibile determinare unastrategia α, autofinanziante e predicibile, che replichi l’opzione nel senso cheVn(α) = Xn per ogni n = 0, . . . , N : cio e semplicemente dovuto al fatto che

V (α) e una Q-martingala mentre X e un generico processo adattato. D’altraparte e possibile sviluppare una teoria della valutazione d’arbitraggio di opzio-ni Americane, sostanzialmente analoga al caso Europeo, utilizzando i risultati


sui tempi d’arresto e le martingale e i teoremi di Doob presentati nelle Sezioni2.7 e 2.7.1.Cominciamo osservando che, in base ad argomenti di arbitraggio, e pos-

sibile stabilire dei limiti superiori e inferiori per il prezzo iniziale di X chenel seguito indichiamo con H0. Ricordando che A denota la famiglia dellestrategie autofinanzianti e predicibili, indichiamo con

A+X = {α ∈ A | Vn(α) ≥ Xn, n = 0, . . . , N},

la famiglia delle strategie inA che super-replicano X. In base all’Osservazione3.15, per evitare arbitraggi, il prezzo H0 deve essere minore o uguale del valoreiniziale V0(α) per ogni α ∈ A+

X e quindi

H0 ≤ infα∈A+

X

V0(α).

D’altra parte, poniamo

A−X = {α ∈ A | esiste ν ∈ T0 t.c. Xν ≥ Vν(α)}.

Intuitivamente, un elemento α di A−X rappresenta una strategia su cui assume-re una posizione corta per ottenere soldi da investire nell’opzione Americana.In altri termini, V0(α) rappresenta l’ammontare che si puo inizialmente pren-dere a prestito per comprare l’opzione X, sapendo che esiste una strategiad’esercizio ν che frutta un payoff Xν maggiore o uguale a Vν(α), corrispon-dente alla cifra necessaria a chiudere la strategia α. Il prezzo iniziale H0 diX deve necessariamente essere maggiore o uguale a V0(α) per ogni α ∈ A−X :in caso contrario si potrebbe facilmente costruire una strategia d’arbitraggio.Allora si ha

supα∈A−X

V0(α) ≤ H0.

Abbiamo dunque determinato un intervallo a cui il prezzo iniziale H0 deveappartenere per evitare di introdurre opportunita d’arbitraggio. Mostriamoora che la valutazione neutrale al rischio relativa ad una strategia ottimaled’esercizio rispetta tali condizioni.

Proposizione 3.54. Per ogni misura martingala Q, vale

supα∈A−X

V0(α) ≤ supν∈T0

EQ[Xν

]≤ infα∈A+

X

V0(α). (3.119)

Dimostrazione. Se α ∈ A−X , esiste ν0 ∈ T0 tale che Vν0(α) ≤ Xν0 . Inoltre

V (α) e una Q-martingala e dunque per il Teorema 2.122 (optional sampling)si ha

V0(α) = EQ[Vν0(α)

]≤ EQ

[Xν0

]≤ supν∈T0

EQ[Xν

],

da cui si ottiene la prima disuguaglianza in (3.119), data l’arbitrarieta diα ∈ A−X .


D’altra parte, se α ∈ A+X allora, nuovamente per il Teorema 2.122, per

ogni ν ∈ T0 si haV0(α) = EQ

[Vν(α)

]≥ EQ

[Xν

],

da cui si ottiene la seconda disuguaglianza in (3.119), data l’arbitrarieta diα ∈ A+

X e ν ∈ T0. 2

Sotto l’ipotesi che il mercato sia libero d’arbitraggi e completo19, il seguen-te teorema permette di definire in modo unico il prezzo iniziale d’arbitraggiodi un derivato Americano X.

Teorema 3.55. Assumiamo che esista e sia unica la misura martingala Q.Allora esiste α ∈ A+

X ∩ A−X e quindi vale:

i) Vn(α) ≥ Xn, n = 0, . . . , N ;ii) esiste ν0 ∈ T0 tale che Vν0(α) = Xν0 .

Di conseguenza

V0(α) = supν∈T0

EQ[Xν

]= EQ

[Xν0

], (3.120)

definisce in modo unico il prezzo iniziale (scontato) d’arbitraggio di X.

Dimostrazione. La dimostrazione e costruttiva e consiste di tre passi princi-pali:

1) costruiamo la piu piccola super-martingala H maggiore di X , usualmente

chiamata inviluppo di Snell del processo X;2) usiamo il Teorema di decomposizione di Doob per isolare la parte mar-

tingala del processo H e con essa determiniamo la strategia α ∈ A+X ∩

A−X ;3) concludiamo provando che H0 = V0(α) e vale la (3.120).

Primo passo: definiamo iterativamente il processo stocastico H ponendo

Hn =

{XN , n = N,

max{Xn, E

Q[Hn+1 | Fn

]}, n = 0, . . . , N − 1. (3.121)

In seguito riconosceremo che il processo H definisce il prezzo d’arbitraggio(scontato) di X (cfr. Definizione 3.58). In effetti, la definizione precedenteprende spunto da una nozione intuitiva di prezzo: infatti l’opzione X valeHN = XN a scadenza e al tempo N − 1 vale◦ XN−1 nel caso si decida di esercitarla;◦ il prezzo di un derivato Europeo con payoff HN e scadenza N , nel caso sidecida di non esercitarla.

19 Per chiarezza: stiamo assumendo che ogni derivato Europeo sia replicabile,secondo la Definizione 3.20.


Coerentemente col prezzo d’arbitraggio di un’opzione Europea (3.19), sembradunque ragionevole definire

HN−1 = max

{XN−1, E

Q

[HN

S0N−1S0N

| FN−1]}

.

Ripetendo tale argomento a ritroso, otteniamo la definizione (3.121).

Chiaramente H e un processo stocastico adattato e non-negativo; inoltre,per ogni n, vale

Hn ≥ EQ[Hn+1 | Fn

], (3.122)

ossia H e una Q-super-martingala. Cio significa che H che “decresce in media”(cfr. Sezione 2.7): intuitivamente questo corrisponde al fatto che avanzandonel tempo diminuisce il vantaggio della possibilita di esercizio anticipato. Piuin generale, dalla (3.122) segue anche

Hk ≥ EQ[Hn | Fk

], 0 ≤ k ≤ n ≤ N.

Notiamo che H e la piu piccola super-martingala che domina X: infatti se Me una super-martingala tale che Mn ≥ Xn allora

Mn ≥ max{Xn, EQ [Mn+1 | Fn]}

per ogni n. PoicheMN ≥ XN = HN ,

la tesi segue per induzione. Ricordiamo che, nella teoria della probabilita, lapiu piccola super-martingala H che domina un generico processo adattato Xe usualmente chiamata inviluppo di Snell di X ed in generale definita dallaequazione (3.121).

Secondo passo: proviamo ora che esiste α ∈ A+X ∩ A−X . Poiche H e una

Q-super-martingala, possiamo applicare il Teorema 2.113 di decomposizionedi Doob per scrivere

H =M +A

dove M e una Q-martingala tale che M0 = H0 e A e un processo predicibilee decrescente con valore iniziale nullo.Per ipotesi il mercato e completo e quindi esiste una strategia α ∈ A che

replica il derivato Europeo MN . Inoltre, poiche V (α) e M sono martingalecon lo stesso valore finale, esse coincidono:

Vn(α) = EQ[VN (α) | Fn

]= EQ [MN | Fn] =Mn, (3.123)

per 0 ≤ n ≤ N . Di conseguenza α ∈ A+X infatti, essendo An ≤ 0, si ha

Vn(α) =Mn ≥ Hn ≥ Xn, 0 ≤ n ≤ N.


Osserviamo anche cheV0(α) =M0 = H0;

quindi α e una strategia di copertura per X che ha un costo iniziale pari alprezzo dell’opzione.Per verificare che α ∈ A−X , poniamo:

ν0(ω) = min{n | Hn(ω) = Xn(ω)}, ω ∈ Ω. (3.124)

Poiche

{ν0 = n} = {H0 > X0} ∩ · · · ∩ {Hn−1 > Xn−1} ∩ {Hn = Xn} ∈ Fnper ogni n, allora ν0 e una strategia di esercizio. Inoltre ν0 e il primo istante

in cui Xn ≥ EQ[Hn+1 | Fn

]e quindi intuitivamente rappresenta il primo

tempo in cui “conviene” esercitare l’opzione.Ricordiamo dal Teorema di decomposizione di Doob che, per n = 1, . . . , N ,

vale

Mn =Mn−1 + Hn −EQ[Hn | Fn−1

]= Hn +

n−1∑k=0

(Hk −EQ

[Hk+1 | Fk

]), (3.125)

e di conseguenzaMν0 = Hν0 (3.126)

essendoHk = EQ

[Hk+1 | Fk

]su {k ≤ ν0}.

Allora, per la (3.123), si ha

Vν0(α) =Mν0 =

(per la (3.126))

= Hν0 =

(per definizione di ν0)

= Xν0 , (3.127)

e cio prova che α ∈ A−X .Terzo passo: mostriamo ora che ν0 e un tempo d’esercizio ottimale. Poicheα ∈ A+

X ∩ A−X , per la (3.119) della Proposizione 3.54 si ricava

V0(α) = supν∈T0

EQ[Xν

].

D’altra parte, per la (3.127) e il Teorema 2.122 di optional sampling, vale

V0(α) = EQ[Xν0

]e questo conclude la prova. 2


Osservazione 3.56. Il teorema precedente ha una rilevanza sia teorica che pra-tica: da una parte prova che esiste ed e unico il prezzo iniziale di X cheevita possibilita d’arbitraggi. D’altra parte indica un modo costruttivo perdeterminare gli elementi fondamentali per lo studio di X:

i) il prezzo iniziale (scontato) H0 = supν∈T0

EQ[Xν

];

ii) una strategia di copertura α ∈ A+X ∩ A−X ;

iii) una strategia ottimale d’esercizio ν0.

Rimandiamo alla Sezione 3.4.3 per alcuni esempi di implementazione dell’al-goritmo (3.121) per la determinazione del prezzo e della strategia di coperturanel caso del modello binomiale. 2

Osservazione 3.57. Fissato n ≤ N , indichiamo con

Tn = {ν ∈ T0 | ν ≥ n}

la famiglia delle strategie di esercizio di un derivato Americano acquistato altempo n. Una strategia νn ∈ Tn e ottimale se vale

EQ[Xνn | Fn

]= supν∈Tn

EQ[Xν | Fn

].

Se H e il processo in (3.121), indichiamo con

νn(ω) = min{k ≥ n | Hk(ω) = Xk(ω)}, ω ∈ Ω,

il primo istante in cui conviene esercitare il derivato Americano acquistato altempo n. Possiamo facilmente estendere il Teorema 3.55 e provare che νn e ilprimo tempo d’esercizio ottimale successivo a n. Precisamente vale

Hn = EQ[Xνn | Fn

]= supν∈Tn

EQ[Xν | Fn

]. (3.128)

2

Definizione 3.58. Il processo H in (3.121) e detto prezzo scontato d’arbi-traggio di X.

Osservazione 3.59. Nella dimostrazione del Teorema 3.55 abbiamo visto chela copertura di X equivale alla replicazione del derivato (Europeo) MN .Osserviamo che, per la (3.125), si ha

Mn = Hn +

n−1∑k=0

(Xk − EQ

[Hk+1 | Fk

])+=: Hn + In, 1 ≤ n ≤ N,

e dunque Mn si scompone nella somma del prezzo Hn e del termine In che siinterpreta come il valore degli esercizi anticipati: infatti i termini della somma


che definisce In sono positivi quando Xk > EQ[Hk+1 | Fk

]ossia nei tempi

in cui e conveniente l’esercizio anticipato. Per fissare le idee, nel caso n = 1,si ha

M1 = H1 +(X0 −EQ

[H1

])+. (3.129)

2

3.4.2 Relazioni con le opzioni Europee

Il prossimo risultato stabilisce alcune relazioni fra i prezzi derivati di tipoEuropeo e Americano. In particolare proviamo che un’opzione Call Americana(su un’azione che non paga dividendi) vale come la corrispondente opzioneEuropea.

Proposizione 3.60. Sia X un derivato Americano: sia (HAn ) il prezzo d’ar-bitraggio del derivato Americano definito in (3.121) e (HEn ) il prezzo d’arbi-traggio del derivato Europeo con payoff XN . Allora si ha:

i) HAn ≥ HEn per 0 ≤ n ≤ N ;ii) se HEn ≥ Xn per ogni n, allora

HAn = HEn , n = 0, . . . , N.

Dimostrazione. i) Poiche HA e una Q-super-martingala, si ha

HAn ≥ EQ[HAN | Fn

]= EQ

[XN | Fn

]= HEn ,

da cui la tesi, essendo S0n > 0.

ii) Si ha

HEN−1 = EQ[XN | FN−1

]≥

(per ipotesi)

≥ max{XN−1, E

Q[XN | FN−1

]}= HAN−1.

La tesi segue iterando il precedente argomento. 2

Osservazione 3.61. La i) della proposizione precedente afferma che, in gene-rale, un derivato Americano vale piu della corrispondente versione Europea:questo fatto e intuitivo poiche un derivato Americano da maggiori diritti alpossessore che e libero di esercitarlo anche prima della scadenza. 2

Osservazione 3.62. Per il Corollario 1.2, il prezzo di una Call Europea soddisfala relazione

HEn ≥ (Sn −K)+;

pertanto come conseguenza della ii) della proposizione precedente, una CallAmericana vale quanto la corrispondente opzione Europea.


Possiamo anche mostrare direttamente questo risultato in maniera intui-tiva: e noto che invece di esercitare una Call Americana prima della scadenzae piu conveniente vendere il sottostante. Infatti se il possessore di una CallAmericana decidesse di esercitarla in anticipo al tempo n < N , avrebbe unintroito pari a Sn − K che diventa (1 + �)N−n(Sn − K) a scadenza. Vice-versa, vendendo un’unita del sottostante al tempo n e conservando l’opzione,otteniamo a scadenza

(1+�)N−nSn−SN +(SN −K)+ ={(1 + �)N−nSn −K, se SN > K,

(1 + �)N−nSn − SN , se SN ≤ K.

Dunque, in ogni caso, la seconda strategia rende piu della prima, almeno se� ≥ 0. 2

Esempio 3.63. L’equivalenza dei prezzi fra derivati Europei ed Americani nonvale per opzioni Call che pagano dividendi e per opzioni Put. Un sempliceesempio e il seguente: consideriamo un opzione Put Americana nel modellobinomiale a un periodo (N = 1) con � > 0 e per semplicita

q =1 + �− d

u− d=1

2,

da cui u+ d = 2(1 + �). Il prezzo della corrispondente Put Europea e

p0 =1

2(1 + �)((K − uS0)

+ + (K − dS0)+) =

(se, per esempio, K > uS0)

=1

2(1 + �)(K − uS0 +K − dS0) =

K

1 + �− S0.

Per la Put Americana si ha

P0 = max{K − S0, p0} = K − S0

e dunque in questo caso conviene esercitare immediatamente l’opzione. 2

Enunciamo alcuni risultati per opzioni Americane, analoghi ai Corollari1.1 e 1.2. La dimostrazione, conseguenza dell’assenza d’arbitraggi, e lasciataper esercizio.

Proposizione 3.64 (Put-Call parity per opzioni Americane). SianoC, P rispettivamente i prezzi d’arbitraggio di opzioni Call e Put Americanecon strike K e scadenza T . Valgono le seguenti relazioni:

Sn −K ≤ Cn − Pn ≤ Sn −Ke−r(T−tn), (3.130)

e(K − Sn)

+ ≤ Pn ≤ K, (3.131)

per n = 0, . . . , N .


3.4.3 Algoritmo binomiale per opzioni Americane

L’algoritmo binomiale presentato nella Sezione 3.2.4 si puo facilmente modi-ficare per gestire la possibilita d’esercizio anticipato. Per semplicita, conside-riamo un derivato Americano path-independent X = (Xn(Sn)). Usando lanotazione (3.53), indichiamo con

Hn(k) = Hn(Sn,k),

il prezzo d’arbitraggio del derivato. In base alla definizione (3.121), otteniamola seguente formula iterativa per la valutazione:{HN(k) = XN (SN,k), k ≤ N,

Hn−1(k) = max{Xn(Sn,k),

11+ (qHn(k + 1) + (1− q)Hn(k))

}, k ≤ n − 1,

(3.132)per n = 1, . . . , N e q = 1+ −d

u−d .

Esempio 3.65. Consideriamo un’opzione Put Americana con strike K = 20e prezzo del sottostante S0 = 20 in un modello binomiale a tre periodi eparametri

u = 1.1, d = 0.9, � = 0.05.

La misura martingala e definita da

q =1 + �− d

u− d= 0.75.

Utilizzando l’algoritmo (3.132), ad ogni passo confrontiamo il prezzo neutraleal rischio col valore in caso di esercizio anticipato:

Hn−1(k) = max

{Xn(Sn,k),

1

1 + �(qHn(k + 1) + (1− q)Hn(k))

}= max

{Xn(Sn,k),

1

1.05(0.75 ∗Hn(k + 1) + 0.25 ∗Hn(k))

}.

Nella Figura 3.6 indichiamo il prezzo del sottostante e del derivato rispet-tivamente dentro e fuori il cerchietto. I prezzi in grassetto corrispondonoall’esercizio anticipato. Per esempio, all’inizio si ha che X0 = 2 mentre

EQ[H1

]=

1

1.05(0.75 ∗ 0.56 + 0.25 ∗ 4) = 1.35

e dunque conviene esercitare immediatamente. 2

Consideriamo ora il problema della copertura: dal punto di vista teorico, ladimostrazione del Teorema 3.55 e costruttiva (essendo basata sulla decom-posizione di Doob) e identifica la strategia di copertura con la strategia direplica del derivato Europeo MN . TuttaviaMN e un derivato path-dependent


20

H0 = 0.5622

H1(1) = 0.12

18

H1(0) = 2

24.2

H2(2) = 0

19.8

H2(1) = 0.52

16.2

H2(0) = 3.8

26.62

H3(3) = 0

21.78

H3(2) = 0

17.82

H3(1) = 2.18

14.58

H3(0) = 5.42

Fig. 3.6. Prezzi d’arbitraggio di una Put Americana con strike 20 e S0 = 20 in unmodello binomiale a tre periodi con parametri u = 1.1, d = 0.9 e � = 0.05

anche se X e path-independent. Dunque il calcolo della strategia replicanteattraverso l’algoritmo binomiale puo risultare estremamente oneroso, essendoMN funzione di tutta la traiettoria del sottostante e non solo del suo valorefinale. Infatti questo approccio non e utilizzato nella pratica.Piuttosto conviene notare che il processo Mn dipende dalla traiettoria del

sottostante solo perche deve tenere memoria degli eventuali esercizi anticipati:ma nel momento in cui il derivato viene esercitato non e piu necessario coprirloe il problema si semplifica notevolmente.Per fissare le idee, nell’esempio precedente consideriamo il tempo n = 1 in

cui abbiamo due casi:

• se S1 = uS0 = 22 allora

0.12 = H1(1) > X1 = 0,

quindi l’opzione non viene esercitata, M2 = H2 e possiamo usare l’usualeargomento di replicazione (cfr. (3.57)) per determinare la strategia

α2 =H2(u

2S0)−H2(udS0)

(u− d)S0, b2 =

uH2(udS0)− dH1(u2S0)

u− d,

che, con una dotazione iniziale pari aH1(1), copre il derivato Americano altempo successivo poiche rende H2(2) o H2(1) a seconda che il sottostantecresca o decresca;


• se invece S1 = dS0 = 18 allora

1.28 = EQ[H2

]< X1 = 2,

e quindi l’opzione viene esercitata. Dunque la posizione viene chiusa e none necessario determinare la strategia di copertura20 .

In generale, utilizzando le formule (3.57)

αn(k) =Hn(k + 1)−Hn(k)

(u− d)Sn−1,k, bn(k) =

uHn(k)− dHn(k + 1)

u− d,

determiniamo la strategia di copertura del derivato in caso non ci sia esercizioanticipato: ricordiamo che il valore del corrispondente portafoglio e pari a

Vn−1 = αnSn−1 + bn1

1 + �.

Nella Figura 3.7 e riportata la strategia dell’esempio precedente.Anche per i derivati di tipo Americano vale un risultato di consistenza del

modello binomiale, al tendere di N all’infinito, analogo a quello presentato

20

α = −0.47, b = 10.46 22

α = −0.12, b = 2.86

18

24.2

α = 0, b = 0

19.8

α = −0.55, b = 11.99

16.2

26.62

21.78

17.82

14.58

Fig. 3.7. Strategia di copertura di una Put Americana con strike 20 e S0 = 20 inun modello binomiale a tre periodi con parametri u = 1.1, d = 0.9 e � = 0.05

20 In ogni caso 1.28 = EQ[H2

]e sufficiente per coprire le posizioni H2(1) e H2(0)

al tempo successivo.


nella Sezione 3.2.6. Come vedremo in seguito, la determinazione del prezzo diBlack&Scholes di un’opzione Americana richiede la soluzione di un cosiddetto“problema a frontiera libera” che e generalmente piu difficile da trattare ri-spetto al classico problema di Cauchy per le opzioni Europee. In questo casola valutazione mediante l’algoritmo binomiale risulta una valida alternativaalla risoluzione del problema in tempo continuo.

3.4.4 Problema a frontiera libera per opzioni Americane

Studiamo il comportamento asintotico del modello binomiale per un’opzioneAmericana X = ϕ(t, S), al tendere di N all’infinito. Utilizziamo le notazionidella Sezione 3.2.7: in particolare, indicando con f = f(t, S), con (t, S) ∈[0, T ] × R+, il prezzo d’arbitraggio del derivato e posto δ = T

N , la formularicorsiva di valutazione (3.132) diventa{

f(T, S) = ϕ(T, S),

f(t, S) = max{

11+ (qf(t + δ, uS) + (1− q)f(t + δ, dS)) , ϕ(t, S)

}.

(3.133)La seconda equazione in (3.133) e equivalente a

max

{Jδf(t, S)

δ, ϕ(t, S) − f(t, S)

}= 0

dove Jδ e l’operatore discreto in (3.99). Utilizzando il risultato di consistenzadella Proposizione 3.46, otteniamo la versione asintotica del problema discreto(3.133) al tendere di δ a zero:{

max{LBSf, ϕ− f} = 0, in [0, T [×R+,

f(T, S) = ϕ(T, S), S ∈ R+,(3.134)

dove

LBSf(t, S) = ∂tf(t, S) +σ2S2

2∂SSf(t, S) + rS∂Sf(t, S) − rf(t, S)

e l’operatore differenziale di Black&Scholes. Il problema (3.134) contiene unadisuguaglianza differenziale ed e in generale piu difficile da studiare dal puntodi vista teorico rispetto all’usuale problema di Cauchy parabolico: proveremoesistenza e unicita della soluzione nel Paragrafo 8.2. D’altra parte, dal puntodi vista numerico, i classici metodi alle differenze finite possono essere adattatisenza difficolta a problemi di questo tipo.Il dominio della soluzione f del problema (3.134) puo essere suddiviso in

due regioni:[0, T [×R+ = Re ∪Rc.

dove21

21 Poiche

{max{F (x), G(x)} = 0} = {F (x) = 0, G(x) ≤ 0} ∪ {F (x) < 0, G(x) = 0}


Re = {(t, S) ∈ [0, T [×R+ | LBSf(t, S) ≤ 0 e f(t, S) = ϕ(t, S)}

e detta regione di esercizio anticipato, in cui vale f = ϕ, e

Rc = {(t, S) ∈ [0, T [×R+ | LBSf(t, S) = 0 e f(t, S) > ϕ(t, S)}.

e detta regione di continuazione, in cui f > ϕ, non conviene esercitarel’opzione e il prezzo soddisfa l’equazione di Black&Scholes come nel casoEuropeo.Il bordo che separa gli insiemi Re, Rc dipende dalla soluzione f e non e

un dato assegnato del problema: se esso fosse noto allora il problema (3.134)si ridurrebbe ad un classico problema di Cauchy-Dirichlet per LBS su Rc condato al bordo ϕ. Al contrario, (3.134) e usualmente chiamato un problemaa frontiera libera e la determinazione della frontiera costituisce una parteessenziale del problema. Infatti, dal punto di vista finanziario, la frontieralibera individua l’istante e il prezzo ottimali d’esercizio.

Esempio 3.66. Nel caso particolare di una Put Americana, ϕ(S) = (K − S)+

con scadenza T , alcune proprieta della frontiera libera possono essere provatericorrendo unicamente ad argomenti di arbitraggio. Poniamo

Re(t) = {S | (t, S) ∈ Re}.

Allora, nell’ipotesi che il tasso privo di rischio r sia positivo, per ogni t ∈ [0, T [esiste β(t) ∈ ]0, K[ tale che

Re(t) = ]0, β(t)].

Fig. 3.8. Regioni di esercizio e continuazione di una Put Americana


Infatti sia f(t, S) il prezzo dell’opzione. Per il principio di non-arbitraggio,f(t, S) e strettamente positivo per ogni t ∈ [0, T [: d’altra parte, essendoϕ(S) = 0 per S ≥ K, si ha

Re(t) ⊆ {S < K}, t ∈ [0, T [. (3.135)

Inoltre, per definizione, Re(t) e chiuso relativamente a R+. Il fatto che Re(t)sia un intervallo e conseguenza della proprieta di convessita rispetto a S delprezzo, che puo essere provata utilizzando il principio di non-arbitraggio: seS1, S2 ∈ Re(t), allora per ogni � ∈ [0, 1] si ha

ϕ(�S1 + (1− �)S2) ≤ f(t, �S1 + (1− �)S2) ≤ �f(t, S1) + (1− �)f(t, S2) =

(poiche S1, S2 ∈ Re(t) e per la (3.135))

= �(K − S1) + (1− �)(K − S2) = ϕ(�S1 + (1 − �)S2),

e quindi �S1 + (1− �)S2 ∈ Re(t).Infine proviamo che

]0, K −Ke−r(T−t)] ⊆ Re(t).

Infatti, se S ≤ K(1 − e−r(T−t)), allora e conveniente esercitare l’opzione,poiche al tempo t si ottiene la somma

K − S ≥ Ke−r(T−t),

che rivalutata a scadenza frutta

(K − S)er(T−t) ≥ K ≥ f(T, S).

Con argomenti d’arbitraggio e anche possibile provare che β e una funzionecontinua e monotona crescente. La Figura 3.8 mostra le regioni di esercizio econtinuazione per un’opzione Put Americana. 2

Ritornando al caso generale, notiamo che per definizione si ha

Re ⊆ {(t, S) ∈ [0, T [×R+ | LBSϕ(t, S) ≤ 0}. (3.136)

Questa osservazione solleva la questione delle ipotesi sulla regolarita di ϕ chee opportuno assumere e sul tipo di regolarita che dobbiamo attenderci per lasoluzione f di (3.134). Per esempio, anche nel caso piu semplice di un’opzionePut, la funzione di payoff ϕ non e derivabile in S = K e LBSϕ non puo esseredefinito in senso classico. Utilizzando la teoria delle distribuzioni (cfr. SezioneA.3.3), non e difficile riconoscere che

LBS(K − S)+ =σ2K2

2δK(S) − rK1]0,K[(S),


dove δK indica la distribuzione Delta di Dirac centrata in K. Dunque, almenoformalmente vale

LBS(K − S)+

{< 0, S < K,

≥ 0, S ≥ K,

e la (3.136) risulta verificata in base alla (3.135). Per quanto riguarda laregolarita della soluzione, il problema (3.134) non ammette generalmente unasoluzione in senso classico: nel Paragrafo 8.2 proveremo l’esistenza di unasoluzione in un opportuno spazio di Sobolev.

Concludiamo la sezione enunciando un risultato analogo al Teorema 3.42sull’approssimazione del modello binomiale al caso continuo: per la dimostra-zione rimandiamo a Kushner [104] o Lamberton e Pages [109].

Teorema 3.67. Sia PAN (0, S) il prezzo al tempo iniziale di un’opzione PutAmericana con strike K e scadenza T nel modello binomiale con N periodi econ parametri


√δN+βδN ,

dove α, β sono costanti reali. Allora esiste

limN→∞

PAN (0, S) := f(0, S), S > 0,

dove f e la soluzione del problema a frontiera libera (3.134).

3.4.5 Put Americana e Put Europea nel modello binomiale

In questa sezione, utilizzando le formule di valutazione d’arbitraggio nel mo-dello binomiale a N periodi, presentiamo uno studio qualitativo del grafi-co del prezzo di un’opzione Put, come funzione del valore del sottostante,comparando le versioni Europea ed Americana.Siano PE e PA rispettivamente i prezzi di una Put Europea e America-

na con strike K sul sottostante S: usando le notazioni del Paragrafo 3.2, eindicando con x = S0 il prezzo iniziale del sottostante, abbiamo

Sn = xψn, ψn ≡ ξ1 · · ·ξn.

e i prezzi d’arbitraggio al tempo iniziale hanno le seguenti espressioni:

PE(x) = EQ[(K − xψN)

+

(1 + �)N

], (3.137)

PA(x) = supν∈T0

EQ[(K − xψν)

+

(1 + �)ν

]. (3.138)


Proposizione 3.68. Supponiamo che il parametro d del modello binomialesia minore di 1. La funzione x �→ PE(x) e continua, convessa e decrescenteper x ∈ [0,+∞[. Inoltre

PE(0) =K

(1 + �)N, PE(x) = 0, x ∈ [Kd−N ,+∞[,

ed esiste x ∈ ]0, K[ tale che

PE(x) < (K − x)+, x ∈ [0, x], PA(x) > (K − x)+, x ∈ [x, Kd−N ].(3.139)

La funzione x �→ PA(x) e continua, convessa e decrescente per x ∈ [0,+∞[.Inoltre

PA(0) = K, PA(x) = 0, x ∈ [Kd−N ,+∞[,ed esiste x∗ ∈ ]0, K[ tale che

PA(x) = (K − x)+, x ∈ [0, x∗], PA(x) > (K − x)+, x ∈ [x∗, Kd−N ].

Fig. 3.9. Grafico del prezzo di un’opzione Put Americana al tempo 0 in funzio-ne del prezzo x del sottostante. La linea tratteggiata rappresenta il grafico dellacorrispondente opzione Put Europea

Dimostrazione. La (3.137) si scrive piu esplicitamente come segue:

PE(x) =1

(1 + �)N

N∑h=0

ch(K − uhdN−hx)+,


dove ch =

(Nh

)qh(1 − q)N−h sono costanti positive. Ne deduciamo diretta-

mente le proprieta di continuita, convessita, monotonia ed anche il fatto chePE(x) = 0 se e solo se (K − uhdN−hx)+ = 0 per ogni h o, equivalentemente,se uhdN−hx ≥ K per ogni h ossia22 dNx ≥ K. Inoltre per la (3.137) e ov-vio che PE(0) = K

(1+ )N. Per provare la (3.139), consideriamo ora la funzione

continua e convessa23

g(x) = PE(x)− (K − x), x ∈ [0, K].

Poiche g(0) < 0 e g(K) > 0, per continuita g si annulla in almeno un punto:rimane da provare che tale punto e unico. Poniamo

x0 = inf{x | g(x) > 0}, x1 = sup{x | g(x) < 0}.

Per continuita g(x0) = g(x1) = 0 e x0 ≤ x1: vogliamo provare che x0 = x1.In caso contrario, se x0 < x1, per la convessita di g si avrebbe, per un certot ∈ ]0, 1[,

0 = g(x0) ≤ tg(0) + (1 − t)g(x1) = tg(0) < 0

che e assurdo. Questo conclude la prova della prima parte della proposizione.

La continuita della funzione PA segue dalla definizione ricorsiva (3.121)che esprime PA come composizione di funzioni continue. La convessita e lamonotonia seguono dalla (3.138) poiche le funzioni

x �→ EQ[(K − xψν)

+

(1 + �)ν

]sono convesse e decrescenti e quindi anche il loro estremo superiore al variaredi ν lo e.Ora, per la (3.138), PA(x) = 0 se e solo se

EQ[(K − xψν)

+

(1 + �)ν

]= 0 (3.140)

per ogni ν ∈ T0. Il valore atteso in (3.140) e una somma di termini del tipocnh(K − uhdn−hx)+ con cnh costanti positive e dunque P

A(x) = 0 se e solose uhdn−hx ≥ K per ogni24 n, k ossia se dNx ≥ K.Infine consideriamo la funzione

f(x) = PA(x)− (K − x)+.

Per la (3.121) f ≥ 0 ed essendo ν ≥ 0, si ha

22 Poiche d < 1.23 La somma di funzioni convesse e convessa.24 Tali che 0 ≤ k ≤ n ≤ N .


f(0) = K supν∈T0

EQ[(1 + �)−ν

]−K = 0,

ossia PA(0) = K. Inoltre

f(K) = K supν∈T0

EQ[(1 − ψν)

+

(1 + �)ν

]≥

(per ν ≡ 1)≥ KEQ

[(1− ξ1)

+

(1 + �)ν

]> 0.

Per x ≥ K si ha ovviamente f(x) = PA(x) ≥ (K − x)+ = 0. Poniamo

x∗ = inf{x ∈ [0, K] | f(x) > 0}.

In base a quanto abbiamo gia provato, si ha 0 < x∗ < K e, per definizione,f ≡ 0 su [0, x∗]. Infine si ha che f > 0 su [x∗, K] infatti supponiamo che, perassurdo, sia f(x1) = 0 per un certo x1 ∈ ]x∗, K[. Per definizione di x∗, esistex0 < x1 e tale che f(x1) > 0. Ora notiamo che sull’intervallo [0, K] la funzionef e convessa e quindi

0 < f(x0) ≤ t f(x) + (1− t)f(x1) = (1− t)f(x1)

se x0 = tx+ (1− t)x1, t ∈ ]0, 1[. Questo conclude la prova. 2

4

Processi stocastici a tempo continuo

Processi stocastici e moto Browniano reale – Proprieta di Markov – Integrale diRiemann-Stieltjes – Martingale

In questo capitolo introduciamo gli elementi di teoria dei processi stocasticiche utilizzeremo nei modelli finanziari a tempo continuo. Dopo una presenta-zione generale, definiamo il moto Browniano uno-dimensionale e discutiamoalcune nozioni di equivalenza di processi stocastici. La parte piu consisten-te del capitolo e dedicata allo studio della variazione prima e seconda di unprocesso: tale concetto viene dapprima introdotto nell’ambito della teoria clas-sica delle funzioni e dell’integrazione secondo Riemann-Stieltjes. Di seguito,dopo aver esteso i risultati di Doob sulle martingale discrete (disuguaglian-za massimale, optional sampling e decomposizione), introduciamo il processovariazione quadratica di una martingala continua.

4.1 Processi stocastici e moto Browniano reale

Nel seguito (Ω,F , P ) indica uno spazio di probabilita e I un intervallo realedel tipo [0, T ] oppure [0,+∞[.

Definizione 4.1. Un processo stocastico misurabile (nel seguito, semplice-mente, un processo stocastico) in RN e una famiglia (Xt)t∈I di variabilialeatorie a valori in RN tale che l’applicazione

X : I ×Ω −→ RN , X(t, ω) = Xt(ω),

e misurabile rispetto alla σ-algebra prodotto F ⊗ B(I). Si dice che X esommabile se Xt ∈ L1(Ω, P ) per ogni t ∈ I.

Il concetto di processo stocastico estende quello di funzione deterministica

f : I −→ RN .

Come f associa a t la variabile (il numero) f(t) in RN , cosı il processo sto-castico X associa a t la variabile aleatoria Xt in RN . Un processo stocastico


148 4 Processi stocastici a tempo continuo

puo essere utilizzato per descrivere un fenomeno aleatorio che evolve nel tem-po: per esempio possiamo interpretare la variabile aleatoria Xt in R+ come ilprezzo di un titolo rischioso al tempo t, oppure la variabile aleatoria Xt in R3

come la posizione di una particella nello spazio al tempo t.Per aiutare ancora l’intuizione, e utile pensare ad una funzione f : I −→

RN come ad una curva o traiettoria in RN : il sostegno della curva f e definitoda

γ := {f(t) | t ∈ I}.Al variare del parametro t, f(t) rappresenta un punto del sostegno γ. L’idea siestende ai processi stocastici e in questo caso ad ogni ω ∈ Ω corrisponde unadiversa traiettoria (e quindi un possibile andamento del prezzo di un titolooppure un possibile moto di una particella nello spazio):

γω := {Xt(ω) | t ∈ I}, ω ∈ Ω.

Definizione 4.2. Un processo stocastico X e continuo (rispettivamente, q.s.-continuo) se le traiettorie

t �−→ Xt(ω)

sono funzione continue per ogni ω ∈ Ω (risp. per quasi ogni ω ∈ Ω).Analogamente X e continuo a destra (rispettivamente, q.s.-continuo a

destra) seXt(ω) = Xt+(ω) := lim

s→t+Xs(ω)

per ogni t e per ogni ω ∈ Ω (risp. quasi ogni ω ∈ Ω).

La famiglia dei processi continui a destra e particolarmente significativapoiche, sfruttando la densita di Q in R, ad essa si estendono molte proprietadei processi a tempo discreto. Questo fatto abbastanza generale sara utilizzatoripetutamente nel seguito.

Estendiamo ora al caso continuo i concetti di filtrazione e processo stoca-stico adattato. Come nel caso discreto, una filtrazione rappresenta un flussodi informazioni e il fatto che un prezzo sia descritto da un processo adattatosignifica che esso dipende dalle informazioni disponibili al momento.

Definizione 4.3. Una filtrazione (Ft)t≥0 in (Ω,F , P ) e una famiglia crescen-te di sotto-σ-algebre di F .

Anticipiamo il fatto che nel seguito assumeremo opportune ipotesi sullefiltrazioni: a tal proposito si veda la Sezione 4.4.4.

Definizione 4.4. Dato un processo stocastico X = (Xt)t∈I , la filtrazionenaturale per X e definita da

FXt = σ(Xs | 0 ≤ s ≤ t) := σ({X−1s (H) | 0 ≤ s ≤ t, H ∈ B}), t ∈ I.(4.1)

4.1 Processi stocastici e moto Browniano reale 149

Definizione 4.5. Un processo stocastico X e adattato ad una filtrazione (Ft)(o semplicemente Ft-adattato) se FXt ⊆ Ft per ogni t, o in altri termini seXt e Ft-misurabile per ogni t.

Chiaramente FX e la piu piccola filtrazione rispetto alla quale X e adattato.

Definizione 4.6 (Moto Browniano reale). Sia (Ω,F , P,Ft) uno spazio diprobabilita con filtrazione. Un moto Browniano reale e un qualsiasi processostocastico W = (Wt)t∈[0,+∞[ in R tale che

i) W0 = 0 q.s.;ii) W e Ft-adattato e continuo;iii) per t > s ≥ 0, la variabile aleatoria Wt −Ws ha distribuzione normale

N0,t−s ed e indipendente da Fs.

Non e banale provare l’esistenza di un moto Browniano: alcune dimostra-zioni si trovano, per esempio, in Karatzas-Shreve [91]. Un caso particolarmen-te significativo e quello in cui la filtrazione e quella naturale per W , ossiaFt = FWt .

Osservazione 4.7. Per le proprieta i) e ii) della Definizione 4.6, le traiettoriedi un moto Browniano partono (per t = 0) dall’origine q.s. e sono continue.Inoltre, come conseguenza delle i) e iii), per ogni t vale

Wt ∼ N0,t (4.2)

poiche Wt =Wt −W0 q.s. 2

Osservazione 4.8 (Moto Browniano come moto casuale). Il moto Brownianoe nato come modello probabilistico per il moto di una particella. Le seguentiproprieta del moto Browniano sono ovvie conseguenza della (4.2):

a) E [Wt] = 0 per ogni t ≥ 0, ossia in ogni istante la posizione attesa dellaparticella e quella iniziale;

b) ricordando l’espressione della densita della distribuzione normale Γ (·, t) in(2.4), si ha che, per ogni fissato t > 0, la probabilita che Wt appartengaad un Borelliano H diminuisce traslando H lontano dall’origine. Intuitiva-mente la probabilita che la particella raggiungaH diminuisce allontanandoH dal punto di partenza;

c) per ogni fissato H ∈B,

limt→0+

P (Wt ∈ H) = δ0(H).

Intuitivamente, diminuendo il tempo diminuisce anche la probabilita chela particella si sia allontanata dalla posizione iniziale;

d) E[W 2t

]= var(Wt) = t, ossia si stima che la distanza dal punto di partenza

di una particella in moto casuale sia, al tempo t, pari a√t: questo fatto e

meno intuitivo ma corrisponde alle osservazioni empiriche di Einstein [53].2


Esempio 4.9 (Moto Browniano come modello di titolo rischioso). Un primomodello a tempo continuo per il prezzo di un titolo rischioso S e il seguente:

St = S0(1 + μt) + σWt, t ≥ 0. (4.3)

In (4.3), S0 indica il prezzo iniziale del titolo, μ indica il tasso di rendimentoatteso e σ indica la rischiosita del titolo o volatilita. Se σ = 0, la dinamica(4.3) e deterministica e corrisponde ad una legge di capitalizzazione semplicecon tasso privo di rischio pari a μ. Se σ > 0, la dinamica (4.3) e stocastica eS = (St)t≥0 e un processo stocastico normale (o Gaussiano) nel senso che

St ∼ NS0(1+μt),σ2t (4.4)

per t ≥ 0. Da (4.4) segue che

E [St] = S0(1 + μt)

ossia l’andamento atteso di S corrisponde alla dinamica deterministica privadi rischio. Dunque il moto Browniano introduce “rumore” ma non modifical’andamento medio del processo. Inoltre σ e direttamente proporzionale allavarianza e quindi alla rischiosita del titolo.Nella pratica questo modello non e utilizzato per due motivi: da una parte

e preferibile utilizzare la capitalizzazione composta; dall’altra (4.4) implicaovviamente che P (St < 0) > 0 non appena t e positivo e questo e assurdo dalpunto di vista economico. Tuttavia (4.3) e a volte utilizzato come modello peri debiti/crediti di un’azienda. 2

4.1.1 Legge di un processo continuo

La legge (o distribuzione) di un processo stocastico discreto

X = (X0, . . . , Xn)

e definita come la distribuzione congiunta delle variabili aleatorie X0, . . . , Xn:vediamo come estendere tale nozione al caso dei processi continui.Indichiamo con C[0, T ] := C([0, T ],RN) lo spazio vettoriale delle funzioni

continue su [0, T ] a valori in RN . E noto che C[0, T ] munito della usuale normadel massimo

‖w‖∞ = maxt∈[0,T ]

|w(t)|, w ∈ C[0, T ],

e uno spazio normato (e completo1): in particolare la norma definisce la fa-miglia degli aperti in C[0, T ] e di conseguenza la σ-algebra dei Borelliani di

1 Ogni successione di Cauchy e convergente.


C[0, T ] indicata conB(C[0, T ]). L’esempio piu semplice di Borelliano e il discodi raggio r > 0 e centro w0:

D(w0, r) := {w ∈ C[0, T ] | |w(t)− w0(t)| < r, t ∈ [0, T ]}. (4.5)

Ricordiamo anche che C[0, T ] e uno spazio separabile e B(C[0, T ]) e generatada un’infinita numerabile dischi del tipo (4.5): rimandiamo all’Esempio A.14del Paragrafo A.2 per la prova di questa affermazione.La posizione

Xt : C[0, T ]−→ RN , Xt(w) := w(t), (4.6)

definisce un processo stocastico su (C[0, T ],B(C[0, T ])). Infatti (t, w) �→Xt(w) e una funzione continua e dunque misurabile: in particolare vale

σ(Xt, t ∈ [0, T ]) ⊆B(C[0, T ]). (4.7)

Piu precisamente:

Lemma 4.10. Vale

σ(Xt, t ∈ [0, T ]) =B(C[0, T ]).

Dimostrazione. Dati una scelta τ = {t1, . . . , tn} di un numero finito di puntidi [0, T ] e K = K1 × · · · × Kn ∈ B(RnN), un “cilindro” di B(C[0, T ]) e uninsieme del tipo

H(τ,K) = {w ∈ C[0, T ] | w(ti) ∈ Ki, i = 1, . . . , n}

=

n⋂i=1

{Xti ∈ Ki}.

Per provare l’inclusione inversa a (4.7), occorre verificare che la famiglia deicilindri H(τ,K), al variare di τ e K, genera B(C[0, T ]). A tal fine e sufficienteprovare che ogni disco chiuso D(w0, r) e intersezione numerabile di cilindri:sia (τj) una successione di scelte di punti di [0, T ] tale che⋃

j≥1τj = [0, T ] ∩Q.

Allora, usando la notazione τj = {tj1, . . . , tjnj}, si ha

D(w0, r) =⋂j≥1{w ∈ C[0, T ] | |w(tji )− w0(t

ji )| ≤ r, i = 1, . . . , nj}.

2

Notazione 4.11 Indichiamo con

Bt(C[0, T ]) := σ(Xs, s ∈ [0, t]), 0 ≤ t ≤ T, (4.8)

la filtrazione naturale per X.


Lemma 4.12. Dato un processo stocastico continuo (Xt)t∈[0,T ] sullo spaziodi probabilita (Ω,F , P ), vale

{X ∈ H} ∈ F

per ogni H ∈B(C[0, T ]).

Dimostrazione. Poiche B(C[0, T ]) e generata da un’infinita numerabile di di-schi (cfr. Esempio A.14), e sufficiente osservare che, essendo X continuo, siha

{X ∈ D(w0, r)} =⋂

t∈[0,T ]∩Q{ω ∈ Ω | |Xt(ω) −w0(t)| ≤ r}︸︷︷︸

∈F

,

da cui la tesi, per l’Osservazione 2.17. 2

Definizione 4.13. La probabilita PX sullo spazio (C[0, T ],B(C[0, T ])) defi-nita da

PX(H) = P (X ∈ H), H ∈ B(C[0, T ]),e detta legge del processo X.

Osserviamo che il processo X, definito sullo spazio di probabilita

(C[0, T ],B(C[0, T ]), PX),

ha la stessa legge di X.

Definizione 4.14. Il processo X su (C[0, T ],B(C[0, T ]), PX) e detto realiz-zazione canonica di X.

I risultati precedenti si estendono senza difficolta al caso T = +∞. Infatti

C[0,+∞[ :=C([0,+∞[,RN)

munito della norma2

‖w‖∞ =∞∑n=1

1

2nmax1≤t≤n

(|w(t)| ∧ 1),

e uno spazio normato, completo e separabile in cui e definita in modo na-turale la σ-algebra dei Borelliani. Inoltre Lemmi 4.12 e 4.10 si generalizzanofacilmente e si definisce come in precedenza la realizzazione canonica di unprocesso continuo X. In particolare, se X e un moto Browniano, allora il pro-cesso X in (4.6) su (C[0,+∞[ ,B(C[0,+∞[ ), PX) e detto moto Brownianocanonico (o realizzazione canonica del moto Browniano).

2 Tale norma induce la convergenza uniforme sui compatti.


4.1.2 Equivalenza di processi

Introduciamo ora alcune nozioni di equivalenza di processi stocastici. Datauna scelta di punti τ = {t1, . . . , tn}, diciamo che la distribuzione congiunta di(Xt1 , . . . , Xtn) e una distribuzione finito-dimensionale del processo X.

Definizione 4.15. Due processi stocastici X, Y definiti rispettivamente su-gli spazi (Ω,F , P ) e (Ω′,F ′, P ′) si dicono equivalenti se hanno le stessedistribuzioni finito-dimensionali per ogni scelta di punti.

Proposizione 4.16. Due processi continui sono equivalenti se e solo se hannola stessa legge.

Dimostrazione. Siano X, Y , definiti su (Ω,F , P ) e (Ω′,F ′, P ′), due processiequivalenti. La tesi segue dalla Proposizione 2.4, osservando che per ipotesi

P (X ∈ H(τ,K)) = P ′(Y ∈ H(τ,K)),

per ogni cilindroH(τ,K) e la famiglia dei cilindri e ∩−stabile e, come abbiamovisto nella prova del Lemma 4.10, genera la σ-algebra dei Borelliani. 2

Secondo la Definizione 4.6 un qualsiasi processo stocastico che verifica leproprieta i), ii) e iii) e un moto Browniano. Dunque, in linea di principio,esistono diversi moti Browniani, possibilmente definiti su spazi di probabilitadistinti. Vedremo fra breve (cfr. Sezione 4.2.2) che la Definizione 4.6 caratte-rizza in modo univoco le distribuzioni finito-dimensionali del moto Brownianoe quindi la sua legge. In particolare, per la Proposizione 4.16, la realizzazionecanonica del moto Browniano e unica.

Definizione 4.17. Siano X, Y processi stocastici definiti sullo stesso spaziodi probabilita (Ω,F , P ). Diciamo che X e una modificazione di Y se Xt = Ytq.s. per ogni t ≥ 0. Diciamo che X e Y sono indistinguibili se per quasi tuttigli ω ∈ Ω

Xt(ω) = Yt(ω) ∀t ≥ 0.

PoniamoNt = {ω ∈ Ω | Xt(ω) �= Yt(ω)}, N =

⋃t≥0

Nt.

Allora X e una modificazione di Y se Nt ∈ N per ogni t ≥ 0. Come giaosservato, poiche t varia nell’insieme dei numeri reali che non e numerabile,allora potrebbe essere N /∈ F o addirittura N = Ω. I processi X e Y sonoindistinguibili se N ∈ N : in altri termini quasi tutte le traiettorie di X e Ycoincidono.In generale e chiaro che se X, Y sono indistinguibili allora sono modifi-

cazioni ma non e detto il viceversa: tuttavia nel caso di processi stocasticicontinui e possibile sfruttare la densita dell’insieme dei numeri razionali in Rper provare che le due nozioni coincidono.


Proposizione 4.18. Siano X, Y processi stocastici q.s.-continui a destra. SeX e una modificazione di Y allora X, Y sono indistinguibili. In particolare eequivalente scrivere

Xt = Yt, q.s. per ogni t, o Xt = Yt, per ogni t, q.s.

Dimostrazione. E sufficiente considerare il caso Y = 0. Sia F ∈ N l’insiemein cui le traiettorie di X non sono continue a destra. Poniamo

N =⋃

t∈[0,+∞[∩QNt ∪ F

dove Nt = {ω ∈ Ω | Xt �= 0} e trascurabile per ipotesi. Allora si ha N ∈ Ne Xt(ω) = 0 per ogni ω ∈ Ω \ N e t ∈ [0,+∞[∩Q. Inoltre, se t ∈ [0,+∞[\Q,consideriamo una successione (tn) ∈ Q convergente a t da destra. Allora perogni ω ∈ Ω \N si ha

Xt(ω) = limn→∞

Xtn(ω) = 0,


Riassumendo: due processi continui sono indistinguibili se e solo se sonomodificazioni; in tal caso sono anche equivalenti e hanno la stessa realizzazionecanonica.

Esempio 4.19. Siano u, v ∈ L1loc(R) tali che u = v quasi ovunque (rispetto alla

misura di Lebesgue). Se W indica un moto Browniano reale, allora i processiXt := u(Wt) e Yt := v(Wt) sono modificazioni ma in generale non sonoindistinguibili. Consideriamo infatti il seguente esempio: sia v = 0, u(x) = 0per ogni x ∈ R \ {±1} e u(±1) = 1. Allora X, Y sono modificazioni poiche,fissato t ≥ 0, l’evento

{Xt �= 0} = {Wt = ±1}ha probabilita nulla. D’altra parte X, Y non sono indistinguibili poiche quasitutte le traiettorie di un moto Browniano escono dall’intervallo [−1, 1] (cfr. siveda la Proposizione 9.34) e quindi l’evento

{ω | Xt(ω) = 0, t ≥ 0}

ha probabilita nulla.Un secondo semplice esempio di processi che sono modificazioni ma non

indistinguibili e il seguente: nello spazio di probabilita ([0, 1],B,m), dove mindica la misura di Lebesgue, i processi

Xt = 0, e Yt(ω) = 1{ω}(t), t ∈ [0, 1],

sono modificazioni ma

{ω | Xt(ω) = Yt(ω), t ∈ [0, 1]}

e vuoto. 2

4.2 Proprieta di Markov 155

4.1.3 Processi adattati e progressivamente misurabili

La definizione di processo stocastico X richiede non solo che, per ogni t, Xtsia una variabile aleatoria ma la condizione piu forte di misurabilita nellacoppia di variabili (t, ω). Vedremo fra breve3 che e opportuno rinforzare inmodo analogo la proprieta di essere adattato.

Definizione 4.20. Un processo stocastico X si dice progressivamente mi-surabile rispetto alla filtrazione (Ft) se, per ogni t, X|[0,t]×Ω e B([0, t]) ⊗Ft−misurabile ossia

{(s, ω) ∈ [0, t]×Ω | Xs(ω) ∈ H} ∈B([0, t])⊗Ft, H ∈B.Chiaramente ogni processo progressivamente misurabile e anche misurabilee, per il Teorema 2.59 di Fubini e Tonelli, adattato. Viceversa e un risultatonon banale4 il fatto che se X e misurabile e adattato allora ammette unamodificazione progressivamente misurabile. Nel caso di processi continui lasituazione e piu semplice:

Lemma 4.21. Ogni processo continuo a destra e adattato e progressivamentemisurabile.

Dimostrazione. SiaX continuo a destra e adattato. Fissati t e n ∈ N, poniamoX

(n)t = Xt e

X(n)s = Xk+1

2n t, per s ∈

[k

2nt,k + 1

2nt

[, k + 1 ≤ 2n.

Essendo X continuo a destra, X(n) converge puntualmente a X su [0, t]× Ωper n → ∞. La tesi segue dal fatto che X(n) e progressivamente misurabilepoiche, per ogni H ∈B, vale

{(s, ω) ∈ [0, t]×Ω | Xns (ω) ∈ H}

=⋃k<2n

([k

2nt,k + 1

2nt

[×

(Xk+1

2n t∈ H

))∪ ({t} × (Xt ∈ H))

che appartiene a B([0, t])⊗Ft. 2

4.2 Proprieta di Markov

Il significato della proprieta di Markov in ambito finanziario e stato anticipatonella Sezione 3.2.1: un processo stocastico X che rappresenta il prezzo di untitolo gode della proprieta di Markov se il valore atteso al tempo t del prezzofuturo XT , T > t, dipende solo dal prezzo attuale Xt e non dai prezzi passati.Ci sono diversi modi per esprimere tale proprieta e forse il piu semplice e ilseguente.

3 Si veda per esempio il Corollario 4.70.4 Si veda, per esempio, Meyer [122].


Definizione 4.22. In uno spazio di probabilita con filtrazione (Ω,F , P,Ft),un processo stocastico adattato X gode della proprieta di Markov se:

(M) per ogni funzione B-misurabile e limitata ϕ vale

E [ϕ(XT ) | Ft] = E [ϕ(XT ) | Xt] , T ≥ t.

Osservazione 4.23. Per il Teorema A.7 di Dynkin, la proprieta (M) e equiva-lente alla condizione (generalmente piu semplice da verificare):

(M’) per ogni Borelliano H vale

E [XT ∈ H | Ft] = E [XT ∈ H | Xt] , T ≥ t.

2

Sottolineiamo il fatto che la proprieta di Markov dipende dalla filtrazione con-siderata. Il primo esempio significativo di processo di Markov e il moto Bro-wniano: per illustrare piu efficacemente questo fatto introduciamo qualchenotazione.

Definizione 4.24. Sia W un moto Browniano nello spazio (Ω,F , P,Ft).Fissati x ∈ R e t ≥ 0, il processo stocastico W t,x definito da

W t,xT = x+WT −Wt, T ≥ t,

e detto moto Browniano di punto iniziale x al tempo t.

Chiaramente si ha

i) W t,xt = x;

ii) W t,x e un processo stocastico adattato e continuo;iii) per t < T ≤ T + h, la variabile aleatoria W t,x

T+h −W t,xT ha distribuzione

normale N0,h ed e indipendente da FT .

Osservazione 4.25. Come conseguenza delle proprieta precedenti si ha

W t,xT ∼ Nx,T−t, T ≥ t. (4.9)

Dunque fissati x ∈ R e T > t, la densita di W t,xT e

y �→ Γ ∗(t, x; T, y)

dove

Γ ∗(t, x; T, y) =1√

2π(T − t)exp

(− (x− y)2

2(T − t)

), (4.10)

e la soluzione fondamentale dell’operatore del calore aggiunto. 2

Cio giustifica la seguente


Definizione 4.26. La funzione Γ ∗ = Γ ∗(t, x; T, ·) e detta densita di tran-sizione del moto Browniano dal punto “iniziale” (t, x) al tempo “finale”T .

Proviamo ora che un moto Browniano ha la proprieta di Markov. Sia ϕuna funzione B-misurabile e limitata: in base al Lemma 2.104 si ha

E [ϕ(WT ) | Ft] = E [ϕ(WT −Wt +Wt) | Ft] = u(t,Wt), T ≥ t, (4.11)

dove u e la funzione B-misurabile definita da

u(t, x) = E [ϕ(WT −Wt + x)] = E[ϕ(W t,x

T )]. (4.12)

Abbiamo dunque provato il seguente

Teorema 4.27. Un moto Browniano W nello spazio (Ω,F , P,Ft) gode dellaproprieta di Markov rispetto a (Ft) e in particolare valgono le formule (4.11)-(4.12) che esprimiamo in forma piu compatta nel modo seguente:

E [ϕ(WT ) | Ft] = E[ϕ(W t,x

T )]x=Wt

. (4.13)

Notiamo che la (4.13) implica in particolare (cfr. Osservazione 2.105) che

E [ϕ(WT ) | Ft] = E [ϕ(WT ) |Wt] , T ≥ t,

ossia che W e un processo stocastico di Markov secondo la Definizione 4.22.Utilizzando l’espressione della densita di transizione del moto Browniano,

possiamo anche riscrivere la (4.13) in modo piu esplicito:

E [ϕ(WT ) | Ft] =∫R

ϕ(y)√2π(T − t)

exp

(−(y −Wt)

2

2(T − t)

)dy.

Notiamo che ambo i membri dell’uguaglianza sono variabili aleatorie.

4.2.1 Moto Browniano ed equazione del calore

Consideriamo l’operatore del calore aggiunto in due variabili:

L∗ =1

2∂xx + ∂t, (t, x) ∈ R2. (4.14)

Nel Paragrafo 2.3 abbiamo visto che la funzione Γ ∗ in (4.10) e soluzionefondamentale per L e di conseguenza, per ogni dato finale ϕ ∈ Cb(R), ilproblema di Cauchy{

L∗u(t, x) = 0, (t, x) ∈]−∞, T [×R,u(T, x) = ϕ(x) x ∈ R, (4.15)

ha soluzione classica


u(t, x) =

∫R

Γ ∗(t, x; T, y)ϕ(y)dy. (4.16)

Essendo Γ ∗ la densita di transizione del moto Browniano, esiste uno strettolegame fra moto Browniano ed equazione del calore riassunto dalle seguentirelazioni:

i) la soluzione u in (4.16) del problema (4.15) ha la seguente rappresentazioneprobabilistica

u(t, x) = E[ϕ(W t,xT

)], x ∈ R, t ∈ [0, T ]; (4.17)

ii) per il Teorema 4.27 vale la seguente formula per l’attesa condizionata diun moto Browniano:

E [ϕ(WT ) | Ft] = u(t,Wt), T ≥ t, (4.18)

dove u e la soluzione in (4.16) del problema di Cauchy (4.15): la (4.18)esprime la proprieta di Markov del moto Browniano.

4.2.2 Distribuzioni finito-dimensionali del moto Browniano

La seguente proposizione contiene alcune utili caratterizzazioni del motoBrowniano: in particolare sono fornite esplicitamente le distribuzioni finito-dimensionali del moto Browniano, ossia le distribuzioni congiunte delle va-riabili aleatorie Wt1 , . . . ,WtN per ogni scelta di punti 0 ≤ t1 < · · · < tN ≤T .

Proposizione 4.28. Un moto Browniano W sullo uno spazio di probabilitacon filtrazione (Ω,F , P,Ft), verifica le seguenti proprieta:1) W ha gli incrementi indipendenti e stazionari, ossia per 0 ≤ t ≤ T la

variabile aleatoria WT −Wt ha distribuzione normale N0,T−t e le variabilialeatorie

Wt2 −Wt1 , . . . ,WtN −WtN−1

sono indipendenti per ogni scelta di punti t1, t2, . . . , tN con 0 ≤ t1 < t2 <· · · < tN ;

2) per 0 ≤ t1 < · · · < tN , la distribuzione congiunta di Wt1 , . . . ,WtN e datada

P ((Wt1 , . . . ,WtN) ∈H1 × · · · ×HN) =

=

∫H1

· · ·∫HN

Γ ∗(0, 0; t1, y1)Γ∗(t1, y1; t2, y2) · · ·

· · ·Γ ∗(tN−1, yN−1; tN , yN )dy1dy2 . . . dyN

(4.19)

dove H1, . . . , HN ∈B e Γ ∗ e definita in (4.10).


Viceversa, se W e un processo stocastico continuo su uno spazio di probabilita(Ω,F , P ), tale che P (W0 = 0) = 1 e soddisfa 1) oppure 2), allora W e un

moto Browniano rispetto alla filtrazione naturale FW .Idea della dimostrazione. E facile provare che seW e un moto Browniano alloraverifica 1). Anzitutto e sufficiente provare l’indipendenza degli incrementi: nelcaso N = 3, poiche

{(Wt2 −Wt1) ∈ H} ∈ Ft2 ,la tesi e immediata conseguenza dell’indipendenza di Wt3 −Wt2 da Ft2 . PerN > 3, iteriamo il ragionamento precedente.

Per la prova del fatto che se W e un moto Browniano allora verifica 2),consideriamo solo il caso N = 2: anzitutto, per 0 ≤ t ≤ T e H,K ∈B, si ha

{Wt ∈ H} ∩ {WT ∈ K} = {Wt ∈ H} ∩ {(WT −Wt) ∈ (K −H)},

dove K − H = {x − y | x ∈ K, y ∈ H}. Allora per l’indipendenza degliincrementi si ha

P (Wt ∈ H, WT ∈ K) = P (Wt ∈ H)P ((WT −Wt) ∈ (K −H)) =

(per la proprieta iii))

=

∫H

Γ ∗(0, 0; t, x1)dx1

∫K−H

Γ ∗(t, 0; T, x2)dx2 =

(col cambio di variabili x1 = y1 e x2 = y2 − y1)

=

∫H

∫K

Γ ∗(0, 0; t, y1)Γ∗(t, y1; T, y2)dy1dy2.

Per dimostrare il viceversa, occorre verificare che seW e un processo stoca-stico continuo su uno spazio di probabilita (Ω,F , P ), tale che P (W0 = 0) = 1e soddisfa 1), allora la variabile aleatoriaWT −Wt e indipendente da FWt , pert ≤ T . In questo caso possiamo usare il Teorema A.4 di Dynkin: in generalepossiamo provare che se X e un processo stocastico tale che per ogni scelta dipunti t1, . . . , tN con 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tN , le variabili aleatorie

Xt1 , Xt2 −Xt1 , . . . , XtN −XtN−1

sono indipendenti, allora XT − Xt e indipendente dalla filtrazione naturaleFXt per 0 ≤ t < T .

Infine, e lasciata per esercizio la verifica del fatto che per un qualsiasiprocesso stocastico W tale che P (W0 = 0) = 1, le proprieta 1) e 2) sonoequivalenti. 2

Esercizio 4.29. Dati α, β ∈ R, α �= 0, provare che (α−1Wα2t + β) e un motoBrowniano di punto iniziale β.


4.3 Integrale di Riemann-Stieltjes

Riprendiamo il modello di titolo rischioso dell’Esempio 4.9 in cui

St = S0(1 + μt) + σWt, t ∈ [0, T ],

e W e un moto Browniano reale di punto iniziale l’origine. Consideriamo unapartizione

ς = {t0, t1, . . . , tN}di [0, T ] con 0 = t0 < t1 < · · · < tN = T . Sia ora V = uS un portafoglioautofinanziante (cfr. Definizione 3.2) composto dal solo titolo S. Allora, perogni k = 1, . . . , N , si ha

Vtk − Vtk−1 = utk−1 (Stk − Stk−1 )

= μutk−1 (tk − tk−1) + σutk−1(Wtk −Wtk−1).

Sommando per k da 1 a N , otteniamo

VT = V0 + μ

N∑k=1

utk−1(tk − tk−1)︸︷︷︸=:I1,ς

+σN∑k=1

utk−1(Wtk −Wtk−1 )︸︷︷︸=:I2,ς

. (4.20)

Per passare a tempo continuo occorre verificare l’esistenza dei limiti di I1,ς eI2,ς al tendere a zero del parametro di finezza |ς| della partizione:

|ς| := max1≤k≤N

|tk − tk−1|.

Il primo termine I1,ς e una somma di Riemann e dunque supponendo chela funzione t �→ ut(ω) sia integrabile secondo Riemann

5 in [0, T ] per ogniω ∈ Ω, si ha semplicemente

lim|ς|→0+

I1,ς(ω) =

∫ T

0

ut(ω)dt,

per ogni ω ∈ Ω.Il secondo termine e la trasformata di u rispetto a W (cfr. Definizione

2.115). L’esistenza del secondo limite non e banale: supponendo che esistafinito

lim|ς|→0+

I2,ς = I, (4.21)

per analogia, potremmo usare la notazione

5 In effetti, in un portafoglio autofinanziante con un solo titolo, la funzione t �→ ut enecessariamente costante. La situazione non e piu banale nel caso di un portafogliocon almeno due titoli.

4.3 Integrale di Riemann-Stieltjes 161

I =

∫ T

0

ut dWt. (4.22)

Otteniamo dunque, almeno formalmente, la seguente formula

VT = V0 + μ

∫ T

0

utdt+ σ

∫ T

0

ut dWt.

In realta il limite in (4.21) non esiste in generale, a meno di assumere ulterio-ri ipotesi sul processo stocastico u. La giustificazione di questa affermazionerichiede una breve digressione di carattere matematico che porta anche adosservare che le traiettorie di un moto Browniano sono quasi sicuramente “ir-regolari” in un senso che specificheremo nel seguito. Consideriamo infatti unatraiettoria

t �−→Wt(ω)

regolare, per esempio di classe C1([0, T ]): in questo caso e facile dimostrareche esiste

lim|ς|→0+

I2,ς(ω) =

∫ T

0

ut(ω)W′t (ω) dt, (4.23)

dove l’integrale e inteso nel senso usuale di Riemann eW ′t (ω) indica la derivata

ddtWt(ω). Infatti, per il Teorema del valor medio di Lagrange esistono t∗k ∈[tk−1, tk] tali che

I2,ς(ω) =

N∑k=1

utk−1(ω)W′t∗k(ω)(tk − tk−1);

dunque I2,ς(ω) e una somma di Riemann e la (4.23) segue facilmente.In effetti non e difficile provare l’esistenza del limite in (4.21) sotto l’ipotesi

piu debole che t �→Wt(ω) sia una funzione a variazione limitata (cfr. Sezione4.3.1). Anche in questo caso esiste ed e finito il limite

lim|ς|→0+

I2,ς(ω) = l ∈ R,

e l =:(∫ T

0ut dWt

)(ω) e usualmente chiamato integrale di Riemann-Stieltjes

di ut(ω) rispetto a Wt(ω) su [0, T ] (cfr. Sezione 4.3.2).Sfortunatamente nella Sezione 4.3.3 vedremo che le traiettorie di un moto

Browniano non hanno variazione limitata quasi sicuramente e dunque l’inte-grale in (4.22) non puo essere definito nel senso di Riemann-Stieltjes. Il Capi-tolo 5 sara interamente dedicato a un’introduzione alla teoria dell’integrazionestocastica.

4.3.1 Funzioni a variazione limitata

Il materiale di questa sezione non e strettamente propedeutico al resto dellatrattazione e puo essere sorvolato ad una prima lettura, tuttavia alcuni con-cetti potrebbero facilitare una comprensione piu approfondita del prossimocapitolo.


Dato un intervallo reale [a, b], consideriamo una funzione

g : [a, b]→ Rn

e una partizione ς = {t0, . . . , tN} di [a, b]. La variazione di g relativa a ς edefinita da

V[a,b](g, ς) :=

N∑k=1

|g(tk)− g(tk−1)|.

Definizione 4.30. La funzione g ha variazione limitata su [a, b] (scriviamo6

g ∈ BV ([a, b])) se l’estremo superiore di V[a,b](g, ς), al variare di tutte lepartizioni ς di [a, b], e finito:

V[a,b](g) := supςV[a,b](g, ς) < +∞.

V[a,b](g) e detta variazione (prima) di g su [a, b].

Esempio 4.31. i) seg : [a, b]→ R

e monotona allora g ∈ BV ([a, b]). Infatti se, per esempio, g e monotonacrescente, si ha

V[a,b](g, ς) =

N∑k=1

(g(tk)− g(tk−1)) = g(b)− g(a),

e dunqueV[a,b](g) = g(b) − g(a);

ii) se g e Lipschitziana, ossia esiste una costante C tale che

|g(t)− g(s)| ≤ C|t− s|, t, s ∈ [a, b],

allora g ∈ BV ([a, b]). Infatti

V[a,b](g, ς) =

N∑k=1

|g(tk) − g(tk−1)| ≤ C

N∑k=1

(tk − tk−1) = C(b− a),

e quindiV[a,b](g) ≤ C(b− a);

iii) se u ∈ L1([a, b]) allora la funzione

g(t) :=

∫ t

a

u(s)ds, t ∈ ]a, b],

6 BV sta per “bounded variation”.


ha variazione limitata, infatti

V[a,b](g, ς) =

N∑k=1

|g(tk)− g(tk−1)| =N∑k=1

∣∣∣∣∣∫ tk

tk−1u(s)ds

∣∣∣∣∣≤

N∑k=1

∫ tk

tk−1|u(s)|ds =

∫ b

a

|u(s)|ds,

e quindiV[a,b](g) ≤ ‖u‖L1;

iv) la funzione

g(t) =

{0 per t = 0,

t sin(1t

)per t ∈ ]0, 1],

e continua su [0, 1] ma non ha variazione limitata. Per esercizio prova-re tale affermazione considerando partizioni con elementi del tipo tn =(π2 + nπ

)−1.

2

Osservazione 4.32. Geometricamente, la variazione V[a,b](g, ς) di una funzione

g : [a, b]→ Rn

rappresenta la lunghezza della spezzata in Rn di estremi g(tk) per k =0, . . . , N . Intuitivamente, se g e continua allora V[a,b](g, ς) approssima, al ten-dere di |ς| a zero, la lunghezza della curva g in Rn: in altre parole la curva ge a variazione limitata (o rettificabile) se ha lunghezza finita, approssimabilecon spezzate.Infatti notiamo che se g ∈ BV ∩ C([a, b]) allora

V[a,b](g) = lim|ς|→0

V[a,b](g, ς). (4.24)

Per assurdo se cio non fosse vero esisterebbero una partizione ς = {t0, . . . , tN}di [a, b], una successione di partizioni (ςn) ed un numero positivo ε tali che

Fig. 4.1. Approssimazione di una curva continua con una spezzata


V[a,b](g, ςn) ≤ V[a,b](g, ς)− ε, limn→∞

|ςn| = 0. (4.25)

Ora si ha

V[a,b](g, ς) ≤ V[a,b](g, ςn) +

N∑k=1

|g(tk) − g(tnkn)|

dove tnkn sono elementi della partizione ςn tali che |tk − tnkn | ≤ |ςn|. D’altraparte, poiche la funzione g e uniformemente continua su [a, b] e lim

n→∞|ςn| = 0,

possiamo scegliere n abbastanza grande in modo che

N∑k=1

|g(tk)− g(tnkn)| ≤ε

2

in contraddizione con la (4.25).Osserviamo che la funzione g : [0, 2]→ R, identicamente nulla tranne che

per t = 1 dove g(1) = 1, e tale che V[0,2](g) = 2. D’altra parte

V[0,2](g, ς) = 0,

per ogni partizione ς non contenente 1. Dunque la (4.24) non e vera per unagenerica g ∈ BV ([a, b]).

2

Il seguente risultato da una caratterizzazione delle funzioni (a valori reali)a variazione limitata.

Teorema 4.33. Una funzione reale ha variazione limitata se e solo se edifferenza di funzioni monotone crescenti.

Dimostrazione. Come conseguenza della disuguaglianza triangolare vale

V[a,b](g1 + g2) ≤ V[a,b](g1) + V[a,b](g2),

e dunque dall’Esempio 4.31-i) segue che la differenza di funzioni monotonecrescenti ha variazione limitata.

Il viceversa e conseguenza della seguente proprieta7 della variazione: perogni t ∈ ]a, b[ vale

V[a,b](g) = V[a,t](g) + V[t,b](g). (4.26)

Anzitutto la funzione

ϕ(t) := V[a,t](g), t ∈ [a, b],

e monotona crescente in base alla (4.26). Inoltre, posto ψ := ϕ − g, si haψ(t + h) ≥ ψ(t) per h ≥ 0, poiche vale equivalentemente

ϕ(t + h) ≥ ϕ(t) + g(t + h)− g(t)

come conseguenza dalla (4.26). 2

7 Per la semplice dimostrazione si veda, per esempio, Lanconelli [110].


Osservazione 4.34. Come semplice conseguenza del risultato precedente, seg ∈ BV ([a, b]) allora esistono (finiti)

g(t+) := lims→t+

g(s), e g(t−) := lims→t−

g(s), (4.27)

per ogni t. Inoltre l’insieme dei punti di discontinuita di g ha cardinalita alpiu numerabile8. Di conseguenza e sempre possibile modificare una funzioneg ∈ BV ([a, b]) su un insieme numerabile (e quindi di misura nulla secondoLebesgue) in modo da renderla continua a destra, ossia tale che

g(t+) = g(t), t ∈ [a, b],

o a sinistra. 2

4.3.2 Integrazione di Riemann-Stieltjes e formula di Ito

Introduciamo alcune notazioni: dato un intervallo reale [a, b], indichiamo con

P[a,b] = {ς = (t0, . . . , tN) | a = t0 < t1 < · · · < tN = b},Tς = {τ = (τ1, . . . , τN) | τk ∈ [tk−1, tk], k = 1, . . . , N},

rispettivamente la famiglia delle partizioni di [a, b] e la famiglia delle “scelte dipunti” relative alla partizione ς. Date due funzioni reali f, g definite su [a, b],indichiamo con

S(f, g, ς, τ) :=

N∑k=1

f(τk)(g(tk)− g(tk−1))

la somma di Riemann-Stieltjes di f relativamente a g, alla partizione ς e allascelta di punti τ ∈ Tς . Vale il seguente classico risultato:Teorema 4.35. Se u ∈ C([a, b]) e g ∈ BV ([a, b]) allora esiste

lim|ς|→0

S(u, g, ς, τ) =:

∫ b

a

u(t)dg(t), (4.28)

ossia per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che∣∣∣∣∣∫ b

a

u(t)dg(t)− S(u, g, ς, τ)

∣∣∣∣∣ < ε,

8 E sufficiente esaminare il caso in cui g sia monotona crescente. Consideriamo isalti di g in t

s(t, g) := g(t+) − g(t−).Per ogni n ∈ N, l’insieme An = {t ∈ ]a, b[ | s(t, g) ≥ 1/n} e finito poiche g(a) ≤g(t) ≤ g(b). La tesi e conseguenza del fatto che l’insieme dei punti di discontinuitadi g e dato dall’unione (numerabile) degli An.


per ogni ς ∈ P[a,b] tale che |ς| < δ e per ogni τ ∈ Tς . La (4.28) definiscel’integrale di Riemann-Stieltjes di u relativamente a g. Inoltre se g ∈ C1([a, b])allora vale semplicemente∫ b

a

u(t)dg(t) =

∫ b

a

u(t)g′(t)dt. (4.29)

Dimostrazione. Diamo una traccia della dimostrazione lasciando i dettagli allettore. Per provare la (4.28), utilizzando il criterio di Cauchy, e sufficienteverificare che per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che

|S(u, g, ς ′, τ ′) − S(u, g, ς ′′, τ ′′)| < ε,

per ogni ς ′, ς ′′ ∈ P[a,b] tale che |ς ′|, |ς ′′| < δ e per ogni τ ′ ∈ Tς′ e τ ′′ ∈ Tς′′ .Poniamo ς = ς ′ ∪ ς ′′ = {t0, . . . , tN}. Fissato ε > 0, poiche f e uniforme-

mente continua su [a, b], e sufficiente scegliere |ς ′| e |ς ′′| abbastanza piccoli perottenere

|S(u, g, ς ′, τ ′)− S(u, g, ς ′′, τ ′′)| ≤ ε

N∑k=1

|g(tk)− g(tk−1)| ≤ εV[a,b](g),

ed ottenere la tesi.

Se g ∈ C1([a, b]), per il Teorema del valor medio data ς ∈ P[a,b] esisteτ ∈ Tς tale che

S(u, g, ς, τ) =

N∑k=1

u(τk)g′(τk)(tk − tk−1) = S(ug′, id, ς, τ)

e la (4.29) segue passando al limite per |ς| che tende a zero. 2

Elenchiamo ora alcune semplici proprieta dell’integrale di Riemann-Stieltjesla cui prova e lasciata per esercizio.

Proposizione 4.36. Siano u, v ∈ C([a, b]), f, g ∈ BV ([a, b]) e λ, μ ∈ R.Allora si ha:

i) ∫ b

a

(λu + v)d(f + μg) = λ

∫ b

a

udf + λμ

∫ b

a

udg+

∫ b

a

vdf + μ

∫ b

a

vdg;

ii) se u ≤ v e g e monotona crescente allora∫ b

a

udg ≤∫ b

a

vdg;


iii) ∣∣∣∣∣∫ b

a

udg

∣∣∣∣∣ ≤ max |u|V[a,b](g);iv) per c ∈ ]a, b[ vale ∫ b

a

udg =

∫ c

a

udg +

∫ b

c

udg.

Proviamo ora un teorema che estende i classici risultati riguardanti il con-cetto di primitiva e il suo ruolo nel calcolo dell’integrale di Riemann. Il teo-rema seguente e la “versione deterministica” della formula di Ito, il risultatofondamentale del calcolo stocastico che proveremo nel Capitolo 5.6.

Teorema 4.37 (Formula di Ito). Siano F ∈ C1([a, b] × R) e g ∈ BV ∩C([a, b]). Allora vale

F (b, g(b))−F (a, g(a)) =∫ b

a

(∂tF ) (t, g(t))dt+

∫ b

a

(∂gF ) (t, g(t))dg(t). (4.30)

Prima di provare il teorema, consideriamo alcuni esempi: nel caso particolareF (t, g) = g, la (4.30) diventa

g(b)− g(a) =

∫ b

a

dg(t).

Inoltre se g ∈ C1

g(b) − g(a) =

∫ b

a

g′(t)dt.

Per F (t, g) = f(t)g troviamo

f(b)g(b) − f(a)g(a) =

∫ b

a

f ′(t)g(t)dt +

∫ b

a

f(t)dg(t)

che estende la formula di integrazione per parti al caso g ∈ BV ∩C([a, b]). La(4.30) consente anche il calcolo esplicito di alcuni integrali: per esempio, perF (t, g) = g2 otteniamo∫ b

a

g(t)dg(t) =1

2

(g2(b)− g2(a)

).

Dimostrazione (del Teorema 4.37). Per ogni ς ∈ P[a,b], abbiamo

F (b, g(b))− F (a, g(a)) =

N∑k=1

[F (tk, g(tk))− F (tk−1, g(tk−1))] =

(per il Teorema del valor medio ed il fatto che g e continua, con t′k, t′′k ∈

[tk−1, tk])


=

N∑k=1

[∂tF (t′k, g(t

′′k))(tk − tk−1) + ∂gF (t

′k, g(t

′′k))(g(tk) − g(tk−1))]

e la tesi segue passando al limite per |ς| → 0. 2

Esercizio 4.38. Procedendo come nella dimostrazione della formula di Ito,provare la seguente formula di integrazione per parti

f(b)g(b) − f(a)g(a) =

∫ b

a

f(t)dg(t) +

∫ b

a

g(t)df(t),

valida per ogni f, g ∈ BV ∩ C([a, b]).

4.3.3 Regolarita delle traiettorie di un moto Browniano

In questa sezione mostriamo che l’insieme degli ω ∈ Ω tale che t �→Wt(ω) havariazione limitata, e trascurabile. In parole povere un moto Browniano Wha quasi tutte le traiettorie irregolari, non rettificabili: in ogni intervallo ditempo [0, t] con t > 0, W percorre q.s. una traiettoria di lunghezza infinita.Di conseguenza, per quasi tutte le traiettorie di W non e possibile definirel’integrale ∫ T

0

ut dWt

nel senso di Riemann-Stieltjes.

Definizione 4.39. Data una funzione g : [0, t] → Rn e una partizione ς ={t0, . . . , tN} ∈ P[0,t], la variazione quadratica di g relativa a ς e definita da

V(2)t (g, ς) =

N∑k=1

|g(tk) − g(tk−1)|2.

Se esiste il limitelim|ς|→0

V(2)t (g, ς) =: 〈g〉t, (4.31)

allora diciamo che 〈g〉t e la variazione quadratica di g su [0, t].

Un caso particolarmente importante e quello delle funzioni continue convariazione (prima) limitata.

Proposizione 4.40. Se g ∈ BV ∩ C([0, t]) allora

〈g〉t = 0.


Dimostrazione. La funzione g e uniformemente continua su [0, t], di conse-guenza per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che

|g(tk) − g(tk−1)| ≤ ε

per ogni ς = {t0, t1, . . . , tN} ∈ P[0,t] tale che |ς| < δ. La tesi e conseguenza delfatto che

0 ≤ V(2)t (g, ς) =

N∑k=1

|g(tk)− g(tk−1)|2 ≤ ε

N∑k=1

|g(tk)− g(tk−1)| ≤ ε V[0,t](g)

dove la variazione prima V[0,t](g) e finita, per ipotesi. 2

Teorema 4.41. Se W e un moto Browniano si ha

lim|ς|→0

V(2)t (W, ς) = t in L2(Ω, P ). (4.32)

Di conseguenza, per ogni t > 0, vale

〈W (ω)〉t = t = var(Wt) per quasi ogni ω ∈ Ω, (4.33)

e, per la Proposizione 4.40, W non ha variazione limitata su [0, t] q.s.

Dimostrazione. Per alleggerire le notazioni, fissata la partizione

ς = {t0, . . . , tN} ∈ P[0,t],

poniamo Δk =Wtk −Wtk−1 per k = 1, . . . , N . Ricordiamo che vale

E[Δ2k

]= tk − tk−1.

Inoltre non e difficile provare9 che vale

E[Δ4k

]= 3(tk − tk−1)

2. (4.34)

Proviamo la (4.32): si ha

E

[(V(2)t (W, ς)− t

)2]=E

[( N∑k=1

Δ2k − t

)2]

=E

[( N∑k=1

(Δ2k − (tk − tk−1)

) )2]

=

N∑k=1

E[(Δ2k − (tk − tk−1)

)2]+ 2

∑h<k

E[(Δ2k − (tk − tk−1)

) (Δ2h − (th − th−1)

)].

9 Vale

E[Δ4

k

]=

∫R

y4Γ (y, tk − tk−1)dy,con Γ come in (2.4). La (4.34) si ottiene integrando per parti. Si veda anchel’Esempio 5.50-(3).


Osserviamo ora che

E[(Δ2k − (tk − tk−1)

)2]= E

[Δ4k

]− 2(tk − tk−1)E

[Δ2k

]+ (tk − tk−1)

2 =

(per la (4.34))= 2(tk − tk−1)

2.

D’altra parte

E[(Δ2k − (tk − tk−1)

) (Δ2h − (th − th−1)

)]=

(per l’indipendenza degli incrementi del moto Browniano, se h < k)

= E[Δ2k − (tk − tk−1)

]E

[Δ2h − (th − th−1)

]= 0.

In definitiva si ha

E

[(V

(2)t (W, ς) − t

)2]= 2

N∑k=1

(tk − tk−1)2 ≤ 2t|ς|.

Concludiamo la dimostrazione provando la (4.33) per assurdo: negando latesi esisterebbero ε > 0 e un evento A, con P (A) > 0, tali che per ogni n ∈ N

|V (2)t (W, ςn)(ω) − t| > ε,

per ogni ω ∈ A e per una certa successione (ςn) in P[0,t], tale che |ςn| < 1n .

D’altra parte, per ipotesi, la successione (V(2)t (W, ςn)) converge a zero in L

2(Ω)e quindi ammette una sotto-successione convergente a zero q.s.: cio porta adun assurdo. 2

Esercizio 4.42. Sia f ∈ C[0, T ]. Provare che

lim|ς|→0

N∑k=1

f(tk−1)(Wtk −Wtk−1 )2 =

∫ T

0

f(t)dt, in L2(Ω),

dove al solito ς = {t0, . . . , tN} ∈ P[0,T ].

Esercizio 4.43. Sia g ∈ C[0, t]. Dati p ≥ 1 e ς = {t0, . . . , tN} ∈ P[0,t],definiamo

V(p)t (g, ς) =

N∑k=1

|g(tk)− g(tk−1)|p

la variazione di ordine p di g su [0, t] relativamente alla partizione ς. Provareche se esiste

lim|ς|→0

V(p0)t (g, ς) ∈ ]0,+∞[,

4.4 Martingale 171

per un certo p0, allora si ha

lim|ς|→0

V(p)t (g, ς) =

{+∞ p < p0

0 p > p0.

Il caso p > p0 si prova esattamente come il Lemma 4.40; il caso p < p0 si puoprovare per assurdo.

Definizione 4.44. Date due funzioni f, g : [0, t] → Rn, la co-variazionequadratica di f, g su [0, t] e definita dal limite (se esiste)

〈f, g〉t := lim|ς|→0ς∈P[0,t]

N∑k=1

〈f(tk)− f(tk−1), g(tk)− g(tk−1)〉.

Il risultato seguente si prova come la Proposizione 4.40.

Proposizione 4.45. Se f ∈ C([0, t]) e g ∈ BV ([0, t]) allora 〈f, g〉t = 0.

4.4 Martingale

Presentiamo alcuni risultati fondamentali sulle martingale a tempo continuo,estendendo alcuni dei concetti presentati nella Sezione 2.7 nell’ambito deiprocessi stocastici discreti.

Definizione 4.46. Sia M un processo stocastico sommabile e Ft-adattato.Diciamo che M e

• una martingala rispetto a (Ft) (nel seguito, Ft-mg) e alla misura P se

Ms = E [Mt | Fs] , per ogni 0 ≤ s ≤ t;

• e una super-martingala se

Ms ≥ E [Mt | Fs] , per ogni 0 ≤ s ≤ t;

• e una sub-martingala se

Ms ≤ E [Mt | Fs] , per ogni 0 ≤ s ≤ t.

Come nel caso discreto, il valore atteso di una martingala M e costante neltempo, infatti:

E [Mt] = E [E [Mt | F0]] = E [M0] , t ≥ 0. (4.35)

Sebbene avremo spesso a che fare con martingale di cui conosciamo gia laproprieta di continuita, riportiamo il seguente risultato (per la dimostrazionesi veda, per esempio, Karatzas-Shreve [91] pag.16).


Teorema 4.47. Assumiamo le ipotesi usuali sulla filtrazione della Sezione4.4.4. Sia M una super-martingala su (Ω,F , P,Ft). Allora M ha una modi-

ficazione M continua a destra se e solo se la funzione t �→ E [Mt] e continua

a destra. In tal caso, si puo scegliere M in modo che sia Ft-adattata e chequindi sia una Ft-super-martingala.

Osservazione 4.48. In base al teorema precedente e alla (4.35), ogni martin-gala ammette una modificazione continua a destra che e unica, a meno di pro-cessi indistinguibili, per la Proposizione 4.18. Dunque l’ipotesi di continuita adestra che assumeremo spesso nel seguito, non risulta essere restrittiva.Notiamo inoltre che se M e una martingala allora (Mt − M0) e una

martingala di valore iniziale nullo. Dunque ogni martingala M puo essere“normalizzata” in modo che M0 = 0. 2

4.4.1 Alcuni esempi

Esempio 4.49. Data una variabile aleatoria Z sommabile in (Ω,F , P,Ft), ilprocesso stocastico definito da

Mt = E [Z | Ft] , t ≥ 0,

e una Ft−mg. 2

Esempio 4.50. Sia (Ω,F , P ) uno spazio di probabilita su cui e definita unafiltrazione (Ft)t∈[0,T ]. Sia Q�F P un’altra misura di probabilita su F . Allorasi ha

Q�Ft P, t ∈ [0, T ],e in base al Teorema di Radon-Nikodym, possiamo definire il processo

Lt :=dQ

dP|Ft .

E facile verificare che L e una P -mg: infatti

i) Lt ≥ 0 e E [Lt] = Q(Ω) = 1, per ogni t ≥ 0;ii) per la (2.76) si ha Ls = E [Lt | Fs] per ogni s < t.

Provare per esercizio che M e una Q-mg se e solo se ML e una P -mg. 2

Il seguente risultato mostra alcuni importanti esempi di martingale co-struite a partire da un moto Browniano.

Proposizione 4.51. Se W e un moto Browniano in (Ω,F , P,Ft) e σ ∈ Rallora

i) Wt,ii) W 2

t − t,

iii) exp(σWt − σ2

2t),

4.4 Martingale 173

sono Ft-mg continue.

Dimostrazione. i): per la disuguaglianza di Holder,

E [|Wt|]2 ≤ E[W 2t

]= t,

e dunque W e sommabile. Inoltre per 0 ≤ s ≤ t si ha

E [Wt | Fs] = E [Wt −Ws | Fs] +E [Ws | Fs] =

(poiche Wt −Ws e indipendente da Fs e Ws e Fs-misurabile)

= E [Wt −Ws] +Ws =Ws.

ii) e lasciato per esercizio. Vedremo in seguito che il fatto che W 2t − t sia

una martingala sostanzialmente caratterizza il moto Browniano (cfr. Teorema5.75).

iii): ricordando l’Esercizio 2.37, exp(σWt − σ2

2 t)e chiaramente sommabi-

le, inoltre per s < t si ha

E

[exp

(σWt −

σ2

2t

)| Fs

]= exp

(σWs −

σ2

2t

)E [exp(σ(Wt −Ws) | Fs] =

(poiche Wt −Ws e indipendente da Fs)

= exp

(σWs −

σ2

2t

)E

[exp(σZ

√t− s)

],

con Z := Wt−Ws√t−s ∼ N0,1. La tesi segue dall’Esercizio 2.37. 2

4.4.2 Disuguaglianza di Doob

Estendiamo al caso continuo la disuguaglianza di Doob, Teorema 2.124,utilizzando un semplice argomento di densita.

Teorema 4.52 (Disuguaglianza di Doob). Siano M una martingala con-tinua a destra10 e p > 1. Allora per ogni T vale

E

[supt∈[0,T ]

|Mt|p]≤ qpE [|MT |p] , (4.36)

dove q = pp−1 e l’esponente coniugato di p.

10 Il risultato vale anche per ogni martingala q.s.-continua a destra.


Dimostrazione. Indichiamo con (tn)n≥0 una enumerazione dei numeri razio-nali dell’intervallo [0, T [ con t0 = 0, ossia

Q ∩ [0, T [= {t0, t1, . . .}.

Consideriamo la successione crescente (ςn) di partizioni11 di [0, T ]

ςn = {t0, t1, . . . , tn, T},

tale che ⋃n≥1

ςn = [0, T [∩Q∪ {T}.

Per ogni n, il processo discreto M (n) definito da

M (n) = (Mt0 ,Mt1 , . . . ,Mtn,MT )

e una martingala rispetto alla filtrazione

(Ft0 ,Ft1, . . . ,Ftn,FT ).

Dunque, per il Teorema 2.124, posto

fn(ω) = max{|Mt0(ω)|, |Mt1(ω)|, . . . , |Mtn(ω)|, |MT (ω)|}, ω ∈ Ω,

si haE [fpn ] ≤ qpE [|MT |p] (4.37)

per ogni n ∈ N e p > 1. Inoltre (fn) e una successione crescente e non-negativae quindi, per il Teorema di Beppo-Levi, passando al limite per n che tendeall’infinito in (4.37) otteniamo

E

[sup

t∈[0,T [∩Q∪{T}|Mt|p

]≤ qpE [|MT |p] .

La tesi segue dal fatto che, essendo M continua a destra, si ha

supt∈[0,T [∩Q∪{T}

|Mt| = supt∈[0,T ]

|Mt|.

2

Esercizio 4.53. Dare un esempio di processo X a valori non-negativi e taleche

supt∈[0,T ]

E [Xt] < E

[supt∈[0,T ]

Xt

].

11 Per ogni n riassegnamo gli indici ai punti t0, . . . , tn in modo che t0 < t1 < · · · < tn.

4.4 Martingale 175

Risoluzione. Per esempio siano Ω = [0,1], P la misura di Lebesgue e

Xt(ω) = 1[t,t+ε](ω), ω ∈ Ω,con ε ∈ ]0, 1[ fissato. 2

Esempio 4.54. Se Mt = E [Z | Ft] e la martingala dell’Esempio 4.49 con Z ∈L2(Ω, P ), allora usando le disuguaglianze di Doob e di Jensen si ha

E

[supt∈[0,T ]

|Mt|2]≤ 4E

[|MT |2

]≤ 4E

[|Z|2

].

2

4.4.3 Spazi di martingale: M 2 e M 2c

Ricordiamo l’Osservazione 4.48 e introduciamo la seguente

Notazione 4.55 Fissato T > 0, nel seguito indichiamo con:

• M 2 lo spazio vettoriale delle Ft-martingale continue a destra (Mt)t∈[0,T ]tali che M0 = 0 q.s. e

[[M ]]T :=

√E

[sup

0≤t≤T|Mt|2

](4.38)

e finito;• M 2

c il sotto-spazio delle martingale continue di M2.

L’importanza della classe M 2c sara evidente nei Paragrafi 5.2 e 5.3 in cui

vedremo che, sotto ipotesi opportune, l’integrale stocastico e un elemento diM 2

c .La (4.38) definisce una semi-norma in M 2: notiamo che [[M ]]T = 0 se e

solo se M e indistinguibile dal (ma non necessariamente uguale al) processostocastico nullo. Inoltre, per la diseguaglianza di Doob, si ha12

‖MT ‖2 ≤ [[M ]]T ≤ 2‖MT ‖2; (4.39)

dunque [[M ]]T e ‖MT ‖2 sono semi-norme equivalenti inM 2. Si ha inoltre chegli spazi M 2 e M 2

c sono completi: vale infatti il seguente

Lemma 4.56. Lo spazio (M 2, [[·]]T) e completo, ossia per ogni successione diCauchy (Mn) esiste M ∈M 2 tale che

limn→∞

[[Mn −M ]]T = 0.

Inoltre se la successione (Mn) e in M 2c , allora M ∈ M 2

c : in altri termini,M 2

c e un sotto-spazio chiuso di M2.

12 Ricordiamo che ‖MT ‖2 :=√E [|MT |2].


Dimostrazione. La dimostrazione e un semplice adattamento della classicaprova della completezza dello spazio L2. Anzitutto, data una successione (Mn)di Cauchy inM 2, e sufficiente provare che essa ammette una sotto-successioneconvergente per concludere che anche (Mn) converge.Sia (Mkn) una sotto-successione di (Mn) tale che[[

Mkn −Mkn+1]]≤ 1

2n, n ≥ 1.

Poniamo, per semplicita, vn =Mkn e definiamo

wN(ω) =

N∑n=1

supt∈[0,T ]

|vn+1(t, ω)− vn(t, ω)|, N ≥ 1.

Allora (wN) e una successione non negativa, monotona crescente e tale che

E[w2N

]≤ 2

N∑n=1

[[vn+1 − vn]]2T ≤ 2.

Dunque esistelimN→∞

wN(ω) =: w(ω)

e, per il Teorema di Beppo-Levi, E[w2

]≤ 2: in particolare esiste F ∈ N tale

che w(ω) <∞ per ogni ω ∈ Ω \ F. Inoltre, per n ≥ m ≥ 2 si hasupt∈[0,T ]

|vn(t, ω) − vm(t, ω)| ≤ w(ω)− wm−1(ω), (4.40)

e quindi (vn(t, ω)) e una successione di Cauchy in R per t ∈ [0, T ] e ω ∈ Ω \Fe converge, uniformemente rispetto a t per ogni ω ∈ Ω \ F , ad un limite cheindichiamo con M(t, ω). Poiche la convergenza di (vn) e uniforme in t, si hache la traiettoria M(·, ω) e continua a destra (continua se Mn ∈ M 2

c ) perogni ω ∈ Ω \ F : in particolare, M e indistinguibile da un processo stocasticocontinuo a destra. Indichiamo tale processo stocastico ancora con M . Dalla(4.40) si ha

supt∈[0,T ]

|M(t, ω)− vn(t, ω)| ≤ w(ω), ω ∈ Ω \ F, (4.41)

da cui deduciamo che [[M ]]T < ∞. Infine possiamo usare la stima (4.41) e ilteorema della convergenza dominata di Lebesgue per provare che

limn→∞

[[X − vn]]T = 0.

Osserviamo infine che M e adattato perche limite puntuale di processi adat-tati: inoltre, per 0 ≤ s < t ≤ T e A ∈ Fs, si ha, per la disuguaglianza diHolder,

0 = limn→∞

E [(Mnt −Mt)1A] = lim

n→∞E [(Mn

s −Ms)1A] ,

e dunque l’uguaglianzaE [Mnt 1A] = E [Mn

s 1A] implica E [Mt1A] = E [Ms1A]e con questo si conclude che M e una martingala. 2

4.4 Martingale 177

4.4.4 Ipotesi usuali

Dato uno spazio di probabilita (Ω,F , P ), ricordiamo che

N = {F ∈ F | P (F ) = 0},indica la famiglia degli eventi trascurabili.

Definizione 4.57. Diciamo che (Ft) e una filtrazione standard se soddisfa lecosiddette13 “ipotesi usuali”:

i) F0 (e quindi anche Ft per ogni t > 0) contiene N ;ii) la filtrazione e continua a destra ossia, per ogni t ≥ 0, vale

Ft =⋂ε>0

Ft+ε. (4.42)

L’esigenza di considerare solo filtrazioni che contengono gli eventi trascura-bili nasce dal voler evitare la spiacevole situazione in cui X = Y q.s., X eFt-misurabile ma Y non e Ft-misurabile. Analogamente, per motivi sostan-zialmente tecnici e utile, sapendo che una variabile aleatoriaX e Fs-misurabileper ogni s > t, poter concludere che X e anche Ft-misurabile: questo e garan-tito dalla (4.42). Useremo tra breve queste proprieta, per esempio nella provadel Teorema 4.63 e nell’Osservazione 5.3.

Il resto della sezione puo essere tralasciato ad una prima lettura: essae dedicata a mostrare come e possibile completare una filtrazione in mododa renderla standard. L’affronto di questo problema puo risultare a primavista alquanto tecnico ma e essenziale per lo sviluppo della teoria del calcolostocastico.Ricordando la Definizione 4.4, notiamo che in generale, anche se X e un

processo stocastico continuo, non e detto che la sua filtrazione naturale FXverifichi le ipotesi usuali e, in particolare, sia continua a destra. Questo motivala seguente

Definizione 4.58. Dato un processo stocastico X nello spazio (Ω,F , P ),poniamo, per t ≥ 0,

FXt :=⋂ε>0

FXt+ε, dove FXt := σ(FXt ∪ N

). (4.43)

Si verifica facilmente che FX := (FXt ) e una filtrazione che soddisfa le ipotesiusuali: essa e detta filtrazione standard per X.

Osservazione 4.59. Nel seguito, salvo diversa indicazione, data una filtrazio-ne (Ft), assumiamo implicitamente che essa verifichi le ipotesi usuali dellaDefinizione 4.57. In particolare, dato un processo stocastico X, utilizziamosolitamente la filtrazione standard FX piuttosto che la filtrazione naturaleFX . 2

13 La terminologia “usual conditions” e comunemente adottata nella letteraturaanglosassone.


Studiamo ora il problema dell’introduzione di filtrazioni standard nel casoparticolare del moto Browniano. Consideriamo un moto BrownianoW definitosu uno spazio di probabilita (Ω,F , P ) munito della filtrazione naturale FW .Proviamo che per rendere standard la filtrazione FW e sufficiente completarlacon gli eventi trascurabili, senza dover ulteriormente arricchirla come in (4.43).Piu precisamente definiamo la filtrazione naturale completata con gli eventitrascurabili ponendo

FWt = σ(FWt ∪ N

),

e chiamiamo FW =(FWt

)filtrazione Browniana.

Teorema 4.60. La filtrazione FW verifica le ipotesi usuali e coincide conla filtrazione standard per W . Inoltre W e un moto Browniano nello spazio(Ω,F , P,FW) detto moto Browniano standard.

Dimostrazione. La dimostrazione e un tipico esempio di utilizzo dei Teoremidi Dynkin (Teoremi A.4 e A.7). Poniamo

Ft− := σ

(⋃s<t

FWs

), Ft+ :=

⋂s>t

FWs .

Osserviamo che non e detto in generale che⋃s<t

FWs sia una σ-algebra e questo

giustifica la definizione di Ft−. Chiaramente

Ft− ⊆ FWt ⊆ Ft+;

vogliamo provare cheFt+ ⊆ Ft−, (4.44)

per ogni t. A tal fine e sufficiente provare che

E [X | Ft+] = E [X | Ft−] (4.45)

per ogni X v.a. FWs -misurabile e limitata, con s > t: infatti se tale relazionevale in particolare per ogni X v.a. Ft+-misurabile e limitata, ne dedurremmoche X e anche Ft−-misurabile da cui la (4.44).Indichiamo con i l’unita complessa. Per ogni α ∈ R e u < t ≤ s si ha

E[eiαWs | FWu

]= eiαWuE

[eiα(Ws−Wu) | FWu

]=


= eiαWuE[eiα(Ws−Wu)

]=

(per l’Esempio 2.37)

= eiαWu−α2

2 (s−u). (4.46)

4.4 Martingale 179

Passando al limite per u→ t−, otteniamo che

Z := eiαWt−α2

2 (s−t) = limu→t−

E[eiαWs | FWu

].

Verifichiamo ora che Z = E[eiαWs | Ft−

]: osserviamo anzitutto che Z e Ft−-

misurabile essendo limite puntuale di v.a. Ft−-misurabili. Rimane da provareche

E [Z1G] = E[eiαWs1G

], (4.47)

per ogni G ∈ Ft−. Cio e conseguenza del Teorema di Dynkin nella versionedel’Esercizio 2.101: infatti, se G ∈ FWu , u < t, si ha

E [Z1G] = limv→t−

E[E

[eiαWs | FWv

]1G

]=

(poiche 1GE[eiαWs | FWv

]= E

[eiαWs1G | FWv

]se v ≥ u)

= limv→t−

E[E

[eiαWs1G | FWv

]]= E

[eiαWs1G

].

Dunque la (4.47) vale per G ∈ ⋃u<t

FWu che e una famiglia ∩-stabile, checontiene Ω e genera Ft−: di conseguenza, la (4.47) vale anche per G ∈ Ft−.In definitiva abbiamo provato che

E[eiαWs | Ft−

]= eiαWt−α2

2 (s−t) = E[eiαWs | Ft

].

Allo stesso modo si prova che

E[eiαWs | Ft+

]= eiαWt−α2

2 (s−t) = E[eiαWs | Ft

],

e quindi, per ogni s ≥ 0 (per s < t e ovvio), vale

E[eiαWs | Ft−

]= E

[eiαWs | Ft+

].

Piu in generale, procedendo come sopra, si prova che

E[ei(α1Ws1+···+αkWsk) | Ft−

]= E

[ei(α1Ws1+···+αkWsk ) | Ft+

]. (4.48)

per ogni α1, . . . , αk ∈ R e 0 ≤ s1 < · · · < sk, k ∈ N. E sufficiente osservareche, nel caso k = 2, si prova nel modo seguente una relazione analoga alla(4.46): per u < t ≤ s1 < s2 si ha

E[ei(α1Ws1+α2Ws2) | FWu

]= ei(α1+α2)WuE

[ei(α1+α2)(Ws1−Wu)eiα2(Ws2−Ws1) | FWu

]=



= ei(α1+α2)WuE[ei(α1+α2)(Ws1−Wu)eiα2(Ws2−Ws1 )

]= ei(α1+α2)Wue−

(α1+α2)2

2 (s1−u)e−α222 (s2−s1).

Indichiamo ora con H la famiglia delle v.a. limitate Z tali che

E [Z | Ft−] = E [Z | Ft+] .

Allora H e una famiglia monotona di funzioni (cfr. Definizione A.6) checontiene le v.a. nulle q.s. (poiche Ft− e Ft+ contengono gli eventi trascu-rabili) e le combinazioni lineari e i prodotti di cos(αWs) = Re

(eiαWs

)e

sin(αWs) = Im(eiαWs

)per α ∈ R e s ≥ 0, in base alla (4.48). Fissato s > 0 e

posto

As = {(Ws1 ∈ H1)∩ · · ·∩ (Wsk ∈ Hk) | 0 ≤ sj ≤ s, Hj ∈B, 1 ≤ j ≤ k ∈ N},

per densita14 H contiene anche le funzioni caratteristiche degli elementi di Ae N . D’altra parte A e N sono ∩-stabili e σ(A ∪ N ) = FWs : dunque per ilTeorema A.7 H contiene anche ogni funzione limitata e FWs -misurabile (perogni s > 0). Questo conclude la prova della (4.45) e del teorema. 2

Osservazione 4.61. Un risultato analogo a quello del teorema precedente valein generale per i processi che godono della proprieta di Markov forte: per idettagli rimandiamo al Capitolo 2.7 in Karatzas&Shreve [91]. 2

4.4.5 Tempi d’arresto e martingale

Definizione 4.62. Una variabile aleatoria

τ : Ω −→ [0,+∞]

e un tempo d’arresto (o stopping time) rispetto alla filtrazione (Ft) se

{τ ≤ t} ∈ Ft, (4.49)

per ogni t ≥ 0.

Notiamo che in generale un tempo d’arresto τ puo assumere il valore +∞ echiaramente ogni tempo deterministico (costante) τ ≡ t e un tempo d’arresto.Il seguente importante risultato si basa sull’assunzione delle ipotesi usualisulla filtrazione.

Teorema 4.63. τ e un tempo d’arresto se e solo se

{τ < t} ∈ Ft, (4.50)

per ogni t ≥ 0. Di conseguenza si ha anche {τ = t}, {τ ≥ t}, {τ > t} ∈ Ft.14 E noto che la funzione indicatrice di un Borelliano e approssimabile puntualmente

mediante polinomi trigonometrici.

4.4 Martingale 181

Dimostrazione. Se τ e un tempo d’arresto allora

{τ < t} =⋃n∈N

{τ ≤ t− 1

n

}

con{τ ≤ t− 1

n

}∈ Ft− 1

n⊆ Ft. Viceversa, per ogni ε > 0 si ha

{τ ≤ t} =⋂

0<δ<ε

{τ < t+ δ},

e quindi {τ ≤ t} ∈ Ft+ε. Di conseguenza, in base alle ipotesi usuali,

{τ ≤ t} ∈ Ft =⋂ε>0

Ft+ε.

2

Proposizione 4.64. Siano τ, τ1 tempi d’arresto. Allora anche

τ ∧ τ1 := min{τ, τ1} e τ ∨ τ1 := max{τ, τ1}

sono tempi d’arresto.

Dimostrazione. Basta osservare che

{min{τ, τ1} ≤ t} = {τ ≤ t} ∪ {τ1 ≤ t},{max{τ, τ1} ≤ t} = {τ ≤ t} ∩ {τ1 ≤ t}.

2

In finanza, l’esempio tipico di stopping time e il tempo di esercizio diun’opzione Americana (cfr. Paragrafo 3.4). Un altro importante esempio cheha un’interpretazione geometrica estremamente intuitiva e il cosiddetto tempodi entrata di un processo stocastico in un insieme aperto o chiuso di RN .

Teorema 4.65. [Tempo d’entrata] Sia X = (Xt)t∈[0,+∞[ un processo sto-castico in RN , continuo e adattato a Ft. Dato un insieme aperto o chiuso Hdi RN e fissato ω ∈ Ω, poniamo

I(ω) = {t ≥ 0 | Xt(ω) ∈ H},

e

τ (ω) =

{inf I(ω), se I(ω) �= ∅,+∞, se I(ω) = ∅.

Allora τ e un Ft−stopping time detto tempo di entrata di X in H.


Dimostrazione. Consideriamo prima H aperto. In base al Teorema 4.63 esufficiente verificare che {τ < t} ∈ Ft per ogni t. Essendo H aperto e Xcontinuo, si ha

{τ < t} =⋃

s∈Q∩[0,t[{Xs ∈ H},

e la tesi e conseguenza del fatto che, essendo X adattato, si ha

{Xs ∈ H} ∈ Ft, s ≤ t.

Nel caso in cui H sia chiuso consideriamo la successione di aperti di RN

Hn =

{x ∈ RN | dist(x,H) < 1

n

}, n ∈ N,

dove dist(·, H) indica la distanza Euclidea da H . La tesi segue dall’uguaglian-za15

{τ ≤ t} = {Xt ∈ H} ∪( ⋂n∈N

⋃s∈Q∩[0,t[

{Xs ∈ Hn}).

2

La condizione {τ ≤ t} ∈ Ft esprime il fatto che per sapere se X raggiungeH entro il tempo t e sufficiente osservare le traiettorie del processo fino al-l’istante t. Osservando la Figura 4.4.5 si capisce la sottigliezza del Teorema4.63: intuitivamente, le informazioni in Ft permettono di stabilire se Xt entranell’aperto H . Notiamo che le due traiettorie di X in figura coincidono fino altempo t in cui Xt(ω1) = Xt(ω2) /∈ H e successivamente la traiettoria ω1 entrain H (e quindi τ (ω1) = t) mentre la traiettoria ω2 non entra in H (e quindiτ (ω2) > t).

Notiamo esplicitamente che l’ultimo tempo di uscita

τ = sup{t | Xt ∈ H}

H

X(w )=X(w )1 2

X(w )1

X(w )2

Fig. 4.2. Tempo d’entrata di un processo in un insieme aperto H

15 Poiche τ(ω) ≤ t se e solo se Xt(ω) ∈ H oppure, per ogni n ∈ N, esiste s ∈ Q∩ [0, t[tale che Xs(ω) ∈ Hn.

4.4 Martingale 183

non e in generale un tempo d’arresto. Intuitivamente, per sapere se X esceprima di t da H per l’ultima volta, occorre conoscere tutta la traiettoria di X.

Notazione 4.66 Dati un tempo d’arresto τ finito su Ω \ N , dove N e unevento trascurabile, e un processo stocastico X, poniamo

Xτ (ω) := Xτ(ω)(ω), ω ∈ Ω. (4.51)

Inoltre definiamo la σ-algebra

Fτ = {F ∈ F | F ∩ {τ ≤ t} ∈ Ft per ogni t} (4.52)

detta σ-algebra associata al tempo d’arresto τ .

Osserviamo che se τ1, τ2 sono tempi d’arresto tali che τ1 ≤ τ2 q.s. alloraFτ1 ⊆ Fτ2 . Infatti, fissato t, per ipotesi

{τ1 ≤ t} ⊇ {τ2 ≤ t};

dunque se F ∈ Fτ1 si ha

F ∩ {τ2 ≤ t} = (F ∩ {τ1 ≤ t}) ∩ {τ2 ≤ t} ∈ Ft.

Osservazione 4.67. Per ogni tempo d’arresto τ e n ∈ N, la posizione

τn(ω) =

{k+12n se k

2n ≤ τ (ω) < k+12n ,

+∞ se τ (ω) = +∞,

definisce una successione (τn) decrescente di tempi d’arresto a valori discretie tale che

τ = limn→∞

τn.

2

Proviamo ora la versione continua del Teorema 2.122: la dimostrazione ebasata su un procedimento di approssimazione che permette di utilizzare ilrisultato in tempo discreto.

Teorema 4.68 (Teorema di optional sampling di Doob). Siano M unamartingala continua a destra e τ1, τ2 tempi d’arresto tali che τ1 ≤ τ2 ≤ T q.s.,con T > 0. Allora vale

Mτ1 = E [Mτ2 | Fτ1 ] ,In particolare, per ogni tempo d’arresto τ q.s. limitato, vale

E [Mτ ] = E [M0] .


Dimostrazione. Siano (τ1,n), (τ2,n) successioni di tempi d’arresto discreti, co-struiti come nell’Osservazione 4.67, che approssimano rispettivamente τ1 e τ2.Per l’ipotesi di continuita,

limn→∞

Mτi,n =Mτi , i = 1, 2, q.s.

Inoltre per il Teorema 2.122 si ha

Mτ2,n = E[MT | Fτ2,n

]e quindi, per il Corollario A.53, la successione

(Mτ2,n

)e uniformemente

integrabile. Infine, per il Teorema 2.122, vale

Mτ1,n = E[Mτ2,n | Fτ1,n

]e la tesi segue passando al limite in n. 2

Osservazione 4.69. In modo analogo si prova che seM e una super-martingalacontinua a destra e τ1 ≤ τ2 ≤ T q.s. allora

Mτ1 ≥ E [Mτ2 | Fτ1 ] . (4.53)

Rimandiamo a [91] per i dettagli.L’ipotesi di limitatezza dei tempi d’arresto puo essere sostituita da una

condizione di limitatezza del processo: la (4.53) e ancora valida se M e unasuper-martingala tale che

Mt ≥ E [M | Ft] , t ≥ 0,

con M ∈ L1(Ω, P ), e τ1 ≤ τ2 sono tempi d’arresto finiti q.s. 2

Corollario 4.70. Nello spazio (Ω,F , P,Ft) sia X un processo stocastico e τun tempo d’arresto limitato q.s. Consideriamo il processo arrestato

Yt(ω) = Xt∧τ(ω)(ω), t ≥ 0, ω ∈ Ω.

Vale:

i) se X e progressivamente misurabile allora anche Y lo e e la variabilealeatoria Xτ e Fτ -misurabile;

ii) se X e progressivamente misurabile allora la variabile aleatoria Xτ e Fτ -misurabile;

iii) se X e una Ft-martingala continua a destra allora vale

Xt∧τ = E [Xτ | Ft] (4.54)

e di conseguenza anche Y e una Ft-martingala continua a destra.

4.4 Martingale 185

Dimostrazione. i) Osserviamo che la funzione

ϕ : [0, t]× Ω −→ [0, t]× Ω, ϕ(s, ω) = (s ∧ τ (ω), ω),

e misurabile rispetto alla σ-algebra prodotto B([0, t]) ⊗ Ft. Essendo Xt∧τuguale alla composizione di X con ϕ

X ◦ ϕ : ([0, t]× Ω,B([0, t])⊗ Ft) −→ RN

la prima parte della tesi segue dall’ipotesi di progressiva misurabilita di X.ii) Per provare che Xτ e Fτ -misurabile, dobbiamo mostrare che per ogni

H ∈ B e t ≥ 0 si ha F := {Xτ ∈ H} ∩ {τ ≤ t} ∈ Ft. Ma poiche vale F ={Xt∧τ ∈ H} ∩ {τ ≤ t}, la tesi segue dal fatto che (Xt∧τ ) e progressivamentemisurabile.iii) Applichiamo il Teorema 4.68 per ottenere

Xt∧τ = E [Xτ | Ft∧τ ]= E

[Xτ1{τ<t} +Xτ1{τ≥t} | Ft∧τ

]= Xτ1{τ<t} +E

[Xτ1{τ≥t} | Ft∧τ

]=

(poiche A1{τ≥t} ∈ Fτ se A ∈ Ft)

= Xτ1{τ<t} +E [Xτ | Ft]1{τ≥t} =

(poiche Xτ1{τ<t} e Ft-misurabile)

= E [Xτ | Ft] ,

e questo prova la (4.54).Fissati t < s, applicando la (4.54) con il tempo d’arresto s ∧ τ al posto di

τ , otteniamoXt∧τ = E [Xs∧τ | Ft] ,

e quindi Y e una Ft-martingala. 2

4.4.6 Variazione quadratica e decomposizione di Doob-Meyer

Il Teorema 2.113 di decomposizione di Doob si estende a tempo continuo:questo profondo risultato chiarisce la struttura e alcune proprieta delle mar-tingale. Enunciamo una versione particolare del teorema, senza peraltro di-scutere la nozione di processo predicibile a tempo continuo: rimandiamo, peresempio, al Cap.1.4 in Karatzas-Shreve [91] per una presentazione organicadell’argomento. Nel seguito (Ω,F , P, Ft) indica uno spazio con filtrazione cheverifica le ipotesi usuali.

Definizione 4.71. Si dice che A e un processo a variazione limitata se quasitutte le traiettorie di A sono funzioni a variazione limitata. Si dice che unprocesso reale A e crescente se quasi tutte le traiettorie di A sono funzionicrescenti.


Osservazione 4.72. Se u e un p.s. con le traiettorie q.s. sommabili su [0, T ],allora il processo

At =

∫ T

0

usds, , t ∈ [0, T ],

ha variazione limitata per l’Esempio 4.31-iii).Ricordiamo che, per il Teorema 4.33, ogni processo reale ha variazione

limitata se e solo se e differenza di processi crescenti. 2

Prima di enunciare il risultato principale, ricordiamo che se M ∈ M 2

allora, per la disuguaglianza di Jensen, |M |2 e una sub-martingala.

Teorema 4.73 (Teorema di decomposizione di Doob-Meyer). Perogni M = (Mt)t∈[0,T ] ∈ M 2

c (Ft) esiste un unico (a meno di processi indi-stinguibili) processo A crescente, continuo tale che A0 = 0 q.s. e |M |2 − A euna Ft-martingala. Inoltre vale

At = 〈M〉t := lim|ς|→0

V(2)t (M, ς), t ≤ T, q.s. (4.55)

e 〈M〉 e detto processo variazione quadratica di M .

In base alla (4.55) il processo variazione quadratica di M ∈M 2c e, traiettoria

per traiettoria, q.s. uguale alla variazione quadratica (secondo la Definizione4.39). E interessante notare che la (4.55), e quindi anche 〈M〉, non dipendedalla filtrazione considerata.Nel caso in cui M sia un moto Browniano reale, il risultato del Teorema

di Doob-Meyer e contenuto nel Teorema 4.41 e nella Proposizione 4.51-ii)precedentemente dimostrate: in questo caso 〈M〉t = t.Dimostreremo il Teorema 4.73 in seguito (cfr. Sezione 5.3.3) solo nel caso

particolarmente significativo in cui M e un integrale stocastico. In generalela dimostrazione e basata su un procedimento di approssimazione dal casodiscreto: osserviamo che se (Mn) e una martingala reale discreta allora ilprocesso (An) definito da A0 = 0 e

An =

n∑k=1

(Mk −Mk−1)2, n ≥ 1,

e crescente e tale che M2 − A e una martingala. Infatti

E[M2n+1 −An+1 | Fn

]=M2

n − An

se e solo seE

[M2n+1 − (Mn+1 −Mn)

2 | Fn]=M2

n,

da cui la tesi.La prova della (4.55) e simile a quella del Teorema 4.41 e si basa sul fatto

che l’attesa del prodotto di incrementi di una martingala realeM , su intervalli

4.4 Martingale 187

non sovrapposti, e uguale a zero16. Piu precisamente, per 0 ≤ s < t ≤ u < v,vale

E [(Mv −Mu)(Mt −Ms)] = E [E [(Mv −Mu) | Fu] (Mt −Ms)] = 0. (4.56)

La (4.56) pur essendo immediata e una formula cruciale ed estremamentesignificativa. A partire da essa e possibile estendere molti risultati validi per ilmoto Browniano al caso generale di una martingala: non ultimo, la costruzionedell’integrale stocastico che tratteremo nel prossimo capitolo.SiaM ∈M 2

c : come conseguenza del fatto che |M |2−〈M〉 e una martingala,per s ≤ t, si ha

E[|Mt|2 − |Ms|2 | Fs

]= E [〈M〉t − 〈M〉s | Fs] . (4.57)

Concludiamo la sezione con la definizione di processo co-variazione: persemplicita consideriamo solo il caso di processi a valori reali.

Definizione 4.74. Il processo co-variazione quadratica di due p.s. X, Y edefinito dal limite17

〈X, Y 〉t := lim|ς|→0ς∈P[0,t]

N∑k=1

(Xtk −Xtk−1

) (Ytk − Ytk−1

), q.s., t ≥ 0. (4.58)

Teorema 4.75 (di Doob). Se X, Y ∈M 2c esiste 〈X, Y 〉 in (4.58) ed esso e

l’unico (a meno di processi indistinguibili) processo a variazione limitata taleche 〈X, Y 〉0 = 0 q.s. e XY − 〈X, Y 〉 e una martingala continua.

Osserviamo che se X, Y ∈M 2c allora i processi

(X + Y )2 − 〈X + Y 〉, (X − Y )2 − 〈X − Y 〉

sono martingale e dunque anche la differenza

4XY − (〈X + Y 〉 − 〈X − Y 〉)

e una martingala. Di conseguenza vale

〈X, Y 〉 = 1

4(〈X + Y 〉 − 〈X − Y 〉) .

Inoltre 〈X,X〉 = 〈X〉 e vale la seguente identita (che estende la (4.57)): perogni X, Y ∈M 2

c e 0 ≤ s < t,

E [(Xt −Xs)(Yt − Ys) | Fs] = E [XtYt −XsYs | Fs]= E [〈X, Y 〉t − 〈X, Y 〉s | Fs] .

16 Per i dettagli si veda, per esempio, Karatzas-Shreve [91], pag.34.17 Se esiste.


Proposizione 4.76. La co-variazione 〈·, ·〉 e una forma bilineare inM 2c : per

ogni X, Y, Z ∈M 2c , λ, μ ∈ R si ha

i) 〈X, Y 〉 = 〈Y,X〉;ii) 〈λX + μY, Z〉 = λ〈X,Z〉 + μ〈Y, Z〉;iii) |〈X, Y 〉|2 ≤ 〈X〉〈Y 〉.

Dimostrazione. Per esercizio. 2

Proposizione 4.77. Siano X, Y ∈ M 2c e Z, V p.s. continui e a variazione

limitata. Allora esiste 〈X + Z, Y + V 〉 in (4.58) e vale

〈X + Z, Y + V 〉 = 〈X, Y 〉.

Dimostrazione. E conseguenza del Teorema 4.75 di Doob e della Proposizione4.45 secondo cui la co-variazione quadratica di due p.s. X,Z, di cui uno econtinuo e l’altro ha variazione limitata, e il processo nullo e quindi

〈X + Z, Y + V 〉 = 〈X, Y 〉 + 〈Z, Y + V 〉+ 〈X + Z, V 〉︸︷︷︸=0

.

2

4.4.7 Martingale a variazione limitata

Come conseguenza del Teorema di Doob-Meyer possiamo provare che se unamartingala M ∈ M 2

c ha variazione limitata allora e costante q.s. Come ab-biamo visto precedentemente, cio significa che quasi tutte le traiettorie diogni martingala non banale M sono irregolari, non sono differenziabili e none possibile definire l’integrale ∫ T

0

utdMt

nel senso di Riemann-Stieltjes.

Proposizione 4.78. Se M ∈M 2c allora t �→ Mt(ω) non ha variazione limi-

tata su [0, T ] per quasi ogni ω ∈ {〈M〉T > 0}. Inoltre t �→Mt(ω) e la funzionecostante nulla per quasi ogni ω ∈ {〈M〉T = 0}.

Dimostrazione. La prima parte della tesi e conseguenza della Proposizione4.40. Per la seconda parte, poniamo

τ = inf{t | 〈M〉t > 0} ∪ {T}.

Allora τ e un tempo d’arresto in base al Teorema 4.65 e poiche M2 − 〈M〉 euna martingala allora, per il Corollario 4.70, anche18

18 L’uguaglianza e dovuta al fatto che 〈M〉t = 0 per t ≤ τ .

4.4 Martingale 189

M2t∧τ − 〈M〉t∧τ =M2

t∧τ

e una martingala. Dunque si ha

E[M2T∧τ

]= E

[M2

0

]= 0.

Di conseguenza, per la disuguaglianza di Doob, (M2t∧τ ) ha le traiettorie nulle

q.s. e la tesi segue dal fatto che M = (M2t∧τ )t∈[0,T ] su {〈M〉T = 0}. 2

5

Integrale stocastico

Integrale stocastico di funzioni deterministiche – Integrale stocastico di processisemplici – Integrale di processi in L2 – Integrale di processi in L2loc – Processi di Ito– Formula di Ito-Doeblin – Processi e formula di Ito multi-dimensionale – Estensionidella formula di Ito

In questo capitolo introduciamo gli elementi di teoria dell’integrazione stoca-stica necessari alla trattazione di alcuni modelli finanziari in tempo continuo.Nel Paragrafo 4.3 abbiamo motivato l’interesse per lo studio del limite di

una somma di Riemann-Stieltjes del tipo

N∑k=1

utk−1(Wtk −Wtk−1) (5.1)

al tendere a zero del parametro di finezza della partizione {t0, . . . , tN}. In (5.1),W e un moto Browniano reale che rappresenta il prezzo di un titolo rischiosoe u e un processo adattato che rappresenta una strategia d’investimento: nelcaso in cui la strategia sia autofinanziante, il limite della somma in (5.1) epari al valore dell’investimento.Abbiamo visto che le traiettorie di W non hanno variazione limitata q.s.

e tale proprieta e condivisa piu in generale dalle martingale (non banali) diM 2

c . Questo fatto impedisce di definire l’integrale∫ T

0

utdWt

nel senso di Riemann-Stieltjes, traiettoria per traiettoria. D’altra parte W (eogni processo in M 2

c ) ha variazione quadratica finita e questa proprieta per-mette di costruire l’integrale stocastico per un’opportuna classe di integrandiu: genericamente richiediamo che u sia progressivamente misurabile e abbiaqualche proprieta di sommabilita.Il concetto di integrale Browniano e stato introdotto da Paley, Wiener e

Zygmund [134] per funzioni integrande deterministiche. La costruzione ge-nerale e dovuta a Ito [82]-[83] nel caso del moto Browniano e a Kunita eWatanabe [103] inM 2. Questa teoria pone le fondamenta per una trattazio-ne rigorosa delle equazioni differenziali stocastiche che descrivono i processi didiffusione introdotti da Kolmogorov [100] e su cui si basano anche i moderni


192 5 Integrale stocastico

modelli stocastici per la finanza. Nel seguito ci limiteremo a considerare ilcaso Browniano perche questo e sufficiente per le applicazioni finanziarie cheintendiamo trattare: il caso generale e solo moderatamente piu complicato e illettore interessato puo per esempio consultare i testi di Karatzas-Shreve [91],Revuz-Yor [142], Ikeda-Watanabe [80].Lo scopo del capitolo e di costruire gradualmente l’integrale stocastico

considerando dapprima l’integrazione di processi “semplici” ossia costanti atratti rispetto alla variabile temporale, per poi estendere la definizione aduna classe sufficientemente generale di processi progressivamente misurabili,di quadrato integrabile. Fra le principali conseguenze della definizione si hache l’integrale stocastico ha media nulla, e una martingala continua inM 2

c esoddisfa l’isometria di Ito. Estendendo ulteriormente la classe degli integrandialcune di queste proprieta si perdono ed e necessario introdurre la nozione piugenerale di martingala locale.In seguito presentiamo il risultato centrale della teoria del calcolo stocasti-

co, la formula di Ito. Tale formula estende in ambito probabilistico il Teorema4.37 e fornisce le basi del calcolo differenziale per il moto Browniano: comeabbiamo gia visto, il moto Browniano ha le traiettorie fortemente irregolarie questo induce un’interpretazione integrale del calcolo differenziale per pro-cessi stocastici. Nella Sezione 5.6.3 anticipiamo il legame fondamentale che laformula di Ito stabilisce fra la teoria delle martingale e delle equazioni diffe-renziali paraboliche: tale legame potra essere illustrato in modo approfonditonel Paragrafo 9.4, avendo a disposizione le basi della teoria delle equazionidifferenziali stocastiche.Nel Paragrafo 5.7 estendiamo al caso multi-dimensionale i principali risul-

tati relativi ai processi e al calcolo stocastico, e ci soffermiamo in particolaresul concetto di correlazione di processi. L’ultima parte del capitolo tratta al-cune estensioni della formula di Ito: in vista delle applicazioni allo studio delleopzioni Americane, proviamo una formula di Ito in cui l’ipotesi di regolaritaclassica C1,2 e sostituita da una regolarita debole nell’ambito di opportunispazi di Sobolev. Infine descriviamo il cosiddetto tempo locale di un processodi Ito mediante il quale e possibile dare una prova diretta della formula diBlack&Scholes per la valutazione di un’opzione Call Europea.

5.1 Integrale stocastico di funzioni deterministiche

Come esempio introduttivo, utile ad anticipare alcuni dei principali risultatiche dimostreremo in seguito, consideriamo la costruzione di Paley, Wiener eZygmund [134] dell’integrale stocastico per funzioni integrande deterministi-che.Sia u ∈ C1([0, 1]) una funzione a valori reali tale che u(0) = u(1) = 0.

Dato W un moto Browniano reale, definiamo∫ 1

0

u(t)dWt = −∫ 1

0

u′(t)Wtdt. (5.2)

5.1 Integrale stocastico di funzioni deterministiche 193

Tale integrale e una variabile aleatoria che verifica le seguenti proprieta:

i) E[∫ 1

0 u(t)dWt

]= 0;

ii) E

[(∫ 1

0u(t)dWt

)2]=

∫ 1

0u2(t)dt.

Infatti

E

[∫ 1

0

u′(t)Wtdt

]=

∫ 1

0

u′(t)E [Wt] dt = 0.

Inoltre

E

[∫ 1

0

u′(t)Wtdt

∫ 1

0

u′(s)Wsds

]=

∫ 1

0

∫ 1

0

u′(t)u′(s)E [WtWs]dtds =

(poiche E [WtWs] = t ∧ s)

=

∫ 1

0

u′(t)

(∫ t

0

su′(s)ds+ t

∫ 1

t

u′(s)ds

)dt

=

∫ 1

0

u′(t)

(tu(t)−

∫ t

0

u(s)ds+ t(u(1) − u(t))

)dt

=

∫ 1

0

u′(t)

(−

∫ t

0

u(s)ds

)dt =

∫ 1

0

u2(t)dt.

Piu in generale se u ∈ L2(0, 1) e (un) e una successione di funzioni in C10 (0, 1)

che approssima u in norma L2, per la proprieta ii) si ha

E

[(∫ 1

0

un(t)dWt −∫ 1

0

um(t)dWt

)2]=

∫ 1

0

(un(t)− um(t))2dt.

Pertanto la successione degli integrali e di Cauchy e possiamo definire∫ 1

0

u(t)dWt = limn→∞

∫ 1

0

un(t)dWt.

Abbiamo dunque costruito l’integrale stocastico per u ∈ L2 e per passaggioal limite e immediato verificare la validita delle proprieta i) e ii).Chiaramente questa costruzione ha solo carattere introduttivo poiche il ve-

ro interesse e nel definire l’integrale Browniano nel caso in cui u sia processostocastico. Ricordiamo infatti che, dal punto di vista finanziario, u rappre-senta una strategia di investimento futuro, necessariamente aleatoria. D’altraparte, poiche la (5.2) e una definizione estremamente ragionevole, nei pros-simi paragrafi introdurremo una nozione di integrale stocastico che coincidecon (5.2) nel caso in cui u sia deterministico.


5.2 Integrale stocastico di processi semplici

Nel seguito W e un moto Browniano reale su uno spazio di probabilita con fil-trazione (Ω,F , P,Ft) in cui valgono le ipotesi usuali e T e un numero positivofissato.

Definizione 5.1. Il processo stocastico u appartiene alla classe L2 se

i) u e progressivamente misurabile rispetto alla filtrazione (Ft);

ii) esiste finitoT∫0

E[u2t

]dt.

Poiche la definizione di L2 dipende dalla filtrazione fissata (Ft), quando saranecessario scriveremo anche L2(Ft) al posto di L2. Mentre la ii) e una normalerichiesta di sommabilita dell’integrando1, la i) e la proprieta che gioca il ruolocruciale nel seguito.Piu in generale, per p ≥ 1, indichiamo con Lp lo spazio dei processi pro-

gressivamente misurabili in Lp([0, T ]× Ω). Notiamo esplicitamente che Lp eun sotto-spazio chiuso di Lp([0, T ]× Ω).Analogamente alla costruzione dell’integrale vista nel Capitolo 2, comincia-

mo col definire l’integrale di Ito per una particolare classe di processi stocasticidi L2.

Definizione 5.2. Un processo u ∈ L2 si dice semplice se e della forma

u =

N∑k=1

ek1]tk−1 ,tk] , (5.3)

dove 0 ≤ t0 < t1 < · · · < tN e ek sono variabili aleatorie2 su (Ω,F , P ).

Osservazione 5.3. E importante osservare che, essendo u progressivamente mi-surabile e grazie all’ipotesi (4.42) di continuita a destra della filtrazione, si hache ek in (5.3) e Ftk−1-misurabile per ogni k = 1, . . . , N . Inoltre ek ∈ L2(Ω, P )e si ha

T∫0

E[u2t

]dt =

N∑k=1

T∫0

E[e2k

]1]tk−1 ,tk]

(t)dt =

N∑k=1

E[e2k

](tk − tk−1) (5.4)

2

1 u ∈ L2([0, T ] × Ω).2 Assumiamo anche

P (ek−1 = ek) = 0, ∀ k = 2, . . . , N,

in modo che la rappresentazione (5.3) di u sia unica q.s.

5.2 Integrale stocastico di processi semplici 195

Se u ∈ L2 e un processo semplice della forma (5.3), allora definiamo l’integraledi Ito nel modo seguente:∫

utdWt =

N∑k=1

ek(Wtk −Wtk−1) (5.5)

ed anche, per ogni 0 ≤ a < b,∫ b

a

utdWt =

∫ut1]a,b]

(t)dWt. (5.6)

Esempio 5.4. Integrando il processo semplice u = 1]0,t], otteniamo

Wt =

∫ t

0

dWs.

Riprendendo l’Esempio 4.9, si ha

St = S0 +

∫ t

0

μds+

∫ t

0

σdWs, t > 0.

2

Il seguente teorema contiene alcune importanti proprieta dell’integrale di Itodi processi semplici.

Teorema 5.5. Per ogni u, v ∈ L2 semplici, α ∈ R e 0 ≤ a < b < c valgono leseguenti proprieta:

(1) linearita: ∫(αut + vt)dWt = α

∫utdWt +

∫vt dWt;

(2) additivita: ∫ c

a

utdWt =

∫ b

a

utdWt +

∫ c

b

utdWt;

(3) attesa nulla:

E

[∫ b

a

utdWt | Fa]= 0, (5.7)

ed anche

E

[∫ b

a

utdWt

∫ c

b

vtdWt | Fa]= 0; (5.8)

(4) isometria di Ito:

E

[∫ b

a

utdWt

∫ b

a

vtdWt | Fa]= E

[∫ b

a

utvtdt | Fa]; (5.9)


(5) il processo stocastico

Xt =

∫ t

0

usdWs, t ∈ [0, T ], (5.10)

e una Ft-martingala continua, X ∈M 2c (Ft), e vale3

[[X]]2T ≤ 4∫ T

0

E[u2t

]dt. (5.11)

Osservazione 5.6. Poiche

E [X] = E [E [X | Fa]] ,

valgono le versioni “non condizionate” delle (5.7), (5.8), (5.9):

E

[∫ b

a

utdWt

]= 0,

E

[∫ b

a

utdWt

∫ c

b

vtdWt

]= 0,

E

[∫ b

a

utdWt

∫ b

a

vtdWt

]= E

[∫ b

a

utvtdt

];

l’ultima identita per u = v equivale ad un’uguaglianza di norme L2

∥∥∥ ∫ b

a

utdWt

∥∥∥L2(Ω)

= ‖u‖L2([a,b]×Ω)

e giustifica l’appellativo “isometria di Ito”. 2

Dimostrazione. Le proprieta (1) e (2) sono immediate. Per la (3), si ha

E

[∫ b

a

utdWt | Fa]=

N∑k=1

E[ek(Wtk −Wtk−1 ) | Fa

]=

(poiche t0 ≥ a, per l’Osservazione 2.3, ek e Ftk−1-misurabile e dunqueindipendente da Wtk −Wtk−1 e si utilizza la Proposizione 2.102-(6))

=

N∑k=1

E [ek | Fa]E[Wtk −Wtk−1

]= 0.

3 Ricordiamo la notazione (4.38):

[[X ]]2T = E

[sup

t∈[0,T ]X2

t

].

5.2 Integrale stocastico di processi semplici 197

La prova della (5.8) e analoga: se v e della forma

v =

M∑h=1

dh1]th−1 ,th],

allora E[∫ bautdWt

∫ cbvtdWt | Fa

]e una somma di termini del tipo

E[ekdh(Wtk −Wtk−1 )(Wth −Wth−1) | Fa

], con tk ≤ th−1,

che sono tutti nulli poiche ekdh(Wtk − Wtk−1) e Fth−1-misurabile e quindiindipendente dall’incremento Wth −Wth−1 che ha attesa nulla, essendo a ≤th−1 .Proviamo l’isometria di Ito: assumendo u, v semplici, si ha

E

[∫ b

a

utdWt

∫ b

a

vtdWt | Fa]= E

[N∑k=1

∫ tk

tk−1ekdWt

N∑h=1

∫ th

th−1dhdWt | Fa

]

=

N∑k=1

E

[∫ tk

tk−1ekdWt

∫ tk

tk−1dkdWt | Fa

]

+ 2∑h<k

E

[∫ tk

tk−1ekdWt

∫ th

th−1dhdWt | Fa

]=

(per la (5.8) i termini della seconda somma sono nulli)

=N∑k=1

E[ekdk(Wtk −Wtk−1 )

2 | Fa]=

(per la Proposizione 2.102-(6), in base all’indipendenza di Wtk − Wtk−1 daekdk e Fa)

=

N∑k=1

E [ekdk | Fa]E[(Wtk −Wtk−1 )

2]= E

[N∑k=1

ekdk(tk − tk−1) | Fa]

e la tesi segue dalla (5.4).Proviamo ora che il processo stocastico X in (5.10) e una Ft-martingala

continua. La continuita segue direttamente dalla definizione di integrale sto-castico. Per la definizione (5.5)-(5.6) e l’Osservazione 5.3, e ovvio che X siaFt-adattato. Inoltre Xt e sommabile poiche per la disuguaglianza di Holder siha

E [|Xt|]2 ≤ E[X2t

]=

(per l’isometria di Ito)

= E

[∫ t

0

u2sds

]<∞


essendo u ∈ L2. Infine per 0 ≤ s < t:

E [Xt | Fs] = E [Xs | Fs] + E

[∫ t

s

uτ dWτ | Fs]= Xs

poiche Xs e Fs-misurabile e vale la (5.7): dunque X e una martingala. Infinela (5.11) e conseguenza della disuguaglianza di Doob e dell’isometria di Ito,infatti si ha

[[X]]2T ≤ 4E[X2T

]= 4E

[∫ T

0

u2tdt

].

2

La proprieta di martingala dell’integrale stocastico si riscrive anche inmaniera piu suggestiva nel modo seguente:

E

[∫ T

0

usdWs | Ft]=

∫ t

0

usdWs,

per t ≤ T .

5.3 Integrale di processi in L2

Estendiamo la definizione di integrale stocastico alla classe L2 dei processiprogressivamente misurabili, di quadrato sommabile. A differenza del caso deiprocessi semplici, definiamo tale integrale solo a meno di processi indistingui-bili. A parte questo, rimarranno valide tutte le usuali proprieta del Teorema5.11.Per illustrare l’idea generale, consideriamo l’isometria di Ito (5.9) che,

scritta in termini di uguaglianza di norme in spazi L2, diventa∥∥∥ ∫ T

0

utdWt

∥∥∥L2(Ω)

= ‖u‖L2([0,T ]×Ω) . (5.12)

Tale isometria gioca un ruolo cruciale nella costruzione dell’integrale stocastico

IT (u) :=

∫ T

0

utdWt, (5.13)

con u ∈ L2, perche assicura che se (un) e una successione di Cauchy inL2([0, T ]× Ω) allora anche (I(un)) e di Cauchy in L2(Ω). Questo fatto ren-de immediata la definizione dell’integrale in L2 una volta che si provi che glielementi di L2 si possono approssimare con processi semplici. In effetti vale ilseguente risultato di densita:

5.3 Integrale di processi in L2 199

Lemma 5.7. Per ogni u ∈ L2 esiste una successione (un) di processi semplicidi L2 tale che

limn→+∞

∫ T

0

E[(ut − unt )

2]dt = lim

n→+∞

∥∥u− un∥∥2L2([0,T ]×Ω) = 0.

In particolare una successione approssimante e definita da

un =

2n−1∑k=1

(1

tk − tk−1

∫ tk

tk−1usds

)1]tk,tk+1], (5.14)

dove tk :=kT2nper 0 ≤ k ≤ 2n: per tale successione vale

‖un‖L2([0,T ]×Ω) ≤ ‖u‖L2([0,T ]×Ω).

Dimostriamo la prima parte del lemma tra breve in un caso significativo (cfr.Proposizione 5.20 e Osservazione 5.21): per il caso generale rimandiamo aSteele [156], Teorema 6.5.Consideriamo dunque una successione (un) di processi semplici che ap-

prossima u ∈ L2: essendo convergente, (un) e una successione di Cauchy4 inL2([0, T ]×Ω). Allora, per l’isometria di Ito, la successione degli integrali sto-castici (IT (u

n)) e di Cauchy e quindi5 convergente in L2(Ω). Sembra naturaleporre ∫ T

0

utdWt := limn→+∞

IT (un), in L2(Ω). (5.15)

Osserviamo che la (5.15) definisce l’integrale stocastico solo a meno di unevento trascurabile NT ∈ N . Questo fatto rende problematica la definizionedell’integrale stocastico inteso come processo stocastico, al variare di T . In-fatti poiche T varia in un insieme non numerabile, la definizione precedente eambigua: posto

N :=⋃T≥0

NT ,

non e detto che N sia misurabile o, nel caso lo sia, abbia probabilita nulla.D’altra parte questo problema si risolve abbastanza facilmente utilizzan-

do la disuguaglianza di Doob. Infatti consideriamo una successione (un) diprocessi stocastici semplici di L2 che approssimi u in L2([0, T ]×Ω) e poniamo

It(un) =

∫ t

0

uns dWs, t ∈ [0, T ]. (5.16)

Per la disuguaglianza di Doob e l’isometria di Ito si ha

4 Valelim

m,n→∞∥∥un − um∥∥

L2([0,T ]×Ω)= 0.

5 Lo spazio L2(Ω) e completo.


[[I(un)− I(um)]]T ≤ 2‖un − vn‖L2([0,T ]×Ω),

e dunque (I(un)) e una successione di Cauchy in(M 2

c , [[·]]T)che sappiamo

essere uno spazio completo per il Lemma 4.56. Dunque esiste I(u) ∈ M 2c ,

unico a meno di processi stocastici indistinguibili, tale che

limn→∞

[[I(u)− I(un)]]T = 0. (5.17)

Notiamo che I(u) non dipende dalla successione approssimante nel senso chese vn e un’altra successione di processi semplici di L2 che approssima u, si ha

[[I(un) − I(vn)]]T ≤ 2‖un − vn‖L2([0,T ]×Ω)≤ 2‖un − u‖L2([0,T ]×Ω) + 2‖u− vn‖L2([0,T ]×Ω) −→ 0

per n→∞.

Osservazione 5.8. Come nell’analisi funzionale classica e usuale identificare lefunzioni uguali quasi ovunque (cfr., per esempio, Brezis [26] Cap.4), cosı nelseguito identificheremo i processi stocastici indistinguibili. 2

Definizione 5.9. Dati u ∈ L2 e una successione approssimante (un) di pro-cessi semplici di L2, l’integrale stocastico di u e definito (a meno di processiindistinguibili) da∫ t

0

usdWs := limn→∞

∫ t

0

unsdWs, t ∈ [0, T ].

Notazione 5.10 Se 0 ≤ a < b ≤ T , poniamo∫ b

a

utdWt =

∫ T

0

ut1]a,b](t)dWt.

Il seguente risultato e la naturale estensione del Teorema 5.5.

Teorema 5.11. Per ogni u, v ∈ L2, α ∈ R e 0 ≤ a < b < c, valgono leseguenti proprieta:

(1) linearita: ∫ a

0

(αus + βvs)dWs = α

∫ a

0

usdWs +

∫ a

0

vs dWs;

(2) additivita: ∫ c

a

utdWt =

∫ b

a

utdWt +

∫ c

b

utdWt;


(3) attesa nulla:

E

[∫ b

a

usdWs | Fa]= 0,

ed anche

E

[∫ b

a

utdWt

∫ c

b

vtdWt | Fa]= 0;


E

[∫ b

a

utdWt

∫ b

a

vtdWt | Fa]= E

[∫ b

a

utvtdt | Fa];

(5) il processo

Xt =

∫ t

0

usdWs, t ∈ [0, T ], (5.18)

appartiene allo spazio M 2c e vale

[[X]]2T ≤ 4∫ T

0

E[u2s

]ds. (5.19)

Come nell’Osservazione 5.6 valgono le versioni “non condizionate” delleidentita in (3) e (4).

Dimostrazione. Il teorema si prova con un argomento di passaggio al limite apartire dalle analoghe proprieta per l’integrale di processi stocastici semplici:i dettagli sono lasciati per esercizio. 2

Osservazione 5.12. Un’immediata ma importante conseguenza della stima(5.19) e che se u, v ∈ L2 sono modificazioni allora il loro integrale stocasticocoincide. Questa e una fondamentale proprieta di “consistenza” dell’integrale(si ricordi l’Esempio 4.19). 2

Osservazione 5.13. Se u ∈ L2 e tale che∫ T

0

utdWt = 0

allora u e indistinguibile dal processo nullo. Infatti, per l’isometria di Ito, siha

0 = E[(intT0 utdWt

)2]=

∫ T

0

E[u2

]2


Esempio 5.14. Consideriamo un processo della forma

St = S0 +

∫ t

0

μ(s)ds+

∫ t

0

σ(s) dWs

con S0 variabile aleatoria F0−misurabile e μ, σ ∈ L2([0, T ]) funzioni determi-nistiche. In base al teorema precedente, si ha

E [St] = S0 +

∫ t

0

μ(s)ds

e

var(St) = E

[(St − S0 −

∫ t

0

μ(s)ds)2]

=


=

∫ t

0

σ(s)2ds.

Proveremo in seguito che St ha distribuzione normale: dimostreremo questorisultato molto piu forte dopo aver provato la formula di Ito (cfr. Proposizione5.51). 2

Esercizio 5.15. Nelle ipotesi del Teorema 5.11, provare che per ogni σ-alge-bra G ⊆ Fa, vale

E

[∫ b

a

utdWt | G]=

∫ b

a

E [ut | G] dWt.

5.3.1 Integrale di Ito e integrale di Riemann-Stieltjes

In questa sezione verifichiamo che, nel caso di processi continui, l’integralestocastico e limite di somme di Riemann e dunque costituisce la naturaleestensione dell’integrale di Riemann-Stieltjes.Prima di affrontare tale questione ci preme sottolineare il fatto che l’in-

tegrale stocastico non e definito traiettoria per traiettoria: pertanto il valoredell’integrale in ω ∈ Ω non dipende solo dalle traiettorie u(ω) e W (ω) ma daiprocessi u e W nel loro complesso. Per questo motivo ci sara utile in seguitoil seguente “principio di identita dell’integrale stocastico”:

Proposizione 5.16. Sia F ∈ F e siano u, v ∈ L2 modificazioni su F , ossiatali che ut(ω) = vt(ω) per quasi ogni ω ∈ F , per ogni t ∈ [0, T ]. Se

Xt =

∫ t

0

usdWs, Yt =

∫ t

0

vsdWs,

allora X e Y sono indistinguibili su F .


Dimostrazione. Consideriamo l’approssimazione mediante i processi sempliciun, vn di L2 definiti in (5.14). Per costruzione un e vn sono modificazioni suF per ogni n. Ne segue direttamente che se

It(un) =

∫ t

0

uns dWs, It(vn) =

∫ t

0

vns dWs,

allora I(un) e I(vn) sono modificazioni su F per ogni n.Ora, fissato t ∈ ]0, T ], si ha che It(un), It(vn) convergono in norma L2(Ω, P )

(e puntualmente q.s. a meno di passare ad una sotto-successione) rispetti-vamente a Xt e Yt. Dunque Xt(u) = Yt(v) q.s. in F e cio prova che sonomodificazioni. La tesi segue dalla Proposizione 4.18, essendo X e Y processicontinui. 2

Definizione 5.17. Un processo u si dice L2-continuo in t0 se

limt→t0

E[(ut − ut0)

2]= 0.

Esempio 5.18. Poiche

E[(Wt −Wt0)

2]= |t− t0|,

ogni moto Browniano e L2-continuo. Inoltre, dato u ∈ L2, anche il processo

Xt =

∫ t

0

usdWs, t ≥ 0,

e L2-continuo in ogni punto. Infatti, se t > t0,

E[(Xt −Xt0)

2]= E

[( ∫ t

t0

usdWs

)2]=


=

∫ t

t0

E[u2s

]ds −→ 0, per t→ t0,

per il teorema della convergenza dominata di Lebesgue. 2

Esempio 5.19. Sia u un processo continuo. Se f ∈ C(R) e limitata, allo-ra, come immediata conseguenza del teorema della convergenza dominata,il processo f(u) e L2-continuo.In effetti occorrono ipotesi molto piu deboli: e sufficiente assumere che

f ∈ C(R) sia tale che |f(ut)| ≤ Y q.s. con Y ∈ L2(Ω). 2

Proposizione 5.20. Sia u ∈ L2 un processo L2-continuo su [0, T ]. Posto

u(ς) =N∑k=1

utk−11]tk−1 ,tk],


dove ς = {t0, t1, . . . , tN} e una partizione di [0, T ], allora u(ς) e un processosemplice di L2 e vale

lim|ς|→0+

u(ς) = u, in L2([0, T ]×Ω). (5.20)

Dimostrazione. Per ogni ε > 0, esiste6 δε > 0 tale che se |ς| < δε allora si ha∫ T

0

E

[(ut − u

(ς)t

)2]dt =

N∑k=1

∫ tk

tk−1E

[(ut − utk−1 )

2]dt ≤ εT.

2

Osservazione 5.21. La proposizione afferma che u(ς) e un processo stocasticosemplice in L2 che approssima u in L2([0, T ]×Ω) per |ς| → 0+. Allora per ladisuguaglianza di Doob si ha

lim|ς|→0+

∫ T

0

u(ς)t dWt =

∫ T

0

utdWt, inM 2c ,

o equivalentemente

lim|ς|→0+

N∑k=1

utk−1(Wtk −Wtk−1 ) =

∫ T

0

utdWt, in M 2c . (5.21)

In questo senso l’integrale di Ito, essendo il limite delle somme (di Riemann-Stieltjes) in (5.1), generalizza l’integrale di Riemann-Stieltjes. 2

5.3.2 Integrale di Ito e tempi d’arresto

Le proprieta dell’integrale stocastico sono simili a quelle dell’integrale di Le-besgue, anche se a volte bisogna porre attenzione. Per esempio, consideria-mo la seguente (falsa) uguaglianza: dati u ∈ L2 e X una variabile aleatoriaFt0-misurabile per un certo t0 ∈ ]0, T ],

X

∫ T

0

utdWt =

∫ T

0

XutdWt.

Benche X sia costante rispetto alla variabile di integrazione t, il membro a de-stra dell’uguaglianza non ha senso perche l’integrando Xus /∈ L2, non essendoin generale adattato. Resta tuttavia vero che

X

∫ T

t0

utdWt =

∫ T

t0

XutdWt; (5.22)

6 Vale il Teorema di Heine-Cantor: se X e L2-continuo sul compatto [0, T ], allorae anche uniformemente L2-continuo.


infatti la (5.22) e vera per ogni u processo semplice di L2 e si prova in generaleper approssimazione.

Il seguente risultato contiene la definizione di integrale con un tempo d’ar-resto come estremo di integrazione: l’enunciato sembra una tautologia ma inbase alle osservazioni precedenti richiede una dimostrazione rigorosa.

Proposizione 5.22. Se u ∈ L2(Ft) e τ e un (Ft)−stopping time tale che0 ≤ τ ≤ T allora ∫ τ

0

usdWs =

∫ T

0

us1{s≤τ}dWs q.s. (5.23)

Dimostrazione. Notiamo che, per definizione di tempo d’arresto, il processo(us1{s≤τ}

)appartiene a L2 e in particolare e adattato. Poniamo

Xt =

∫ t

0

usdWs, t ∈ [0, T ], (5.24)

Y =

∫ T

0

us1{s≤τ}dWs,

e proviamo cheXτ = Y q.s.

Consideriamo prima il caso di

τ =

n∑k=1

tk1Fk (5.25)

con 0 < t1 < · · · < tn = T e Fk ∈ Ftk eventi disgiunti tali che

F :=n⋃k=1

Fk ∈ F0.

E chiaro che τ e uno stopping time. DatoX in (5.24), da un parte si ha Xτ = 0su Ω \ F e

Xτ =

∫ T

0

usdWs −∫ T

tk

usdWs, su Fk,

o, in altri termini,

Xτ = 1F

∫ T

0

usdWs −n∑k=1

1Fk

∫ T

tk

usdWs.

D’altra parte, vale

Y =

∫ T

0

us(1− 1{s>τ}

)dWs =


(per linearita)

=

∫ T

0

usdWs −∫ T

0

us

(1Ω\F +

n∑k=1

1Fk1{s>tk}

)dWs

= 1F

∫ T

0

usdWs −n∑k=1

∫ T

tk

us1FkdWs,

e concludiamo che Xτ = Y grazie alla (5.22). La necessita di utilizzare la(5.22) spiega il fatto che abbiamo dovuto scrivere l’integrale da 0 a t comedifferenza dell’integrale da 0 a T e dell’integrale da t a T .Nel caso di un generico stopping time τ , adattiamo il risultato di ap-

prossimazione dell’Osservazione 4.67 e consideriamo la seguente successionedecrescente (τn) di stopping times della forma (5.25):

τn =

2n∑k=0

T (k + 1)

2n1{ Tk2n <τ≤T (k+1)

2n }.

Si ha che (τn) converge a τ q.s. e, per continuita, Xτn converge a Xτ q.s.Inoltre, posto

Y n =

∫ t

0

us1{s≤τn}dWs,

per il Teorema della convergenza dominata, si ha che Y n converge a Y inL2(Ω, P ) e questo basta a concludere. 2

La seguente proposizione estende le usuali proprieta dell’integrale di Ito alcaso in cui l’estremo di integrazione sia un tempo d’arresto.

Corollario 5.23. Se t0 ∈ [0, T [, τ ∈ [t0, T ] e un tempo d’arresto e u, v sonoprocessi adattati tali che7

(ut1{t≤τ}

)∈ L2 e v ∈ L2 allora si ha

E

[∫ τ

t0

utdWt | Ft0]= 0,

E

[∫ τ

t0

utdWt

∫ T

τ

vtdWt | Ft0

]= 0,

E

[∫ τ

t0

utdWt

∫ τ

t0

vtdWt | Ft0]= E

[∫ τ

t0

utvtdt | Ft0].

Dimostrazione. Per la (5.23) si ha∫ τ

t0

utdWt =

∫ T

t0

ut1{t≤τ}dWt

con ut1{t≤τ} ∈ L2 e dunque la tesi segue dal Teorema 5.11. 2

7 Chiaramente se u ∈ L2 allora(ut1{t≤τ}

) ∈ L2.


5.3.3 Processo variazione quadratica

Dato u ∈ L2, abbiamo provato che

Mt :=

∫ t

0

usdWs

appartiene allo spazioM 2c . Vediamo ora che siamo in grado di calcolarne espli-

citamente il processo variazione quadratica che e l’unico processo crescente Atale che A0 = 0 e M

2 − A e una martingala (cfr. Teorema 4.73 di Doob).

Proposizione 5.24. Il processo variazione quadratica di M e

〈M〉t =∫ t

0

u2sds, t ∈ [0, T ].

Inoltre vale

〈M〉t = lim|ς|→0ς∈P[0,t]

N∑k=1

(Mtk −Mtk−1

)2, q.s., t ∈ [0, T ]. (5.26)


At =

∫ t

0

u2sds, t ∈ [0, T ].

E chiaro che A e un processo crescente tale che A0 = 0. Dunque e sufficienteverificare che M2 − A e una martingala: per ogni 0 ≤ s < t si ha

E[M2t − At | Fs

]= E

[(Mt −Ms)

2+ 2Ms (Mt −Ms) +M2

s −At | Fs]=

(per la (3) del Teorema 5.11)

= E[(Mt −Ms)

2 −At | Fs]+M2

s =


= E

[∫ t

s

u2τdτ − At | Fs]+M2

s =M2s −As.

Nel caso in cui u sia semplice, la (5.26) si prova procedendo esattamen-te come nel Teorema 4.41. In generale la tesi segue approssimando M conintegrali di processi semplici. 2

Esempio 5.25. Riprendiamo l’Esempio 5.14 e consideriamo

St = S0 +

∫ t

0

μ(s)ds+

∫ t

0

σ(s) dWs


con μ, σ ∈ L2([0, T ]) funzioni deterministiche. Abbiamo provato che

var(St) =

∫ t

0

σ(s)2ds.

Ora osserviamo che il processo S0 +∫ t0μ(s)ds ha variazione limitata (cfr.

Osservazione 4.72). Dunque, per le Proposizioni 4.77 e 5.24, vale

〈S〉t = var(St),

ossia il processo variazione quadratica e deterministico e coincide con lavarianza. 2

5.4 Integrale di processi in L2loc

In questo paragrafo estendiamo ulteriormente la classe di processi per cui edefinito l’integrale stocastico. Tale generalizzazione e necessaria poiche e moltofacile “uscire” dalla classe L2. Per esempio, se W e un moto Browniano, bastaconsiderare una funzione f che cresce abbastanza rapidamente per perdere lacondizione di sommabilita: infatti, poiche

E

[∫ T

0

f(Wt)dt

]=

1√2πt

∫ T

0

∫R

exp

(−x

2

2t

)f(x)dxdt,

se f(x) = ex4

allora f(Wt) /∈ L2. Fortunatamente non e difficile estenderela costruzione dell’integrale di Ito ad una classe di processi progressivamentemisurabili che verificano una condizione di sommabilita piu debole della De-finizione 5.1-ii) e che e sufficientemente generale per la maggior parte delleapplicazioni. Tuttavia questa generalizzazione viene fatta a scapito di alcuneimportanti proprieta: in particolare l’integrale stocastico perde la proprieta diessere una martingala.

Definizione 5.26. Indichiamo con L2loc la famiglia dei processi u progressi-

vamente misurabili rispetto alla filtrazione (Ft) e tali che∫ T

0

u2t dt <∞, q.s. (5.27)

Poiche L2loc dipende dalla filtrazione (Ft), qualora sia necessario scriviamo piu

esplicitamente L2loc(Ft).

Esempio 5.27. Il processo exp(W 4t ) appartiene a L

2loc ma non a L

2. Piu in ge-nerale ogni processo stocastico progressivamente misurabile, con le traiettorieq.s. continue appartiene a L2

loc. 2

5.4 Integrale di processi in L2loc 209

E interessante notare che lo spazio L2loc e invariante rispetto a cambi di misura

di probabilita equivalenti: se vale (5.27) e Q ∼ P allora si ha ovviamente∫ T

0

u2t dt <∞, Q-q.s.

Lo spazio L2 dipende invece dalla misura di probabilita fissata.

Procediamo ora per passi alla definizione dell’integrale stocastico di u ∈L2loc: il resto del paragrafo puo essere sorvolato ad una prima lettura.

I) dato u ∈ L2loc, il processo

8

At =

∫ t

0

u2sds, t ∈ [0, T ],

e continuo e adattato alla filtrazione. Infatti e sufficiente osservare che ue approssimabile puntualmente con una successione di processi semplici eadattati;

II) per ogni n ∈ N poniamo

τn(ω) = inf{t ∈ [0, T ] | At(ω) ≥ n} ∪ {T}.

In base al Teorema 4.65, τn e un tempo d’arresto. Inoltre, per n→∞,

τn ↗ T q.s.

poicheFn := {τn = T} = {AT ≤ n}, (5.28)

e quindi, essendo u ∈ L2loc, si ha⋃n∈N

Fn = Ω \N, N ∈ N ; (5.29)

III) postount = ut1{t≤τn}, t ∈ [0, T ],

si ha che un ∈ L2 poiche

E

[∫ T

0

(unt )2dt

]= E

[∫ τn

0

u2tdt

]≤ n.

Dunque e ben definito il processo In ∈M 2c

Int =

∫ t

0

unt dWt, t ∈ [0, T ]; (5.30)

8 Poniamo A(ω) = 0 se u(ω) /∈ L2(0, T ).


IV) per ogni n, h ∈ N, vale un = un+h = u su Fn in (5.28). Dunque per laProposizione 5.16, i processi In e In+h sono indistinguibili su Fn. Tenendoconto del fatto che (Fn) e una successione crescente per cui vale la (5.29),risulta ben posta la seguente

Definizione 5.28. L’integrale stocastico di u ∈ L2loc e il processo stocastico X

continuo e Ft-adattato, indistinguibile da In in (5.30) su Fn, per ogni n ∈ N.Scriviamo

Xt =

∫ t

0

usdWs, t ∈ [0, T ].

Notiamo che per costruzione, si ha

limn→∞

Int = Xt, t ∈ [0, T ], q.s. (5.31)

E importante sottolineare il fatto che, in generale, l’integrale stocastico diun processo u ∈ L2

loc non e una martingala: tuttavia, nel senso che viene oraspiegato, “manca poco” affinche lo sia.

5.4.1 Martingale locali

Definizione 5.29. Un processo M = (Mt)t∈[0,T ] e una Ft-martingala localese esiste una successione crescente (τn) di Ft-stopping times, detta successionelocalizzante per M , tale che

limn→∞

τn = T, q.s. (5.32)

e, per ogni n ∈ N, il processo stocastico Mt∧τn e una Ft-martingala.

Notazione 5.30 Indichiamo con Mc,loc lo spazio delle martingale localicontinue tali che M0 = 0 q.s.

In parole povere, una martingala locale e un processo stocastico che puoessere approssimato da una successione di vere martingale. Per definizione,vale

Ms∧τn = E [Mt∧τn | Fs] , 0 ≤ s ≤ t, (5.33)

e se M e continuo, poiche τn → T q.s., si ha

limn→∞

Mt∧τn =Mt, q.s.

Di conseguenza, ogni qualvolta possiamo passare al limite in (5.33) sottoal segno di attesa condizionata, allora M e una vera martingala: come casiparticolari si vedano le Proposizioni 5.32 e 5.33.Chiaramente ogni martingala e anche una martingala locale: basta sceglie-

re τn = T per ogni n. Inoltre notiamo che ogni martingala locale ammette unamodificazione continua a destra: infatti basta osservare che, per il Teorema4.47, questo e vero per i processi arrestati Mt∧τn . Nel seguito consideriamosempre la versione continua a destra di ogni martingala locale.


Osservazione 5.31. Ogni martingala locale continua M ammette una succes-sione approssimante di martingale continue e limitate. Infatti sia (τn) unasuccessione localizzante per M e poniamo

σn = inf{t ∈ [0, T ] | |Mt| ≥ n} ∪ {T}, n ∈ N.

Essendo M continua si ha che σn soddisfa la (5.32) e dunque (τn∧σn) e ancorauna successione localizzante per M : infatti

Mt∧(τn∧σn) =M(t∧τn)∧σn

e quindi, per il Corollario 4.70 al Teorema di Doob sul tempo d’arresto,Mnt :=

Mt∧(τn∧σn) e una martingala limitata, tale che

|Mnt | ≤ n, t ∈ [0, T ].

2

Illustriamo ora alcune semplici proprieta delle martingale locali continue.

Proposizione 5.32. Se M ∈Mc,loc e

supt∈[0,T ]

|Mt| ∈ L1(Ω, P ),

allora M e una martingala. In particolare ogni M ∈ Mc,loc limitata9 e una

martingala.

Dimostrazione. La tesi segue direttamente dalla (5.33), applicando il Teoremadella convergenza dominata per l’attesa condizionata. 2

Proposizione 5.33. Ogni M martingala locale continua e non-negativa eanche una super-martingala. Inoltre se

E [MT ] = E [M0] (5.34)

allora M e una martingala.

Dimostrazione. Applicando il Lemma di Fatou per l’attesa condizionata alla(5.33), otteniamo

Ms ≥ E [Mt | Fs] , 0 ≤ s ≤ t ≤ T, (5.35)

e questo prova la prima parte della tesi.Applicando il valore atteso alla precedente relazione si ha

E [M0] ≥ E [Mt] ≥ E [MT ] , 0 ≤ t ≤ T.

Dall’ipotesi (5.34) si deduce che E [Mt] = E [M0] per ogni t ∈ [0, T ]. Infine, perla (5.35), se fosse Ms > E [Mt | Fs] su un evento di probabilita strettamentepositiva allora si avrebbe una contraddizione. 2

9 Esiste una costante c tale che |Mt| ≤ c q.s. per ogni t ∈ [0, T ].


Proposizione 5.34. Se M ∈ Mc,loc e τ e uno stopping time, allora ancheXt :=Mt∧τ e una martingala locale continua.

Dimostrazione. Se (τn) e una successione localizzante per M si ha

Xt∧τn =M(t∧τ)∧τn =M(t∧τn)∧τ .

Di conseguenza, in base al Corollario 4.70 e poiche per ipotesi Mt∧τn e unamartingala continua, si ha che (τn) e una successione localizzante per X. 2

5.4.2 Localizzazione e variazione quadratica

Il seguente teorema afferma che l’integrale stocastico di un processo u ∈ L2loc

e una martingala locale continua. In tutta questa sezione usiamo le notazioni:

Xt =

∫ t

0

usdWs, At =

∫ t

0

u2sds, t ∈ [0, T ]. (5.36)

Teorema 5.35. Si ha:

• se u ∈ L2 allora X ∈M 2c ;

• se u ∈ L2loc allora X ∈Mc,loc e una successione localizzante per X e data

daτn = inf {t ∈ [0, T ] | At ≥ n} ∪ {T}, n ∈ N. (5.37)

Dimostrazione. Abbiamo visto all’inizio del Paragrafo 5.4 che (τn) in (5.37) euna successione crescente di tempi d’arresto tale che τn → T q.s. per n→∞.Fissato n ∈ N, per ogni k ≥ n in base alla Definizione 5.28, si ha su Fk in(5.28)

Xt∧τn =

∫ t∧τn

0

us1{s≤τk}dWs =

(per la Proposizione 5.22, poiche us1{s≤τk} ∈ L2)

=

∫ t

0

us1{s≤τk}1{s≤τn}dWs =

(poiche n ≤ k)

=

∫ t

0

us1{s≤τn}dWs, su Fk.

Data l’arbitrarieta di k e per la (5.29), si ha

Xt∧τn =

∫ t

0

us1{s≤τn}dWs, t ∈ [0, T ], q.s. (5.38)

La tesi segue dal fatto che us1{s≤τn} ∈ L2 e quindi Xt∧τn ∈M 2c . 2


Proposizione 5.36. Per ogni M ∈Mc,loc esiste un unico (a meno di processiindistinguibili) processo crescente e continuo A tale che A0 = 0 q.s. e

(M2 − A) ∈Mc,loc.

Si dice che A e il processo variazione quadratica di M e si indica A = 〈M〉.

La dimostrazione della proposizione si basa sul fatto che ogni M ∈Mc,loc siapprossima con martingale in M 2

c per le quali vale il Teorema 4.73.Dimostriamo l’esistenza del processo variazione quadratica nel caso che

maggiormente ci interessa.

Proposizione 5.37. Se u ∈ L2loc allora

Xt =

∫ t

0

usdWs,

e una martingala locale continua con processo variazione quadratica

〈X〉t =∫ t

0

u2sds.

Dimostrazione. Consideriamo la successione (τn) localizzante per X definitanel Teorema 5.35. Abbiamo provato che (cfr. (5.38))

Xt∧τn =

∫ t

0

us1{s≤τn}dWs

con us1{s≤τn} ∈ L2. Pertanto, per la Proposizione 5.24 e usando la notazione(5.36), si ha che il seguente processo e una martingala:

X2t∧τn −

∫ t

0

u2s1{s≤τn}ds = X2t∧τn −At∧τn =

(X2 −A

)t∧τn .

Ne segue che X2 −A e una martingala locale. 2

Osservazione 5.38. Le Proposizione 5.36 e 5.37 hanno la seguente estensione:per ogni X, Y ∈Mc,loc, il processo

〈X, Y 〉 := 14(〈X + Y 〉 − 〈X − Y 〉)

e l’unico (a meno di processi indistinguibili) processo continuo a variazionelimitata tale che 〈X, Y 〉0 = 0 q.s. e

XY − 〈X, Y 〉 ∈Mc,loc.

Diciamo che 〈X, Y 〉 e il processo co-variazione quadratica di X, Y .Se u, v ∈ L2

loc e


Xt =

∫ t

0

usdWs, Yt =

∫ t

0

vsdWs,

allora

〈X, Y 〉t =∫ t

0

usvsds.

Infine, coerentemente con la Proposizione 4.77, dati X, Y ∈Mc,loc e dueprocessi Z, V continui e a variazione limitata, poniamo

〈X + Z, Y + V 〉 := 〈X, Y 〉. (5.39)

2

Le seguenti proprieta (cfr. Proposizione 4.76) sono facilmente verificabili:la co-variazione 〈·, ·〉 e una forma bilineare; per ogni α ∈ R si hai) 〈X,X〉 = 〈X〉;ii) 〈X, Y 〉 = 〈Y,X〉;iii) 〈αX + Y, Z〉 = α〈X,Z〉 + 〈Y, Z〉;iv) |〈X, Y 〉|2 ≤ 〈X〉〈Y 〉.Infine la Proposizione 4.78 ha la seguente immediata generalizzazione.

Proposizione 5.39. Se X ∈ Mc,loc allora t �→ Xt(ω) non ha variazionelimitata su [0, T ] per quasi ogni ω ∈ {〈X〉T > 0}. Inoltre t �→ Xt(ω) e lafunzione costante nulla per quasi ogni ω ∈ {〈X〉T = 0}.

Concludiamo il paragrafo enunciando10 un risultato classico che affermache per ogni M ∈Mc,loc le funzioni

E [〈M〉pT ] e E

[supt∈[0,T ]

|Mt|2p]

sono confrontabili uniformemente in p > 0. Precisamente vale

Teorema 5.40 (Disuguaglianze di Burkholder-Davis-Gundy).Per ognip > 0 esistono delle costanti positive λp, Λp tali che

λpE [〈M〉pτ ] ≤ E

[supt∈[0,τ]

|Mt|2p]≤ ΛpE [〈M〉pτ ] ,

per ogni M ∈Mc,loc e tempo d’arresto τ .

Come conseguenza del Teorema 5.40 proviamo un utile criterio per stabilirese un integrale stocastico di un processo in L2

loc e una martingala.

10 Per la dimostrazione si veda, per esempio, il Teorema 3.3.28 in [91].

5.5 Processi di Ito 215

Proposizione 5.41. Se u ∈ L2loc e

E

⎡⎣(∫ T

0

u2tdt

) 12

⎤⎦ <∞, (5.40)

allora il processo ∫ t

0

usdWs, t ∈ [0, T ],

e una martingala.

Dimostrazione. Anzitutto osserviamo che per la disuguaglianza di Holder siha

E

⎡⎣(∫ T

0

u2tdt

)12

⎤⎦ ≤ E

[∫ T

0

u2tdt

] 12

,

e dunque la condizione (5.40) e piu debole della condizione di sommabilitanello spazio L2.Per la seconda disuguaglianza di Burkholder-Davis-Gundy con p = 1

2 eτ = T , si ha

E

[supt∈[0,T ]

∣∣∣∣∫ t

0

usdWs

∣∣∣∣]≤ Λ 1

2E

⎡⎣(∫ T

0

u2tdt

) 12

⎤⎦ <∞

e dunque la tesi segue dalla Proposizione 5.32. 2

5.5 Processi di Ito

Sia W un moto Browniano reale su uno spazio di probabilita con filtrazione(Ω,F , P,Ft) in cui valgano le ipotesi usuali.Definizione 5.42. Dato p ≥ 1, indichiamo con Lploc la famiglia dei processiprogressivamente misurabili (ut)t∈[0,T ] tali che∫ T

0

|ut|pdt <∞, q.s. (5.41)

Per la disuguaglianza di Holder si ha

Lploc ⊆ Lqloc, p ≥ q ≥ 1,

e in particolare L2loc ⊆ L1

loc. Nel capitolo precedente e stato definito l’integralestocastico di un processo in L2

loc. Risulta che tale spazio e l’ambiente naturale:per esempio, rimandiamo a Steele [156], Paragrafo 7.3, per un interessantediscussione sull’impossibilita di definire l’integrale stocastico di u ∈ Lploc per1 ≤ p < 2.


Definizione 5.43. Un processo di Ito e un processo stocastico X della forma

Xt = X0 +

∫ t

0

μsds+

∫ t

0

σsdWs, t ∈ [0, T ], (5.42)

dove X0 e una variabile aleatoria F0-misurabile, μ ∈ L1loc e σ ∈ L2

loc.

Notazione 5.44 La (5.42) viene solitamente scritta nella seguente “formadifferenziale”:

dXt = μtdt+ σtdWt. (5.43)

Il processo μ e detto coefficiente di drift (o deriva). Il processo σ e dettocoefficiente di diffusione. Intuitivamente μ “imprime la direzione” al processoX, mentre la componente di X contenente σ e una martingala (locale) cha dasolo un “contributo stocastico” all’evoluzione di X.

Osservazione 5.45. Da una parte la (5.43) e piu breve da scrivere rispetto alla(5.42) e quindi piu comoda da utilizzare; dall’altra la (5.43) risulta piu intui-tiva e familiare, in quanto (solo formalmente!) ricorda il calcolo differenzialeusuale per le funzioni di una variabile reale. Sottolineiamo il fatto che abbia-mo definito ogni singolo termine che appare nella (5.42). Al contrario la (5.43)va presa “tutta insieme” ed e solo una notazione piu compatta per scriverela (5.42). Per maggiore chiarezza, sottolineiamo che il termine dXt, benche avolte denominato differenziale stocastico, non e stato definito e ha senso soloall’interno della formula (5.43). 2

Un processo di Ito X della forma (5.42) e la somma del processo a variazionelimitata e continuo

X0 +

∫ t

0

μsds

con la martingala locale continua∫ t

0

σsdWs.

Allora in base alla definizione 5.39 e alla Proposizione 5.37, vale

Corollario 5.46. Se X e il processo di Ito in (5.42), allora

〈X〉t =∫ t

0

σ2sds,

o, in termini differenziali,d〈X〉t = σ2t dt.

Notiamo che la rappresentazione differenziale di un processo di Ito e unica: icoefficienti di drift e diffusione sono determinati univocamente. Vale infatti laseguente

5.6 Formula di Ito-Doeblin 217

Proposizione 5.47. Se X e il processo di Ito in (5.42) ed esistono X′0,variabile aleatoria F0-misurabile, μ

′ ∈ L1loc e σ

′ ∈ L2loc tali che

Xt = X′0 +

∫ t

0

μ′sds+

∫ t

0

σ′s dWs, t ∈ [0, T ],

allora X0 = X′0 q.s. ed anche μ = μ′ e σ = σ′ quasi ovunque rispetto allamisura prodotto m⊗ P dove m indica la misura di Lebesgue: in altri terminivale

(m⊗ P ) ({(t, ω) ∈ [0, T ]×Ω | μt(ω) �= μ′t(ω)}) = (5.44)

(m⊗ P ) ({(t, ω) ∈ [0, T ]×Ω | σt(ω) �= σ′t(ω)}) = 0. (5.45)

Dimostrazione. Per ipotesi si ha

Mt :=

∫ t

0

(μs − μ′s)ds =

∫ t

0

(σs − σ′s)dWs, q.s., t ∈ [0, T ],

Dunque M ∈ Mc,loc e ha variazione limitata e quindi la Proposizione 5.39implica che 〈M〉T = 0 q.s. D’altra parte, per la Proposizione 5.37, si ha

〈M〉T =∫ T

0

(σt − σ′t)2dt,

e questo prova la (5.45).Infine se vale la (5.45) alloraM e indistinguibile dal processo nullo e questo

prova11 la (5.44). 2

Osservazione 5.48. Un processo di Ito e una martingala locale se e solo se hadrift nullo. Piu precisamente, se X in (5.42) e una martingala locale alloraμ = 0 quasi ovunque rispetto alla misura prodotto m⊗ P . Infatti per ipotesiil processo

At :=

∫ t

0

μsds = Xt −X0 −∫ t

0

σsdWs

sarebbe in Mc,loc e nel contempo avrebbe variazione limitata essendo unintegrale di Lebesgue: la tesi segue dalla Proposizione 5.39. 2

5.6 Formula di Ito-Doeblin

Come si “calcola” un integrale stocastico? Siamo in una situazione analoga aquando si introduce l’integrale di Riemann o di Lebesgue: in entrambi i casi

11 Se u ∈ L1([0, T ]) e si ha ∫ t

0

usds = 0, ∀t ∈ [0, T ],

allora u = 0 quasi ovunque rispetto alla misura di Lebesgue.


la definizione di integrale e teorica e non e possibile utilizzarla direttamenteper calcolare un integrale se non in qualche caso molto particolare. Per questomotivo, il calcolo di un integrale di Lebesgue e solitamente ricondotto a quellodi un integrale di Riemann mediante il teorema di riduzione ed il fatto che, se fe Riemann-integrabile allora e anche misurabile secondo Lebesgue e l’integralenei due sensi coincide. D’altra parte, introdotto il concetto di primitiva, ilcalcolo di un integrale di Riemann si riconduce alla determinazione di unaprimitiva della funzione integranda. Nella teoria dell’integrazione stocastica ilconcetto analogo a quello di primitiva e tradotto “in termini integrali” dallaformula di Ito-Doeblin12.

5.6.1 Formula di Ito per il moto Browniano

Teorema 5.49. [Formula di Ito] Siano f ∈ C2(R) e W un moto Brownianoreale. Allora f(W ) e un processo di Ito e vale

df(Wt) = f ′(Wt)dWt +1

2f ′′(Wt)dt. (5.46)

Dimostrazione. La grossa novita di questa formula di Ito rispetto alla (4.30)e la presenza del “termine del second’ordine” 1

2f ′′(Wt)dt (come vedremo, il

fattore 12deriva da uno sviluppo in serie di Taylor al second’ordine) dovuto

al fatto che un moto Browniano ha variazione quadratica positiva:

d〈W 〉t = dt.

Per mettere in luce le idee principali ci limitiamo a dimostrare la formulanel caso in cui f abbia le derivate prime e seconde limitate: per il caso generale,che si prova con un procedimento di localizzazione, rimandiamo per esempioa Steele [156] o Durrett [51].Dobbiamo provare che

f(Wt)− f(W0) =

∫ t

0

f ′(Ws)dWs +1

2

∫ t

0

f ′′(Ws)ds.

Data una partizione ς = {t0, t1, . . . , tN} di [0, t], per semplificare le notazioniindichiamo fk = f(Wtk ) e Δk,k−1 =Wtk −Wtk−1 . Si ha

f(Wt)− f(W0) =

N∑k=1

(fk − fk−1) =

12 La formula per il “cambio di variabile” presentata in questo paragrafo e stataprovata da Ito [83] ed comunemente nota in letteratura come Formula di Ito.Recentemente e stato scoperto un lavoro postumo di W. Doeblin [45] del 1940che contiene una costruzione dell’integrale stocastico e l’enunciato della formuladel cambio di variabile. Tale lavoro e stato recentemente ripubblicato [46] conuna nota storica di Bru. Nel seguito per brevita indicheremo tale formula conl’appellativo piu usuale di Formula di Ito.


(sviluppando in serie di Taylor al second’ordine con resto secondo Lagrange,con t∗k ∈ [tk−1, tk])

=

N∑k=1

f ′k−1Δk,k−1︸︷︷︸=:I1(ς)

+1

2

N∑k=1

f ′′k−1Δ2k,k−1︸︷︷︸

=:I2(ς)

+1

2

N∑k=1

(f ′′(Wt∗k )− f ′′k−1)Δ2k,k−1︸︷︷︸

=:I3(ς)

.

Per quanto riguarda I1(ς), poiche f′ e una funzione continua e limitata per

ipotesi, allora f ′(W ) e un processo L2 continuo in base all’Esempio 5.19 edunque esiste

lim|ς|→0+

I1(ς) =

∫ t

0

f ′(Ws)dWs, inM 2c .

Per quanto riguarda I2(ς), e sufficiente procedere come nella dimostrazionedel Teorema 4.41, utilizzando il fatto che 〈W 〉s = s, per provare che

lim|ς|→0+

I2(ς) =

∫ t

0

f ′′(Ws)ds,

in L2(Ω) e quindi, per la disuguaglianza di Doob, anche inM 2c .

Infine verifichiamo che I3(ς) −→ 0 in L2(Ω) per |ς| → 0+. Intuitivamentecio e dovuto al fatto che f ′′(Wt) e un processo continuo e W ha variazionequadratica finita: in effetti la prova e basata sulla stessa idea della Proposizione4.40, risultato analogo nel caso della variazione prima. Facciamo la seguenteosservazione preliminare: per ogni ς = {t0, . . . , tN} ∈ P[0,t], t > 0, vale

t2 =

(N∑k=1

(tk − tk−1)

)2

=

N∑k=1

(tk − tk−1)2

︸︷︷︸=:J1(ς)

+2∑h<k

(th − th−1)(tk − tk−1)︸︷︷︸=:J2(ς)

;

di conseguenza

0 ≤ J1(ς) ≤ |ς|N∑k=1

(tk − tk−1) = |ς|t −−−−−→|ς|→0+

0, (5.47)

0 ≤ J2(ς) ≤ t, ς ∈ P[0,t]. (5.48)

Ora si ha

E[(I3(ς)

)2]=

N∑k=1

E[(f ′′(Wt∗k)− f ′′k−1)

2Δ4k,k−1

]︸︷︷︸

=:L1(ς)

+ 2N∑h<k

E[(f ′′(Wt∗

h) − f ′′h−1)(f

′′(Wt∗k)− f ′′k−1)Δ

2h,h−1Δ

2k,k−1

]︸︷︷︸

=:L2(ς)

.


Vale

L1(ς) ≤ 4 sup |f ′′|2N∑k=1

E[Δ4k,k−1

]=

(per la (4.34))

= 12 sup |f ′′|2N∑k=1

(tk − tk−1)2 −−−−−→|ς|→0+

0

per la (5.47). D’altra parte, per la disuguaglianza di Holder, si ha

L2(ς)

≤N∑h<k

E[(f ′′(Wt∗h)− f ′′h−1)

2(f ′′(Wt∗k) − f ′′k−1)2] 12 E

[Δ4h,h−1Δ

4k,k−1

] 12 ≤

(dato ε > 0, se |ς| e abbastanza piccolo, per il Teorema della convergenzadominata di Lebesgue, essendo f ′′ limitata e continua)

≤ ε

N∑h<k

E[Δ4h,h−1Δ

4k,k−1

] 12 ≤

(per l’indipendenza degli incrementi del moto Browniano)

≤ ε

N∑h<k

E[Δ4h,h−1

] 12 E

[Δ4k,k−1

] 12 = 3ε

N∑h<k

(th − th−1)(tk − tk−1) ≤ 3εt

per la (5.48), da cui la tesi. 2

Esempio 5.50.

i) applicando la formula di Ito con f(x) = x2 si ha

d(W 2t ) = 2WtdWt + dt,

da cui ricaviamo ∫ t

0

WsdWs =W 2t − t

2;

ii) calcoliamo E[W 4t

]: per la formula di Ito si ha

dW 4t = 4W

3t dWt + 6W

2t dt,

ossia

W 4t =

∫ t

0

4W 3s dWs +

∫ t

0

6W 2s ds.

In base alla proprieta della media nulla (5.7), deduciamo

E[W 4t

]=

∫ t

0

6E[W 2s

]ds =

∫ t

0

6sds = 3t2;


iii) se Xt = exp(σWt) con W moto Browniano e σ ∈ R, si ha

dXt = σXtdWt +1

2σ2Xtdt; (5.49)

Calcoliamo E [Xt] (cfr. Esercizio 2.37): poiche X ∈ L2, per la proprietadella media nulla (5.7), da (5.49) otteniamo

E [Xt] =σ2

2

∫ t

0

E [Xs] ds.

In altri termini, posto y(t) = E [Xt], si ha che y e soluzione del problemadi Cauchy ordinario {

y′(t) = σ2

2 y(t),

y(0) = 1,

e concludiamo che

E [exp(σWt)] = eσ2

2 t. (5.50)

2

Proposizione 5.51. Se μ ∈ L1 e σ ∈ L2 sono funzioni deterministiche, allorail processo definito da

dSt = μ(t)dt + σ(t)dWt,

ha distribuzione normale con

E [St] = S0 +

∫ t

0

μ(s)ds, var(St) =

∫ t

0

σ2(s)ds.

Dimostrazione. In base al Teorema 2.87 e ricordando l’Esempio 5.14, esufficiente provare che, per ogni t, vale

E[eiξSt

]= exp

(iξ

(S0 +

∫ t

0

μ(s)ds

)− ξ2

2

∫ t

0

σ2(s)ds

). (5.51)

La prova della (5.51) e lasciata per esercizio: e sufficiente procedere come nelladimostrazione della (5.50). 2

Esercizio 5.52. Procedendo come nell’Esempio 5.50 e utilizzando la formuladi Ito, calcolare E

[W 6t

]. Per induzione, provare che E [Wn

t ] = 0 se n e disparie

E [Wnt ] =

(t

2

)n2 n!

(n/2)!,

se n e pari.


5.6.2 Formulazione generale

Notazione 5.53 Sia X un processo di Ito

dXt = μtdt+ σtdWt. (5.52)

Se h e un processo stocastico tale che hμ ∈ L1loc e hσ ∈ L2

loc, abbreviamo lascrittura

dYt = htμtdt+ htσtdWt,

indYt = htdXt, (5.53)

e utilizziamo coerentemente anche la notazione

Yt = Y0 +

∫ t

0

hsdXs := Y0 +

∫ t

0

hsμsds+

∫ t

0

hsσsdWs.

Notiamo che se μ ∈ L1loc, σ ∈ L2

loc e h e un processo adattato e continuo allorahμ ∈ L1

loc e hσ ∈ L2loc. Piu in generale e sufficiente che h sia progressivamente

misurabile e limitato q.s.

Enunciamo ora una versione piu generale della formula di Ito: non riportiamola dimostrazione che e sostanzialmente analoga a quella del Teorema 5.49.

Teorema 5.54. [Formula di Ito] Sia X il processo di Ito in (5.52) e f =f(t, x) ∈ C1,2(R2). Allora il processo stocastico

Yt = f(t, Xt)

e un processo di Ito e vale

df(t, Xt) = ∂tf(t, Xt)dt+ ∂xf(t, Xt)dXt +1

2∂xxf(t, Xt)d〈X〉t. (5.54)

Osservazione 5.55. Poiche, per il Corollario 5.46, vale

d〈X〉t = σ2t dt,

la (5.54) si riscrive piu esplicitamente nel modo seguente

df =

(∂tf + μt∂xf +

1

2σ2t∂xxf

)dt+ σt∂xfdWt, (5.55)

dove f = f(t, Xt). Come vedremo in seguito, la formula di Ito vale anche sottoipotesi sulla regolarita di f piu deboli. 2

Esempio 5.56. Se f(t, x) = tx e X =W e un moto Browniano, si ha

d(tWt) =Wtdt+ tdWt.


Si noti la somiglianza con la classica legge di derivazione di un prodotto difunzioni. In forma integrale otteniamo:

tWt =

∫ t

0

Wsds+

∫ t

0

sdWs.

Per esercizio si calcoli il differenziale stocastico di tW 2t . 2

Esempio 5.57 (Martingala esponenziale).Dato u ∈ L2

loc consideriamo il processo

Zt = exp

(∫ t

0

usdWs −1

2

∫ t

0

u2sds

). (5.56)

Osserviamo che, posto

Xt =

∫ t

0

usdWs, 〈X〉t =∫ t

0

u2sds,

si ha

Zt = exp

(Xt −

1

2〈X〉t

),

e per la formula di Ito vale

dZt = ZtdXt = utZtdWt.

Dunque Z e una martingala locale, detta martingala esponenziale. Per la Pro-posizione 5.33, essendo un processo positivo, Z e anche una super-martingalae in particolare vale

E [Zt] ≤ E [Z0] = 1, t ≥ 0.

Inoltre se E [ZT ] = 1 allora (Zt)0≤t≤T e una martingala. Cio e vero in parti-colare nel caso in cui ut = σ con σ costante (eventualmente σ ∈ C): allora ilprocesso

Zt = eσWt− |σ|2

2 t

e una martingala. 2

5.6.3 Martingale ed equazioni paraboliche

Consideriamo il processo di Ito X in (5.52) con coefficienti di drift e diffusioneμt = μ e σt = σ costanti, e definiamo l’operatore differenziale parabolico acoefficienti costanti

L = ∂t + μ∂x +σ2

2∂xx.

Allora, per f ∈ C1,2(R2), la (5.55) e equivalente a

df = Lfdt + σ∂xfdWt. (5.57)


Corollario 5.58. Nelle ipotesi precedenti, il processo (f(t, Xt))t∈[0,T ] e unamartingala locale se e solo se f e soluzione di L:

Lf = 0, in [0, T ]× R.

Dimostrazione. E ovvio che se f e soluzione allora, per la (5.57), f(t, Xt) eun integrale stocastico e quindi una martingala locale continua. Viceversa, sef(t, Xt) e una martingala locale allora, per l’Osservazione 5.48, ha drift nulloossia vale Lf(t, Xt) = 0 m⊗P -quasi ovunque. La tesi segue dalla Proposizione2.43 poiche Xt ha densita strettamente positiva su R: osserviamo che si ha

0 =

∫ t

0

E [|Lf(s,Xs)|]ds =∫ t

0

∫R

|Lf(s, x)|Γ (s, x)dxds,

con Γ > 0. 2

Notiamo che se ∂xf(t, Xt) ∈ L2 allora f(t, Xt) e una vera martingala diquadrato sommabile, f(t, Xt) ∈M 2

c .Analogamente f(t, Xt) e una super-martingala locale se e solo se f e super-

soluzione13 di L ossia vale

Lf ≤ 0, in ]0, T [×R. (5.58)

Nel caso in cui X sia un moto Browniano, si ha

L = ∂t +1

2∂xx,

ossia L e l’operatore del calore aggiunto.

5.6.4 Moto Browniano geometrico

Un moto Browniano geometrico e una soluzione dell’equazione differenzialestocastica

dSt = μStdt+ σStdWt, (5.59)

dove μ, σ ∈ R, ossia e un processo stocastico S ∈ L2 tale che

St = S0 + μ

∫ t

0

Ssds+ σ

∫ t

0

SsdWs. (5.60)

Il processo S puo essere determinato esplicitamente nella forma St = f(t,Wt)con f = f(t, x) ∈ C1,2. Infatti applicando la formula di Ito e imponendo la(5.59), otteniamo(

∂tf(t,Wt) +1

2∂xxf(t,Wt)

)dt+ ∂xf(t,Wt)dWt

= μf(t,Wt)dt+ σf(t,Wt)dWt.

13 Si veda la nota a pag.304.


Dall’unicita della rappresentazione di un processo di Ito (cfr. Proposizione5.47) deduciamo14 che, per (t, x) ∈ R+ × R, vale{

∂xf(t, x) = σf(t, x),

f(t, x) + 12∂xxf(t, x) = μf(t, x).

Per la prima equazione, esiste una funzione g = g(t) tale che

f(t, x) = g(t)eσx (5.61)

e inserendo la (5.61) nella seconda equazione otteniamo

g′ +σ2

2g = μg

da cui g(t) = g(0)e

(μ−σ2

2

)t. In definitiva vale

St = S0eσWt+

(μ− σ2

2

)t, (5.62)

e applicando la formula di Ito, e facile verificare che S in (5.62) e effettivamentesoluzione dell’equazione (5.59).Bachelier [6] utilizzo per primo il moto Browniano (non geometrico) come

modello per il prezzo dei titoli benche tale processo sia negativo con proba-bilita positiva. Successivamente Samuelson [145] considero il moto Brownianogeometrico che fu poi utilizzato da Black, Merton e Scholes nei classici lavori[21], [120] sulla valutazione d’arbitraggio delle opzioni. Essendo un esponen-ziale, il moto Browniano geometrico (St) e un processo strettamente positi-vo15: piu precisamente St ha densita con supporto in [0,+∞[ e strettamentepositiva su ]0,+∞[ (si veda la seguente (5.64)).Se σ = 0, la dinamica di S e deterministica

St = S0eμt

e corrisponde alla legge di capitalizzazione continuamente composta con tassoμ. Per questo motivo il coefficiente di drift μ e solitamente detto tasso direndimento atteso di S e il parametro di diffusione σ, che regola l’effettostocastico del moto Browniano, e detto volatilita. Poiche

log(St) = log(S0) +

(μ− σ2

2

)t+ σWt ∼ N

log(S0)+(μ−σ2

2

)t, σ2t

, (5.63)

S ha distribuzione log-normale (cfr. Esempio 2.37). Chiaramente e facilecalcolare

14 Qui utilizziamo anche il fatto che, per t > 0, Wt ha densita strettamente positivasu R: per la Proposizione 2.43, se g e una funzione continua tale che g(Wt) = 0q.s. allora g ≡ 0.

15 Se S0 > 0.


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

2

4

6

8

10

12

Fig. 5.1. Grafico di una traiettoria t �→ St(ω) di un moto Browniano geometrico Se del valore atteso E [St]

P (St ∈ [a, b]) = P (logSt ∈ [log a, logb]),utilizzando, per esempio, la (2.18) per ricondursi ad una distribuzione nor-male standard. In alternativa possiamo scrivere esplicitamente la densita Ψ

di St: poiche St = F (Wt) con F (x) = S0 exp(σx +

(μ− σ2

2

)t), in base

all’Osservazione 2.36, si ha

Ψ(t, x) =1

σx√2πt

exp

(−

(log

(xS0

)− μ+ σ2t

2

)22σ2t

), t > 0, x > 0.

(5.64)Nella Figura 5.2 e riportato il grafico della densita log-normale.Ricordando che, per l’Esempio 5.57,

Mt := exp

(σWt −

σ2

2t

)e una martingala, si ha

E [ST | Ft] = eμTE [MT | Ft] = eμTMt = eμ(T−t)St,

per ogni 0 ≤ t ≤ T . Di conseguenza St e una sub-martingala se μ ≥ 0 ed euna martingala se e solo se μ = 0. Inoltre, per S0 ∈ R, si ha

E [St] = S0eμt,

come si puo anche verificare direttamente con la (2.21). Infine, per la (2.22),si ha

var(St) = S20e

2μt(eσ

2t − 1).

5.7 Processi e formula di Ito multi-dimensionale 227

Fig. 5.2. Grafico della densita log-normale Ψ(t, x) con S0 = 1

5.7 Processi e formula di Ito multi-dimensionale

Estendiamo la definizione di moto Browniano al caso multi-dimensionale.

Definizione 5.59 (Moto Browniano d-dimensionale). Sia (Ω,F , P,Ft)uno spazio di probabilita con filtrazione. Un moto Browniano d-dimensionalee un processo stocastico W = (Wt)t∈[ 0,+∞[ in Rd tale che

i) W0 = 0 P−q.s.;ii) W e un p.s. Ft-adattato e continuo;iii) per t > s ≥ 0, la variabile aleatoriaWt−Ws ha distribuzione multi-normale

N0,(t−s)Id, dove Id indica la matrice identita d × d, ed e indipendente daFs.

Il seguente lemma contiene alcune conseguenze immediate della definizionedi moto Browniano multi-dimensionale.

Lemma 5.60. Sia W = (W 1, . . . ,W d) un moto Browniano d-dimensionalesu (Ω,F , P,Ft). Allora per ogni i = 1, . . . , d si ha


1) W i e un moto Browniano reale su (Ω,F , P,Ft) e quindi, in particolare,una Ft-martingala;

2) W it e W

jt sono variabili aleatorie indipendenti per j �= i e t ≥ 0.

Dimostrazione. La tesi e conseguenza del fatto che, per x = (x1, . . . , xd) ∈ Rde h > 0, si ha

Γ (h, x) :=1

(2πh)d2

exp

(−|x|

2

2h

)=

d∏i=1

1√2πh

exp

(−x2i2h

). (5.65)

Infatti, proviamo la proprieta 1) nel caso i = 1: basta verificare che

(W 1t+h −W 1

t ) ∼ N0,h. (5.66)

Dati H ∈ B e h > 0, si ha

P ((W 1t+h −W 1

t ) ∈ H) = P ((Wt+h −Wt) ∈ H ×R × · · · ×R) =

(poiche (Wt+h −Wt) ∼ N0,tId e vale la (5.65))

=

∫H

1√2πh

exp

(−x212h

)dx1

d∏i=2

∫R

1√2πh

exp

(−x2i2h

)dxi

e questo prova la (5.66) poiche ognuno degli integrali in dxi per i ≥ 2 valeuno.Conoscendo la distribuzione diW i, la 2) e un’immediata conseguenza della

Proposizione 2.62 e della (5.65). 2

Poiche le componenti di un moto BrownianoW d-dimensionale su (Ω,F , P,Ft)sono moti Browniani reali, l’integrale∫ t

0

usdWjs , j = 1, . . . , d,

e definito in modo usuale per ogni u ∈ L2loc(Ft).

Lemma 5.61. Per ogni u, v ∈ L2, t0 < t e i �= j, si ha

E

[∫ t

t0

usdWis

∫ t

t0

vsdWjs | Ft0

]= 0. (5.67)

Dimostrazione. Con un argomento di approssimazione e sufficiente conside-rare u, v semplici: poiche la dimostrazione e analoga a quella del Teorema 5.5,utilizziamo notazioni simili. Si ha


E

(∫ t

t0

usdWis

∫ t

t0

vsdWjs | Ft0

)

=E

[N∑k=1

ek(Witk −W i

tk−1 )

N∑h=1

εh(Wjth −W j

th−1) | Ft0

]

=

N∑k=1

E[ekεk(W

itk−W i

tk−1 )(Wjtk−W j

tk−1) | Ft0]

+ 2∑h<k

E[ekεh(W

itk −W i

tk−1 )(Wjth −W j

th−1) | Ft0]

e si conclude utilizzando la Proposizione 2.102-(6), in base all’indipendenza diW itk−W i

tk−1 daWj (per il Lemma 5.60), da ek e εk (che sono Ftk−1-misurabili).

2

Notazione 5.62 Se u e una matrice N × d con le componenti in L2loc(Ft)

(nel seguito scriveremo semplicemente u ∈ L2loc), poniamo∫ t

0

us dWs =

⎛⎝ d∑j=1

∫ t

0

uijs dWjs

⎞⎠i=1,...,N

.

Il seguente risultato estende le proprieta dell’integrale stocastico contenutenel Teorema 5.11.

Teorema 5.63. Per ogni u, v ∈ L2 matrici N × d e 0 ≤ a < b < c, valgono leseguenti proprieta:

(1) attesa nulla:

E

[∫ b

a

usdWs | Fa]= 0, E

[∫ b

a

utdWt ·∫ c

b

vtdWt | Fa]= 0;


E

[∫ b

a

utdWt ·∫ b

a

vtdWt | Fa]= E

[∫ b

a

tr (utv∗t ) dt | Fa

], (5.68)

e in particolare

E

⎡⎣∣∣∣∣∣∫ b

a

utdWt

∣∣∣∣∣2

| Fa

⎤⎦ = E

[∫ b

a

|ut|2 dt | Fa],

dove

|ut|2 = tr (utu∗t ) =N∑i=1

d∑j=1

(uijt

)2;


(3) posto

Xt =

∫ t

0

usdWs, t ∈ [0, T ],

si ha X ∈M 2c e vale

[[X]]2T ≤ 4∫ T

0

E[|us|2

]ds.

Inoltre valgono le versioni “non condizionate” delle identita ai punti (1) e(2).

Dimostrazione. Proviamo solo la (5.68):

E

[∫ b

a

utdWt ·∫ b

a

vtdWt | Fa]

=

N∑i=1

E

[(d∑h=1

∫ b

a

uiht dWht

)(d∑k=1

∫ b

a

vikt dWkt

)| Fa

]

(per il Lemma 5.61 e l’isometria di Ito)

= E

[∫ b

a

N∑i=1

d∑h=1

uiht viht dt | Fa

].

5.7.1 Formula di Ito multi-dimensionale

Enunciamo la formula di Ito per il moto Browniano d-dimensionale.

Teorema 5.64. Sia f = f(t, x1, . . . , xd) ∈ C1,2(Rd+1). Allora f(t,Wt) e unprocesso di Ito e vale

df(t,Wt) = ∂tf(t,Wt)dt+

d∑i=1

∂xif(t,Wt)dWit +

1

2

d∑i=1

∂xixif(t,Wt)dt. (5.69)

Possiamo riscrivere la (5.69) in forma piu compatta nel modo seguente

df(t,Wt) =

(∂tf(t,Wt) +

1

2�f(t,Wt)

)dt+∇f(t,Wt) · dWt, (5.70)

dove � e ∇ = (∂x1 , . . . , ∂xd) indicano rispettivamente l’operatore di Laplacee il gradiente in Rd.Se f ∈ C1,2(R× Rd) e soluzione dell’equazione aggiunta del calore in Rd

1

2�f + ∂tf = 0, (5.71)


allora la (5.70) diventa

df(t,Wt) = ∇f(t,Wt) · dWt.

Analogamente a quanto abbiamo visto nella Sezione 5.6.3, f(t,Wt) e una mar-tingala locale16 se e solo se f e soluzione di (5.71). In tal caso, se indichiamocon

W t,xT := x+WT −Wt, t ≤ T,

il moto Browniano di punto iniziale x al tempo t, in analogia con quanto vistonella Sezione 4.2.1, si ha:

i) f(t, x) = E[f(T,W t,x

T

)],

ii) E [f(T,WT ) | Ft] = f(t,Wt),

per t ≤ T e x ∈ Rd.Introduciamo ora la nozione di processo di Ito N -dimensionale.

Definizione 5.65. Un processo di Ito e un p.s. della forma

Xt = X0 +

∫ t

0

μsds+

∫ t

0

σs dWs, t ∈ [0, T ], (5.72)

dove X0 e F0−misurabile,W e un moto Browniano d−dimensionale, μ ∈ L1loc

e un vettore N × 1 e σ ∈ L2loc e una matrice N × d.

La (5.72) si scrive equivalentemente nella forma differenziale

dXt = μtdt+ σtdWt

o piu esplicitamente

dXit = μitdt+

d∑j=1

σijt dWjt , i = 1, . . . , N.

Esempio 5.66 (Moto Browniano correlato).Data una matrice costante σ di dimensione N × d, nel seguito useremo inmaniera sistematica la notazione

C = σσ∗.

Chiaramente C = (Cij) e una matrice di dimensione N × N , simmetrica,semidefinita positiva e vale Cij = σi · σj , essendo σi la i-esima riga di σ.16 Se ∇f(t,Wt) ∈ L2 (per esempio nel caso in cui ∇f sia limitato) allora

f(t,Wt) = f(0,W0) +

∫ t

0

∇f(s,Ws) · dWs

e una Ft-martingala.


Dato μ ∈ RN e un moto Browniano d−dimensionale W , poniamo

Bt = μ+ σWt, (5.73)

ossiadBt = σdWt. (5.74)

In base all’Osservazione 2.90, si ha che

Bt ∼ Nμ,tC

e in particolareCov(Bt) = tC (5.75)

ossiatCij = E

[(Bit − μi

) (Bjt − μj

)].

Diciamo che B e un moto Browniano di punto iniziale μ e matrice di cor-relazione C. Tratteremo nella Sezione 5.7.3 il caso del moto Browniano conmatrice di correlazione stocastica.Nel caso N = 1, si ha σ = (σ1i)i=1,...,d e

Bt = μ+

d∑i=1

σ1iW it

ha distribuzione normale con media μ e varianza |σ|2t.In termini intuitivi, possiamo pensare a N come al numero di titoli pre-

senti sul mercato, rappresentati da B, e a d come al numero di fonti di alea-torieta. Nel costruire un modello stocastico, si puo supporre che la matrice dicorrelazione C dei titoli sia osservabile: se C e simmetrica e definita positiva,l’algoritmo di decomposizione di Cholesky17 permette di determinare una ma-trice triangolare inferiore σ di dimensione N ×N tale che C = σσ∗, e quindie possibile ottenere una rappresentazione del mercato della forma (5.73). 2

Ricordiamo la Definizione 4.74 di processo co-variazione quadratica: seX = (X1, . . . , XN ) e Y = (Y 1, . . . , YM ) sono processi a valori vettorialiponiamo

〈X, Y 〉t =(〈Xi, Y j〉t

)i=1,...,Nj=1,...,M

.

Il seguente risultato e analogo al Corollario 5.46.

Lemma 5.67. Dato un processo di Ito X della forma (5.72) e posto C = σσ∗,si ha

〈Xi, Xj〉t =∫ t

0

Cijs ds, t ≥ 0, (5.76)

o, con notazione differenziale,

d〈Xi, Xj〉t = Cijt dt.17 Si veda, per esempio, [126].


Dati X, Y due processi di Ito in RN della forma (5.72), nella pratica ilcalcolo di 〈X, Y 〉t si traduce all’applicazione della seguente “regola”:

d〈Xi, Y j〉t = dXitdYjt ,

dove il prodotto a destra della precedente identita si calcola utilizzando leseguenti regole formali:

dtdt = dtdWh = dWhdt = 0, dWhdW k = δhkdt,

e δhk indica il simbolo di Kronecker

δhk =

{0, h �= k,

1, h = k.

Per esempio, se

dXt = μtdt+ σ11t dW 1t + σ12t dW

2t ,

dYt = νtdt+ σ21t dW1t + σ22t dW

2t ,

allorad〈X, Y 〉t =

(σ11t σ21t + σ12t σ

22t

)dt.

Nel caso del moto Browniano correlato B = σW , ricordando la (5.75), si ha

〈Bi, Bj〉t = tCij = cov(Bit, B

jt

).

Enunciamo ora la versione generale della formula di Ito.

Teorema 5.68. Siano X un processo di Ito della forma (5.72) e f = f(t, x) ∈C1,2(R× RN). Vale

df(t, Xt) = ∂tf(t, Xt)dt+∇f(t, Xt) · dXt +1

2

N∑i,j=1

∂xixjf(t, Xt)d〈Xi, Xj〉t,

(5.77)

In forma compatta, posto Ct = σtσ∗t , sopprimendo per brevita l’argomento di

f = f(t, Xt) e ricordando la (5.76), allora la formula (5.77) assume la forma

df =

⎛⎝12

N∑i,j=1

Cijt ∂xixjf + μt · ∇f + ∂tf

⎞⎠ dt+∇f · σtdWt

=

⎛⎝12

N∑i,j=1

Cijt ∂xixjf +N∑i=1

μit∂xif + ∂tf

⎞⎠ dt+

N∑i=1

d∑h=1

∂xifσiht dW

ht .

(5.78)

Poiche e di frequente utilizzo, riportiamo anche la formula di Ito per ilmoto Browniano correlato.


Esempio 5.69. Sia B = (B1, . . . , BN ) un moto Browniano correlato conmatrice di correlazione C. Consideriamo i processi di Ito in R

dXit = μitdt+ σitdBit, i = 1, . . . , N.

Allora, per ogni f = f(t, x) ∈ C1,2(R × RN), Yt := f(t, Xt) e un processo diIto e vale

dYt =

⎛⎝12

N∑i,j=1

Cijσitσjt∂xixjf +N∑i=1

μit∂xif + ∂tf

⎞⎠ dt+

N∑i=1

∂xifσitdB

it.

(5.79)2

Concludiamo la sezione riportando la versione multi-dimensionale dellaProposizione 5.51.

Proposizione 5.70. Se μ ∈ L1 e σ ∈ L2 sono funzioni deterministiche, allorail processo definito da

dSt = μ(t)dt+ σ(t)dWt, S0 = x ∈ R,

ha distribuzione multi-normale con

E [St] = x+

∫ t

0

μ(s)ds, cov(St) =

∫ t

0

σ(s)σ∗(s)ds.

La dimostrazione e analoga a quella del caso uno-dimensionale ed e lasciataper esercizio.

5.7.2 Alcuni esempi

Questa sezione contiene alcuni esempi di applicazione della formula di Ito utilia prendere familiarita con la versione multi-dimensionale.

Esempio 5.71. Sia (X, Y ) un moto Browniano 2−dimensionale e f(t, x1, x2) =x1x2. Allora

d(XY ) = XdY + Y dX.

Inoltre si had(X2Y

)= X2dY + 2XY dX + Y dt.

Nel caso di un moto Browniano B in R2 con matrice di correlazione

C =(α ββ γ

)e f(t, x1, x2) = x1x2, si ha

d(B1tB

2t ) = B1

t dB2t +B2

t dB1t + βdt.

Per esercizio, applicare la formula di Ito nel caso B = (B1 , B2, B3) e f(B) =BiBj oppure g(B) = BiBjBk. 2


Esempio 5.72 (Integrazione per parti). Consideriamo un processo di Ito conN = 2 e d = 1:

dXit = μitdt+ σitdWt, i = 1, 2.

In questo caso

d(X1tX

2t ) = X1

t dX2t +X2

t dX1t +

1

2

(d〈X1, X2〉t + d〈X2, X1〉t

)= X1

t dX2t +X2

t dX1t + σ1tσ

2t dt, (5.80)

ossia ∫ t

0

X2s dX

1s = X1

tX2t −X1

0X20 −

∫ t

0

X1s dX

2s −

∫ t

0

σ1sσ2sds.

Notiamo che e sufficiente che σ1 = 0 oppure σ2 = 0 affinche valga formalmentel’usuale formula di integrazione per parti. 2

Esempio 5.73 (Martingala esponenziale). Sia W un moto Browniano d-dimensionale e σ ∈ L2

loc una matrice N × d. Poniamo

Xt =

∫ t

0

σsdWs,

e ricordiamo che, posto C = σσ∗, vale

〈Xi, Xj〉t =∫ t

0

Cijs ds.

Dato ξ ∈ RN , consideriamo il processo

Zξt = exp

(∫ t

0

ξ · σsdWs −1

2

∫ t

0

〈Csξ, ξ〉ds)

= exp

(ξ ·Xt −

1

2

d∑i,j=1

ξiξj〈Xi, Xj〉t).

Per la formula di Ito si ha

dZξt = Zξt ξ · dXt = Zξt ξ · σtdWt,

e quindi Zξ e una martingala locale positiva, detta martingala esponenziale(coerentemente col caso unidimensionale trattato nell’Esempio 5.57).Nel caso particolare in cui σ sia la matrice identita d× d, il processo

Zξt = exp

(ξ ·Wt −

|ξ|22t

)e una martingala per ogni ξ ∈ Rd. 2


5.7.3 Moto Browniano correlato e martingale

In questa sezione mostriamo un’utile caratterizzazione del moto Browniano intermini di martingale esponenziali. Riprendendo l’Esempio 5.73, consideriamoil processo

Zξt = eiξ·Wt+|ξ|22 t.

dove i e l’unita complessa, W e un moto Browniano d-dimensionale e ξ ∈ Rd.Abbiamo notato che Zξ e una martingala locale e poiche Zξ e un processolimitato allora e anche una vera martingala. Viceversa vale il seguente

Teorema 5.74. Sia X un processo continuo in Rd su (Ω,F , P,Ft) tale cheX0 = 0 q.s. Se per ogni ξ ∈ Rd il processo

Zξt = eiξ·Xt+|ξ|22 t (5.81)

e una martingala allora X e un moto Browniano.

Dimostrazione. Dobbiamo solo verificare che:

i) Xt −Xs ha distribuzione normale N0,(t−s)Id;ii) Xt −Xs e indipendente da Fs.Dalla (5.81) segue che

E[eiξ·(Xt−Xs) | Fs

]= e−

|ξ|22 (t−s)

per ogni ξ ∈ Rd e applicando l’attesa ad ambo i membri si ha che la funzionecaratteristica di Xt −Xs verifica

E[eiξ·(Xt−Xs)

]= e−

|ξ|22 (t−s), ξ ∈ Rd.

Allora la i) segue dal Teorema 2.87 e la ii) dalla Proposizione 2.106. 2

Presentiamo ora un classico risultato di caratterizzazione del moto Brow-niano. Anzitutto osserviamo che seW e un moto Browniano inRd e immediatoverificare con la formula di Ito che il processo

W iW j − δijt,

dove δij e il simbolo di Kronecker, e una martingala: in termini di variazionequadratica, questo e equivalente a

d〈W i,W j〉t = δijdt.

E significativo che la variazione quadratica e la proprieta di martingalacaratterizzano il moto Browniano. Vale infatti


Teorema 5.75 (Caratterizzazione di Levy del moto Browniano).Sia X un processo stocastico in Rd sullo spazio (Ω,F , P,Ft) tale che X0 = 0q.s. Allora X e un moto Browniano se e solo se e una martingala localecontinua tale che

〈Xi, Xj〉t = δijt (5.82)

ossia tale cheXitX

jt − δijt

sono martingale locali per ogni i, j = 1, . . . , d.

Dimostrazione. La dimostrazione e basata sul Teorema 5.74 e consiste nelverificare che, per ogni ξ ∈ RN , il processo esponenziale

Zξt := exp

(iξ ·Xt +

|ξ|22t

)e una martingala. Consideriamo solo il caso particolare in cui X e un processodi Ito: per una dimostrazione generale si veda, per esempio, Protter [140],Teorema 39, Cap.II.Per ipotesi X e una martingala locale, dunque ha drift nullo e assume la

formadXt = σtdWt,

con σ ∈ L2loc. Per la formula di Ito vale

dZξt = Zξt

⎛⎝ |ξ|22dt+ iξ · dXt −

1

2

d∑i,j=1

ξiξjd〈Xi, Xj〉t

⎞⎠ =

(per la (5.82))

= Zξt iξ · σtdWt

Dunque Zξ e una martingala locale ma essendo limitata e anche una veramartingala. Allora la tesi segue dal Teorema 5.74. 2

Osservazione 5.76. Data una martingala reale X, si ha che X2t − t e una

martingala se e solo se

E[(Xt −Xs)

2 | Fs]= E

[X2t −X2

s | Fs]= t− s, s ≤ t.

Corollario 5.77. Sia σ = (σ1, . . . , σd) un processo progressivamente misura-bile in Rd tale che

|σt|2 =d∑i=1

(σit

)2= 1 t ≥ 0, q.s.,

e sia W un moto Browniano d-dimensionale. Allora

Bt =

∫ t

0

σsdWs

e un moto Browniano reale.


Dimostrazione. Per ipotesi σ ∈ L2 e quindi B e una martingala continua.Inoltre vale

〈B〉t =∫ t

0

|σs|2ds = t.

Allora sono verificate l’ipotesi del Teorema 5.75 e questo conclude la prova. 2

2

Definizione 5.78. Consideriamo una matrice σ di dimensione N × d, le cuicomponenti σij = σijt siano processi progressivamente misurabili e le cui righeσi siano tali che

|σit| = 1 t ≥ 0, q.s.Il processo

Bt =

∫ t

0

σsdWs

e detto moto Browniano correlato.

Per il Corollario 5.77, ogni componente di B e un moto Browniano reale e peril Lemma 5.67

〈Bi, Bj〉t =∫ t

0

Cijs ds

dove Ct = σtσ∗t e detta matrice di correlazione di B. Inoltre si ha

Cov(Bt) =

∫ t

0

E [Cs]ds,

poiche vale

cov(Bit, Bjt ) = E

[BitB

jt

]= E

[d∑k=1

∫ t

0

σiks dWks

d∑h=1

∫ t

0

σjhs dWhs

]=

(per il Lemma 5.61)

= E

[d∑k=1

∫ t

0

σiks dWks

∫ t

0

σjks dW ks

]=


= E

[∫ t

0

d∑k=1

σiks σjks ds

]=

∫ t

0

E[Cijs

]ds.

Nel caso in cui σ sia una matrice ortogonale18 allora B e un moto Brownianostandard secondo la Definizione 5.59.

18 Ossia tale che σ∗ = σ−1. Di conseguenza σiσj = δij per ogni coppia di righe.

5.8 Estensioni della formula di Ito 239

5.8 Estensioni della formula di Ito

In questo paragrafo esaminiamo alcune estensioni della formula di Ito (5.77):in particolare siamo interessati ad indebolire le ipotesi sulla regolarita dellafunzione f .La prima generalizzazione e una formula di Ito per funzioni derivabili in

senso debole. Questo risultato ha interesse per la valutazione di opzioni Ameri-cane poiche, come abbiamo anticipato nella Sezione 3.4.4, il prezzo di questotipo di derivati si esprime con funzioni che appartengono ad un opportunospazio di Sobolev e in generale non sono di classe C1,2.In secondo luogo, siamo interessati ad estendere la formula di Ito alla

funzione di payoff di un’opzione Call

f(x) = (x−K)+, x ∈ R, (5.83)

dove K e un numero fissato. In questo caso19 f non e differenziabile in sensoclassico in x = K, ammette derivata prima in senso debole

Df = 1]K,+∞[ , (5.84)

e ha derivata seconda solo in senso distribuzionale: precisamente

D2f = δK (5.85)

dove δK indica la Delta di Dirac centrata in K. Nella Sezione 5.8.4 utiliz-ziamo un’estensione della formula di Ito valida per f in (5.83), per ottenereun’interessante rappresentazione del prezzo di una Call Europea.

5.8.1 Formula di Ito e derivate deboli

Il principale risultato della sezione e il seguente

Teorema 5.79. Siano f ∈W 2,p(RN), con p > max{N, 1+ N2 }, e W un moto

Browniano N -dimensionale. Allora per ogni t > 0 vale q.s.

f(Wt) = f(0) +

∫ t

0

∇f(Ws) · dWs +1

2

∫ t

0

�f(Ws)ds. (5.86)

La dimostrazione del teorema si basa sul seguente

Lemma 5.80. Sia

Γ (t, x) =1

(2πt)N2

exp

(−|x|

2

2t

), t > 0, x ∈ RN ,

la densita del moto Browniano N -dimensionale. Allora Γ ∈ Lq(]0, T [×RN)per ogni q ∈

[1, 1 + 2

N

[e T > 0.

19 Rimandiamo all’Appendice, Paragrafo A.3, per un’esposizione dei principalirisultati della teoria delle derivate deboli e delle distribuzioni.


Dimostrazione. Si ha∫ T

0

∫RN

Γ q(t, x)dxdt =

∫ T

0

∫RN

1

(2πt)Nq2

exp

(−q|x|

2

2t

)dxdt =

(col cambio di variabili y = x√2t)

=1

(π)Nq2

∫ T

0

1

(2t)N(q−1)

2

dt

∫RN

e−q|y|2

dy,

che e finito per N(q−1)2

< 1 ossia q < 1 + 2N. 2

Dimostrazione (del Teorema 5.79). Consideriamo una successione (fn) rego-larizzante per f , ottenuta per convoluzione con gli usuali mollificatori. Alloraper il Teorema A.33-v), fn ∈ C∞(RN ) e (fn) converge a f in W 2,p. Os-serviamo anche che, essendo p > N , per il Teorema A.25 di immersione diSobolev-Morrey si ha che f ∈ C1(RN ) e ∇f ∈ L∞(RN ).Per la formula di Ito standard, abbiamo

fn(Wt) = fn(0) +

∫ t

0

∇fn(Ws) · dWs +1

2

∫ t

0

�fn(Ws)ds.

Chiaramente vale

limn→∞

fn(Wt) = f(Wt), limn→∞

fn(0) = f(0).

Inoltre, per l’isometria di Ito, si ha

E

[(∫ t

0

(∇fn(Ws)−∇f(Ws)) · dWs

)2]

=

∫ t

0

E[|∇fn(Ws)−∇f(Ws)|2

]ds

=

∫ t

0

∫RN|∇fn(x)−∇f(x)|2 Γ (s, x)dxds−−−−→

n→∞0

per il teorema della convergenza dominata poiche, essendo ∇f ∈ C1, l’inte-grando converge puntualmente a zero e si maggiora con la funzione sommabile‖∇fn −∇f‖2L∞(RN )Γ .

Infine

E

[∣∣∣∣∫ t

0

(�fn(Ws) −�f(Ws)) ds

∣∣∣∣]≤

∫ t

0

E [|�fn(Ws)−�f(Ws)|] ds

≤∫ t

0

∫RN|�fn(x)−�f(x)|Γ (s, x)dxds≤


(per la disuguaglianza di Holder, con q esponente coniugato di p)

≤ ‖Γ ‖Lq(]0,t[×RN) ‖�fn −�f‖Lp(]0,t[×RN ) −−−−→n→∞0

poiche (fn) converge a f inW2,p(RN) e l’ipotesi p > 1+ N

2 implica q < 1+2N :

dunque, per il Lemma 5.80, si ha

‖Γ ‖Lq(]0,t[×RN) <∞.

In definitiva, abbiamo provato che vale la (5.86) q.s. per ogni t > 0, e per laProposizione 4.18 questo basta a provare la tesi. 2

Osservazione 5.81. La dimostrazione precedente si adatta facilmente al casoin cui f dipenda anche dal tempo, ossia vale la formula di Ito per f nellospazio di Sobolev parabolico S2,p(RN+1) con p > max{N, 1 + N

2 }.Inoltre possiamo indebolire la condizione di sommabilita utilizzando un

argomento standard di localizzazione: in particolare la (5.86) vale per f ∈W 2,p

loc (RN), a patto di richiedere una condizione di crescita in x all’infinito del

tipo

|∇f(x)|2 + |�f(x)|2 ≤Meα|x|2

, x ∈ RN , (5.87)

con α,M costanti positive, α < 14t . In tal caso, procedendo come nella prova

del Teorema 5.79, proviamo dapprima che vale

f(Wt∧τR ) = f(0) +

∫ t∧τR

0

∇f(Ws) · dWs +1

2

∫ t∧τR

0

�f(Ws)ds, (5.88)

per ogni R > 0, dove τR indica il tempo di uscita diW dalla palla Euclidea diraggio R > 0 centrata nell’origine. Ora passiamo al limite per R→∞: poichevale (cfr. Sezione 9.4.1)

limR→∞

t ∧ τR = t,

alloralimR→∞

f(Wt∧τR ) = f(Wt).

Inoltre esiste

limR→∞

∫ t∧τR

0

∇f(Ws) · dWs =

∫ t

0

∇f(Ws) · dWs <∞, q.s.

infatti si ha

E

[∣∣∣∣∫ t

t∧τR∇f(Ws) · dWs

∣∣∣∣2]= E

[∣∣∣∣∫ t

0

1{s≥t∧τR}∇f(Ws) · dWs

∣∣∣∣2]


= E

[∫ t

0

1{s≥t∧τR} |∇f(Ws)|2 ds]≤


(per la disuguaglianza di Holder)

≤ E

[∫ t

0

|∇f(Ws)|4 ds] 12

E [t − (t ∧ τR)]12 −−−−→R→∞

0

poiche il secondo fattore tende a zero per il teorema della convergenzadominata e per quanto riguarda il primo fattore si ha

E

[∫ t

0

|∇f(Ws)|4 ds]≤

(per la (5.87))

≤M2

∫ t

0

∫RN

e2α|x|2

Γ (s, x)dxds <∞.

In modo analogo (anzi, piu semplicemente) proviamo che vale

limR→∞

∫ t∧τR

0

�f(Ws)ds =

∫ t

0

�f(Ws)ds <∞, q.s.

e questo conclude la prova della (5.86).Infine la formula di Ito estesa vale per processi piu generali del moto Bro-

wniano: un ingrediente cruciale nella prova del Teorema 5.79 e la stima disommabilita della densita di transizione del Lemma 5.80. Vedremo nel Ca-pitolo 8 che una stima analoga vale per un’ampia classe di processi di Ito,soluzioni di equazioni differenziali stocastiche. Nel Capitolo 11 adatteremogli argomenti utilizzati in questa sezione allo studio del problema di arrestoottimo per opzioni Americane.

5.8.2 Tempo locale e formula di Tanaka

Consideriamo la funzione di payoff di una Call

f(x) = (x−K)+, x ∈ R.Applicando formalmente la formula di Ito al processo f(W ), dove W e unmoto Browniano reale, e ricordando l’espressione (5.84) e (5.85) delle derivatedi f , otteniamo

(Wt −K)+ = (W0 −K)+ +

∫ t

0

1[K,+∞[(Ws)dWs +1

2

∫ t

0

δK (Ws)ds. (5.89)

La (5.89), nota come formula di Tanaka, oltre ad una dimostrazione rigorosa,richiede anche un chiarimento sul significato dei singoli termini che vi appaio-no. In particolare l’ultimo integrale della (5.89), che contiene la distribuzioneδK , deve essere per ora inteso in senso formale: come vedremo, tale termineha un particolare interesse sia dal punto di vista teorico che nelle applicazionifinanziarie. Per precisarne il significato e necessario, dopo alcuni preliminari,introdurre l’importante concetto di tempo locale di un moto Browniano. Nellaprossima definizione | · | indica la misura di Lebesgue.


Definizione 5.82 (Tempo di occupazione). Siano t ≥ 0 e H ∈ B. Iltempo di occupazione di H entro t di un moto Browniano W , e definito da

JHt := |{s ∈ [0, t] |Ws ∈ H}| . (5.90)

Intuitivamente, per ogni ω ∈ Ω, JHt (ω) misura il tempo trascorso da Wnel Borelliano H prima di t. Le seguenti proprieta del tempo d’occupazionederivano direttamente dalla definizione:

i) vale

JHt =

∫ t

0

1H(Ws)ds; (5.91)

ii) per ogni H ∈ B,(JHt

)e un processo stocastico adattato e continuo;

iii) per ogni ω ∈ Ω e H ∈B, la funzione t �→ JHt (ω) e crescente e si ha

0 ≤ JHt (ω) ≤ t;

iv) per ogni t, ω, l’applicazioneH �→ JHt (ω) e una misura suB e vale JRt (ω) =

t;v) per la (5.91), si ha

E(JHt ) =

∫ t

0

P (Ws ∈ H)ds =

∫ t

0

∫H

Γ (s, x)dxds,

dove Γ e la densita Gaussiana in (2.4). Di conseguenza

|H | = 0 ⇐⇒ JHt = 0 P -q.s. (5.92)

Ne viene in particolare che il tempo di occupazione di un punto di R daparte di un moto Browniano e nullo.

Formalmente la (5.92) suggerisce l’idea che H �→ JHt sia una misura equi-valente alla misura di Lebesgue e quindi per il Teorema di Radon-Nikodymabbia una densita:

JHt =

∫H

Lt(x)dx. (5.93)

In realta la situazione e piu delicata perche JHt e una variabile aleatoria: stadi fatto che la (5.93) e vera nel senso specificato dal seguente

Teorema 5.83. Esiste un processo stocastico a due parametri

L = {Lt(x) = Lt(x, ω) : [0,+∞[×R× Ω −→ [0,+∞[}

che gode delle seguenti proprieta:

i) Lt(x) e Ft-misurabile per ogni t, x;ii) (t, x) �→ Lt(x) e una funzione continua q.s. e, per ogni x, t �→ Lt(x) e

crescente q.s.;


iii) vale la (5.93) per ogni t e H q.s.

Definizione 5.84. Il processo L e detto tempo locale Browniano.

Per la prova del Teorema 5.83 rimandiamo, per esempio, a Karatzas-Shreve[91], pag.207.

Osservazione 5.85. Combinando la (5.93) con la (5.91) si ottiene∫ t

0

1H(Ws)ds =

∫H

Lt(x)dx, ∀H ∈B, q.s. (5.94)

che, per il Teorema A.7 di Dynkin, e equivalente al fatto che per ogni ϕ ∈ Bbvalga ∫ t

0

ϕ(Ws)ds =

∫R

ϕ(x)Lt(x)dx, q.s. (5.95)

2

Osservazione 5.86. Come conseguenza della proprieta di continuita di Lt(x),si ha che vale q.s.

Lt(x) = limε→0+

1

2ε

∫ x+ε

x−εLt(y)dy =

(per la (5.94))

= limε→0+

1

2ε|{s ∈ [0, t] | |Ws − x| ≤ ε}| . (5.96)

Questa e la definizione di tempo locale originariamente introdotta da P. Levy:intuitivamente Lt(x) rappresenta una misura del tempo (entro t) trascorso daW “nelle vicinanze” del punto x. 2

Proviamo ora una formula di rappresentazione del tempo locale Browniano.

Teorema 5.87 (Formula di Tanaka). Per ogni K ∈ R vale

(Wt −K)+ = (W0 −K)+ +

∫ t

0

1[K,+∞[(Ws)dWs +1

2Lt(K). (5.97)

Osservazione 5.88. Scegliendo ϕ = �n nella (5.95) dove (�n) e una successioneregolarizzante20 per δK e passando al limite in n, otteniamo, per la continuitaq.s. di L,

limn→∞

∫ t

0

�n(Ws)ds = limn→∞

∫R

�n(x)Lt(x)dx = Lt(K), q.s.

Dunque risulta naturale la notazione

20 Si veda il Paragrafo A.3.4.

5.8 Estensioni della formula di Ito 245∫ t

0

δK(Ws)ds := Lt(K). (5.98)

Sostituendo la (5.98) nella (5.97) otteniamo la formula di Tanaka nella versione(5.89).Ricordiamo che la formula di Ito e stata generalizzata sotto la sola ipo-

tesi di convessita di f da Meyer [123] e Wang [167]: a riguardo si vedaKaratzas e Shreve [91], Cap.3.6-D. 2

Dimostrazione (del Teorema 5.87). Consideriamo una successione regolariz-zante per f(x) = (x−K)+ costruita mediante i mollificatori �n:

fn(x) =

∫R

�n(x− y)(y −K)+dy.

Ricordiamo che, per il Teorema A.33-v), si ha

f ′n(x) = (Df)n(x) =

∫R

�n(x− y)1[K,+∞[(y)dy, (5.99)

f ′′n (x) = (D2f)n(x) =

∫R

�n(x− y)δK (dy) = �n(x−K). (5.100)

Poiche fn ∈ C∞, applicando la formula di Ito otteniamo

Fn(Wt) = fn(W0) +

∫ t

0

f ′n(Ws)dWs︸︷︷︸=:I1

+1

2

∫ t

0

f ′′n (Ws)ds︸︷︷︸=:I2

.

Per la (5.100) si ha

I2 =

∫ t

0

�n(Ws −K)ds =

(per la (5.95))

=

∫R

�n(x−K)Lt(x)dx −−−−→n→∞

Lt(K), q.s.

Inoltre

E

[(I1 −

∫ t

0

1[K,+∞[(Ws)dWs

)2]=

(per l’isometria di Ito )

= E

[∫ t

0

(f ′n(Ws)− 1[K,+∞[(Ws)

)2ds

]−−−−→n→∞

0

per il teorema della convergenza dominata, poiche l’integrando converge azero q.s. ed e limitato. Questo prova la formula di Tanaka (5.97) q.s. per ognit: d’altra parte, per continuita, la (5.97) e vera anche per ogni t q.s. 2


5.8.3 Formula di Tanaka per processi di Ito

In vista delle applicazioni finanziarie, enunciamo la generalizzazione delTeorema 5.83 per processi di Ito del tipo

Xt = X0 +

∫ t

0

μsds+

∫ t

0

σsdWs, (5.101)

con μ ∈ L1loc e σ ∈ L2

loc. La principale differenza rispetto al caso Brownianoe nel fatto che il tempo locale e un processo continuo in t invece che nellacoppia (t, x) e il termine dt e sostituito da d〈X〉t.

Teorema 5.89. Esiste un processo stocastico a due parametri, detto tempolocale del processo X,

L = {Lt(x) = Lt(x, ω) : [0,+∞[×R× Ω −→ [0,+∞[}

che gode delle seguenti proprieta:

i) (t, x, ω) �→ Lt(x, ω) e misurabile e Lt(x) e Ft-misurabile per ogni t, x;ii) t �→ Lt(x, ω) e una funzione continua e crescente per ogni x q.s.;iii) per ogni ϕ ∈Bb vale l’identita∫ t

0

ϕ(Xs)d〈X〉s =∫R

ϕ(x)Lt(x)dx, q.s.

Inoltre, posto ∫ t

0

δK(Xs)d〈X〉s := Lt(K), K ∈ R,

vale la formula di Tanaka

(Xt−K)+ = (X0−K)++∫ t

0

1[K,+∞[(Xs)dXs+1

2

∫ t

0

δK(Xs)d〈X〉s. (5.102)

Per la dimostrazione del teorema rimandiamo, per esempio, a Karatzas-Shreve[91].

5.8.4 Tempo locale e formula di Black&Scholes

Il materiale di questa sezione e tratto da [147]. Consideriamo un modellofinanziario in cui la dinamica del prezzo di un titolo rischioso sia descrittada un moto Browniano geometrico e per semplicita assumiamo il rendimentoatteso μ e il tasso di interesse r nulli:

dSt = σStdWt.

Applicando la formula di Tanaka otteniamo


(ST −K)+ = (S0 −K)+ +

∫ T

0

1{St≥K}dSt +1

2

∫ T

0

σ2S2t δK(St)dt, (5.103)

e abbiamo una rappresentazione del payoff di una Call con strike K, comesomma di tre termini:

• (S0 −K)+ rappresenta il valore intrinseco dell’opzione;

•∫ T01{St≥K}dSt e il valore finale di una strategia autofinanziante che con-

siste nel detenere un’unita del titolo quando il suo prezzo e maggiore dellostrike e nessuna unita quando il prezzo e minore dello strike. Diciamo chequesta e una strategia di tipo stop-loss;

• 12

∫ T0σ2S2

t δK(St)dt e il tempo locale del titolo attorno allo strike: questotermine non-negativo indica l’errore che si commette replicando l’opzionecon la strategia stop-loss. Intuitivamente, se S non attraversa lo strike, lareplicazione stop-loss e perfetta. D’altra parte se S attraversa lo strike,dobbiamo comprare o vendere il sottostante. Data l’irregolarita delle tra-iettorie di S questo avviene molto spesso e in modo tale che intuitivamentenon riusciamo a compiere le operazione nell’istante preciso in cui S valeK: in altri termini siamo costretti a vendere un po’ sotto lo strike e a com-prare un po’ sopra lo strike. Questo si traduce in un errore di replicazioneche non e dovuto a costi di transazione ma e caratteristico del modellobasato sul moto Browniano e dell’irregolarita delle sue traiettorie.

Applicando il valore atteso alla formula (5.103) e usando la proprieta di attesanulla dell’integrale stocastico, otteniamo

E[(ST −K)

+]= (S0 −K)

++1

2

∫ T

0

E[σ2S2

t δK(St)]dt

= (S0 −K)+ +1

2

∫ T

0

∫R

σ2x2Ψ(t, x)δK(dx)dt

= (S0 −K)++σ2K2

2

∫ T

0

Ψ(t, K)dt, (5.104)

dove Ψ(t, ·) indica la densita log-normale di St in (5.64) con μ = 0. La formula(5.104) esprime il valore atteso del payoff (intuitivamente, il prezzo neutraleal rischio della Call) come somma del valore intrinseco dell’opzione con l’inte-grale, rispetto alla variabile temporale, della densita del sottostante calcolatanello strike K.

Proposizione 5.90. La (5.104) e equivalente alla formula di Black&Scholes(3.95) con tasso di interesse r = 0.

Dimostrazione. Per semplicita consideriamo solo il caso at the money S0 = Ke lasciamo al lettore per esercizio la verifica nel caso generale. Indicando conC il prezzo di Black&Scholes, per la (3.95) si ha

C = S0Φ(d1) −Ke−rTΦ(d2),


dove d1, d2 sono definiti in (3.92) e Φ indica la funzione di distribuzionenormale standard. Nel caso particolare S0 = K e r = 0 vale

C = K(Φ(σ√T/2

)− Φ

(−σ√T/2

))= 2K

∫ σ√T

2

0

1√2π

e−x2

2 dx.

D’altra parte, per la (5.104), si ha

E[(ST −K)

+]=

σ2K2

2

∫ T

0

Ψ(t, K)dt =

(sostituendo l’espressione di Ψ data dalla (5.64))

=σK

2

∫ T

0

1√2πt

exp

(−σ

2t

8

)dt

da cui la tesi, col cambio di variabili x = σ√t

2. 2

Concludiamo notando che i risultati di questa sezione si applicano in generalead un qualsiasi modello in cui il prezzo del sottostante sia un processo di Ito.

6

Equazioni paraboliche a coefficienti variabili:

unicita

Principio del massimo e problema di Cauchy-Dirichlet – Principio del massimo eproblema di Cauchy – Soluzioni non-negative del problema di Cauchy

In questo capitolo consideriamo equazioni ellittico-paraboliche a coefficientivariabili della forma

Lu :=1

2

N∑j,k=1

cjk∂xjxku+

N∑j=1

bj∂xju− au− ∂tu = 0, (6.1)

dove (t, x) indica il punto di RN+1 . Nel seguito usiamo sistematicamente laseguente

Notazione 6.1 Fissato T > 0,

ST := ]0, T [×RN .

Siamo interessati a studiare condizioni che garantiscano l’unicita della solu-zione del problema di Cauchy{

Lu = f, in ST ,u(0, ·) = ϕ, in RN .

(6.2)

Risultati di questo tipo, oltre ad avere un evidente interesse teorico, risultanocruciali nello studio della valutazione di derivati: infatti, come abbiamo giaanticipato nell’ambito della trattazione dei modelli discreti e come vedremopiu precisamente nel Capitolo 7, il prezzo d’arbitraggio di un’opzione puoessere definito in termini di soluzione di un problema del tipo (6.2). L’unicitaper (6.2) si traduce in termini di assenza di opportunita di arbitraggio edequivale all’unicita (o buona posizione) del prezzo d’arbitraggio.In generale il problema (6.2) ammette piu di una soluzione: un classico

esempio di Tychonov [163] mostra che esistono soluzioni classiche non nulleal problema di Cauchy{

12�u− ∂tu = 0, in R+ × R,

u(0, ·) = 0, in R.


250 6 Equazioni paraboliche a coefficienti variabili: unicita

In generale lo studio dell’unicita per (6.2) consiste nel determinare opportunefamiglie di funzioni all’interno delle quali esista al piu una soluzione classica:tali famiglie vengono usualmente dette classi di unicita per L. Nel seguito neindividuiamo essenzialmente di due tipi: i risultati principali di questo capitolosono i Teoremi 6.15 e 6.19.Nella prima parte, Paragrafi 6.1 e 6.2, proviamo un classico risultato, detto

Principio del massimo debole, che permette di provare l’unicita per (6.2) nellaclasse delle funzioni che verificano la seguente stima di crescita all’infinito:

|u(t, x)| ≤ CeC|x|2

, (t, x) ∈ ST , (6.3)

per una certa costante C. Questo risultato, contenuto nel Teorema 6.15, emolto generale e vale sotto ipotesi estremamente deboli. Precisamente, in tuttoil capitolo assumeremo:

Ipotesi 6.2 I coefficienti cij = cij(t, x), bi = bi(t, x) e a = a(t, x) sono fun-zioni a valori reali. La matrice C = (cij) e simmetrica e semi-definita positiva.Il coefficiente a e limitato inferiormente:

a0 := inf a ∈ R. (6.4)

Questa ipotesi e sufficiente a provare risultati di unicita su domini limitati(cfr. Paragrafo 6.1). Quando studiamo problemi su domini non limitati (comeil problema di Cauchy), assumiamo anche le seguenti ipotesi di crescita suicoefficienti:

Ipotesi 6.3 Esiste una costante M tale che

|cij(t, x)| ≤M, |bi(t, x)| ≤M(1 + |x|), |a(t, x)| ≤M(1 + |x|2), (6.5)

per ogni (t, x) ∈ ST e i, j = 1, . . . , N .In questo capitolo studiamo solo il problema dell’unicita della soluzione: sotto-lineiamo il fatto che le Ipotesi 6.2 e 6.3 sono talmente generali da non garantirel’esistenza di soluzioni classiche.Nel Paragrafo 6.3 presentiamo altri risultati di unicita piu generali che

tuttavia richiedono l’ipotesi molto piu forte di esistenza di una soluzione fon-damentale per L e quindi, in sostanza, la risolubilita del problema di Cauchy.Ricordiamo la seguente

Definizione 6.4. Soluzione fondamentale dell’operatore L, con polo nel pun-to (s, y) di RN+1, e una funzione Γ (·, ·; s, y) definita su ]s,+∞[×RN tale che,per ogni ϕ ∈ Cb(RN ), la funzione

u(t, x) =

∫RN

Γ (t, x; s, y)ϕ(y)dy, (6.6)

e soluzione classica del problema di Cauchy{Lu = 0, in ]s,+∞[×RN ,u(0, ·) = ϕ, in RN .

(6.7)

6 Equazioni paraboliche a coefficienti variabili: unicita 251

Nel Paragrafo 6.3 proviamo che la famiglia delle funzioni non-negative (o,piu in generale, inferiormente limitate) costituisce una classe di unicita per L.Utilizzeremo questo risultato nel Capitolo 7 per definire il prezzo d’arbitraggiodi un derivato. Vedremo in particolare che una soluzione di (6.7) rappresentail valore di una strategia autofinanziante: la condizione di non-negativita sitraduce, in termini economici, in un’ipotesi di ammissibilita delle strategie chee necessaria ad escludere la possibilita di arbitraggi.Enunciamo ora con precisione le ipotesi che assumeremo nel Paragrafo 6.3.

Fissata una costante positiva λ, indichiamo con

Γλ(t, x; s, y) =1

(2πλ(t− s))N2

exp

(− |x− y|22λ(t − s)

), t > s, x, y ∈ RN ,

(6.8)la soluzione fondamentale dell’operatore del calore in RN+1

λ

2�− ∂t.

Ipotesi 6.5 L’operatore L ammette una soluzione fondamentale Γ . Inoltreesiste λ > 0 tale che, per ogni T > 0, k = 1, . . . , N , t ∈ ]s, s+ T [ e x, y ∈ RN ,valgono le stime

1

MΓ 1

λ(t, x; s, y) ≤ Γ (t, x; s, y) ≤MΓλ(t, x; s, y) (6.9)

|∂ykΓ (t, x; s, y)| ≤M√t− s

Γλ(t, x; s, y) (6.10)

con M costante positiva che dipende da T .

Ipotesi 6.6 Esiste l’operatore aggiunto (cfr. Paragrafo 2.3.5) di L:

L∗ =1

2

N∑j,k=1

cjk∂xjxk +

N∑j=1

b∗j∂xju− a∗u+ ∂tu (6.11)

dove

b∗i = −bi +N∑i,j=1

∂xicij, a∗ = a+1

2

N∑i,j=1

∂xixj cij −N∑j=1

∂xj bj, (6.12)

verificano ipotesi di crescita analoghe alle (6.5).

Osservazione 6.7. Notiamo esplicitamente che tutte le ipotesi precedenti sonoverificate nel caso in cui L appartenga alla classe degli operatori parabolici acoefficienti costanti esaminati nel Paragrafo 2.3 oppure, piu in generale, allaclasse degli operatori uniformemente parabolici (a coefficienti variabili) chestudieremo nel Capitolo 8. 2


Concludiamo l’introduzione con un esempio elementare che puo aiutare acapire quanto sia delicato il problema dell’unicita:

Esempio 6.8. La funzione

u(t, x) =x

t32

e−x2

2t , (t, x) ∈ ]0,+∞[×R,

soddisfa l’equazione del calore e per ogni x ∈ R vale

limt→0+

u(t, x) = 0.

Inoltre u e strettamente positiva e verifica la (6.3). Questo esempio non con-traddice i risultati di unicita di questo capitolo, poiche u non assume il datoiniziale nullo in senso classico, non essendo continua su [0,+∞[×R. 2

6.1 Principio del massimo e problema diCauchy-Dirichlet

In questo paragrafo studiamo il problema dell’unicita su domini limitati. Nelseguito consideriamo L in (6.2) che verifica l’Ipotesi 6.2, e Q indica un apertolimitato di RN . Inoltre, per T > 0,

QT = ]0, T [×Q,

e il cilindro aperto di base Q e altezza T . Indichiamo con QT la chiusura diQT e con ∂pQT il bordo parabolico definito da

∂pQT = ∂QT \ ({T} ×Q).

Definizione 6.9. Siano f ∈ C(QT ) e ϕ ∈ C(∂pQT ). Una soluzione classicadel problema di Cauchy-Dirichlet per L su QT con dato al bordo ϕ e unafunzione u ∈ C1,2(QT ) ∩ C(QT ) tale che{

Lu = f, in QT ,

u = ϕ, in ∂pQT .(6.13)

Teorema 6.10 (Principio del massimo debole). Sia u ∈ C1,2(QT ) ∩C(QT ) tale che Lu ≥ 0 in QT . Se u ≤ 0 su ∂pQT allora u ≤ 0 su QT .

Dimostrazione. Osserviamo anzitutto che possiamo sempre ricondurci al casoin cui a0 > 0 con una sostituzione del tipo v(t, x) = eαtu(t, x) con α > a0.Infatti vale

L(eαtu) = eαt(Lu− αu)

da cui(L + α)v = eαtLu.

6.1 Principio del massimo e problema di Cauchy-Dirichlet 253

Supponiamo dunque che a0 in (6.4) sia strettamente positivo. Per assurdo,se (t0, x0) ∈ QT \∂pQT e un punto di massimo di u e vale u(t0, x0) > 0, allorasi ha

D2u(t0, x0) := (∂xixju(t0, x0)) ≤ 0, ∂xku(t0, x0) = 0, ∂tu(t0, x0) ≥ 0,

per ogni k = 1, . . . , N . Di conseguenza

Lu(t0, x0) =1

2tr(C(t0, x0)Hu(t0, x0)) +

N∑j=1

bj(t0, x0)∂xju(t0, x0)

− a(t0, x0)u(t0, x0) − ∂tu(t0, x0) ≤ −a(t0, x0)u(t0, x0) < 0,

e questo contraddice l’ipotesi Lu ≥ 0. 2

Il risultato precedente e detto Principio di massimo debole perche nonesclude che una soluzione possa assumere il massimo anche all’interno delcilindro: il Principio di massimo forte afferma invece che l’unica soluzione cheassume il massimo internamente e quella costante.

Corollario 6.11 (Principio del confronto). Siano u, v ∈ C1,2(QT ) ∩C(QT ) tali che Lu ≤ Lv in QT e u ≥ v su ∂pQT . Allora si ha u ≥ vsu QT . In particolare esiste al piu una soluzione classica del problema diCauchy-Dirichlet (6.13).

Dimostrazione. Basta applicare il Principio del massimo alla funzione v − u.2

Proviamo ora una stima del massimo della soluzione di (6.13). Il risultatoseguente e una “stima a priori” nel senso che non presuppone l’esistenza dellasoluzione, anzi puo essere utilizzato per provarne l’esistenza.

Teorema 6.12 (Stime a priori del massimo). Sia u ∈ C1,2(QT )∩C(QT )e poniamo

a1 := max{0,−a0}.Allora vale

supQT

|u| ≤ ea1T

(sup∂pQT

|u|+ T supQT

|Lu|). (6.14)

Dimostrazione. Assumiamo a0 ≥ 0 e supponiamo che u e Lu siano limi-tati rispettivamente in ∂pQT e QT , altrimenti non c’e nulla da provare.Consideriamo la funzione

w(t, x) = sup∂pQT

|u|+ t supQT

|Lu|;

vale


Lw = −aw − supQT

|Lu| ≤ Lu, L(−w) = aw + supQT

|Lu| ≥ Lu,

e −w ≤ u ≤ w in ∂pQT . Dal Principio del confronto segue la (6.14) con a1 = 0.D’altra parte, se a0 < 0 ci possiamo ricondurre al caso precedente conside-

rando la funzione v(t, x) = e−a0tu(t, x). Infatti, poiche (L − a0)v = e−a0tLu,vale

supQT

|u| ≤ supQT

|e−a0tu| ≤ sup∂pQT

|e−a0tu|+ T supQT

|e−a0tLu|,

da cui la (6.14), essendo a0 < 0. 2

Sotto opportune ipotesi di regolarita, risultati di esistenza per il problemadi Cauchy-Dirichlet possono essere provati utilizzando la teoria classica delleserie di Fourier: rimandiamo al Cap.V in DiBenedetto [44] per una semplicetrattazione di questo argomento.

6.2 Principio del massimo e problema di Cauchy

In questo paragrafo proviamo risultati di unicita per il problema di Cauchy.Nel seguito assumiamo che l’operatore L in (6.1) verifichi le Ipotesi 6.2, 6.3 ericordiamo la notazione

ST = ]0, T [×RN .

Teorema 6.13 (Principio del massimo debole). Sia u ∈ C1,2(ST ) ∩C(ST ) tale che {

Lu ≤ 0, in ST ,u(0, ·) ≥ 0, in RN .

Se valeu(t, x) ≥ −CeC|x|2 , (t, x) ∈ ST , (6.15)

per una certa costante positiva C, allora u ≥ 0 su ST .

Alla dimostrazione del Teorema 6.13 premettiamo il seguente

Lemma 6.14. Sia u ∈ C1,2(ST ) ∩ C(ST ) tale che{Lu ≤ 0, in ST ,u(0, ·) ≥ 0, in RN ,

e

lim inf|x|→∞

(inf

t∈ ]0,T [u(t, x)

)≥ 0. (6.16)

Allora u ≥ 0 su ST .

6.2 Principio del massimo e problema di Cauchy 255

Dimostrazione. Ameno di utilizzare il cambio di variabili v(t, x) = e−a0tu(t, x),possiamo supporre a0 ≥ 0. Allora fissati (t0, x0) ∈ ST e ε > 0, si ha{

L(u + ε) ≤ 0, in ST ,u(0, ·) + ε > 0, in RN ,

e, per l’ipotesi (6.16), esiste R > |x0| abbastanza grande tale che

u(t, x) + ε > 0, t ∈ ]0, T [, |x| = R.

Allora possiamo applicare il Principio del massimo, Teorema 6.10, sul cilindro

QT = ]0, T [×{|x| ≤ R}

per dedurre che u(t0, x0) + ε ≥ 0 e, data l’arbitrarieta di ε, u(t0, x0) ≥ 0. 2

Dimostrazione (del Teorema 6.13). Osserviamo che e sufficiente mostrare cheu ≥ 0 su una striscia ST0 con T0 > 0: una volta provato cio, applicando talerisultato ripetutamente si prova la tesi su tutta la striscia ST .Diamo prima la prova nel caso particolarmente significativo dell’operatore

del calore

L =1

2�− ∂t.

Fissato b > C, poniamo T0 =14b e consideriamo la funzione

v(t, x) =1

(1− 2bt)N2

exp

(b|x|21− 2bt

), (t, x) ∈ ST0 .

Un conto diretto mostra che

Lv(t, x) = 0 e v(t, x) ≥ eb|x|2

(t, x) ∈ ST0 .

Inoltre per ogni ε > 0, il Lemma 6.14 assicura che la funzione

w = u+ εv

e non-negativa: data l’arbitrarieta di ε, questo e sufficiente a concludere laprova.Il caso generale e solo tecnicamente piu complicato e utilizza in modo

cruciale l’Ipotesi 6.3 sulla crescita all’infinito dei coefficienti dell’operatore.Fissato b > C e dei parametri α, β ∈ R che sceglieremo opportunamente,consideriamo la funzione

v(t, x) = exp

(b|x|21− αt

+ βt

), 0 ≤ t ≤ 1

2α.


Si ha

Lv

v=

2b2

(1− αt)2〈Cx, x〉+ b

1− αttr C + 2b

1− αt

N∑i=1

bixi − a− αb|x|2(1− αt)2

− β.

Utilizzando l’Ipotesi 6.3, si riconosce che, se α, β sono sufficientemente grandi,allora

Lv

v≤ 0. (6.17)

Consideriamo ora la funzione w = uv : dall’ipotesi (6.15), si ha

lim inf|x|→∞

(inf

t∈ ]0,T [w(t, x)

)≥ 0;

inoltre w soddisfa l’equazione

Lw =1

2

N∑i,j=1

cij∂xixjv +

N∑i=1

bi∂xiv − av − ∂tv =Lu

v≤ 0,

dove

bi = bi +

N∑j=1

cij∂xjv

v, a = −Lv

v.

Poiche a ≥ 0 per la (6.17), si puo applicare il Lemma 6.14 per concludere chew (e quindi u) e non-negativa. 2

Il seguente risultato di unicita e diretta conseguenza del Teorema 6.13.Insistiamo sul fatto che L verifica solo le ipotesi, estremamente generali, 6.2e 6.3: per esempio L puo essere un operatore del prim’ordine.

Teorema 6.15. Esiste al piu una soluzione classica u ∈ C1,2(ST )∩C(ST ) delproblema {

Lu = f, in ST ,u(0, ·) = ϕ, in RN ,

tale che|u(t, x)| ≤ CeC|x|

2

, (t, x) ∈ ST , (6.18)

per una certa costante C.

Osservazione 6.16. Supponiamo che L verifichi anche l’Ipotesi 6.5. Allora Lpossiede una soluzione fondamentale Γ e, data ϕ ∈ C(RN) tale che

|ϕ(y)| ≤ cec|y|γ

, y ∈ RN , (6.19)

con c, γ costanti positive e γ < 2, allora la funzione

6.2 Principio del massimo e problema di Cauchy 257

u(t, x) :=

∫RN

Γ (t, x; 0, y)ϕ(y)dy, (t, x) ∈ ST , (6.20)

e soluzione classica del problema di Cauchy{Lu = 0, in ST ,u(0, ·) = ϕ, in RN ,

(6.21)

per ogni T > 0.Utilizzando la stima dall’alto di Γ in (6.9), non e difficile provare che per

ogni T > 0 esiste una costante cT tale che valga

|u(t, x)| ≤ cT e2c|x|γ , (t, x) ∈ ST . (6.22)

Come conseguenza del Teorema 6.15, u in (6.20) e l’unica soluzione delproblema di Cauchy (6.21) che verifica la stima (6.19).Proviamo la (6.9) e (6.22) nell’ipotesi, non restrittiva, che γ ≥ 1. Per la

(6.19) si ha

|u(t, x)| ≤ cM

(4πλt)N2

∫RN

e−|x−y|24λt +c|y|γdy =

(col cambio di variabile η = x−y√4λt)

=cM

πN2

∫RN

e−η2+c|x−η

√4λt|γdη ≤

(con la disuguaglianza elementare (a+b)γ ≤ 2γ−1 (aγ + bγ) valida per a, b > 0e γ ≥ 1)

≤ cT e2c|x|γ ,

dove

cT =cM

πN2

∫RN

e−η2+2c|η

√4λT |γdη.

2

Osservazione 6.17. Supponiamo che l’operatore L in (6.1) soddisfi le Ipotesi6.2, 6.3 e 6.5. Allora Γ soddisfa la proprieta di riproduzione: per ogni t0 < t <T e x, y ∈ RN , vale∫

RNΓ (T, x; t, η)Γ (t, η; t0, y)dη = Γ (T, x; t0, y). (6.23)

La (6.23) e immediata conseguenza della formula di rappresentazione (6.20)e dell’unicita della soluzione del problema di Cauchy{

Lu = 0, in ]t, T [×RN ,u(t, ·) = Γ (t, ·; t0, y), in RN .


Inoltre se a = 0 allora Γ e una densita, ossia vale∫RN

Γ (T, x; t, y)dy = 1, (6.24)

per ogni t < T e x, y ∈ RN . Anche la (6.24) segue dall’unicita della rap-presentazione (6.20) della soluzione del problema di Cauchy con dato inizialeidenticamente pari a uno.Piu in generale, applicando il principio del massimo, Teorema 6.13, alla

funzione

u(T, x) = e−a0(T−t) −∫RN

Γ (T, x; t, y)dy

su ]t, T [×RN , si ha ∫RN

Γ (T, x; t, y)dy ≤ e−a0(T−t), (6.25)

per ogni t < T e x, y ∈ RN . 2

Concludiamo il paragrafo provando una stima del massimo analoga a quelladel Teorema 6.12.

Teorema 6.18 (Stime a priori del massimo). Nelle Ipotesi 6.2, 6.3, siau ∈ C1,2(ST ) ∩ C(ST ) tale che

|u(t, x)| ≤ CeC|x|2

, (t, x) ∈ ST ,

per una certa costante C. Allora, posto

a1 := min{0,−a0},

vale

supST|u| ≤ ea1T

(supRN|u(0, ·)|+ T sup

ST|Lu|

). (6.26)

Dimostrazione. Se a0 ≥ 0 allora, posto

w± := supRN|u(0, ·)|+ t sup

ST|Lu| ± u, in ST ,

si ha ⎧⎨⎩Lw± ≤ − supST|Lu| ± Lu ≤ 0, in ST ,

w±(0, ·) ≥ 0, in RN ,

ed e chiaro che w± verificano la stima (6.15) in ST . Dunque per il Teorema6.13, ω± ≥ 0 in ST e questo prova la tesi.Se a0 < 0 allora si procede come nella dimostrazione del Teorema 6.12. 2

6.3 Soluzioni non-negative del problema di Cauchy 259

Vedremo nel Capitolo 12, che le stime a priori del massimo come la (6.26)giocano un ruolo cruciale nella prova di risultati di stabilita di schemi numerici.Come conseguenza della (6.26), se u, v ∈ C1,2(ST )∩C(ST ) verificano la stimadi crescita esponenziale, allora vale

supST|u− v| ≤ ea1T

(supRN|u(0, ·)− v(0, ·)|+ T sup

ST|Lu− Lv|

).

Questa formula fornisce una stima della sensibilita della soluzione del proble-ma di Cauchy rispetto a variazioni del dato iniziale e del termine noto.

6.3 Soluzioni non-negative del problema di Cauchy

In questo paragrafo assumiamo che L abbia una soluzione fondamentale edimostriamo che la famiglia delle funzioni non-negative (o, piu in generale,limitate inferiormente) costituisce una classe di unicita per L.

Teorema 6.19. Nelle Ipotesi 6.2, 6.3, 6.5 e 6.6, esiste al piu una soluzioneu ∈ C1,2(ST ) ∩ C(ST ), limitata inferiormente, del problema{

Lu = 0, in ST ,u(0, ·) = ϕ, in RN .

La dimostrazione e rinviata alla fine del paragrafo ed e basata sul seguen-te risultato che generalizza il Teorema 6.15, indebolendo l’ipotesi di crescitaesponenziale.

Teorema 6.20. Nelle Ipotesi 6.2, 6.3, 6.5 e 6.6, esiste al piu una soluzioneu ∈ C1,2(ST ) ∩ C(ST ) del problema{

Lu = f, in ST ,u(0, ·) = ϕ, in RN ,

tale che esista una costante C per cui∫RN|u(t, x)|e−C|x|2dx <∞, (6.27)

per ogni 0 ≤ t ≤ T .

Alla dimostrazione del teorema premettiamo qualche commento. Anzitutto,e chiaro che la condizione (6.18) e piu forte della (6.27). Inoltre il seguenteteorema mostra che le soluzioni non-negative verificano la stima (6.27) e diconseguenza si ha unicita nella classe delle funzioni non-negative. Per operatoriuniformemente parabolici, questo risultato e stato provato da Widder [168]per N = 1 ed e stato successivamente generalizzato, fra gli altri, da Kato [93],Aronson [4]. I risultati di unicita in Polidoro [137], Di Francesco e Pascucci [42]coprono anche il caso piu generale di operatori non uniformemente paraboliciche intervengono in alcuni modelli finanziari.


Teorema 6.21. Nelle Ipotesi 6.2, 6.3 e 6.5, se u ∈ C1,2(ST ) e una funzionenon-negativa tale che Lu ≤ 0 allora vale∫

RNΓ (t, x; s, y)u(s, y)dy ≤ u(t, x), (6.28)

per ogni x ∈ RN e 0 < s < t < T .

Dimostrazione. Consideriamo una funzione decrescente h ∈ C(R) tale cheh(r) = 0 per r ≥ 2 e h(r) = 1 per r ≤ 1. Fissato s ∈ ]0, T [, poniamo

gn(s, y) = u(s, y)h

( |y|n

), n ∈ N,

e

un(t, x) :=

∫R

Γ (t, x; s, y)gn(s, y)dy, (t, x) ∈ ]s, T [×RN , n ∈ N.

Poiche y �→ gn(s, y) e una funzione continua e limitata su RN , si ha{L(u − un) ≤ 0, in ]s, T [×RN ,(u − un)(s, ·) = (u− gn)(s, ·) ≥ 0, in RN .

Inoltre, poiche gn e limitata e ha supporto compatto, esiste

lim|x|→∞

(supt∈ ]s,T [

un(t, x)

)= 0.

Dunque possiamo applicare il Lemma 6.14 alla funzione u− un per ottenere

u(t, x) ≥∫R

Γ (t, x; s, y)gn(s, y)dy ≥ 0, (t, x) ∈ ]s, T [×RN ,

per ogni n ∈ N. Poiche gn e una successione crescente di funzioni non-negative,che tende a u, la tesi segue passando al limite in n per il Teorema di Beppo-Levi.Osserviamo che nella dimostrazione abbiamo utilizzato solo una parte del-

l’Ipotesi 6.5, precisamente il fatto che L abbia una soluzione fondamentalenon-negativa. 2

Proviamo un corollario del Teorema 6.21 che, come vedremo nella Sezione7.3.2, ha un’interpretazione finanziaria molto interessante.

Corollario 6.22. Siano valide le Ipotesi 6.2, 6.3 e 6.5 e supponiamo che a =0. Se u ∈ C1,2(ST ) e una funzione limitata inferiormente tale che Lu ≤ 0allora vale la (6.28) ossia∫

RNΓ (t, x; s, y)u(s, y)dy ≤ u(t, x), (6.29)

per ogni x ∈ RN e 0 < s < t < T .

6.3 Soluzioni non-negative del problema di Cauchy 261

Dimostrazione. Sia C una costante non-negativa tale che u + C ≥ 0 su ST .Allora, poiche a = 0, vale L(u +C) = Lu ≤ 0 e per il Teorema 6.21 si ha∫

RNΓ (t, x; s, y) (u(s, y) +C) dy ≤ u(t, x) + C.

La tesi segue dalla (6.24). 2

Dimostrazione (del Teorema 6.20). Data la linearita del problema, e sufficien-te provare che se Lu = 0 e u(0, ·) = 0 allora u = 0. Consideriamo un arbitrariopunto (t0, x0) ∈ ST e mostriamo che u(t0, x0) = 0. A tal fine utilizziamo laclassica identita di Green:

vLu − uL∗v =N∑i=1

∂xi

⎛⎝ N∑j=1

cij2

(v∂xju− u∂xjv

)+ uv

(bi −

1

2∂xjcij

)⎞⎠− ∂t(uv),

(6.30)

che segue direttamente dalla definizione di operatore aggiunto L∗ in (6.11).Usiamo l’identita (6.30) con

v(s, y) = hR(y)Γ (t0, x0; s, y), (s, y) ∈ St0−ε,

dove ε > 0 e hR ∈ C2(RN) e tale che

0 ≤ hR ≤ 1, hR(y) =

{1, per |y− x0| ≤ R,

0, per |y− x0| ≥ 2R,

e

|∇hR| ≤1

R, |∂yiyjhR| ≤

2

R2, i, j = 1, . . . , N. (6.31)

Indichiamo con BR la palla inRN di centro x0 e raggioR: integrando l’identitadi Green sul dominio ]0, t0−ε[×B2R, per il teorema della divergenza otteniamo

JR,ε :=

∫ t0−ε

0

∫B2R

u(s, y)L∗ (hR(y)Γ (t0, x0; s, y)) dyds

=

∫B2R

hR(y)Γ (t0, x0; t0 − ε, y)u(t0 − ε, y)dy =: IR,ε.

(6.32)

Qui abbiamo utilizzato il fatto che Lu = 0, u(0, ·) = 0 e alcuni integrali dibordo si annullano poiche h e nulla (con le sue derivate) sulla frontiera di B2R.Ora, per l’ipotesi (6.27) e per la stima dall’alto di Γ in (6.9), se ε e

abbastanza piccolo si ha

Γ (t0, x0; t0 − ε, ·)u(t0 − ε, ·) ∈ L1(RN).


Dunque, per il teorema della convergenza dominata, vale

limR→∞

IR,ε =

∫RN

Γ (t0, x0; t0 − ε, y)u(t0 − ε, y)dy. (6.33)

D’altra parte, utilizzando il fatto che L∗Γ (t0, x0; ·, ·) = 0 su ]0, t0 − ε[×B2R,otteniamo

JR,ε =

∫ t0−ε

0

∫B2R\BR

u(s, y)

[ N∑i,j=1

cij2

(Γ (t0, x0; s, y)∂yiyjhR(y)

+2∂yjΓ (t0, x0; s, y)∂yihR(y))+

N∑i=1

b∗iΓ (t0, x0; s, y)∂yihR(y)

]dyds,

(6.34)

con b∗i in (6.12). Ora utilizziamo l’ipotesi (6.31) sulle derivate di hR, la stimadall’alto di Γ in (6.9), la stima (6.10) delle derivate prime di Γ e l’ipotesi dicrescita lineare di b∗ per ottenere

|JR,ε| ≤ cost∫ t0−ε

0

1

t0 − s

∫B2R\BR

|y|RΓλ(t0, x0; s, y)|u(s, y)|dyds

≤ cost

ε

∫ t0−ε

0

∫B2R\BR

e−|y|24λε |u(s, y)|dyds.

Dunque, per l’ipotesi (6.27), se ε > 0 e abbastanza piccolo, si ha

limR→∞

JR,ε = 0.

In definitiva, combinando le (6.32), (6.33) col risultato precedente, si ha∫RN

Γ (t0, x0; t0 − ε, y)u(t0 − ε, y)dy = 0.

Passando al limite per ε→ 0+ si conclude u(t0, x0) = 0. 2

Concludiamo il paragrafo con la

Dimostrazione (del Teorema 6.19). Se u e non-negativa, basta osservare cheu verifica una condizione del tipo (6.27) che si ricava facilmente dalla stimadal basso di Γ in (6.9) e dal Teorema 6.21 in base al quale si ha∫

RNΓ (t, 0; s, y)u(s, y)dy <∞.

Se u e limitata inferiormente, ci si riporta facilmente al caso precedente conuna sostituzione del tipo v = u+C: osserviamo che, a meno di una ulterioresostituzione del tipo v(t, x) = eαtu(t, x), non e restrittivo assumere a ≥ 0. 2

7

Modello di Black&Scholes

Strategie autofinanzianti – Strategie Markoviane ed equazione di Black&Scholes –Valutazione – Copertura – Opzioni Asiatiche

In questo capitolo presentiamo le idee fondamentali della valutazione d’arbi-traggio in tempo continuo, illustrando l’analisi di Black&Scholes da un puntodi vista, per quanto possibile, elementare e aderente alle idee originali degliarticoli di Merton [120], di Black e Scholes [21]. Nel Capitolo 10 daremo unapresentazione piu generale che sfruttera a pieno la teoria delle martingale edelle equazioni alle derivate parziali.Nel modello di Black&Scholes il mercato e composto da un titolo local-

mente non rischioso, il bond B, e da un titolo rischioso, l’azione S. Il prezzodel bond verifica l’equazione

dBt = rBtdt

dove r e il tasso a breve (o localmente privo di rischio), supposto costante. Ilbond ha quindi una dinamica deterministica: posto B0 = 1, vale

Bt = ert . (7.1)

Il prezzo del titolo rischioso e un moto Browniano geometrico che verifical’equazione


dove μ ∈ R e il tasso di rendimento atteso e σ ∈ R+ e la volatilita. In (7.2),(Wt)t∈[0,T ] e un moto Browniano reale sullo spazio di probabilita (Ω,F , P,Ft).Ricordiamo l’espressione esplicita della soluzione di (7.2):

St = S0eσWt+

(μ− σ2

2

)t. (7.3)

Nel seguito studiamo derivati di tipo Europeo in ambito Markoviano e con-sideriamo payoff della forma F (ST ), dove T e la scadenza e F e funzionedefinita su R+. L’esempio piu importante e l’opzione call Europea con strikeK e scadenza T :

F (ST ) = (ST −K)+.

Nel Paragrafo 7.5 studiamo i derivati di tipo Asiatico, il cui payoff dipendeda una media dei prezzi del titolo sottostante.


264 7 Modello di Black&Scholes

7.1 Strategie autofinanzianti

Introduciamo alcune definizioni che estendono in maniera naturale i concettiintrodotti in tempo discreto nel Capitolo 3.

Definizione 7.1. Una strategia (o portafoglio) e un processo stocastico h =(αt, βt) con α ∈ L2

loc e β ∈ L1loc. Il valore del portafoglio h e il processo

stocastico definito daVt(h) = αtSt + βtBt. (7.4)

Al solito α, β rappresentano rispettivamente il numero di quote di S e B inportafoglio: osserviamo esplicitamente che e ammessa la vendita allo scopertoe quindi α, β possono assumere valori negativi.Intuitivamente l’ipotesi che i processi α, β siano adattati1 descrive il fatto

che la strategia di investimento dipende solo dalle informazioni di mercatodisponibili al momento.

Definizione 7.2. Una strategia h = (αt, βt) e autofinanziante se vale

dVt(h) = αtdSt + βtdBt, (7.5)

ossia

Vt(h) = V0(h) +

∫ t

0

αsdSs +

∫ t

0

βsdBs. (7.6)

Osserviamo che, essendo S un processo stocastico adattato e continuo, si hache αS ∈ L2

loc e di conseguenza l’integrale stocastico in (7.6) e ben definito.La (7.5) e la versione continua2 della relazione

ΔV = αΔS + βΔB

valida per i portafogli autofinanzianti discreti (cfr. (3.6)): dal punto di vistaintuitivo, essa esprime il fatto che la variazione istantanea del valore del por-tafoglio e dovuta al movimento dei prezzi dei titoli e non ad un interventoesterno con cui si e aggiunta o tolta liquidita.Data una strategia h = (α, β), definiamo i prezzi scontati

1 Nel caso discreto avevamo considerato strategie predicibili: per semplicita, nelcaso continuo preferiamo assumere l’ipotesi, non particolarmente restrittiva, cheα, β siano adattati.

2 Se α, β sono processi di Ito, per la formula di Ito bidimensionale, si ha

dVt(h) = αtdSt + βtdBt + Stdαt + Btdβt + d〈α, S〉t,e dunque l’ipotesi che h sia autofinanziante equivale alla condizione

Stdαt + Btdβt + d〈α, S〉t = 0.

7.1 Strategie autofinanzianti 265

St = e−rtSt, Vt(h) = e−rtVt(h).

La seguente proposizione fornisce una notevole caratterizzazione della condi-zione di autofinanziamento.

Proposizione 7.3. Una strategia h = (α, β) e autofinanziante se e solo sevale

dVt(h) = αtdSt,

ossia

Vt(h) = V0(h) +

∫ t

0

αsdSs. (7.7)

Osservazione 7.4. In base alla (7.7), il valore di una strategia autofinanzian-te e determinato solo dal valore iniziale V0(h) e dal processo α che indica laquantita di titolo rischioso in portafoglio. L’integrale in (7.7) e pari alla diffe-renza fra i valori scontati finale ed iniziale e dunque rappresenta il rendimentodella strategia.A partire da un valore iniziale V0 ∈ R e da un processo α ∈ L2

loc, possiamocostruire una strategia h = (α, β) ponendo

Vt = V0 +

∫ t

0

αsdSs, βt =Vt − αtSt

Bt.

Per costruzione h e una strategia autofinanziante con valore iniziale V0(h) =V0. In altri termini una strategia autofinanziante puo essere indifferentementeassegnata specificando i processi α, β oppure il valore iniziale V0 e il processoα. 2

Dimostrazione (della Proposizione 7.3). Data una strategia h = (α, β),abbiamo ovviamente

βtBt = Vt(h)− αtSt. (7.8)

Inoltre

dSt = −re−rtStdt+ e−rtdSt (7.9)

= (μ − r)Stdt+ σStdWt. (7.10)

Allora (α, β) e autofinanziante se e solo se vale

dVt(h) = −rVt(h)dt+ e−rtdVt

= −rVt(h)dt+ e−rt (αtdSt + βtdBt) =

(poiche dBt = rBtdt e per la (7.8))

= −rVt(h)dt+ e−rt (αtdSt + rVt(h)dt − rαtStdt)

= e−rtαt (dSt − rStdt) =

(per la (7.9))

= αtdSt,



Osserviamo che, in base alla (7.10), la condizione (7.7) assume la formapiu esplicita

Vt(h) = V0(h) + (μ− r)

∫ t

0

αsSsds+ σ

∫ t

0

αsSsdWs.

7.2 Strategie Markoviane ed equazione di Black&Scholes

Definizione 7.5. Una strategia h = (α, β) e Markoviana se

αt = α(t, St), βt = β(t, St)

dove α, β sono funzioni in C1,2([0, T [×R+).

Il valore di una strategia Markoviana h e funzione del tempo e del prezzo delsottostante:

f(t, St) := Vt(h) = α(t, St)St + β(t, St)ert, t ∈ [0, T [, (7.11)

con f ∈ C1,2([0, T [×R+).Notiamo che la funzione f in (7.11) e univocamente determinata da h: se

Vt(h) = f(t, St) = g(t, St) q.s.

allora f = g in [0, T [×R+. Questo e conseguenza della Proposizione 2.43e del fatto che St ha densita (log-normale) strettamente positiva su R+.Poiche utilizzeremo spesso la Proposizione 2.43, per comodita ne riportiamol’enunciato.

Proposizione 7.6. Sia X una variabile aleatoria con densita strettamentepositiva su H ∈ B. Se g ∈ mB e tale che g(X) = 0 q.s. (rispettivamenteg(X) ≥ 0 q.s.) allora g = 0 (risp. g ≥ 0) quasi ovunque rispetto alla misuradi Lebesgue su H. In particolare se g e continua allora g = 0 (risp. g ≥ 0) suH.

Il seguente risultato caratterizza in termini differenziali la condizione diautofinanziamento di un portafoglio Markoviano.

Teorema 7.7. Sia h = (αt, βt) un portafoglio Markoviano e Vt(h) = f(t, St).Le seguenti condizioni sono equivalenti:

i) h e autofinanziante;ii) f e soluzione dell’equazione alle derivate parziali

σ2s2

2∂ssf(t, s) + rs∂sf(t, s) + ∂tf(t, s) = rf(t, s), (7.12)

per (t, s) ∈ [0, T [×R+, e vale la relazione3

α(t, s) = ∂sf(t, s). (7.13)

3 Ricordiamo che l’espressione del processo β si ricava da α e V0(h) in baseall’Osservazione 7.4.

7.2 Strategie Markoviane ed equazione di Black&Scholes 267

La (7.12) e detta equazione differenziale di Black&Scholes.

Abbiamo gia incontrato l’equazione differenziale di Black&Scholes nellaSezione 3.2.7 come versione asintotica dell’algoritmo binomiale di valutazione.Il Teorema 7.7 esprime la proprieta di autofinanziamento in termini di

un’equazione differenziale i cui coefficienti dipendono dalla volatilita σ deltitolo rischioso e dal tasso privo di rischio r: non dipendono invece dal rendi-mento atteso μ. Dopo aver esaminato l’esempio elementare nel Paragrafo 1.2e il caso discreto nel Paragrafo 3.1, questo fatto non dovrebbe sorprendere:come abbiamo piu volte ripetuto, la valutazione d’arbitraggio non dipendedalla stima soggettiva sul rendimento futuro del titolo rischioso.Sottolineiamo che, per una strategia basata sulle formule (7.12)-(7.13),

una valutazione imprecisa dei parametri σ e r del modello si ripercuote inpratica nella perdita della proprieta di autofinanziamento: cio significa, peresempio, che se si cambiano tali parametri in itinere (per esempio, in segui-to ad una ricalibrazione del modello), allora la strategia potrebbe richiederepiu soldi di quelli stanziati al tempo iniziale. Questo puo avere effetti spiace-voli nel caso in cui si utilizzi tale strategia per la copertura di un derivato:modificando il valore di σ la copertura potrebbe infatti richiedere effettiva-mente un costo superiore a quello preventivato in partenza in base all’ipotesidi autofinanziamento.

Dimostrazione (del Teorema 7.7). [i) ⇒ ii)] Per la condizione di autofinan-ziamento e l’espressione (7.2) di S, si ha

dVt(h) = (αtμSt + βtrBt)dt+ αtσStdWt. (7.14)

D’altra parte, per la formula di Ito e abbreviando f = f(t, St), si ha

dVt(h) = ∂tfdt + ∂sfdSt +1

2∂ssfd〈S〉t

=

(∂tf + μSt∂sf +

σ2S2t

2∂ssf

)dt+ σSt∂sfdWt.

(7.15)

Dall’unicita della rappresentazione di un processo di Ito (cfr. Proposizione5.47) si deduce l’uguaglianza dei termini in dt e dWt in (7.14) e (7.15). Perquanto riguarda i termini in dWt, essendo σSt strettamente positivo, ricaviamo

αt = ∂sf(t, St), q.s. (7.16)

da cui, per la Proposizione 7.6, si ottiene la relazione (7.13).Per quanto riguarda i termini in dt, utilizzando la (7.16), otteniamo

∂tf +σ2S2

t

2∂ssf − rβtBt = 0, q.s. (7.17)

Sostituendo l’espressione


βtBt = f − St∂sf, q.s.

nella (7.17), otteniamo

∂tf(t, St) + rSt∂sf(t, St) +σ2S2

t

2∂ssf(t, St)− rf(t, St) = 0, q.s. (7.18)

e quindi, per la Proposizione 7.6, f e soluzione dell’equazione differenzialedeterministica (7.12).

[ii)⇒ i)] Per la formula di Ito, si ha

dVt(h) = df(t, St) = ∂sf(t, St)dSt +

(σ2S2

t

2∂ssf(t, St) + ∂tf(t, St)

)dt =

(poiche, per ipotesi, f e soluzione dell’equazione (7.12))

= ∂sf(t, St)dSt + r(f(t, St)− St∂sf(t, St))dt = (7.19)

(in base alla (7.13) e al fatto che dBt = rBtdt)

= αtdSt + βtdBt,

e quindi h e autofinanziante. 2

Osservazione 7.8. La Proposizione 7.3 e il Teorema 7.7 estendono il risultato,provato in tempo discreto, in base al quale se i prezzi scontati dei titoli sonomartingale allora anche i portafogli autofinanzianti scontati, costruiti su talititoli, sono martingale.Piu precisamente, supponiamo4 che il prezzo scontato St del sottostante

sia una martingala: ricordando la Sezione 5.6.4, cio equivale alla condizioneμ = r in (7.2). In tale ipotesi, per la (7.10), vale

dSt = σStdWt, (7.20)

e se Vt(h) = f(t, St), per la Proposizione 7.3 e la (7.13), vale

dVt(h) = σSt∂sf(t, St)dWt,

e dunque V (h) e una martingala (locale). 2

C’e un forte legame fra l’equazione di Black&Scholes (7.12) e l’equazionedifferenziale parabolica del calore. Infatti consideriamo il cambio di variabili

t = T − τ, s = eσx,

4 Non introduciamo in questo capitolo il concetto di misura martingala: per unagiustificazione precisa dei passaggi seguenti rimandiamo al Capitolo 10 dove pro-viamo l’esistenza di una misura di probabilita equivalente a P rispetto alla qualela dinamica di S e del tipo (7.2) con μ = r.

7.3 Valutazione 269

e poniamo

u(τ, x) = eax+bτf(T − τ, eσx), τ ∈ [0, T ], x ∈ R, (7.21)

dove a, b sono costanti che sceglieremo opportunamente. Si ha

∂τu = eax+bτ (bf − ∂tf) ,

∂xu = eax+bτ (af + seσx∂sf) ,

∂xxu = eax+bτ(a2f + 2aσeσx∂sf + σ2eσx∂sf + σ2e2σx∂ssf

),

(7.22)

da cui

1

2∂xxu−∂τu = eax+bτ

(σ2s2

2∂ssf +

(σa +

σ2

2

)s∂sf + ∂tf +

(a2

2− b

)f

)=

(se f risolve la (7.12))

=

(σa+

σ2

2− r

)s∂sf +

(a2

2− b+ r

)f.

Abbiamo provato il seguente risultato.

Proposizione 7.9. Con la scelta

a =r

σ− σ

2, b = r +

a2

2(7.23)

la funzione f e soluzione dell’equazione di Black&Scholes (7.12) in [0, T [×R+

se e solo se la funzione u = u(τ, x) definita in (7.21) soddisfa l’equazione delcalore

1

2∂xxu− ∂τu = 0, in ]0, T ]×R. (7.24)

7.3 Valutazione

Consideriamo un derivato Europeo con payoff F (ST ). Come nel caso discreto,il prezzo d’arbitraggio e per definizione uguale al valore di una strategia re-plicante. Affinche tale definizione sia ben posta occorre dimostrare che esistealmeno una strategia replicante (problema della completezza del mercato) eche, nel caso ne esista piu di una, tutte le strategie replicanti hanno lo stessovalore (problema dell’assenza d’arbitraggio).In termini analitici, completezza e assenza d’arbitraggio nel modello di

Black&Scholes si traducono rispettivamente nel problema dell’esistenza e uni-cita della soluzione di un problema di Cauchy per l’equazione del calore. Perutilizzare i risultati sulle equazioni differenziali dei capitoli precedenti, e ne-cessario porre alcune condizioni sulla funzione di payoff F (per assicurarel’esistenza della soluzione) e restringere la famiglia delle strategie replicantiammissibili ad una classe di unicita per il problema di Cauchy (per garantirel’unicita della soluzione).


Ipotesi 7.10 La funzione F e localmente sommabile su R+, inferiormentelimitata ed esistono due costanti positive a < 1 e C tali che

F (s) ≤ CeC| log s|1+a

, s ∈ R+. (7.25)

La condizione (7.25) non e particolarmente restrittiva: la funzione

e(log s)1+a

= s(log s)a

, s > 1,

cresce, per s→ +∞, meno velocemente di un esponenziale ma piu velocementedi ogni funzione polinomiale. Cio permette di trattare la maggior parte (senon tutti) dei derivati di tipo Europeo presenti sui mercati reali.La condizione (7.25) e legata ai risultati di esistenza del Paragrafo 2.3:

posto ϕ(x) = F (ex), si ha che ϕ e inferiormente limitata e vale

ϕ(x) ≤ CeC|x|1+a

, x ∈ R,

condizione analoga alla (2.42).

Definizione 7.11. Una strategia h e ammissibile se e inferiormente limitata,ossia esiste una costante C tale che

Vt(h) ≥ C, t ∈ [0, T ], q.s. (7.26)

In questo capitolo indichiamo con A la famiglia delle strategie Markoviane,autofinanzianti ed ammissibili.

L’interpretazione finanziaria della (7.26) e che non sono consentite strategiedi investimento che richiedono un indebitamento illimitato. La condizione erealistica poiche generalmente le banche o gli organismi di controllo impon-gono agli investitori un limite alle perdite. Sulla necessita di introdurre unacondizione del tipo (7.26) commenteremo ulteriormente nella Sezione 7.3.2.Notiamo che se h ∈ A e Vt(h) = f(t, St), allora per la Proposizione 7.6, f e

limitata inferiormente e quindi appartiene alla classe di unicita per il problemadi Cauchy parabolico individuata nel Paragrafo 6.3.

Definizione 7.12. Un derivato Europeo F (ST ) e replicabile se esiste unportafoglio ammissibile h ∈ A tale che, posto Vt(h) = f(t, St), vale

5

f(T, ·) = F, in R+. (7.27)

Diciamo che h e un portafoglio replicante per F (ST ).

5 Se F e una funzione continua allora la (7.27) e semplicemente da intendersi nelsenso seguente: esiste

lim(t,s)→(T,s)

f(t, s) = F (s),

per ogni s > 0, o equivalentemente f , definita su [0, T [×R+ si prolunga concontinuita su [0, T ] × R+ e vale la (7.27) in senso puntuale. Se F e localmentesommabile allora la (7.27) e da intendersi nel senso di L1loc, cfr. Sezione 2.3.3.

7.3 Valutazione 271

Il seguente teorema e il risultato centrale della teoria di Black&Scholes econtiene definizione di prezzo d’arbitraggio di un derivato.

Teorema 7.13. Il modello di mercato di Black&Scholes e completo e liberoda arbitraggi, nel senso che ogni derivato Europeo F (ST ), con F che verifical’Ipotesi 7.10, e replicabile in modo unico. Piu precisamente esiste ed e unicala strategia h = (αt, βt) ∈ A che replica F (ST ): essa e definita da

αt = ∂sf(t, St), βt = e−rt (f(t, St) − St∂sf(t, St)) , (7.28)

dove f e la soluzione inferiormente limitata del problema di Cauchy

σ2s2

2∂ssf + rs∂sf + ∂tf = rf, in [0, T [×R+, (7.29)

f(T, s) = F (s), s ∈ R+. (7.30)

Per definizione, f(t, St) = Vt(h) e il prezzo d’arbitraggio di F (ST ).

Dimostrazione. Una strategia h e replicante per F (ST ) se e solo se:

i) h e Markoviana e ammissibile e quindi esiste f ∈ C1,2([0, T [×R+) infe-riormente limitata, tale che Vt(h) = f(t, St);

ii) h e autofinanziante e quindi, per il Teorema 7.7, f e soluzione dell’equa-zione differenziale (7.29), vale la prima delle formule (7.28) e la seconda econseguenza dell’Osservazione 7.4;

iii) h e replicante e quindi f verifica la condizione finale (7.30).

Per dimostrare che h esiste ed unica, trasformiamo il problema (7.29)-(7.30)in un problema di Cauchy parabolico a cui si applica la teoria di esistenza eunicita dei Paragrafi 2.3 e 6.3. Posto

u(τ, x) = e−r(T−τ)f(T − τ, ex), τ ∈ [0, T ], x ∈ R, (7.31)

si ha che f e soluzione di (7.29)-(7.30) se e solo se u e soluzione del problemadi Cauchy{

σ2

2 ∂xxu+(r − σ2

2

)∂xu− ∂τu = 0, (t, x) ∈]0, T ]× R,

u(0, x) = e−rTF (ex), x ∈ R.

Per l’Ipotesi 7.10 e il fatto che F e inferiormente limitata, il Teorema 2.74garantisce l’esistenza di una soluzione u inferiormente limitata. Inoltre, per ilTeorema 6.19, u e l’unica soluzione all’interno della classe delle funzioni infe-riormente limitate. Ne segue direttamente l’esistenza della strategia replicantee la sua unicita all’interno della famiglia delle strategie ammissibili. 2

Osservazione 7.14. La condizione di ammissibilita (7.26) si puo sostituire conla condizione di crescita

|f(t, s)| ≤ CeC(log s)2

, s ∈ R+, t ∈]0, T [.In questo caso, utilizzando il risultato di unicita del Teorema 6.15, si pervienead un risultato analogo a quello del Teorema 7.13. 2


Corollario 7.15 (Formula di Black&Scholes). Assumiamo la dinamicadi Black&Scholes per il titolo sottostante

dSt = μStdt+ σStdWt,

e indichiamo con r il tasso a breve. Allora valgono le seguenti formule per ilprezzo di opzioni call e put Europee con strike K e scadenza T :

ct = StΦ(d1) −Ke−r(T−t)Φ(d2),

pt = Ke−r(T−t)Φ(−d2)− StΦ(−d1),(7.32)

dove

Φ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−

y2

2 dy,

e la funzione di distribuzione normale standard e

d1 =log

(StK

)+

(r + σ2

2

)(T − t)

σ√T − t

,

d2 = d1 − σ√T − t =

log(StK

)+

(r − σ2

2

)(T − t)

σ√T − t

.

Dimostrazione. La tesi e diretta conseguenza della formula di rappresenta-zione della soluzione del problema di Cauchy (7.29)-(7.30) per l’equazione diBlack&Scholes (o per l’equazione del calore, tramite la trasformazione (7.21)).Non ripetiamo il calcolo esplicito, gia svolto nella Sezione 3.2.6. 2

7.3.1 Dividendi e parametri dipendenti dal tempo

Le formule di valutazione di Black&Scholes possono essere adattate per de-scrivere il caso in cui il sottostante paghi dividendi. Il caso piu semplice equello in cui si assume un pagamento continuo con un rendimento costanteq, ossia si assume che nel periodo dt venga pagato un dividendo pari a qStdt.Sembra naturale modificare la condizione di autofinanziamento (7.5) nel modoseguente:

dVt(h) = αt (dSt + qStdt) + βtdBt,

e procedendo come nella prova del Teorema 7.7, si ottiene l’equazione diBlack&Scholes modificata

σ2s2

2∂ssf(t, s) + (r − q)s∂sf(t, s) + ∂tf(t, s) = rf(t, s).

Allora la formula di Black&Scholes per il prezzo di una call su un titolo chepaga dividendi diventa

ct = e−q(T−t)StΦ(d1)−Ke−r(T−t)Φ(d1 − σ√T − t),

7.3 Valutazione 273

dove

d1 =log

(StK

)+

(r − q + σ2

2

)(T − t)

σ√T − t

.

Si possono ottenere formule esplicite di valutazione anche nel caso in cui iparametri r, μ, σ siano funzioni (deterministiche) del tempo:

dBt = r(t)Btdt,

dSt = μ(t)Stdt+ σ(t)StdWt.

Assumendo, per esempio, che r, μ, σ siano funzioni continue su [0, T ], abbiamo

Bt = e∫ t0r(s)ds,

St = S0 exp

(∫ t

0

σ(s)dWs +

∫ t

0

(μ(s) − σ2(s)

2

)ds

).

Utilizzando gli stessi argomenti si perviene a formule analoghe a quelle del Co-rollario 7.15 in cui i termini del tipo r(T −t) e σ

√T − t vanno rispettivamente

sostituiti con ∫ T

t

r(s)ds, e

(∫ T

t

σ2(s)ds

) 12

.

7.3.2 Ammissibilita e assenza d’arbitraggi

In questa sezione, facciamo alcune osservazioni sul concetto di ammissibilitadi una strategia e sulla relazione con l’assenza d’opportunita d’arbitraggi nelmodello di Black&Scholes.Come nel caso discreto, un arbitraggio e una strategia di investimento

che, pur richiedendo un investimento iniziale nullo e quasi nessun rischio, hala possibilita di assumere un valore futuro positivo. Il concetto e formalizzatodalla seguente

Definizione 7.16. Un arbitraggio e una strategia autofinanziante h il cuivalore V (h) e tale che

i) V0(h) = 0 q.s.

ed esiste t0 ∈ ]0, T ] tale cheii) Vt0(h) ≥ 0 q.s.iii)P (Vt0(h) > 0) > 0.

Nel modello binomiale l’assenza di strategie d’arbitraggio e garantita sotto ipo-tesi molto semplici ed intuitive riassunte nella condizione (3.32) che esprimeuna relazione fra i rendimenti del titolo rischioso e del bond. Al contrario, neimodelli a tempo continuo il problema dell’esistenza di opportunita d’arbitrag-gio e una questione abbastanza delicata. Infatti senza imporre una condizione


di ammissibilita, anche nel modello di mercato di Black&Scholes e possibilecostruire portafogli d’arbitraggio, ossia si puo investire nei titoli (7.1) e (7.3)secondo una strategia autofinanziante, di costo iniziale nullo per ottenere unprofitto privo di rischio.A grandi linee6, l’idea e di utilizzare una strategia di “raddoppio della

puntata in caso di perdita” ben nota nel gioco d’azzardo. Per fissare le idee,consideriamo un gioco in cui puntando $1 sul risultato del lancio di una mo-neta, si ottengono $2 se il risultato e testa oppure nulla se il risultato e croce.In questo caso la strategia del raddoppio consiste nel cominciare puntando$1 e nel procedere nel gioco, raddoppiando la puntata ogni volta che si per-de fino a fermarsi alla prima vincita. In questo modo, supponendo di vincerealla giocata numero n, il bilancio totale e pari alla differenza fra il capitaleinvestito e perso nel gioco, pari a 1 + 2 + 4 + · · ·+ 2n−1, e il capitale vintoall’n-esima giocata, pari a 2n: precisamente, il bilancio totale e attivo e paria $1. In questo modo si ha la certezza di vincere a patto che siano verificatele seguenti condizioni:

i) e possibile giocare un numero illimitato di volte;ii) si ha a disposizione un capitale illimitato.

In un mercato discreto con orizzonte finito, queste strategie sono automati-camente escluse a causa di i), cfr. Proposizione 3.10. In un mercato a tem-po continuo, anche nel caso di orizzonte finito, e necessario porre dei vin-coli per escludere le “strategie di raddoppio” che costituiscono opportunitad’arbitraggio: questo motiva la condizione di ammissibilita della Definizione7.11.La scelta della famiglia delle strategie ammissibili deve essere fatta in modo

opportuno, bilanciando il fatto che non si puo scegliere una famiglia ne troppogrande (per non includere arbitraggi) ne troppo piccola (per avere abbastanzaliberta di formare portafogli replicanti e garantire la completezza del mercato).In letteratura si trovano diverse nozioni di ammissibilita, non sempre espressein termini espliciti: la Definizione 7.11 sembra una scelta semplice e intuitiva.Per avere un confronto con altre nozioni di ammissibilita, proviamo ora chela classe A non contiene arbitraggi.Proposizione 7.17 (Principio di non arbitraggio). La famiglia A noncontiene strategie d’arbitraggio.

Dimostrazione. La tesi e una immediata conseguenza del Corollario 6.22. Perassurdo, sia h ∈ A, con Vt(h) = f(t, St), una strategia d’arbitraggio: alloraf e limitata inferiormente, e soluzione della PDE (7.29), vale f(0, S0) = 0 edesistono t ∈]0, T ] e s > 0 tali che f(t, s) > 0 e f(t, s) ≥ 0 per ogni s > 0.Per utilizzare il Corollario 6.22, trasformiamo la PDE di Black&Scholes inun’equazione parabolica con la sostituzione (7.31)

u(τ, x) = e−r(T−τ)f(T − τ, ex), τ ∈ [0, T ], x ∈ R,6 Per maggiori dettagli si veda, per esempio, Steele [156] Cap.14.

7.3 Valutazione 275

in base alla quale u e soluzione dell’equazione

σ2

2∂xxu+

(r − σ2

2

)∂xu− ∂τu = 0. (7.33)

Allora il Corollario 6.22 porta ad un assurdo:

0 = f(0, S0) = u(T, logS0) ≥∫R

Γ (T, logS0, T − t, y)u(T − t, y)dy > 0,

poiche u(T − t, y) = e−rtf(t, ey) ≥ 0 per ogni y ∈ R, u(T − t, log s) =e−rtf(t, s) > 0 e Γ (T, ·, τ, ·), la soluzione fondamentale della (7.33), e stretta-mente positiva per τ < T . 2

7.3.3 Analisi di Black&Scholes: approcci euristici

Presentiamo alcune procedure alternative per ricavare l’equazione differenzia-le di Black&Scholes (7.12). I seguenti approcci sono euristici, hanno il pregiodi essere intuitivi e il difetto di non essere rigorosi come la presentazioneprecedente. Inoltre hanno in comune il fatto di assumere il principio di nonarbitraggio come ipotesi, piuttosto che come risultato: su questo commentia-mo brevemente alla fine della sezione, nell’Osservazione 7.18. La trattazioneseguente e informale e non rigorosa.Il primo approccio e il seguente: supponiamo di dover valutare un derivato

H con scadenza T e cerchiamo di determinarne il prezzo al tempo t nellaforma Ht = f(t, St) con f ∈ C1,2. A tal fine consideriamo un portafoglioautofinanziante h e imponiamo la condizione di replicazione

VT (h) = HT q.s.

In base al principio di non-arbitraggio, deve anche valere

Vt(h) = Ht q.s.,

per t ≤ T . Procedendo come nella prova del Teorema 7.7, si eguagliano i diffe-renziali stocastici dVt(h) e df(t, St) per ottenere la (7.12) e la strategia (7.13)di copertura del derivato. Il risultato a cui si perviene e formalmente identico:tuttavia in questo modo si puo creare il fraintendimento che l’equazione diBlack&Scholes (7.12) sia una conseguenza dell’assenza di arbitraggi piuttostoche una caratterizzazione della condizione di autofinanziamento.

Per il secondo approccio, assumiamo il punto di vista di una banca chevende un’opzione e si pone il problema di determinare una strategia di coper-tura investendo sul titolo sottostante. Consideriamo un portafoglio costituitoda una certa quantita del titolo rischioso St e da una posizione corta su underivato con payoff F (ST ) di cui indichiamo il prezzo, al tempo t, con f(t, St):

V (t, St) = αtSt − f(t, St).


Per determinare αt, cerchiamo di rendere V neutrale rispetto alle variazioni diSt, ossia immunizziamo V dal rischio di variazioni del prezzo del sottostanteimponendo la condizione

∂sV (t, s) = 0.

Essendo V (t, s) = αts− f(t, s), otteniamo7

αt = ∂sf(t, s), (7.34)

e questa e comunemente chiamata la strategia di delta hedging8 . Per lacondizione di autofinanziamento si ha

dV (t, St) = αtdSt − df(t, St)

=

((αt − ∂sf)μSt − ∂tf −

σ2S2t

2∂ssf

)dt+ (αt − ∂sf)σStdWt.

Dunque la scelta (7.34) “annulla la rischiosita” di V , rappresentata dal terminein dWt, e annulla anche il termine che contiene il rendimento μ del sottostante.In definitiva otteniamo

dV (t, St) = −(∂tf +

σ2S2t

2∂ssf

)dt. (7.35)

Ora poiche V ha una dinamica deterministica, per il principio di non-arbitraggio deve avere un rendimento pari a quello del titolo non rischioso:

dV (t, St) = rV (t, St)dt = r (St∂sf − f) dt, (7.36)

cosicche, eguagliando le formule (7.35) e (7.36) si ottiene ancora una voltal’equazione di Black&Scholes.L’idea che un’opzione possa essere utilizzata per immunizzarsi dal rischio

e estremamente intuitivo e molte tecniche per la valutazione d’arbitraggio sibasano su argomenti di questo tipo.

Osservazione 7.18. Negli approcci che abbiamo appena presentato il principiodi non arbitraggio, sotto varie forme, viene assunto come ipotesi del modellodi Black&Scholes: cio aiuta certamente l’intuizione ma sembra difficile da sup-portare rigorosamente perche abbiamo visto che in realta e possibile costruirestrategie d’arbitraggio, sebbene si tratti di casi patologici. Nella nostra pre-sentazione, cosı come in altre presentazioni piu probabilistiche e basate sullanozione di misura martingala, tutta la teoria e costruita sulla condizione diautofinanziamento: in questo approccio l’assenza d’arbitraggi e la naturaleconseguenza della proprieta di autofinanziamento. Questo corrisponde all’in-tuizione che se una strategia e adattata e autofinanziante non puo ragionevol-mente produrre senza rischio un guadagno superiore al bond, ossia non puoessere un arbitraggio.

7 Il lettore attento si puo chiedere perche, se αt e funzione di s, non compaia anche∂sαt.

8 Nella terminologia comune, la derivata ∂sf e usualmente chiamata delta.

7.3 Valutazione 277

7.3.4 Prezzo di mercato del rischio

Riprendiamo le idee della Sezione 1.2.4 e studiamo la valutazione e replicazionedi un derivato, il cui sottostante non sia scambiato sul mercato, supponendoche un altro derivato sullo stesso sottostante sia contrattato. Un caso notevolee quello dei derivati sulla temperatura: pur potendo costruire un modelloprobabilistico per il valore della temperatura, non e possibile comporre unastrategia replicante che utilizzi il sottostante perche esso non e acquistabile edi conseguenza l’argomento del Teorema 7.13 non e utilizzabile. Tuttavia, sesul mercato e gia presente un’opzione sulla temperatura, a partire da essa sipuo cercare di valutare e coprire un nuovo derivato.Assumiamo che il sottostante sia descritto da un moto Browniano geome-

tricodSt = μStdt+ σStdWt, (7.37)

anche se i risultati seguenti sono indipendenti dal particolare modello conside-rato. Supponiamo che sul mercato sia trattato un derivato su S, il cui prezzoal tempo t sia noto e sia pari a f(t, St) con f ∈ C1,2([0, T [×R+). Assumiamoinoltre che

∂sf �= 0e valgano opportune ipotesi che assicurano che al seguente problema di Cauchy(7.46)-(7.47) sia applicabile la teoria dell’esistenza e unicita delle soluzioni deiCapitoli 6 e 8: qui ci sembra secondario riportare condizioni precise a tal fine.Osserviamo che, per la formula di Ito, vale

df(t, St) = Lf(t, St)dt+ σSt∂sf(t, St)dWt, (7.38)

dove

Lf(t, s) = ∂tf(t, s) + μs∂sf(t, s) +σ2s2

2∂ssf(t, s). (7.39)

Il nostro scopo e di valutare un derivato con payoff G(ST ). Imitiamo il pro-cedimento dei paragrafi precedenti e costruiamo un portafoglio Markoviano eautofinanziante formato dal bond e dal derivato f , contrattato sul mercato.Indichiamo con g il valore di tale portafoglio

g(t, St) = αtf(t, St) + βtBt, (7.40)

e poniamo la condizione di autofinanziamento:

dg(t, St) = αtdf(t, St) + βtdBt =

(per la (7.38))= (αtLf + rβB) dt+ αtσSt∂sfdWt =

(poiche βB = g − αtf)

= (αt(Lf − rf) + rg) + αtσSt∂sfdWt. (7.41)


Confrontiamo ora tale espressione col differenziale stocastico ottenuto con laformula di Ito

dg(t, St) = Lg(t, St)dt+ σSt∂sg(t, St)dWt,

e per l’unicita della rappresentazione di un processo di Ito, deduciamol’uguaglianza dei termini in dt e dWt:

αt =∂sg

∂sf(t, St), (7.42)

αt(Lf − rf) = Lg − rg. (7.43)

Sostituendo la (7.42) nella (7.43) e riordinando i termini, otteniamo

Lg − rg = σStθf∂sg, (7.44)

dove

θf = θf (t, St) =Lf(t, St)− rf(t, St)

σSt∂sf(t, St). (7.45)

In definitiva, sostituendo l’espressione (7.39) di L nella (7.44), abbiamoprovato la seguente generalizzazione dei Teoremi 7.7 e 7.13.

Teorema 7.19. Il portafoglio in (7.40) e autofinanziante se e solo se g esoluzione dell’equazione differenziale

σ2s2

2∂ssg(t, s) + (μ− σθf (t, s)) s∂sg(t, s) + ∂tg(t, s) = rg(t, s), (7.46)

per (t, s) ∈ [0, T [×R+. Nelle ipotesi del Teorema 7.13, esiste ed e unico il por-tafoglio replicante per G(ST ), definito dalla soluzione del problema di Cauchyper (7.46) con condizione finale

g(T, s) = G(s), s ∈ R+. (7.47)

Il valore g(t, St) = Vt(h) e il prezzo d’arbitraggio di G(ST ) e la strategiareplicante e data in (7.42).

In base al Teorema 7.19, la replicazione di un’opzione (e quindi la completezzadel mercato) e garantita anche se il sottostante non e contrattato, a patto chesul mercato sia presente un altro derivato sullo stesso sottostante.Se il sottostante e contrattato, possiamo scegliere f(t, s) = s: in questo

caso indichiamo semplicemente θ = θf e osserviamo che vale

θ =μ− r

σ. (7.48)

Inserendo tale valore nella (7.46) otteniamo esattamente l’equazione differen-ziale di Black&Scholes.

7.4 Copertura 279

Il coefficiente θ rappresenta la differenza fra il rendimento atteso μ e ilrendimento privo di rischio r, che gli investitori richiedono comprando S perassumersi il rischio rappresentato dalla volatilita σ. Per questo motivo θ vienesolitamente chiamato prezzo di mercato del rischio ed esprime una misuradella propensione al rischio degli investitori.Il prezzo di mercato del rischio puo essere determinato dal sottostante (se

e contrattato) oppure da un altro derivato. Osserviamo che la (7.38) si riscrivein modo formalmente simile alla (7.37):

df = μffdt+ σffdWt,

dove

μf =Lf

f, σf =

σSt∂sf

f,

cosicche, per la definizione (7.45), vale

θf =μf − r

σf,

in analogia con la (7.48).Ora possiamo dare un’interpretazione estremamente significativa dell’e-

quazione differenziale (7.46) “di Black&Scholes”. Notiamo che essa e equiva-lente alla relazione (7.44) che si riscrive semplicemente come segue:

θf = θg . (7.49)

In altri termini la condizione di autofinanziamento impone che g abbia lostesso prezzo di mercato del rischio di f . E poiche f e g sono generici derivati,la (7.49) e in effetti una condizione di consistenza del mercato:

• tutti i titoli (o strategie autofinanzianti) devono avere lo stesso prezzo dimercato del rischio.

Nel caso di mercato incompleto, in cui l’unico titolo contrattato e il bond,ancora i prezzi teorici dei derivati devono verificare un’equazione differenzialedi Black&Scholes del tipo (7.46): ma in questo caso non e noto il valore delprezzo di mercato del rischio, ossia non e noto θf che appare come coefficientenell’equazione differenziale. Dunque il prezzo d’arbitraggio di un’opzione none unico, proprio come abbiamo visto in ambito discreto nel caso del modellotrinomiale.

7.4 Copertura

Dal punto di vista teorico la strategia (7.34) di delta hedging permette diottenere una replicazione perfetta del payoff. Dunque non ci sarebbe bisognodi studiare ulteriormente il problema della copertura. Nella pratica invece


il modello di Black&Scholes solleva alcuni problemi: anzitutto la strategia(7.28) richiede un ribilanciamento continuo del portafoglio e questo non esempre possibile o conveniente, per esempio a causa dei costi di transazione. Insecondo luogo il modello di Black&Scholes e comunemente considerato tropposemplice per poter descrivere in modo realistico le dinamiche del mercato: ilproblema piu evidente consiste nell’ipotesi di volatilita costante che apparetroppo forte se confrontata con i dati reali.A suo favore, il modello di Black&Scholes ha il grosso vantaggio di fornire

formule esplicite per i prezzi di opzioni plain vanilla. Inoltre, malgrado tutte lecritiche che gli sono mosse contro, rimane nella pratica il modello di riferimentoe in assoluto il piu utilizzato dalle banche. A prima vista cio e paradossaleanche se, come cercheremo di spiegare, non del tutto infondato.Il resto del paragrafo e strutturato come segue: nella Sezione 7.4.1 intro-

duciamo le cosiddette sensitivita o greche: esse sono le derivate del prezzo diBlack&Scholes rispetto ai fattori di rischio che sono essenzialmente il prez-zo del sottostante e i parametri del modello. Nella Sezione 7.4.2 analizziamola robustezza del modello di Black&Scholes, ossia gli effetti del suo utilizzosupposto che non sia il modello “corretto”. Nella Sezione 7.4.3 utilizziamole greche per ottenere strategie di copertura piu efficaci del semplice deltahedging.

7.4.1 Le greche

Nel modello di Black&Scholes il valore di una strategia e funzione di diversifattori: il prezzo del sottostante, il tempo e i parametri di modello, la volatilitaσ e il tasso di interesse r. Dal punto di vista pratico e utile poter valutare lasensibilita del portafoglio rispetto alla variazione di questi fattori: cio significapoter stimare, per esempio, l’effetto sul valore del portafoglio dell’avvicinarsialla scadenza o della variazione del tasso privo di rischio o della volatilita. Inaturali indicatori di sensitivita sono forniti dalle derivate parziali del valoredel portafoglio rispetto ai corrispondenti fattori di rischio (prezzo del sotto-stante, volatilita ecc..). Ad ogni derivata si associa comunemente una letteragreca e per tale motivo queste misure di sensitivita sono usualmente chiamatele greche.

Notazione 7.20 Indichiamo con f(t, s, σ, r) il valore di una strategia autofi-nanziante e Markoviana nel modello di Black&Scholes in funzione del tempot, del prezzo del sottostante s, della volatilita σ e del tasso a breve r. Poniamo:

Δ = ∂sf (delta),

Γ = ∂ssf (gamma),

V = ∂σf (vega),

� = ∂rf (rho),

Θ = ∂tf (theta).

7.4 Copertura 281

Diciamo che una strategia e neutrale rispetto a uno dei fattori di rischio sela corrispondente greca e nulla, ossia se il valore del portafoglio e insensibilerispetto alle variazioni di tale fattore. Per esempio, la strategia di delta hedginge costruita in modo da rendere il portafoglio neutrale al delta, ossia insensibilerispetto alle variazioni del prezzo del sottostante.Per le greche di call e put Europee e disponibile l’espressione esplicita

che si ricava direttamente derivando la formula di Black&Scholes: si trattadi fare un po’ di conti che con qualche accortezza non sono particolarmentelunghi. Nel seguito trattiamo nel dettaglio solo il caso della call. Per comoditariportiamo l’espressione del prezzo al tempo t di una call Europea con strikeK e scadenza T :

ct = g(d1),

dove g e la funzione definita da

g(d) = StΦ(d)−Ke−r(T−t)Φ(d− σ√T − t), d ∈ R,

e

Φ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−

y2

2 dy, d1 =log

(StK

)+

(r + σ2

2

)(T − t)

σ√T − t

.

Il grafico del prezzo della call e riportato nella Figura 7.1.A volte sara utile anche la notazione

d2 = d1 − σ√T − t =

log(StK

)+

(r − σ2

2

)(T − t)

σ√T − t

,

e useremo sistematicamente il seguente lemma per semplificare i calcoli.

Lemma 7.21. Valeg′(d1) = 0, (7.50)

e di conseguenza

StΦ′(d1) = Ke−r(T−t)Φ′(d1 − σ

√T − t). (7.51)

Dimostrazione. Basta osservare che

Φ′(x) =e−

x2

2

√2π

.

Allora

g′(d) = Ste−

d2

2√2π−Ke−r(T−t)

e−(d−σ√T−t)2

2√2π

=e−

d2

2

√2π

(St −Ke

−(r+ σ2

2

)(T−t)

edσ√T−t

)e la tesi segue direttamente dalla definizione di d1. 2


0.5

1

1.5

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

S0

T

Fig. 7.1. Grafico del prezzo di una call Europea nel modello di Black&Scholes,in funzione del prezzo del sottostante e del tempo alla scadenza. I parametri sono:strike K = 1, volatilita σ = 0.3, tasso privo di rischio r = 0.05

Esaminiamo ora le singole greche dell’opzione call.

Delta: valeΔ = Φ(d1). (7.52)

InfattiΔ = ∂sct = Φ(d1) + g′(d1)∂sd1,

e la (7.52) segue dalla (7.50).Il grafico della delta e riportato nella Figura 7.2. Notiamo che la deltadella call e positiva e minore di uno, poiche tale e Φ:

0 < Δ < 1.

Poiche la delta ha il significato di quota di titolo rischioso da detenere nelportafoglio di delta hedging, questo corrisponde al fatto intuitivo che percoprire una posizione corta su una call occorre acquistare il sottostante.Ne segue anche che ct e una funzione strettamente crescente del prezzo delsottostante. Osserviamo che

lims→0+

d1 = −∞, lims→+∞

d1 = +∞,

7.4 Copertura 283

0.5

1

1.5

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

S0

T

Fig. 7.2. Grafico della delta di una call Europea nel modello di Black&Scholes,in funzione del prezzo del sottostante e del tempo alla scadenza. I parametri sono:strike K = 1, volatilita σ = 0.3, tasso privo di rischio r = 0.05

e dunque valgono le seguenti espressioni asintotiche per prezzo e delta:

lims→0+

ct = 0, lims→+∞

ct = +∞,

lims→0+

Δ = 0, lims→+∞

Δ = 1.

Gamma: vale

Γ =Φ′(d1)

σSt√T − t

.

InfattiΓ = ∂sΔ = Φ′(d1)∂sd1.

Il grafico della gamma e riportato nella Figura 7.3. Notiamo che la gammadi una call e positiva e quindi il prezzo e la delta sono rispettivamente unafunzione convessa e una funzione crescente del sottostante. Inoltre vale

lims→0+

Γ = lims→+∞

Γ = 0.


0.5

1

1.5

0

0.5

10

2

4

6

S0

T

Fig. 7.3. Grafico della gamma di una call Europea nel modello di Black&Scholes,in funzione del prezzo del sottostante (0.5 ≤ S ≤ 1.5) e del tempo alla scadenza(0.05 ≤ T ≤ 1). I parametri sono: strike K = 1, volatilita σ = 0.3, tasso privo dirischio r = 0.05

Vega: valeV = St

√T − t Φ′(d1).

Infatti

V = ∂σct = g′(d1)∂σd1 +Ke−r(T−t)Φ′(d1 − σ√T − t)

√T − t =

(per la (7.50))

= Ke−r(T−t)Φ′(d1 − σ√T − t)

√T − t =

(per la (7.51))= St

√T − tΦ′(d1).

Il grafico della vega e riportato nella Figura 7.4. Anche la vega e posi-tiva e quindi il prezzo di una call e una funzione strettamente crescentedella volatilita (cfr. Figura 7.5): intuitivamente, cio e dovuto al fatto chel’opzione e un contratto che da un diritto, ma non un obbligo, per cui sitrae vantaggio dalla maggior rischiosita del sottostante. Ne segue ancheche il prezzo dell’opzione e una funzione invertibile della volatilita: ad ogni

7.4 Copertura 285

0.5

1

1.5

0

0.5

10

0.1

0.2

0.3

0.4

S0

T

Fig. 7.4. Grafico della vega di una call Europea nel modello di Black&Scholes,in funzione del prezzo del sottostante e del tempo alla scadenza. I parametri sono:strike K = 1, volatilita σ = 0.3, tasso privo di rischio r = 0.05

prezzo quotato dell’opzione corrisponde un unico valore della volatilita,detta volatilita implicita, da utilizzare nella formula di Black&Scholes perottenere il prezzo osservato.Proviamo che vale

limσ→0+

ct =(St −Ke−r(T−t)

)+, lim

σ→+∞ct = St (7.53)

e quindi (St −Ke−r(T−t)

)+< ct < St,

in accordo con le stime del Corollario 1.2, basate su argomenti di arbitrag-gio. Infatti posto

λ = log

(StK

)+ r(T − t),

si ha che λ = 0 se e solo se

St = Ke−r(T−t),

e inoltre


01

23

45

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

vol

T

Fig. 7.5. Grafico del prezzo di una call Europea nel modello di Black&Scholes, infunzione della volatilita (0 ≤ σ ≤ 5) e del tempo alla scadenza (0.05 ≤ T ≤ 1). Iparametri sono: S = K = 1 e tasso privo di rischio r = 0.05

limσ→0+

d1 =

⎧⎪⎨⎪⎩+∞, se λ > 0,

0, se λ = 0,

−∞, se λ < 0.

Di conseguenza

limσ→0+

ct =

{St −Ke−r(T−t), se λ > 0,

0, se λ ≤ 0,

che prova il primo limite in (7.53). D’altra parte

limσ→+∞

d1 = +∞, limσ→+∞

d2 = −∞,

cosicche anche il secondo limite in (7.53) segue facilmente.Theta: vale

Θ = −rKe−r(T−t)Φ(d2) −σSt

2√T − t

Φ′(d1). (7.54)

Infatti

Θ = ∂tct = g′(d1)∂td1 − rKe−r(T−t)Φ(d2)−Ke−r(T−t)Φ′(d2)σ

2√T − t

,

7.4 Copertura 287

0.5

1

1.5

0

0.5

1−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

S0

T

Fig. 7.6. Grafico della theta di una call Europea nel modello di Black&Scholes,in funzione del prezzo del sottostante (0.5 ≤ S ≤ 1.5) e del tempo alla scadenza(0.05 ≤ T ≤ 1). I parametri sono: strike K = 1, volatilita σ = 0.3, tasso privo dirischio r = 0.05

e la (7.54) segue dalla (7.51). Il grafico della theta e riportato nella Figura7.6. Notiamo che Θ < 0 ossia il prezzo di una call diminuisce avvicinandosialla scadenza: intuitivamente cio e dovuto alla diminuzione dell’effetto dellavolatilita che nell’espressione del prezzo appare moltiplicata per

√T − t.

Rho: vale� = K(T − t)e−r(T−t)Φ(d2).

Infatti� = ∂rct = g′(d1)∂rd1 +K(T − t)e−r(T−t)Φ(d2),

e la tesi segue dalla (7.50). Il grafico del rho e riportato nella Figura 7.7.Notiamo che ρ > 0 e di conseguenza il prezzo di una call aumenta col cresceredel tasso privo di rischio: cio e dovuto al fatto che, se esercitata, una callcomporta il pagamento dello strike K il cui valore scontato e tanto minorequanto maggiore e r.

Riportiamo senza dimostrazione l’espressione delle greche della put Euro-pea:


0.5

1

1.5

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

S0

T

Fig. 7.7. Grafico del rho di una call Europea nel modello di Black&Scholes, infunzione del prezzo del sottostante e del tempo alla scadenza. I parametri sono:strike K = 1, volatilita σ = 0.3, tasso privo di rischio r = 0.05

Δ = ∂spt = Φ(d1)− 1,

Γ = ∂sspt =Φ′(d1)

σSt√T − t

,

V = ∂σpt = St√T − t Φ′(d1),

Θ = ∂tpt = −rKe−r(T−t) (1− Φ(d2)) +σSt

2√T − t

Φ′(d1),

ρ = ∂rpt = K(T − t)e−r(T−t) (Φ(d2) − 1) .

Osserviamo che la delta di una put e negativa. Gamma e vega hanno la stessaespressione per put e call: in particolare, la vega e positiva e quindi ancheil prezzo della put aumenta col crescere della volatilita. La theta di una putassume valori positivi e negativi. La rho di una put e negativa.

7.4.2 Robustezza del modello

Assumiamo la dinamica di Black&Scholes per il sottostante


7.4 Copertura 289

dove μ, σ sono parametri fissati e indichiamo con r il tasso a breve. Allorail prezzo f(t, St) di un’opzione con payoff F (ST ) e dato dalla soluzione delproblema di Cauchy

σ2s2

2∂ssf + rs∂sf + ∂tf = rf, in [0, T [×R+, (7.56)

f(T, s) = F (s), s ∈ R+. (7.57)

Supponiamo ora che la dinamica reale del sottostante sia diversa dalla (7.55)e sia descritta da un processo di Ito della forma

dSt = μtStdt+ σtStdWt, (7.58)

con μt ∈ L1loc e σt ∈ L2

loc.Ricordiamo che per l’Osservazione 7.4 ogni strategia autofinanziante e de-

terminata solo dal proprio valore iniziale e dalla quantita di titolo rischioso:per esempio, la strategia di delta hedging di Black&Scholes e individuata dalvalore iniziale f(0, S0) (il prezzo di Black&Scholes) e consiste nel detenere∂sf(t, St) quote di sottostante al tempo t.In base alla condizione finale (7.57), la strategia di delta hedging replica il

payoff F (ST ) qualsiasi sia l’andamento del sottostante. Il fatto che la dinamicareale (7.58) sia differente da quella del modello di Black&Scholes ha comeconseguenza la perdita della proprieta di autofinanziamento: in pratica, ciosignifica che la copertura ha un costo diverso (possibilmente maggiore) rispettoal prezzo di Black&Scholes f(0, S0). Infatti si ha

df = ∂sfdSt +

(∂tf +

σ2tS2t

2∂ssf

)dt =

(per la (7.56))

= ∂sfdSt +

(rf − rSt∂sf +

(σ2t − σ2)S2t

2∂ssf

)dt

= ∂sfdSt + (f − St∂sf) dBt +Rtdt, (7.59)

dove

Rt =(σ2t − σ2)S2

t

2∂ssf

e un termine di correzione dovuto alla erronea specificazione del modello disottostante. Chiaramente Rt = 0 se σ = σt e solo in tal caso la strategiae autofinanziante. Osserviamo che Rt dipende solo dall’errore nel termine divolatilita e non dal drift.In generale, una strategia di delta hedging

V (t, St) = ∂sf(t, St)St + e−rt (V (t, St) − St∂sf(t, St))Bt

e autofinanziante se e solo se


dV (t, St) = ∂sf(t, St)dSt + e−rt (V (t, St) − St∂sf(t, St)) dBt. (7.60)

Sottraendo (7.59) a (7.60), otteniamo la dinamica dell’errore di replicazione

d(V (t, St)− f(t, St)) =

(r(V (t, St)− f(t, St)) +

(σ2t − σ2)S2t

2∂ssf(t, St)

)dt,

ossia, posto V (0, S0) = f(0, S0), vale

V (T, ST )− F (ST ) =

∫ T

0

er(T−t)(σ2t − σ2)S2

t

2∂ssf(t, St)dt. (7.61)

La (7.61) fornisce l’errore di replicazione della strategia autofinanziante divalore iniziale f(0, S0) che consiste nel detenere una quota pari a ∂sf(t, St) disottostante al tempo t. La (7.61) mostra che l’errore di replicazione dipendedalla vega che misura la convessita del prezzo di Black&Scholes come funzionedel prezzo del sottostante. In particolare l’errore e piccolo se ∂ssf e piccolo.Inoltre, se il prezzo e convesso, ∂ssf ≥ 0, come nel caso delle opzioni call e put,allora la strategia di Black&Scholes super-replica il derivato qualsiasi sia ladinamica del sottostante purche si scelga la volatilita sufficientemente grande,σ ≥ σt. In questo senso il modello di Black&Scholes e robusto e, se utilizzatocon la dovuta cautela, puo essere efficacemente utilizzato per la copertura diderivati. Notiamo infine che esistono opzioni il cui prezzo non e una funzioneconvessa del sottostante e quindi la vega non e necessariamente positiva: equesto il caso dell’opzione digitale, corrispondente alla delta di una call (cfr.si veda la Figura 7.2), oppure di alcune opzioni con barriera. Di conseguenzain alcuni casi, per super-replicare puo essere necessario diminuire il parametrodi volatilita.

7.4.3 Gamma e vega hedging

Le greche possono essere utilizzate per determinare strategie di copertura piuefficienti rispetto al delta hedging. Nel seguito affrontiamo il problema dellareplicazione da un punto di vista pratico. E chiaro che teoricamente il deltahedging offre una replicazione perfetta, ma abbiamo gia accennato ai problemisignificativi che sorgono in concreto:

• le strategie sono discrete e hanno costi di transazione;• la volatilita non e costante.

A titolo esemplificativo, in questa sezione esaminiamo le strategie di delta-gamma e delta-vega hedging che mirano a ridurre l’errore di replicazione dovutorispettivamente al fatto che il ribilanciamento non e continuo e alle variazionidella volatilita.Il motivo per cui e necessario ribilanciare il portafoglio di copertura di

Black&Scholes e il fatto che il delta cambia col variare del prezzo del sotto-stante. Quindi per minimizzare il numero di ribilanciamenti (e i relativi costi)

7.4 Copertura 291

sembra naturale costruire una strategia che sia neutrale, oltre che al delta,anche al gamma. Con i dovuti aggiustamenti, la procedura e simile a quelladel delta hedging della Sezione 7.3.3. Tuttavia notiamo che per imporre duecondizioni di neutralita non e piu sufficiente una sola incognita ed e quindinecessario formare un portafoglio con tre titoli. La situazione e analoga al casodi un mercato incompleto (cfr. Sezione 3.3.1): in effetti, se il ribilanciamentocontinuo non e ammesso, non tutti i derivati sono replicabili e il modello diBlack&Scholes perde la proprieta di completezza.Supponiamo dunque di avere venduto un derivato f(t, St) e ci poniamo il

problema di coprire la posizione corta investendo sul titolo sottostante e su unaltro derivato g(t, St): la situazione tipica e quella in cui f e un derivato esoticoe g e un’opzione plain vanilla che possiamo supporre quotata sul mercato.Consideriamo

V (t, St) = −f(t, St) + αtSt + βtg(t, St), (7.62)

e determiniamo α, β imponendo le condizioni di neutralita

∂sV = 0, ∂ssV = 0.

Otteniamo il sistema di equazioni{−∂sf + αt + βt∂sg = 0,

−∂ssf + βt∂ssg = 0,

da cui deduciamo la strategia di delta-gamma hedging

βt =∂ssf(t, St)

∂ssg(t, St), αt = ∂sf(t, St) +

∂ssf(t, St)

∂ssg(t, St)∂sg(t, St).

Utilizziamo un argomento simile per ridurre il rischio di incertezza sulparametro di volatilita. L’ipotesi fondamentale del modello di Black&Scholese che la volatilita sia costante, pertanto la strategia di delta-vega hedging,che ora presentiamo, e in un certo senso “al di fuori” del modello. Anche inquesto caso il sottostante non e sufficiente e supponiamo che esista un secondoderivato quotato sul mercato. Consideriamo il portafoglio (7.62) e imponiamole condizioni di neutralita

∂sV = 0, ∂σV = 0.

Otteniamo il sistema di equazioni{−∂sf + αt + βt∂sg = 0,

−∂σf + αt∂σSt + βt∂σg = 0,

da cui si ricava facilmente la strategia di copertura, osservando che ∂σSt =St(Wt − σt).


7.5 Opzioni Asiatiche

Un’opzione Asiatica e un derivato il cui payoff dipende da una media deiprezzi del sottostante calcolata nel periodo di vita dell’opzione. Questo tipodi derivati e abbastanza trattato, per esempio, nel mercato delle valute edelle materie prime: uno dei motivi per cui e stato introdotto e di limitareil problema della speculazione sulle opzioni pain vanilla. E noto infatti cheil prezzo di call e put Europee puo essere influenzato, vicino a scadenza,mediante manipolazioni sul titolo sottostante.Una generica classificazione delle Asiatiche puo essere fatta in base alla

funzione di payoff e al tipo di media utilizzata. Assumiamo al solito che ilsottostante sia descritto da un moto Browniano geometrico S che verifical’equazione (7.2) e indichiamo con Mt il valore della media al tempo t: perun’Asiatica con media aritmetica si ha

Mt =Att, con At =

∫ t

0

S d�; (7.63)

per un’Asiatica con media geometrica si ha

Mt = exp

(Gtt

), con Gt =

∫ t

0

log (S ) d�. (7.64)

Sebbene nei mercati reali siano maggiormente diffuse le Asiatiche aritmetiche,in letteratura sono state ampiamente studiate anche le Asiatiche geometricheperche sono piu facilmente trattabili dal punto di vista teorico e, sotto ipo-tesi opportune, forniscono un’approssimazione della corrispondente versionearitmetica.Per quanto riguarda il payoff, le versioni piu comuni sono l’opzione Asiatica

call con strike fisso K

F (ST ,MT ) = (MT −K)+,

l’opzione Asiatica call con strike variabile

F (ST ,MT ) = (ST −MT )+,

e le corrispondenti opzioni put.Dal punto di vista formale i problemi della definizione del prezzo d’ar-

bitraggio e della determinazione di una strategia di copertura di un’Asiaticahanno molte analogie con il caso Europeo standard. La differenza sostanziale eche il prezzo di un’Asiatica dipende non solo dal valore attuale del sottostantema anche da tutta la sua traiettoria e questo sembra rendere problematica lacostruzione di un modello Markoviano. D’altra parte abbiamo gia accennatonel caso discreto ad una tecnica ormai standard che consiste nell’aumentarela dimensione introducendo delle variabili di stato per ottenere, in particolaricondizioni, un modello Markoviano. In particolare sembra naturale definire ilprezzo di un’opzione Asiatica in funzione del prezzo del sottostante e dellamedia definita come una variabile di stato aggiuntiva in termini del processoAt in (7.63) oppure Gt in (7.64).

7.5 Opzioni Asiatiche 293

7.5.1 Media aritmetica

Per precisare le considerazioni precedenti, esaminiamo dapprima il caso dellamedia aritmetica. Diciamo che (αt, βt)t∈[0,T ] e un portafoglio Markoviano se

αt = α(t, St, At), βt = β(t, St, At), t ∈ [0, T ],

dove α, β sono funzioni in C1,2([0, T [×R+ × R+) ∩ C([0, T ] × R+ × R+), eindichiamo con

f(t, St, At) = αtSt + βtBt, t ∈ [0, T ],

il corrispondente valore. Il seguente risultato estende i Teoremi 7.7 e 7.13:

Teorema 7.22. Le seguenti condizioni sono equivalenti:

i) (αt, βt)t∈[0,T ] e autofinanziante, ossia vale

df(t, St, At) = αtdSt + βtdBt;

ii) f e soluzione dell’equazione alle derivate parziali

σ2s2

2∂ssf(t, s, a) + rs∂sf(t, s, a) + s∂af(t, s, a) + ∂tf(t, s, a) = rf(t, s, a),

(7.65)per (t, s, a) ∈ [0, T [×R+× R+, e vale la relazione

α(t, s, a) = ∂sf(t, s, a).

Il prezzo d’arbitraggio f = f(t, St, At) di un’opzione Asiatica aritmetica confunzione di payoff F e la soluzione del problema di Cauchy per l’equazione(7.65) con dato finale

f(T, s, a) = F(s,a

T

), s, a ∈ R+.

Per esempio, nel caso di una call con strike fisso K, la condizione finale daassociare all’equazione (7.65) e

f(T, s, a) =( aT−K

)+, s, a ∈ R+. (7.66)

Nel caso di strike variabile, la condizione finale e

f(T, s, a) =(s− a

T

)+, s, a ∈ R+. (7.67)

La dimostrazione del teorema e formalmente analoga a quella dei Teoremi7.7 e 7.13. D’altra parte osserviamo che l’equazione (7.65) non e riconducibile,con un cambio di variabili, ad un’equazione parabolica come nel caso Europeo.In particolare i risultati di esistenza e unicita del problema di Cauchy delle


Sezioni 2.3 e 6.2 non sono sufficienti a provare la completezza del mercato el’esistenza e unicita del prezzo d’arbitraggio: questi risultati sono stati recen-temente provati, per una funzione di payoff generica, da Barucci, Polidoro eVespri [14].La (7.65) e un’equazione parabolica degenere in quanto la matrice che de-

finisce la parte del second’ordine dell’equazione e semi-definita positiva e sin-golare: infatti, nella notazione standard (2.31) della Sezione 2.3, la matrice Ccorrispondente alla (7.65) e

C =(σ2s2 00 0

)che ha rango uno per ogni (s, a) ∈ R+×R+. Questo fatto non deve sorprende-re: l’equazione (7.65) e stata dedotta utilizzando la formula di Ito e la derivataseconda che vi compare e “prodotta” dal moto Browniano del processo S. Lamedia A introduce una variabile di stato aggiuntiva che aumenta la dimensio-ne del problema, ambientandolo in R3, ma non introduce alcun nuovo motoBrowniano (e nessuna derivata seconda rispetto alla variabile a).In alcuni casi particolari esiste un’opportuna trasformazione che riporta

la dimensione del problema a due. Nel caso di strike variabile, Ingersoll [81]propone il cambio di variabile x = a

s: posto

f(t, s, a) = su(t,a

s

)(7.68)

si ha

∂tf = s∂tu, ∂sf = u− a

s∂xu, ∂ssf =

a2

s3∂xxu, ∂af = ∂xu.

Dunque f risolve il problema di Cauchy (7.65)-(7.67) se e solo se la funzioneu = u(t, x) definita in (7.68) e soluzione del problema di Cauchy in R2{

σ2x2

2 ∂xxu+ (1− rx)∂xu+ ∂tu = 0, t ∈ [0, T [, x > 0,u(T, x) =

(1− x

T

)+, x > 0.

Piu in generale la trasformazione (7.68) permette di ridurre la dimensione delproblema nel caso in cui il payoff sia una funzione omogenea di grado uno,ossia valga

F (s, a) = sF(1,a

s

), s, a > 0.

Nel caso di strike fisso K, Rogers e Shi [143] propongono il cambio divariabile

x =aT −K

s.

Posto

f(t, s, a) = su

(t,aT −K

s

)(7.69)

7.5 Opzioni Asiatiche 295

si ha

∂sf = u−aT −K

s∂xu, ∂ssf =

(aT −K

)2s3

∂xxu, ∂af =∂xu

T.

Dunque f risolve il problema di Cauchy (7.65)-(7.66) se e solo se la funzioneu = u(t, x) definita in (7.69) e soluzione del problema di Cauchy in R2{

σ2x2

2∂xxu+

(1T− rx

)∂xu+ ∂tu = 0, t ∈ [0, T [, x ∈ R,

u(T, x) = x+, x ∈ R.

Sottolineiamo il fatto che la riduzione della dimensione e possibile solo in casimolto particolari e assumendo la dinamica di Black&Scholes per il sottostante.

7.5.2 Media geometrica

Consideriamo ora un’opzione Asiatica con media geometrica. In questo casoil valore f = f(t, s, g) al tempo t del portafoglio replicante (e dell’opzione) efunzione di t, St e di Gt in (7.64). Inoltre vale un risultato analogo al Teorema7.22 in cui l’equazione differenziale

σ2s2

2∂ssf(t, s, g)+ rs∂sf(t, s, g)+(log s)∂gf(t, s, g)+∂tf(t, s, g) = rf(t, s, g),

(7.70)per (t, s, g) ∈ [0, T [×R+ ×R+, prende il posto della (7.65).Operiamo ora un cambio di variabili simile a quello proposto nella Propo-

sizione 7.9: poniamo

t = T − τ, s = eσx, g = σy,

e

u(τ, x, y) = eax+bτf(T − τ, eσx, σy), τ ∈ [0, T ], x, y ∈ R, (7.71)

dove a, b sono costanti che sceglieremo opportunamente. Ricordiamo le formule(7.22), a cui si aggiunge

∂yu = eax+bτσ∂gf ;

ne segue

1

2∂xxu+ x∂yu− ∂τu =

eax+bτ(σ2s2

2∂ssf +

(σa+

σ2

2

)s∂sf + (log s)∂gf + ∂tf +

(a2

2− b

)f

)=

(se f risolve la (7.70))

=

(σa+

σ2

2− r

)s∂sf +

(a2

2− b+ r

)f.

Cio prova il seguente risultato.


Proposizione 7.23. Con la scelta (7.23) delle costanti a, b, la funzione f esoluzione dell’equazione (7.70) in [0, T [×R+ × R+ se e solo se la funzioneu = u(τ, x, y) definita in (7.71) soddisfa l’equazione

1

2∂xxu+ x∂yu− ∂τu = 0, in ]0, T ]×R× R. (7.72)

La (7.72) e una equazione parabolica degenere, detta equazione differenzialedi Kolmogorov, che studieremo nel Paragrafo 9.5 e di cui costruiremo unasoluzione fondamentale in forma esplicita nell’Esempio 9.53.

8

Equazioni paraboliche a coefficienti variabili:

esistenza

Soluzione fondamentale e problema di Cauchy – Problema con ostacolo

Il modello di Black&Scholes si basa sui risultati di esistenza e unicita perequazioni paraboliche a coefficienti costanti, in particolare per l’equazionedel calore. Lo studio di modelli piu sofisticati richiede l’utilizzo di risultatianaloghi per operatori differenziali a coefficienti variabili.In questo capitolo, consideriamo un operatore parabolico della forma

Lu :=1

2

N∑i,j=1

cij∂xixju+

N∑i=1

bi∂xiu− au− ∂tu, (8.1)

dove (t, x) denota un punto di R × RN e (cij) e una matrice simmetrica.Assumiamo che i coefficienti cij = cij(t, x), bj = bj(t, x) e a = a(t, x) sianofunzioni limitate e Holderiane.Siamo interessati a studiare da una parte l’esistenza e le proprieta della

soluzione fondamentale di L e dall’altra il problema a frontiera libera con osta-colo. La prima questione e strettamente legata alla risolubilita del problemadi Cauchy e quindi alla valutazione e copertura di opzioni Europee. Il secondoproblema, come abbiamo anticipato nella Sezione 3.4.4, interviene nello studiodei derivati di tipo Americano: in questo ambito la funzione ostacolo gioca ilruolo del payoff dell’opzione.Una trattazione completa di questi argomenti va ben al di la dello scopo

del presente testo, costituisce un tema centrale nell’ambito della teoria delleequazioni alle derivate parziali ed e oggetto di monografie classiche come quelledi Friedman [63], [65], Ladyzhenskaya e Ural’tseva [105], Oleınik e Radkevic[133], Lieberman [115], Evans [56].Il Paragrafo 8.1 e dedicato ad una descrizione generale della costruzione

della soluzione fondamentale mediante il cosiddetto metodo della parametricedi Levi [114]. Nel Paragrafo 8.2, partendo da alcune note stime a priori per lesoluzioni di L in spazi di funzioni Holderiane e di Sobolev, diamo una provadettagliata dell’esistenza di soluzioni forti del problema con ostacolo.


298 8 Equazioni paraboliche a coefficienti variabili: esistenza

8.1 Soluzione fondamentale e problema di Cauchy

Assumiamo che l’operatore L in (8.1) sia uniformemente parabolico, ossiavalga:

Ipotesi 8.1 Esiste una costante positiva Λ tale che

Λ−1|ξ|2 ≤N∑i,j=1

cij(t, x)ξiξj ≤ Λ|ξ|2, t ∈ R, x, ξ ∈ RN . (8.2)

Il prototipo della classe degli operatori uniformemente parabolici e l’operatorea coefficienti costanti del calore per il quale (cij) e la matrice identita.Nella teoria delle equazioni paraboliche, e naturale assegnare alla variabile

temporale t un “peso doppio” rispetto alle variabili spaziali x. Per introdur-re la prossima ipotesi, definiamo gli spazi di funzioni Holderiane in sensoparabolico.

Definizione 8.2. Siano α ∈]0, 1[ e O un dominio di RN+1. Indichiamo conCαP (O), lo spazio delle funzioni u, limitate su O, per le quali esiste una costanteC tale che

|u(t, x)− u(s, y)| ≤ C(|t− s|α2 + |x− y|α

), (8.3)

per ogni (t, x), (s, y) ∈ O, e definiamo la norma

‖u‖CαP(O) = sup

(t,x)∈O|u(t, x)|+ sup

(t,x),(s,y)∈O(t,x) �=(s,y)

|u(t, x)− u(s, y)||t− s|α2 + |x− y|α .

Indichiamo rispettivamente con C1+αP (O) e C2+α

P (O) gli spazi di funzioniHolderiane definiti dalle seguenti norme:

‖u‖C1+αP (O) = ‖u‖Cα

P (O)+

N∑i=1

‖∂xiu‖CαP (O)

,

‖u‖C2+αP (O) = ‖u‖C1+α

P (O) +

N∑i,j=1

‖∂xixju‖CαP (O)

+ ‖∂tu‖CαP (O)

.

Per k = 0, 1, 2 scriviamo u ∈ Ck+αP,loc(O) se u ∈ Ck+αP (M) per ogni dominio

limitato M con M ⊆ O.

Nel seguito assumiamo la seguente ipotesi di regolarita sui coefficienti dell’o-peratore:

Ipotesi 8.3 I coefficienti sono limitati e Holderiani: cij , bj, a ∈ CαP (RN+1)

per un certo α ∈]0, 1[ e per ogni 1 ≤ i, j ≤ N .

8.1 Soluzione fondamentale e problema di Cauchy 299

Consideriamo ora il problema di Cauchy{Lu = f, in ST :=]0, T [×RN ,u(0, ·) = ϕ, in RN .

(8.4)

dove ϕ e f sono funzione assegnate. Ricordiamo la definizione di soluzioneclassica.

Definizione 8.4. Una soluzione classica del problema di Cauchy (8.4) e unafunzione u ∈ C1,2(ST ) ∩ C(ST ) che soddisfa puntualmente le equazioni in(8.4).

Come abbiamo gia visto nel caso dell’equazione del calore, e naturale assumerela seguente ipotesi di regolarita e crescita:

Ipotesi 8.5 Le funzioni ϕ e f sono continue ed esistono c, γ, costanti positivecon γ < 2, tali che

|ϕ(x)| ≤ cec|x|γ

, x ∈ RN , (8.5)

|f(t, x)| ≤ cec|x|γ

, (t, x) ∈ ST . (8.6)

Inoltre f e localmente Holderiana in x, uniformemente in t, ossia per ognicompatto M di RN vale

|f(t, x)− f(t, y)| ≤ C|x− y|β , x, y ∈ M, t ∈]0, T [, (8.7)

con β, C costanti positive.

Il risultato principale del paragrafo e il seguente

Teorema 8.6. Siano valide le Ipotesi 8.1 e 8.3. Allora l’operatore L ha unasoluzione fondamentale Γ = Γ (t, x; s, y). Essa e una funzione positiva definitaper x, y ∈ RN e t > s, tale che per ogni ϕ, f che verificano l’Ipotesi 8.5, lafunzione u definita da

u(t, x) =

∫RN

Γ (t, x; 0, y)ϕ(y)dy−∫ t

0

∫RN

Γ (t, x; s, y)f(s, y)dyds, (8.8)

per (t, x) ∈ ST e da u(0, x) = ϕ(x), e soluzione classica del problema diCauchy (8.4).

Osservazione 8.7. Per il Teorema 6.15, la funzione u in (8.8) e l’unica soluzionedi (8.4) tale che

|u(t, x)| ≤ cec|x|2

, (t, x) ∈ ST ,con c costante positiva.La condizioni (8.5)-(8.6) possono essere indebolite con

|ϕ(x)| ≤ c1 exp(c2|x|2), x ∈ RN ,|f(t, x)| ≤ c1 exp(c2|x|2), (t, x) ∈ ST ,


con c1, c2 costanti positive. In tal caso la soluzione u in (8.8) e definita su STcon T < 1

4μc2.

Infine risultati analoghi a quelli della Sezione 2.3.3 valgono nel caso in cuiil dato iniziale sia una funzione localmente sommabile. 2

8.1.1 Metodo della parametrice di Levi

La dimostrazione classica del Teorema 8.6 e abbastanza lunga e laboriosa. Quine riportiamo solo le idee principali e rimandiamo per i dettagli a Friedman[63]. Per una presentazione piu recente e in un ambito piu generale che includeanche operatori non uniformemente parabolici come quelli che intervengononella valutazione di opzioni Asiatiche si veda anche Di Francesco e Pascucci[42] e Polidoro [136].Nel seguito assumiamo le Ipotesi 8.1, 8.3 e per brevita indichiamo con

z = (t, x) e ζ = (s, y) i punti di RN+1 . Inoltre, fissato w ∈ RN+1 , denotiamocon

Γw(z; ζ)

la soluzione fondamentale dell’operatore parabolico a coefficienti costanti

Lw =1

2

N∑i,j=1

cij(w)∂xixj − ∂t,

ottenuto da L calcolando i coefficienti della parte del second’ordine in w e can-cellando i termini di ordine inferiore, tranne ovviamente la derivata rispettoal tempo. L’espressione esplicita di Γw e fornita nella Sezione 2.3.1.Il metodo della parametrice e una tecnica costruttiva che permette di

provare esistenza e stime della soluzione fondamentale Γ (t, x; s, y) di L: persemplicita, nel seguito trattiamo solo il caso s = 0. Il metodo e basato es-senzialmente su due idee: la prima e di approssimare Γ (z; ζ) mediante lacosiddetta parametrice definita da

Z(z; ζ) = Γζ(z; ζ).

La seconda idea e di supporre che la soluzione fondamentale assuma la forma(ricordiamo che ζ = (0, y)):

Γ (z; ζ) = Z(z; ζ) +

t∫0

∫RN

Z(z;w)G(w; ζ)dw. (8.9)

Per identificare la funzione incognita G, imponiamo che Γ sia soluzione dell’e-quazione LΓ (·; ζ) = 0 in R+ × RN : per chiarezza, osserviamo esplicitamenteche l’operatore L agisce sulla variabile z e che il punto ζ e fissato. Alloraformalmente otteniamo

8.1 Soluzione fondamentale e problema di Cauchy 301

0 = LΓ (z; ζ) = LZ(z; ζ) + L

t∫0

∫RN

Z(z;w)G(w; ζ)dw

= LZ(z; ζ) +

t∫0

∫RN

LZ(z;w)G(w; ζ)dw−G(z; ζ),

da cui

G(z; ζ) = LZ(z; ζ) +

t∫0

∫RN

LZ(z;w)G(w; ζ)dw. (8.10)

Dunque G e soluzione di un’equazione integrale equivalente ad un problema dipunto fisso che puo essere risolto col metodo delle approssimazioni successive:

G(z; ζ) =

+∞∑k=1

(LZ)k(z; ζ), (8.11)

dove

(LZ)1(z; ζ) = LZ(z; ζ),

(LZ)k+1(z; ζ) =

t∫0

∫RN

LZ(z;w)(LZ)k(w; ζ)dw, k ∈ N.

Le idee precedenti sono formalizzate dal seguente (cfr. Proposizione 4.1 in[42])

Teorema 8.8. Esiste k0 ∈ N tale che, per ogni T > 0 e ζ = (0, y) ∈ RN+1, laserie

+∞∑k=k0

(LZ)k(·; ζ)

converge uniformemente sulla striscia ST . Inoltre la funzione G(·, ζ) definitada (8.11) e soluzione dell’equazione integrale (8.10) in ST e Γ in (8.9) esoluzione fondamentale di L.

La soluzione fondamentale puo essere costruita in modo formalmente analogoanche utilizzando la cosiddetta parametrice retrograda definita da

Z(z; ζ) = Γz(z; ζ).

Quest’approccio e stato approfondito da Corielli e Pascucci in [30] e utiliz-zato per ottenere approssimazioni numeriche della soluzione fondamentale (equindi anche del prezzo di un’opzione, espresso in termini di soluzione di unproblema di Cauchy) mediante uno sviluppo in serie di soluzioni fondamen-tali di operatori parabolici a coefficienti costanti, la cui espressione esplicita enota.


8.1.2 Stime Gaussiane e operatore aggiunto

Con il metodo della parametrice e possibile anche ottenere alcune notevoli sti-me della soluzione fondamentale e delle sue derivate in termini della soluzionefondamentale dell’operatore del calore. Queste stime giocano un ruolo crucialein diversi contesti fra cui, per esempio, i risultati di unicita del Paragrafo 6.3e il Teorema 9.47 di rappresentazione di Feynman-Kac.Fissata una costante positiva λ, indichiamo con

Γλ(t, x; s, y) =1

(2πλ(t− s))N2

exp

(− |x− y|22λ(t − s)

), t > s, x, y ∈ RN ,

la soluzione fondamentale dell’operatore del calore in RN+1

λ

2�− ∂t.

Teorema 8.9. Nelle Ipotesi 8.1 e 8.3, per ogni T, ε > 0 esiste una costantepositiva C, che dipende solo da ε, Λ, T e dalla norma in CαP dei coefficientidell’operatore, tale che

Γ (t, x; s, y) ≤ C ΓΛ+ε(t, x; s, y), (8.12)

|∂xiΓ (t, x; s, y)| ≤C√t− s

ΓΛ+ε(t, x; s, y), (8.13)∣∣∂xixjΓ (t, x; s, y)∣∣+ |∂tΓ (t, x; s, y)| ≤ C

t − sΓΛ+ε(t, x; s, y), (8.14)

per ogni x, y ∈ RN , t ∈]s, s+ T [ e i, j = 1, . . . , N .

Corollario 8.10. Nelle Ipotesi 8.1, 8.3 e 8.5, sia u la soluzione del problema(8.4) definita in (8.8). Allora esiste una costante positiva C tale che

|u(t, x)| ≤ C exp(C|x|2), (8.15)

|∂xiu(t, x)| ≤C√texp(C|x|2), (8.16)∣∣∂xixju(t, x)∣∣+ |∂tu(t, x)| ≤ C

texp(C|x|2), (8.17)

per ogni (t, x) ∈ ST e i, j = 1, . . . , N .

Esempio 8.11. Senza assumere ulteriori ipotesi di regolarita sul dato inizialeϕ, il comportamento asintotico di ∂xiu(t, x) per t che tende a zero e del tipo

O(

1√t

)coerentemente con la stima (8.16). Si prenda infatti, per esempio nel

caso N = 1, ϕ(x) = 0 per x ≥ 0 e ϕ(x) = 1 per x < 0: allora si ha

∂xu(0, t) =1√4πt

∫ 0

−∞

y

2√texp

(−y

2

4t

)dy = − 1

2√πt.

2

8.2 Problema con ostacolo 303

Assumiamo ora la condizione:

Ipotesi 8.12 Esistono le derivate ∂xicij, ∂xixjcij, ∂xibi ∈ CαP (RN+1) per ogni

i, j = 1, . . . , N.

Formalmente, dall’uguaglianza∫RN+1

vLu =

∫RN+1

uL∗v,

otteniamo l’espressione dell’operatore aggiunto L∗ di L:

L∗v =N∑i,j=1

cij∂xixjv +

N∑i=1

b∗i∂xiv + a∗v + ∂tv

dove

b∗i = −bi + 2N∑j=1

∂xicij, a∗ = a+

N∑i,j=1

∂xixjcij −N∑i=1

∂xibi.

Col metodo della parametrice si prova anche il seguente

Teorema 8.13. Nelle Ipotesi 8.1, 8.3, 8.5 e 8.12, esiste una soluzione fonda-mentale Γ ∗ di L∗ e vale

Γ ∗(t, x; T, y) = Γ (T, y; t, x),

per x, y ∈ RN e T > t.

8.2 Problema con ostacolo

Studiamo il problema{max{Lu, ϕ− u} = 0, in ST =]0, T [×RN ,u(0, ·) = ϕ, in RN ,

(8.18)

dove L e un operatore parabolico della forma (8.1) e ϕ e una funzione lo-calmente Lipschitziana e convessa in un senso debole che specificheremo inseguito (cfr. Ipotesi 8.18).Nel Capitolo 11 proveremo che il prezzo di un’opzione Americana con

payoff ϕ si esprime in termini della soluzione u di (8.18). Per la primaequazione in (8.18) si ha che u ≥ ϕ e la striscia ST e suddivisa in due parti:i) la regione di esercizio in cui u = ϕ;ii) la regione di continuazione in cui u > ϕ e vale Lu = 0 ossia il prez-zo del derivato verifica una PDE analoga all’equazione differenziale diBlack&Scholes.


Fig. 8.1. Regioni di esercizio e continuazione di una Put Americana

Il problema (8.18) e equivalente1 a:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩Lu ≤ 0, in ST ,u ≥ ϕ, in ST ,(u− ϕ)Lu = 0, in ST ,u(0, x) = ϕ(0, x), x ∈ RN .

(8.19)

Un problema di questo tipo e solitamente chiamato un problema con ostacolo.La soluzione e una funzione tale che:

i) e super-soluzione2 di L (vale Lu ≤ 0);ii) e maggiore o uguale all’ostacolo rappresentato dalla funzione ϕ;iii) risolve l’equazione Lu = 0 nel caso in cui u > ϕ;iv) assume la condizione iniziale.

In effetti si verifica che u e la piu piccola super-soluzione maggiore dell’osta-colo, in analogia con la nozione di inviluppo di Snell. L’approccio variazionaleal problema (8.19) consiste nel ricercare la soluzione come minimo di un fun-zionale all’interno di un’opportuna classe di funzioni che ammettono derivate

1 Utilizzando l’equivalenza

max{F (x), G(x)} = 0 ⇔

⎧⎪⎨⎪⎩F (x) ≤ 0,

G(x) ≤ 0,

F (x)G(x) = 0.

2 Il termine “super-soluzione” deriva dal fatto, ben noto nella teoria classica delleequazioni differenziali, che sotto ipotesi abbastanza generali, per il principio delmassimo, vale Lu ≤ 0 se e solo se u ≥ HO

u per ogni dominio O in cui il problemadi Dirichlet per L con dato al bordo u{

LH = 0, in O,

H |∂O = u,(8.20)

e risolubile con soluzione H = HOu .


prime deboli di quadrato sommabili. Rimandiamo a [65] per una presentazionegenerale dell’argomento.Una caratteristica del problema (8.18) e che in generale non ammette solu-

zione classica in C1,2 anche se ϕ e una funzione regolare. Pertanto e necessariointrodurre una formulazione debole di tale problema che puo essere basata sudiverse nozioni di soluzione generalizzata. Una teoria generale dell’esistenza eregolarita e stata sviluppata da diversi autori a partire dagli anni ’70: in let-teratura sono note tecniche per provare l’esistenza di soluzioni in senso varia-zionale (cf., per esempio, Bensoussan e Lions [17], Kinderlehrer e Stampacchia[95]), in senso forte (cf., per esempio, Friedman [64], [65]) e, piu recentemente,in senso viscoso (cf., per esempio, Barles [9], Fleming e Soner [57], Varadhan[165]). Le nozioni di soluzione variazionale e, soprattutto, di soluzione viscosasono molto deboli e permettono di ottenere risultati di esistenza sotto ipotesiestremamente generali. Le soluzioni in senso forte, anche se necessitano di ipo-tesi piu restrittive (comunque verificate nella quasi totalita dei casi concreti),sembrano preferibili per le applicazioni in finanza perche hanno le miglioriproprieta di regolarita. Per questo motivo studieremo il problema (8.18) nel-l’ambito della teoria delle soluzioni forti. La presentazione seguente e trattada Di Francesco, Pascucci e Polidoro [43].

8.2.1 Soluzioni forti

Introduciamo la definizione di spazio di Sobolev parabolico in cui intendiamoambientare il problema con ostacolo e presentiamo alcuni risultati preliminarialla dimostrazione dell’esistenza di una soluzione forte. La prova di questirisultati standard si trova, per esempio, in Lieberman [115]; nel Paragrafo A.3e fornita una breve presentazione della teoria delle derivate deboli e degli spazidi Sobolev.

Definizione 8.14. Dati un aperto O di R×RN e 1 ≤ p ≤ ∞, indichiamo conSp(O) lo spazio delle funzioni u ∈ Lp(O) che ammettono derivate in sensodebole

∂xiu, ∂xixju, ∂tu ∈ Lp(O)

per ogni i, j = 1, . . . , N . Scriviamo u ∈ Sploc(O) se u ∈ Sp(O1) per ogni apertolimitato O1 tale che O1 ⊆ O.

Notiamo che, come nel caso degli spazi Holderiani parabolici della Definizione8.2, alla derivata temporale viene attribuito un peso doppio.Enunciamo ora la versione parabolica del teorema di immersione di Sobolev-

Morrey, Teorema A.25: negli enunciati seguenti O1, O2 indicano domini limi-tati di R× RN con O1 tale che O1 ⊆ O2.

Teorema 8.15 (di immersione di Sobolev-Morrey). Per ogni p > N+2esiste una costante positiva C che dipende solo da p, N,O1 e O2, tale che

‖u‖C1+αP (O1)

≤ C‖u‖Sp(O2),

per ogni u ∈ Sp(O2).


Enunciamo ora alcune stime a priori3.

Teorema 8.16 (Stime interne in Sp). Assumiamo che L sia uniformemen-te parabolico (Ipotesi 8.1). Per ogni p ∈]1,∞[ esiste una costante positiva Cche dipende solo da p, N, L, O1 e O2, tale che

‖u‖Sp(O1) ≤ C(‖u‖Lp(O2) + ‖Lu‖Lp(O2)

),

per ogni u ∈ Sp(O2).

Teorema 8.17 (Stime interne di Schauder). Assumiamo le Ipotesi 8.1 e8.3. Esiste una costante positiva C che dipende solo da N,L,O1 e O2, taleche

‖u‖C2+αP (O1)

≤ C

(supO2

|u|+ ‖Lu‖CαP (O2)

),

per ogni u ∈ C2+αP (O2).

Stabiliamo ora le ipotesi sulla funzione ostacolo:

Ipotesi 8.18 La funzione ϕ e continua su ST , localmente Lipschitziana e perogni aperto limitato O tale che O ⊆ ST esiste una costante C tale che in Ovalga

N∑i,j=1

ξiξj∂xixjϕ ≥ C|ξ|2 ξ ∈ RN , (8.21)

in senso distribuzionale, ossia

N∑i,j=1

ξiξj

∫O

ϕ∂xixjψ ≥ C|ξ|2∫O

ψ,

per ogni ξ ∈ RN e ψ ∈ C∞0 (O) con ψ ≥ 0.

La (8.21) e una condizione di limitatezza locale inferiore della matrice del-le derivate seconde spaziali distribuzionali. Notiamo che ogni funzione C2

verifica l’Ipotesi 8.18 ed anche ogni funzione localmente Lipschitziana e con-vessa, incluse le funzioni di payoff delle opzioni call e put. Al contrario lafunzione ϕ(x) = −x+ non soddisfa la (8.21) poiche la sua derivata secondadistribuzionale e una delta di Dirac con segno negativo che “non e limitatainferiormente”.Diamo ora la definizione di soluzione forte.

3 Una stima a priori e un stima valida per tutte le possibili soluzioni di una famigliadi equazioni differenziali anche se le ipotesi assunte non garantiscono l’esistenza ditali soluzioni. Nella teoria classica delle equazioni alle derivate parziali, le stimea priori sono uno strumento fondamentale per provare risultati di esistenza eregolarita delle soluzioni.


Definizione 8.19. Una soluzione forte del problema (8.18) e una funzioneu ∈ S1

loc(ST ) ∩C(ST ) che soddisfa l’equazione

max{Lu, ϕ− u} = 0

quasi ovunque su ST ed assume il dato iniziale puntualmente. Diciamo che ue una super-soluzione forte di (8.18) se u ∈ S1

loc(ST ) ∩ C(ST ) e verifica{max{Lu, ϕ− u} ≤ 0, q.o. in ST ,u(0, ·) ≥ ϕ, in RN ,

(8.22)

Il risultato principale del paragrafo e il seguente

Teorema 8.20. Assumiamo le Ipotesi 8.1, 8.3 e 8.18. Se esiste una super-soluzione forte u del problema (8.18) allora esiste anche una soluzione forteu tale che u ≤ u in ST . Inoltre u ∈ Sploc(ST ) per ogni p ≥ 1 e di conseguenza,per il Teorema 8.15 di immersione, u ∈ C1+α

P,loc(ST ) per ogni α ∈]0, 1[.Il Teorema 8.20 e dimostrato nelle due sezioni seguenti.

Osservazione 8.21. Nelle tipiche applicazioni finanziarie l’ostacolo corrispondeal payoff ψ di un’opzione: per esempio, nel caso di un’opzione call, N = 1 e

ψ(S) = (S −K)+, S > 0.

In generale, se ψ e una funzione Lipschitziana allora esiste una costantepositiva C tale che

|ψ(S)| ≤ C(1 + S), S > 0,

e dopo la trasformazioneϕ(t, x) = ψ(t, ex),

abbiamo|ϕ(t, x)| ≤ C(1 + ex), x ∈ R.

In questo caso una super-soluzione del problema con ostacolo e

u(t, x) = Ceγt (1 + ex) , t ∈ [0, T ], x ∈ R,

con γ costante positiva opportuna: infatti e chiaro che u ≥ ϕ e inoltre, perN = 1,

Lu = Ceγt (−a− γ) +Cex+γt(1

2c11 + b1 − a− γ

)≤ 0,

per γ sufficientemente grande. 2

Per quanto riguarda la regolarita della soluzione, notiamo che in base alla De-finizione 8.2 di spazio C1+α

P,loc, la soluzione u e una funzione localmente Holde-riana insieme alle proprie derivate prime spaziali ∂x1u, . . . , ∂xN di esponenteα per ogni α ∈]0, 1[.


8.2.2 Metodo della penalizzazione

In questa sezione proviamo esistenza e unicita di una soluzione forte per ilproblema con ostacolo{

max{Lu, ϕ− u} = 0, in B(T ) :=]0, T [×B,u|∂PB(T ) = g,

(8.23)

dove B e il disco Euclideo di raggio R, con R > 0 fissato in tutta la sezione,

B = {x ∈ RN | |x| < R},

e ∂PB(T ) indica il bordo parabolico di B(T ):

∂PB(T ) := ∂B(T ) \ ({T} × B).

Sull’ostacolo assumiamo una condizione analoga all’Ipotesi 8.18

Ipotesi 8.22 La funzione ϕ e Lipschitziana su B(T ) e la condizione di con-vessita debole (8.21) vale con O = B(T ). Inoltre g ∈ C(∂PB(T )) e valeg ≥ ϕ.

Diciamo che u ∈ S1loc(B(T )) ∩ C(B(T )) e una soluzione forte del problema

(8.23) se l’equazione differenziale e verificata q.o. su B(T ) e il dato al bordoe assunto puntualmente. Il principale risultato di questa sezione e il seguente

Teorema 8.23. Assumiamo le Ipotesi 8.1, 8.3, 8.22. Allora esiste una solu-zione forte u del problema (8.23). Inoltre, per ogni p ≥ 1 e O con O ⊆ B(T ),esiste una costante positiva c, che dipende solo da L,O,B(T ), p e dalle normeL∞ di g e ϕ, tale che

‖u‖Sp(O) ≤ c. (8.24)

Proviamo il Teorema 8.23 utilizzando una classica tecnica di penalizzazione.Consideriamo una famiglia (βε)ε∈ ]0,1[ di funzioni C

∞(R): per ogni ε > 0, βεe una funzione crescente, limitata assieme alla sua derivata prima, tale che

βε(0) = 0, βε(s) ≤ ε, s > 0.

Inoltre valelimε→0

βε(s) = −∞, s < 0.

Per δ ∈ ]0, 1[, indichiamo con ϕδ la regolarizzazione di ϕ ottenuta con gli usualimollificatori. Poiche g ≥ ϕ su ∂PB(T ), abbiamo

gδ := g + λδ ≥ ϕδ , in ∂PB(T ),

dove λ e la costante di Lipschitz di ϕ.Consideriamo il problema penalizzato

8.2 Problema con ostacolo 309{Lu = βε(u− ϕδ), in B(T ),

u|∂PB(T ) = gδ ,(8.25)

e come primo passo dimostriamo che ammette soluzione classica. La provaconsiste nel determinare la soluzione dell’equazione differenziale non-lineareinternamente e nel verificare che e una funzione continua fino al bordo. Per lostudio della soluzione al bordo utilizziamo lo strumento, standard nella teoriadelle PDE, delle funzioni barriera.

Definizione 8.24. Fissato un punto (t, x) ∈ ∂PB(T ), una funzione barrieraper L in (t, x) e una funzione w ∈ C2(V ∩B(T );R), dove V e un intorno di(t, x), tale che

i) Lw ≤ −1 in V ∩B(T );ii) w > 0 in V ∩B(T ) \ {(t, x)} e w(t, x) = 0.

Lemma 8.25. In ogni punto (t, x) ∈ ∂PB(T ) esiste una funzione barriera.

Dimostrazione. Se il punto appartiene alla base del cilindro B(T ), ossia e dellaforma (0, x), allora una funzione barriera e data da

w(t, x) = et‖a‖∞(|x− x|2 +Ct

),

con C costante sufficientemente grande.Se il punto appartiene alla superficie laterale del cilindro, (t, x) ∈ ∂PB(T )

con t ∈]0, T [, allora seguendo Friedman [63] pag.68, poniamo

w(t, x) = Cet‖a‖∞(

1

|x− x|p −1

Rp

),

dove (t, x) e il centro di una sfera tangente esternamente il cilindro in (t, x) e

R =(|x− x|2 + (t − t)2

) 12 .

Allora si ha

Lw =Cp

Rp+4e‖a‖∞t

(− p+ 2

2

N∑i,j=1

cij(xi − xi)(xj − xj)

+R2

2

N∑i=1

cii + R2N∑i=1

bi(xi − xi)− (t− t)R2

)+ (a − ‖a‖∞)w.

Poiche L e uniformemente parabolico, l’espressione in parentesi e negativa perp e sufficientemente grande e quindi Lw < 0: prendendo C sufficientementegrande proviamo la proprieta i) e concludiamo che w e una funzione barriera.

2


Teorema 8.26. Assumiamo le Ipotesi 8.1 e 8.3. Siano g ∈ C (∂PB(T )) e

h = h(z, u) ∈ Lip(B(T )×R

). Allora esiste una soluzione classica u ∈

C2+αP (B(T )) ∩ C(B(T )) del problema{

Lu = h(·, u), in B(T ),

u|∂PB(T ) = g.

Inoltre esiste una costante positiva c, dipendente solo da h e B(T ), tale che

supB(T )

|u| ≤ ecT (1 + ‖g‖L∞). (8.26)

Dimostrazione. Non e restrittivo assumere a = 0 poiche, a meno di regolariz-zarlo, possiamo includere tale termine nella funzione h. Usiamo una tecnicadi iterazione monotona basata sul principio del massimo. Poniamo

u0(x, t) = ect(1 + ‖g‖L∞)− 1,

dove c e una costante positiva tale che

|h(t, x, u)| ≤ c(1 + |u|), (t, x, u) ∈ B(T ) ×R.

Poi definiamo ricorsivamente la successione (uj)j∈N mediante{Luj − λuj = h(·, uj−1) − λuj−1, in B(T ),

uj|∂PB(T ) = g,(8.27)

dove λ e la costante di Lipschitz della funzione h. Qui utilizziamo la teoriaclassica (cfr. per esempio, il Capitolo 3 in Friedman [63]) che assicura che ilproblema lineare (8.27) ha un’unica soluzione C2,α

P (B(T ))∩C(B(T )) per ogniα ∈]0, 1].Ora proviamo per induzione che (uj) e una successione decrescente. Per

il principio del massimo, Teorema 6.10, abbiamo u1 ≤ u0: infatti (ricordiamoche a = 0)

L(u1 − u0)− λ(u1 − u0) = h(·, u0)− Lu0 = h(·, u0) + c(1 + u0) ≥ 0,

e u1 ≤ u0 su ∂PB(T ). Fissato j ∈ N, assumiamo l’ipotesi induttiva uj ≤ uj−1;allora, ricordando che λ e la costante di Lipschitz di h, vale

L(uj+1 − uj)− λ(uj+1 − uj) = h(·, uj) − h(·, uj−1)− λ(uj − uj−1) ≥ 0.

Inoltre uj+1 = uj su ∂PB(T ) e quindi il principio del massimo implicache uj+1 ≤ uj. Con un argomento analogo mostriamo che uj e limitatainferiormente da −u0. In definitiva, per j ∈ N, abbiamo

−u0 ≤ uj+1 ≤ uj ≤ u0. (8.28)


Indichiamo con u il limite puntuale della successione (uj) su B(T ). Poicheuj e soluzione di (8.27) e per la stima uniforme (8.28), possiamo applicare lestime a priori in Sp e i teoremi di immersione, Teoremi 8.16 e 8.15, per provareche, su ogni aperto O contenuto con la propria chiusura in B(T ) e per ogniα ∈]0, 1[, la norma ‖uj‖C1+α

P (O) e limitata da una costante che dipende solo da

L, B(T ), O, α e λ. Allora per le stime di Schauder, Teorema 8.17, deduciamoche la norma ‖uj‖C2+α

P (O) e limitata uniformemente rispetto a j ∈ N. Ne segue,per il Teorema di Ascoli-Arzela, che (uj)j∈N ammette una sotto-successione(che, per semplicita, indichiamo ancora con (uj)j∈N) che converge localmentein C2+α

P . Passando al limite in (8.27) per j →∞, otteniamo

Lu = h(·, u), in B(T ),

e u|∂pB(T ) = g.

Infine, per mostrare che u ∈ C(B(T )), utilizziamo le funzioni barriera.Fissati z = (t, x) ∈ ∂PB(T ) e ε > 0, consideriamo un intorno aperto V di ztale che

|g(z) − g(z)| ≤ ε, z = (t, x) ∈ V ∩ ∂PB(T ),e sia definita una funzione barriera w per L in V ∩ ∂PB(T ). Poniamo

v±(z) = g(z)± (ε+ kεw(z))

dove kε e una costante sufficientemente grande, indipendente da j, tale che

L(uj − v+) ≥ h(·, uj−1)− λ (uj−1 − uj) + kε ≥ 0,

e uj ≤ v+ su ∂(V ∩ B(T )). Per il principio del massimo si ha uj ≤ v+ suV ∩B(T ).Analogamente abbiamo uj ≥ v− su V ∩B(T ) e, per j →∞, otteniamo

g(z)− ε− kεw(z) ≤ u(z) ≤ g(z) + ε+ kεw(z), z ∈ V ∩B(T ).

Allora

g(z)− ε ≤ lim infz→z

u(z) ≤ lim supz→z

u(z) ≤ g(z) + ε, z ∈ V ∩B(T ),

e questo prova la tesi essendo ε arbitrario. Infine la stima (8.26) seguedirettamente dal principio del massimo e da (8.28). 2

Dimostrazione (del Teorema 8.23). Applichiamo il Teorema 8.26 con

h(·, u) = βε(u− ϕδ),

per dedurre l’esistenza di una soluzione classica uε,δ ∈ C2+αP (B(T ))∩C(B(T ))

del problema penalizzato (8.25). A meno del semplice cambio di variabilev(t, x) = et‖a‖∞u(t, x), possiamo assumere a ≥ 0.


Proviamo anzitutto che vale

|βε(uε,δ − ϕδ)| ≤ c (8.29)

con c costante indipendente da ε e δ. Poiche βε ≤ ε dobbiamo provare solo lastima dal basso. Indichiamo con ζ un punto di minimo della funzione βε(uε,δ−ϕδ) ∈ C(B(T )) e assumiamo βε(uε,δ(ζ) − ϕδ(ζ)) ≤ 0, poiche altrimenti nonc’e nulla da provare. Se ζ ∈ ∂PB(T ) allora

βε(gδ(ζ)− ϕδ(ζ)) ≥ βε(0) = 0.

Viceversa, se ζ ∈ B(T ) allora, poiche βε e una funzione crescente, ancheuε,δ − ϕδ assume il minimo (negativo) in ζ e quindi

(L + a)uε,δ(ζ) − (L + a)ϕδ(ζ) ≥ 0 ≥ a(ζ)(uε,δ(ζ) − ϕδ(ζ)

),

ossiaLuε,δ(ζ) ≥ Lϕδ(ζ). (8.30)

Ora, per l’Ipotesi 8.22, Lϕδ(ζ) e limitata inferiormente da una costanteindipendente da δ. Percio da (8.30) otteniamo

βε(uε,δ(ζ) − ϕδ(ζ)) = Luε,δ(ζ) ≥ Lϕδ(ζ) ≥ c,

con c indipendente da ε, δ e questo prova la stima (8.29).Per il principio del massimo, Teorema 6.12, abbiamo

‖uε,δ‖∞ ≤ ‖g‖L∞ + T c. (8.31)

Allora per la stime a priori in Sp, Teoremi 8.16, e le stime (8.29), (8.31)deduciamo che la norma ‖uε,δ‖Sp(O) e limitata uniformemente rispetto a ε eδ, per ogni aperto O incluso con la propria chiusura in B(T ) e per ogni p ≥ 1.Ne segue che (uε,δ) ammette una sotto-successione debolmente convergenteper ε, δ → 0 in Sp (e in C1+α

P ) sui sottoinsiemi compatti di B(T ) a unafunzione u. Inoltre

lim supε,δ→0

βε(uε,δ − ϕδ) ≤ 0,

cosicche Lu ≤ 0 q.o. in B(T ). D’altra parte Lu = 0 q.o. nell’insieme {u > ϕ}.Infine concludiamo che u ∈ C(B(T )) e u = g su ∂PB(T ) utilizzando

l’argomento delle funzioni barriera come nella prova del Teorema 8.26. 2

Proviamo ora un principio del confronto per il problema con ostacolo.

Proposizione 8.27. Sia u una soluzione forte del problema (8.23) e v unasuper-soluzione, ossia v ∈ S1

loc(B(T )) ∩ C(B(T )) e vale{max{Lv, ϕ − v} ≤ 0, q.o. in B(T ),

v|∂PB(T ) ≥ g.

Allora u ≤ v in B(T ). In particolare la soluzione di (8.23) e unica.


Dimostrazione. Per assurdo, supponiamo che l’insieme aperto definito da

D := {z ∈ B(T ) | u(z) > v(z)}

non sia vuoto. Allora, poiche u > v ≥ ϕ in D, abbiamo

Lu = 0, Lv ≤ 0 in D,

e u = v su ∂D. Il principio del massimo4 implica u ≥ v in D e otteniamo unacontraddizione. 2

8.2.3 Problema con ostacolo sulla striscia di RN+1

Proviamo il Teorema 8.20 risolvendo una successione di problemi con ostacolosu una famiglia di cilindri che ricopre la striscia ST , precisamente

Bn(T ) =]0, T [×{|x|< n}, n ∈ N.

Per ogni n ∈ N, consideriamo una funzione χn ∈ C(RN ; [0, 1]) tale che χn(x) =1 se |x| ≤ n − 1

2 e χn(x) = 0 se |x| ≥ n, e poniamo

gn(t, x) = χn(x)ϕ(t, x) + (1− χn(x))u(t, x), (t, x) ∈ ST .

Per il Teorema 8.23, per ogni n ∈ N, esiste una soluzione forte un del problema{max{Lu, ϕ− u} = 0, in Bn(T ),

u|∂PBn(T ) = gn,

Per la Proposizione 8.27 si ha

ϕ ≤ un+1 ≤ un ≤ u, in Bn(T ),

e la prova si conclude utilizzando ancora una volta gli argomenti dei Teoremi8.23 e 8.26, basati sulle stime a priori in Sploc e le funzioni barriera.

4 Qui usiamo una versione generale del principio del massimo, cfr. Lieberman [115].

9

Equazioni differenziali stocastiche

Soluzioni forti – Soluzioni deboli – Stime massimali – Formule di rappresentazionedi Feynman-Kac – Equazioni stocastiche lineari

In questo capitolo presentiamo alcuni risultati di base sulle equazioni diffe-renziali stocastiche (nel seguito abbreviato in SDE) e studiamo il legame conla teoria delle equazioni differenziali paraboliche.Consideriamo Z ∈ RN e due funzioni misurabili (deterministiche)

b = b(t, x) : [0, T ]×RN −→ RN , σ = σ(t, x) : [0, T ]×RN −→ RN×d.

Nel seguito, ci riferiamo a b e σ rispettivamente come ai coefficienti di drift edi diffusione.

Definizione 9.1. Sia W un moto Browniano d-dimensionale sullo spazio diprobabilita con filtrazione (Ω,F , P,Ft) in cui valgano le ipotesi usuali. Una so-luzione relativa a W della SDE di coefficienti Z, b, σ e un processo Ft-adattatoe continuo (Xt)t∈[0,T ] tale che

i) b(t, Xt) ∈ L1loc e σ(t, Xt) ∈ L2

loc;ii) vale

Xt = Z +

∫ t

0

b(s,Xs)ds+

∫ t

0

σ(s,Xs)dWs, t ∈ [0, T ], (9.1)

ossia, in forma piu compatta,

dXt = b(t, Xt)dt+ σ(t, Xt)dWt, X0 = Z.

Esistono due nozioni di soluzione di una SDE che si distinguono in base alfatto che il moto Browniano sia assegnato a priori o meno.

Definizione 9.2. La SDE di coefficienti Z, b, σ e risolubile in senso debo-le se esiste un moto Browniano standard relativamente al quale la SDE hasoluzione.

La SDE di coefficienti Z, b, σ e risolubile in senso forte se per ogniassegnato moto Browniano standard W esiste una soluzione relativa a W .


316 9 Equazioni differenziali stocastiche

In base alla definizione precedente, per determinare una soluzione debole diuna SDE occorre anche stabilire lo spazio di probabilita e il moto Brownianorispetto al quale si scrive la SDE: dunque, per le soluzioni deboli, il motoBrowniano e lo spazio di probabilita non sono assegnati a priori e fanno partedella definizione di soluzione.Anche per il concetto di unicita della soluzione e naturale introdurre due

nozioni distinte a seconda che si considerino soluzioni deboli o forti.

Definizione 9.3. Per la SDE di coefficienti Z, b, σ c’e unicita

• in senso debole (o in legge) se due soluzioni sono processi equivalenti ossiahanno la stessa legge;

• in senso forte se due soluzioni definite sullo stesso spazio di probabilitasono indistinguibili.

In generale e possibile assegnare un dato iniziale stocastico. Quando conside-riamo soluzioni in senso forte e supponiamo sia assegnato a priori lo spaziodi probabilita con filtrazione Ft, assumiamo che il dato iniziale Z sia unavariabile aleatoria F0-misurabile: per la (9.1), vale

X0 = Z q.s.

Quando studiamo la risolubilita in senso debole, assegnamo semplicemente ladistribuzione iniziale μ della soluzione: X0 ∼ μ ossia, se la soluzione e definitasullo spazio (Ω,F , P ), vale

P (X0 ∈ H) = μ(H), H ∈ B(RN).

9.1 Soluzioni forti

Nel caso in cui σ ≡ 0 e Z ∈ RN , la (9.1) si riduce all’equazione di Volterra(deterministica)

Xt = Z +

∫ t

0

b(s,Xs)ds. (9.2)

Assumendo che b sia una funzione continua, la (9.2) e equivalente al problemadi Cauchy ordinario

d

dtXt = b(t, Xt), X0 = Z.

Nella teoria dell’esistenza e unicita delle soluzioni forti di SDE, molti risultatisono analoghi a quelli per le equazioni differenziali ordinarie. In particolare,e noto che per ottenere risultati di esistenza ed unicita della soluzione di(9.2) e necessario assumere ipotesi di regolarita del coefficiente b = b(t, x):tipicamente si assume la locale Lipschitzianita rispetto alla variabile x. Peresempio, l’equazione

9.1 Soluzioni forti 317

Xt =

∫ t

0

|Xs|αds, (9.3)

ha come unica soluzione la funzione nulla se α ≥ 1, mentre per α ∈ ]0, 1[esistono infinite soluzioni della forma

Xt =

⎧⎨⎩0, 0 ≤ t ≤ s,(t−sβ

)β, s ≤ t ≤ T,

dove β = 11−α e s ∈ [0, T ].

Inoltre e noto che per garantire l’esistenza globale della soluzione e neces-sario imporre condizioni sulla crescita del coefficiente b(t, x) per |x| → ∞:tipicamente si assume una crescita di tipo lineare. Per esempio, fissato x > 0,l’equazione

Xt = x+

∫ t

0

X2sds,

ha (unica) soluzione Xt =x

1−xt che diverge per t→ 1x .

Motivati da questi esempi, introduciamo le cosiddette “ipotesi standard”per una SDE. Poiche siamo interessati allo studio di soluzioni forti, in questoparagrafo supponiamo fissato un moto Browniano d-dimensionale W sullospazio di probabilita con filtrazione (Ω,F , P,Ft) in cui valgano le ipotesiusuali.

Definizione 9.4. La SDE

dXt = b(t, Xt)dt+ σ(t, Xt)dWt, X0 = Z,

verifica le ipotesi standard se

i) Z ∈ L2(Ω, P ) ed e F0−misurabile;ii) b, σ sono localmente Lipschitziane in x uniformemente rispetto a t, ossia

per ogni n ∈ N esiste una costante Kn tale che

|b(t, x)− b(t, y)|2 + |σ(t, x)− σ(t, y)|2 ≤ Kn|x− y|2, (9.4)

per |x|, |y| ≤ n, t ∈ [0, T ];iii) b, σ hanno crescita al piu lineare in x, ossia

|b(t, x)|2+ |σ(t, x)|2 ≤ K(1 + |x|2) x ∈ RN , t ∈ [0, T ], (9.5)

per una certa costante K.

Di seguito introduciamo l’ambiente in cui ricercare una soluzione forte dellaSDE (9.1) e fissiamo la seguente

Notazione 9.5 Ac indica lo spazio dei processi (Xt)t∈[0,T ] continui, Ft-adattati e tali che

[[X]]2T := E

[sup

0≤t≤T|Xt|2

]e finito.


Il seguente risultato si prova come il Lemma 4.56.

Lemma 9.6. (Ac, [[·]]T) e uno spazio semi-normato completo.Nel seguito useremo ripetutamente le seguenti disuguaglianze:

Lemma 9.7. Per ogni n ∈ N e a1, . . . , an ∈ R vale

(a1 + · · ·+ an)2 ≤ n(a21 + · · ·+ a2n). (9.6)

Per ogni X ∈ Ac si ha

E

[sup

0≤s≤t

∣∣∣∣∫ s

0

Xudu

∣∣∣∣2]≤ t

∫ t

0

[[X]]2sds, (9.7)

E

[sup

0≤s≤t

∣∣∣∣∫ s

0

XudWu

∣∣∣∣2]≤ 4

∫ t

0

[[X]]2sds. (9.8)


(a1 + · · ·+ an)2 = a21 + · · ·+ a2n + 2

∑i<j

aiaj

≤ a21 + · · ·+ a2n +∑i<j

(a2i + a2j )

= n(a21 + · · ·+ a2n).

Poi, per la disuguaglianza di Holder si ha

E

[sup

0≤s≤t

∣∣∣∣∫ s

0

Xudu

∣∣∣∣2]≤ E

[sup

0≤s≤ts

∫ s

0

|Xu|2du]

= tE

[∫ t

0

|Xu|2du]≤ t

∫ t

0

[[X]]2udu.

Infine la (9.8) e conseguenza della disuguaglianza di Doob e dell’isometria diIto. 2

9.1.1 Unicita

Un classico strumento, semplice ma potente, per lo studio delle proprieta diequazioni differenziali e il seguente

Lemma 9.8 (Lemma di Gronwall). Sia ϕ ∈ C([0, T ]) tale che

ϕ(t) ≤ a+

∫ t

0

f(s)ϕ(s)ds, t ∈ [0, T ],

dove a ∈ R e f e una funzione continua e non-negativa. Allora si ha

ϕ(t) ≤ ae∫ t0f(s)ds, t ∈ [0, T ].


Dimostrazione. Posto

F (t) = a+

∫ t

0

f(s)ϕ(s)ds,

per ipotesi, ϕ ≤ F ed essendo f non-negativa si ha

d

dt

(e−∫ t0f(s)dsF (t)

)= e−

∫ t0f(s)ds (−f(t)F (t) + f(t)ϕ(t)) ≤ 0.

Integrando si ottiene

e−∫ t0f(s)dsF (t) ≤ a

da cui la tesi:ϕ(t) ≤ F (t) ≤ ae

∫ t0f(s)ds.

2

Come nel caso delle equazioni deterministiche, l’unicita della soluzione econseguenza dell’ipotesi di Lipschitzianita dei coefficienti.

Teorema 9.9. Supponiamo valide le condizioni standard i) e ii). Allora perla SDE


si ha unicita in senso forte delle soluzioni, ossia due soluzioni forti sonoindistinguibili.

Dimostrazione. Siano X, X soluzioni forti rispettivamente con dati inizialiZ, Z. Per n ∈ N e ω ∈ Ω, poniamo

sn(ω) = T ∧ inf{t ∈ [0, T ] | |Xt(ω)| ≥ n}

e definiamo sn in modo analogo. Per il Teorema 4.65 sn, sn sono tempid’arresto. Dunque anche

τn := sn ∧ sne un tempo d’arresto e vale

limn→∞

τn(ω) = T, q.s.

Ricordando la Proposizione 5.22 che definisce l’integrale di Ito con estremo diintegrazione stocastico, si ha

Xt∧τn − Xt∧τn = Z − Z +

∫ t∧τn

0

(b(s,Xs)− b(s, Xs))ds

+

∫ t∧τn

0

(σ(s,Xs)− σ(s, Xs))dWs.

Per la (9.6), si ha


E

[∣∣∣Xt∧τn − Xt∧τn

∣∣∣2] ≤ 3E [|Z − Z|2

]+ 3E

[∣∣∣∣∫ t∧τn

0

(b(s,Xs) − b(s, Xs)ds

∣∣∣∣2]

+ 3E

[∣∣∣∣∫ t∧τn

0

(σ(s,Xs)− σ(s, Xs))dWs

∣∣∣∣2]≤

(per la disuguaglianza di Holder e l’isometria di Ito, Corollario 5.23, poiche

(σ(s,Xs)− σ(s, Xs))1{s≤t∧τn} ∈ L2)

≤ 3E[|Z − Z |2

]+3tE

[∫ t∧τn

0

|b(s,Xs)− b(s, Xs)|2ds]

+3E

[∫ t∧τn

0

|σ(s,Xs)− σ(s, Xs)|2ds]≤

(per l’ipotesi di Lipschitzianita dei coefficienti)

≤ 3(E

[|Z − Z |2

]+Kn(T + 1)

∫ t

0

E

[∣∣∣Xs∧τn − Xs∧τn

∣∣∣2] ds) .

Applicando la disuguaglianza di Gronwall, deduciamo

E

[∣∣∣Xt∧τn − Xt∧τn

∣∣∣2] ≤ 3E [|Z − Z |2

]e3Kn(T+1)t.

In particolare, se Z = Z q.s. allora

P(Xt∧τn = Xt∧τn , t ∈ [0, T ]

)= 1

e, per l’arbitrarieta di n, deduciamo che X, X sono modificazioni. Infine poi-che X, X sono processi continui ne segue (cfr. Proposizione 4.18) che sonoindistinguibili. 2

9.1.2 Esistenza

Analogamente al caso deterministico l’esistenza della soluzione di una SDE sipuo ricondurre ad un problema di punto fisso: formalmente il processo X esoluzione della SDE


se e solo se e punto fisso del funzionale Ψ definito da

Ψ(X)t = Z +

∫ t

0

b(s,Xs)ds+

∫ t

0

σ(s,Xs)dWs, t ∈ [0, T ]. (9.9)

Il seguente lemma suggerisce di ambientare il problema di punto fisso nellospazio Ac.


Lemma 9.10. Nelle ipotesi standard i) e iii), il funzionale Ψ e ben definitoda Ac a valori in Ac. Inoltre esiste una costante C1 che dipende solo da T eK, tale che vale

[[Ψ(X)]]2t ≤ C1

(1 + E

[|Z|2

]+

∫ t

0

[[X]]2sds

), t ∈ [0, T ]. (9.10)

Dimostrazione. Per l’ipotesi di crescita lineare dei coefficienti, vale

E

[sup

0≤s≤t|b(s,Xs)|2

]+ E

[sup

0≤s≤t|σ(s,Xs)|2

]≤ K(1 + [[X]]2t) t ∈ [0, T ],

(9.11)e quindi b(t, Xt), σ(t, Xt) ∈ Ac per X ∈ Ac. Allora si ha

[[Ψ(X)]]2t = E

[sup

0≤s≤t

∣∣∣∣Z + ∫ s

0

b(u,Xu)du+

∫ s

0

σ(u,Xu)du

∣∣∣∣2]≤

(per le (9.6), (9.7) e (9.8))

≤ 3(E

[|Z|2

]+ t

∫ t

0

E

[sup

0≤u≤s|b(u,Xu)|2

]ds

+ 4

∫ t

0

E

[sup

0≤u≤s|σ(u,Xu)|2

]ds

)≤

(per la (9.11))

≤ 3(E

[|Z|2

]+K(4 + t)

(t +

∫ t

0

[[X]]2sds

)).

2

Il seguente classico teorema fornisce condizioni sufficienti per l’esistenzadi un’unica soluzione forte della SDE (9.1): pur non essendo il risultato piugenerale, esso e soddisfacente per la maggior parte delle applicazioni.

Teorema 9.11. Nelle ipotesi standard della Definizione 9.4 la SDE

Xt = Z +

∫ t

0

b(s,Xs)ds+

∫ t

0

σ(s,Xs)dWs, t ∈ [0, T ], (9.12)

ammette una soluzione forte nello spazio Ac. Tale soluzione e unica a menodi p.s. indistinguibili e soddisfa la stima

[[X]]2t ≤ C(1 +E[|Z|2

])eCt, t ∈ [0, T ], (9.13)

dove C e una costante che dipende solo da K e da T .


Dimostrazione. L’unicita della soluzione e stata gia provata nel Teorema 9.9.Per quanto riguarda l’esistenza, per semplicita consideriamo le ipotesi stan-dard con Kn ≡ K, indipendente da n: il caso generale si prova con l’argomentodi localizzazione utilizzato nella dimostrazione del Teorema 9.9.Come nel caso deterministico, la dimostrazione e basata sul Teorema di

punto fisso di Banach-Caccioppoli: abbiamo gia provato che Ψ e ben definitoda Ac a Ac (cfr. Lemma 9.10) e che (Ac, [·]T ) e uno spazio semi-normato ecompleto (cfr. Lemma 4.56). Rimane dunque da provare che esiste n ∈ N taleche

Ψn = Ψ ◦ · · · ◦ Ψ︸︷︷︸n volte

e una contrazione, ossia vale

[[Ψn(X) − Ψn(Y )]]T ≤ C0[[X − Y ]]T , ∀X, Y ∈ Ac,

per una certa costante C0 ∈ ]0, 1[. Precisamente dimostriamo per induzioneche per ogni n ∈ N vale

[[Ψn(X) − Ψn(Y )]]2t ≤(C2t)

n

n![[X − Y ]]2t , X, Y ∈ Ac, t ∈ [0, T ], (9.14)

dove C2 = 2K(T + 4).Vale

[[Ψn+1(X) − Ψn+1(Y )]]2t =E

[sup

0≤s≤t

∣∣∣ ∫ s

0

(b(u, Ψn(X)u) − b(u, Ψn(Y )u))du

+

∫ s

0

(σ(u, Ψn(X)u) − σ(u, Ψn(Y )u))dWu

∣∣∣2] ≤(per le (9.6), (9.7) e (9.8))

≤ 2t∫ t

0

E

[sup

0≤u≤s|b(u, Ψn(X)u)− b(u, Ψn(Y )u)|2

]ds

+8

∫ t

0

E

[sup

0≤u≤s|σ(u, Ψn(X)u)− σ(u, Ψn(Y )u)|2

]ds ≤

(per l’ipotesi di Lipschitzianita)

≤ C2

∫ t

0

[[Ψn(X) − Ψn(Y )]]2sds ≤

(per ipotesi induttiva)

≤ Cn+12

∫ t

0

sn

n!ds[[X − Y ]]2t ,

da cui segue la (9.14). Ne deduciamo che Ψ possiede un unico punto fisso Xin Ac. Poiche X = Ψ(X) la stima (9.10) diventa


[[X]]2t ≤ C1

(1 + E

[|Z|2

]+

∫ t

0

[[X]]2sds

), t ∈ [0, T ],

e applicando la disuguaglianza di Gronwall otteniamo direttamente la (9.13).2

Osservazione 9.12. La dimostrazione precedente contiene implicitamente unrisultato di unicita indipendente dal Teorema 9.9: abbiamo provato che Ψn euna contrazione e dunque Ψ ammette un’unico punto fisso nello spazio Ac.D’altra parte il Teorema 9.9 di unicita e piu generale perche afferma chel’unicita vale non solo all’interno della classe Ac: in particolare nelle ipotesistandard, ogni soluzione della (9.12) appartiene alla classe Ac. 2

Osservazione 9.13. Come nel caso deterministico, la soluzione di una SDEsi puo determinare col metodo delle approssimazioni successive. Piu precisa-mente, indicando con X la soluzione, si definisce ricorsivamente la successione(Xn) in Ac mediante {

X0 = Z,

Xn = Ψ(Xn−1), n ∈ N,

dove Ψ e il funzionale definito in (9.9). Allora, sotto le ipotesi standard, si hache

limn→∞

[[X −Xn]]T = 0.

2

9.1.3 Proprieta delle soluzioni

In questa sezione proviamo alcune importanti stime di crescita, regolarita, con-fronto e dipendenza dai dati della soluzione di una SDE. Questo tipo di stimegioca un ruolo cruciale ad esempio nello studio dei metodi per la risoluzionenumerica delle equazioni stocastiche.

Teorema 9.14. Sia X soluzione della SDE

Xt = X0 +

∫ t

0

b(s,Xs)ds+

∫ t

0

σ(s,Xs)dWs, t ∈ [0, T ]. (9.15)

Se valgono le ipotesi standard (Definizione 9.4) e E[|X0|2p

]e finito per un

certo p ≥ 1, allora esiste una costante C che dipende solo da K, T e p, taleche

E

[supt0≤s≤t

|Xs|2p]≤ C

(1 + E

[|Xt0 |2p

])eC(t−t0), (9.16)

E

[supt0≤s≤t

|Xs −Xt0 |2p]≤ C

(1 + E

[|Xt0 |2p

])(t − t0)

p, (9.17)

per 0 ≤ t0 < t ≤ T .


Dimostrazione. Proviamo la tesi nel caso p = 1, N = 1 e t0 = 0. Il caso p > 1e analogo e si prova sfruttando il fatto che X2p e soluzione della SDE

X2pt = X2p

0 +

∫ t

0

(2pX2p−1

s b(s,Xs) + p(2p− 1)X2p−2s σ2(s,Xs)

)ds

+

∫ t

0

2pX2p−1s σ(s,Xs)dWs.

Per i dettagli rimandiamo, per esempio, al testo di Kloeden e Platen [96],Teorema 4.5.4 pag.136.La (9.16) per p = 1 e la (9.13) del Teorema 9.11. Per quanto riguarda la

(9.17), utilizzando le disuguaglianze del Lemma 9.7 e la condizione di crescitalineare dei coefficienti, abbiamo

[[X −X0]]2t ≤ 2K(t + 4)

∫ t

0

(1 + [[X]]2s)ds ≤

(per la (9.16))≤ Ct

(1 + E

[|X0|2

]).

2

Proviamo ora un risultato di dipendenza continua dai parametri di unaSDE. Introduciamo prima la seguente

Notazione 9.15 Poniamo

Lt0,tX := Xt −Xt0 −∫ t

t0

b(s,Xs)ds−∫ t

t0

σ(s,Xs)dWs, t ∈ [t0, T ],

e, per semplicita, L0,tX = LtX. Inoltre, quando scriviamo LtX assumiamoimplicitamente che (Xt)t∈[0,T ] sia un processo adattato tale che

b(t, Xt) ∈ L1loc e σ(t, Xt) ∈ L2

loc.

Chiaramente X e soluzione della SDE (9.15) se LtX = 0.

Teorema 9.16. Supponiamo che i coefficienti della SDE siano Lipschitzianiin x uniformemente rispetto a t. Allora esiste una costante C che dipende soloda K, T e p ≥ 1, tale che per ogni coppia di processi X, Y e 0 ≤ t0 < t ≤ T ,vale

E

[supt0≤s≤t

|Xs − Ys|2p]≤ CeC(t−t0)

(E

[|Xt0 − Yt0 |2p

]+E

[supt0≤s≤t

|Lt0,sX − Lt0,sY |2p])

.

(9.18)


Dimostrazione. Consideriamo solo il caso p = 1 e t0 = 0. Utilizzando il Lemma9.7 otteniamo

[[X − Y ]]2t ≤4(E

[(X0 − Y0)

2]+ t

∫ t

0

[[b(·, X)− b(·, Y )]]2sds

+4

∫ t

0

[[σ(·, X)− σ(·, Y )]]2sds+ [[LX −LY ]]2t)≤

(per l’ipotesi di Lipschitzianita dei coefficienti)

≤ 4(E

[(X0 − Y0)

2]+K(t + 4)

∫ t

0

[[X − Y ]]2sds+ [[LX − LY ]]2t).

La tesi segue dal Lemma di Gronwall. 2

Osservazione 9.17. Il Teorema 9.16 contiene il seguente risultato di dipenden-za della soluzione dal dato iniziale: se X, Y sono soluzioni della SDE (9.15),allora vale

[[X − Y ]]2t ≤ 4E[|X0 − Y0|2

]eCt.

Riguardando attentamente la dimostrazione, possiamo migliorare la stimaprecedente utilizzando una disuguaglianza elementare del tipo

(a+ b)2 ≤ (1 + ε)a2 + (1 + ε−1)b2, ε > 0,

per ottenere[[X − Y ]]2t ≤ (1 + ε)E

[|X0 − Y0|2

]eCt, (9.19)

con C dipendente da ε, K e T . La (9.19) fornisce una stima di sensibilita (ostabilita) della soluzione in dipendenza dal dato iniziale: la (9.19) puo essereutile nel caso in cui si voglia stimare l’errore che si commette utilizzando undato iniziale non corretto1 . 2

Concludiamo la sezione enunciando un risultato di confronto per soluzioni diSDE: per la dimostrazione si veda, per esempio, [91], Teorema 5.2.18.

Teorema 9.18. Siano X1, X2 soluzioni delle SDE

Xjt = Zj +

∫ t

0

bj(s,Xjs )ds+

∫ t

0

σ(s,Xjs )dWs, t ∈ [0, T ], j = 1, 2,

con i coefficienti che verificano le ipotesi standard. Se

i) Z1 ≤ Z2 q.s.;ii) b1(t, x) ≤ b2(t, x) per ogni x ∈ R e t ∈ [0, T ];allora

P (X1t ≤ X2

t , t ∈ [0, T ]) = 1.1 Per esempio, a causa del fatto che non si riesce a conoscerlo con precisione.


9.2 Soluzioni deboli

In questo paragrafo presentiamo alcuni classici teoremi sull’esistenza e unicitadi soluzioni deboli di SDE a coefficienti continui e limitati. Il materiale diquesto paragrafo riassume alcuni dei principali risultati trattati in manieradettagliata da Stroock e Varadhan [160], Karatzas e Shreve [91].Ricordiamo dalla Definizione 9.1 che una soluzione debole e una soluzione

di una SDE di cui sono specificati i coefficienti ma non il moto Brownianorispetto a cui e scritta l’equazione. Abbiamo gia notato che per le applica-zioni alla finanza e molto spesso sufficiente conoscere la distribuzione di unavariabile aleatoria piuttosto che la variabile aleatoria stessa e lo spazio di pro-babilita su cui e definita. Questo e sostanzialmente dovuto al fatto che moltiproblemi finanziari (per esempio, la valutazione e copertura di un derivato) siriducono alla determinazione di un valore atteso. Un discorso simile vale perle equazioni stocastiche: lo studio delle soluzioni deboli di una SDE e per certiversi analogo allo studio della distribuzione di una variabile aleatoria.Cominciamo esibendo una SDE risolubile in senso debole ma non forte.

L’esempio seguente mostra anche che una SDE puo avere soluzioni equivalentiin legge ma non indistinguibili: in questo senso l’unicita in senso debole nonimplica l’unicita in senso forte.

9.2.1 Esempio di Tanaka

Il seguente esempio e dovuto a Tanaka [161] (si veda anche Zvonkin [176]).Consideriamo la SDE scalare (N = d = 1) con coefficienti Z = 0 = b e

σ(x) = sgn(x) =

{1 x ≥ 0,−1 x < 0.

Proviamo anzitutto che per tale SDE c’e unicita in senso debole. Infatti se Xe una soluzione relativa ad un moto Browniano W , allora

Xt =

∫ t

0

sgn(Xs)dWs,

e per il Corollario 5.77,X e un moto Browniano. Quindi si ha unicita in legge.D’altra parte anche −X e una soluzione relativa aW e dunque non c’e unicitain senso forte.Mostriamo ora l’esistenza di una soluzione debole. Consideriamo un moto

Browniano standard W sullo spazio di probabilita (Ω,F , P,Ft) e poniamo

Bt =

∫ t

0

sgn(Ws)dWs.

Ancora per il Corollario 5.77,B e un moto Browniano su (Ω,F , P,Ft). Inoltrevale

9.2 Soluzioni deboli 327

dWt = (sgn(Wt))2dWt = sgn(Wt)dBt,

ossia W e soluzione relativa al moto Browniano B.Infine mostriamo che la SDE non ammette soluzione forte. Per assurdo,

sia X soluzione relativa ad un moto Browniano W definito su (Ω,F , P,FWt )dove

(FWt

)indica la filtrazione standard2 per W . Allora vale

dWt = (sgn(Xt))2dWt = sgn(Xt)dXt. (9.20)

Poiche X e un moto Browniano su (Ω,F , P,FWt ), applicando la formula diTanaka3, otteniamo

|Xt| =∫ t

0

sgn(Xs)dXs + 2LXt (0) (9.21)

dove, per la (5.96),

LXt (0) = limε→0+

1

2ε|{s ∈ [0, t] | |Xs| ≤ ε}|

e il tempo locale di X in zero. Combinando la (9.20) con la (9.21) otteniamo

Wt = |Xt| − 2LXt (0)

da cui segue che W e adattato alla filtrazione standard F |X|t di |X|. D’al-tra parte per definizione X e FWt -adattato e quindi ne risulta la seguenteinclusione

FXt ⊆ F |X|t ,

dove FXt e la filtrazione standard di X e cio e assurdo.Citiamo anche il lavoro di Barlow [10] che fornisce un esempio di SDE con

coefficienti continui che non ha soluzione forte.

9.2.2 Esistenza: il problema delle martingale

Illustriamo ora, senza entrare nel dettaglio delle dimostrazioni, i risultati clas-sici di Stroock e Varadhan [158, 159] sull’esistenza e unicita in senso deboleper SDE a coefficienti continui e limitati. Invece di affrontare direttamentela questione della risolubilita, Stroock e Varadhan formulano e risolvono unproblema equivalente, chiamato problema delle martingale.Per introdurre il problema delle martingale, consideriamo una SDE con

coefficienti continui e limitati

b ∈ Cb([0,+∞[×RN ;RN), σ ∈ Cb([0,+∞[×RN ;RN×d).

Supponiamo esista una soluzione X della SDE

2 Teorema 4.60 p.178.3 Formula 5.97, p.244 con K = 0, ricordando che |X | = X+ + (−X)+.


dXt = b(t, Xt)dt+ σ(t, Xt)dWt, (9.22)

relativa ad un moto Browniano d-dimensionale W definito sullo spazio diprobabilita (Ω,F , P,Ft).Applicando la formula di Ito (5.77), per ogni f ∈ C2

0(RN ) vale

df(Xt) = Atf(Xt)dt+∇f(Xt) · σ(t, Xt)dWt,

dove

Atf(x) :=1

2

N∑i,j=1

cij(t, x)∂xixjf(x) +N∑j=1

bj(t, x)∂xjf(x), (9.23)

e (cij) = σσ∗.

Definizione 9.19. L’operatore At e chiamato operatore caratteristico dellaSDE (9.22).

Poiche per ipotesi ∇f e σ sono limitati, abbiamo che ∇f(Xt)σ(t, Xt) ∈ L2 edi conseguenza il processo

Mft := f(Xt)− f(X0)−

∫ t

0

Asf(Xs)ds (9.24)

e una Ft-martingala continua.Ora, per enunciare il problema delle martingale, invece di considerare l’e-

quazione stocastica, partiamo direttamente da un operatore differenziale dellaforma (9.23) e assumiamo i coefficienti cij , bj ∈ Cb([0,+∞[×RN) e la matrice(cij) simmetrica e semidefinita positiva.Ricordiamo brevemente i risultati della Sezione 4.1.1: sullo spazio

C[0,+∞[ =C([0,+∞[ ;RN)munito della σ-algebra dei Borelliani B(C[0,+∞[), e definito il processo“canonico”

Xt(w) = w(t), w ∈ C[0,+∞[,con la corrispondente filtrazione standard4 Bt(C[0,+∞[). Nel seguito prefe-riamo utilizzare la notazione piu intuitiva w(t) al posto di Xt(w).

Definizione 9.20. Una soluzione del problema delle martingale associato adAt e una misura di probabilita P sullo spazio

(C[0,+∞[,B(C[0,+∞[))tale che, per ogni f ∈ C2

0(RN ), il processo

Mft (w) = f(w(t)) − f(w(0)) −

∫ t

0

Asf(w(s))ds,

e una martingala in P , rispetto alla filtrazione Bt(C[0,+∞[).4 Ottenuta completando la filtrazione naturale Bt(C[0,+∞[) in (4.8) secondo laDefinizione 4.58.


Abbiamo visto che, se esiste una soluzione X della SDE (9.22), allora il pro-blema delle martingale per At in (9.23) e risolubile: una soluzione e la leggedi X. In realta i problemi sono equivalenti poiche l’esistenza di una soluzionedel problema delle martingale implica la risolubilita in senso debole della SDEassociata: questo e il contenuto del Teorema 9.22.Notiamo che la SDE interviene solo indirettamente nella formulazione del

problema delle martingale, attraverso i coefficienti dell’equazione che defini-scono l’operatore At. Nello studio delle SDE, l’approccio mediante il problemadelle martingale risulta vantaggioso per diversi motivi: in particolare si posso-no utilizzare in modo naturale i risultati di convergenza di catene di Markova processi di diffusione che giocano un ruolo cruciale nella prova dell’esistenzadella soluzione. Con queste tecniche e possibile provare risultati di esistenzadebole per SDE sotto ipotesi molto generali. Il problema dell’unicita in legge(o debole) e in generale piu delicato: nella successiva Sezione 9.2.3 presentia-mo un teorema che si basa sui risultati di esistenza per il problema di Cauchyparabolico del Capitolo 8.Per enunciare l’equivalenza tra il problema delle martingale e SDE occorre

introdurre la nozione di estensione di uno spazio di probabilita.

Osservazione 9.21 (Estensione di uno spazio di probabilita). SiaX un processoadattato sullo spazio (Ω,F , P,Ft). In generale non e possibile costruire unmoto Browniano su Ω, poiche lo spazio potrebbe non essere sufficientemente“ricco” da supportarlo. D’altra parte, se W e un moto Browniano sullo spazio(Ω, F , P , Ft), possiamo considerare lo spazio prodotto(

Ω × Ω,F ⊗ F , P ⊗ P)

munito della filtrazione standard Ft ottenuta da Ft ⊗ Ft, ed estendere inmaniera naturale i processi X e W ponendo

X(ω, ω) = X(ω), W (ω, ω) =W (ω).

Allora abbiamo che sullo spazio prodotto W e un Ft-moto Browniano indi-pendente da X . 2

Il prossimo risultato, che ci limitiamo ad enunciare, stabilisce l’equivalenzafra il problema delle martingale e la formulazione debole della SDE associata.La dimostrazione e basata sulla rappresentazione delle martingale continue intermini di integrale Browniano: si veda, per esempio, Karatzas e Shreve [91],Proposizione 5.4.11 e Corollario 5.4.9.

Teorema 9.22. Sia ζ una distribuzione su RN . Esiste una soluzione P delproblema delle martingale associato ad At con dato iniziale ζ (ossia tale cheP (w(0) ∈ H) = ζ(H) per ogni H ∈ B(RN)) se e solo se esiste un motoBrowniano W d-dimensionale, definito su un’estensione di

(C[0,+∞[,B(C[0,+∞[), P,Bt(C[0,+∞[)) ,


tale che l’estensione del processo Xt(w) = w(t) sia una soluzione della SDE(9.22) relativa a W con dato iniziale ζ.

Inoltre l’unicita della soluzione del problema delle martingale con datoiniziale ζ e equivalente all’unicita in senso debole per la SDE (9.22) con datoiniziale ζ.

Concludiamo la sezione enunciando il principale risultato di esistenza. Ladimostrazione e basata sulla discretizzazione della SDE e su una proce-dura di passaggio al limite della successione (Pn) delle soluzioni del pro-blema delle martingale associato alle SDE discrete: si veda, per esempio,Karatzas e Shreve [91], Teorema 5.4.22.

Teorema 9.23. Consideriamo la SDE


con i coefficienti continui e limitati. Sia μ una distribuzione su RN tale che∫RN|x|pμ(dx) <∞,

per un certo p > 2. Allora (9.25) ammette soluzione in senso debole con datoiniziale μ.

9.2.3 Unicita

Come abbiamo anticipato l’unicita debole e un problema generalmente piudifficile da trattare rispetto all’esistenza. Basta considerare l’equazione deter-ministica (9.3) per capire che la sola ipotesi di continuita e limitatezza deicoefficienti non e sufficiente a garantire tale proprieta. In questa sezione mo-striamo che la formulazione in termini del problema delle martingale permet-te di ottenere una condizione molto naturale per l’unicita: l’esistenza di unasoluzione del problema di Cauchy relativo all’operatore ellittico-parabolicoAt+∂t. Come abbiamo visto nel Capitolo 8, sotto opportune ipotesi, per taleoperatore e disponibile una teoria ben consolidata.Ricordiamo5 che due misure P,Q su (C[0,+∞[,B(C[0,+∞[)) sono uguali

se e solo se hanno le stesse distribuzioni finito-dimensionali, ossia se

P (w(t1) ∈ H1, . . . , w(tn) ∈ Hn) = Q (w(t1) ∈ H1, . . . , w(tn) ∈ Hn)

per ogni n ∈ N, 0 ≤ t1 < · · · < tn e H1, . . . , Hn ∈ B(RN).Il risultato seguente fornisce una condizione sufficiente affinche due solu-

zioni P e Q del problema delle martingale con uguale dato iniziale abbiano lestesse distribuzioni uno-dimensionali, ossia

P (w(t) ∈ H) = Q (w(t) ∈ H)

per ogni t ≥ 0 e H ∈ B(RN).5 Proposizione 4.16, p.153.


Proposizione 9.24. Siano P,Q soluzioni del problema delle martingale as-sociato ad At con dato iniziale x0 ∈ RN , ossia tali che

P (w(0) = x0) = Q(w(0) = x0) = 1.

Supponiamo che per ogni T > 0 e per ogni ϕ ∈ Cb(RN) esista una soluzioneclassica, limitata

u ∈ C1,2(]0, T [×RN) ∩ Cb([0, T ]×RN ),

del problema di Cauchy con dato finale{Atu(t, x) + ∂tu(t, x) = 0, in ]0, T [×RN ,u(T, ·) = ϕ, in RN .

(9.26)

Allora P e Q hanno le stesse distribuzioni uno-dimensionali.

Dimostrazione. Per il Teorema 9.22, rispetto ad entrambe le misure P e Q,il processo Xt(w) = w(t) e soluzione della SDE (9.22) su un’estensione dellospazio delle funzioni continue. Ne viene che se u e soluzione del problema(9.26) allora il processo u(t, w(t)) e una martingala locale, per la formula diIto. D’altra parte u e limitata, quindi u(t, w(t)) e una vera martingala e vale

EP [ϕ(w(T ))] = EP [u(T, w(T ))] = u(0, x0)

= EQ [u(T, w(T ))] = EQ [ϕ(w(T ))] .(9.27)

Ora e abbastanza facile concludere utilizzando il Teorema di Dynkin. Se He un aperto limitato di RN , costruiamo la successione crescente di funzioninon-negative, continue e limitate

ϕn(x) = nmin

{1

n, infy /∈H

|x− y|},

che approssima la funzione caratteristica di H al tendere di n all’infinito. Peril teorema della convergenza monotona, da (9.27) otteniamo

P (w(T ) ∈ H) = Q(w(T ) ∈ H),

e la tesi segue facilmente dalla Proposizione 2.4. 2

A questo punto siamo interessati a passare dall’unicita delle distribuzioniuno-dimensionali a quella di tutte le distribuzioni finito-dimensionali. Ripor-tiamo il seguente risultato di Stroock e Varadhan [160], Teorema 6.2.3.

Proposizione 9.25. Supponiamo che le soluzioni del problema delle mar-tingale associato ad At con condizione iniziale x0 ∈ RN abbiano uguali di-stribuzioni uno-dimensionali. Allora per ogni la soluzione del problema dellemartingale con dato iniziale x0 e unica.


Osservazione 9.26. Un risultato simile e provato in Karatzas e Shreve [91],Proposizione 5.4.27, utilizzando la proprieta di Markov in modo sostanzial-mente analogo a quanto avevamo visto, per esempio, nella prova della Pro-posizione 4.28, per caratterizzare le distribuzioni finito-dimensionali del motoBrowniano. Tuttavia questo approccio richiede l’ipotesi di coefficienti auto-nomi, b = b(x) e σ = σ(x), poiche occorre dimostrare preliminarmente laproprieta di Markov per P,Q. 2

Possiamo finalmente enunciare il fondamentale risultato di unicita deboleper SDE.

Teorema 9.27. Consideriamo una SDE con i coefficienti b, σ misurabili, li-mitati e sia At il relativo operatore differenziale definito in (9.23). Se perogni T > 0 e per ogni ϕ ∈ Cb(RN ) esiste una soluzione classica e limitata delproblema di Cauchy (9.26), allora per la SDE si ha unicita in senso debole.

Condizioni sufficienti per la risolubilita del problema (9.26) cosı come richiestodal Teorema 9.27, sono state fornite nel Capitolo 8. Se i coefficienti cij, bjsono funzioni Holderiane, limitate e la matrice (cij) e uniformemente definitapositiva, allora l’operatore At + ∂t ha una soluzione fondamentale Γ tale che

u(t, x) =

∫RN

Γ (t, x; T, y)ϕ(y)dy

e soluzione classica del problema di Cauchy (9.26). Inoltre u e l’unica soluzionelimitata:

|u(t, x)| ≤ ‖ϕ‖∞∫RN

Γ (t, x; T, y)dy = ‖ϕ‖∞.

Nella Sezione 9.5.2 trattiamo anche il caso di PDE non uniformementeparaboliche che intervengono in alcuni modelli finanziari: nel caso di coefficienticostanti, il prototipo di tale classe e l’equazione di Kolmogorov (7.72)

∂xx + x∂y + ∂t, (t, x, y) ∈ R3,

introdotta nello studio delle opzioni Asiatiche.

9.3 Stime massimali

Per dimostrare alcuni risultati fondamentali, come la formula di Feynman-Kac della Sezione 9.4.2 su domini illimitati, e necessario stimare “quanto sialontano dall’origine il processo X”, soluzione di una equazione stocastica:utilizziamo genericamente l’appellativo “massimale” per indicare una stimadell’estremo superiore

sup0≤t≤T

Xt.

9.3 Stime massimali 333

9.3.1 Stime massimali per martingale

Abbiamo gia visto nella prova della disuguaglianza di Doob, Teorema 4.52,che per le martingale e possibile ottenere stime uniformi nel tempo. Il risultatoseguente e la naturale versione “uniforme in t” della disuguaglianza di Markov.

Teorema 9.28 (Disuguaglianza martingala massimale). Sia X unasuper-martingala continua a destra. Per ogni λ > 0 vale

P

(sup

0≤t≤TXt ≥ λ

)≤ E [X0] +E

[X−T

]λ

, (9.28)

P

(inf

0≤t≤TXt ≤ −λ

)≤ E [|XT |]

λ, (9.29)

dove X−T = max{−XT , 0}. In particolare

P

(sup

0≤t≤T|Xt| ≥ λ

)≤ E [X0] + 2E [|XT |]

λ. (9.30)

Dimostrazione. Usiamo la notazione

Xt = sup0≤s≤t

Xs,

e, fissato λ > 0, poniamo

τ (ω) = inf{t ≥ 0 | Xt(ω) ≥ λ} ∪ {T}, ω ∈ Ω.

Allora τ e un tempo d’arresto limitato e per il Teorema 4.68 vale

E [X0] ≥ E [Xτ ] =

∫{XT≥λ}

XτdP +

∫{XT<λ}

XTdP

≥ λP(XT ≥ λ

)−E

[X−T

],

e questo prova la (9.28).Ora poniamo

Xt = inf0≤s≤t

Xs,

eτ = inf{t ≥ 0 | Xt ≤ −λ} ∪ {T}.

Per il Teorema 4.68 vale

E [XT ] ≤ E [Xτ ] =

∫{XT≤−λ}

XτdP +

∫{XT>−λ}

XτdP

= −λP(XT ≤ −λ

)+

∫{XT>−λ}

XTdP,


da cui segue la (9.29). Infine la (9.30) segue dal fatto che

P

(sup

0≤s≤t|Xs| ≥ λ

)≤ P

(sup

0≤s≤tXs ≥ λ

)+ P

(inf

0≤s≤tXs ≤ −λ

).

2

Utilizziamo ora il Teorema 9.28 per ottenere una stima massimale perprocessi integrali.

Corollario 9.29 (Disuguaglianza esponenziale). Sia W un moto Brow-niano reale e σ ∈ L2 tale che∫ T

0

σ2sds ≤ k q.s.

per una costante k. Allora, posto

Xt =

∫ t

0

σsdWs,

per ogni λ > 0 vale

P

(sup

0≤t≤T|Xt| ≥ λ

)≤ 2e−λ2

2k . (9.31)

Dimostrazione. Consideriamo il processo variazione quadratica

〈X〉t =∫ t

0

σ2sds;

e ricordiamo che6

Z(α)t = exp

(αXt −

α2

2〈X〉t

)e una super-martingala continua per ogni α ∈ R. Inoltre osserviamo che perogni λ, α > 0 si ha

{Xt ≥ λ} = {exp(αXt) ≥ exp(αλ)}

⊆{Z(α)t ≥ exp

(αλ− α2k

2

)}.

Allora, applicando la disuguaglianza massimale (9.28), otteniamo

P

(sup

0≤t≤TXt ≥ λ

)≤ P

(sup

0≤t≤TZ(α)t ≥ eαλ−

α2k2

)≤ e−αλ+

α2k2 .

6 Cfr. Esempio 5.57.


Con la scelta α = λk minimizziamo l’ultimo membro della precedente stima e

otteniamo

P

(sup

0≤t≤TXt ≥ λ

)≤ e−

λ2

2k .

Lo stesso risultato applicato al processo −X fornisce la stima

P

(inf

0≤t≤TXt ≤ −λ

)≤ e−

λ2

2k

da cui segue la tesi. 2

Osservazione 9.30. Con la tecnica del Corollario 9.29 si prova la seguente disu-guaglianza: sianoW un moto Browniano d-dimensionale e σ ∈ L2 una matriceN × d tale che ∫ T

0

〈σsσ∗sθ, θ〉ds ≤ k (9.32)

per un certo θ ∈ RN , |θ| = 1, e una costante k. Allora, posto

Xt =

∫ t

0

σsdWs,


P

(sup

0≤t≤T|〈θ, Xt〉| ≥ λ

)≤ 2e−λ2

2k . (9.33)

2

Proviamo ora la versione multi-dimensionale del Corollario 9.29.

Corollario 9.31. Siano W un moto Browniano d-dimensionale e σ ∈ L2 unamatrice N × d tale che7 ∫ T

0

|σsσ∗s |ds ≤ k

per una costante k. Allora, posto

Xt =

∫ t

0

σsdWs,


P

(sup

0≤t≤T|Xt| ≥ λ

)≤ 2Ne−

λ2

2kN .

7 Ricordiamo che, se A = (aij) e una matrice, vale

|A| :=√∑

i,j

a2ij ≥ max|θ|=1

|Aθ| =: ‖A‖.


Dimostrazione. Osserviamo che se

sup0≤t≤T

|Xt(ω)| ≥ λ

allora

sup0≤t≤T

∣∣Xit(ω)∣∣ ≥ λ√N

per qualche i = 1, . . . , N dove Xi indica la componente i-esima del vettoreX. Di conseguenza

P

(sup

0≤t≤T|Xt| ≥ λ

)≤

N∑i=1

P

(sup

0≤t≤T

∣∣Xit ∣∣ ≥ λ√N

)≤ 2Ne−

λ2

2kN ,

dove l’ultima disuguaglianza segue dalla (9.33) scegliendo θ fra i vettori dellabase canonica. 2

9.3.2 Stime massimali per diffusioni

Le seguenti stime massimali giocano un ruolo cruciale nella prova delle for-mule di rappresentazione per il problema di Cauchy della Sezione 9.4.4 cheestendono, con una tecnica di localizzazione, i risultati della Sezione 9.4.2. Inquesta sezione proviamo stime massimali per soluzioni di SDE con coefficientediffusivo limitato, Teorema 9.32, o con crescita al piu lineare, Teorema 9.33.

Teorema 9.32. Consideriamo la SDE in RN

Xt = x0 +

∫ t

0

b(s,Xs)ds+

∫ t

0

σ(s,Xs)dWs. (9.34)

Supponiamo che σ sia una matrice N × d misurabile e limitata: in particolarevalga

|σσ∗(t, x)| ≤ k, t ∈ [0, T ], x ∈ RN ; (9.35)

inoltre supponiamo che b sia misurabile e abbia crescita al piu lineare,

|b(t, x)| ≤ K(1 + |x|), t ∈ [0, T ], x ∈ RN . (9.36)

Allora esiste una costante positiva α che dipende solo da k,K, T e N tale chese X e una soluzione di (9.34) allora vale

E[eαX

2T

]<∞, (9.37)

doveXT = sup

0≤t≤T|Xt|.


Dimostrazione. Per la Proposizione 2.40 vale

E[eαX

2T

]= 1 +

∫ +∞

0

2αλeαλ2

P(XT ≥ λ

)dλ,

ed e quindi sufficiente avere una stima opportuna di P(XT ≥ λ

)per λ# 1.

Posto

Mt =

∫ t

0

σ(s,Xs)dWs,

per il Corollario 9.31, vale

P

(sup

0≤t≤T|Mt| ≥ R

)≤ 2Ne−

R2

2kNT , R > 0.

D’altra parte sull’evento {sup

0≤t≤T|Mt| < R

},

si ha

|Xt| ≤ |x0|+∫ t

0

K(1 + |Xs|)ds+R

da cui, per il Lemma di Gronwall, otteniamo

|Xt| ≤ (|x0|+KT +R) eKT , t ∈ [0, T ].

In definitiva

P(XT ≥ (|x0|+KT +R) eKT

)≤ 2Ne−

R2

2kNT ,

ovvero, per λ sufficientemente grande,

P(XT ≥ λ

)≤ 2N exp

(−(e−KTλ − |x0| −KT

)22kNT

), (9.38)

da cui la tesi con

α <e−2KT

2kNT.

2

Nel caso in cui i coefficienti diffusivi abbiano crescita lineare siamo ingrado di ottenere un risultato di sommabilita massimale di tipo polinomiale:il seguente risultato generalizza la stima (9.16).

Teorema 9.33. Supponiamo che i coefficienti della SDE (9.34) siano misu-rabili e soddisfino la stima (9.5) di crescita lineare. Allora se X e una soluzionedi (9.34), per ogni p ≥ 1 vale

E

[sup

0≤t≤T|Xt|p

]<∞. (9.39)


Dimostrazione. Con un espediente ci riportiamo al caso di una SDE a coeffi-cienti limitati. Consideriamo la funzione f(x) = log(1 + |x|2) e calcoliamo lederivate prime e seconde:

∂xif(x) =2xi

1 + |x|2 , ∂xixjf(x) =2δij

1 + |x|2 −4xixj

(1 + |x|2)2 .

Poiche

∂xif(x) = O(|x|−1

), ∂xixjf(x) = O

(|x|−2

), per |x| → +∞,

in base all’ipotesi di crescita lineare dei coefficienti, e immediato verificare,applicando la formula di Ito (5.78), che i coefficienti del differenziale stocasticodel processo

Yt = log(1 + |Xt|2

)sono limitati.Quindi procedendo come nella prova del Teorema 9.32 otteniamo

P

(sup

0≤t≤TYt ≥ λ

)≤ ce−cλ

2

, λ > 0,

per una certa costante positiva che dipende da x0, T, N e dalla costante dicrescita K in (9.5): equivalentemente, abbiamo

P

(sup

0≤t≤T|Xt| ≥ λ

)= P

(sup

0≤t≤TYt ≥ log(1 + λ2)

)≤ ce−c log

2(1+λ2) ≤ c

λc logλ, λ > 0. (9.40)

La tesi e ora conseguenza della Proposizione 2.40, poiche

E

[sup

0≤t≤T|Xt|p

]=

∫ ∞

0

pλp−1P

(sup

0≤t≤T|Xt| ≥ λ

)dλ,

e l’ultimo integrale e convergente per la stima (9.40). 2

9.4 Formule di rappresentazione di Feynman-Kac

In questo paragrafo esaminiamo l’importante legame fra SDE e PDE stabilitodalla formula di Ito. Per affrontare l’argomento in modo organico, trattia-mo dapprima il caso stazionario8 o ellittico che, pur non avendo una direttaapplicazione finanziaria, e introduttivo allo studio dei problemi evolutivi o pa-rabolici che tipicamente intervengono nella valutazione dei derivati Europei eAmericani.Fissiamo alcune notazioni e ipotesi valide in tutto il paragrafo. Conside-

riamo la SDE in RN

8 I coefficienti sono indipendenti dal tempo.

9.4 Formule di rappresentazione di Feynman-Kac 339


indichiamo con D un dominio9 limitato di RN e assumiamo:

i) i coefficienti sono localmente limitati, b, σ ∈ L∞loc([0,+∞[×RN);ii) per ogni t ≥ 0 e x ∈ D esiste una soluzione Xt,x di (9.41) con Xt,xt = x, re-lativa ad un moto Browniano d-dimensionaleW sullo spazio (Ω,F , P,Ft).

Nel seguito, τ(t,x) indica il primo tempo di uscita di Xt,x da D: per semplicita,

scriviamo X0,x = Xx e τ(0,x) = τx. Inoltre, posto (cij) = σσ∗,

Atf(x) :=1

2

N∑i,j=1

cij(t, x)∂xixjf(x) +

N∑j=1

bj(t, x)∂xjf(x) (9.42)

indica l’operatore caratteristico della (9.41).I principali risultati di questo paragrafo, generalmente noti come teoremi di

Feynman-Kac, forniscono una rappresentazione della soluzione u dei problemidi Cauchy-Dirichlet, Cauchy o con ostacolo relativi a (9.42) in termini di valoreatteso di u(t, Xt). Come caso esemplificativo, consideriamo u ∈ C2(RN+1),soluzione dell’equazione

Atu+ ∂tu = 0. (9.43)

Per la formula di Ito si ha

u(T,Xt,xT ) = u(t, x) +

∫ T

t

∇u(s,Xt,xs ) · σ(s,Xt,xs )dWs,

e se l’integrale stocastico nel membro destro e una martingala, in valore attesootteniamo

u(t, x) = E[u(T,Xt,xT )

]. (9.44)

Questa formula ha un interessante significato finanziario poiche evidenzia illegame fra le nozioni di prezzo neutrale al rischio e prezzo d’arbitraggio di underivato. Infatti, da un parte la (9.44) e l’usuale formula di valutazione neu-trale al rischio per uno strumento finanziario, per esempio un’opzione Europeacon payoff u(T,Xt,xT ). Dall’altro, se u rappresenta il valore di una strategiadi investimento, la PDE (9.43) esprime la condizione di autofinanziamento(cfr. Sezione 7.1) che, combinata con la condizione finale di replicazione, in-dividua il prezzo d’arbitraggio di un derivato Europeo come soluzione delcorrispondente problema di Cauchy.

Il paragrafo e strutturato come segue: nelle prime tre sezioni studiamola rappresentazione della soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet su undominio limitato. La Sezione 9.3.2 e dedicata alla prova di alcune stime pre-liminari allo studio del problema di Cauchy, svolto nella Sezione 9.4.4. NellaSezione 9.4.5 rappresentiamo la soluzione del problema con ostacolo in terminidi soluzione di un problema di arresto ottimo.

9 Insieme aperto e connesso.


9.4.1 Tempo di uscita da un dominio limitato

In questa sezione studiamo alcune semplici condizioni che assicurano che ilprimo tempo di uscita da un dominio limitato D

τx = inf{t | Xxt /∈ D}

della soluzione della SDE (9.41), sia sommabile e quindi, in particolare, finitoq.s.

Proposizione 9.34. Se esiste una funzione f ∈ C2(RN ), non-negativa su De tale che

Atf ≤ −1, in D, t ≥ 0, (9.45)

allora E [τx] e finito per ogni x ∈ D.

Prima di dimostrare la proposizione, vediamo un esempio significativo. Sup-poniamo esista λ > 0 tale che

c11(t, ·) ≥ λ, in D, t ≥ 0. (9.46)

Allora esiste f ∈ C2(RN), non-negativa su D, tale che vale (9.45): e sufficienteporre

f(x) = α(eβR − eβx1 )

dove α, β sono costanti positive opportune e R e abbastanza grande in modoche D sia incluso nella palla Euclidea di raggio R, centrata nell’origine. Infattif e non-negativa su D e vale

Atf(x) = −αeβx1(1

2c11(t, x)β

2 + b1(t, x)β

)≤ −αβe−βR

(λβ

2− ‖b‖L∞(D)

)da cui la tesi scegliendo α, β abbastanza grandi.La (9.46) e un’ipotesi di non degenerazione totale che e ovviamente

verificata nel caso in cui (cij) sia uniformemente definita positiva.

Dimostrazione (della Proposizione 9.34). Fissato t, per la formula di Ito vale

f(Xxt∧τx ) = f(x) +

∫ t∧τx

0

Asf(Xxs )ds+∫ t∧τx

0

∇f(Xxs ) · σ(s,Xxs )dWs.

Poiche ∇f e σ(s, ·) sono limitati su D per s ≤ t, l’integrale stocastico haattesa nulla e per la (9.45) vale

E[f(Xxt∧τx )

]≤ f(x) − E [t ∧ τx] ,

da cui, essendo f ≥ 0,


E [t ∧ τx] ≤ f(x).

Infine, passando al limite per t→∞, per il Teorema di Beppo-Levi otteniamo

E [τx] ≤ f(x).

2

Osservazione 9.35. Con lo stesso metodo possiamo provare direttamente unacondizione sui termini del prim’ordine: se |b1(t, ·)| ≥ λ su D per t ≥ 0 e peruna costante positiva λ, allora E [τx] e finito. Infatti supponiamo per esempioche b1(t, x) ≥ λ (il caso b1(t, x) ≤ −λ e analogo): allora applicando la formuladi Ito alla funzione f(x) = x1 abbiamo

(Xxt∧τx

)1= x1 +

∫ t∧τx

0

b1(s,Xxs )ds+

d∑i=1

∫ t∧τx

0

σ1i(s,Xxs )dW

is ,

e in valore attesoE

[(Xxt∧τx

)1

]≥ x1 + λE [t ∧ τx] ,

da cui la tesi, passando al limite per t→∞. 2

9.4.2 Equazioni ellittico-paraboliche e problema di Dirichlet

In questa sezione assumiamo che i coefficienti della SDE (9.41) siano indipen-denti dal tempo, b = b(x) e σ = σ(x). Per molti aspetti questa ipotesi non erestrittiva poiche anche i problemi con dipendenza dal tempo possono esseretrattati in questo ambito inserendo il tempo fra le variabili di stato (cfr. Esem-pio 9.42). In aggiunta alle ipotesi fissate all’inizio del paragrafo, assumiamoche E [τx] sia finito per ogni x ∈ D e indichiamo con

A := 12

N∑i,j=1

cij∂xixj +

N∑j=1

bj∂xj (9.47)

l’operatore caratteristico della (9.41). Il risultato seguente fornisce una formuladi rappresentazione (e quindi, in particolare, un risultato di unicita) per lesoluzioni classiche10 del problema di Dirichlet relativo all’operatore ellittico-parabolico A: {

Au− au = f, in D,

u|∂D = ϕ,(9.48)

dove f, a, ϕ sono funzioni assegnate.

10 Con le tecniche della Sezione 9.4.5 e possibile ottenere un risultato simile per lesoluzioni forti del problema di Dirichlet, ossia per soluzioni u ∈W 2,p

loc (D)∩C(D)che soddisfano l’equazione Au− au = f quasi ovunque.


Teorema 9.36. Siano f ∈ L∞(D), ϕ ∈ C(∂D) e a ∈ C(D) tale che a ≥ 0. Seu ∈ C2(D) ∩C(D) e soluzione del problema di Dirichlet (9.48) allora, fissatox ∈ D e posto per semplicita τ = τx, vale

u(x) = E

[e−∫τ0a(Xx

t )dtϕ(Xxτ ) −∫ τ

0

e−∫t0a(Xx

s )dsf(Xxt )dt

]. (9.49)

Dimostrazione. Per ε > 0 sufficientemente piccolo, sia Dε un dominio tale che

x ∈ Dε, Dε ⊆ D, dist (∂Dε, ∂D) ≤ ε.

Indichiamo con τε il tempo di uscita di Xx da Dε e osserviamo che, essendo

Xx continuo,limε→0

τε = τ.

PoniamoZt = e−

∫t0a(Xx

s )ds,

e notiamo che, per ipotesi, Zt ∈ ]0, 1]. Inoltre, se uε ∈ C20 (R

N) e tale cheuε = u su Dε, per la formula di Ito si ha

d(Ztuε(Xxt )) = Zt ((Auε − auε) (X

xt )dt+∇uε(Xxt ) · σ(Xxt )dWt)

da cui

Zτεu(Xxτε ) = u(x) +

∫ τε

0

Ztf(Xxt )dt+

∫ τε

0

Zt∇u(Xxt ) · σ(Xxt )dWt.

Essendo ∇u e σ limitati su D, in valore atteso otteniamo

u(x) = E

[Zτεu(X

xτε )−

∫ τε

0

Ztf(Xxt )dt

].

La tesi segue per passaggio al limite in ε→ 0, per il teorema della convergenzadominata: infatti, ricordando che Zt ∈ ]0, 1], si ha∣∣Zτεu(Xxτε )∣∣ ≤ ‖u‖L∞(D),

∣∣∣∣∫ τε

0

Ztf(Xxt )dt

∣∣∣∣ ≤ τ‖f‖L∞(D),

e, per ipotesi, τ e sommabile. 2

Osservazione 9.37. Sulla formula (9.49) e basata l’approssimazione numericadella soluzione del problema di Dirichlet (9.48) con metodi di tipo MonteCarlo. 2

Osservazione 9.38. L’ipotesi a ≥ 0 e essenziale: la funzioneu(x, y) = sinx siny

e soluzione del problema{Δu+ 2u = 0, in D = ]0, 2π[× ]0, 2π[ ,u|∂D = 0,

ma non soddisfa la (9.49). 2


x

X ( )x�1

X ( )x�

�

D

Fig. 9.1. Problema di Dirichlet e traiettorie della SDE associata

Risultati di esistenza per il problema (9.48) sono ben noti nel caso uniforme-mente ellittico: ricordiamo il seguente classico teorema (si veda, per esempio,Gilbarg e Trudinger [70], Teorema 6.13).

Teorema 9.39. Sotto le seguenti ipotesi

i) A e un operatore uniformemente ellittico, ossia esiste una costante λ > 0tale che

N∑i,j=1

cij(x)ξiξj ≥ λ|ξ|2, x ∈ D, ξ ∈ RN ;

ii) i coefficienti sono funzioni Holderiane, cij, bj, a, f ∈ Cα(D). Inoltre lefunzioni cij, bj, f sono limitate e a ≥ 0;

iii) per ogni y ∈ ∂D esiste11 una palla Euclidea B contenuta nel complemen-tare di D e tale che y ∈ B;

iv) ϕ ∈ C(∂D);

esiste una soluzione classica u ∈ C2+α(D) ∩ C(D) del problema (9.48).

Consideriamo ora alcuni esempi significativi.

Esempio 9.40 (Attesa del tempo di uscita). Se il problema{Au = −1, in D,

u|∂D = 0,

ha soluzione, allora per la (9.49) vale u(x) = E [τx]. 2

Esempio 9.41 (Nucleo di Poisson). Nel caso a = f = 0, la (9.49) equiva-le ad una formula di media di superficie: piu precisamente, indichiamo conμx la distribuzione della variabile aleatoria Xxτx : allora μx e una misura diprobabilita su ∂D e per la (9.49) si ha

11 Questa e una condizione di regolarita della frontiera diD, verificata se per esempio∂D e una varieta di classe C2.


u(x) = E[u(Xxτx)

]=

∫∂D

u(y)μx(dy).

La legge μx e usualmente chiamata misura armonica relativa ad A su ∂D.Se Xx e un moto Browniano di punto iniziale x ∈ RN , allora A = 1

2Δ enel caso in cui D = B(0, R) sia la palla Euclidea di raggio R, μx ha unadensita (rispetto alla misura di superficie) la cui espressione esplicita e nota:essa corrisponde al cosiddetto nucleo di Poisson

1

RωN

R− |x|2|x− y|N ,

dove ωN indica la misura della superficie sferica unitaria in RN . 2

Esempio 9.42 (Equazione del calore). Il processo Xt = (Wt,−t), dove W e unmoto Browniano reale, e soluzione della SDE{

dX1t = dWt,

dX2t = −dt,

e il corrispondente operatore caratteristico

A = 12∂x1x1 − ∂x2

e l’operatore del calore in R2. Consideriamo la formula (9.49) su un dominiorettangolare

D = ]a1, b1[× ]a2, b2[ .Esaminando l’espressione esplicita delle traiettorie di X (si veda anche laFigura 9.2), e chiaro che il valore u(x1, x2) di una soluzione dell’equazionedel calore dipende solo dai valori di u sulla parte di bordo D contenuta in

X( )��

X( )��

x

D

Fig. 9.2. Problema di Cauchy-Dirichlet e traiettorie della SDE associata


{x2 < x2}. In generale il valore di u in D dipende solo dai valori di u sul bordoparabolico di D, definito da

∂pD = ∂D \ ( ]a1, b1[×{b2}).Questo fatto e coerente con i risultati sul problema di Cauchy-Dirichlet dellaSezione 6.1. 2

Esempio 9.43 (Metodo delle caratteristiche). Se σ = 0, l’operatore caratte-ristico e un operatore differenziale del prim’ordine

A =N∑i=1

bi∂xi .

La corrispondente SDE e in realta deterministica e si riduce a

Xxt = x+

∫ t

0

b(Xxs )ds,

ossia X e una curva integrale del campo vettoriale b:

d

dtXt = b(Xt).

Se il tempo di uscita di X da D e finito12 allora abbiamo la rappresentazione

u(x) = e−∫ τx0a(Xx

t )dtϕ(Xxτx) −∫ τx

0

e−∫ t0a(Xx

s )dsf(Xxt )dt, (9.50)

per la soluzione del problema{〈b,∇u〉 − au = f, in D,

u|∂D = ϕ.

La (9.50) e un caso particolare del classico metodo delle caratteristiche: peruna descrizione di tale metodo rimandiamo, per esempio, Evans [56] Cap.3.2.

2

9.4.3 Equazioni di evoluzione e problema di Cauchy-Dirichlet

In questa sezione enunciamo la versione parabolica del Teorema 9.36. As-sumiamo le ipotesi fissate all’inizio del paragrafo e al solito indichiamocon

Au(t, x) = 12

N∑i,j=1

cij(t, x)∂xixju(t, x) +

N∑j=1

bj(t, x)∂xju(t, x) (9.51)

l’operatore caratteristico della SDE (9.41). Inoltre consideriamo il cilindro

Q = ]0, T [×D,il cui bordo parabolico (retrogrado13) e definito da

12 Al riguardo si veda l’Osservazione 9.35.13 In questa sezione consideriamo operatori retrogradi del tipo �+ ∂t.


∂pQ = ∂Q \ ({0} ×D).

Il teorema seguente fornisce una formula di rappresentazione per le soluzioniclassiche del problema di Cauchy-Dirichlet:{

Au − au+ ∂tu = f, in Q,

u|∂pQ = ϕ,(9.52)

dove f, a, ϕ sono funzioni assegnate.

Teorema 9.44. Siano f ∈ L∞(Q), ϕ ∈ C(∂pQ) e a ∈ C(Q) tale che a0 :=inf a sia finito. Se u ∈ C2(Q) ∩ C(Q) e una soluzione del problema (9.52)allora, fissato (t, x) ∈ Q e posto per semplicita X = Xt,x e τ = τ(t,x), vale

u(t, x) =E[e−∫τ∧Tt

a(s,Xs)dsϕ(τ ∧ T,Xτ∧T )]

−E[∫ τ∧T

t

e−∫ sta(r,Xr)drf(s,Xs)ds

].

Dimostrazione. La dimostrazione e analoga a quella del Teorema 9.36. 2

9.4.4 Soluzione fondamentale e densita di transizione

In questa sezione proviamo una formula di rappresentazione per la soluzioneclassica del problema di Cauchy{

Au− au+ ∂tu = f, in ST := ]0, T [×RN ,u(T, ·) = ϕ,

(9.53)

dove f, a, ϕ sono funzioni assegnate e, posto (cij) = σσ∗,

A = 12

N∑i,j=1

cij∂xixj +

N∑j=1

bj∂xj (9.54)

e l’operatore caratteristico della SDE

dXt = b(t, Xt)dt+ σ(t, Xt)dWt. (9.55)

Assumiamo le seguenti ipotesi:

i) i coefficienti b, σ sono misurabili e hanno crescita al piu lineare in x;ii) per ogni (t, x) ∈ ST , esiste una soluzione Xt,x della SDE (9.55) relativa adun moto Browniano d-dimensionaleW sullo spazio (Ω,F , P,Ft).

Teorema 9.45 (Formula di Feynman-Kac). Sia a ∈ C(ST ) tale che a ≥a0 con a0 ∈ R. Sia u ∈ C2(ST ) ∩ C(ST ) soluzione del problema di Cauchy(9.53) e assumiamo la i), ii) e almeno una delle seguenti ipotesi:


1) esistono due costanti positive M, p tali che

|u(t, x)|+ |f(t, x)| ≤M(1 + |x|p), (t, x) ∈ ST ;

2) la matrice σ e limitata ed esistono due costanti positive M e α, con αsufficientemente piccolo14, tali che

|u(t, x)|+ |f(t, x)| ≤Meα|x|2

, (t, x) ∈ ST .

Allora per ogni (t, x) ∈ ST , posto per semplicita X = Xt,x, vale la formula dirappresentazione

u(t, x) = E

[e−∫ Tt a(s,Xs)dsϕ(XT )−

∫ T

t

e−∫ st a(r,Xr )drf(s,Xs)ds

].

Dimostrazione. Se τR indica il tempo di uscita di X dalla palla Euclidea diraggio R, per il Teorema 9.44 vale

u(t, x) =E[e−∫ T∧τRt a(s,Xs)dsu(T ∧ τR, XT∧τR)

]− E

[∫ T∧τR

t

e−∫ st a(r,Xr )drf(s,Xs)ds

].

(9.56)

PoichelimR→∞

T ∧ τR(ω) = T,

per ogni ω ∈ Ω, la tesi segue passando al limite in R in (9.56) per il teo-rema della convergenza dominata. Infatti si ha convergenza puntuale degliintegrandi e inoltre, nell’ipotesi 1), vale

e−∫ T∧τRt a(s,Xs)ds |u(T ∧ τR, XT∧τR )| ≤Me|a0|T

(1 + XpT

),∣∣∣∣∣

∫ T∧τR

t

e−∫ sta(r,Xr)drf(s,Xs)ds

∣∣∣∣∣ ≤ Te|a0|TM(1 + XpT

),

doveXT = sup

0≤t≤T|Xt|

e sommabile per il Teorema 9.33.Nell’ipotesi 2) si procede in maniera analoga e si utilizza la stima di

sommabilita (9.37) del Teorema 9.32. 2

14 E sufficiente

α <e−2KT

2kNT,

dove |σσ∗| ≤ k e K e la costante di crescita in (9.36), per poter applicare ilTeorema 9.32.


La formula di rappresentazione di Feynman-Kac permette di generalizzarei risultati del Paragrafo 4.2 sulla densita di transizione del moto Browniano.Precisamente, se15 l’operatore A + ∂t ha soluzione fondamentale Γ (t, x; T, y)allora, per ogni ϕ ∈ Cb(RN ), la funzione

u(t, x) =

∫RN

ϕ(y)Γ (t, x; T, y)dy

e soluzione classica, limitata del problema di Cauchy (9.53) con a = f = 0 equindi, per la formula di Feynman-Kac, vale

E[ϕ(Xt,xT )

]=

∫RN

ϕ(y)Γ (t, x; T, y)dy.

Per l’arbitrarieta di ϕ, questo significa che, fissati x ∈ RN e t < T , la funzione

y �→ Γ (t, x; T, y)

e la densita della variabile aleatoriaXt,xT : esprimiamo questo fatto dicendo cheΓ e la densita di transizione della SDE (9.55). Questo fondamentale risultatosintetizza il legame fra PDE e SDE:

Teorema 9.46. Se esiste, la soluzione fondamentale dell’operatore differen-ziale A+ ∂t con A in (9.54) coincide con la densita di transizione della SDE(9.55).

9.4.5 Problema con ostacolo e arresto ottimo

In questa sezione proviamo una formula di rappresentazione per la soluzioneforte del problema con ostacolo{

max{Au− au+ ∂tu, ϕ− u} = 0, in ST := ]0, T [×RN,u(T, ·) = ϕ,

(9.57)

dove a e ϕ sono funzioni assegnate e, posto (cij) = σσ∗,

A = 12

N∑i,j=1

cij∂xixj +

N∑j=1

bj∂xj (9.58)

e l’operatore caratteristico della SDE

dXt = b(t, Xt)dt+ σ(t, Xt)dWt. (9.59)

Assumiamo che l’operatore

15 Come visto nel Capitolo 8, condizioni tipiche per l’esistenza della soluzione fon-damentale sono l’uniforme parabolicita e la limitatezza e regolarita Holderianadei coefficienti.


Lu := Au− au+ ∂tu

sia uniformemente parabolico (Ipotesi 8.1) e abbia i coefficienti limitati eHolderiani (Ipotesi 8.3). Riassumiamo alcune delle principali conseguenze diqueste ipotesi:

• per il Teorema 8.6, L possiede una soluzione fondamentale Γ ;• per il Teorema 8.9, vale la stima Gaussiana

Γ (t, x; s, y) ≤ C Γ0(t, x; s, y), s ∈]t, T [,

per ogni T > t e x, y ∈ RN , dove Γ0 e una funzione Gaussiana, soluzionefondamentale di un opportuno operatore parabolico a coefficienti costanti.In particolare, come conseguenza del Lemma 5.80, si ha

Γ (t, x; ·, ·) ∈ Lq(]t, T [×RN), q ∈ [1, 1 + 2/N [ , (9.60)

per ogni (t, x) ∈ RN+1 e T > t;• per il Teorema 9.27, per ogni (t, x) ∈ ST , esiste ed e unica la soluzione Xt,xdella SDE (9.59), con dato iniziale Xt = x ∈ RN , relativa ad un motoBrowniano d-dimensionale W sullo spazio (Ω,F , P,Ft). Per il Teorema9.46, Γ (t, x; ·, ·) e la densita di transizione di Xt,x;

• nell’Ipotesi 8.18 di regolarita sulla funzione ϕ, il Teorema 8.20 assi-cura che il problema con ostacolo (9.57) ammette una soluzione forteu ∈ Sploc(ST ) ∩ C(ST ) per ogni p ≥ 1; in particolare u ∈ C1+α

P,loc(ST ) perogni α ∈]0, 1[. Ricordiamo che gli spazi Holderiani CαP e di Sobolev Sp

sono stati introdotti rispettivamente nelle Definizioni 8.2 e 8.14.

Il principale risultato di questa sezione esprime la soluzione forte del problemacon ostacolo in termini di soluzione del problema di arresto ottimo per ladiffusioneX. Ricordando i risultati in tempo discreto del Paragrafo 3.4, risultaevidente il legame con la teoria della valutazione delle opzioni Americane: intempo continuo, questo legame verra precisato nel Capitolo 11.

Teorema 9.47 (Formula di Feynman-Kac). Nelle Ipotesi 8.1 e 8.3, siau soluzione forte del problema con ostacolo (9.57) e assumiamo che esistanodue costanti positive C e λ, con λ sufficientemente piccolo, tali che

|u(t, x)| ≤ Ceλ|x|2

, (t, x) ∈ ST . (9.61)

Allora per ogni (t, x) ∈ ST , vale la formula di rappresentazione

u(t, x) = supτ∈Tt,T

E[e−∫ τta(s,Xt,x

s )dsϕ(τ, Xt,xτ )],

dove Tt,T indica la famiglia dei tempi d’arresto a valori in [t, T ].


Dimostrazione. Come per la formula di Feynman-Kac della sezione preceden-te, la prova e basata sulla formula di Ito: il problema fondamentale e che lasoluzione forte u non e in generale C2 e quindi non ha la regolarita sufficienteper applicare direttamente la formula di Ito standard. Pertanto e necessarioutilizzare un argomento di localizzazione e di regolarizzazione. Per semplicita,consideriamo solo il caso a = 0.Poniamo BR = {x ∈ RN | |x| < R}, R > 0, e per x ∈ BR indichiamo con

τR il primo tempo di uscita di Xt,x da BR. Per la Proposizione 9.34, E [τR] e

finito.Il primo passo consiste nel provare che per ogni (t, x) ∈ ]0, T [×BR e τ ∈

Tt,T tale che τ ≤ τR q.s., vale

u(t, x) = E

[u(τ, Xt,xτ ) −

∫ τ

t

Lu(s,Xt,xs )ds

]. (9.62)

Fissato ε, positivo e sufficientemente piccolo, consideriamo una funzione rego-lare uε,R su RN+1 con supporto compatto in ]t−ε, T [×B2R e tale che u

ε,R = uin ]t, T − ε[×BR. Inoltre indichiamo con (uε,R,n)n∈N una successione regola-rizzante ottenuta per convoluzione di uε,R con gli usuali mollificatori: allora,per ogni p ≥ 1, uε,R,n ∈ Sp(RN+1) e

limn→∞

‖Luε,R,n − Luε,R‖Lp(]t,T−ε[×BR) = 0. (9.63)

Applichiamo la formula di Ito alla funzione regolare uε,R,n per ottenere

uε,R,n(τ, Xt,xτ ) = uε,R,n(t, x) +

∫ τ

t

Luε,R,n(s,Xt,xs )ds

+

∫ τ

t

∇uε,R,n(s,Xt,xs ) · σ(s,Xt,xs )dWs,

(9.64)

per ogni τ ∈ Tt,T tale che τ ≤ τR ∧ (T −ε). Poiche (∇uε,R,n)σ e una funzionelimitata su ]t, T − ε[×BR, abbiamo

E

[∫ τ

t

∇uε,R,n(s,Xt,xs ) · σ(s,Xt,xs )dWs

]= 0.

Inoltre valelimn→∞

uε,R,n(t, x) = uε,R(t, x),

e, per il teorema della convergenza dominata,

limn→∞

E[uε,R,n(τ, Xt,xτ )

]= E

[uε,R(τ, Xt,xτ )

].

Ora proviamo che l’integrale deterministico in (9.64) converge: abbiamo∣∣∣∣E [∫ τ

t


]− E

[∫ τ

t

Luε,R(s,Xt,xs )ds

] ∣∣∣∣≤E

[∫ τ

t

∣∣Luε,R,n(s,Xt,xs )− Luε,R(s,Xt,xs )∣∣ds] ≤


(poiche τ ≤ τR)

≤E[∫ T−ε

t

∣∣Luε,R,n(s,Xt,xs )− Luε,R(s,Xt,xs )∣∣1{|Xt,x

s |≤R}ds

]

=

∫ T−ε

t

∫BR

∣∣Luε,R,n(s, y) − Luε,R(s, y)∣∣Γ (t, x; s, y)dyds ≤

(per la disuguaglianza di Holder, indicando con p l’esponente coniugato di qin (9.60))

≤ ‖Luε,R,n − Luε,R‖Lp(]t,T−ε[×BR)‖Γ (t, x; ·, ·)‖Lq(]t,T−ε[×BR),

e per la (9.63) e (9.60) otteniamo

limn→∞

E

[∫ τ

t


]= E

[∫ τ

t

Luε,R(s,Xt,xs )ds

].

Questo conclude la prova della formula (9.62), poiche uε,R = u in ]t, T−ε[×BRe ε > 0 e arbitrario.Ora poiche Lu ≤ 0 quasi ovunque e la legge di Xt,x e assolutamente

continua rispetto alla misura di Lebesgue, vale

E

[∫ τ

t

Lu(s,Xt,xs )ds

]≤ 0,

per ogni τ ∈ Tt,T . Allora dalla (9.62) deduciamo

u(t, x) ≥ E[u(τ ∧ τR, Xt,xτ∧τR )

], (9.65)

per ogni τ ∈ Tt,T . Ora passiamo al limite in R→ +∞: vale

limR→+∞

τ ∧ τR = τ

puntualmente e, per l’ipotesi di crescita (9.61), abbiamo

∣∣u(τ ∧ τR, Xt,xτ∧τR )∣∣ ≤ C exp

(λ supt≤s≤T

∣∣Xt,xs ∣∣2) .

Per λ abbastanza piccolo, in base al Teorema 9.32, l’esponenziale al membrodestro della stima precedente e sommabile. Dunque possiamo applicare il teo-rema della convergenza dominata per passare al limite in (9.65) per R→ +∞e ottenere

u(t, x) ≥ E[u(τ, Xt,xτ )

]≥ E

[ϕ(τ, Xt,xτ )

].

Questo prova cheu(t, x) ≥ sup

τ∈Tt,TE

[ϕ(τ, Xt,xτ )

].


Concludiamo la dimostrazione ponendo

τ0 = inf{s ∈ [t, T ] | u(s,Xt,xs ) = ϕ(s,Xt,xs )}.

Poiche Lu = 0 q.o. su {u > ϕ}, vale

E

[∫ τ0∧τR

t

Lu(s,Xt,xs )ds

]= 0,

e dalla (9.62) deduciamo

u(t, x) = E[u(τ0 ∧ τR, Xt,xτ0∧τR)

].

Ripetendo l’argomento precedente per passare al limite in R, infine otteniamo

u(t, x) = E[u(τ0, X

t,xτ0 )

]= E

[ϕ(τ0, X

t,xτ0 )

],


Dalla rappresentazione di Feynman-Kac e possibile ottenere utili informa-zioni sulla soluzione del problema con ostacolo sotto ipotesi piu specifiche. Peresempio, se assumiamo che la funzione ϕ sia Lipschitziana in x uniformementein t, ossia che esista una costante C tale che

|ϕ(t, x)− ϕ(t, y)| ≤ C|x− y|, (t, x), (t, y) ∈ ST ,

allora possiamo provare che il gradiente spaziale ∇u e limitato in ST . Preci-samente vale

Proposizione 9.48. Assumiamo le ipotesi del Teorema 9.47 e supponiamoche la funzione ϕ e i coefficienti della SDE (9.59) siano Lipschitziani in xuniformemente rispetto a t su ST . Inoltre il coefficiente a sia costante oppureϕ sia limitata. Allora la soluzione forte u del problema con ostacolo (9.57)verifica

∇u ∈ L∞(ST ).

Dimostrazione. Consideriamo il caso in cui a e costante. La tesi e conseguenzadella disuguaglianza generale∣∣∣∣sup

τF (τ )− sup

τG(τ )

∣∣∣∣ ≤ supτ|F (τ )−G(τ )|

valida per ogni funzione F,G. In base alla formula di rappresentazione diFeynman-Kac vale

|u(t, x)− u(t, y)| ≤ supτ∈Tt,T

E[e−a(τ−t)

∣∣ϕ(τ, Xt,xτ )− ϕ(τ, Xt,yτ )∣∣] ≤

(per l’ipotesi di Lipschitzianita, per un’opportuna costante positiva c)

9.5 Equazioni stocastiche lineari 353

≤ c supτ∈Tt,T

E[∣∣Xt,xτ −Xt,yτ

∣∣] ≤(per il risultato di dipendenza dal dato iniziale, Teorema 9.16)

≤ c1|x− y|,

dove la costante c1 dipende solo da T e dalle costanti di Lipschitz di ϕ e deicoefficienti.Nel caso in cui ϕ sia limitata, la tesi segue in modo analogo utilizzando il

fatto che il prodotto di funzioni Lipschitziane limitate

(t, x) �→ e−∫ τta(s,Xt,x

s )dsϕ(τ, Xt,xτ )

e una funzione Lipschitziana. 2

9.5 Equazioni stocastiche lineari

In questo paragrafo studiamo la classe piu semplice e importante di equazio-ni stocastiche i cui coefficienti sono funzioni lineari della soluzione e intro-duciamo la corrispondente classe di operatori differenziali del second’ordine,gli operatori di Kolmogorov. Tali operatori intervengono in alcuni classicimodelli della fisica e della finanza e godono di gran parte delle buone pro-prieta dell’operatore del calore pur non essendo, in generale, uniformementeparabolici.Consideriamo una SDE in RN della forma

dXt = (B(t)Xt + b(t))dt+ σ(t)dWt, (9.66)

Xt0 = x, (9.67)

dove t0 ∈ R, W e un moto Browniano d-dimensionale con d ≤ N , x ∈ RN

e b, B e σ sono funzioni continue16 a valori rispettivamente nello spazio dellematrici di dimensione N × 1, N ×N e N × d.Sotto tali condizioni valgono chiaramente le ipotesi standard della Defini-

zione 9.4 che garantiscono l’esistenza e unicita della soluzione di (9.66)-(9.67)in senso forte. Inoltre per le equazioni lineari, come nel caso deterministico, eanche possibile ottenere direttamente l’espressione esplicita della soluzione.Preliminarmente richiamiamo alcuni risultati standard sull’esponenziale di

matrice. Ricordiamo che se A e una matrice costante N ×N e t ∈ R, alloraper definizione

etA =

∞∑n=0

tnAn

n!. (9.68)

16 Piu in generale i risultati seguenti valgono sotto l’ipotesi che b, B, σ ∈L∞loc([t0,+∞[).


Osserviamo che la serie in (9.68) e assolutamente convergente poiche

∞∑n=0

‖tnAn‖n!

≤∞∑n=0

|t|nn!‖A‖n = e|t|‖A‖.

Proposizione 9.49. Vale

d

dtetA = AetA = etAA, t ∈ R.

Inoltre si ha: (etA

)∗= etA

∗, etAesA = e(t+s)A, t, s ∈ R.

In particolare, etA e non degenere e vale(etA

)−1= e−tA.

In base alla proposizione precedente, la funzione

Φt0(t) := exp

(∫ t

t0

B(s)ds

)(9.69)

e la soluzione del problema di Cauchy{Φ′(t) = B(t)Φ(t),

Φ(t0) = IN ,

dove IN indica la matrice identita N ×N .

Proposizione 9.50. Il processo

Xt = Φt0(t)

(x+

∫ t

t0

Φ−1t0 (s)b(s)ds+

∫ t

t0

Φ−1t0 (s)σ(s)dWs

), (9.70)

con Φt0 in (9.69), e la soluzione della SDE (9.66) con condizione iniziale(9.67). Inoltre Xt ha distribuzione multi-normale con media

mt0,x(t) := Φt0(t)

(x+

∫ t

t0

Φ−1t0 (s)b(s)ds

), (9.71)

e matrice di co-varianza

Ct0(t) := Φt0(t)

(∫ t

t0

Φ−1t0 (s)σ(s)(Φ−1t0 (s)σ(s)

)∗ds

)Φ∗t0(t). (9.72)


Dimostrazione. E una semplice verifica con la formula di Ito: posto

Yt := x+

∫ t

t0

Φ−1t0 (s)b(s)ds+

∫ t

t0

Φ−1t0 (s)σ(s)dWs,

si ha

dXt = d(Φt0(t)Yt) = Φ′t0(t)Ytdt+ Φt0(t)dYt = (b(t) + B(t)Xt)dt+ σ(t)dWt.

InoltreXt e definito dall’integrale stocastico di una funzione deterministicae quindi, in base alla Proposizione 5.70, ha distribuzione multi-normale. Lamatrice di co-varianza ha la seguente espressione:

Ct0(t) :=E[(Xt −mt0,x(t)

)(Xt −mt0,x(t))

∗]=Φt0(t)E

[∫ t

t0


(∫ t

t0


)∗]Φ∗t0(t) =


= Φt0(t)

(∫ t

t0

Φ−1t0 (s)σ(s)(Φ−1t0 (s)σ(s)

)∗ds

)Φ∗t0(t).

2

Osservazione 9.51. E particolarmente significativo il caso in cui i coefficientisiano costanti: b(t) = b, B(t) = B e σ(t) = σ. Allora Φt0(t) = e(t−t0)B e lasoluzione della SDE e data da

Xt = e(t−t0)B(x+

∫ t

t0

e−(s−t0)Bbds+

∫ t

t0

e−(s−t0)BσdWs

).

Inoltre si ha

mt0,x(t) = mx(t− t0), Ct0(t) = C(t − t0), (9.73)

dove

mx(t) = etBx+

∫ t

0

esBbds, C(t) =∫ t

0

(esBσ

) (esBσ

)∗ds. (9.74)

2

Notiamo esplicitamente che, poiche d ≤ N , in generale la matrice Ct0(t) esoltanto semi-definita positiva: nel caso in cui Ct0(t) > 0, allora Xt ha densitay �→ Γ (t0, x; t, y) dove

Γ (t0, x; t, y) =1√

(2π)N det Ct0(t)e−

12 〈C

−1t0

(t)(y−mt0,x(t)),(y−mt0,x(t))〉,


per x, y ∈ RN . Per i risultati della Sezione 9.4.4, Γ e la soluzione fondamentaledell’operatore differenziale in RN+1 associato alla SDE lineare:

L :=1

2

N∑i,j=1

cij(t)∂xixj + 〈b(t) +B(t)x,∇〉+ ∂t, (t, x) ∈ R× RN , (9.75)

dove (cij) = σσ∗ e ∇ = (∂x1 , . . . , ∂xN ).

Esempio 9.52. Nel caso N = d, B = 0 e b, σ costanti con σ non degenere, Lin (9.75) e l’operatore parabolico a coefficienti costanti

1

2

N∑i,j=1

(σσ∗)ij∂xixj +N∑i=1

bi∂xi + ∂t.

Inoltre Φt0 in (9.69) e la matrice identita e, nelle notazioni (9.74), vale

mx(t) = x+ tb, C(t) = tσσ∗.

Allora, in accordo con i risultati del Paragrafo 2.3, la soluzione fondamentaledi L e data da

Γ (t0, x; t, y) =1

(2π(t − t0))N2 | detσ|

exp

(−∣∣σ−1(y − x− (t− t0)b)

∣∣22(t− t0)

).

Esempio 9.53. La SDE in R2 {dX1

t = dWt,

dX2t = X1

t dt,

e la versione semplificata dell’equazione di Langevin [113] che descrive il motodi una particella nello spazio delle fasi:X1

t eX2t rappresentano rispettivamente

la velocita e la posizione della particella. In questo caso d = 1 < N = 2 e siha

B =

(0 01 0

), σ =

(10

).

La matrice B e nilpotente, B2 = 0, e dunque

etB =

(1 0t 1

).

Inoltre, posto x = (x1, x2), nelle notazioni (9.74) si ha

mx(t) = etBx = (x1, x2 + tx1),

e


C(t) =∫ t

0

esBσσ∗esB∗ds =

∫ t

0

(1 0s 1

)(1 00 0

)(1 s0 1

)ds =

(t t2

2t2

2t3

3

).

Notiamo che C(t) e definita positiva per ogni t > 0 e dunque l’operatoredifferenziale associato

L =1

2∂x1x1 + x1∂x2 + ∂t, (9.76)

pur non essendo un operatore parabolico17, ha una soluzione fondamentale dicui riportiamo l’espressione esplicita: per x, y ∈ R2 e t > t0,

Γ (t0, x; t, y) =

√3

π(t − t0)2e−

12 〈C

−1(t−t0)(y−e(t−t0)Bx),(y−e(t−t0)Bx)〉,

dove

C−1(t) =(

4t− 6t2

− 6t2

12t3

);

piu esplicitamente, vale

Γ (t0, x1, x2; t, y1, y2)

=

√3

π(t − t0)2exp

(−(x1 − y1)

2

t− t0− 12

(t− t0)3

(x2 − y2 −

t− t02

(x1 + y1)

)2).

Kolmogorov [101] fu il primo a determinare la soluzione fondamentale di L in(9.76): al riguardo, si veda anche l’introduzione del lavoro di Hormander [78].Dal punto di vista finanziario l’operatore L ha interesse poiche interviene

nella valutazione delle opzioni Asiatiche con media geometrica e dinamica diBlack&Scholes (cfr. Sezione 7.5.2). 2

9.5.1 Condizione di Kalman

Abbiamo visto che la distribuzione di Xt, soluzione di una SDE lineare, emulti-normale e in generale e degenere. In questa sezione forniamo alcunecondizioni necessarie e sufficienti affinche la matrice di co-varianza di Xt siadefinita positiva e di conseguenza Xt abbia densita.Dall’espressione (9.72) della matrice di co-varianza di Xt, notiamo che

essa non dipende da b. Per semplicita e chiarezza d’esposizione, nel seguitoconsideriamo B e σ costanti: in tal caso, per la (9.73), non e restrittivo assu-mere t0 = 0. Inoltre, per evitare situazioni banali, supponiamo che il rango

17 La matrice della parte del second’ordine di L in (9.76)

σσ∗ =(1 00 0

)e degenere.


della matrice σ sia massimo, pari a d: in tal caso, a meno di un’opportunatrasformazione lineare, possiamo assumere che le colonne di σ siano i primi delementi della base canonica, ossia σ assuma la forma a blocchi

σ =

(Id0

),

dove Id indica la matrice identita d× d. Al solito B e una matrice generica didimensione N ×N .Il primo risultato che presentiamo fornisce una condizione in termini di

controllabilita nell’ambito della teoria dei sistemi lineari; per maggiori dettaglisi veda, per esempio, Zabczyk [171].

Teorema 9.54. Dato T > 0, la matrice

C(T ) =∫ T

0

(etBσ

) (etBσ

)∗dt, (9.77)

e definita positiva se e solo se la coppia (B, σ) e controllabile su [0, T ], ossiaper ogni x, y ∈ RN esiste una funzione v ∈ C([0, T ];Rd) tale che il problema{

γ′(t) = Bγ(t) + σv(t),

γ(0) = x, γ(T ) = y,

ha soluzione. Si dice che la funzione v e un controllo per (B, σ).

Prima di dimostrare il teorema facciamo alcune osservazioni. Anzitutto intro-duciamo la notazione

G(t) = e−tBσ

che useremo sistematicamente nel seguito. Allora fissato x ∈ RN , come casoparticolare della formula risolutiva (9.70), abbiamo che

γ(t) = etB(x+

∫ t

0

G(s)v(s)ds

), (9.78)

e la soluzione del problema di Cauchy lineare{γ′(t) = Bγ(t) + σv(t),

γ(0) = x.(9.79)

Se (B, σ) e controllabile su [0, T ] allora per ogni y ∈ RN esiste un controllo vtale che la traiettoria γ in (9.78) centra l’obiettivo y al tempo T . L’esistenzadel controllo non e garantita in generale poiche v in (9.79) moltiplica la matriceσ che “limita” l’influenza del controllo: cio e evidente nel caso in cui σ = 0.In generale, l’equazione differenziale in (9.79) si riscrive nel modo seguente

γ′ = Bγ +

d∑i=1

viσi,


dove i vettori σi, i = 1, . . . , d, indicano le colonne di σ ossia i primi d vettoridella base canonica di RN . L’interpretazione fisica e che la “velocita” γ′ e parialla somma di Bγ con una combinazione lineare dei vettori σi, i = 1, . . . , d:i coefficienti di tale combinazione lineare sono le componenti del controllo v.Dunque v permette di controllare la velocita della traiettoria γ in RN soltantonelle prime d direzioni. Chiaramente se σ e la matrice identita allora le colonnedi σ formano la base canonica di RN e (B, σ) e controllabile qualunque siala matrice B. Tuttavia ci sono casi in cui il contributo di B e determinante,come nel seguente

Esempio 9.55. Siano B e σ come nell’Esempio 9.53: allora v ha valori reali eil problema (9.79) diventa ⎧⎪⎨⎪⎩

γ′1(t) = v(t),

γ′2(t) = γ1(t),

γ(0) = x.

(9.80)

Il controllo v agisce direttamente solo sulla prima componente di γ ma influen-za anche γ2 mediante la seconda equazione: in questo caso possiamo verificareche (B, σ) e controllabile su [0, T ] per ogni T positivo (si veda la Figura 9.3).

2

x

y

�

x1

x2t

Fig. 9.3. Grafico di una traiettoria γ soluzione del problema (9.80) con γ(0) = x =(x1, 0) e tale che che soddisfa la condizione finale γ(T ) = y = (x1, x2)

Dimostrazione (del Teorema 9.54). Poniamo

M(T ) =

∫ T

0

G(t)G∗(t)dt

e osserviamo cheC(T ) = eTBM(T )eTB

∗.


Poiche le matrici esponenziali sono non-degeneri, C(T ) e definita positiva se esolo se lo e M(T ).Supponiamo M(T ) > 0 e proviamo che (B, σ) e controllabile su [0, T ].

Fissato x ∈ RN , consideriamo la curva γ in (9.78) soluzione del problema(9.79): dato y ∈ RN , vale γ(T ) = y se e solo se∫ T

0

G(t)v(t)dt = e−TBy − x =: z, (9.81)

e quindi, utilizzando l’ipotesi di non-degenerazione di M(T ), il controllo esemplicemente dato da

v(t) = G∗(t)M−1(T )z, t ∈ [0, T ].

Viceversa, sia (B, σ) controllabile su [0, T ] e supponiamo per assurdo cheM(T ) sia degenere. Allora esiste w ∈ RN \ {0} tale che

0 = 〈M(T )w,w〉 =∫ T

0

|w∗G(s)|2ds,

e di conseguenza si ha

w∗G(t) = 0, t ∈ [0, T ].

Per ipotesi, (B, σ) e controllabile su [0, T ] e dunque per ogni x, y ∈ RN esisteun opportuno controllo v tale che vale la (9.81). Moltiplicando per w∗, si ha

w∗z =

∫ T

0

w∗G(s)v(s)ds = 0,

e cio e assurdo. 2

Il seguente risultato fornisce un criterio operativo per verificare se lamatrice di co-varianza e non-degenere.

Teorema 9.56 (Condizione di Kalman sul rango). La matrice C(T ) in(9.77) e definita positiva per T > 0 se e solo se la coppia (B, σ) verifica lacondizione di Kalman, ossia la matrice di dimensione N × (Nd), definita perblocchi da (

σ Bσ B2σ · · · BN−1σ), (9.82)

ha rango massimo pari a N .

Osserviamo esplicitamente che la condizione di Kalman non dipende da T edi conseguenza C(T ) e definita positiva per un T positivo se e solo se lo e perogni T positivo.


Esempio 9.57. Nell’Esempio 9.53, si ha

σ =

(10

), Bσ =

(0 01 0

)(10

)=

(01

),

cosicche (σ Bσ) e la matrice identita e la condizione di Kalman e chiaramentesoddisfatta.

Dimostrazione (del Teorema 9.56). Ricordiamo il Teorema di Cayley-Hamil-ton: sia

p(λ) = det(A − λIN ) = λN + a1λN−1 + · · ·+ aN−1λ+ aN

il polinomio caratteristico di una matrice A di dimensione N × N . Alloravale p(A) = 0 e di conseguenza ogni potenza Ak con k ≥ N si esprime comecombinazione lineare di IN , A, . . . , A

N−1.Ora osserviamo che la matrice (9.82) non ha rango massimo se e solo se

esiste w ∈ RN \ {0} tale che

w∗σ = w∗Bσ = · · · = w∗BN−1σ = 0. (9.83)

Assumiamo che la matrice (9.82) non abbia rango massimo: allora per la(9.83) e il Teorema di Cayley-Hamilton, si ha

w∗Bkσ = 0, ∀k ∈ N0,

da cui si ottienew∗etBσ = 0, t ≥ 0.

Di conseguenza

〈C(T )w,w〉 =∫ T

0

∣∣w∗etBσ∣∣2 dt = 0, (9.84)

e C(T ) e degenere per ogni T > 0.Viceversa, se C(T ) e degenere per un T > 0 allora esiste w ∈ RN \ {0} tale

che vale (9.84) da cui

f(t) := w∗etBσ = 0, t ∈ [0, T ].

Derivando si ottiene

0 =dk

dtkf(t) |t=0= w∗Bkσ, k ∈ N0,

da cui segue che la matrice (9.82) non ha rango massimo, in base alla (9.83).2


9.5.2 Equazioni di Kolmogorov e condizione di Hormander

Consideriamo la SDE lineare

dXt = (BXt + b)dt+ σdWt, (9.85)

con B, b, σ costanti, σ della forma

σ =

(Id0

),

e assumiamo valida la condizione di Kalman

rank(σ Bσ B2σ · · · BN−1σ

)= N.

Definizione 9.58. Diciamo che l’operatore differenziale in RN+1

L =1

2�Rd + 〈b+Bx,∇〉+ ∂t, (9.86)

associato alla SDE (9.85), e un operatore di tipo Kolmogorov a coefficienticostanti. Qui usiamo la notazione

�Rd =

d∑i=1

∂xixi .

Ricordiamo le definizioni di C e mx in (9.74). In base alla condizione di Kal-man C(t) e definita positiva per t > 0, da cui segue che L ha una soluzionefondamentale di cui riportiamo l’espressione esplicita:

Γ (t, x; T, y) =1√

(2π)N det C(T − t)e−

12 〈C

−1(T−t)(y−mx(T−t)),(y−mx(T−t))〉,

per x, y ∈ RN e t < T .Proviamo ora che la condizione di Kalman e equivalente alla condizione di

Hormander che e un criterio di non-degenerazione ben noto nella teoria dellaequazioni alle derivate parziali. Per convenzione, identifichiamo ogni operatoredifferenziale del prim’ordine Z in RN , della forma

Zf(x) =

N∑k=1

αk(x)∂xkf(x),

con il campo vettoriale dei suoi coefficienti e quindi scriviamo anche

Z = (α1, . . . , αN).

Il commutatore di Z con


U =

N∑k=1

βk∂xk

e definito da

[Z, U ] = ZU − UZ =N∑k=1

(Zβk − Uαk) ∂xk .

Il Teorema di Hormander [78] e un risultato molto generale che, nel caso par-ticolare dell’operatore di Kolmogorov a coefficienti costanti in (9.86), affermache L ha soluzione fondamentale se e solo se, in ogni punto x ∈ RN , lo spaziovettoriale generato dagli operatori differenziali (campi vettoriali) calcolati inx

∂x1 , . . . , ∂xd e Y := 〈Bx,∇〉,assieme ai loro commutatori di ogni ordine, coincide con RN . Questa e lacosiddetta condizione di Hormander.

Esempio 9.59. 2

i) Nel caso di un operatore parabolico, d = N e quindi la condizionedi Hormander e ovviamente soddisfatta senza ricorrere ai commutatori,poiche ∂x1 , . . . , ∂xN costituiscono la base canonica di R

N .ii) Nell’Esempio 9.53 abbiamo semplicemente Y = x1∂x2 . Dunque

∂x1 ∼ (1, 0) e [∂x1 , Y ] = ∂x2 ∼ (0, 1)generano R2.

iii) Consideriamo l’operatore differenziale

∂x1x1 + x1∂x2 + x2∂x3 + ∂t.

Qui N = 3, d = 1 e Y = x1∂x2 +x2∂x3 : anche in questo caso la condizionedi Hormander e verificata poiche

∂x1 , [∂x1, Y ] = ∂x2 , [[∂x1 , Y ], Y ] = ∂x3 ,

generano R3.

2

Proposizione 9.60. Le condizioni di Kalman e Hormander sono equivalenti.

Dimostrazione. E sufficiente notare che, per i = 1, . . . , d,

[∂xi , Y ] =

N∑k=1

bki∂xk

e la i-esima colonna della matrice B. Inoltre [[∂xi, Y ], Y ] e la i-esima colonnadella matrice B2 e vale una rappresentazione analoga per i commutatori diordine superiore.D’altra parte, per k = 1, . . . , N , Bkσ in (9.82) e la matrice N × d le cui

colonne sono le prime d colonne di Bk. 2


Introduciamo ora la definizione di operatore di Kolmogorov a coefficientivariabili. Consideriamo la SDE in RN

dXt = (BXt + b(t, Xt))dt+ σ(t, Xt)dWt, (9.87)

dove al solitoW e un moto Browniano d-dimensionale e assumiamo le seguentiipotesi:

i) la matrice σ assume la forma

σ =

(σ00

),

dove σ0 = σ0(t, x) e una matrice d × d tale che σ0σ∗0 =: (cij) e uni-

formemente definita positiva, ossia esiste una costante positiva λ taleche

d∑i,j=1

cij(t, x)ηiηj ≥ λ|η|2, η ∈ Rd, (t, x) ∈ RN+1 ;

ii) B e

(Id0

)verificano la condizione di Kalman o, in altri termini,

1

2�Rd + 〈Bx,∇〉+ ∂t,

e un operatore di Kolmogorov a coefficienti costanti;iii) bd+1 , . . . , bN sono funzioni della sola variabile t.

La prima ipotesi generalizza la condizione di uniforme parabolicita (8.2). Laseconda ipotesi e una condizione di non degenerazione che supplisce alla even-tuale mancanza di parabolicita: nel caso di coefficienti costanti, cio garantiscel’esistenza della soluzione fondamentale. La terza ipotesi e posta a salvaguar-dia della seconda: se b potesse essere una funzione generica, allora il terminelineare BXt nell’equazione stocastica sarebbe superfluo. In particolare si per-derebbe la condizione di Kalman che e basata sulla particolare struttura dellamatrice B.

Definizione 9.61. Diciamo che l’operatore differenziale in RN+1

L =1

2

d∑i,j=1

cij(t, x)∂xi∂xj +

d∑i=1

bi(t, x)∂xi + 〈Bx,∇〉+ ∂t,

associato alla SDE (9.87), e un operatore di tipo Kolmogorov a coefficientivariabili.

Ricordiamo che una teoria analoga a quella valida per gli operatori uniforme-mente parabolici, illustrata nel Capitolo 8, e stata sviluppata da diversi autorianche per la classe generale degli operatori di Kolmogorov a coefficienti varia-bili. Ricordiamo per esempio i risultati di Lanconelli e Polidoro [112], Polidoro


[136], [137], [138], Di Francesco e Pascucci [42]. Recentemente in [43] e [135] estato anche studiato il problema con ostacolo per operatori di Kolmogorov eil corrispondente problema di arresto ottimo che interviene nella valutazionedelle opzioni Americane.

9.5.3 Esempi

Esaminiamo un paio di esempi particolarmente significativi di SDE lineari.

Esempio 9.62 (Ponte Browniano). Fissato b ∈ R, consideriamo la SDE 1-dimensionale

dB =b− Bt

1− tdt+ dWt,

la cui soluzione, almeno per t < 1, e data da

Bt = B0(1− t) + bt+ (1− t)

∫ t

0

dWs

1− s.

Allora abbiamoE [Bt] = B0(1− t) + bt,

e, per l’isometria di Ito,

var(Bt) = (1− t)2∫ t

0

ds

(1− s)2= t(1− t).

Notiamo che

limt→1−

E [Bt] = b, e limt→1−

var(Bt) = 0.

In effetti, possiamo provare che

limt→1−

Bt = b, q.s.

poiche, per t < 1, si ha

E[(Bt − b)

2]

= (1− t)2

⎛⎜⎜⎝(b −B0)2 − 2(b−B0)E

[∫ t

0

dWs

1− s

]︸︷︷︸

=0

+E

[(∫ t

0

dWs

1− s

)2]⎞⎟⎟⎠ =

= (1− t)2((b−B0)

2 +

∫ t

0

ds

(1− s)2

)=

= (1− t)2((b−B0)

2 +1

1− t− 1

)−−−−→t→1−

0.

2


Esempio 9.63 (Ornstein&Uhlenbeck [164], Langevin [113]). Consideriamo ilseguente modello per il moto con attrito di una particella: velocita e posizionesono descritte dalla coppia Xt = (Vt, Pt), soluzione della SDE lineare{

dVt = −μVtdt+ σdWt

dPt = Vtdt,

dove W e un moto Browniano reale, μ e σ sono i coefficienti positivi d’attritoe di diffusione. Equivalentemente abbiamo

dXt = BXtdt+ σdWt

dove (−μ 01 0

), σ =

(σ0

).

Si verifica facilmente che la condizione di Kalman e soddisfatta. Inoltre, eimmediato provare per induzione che, per ogni n ∈ N, vale

Bn =

((−μ)n 0(−μ)n−1 0

),

e quindi

etB = I2 +

N∑n=1

(tB)n

n!=

(e−μt 01−e−μtμ 1

).

Sappiamo che Xt ha distribuzione normale. Per concludere, calcoliamonevalore atteso e matrice di co-varianza:

E [Xt] =

(E [Vt]E [Pt]

)= etB

(V0P0

)=

(V0e

−μt

P0 +V0μ (1− e−μt)

);

inoltre

C(t) =(var(Vt) cov(Vt, Pt)cov(Vt, Pt) var(Pt)

)=

∫ t

0

(esBσσ∗

)esB

∗ds

= σ2∫ t

0

(e−μs 01−e−μsμ 0

)(e−μs 1−e−μs

μ

0 1

)ds

= σ2∫ t

0

⎛⎝ e−2μs e−μs−e−2μsμ

e−μs−e−2μsμ

(1−e−μsμ

)2⎞⎠ ds

= σ2

( 12μ

(1− e−2μt

)1

2μ2

(1− 2e−μt + e−2μt

)1

2μ2

(1− 2e−μt + e−2μt

)1μ3

(μt + 2e−μt − e−2μt−3

2

) ).

2

10

Modelli di mercato a tempo continuo

Cambio di misura di probabilita – Rappresentazione delle martingale Browniane –Valutazione – Mercati completi – Analisi della volatilita

In questo capitolo presentiamo la teoria generale della valutazione e copertu-ra di derivati in modelli a tempo continuo. Nel seguito il concetto di misuramartingala gioca il ruolo centrale: mostreremo che ad ogni misura martingalacorrisponde un prezzo di mercato del rischio ed un prezzo per i titoli derivatiche evita di introdurre opportunita d’arbitraggio. In questo ambito generaliz-ziamo la teoria in tempo discreto del Capitolo 3 ed estendiamo la formulazioneMarkoviana del Capitolo 7 basata sulle equazioni paraboliche.La nostra presentazione segue essenzialmente l’approccio introdotto nei

lavori di Harrison e Kreps [74], Harrison e Pliska [75]. Nei primi due para-grafi forniamo i risultati teorici sul cambio di misura di probabilita e sullarappresentazione delle martingale Browniane. Successivamente introduciamoi modelli di mercato in tempo continuo e studiamo l’esistenza di una misuramartingala e la relazione con l’assenza d’arbitraggi. Discutiamo dapprima lavalutazione e copertura di opzioni dapprima in ambito generale; di seguitotrattiamo il caso Markoviano che, basandosi sulla teoria delle PDE parabo-liche sviluppata nei capitoli precedenti, risulta particolarmente significativoe permette l’utilizzo di metodi numerici efficienti per la determinazione delprezzo e della strategia di copertura di un derivato.

10.1 Cambio di misura di probabilita

10.1.1 Martingale esponenziali

Sia (Wt)t∈[0,T ] un moto Browniano d-dimensionale sullo spazio (Ω,F , P,Ft).Dato un processo d-dimensionale θ ∈ L2

loc, definiamo la martingala esponen-ziale associata a θ (cfr. Esempio 5.57):

Zθt = exp

(−

∫ t

0

θs · dWs −1

2

∫ t

0

|θs|2ds), t ∈ [0, T ]. (10.1)

Per la formula di Ito vale


368 10 Modelli di mercato a tempo continuo

dZθt = −Zθt θt · dWt, (10.2)

e quindi Zθ e una martingala locale. Essendo positiva, per la Proposizione5.33, Zθ e anche una super-martingala. Inoltre

E[Zθt

]≤ E

[Zθ0

]= 1, t ∈ [0, T ],

e (Zθt )t∈[0,T ] e una martingala se e solo se E[ZθT

]= 1.

Lemma 10.1. Se esiste una costante C tale che∫ T

0

|θt|2dt ≤ C P -q.s. (10.3)

allora Zθ in (10.1) e una martingala. Inoltre

E

[∫ T

0

(Zθt

)pdt

]<∞, p ≥ 1,

ossia Zθ ∈ Lp(Ω, P ) per ogni p ≥ 1.

Dimostrazione. PoniamoZT = sup

0≤t≤TZθt .

Per ogni λ > 0, vale

P(ZT ≥ λ

)≤ P

(sup

0≤t≤Texp

(−

∫ t

0

θs · dWs

)≥ λ

)= P

(sup

0≤t≤T

(−

∫ t

0

θs · dWs

)≥ logλ

)≤

(per il Corollario 9.31, usando la condizione (10.3) ed essendo c1, c2 costantipositive)

≤ c1e−c2(logλ)2 .

Allora per la Proposizione 2.40 vale

EP[ZpT

]=

∫ ∞

0

pλp−1P(ZT ≥ λ

)dλ <∞.

In particolare per p = 2 si ha che Zθθ ∈ L2 e quindi, per la (10.2), che Zθ euna martingala. 2

Osservazione 10.2. Se θ = (θ1 , . . . , θd) assume valori complessi, θt ∈ Cd, alloraprocedendo come della dimostrazione del Lemma 10.1 e posto

θ2 =d∑k=1

(θk

)2,

10.1 Cambio di misura di probabilita 369

si prova che se ∫ T

0

θ2t dt ≤ C P -q.s.

allora

Zθt := exp

(−

∫ t

0

θs · dWs −1

2

∫ t

0

θ2sds

), t ∈ [0, T ],

e una martingala in Lp(Ω, P ) per ogni p ≥ 1.

Supponiamo ora che Zθ in (10.1) sia una martingala e quindi in particolarevalga E

[ZθT

]= 1. Definiamo la misura Q su (Ω,F) mediante

dQ

dP= ZθT , (10.4)

ossia

Q(F ) =

∫F

ZθTdP, F ∈ F .

Ricordiamo la Formula di Bayes, Teorema 2.108: per ogni X ∈ L1(Ω,Q) vale

EQ [X | Fs] =EP

[XZθT | Fs

]EP

[ZθT | Fs

] s ∈ [0, T ]. (10.5)

Di conseguenza abbiamo il seguente

Lemma 10.3. Supponiamo che Zθ in (10.1) sia una P -martingala e Q sia lamisura di probabilita definita in (10.4). Allora un processo (Mt)t∈[0,T ] e una

Q-martingala se e solo se (MtZθt )t∈[0,T ] e una P -martingala.

Dimostrazione. Poiche Zθ e strettamente positivo e quindi invertibile, e chiaroche M e adattato se e solo se MZθ lo e. Poiche Zθ e una P -martingala,M eQ-sommabile se e solo se MZθ e P -sommabile: infatti vale

EQ [|Mt|] = EP[|Mt|ZθT

]= EP

[EP

[|Mt|ZθT | Ft

]]=

(essendo M adattato)

= EP[|Mt|EP

[ZθT | Ft

]]= EP

[|Mt|Zθt

].

Analogamente, per s ≤ t vale

EP[MtZ

θT | Fs

]= EP

[EP

[MtZ

θT | Ft

]| Fs

]= EP

[MtZ

θt | Fs

].

Allora da (10.5) con X =Mt si ha

EQ [Mt | Fs] =EP

[MtZ

θT | Fs

]EP

[ZθT | Fs

] =EP

[MtZ

θt | Fs

]Zθs

,

da cui la tesi. 2


Osservazione 10.4. Nelle ipotesi del Lemma 10.3, il processo

(Zθt

)−1= exp

(∫ t

0

θs · dWs +1

2

∫ t

0

|θs|2ds).

e unaQ-martingala poiche Zθ(Zθ

)−1e ovviamente una P -martingala. Inoltre,

per ogni variabile aleatoria sommabile X, vale

EP [X] = EP[X

(ZθT

)−1ZθT

]= EQ

[X

(ZθT

)−1]e quindi

dP

dQ=

(ZθT

)−1.

In particolare P,Q sono misure equivalenti poiche reciprocamente hannodensita strettamente positive.Infine, procedendo come nel Lemma 10.1, si prova che se vale la condizione

(10.3) allora(Zθ

)−1 ∈ Lp(Ω, P ) per ogni p. 2

10.1.2 Teorema di Girsanov

Il Teorema di Girsanov mostra che e possibile sostituire “arbitrariamente”il drift di un processo di Ito modificando opportunamente la misura di pro-babilita e il moto Browniano considerati. In questa sezione (Wt)t∈[0,T ] indi-ca un moto Browniano d-dimensionale sullo spazio (Ω,F , P,Ft). Il risultatoprincipale e il seguente

Teorema 10.5 (Teorema di Girsanov). Sia Zθ in (10.1) la martingalaesponenziale associata al processo θ ∈ L2

loc. Assumiamo che Zθ sia una P -

martingala e consideriamo la misura Q definita da

dQ

dP= ZθT . (10.6)

Allora il processo

W θt :=Wt +

∫ t

0

θsds, t ∈ [0, T ], (10.7)

e un moto Browniano su (Ω,F , Q,Ft).

Dimostrazione. Utilizziamo il Teorema 5.74 di caratterizzazione del motoBrowniano. Dobbiamo mostrare che, per ogni ξ ∈ Rd, il processo

Y ξt = eiξ·Wθt +

|ξ|22 t, t ∈ [0, T ],

e una Q-martingala o equivalentemente, per il Lemma 10.3, che il processo

10.1 Cambio di misura di probabilita 371

Y ξt Zt = exp

(iξ ·Wt + i

∫ t

0

ξ · θsds+|ξ|2t2−

∫ t

0

θs · dWs −1

2

∫ t

0

|θs|2ds)

= exp

(−

∫ t

0

(θs − iξ) · dWs −1

2

d∑k=1

∫ t

0

(θks − iξk

)2ds

)

e una P -martingala. Se ∫ T

0

|θt|2dt ≤ C P -q.s.

allora la tesi segue dal Lemma 10.1 che vale anche per processi a valoricomplessi e in particolare per θ − iξ (cfr. Osservazione 10.2).In generale occorre utilizzare un argomento di localizzazione: consideriamo

la successione di tempi d’arresto

τn = inf{t |∫ t

0

|θs|2ds ≥ n} ∪ {T}, n ∈ N.

Per il Lemma 10.1, il processo (Y ξt∧τnZt∧τn) e una P -martingala e vale

EP[Y ξt∧τnZt∧τn | Fs

]= Y ξs∧τnZs∧τn , s ≤ t, n ∈ N.

Dunque, per provare che Y ξZ e una martingala, e sufficiente mostrare che(Y ξt∧τnZt∧τn) converge a (Y

ξt Zt) in norma L1 per n che tende all’infinito.

Poichelimn→∞

Y ξt∧τn = Y ξt q.s.

e 0 ≤ Y ξt∧τn ≤ e|ξ|2T2 , basta provare che

limn→∞

Zt∧τn = Zt in L1(Ω, P ).

PostoMn = min{Zt∧τn , Zt},

si ha 0 ≤Mn ≤ Zt e per il teorema della convergenza dominata

limn→∞

E [Mn] = E [Zt] .

D’altra parte

E [|Zt − Zt∧τn |] = E [Zt −Mn] + E [Zt∧τn −Mn] =

(poiche E [Zt] = E [Zt∧τn ] = 1)

= 2E [Zt −Mn]

da cui la tesi. 2


Corollario 10.6. Sia X un processo di Ito in RN della forma

Xt = X0 +

∫ t

0

bsds+

∫ t

0

σsdWs, t ∈ [0, T ],

con b ∈ L1loc e σ ∈ L2

loc. Dato r = (r1, . . . , rN) ∈ L1

loc, supponiamo esista unprocesso θ = (θ1, . . . , θd) ∈ L2

loc tale che:

i) valeσtθt = bt − rt, t ∈ [0, T ]; (10.8)

ii) il processo Zθ in (10.1) e una P -martingala.

Allora vale

Xt = X0 +

∫ t

0

rsds+

∫ t

0

σsdWθs , t ∈ [0, T ],

dove W θ e il Q-moto Browniano definito in (10.7)-(10.6).

Dimostrazione. Per l’ipotesi ii), possiamo applicare il Teorema di Girsanov ecostruire il moto Browniano W θ su (Ω,F , Q). Inoltre vale

dXt = btdt+ σtdWt =

(per la (10.7))= btdt+ σt

(dW θ

t − θtdt)=

(per la (10.8))= rtdt+ σtdW

θt .

2

Osservazione 10.7. Una caratteristica fondamentale del cambio di misura allaGirsanov e il fatto che solo il termine di drift del processo S viene modificato:il coefficiente di diffusione (o volatilita) rimane invariato. 2

L’ipotesi principale del Teorema di Girsanov e la proprieta di martinga-la del processo Zθ. Nelle applicazioni finanziarie assumeremo condizioni inbase alle quali θ e limitato cosicche la proprieta di martingala di Zθ seguedal Lemma 10.1. Tuttavia in generale la validita di questa condizione non edirettamente verificabile sul processo θ ed e utile il seguente classico risultatodi Novikov [128] di cui riportiamo solo l’enunciato.

Teorema 10.8 (Condizione di Novikov). Se θ ∈ L2loc e tale che

E

[exp

(1

2

∫ T

0

|θs|2ds)]

<∞

allora il processo

Zθt = exp

(−

∫ t

0

θs · dWs −1

2

∫ t

0

|θs|2ds), t ∈ [0, T ],

e una martingala.

10.2 Rappresentazione delle martingale Browniane 373

10.2 Rappresentazione delle martingale Browniane

Sia (Wt)t∈[0,T ] un moto Browniano d-dimensionale sullo spazio (Ω,F , P ) mu-nito della filtrazione Browniana FW = (FWt )t∈[0,T ]. Sappiamo (cfr. Teorema5.63) che per ogni u ∈ L2(FW ), il processo integrale (a valori reali)

Mt :=M0 +

∫ t

0

us · dWs, t ∈ [0, T ], (10.9)

e una FW -martingala. In questo paragrafo proviamo che, viceversa, ogni FW -martingala ammette una rappresentazione della forma (10.9).

Teorema 10.9. Per ogni variabile aleatoria reale X ∈ L2(Ω,FWT ) esiste ed eunico u ∈ L2(FW ) tale che

X = E [X] +

∫ T

0

ut · dWt. (10.10)

Per semplicita consideriamo solo il caso uno-dimensionale d = 1 anche se gliargomenti seguenti possono essere facilmente adattati al caso generale. Laprova del Teorema 10.9 e basata sui seguenti risultati preliminari.

Lemma 10.10. La famiglia delle variabili aleatorie della forma

ϕ(Wt1 , . . . ,Wtn)

con ϕ ∈ C∞0 (Rn), tk ∈ [0, T ] per k = 1, . . . , n e n ∈ N, e densa in L2(Ω,FWT ).

Dimostrazione. Consideriamo un sottoinsieme {tn}n∈N numerabile e denso in[0, T ], e definiamo la filtrazione discreta

Fn := σ(Wt1 , . . . ,Wtn), n ∈ N;

osserviamo che FWT = σ(Fn, n ∈ N). Data X ∈ L2(Ω,FWT ), consideriamo lamartingala discreta definita da

Xn = E [X | Fn] , n ∈ N.

Per il Corollario 2.128 vale

limn→∞

Xn = X, in L2;

inoltre per la Proposizione A.8, per ogni n ∈ N esiste una funzione misurabileϕ(n) tale che

Xn = ϕ(n)(Wt1 , . . . ,Wtn).

Per densita, ϕ(n) puo essere approssimata in L2(Rn) da una successione(ϕ

(n)k )k∈N in C∞0 (R

n): ne segue che

limk→∞

ϕ(n)k (Wt1 , . . . ,Wtn) = Xn, in L2(Ω, P ),



Lemma 10.11. Lo spazio vettoriale delle combinazioni lineari di variabilialeatorie della forma

Zθ = exp

(−

∫ T

0

θ(t) · dWt −1

2

∫ T

0

|θ(t)|2dt)

con θ ∈ L∞([0, T ];Rd), funzione deterministica, e denso in L2(Ω,FWT , P ).

Dimostrazione. Proviamo la tesi verificando che se

〈X,Zθ〉L2(Ω) =∫Ω

XZθdP = 0, (10.11)

per ogni θ ∈ L∞([0, T ]), allora X = 0 q.s. Come in precedenza consideriamosolo il caso d = 1.Da (10.11), scegliendo opportunamente θ costante a tratti, deduciamo

F (ξ) :=

∫Ω

eξ1Wt1+···+ξnWtnXdP = 0, (10.12)

per ogni ξ ∈ Rn, t1, . . . , tn ∈ [0, T ] e n ∈ N. Ora consideriamo l’estensione diF su Cn:

F (z) =

∫Ω

ez1Wt1+···+znWtnXdP, z ∈ Cn,

ed osserviamo che per il principio del prolungamento analitico e la (10.12),F ≡ 0. Allora, in base al Teorema A.37 di inversione della trasformata diFourier, per ogni ϕ ∈ C∞0 (R

n) abbiamo∫Ω

ϕ(Wt1 , . . . ,Wtn)XdP =

∫Ω

(1

(2π)n

∫Rn

eξ1Wt1+···+ξnWtn ϕ(−ξ)dξ)XdP

=1

(2π)n

∫Rn

ϕ(−ξ)∫Ω

eξ1Wt1+···+ξnWtnXdPdξ = 0,

da cui, in base al Lemma 10.10, segue la tesi. 2

Dimostrazione (del Teorema 10.9). Per quanto riguarda l’unicita, se u, v ∈ L2

soddisfano la (10.10) allora∫ T

0

(ut − vt) · dWt = 0

e per l’isometria di Ito si ha

0 = E

⎡⎣(∫ T

0

(ut − vt) · dWt

)2⎤⎦ = E

[∫ T

0

|ut − vt|2 dt]

da cui risulta che u e v sono indistinguibili. Per quanto riguarda l’esistenza,consideriamo anzitutto il caso in cui X sia della forma


X = ZθT = exp

(−

∫ T

0

θ(t) · dWt −1

2

∫ T

0

|θ(t)|2dt)

(10.13)

con θ ∈ L∞([0, T ]). Per la formula di Ito si ha

dZθt = −Zθt θ(t) · dWt

da cui

X = 1−∫ T

0

Zθt θ(t) · dWt.

Inoltre, per il Lemma 10.1, poiche θ e una funzione limitata si ha θZθ ∈ L2;questo prova la (10.10) per X in (10.13).Ora, per il Lemma 10.11, ogni X ∈ L2(Ω,FWT , P ) puo essere approssimata

in L2 da una successione (Xn) di combinazioni lineari di variabili aleatorie deltipo (10.13): percio vale la rappresentazione

Xn = E [Xn] +

∫ T

0

unt · dWt, (10.14)

con un ∈ L2. Per l’isometria di Ito, si ha

E[(Xn −Xm)

2]= (E [Xn −Xm])

2+ E

[∫ T

0

|unt − umt |2dt

],

da cui risulta che (un) e una successione di Cauchy in L2(FW ) e quindi econvergente. Passando al limite in (10.14) per n→∞ si ha la tesi. 2

Osservazione 10.12. Utilizzando la teoria del calcolo di Malliavin, nella Sezio-ne 13.2.1 saremo in grado di ricavare l’espressione del processo u in (10.10) intermini di attesa condizionata della derivata stocastica di X.

Teorema 10.13. Sia (Mt)t∈[0,T ] una FW -martingala tale cheMT ∈ L2(Ω, P ).Allora esiste ed e unico il processo u ∈ L2(FW ) tale che

Mt =M0 +

∫ t

0

us · dWs, t ∈ [0, T ]. (10.15)

Dimostrazione. Poiche MT ∈ L2(Ω, P ), per il Teorema 10.9 esiste u ∈L2(FW ) tale che

MT =M0 +

∫ T

0

us · dWs.

Considerando l’attesa condizionata, abbiamo

Mt = E[MT | FW

]=M0 +

∫ t

0

us · dWs, t ∈ [0, T ].

2


Osservazione 10.14. Segue dal Teorema 10.13 che ogni martingala di quadratointegrabile ammette una modificazione continua.

Teorema 10.15. Sia (Mt)t∈[0,T ] una FW -martingala locale. Allora esiste ede unico il processo u ∈ L2

loc(FW ) tale che

Mt =M0 +

∫ t

0

us · dWs, t ∈ [0, T ]. (10.16)

Dimostrazione. Se u, v ∈ L2loc soddisfano la (10.16) allora per

It :=

∫ t

0

(us − vs) · dWs, t ∈ [0, T ],

si ha, per le Proposizioni 5.39 e 5.37,

〈I〉T =∫ T

0

|ut − vt|2dt = 0 q.s.

e questo prova l’unicita.Per l’esistenza, assumiamo dapprima che M sia continua: per l’Osserva-

zione 5.31, esiste una successione localizzante (τn) tale che (Mτn) e una suc-

cessione di martingale continue e limitate. Allora per il Teorema 10.13 esisteuna successione (un) in L2(FW ) tale che

M τnt =Mt∧τn =M0 +

∫ t

0

uns · dWs, t ∈ [0, T ]. (10.17)

OraM τnt =M

τn+1t su {t ≤ τn},

e quindi, per il risultato di unicita del teorema precedente, i processi(unt∧τn

)e

(un+1t∧τn

)sono indistinguibili. Allora, per un argomento analogo a quello

utilizzato nel Paragrafo 5.4, e ben posta la definizione

ut1{t≤τn} = unt , t ∈ [0, T ];

inoltre u ∈ L2loc e dalla (10.17) segue la (10.16).

Ora mostriamo che ogni martingala locale M ammette una modificazionecontinua. Consideriamo prima il caso di una martingala M : poiche MT ∈L1(Ω, P ) e L2(Ω, P ) e denso in L1(Ω, P ), esiste una successione (Xn) divariabili aleatorie FWT -misurabili e di quadrato sommabili tale che

‖Xn −MT ‖L1 ≤1

2n, n ∈ N.

Per il Teorema 10.13 la successione di martingale

Mnt := E

[Xn | FWt

], t ∈ [0, T ],


ammette una modificazione continua. Per la disuguaglianza massimale (cfr.Teorema 9.28) applicata alla super-martingala − |Mt −Mn

t | si ha

P

(supt∈[0,T ]

|Mt −Mnt | ≥

1

k

)≤ kE [|MT −Xn|] ≤

k

2n,

e quindi per il Lemma di Borel-Cantelli1 si conclude che (Mn) convergeuniformemente q.s. a M che dunque e continua q.s.Infine, se M e una martingala locale, consideriamo una successione loca-

lizzante (τn): per quanto appena provato, Mτn ammette una modificazione

continua da cui segue che

M =M τn su {t ≤ τn},

e continua e, data l’arbitrarieta di n ∈ N, si ha la tesi. 2

Concludiamo il paragrafo mostrando che il risultato di rappresentazio-ne delle martingale Browniane vale anche sotto un cambio di misura allaGirsanov.

Teorema 10.16. Nelle ipotesi del Teorema 10.5 di Girsanov, se M e unamartingala locale in (Ω,F , Q,FWt ) allora esiste ed e unica u ∈ L2

loc(FW ) taleche

Mt =M0 +

∫ t

0

us · dW θs , t ∈ [0, T ],

dove W θ e il Q-moto Browniano definito in (10.7).

Dimostrazione. A meno di utilizzare un argomento di localizzazione comenella prova del Teorema 10.15, e sufficiente considerare il caso in cui M euna martingala. Notiamo che poiche M e una Q-martingala rispetto a FWche e la filtrazione naturale per W e non per W θ, non possiamo applicaredirettamente il Teorema 10.15.Per il Lemma 10.3, il processo Y := MZ, dove Z = Zθ e la martingala

esponenziale che definisce Q, e una P -martingala e quindi

Yt =M0 +

∫ t

0

vs · dWs, t ∈ [0, T ],

1 Data una successione (An) di eventi e posto

A =⋂n≥1

⋃k≥n

Ak,

se vale ∑n≥1

P (An) <∞,

allora P (A) = 0.


con v ∈ L2loc. Osserviamo che

dZ−1t = d exp

(∫ t

0

θs · dWs +1

2

∫ t

0

|θs|2 ds)

= Z−1t

(θt · dWt + |θt|2 dt

)= Z−1t θt · dW θ

t , (10.18)

e quindi per la formula di Ito si ha

dMt = d(YtZ

−1t

)= YtdZ

−1t + Z−1t dYt + d〈Y, Z−1〉t

= Z−1t(Ytθt · dW θ

t + vt · dWt + ut · θtdt)

= Z−1t (Ytθt + vt) · dW θt .

Dunque vale la tesi con u = Z−1 (Y θ + v). 2

10.3 Valutazione

In questo paragrafo studiamo il problema della valutazione di un derivatoEuropeo in modello di mercato a tempo continuo. Anzitutto fissiamo le ipotesigenerali che assumeremo in tutto il resto del capitolo: consideriamo un mercatoin cui sono presenti N titoli rischiosi e d fattori di rischio rappresentati daun moto Browniano d-dimensionale W sullo spazio di probabilita (Ω,F , P )munito della filtrazione Browniana (FWt ). Per semplicita assumiamo F = FWTe N ≤ d. Motiveremo quest’ultima ipotesi con l’Esempio 10.22 e la discussioneche lo precede. Intuitivamente l’idea e che se il numero N dei titoli rischiosi emaggiore del numero d dei fattori di rischio allora si hanno due possibilita: o ilmodello di mercato ammette arbitraggi oppure alcuni titoli sono “ridondanti”nel senso che possono essere replicati utilizzando soltanto d titoli “primitivi”fra gli N disponibili.Indichiamo con Sit il prezzo al tempo t ∈ [0, T ] dell’i-esimo titolo rischioso

e supponiamo che

Sit = eXit , i = 1, . . . , N,

dove X = (X1, . . . , XN ) e un processo di Ito della forma

dXt = btdt+ σtdWt. (10.19)

I coefficienti b e σ hanno valori rispettivamente in RN e nello spazio del-le matrici di dimensione N × d. Inoltre b, σ ∈ L∞, ossia sono processiprogressivamente misurabili e limitati: esiste una costante C tale che

|bt|+ |σt| ≤ C, t ∈ [0, T ], q.s.

Notazione 10.17 Per brevita, indichiamo con σi la i-esima riga della ma-trice σ e

μit = bit +|σi|22

, (10.20)

per i = 1, . . . , N .

10.3 Valutazione 379

Allora per la formula di Ito, vale

dSit = μitSitdt+ Sitσ

it · dWt (10.21)

= μitSitdt+

d∑j=1

Sitσijt dW

jt ,

per i = 1, . . . , N .

Osservazione 10.18. In base alla stima del Teorema 9.33, per diffusioni concoefficienti a crescita al piu lineare2, per ogni p ≥ 1 vale

E

[sup

0≤t≤T|St|p

]<∞. (10.22)

2

Indichiamo con B il prezzo del titolo non rischioso e supponiamo chesoddisfi l’equazione

dBt = rtBtdt,

con r ∈ L∞. In altri termini

Bt = e∫ t0rsds, t ∈ [0, T ]. (10.23)

Notiamo che, a dispetto dell’appellativo “non rischioso”, anche B e un pro-cesso stocastico: tuttavia B ha variazione limitata (cfr. Esempio 4.31-iii)) equindi intuitivamente ha un grado di aleatorieta inferiore rispetto ai titoli S.

10.3.1 Misure martingale e prezzi di mercato del rischio

Il concetto di misura martingala gioca un ruolo centrale nella teoria dei de-rivati finanziari. Vedremo nelle Sezioni 10.3.3 e 10.3.4 che l’esistenza di unamisura martingala assicura l’assenza d’opportunita d’arbitraggio e permet-te di introdurre il prezzo neutrale al rischio (o prezzo d’arbitraggio) di underivato replicabile.

Definizione 10.19. Una misura martingala Q e una misura di probabilita su(Ω,F) tale chei) Q e equivalente a P ;ii) il processo dei prezzi scontati

St := e−∫ t0rsdsSt, t ∈ [0, T ],

e una Q-martingala. In particolare vale la formula di valutazione neutraleal rischio:

St = EQ[e−∫ TtrsdsST | FWt

], t ∈ [0, T ]. (10.24)

2 Un’attenta rilettura della dimostrazione mostra che il Teorema 9.33 vale se X eun generico processo di Ito e non necessariamente una diffusione.


Consideriamo ora una generica misura Q su (Ω,F) equivalente a P . Ri-cordiamo l’Esempio 4.50 e definiamo il processo densita di Q rispetto aP :

Zt := EP[dQ

dP| FWt

]=

dQ

dP|FW

t, t ∈ [0, T ].

Poiche Q ∼ P , il processo Z e una P -martingala positiva. Allora per il Teore-ma 10.15 di rappresentazione delle martingale, esiste ed e unico η ∈ L2

loc(FW )tale che

dZt = ηt · dWt;

dunque valedZt = −Ztθt · dWt,

doveθt := −

ηt

Zt, t ∈ [0, T ].

In altri termini Z e la martingala esponenziale associata a θ ed essendo, percostruzione, una vera martingala possiamo applicare il Teorema di Girsanovper dedurre che

W θt :=Wt +

∫ t

0

θsds, t ∈ [0, T ], (10.25)

e un moto Browniano su (Ω,F , Q,FWt ). Inoltre vale

dSit =(μit − rt

)Sitdt+ Sitσ

it · dWt

=(μit − rt

)Sitdt+ Sitσ

it ·

(dW θ

t − θtdt)

=(μit − rt − σit · θt

)Sitdt+ Sitσ

it · dW θ

t . (10.26)

Ricordiamo ora l’Osservazione 5.48: un processo di Ito e una martingala localese e solo se ha drift nullo. Pertanto Q e una misura martingala se e solo sevale3

σθ = μ− r (10.27)

dove r e il processo in RN le cui componenti sono tutte uguali a r. No-tando l’analogia con il concetto di prezzo di mercato del rischio introdottonell’equazione (7.48) della Sezione 7.3.4, diamo la seguente

Definizione 10.20. Un processo del prezzo di mercato del rischio e un pro-cesso θ ∈ L2

loc tale che

i) la martingala esponenziale associata Zθ in (10.1) e una P -martingala;ii) e soluzione del sistema di equazioni (10.27).

3 Nel senso che valeσt(ω)θt(ω) = μt(ω) − rt(ω)

per quasi ogni (ω, t) ∈ Ω × [0, T ].


Le osservazioni precedenti sono formalizzate nel teorema seguente che affermala corrispondenza biunivoca fra misure martingale e processi del prezzo dimercato del rischio.

Teorema 10.21. Ad ogni misura martingala Q e associato un unico processodel prezzo di mercato del rischio θ. Inoltre se W θ e il moto Browniano definitoda (10.25) su (Ω,F , Q,FWt ), allora vale

dSit = Sitσit · dW θ

t , i = 1, . . . , N. (10.28)

Dimostrazione. Abbiamo visto come costruire il processo del prezzo di merca-to del rischio associato a una misura martingala. Viceversa, dato θ ∈ L2

loc tale

che vale la (10.27) e Zθ e una P -martingala, definiamo Q mediante dQdP = ZθTe verifichiamo che Q e una misura martingala. Anzitutto, per il Teorema diGirsanov, W θ in (10.25) e un moto Browniano su (Ω,F , Q,FWt ) e per l’Os-servazione 10.4, P e Q sono equivalenti. Inoltre per la (10.25) e la (10.27)vale


t , i = 1, . . . , N,

da cui risulta che Si e una martingala esponenziale

Sit = exp

(∫ t

0

σis · dW θs −

1

2

∫ t

0

∣∣σis∣∣2 ds) .

Infine poiche σ ∈ L∞, per il Lemma 10.1 si ha che Si e una Q-martingala equesto conclude la prova. Notiamo anche che Si appartiene a Lp(Ω,Q) perogni p. 2

In base al Teorema 10.21, la risolubilita dell’equazione (10.27) e condizionenecessaria per l’esistenza di una misura martingala equivalente a P . Assumen-do che la matrice σ abbia rango massimo (intuitivamente, assumendo che nonci siano titoli “ridondanti”), la (10.27) ha soluzione θ se σ ammette un’inversadestra: pertanto e necessario che N ≤ d.Se la (10.27) non e risolubile, non esiste una misura martingala e il mer-

cato ammette arbitraggi: la prova di questa affermazione in ambito generaleva al di la di questa trattazione elementare ed e il contenuto del primo Teore-ma fondamentale della valutazione. Questo risultato e stato provato da moltiautori e sotto varie ipotesi: citiamo fra gli altri Stricker [157], Ansel e Stric-ker [3], Delbaen [35], Schweizer [148], Lakner [106], Delbaen e Schachermayer[36, 37, 38, 34, 39, 40], Frittelli e Lakner [67]. Qui ci limitiamo ad esami-nare un semplice esempio in cui una strategia d’arbitraggio si puo costruireesplicitamente.

Esempio 10.22. Consideriamo un mercato composto da due moti Brownianigeometrici

dSit = μiSitdt+ σiSitdWt, i = 1, 2,


dove W e un moto Browniano reale: in questo caso 2 = N > d = 1.L’equazione (10.27) per il prezzo di mercato del rischio assume la forma:{

σ1θ = μ1 − r,

σ2θ = μ2 − r.

Il sistema e risolubile se e solo se

μ1 − r

σ1=

μ2 − r

σ2. (10.29)

Questo e conforme a quanto avevamo osservato nella Sezione 7.3.4, in partico-lare con la formula (7.49) secondo la quale, in un mercato libero da arbitraggi,tutti i titoli devono avere lo stesso prezzo di mercato del rischio. Se (10.29)non e soddisfatta il mercato ammette arbitraggi: infatti supponiamo che valga

λ :=μ1 − r

σ1− μ2 − r

σ2> 0,

e consideriamo il portafoglio autofinanziante h = (α1, α2, β) di valore inizialenullo, definito da

αi =1

Sitσi, i = 1, 2.

Allora il differenziale stocastico del valore V (h) del portafoglio verifica

dVt(h) = α1tdS

1t + α2

tdS2t + r

(Vt(h)− α1

tS1t − α2

tS2t

)dt

=μ1 − r

σ1dt+ dWt −

μ2 − r

σ2dt− dWt + rVt(h)dt

= (rVt(h) + λ) dt,

e dunque costituisce un arbitraggio poiche ha un rendimento certo, stretta-mente maggiore del bond. 2

10.3.2 Esistenza di una misura martingala equivalente

In questa sezione diamo una semplice condizione per l’esistenza di una misuramartingala. Ricordiamo che affinche esista una misura martingala e necessarioche l’equazione (10.27) sia risolubile nell’incognita θ. Allora risulta naturaleporre la seguente

Ipotesi 10.23 La matrice σ ha un’inversa destra in L∞.

Una matrice σ di dimensione N ×d, con N ≤ d, ha un’inversa destra se esisteuna matrice σ tale che

σσ = IdRN .

Poiche N ≤ d, l’inversa destra di σ puo esistere ma non necessariamenteessere unica: per esempio, se N = 2, d = 3 e


σ =

(1 1 01 0 1

)ogni matrice della forma⎛⎝ a b

1− a −b−a 1− b

⎞⎠ , a, b ∈ R,

e un’inversa destra di σ.Il caso piu significativo in cui vale l’Ipotesi 10.23 e quando N = d e σσ∗ e

una matrice uniformemente definita positiva, ossia esiste una costante C > 0tale che

〈σtσ∗ξ, ξ〉 ≥ C|ξ|2, ξ ∈ RN , t ∈ [0, T ], q.s. (10.30)

In tal caso σ = σ−1 e univocamente determinata.E chiaro che l’Ipotesi 10.23 e sufficiente per l’esistenza di un processo

del prezzo di mercato del rischio (secondo la Definizione 10.20) e della corri-spondente misura martingala equivalente a P . Pertanto il teorema seguente econseguenza diretta dei risultati della Sezione 10.3.1.

Teorema 10.24. Assumiamo l’Ipotesi 10.23 e supponiamo che σ ∈ L∞ siaun’inversa destra di σ. Allora indicando con r e il processo in RN le cuicomponenti sono tutte uguali a r, si ha che

θ := σ (μ − r) (10.31)

e un processo del prezzo di mercato del rischio. Di conseguenza:

i) il processo

Zθt = exp

(−

∫ t

0

θs · dWs −1

2

∫ t

0

|θs|2ds), t ∈ [0, T ], (10.32)

e una P -martingala;ii) il processo

W θt =Wt +

∫ t

0

θsds, t ∈ [0, T ],

e un moto Browniano nello spazio (Ω,F , Q,FWt ) dove Q e la misura diprobabilita equivalente a P definita da

dQ

dP= ZθT ; (10.33)

iii) il processo dei prezzi ha la seguente rappresentazione:

Sit = Si0 +

∫ t

0

rsSisds+

∫ t

0

Sisσis · dW θ

s , t ∈ [0, T ], (10.34)


per i = 1, . . . , N . Inoltre il processo dei prezzi scontati S e una Q-martingala in Lp(Ω,Q) per ogni p ≥ 1 e vale la formula di valutazioneneutrale al rischio:

St = EQ[e−∫ TtrsdsST | FWt

], t ∈ [0, T ].

Dimostrazione. E sufficiente osservare che per ipotesi θ ∈ L∞ e il Lemma 10.1assicura che Zθ e una P -martingala: allora, per costruzione, θ e un processo delprezzo di mercato del rischio. Il resto dell’enunciato e contenuto nel Teorema10.21 e nella definizione di misura martingala equivalente. 2

Osservazione 10.25. L’Ipotesi 10.23 implica l’esistenza di una misura martin-gala il cui processo θ del prezzo di mercato del rischio appartiene L∞. In baseal Lemma 10.1, cio assicura che la corrispondente martingala esponenziale Zθ

(il processo densita di Q rispetto a P ) ha buone proprieta di sommabilita:precisamente, Zθ ∈ Lp(Ω, P ) per ogni p ≥ 1.

Notazione 10.26 Indichiamo con Q la famiglia delle misure martingale ilcui corrispondente prezzo di mercato del rischio appartiene a L∞. Precisa-mente

Q = {Q | dQ = ZθTdP con θ ∈ L∞}.

Prima di analizzare le conseguenze dell’esistenza di una misura martingala,consideriamo alcuni esempi significativi.

Esempio 10.27. Consideriamo il modello di mercato di Black&Scholes in cuiN = d = 1 e i coefficienti r, μ, σ sono costanti. Se σ > 0, l’Ipotesi 10.23 echiaramente soddisfatta e σ = 1

σ . Il prezzo di mercato del rischio e pari a

θ =μ− r

σ

e corrisponde al valore introdotto nella Sezione 7.3.4. Per il Teorema 10.24, ilprocesso

W θt =Wt +

μ − r

σt, t ∈ [0, T ],

e un moto Browniano nella misura Q definita da

dQ

dP= exp

(−θWT −

θ2

2T

),

e la dinamica del titolo rischioso e

dSt = rStdt+ σStdWθt .

Allora il processo del prezzo scontato St = e−rtSt verifica l’equazione

dSt = σStdWθt ,


ed e una Q-martingala: in particolare vale

St = e−r(T−t)EQ[ST | FWt

], t ∈ [0, T ].

2

Esempio 10.28. Consideriamo un modello di mercato in cui N = d, ossia il nu-mero dei titoli rischiosi e pari alla dimensione del moto Browniano. Indichiamocon Sit il prezzo al tempo t ∈ [0, T ] dell’i-esimo titolo rischioso e supponiamoche


it · dWt, i = 1, . . . , N.

Assumiamo che σ sia uniformemente definita positiva (cfr. (10.30)): alloraσ e invertibile con inversa limitata, e quindi il Teorema 10.24 permette dicostruire in modo unico la misura martingalaQ, equivalente a P , e un Q-motoBrowniano W θ rispetto al quale la dinamica dei prezzi scontati e


t , i = 1, . . . , N.

2

Esempio 10.29. Consideriamo il modello a volatilita stocastica di Heston [76]in cui c’e un titolo sottostante (N = 1) la cui volatilita e un processo stocasticoguidato da un secondo moto Browniano (d = 2). Precisamente{

dSt = μStdt+√νtSt

(√1− �2dW 1

t + �dW 2t

)dνt = k(ν − νt)dt+ η

√νtdW

2t ,

(10.35)

dove (W 1,W 2) e un moto Browniano standard bidimensionale e μ, �, k, ν, ηsono costanti con � ∈ [−1, 1]. La seconda equazione in (10.35) ha la cosiddettaproprieta di “ritorno alla media” (mean reversion): per k > 0, il drift e positivose νt < ν ed e negativo se νt > ν e quindi il processo νt e “spinto” verso ilvalore ν che puo essere interpretato come una media di lungo periodo. Gli altriparametri rappresentano rispettivamente: μ il drift di St, � la correlazione frai processi, k la velocita di ritorno alla media, η la volatilita della volatilita.Nelle notazioni introdotte all’inizio del paragrafo, σt e la matrice di dimensione1× 2:

σt =√νt

(√(1 − �2) �

);

se � �= 0, un’inversa destra e del tipo(λt

1−λt√νt(1− 2)

√νt

)

e ad ogni processo (λt) corrisponde un vettore del prezzo del rischio

θλt := (μ− rt)

(λt

1−λt√νt(1− 2) √νt

),


e una misura martingala Qλ rispetto alla quale il processo

Wt =Wt +

∫ t

0

θλs ds, t ∈ [0, T ],

e un moto Browniano bidimensionale e la dinamica del titolo rischioso e datada

dSt = rtStdt+√νtSt

(√1− �2dW 1

t + �dW 2t

).

Dal punto di vista pratico e modellistico, il prezzo del rischio θ e determinatodal mercato: in altri termini il valore “corretto” di θ deve essere scelto in basead osservazioni sul mercato, calibrando il modello ai dati disponibili. Comevedremo nel seguito, una volta scelto θ e possibile determinare il corrispon-dente prezzo di non-arbitraggio di un derivato su S. Tuttavia in generale none possibile costruire una strategia di copertura basata sul sottostante e sulbond: si tratta di un modello di mercato incompleto. 2

10.3.3 Strategie ammissibili e arbitraggi

Consideriamo il mercato in cui la dinamica dei titoli rischiosi e data da


it · dWt, i = 1, . . . , N,

dove W e un moto Browniano d-dimensionale, μ, σ ∈ L∞ e assumiamo l’I-potesi 10.23. In base al Teorema 10.24 la famiglia delle misure martingali Qnon e vuota: esiste, ma non e necessariamente unica, una misura martingalaequivalente a P il cui processo del prezzo di mercato del rischio appartiene aL∞.

Definizione 10.30. Una strategia (o portafoglio) e un processo h = (α, β)con α ∈ L2

loc, β ∈ L1loc a valori rispettivamente in R

N e in R. Il valore dellastrategia h e il processo reale

Vt(h) = αt · St + βtBt =

N∑i=1

αitSit + βtBt, t ∈ [0, T ].

Una strategia h e autofinanziante se vale

dVt(h) = αt · dSt + βtdBt. (10.36)

Osserviamo che, essendo S un processo adattato e continuo, si ha che α · S ∈L2loc e l’integrale stocastico in (10.36) e ben definito.Estendiamo ora un’utile caratterizzazione delle strategie autofinanzianti

provata nel caso del modello di Black&Scholes. Al solito, indichiamo con S eV (h) i prezzi scontati.


Proposizione 10.31. Una strategia h = (α, β) e autofinanziante se e solo sevale

dVt(h) = αt · dSt,ossia

Vt(h) = V0(h) +

∫ t

0

αs · dSs, t ∈ [0, T ]. (10.37)

Dimostrazione. Vale

dVt(h) = e−∫ t0rsds (−rtVt(h)dt+ dVt(h)) =

(per la proprieta di autofinanziamento (10.36))

= e−∫ t0rsds (−rtVt(h)dt+ αt · dSt + rtβtBtdt) =

(poiche αt · St = Vt(h)− βtBt)

= e−∫ t0rsds (−rtαt · Stdt+ αt · dSt) = αt · dSt.

2

La Proposizione 10.31 ha alcune notevoli conseguenze.

Corollario 10.32. Il valore di una strategia autofinanziante h = (α, β) e uni-vocamente determinato dal proprio valore iniziale V0(h) e dal processo α dellequantita di titoli rischiosi. Inoltre, dati V0 ∈ R e α ∈ L2

loc, esiste una strategiaautofinanziante h = (α, β) tale che V0(h) = V0.

Dimostrazione. Procediamo come nel caso del modello di Black&Scholes edefiniamo i processi V e β ponendo

e−∫ t0rsdsVt = V0 +

∫ t

0

αs · dSs, βt = B−1t (Vt − αt · St) , t ∈ [0, T ].

Allora, per la Proposizione 10.31, h := (α, β) e una strategia autofinanziantetale che Vt(h) = Vt per t ∈ [0, T ]. 2

Proposizione 10.33. Siano Q ∈ Q una misura martingala equivalente a Pe h = (α, β) una strategia autofinanziante. Allora V (h) e una Q-martingala

locale. Inoltre se α ∈ L2(P ) allora V (h) e una Q-martingala: in particolare siha

Vt(h) = EQ[e−∫ TtrsdsVT (h) | FWt

], t ∈ [0, T ]. (10.38)

Dimostrazione. Fissata Q ∈ Q, indichiamo con W θ il Q-moto Brownianointrodotto nel Teorema 10.24. Allora sostituendo l’espressione (10.28) del

differenziale dSt nella formula (10.37), otteniamo


Vt(h) = V0(h) +

N∑i=1

∫ t

0

αisSisσis · dW θ

s ,

da cui segue che V (h) e una Q-martingala locale.Per provare la seconda parte dell’enunciato utilizziamo la Proposizione

5.41 in base alla quale se

EQ

⎡⎣(∫ T

0

∣∣∣αitSitσit∣∣∣2 dt)1

2

⎤⎦ <∞,

per ogni i = 1, . . . , N , allora V (h) e una Q-martingala. In effetti, poicher, σ ∈ L∞, e sufficiente verificare che

EQ[Y

12

]<∞.

dove abbiamo posto, per semplicita,

Y =

∫ T

0

(αt · St)2 dt.

Ora utilizziamo il fatto che Q ∈ Q e quindi (cfr. Osservazione 10.25)

dQ

dP= Z

con Z ∈ Lp(Ω, P ) per ogni p ≥ 1. Dunque, fissati due esponenti coniugati q, q′con 1 < q < 2, per la disuguaglianza di Holder abbiamo

EQ[Y

12

]= EP

[Y

12Z

]≤ EP

[Y

q2

] 1q

EP[Zq

′] 1q′

e dunque per concludere, verifichiamo che

EP[Y

q2

]<∞.

Si ha

EP[Y

q2

]≤ EP

⎡⎣(∫ T

0

|αt|2dt) q

2

supt∈[0,T ]

|St|q⎤⎦ ≤


≤ EP

[∫ T

0

|αt|2dt] q

2

EP

[supt∈[0,T ]

|St|2q2−q

] 2−q2

<∞

per l’ipotesi su α e la stima (10.22). Infine la (10.38) e immediata conseguenzadella proprieta di martingala. 2


Come nel caso discreto, e immediato verificare che una strategia il cui va-lore scontato sia una martingala non puo essere un arbitraggio: in particolare,per la Proposizione 10.33, la famiglia dei portafogli autofinanzianti h = (α, β)con α ∈ L2(P ) non contiene portafogli di arbitraggio. Introduciamo ora ladefinizione di strategia ammissibile e di seguito proviamo una versione delprincipio di non arbitraggio.

Definizione 10.34. Indichiamo con A la famiglia delle strategie autofinan-zianti h tali che V (h) e una Q-martingala per ogni Q ∈ Q. Diciamo che h ∈ Ae una strategia ammissibile.

Per la Proposizione 10.33, ogni strategia autofinanziante h = (α, β) con α ∈L2(P ) e ammissibile.

Corollario 10.35 (Principio di non-arbitraggio). Siano h1, h2 ∈ A taliche

VT (h1) = VT (h

2) P -q.s.

Allora si haVt(h

1) = Vt(h2) t ∈ [0, T ], P -q.s.

Dimostrazione. La tesi e una semplice conseguenza della proprieta di martin-gala. Consideriamo una misura martingala Q ∈ Q: allora

VT (h1) = VT (h

2) Q-q.s.

e quindi

Vt(h1) = EQ

[e−∫TtrsdsVT (h

1) | FWt]

= EQ[e−∫ TtrsdsVT (h

2) | FWt]= Vt(h

2), t ∈ [0, T ].

2

10.3.4 Valutazione d’arbitraggio

In questa sezione, assumiamo l’Ipotesi 10.23 e con argomenti sostanzialmenteanaloghi a quelli utilizzati in tempo discreto nella Sezione 3.1.3, affrontiamoil problema della valutazione di un derivato Europeo.

Definizione 10.36. Un derivato Europeo con scadenza T e una variabile alea-toria X sommabile. Un derivato X si dice replicabile se esiste h ∈ A taleche

X = VT (h) P -q.s. (10.39)

Chiaramente X rappresenta il payoff del derivato. Una strategia ammissibileh per cui valga (10.39) e detta strategia replicante per X.Introduciamo ora le famiglie delle strategie super e sub-replicanti:


A+X = {h ∈ A | VT (h) ≥ X, P -q.s.},

A−X = {h ∈ A | VT (h) ≤ X, P -q.s.}.

Data h ∈ A+X (risp. h ∈ A−X), il valore V0(h) rappresenta l’ammontare ne-

cessario a costruire al tempo iniziale una strategia che super-replica (risp.sub-replica) il payoff X a scadenza. Il risultato seguente conferma la naturalerelazione di consistenza fra i valori iniziali delle strategie super e sub-replicache necessariamente deve sussistere in un mercato libero da arbitraggi.

Lemma 10.37. Per ogni misura martingala Q ∈ Q vale

suph∈A−X

Vt(h) ≤ EQ[e−∫ TtrsdsX | FWt

]≤ infh∈A+

X

Vt(h), t ∈ [0, T ].

Dimostrazione. Se h ∈ A−X allora, per la (10.38), vale

Vt(h) = EQ[e−∫TtrsdsVT (h) | FWt

]≤ EQ

[e−∫TtrsdsX | FWt

],

e una stima analoga vale per h ∈ A+X . 2

Fissata una misura martingala Q ∈ Q, e possibile assegnare a qualun-que derivato X, non necessariamente replicabile, un prezzo neutrale al rischiodefinito da

HQt := EQ[e−∫ TtrsdsX | FWt

], t ∈ [0, T ]. (10.40)

Il Lemma 10.37 assicura che tale prezzo non crea opportunita d’arbitraggioperche e maggiore del prezzo di ogni strategia di sub-replica e minore delprezzo di ogni strategia di super-replica. D’altra parte, in generale il prezzoHQt non e unico poiche dipende dalla misura martingala fissata.Il risultato seguente mostra che se X e replicabile allora il prezzo in (10.40)

e indipendente dalla misura martingala fissata Q ∈ Q: in tal caso e possibiledefinire in modo unico il prezzo d’arbitraggio di X.

Teorema 10.38. Sia X un derivato Europeo replicabile. Allora per ognistrategia replicante h ∈ A e per ogni misura martingala Q ∈ Q, vale

Ht := EQ[e−∫ TtrsdsX | FWt

]= Vt(h), t ∈ [0, T ]. (10.41)

Il processo H e detto prezzo d’arbitraggio di X.

Dimostrazione. Per il Corollario 10.35 tutte le strategie ammissibili che repli-cano X hanno lo stesso valore. Inoltre se h ∈ A replica X allora h ∈ A−X ∩A+

X

e quindi, per il Lemma 10.37, vale

EQ[e−∫TtrsdsX | FWt

]= Vt(h), t ∈ [0, T ],

per ogni misura martingala Q. 2


Nella Sezione 10.4 studiamo condizioni affinche un modello di mercato siacompleto, ossia ogni4 derivato Europeo sia replicabile. In un mercato comple-to, in base al Teorema 10.38, il prezzo d’arbitraggio di ogni derivato e definitoin modo unico e coincide con il valore di una qualsiasi strategia replicante.Concludiamo la sezione verificando che in un modello di mercato completo

la misura martingala e univocamente determinata: precisamente vale

Corollario 10.39. In un mercato completo esiste una sola misura martingalaQ ∈ Q.

Dimostrazione. Siano Q1, Q2 ∈ Q. Per ipotesi, ogni variabile aleatoria limita-ta X e replicabile. Allora, per la (10.41), si ha

EQ1 [X] = EQ2 [X] ,

da cui, scegliendo X = 1F al variare di F ∈ F , deduciamo

Q1(F ) = Q2(F ), F ∈ F .

Notiamo esplicitamente che qui utilizziamo l’ipotesi F = FWT . 2

10.3.5 Formule di parity

Nella formula di valutazione neutrale al rischio (10.40), un prezzo d’arbitraggiodi un derivato e espresso in termini di valore atteso del payoff scontato. Inparticolare il prezzo dipende linearmente dal payoff. Supponiamo che Q ∈ Qsia fissata e indichiamo con HX il prezzo neutrale al rischio, relativo a Q, diun derivato con payoff X: allora si ha

Hc1X1+c2X

2

= c1HX1

+ c2HX2

, (10.42)

per ogni α, β ∈ R.Per esempio, e facile ricavare il prezzo di un contratto straddle su un

sottostante S, con payoff

X =

{(ST −K), se ST ≥ K,

(K − ST ), se 0 < ST < K.

Per la (10.42), si ha semplicemente HX = c + p dove c e p indicano rispet-tivamente i prezzi di opzioni call e put Europee con strike K e scadenzaT .Utilizzando la (10.42) si ricava abbastanza facilmente anche la formula

di Put-Call parity del Corollario 1.1 che esprime il legame fra i prezzi diopzioni put e call Europee con medesimi sottostante, scadenza e strike. Infatticonsideriamo i seguenti derivati con payoff:

4 Sotto opportune condizioni di sommabilita.


X1 = (ST −K)+, (opzione call),

X2 = 1, (bond),

X3 = ST , (sottostante).

Allora si ha

HX2

t = EQ[e−∫ Ttrsds | FWt

], HX

3

t = St.

Ora osserviamo che il payoff di una put e combinazione lineare di X1 , X2 eX3:

(K − ST )+ = KX2 −X3 +X1.

Dunque, in base alla (10.42), otteniamo la formula di Put-Call parity

pt = KEQ[e−∫ Tt rsds | FWt

]− St + ct, t ∈ [0, T ],

che ovviamente e equivalente alla (1.4) nel caso in cui il tasso a breve siacostante.

10.4 Mercati completi

In questa sezione mostriamo che se il numero dei titoli rischiosi e pari alladimensione del moto Browniano, ossia N = d, e assumiamo l’Ipotesi 10.23allora il mercato e completo. Anzitutto osserviamo che in queste condizioniesiste ed e unica la misura martingala Q ∈ Q, definita da

dQ = ZθT dP (10.43)

dove Zθ e la martingala esponenziale associata al processo del prezzo dimercato del rischio

θt = σ−1t (μ − rt) , t ∈ [0, T ],

e σ−1 ∈ L∞ e la matrice inversa di σ.Per illustrare le idee in modo graduale, consideriamo dapprima il caso

particolare del modello di Black&Scholes. Al solito il mercato e composto daititoli

dBt = rBtdt, dSt = μStdt+ σStdWt,

con r, μ, σ costanti e W moto Browniano reale. Nella misura martingala Qdefinita da (10.43) con θ = μ−r

σ , vale

dSt = σStdWθt .

Dato un derivato con payoff X ∈ L1(Ω,FWT , Q), definiamo la Q-martingala

10.4 Mercati completi 393

Mt = EQ[X | FWt

], t ∈ [0, T ].

Per il Teorema 10.16 di rappresentazione delle martingale, esiste u ∈ L2loc(FW )

tale che

Mt = EQ[X]+

∫ t

0

usdWθs =

(posto αt =utσSt

per t ∈ [0, T ])

= EQ[X

]+

∫ t

0

αsσSsdWθs = EQ

[X]+

∫ t

0

αsdSs.

In definitiva, per il Corollario 10.32, esiste una strategia autofinanziante h =(α, β) di valore iniziale pari al prezzo d’arbitraggio del derivato

V0(h) = EQ[X],

e tale cheVt(h) =Mt, t ∈ [0, T ].

In particolare h e ammissibile, essendo per costruzione M una Q-martingala,e replicante per X.Osserviamo che il risultato di completezza che abbiamo provato ha un

interesse puramente teorico poiche l’argomento utilizzato non e costruttivo enon fornisce l’espressione della strategia di copertura per X.Consideriamo ora il caso generale.

Teorema 10.40. Consideriamo il modello di mercato a tempo continuo in-trodotto in (10.21)-(10.23) e assumiamo l’Ipotesi 10.23 e la condizione N = d.Per ogni derivato Europeo X ∈ Lp(Ω,FWT , P ), con p > 1, esiste una strategiareplicante h ∈ A.

Dimostrazione. Osserviamo che

X := e−∫T0rtdtX ∈ L1(Ω,Q),

poiche, per la disuguaglianza di Holder, vale

EQ[|X|

]= EP

[|X|ZθT

]≤ ‖X‖Lp(Ω,P)‖ZθT ‖Lq(Ω,P) <∞

dove p, q sono esponenti coniugati, ricordando che ZθT ∈ Lq(Ω, P ) per ogniq ≥ 1, per il Lemma 10.1.Definiamo la Q-martingala

Mt = EQ[X | FWt

], t ∈ [0, T ],

e in base al Teorema 10.16 abbiamo la rappresentazione


Mt = EQ[X]+

∫ t

0

us · dW θs

con u ∈ L2loc(FW ). Indichiamo con σ∗ la matrice trasposta di σ: per ipotesi,

e ben posta la definizione

ηt := (σ∗t )−1

ut, t ∈ [0, T ],

e dunqueut = σ∗t ηt, t ∈ [0, T ].

Pertanto, posto

αit =ηit

Sit, t ∈ [0, T ], i = 1, . . . , N,

vale

ujt =N∑i=1

σijt ηit =

N∑i=1

αitSitσijt ,

e quindi

ut · dW θt =

N∑i=1

αitSitσit · dW θ

t .

Allora, per il Corollario 10.32, α ∈ L2loc e M0 = EQ

[X

]definiscono una

strategia autofinanziante h tale che

Vt(h) =Mt, t ∈ [0, T ];

in particolare V (h) e una Q-martingala. Dunque h ∈ A e inoltre

VT (h) =MT = X

e quindi h e una strategia replicante per X. 2

10.4.1 Caso Markoviano

Abbiamo anticipato il fatto che il Teorema 10.40 e un risultato interessantedal punto di vista teorico ma non e costruttivo e non fornisce l’espressionedella strategia di copertura del derivato. Utilizzando la teoria del calcolo diMalliavin, nella Sezione 13.2.1 proveremo la formula di Clark-Ocone che sottoopportune ipotesi esprime la strategia replicante in termini della cosiddettaderivata stocastica del payoff.Senza utilizzare gli strumenti avanzati del calcolo di Malliavin, i risultati

piu interessanti e generali si hanno nell’ambito dei modelli Markoviani che

10.4 Mercati completi 395

sfruttano la teoria delle equazioni differenziali paraboliche. Gli argomenti pre-sentati nel Capitolo 7 per lo studio del modello di Black&Scholes, si adattanofacilmente al caso generale di un mercato con N titoli rischiosi

Si = eXi

, i = 1, . . . , N,

dove X = (X1, . . . , XN ) un processo di diffusione della forma


e W e moto Browniano N -dimensionale. In particolare e possibile caratteriz-zare la proprieta di autofinanziamento in termini di una PDE parabolica e ilprezzo e la strategia di copertura sono forniti dalla soluzione di un problema diCauchy. Senza ripetere la trattazione del Capitolo 7, possiamo stabilire diret-tamente il legame fra PDE e valutazione d’arbitraggio utilizzando il Teorema9.45 di rappresentazione di Feynman-Kac.Nel seguito assumiamo la seguente

Ipotesi 10.41 I coefficienti b, σ sono funzioni Holderiane e limitate. La ma-trice (cij) := σσ∗ e uniformemente definita positiva: esiste una costante C > 0tale che

N∑i,j=1

cij(t, x)ξiξj ≥ C|ξ|2, t ∈ [0, T ], x, ξ ∈ RN .

I risultati dei Paragrafi 9.2 e 8.1 garantiscono l’esistenza di una soluzione de-bole X di (10.44) rispetto ad un moto Browniano W definito su (Ω,F , P,Ft).Inoltre σ e invertibile con inversa limitata, e quindi il Teorema 10.24 permet-te di costruire in modo unico la misura martingala Q, equivalente a P , e unQ-moto Browniano W θ rispetto al quale, posto

σt = σ(t, Xt), rt = r(t, Xt),

la dinamica neutrale al rischio dei prezzi e

dSit = rtSitdt+ Sitσ

it · dW θ

t , i = 1, . . . , N. (10.45)

Nel seguito, per ogni (t, s) ∈ [0, T [×RN+ indichiamo con St,s la soluzione di(10.45) tale che

St,st = s.

Consideriamo un derivato Europeo con payoff F (ST ) dove F e una funzionelocalmente sommabile su RN+ tale che

|F (s)| ≤ CeC| log s|γ

, s ∈ RN+ ,

con C, γ costanti positive e γ < 2.


Teorema 10.42. Sia f soluzione del problema di Cauchy{Lf = 0, in ]0, T [×RN+ ,f(T, ·) = F, in RN+ ,

dove

Lf(t, s) =1

2

N∑i,j=1

cij(t, s)sisj∂sisjf(t, s)

+ r(t, s)N∑j=1

sj∂sjf(t, s) + ∂tf(t, s) − r(t, s)f(t, s)

ecij(t, s) = cij(t, log s), r(t, s) = r(t, log s),

con log s = (log s1 , . . . , log sN ). Allora

f(t, s) = EQ[e−∫ Tt r(a,S

t,sa )daF (St,sT )

], (t, s) ∈ [0, T ]×RN+ , (10.46)

e il prezzo d’arbitraggio del derivato, al tempo t e con prezzo del sottostantepari a s. Inoltre una strategia replicante h = (α, β) e definita da5

Vt(h) = f(t, St), αt = ∇f(t, St), t ∈ [0, T ].

Dimostrazione. La tesi e conseguenza dei risultati di esistenza per il problemadi Cauchy del Paragrafo 8.1 e della formula di Feynman-Kac: questi si appli-cano direttamente dopo la trasformazione s = ex. Precisamente la dinamicadel logaritmo dei prezzi e la seguente: indichiamo al solito con σi la i-esimariga di σ ed osserviamo che

σi · dWt = σi ·(dW θ

t − θdt)=

(poiche σi · θ = bi + |σi|22 per la (10.20) e la (10.27))

= σi · dW θt −

(bi +

|σi|22

− r

)dt.

Allora

dXi = bidt+ σi · dWt =

(r − |σ

i|22

)dt+ σi · dW θ

t . (10.47)

L’operatore caratteristico associato alla SDE (10.47) e

5 Qui∇f = (∂s1f, . . . , ∂sN f).

10.5 Analisi della volatilita 397

Au(t, x) =1

2

N∑i,j=1

cij(t, x)∂xixju(t, x) +

N∑j=1

(r(t, x)− |σ

i(t, x)|22

)∂xju(t, x).

Il Teorema 8.6 assicura l’esistenza di una soluzione del problema di Cauchy{Au − ru+ ∂tu = 0, in ]0, T [×RN ,u(T, x) = F (ex), in RN+ ,

(10.48)

e la (10.46) segue dalla formula di Feynman-Kac. Per definizione f e il prezzod’arbitraggio del derivato e come nel Teorema 7.7 si prova che che ∇f esprimela strategia di copertura. 2

10.5 Analisi della volatilita

Nel modello di Black&Scholes il prezzo di un’opzione call Europea e unafunzione del tipo

CBS = CBS (σ, S,K, T, r)

dove σ e la volatilita, S e il prezzo attuale del sottostante, K e lo strike, T ela scadenza e r e il tasso a breve. Per omogeneita, il prezzo si esprime anchenella forma

CBS := Sϕ

(σ,

S

K, T, r

),

dove ϕ e una funzione la cui espressione puo essere facilmente ricavata dellaformula di Black&Scholes. La quantita m = S

K e solitamente chiamata “mo-

neyness” dell’opzione: se SK

> 1, si dice che l’opzione call e “in the money”

essendo in una situazione di potenziale guadagno; se SK < 1, l’opzione call e

“out of the money” e ha valore intrinseco nullo; infine se SK = 1 ossia S = K,si dice che l’opzione e “at the money”.Di tutti i parametri che determinano il prezzo di Black&Scholes, l’unico

che non e direttamente osservabile e la volatilita σ. Ricordiamo che

σ �→ CBS (σ, S,K, T, r)

e una funzione strettamente crescente e quindi invertibile: fissati tutti glialtri parametri del modello, ad ogni valore di σ corrisponde un prezzo diBlack&Scholes per l’opzione; viceversa, ad ogni valore C∗ nell’intervallo ]0, S[(l’intervallo al quale il prezzo deve appartenere in base ad argomenti diarbitraggio), e associato un unico valore della volatilita

σ∗ =: VI (C∗, S,K, T, r)

tale cheC∗ = CBS (σ

∗, S,K, T, r) .


La funzioneC∗ �→ VI (C∗, S,K, T, r)

e detta funzione di volatilita implicita.Il primo problema che si pone quando si valuta un’opzione col modello

di Black&Scholes e la scelta del parametro σ che, come gia accennato, non edirettamente osservabile. La prima idea potrebbe essere quella di utilizzare ilvalore di σ ricavato a partire da una stima sulla serie storica del sottostante,ossia la cosiddetta volatilita storica. In realta, l’approccio piu semplice e ilpiu diffuso e quello di utilizzare direttamente, ove sia disponibile, la volatilitaimplicita di mercato: vedremo che questo approccio non e esente da problemi.Il concetto di volatilita implicita e cosı importante e diffuso che nei merca-

ti finanziari le opzioni plain vanilla sono comunemente quotate in termini divolatilita implicita piuttosto che esplicitamente assegnandone il prezzo. In ef-fetti l’utilizzo della volatilita implicita risulta conveniente per svariati motivi.Anzitutto, poiche i prezzi di call e put sono funzioni crescenti della volati-lita, la quotazione in termini di volatilita implicita permette di avere un’ideaimmediata della “costosita” di un’opzione. Analogamente, l’utilizzo della vo-latilita implicita rende agevole il confronto fra opzioni sullo stesso titolo macon diversi strike e scadenze.Fissati S e r, e dato un set di prezzi

{C∗i | i = 1, . . .M} (10.49)

dove C∗i indica il prezzo dell’opzione con strike Ki e scadenza T i, la superficie

di volatilita implicita relativa a (10.49) e il grafico della funzione(Ki, T i

)�→ VI

(C∗i , S,K

i, T i, r).

Se assumiamo la dinamica di Black&Scholes per il sottostante

dSt = μStdt+ σStdWt

e(CiBS

)i∈I e un set di prezzi di Black&Scholes relativi agli strikeK

i e scadenze

T i, allora le corrispondenti volatilita implicite devono ovviamente coincidere:

VI(CiBS, S,K

i, T i, r)= σ, i ∈ I.

In altri termini, la superficie di volatilita implicita relativa ai prezzi ottenuti colmodello di Black&Scholes e piatta e coincide con la superficie della funzionecostante uguale a σ.Al contrario per una superficie di volatilita implicita relativa a prezzi di

mercato il risultato e generalmente molto diverso: e ben noto che i prezzi dimercato di opzioni Europee sullo stesso sottostante hanno volatilita impliciteche variano con strike e scadenza. A titolo di esempio, nella Figura 10.1 eriportata la superficie di volatilita implicita di opzioni sull’indice LondineseFTSE al 31 marzo 2006.


4000

5000

6000

7000 Apr06Jul06

Oct06Jan07

Apr07Jul07

Oct07Jan08

10

15

20

25

30

Expiration

Implied volatilities (31−Mar−2006)

Strike

Impl

ied

vola

tility

Fig. 10.1. Superficie di volatilita implicita di opzioni sull’indice FTSE al 31 marzo2006

Tipicamente ogni sezione, a T fissato, della superficie di volatilita implicitaassume una forma caratteristica a cui e stato attribuito l’appellativo di “smile”(nel caso della Fig. 10.2) o di “skew” (nel caso della Fig. 10.1). Generalmentesi evidenzia che le quotazioni di mercato tendono ad attribuire piu valore(maggiore volatilita implicita) nei casi estremi “in” o “out of the money”. Cioriflette la percezione di una maggiore rischiosita in determinate situazioni dimercato, in particolare nel caso di estremi rialzi o ribassi delle quotazioni delsottostante.Significativa e anche la dipendenza della volatilita implicita da T , il tempo

alla scadenza: in questo caso si parla di struttura a termine della volatilitaimplicita. Tipicamente avvicinandosi a scadenza (T → 0+) smile o skew siaccentuano.Sono state osservate anche altre caratteristiche che differenziano decisa-

mente la superficie di volatilita implicita di mercato dalla volatilita costantedi Black&Scholes: per esempio, nella Figura 10.2 e documentata la dipendenzadella volatilita implicita di opzioni sull’indice S&P500, rispetto alla cosiddetta“deviazione dal trend” del sottostante, definita come la differenza fra il prezzoattuale a una media pesata dei prezzi passati. Intuitivamente tale parametroindica se recentemente ci sono stati bruschi movimenti nella quotazione delsottostante.


−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05

Dev. from trend

−0.5 0 0.50.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Moneyness

Impl

ied

Vol

atili

ty

−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05

Dev. from trend

−0.5 0 0.5Moneyness

−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05

Dev. from trend

−0.5 0 0.5Moneyness

−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05

Dev. from trend

−0.5 0 0.50.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Moneyness

Fig. 10.2. Effetto della deviazione dal trend sulla volatilita implicita. Gli smiledi volatilita per opzioni sullo S&P500 nel periodo 2003-2004, sono raggruppati perdiversi valori della deviazione, come indicato in testa ad ogni pannello

Infine notiamo anche che la volatilita implicita dipende dal tempo in ter-mini assoluti: e ben noto che la forma della superficie di volatilita implicitasull’indice S&P500 e mutata significativamente dagli inizi degli anni ’80 adoggi.Dall’analisi della superficie di volatilita implicita di mercato risulta eviden-

te che il modello di Black&Scholes non e realistico. Questo non e solo un pro-blema puramente teorico: per rendercene conto, supponiamo che, a dispettodi tutte le evidenze contro il modello di Black&Scholes, vogliamo ugualmenteadottarlo. Allora abbiamo visto che si pone problema della scelta del para-metro di volatilita da inserire nel modello. Se utilizziamo la volatilita storicarischiamo seriamente di ottenere quotazioni “fuori mercato”, specialmente seconfrontate con quelle ottenute dalla superficie di volatilita di mercato nelleregioni estreme in e out of the money. D’altra parte se vogliamo utilizzare lavolatilita implicita si pone il problema di come scegliere un valore fra tuttiquelli che il mercato attribuisce, proprio poiche la superficie di volatilita “none piatta”. Chiaramente, se il nostro scopo e di valutare e replicare un’opzioneplain vanilla, diciamo con strikeK e scadenza T , l’idea piu naturale e quella diutilizzare la volatilita implicita corrispondente a (K, T ). Ma il problema nonsembra cosı facilmente risolubile nel caso in cui ci interessi valutare e replicareun derivato esotico, magari se questo non ha una sola scadenza (per esempio,un’opzione Bermuda) oppure se nel payoff non compare un prezzo strike fisso(per esempio, un’opzione Asiatica con floating strike).


Problemi di questo tipo rendono necessaria l’introduzione di modelli piusofisticati rispetto a Black&Scholes, che siano in grado di generare, con un’op-portuna calibrazione, prezzi per le opzioni plain vanilla in accordo con la su-perficie di volatilita implicita di mercato. In questo modo tali modelli generanoprezzi di derivati esotici coerenti con i prezzi di mercato di call e put. Questorisultato non e particolarmente difficile e puo essere ottenuto con diversi mo-delli di volatilita non costante. Un secondo obiettivo che pone problemi moltopiu delicati ed e tutt’ora oggetto di ricerca e la determinazione di un modelloche fornisca la strategia di replicazione “ottimale” in modo da migliorare irisultati di replicazione.

10.5.1 Volatilita locale e volatilita stocastica

Per spiegare e tenere conto delle differenze sistematiche fra prezzi di mercatoe prezzi teorici di Black&Scholes, sono stati introdotti numerosi approcci allamodellizzazione della volatilita. In generale l’idea e di modificare la dinami-ca del sottostante allo scopo di ottenere un processo stocastico piu flessibilerispetto al moto Browniano geometrico. A grandi linee i modelli di volatilitanon costante possono essere suddivisi in due gruppi:

• nel primo, la volatilita e endogena ossia e descritta da un processo chedipende dagli stessi fattori di rischio del sottostante. In questo caso egeneralmente preservata la completezza del mercato;

• nel secondo, la volatilita e esogena ossia e descritta da un processo guidatoda uno o piu fattori di rischio aggiuntivi (un secondo moto Browniano e/oprocessi di salto). In questo caso il corrispondente modello di mercato egeneralmente incompleto.

E opinione diffusa che i modelli piu realistici siano quelli del secondo gruppo.Fra questi, uno dei modelli di volatilita stocastica piu noti e quello di Heston,presentato nell’Esempio 10.29. Come in tutti i mercati incompleti, nel modellodi Heston non e possibile replicare tutti i payoff e il prezzo d’arbitraggio di underivato non e unico e dipende dal prezzo di mercato del rischio. D’altra parte,in pratica il modello di Heston puo essere efficacemente impiegato utilizzandouna procedura di completamento del mercato analoga a quella descritta per ilgamma e vega hedging (cfr. Sezione 7.4.3): una volta calibrati i parametri delmodello in base ai dati di mercato per determinare il prezzo del rischio, unastrategia di copertura per un generico derivato puo essere costruita utilizzan-do, oltre a bond e sottostante, anche un’opzione plain vanilla nell’ipotesi cheessa sia quotata e contrattata sul mercato.

Nell’ambito dei modelli a volatilita endogena, i piu popolari sono i cosid-detti modelli di volatilita locale in cui si assume che σ sia funzione del tempoe del prezzo del sottostante: la dinamica per il sottostante e semplicementequella di una diffusione

dSt = μ(t, St)Stdt+ σ(t, St)StdWt. (10.50)


Nelle ipotesi della Sezione 10.4.1 tale modello e completo ed e possibile deter-minare prezzo e strategia di copertura risolvendo numericamente un problemadi Cauchy della forma (10.48).In realta non sembra che la dipendenza di σ da St possa essere facilmen-

te motivata in modo intuitivo. Tuttavia un modello a volatilita locale ha laflessibilita sufficiente per produrre una valutazione teorica delle opzioni in ac-cordo (almeno approssimativamente) con la superficie di volatilita implicita dimercato. Per replicare una superficie di volatilita implicita occorre calibrareil modello: in altri termini, occorre risolvere un cosiddetto problema inversoche consiste nel determinare, a partire dalla superficie osservata, la funzioneσ = σ(t, S) da inserire nel modello (come coefficiente in (10.50)) affinche iprezzi teorici coincidano con i prezzi di mercato. La calibrazione della volati-lita locale e una questione estremamente delicata e ha sollevato in letteraturaseri interrogativi sull’efficacia e validita di tale modello: si veda per esempioDumas, Fleming e Whaley [49] e Cont [29].A partire dal lavoro di Breeden e Litzenberger [24], Dupire [50] ha mostrato

come, almeno teoricamente, e possibile risolvere il problema inverso per lavolatilita locale. Nel seguito consideriamo il caso uno-dimensionale, con r =0 per semplicita, e indichiamo con Γ (0, S; T, ·) la densita di transizione delprocesso del sottostante di valore iniziale S al tempo 0. In base alla formuladi valutazione neutrale al rischio abbiamo che il prezzo C = C(0, S, T,K) diuna call Europea con strike K e scadenza T e pari a

C(0, S, T,K) = EQ[(ST −K)+

]=

∫R+

(s−K)+Γ (0, S; T, s)ds.

Ora la derivata distribuzionale seconda rispetto a K del payoff e

∂KK(s−K)+ = δK (s),

dove δK e la Delta di Dirac, e dunque almeno formalmente otteniamo

∂KKC(0, S, T,K) = Γ (0, S; T,K). (10.51)

In base alla (10.51), avendo a disposizione i prezzi di mercato delle call pertutti gli strike e teoricamente possibile ricavare la densita di ST : in altri terminila conoscenza esatta della superficie di volatilita implicita fornisce la densitadi transizione del sottostante.Ora ricordiamo (cfr. Teorema 9.46) che la densita di transizione, come

funzione di T,K, soddisfa l’equazione parabolica aggiunta associata alla SDE(10.50) e quindi vale

∂TΓ (0, S; T,K) =1

2∂KK

(σ2(T,K)K2Γ (0, S; T,K)

). (10.52)

Sostituendo la (10.51) in (10.52) si ha

∂TKKC(0, S; T,K) =1

2∂KK

(σ2(T,K)K2∂KKC(0, S; T,K)

)


e integrando in K abbiamo

∂TC(0, S; T,K)−1

2σ2(T,K)K2∂KKC(0, S; T,K) = A(T )K+B(T ), (10.53)

dove A,B sono funzioni arbitrarie di T . Poiche, almeno formalmente, il mem-bro destro di (10.53) tende a zero per K → +∞, deve essere A = B = 0 equindi vale

∂TC(0, S; T,K) =1

2σ2(T,K)K2∂KKC(0, S; T,K), K, T > 0. (10.54)

In linea di principio ∂TC(0, S; T,K) e ∂KKC(0, S; T,K) possono essere cal-colati a partire dalla superficie di volatilita implicita di mercato: quindi da(10.54) si ricava

σ2(T,K) =2∂TC(0, S; T,K)

K2∂KKC(0, S; T,K), (10.55)

che e l’espressione della funzione di volatilita da inserire come coefficientenella SDE (10.50) affinche il modello a volatilita locale replichi la superficiedi volatilita osservata.Purtroppo la formula (10.55) non e utilizzabile in pratica poiche la super-

ficie di volatilita implicita e nota solo in un numero finito di strike e scadenze:piu precisamente, il calcolo delle derivate ∂TC, ∂KKC dipende in manierasensibile dallo schema di interpolazione utilizzato per costruire una superfi-cie continua a partire dai dati discreti, necessario per calcolare le derivate delprezzo. Cio rende la formula (10.55) e la corrispondente superficie di volatilitalocale altamente instabile.Il vero interesse per l’equazione (10.54) e nel fatto che risolvendo il pro-

blema di Cauchy per (10.54) con dato iniziale C(0, S; 0, K) = (S − K)+, epossibile ottenere in un colpo solo i prezzi delle call per tutti gli strike escadenze.

Una variante della volatilita locale e la cosiddetta volatilita path depen-dent, introdotta da Hobson e Rogers [77] e generalizzata da Foschi e Pascucci[60]. La volatilita path dependent cerca di descrivere la dipendenza della vo-latilita dai movimenti del titolo in termini di deviazione dal trend (cfr. Figura10.2). Il modello e molto semplice: consideriamo una funzione ψ non-negativa,continua a tratti e sommabile su ]−∞, T ]. Assumiamo che ψ sia strettamentepositiva su [0, T ] e poniamo

Ψ(t) =

∫ t

−∞ψ(s)ds.

Definiamo il processo di media del sottostante con

Mt =1

Ψ(t)

∫ t

−∞ψ(s)Zsds, t ∈ ]0, T ],


dove Zt = log(e−rtSt) denota il logaritmo del prezzo scontato. Il modello di

Hobson&Rogers corrisponde alla scelta ψ(t) = eλt con λ parametro positivo.Per la formula di Ito si ha

dMt =ϕ(t)

Φ(t)(Zt −Mt) dt.

Assumendo la seguente dinamica per il logaritmo del prezzo

dZt = μ(Zt −Mt)dt+ σ(Zt −Mt)dWt,

con μ, σ funzioni opportune, otteniamo la PDE di valutazione

σ2(z −m)

2(∂zzf − ∂zf)+

ϕ(t)

Φ(t)(z−m)∂mf+∂tf = 0, (t, z,m) ∈ ]0, T [×R2.

(10.56)La (10.56) e un’equazione di Kolmogorov simile a quelle che intervengono

Fig. 10.3. Simulazione dei processi di prezzo S e media M , nel pannello superiore,e volatilita σ(S −M), nel pannello inferiore, nel modello di Hobson&Rogers

nella valutazione delle opzioni Asiatiche: come visto nella Sezione 9.5.2, pertali equazioni e disponibile una teoria dell’esistenza e unicita delle soluzionidel problema di Cauchy analoga al caso uniformemente parabolico. Inoltre,poiche non e stata introdotta alcuna fonte aggiuntiva di rischio, il modello divolatilita path dependent e completo.


Nella Figura 10.3 e riportata una simulazione di prezzo, media e volatilitanel modello di Hobson&Rogers: con una scelta opportuna della funzione σe possibile replicare la superficie di volatilita di mercato e riprodurre alcunimovimenti tipici della volatilita come il rapido incremento in occasione di forticali del sottostante (nella figura in corrispondenza delle linee tratteggiate).

11

Opzioni Americane

Valutazione e copertura nel modello di Black&Scholes Call e put Americane nelmodello di Black&Scholes Valutazione e copertura in un mercato completo

Presentiamo i risultati principali sulla valutazione e copertura di derivati Ame-ricani estendendo a tempo continuo le idee introdotte nell’ambito dei mercatidiscreti nel Paragrafo 3.4. Anche nel caso piu semplice del modello di mercatodi Black&Scholes, l’affronto dei problemi della valutazione e copertura delleopzioni Americane necessita di strumenti matematici non banali. Nell’ambitodei mercati completi, Bensoussan [16] e Karatzas [88], [89] hanno sviluppatoun approccio probabilistico basato sulla nozione di inviluppo di Snell in tem-po continuo e sulla decomposizione di Doob-Meyer. Il problema e stato anchestudiato da Jaillet, Lamberton e Lapeyre [84] utilizzando tecniche variazio-nali e piu recentemente da Oksendal e Reikvam [132], Gatarek e Swiech [69]nell’ambito della teoria delle soluzioni viscose.In questo capitolo, presentiamo un approccio analitico in ambitoMarkovia-

no, basato sui risultati di esistenza per il problema con ostacolo del Paragrafo8.2 e sul Teorema 9.47 di rappresentazione di Feynman-Kac. Per eliminare itecnicismi e mettere in luce le idee principali, consideriamo dapprima il casodel modello di mercato di Black&Scholes e successivamente nel Paragrafo 11.3trattiamo il caso di un mercato completo con N titoli rischiosi.

11.1 Valutazione e copertura nel modello diBlack&Scholes

Consideriamo il modello di mercato di Black&Scholes con tasso privo di rischior su un intervallo temporale limitato [0, T ]. Poiche nella teoria delle opzioniAmericane i dividendi giocano un ruolo significativo, assumiamo la seguentedinamica neutrale al rischio per il sottostante nella misura martingala Q:

dSt = (r − q)Stdt+ σStdWt, (11.1)

dove al solito, σ e il parametro di volatilita, q ≥ 0 e il tasso di rendimentodel dividendo e W e un moto Browniano reale sullo spazio con filtrazione


--

408 11 Opzioni Americane

(Ω,F , Q,Ft). Osserviamo che il prezzo scontato St = e−rtSt ha la seguentedinamica:

dSt = −qStdt+ σStdWt. (11.2)

Definizione 11.1. Un’opzione Americana e un processo della forma

(ψ(t, St))t∈[0,T ]

dove ψ e una funzione Lipschitziana e convessa su [0, T ] × R+: ψ(t, St)rappresenta il premio ottenuto esercitando l’opzione all’istante t.

Una strategia d’esercizio anticipato e un tempo d’arresto su (Ω,F , Q,Ft)a valori in [0, T ]: indichiamo con TT la famiglia delle strategie d’esercizio.Diciamo che τ0 ∈ TT e una strategia ottimale se vale

EQ[e−rτ0ψ(τ0 , Sτ0)

]= supτ∈TT

EQ[e−rτψ(τ, Sτ )

].

Il seguente risultato mette in relazione il problema con ostacolo parabolicocon il corrispondente problema per l’operatore differenziale di Black&Scholes

LBSf(t, S) :=σ2S2

2∂SSf(t, S) + (r − q)S∂Sf(t, S) + ∂tf(t, S) − rf(t, S).

Teorema 11.2. Esiste ed e unica la soluzione forte f ∈ C([0, T ]×R+) per ilproblema con ostacolo{

max{LBSf, ψ − f} = 0, in ]0, T [×R+,

f(T, ·) = ψ(T, ·), in R+,(11.3)

che soddisfa le seguenti proprieta:

i) per ogni (t, y) ∈ [0, T [×R+, si ha

f(t, y) = supτ∈TTτ∈[t,T ]

EQ[e−r(τ−t)ψ(τ, St,yτ )

], (11.4)

dove St,y e la soluzione della SDE (11.1) con condizione iniziale St = y;ii) f ammette derivata parziale prima rispetto a S in senso classico e vale

∂Sf ∈ C ∩ L∞(]0, T [×R+). (11.5)

Dimostrazione. Con il cambio di variabili

u(t, x) = f(t, ex), ϕ(t, x) = ψ(t, ex)

il problema (11.3) e equivalente al problema con ostacolo{max{Lu, ϕ− u} = 0, in ]0, T [×R,u(T, ·) = ϕ(T, ·), in R,

11.1 Valutazione e copertura nel modello di Black&Scholes 409

per l’operatore parabolico a coefficienti costanti

Lu =σ2

2∂xxu+

(r − q − σ2

2

)∂xu+ ∂tu− ru.

L’esistenza di una soluzione forte e assicurata dal Teorema 8.20 e dalla suc-cessiva Osservazione 8.21. Inoltre, ancora per l’Osservazione 8.21, u e limitatadall’alto da una super-soluzione e dal basso da ϕ in modo che vale una stimadi crescita esponenziale del tipo (9.61): allora si applica il Teorema 9.47 dirappresentazione di Feynman-Kac da cui segue la formula (11.4). Infine, dal-la (11.4) segue l’unicita della soluzione e, procedendo come nella prova dellaProposizione 9.48, si prova la limitatezza globale del gradiente. 2

Ora consideriamo una strategia h = (αt, βt), con α ∈ L2loc e β ∈ L1

loc, convalore

Vt(h) = αtSt + βtBt.

Ricordiamo che h e autofinanziante se e solo se

dVt(h) = αt (dSt + qStdt) + βtdBt.

PostoVt(h) = e−rtVt(h),

vale

Proposizione 11.3. Una strategia h = (α, β) e autofinanziante se e solo se

dVt(h) = αt

(dSt + qStdt

),

ossia

Vt(h) = V0(h) +

∫ t

0

αsdSs +

∫ t

0

αsqSsds

= V0(h) +

∫ t

0

αsσSsdWs. (11.6)

In particolare ogni strategia autofinanziante e determinata solo dal valoreiniziale e dalla componente α. Inoltre V (h) e una Q-martingala locale.

Dimostrazione. La prova e analoga a quella della Proposizione 7.3, l’unicadifferenza e la presenza del termine relativo al dividendo. La (11.6) seguedalla (11.2). 2

In base alla proposizione precedente il valore scontato di ogni strategia au-tofinanziante e una martingala locale. Nel seguito hanno un naturale interessele strategie il cui valore scontato e una vera martingala.Pertanto indichiamo con A la famiglia delle strategie autofinanzianti h =

(α, β) tali che αS ∈ L2(P ): un esempio notevole e rappresentato dalle strategiein cui α e un processo limitato. Ricordiamo che per la Proposizione 10.33 ilvalore scontato di ogni h ∈ A e una Q-martingala. Proviamo ora una versionedel principio di non-arbitraggio.


Lemma 11.4. Siano h1, h2 ∈ A strategie autofinanzianti tali che

Vτ (h1) ≤ Vτ (h

2) (11.7)

per un certo τ ∈ TT . Allora valeV0(h

1) ≤ V0(h2)

Dimostrazione. La tesi e immediata conseguenza della (11.7), della proprieta

di martingala di V (h1), V (h2) e del Teorema 4.68 di optional sampling diDoob. 2

Come nel caso discreto, definiamo il prezzo equo di un’opzione Americanaconfrontandolo dall’alto e dal basso col valore di opportune strategie autofi-nanzianti. Un argomento di questo tipo e necessario perche, a differenza delcaso Europeo, il payoff ψ(t, St) di un’opzione Americana in generale non ereplicabile nel senso che non esiste una strategia autofinanziante che assumelo stesso valore del payoff in ogni istante. Infatti per la Proposizione 11.3 ilvalore scontato di ogni strategia autofinanziante e una martingala locale (o,in termini analitici, soluzione di una PDE parabolica) mentre ψ(t, St) e ungenerico processo.Indichiamo con

A+ψ = {h ∈ A | Vt(h) ≥ ψ(t, St), t ∈ [0, T ] q.s.},

la famiglia delle strategie autofinanzianti che super-replicano il payoff ψ(t, St).Intuitivamente, per evitare di introdurre opportunita d’arbitraggio, il prezzoiniziale dell’opzione Americana deve essere minore o uguale del valore inizialeV0(h) per ogni h ∈ A+

ψ .Inoltre poniamo

A−ψ = {h ∈ A | esiste τ ∈ TT t.c. ψ(τ, Sτ ) ≥ Vτ (h) q.s.}.

Si puo pensare a h ∈ A−ψ come ad una strategia su cui assumere una posizionecorta per ottenere soldi da investire nell’opzione Americana. In altri termini,V0(h) rappresenta l’ammontare che si puo inizialmente prendere a prestito percomprare l’opzione da esercitare, sfruttando la possibilita di esercizio antici-pato, al tempo τ per ottenere il payoff ψ(τ, Sτ ) maggiore o uguale a Vτ (h),cifra necessaria a chiudere la posizione corta sulla strategia h. Per evitare dicreare opportunita d’arbitraggio, intuitivamente il prezzo iniziale dell’opzioneAmericana deve essere maggiore o uguale a V0(h) per ogni h ∈ A−ψ .Queste osservazioni sono formalizzate dai risultati seguenti; in particolare,

come immediata conseguenza del Lemma 11.4, abbiamo la

Proposizione 11.5. Se h1 ∈ A−ψ e h2 ∈ A+ψ allora vale

V0(h1) ≤ V0(h

2).

In particolare per ogni h1, h2 ∈ A−ψ ∩ A+ψ vale

V0(h1) = V0(h

2).

11.1 Valutazione e copertura nel modello di Black&Scholes 411

Il Teorema 11.7 mostra l’esistenza di h ∈ A+ψ ∩ A−ψ : di conseguenza e ben

posta la

Definizione 11.6. Il prezzo d’arbitraggio dell’opzione Americana ψ(t, St) e ilvalore iniziale di h:

V0(h) = infh∈A+

ψ

V0(h) = suph∈A−ψ

V0(h).

Teorema 11.7. Sia f la soluzione forte del problema con ostacolo (11.3).Lastrategia autofinanziante h = (α, β) definita da

V0(h) = f(0, S0), αt = ∂Sf(t, St),

appartiene a A+ψ ∩ A−ψ . Di conseguenza f(0, S0) e il prezzo d’arbitraggio di

ψ(t, St). Inoltre una strategia ottimale d’esercizio e definita da

τ0 = inf{t ∈ [0, T ] | f(t, St) = ψ(t, St)}, (11.8)

e vale

V0(h) = EQ[e−rτ0ψ(τ0 , Sτ0)

]= supτ∈TT

EQ[e−rτψ(τ, Sτ )

],

dove

St = S0eσWt+

(r−q−σ2

2

)t,

e la soluzione della SDE (11.1) con condizione iniziale S0.

Dimostrazione. L’idea e di utilizzare la formula di Ito per calcolare il differen-ziale stocastico di f(t, St) e separare la parte martingala dalla parte di drift delprocesso. Ricordiamo che, per definizione di soluzione forte (cfr. Definizione8.14), f ∈ Sploc([0, T ]× R+) e non e in generale di classe C

2. Di conseguenzaoccorre utilizzare una versione debole della formula di Ito: tuttavia poichenon abbiamo una stima globale, ma solo locale delle derivate seconde1 di f(e quindi di LBSf), non possiamo utilizzare direttamente il Teorema 5.79, madobbiamo adottare un argomento di localizzazione. Dato R > 0, consideriamoil tempo d’arresto

τR = T ∧ inf{t | St ∈]0, 1/R[∪]R,+∞[}.

Con l’argomento standard di regolarizzazione utilizzato nella prova dei Teo-remi 5.79 e 9.47, possiamo provare che, per ogni τ ∈ TT , vale1 E possibile provare (cfr. si veda, per esempio, [107]) una stima globale del tipo

‖∂tf(t, ·)‖L∞(R+) + ‖∂SSf(t, ·)‖L∞(R+) ≤ C√T − t

da utilizzare come nell’Osservazione 5.81 per provare la validita della formula diIto per f .


e−r(τ∧τR)f(τ ∧ τR, Sτ∧τR ) = f(0, S0) +

∫ τ∧τR

0

σSs∂Sf(s, Ss)dWs

+

∫ τ∧τR

0

e−rsLBSf(s, Ss)ds

(11.9)

o equivalentemente, per la (11.6),

e−r(τ∧τR)f(τ ∧ τR, Sτ∧τR ) = Vτ∧τR +

∫ τ∧τR

0

e−rsLBSf(s, Ss)ds, (11.10)

dove V e il valore scontato della strategia autofinanziante h = (α, β) di va-lore iniziale f(0, S0) e definita da αt = ∂Sf(t, St). Ci soffermiamo per notarel’analogia con la strategia di copertura e la delta di un’opzione Europea (cfr.Teorema 7.13).

Osserviamo che V e una martingala poiche h ∈ A essendo ∂Sf una fun-zione continua e limitata per la (11.5). Proviamo che, per ogni τ ∈ TT ,vale

limR→∞

Vτ∧τR = Vτ . (11.11)

Infatti si ha

E

[(∫ τ

τ∧τRσSs∂Sf(s, Ss)dWs

)2]

=E

⎡⎣(∫ T

0

σSt∂Sf(t, St)1{τ∧τR≤t≤τ}dWt

)2⎤⎦ =

(per l’isometria di Ito, essendo l’integrando in L2)

= E

[∫ T

0

(σSt∂Sf(t, St)1{τ∧τR≤t≤τ}

)2dt

]−−−−→R→∞

0

per il teorema della convergenza dominata, essendo ∂Sf ∈ L∞.

Siamo ora in grado di provare che h ∈ A+ψ ∩ A−ψ . Da una parte, poiche

LBSf ≤ 0 q.o. e St ha densita positiva, per la (11.10), abbiamo

Vt∧τR ≥ f(t ∧ τR, St∧τR)

per ogni t ∈ [0, T ] e R > 0. Passando al limite in R, per la (11.11) e lacontinuita di f , abbiamo

Vt ≥ f(t, St) ≥ ψ(t, St), t ∈ [0, T ],

e questo prova che h ∈ A+ψ .

D’altra parte, poiche LBSf(t, St) = 0 q.s. su {τ0 ≥ t} con τ0 definito in(11.8), ancora per la (11.10) abbiamo

11.2 Call e put Americane nel modello di Black&Scholes 413

Vτ0∧τR = f(τ0 ∧ τR, Sτ0∧τR)

per ogni R > 0. Passando al limite in R come sopra, otteniamo

Vτ0 = f(τ0 , Sτ0 ) = ψ(τ0 , Sτ0).

Questo prova che h ∈ A−ψ e conclude la dimostrazione. 2

11.2 Call e put Americane nel modello di Black&Scholes

Dal Teorema 11.7 abbiamo la seguente espressione per i prezzi di opzioni call eput Americane nel modello di Black&Scholes, con dinamica neutrale al rischio(11.1) per il sottostante:

C(T, S0, K, r, q) = supτ∈TT

E

[e−rτ

(S0e

σWτ+(r−q− σ2

2

)τ −K

)+],

P (T, S0, K, r, q) = supτ∈TT

E

[e−rτ

(K − S0e

σWτ+(r−q− σ2

2

)τ)+

].

Nell’espressione precedente, C(T, S0, K, r, q) e P (T, S0, K, r, q) indicano ri-spettivamente i prezzi al tempo 0 di call e put Americane con scadenza T ,prezzo iniziale del sottostante S0, strike K, tasso di interesse r e tasso direndimento del dividendo q. Per le opzioni Americane non sono note formuleesplicite come nel caso Europeo e per il calcolo dei prezzi e delle strategie dicopertura e generalmente necessario utilizzare dei metodi numerici.Il risultato seguente stabilisce una relazione di simmetria fra i prezzi di

call e put Americane.

Proposizione 11.8. Vale

C(T, S0, K, r, q) = P (T,K, S0, q, r). (11.12)

Dimostrazione. Posto

Zt = eσWt−σ2

2 t,

ricordiamo che Z e una Q-martingala con valore atteso unitario e, rispettoalla misura Q definita da

dQ

dQ= ZT ,

il processoWt =Wt − σt

e un moto Browniano.Osserviamo che vale


C(T, S0, K, r, q) = supτ∈TT

EQ

[Zτe

−qτ(S0 −Ke

−σWτ+(q−r+ σ2

2

)τ)+

]

= supτ∈TT

EQ

[ZT e

−qτ(S0 −Ke

−σWτ+(q−r+ σ2

2

)τ

)+]

= supτ∈TT

EQ

[e−qτ

(S0 −Ke

−σWτ+(q−r− σ2

2

)τ)+

].

La tesi segue dal fatto che, per simmetria, −W e un Q-moto Browniano. 2

Studiamo ora alcune proprieta qualitative dei prezzi: in base alla Proposi-zione 11.8 e sufficiente considerare il caso della put Americana. Nel seguenteenunciato

P (T, S) = supτ∈TT

E

[e−rτ

(K − Se

σWτ+(r−q−σ2

2

)τ)+

], (11.13)

indica il prezzo della put Americana.

Proposizione 11.9. Valgono le seguenti proprieta:

i) per ogni S ∈ R+, la funzione T �→ P (T, S) e crescente. In altri termi-ni, tenendo fissi i parametri dell’opzione, il prezzo della put diminuisceavvicinandosi alla scadenza;

ii) per ogni T ∈ [0, T ], la funzione S �→ P (T, S) e decrescente e convessa;iii) per ogni (T, S) ∈ [0, T [×R+, si ha

−1 ≤ ∂SP (T, S) ≤ 0.

Dimostrazione. La i) e ovvia. La ii) e immediata conseguenza della formula(11.13), delle proprieta della funzione di payoff e del fatto che le proprieta dimonotonia e convessita sono conservate dall’operazione di inviluppo, ossia se(gτ ) e una famiglia di funzioni crescenti e convesse allora anche l’inviluppo

g := supτ

gτ

e crescente e convesso.Infine ∂SP (T, S) ≤ 0 poiche S �→ P (T, S) e decrescente. Inoltre, posto

ψ(S) = (K − S)+ si ha

|ψ(S) − ψ(S′)| ≤ |S − S′|,

e quindi per provare la terza proprieta e sufficiente procedere come nelladimostrazione della Proposizione 9.48 e osservare che

11.2 Call e put Americane nel modello di Black&Scholes 415∣∣∣∣E [e−rτψ

(S0e

σWτ+(r−q−σ2

2

)τ)− e−rτψ

(S′0e

σWτ+(r−q−σ2

2

)τ)]∣∣∣∣

≤ |S0 − S′0|E[eσWτ−

(q+ σ2

2

)τ]≤

(essendo q ≥ 0)≤ |S0 − S′0|E

[eσWτ−σ2

2 τ]=

(poiche la martingala esponenziale ha attesa unitaria)

= |S0 − S′0|.

2

Nell’ultima parte di questa sezione, studiamo la relazione fra i prezzi diput Europea ed Americana introducendo il concetto di premio per l’esercizioanticipato. Nel seguito indichiamo con f = f(t, S) la soluzione del problemacon ostacolo (11.3) relativo alla funzione di payoff della put

ψ(t, S) = (K − S)+ .

Per t ∈ [0, T ], definiamo

S∗(t) = inf{S > 0 | f(t, S) > ψ(t, S)}.

Il numero S∗(t) e detto prezzo critico al tempo t e corrisponde al punto in cuif “tocca” il payoff ψ.

Lemma 11.10. Per ogni (t, S) ∈ [0, T [×R+, vale

LBSf(t, S) = (qS − rK)1{S≤S∗(t)}. (11.14)

In particolare LBSf e una funzione limitata.

Dimostrazione. Anzitutto osserviamo che S∗(t) < K: infatti se fosse S∗(t) ≥K allora dovrebbe valere

f(t, K) = ψ(t, K) = 0

che e assurdo (poiche f > 0 per la (11.4)). Allora dalla convessita di S �→f(t, S) (che segue dalla Proposizione 11.9-ii)) deduciamo

i) f(t, S) = K − S per S ≤ S∗(t);ii) f(t, S) > ψ(t, S) per S > S∗(t).

Dunque si ha

LBSf(t, S) =

{(qS − rK), per S ≤ S∗(t),

0, q.o. per S > S∗(t).

2


Ora riprendiamo la formula (11.9) con τ = T : poiche LBSf e limitato,possiamo passare al limite per R→ +∞ ed ottenere

e−rT f(T, ST ) = f(0, S0) +

∫ T

0

e−rtLBSf(t, St)dt+

∫ T

0

σSt∂Sf(t, St)dWt,

e in valore atteso, per la (11.14),

p(T, S0) = P (T, S0) +

∫ T

0

e−rtEQ[(qSt − rK)1{St≤S∗(t)}

]dt, (11.15)

dove p(T, S0) e P (T, S0) indicano rispettivamente il prezzo al tempo 0 dell’op-zione Europea ed Americana con scadenza T . La (11.15) fornisce l’espressionedella differenza P (T, S0) − p(T, S0), usualmente chiamato premio per l’eser-cizio anticipato: esso quantifica il valore della possibilita di esercitare primadella scadenza. La (11.15) e stata originalmente provata da Kim [94].

11.3 Valutazione e copertura in un mercato completo

Consideriamo un modello di mercato composto da d titoli rischiosi e da untitolo non rischioso. Indichiamo con Sit, i = 1, . . . , d, il prezzo dell’i-esimotitolo rischioso e con Bt il prezzo del titolo non rischioso al tempo t ∈ [0, T ].Supponiamo che

Sit = eXit , i = 1, . . . , d,

dove X = (X1, . . . , Xd) e soluzione della SDE


e W e un moto Browniano d-dimensionale sullo spazio (Ω,F , P,Ft). Specifi-chiamo in seguito, nell’Ipotesi 11.11, le condizioni di regolarita sui coefficientiche assicurano l’esistenza di una soluzione forte di (11.16). Indichiamo con

σi =(σi1, . . . , σid

),

la i-esima riga della matrice σ, per i = 1, . . . , d, e ricordiamo (cfr. (10.21)) chevale


it · dWt, (11.17)

dove

σit = σi(t, Xt), μit = bi(t, Xt) +|σit|22

.

Assumiamo che il prezzo del titolo non rischioso sia

Bt = e∫ t0rsds, t ∈ [0, T ],

dove rt = r(t, Xt), con r funzione opportuna, e che il titolo i-esimo distribuiscain modo continuo un dividendo al tasso qit = qi(t, Xt).

11.3 Valutazione e copertura in un mercato completo 417

Ipotesi 11.11 Le funzioni b, σ, r e q sono limitate e localmente Holderianesu ]0, T [×Rd; inoltre sono funzioni globalmente Lipschitziane in x, uniforme-mente rispetto a t, su ]0, T [×Rd. La matrice (cij) := σσ∗ e uniformementedefinita positiva: esiste una costante positiva Λ tale che

Λ−1|ξ|2 ≤d∑

i,j=1

cij(t, x)ξiξj ≤ Λ|ξ|2, t ∈]0, T [, x, ξ ∈ Rd.

Sotto queste condizioni esiste ed e unica la misura martingala Q. Precisamen-te, per t ∈ [0, T ] poniamo

μit = μit + qit − rt, i = 1, . . . , d,

θt = σ−1t μt,

Zt = exp

(−

∫ t

0

θs · dWs −1

2

∫ t

0

|θs|2ds).

Per il Teorema 10.5 di Girsanov, il processo

W θt =Wt +

∫ t

0

θsds, t ∈ [0, T ],

e un moto Browniano su (Ω,Q,F ,Ft) dove

dQ

dP= ZT ,

e valedSit =

(rt − qit

)Sitdt+ Sitσ

it · dW θ

t .

La dinamica dei prezzi scontati

Sit = e−∫ t0rsdsSit

e data dadSit = −qitSitdt+ Sitσ

it · dW θ

t . (11.18)

Le definizioni di opzione Americana e strategia d’esercizio sono formal-mente uguali al caso di Black&Scholes. Un’opzione Americana e un processodella forma

(ψ(t, St))t∈[0,T ]

dove ψ e una funzione Lipschitziana e convessa su [0, T ]× (R+)d.

Indichiamo con TT la famiglia dei Ft-tempi d’arresto a valori in [0, T ] ediciamo che τ ∈ TT e una strategia d’esercizio anticipato. Inoltre τ0 ∈ TT euna strategia ottimale se vale

EQ[e−∫ τ00 rsdsψ(τ0 , Sτ0)

]= supτ∈TT

EQ[e−∫τ0rsdsψ(τ, Sτ )

].


Il seguente risultato generalizza il Teorema 11.2. Nel seguente enunciato (t, S)indica il punto di [0, T ] × (R+)

d e L e l’operatore parabolico associato alprocesso (St):

Lf =1

2

d∑i,j=1

cijSiSj∂SiSjf +

d∑i=1

(r − qi)Si∂Sif + ∂tf − rf,

dove, posto logS = (logS1, . . . , logSd),

cij = cij(t, logS), r = r(t, logS) e qi = qi(t, logS).

Teorema 11.12. Esiste ed e unica la soluzione forte f ∈ C([0, T ]× (R+)d)

del problema con ostacolo{max{Lf, ψ − f} = 0, in ]0, T [×(R+)

d,

f(T, ·) = ψ(T, ·), in (R+)d,

(11.19)

che soddisfa le seguenti proprieta:

i) per ogni (t, y) ∈ [0, T [×(R+)d, si ha

f(t, y) = supτ∈TTτ∈[t,T ]

EQ[e−∫τtrt,ys dsψ(τ, St,yτ )

],

dove St,y e il processo dei prezzi con valore iniziale St = y, e rt,ys =r(s, logSt,ys );

ii) f ammette il gradiente spaziale ∇f = (∂S1f, . . . , ∂Sdf) in senso classico evale

∇f ∈ C(]0, T [×(R+)d.

Se ψ e limitata oppure il coefficiente r e costante2 allora

∇f ∈ L∞(]0, T [×(R+)d.

Dimostrazione. Tramite il cambio di variabili S = ex, la tesi e direttaconseguenza dei Teoremi 8.20, 9.47 e della Proposizione 9.48. 2

Consideriamo una strategia h = (αt, βt), α ∈ L2loc e β ∈ L1

loc, con valore

Vt(h) = αt · St + βtBt,

e ricordiamo la condizione di autofinanziamento:

dVt(h) =

d∑i=1

αit(dSit + qitS

itdt

)+ βtdBt.

2 In generale, senza le ipotesi aggiuntive sulla limitatezza di ψ oppure su r costante,procedendo come nella Proposizione 9.48 si prova che ∇f ha crescita al piu linearein S.

11.3 Valutazione e copertura in un mercato completo 419

PostoVt(h) = e−

∫ t0rsdsVt(h),

vale

Proposizione 11.13. La strategia h = (α, β) e autofinanziante se e solo se

Vt(h) = V0(h) +

d∑i=1

∫ t

0

αisdSis +

d∑i=1

∫ t

0

αisqisSisds

= V0(h) +

d∑i=1

∫ t

0

αisSisσis · dW θ

s .

(11.20)

Dimostrazione. E analoga alla Proposizione 7.3. La seconda uguaglianza in(11.20) segue dalla (11.18). 2

La definizione di prezzo d’arbitraggio dell’opzioneAmericana e basata suglistessi argomenti utilizzati nell’ambito del modello di Black&Scholes.

Notazione 11.14 Ricordiamo la Definizione 10.34 e poniamo

A+ψ = {h ∈ A | Vt(h) ≥ ψ(t, St), t ∈ [0, T ] q.s.},

A−ψ = {h ∈ A | esiste τ0 ∈ TT t.c. ψ(τ0, Sτ0 ) ≥ Vτ0 (h) q.s.}.

A+ψ e A−ψ indicano rispettivamente le famiglie delle strategie autofinanzianti

che super-replicano il payoff ψ(t, St) e delle strategie su cui assumere unaposizione corta per investire nell’opzione Americana. Osserviamo che, dallaproprieta di martingala, segue

V0(h−) ≤ V0(h

+)

per ogni h− ∈ A−ψ e h+ ∈ A+ψ . Inoltre per evitare di introdurre opportunita

d’arbitraggio, il prezzo dell’opzione Americana ψ(t, St) deve essere minore ouguale del valore iniziale V0(h) per ogni h ∈ A+

ψ e maggiore o uguale del valore

iniziale V0(h) per ogni h ∈ A−ψ .Il seguente risultato, analogo al Teorema 11.7, introduce la definizione di

prezzo d’arbitraggio dell’opzione Americana mostrando che

infh∈A+

ψ

V0(h) = suph∈A−

ψ

V0(h).

Teorema 11.15. Sia f la soluzione del problema con ostacolo (11.19). Lastrategia autofinanziante h = (α, β) definita da

V0(h) = f(0, S0), αt = ∇f(t, St),

appartiene a A+ψ ∩ A−ψ . Per definizione


f(0, S0) = V0(h) = infh∈A+

ψ

V0(h) = suph∈A−ψ

V0(h),

e il prezzo d’arbitraggio di ψ(t, St). Inoltre una strategia ottimale d’esercizioe definita da

τ0 = inf{t ∈ [0, T ] | f(t, St) = ψ(t, St)},e vale

V0(h) = EQ[e−∫ τ00 rsdsψ(τ0, Sτ0 )

]= supτ∈TT

EQ[e−∫ τ0rsdsψ(τ, Sτ )

].

12

Metodi numerici

Metodo di Eulero per equazioni ordinarie – Metodo di Eulero per equazioni stoca-stiche – Metodo delle differenze finite per equazioni paraboliche – Metodo MonteCarlo

In questo capitolo studiamo alcuni metodi per la risoluzione numerica di equa-zioni differenziali deterministiche e stocastiche. L’approssimazione numericae necessaria quando non e possibile determinare la soluzione di un’equazionein forma esplicita (ossia quasi sempre).L’idea alla base di molti metodi numerici per equazioni differenziali e sem-

plicemente di approssimare le derivate (gli integrali) con rapporti incremen-tali (con somme). Seguiremo quest’approccio in tutto il capitolo, cercandodi inquadrare i metodi per diversi tipi di equazioni (ordinarie o alle deri-vate parziali, deterministiche o stocastiche) in un unico contesto. A grandilinee, gli ingredienti principali che utilizzeremo per mostrare che la soluzioneX di un’equazione differenziale LX = 0 e approssimata dalla soluzione Xδ

dell’equazione “discretizzata” LδX = 0, sono tre:

• la regolarita della soluzione X che deriva dalle proprieta dell’equazionedifferenziale ed e generalmente conseguenza delle ipotesi di regolarita suicoefficienti;

• la consistenza della discretizzazione (o schema numerico), ossia il fattoche L − Lδ −−−−→

δ→0+0 in senso opportuno: cio e generalmente conseguen-

za dell’approssimazione mediante uno sviluppo in serie di Taylor e dellaregolarita della soluzione fornita nel punto precedente;

• la stabilita dello schema numerico, generalmente conseguenza di un prin-cipio del massimo per Lδ che fornisce una stima di una funzione (o unprocesso) Y in termini del dato iniziale Y0 e di L

δY .

12.1 Metodo di Eulero per equazioni ordinarie

Consideriamo l’equazione differenziale ordinaria

X′t = μ(t, Xt), t ∈ [0, T ], (12.1)

dove


422 12 Metodi numerici

μ : [0, T ]×R −→ R,

e una funzione continua. Per semplicita e chiarezza d’esposizione ci limitia-mo a considerare il caso uni-dimensionale, ma i risultati seguenti si possonoestendere senza difficolta. Assumiamo l’ipotesi di crescita lineare

|μ(t, x)| ≤ K(1 + |x|), x ∈ R, t ∈ [0, T ], (12.2)

e inoltre assumiamo la Lipschitzianita in entrambe le variabili (quindi un’i-potesi un po’ piu forte rispetto all’ipotesi standard di Lipschitzianita inx):

|μ(t, x)− μ(s, y)| ≤ K(|t− s|+ |x− y|), x, y ∈ R, t, s ∈ [0, T ]. (12.3)

Fissato N ∈ N, suddividiamo l’intervallo [0, T ] in N intervalli [tn−1, tn] dilunghezza pari a δ := T

N, cosicche tn = nδ per n = 0, . . . , N . Chiamiamo δ il

passo della discretizzazione. Approssimando la derivata in (12.1) col relativorapporto incrementale (o equivalentemente, troncando lo sviluppo di Taylordella funzione X di punto iniziale tn al prim’ordine), otteniamo la seguentediscretizzazione della (12.1):

Xδtn+1 = Xδtn + μ(tn, Xδtn)δ, n = 1, . . . , N. (12.4)

Imponendo Xδ0 = X0, la (12.4) definisce ricorsivamente i valori di Xδtnper n =

1, . . . , N fornendo un algoritmo per la determinazione di un’approssimazionedella soluzione X.E utile considerare anche l’equivalente versione integrale della (12.1):

LtX = 0, t ∈ [0, T ], (12.5)

dove Lt e l’operatore definito da

LtX := Xt −X0 −∫ t

0

μ(s,Xs)ds, t ∈ [0, T ]. (12.6)

Fissati tn come in precedenza, l’equazione (12.5) puo essere discretizza-ta rendendo costante l’integrando μ(s,Xs) ≡ μ(tn−1, Xtn−1) sull’intervallo[tn−1, tn]. Piu precisamente definiamo l’operatore discretizzato Lδ ponendo

LδtX := Xt−X0−∫ t

0

N∑n=1

μ(tn−1, Xtn−1 )1]tn−1,tn](s)ds, t ∈ [0, T ]. (12.7)

L’equazioneLδtX

δ = 0, t ∈ [0, T ],e equivalente a

Xδt = X0 −∫ t

0

N∑n=1

μ(tn−1, Xδtn−1 )1]tn−1,tn](s)ds, t ∈ [0, T ], (12.8)

12.1 Metodo di Eulero per equazioni ordinarie 423

e definisce ricorsivamente la stessa (nei punti t = tn) approssimazioneXδ della

soluzione X introdotta in precedenza con la formula (12.4): piu precisamentela funzione Xδ e definita interpolando linearmente i valori Xδtn , n = 0, . . . , N .

Per studiare la convergenza dello schema numerico di Eulero, cominciamocol provare una stima a priori della regolarita delle soluzioni dell’equazionedifferenziale.

Proposizione 12.1 (Regolarita). La soluzione X in (12.6) e tale che

|Xt −Xs| ≤ K1|t− s|, t, s ∈ [0, T ],

con K1 che dipende solo da K in (12.2), T e X0.

Dimostrazione. Per definizione, se s < t, si ha

|Xt −Xs| =∣∣∣∣∫ t

s

μ(u,Xu)du

∣∣∣∣ ≤ (t− s) maxu∈[0,T ]

|μ(u,Xu)|.

La tesi segue dall’ipotesi di crescita lineare di μ e dalla seguente stima

|Xt| ≤ eKt (|X0|+KT ) , t ∈ [0, T ], (12.9)

che si prova utilizzando il Lemma di Gronwall e la disuguaglianza

|Xt| ≤ |X0|+∫ t

0

|μ(s,Xs)|ds ≤

(per l’ipotesi di crescita lineare di μ)

≤ |X0|+KT +K

∫ t

0

|Xs|ds.

2

Verifichiamo ora la consistenza dell’operatore discretizzato Lδ con L.

Proposizione 12.2 (Consistenza). Sia Y una funzione Lipschitziana su[0, T ] con costante di Lipschitz K1. Per ogni t ∈ [0, T ] vale∣∣LtY − LδtY

∣∣ ≤ Cδ, (12.10)

dove la costante C dipende solo da K,K1 e T .

Dimostrazione. E sufficiente considerare il caso t = tn. Si ha

∣∣LtnY − LδtnY∣∣ = ∣∣∣∣∣

n∑k=1

∫ tk

tk−1

(μ(s, Ys) − μ

(tk−1, Ytk−1

))ds

∣∣∣∣∣ ≤(per l’ipotesi di Lipschitzianita di μ)


≤ K

n∑k=1

∫ tk

tk−1

(s− tk−1 + |Ys − Ytk−1 |

)ds

≤ K (1 +K1)

n∑k=1

∫ tk

tk−1(s− tk−1) ds

≤ K (1 +K1)Tδ.

2

Il terzo passo e la prova di un principio del massimo per l’operatore discretoLδ .

Proposizione 12.3 (Stabilita - Principio del massimo). Siano X, Yfunzioni continue su [0, T ]. Allora si ha

maxt∈[0,T ]

|Xt − Yt| ≤ eKT(|X0 − Y0|+ max

t∈[0,T ]|LδtX − LδtY |

). (12.11)


Xt − Yt =X0 − Y0 + LδtX − LδtY

+

∫ t

0

N∑n=1

(μ(tn−1, Ytn−1)− μ(tn−1, Ytn−1)

)1]tn−1,tn](s)ds

per l’ipotesi di Lipschitzianita di μ, si ha

maxs∈[0,t]

|Xs − Ys| ≤ |X0 − Y0|+ maxs∈[0,T ]

∣∣LδsX − LδsY∣∣+K

∫ t

0

maxu∈[0,s]

|Xu − Yu|ds.

La tesi segue dal Lemma di Gronwall. 2

Osservazione 12.4. Il risultato precedente e chiamato principio del massimoperche nel caso in cui l’equazione differenziale sia lineare e omogenea, ossiadel tipo μ(t, x) = a(t)x, e Yt ≡ 0, la (12.11) diventa

maxt∈[0,T ]

|Xt| ≤ eKT(|X0|+ max

t∈[0,T ]|LtX|

),

ed esprime il fatto che il massimo della soluzione dell’equazione LtX = f sistima in termini del valore iniziale X0 e del termine noto f . Questo tipo dirisultato garantisce la stabilita di uno schema numerico nel senso che, per lesoluzioni Xδ , Y δ di LδX = 0, la (12.11) diventa

maxt∈[0,T ]

|Xδt − Y δt | ≤ eKt|Xδ0 − Y δ0 |

e fornisce una stima della sensibilita della soluzione rispetto ad una perturba-zione del dato iniziale. 2

12.1 Metodo di Eulero per equazioni ordinarie 425

Proviamo ora che la discretizzazione di Eulero ha ordine di convergenzapari a uno.

Teorema 12.5. Siano X e Xδ rispettivamente le soluzioni di LtX = 0 eLδtX

δ = 0 con uguale dato iniziale X0 = Xδ0 . Esiste una costante C chedipende solo da T,K in (12.2) e X0 tale che

maxt∈[0,T ]

∣∣Xt −Xδt∣∣ ≤ Cδ. (12.12)

Dimostrazione. Per il principio del massimo si ha

maxt∈[0,T ]

∣∣Xt −Xδt∣∣ ≤ eKT max

t∈[0,T ]|LδtX − LδtX

δ | = eKT maxt∈[0,T ]

|LδtX − LtX| ≤

(per i risultati di consistenza, Proposizione 12.2, e regolarita, Proposizione12.1)

≤ Cδ

dove C dipende solo da T,K e X0. 2

12.1.1 Schemi di ordine superiore

La discretizzazione di Eulero e estremamente semplice ed intuitiva, tuttavia darisultati soddisfacenti solo se il coefficiente μ e ben approssimato da funzionilineari. In generale e preferibile utilizzare schemi numerici di ordine superiore.Accenniamo brevemente alle idee principali. Nel seguito assumiamo che ilcoefficiente μ sia sufficientemente regolare e consideriamo l’equazione

X′t = μ(t, Xt), t ∈ [0, T ].Derivando l’equazione precedente e tralasciando gli argomenti della funzioneμ e delle sue derivate, otteniamo

X′′ = μt + μxX′ = μt + μxμ,

X′′′ = μtt + 2μtxX′ + μxx (X

′)2+ μxX

′′ = . . . ,

dove μt, μx indicano le derivate parziali della funzione μ = μ(t, x). Sostituendole espressioni precedenti nello sviluppo di Taylor di X, troncato all’ordinep ∈ N,

Xtn+1 = Xtn +X′tnδ + · · ·+1

p!X

(p)tn δp

otteniamo lo schema di Eulero di ordine p. Per esempio, lo schema di ordinedue e

Xδtn+1 = Xδtn + μ(tn, Xδtn)δ +

δ2

2

(μt(tn, X

δtn) + μx(tn, X

δtn)μ(tn, X

δtn)

).

Sotto opportune ipotesi di regolarita sul coefficiente μ, e possibile dimostrareche lo schema di Eulero di ordine p ha un ordine di convergenza pari a p,ossia vale

maxt∈[0,T ]

∣∣Xt −Xδt∣∣ ≤ Cδp.


12.2 Metodo di Eulero per equazioni stocastiche

Studiamo il problema dell’approssimazione numerica di un’equazione diffe-renziale stocastica. Rimandiamo alle monografie di Kloeden e Platen [96],Bouleau e Lepingle [23] per un’esposizione della teoria generale.Utilizziamo le notazioni del Paragrafo 9.1 e definiamo l’operatore

LtX := Xt −X0 −∫ t

0

μ(s,Xs)ds−∫ t

0

σ(s,Xs)dWs, t ∈ [0, T ], (12.13)

dove X0 e un’assegnata variabile aleatoria F0-misurabile in L2(Ω, P ) e icoefficienti

μ = μ(t, x) : [0, T ]× R −→ R, σ = σ(t, x) : [0, T ]×R −→ R,

verificano la seguente ipotesi

|μ(t, x)− μ(s, y)|2 + |σ(t, x)− σ(t, y)|2 ≤ K(|t− s|+ |x− y|2

), (12.14)

per x, y ∈ R e t, s ∈ [0, T ]. La (12.14) e po’ piu forte delle ipotesi standard (cfr.Definizione 9.4) in quanto equivale alla Lipschitzianita globale nella variabilex e all’Holderianita di esponente 1/2 in t: in particolare la (12.14) contienel’usuale condizione di crescita lineare. Sotto queste ipotesi il Teorema 9.11assicura l’esistenza di una soluzione forte X ∈ Ac dell’equazione

LtX = 0, t ∈ [0, T ].

Ricordiamo (cfr. Notazione 9.5) che Ac indica lo spazio dei processi (Xt)t∈[0,T ]continui, Ft-adattati e tali che

[[X]]T =

√E

[sup

0≤t≤TX2t

]e finito.Suddividiamo l’intervallo [0, T ] in N intervalli [tn−1, tn] di lunghezza pari

a δ := TNe definiamo l’operatore discretizzato Lδ ottenuto rendendo costanti

a tratti gli integrandi in (12.13):

LδtX := Xt −X0−∫ t

0

N∑n=1

μ(tn−1, Xtn−1)1]tn−1 ,tn](s)ds

−∫ t

0

N∑n=1

σ(tn−1, Xtn−1)1]tn−1 ,tn](s)dWs,

(12.15)

per t ∈ [0, T ]. L’equazione

LδtXδ = 0, t ∈ [0, T ], (12.16)

12.2 Metodo di Eulero per equazioni stocastiche 427

definisce il processo discretizzato Xδ : per t = tn la (12.16) e equivalente allaformula

Xδtn+1 = Xδtn + μ(tn, Xδtn)δ + σ(tn, X

δtn)

(Wtn+1 −Wtn

), (12.17)

che determina ricorsivamente il processo discretizzato Xδ a partire dal datoiniziale Xδ0 = X0.

Il primo ingrediente per la dimostrazione della convergenza dello schemadi Eulero e il seguente risultato di regolarita delle soluzioni dell’equazionestocastica contenuto nel Teorema 9.14:

Proposizione 12.6 (Regolarita). La soluzione X di LtX = 0 e tale che

E

[sups∈[t,t′]

|Xs −Xt|2]≤ K1(t

′ − t), 0 ≤ t < t′ ≤ T, (12.18)

dove K1 e una costante che dipende solo da T , E[X2

0

]e K in (12.14).

Il secondo passo consiste nella verifica della consistenza dell’operatorediscretizzato Lδ con L: il prossimo risultato e analogo alla Proposizione 12.2.

Proposizione 12.7 (Consistenza). Sia Y ∈ Ac tale che

E

[sups∈[t,t′]

|Ys − Yt|2]≤ K1(t

′ − t), 0 ≤ t < t′ ≤ T. (12.19)

Allora vale[[LY − LδY ]]T ≤ C

√δ, (12.20)

dove la costante C dipende solo da K,K1 e T .


LtY − LδtY =

∫ t

0

N∑n=1

(μ(tn−1, Ytn−1)− μ(s, Ys)

)1]tn−1,tn](s)︸︷︷︸

:=Zμs

ds

+

∫ t

0

N∑n=1

(σ(tn−1, Ytn−1)− σ(s, Ys)

)1]tn−1,tn](s)︸︷︷︸

:=Zσs

dWs,

e quindi, per il Lemma 9.7,

[[LY − LδY ]]2T ≤ 2∫ T

0

(T [[Zμ]]2t + 4[[Z

σ]]2t)dt.


Per concludere la prova, osserviamo che

[[Zμ]]2t = E

[sups≤t

N∑n=1

(μ(s, Ys) − μ(tn−1, Ytn−1)

)21]tn−1,tn](s)

]≤

(per l’ipotesi di Lischitzianita (12.14))

≤ KE

[sups≤t

N∑n=1

(|s− tn−1|+ |Ys − Ytn−1 |2

)1]tn−1 ,tn](s)

]≤ Cδ

in base all’ipotesi di regolarita (12.19), e una stima analoga vale per [[Zμ]]2t . 2

Il terzo ingrediente e un principio del massimo per l’operatore discreto Lδ.

Proposizione 12.8 (Stabilita - Principio del massimo). Esiste una co-stante C0 che dipende solo da K e T , tale che per ogni coppia di processiX, Y ∈ Ac vale

[[X − Y ]]2T ≤ C0

(E

[|X0 − Y0|2

]+ [[LδX − LδY ]]2T

). (12.21)


Xt − Yt =LδtX − LδtY +X0 − Y0

+

∫ t

0

N∑n=1

(μ(tn−1, Xtn−1 )− μ(tn−1, Ytn−1)

)1]tn−1,tn](s)︸︷︷︸

:=Zμs

ds

+

∫ t

0

N∑n=1

(σ(tn−1, Xtn−1 )− σ(tn−1, Ytn−1)

)1]tn−1 ,tn](s)︸︷︷︸

:=Zσs

dWs,

utilizzando il Lemma 9.7 otteniamo

[[X − Y ]]2t ≤4(E

[(X0 − Y0)

2]+ [[LδX − LδY ]]2T

+ t

∫ t

0

[[Zμ]]2sds+ 4

∫ t

0

[[Zσ]]2sds

).

D’altra parte si ha

[[Zμ]]2t = E

[sups≤t

N∑n=1

(μ(tn−1, Xtn−1 )− μ(tn−1, Ytn−1)

)21]tn−1,tn](s)

]≤

(per l’ipotesi di Lischitzianita di μ)

12.2 Metodo di Eulero per equazioni stocastiche 429

≤ KE

[sups≤t

N∑n=1

|Xtn−1 − Ytn−1 |21]tn−1,tn](s)]≤ K[[X − Y ]]2t ,

e una stima analoga vale per [[Zσ]]2t . Dunque combinando le stime precedentiotteniamo

[[X − Y ]]2t ≤ 4E[(X0 − Y0)

2]+ 4[[LδX − LδY ]]2T + 4K(T + 4)

∫ t

0

[[X − Y ]]2sds

e la tesi segue applicando il Lemma di Gronwall. 2

Possiamo ora provare il seguente risultato che afferma che lo schema diEulero ha ordine di convergenza forte pari a 1/2.

Teorema 12.9. Esiste una costante C che dipende solo da K, T e E[X2

0

],

tale che[[X −Xδ]]T ≤ C

√δ.

Dimostrazione. Per il principio del massimo, Proposizione 12.8, vale

[[X −Xδ]]2T ≤ C0[[LδX − LδXδ ]]2T = C0[[L

δX − LX]]2T ≤ Cδ

dove C dipende solo da T,K e E[X2

0

], e l’ultima disuguaglianza segue dai

risultati di consistenza e regolarita, Proposizioni 12.7 e 12.6. 2

12.2.1 Schema di Milstein

Analogamente al caso deterministico e possibile introdurre schemi di ordinesuperiore per la discretizzazione di equazioni stocastiche. Uno dei piu semplicie lo schema di Milstein in cui si considera un’approssimazione del prim’ordinedel termine diffusivo rispetto alla variabile x:∫ tn+1

tn

σ(t, Xt)dWt ∼∫ tn+1

tn

(σ(tn, Xtn) + ∂xσ(tn, Xtn)(Wt −Wtn)) dWt.

Con un semplice calcolo abbiamo∫ tn+1

tn

(Wt −Wtn)dWt =

(Wtn+1 −Wtn

)2 − (tn+1 − tn)

2.

Allora, posto δ = tn+1− tn e indicando con Z una variabile aleatoria normalestandard, otteniamo la naturale estensione dello schema iterativo (12.17):

Xtn+1 = Xtn + μ(tn, Xtn)δ + σ(tn, Xtn)√δZ + ∂xσ(tn, Xtn)

δ(Z2 − 1)2

.

Si prova che lo schema di Milstein ha un ordine di convergenza forte pari a 1.A titolo di esempio, per la discretizzazione di un moto Browniano geome-

tricodSt = μStdt+ σStdWt,

abbiamo

Stn+1 = Stn

(1 + δ

(μ+

σ2

2(Z2 − 1)

)+ σ

√δZ

).


12.3 Metodo delle differenze finite per equazioniparaboliche

In questo paragrafo presentiamo alcuni semplici schemi alle differenze finiteper operatori differenziali parabolici in R2. I metodi alle differenze finite for-niscono generalmente risultati superiori, in termini di precisione e velocita dicalcolo del prezzo e delle greche di un’opzione, rispetto agli altri schemi nume-rici (binomiale e Monte Carlo) anche se l’applicabilita e limitata a problemiin dimensione bassa, sicuramente non superiore a dieci.Fra le monografie che approfondiscono lo studio degli schemi alle differenze

finite applicati a problemi finanziari, citiamo Zhu, Wu e Chern [175], Tavellae Randall [162]. Le monografie di Mitchell e Griffiths [124], Raviart e Thomas[141], Smith [155], Hall e Porsching [72] forniscono un’introduzione piu gene-rale e avanzata ai metodi alle differenze finite per le equazioni alle derivateparziali.Consideriamo un operatore della forma A + ∂t dove

Au(t, x) := a(t, x)∂xxu(t, x) + b(t, x)∂xu(t, x)− r(t, x)u(t, x), (12.22)

e (t, x) ∈ R2. Supponiamo che A verifichi le ipotesi standard del Paragrafo 8.1:i coefficienti a, b e r sono funzioni Holderiane, limitate ed esiste una costantepositiva μ tale che valga

μ−1 ≤ a(t, x) ≤ μ, (t, x) ∈ R2.

Assumendo la dinamica

dXt = μ(t, Xt)dt+ σ(t, Xt)dWt, (12.23)

per il logaritmo del prezzo di un titolo rischioso S e indicando con r il tassoa breve, nella Sezione 10.4.1 abbiamo espresso il prezzo d’arbitraggio di underivato con payoff F (ST ) in termini di soluzione del problema di Cauchy{

∂tu(t, x) +Au(t, x) = 0, (t, x) ∈ ]0, T [×R,u(T, x) = ϕ(x), x ∈ R,

(12.24)

dove A e l’operatore differenziale in (12.22) con

a =σ2

2, b = r − σ2

2,

e ϕ(x) = F (ex).

12.3.1 Localizzazione

Al fine di costruire uno schema di discretizzazione implementabile al com-puter, il primo passo consiste nel localizzare il problema (12.24) su un do-minio limitato. Precisamente, fissato R > 0, introduciamo il problema diCauchy-Dirichlet

12.3 Metodo delle differenze finite per equazioni paraboliche 431⎧⎪⎨⎪⎩∂tu+ Au = 0, su ]0, T [×]−R,R[,

u(t,−R) = ϕ−R(t), u(t, R) = ϕR(t), t ∈ [0, T ],u(T, x) = ϕ(x), |x| < R,

(12.25)

dove ϕ±R sono funzioni per i dati al bordo laterale da scegliere in modoopportuno: la scelta piu semplice e ϕ±R = 0, e altre scelte tipiche sono

ϕ±R(t) = ϕ(±R), o ϕ±R(t) = e−∫ Ttr(s,±R)dsϕ(±R), t ∈ [0, T ].

In alternativa alle condizioni laterali di tipo Cauchy-Dirichlet, e possibileassegnare condizioni di tipo Neumann: per esempio, nel caso di un’opzioneput,

∂xu(t,−R) = ∂xu(t, R) = 0, t ∈ [0, T ].Utilizzando la rappresentazione probabilistica di Feynman-Kac dei Teore-

mi 9.44 e 9.45, e possibile ricavare facilmente una stima della differenza fra lasoluzione uR di (12.25) e u. Per semplicita consideriamo solo il caso ϕ±R = 0:un risultato analogo si prova senza difficolta per ogni scelta di funzioni limitateϕ±R. Vale

u(t, x) = E[e−∫ Ttr(s,Xt,x

s )dsϕ(Xt,xT )],

uR(t, x) = E[e−∫ Ttr(s,Xt,x

s )dsϕ(Xt,xT

)1{τx≥T}

],

dove τx indica il tempo di uscita del processo Xt,x, soluzione della SDE (12.23)

con μ = b, dall’intervallo ]− R,R[. Allora si ha

|u(t, x)− uR(t, x)| ≤ E[e−∫Ttr(s,Xt,x

s )ds∣∣ϕ (

Xt,xT)∣∣1{τx<T}] ≤

(essendo r limitato)

≤ e‖r‖L∞ (T−t)‖ϕ‖L∞P(supt≤s≤T

∣∣Xt,xs ∣∣ ≥ R

)≤

(per la stima massimale (9.38))

≤ 2‖ϕ‖L∞ exp(−(e−K(T−t)R− |x| −K(T − t)

)22k(T − t)

+ ‖r‖L∞(T − t)

),

(12.26)dove k,K sono costanti positive che dipendono dai coefficienti dell’equazionestocastica in modo esplicito (cfr. (9.35)-(9.36)). La formula (12.26) prova laconvergenza uniforme sui compatti di uR a u per R → +∞ e fornisce unastima esplicita, anche se abbastanza rozza, dell’errore di approssimazione.


12.3.2 θ-schemi per il problema di Cauchy-Dirichlet

Fissato un passo di discretizzazione δ > 0, introduciamo le seguenti differenzefinite del prim’ordine:

D+δ v(y) =

v(y + δ)− v(y)

δ, “in avanti”,

D−δ v(y) =v(y) − v(y − δ)

δ, “all’indietro”,

Dδv(y) =1

2

(D+δ v(y) +D−δ v(y)

)=

v(y + δ)− v(y − δ)

2δ, “centrata”.

Definiamo inoltre il rapporto centrato del second’ordine

D2δv(y) =

D+δ v(y) −D−δ v(y)

δ=

v(y + δ) − 2v(y) + v(y − δ)

δ2.

Proviamo la consistenza delle precedenti differenze finite con le corrispon-denti derivate: le differenze in avanti e all’indietro hanno un ordine di ap-prossimazioni pari a uno, mentre le differenze centrate hanno ordine pari adue.

Lemma 12.10. Se v e derivabile 4 volte in un intorno convesso del punto y,allora valgono le seguenti stime:∣∣D+

δ v(y) − v′(y)∣∣ ≤ δ

sup |v′′|2

, (12.27)∣∣D−δ v(y) − v′(y)∣∣ ≤ δ

sup |v′′|2

, (12.28)

|Dδv(y) − v′(y)| ≤ δ2sup |v′′′|3

+ δ3sup |v′′′′|12

, (12.29)∣∣D2δv(y) − v′′(y)

∣∣ ≤ δ2sup |v′′′′|12

. (12.30)

Dimostrazione. Sviluppando v in serie di Taylor di punto iniziale y, otteniamo

v(y + δ) = v(y) + v′(y)δ +1

2v′′(y)δ2, (12.31)

v(y − δ) = v(y) − v′(y)δ +1

2v′′(y)δ2, (12.32)

con y, y ∈ ]y − δ, y + δ[. Dalla (12.31) segue direttamente la (12.27) e dalla(12.32) segue la (12.28).Consideriamo ora gli sviluppi al quart’ordine:

v(y + δ) = v(y) + v′(y)δ +1

2v′′(y)δ2 +

1

3!v′′′(y)δ3 +

1

4!v′′′′(y)δ4, (12.33)

v(y − δ) = v(y) − v′(y)δ +1

2v′′(y)δ2 − 1

3!v′′′(y)δ3 +

1

4!v′′′′(y)δ4 (12.34)

12.3 Metodo delle differenze finite per equazioni paraboliche 433

con y, y ∈ ]y− δ, y+ δ[. Sommando (rispettivamente, sottraendo) la (12.33) e(12.34) deduciamo direttamente la (12.29) (rispettivamente, la (12.30)). 2

Fissati M,N ∈ N, definiamo i passi della discretizzazione spaziale etemporale

δ =2R

M + 1, τ =

T

N,

e costruiamo sul dominio [0, T ]× [−R,R] la griglia di puntiG(τ,δ) = {(tn, xi) = (nτ,−R+ iδ) | n = 0, . . . , N, i = 0, . . . ,M+1}. (12.35)Per ogni funzione g = g(t, x) e per ogni t ∈ [0, T ], indichiamo con g(t) ilvettore di RM con componenti

gi(t) = g(t, xi), i = 1, . . . ,M ; (12.36)

inoltre sulla griglia G(τ,δ) definiamo la funzione

gn,i = gi(tn) = g(tn, xi),

per n = 0, . . . , N e i = 0, . . . ,M + 1.Utilizzando le differenze finite precedentemente introdotte, introduciamo

la discretizzazione nella variabile spaziale del problema di Cauchy-Dirichlet:definiamo l’operatore lineare Aδ = Aδ(t) che approssima A in (12.22) e agiscesu u(t), vettore di RM definito come in (12.36), nel modo seguente

(Aδu)i(t) :=ai(t)ui+1(t) − 2ui(t) + ui−1(t)

δ2

+bi(t)ui+1(t) − ui−1(t)

2δ− ri(t)ui(t)

=αi(t)ui−1(t) − βi(t)ui(t) + γi(t)ui+1(t), i = 1, . . . ,M,

dove

αi(t) =ai(t)

δ2− bi(t)

2δ, βi(t) =

2ai(t)

δ2+ ri(t), γi(t) =

ai(t)

δ2+bi(t)

2δ.

In altri termini, incorporando le condizioni di Dirichlet nulle al bordo, l’ope-ratore Aδ(t) e rappresentato dalla matrice tri-diagonale

Aδ(t) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

β1(t) γ1(t) 0 0 · · · 0

α2(t) β2(t) γ2(t) 0 · · · 0

0 α3(t) β3(t) γ3(t) · · · 0

......

. . .. . .

. . ....

0 0 · · · αM−1(t) βM−1(t) γM−1(t)

0 0 · · · 0 αM (t) βM (t)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠


e la versione discretizzata del problema (12.25) con dati al bordo laterale nullie {

ddtu(t) + Aδu(t) = 0, t ∈]0, T [,ui(T ) = ϕ(xi), i = 1, . . . ,M.

(12.37)

Infine approssimiamo la derivata temporale con una differenza finita in avanti:

d

dtui(tn) ∼ un+1,i − un,i

τ.

Definizione 12.11. Fissato θ ∈ [0, 1], il θ-schema alle differenze finite peril problema (12.25) con dati al bordo laterale nulli consiste della condizionefinale

uN,i(t) = ϕ(xi), i = 1, . . . ,M, (12.38)

associata alla seguente equazione da risolvere iterativamente per n decrescenteda n = N − 1 fino a n = 0:un+1,i − un,i

τ+ θ(Aδu)n,i+(1− θ)(Aδu)n+1,i = 0, i = 1, . . . ,M. (12.39)

Il θ-schema alle differenze finite e detto esplicito se θ = 0: in questo casoil calcolo di (un,i) a partire da (un+1,i) in (12.39) e immediato poiche

un,i = un+1,i + τ (Aδu)n+1,i, i = 1, . . . ,M.

In generale, notiamo che la (12.39) equivale a

((I − τθAδ)u)n,i = ((I + τ (1− θ)Aδ)u)n+1,i , i = 1, . . . ,M ;

dunque se θ > 0, per risolvere tale equazione e necessario invertire la matriceI − τθAδ : algoritmi per la soluzione di sistemi lineari tri-diagonali si trovano,per esempio, in Press, Teukolsky, Vetterling e Flannery [139]. Per θ = 1 si diceche lo schema e totalmente implicito, mentre per θ = 1

2 e chiamato schema diCrank-Nicholson [32].E chiaro che la scelta piu semplice sembra θ = 0, tuttavia la maggiore com-

plessita degli schemi impliciti e ripagata da migliori proprieta di convergenza(cfr. Osservazione 12.14).Riportiamo anche l’espressione dell’operatore Aδ(t) in caso si assumano

condizioni di Neumann nulle al bordo:

Aδ(t) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

α1(t) + β1(t) γ1(t) 0 0 · · · 0

α2(t) β2(t) γ2(t) 0 · · · 0

0 α3(t) β3(t) γ3(t) · · · 0

......

. . .. . .

. . ....

0 0 · · · αM−1(t) βM−1(t) γM−1(t)

0 0 · · · 0 αM (t) βM (t) + γM (t)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.


In questo caso (12.37) e la versione discretizzata del problema⎧⎪⎨⎪⎩∂tu+ Au = 0, su ]0, T [×]−R,R[,

∂xu(t,−R) = ∂xu(t, R) = 0, t ∈ [0, T ],u(T, x) = ϕ(x), |x| < R.

A titolo esemplificativo studiamo ora lo schema esplicito (θ = 0) per un’e-quazione a coefficienti costanti: piu semplicemente, con un cambio di variabilidel tipo (7.21) possiamo considerare direttamente l’equazione del calore, ossiaa = 1 e b = r = 0 in (12.22). Posto

Lu = ∂tu+ ∂xxu,

(L(τ,δ)u)n,i =un+1,i − un,i

τ+un+1,i+1 − un+1,i + un+1,i−1

δ2,

il problema di Cauchy-Dirichlet⎧⎪⎨⎪⎩Lu = 0, su ]0, T [×]−R,R[,

u(t,−R) = ϕ−R(t), u(t, R) = ϕR(t), t ∈ [0, T ],u(T, x) = ϕ(x), |x| < R,

(12.40)

e discretizzato dal sistema di equazioni⎧⎪⎨⎪⎩L(τ,δ)u = 0, su G(τ,δ),

un,0 = ϕ−R(tn), un,M+1 = ϕR(tn), n = 0, . . . , N,

uN,i = ϕ(xi), i = 1, . . . ,M.

(12.41)

Il risultato seguente estende il principio del massimo debole provato nelParagrafo 6.1.

Proposizione 12.12 (Principio del massimo discreto). Sia g una fun-zione definita sulla griglia G(τ,δ) tale che⎧⎪⎨⎪⎩

L(τ,δ)g ≥ 0, su G(τ,δ),

gn,0 ≤ 0, gn,M+1 ≤ 0, n = 0, . . . , N,

gN,i ≤ 0, i = 1, . . . ,M.

Se vale la condizione

τ ≤ δ2

2(12.42)

allora g ≤ 0 su G(τ,δ).

Dimostrazione. Osserviamo che L(τ,δ)g ≥ 0 su G(τ,δ) se e solo se

gn,i ≤ gn+1,i

(1− 2τ

δ2

)+ (gn+1,i+1 + gn+1,i−1)

τ

δ2


per n = 0, . . . , N − 1 e i = 1, . . . ,M . Allora la tesi segue dal fatto che, per lacondizione (12.42), i coefficienti al membro destro della precedente disugua-glianza sono non-negativi: di conseguenza, essendo i dati al bordo minori ouguali a zero, si ha che gn+1,i ≤ 0 implica gn,i ≤ 0. 2

Il teorema seguente prova che lo schema alle differenze finite esplicitoconverge con velocita proporzionale a δ2.

Teorema 12.13. Sia u soluzione del problema (12.40) e supponiamo che∂xxxxu e ∂ttu siano limitate. Se vale la condizione (12.42), allora esiste unacostante positiva C tale che per ogni δ > 0 vale

maxG(τ,δ)

|u− u(τ,δ)| ≤ Cδ2,

dove u(τ,δ) indica la soluzione del problema discretizzato (12.41).

Dimostrazione. Preliminarmente osserviamo che, per il Lemma 12.10 combi-nato con la condizione (12.42), vale

|(L(τ,δ)u)n,i| = |(L(τ,δ)u)n,i − (Lu)n+1,i| ≤ Cδ2, (12.43)

con C =‖∂ttu‖∞

4 +‖∂xxxxu‖∞

12 .

Poi definiamo sulla griglia G(τ,δ) le funzioni

w+ = u− u(τ,δ) −C(T − t)δ2, w− = u(τ,δ) − u−C(T − t)δ2,

e osserviamo che w± ≤ 0 sul bordo parabolico di G(τ,δ). Inoltre, essendoL(τ,δ)t = 1, si ha

L(τ,δ)w+ = L(τ,δ)(u− u(τ,δ)) + Cδ2 = L(τ,δ)u+Cδ2 ≥ 0,

per la stima (12.43). Analogamente vale L(τ,δ)w− ≥ 0 e quindi, per laProposizione 12.12, si ha w± ≤ 0 su G(τ,δ) da cui la tesi. 2

Osservazione 12.14. La (12.42) e usualmente chiamata condizione di stabi-lita ed e in generale necessaria per la convergenza di un θ-schema nel caso0 ≤ θ < 1

2 : se la (12.42) non e soddisfatta, l’affermazione della proposizioneprecedente non e piu vera. Per questo motivo si dice che i θ-schemi sono con-dizionatamente convergenti per θ < 1

2 . Al contrario, nel caso12 ≤ θ ≤ 1, si

dice che i θ-schemi sono incondizionatamente convergenti perche convergonoal tendere di τ, δ a zero. 2

Concludiamo la sezione enunciando un risultato generale di convergenza per iθ-schemi alle differenze finite; per la dimostrazione rimandiamo, per esempio,a Raviart e Thomas [141].

Teorema 12.15. Siano u e u(τ,δ) rispettivamente le soluzioni del problema(12.25) e del corrispondente problema discretizzato con un θ-schema. Allora


• se 0 ≤ θ < 12 e vale la condizione di stabilita

limτ,δ→0+

τ

δ2= 0,

si halim

τ,δ→0+u(τ,δ) = u, in L2(]0, T [×]−R,R[);

• se 12 ≤ θ ≤ 1 si ha

limτ,δ→0+

u(τ,δ) = u, in L2(]0, T [×]−R,R[).

12.3.3 Problema a frontiera libera

Gli schemi alle differenze finite si adattano facilmente al problema della valu-tazione di opzioni con esercizio anticipato. Essenzialmente l’idea e di appros-simare un’opzione Americana con la corrispondente opzione di tipo Bermu-da che ammette un numero finito di possibili date d’esercizio. Utilizzando lenotazioni della sezione precedente e in particolare fissata la discretizzazionetemporale

tn = nτ, τ =T

N,

utilizziamo l’usuale θ-schema in (12.39) per calcolare il prezzo “Europeo”(un,i)i=1,...,M al tempo tn a partire da (un+1,i)i=1,...,M e poi applichiamo lacondizione di esercizio anticipato

un,i = max{un,i, ϕ(tn, xi)} , i = 1, . . . ,M,

per determinare l’approssimazione del prezzo dell’opzione Americana. Inquesto modo si ottiene anche un’approssimazione della frontiera libera.Negli ultimi anni numerosi metodi numerici per opzioni Americane sono

stati proposti in letteratura. Per primi Brennan e Schwartz [25] hanno utilizza-to metodi analitici (ossia basati sulla risoluzione del corrispondente problemacon ostacolo) per opzioni con esercizio anticipato: Jaillet, Lamberton e Lapey-re [84] e Han-Wu [73] hanno fornito una giustificazione rigorosa del metodo eZhang [174] ha studiato la convergenza e l’estensione a modelli con salti. InBarraquand e Martineau [12], Barraquand e Pudet [13], Dempster e Hutton[41] le tecniche precedenti sono state raffinate per la valutazione di opzioniesotiche. Fra gli altri metodi proposti citiamo gli elementi finiti in Achdou ePironneau [1], i metodi ADI in Villeneuve e Zanette [166] e i metodi basati suwavelet in Matache, Nitsche e Schwab [119]. MacMillan [117], Barone-Adesi eWhaley [11], Carr e Faguet [27], Jourdain e Martini [87, 86] forniscono formulesemi-esplicite di approssimazione del prezzo di derivati Americani.


12.4 Metodo Monte Carlo

Il Monte Carlo e una semplice tecnica di approssimazione numerica del valoreatteso di una variabile aleatoria X. E utilizzato in vari ambiti della finanzae in particolare nella valutazione e nel calcolo delle greche di derivati. Piu ingenerale, il Monte Carlo permette di approssimare numericamente il valore diun integrale: ricordiamo infatti che, se Y ha distribuzione uniforme su [0, 1] eX = f(Y ), abbiamo

E [X] =

∫ 1

0

f(x)dx.

Il metodo Monte Carlo si basa sulla Legge forte dei grandi numeri (cfr.Sezione A.5.1): se (Xn) e una successione di variabili aleatorie i.i.d. sommabilie tali che E [X1] = E [X], allora vale

limn→∞

1

n

n∑k=1

Xk = E [X] q.s.

Di conseguenza, se siamo in grado di generare dei valori X1, . . . , Xn di X inmodo indipendente, allora la media

1

n

n∑k=1

Xk

fornisce q.s. un’approssimazione di E [X].Per analizzare alcune delle caratteristiche principali di questa tecnica, con-

sideriamo il problema dell’approssimazione numerica del seguente integrale sulcubo unitario di Rd: ∫

[0,1]df(x)dx. (12.44)

Il modo piu naturale per approssimare il valore dell’integrale consiste nel con-siderare una discretizzazione in somme di Riemann: fissato n ∈ N, costruia-mo su [0, 1]d una griglia di punti con coordinate del tipo k

n, k = 0, . . . , n.

Riscriviamo l’integrale nella forma∫[0,1]d

f(x)dx =

n−1∑k1=0

· · ·n−1∑kd=0

∫ k1+1

n

k1n

· · ·∫ kd+1

n

kdn

f(x1 , . . . , xd)dx1 · · ·dxd

e approssimiamo il membro a destra con

n−1∑k1=0

· · ·n−1∑kd=0

∫ k1+1n

k1n

· · ·∫ kd+1

n

kdn

f

(k1

n, . . . ,

kd

n

)dx1 · · ·dxd (12.45)

=1

nd

n−1∑k1=0

· · ·n−1∑kd=0

f

(k1

n, . . . ,

kd

n

)=: Sn(f).

12.4 Metodo Monte Carlo 439

Se f e Lipschitziana, con costante di Lipschitz L, allora vale∣∣∣∣∣∫[0,1]d

f(x)dx− Sn(f)

∣∣∣∣∣ ≤ L

n.

Inoltre, se f ∈ Cq([0, 1]d), possiamo facilmente ottenere uno schema di ordinen−q, sostituendo f

(k1n , . . . ,

kdn

)in (12.45) con il polinomio di Taylor di f di

ordine q e punto iniziale(k1n , . . . ,

kdn

).

In linea di principio, questo tipo di approssimazione offre risultati superiorial metodo Monte Carlo. Tuttavia e opportuno mettere in luce i seguenti aspettiche riguardano l’ipotesi di regolarita e la complessita computazionale:

1) la convergenza della schema dipende fortemente dalla regolarita di f . Peresempio, la funzione misurabile

f(x) = 1[0,1]d\Qd , (12.46)

ha integrale pari a 1 e tuttavia vale Sn(f) = 0 per ogni n ∈ N;2) il calcolo del termine di approssimazione Sn(f), necessario ad ottenere unerrore dell’ordine di 1

n , comporta la valutazione di f in nd punti; dunque

il numero di punti aumenta in maniera esponenziale con la dimensionedel problema. Ne risulta che in pratica, solo se d e abbastanza piccolo epossibile ottenere un errore, per esempio, dell’ordine di 1

10. Al contrario

non c’e speranza di poter implementare efficientemente il metodo appenad diventa moderatamente grande, per esempio d = 20. Possiamo esprimerequesto fatto anche in altri termini: a parita di numero di punti conside-rati, diciamo n, la qualita dell’approssimazione peggiora aumentando ladimensione d del problema: l’ordine di errore e n−

1d .

Consideriamo ora l’approssimazione con il metodo Monte Carlo. Se (Yn) euna successione di variabili aleatorie i.i.d. con distribuzione uniforme su [0, 1]d,vale ∫

[0,1]df(x)dx = E [f(Y1)] = lim

n→∞

1

n

n∑k=1

f(Yk) q.s. (12.47)

Osserviamo che, ai fini della convergenza, e sufficiente che f sia sommabilesu [0, 1]d e non e richiesta alcuna ipotesi ulteriore di regolarita: per esempio,per la funzione f in (12.46) si ha f(Yk) = 1 q.s. e quindi l’approssimazione eesatta q.s.Per quanto riguarda la complessita computazionale, possiamo fornire una

prima stima dell’errore del Monte Carlo che ricaviamo direttamente dalladisuguaglianza di Markov, Proposizione 2.42. Consideriamo una successione(Xn) di variabili aleatorie reali i.i.d. con μ := E [X1] e σ

2 := var(X1) finiti.Poniamo inoltre

Mn :=1

n

n∑k=1

Xk.


Per la disuguaglianza di Markov, per ogni ε > 0 vale

P (|Mn − μ| ≥ ε) ≤ var(Mn)

ε2=

(per l’indipendenza)

=nvar

(X1

n

)ε2

=σ2

nε2,

che possiamo riscrivere in modo piu conveniente come segue

P (|Mn − μ| ≤ ε) ≥ p, dove p := 1− σ2

nε2. (12.48)

Anzitutto osserviamo che, poiche la tecnica e basata sulla generazione di nu-meri casuali, il risultato e l’errore prodotti dal Monte Carlo sono variabilialeatorie. La (12.48) fornisce una stima dell’errore in cui i parametri in giocosono tre:

i) n, il numero di estrazioni (simulazioni);ii) ε, il massimo errore di approssimazione;iii) p, la probabilita minima che il valore approssimato Mn appartenga all’in-tervallo di confidenza [μ− ε, μ+ ε].

Secondo la (12.48), fissati n ∈ N e p ∈]0, 1[, l’errore massimo di approssima-zione del Monte Carlo con n simulazioni e, con probabilita almeno pari a p,dell’ordine di 1√

ne piu precisamente

ε =σ√

n(1− p). (12.49)

Nell’esempio del calcolo dell’integrale (12.44), abbiamo X = f(Y ) con Y di-stribuita uniformemente su [0, 1]d e in questo caso l’errore massimo del MonteCarlo si stima con √

var(f(Y ))

n(1− p).

In altri termini l’errore e dell’ordine di 1√nindipendentemente dalla dimen-

sione d del problema: per confronto, ricordiamo che l’errore dell’algoritmodeterministico precedentemente considerato era dell’ordine di n−

1d .

Riassumendo, se la dimensione e bassa (per esempio, d ≤ 5) e sono verifica-te opportune ipotesi di regolarita, allora non e difficile implementare algoritmideterministici con prestazioni superiori al Monte Carlo. Tuttavia, quando ladimensione del problema cresce, gli algoritmi deterministici diventano troppoonerosi e il Monte Carlo rappresenta per ora l’unica valida alternativa.

Osserviamo anche che, per la (12.49), la deviazione standard σ e diret-tamente proporzionale all’errore di approssimazione. Se dal punto di vistateorico σ e il parametro cruciale per la stima dell’errore, in effetti risulta che


anche computazionalmente σ influenza in modo significativo l’efficenza del-l’approssimazione. Tipicamente la varianza non e una quantita nota; tuttaviae possibile utilizzare le simulazioni generate per costruire uno stimatore di σ:

σ2n :=1

n− 1

n∑k=1

(Xk − μn)2, μn :=

1

n

n∑k=1

Xk.

In altre parole, possiamo utilizzare le realizzazioni di X per avere contem-poraneamente l’approssimazione di E [X] e dell’errore commesso, in terminidi intervalli di confidenza. Chiaramente σn e solo un’approssimazione di σ,anche se in generale e sufficientemente accurata da permettere una stimasoddisfacente dell’errore.Usualmente, per migliorare l’efficienza del Monte Carlo si utilizzano dei

metodi di riduzione della varianza. Si tratta di tecniche, alcune delle qualielementari, che sfruttano le caratteristiche specifiche del problema in oggettoper ridurre il valore di σn e di conseguenza aumentare la velocita di convergen-za: per una descrizione di alcune di queste tecniche rimandiamo al Capitolo 4in [71].

Nelle sezioni seguenti affrontiamo brevemente alcune questioni relative al-l’utilizzo del metodo Monte Carlo. Nella Sezione 12.4.1 analizziamo il proble-ma della simulazione di X, ossia della generazione delle realizzazioni indipen-denti di X; inoltre discutiamo l’applicazione del Monte Carlo alla valutazionedei derivati. Nella Sezione 12.4.2 illustriamo alcune tecniche per il calcolodelle greche. Infine nella Sezione 12.4.3 ritorniamo sul problema dell’analisidell’errore e della determinazione degli intervalli di confidenza utilizzando ilTeorema del limite centrale.Al lettore che voglia approfondire lo studio del metodo Monte Carlo e delle

sue applicazioni in finanza, segnaliamo come testo di riferimento la monografiadi Glasserman [71].

12.4.1 Simulazione

Il primo passo per approssimare E [X] col metodo Monte Carlo consiste nelgenerare n realizzazioni indipendenti della variabile aleatoria X: questo ponealcuni problemi concreti.Anzitutto n deve essere sufficientemente grande e quindi e improponibile

che la generazione delle simulazioni sia fatta manualmente (per esempio, lan-ciando una moneta): piuttosto e opportuno e necessario sfruttare la potenzadi calcolo di un elaboratore. Questa banale osservazione introduce il primoserio problema: un computer puo produrre dei valori “casuali” solo essendoprogrammato ad utilizzare opportune formule matematiche e, in sostanza, uti-lizzando algoritmi deterministici. La realta e che per implementare il MonteCarlo abbiamo a disposizione solo numeri “pseudo-casuali”, ossia numeri chestatisticamente hanno proprieta simili alle autentiche estrazioni casuali ma,all’aumentare del numero di simulazioni, rivelano di non essere generati in


modo realmente indipendente. Questo si traduce in un errore aggiuntivo, enon facilmente stimabile, per il risultato approssimato. Occorre dunque tenerpresente che la qualita del generatore di numeri pseudo-casuali puo inciderein maniera significativa sul risultato numerico.Chiarito questo primo aspetto, per la maggior parte delle distribuzioni

piu importanti, e in particolare per la distribuzione normale standard, none difficile reperire un generatore pseudo-casuale. Avendo a disposizione il ge-neratore, la valutazione di un’opzione Europea di payoff F , e un’operazionemolto semplice. Per esempio, nel caso del modello di Black&Scholes in cui ilprezzo finale sottostante e1

ST = S0 exp

(σWT +

(r − σ2

2

)T

),

la procedura e la seguente:

(A.1) generiamo n realizzazioni normali standard indipendenti Zk ∼ N0,1, perk = 1, . . . , n;

(A.2) consideriamo le corrispondenti realizzazioni del valore finale del sotto-stante

S(k)T = S0 exp

(σ√TZk +

(r − σ2

2

)T

);

(A.3) calcoliamo l’approssimazione del prezzo del derivato

e−rT

n

n∑k=1

F(S(k)T

)≈ e−rTE [F (ST )] .

Proprio per la sua facilita di applicazione ad un’ampia varieta di problemi,il Monte Carlo e uno dei metodi numerici piu popolari. Vediamo ora come puoessere utilizzato in combinazione con lo schema di Eulero. Consideriamo unmodello a volatilita locale in cui la dinamica del sottostante nella misuramartingala e data da

dSt = rStdt+ σ(t, St)dWt.

In questo caso la distribuzione del prezzo finale ST non e nota in forma espli-cita. Per ottenere delle realizzazioni di ST utilizziamo uno schema di tipoEulero: e chiaro che in questo modo all’errore del Monte Carlo si aggiungel’errore di discretizzazione della SDE. La procedura e la seguente:

(B.1) generiamo nm realizzazioni normali standard indipendenti Zk,i ∼ N0,1,per k = 1, . . . , n e i = 1, . . . , m;

(B.2) utilizzando la formula iterativa

S(k)ti= S

(k)ti−1 (1 + r(ti − ti−1)) + σ(ti−1, S

(k)ti−1 )

√ti − ti−1Zk,i

determiniamo le corrispondenti realizzazioni del valore finale del sottostan-

te S(1)T , . . . , S

(n)T ;

1 Qui σ indica, al solito, il coefficiente di volatilita.


(B.3) calcoliamo l’approssimazione del prezzo del derivato come in (A.3).

Infine consideriamo un contratto Up&Out con barriera B e payoff

HT = F (ST )1{max

0≤t≤TSt≤B

}.Trattandosi di un’opzione path-dependent, anche in questo caso e convenienteutilizzare il metodo Eulero-Monte Carlo per simulare l’intera traiettoria delsottostante e non solo il prezzo finale. Per semplicita, consideriamo r = 0. Inquesto caso i passi sono:

(C.1) come (B.1);(C.2) utilizzando (B.2) determiniamo le realizzazioni del valore finale del

sottostante S(k)T e del massimo M (k) := max

i=1,...,mS(k)ti ;

(C.3) calcoliamo l’approssimazione del prezzo del derivato

1

n

n∑k=1

F(S(k)T

)1[0,B]

(M (k)

)≈ E [HT ] .

12.4.2 Calcolo delle greche

Con alcune accortezze, il Monte Carlo puo essere utilizzato anche per il calco-lo delle sensitivita. Consideriamo in particolare il problema del calcolo delladelta: indichiamo con St(x) il prezzo del sottostante con valore iniziale x econ F la funzione di payoff del derivato. Nel seguito si intende che il valoreatteso e calcolato rispetto ad una misura martingala.L’approccio piu semplice al calcolo della delta

Δ = e−rT ∂xE [F (ST (x))]

consiste nell’approssimare la derivata con un rapporto incrementale:

Δ ≈ e−rTE

[F (ST (x+ h))− F (ST (x))

h

]. (12.50)

Il valore atteso in (12.50) si approssima col Monte Carlo avendo cura di sceglie-re h opportunamente e utilizzare le stesse realizzazioni delle normali standardper simulare ST (x + h) e ST (x). Spesso e preferibile utilizzare un rapportoincrementale centrato o di ordine superiore per ottenere un risultato piu ac-curato. Tuttavia e importante notare che quest’approccio e efficiente solo nelcaso in cui F sia sufficientemente regolare: in generale deve essere usato conmolta cautela.Accenniamo anche ad un metodo alternativo che presenteremo con mag-

giore generalita nel Capitolo 13. La tecnica seguente sfrutta il fatto che inBlack&Scholes e disponibile l’espressione esplicita della densita del sottostantecome funzione del prezzo iniziale x:


ST (x) = eY , Y ∼ Nlog x+

(r−σ2

2

)T,σ2T

.

Il prezzo dell’opzione e

H(x) := e−rTE [F (ST (x))] = e−rT∫R

F (ey)Γ (x, y)dy,

dove

Γ (x, y) =1√

2πσ2Texp

⎛⎜⎝−(y − log x−

(r − σ2

2

)T)2

2σ2T

⎞⎟⎠ .

Allora, sotto opportune ipotesi che giustificano lo scambio derivata-integrale,si ha

Δ = ∂xH(x) = e−rT∫R

F (ey)∂xΓ (x, y)dy

= e−rT∫R

F (ey)Γ (x, y)y − log x−

(r − σ2

2

)T

σ2Txdy

=e−rT

σ2TxE

[F (ST (x))

(logST (x)− log x−

(r − σ2

2

)T

)]. (12.51)

Osserviamo che la (12.51) esprime la delta in termini di prezzo di una nuovaopzione. La particolarita della formula (12.51) e che in essa non compare laderivata di F : infatti la derivata parziale ∂x e stata applicata direttamentesulla densita del sottostante. Il vantaggio dal punto di vista numerico puoessere considerevole soprattutto nel caso in cui F sia poco regolare: il casotipico e quello dell’opzione digitale, in cui la derivata della funzione di payoffF = 1[K,+∞[ e (in senso distribuzionale) una delta di Dirac.Con la stessa tecnica e anche possibile ottenere espressioni simili per le altre

greche nel modello di Black&Scholes. Per modelli piu generali oppure quandol’espressione esplicita della densita non e nota, si possono provare risultatianaloghi utilizzando gli strumenti piu sofisticati del calcolo di Malliavin peruna presentazione dei quali rimandiamo al Capitolo 13.

12.4.3 Analisi dell’errore

Consideriamo una successione (Xn) di variabili aleatorie i.i.d. con media evarianza finite:

μ := E [X1] , σ2 := var(X1).

Abbiamo visto che la Legge forte dei grandi numeri garantisce che la succes-sione definita da

Mn :=X1 + · · ·+Xn

n


converge q.s. a μ. Vediamo ora che il Teorema del limite centrale forniscela velocita di convergenza e la distribuzione dell’errore. Ricordiamo infattiche il risultato Mn dell’approssimazione con il metodo Monte Carlo e unavariabile aleatoria: quindi, avendo appurato con la (12.49) che la velocita diconvergenza e dell’ordine di 1√

n, l’analisi dell’errore consiste nella stima della

probabilita che Mn appartenga ad un determinato intervallo di confidenza.Il problema si puo anche esprimere equivalentemente in altri termini: fissata2

una probabilita p, determiniamo l’intervallo di confidenza a cuiMn appartienecon probabilita p.Per il Teorema A.48 del limite centrale vale

√n

(Mn − μ

σ

)−−−−→n→∞

Z ∼ N0,1,

e quindi, asintoticamente per n→∞, per ogni x ∈ R si ha

P

(√n

(Mn − μ

σ

)≤ x

)≈ Φ(x),

dove Φ indica la funzione di distribuzione normale standard in (2.19). Diconseguenza, per ogni x > 0, vale

P

(Mn ∈

[μ− σx√

n, μ+

σx√n

])≈ p, dove p = 2Φ(x)− 1. (12.52)

Dunque, fissato p ∈]0, 1[, la distanza fra il valore esatto e quello approssimatocon n simulazioni e, con probabilita p, (asintoticamente) minore di

σ√nΦ−1

(p+ 1

2

).

Per esempio, Φ−1(p+12 ) ≈ 1, 96 per p = 95%.

Dal punto di vista teorico, e chiaro che le stime precedenti sono inconsi-stenti perche valgono asintoticamente, per n → ∞, e non abbiamo controllosulla velocita di convergenza. Tuttavia in pratica forniscono una stima gene-ralmente piu precisa della (12.48). Questo fatto e giustificato rigorosamentedal Teorema di Berry-Esseen di cui riportiamo l’enunciato. Questo risultatofornisce la velocita di convergenza del Teorema del limite centrale e quindipermette di ottenere delle stime rigorose per gli intervalli di confidenza. Nelprossimo enunciato assumiamo per semplicita E [X] = 0: ci si puo semprericondurre in questa ipotesi sostituendo X con X −E [X].

Teorema 12.16 (Berry-Esseen). Sia (Xn) una successione di variabilialeatorie i.i.d. tali che E [X1] = 0 e σ2 := var(X1), � := E

[|X1|3

]sono

finiti. Se Φn indica la funzione di distribuzione di√nMn

σ allora vale

2 Si quantifica a priori il rischio accettabile (che il risultato non appartenga all’in-tervallo di confidenza), per esempio 5%, e si determina il corrispondente intervallodi confidenza.


|Φn(x)− Φ(x)| ≤ �√n

σ3

per ogni x ∈ R.

Per la prova rimandiamo, per esempio, a Durrett [52].

13

Introduzione al calcolo di Malliavin

Derivata stocastica – Dualita

Questo capitolo contiene una breve introduzione al calcolo di Malliavin e allesue applicazioni in finanza, in particolare al calcolo delle greche col metodoMonte Carlo. Abbiamo visto nella Sezione 12.4.2 che il modo piu semplice percalcolare le sensitivita con il Monte Carlo consiste nell’approssimare le derivatecon rapporti incrementali ottenuti simulando payoff corrispondenti a valorivicini del sottostante. Se la funzione di payoff F e poco regolare (per esempio,nel caso di un’opzione digitale con strike K e F = 1[K,+∞[) questa tecnicanon e efficiente poiche il rapporto incrementale tipicamente ha una varianzamolto grande. Nella Sezione 12.4.2 avevamo visto che il problema puo esseresuperato “scaricando” la derivata sulla funzione di densita del sottostante,ammesso che quest’ultima sia sufficientemente regolare: se il sottostante edescritto da un moto Browniano geometrico, cio e possibile perche e notal’espressione esplicita della densita.In un ambito molto piu generale, il calcolo di Malliavin permette di otte-

nere formule esplicite di integrazione per parti anche nel caso in cui la densitadel sottostante non sia nota e quindi fornisce uno strumento efficace per l’ap-prossimazione numerica delle greche (si vedano, per esempio, gli esperimentiin [61] in cui si confrontano diversi metodi di approssimazione numerica dellegreche).Le applicazioni del calcolo di Malliavin in finanza sono relativamente re-

centi: inizialmente i risultati di Malliavin [118] riscossero notevole interesse inrelazione alla prova ed estensione del Teorema di ipoellitticita di Hormander[78] (cfr. Sezione 9.5.2). Dal punto di vista teorico, una notevole applicazionefinanziaria del calcolo di Malliavin e data dalla formula di Clark-Ocone [130]che proveremo nel Paragrafo 13.2.1: essa raffina il teorema di rappresenta-zione delle martingale e permette di esprimere la strategia di copertura diun’opzione in termini di derivata stocastica del prezzo.Ricordiamo anche che la teoria di Malliavin e stata recentemente utilizzata

per il calcolo numerico del prezzo di opzioni Americane con metodi MonteCarlo (cfr. Fournie, Lasry, Lebuchoux, Lions e Touzi [62], Fournie, Lasry,


448 13 Introduzione al calcolo di Malliavin

Lebuchoux e Lions [61], Kohatsu-Higa e Pettersson [99], Bouchard, Ekelande Touzi [22], Bally, Caramellino e Zanette [8]).Lo scopo del capitolo e di fornire, attraverso numerosi esempi, alcune idee

di base sulle applicazioni del calcolo di Malliavin al calcolo delle greche. Perquesto motivo ci limitiamo a trattare solo il caso unodimensionale, preferendola semplicita alla generalita, inoltre alcune dimostrazioni saranno per brevitasolo accennate. Per uno sviluppo organico della teoria rimandiamo alle mono-grafie di Nualart [129], Shigekawa [149], Sanz-Sole [146] e Bell [15]. Segnaliamoanche alcune presentazioni piu concise e finalizzate alle applicazioni, che sonodisponibili in rete: Kohatsu-Higa e Montero [97], Friz [68], Bally [7], Oksendal[131] e Zhang [172].

13.1 Derivata stocastica

In questo paragrafo introduciamo il concetto di derivata stocastica o di Mal-liavin: l’idea e di definire la nozione di derivabilita nella famiglia di variabi-li aleatorie che siano uguali a (o approssimabili con) funzioni di incrementiindipendenti del moto Browniano. Sotto opportune ipotesi, vedremo che ta-le famiglia e sufficientemente ampia da contenere le soluzioni di equazionidifferenziali stocastiche.Purtroppo l’insieme delle notazioni necessarie ad introdurre il calcolo di

Malliavin e un po’ pesante: all’inizio non bisogna scoraggiarsi e munirsi di unpo’ di pazienza per acquisire le notazioni che utilizzeremo sistematicamentenel seguito. Ad una prima lettura e consigliabile non soffermarsi troppo suidettagli.Consideriamo un moto Browniano reale W sullo spazio di probabilita

(Ω,F , P ) munito della filtrazione Browniana FW =(FWt

)t∈[0,T ]. Per sem-

plicita, non essendo restrittivo, supponiamo T = 1 e, per n ∈ N, indichiamocon

tkn :=k

2n, k = 0, . . . , 2n

l’elemento k+1-esimo della partizione diadica di ordine n dell’intervallo [0, T ].Indichiamo con

Ikn := ]tk−1n , tkn], Δkn :=Wtkn

−Wtk−1n,

rispettivamente l’intervallo k-esimo della partizione e l’incremento k-esimo delmoto Browniano, per k = 1, . . . , 2n. Inoltre

Δn :=(Δ1n, . . . , Δ

2n

n

)e il vettore in R2n degli incrementi Browniani (di ordine n) e C∞pol indica lafamiglia delle funzioni di classe C∞ che, insieme con le loro derivate di ogniordine, hanno crescita al piu polinomiale.

13.1 Derivata stocastica 449

Definizione 13.1. La famiglia dei funzionali semplici di ordine n ∈ N edefinita da

Sn := {ϕ(Δn) | ϕ ∈ C∞pol(R2n ;R)}.

Indichiamo conxn = (x

1n, . . . , x

2n

n ) (13.1)

il punto di R2n . E chiaro che WT = ϕ(Δn) ∈ Sn per ogni n ∈ N conϕ(x1n, . . . , x

2n

n ) = x1n + · · ·+ x2n

n .Osserviamo che vale

Sn ⊆ Sn+1, n ∈ N,

e definiamoS :=

⋃n∈N

Sn,

la famiglia dei funzionali semplici. Per l’ipotesi di crescita su ϕ, S e un sotto-spazio di Lp(Ω,FWT ) per ogni p ≥ 1. Inoltre S e denso1 in Lp(Ω,FWT ).Introduciamo ora una notazione molto comoda, che useremo spesso:

Notazione 13.2 Per ogni t ∈ ]0, T ], indichiamo con kn(t) l’unico elementok ∈ {1, . . . , 2n} tale che t ∈ Ikn .

Definizione 13.3. Per ogni X = ϕ(Δn) ∈ S, la derivata stocastica di X ins e definita da

DsX :=∂ϕ

∂xkn(s)n

(Δn).

Osservazione 13.4. La Definizione 13.3 e ben posta ossia e indipendente da n:e facile riconoscere che se, per n,m ∈ N, vale

X = ϕn(Δn) = ϕm(Δm) ∈ S,

con ϕn, ϕm ∈ C∞pol, allora per ogni s ≤ T , si ha

∂ϕn

∂xkn(s)n

(Δn) =∂ϕm

∂xkm(s)m

(Δm).

2

Muniamo ora S della norma

‖X‖1,2 :=E[X2

] 12 +E

[∫ T

0

(DsX)2ds

] 12

=‖X‖L2(Ω) + ‖DX‖L2([0,T ]×Ω).

1 Poiche stiamo considerando la filtrazione Browniana!


Definizione 13.5. Lo spazio D1,2 delle variabili aleatorie derivabili secondoMalliavin e la chiusura di S rispetto alla norma ‖ · ‖1,2In altri termini, X ∈ D1,2 se e solo se esiste una successione (Xn) in S taleche

i) X = limn→∞

Xn in L2(Ω);

ii) esiste limn→∞

DXn in L2([0, T ]× Ω).

In tal caso sembra naturale definire la derivata di Malliavin di X come

DX := limn→∞

DXn , L2([0, T ]×Ω).

In effetti tale definizione e ben posta in base al seguente

Lemma 13.6. Sia (Xn) una successione in S tale chei) lim

n→∞Xn = 0 in L2(Ω);

ii) esiste U := limn→∞

DXn in L2([0, T ]× Ω).

Allora U = 0 q.o.2

Osservazione 13.7. La prova del Lemma 13.6 non e ovvia poiche l’operatoredi derivazione D e lineare ma non e limitato, ossia

supX∈S

‖DX‖L2‖X‖L2

= +∞.

Infatti e abbastanza facile esibire un esempio di successione (Xn) limitata inL2(Ω) e tale che (DXn) non e limitata in L2([0, T ] × Ω): fissato n ∈ N, esufficiente considerare Xn = ϕn(Δn) con (ϕn) che converge in L2(R2n) adun’opportuna funzione non regolare. 2

Rimandiamo la prova del Lemma 13.6 al Paragrafo 13.2 e analizziamo oraalcuni esempi fondamentali.

13.1.1 Esempi

Esempio 13.8. Fissato t, proviamo che Wt ∈ D1,2 e vale3

DsWt = 1[0,t](s). (13.2)

Infatti, ricordando la Notazione 13.2, consideriamo la successione

2 In B ⊗FWT .

3 La derivata stocastica e definita come limite in L2, a meno di insiemi di misuradi Lebesgue nulla: in altri termini DsWt e equivalentemente uguale a 1]0,t[(s)oppure a 1[0,t](s).


Xn =

kn(t)∑k=1

Δkn, n ∈ N.

Allora Xn =Wtkn(t)n

∈ Sn e quindi vale

DsXn =

{1 se s ≤ t

kn(t)n ,

0 se s > tkn(t)n ,

ossia DsXn = 1[0,t

kn(t)n ]

. La (13.2) e conseguenza del fatto che

i) limn→∞

Wtkn(t)n

=Wt in L2(Ω);

ii) limn→∞

1[0,t

kn(t)n ]

= 1(0,t) in L2([0, T ]× Ω).

2

Osservazione 13.9. Se X ∈ D1,2 e FWt -misurabile allora

DsX = 0, s > t.

Infatti, a meno di approssimazione, e sufficiente considerare il caso in cuiX = ϕ(Δn) ∈ Sn per un certo n: se X e FWt -misurabile allora e indipendente4da Δkn per k > kn(t). Pertanto, fissato s > t, vale

∂ϕ

∂xkn(s)n

(Δn) = 0,

almeno se n e abbastanza grande, in modo che t e s appartengano ad intervallidisgiunti della partizione diadica di ordine n. 2

Esempio 13.10. Sia u ∈ L2(0, T ) una funzione (deterministica) e

X =

∫ t

0

u(r)dWr.

Allora X ∈ D1,2 e vale

DsX =

{u(s) per s ≤ t,

0 per s > t.

Infatti la successione definita da

4 Ricordando l’Osservazione 2.51, poiche t ∈]tkn(t)−1n , tkn(t)n ], si ha:

i) se t < tkn(t)n allora X e funzione solo di Δ1

n, . . . ,Δkn(t)−1n ;

ii) se t = tkn(t)n allora X funzione solo di Δ1

n, . . . ,Δkn(t)n .


Xn =

kn(t)∑k=1

u(tk−1n )Δkn

e tale cheDsXn = ϕ(tkn(s)n )

se s ≤ tkn(t)n e DsXn = 0 per s > t

kn(t)n . Inoltre Xn e DsXn approssimano

rispettivamente X e u(s)1[0,t](s) in L2(Ω) e L2([0, T ]×Ω). 2

13.1.2 Regola della catena

Se X, Y ∈ D1,2 allora il prodotto XY in generale non e di quadrato sommabilee quindi non appartiene a D1,2. Per questo motivo, a volte conviene utilizzareal posto di D1,2 il seguente spazio un po’ piu piccolo, ma chiuso rispettoall’operazione di prodotto:

D1,∞ =⋂p≥2

D1,p

dove D1,p indica la chiusura di S rispetto alla norma

‖X‖1,p = ‖X‖Lp(Ω) + ‖DX‖Lp([0,T ]×Ω).

Osserviamo che X ∈ D1,p se e solo se esiste una successione (Xn) in S taleche

i) X = limn→∞

Xn in Lp(Ω);


DXn in Lp([0, T ]× Ω).

Se p ≤ q, per la disuguaglianza di Holder si ha

‖ · ‖Lp([0,T ]×Ω) ≤ Tq−ppq ‖ · ‖Lp([0,T ]×Ω),

e quindiD1,p ⊇ D1,q.

In particolare per ogni X ∈ D1,p, con p ≥ 2, e (Xn) successione approssimantein Lp, si ha

limn→∞

DXn = DX, in L2([0, T ]× Ω).

Esempio 13.11. Utilizzando la successione approssimante dell’Esempio 13.8, eimmediato verificare che Wt ∈ D1,∞ per ogni t. 2

Proposizione 13.12 (Regola della catena). Sia5 ϕ ∈ C∞pol(R). Allora siha:

5 In realta e sufficiente che ϕ ∈ C1 e abbia crescita al piu polinomiale assieme allasua derivata prima.


i) se X ∈ D1,∞ allora ϕ(X) ∈ D1,∞ e vale

Dϕ(X) = ϕ′(X)DX; (13.3)

ii) se X ∈ D1,2 e ϕ, ϕ′ sono limitate allora ϕ(X) ∈ D1,2 e vale la (13.3).

Inoltre, se ϕ ∈ C∞pol(RN ) e X1, . . . , XN ∈ D1,∞ allora ϕ(X1, . . . , XN) ∈ D1,∞

e vale

Dϕ(X1 , . . . , XN) =

N∑i=1

∂xiϕ(X1, . . . , XN)DXi.

Dimostrazione. Proviamo solo la ii) poiche gli altri punti si dimostrano inmodo sostanzialmente analogo. Se X ∈ S e ϕ ∈ C1 e limitata, assieme allapropria derivata prima, allora ϕ(X) ∈ S e la tesi e ovvia.Se X ∈ D1,2 allora esiste una successione (Xn) in S convergente a X

in L2(Ω) e tale che (DXn) converge a DX in L2([0, T ]× Ω). Allora, per ilTeorema della convergenza dominata, ϕ(Xn) tende a ϕ(X) in L

2(Ω). Inoltrevale Dϕ(Xn) = ϕ′(Xn)DXn e

‖ϕ′(Xn)DXn − ϕ′(X)DX‖L2 ≤ I1 + I2,

doveI1 = ‖(ϕ′(Xn) − ϕ′(X))DX‖L2 −−−−→

n→∞0

per il Teorema della convergenza dominata e

I1 = ‖ϕ′(Xn)(DX −DXn)‖L2 −−−−→n→∞

0

poiche (DXn) converge a DX e ϕ′ e limitata. 2

Esempio 13.13. Per la regola della catena, (Wt)2 ∈ D1,∞ e vale

DsW2t = 2Wt1[0,t](s).

2

Esempio 13.14. Sia u ∈ L2, tale che ut ∈ D1,2 per ogni t. Allora

X :=

∫ t

0

urdWr ∈ D1,2

e per s ≤ t vale

Ds

∫ t

0

urdWr = us +

∫ t

s

DsurdWr.

Infatti, fissato t, consideriamo la successione definita da

Xn :=

kn(t)∑k=1

utk−1nΔkn, n ∈ N,


che approssima X in L2(Ω). Allora Xn ∈ D1,2 e per la regola della catena siha

DsXn = utkn(s)−1n

+

kn(t)∑k=1

Dsutk−1nΔkn =

(poiche u e adattato e quindi, per l’Osservazione 13.9, Dsutkn = 0 se s > tkn)

= utkn(s)−1n

+

kn(t)∑k=kn(s)+1

Dsutk−1nΔkn −−−−→

n→∞us +

∫ t

s

DsurdWr

in L2([0, T ]× Ω). 2

Esempio 13.15. Se u ∈ D1,2 per ogni t, allora e facile provare che

Ds

∫ t

0

urdr =

∫ t

s

Dsurdr.

2

Esempio 13.16. Consideriamo la soluzione (Xt) della SDE

Xt = x+

∫ t

0

b(r, Xr)dr+

∫ t

0

σ(r, Xr)dWr, (13.4)

con x ∈ R e i coefficienti b, σ ∈ C1b . Allora Xt ∈ D1,2 per ogni t e vale

DsXt = σ(s,Xs) +

∫ t

s

∂xb(r, Xr)DsXrdr+

∫ t

s

∂xσ(r, Xr)DsXrdWr. (13.5)

Non riportiamo nei dettagli la prova della prima affermazione. L’idea e diutilizzare un argomento di approssimazione basato sullo schema di Eulero(cfr. Paragrafo 12.2): piu precisamente, la tesi segue dal fatto che (Xt) elimite della successione di processi costanti a tratti definiti da

Xnt = Xntk−1n

1Ikn(t), t ∈ [0, T ],

con Xntkndefinito ricorsivamente da

Xntkn= Xn

tk−1n+ b(tk−1n , Xn

tk−1n)1

2n+ σ(tk−1n , Xn

tk−1n)Δkn,

per k = 1, . . . , 2n. Una volta provato che Xt ∈ D1,2, la (13.5) e immediataconseguenza degli Esempi 13.14, 13.15 e della regola della catena. 2

Ora utilizziamo il classico metodo della variazione delle costanti per ri-cavare un’espressione esplicita per DsXt. Nelle ipotesi dell’Esempio 13.16,consideriamo il processo

Yt = ∂xXt, (13.6)

soluzione della SDE

Yt = 1 +

∫ t

0

∂xb(r, Xr)Yrdr +

∫ t

0

∂xσ(r, Xr)YrdWr. (13.7)


Lemma 13.17. Sia Z soluzione della SDE

Zt = 1 +

∫ t

0

((∂xσ)2 − ∂xb)(r, Xr)Zrdr−

∫ t

0

∂xσ(r, Xr)ZrdWr. (13.8)

Allora vale YtZt = 1 per ogni t.

Dimostrazione. Si ha Y0Z0 = 1 e, tralasciando gli argomenti, per la formuladi Ito vale

d(YtZt) = YtdZt + ZtdYt + d〈Y, Z〉t= YtZt

(((∂xσ)

2 − (∂xb))dt− ∂xσdWt + ∂xbdt+ ∂xσdWt − (∂xσ)2dt

)= 0,

e la tesi segue dall’unicita della rappresentazione di un processo di Ito,Proposizione 5.47. 2

Proposizione 13.18. Siano X, Y, Z rispettivamente le soluzioni delle SDE(13.4), (13.7) e (13.8). Allora vale

DsXt = YtZsσ(s,Xs). (13.9)

Dimostrazione. Ricordiamo che, fissato s, il processo DsXt verifica la SDE(13.5) su [s, T ] e proviamo che At := YtZsσ(s,Xs) verifica la stessa equazione:la tesi seguira dai risultati di unicita per SDE.Per la (13.7) vale

Yt = Ys +

∫ t

s

∂xb(r, Xr)Yrdr+

∫ t

s

∂xσ(r, Xr)YrdWr;

moltiplicando per Zsσ(s,Xs) e utilizzando il Lemma 13.17 si ha

YtZsσ(s,Xs)︸︷︷︸=At

= YsZs︸︷︷︸=1

σ(s,Xs) +

∫ t

s

∂xb(r, Xr)YrZsσ(s,Xs)︸︷︷︸=Ar

dr

+

∫ t

s

∂xσ(r, Xr)YrZsσ(s,Xs)︸︷︷︸=Ar

dWr,

da cui la tesi. 2

Osservazione 13.19. Il concetto di derivata stocastica e i risultati fin qui pro-vati si estendono in ambito multi-dimensionale senza particolari difficolta, senon la maggiore pesantezza delle notazioni. Se W = (W 1, . . . ,W d) e un mo-to Browniano d-dimensionale e indichiamo con Di la derivata rispetto allai-esima componente di W , allora si prova che, per s ≤ t, vale

DisWjt = δij


dove δij e il simbolo di Kronecker. Piu in generale, se X e una variabilealeatoria che dipende solo dagli incrementi di W j allora DiX = 0 per i �= j.Inoltre, per u ∈ L2, vale

Dis

∫ t

0

urdWr = uis +

∫ t

s

DisurdWr.

2

13.2 Dualita

In questo paragrafo introduciamo l’operatore aggiunto della derivata di Mal-liavin e proviamo un risultato di dualita che e alla base della formula diintegrazione per parti stocastica.

Definizione 13.20. Fissato n ∈ N, la famiglia Pn dei processi semplici diordine n ∈ N e composta dai processi U del tipo

Ut =

2n∑k=1

ϕk(Δn)1Ikn(t), (13.10)

con ϕk ∈ C∞pol(R2n ;R) per k = 1, . . . , 2n.

Usando la Notazione 13.2, la (13.10) si riscrive piu semplicemente

Ut = ϕkn(t)(Δn).

Osserviamo chePn ⊆ Pn+1, n ∈ N,

e definiamoP :=

⋃n∈N

Pn,

la famiglia dei funzionali semplici. E chiaro che

D : S −→ P

ossia DX ∈ P per X ∈ S. Per l’ipotesi di crescita sulle funzioni ϕk in (13.10),P e un sotto-spazio di Lp([0, T ] × Ω) per ogni p ≥ 1 e inoltre P e denso inLp([0, T ]× Ω,B ⊗FWT ).Ora ricordiamo la notazione (13.1) e definiamo l’operatore aggiunto di D.

Definizione 13.21. Dato un processo semplice U ∈ P della forma (13.10),poniamo

D∗U =2n∑k=1

(ϕk(Δn)Δ

kn − ∂xknϕk(Δn)

1

2n

). (13.11)

13.2 Dualita 457

D∗U e chiamato integrale di Skorohod [154] di U : nel seguito usiamo anchescrivere

D∗U =

∫ T

0

Ut $ dWt. (13.12)

Osserviamo che la definizione (13.11) e ben posta perche non dipende da n.Notiamo inoltre che, a differenza dell’integrazione stocastica secondo Ito, perl’integrale di Skorohod non richiediamo che il processo U sia adattato. Perquesto D∗ e anche chiamato integrale stocastico anticipativo.

Osservazione 13.22. Se U e adattato allora ϕk in (13.10) e FWtk−1n-misurabile e

quindi, per l’Osservazione 13.9, ∂xknϕk = 0. Di conseguenza si ha∫ T

0

Ut $ dWt =

2n∑k=1

ϕk(Δn)Δkn =

∫ T

0

UtdWt.

In altri termini, per un processo adattato, l’integrale di Skorohod coincide conl’integrale di Ito. 2

Un risultato centrale nel calcolo di Malliavin e il seguente

Teorema 13.23 (Relazione di dualita). Per ogni X ∈ S e U ∈ P vale

E

[∫ T

0

(DtX)Utdt

]= E

[X

∫ T

0

Ut $ dWt

]. (13.13)

Osservazione 13.24. La (13.13) si scrive equivalentemente nella forma

〈DX,U〉L2([0,T ]×Ω) = 〈X,D∗U〉L2(Ω)

che giustifica l’appellativo di operatore aggiunto di D per l’integrale diSkorohod.

Dimostrazione. SianoU della forma (13.10) eX = ϕ0(Δm) con ϕ ∈ C∞pol(R2m ;R):

chiaramente non e restrittivo assumere m = n. Poniamo δ = 12ne per ogni

j ∈ {1, . . . , 2n} e k ∈ {0, . . . , 2n},

ϕ(j)k (x) = ϕk(Δ

1n, . . . , Δ

j−1n , x, Δj+1

n , . . . , Δ2n

n ), x ∈ R.

Allora si ha

E

[∫ T

0

(DtX)Utdt

]= δE

[2n∑k=1

∂xknϕ0(Δn)ϕk(Δn)

]=

(poiche gli incrementi Browniani sono indipendenti e identicamente distribuiti,Δkn ∼ N0,δ)


= δ

2n∑k=1

E

[∫R

(d

dxϕ(k)0 (x)

)ϕ(k)k (x)

e−x2

2δ

√2πδ

dx

]=

(integrando per parti)

= δ

2n∑k=1

E

[∫R

ϕ(k)0 (x)

(x

δϕ(k)k (x)− d

dxϕ(k)k (x)

)e−

x2

2δ

√2πδ

dx

]=

= E

[ϕ0(Δn)

2n∑k=1

(ϕk(Δn)Δ

kn − ∂xknϕk(Δn)δ

)],

e questo, in base alla definizione di integrale di Skorohod, conclude la prova.2

Come conseguenza della relazione di dualita, proviamo il Lemma 13.6.

Dimostrazione (del Lemma 13.6). Sia (Xn) una successione in S tale chei) lim

n→∞Xn = 0 in L

2(Ω);

ii) esiste U := limn→∞

DXn in L2([0, T ]× Ω).

Per provare che U = 0, consideriamo V ∈ P: abbiamo, per ii),

E

[∫ T

0

UtVtdt

]= limn→∞

E

[∫ T

0

(DtXn)Vtdt

]=

(per la relazione di dualita e poi per i))

= limn→∞

E

[Xn

∫ T

0

Vt $ dWt

]= 0.

La tesi segue dalla densita di P in L2([0, T ]× Ω,B ⊗FWT ). 2

Osservazione 13.25. In modo analogo proviamo che se (Un) e una successionein P tale chei) lim

n→∞Un = 0 in L2([0, T ]× Ω),

ii) esiste X := limn→∞

D∗Un in L2(Ω),

allora X = 0 q.s. Allora se p ≥ 2 e U e tale che esiste una successione (Un) inP per cuii) U = lim

n→∞Un in Lp([0, T ]× Ω),


D∗Un in Lp(Ω),

13.2 Dualita 459

diciamo che U e Skorohod-integrabile di ordine p e la seguente definizione diintegrale di Skorohod e ben posta:

D∗U =

∫ T

0

Ut $ dWt := limn→∞

D∗Un, in L2(Ω).

Inoltre vale la seguente relazione di dualita

E

[∫ T

0

(DtX)Utdt

]= E

[X

∫ T

0

Ut $ dWt

],

per ogni X ∈ D1,2 e U integrabile di ordine 2. 2

13.2.1 Formula di Clark-Ocone

Il teorema di rappresentazione delle martingale afferma che per ogni X ∈L2(Ω,FWT ) esiste u ∈ L2 tale che

X = E [X] +

∫ T

0

usdWs. (13.14)

Se X e derivabile secondo Malliavin, utilizzando l’Esempio 13.14 possiamoricavare l’espressione di u: infatti formalmente6 si ha

DtX = ut +

∫ T

t

DtusdWs

e quindi, considerando l’attesa condizionata, concludiamo che vale

E[DtX | FWt

]= ut. (13.15)

La (13.15) e nota come formula di Clark-Ocone. Di seguito ne diamo unaprova rigorosa.

Teorema 13.26 (Formula di Clark-Ocone). Se X ∈ D1,2 allora vale

X = E [X] +

∫ T

0

E[DtX | FWt

]dWt.

Dimostrazione. Non e restrittivo supporre E [X] = 0. Per ogni processosemplice e adattato U ∈ P vale, per la relazione di dualita del Teorema 13.23,

E [XD∗U ] = E

[∫ T

0

(DtX)Utdt

]=

(essendo U adattato)

6 Assumendo che ut ∈ D1,2 per ogni t.


= E

[∫ T

0

E[DtX | FWt

]Utdt

].

D’altra parte l’integrale di Skorohod del processo adattato U coincide conl’integrale di Ito e per la (13.14) si ha

E [XD∗U ] = E

[∫ T

0

utdWt

∫ T

0

UtdWt

]=


= E

[∫ T

0

utUtdt

].

La tesi segue per densita, essendo U arbitrario. 2

Osservazione 13.27. Come interessante e immediata conseguenza della formu-la di Clark-Ocone si ha che se X ∈ D1,2 e DX = 0, allora X e costante q.s.2

Illustriamo ora l’interpretazione finanziaria della formula di Clark-Ocone:supponiamo cheX ∈ L2(Ω,FWT ) sia il payoff di un’opzione Europea su un tito-lo S. Assumiamo che la dinamica del prezzo scontato nella misura martingalasia

dSt = σtStdWt.

Allora se (α, β) e una strategia replicante per l’opzione, si ha (cfr. (10.37))

X = E[X

]+

∫ T

0

αtdSt = E[X

]+

∫ T

0

αtσtStdWt;

d’altra parte, per la formula di Clark-Ocone, vale

X = E[X

]+

∫ T

0

E[DtX | FWt

]dWt,

e dunque otteniamo l’espressione della strategia replicante:

αt =E

[DtX | FWt

]σtSt

, t ∈ [0, T ].

13.2.2 Integrazione per parti e calcolo delle greche

In questa sezione proviamo una formula di integrazione per parti stocastica e,attraverso alcuni esempi notevoli, ne illustriamo l’applicazione al calcolo dellegreche di opzioni mediante il metodo Monte Carlo. Come abbiamo gia anti-cipato nell’introduzione, le tecniche basate sul calcolo di Malliavin risultano

13.2 Dualita 461

efficaci anche nel caso in cui la funzione di payoff F sia poco regolare, ossiaproprio dove l’applicazione diretta del metodo Monte Carlo fornisce scarsirisultati anche se il sottostante e un semplice moto Browniano geometrico.L’integrazione per parti stocastica permette di rimuovere la derivata sulla

funzione di payoff migliorando l’approssimazione numerica: piu precisamente,supponiamo di voler determinare ∂αE [F (ST )Y ] dove ST indica il prezzo finaledel sottostante che dipende da un parametro α (per esempio, α e S0 nel casodella delta, α e la volatilita nel caso della vega) e Y e una certa variabilealeatoria (per esempio, un fattore di sconto). L’idea e di cercare di esprimere∂αF (ST )Y nella forma ∫ T

0

DsF (ST )Y Usds,

per un certo processo U adattato e integrabile. Utilizzando la relazione didualita formalmente otteniamo

∂αE [F (ST )Y ] = E [F (ST )D∗(Y U)] ,

che, come vedremo con gli esempi seguenti, puo essere utilizzata per ottenereuna buona approssimazione numerica.In questa sezione intendiamo mostrare l’applicabilita di una tecnica piut-

tosto che approfondire gli aspetti matematici, pertanto la presentazione sarapiuttosto informale, a partire dal prossimo enunciato.

Teorema 13.28 (Integrazione per parti stocastica). Siano F ∈ C1b e

X ∈ D1,2. Allora vale la seguente formula di integrazione per parti

E [F ′(X)Y ] = E

[F (X)

∫ T

0

utY∫ T0 usDsXds

$ dWt

], (13.16)

per ogni variabile aleatoria Y e per ogni processo stocastico u per cui la (13.16)sia ben definita.

Dimostrazione. Per la regola della catena vale

DtF (X) = F ′(X)DtX;

moltiplicando per utY e integrando fra 0 e T otteniamo∫ T

0

utY DtF (X)dt = F ′(X)Y

∫ T

0

utDtXdt,

da cui, a patto che1∫ T

0utDtXdt

abbia buone proprieta di integrabilita, si ha


F ′(X)Y =

∫ T

0

DtF (X)utY∫ T

0 usDsXdsdt,

e, in valore atteso,

E [F ′(X)Y ] = E

[∫ T

0

DtF (X)utY∫ T

0 usDsXdsdt

]=

(per la relazione di dualita)

= E

[F (X)

∫ T

0

utY∫ T0usDsXds

$ dWt

].

2

Osservazione 13.29. Le ipotesi di regolarita sulla funzione F possono esseremolto indebolite: utilizzando un procedimento standard di regolarizzazione, epossibile provare la validita della formula di integrazione per parti per funzioniderivabili debolmente o in senso distribuzionale.Il processo u nella (13.16) spesso puo essere scelto in modo opportuno per

semplificare l’espressione dell’integrale nel membro a destra (cfr. Esempi 13.36e 13.37).Nel caso in cui u = 1 e Y = ∂αX, la (13.16) diventa

E [∂αF (X)] = E

[F (X)

∫ T

0

∂αX∫ T0DsXds

$ dWt

]. (13.17)

2

Nei seguenti Esempi 13.30, 13.33 e 13.34, consideriamo la dinamica diBlack&Scholes nella misura martingala per il sottostante di un’opzione eapplichiamo la formula di integrazione per parti con X = ST dove

ST = x exp

(σWT +

(r − σ2

2

)T

). (13.18)

Esempio 13.30 (Delta). Osserviamo che DsST = σST e ∂xST =STx . Allora

per la (13.17) abbiamo la seguente espressione per la delta di Black&Scholes

Δ = e−rT ∂xE [F (ST )] (13.19)

= e−rTE

[F (ST )

∫ T

0

∂xST∫ T0DsST ds

$ dWt

]

= e−rTE

[F (ST )

∫ T

0

1

σTxdWt

]

=e−rT

σTxE [F (ST )WT ] . (13.20)

13.2 Dualita 463

Risulta abbastanza evidente che, per esempio nel caso F (S) = 1[1,+∞[(S), emolto piu efficiente la simulazione Monte Carlo di (13.20) rispetto a (13.19). 2

Sappiamo che in generale non e lecito “portare fuori” una variabile alea-toria da un integrale di Ito (cfr. Sezione 5.3.2): vediamo ora in quali terminicio sia possibile nel caso dell’integrale stocastico anticipativo.

Proposizione 13.31. Siano X ∈ D1,2 e U un processo Skorohod-integrabiledi ordine 2. Allora vale∫ T

0

XUt $ dWt = X

∫ T

0

Ut $ dWt −∫ T

0

(DtX)Utdt. (13.21)

Dimostrazione. Per ogni Y ∈ S, per la relazione di dualita, vale

E [Y D∗(XU)] = E

[∫ T

0

(DtY )XUtdt

]=

(per la regola della catena)

= E

[∫ T

0

(Dt(Y X) − Y DtX)Utdt

]=

(per dualita)

= E

[Y

(XD∗U −

∫ T

0

DtXUtdt

)],

e la tesi segue per densita. 2

La formula (13.21) risulta cruciale nel calcolo dell’integrale di Skorohod.Il caso tipico e quello in cui U sia adattato: allora la (13.21) diventa∫ T

0

XUt $ dWt = X

∫ T

0

UtdWt −∫ T

0

(DtX)Utdt,

e dunque e possibile esprimere l’integrale di Skorohod come somma di unusuale integrale di Ito con un integrale di Lebesgue.

Esempio 13.32. Come diretta applicazione della (13.21) si ha∫ T

0

WT $ dWt =W 2T − T.

2


Esempio 13.33 (Vega). Calcoliamo la vega di un’opzione nel modello di Black&Scholes:osserviamo che vale

∂σST = (WT − 2σT )ST , DsST σST .

AlloraV = e−rT ∂σE [F (ST )] =

(per la formula di integrazione per parti (13.17))

= e−rTE

[F (ST )

∫ T

0

WT − σT

σT$ dWt

]=

(per la (13.21))

= e−rTE

[F (ST )

(WT − σT

σTWT −

1

σ

)].

2

Esempio 13.34 (Gamma). Calcoliamo la gamma di un’opzione nel modello diBlack&Scholes:

Γ = e−rT ∂xxE [F (ST )] =

(per l’Esempio 13.30)

=e−rT

σTE

[∂x

(F (ST )

x

)WT

]= − e−rT

σTx2E [F (ST )WT ] +

e−rT

σTxJ,

doveJ = E [∂xF (ST )WT ] = E [F ′(ST )∂xSTWT ] =

(applicando la (13.16) con u = 1 e Y = (∂xST )WT =STWT

x )

= E

[F (ST )

∫ T

0

WT

σTx$ dWT

]=

(per la (13.21))

=1

σTxE

[F (ST )(W

2T − T )

].

In definitiva si ha

Γ =e−rT

σTx2E

[F (ST )

(W 2T − T

σT−WT

)].

2

13.2 Dualita 465

13.2.3 Altri esempi

Esempio 13.35. Forniamo l’espressione della delta per un’opzione Asiaticaaritmetica con dinamica di Black&Scholes (13.18) per il sottostante. Indi-chiamo con

X =1

T

∫ T

0

Stdt

la media e osserviamo che vale ∂xX = Xx e∫ T

0

DsXds =

∫ T

0

∫ T

0

DsStdtds = σ

∫ T

0

∫ t

0

Stdsdt = σ

∫ T

0

tStdt. (13.22)

Allora si ha

Δ = e−rT∂xE [F (X)] =e−rT

xE [F ′(X)X] =

(per la (13.17) e la (13.22))

=e−rT

σxE

[F (X)

∫ T

0

∫ T0Ssds∫ T

0sSsds

$ dWt

].

Ora si puo usare la formula (13.21) per calcolare l’integrale anticipativo: dopoun po’ di conti (cfr., per esempio, [98]) si ottiene la seguente formula:

Δ =e−rT

xE

[F (X)

(1

I1

(WT

σ+I2I1

)− 1

)],

dove

Ij =

∫ T0tjStdt∫ T

0Stdt

, j = 1, 2.

2

Esempio 13.36 (Formula di Bismut-Elworthy). Estendiamo l’Esercizio 13.30al caso di un modello a volatilita locale

St = x+

∫ t

0

b(s, Ss)ds+

∫ t

0

σ(s, Ss)dWs.

Sotto opportune ipotesi sui coefficienti dimostriamo la seguente formula diBismut-Elworthy:

E [∂xF (ST )G] =1

TE

[F (ST )

(G

∫ T

0

∂xStσ(t, St)

dWt −∫ T

0

DtG∂xSt

σ(t, St)dt

)],

(13.23)per ogni G ∈ D1,∞.Ricordiamo che per la Proposizione 13.18, vale


DsST = YTZsσ(s, Ss), (13.24)

essendoYt := ∂xSt =: Z

−1t .

Applichiamo la (13.16) con la scelta

X = ST , Y = GYT , ut =Yt

σ(t, St),

per ottenere

E [∂xF (ST )G] = E [F ′(ST )YTG]

= E

⎡⎣F (ST )∫ T

0

GYTYtσ(t, St)

1∫ T0DsST

Ysσ(s,Ss)

ds$ dWt

⎤⎦(per la (13.24))

= E

[F (ST )

∫ T

0

GYt

σ(t, St)$ dWt

]e la (13.23) segue dalla Proposizione 13.31, essendo Yt

σ(t,St)adattato. 2

Esempio 13.37. In questo esempio, tratto da [7], consideriamo il modello diHeston {

dSt =√νtStdB

1t ,

dνt = k(ν − νt)dt+ η√νtdB

2t ,

dove (B1, B2) e un moto Browniano correlato

B1t =

√1− �2W 1

t + �W 2t , B2

t =W 2t ,

con W moto Browniano standard 2-dimensionale e � ∈]−1, 1[. Siamo interes-sati a calcolare la sensitivita del prezzo di un’opzione con payoff F rispetto alparametro di correlazione �.Preliminarmente osserviamo che

ST = S0 exp

(√1− �2

∫ T

0

√νtdW

1t + �

∫ T

0

√νtdW

2t −

1

2

∫ T

0

νtdt

),

e quindi

∂ ST = STG, G := − �√1− �2

∫ T

0

√νtdW

1t +

∫ T

0

√νtdW

2t . (13.25)

Inoltre, se indichiamo con D1 la derivata di Malliavin relativa al motoBrowniano W 1, per l’Osservazione 13.19 abbiamo D1

sνt = 0 e

13.2 Dualita 467

D1sST = ST

√1− �2

√νs. (13.26)

Allora vale∂ E [F (ST )] = E [F ′(ST )∂ ST ] =

(integrando per parti e scegliendo X = ST , Y = ∂ ST e7 ut =

1√νtnella

(13.16))

= E

⎡⎣F (ST )∫ T

0

∂ ST√νt

∫ T0D1sST√νs

ds$ dW 1

t

⎤⎦ =(per la (13.25) e la (13.26))

=1

T√1− �2

E

[F (ST )

∫ T

0

G√νt$ dW 1

t

]=

(per la Proposizione 13.31 ed essendo ν adattato)

=1

T√1− �2

E

[F (ST )

(G

∫ T

0

1√νtdW 1

t −∫ T

0

D1tG√νt

dt

)]=

(poiche D1tG = −�

√νt

1− 2 )

=1

T√1− �2

E

[F (ST )

(G

∫ T

0

1√νtdW 1

t +�T√1− �2

)].

2

7 Questa scelta e suggerita dalla (13.26).

Appendice

Teoremi di Dynkin – Topologie e σ-algebre – Generalizzazioni del concetto di deri-vata – Trasformata di Fourier – Convergenza di variabili aleatorie – Separazione diconvessi

A.1 Teoremi di Dynkin

I Teoremi di Dynkin sono risultati a prima vista abbastanza tecnici e poco in-teressanti che tuttavia risultano utili (o addirittura essenziali) in molti ambiti.Tipicamente permettono di dimostrare la validita di una certa proprieta peruna ampia famiglia di insiemi (o funzioni) misurabili, a patto di verificare taleproprieta solo per gli elementi di una particolare sottofamiglia: per esempio,gli intervalli aperti nel caso dei Borelliani oppure le funzioni caratteristiche diintervalli invece delle funzioni misurabili. Per la presentazione dei Teoremi diDynkin seguiamo l’appendice del libro [169] di Williams. Nel seguito, al solitoΩ indica un insieme non vuoto.

Definizione A.1. Una famigliaM di sottoinsiemi di Ω si dice monotona se

i) Ω ∈ M;ii) se A e B ∈ M con A ⊆ B allora B \A ∈ M;iii) data una successione crescente1 (An)n∈N di elementi di M si ha che

∞⋃n=1

An ∈M.

Definizione A.2. Un famiglia A di sottoinsiemi di Ω si dice stabile rispettoall’intersezione (∩−stabile) se per ogni A e B ∈ A si ha A ∩ B ∈ A.

E immediato verificare che ogni σ-algebra e una famiglia monotona e∩−stabile. Viceversa si ha

Lemma A.3. Ogni famiglia M monotona e ∩−stabile e una σ-algebra.

Dimostrazione. Chiaramente se M e monotona allora verifica le prime duecondizioni della definizione di σ-algebra. Rimane da provare che l’unione nu-merabile di elementi diM appartiene aM. Osserviamo prima che se A e B

1 Ossia tale che An ⊆ An+1, per ogni n ∈ N.


470 Appendice

appartengono a M, allora la loro unione appartiene ancora a M: infatti esufficiente notare che

A ∪B = (Ac ∩Bc)c.Ora, se (An) e una successione di elementi diM, poniamo

Bn =

n⋃k=1

Ak.

Per quanto visto sopra, si ha che (Bn) e una successione crescente di elementidiM. Dunque, per la terza condizione della definizione di famiglia monotona,si ha

+∞⋃n=1

An =

+∞⋃n=1

Bn ∈M.

2

Teorema A.4 (Primo teorema di Dynkin). Indichiamo con M(A) lafamiglia monotona generata2 da A, famiglia di sottoinsiemi di Ω. Se A e∩−stabile, allora

σ(A) =M(A). (A.1)

Dimostrazione. Per il lemma precedente, basta dimostrare che M(A), cheper comodita indicheremo solo con M, e ∩−stabile. Ne verra che M e unaσ-algebra e quindi σ(A) ⊆ M. D’altra parte, essendo ogni σ-algebra unafamiglia monotona, abbiamo cheM⊆ σ(A) da cui la (A.1).Poniamo

M1 = {A ∈M | A ∩ I ∈M, ∀ I ∈ A}.Chiaramente A ⊆M1. Proviamo cheM1 e una famiglia monotona. Ne verraM⊆M1. Abbiamo che Ω ∈M1. Siano A e B ∈M1, con A ⊆ B. Allora

(B \A) ∩ I = (B ∩ I) \ (A ∩ I) ∈M

per ogni I ∈ A e quindi B\A ∈M1. Infine, sia (An) una successione crescenteinM1 e indichiamo con A l’unione degli An. Allora, per ogni I ∈ A, si ha

A ∩ I =⋃n≥1

(An ∩ I) ∈M.

DunqueM1 e una famiglia monotona. Poniamo ora

M2 = {A ∈M | A ∩B ∈M, ∀B ∈M}.

Per quanto dimostrato sopra, si ha che A ⊆ M2. Inoltre, col procedimentoprecedente, si prova che M2 e una famiglia monotona. Allora M ⊆ M2 equindiM e ∩-stabile. 2

2 M(A) e la piu piccola famiglia monotona che contiene A.

A.1 Teoremi di Dynkin 471

Come applicazione, dimostriamo la Proposizione 2.4 di cui riportiamol’enunciato:

Proposizione A.5. Sia A una famiglia ∩−stabile di sottoinsiemi di Ω. SianoP,Q misure finite definite su σ(A) tali che P (Ω) = Q(Ω) e

P (E) = Q(E), ∀E ∈ A.

Allora P = Q.


M = {E ∈ σ(A) | P (E) = Q(E)},

e osserviamo che M e una famiglia monotona. Infatti Ω ∈ M per ipotesi, edati E, F ∈M con E ⊆ F allora

P (F \ E) = P (F )− P (E) = Q(F )−Q(E) = Q(F \ E).

Infine, se (En) e una successione crescente inM e E indica l’unione degli En,allora

P (E) = limn→∞

P (En) = limn→∞

Q(En) = Q(E),

e quindi E ∈M .PoicheM e una famiglia monotona contenente A e contenuta (per costru-

zione) in σ(A), dal Teorema A.4 si deduce immediatamente che M = σ(A).2

Presentiamo ora una risultato che raffina il metodo standard utilizzatodimostrazione del Teorema 2.28.

Definizione A.6 (Famiglia monotona di funzioni). Sia H una famigliadi funzioni limitate su Ω a valori reali. Si dice che H e una famiglia monotonadi funzioni se

i) H e uno spazio vettoriale (reale);ii) H contiene la funzione costante uguale a 1;iii) se (fn) e una successione crescente di funzioni non negative in H, avente

limite puntuale la funzione limitata f, allora f ∈ H.

Teorema A.7 (Secondo teorema di Dynkin). Sia H una famiglia mono-tona di funzioni. Se H contiene le funzioni caratteristiche degli elementi diuna famiglia ∩ − stabile A, allora contiene anche ogni funzione limitata emisurabile rispetto a σ(A).

Dimostrazione. Iniziamo provando che 1A ∈ H per ogni A ∈ σ(A). Poniamo

M = {A ∈ σ(A) | 1A ∈ H}.

472 Appendice

Allora A ⊆ M per ipotesi ed e facile verificare che M e una famigliamonotona. Per il Teorema A.4 si ha

M = σ(A),

e quindi le funzioni caratteristiche di insiemi misurabili rispetto a σ(A)appartengono a H.La prova si conclude ora facilmente utilizzando i risultati standard di ap-

prossimazione puntuale di funzioni misurabili: in particolare e noto che se f euna funzione σ(A)-misurabile, non-negativa e limitata esiste una successionecrescente (ϕn) di funzioni non negative, semplici e σ(A)-misurabili (e quindiin H) che converge a f . Dunque per la iii) della Definizione A.6 si ha chef ∈ H. Infine nel caso f , σ(A)-misurabile e limitata, assuma valori positivie negativi e sufficiente rappresentarla come somma della sua parte positiva enegativa. 2

Proposizione A.8. Siano X, Y v.a. su (Ω,F). Allora X e σ(Y )-misurabilese e solo se esiste una funzione B-misurabile f tale che X = f(Y ).

Dimostrazione. E sufficiente considerare il caso in cui X e limitata, altrimen-ti si puo comporre X con una funzione misurabile e limitata (per esempio,l’arcotangente). Inoltre e sufficiente provare che se X e σ(Y )-misurabile alloraX = f(Y ) con f ∈Bb, poiche il viceversa e ovvio.Utilizziamo il secondo teorema di Dynkin e poniamo

H = {f(Y ) | f ∈Bb}.

Allora H e una famiglia monotona di funzioni, infatti e chiaro che H e unospazio vettoriale che contiene le funzioni costanti. Inoltre se (fn(Y ))n∈N e unasuccessione in H monotona crescente di funzioni non-negative e tali che

fn(Y ) ≤ C

per una certa costante C, allora posto f = supn∈N

fn ∈Bb si ha

fn ↑ f(Y ) per n→∞.

Per concludere, mostriamo che H contiene le funzioni caratteristiche dielementi di σ(Y ). Se F ∈ σ(Y ) = Y −1(B) allora esiste H ∈ B tale cheF = Y −1(H) e quindi vale

1F = 1H(Y )

da cui deduciamo che 1F ∈ H per ogni F ∈ σ(Y ). 2

A.2 Topologie e σ-algebre 473

A.2 Topologie e σ-algebre

In questo paragrafo richiamiamo alcuni risultati essenziali sugli spazi topo-logici, trattando in particolare il caso degli spazi a base numerabile e, co-me esempio significativo, lo spazio delle funzioni continue su un intervallocompatto.

Definizione A.9. Sia Ω un insieme non vuoto. Una topologia su Ω e unafamiglia T di sottoinsiemi di Ω con le seguenti proprieta:

i) ∅, Ω ∈ T ;ii) T e chiusa3 rispetto all’operazione di unione (non necessariamente nu-

merabile);iii)T e chiusa rispetto all’operazione di intersezione di un numero finito di

elementi.

Diciamo che la coppia (Ω,T ) e uno spazio topologico: gli elementi di T sonodetti aperti.

Data una famigliaM di sottoinsiemi di Ω, l’intersezione di tutte le topologieche contengonoM e una topologia, detta topologia generata daM e indicatacon T (M ).

Esempio A.10. Sia (Ω, d) uno spazio metrico: ricordiamo che la funzione

d : Ω × Ω −→ [0,+∞[

e una metrica (o distanza) se verifica le seguenti proprieta per ogni x, y, z ∈ Ω:

i) d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 se e solo se x = y;ii) d(x, y) = d(y, x);iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Se M e la famiglia dei dischi aperti

M = {D(x, r) | x ∈ Ω, r > 0},

doveD(x, r) = {y ∈ Ω | d(x, y) < r},

alloraTd := T (M )

e detta topologia generata dalla distanza d.Due esempi sono particolarmente significativi:

1) se Ω = RN e d(x, y) = |x − y| e la distanza Euclidea, allora Td e latopologia Euclidea;

3 L’unione di elementi di T appartiene a T .

474 Appendice

2) seΩ = C([a, b];RN) = {ω : [a, b] −→ RN | ω continua},

la topologia uniforme su Ω e la topologia generata dalla distanza uniforme4

d(ω1, ω2) = maxt∈[a,b]

|ω1(t) − ω2(t)|.

Nella Figura A.10 e rappresentato il disco nella metrica d:

D(ω0, r) = {ω ∈ Ω | |ω(t)− ω0(t)| < r, ∀t ∈ [a, b]}.

�0

a b

Fig. A.1. Disco nella metrica uniforme di C([a, b])

2

In base alla definizione, mentre una σ-algebra e chiusa rispetto all’opera-zione di unione al piu numerabile, una topologia e chiusa rispetto alle unioniqualsiasi. Dunque e comprensibile che rivestano un ruolo particolarmente im-portante gli spazi topologici in cui le unioni di aperti si possano esprimerecome unioni al piu numerabili di aperti.

Definizione A.11. Diciamo che (Ω,T ) ha base numerabile se esiste unafamiglia numerabile A tale che T = T (A).

Teorema A.12. Se (Ω,T ) ha base numerabile allora da ogni ricoprimentoaperto di Ω si puo estrarre un sotto-ricoprimento aperto finito o numerabile.

Dimostrazione. Sia {Ui} un ricoprimento aperto di Ω ossia una famiglia diaperti la cui unione e Ω e sia A = {An}n∈N una base numerabile per T . Allora4 Ricordiamo che una successione (ωn) converge uniformemente a ω se

limn→∞ d(ωn, ω) = 0.

A.3 Generalizzazioni del concetto di derivata 475

ogni ω ∈ Ω appartiene ad un aperto Ui del ricoprimento ed esiste An(ω) ∈ Atale che ω ∈ An(ω) ⊆ Ui. La famiglia {An(ω)}ω∈Ω e finita o numerabile,dunque scegliendo per ogni An(ω) un aperto Ui che lo contiene otteniamo unsotto-ricoprimento finito o numerabile. 2

Nel caso in cui (Ω, d) sia uno spazio metrico, e particolarmente sempliceverificare l’esistenza di una base numerabile per Td. Anzitutto, diciamo cheun sotto-insieme A e denso in Ω se per ogni x ∈ Ω e n ∈ N esiste yn ∈ A taleche d(x, yn) ≤ 1

n , ossiax = lim

n→∞yn.

Diciamo che (Ω, d) e separabile se esiste un sottoinsieme A numerabile e densoin Ω. In tal caso

A = {D (x, 1/n) | x ∈ A, n ∈ N} (A.2)

costituisce una base numerabile per Td e vale il seguente

Teorema A.13. Uno spazio metrico ha base numerabile se e solo se e sepa-rabile.

Esempio A.14. Lo spazio C([a, b];RN) e separabile poiche i polinomi a coef-ficienti razionali formano un insieme numerabile e denso (per il Teorema diWierstrass5). Indichiamo con B la σ-algebra dei Borelliani ossia la σ-algebragenerata dalla topologia uniforme. Allora, poiche la topologia uniforme ha unabase numerabile, si ha:

B = σ ({D (ω, 1/n) | ω polinomio razionale, n ∈ N}) .

2

A.3 Generalizzazioni del concetto di derivata

In questo paragrafo richiamiamo brevemente i concetti di derivata debole e didistribuzione. Queste estensioni del concetto di derivata e di funzione inter-vengono naturalmente nella teoria dell’arbitraggio. Per esempio, il problemadella copertura di un’opzione richiede lo studio delle derivate della funzionedi valutazione: anche nel caso piu semplice di un’opzione call Europea constrike K, il payoff (x − K)+ e una funzione continua ma non derivabile insenso classico nel punto x = K. Per approfondimenti sul materiale di questoparagrafo rimandiamo, per esempio, a Brezis [26], Folland [58] e Adams [2].

5 Si veda, per esempio, il Cap. 1 in Lanconelli [110].

476 Appendice

A.3.1 Derivata debole in R

Fissato un intervallo aperto I = ]a, b[⊆ R, non necessariamente limitato, indi-chiamo con L1

loc = L1loc(I) lo spazio delle funzioni u localmente sommabili su

I ossia tali che esiste ∫H

|u(x)|dx <∞

per ogni compatto H ⊆ I. Lo spazio C∞0 (I) delle funzioni su I a supporto6

compatto e con derivata continua di ogni ordine, e usualmente chiamato spaziodelle funzioni test.Si dice che u ∈ L1

loc(I) e derivabile debolmente se esiste una funzioneh ∈ L1

loc(I), detta derivata debole di u, per cui valga la formula di integrazioneper parti per ogni funzione test o piu precisamente∫ b

a

u(x)ϕ′(x)dx = −∫ b

a

h(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C∞0 (]a, b[). (A.3)

Lemma A.15. Se u ∈ L1loc(I) e∫I

uϕ = 0, ∀ϕ ∈ C∞0 (I),

allora u = 0 quasi ovunque.

In base al lemma precedente, h e individuata dalla (A.3) a meno di un insiemedi misura di Lebesgue nulla: pertanto, identificando le funzioni uguali q.o.,scriviamo7 h = Du per indicare che h e la funzione in L1

loc che verifica la(A.3). Si noti che la definizione di derivata classica e data punto per punto,mentre la nozione di derivata debole e “globale”.

Esempio A.16. Consideriamo

u(x) = (x−K)+, x ∈ R. (A.4)

Si ha ∫R

u(x)ϕ′(x)dx =

∫ +∞

K

(x−K)ϕ′(x)dx =

(usando la formula di integrazione per parti “classica”)

=[(x−K)ϕ(x)

]+∞x=K

−∫ +∞

K

ϕ(x)dx =

(poiche ϕ ha supporto compatto)

6 Il supporto di una funzione continua u e la chiusura dell’insieme {x | u(x) = 0} esi indica col simbolo supp(u).

7 Indichiamo con Du la derivata debole per distinguerla dalla derivata classica u′.


=

∫ +∞

K

ϕ(x)dx.

Per definizione h ∈ L1loc e derivata debole di u se∫ +∞

R

hϕ =

∫ +∞

K

ϕ, ∀ϕ ∈ C∞0 (R);

in particolare la funzione

h(x) =

{1 x ≥ K,

0 x < K,(A.5)

e la derivata debole di u. 2

Notazione A.17 Indichiamo con W 1,1loc (I) lo spazio delle funzioni derivabili

debolmente su I. Dati k ∈ N e p ∈ [1,+∞], indichiamo con W k,p(I) lo spaziodelle funzioni sommabili di ordine p su I, u ∈ Lp(I), che posseggono le deri-vate deboli fino all’ordine k in Lp(I). Gli spazi W k,p sono chiamati spazi diSobolev.

Come conseguenza della classica formula di integrazione per parti, se unafunzione e derivabile con continuita in senso classico allora lo e anche in sensodebole e le due nozioni di derivata coincidono: precisamente, C1 ⊂ W 1,1

loc eu′ = Du per ogni u ∈ C1.Una classe significativa di funzioni debolmente derivabili e quella delle

funzioni localmente Lipschitziane: ricordiamo che u e localmente Lipschitzianasu I, e si scrive u ∈ Liploc(I), se per ogni sottoinsieme compatto H di I, esisteuna costante lH tale che

|u(x)− u(y)| ≤ lH |x− y|, x, y ∈ H. (A.6)

Se la stima (A.6) vale con una costante l indipendente da H allora si diceche u e globalmente Lipschitziana su I, o semplicemente Lipschitziana, e siscrive u ∈ Lip(I). Per esempio, la funzione u(x) = (x −K)+ e Lipschitzianasu R con costante l = 1. Per il teorema del valor medio, ogni funzione C1 conderivata limitata e Lipschitziana.

Proposizione A.18. Se u ∈ Liploc allora u e derivabile in senso classicoquasi ovunque. Inoltre u ∈W 1,1

loc e u′ = Du.

Dimostrazione. La prima parte della tesi e un risultato classico: si veda, peresempio, il Cap. VI in Fomin-Kolmogorov [102]. La seconda parte e una sem-plice conseguenza del Teorema della convergenza dominata: infatti, per ognifunzione test ϕ, si ha∫

u(x)ϕ′(x)dx = limδ→0

∫u(x)

ϕ(x+ δ)− ϕ(x)

δdx

= limδ→0

∫u(x− δ)− u(x)

δϕ(x)dx =

478 Appendice

(per il Teorema della convergenza dominata, sfruttando il fatto che u e deri-vabile quasi ovunque e che, per la (A.6), il rapporto incrementale e localmentelimitato)

= −∫

u′(x)ϕ(x)dx.

2

Mostriamo ora che alcuni risultati classici del calcolo differenziale si esten-dono al caso della derivazione in senso debole. La seguente proposizionegeneralizza il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Proposizione A.19. Siano h ∈ L1loc(I) e x0 ∈ I. Posto8

u(x) =

∫ x

x0

h(y)dy, y ∈ I,

si ha u ∈W 1,1loc (I) e h = Du. Inoltre u e una funzione continua su I.

La seguente proposizione afferma essenzialmente che una funzione u inW 1,1loc e

una “primitiva” della propria derivata debole. In particolare u e uguale quasiovunque ad una funzione continua9.

Proposizione A.20. Ogni u ∈ W 1,1loc (I) e uguale quasi ovunque ad una

funzione continua: se u ∈ W 1,1loc ∩ C(I) vale

u(x) = u(x0) +

∫ x

x0

Du(y)dy, x, x0 ∈ I.

In particolare se Du = 0 allora u e costante.

In base al risultato precedente, in analisi funzionale e usuale identificare ognielemento diW 1,1

loc con il proprio rappresentante continuo. Mostriamo ora un’e-stensione della formula di integrazione per parti e della derivata di funzionecomposta.

Proposizione A.21. Per ogni u, v ∈W 1,1loc ∩ C(I) si ha uv ∈W 1,1

loc (I) e∫ x

x0

uDv = u(x)v(x)− u(x0)v(x0) −∫ x

x0

vDu, x, x0 ∈ I.

Inoltre, se f ∈ C1(R) allora f(u) ∈W 1,1loc (I) e Df(u) = F ′(u)Du.

8 Per convenzione assumiamo∫ x

x0

h(y)dy = −∫ x0

x

h(y)dy,

per x < x0.9 Ricordiamo che se u e continua quasi ovunque allora non e detto che sia ugualequasi ovunque ad una funzione continua: si pensi alla derivata debole della fun-zione (x − K)+. Inoltre se u e uguale quasi ovunque ad una funzione continuanon e detto che u sia continua quasi ovunque: si pensi alla funzione di Dirichlet,uguale a 0 su Q e a 1 su R \ Q.


A.3.2 Spazi di Sobolev e teoremi di immersione

Siano O un aperto di RN e 1 ≤ p ≤∞.

Definizione A.22. Lo spazio di Sobolev W 1,p(O) e lo spazio delle funzioniu ∈ Lp(O) per cui esistono h1, . . . , hN ∈ Lp(O) tali che∫

O

u∂xiϕ = −∫O

hiϕ, ∀ϕ ∈ C∞0 (O), i = 1, . . . , N.

Le funzioni h1, . . . , hN sono univocamente determinate q.o., in base al LemmaA.15: poniamo Diu := hi per i = 1, . . . , N e diciamo che Du = (h1, . . . , hN)e il gradiente di u.Lo spazio W 1,p(O), munito della norma

‖u‖W1,p := ‖u‖Lp + ‖Du‖Lp ,

e uno spazio di Banach. Se u ∈ C1 ∩ Lp e ∂xiu ∈ Lp per ogni i = 1, . . . , Nallora u ∈ W 1,p e ∂xiu = Diu. Gli spazi di Sobolev di ordine superiore sipossono definire per ricorrenza:

Definizione A.23. Dato k ∈ N, k ≥ 2, poniamo

W k,p(O) = {u ∈W k−1,p(O) | Du ∈ W k−1,p(O)}.

Per esprimere lo spazio W k,p in termini piu espliciti, introduciamo la seguente

Notazione A.24 Dato un multi-indice α = (α1, . . . , αN) ∈ NN0 , poniamo

∂αx = ∂α1x1 . . . ∂αNxN

e diciamo che il numero

|α| =N∑i=1

αi

e l’ordine di α.

Allora u ∈ W k,p(O) se e solo se per ogni multi-indice α, con |α| ≤ k, esisteuna funzione hα ∈ Lp(O) tale che∫

O

u∂αxϕ = (−1)|α|∫O

hαϕ, ∀ϕ ∈ C∞0 (O);

in tal caso scriviamo hα = Dαu. Lo spazio W k,p munito della norma

‖u‖Wk,p :=∑

0≤|α|≤k‖Dαu‖Lp ,

e uno spazio di Banach. Enunciamo ora il fondamentale

480 Appendice

Teorema A.25 (di immersione di Sobolev-Morrey). Esiste una costanteC, che dipende solo da p e N , tale che per ogni u ∈W 1,p(RN ) si ha:

i) se 1 ≤ p < N , posto p∗ = pNN−p , si ha

‖u‖Lq(RN) ≤ C‖u‖W1,p(RN ), ∀q ∈ [p, p∗];

ii) se p > N allora u ∈ L∞(RN ) e vale

|u(x)− u(y)| ≤ C‖Du‖Lp(RN )|x− y|δ per quasi ogni x, y ∈ RN ,

con δ = 1− Np .

Inoltre se p = N allora

‖u‖Lq(RN ) ≤ cq‖u‖W1,N(RN ), ∀q ∈ [p,∞[,

con cq costante che dipende solo da p, q, N e tende a +∞ per q →∞.

A.3.3 Distribuzioni

Consideriamo il seguente esempio, introduttivo al concetto di distribuzione ofunzione generalizzata.

Esempio A.26. Mostriamo che u in (A.4) non ha derivata seconda in sensodebole. Infatti se esistesse g = Dh per h in (A.5) allora varrebbe∫

R

gϕ = −∫R

hϕ′ = −∫ +∞

K

ϕ′ = ϕ(K), ∀ϕ ∈ C∞0 (R). (A.7)

In particolare si avrebbe∫R

gϕ = 0, ∀ϕ ∈ C∞0 (R \ {K}),

da cui, in base al Lemma A.15, g = 0 quasi ovunque, in contraddizione con la(A.7). 2

La teoria delle distribuzioni nasce per ovviare al fatto che la derivata, anchedebole, di una funzione non sempre esiste se intesa come funzione nel sensoclassico del termine. L’idea e quindi di estendere il concetto di funzione inter-pretando ogni u ∈ L1

loc come un funzionale10 che associa a ϕ ∈ C∞0 l’integrale

di uϕ, piuttosto che, al solito, come una legge che associa u(x) al numero x.Per semplicita, in questa sezione consideriamo solo il caso uno-dimensionale:la trattazione seguente si estende senza difficolta in RN .

10 Generalmente si usa il termine “funzione” per indicare un’applicazione fra insie-mi numerici (per esempio, una funzione da RN a R), mentre si usa il termine“funzionale” per indicare un’applicazione fra spazi di funzioni.


In base al Lemma A.15, u e determinata quasi ovunque dagli integrali∫uϕ, al variare di ϕ ∈ C∞0 . Inoltre se u e derivabile (in senso debole) infinite

volte, allora si ha∫D(k)uϕ = (−1k)

∫uϕ(k), ∀ϕ ∈ C∞0 , k ∈ N. (A.8)

D’altra parte, indipendentemente dal fatto che u sia derivabile, il membro adestra della (A.8) definisce un funzionale lineare su C∞0 a cui puo essere datoil significato di “derivata k-esima di u”. Queste considerazioni sono precisatedalla seguente

Definizione A.27. Una distribuzione Λ su un intervallo aperto e non vuotoI e un funzionale

Λ : C∞0 (I) −→ R

lineare e tale che, per ogni compatto H ⊂ I, esistono una costante positiva Me m ∈ N tali che

|Λ(ϕ)| ≤M‖ϕ‖m, (A.9)

per ogni ϕ ∈ C∞0 (I) tale che supp(ϕ) ⊆ H, dove

‖ϕ‖m :=m∑k=0

maxH|ϕ(k)|. (A.10)

Lo spazio delle distribuzioni su I e indicato con D′(I) e usualmente si usa lanotazione

〈Λ, ϕ〉 := Λ(ϕ).

Osservazione A.28. La (A.9) esprime la proprieta di continuita di Λ rispettoad un’opportuna topologia su C∞0 (I): rimandiamo a Rudin [144], Parte IICap.6 per i dettagli. Qui osserviamo che se (ϕn) e una successione in C

∞0 (I)

col supp(ϕn) incluso in un compatto H per ogni n ∈ N, allora per la (A.9)

limn→∞

‖ϕn − ϕ‖m = 0

implica chelimn→∞

〈Λ, ϕn〉 = 〈Λ, ϕ〉.2

Ogni funzione localmente sommabile definisce in modo naturale unadistribuzione: infatti, data u ∈ L1

loc(I), poniamo

〈Λu, ϕ〉 =∫I

u(x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ C∞0 (I).

Ovviamente Λu e un funzionale lineare e per ogni H compatto di I, si ha

482 Appendice

|〈Λu, ϕ〉| ≤ ‖ϕ‖0∫H

|u(x)|dx, ϕ ∈ C∞0 (H).

Per questo motivo, e usuale identificare u con Λu e scrivere L1loc ⊂ D′.

Analogamente, se μ e una misura di probabilita su (R,B), allora, posto

〈Λμ, ϕ〉 =∫R

u(x)μ(dx), ϕ ∈ C∞0 (R),

si ha che Λμ e un funzionale lineare e

|〈Λμ, ϕ〉| ≤ ‖ϕ‖0μ(H), ϕ ∈ C∞0 (H).

In altri termini Λμ e una distribuzione che viene solitamente identificata conμ. A questo punto osserviamo che la Definizione A.27 ben si raccorda con laDefinizione 2.7 e generalizza la nozione di distribuzione data nel Capitolo 2.Piu in generale, e chiaro che ogni misura su (R,B), tale che μ(H) < ∞

per ogni compatto H di R, e una distribuzione.

Definizione A.29. Se Λ ∈ D′(I) e k ∈ N, la derivata di ordine k di Λ edefinita da

〈D(k)Λ, ϕ〉 := (−1)k〈Λ, ϕ(k)〉, ϕ ∈ C∞0 (I).

Notiamo che D(k)Λ ∈ D′(I), infatti D(k)Λ e un funzionale lineare e, fissatoun compatto H , per ogni ϕ ∈ C∞0 (H), si ha

|〈D(k)Λ, ϕ〉| = |〈Λ, ϕ(k)〉| ≤

(poiche supp(ϕ(k)) ⊆supp(ϕ))

≤M‖ϕ(k)‖m ≤M‖ϕ‖m+k.

Dunque una distribuzione possiede le derivate di ogni ordine che sono essestesse distribuzioni e in generale non sono funzioni in senso classico.Riprendendo l’Esempio A.26, la funzione x �→ (x−K)+ ha derivata prima

debole ma non ha derivata seconda. Tuttavia, in base alla (A.7), la derivataseconda distribuzionale e definita da∫

R

ϕ(x)D(2)(x−K)+dx = ϕ(K) = δK (ϕ), ϕ ∈ C∞0 (R).

In altri termini D(2)(x−K)+ coincide con la Delta di Dirac centrata in K chee il tipico esempio di distribuzione che non e una funzione in senso classico.

Introduciamo ora la nozione di traslazione e di convoluzione nell’ambitodelle distribuzioni. Se ϕ e una funzione definita su R e x ∈ R, poniamo

Txϕ(y) = ϕ(y − x), ϕ(y) = ϕ(−y), y ∈ R. (A.11)

Notiamo che vale

A.3 Generalizzazioni del concetto di derivata 483∫R

ψTxϕ =

∫R

ψ(y)ϕ(y − x)dy =

∫R

ψ(y + x)ϕ(y)dy =

∫R

(T−xψ)ϕ. (A.12)

Inoltre(Txϕ) (y) = ϕ(y − x) = ϕ(x− y),

e quindi

(ψ ∗ ϕ)(x) =∫R

ψ(y) (Txϕ) (y)dy. (A.13)

Per analogia diamo la seguente

Definizione A.30. Sia Λ ∈ D′(R). La traslazione TxΛ e la distribuzione inD′(R) definita da

〈TxΛ, ϕ〉 = 〈Λ, T−xϕ〉, ϕ ∈ C∞0 (R). (A.14)

La convoluzione di Λ con ϕ ∈ C∞0 (R) e la funzione definita da

(Λ ∗ ϕ) (x) = 〈Λ, T−xϕ〉, x ∈ R. (A.15)

Sottolineiamo il fatto che la convoluzione in (A.15) e una funzione. Inoltrese Λ e una funzione localmente sommabile, le definizioni (A.14) e (A.15) siaccordano rispettivamente con le (A.12) e (A.13).

Teorema A.31. Se Λ ∈ D′(R) e ϕ, ψ ∈ C∞0 (R) allora

i) Λ ∗ ϕ ∈ C∞(R) e per ogni k ∈ N vale

(Λ ∗ ϕ)(k) = (D(k)Λ) ∗ ϕ = Λ ∗ (ϕ(k)); (A.16)

ii) se Λ ha supporto11 compatto allora Λ ∗ ϕ ∈ C∞0 (R);iii) (Λ ∗ ϕ) ∗ ψ = Λ ∗ (ϕ ∗ ψ).Alla dimostrazione premettiamo il seguente

Lemma A.32. Per ogni Λ ∈ D′(R) e ϕ ∈ C∞0 (R) vale

Tx (Λ ∗ ϕ) = (TxΛ) ∗ ϕ = Λ ∗ (Txϕ) , x ∈ R. (A.17)

Dimostrazione. La tesi e provata dalle seguenti uguaglianze:

Tx (Λ ∗ ϕ) (y) = (Λ ∗ ϕ) (y − x) = 〈Λ, Ty−xϕ〉,((TxΛ) ∗ ϕ) (y) =〈TxΛ, Tyϕ〉 = 〈Λ, T−xTyϕ〉 = 〈Λ, Ty−xϕ〉,(Λ ∗ (Txϕ)) (y) =〈Λ, Ty (Txϕ) 〉 = 〈Λ, TyT−xϕ〉 = 〈Λ, Ty−xϕ〉.

2

11 Ricordiamo la definizione di supporto di una distribuzione: si dice che Λ ∈ D′(I)si annulla in un aperto O di I se 〈Λ,ϕ〉 = 0 per ogni ϕ ∈ C∞0 (O). Se W indical’unione di tutti gli aperti in cui si annulla Λ, allora per definizione

supp(Λ) = I \W.

484 Appendice

Dimostrazione (del Teorema A.31).i) Poniamo

δh =T0 − Th

h, h �= 0.

Per ogni ϕ ∈ C∞0 (R) e m ∈ N, si halimh→0

‖δhϕ− ϕ′‖m = 0,

con ‖ · ‖m definita in (A.10); quindi vale anchelimh→0

‖Tx ((δhϕ) )− Tx ((ϕ′ ) ) ‖m = 0.

Ora si haδh (Λ ∗ ϕ) (x) =

(per il Lemma A.32)= (Λ ∗ (δhϕ)) (x) =

(per definizione di convoluzione)

= 〈Λ, Tx ((δhϕ) )〉(x).Passando al limite per h che tende a zero e ricordando l’Osservazione A.28,otteniamo

d

dx(Λ ∗ ϕ) (x) = (Λ ∗ ϕ′)(x).

D’altra parte, applicando Λ ad ambo i membri della seguente identita

Tx ((ϕ′) ) = − (Txϕ)′ ,

otteniamo(Λ ∗ ϕ′)(x) = −〈Λ, (Txϕ)′〉 =

(per definizione di derivata di Λ)

= (DΛ ∗ ϕ) (x).Un procedimento induttivo conclude la prova del primo punto.

ii) PoniamoK = supp(Λ), H = supp(ϕ)

e osserviamo chesupp(Txϕ) = x−H.

Allora basta osservare che, per definizione,

(Λ ∗ ϕ) (x) = 〈Λ, T−xϕ〉 = 0se K ∩ (x−H) = ∅, ossia se

x /∈ (supp(Λ) + supp(ϕ)) . (A.18)

iii) nel caso in cui Λ = Λu con u ∈ L1loc, la tesi e immediata conseguenza del

Teorema di Fubini. Per il caso generale rimandiamo a Rudin [144], Teorema6.30. 2


A.3.4 Mollificatori

Ogni distribuzione puo essere approssimata con funzioni di classe C∞ permezzo dei cosiddetti mollificatori. Poniamo

�(x) =

{c exp

(− 1

1−x2)

se |x| < 1,0 se |x| ≥ 1,

dove c e una costante scelta in modo tale che∫R

�(x)dx = 1,

e definiamo�n(x) = n� (nx) , n ∈ N.

La successione (�n) ha le seguenti proprieta tipiche delle cosiddette approssi-mazioni dell’identita e sulle quali si basano i risultati seguenti: per ogni n ∈ Nvale

i) �n ∈ C∞0 (R);ii) �n(x) = 0 per |x| ≥ 1

n ;iii)

∫R�n(x)dx = 1.

Le funzioni �n sono chiamate mollificatori di Friedrics [66]: se Λ ∈ D′(R), laconvoluzione

Λn(x) := (Λ ∗ �n)(x), x ∈ R,e chiamata regolarizzazione o mollificazione di Λ. Il seguente teorema riassu-me le proprieta principali delle mollificazioni: nell’enunciato Λn, un indicanorispettivamente le regolarizzazioni di Λ e u.

Teorema A.33. Se Λ ∈ D′(R) allorai) Λn ∈ C∞(R);ii) vale

supp(Λn) ⊆ {x | dist(x, supp(Λ)) ≤ 1/n} , (A.19)

e in particolare se Λ ha supporto compatto allora Λn ∈ C∞0 (R);iii) se u ∈ C allora ‖un‖∞ ≤ ‖u‖∞ e (un) converge uniformemente sui

compatti a u;iv) se u ∈ Lp, con 1 ≤ p <∞, allora ‖un‖p ≤ ‖u‖p e (un) converge in norma

Lp a u;v) per ogni n, k ∈ N vale

Λ(k)n =

(DkΛ

)n

(A.20)

e di conseguenza si ha:

v-a) se u ∈ Ck allora u(k)n converge a u(k) uniformemente sui compatti;

v-b) se u ∈W k,p allora Dkun converge in norma Lp a Dku;

486 Appendice

vi) Λn converge a Λ nel senso delle distribuzioni, ossia

limn→∞

〈Λn, ϕ〉 = 〈Λ, ϕ〉,

per ogni ϕ ∈ C∞0 .

Dimostrazione. Le proprieta i) e ii) seguono direttamente dal Teorema A.31:in particolare la (A.19) segue dalla (A.18).

iii) Sia u ∈ C con ‖u‖∞ finita: si ha

|un(x)| ≤∫R

�n(x− y)|u(y)|dy ≤ ‖u‖∞∫R

�n(x− y)dy = ‖u‖∞.

Inoltre, per x appartenente ad un compatto, si ha

|un(x) − u(x)| ≤∫R

�n(x− y)|u(y) − u(x)|dy

≤ max|x−y|≤1/n

|u(y) − u(x)|∫R

�n(x − y)dy

= max|x−y|≤1/n

|u(y) − u(x)|,

da cui la tesi.

iv) Se u ∈ Lp vale

|un(x)| ≤∫R

�n(x− y)|u(y)|dy ≤

(per la disuguaglianza di Holder, con p, q esponenti coniugati)

≤(∫

R

�n(x− y)dy

) 1q(∫

R

�n(x− y)|u(y)|pdy) 1

p

=

(∫R

�n(x− y)|u(y)|pdy) 1

p

,

da cui segue che

‖un‖pp ≤∫R

∫R

�n(x− y)|u(y)|pdydx =∫R

|u(y)|pdy.

Con passaggi analoghi si prova che

‖un − u‖pp ≤∫R

(∫R

�n(x− y)|u(y) − u(x)|dy)p

dx ≤


A.4 Trasformata di Fourier 487

≤∫R

∫R

�n(x− y)|u(y) − u(x)|pdydx =∫R

�n(z)

∫R

|u(x− z) − u(x)|pdzdx,

e la tesi segue dal teorema della convergenza dominata di Lebesgue e dallacontinuita in media Lp, ossia dal fatto12 che

limz→0

∫R

|u(x− z) − u(x)|pdz = 0;

v) la (A.20) segue dalla (A.16);

vi) si ha〈Λ, ϕ〉 = (Λ ∗ ϕ)(0) =

(per il punto v)-a)= limn→∞

(Λ ∗ (�n ∗ ϕ))(0) =

(per il Teorema A.31-iii))

= limn→∞

((Λ ∗ �n) ∗ ϕ)(0) = limn→∞

〈Λn, ϕ〉.

2

A.4 Trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier di una funzione f ∈ L1(RN) e definita nel modoseguente:

f : RN −→ C, f(ξ) :=

∫RN

ei〈ξ,x〉f(x)dx, ξ ∈ RN . (A.21)

Talvolta useremo anche la notazione F(f) = f . Analogamente, data una mi-sura finita μ su RN , si definisce la trasformata di Fourier di μ nel modoseguente:

μ : RN −→ C, μ(ξ) :=

∫RN

ei〈ξ,x〉μ(dx), ξ ∈ RN . (A.22)

Come conseguenza della definizione si ha che f e una funzione limitata,continua e che tende a zero all’infinito. Vale infatti la seguente proposizione.

Proposizione A.34. Se f ∈ L1(RN ) e μ e una misura finita allora

i) |f(ξ)| ≤ ‖f‖L1(RN ) e |μ(ξ)| ≤ 1;ii) f , μ ∈ C(RN );

12 La continuita in media si prova senza difficolta utilizzando la densita delle funzionitest in Lp: per i dettagli rimandiamo, per esempio, Brezis [26].

488 Appendice

iii) lim|ξ|→+∞

f(ξ) = lim|ξ|→+∞

μ(ξ) = 0.

Osservazione A.35. Si noti che in generale la trasformata di Fourier di unafunzione sommabile (o di una misura finita) non e sommabile. Per esem-pio si provi a calcolare la trasformata di Fourier della funzione indicatricedell’intervallo [−1, 1]. 2

Ricordiamo che l’operazione di convoluzione di due funzioni f, g ∈ L1(RN ) edefinita da

(f ∗ g)(x) =∫RN

f(x − y)g(y)dy, x ∈ RN , (A.23)

e vale f ∗ g ∈ L1(RN ). Infatti

‖f ∗ g‖L1(RN ) ≤∫RN

∫RN|f(x − y)g(y)|dydx =

(scambiando l’ordine di integrazione)

=

∫RN

∫RN|f(x − y)g(y)|dxdy = ‖f‖L1(RN )‖g‖L1(RN).

Il seguente teorema riassume alcune notevoli proprieta della trasformata diFourier.

Teorema A.36. Siano f, g ∈ L1(RN). Allora si ha:

i) F(f ∗ g) = F(f)F(g);ii) se esiste ∂xkf ∈ L1(RN ), allora

F(∂xkf)(ξ) = −iξkF(f)(ξ); (A.24)

iii) se xkf ∈ L1(RN) allora esiste ∂ξk f e vale

∂ξk f(ξ) = F(ixkf)(ξ). (A.25)

Dimostrazione. i) Si ha

f(ξ)g(ξ) =

∫ei〈ξ,w〉f(w)dw

∫ei〈ξ,y〉g(y)dy =

∫∫ei〈ξ,w+y〉f(w)g(y)dwdy =

(col cambio di variabile x = y +w)

=

∫ei〈ξ,x〉

∫f(x − y)g(y)dy dx.

ii) Per semplicita proviamo la (A.24) solo nel caso N = 1:

F(f ′)(ξ) =∫

eixξf ′(x)dx =

A.4 Trasformata di Fourier 489

(integrando per parti13)

= −∫

d

dxeixξf(x)dx = −iξF(f)(ξ).

iii) Ancora nel caso N = 1, consideriamo il rapporto incrementale

R(ξ, δ) =f(ξ + δ)− f(ξ)

δ, δ ∈ R \ {0}.

Dobbiamo provare che

limδ→0

R(ξ, δ) = F(ixf)(ξ).

Osserviamo che

R(ξ, δ) =

∫eixξ

eixδ − 1δ

f(x)dx

e che, per il Teorema del valor medio, si ha∣∣∣∣eixδ − 1δf(x)

∣∣∣∣ ≤ |xf(x)| ∈ L1(R)

per ipotesi. Possiamo allora applicare il Teorema della convergenza dominata,ed essendo

limδ→0

eixδ − 1δ

= ix,

otteniamo

limδ→0

R(ξ, δ) =

∫eixξixf(x)dx

da cui la tesi. 2

Riportiamo infine, senza prova, un risultato sull’inversione della trasfor-mata di Fourier.

Teorema A.37. Siano f ∈ L1(RN) e μ una misura finita. Se f ∈ L1(RN )allora

f(x) =1

(2π)N

∫RN

e−i〈x,ξ〉f(ξ)dξ.

Analogamente se μ ∈ L1(RN ) allora μ ha densita g ∈ C(RN ) e vale

g(x) =1

(2π)N

∫RN

e−i〈x,ξ〉μ(ξ)dξ. (A.26)

13 Questo passaggio si puo formalizzare approssimando f con funzioni C∞0 .

490 Appendice

A.5 Convergenza di variabili aleatorie

In questo paragrafo richiamiamo le principali nozioni di convergenza di va-riabili aleatorie. Consideriamo una successione (Xn)n∈N di variabili aleatoriereali su uno spazio di probabilita (Ω,F , P ):i) (Xn) converge quasi sicuramente a X se vale

P(limn→∞

Xn = X)= 1,

ossia se l’evento{ω | lim

n→∞Xn(ω) = X(ω)}

ha probabilita uno. In tal caso scriviamo

Xnq.s.−−−→ X.

ii) (Xn) converge in probabilita a X se per ogni ε > 0 vale

limn→∞

P (|Xn −X| > ε) = 0;

in tal caso scriviamoXn

P−−→ X.

iii) (Xn) converge in Lp a X se vale

limn→∞

E [|Xn −X|p] = 0.

In tal caso scriviamoXn

Lp−−−→ X.

Il seguente risultato riassume le relazioni fra i diversi tipi di convergenza.

Teorema A.38. Valgono le seguenti implicazioni:

i) se Xnq.s.−−−→ X allora Xn

P−−→ X;

ii) se XnLp−−−→ X allora Xn

P−−→ X;

iii) se XnP−−→ X allora esiste una sotto-successione (Xkn) tale che Xkn

q.s.−−−→X.

In generale non sussistono altre implicazioni.

Consideriamo ora una successione (Xn) di variabili aleatorie, non necessa-riamente definite sullo stesso spazio di probabilita, e indichiamo con μXn ladistribuzione di Xn per ogni n ∈ N. Ricordiamo che una successione di distri-buzioni (μn) e, per definizione, convergente debolmente alla distribuzione μse vale

limn→∞

∫R

ϕdμn =

∫R

ϕdμ, ∀ϕ ∈ Cb(R),

dove Cb(R) indica la famiglia delle funzioni continue e limitate.

A.5 Convergenza di variabili aleatorie 491

Definizione A.39. Una successione di v.a. (Xn) converge in distribuzione (oin legge) a una v.a. X se la corrispondente successione delle distribuzioni (μn)converge debolmente a μX. In tal caso scriviamo

Xnd−−→ X.

Osservazione A.40. La convergenza in distribuzione di variabili aleatorie edefinita solo in termini della convergenza delle rispettive distribuzioni e diconseguenza non e necessario che le v.a. siano definite sullo stesso spazio diprobabilita. Se indichiamo con (Ωn, Pn,Fn) lo spazio di probabilita su cui edefinita la v.a. Xn e con (Ω, P,F) lo spazio di probabilita su cui e definita X,allora e chiaro che Xn

d−−→ X se e solo se

limn→∞

EPn [ϕ(Xn)] = EP [ϕ(X)] , ∀ϕ ∈ Cb(R), (A.27)

dove EPn e EP indicano i valori attesi nelle rispettive misure. 2

La seguente proposizione afferma che, fra i vari tipi di convergenza, quella indistribuzione e la piu debole.

Proposizione A.41. Se XnP−−→ X allora Xn

d−−→ X.

Esercizio A.42. Sia (Xn) una successione di v.a. sullo spazio (Ω,F , P ) taleche Xn

d−−→ X con X costante. Provare che allora XnP−−→ X.

Dimostrazione (Risoluzione). Per assurdo, supponiamo che (Xn) non converga a Xin probabilita: allora, dato ε > 0, esistono δ > 0 e una sotto-successione (Xkn) taliche

P (|Xkn −X | > ε) ≥ δ, ∀n ∈ N.Per ipotesi, per ogni ϕ ∈ Cb, si ha

limn→∞

E [ϕ(Xn)] = ϕ(X).

In particolare, consideriamo ϕ ∈ Cb, positiva e monotona crescente: allora per nabbastanza grande, si ha

ϕ(X) + 1 ≥ E [ϕ(Xkn )] ≥∫{|Xkn−X|>ε}

ϕ(Xkn)dP

≥ ϕ(X − ε)P (|Xkn −X | > ε) ≥ δϕ(X − ε),e questo e assurdo data l’arbitrarieta di ϕ. 2

A.5.1 Funzione caratteristica e convergenza

Ricordiamo la Definizione 2.82 di funzione caratteristica di una variabilealeatoria X:

ϕX(ξ) = E[ei〈ξ,X〉

], ξ ∈ RN .

492 Appendice

Enunciamo, senza dimostrazione14, il seguente importante risultato che affer-ma l’equivalenza della convergenza in distribuzione di una successione di v.a.e della convergenza puntuale delle relative funzioni caratteristiche.

Teorema A.43 (di Levy). Siano (Xn) e (ϕXn) rispettivamente una suc-cessione di v.a. in RN e la corrispondente successione delle funzioni caratte-ristiche. Allora:

i) se Xnd−−→ X dove X e una certa v.a., allora

limn→∞

ϕXn(ξ) = ϕX(ξ), ∀ξ ∈ RN ;

ii) se limn→∞

ϕXn(ξ) esiste per ogni ξ ∈ RN e la funzione ϕ definita da

ϕ(ξ) = limn→∞

ϕXn(ξ), ξ ∈ RN ,

e continua nell’origine, allora ϕ e la funzione caratteristica di una v.a. X

e si ha Xnd−−→ X.

Come applicazione del teorema precedente proviamo alcuni ben notirisultati. Premettiamo il seguente:

Lemma A.44. Sia X una v.a. reale in Lp(Ω, P ) ossia tale che E [|X|p] <∞per un p ∈ N. Allora vale il seguente sviluppo asintotico

ϕX(ξ) =

p∑k=0

(iξ)k

k!E

[Xk

]+ o(ξp), per ξ → 0. (A.28)

Per la definizione del simbolo o(·), si veda la nota a pag.111.

Dimostrazione. Sviluppando in serie di Taylor di punto iniziale ξ = 0 conresto di Lagrange, si ha

eiξX =

p−1∑k=0

(iξ)k

k!Xk +

(iξX)p

p!eiθξX =

(dove θ e una v.a. tale che |θ| ≤ 1)

=

p−1∑k=0

(iξ)k

k!Xk +

(iξ)p

p!(Xp +Wp(ξ)),

posto Wp(ξ) = Xp(eiθξX − 1). Calcolando il valore atteso si ottiene

ϕX(ξ) −p∑k=0

(iξ)k

k!E

[Xk

]=(iξ)p

p!E [Wp] = o(ξ

p) per ξ → 0,

14 Si veda, per esempio, Shiryaev [151], Cap.III-3, oppure Williams [169], Cap. 18.


poichelimξ→0

E [Wp(ξ)] = 0. (A.29)

La (A.29) e conseguenza del Teorema della convergenza dominata di Lebesgue:infatti Wp(ξ) = Xp(eiθξX − 1)→ 0 per ξ → 0 e

|Wp(ξ)| ≤ 2|X|p ∈ L1(Ω, P )

per ipotesi. 2

Teorema A.45 (Legge dei grandi numeri). Sia (Xn) una successione divariabili aleatorie i.i.d. con E [|X1|] <∞. Posto μ = E [X1] e

Mn =X1 + · · ·+Xn

n,

si haMn

P−−→ μ.

Dimostrazione. Utilizziamo il Teorema di Levy e consideriamo, la successionedelle funzioni caratteristiche

ϕMn(η) = E[eiηMn

]=

(poiche le v.a. Xn sono i.i.d.)

=(E

[ei

ηX1n

])n=

(per il Lemma A.44, applicato con p = 1 e ξ = ηn )

=

(1 +

iημ

n+ o

(1

n

))n−→ eiημ,

per n→ ∞. Poiche η �→ eiημ e la trasformata di Fourier della Delta di Dirac

δμ concentrata in μ, il Teorema di Levy implica che Mnd−−→ μ. La tesi e

conseguenza dell’Esercizio A.42. 2

Osservazione A.46. Nell’ipotesi ulteriore che X1 abbia matrice di covarianzafinita, e possibile dare una prova diretta ed elementare della legge dei grandinumeri basata sulla disuguaglianza di Markov, Proposizione 2.42. Consideria-mo per semplicita solo il caso uno-dimensionale e poniamo σ2 := var(X1):vale

P (|Mn − μ| ≥ ε) ≤ var(Mn)

ε2=

(poiche le variabili aleatorie sono i.i.d.)

=nvar

(X1

n

)ε2

=σ2

nε2. (A.30)

494 Appendice

La (A.30) fornisce anche una stima esplicita della velocita di convergenza:infatti si riscrive equivalentemente nella forma

P (|Mn − μ| ≤ ε) ≥ 1− σ2

nε2.

Allora, fissata una probabilita p ∈]0, 1[, vale

P

(|Mn − μ| ≤ σ√

n(1− p)

)≥ p.

In altri termini, per ogni n, la differenza fraMn e μ e, con probabilita maggioredi p, minore di C√

ncon C = σ√

1−p . 2

Osservazione A.47. Ricordiamo la Legge forte dei grandi numeri che affermache, nelle ipotesi del teorema precedente, la successione converge in senso piuforte:

limn→∞

Mn = μ

quasi sicuramente e in media L1(Ω, P ). 2

Abbiamo visto che, se X1 ha varianza finita, allora Mn − μ tende a zeroper n→∞ con velocita dell’ordine di 1√

n. E lecito chiedersi se esiste e quanto

valga il limitelimn→∞

√n (Mn − μ) .

A questo risponde il seguente

Teorema A.48 (del limite centrale). Sia (Xn) una successione di v.a.reali i.i.d. con σ2 = var(X1) <∞. Posto al solito

Mn =X1 + · · ·+Xn

n, μ = E [X1] ,

consideriamo la successione definita da

Gn =√n

(Mn − μ

σ

), n ∈ N.

AlloraGn

d−−→ Z, con Z ∼ N0,1.

In particolare, per ogni x ∈ R, si ha

limn→∞

P (Gn ≤ x) = Φ(x),

dove Φ e la funzione di distribuzione normale standard in (2.19).


Dimostrazione. Volendo utilizzare il Teorema di Levy, studiamo la convergen-za della successione delle funzioni caratteristiche:

ϕGn(η) = E[eiηGn

]=

(poiche le v.a. Gn sono i.i.d.)

=(E

[eiη

X1−μσ√n

])n=

(applicando il Lemma A.44 con ξ = η√ne p = 2)

=

(1− η2

2n+ o

(1

n

))−→ e−

η2

2 , per n→∞,

per ogni η ∈ R. Poiche e− η2

2 e la funzione caratteristica di una v.a. normalestandard, la tesi segue dal Teorema A.43. 2

Osservazione A.49. La versione N -dimensionale del teorema precedente affer-ma che se (Xn) e una successione di v.a. in RN i.i.d. con matrice di covarianzaC finita, allora √

n (Mn − μ)d−−→ Z

con Z v.a. multi-normale, Z ∼ N0,C. 2

A.5.2 Uniforme integrabilita

Introduciamo il concetto di famiglia uniformemente integrabile di variabilialeatorie. Tale nozione permette di caratterizzare la convergenza in L1 ede uno strumento naturale per lo studio della convergenza di successioni dimartingale.

Definizione A.50. Una famiglia X di variabili aleatori sommabili su unospazio (Ω,F , P ) si dice uniformemente integrabile se vale

limR→+∞

supX∈X

∫{|X|≥R}

|X|dP = 0.

Una famiglia costituita da una sola v.a. X ∈ L1(Ω, P ) e uniformementeintegrabile, poiche ∫

{|X|≥R}|X|dP ≥ RP (|X| ≥ R)

da cui

P (|X| ≥ R) ≤ ‖X‖1R

−−−−−→R→+∞

0,

e, per il Teorema della convergenza dominata,

496 Appendice ∫{|X|≥R}

|X|dP −−−−−→R→+∞

0.

Analogamente e uniformemente integrabile ogni famiglia X di v.a. per cuiesiste Z ∈ L1(Ω, P ) tale che |X| ≤ Z per ogni X ∈ X .Il seguente notevole risultato estende il Teorema della convergenza domi-

nata di Lebesgue.

Teorema A.51. Sia (Xn) una successione di v.a. in L1(Ω, P ), convergentepuntualmente q.s. alla v.a. X. Allora (Xn) converge in norma L1 a X se esolo se e uniformemente integrabile.

Per la dimostrazione del Teorema A.51 e della proposizione seguente si veda,per esempio, [150].

Proposizione A.52. Una famiglia di v.a. sommabili X e uniformementeintegrabile se e solo se esiste una funzione crescente, convessa e positiva

g : R+ −→ R

tale che

limx→∞

g(x)

x= +∞, e sup

X∈XE [g(|X|)] <∞.

Osserviamo che dalla Proposizione A.52 segue in particolare che ogni famiglialimitata15 in Lp, per un p > 1, e uniformemente integrabile. D’altra partee facile costruire una successione di v.a. con norma L1 pari a uno, che nonconverge in L1.Il seguente risultato ha importanti applicazioni alla teoria delle martingale.

Corollario A.53. Sia X ∈ L1(Ω, P ). Allora la famiglia costituita da E [X | G],al variare delle sotto-σ-algebre G di F , e uniformemente integrabile.

Dimostrazione. La v.a. X costituisce una famiglia uniformemente integrabi-le e quindi esiste una funzione g che gode delle proprieta enunciate nellaProposizione A.52. Allora, per la disuguaglianza di Jensen, si ha

E [g(|E [X | G] |)] ≤ E [E [g(|X|) | G]] = E [g(|X|)] <∞,

e la tesi segue dalla Proposizione A.52. 2

15 Tale chesupX∈X

E [|X |p] <∞.

A.6 Separazione di convessi 497

A.6 Separazione di convessi

In questa sezione proviamo un semplice risultato di separazione dei convessiin dimensione finita che si utilizza nella prova dei teoremi fondamentali dellavalutazione.

Teorema A.54. Sia C un sottoinsieme di RN convesso, chiuso e non conte-nente l’origine. Allora esiste ξ ∈ C tale che

|ξ|2 ≤ 〈x, ξ〉, ∀x ∈ C .

Dimostrazione. Poiche C e chiuso, esiste ξ ∈ C che realizza la distanza di Cdall’origine, ossia vale

|ξ| ≤ |x|, ∀x ∈ C .Poiche C e convesso, abbiamo

ξ + t(x− ξ) ∈ C , ∀t ∈ [0, 1],

e quindi

|ξ|2 ≤ |ξ + t(x− ξ)|2 = |ξ|2 + 2t〈ξ, x− ξ〉 + t2|x− ξ|2.

Semplificando, per t > 0 otteniamo

0 ≤ 2〈ξ, x− ξ〉+ t|x− ξ|2,

e a limite, per t→ 0+, abbiamo la tesi. 2

Corollario A.55. Sia K un sottoinsieme di RN convesso e compatto. Sia Vun sotto-spazio vettoriale di RN tale che V ∩K = ∅. Allora esiste ξ ∈ RNtale che

〈ξ, x〉 = 0 ∀x ∈ V , e 〈ξ, x〉 > 0 ∀x ∈K .

Dimostrazione. L’insieme

K − V = {x− y | x ∈K , y ∈ V }

e convesso, chiuso16 e non contiene l’origine. Allora per il Teorema A.54 esisteξ ∈ RN \ {0} tale che

|ξ|2 ≤ 〈x− y, ξ〉, x ∈K , y ∈ V .

Poiche V e uno spazio vettoriale, ne segue

|ξ|2 ≤ 〈x, ξ〉 − t〈y, ξ〉

per ogni x ∈ K , y ∈ V e t ∈ R. Cio e possibile solo se 〈y, ξ〉 = 0 per ogniy ∈ V e questo conclude la prova. 2

16 Per provare che K − V e chiuso si utilizza l’ipotesi che K e compatto: lasciamoper esercizio i dettagli della prova.

Bibliografia

[1] Yves Achdou and Olivier Pironneau. Computational Methods for OptionPricing. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2005.

[2] Robert A. Adams. Sobolev spaces. Academic Press [A subsidiary ofHarcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1975. Pureand Applied Mathematics, Vol. 65.

[3] Jean-Pascal Ansel and Christophe Stricker. Lois de martingale, densiteset decomposition de Follmer-Schweizer. Ann. Inst. H. Poincare Probab.Statist., 28(3):375–392, 1992.

[4] D. G. Aronson. Bounds for the fundamental solution of a parabolicequation. Bull. Amer. Math. Soc., 73:890–896, 1967.

[5] Marco Avellaneda and Peter Laurence. Quantitative modeling of deri-vative securities. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2000. Fromtheory to practice.

[6] L. Bachelier. Theorie de la speculation. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.(3), 17:21–86, 1900.

[7] Vlad Bally. An elementary introduction to Malliavin calculus.http://www.inria.fr/rrrt/rr-4718.html, 2007.

[8] Vlad Bally, Lucia Caramellino, and Antonino Zanette. Pricing andhedging American options by Monte Carlo methods using a Malliavincalculus approach. Monte Carlo Methods Appl., 11(2):97–133, 2005.

[9] G. Barles. Convergence of numerical schemes for degenerate parabolicequations arising in finance theory. In Numerical methods in finance,pages 1–21. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997.

[10] M. T. Barlow. One-dimensional stochastic differential equations withno strong solution. J. London Math. Soc. (2), 26(2):335–347, 1982.

[11] G. Barone-Adesi and R. Whaley. Efficient analytic approximation ofAmerican option values. J. of Finance, 42:301–320, 1987.

[12] J. Barraquand and D. Martineau. Numerical valuation of high dimensio-nal multivariate American securities. J. of Financial and QuantitativeAnalysis, 30:383–405, 1995.

500 Bibliografia

[13] J. Barraquand and T. Pudet. Pricing of American path-dependentcontingent claims. Math. Finance, 6(1):17–51, 1996.

[14] E. Barucci, S. Polidoro, and V. Vespri. Some results on partial diffe-rential equations and Asian options. Math. Models Methods Appl. Sci.,11(3):475–497, 2001.

[15] Denis R. Bell. The Malliavin calculus. Dover Publications Inc., Mineola,NY, 2006. Reprint of the 1987 edition.

[16] A. Bensoussan. On the theory of option pricing. Acta Appl. Math.,2(2):139–158, 1984.

[17] Alain Bensoussan and Jacques-Louis Lions. Applications of variationalinequalities in stochastic control, volume 12 of Studies in Mathematicsand its Applications. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1982.Translated from the French.

[18] Fred Espen Benth. Option theory with stochastic analysis. Universitext.Springer-Verlag, Berlin, 2004. An introduction to mathematical finance,Revised edition of the 2001 Norwegian original.

[19] S. Biagini, M. Frittelli, and G. Scandolo. Duality in MathematicalFinance. Springer, Berlin, 2008.

[20] T. Bjork. Arbitrage theory in continuous time. Second edition. OxfordUniversity Press, Oxford, 2004.

[21] F. Black and M. Scholes. The pricing of options and corporate liabilities.J. Political Economy, 81:637–654, 1973.

[22] Bruno Bouchard, Ivar Ekeland, and Nizar Touzi. On the Malliavinapproach to Monte Carlo approximation of conditional expectations.Finance Stoch., 8(1):45–71, 2004.

[23] Nicolas Bouleau and Dominique Lepingle. Numerical methods for sto-chastic processes. Wiley Series in Probability and Mathematical Stati-stics: Applied Probability and Statistics. John Wiley & Sons Inc., NewYork, 1994. , A Wiley-Interscience Publication.

[24] D. T. Breeden and R. H. Litzenberger. Prices of state-contingent claimsimplicit in option prices. J. Business, 51(4):621–651, 1978.

[25] M. J. Brennan and E. S. Schwartz. The valuation of the American putoption. J. of Finance, 32:449–462, 1977.

[26] Haım Brezis. Analisi funzionale. Liguori Editore, Napoli, 1983. Teoriae applicazioni.

[27] P. Carr and D. Faguet. Valuing finite lived options as perpetual. MorganStanley working paper, 1996.

[28] Kai Lai Chung. A course in probability theory. Academic Press Inc.,San Diego, CA, third edition, 2001.

[29] Rama Cont. Model uncertainty and its impact on the pricing ofderivative instruments. Math. Finance, 16(3):519–547, 2006.

[30] F. Corielli and A. Pascucci. Parametrix approximation for option prices.preprint, disponibile su http://www.dm.unibo.it/∼pascucci/, 2007.

[31] J. Cox, S. Ross, and M. Rubinstein. Option pricing: a simplifiedapproach. J. Financial Econ., 7(229–264), 1979.

Bibliografia 501

[32] J. Crank and P. Nicolson. A practical method for numerical evaluationof solutions of partial differential equations of the heat-conduction type.Proc. Cambridge Philos. Soc., 43:50–67, 1947.

[33] Rose-Anne Dana and Monique Jeanblanc. Financial markets in conti-nuous time. Springer Finance. Springer-Verlag, Berlin, 2003. Translatedfrom the 1998 French original by Anna Kennedy.

[34] F. Delbaen and W. Schachermayer. The fundamental theorem of assetpricing for unbounded stochastic processes. Math. Ann., 312(2):215–250,1998.

[35] Freddy Delbaen. Representing martingale measures when asset pricesare continuous and bounded. Math. Finance, 2(2):107–130, 1992.

[36] Freddy Delbaen and Walter Schachermayer. A general version of thefundamental theorem of asset pricing. Math. Ann., 300(3):463–520,1994.

[37] Freddy Delbaen and Walter Schachermayer. The existence of absolutelycontinuous local martingale measures. Ann. Appl. Probab., 5(4):926–945, 1995.

[38] Freddy Delbaen and Walter Schachermayer. The no-arbitrage propertyunder a change of numeraire. Stochastics Stochastics Rep., 53(3-4):213–226, 1995.

[39] Freddy Delbaen and Walter Schachermayer. Non-arbitrage and the fun-damental theorem of asset pricing: summary of main results. In Intro-duction to mathematical finance (San Diego, CA, 1997), volume 57 ofProc. Sympos. Appl. Math., pages 49–58. Amer. Math. Soc., Providence,RI, 1999.

[40] Freddy Delbaen and Walter Schachermayer. The mathematics ofarbitrage. Springer Finance. Springer-Verlag, Berlin, 2006.

[41] M. A. H. Dempster and J. P. Hutton. Pricing American stock optionsby linear programming. Math. Finance, 9(3):229–254, 1999.

[42] Marco Di Francesco and Andrea Pascucci. On a class of degenerate para-bolic equations of Kolmogorov type. AMRX Appl. Math. Res. Express,3:77–116, 2005.

[43] Marco Di Francesco, Andrea Pascucci, and Sergio Polidoro. The obstacleproblem for a class of hypoelliptic ultraparabolic equations. apparira suProc. R. Soc. Lond. A, 2007.

[44] Emmanuele DiBenedetto. Partial differential equations. BirkhauserBoston Inc., Boston, MA, 1995.

[45] Wolfgang Doeblin. Sur l’equation de Kolmogoroff. C. R. Acad. Sci.Paris, 210:365–367, 1940.

[46] Wolfgang Doeblin. Sur l’equation de Kolmogoroff. C. R. Acad. Sci.Paris Ser. I Math., 331(Special Issue):1059–1128, 2000. Avec notes delecture du pli cachete par Bernard Bru. [With notes on reading thesealed folder by Bernard Bru], Sur l’equation de Kolmogoroff, par W.Doeblin.

502 Bibliografia

[47] Michael U. Dothan. Prices in financial markets. The Clarendon PressOxford University Press, New York, 1990.

[48] Darrell Duffie. Dynamic asset pricing theory. 3rd ed. Princeton, NJ:Princeton University Press. xix, 465 p., 2001.

[49] B. Dumas, J. Fleming, and R. E. Whaley. Implied volatility functions:empirical tests. J. Finance, 53:2059–2106, 1998.

[50] Bruno Dupire. Pricing and hedging with smiles. In Mathematics of de-rivative securities (Cambridge, 1995), volume 15 of Publ. Newton Inst.,pages 103–111. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997.

[51] R. Durrett. Brownian motion and martingales in analysis. Ed.Wadsworth Advance Book & Softer, 1984.

[52] Richard Durrett. Probability: theory and examples. Duxbury Press,Belmont, CA, second edition, 1996.

[53] A. Einstein. On the movement of small particles suspended in a statio-nary liquid demanded by molecular kinetic theory of heat. Ann. Phys.,17, 1905.

[54] Robert J. Elliott and P. Ekkehard Kopp. Mathematics of financialmarkets. Springer Finance. Springer-Verlag, New York, second edition,2005.

[55] T. W. Epps. Pricing derivative securities. World Scientific, Singapore,2000.

[56] L. C. Evans. Partial differential equations. Graduate studies inMathematics, Volume 19, American Mathematical Society, 1997.

[57] Wendell H. Fleming and H. Mete Soner. Controlled Markov processesand viscosity solutions, volume 25 of Stochastic Modelling and AppliedProbability. Springer, New York, second edition, 2006.

[58] Gerald B. Folland. Real analysis. Pure and Applied Mathematics (NewYork). John Wiley & Sons Inc., New York, second edition, 1999. Moderntechniques and their applications, A Wiley-Interscience Publication.

[59] Hans Follmer and Alexander Schied. Stochastic Finance. An Introduc-tion in Discrete Time. Gruyter Studies in Mathematics 27, Walter deGruyter, Berlin, New York, second edition, 2002.

[60] Paolo Foschi and Andrea Pascucci. Path dependent volatility. apparirain Decis. Econ. Finance, 2007.

[61] Eric Fournie, Jean-Michel Lasry, Jerome Lebuchoux, and Pierre-LouisLions. Applications of Malliavin calculus to Monte-Carlo methods infinance. II. Finance Stoch., 5(2):201–236, 2001.

[62] Eric Fournie, Jean-Michel Lasry, Jerome Lebuchoux, Pierre-Louis Lions,and Nizar Touzi. Applications of Malliavin calculus to Monte Carlomethods in finance. Finance Stoch., 3(4):391–412, 1999.

[63] Avner Friedman. Partial differential equations of parabolic type.Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1964.

[64] Avner Friedman. Parabolic variational inequalities in one space di-mension and smoothness of the free boundary. J. Functional Analysis,18:151–176, 1975.

Bibliografia 503

[65] Avner Friedman. Variational principles and free-boundary problems.Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., Malabar, FL, second edition,1988.

[66] K. O. Friedrics. The identity of weak and strong extensions of differentialoperators. Trans. AMS, 55:132–151, 1944.

[67] Marco Frittelli and Peter Lakner. Almost sure characterization ofmartingales. Stochastics Stochastics Rep., 49(3-4):181–190, 1994.

[68] Peter K. Friz. An introduction to Malliavin Calculus.http://www.statslab.cam.ac.uk/∼peter, 2005.

[69] Dariusz Gatarek and Andrzej Swiech. Optimal stopping in Hilbertspaces and pricing of American options. Math. Methods Oper. Res.,50(1):135–147, 1999.

[70] David Gilbarg and Neil S. Trudinger. Elliptic partial differential equa-tions of second order. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin,2001. Reprint of the 1998 edition.

[71] Paul Glasserman. Monte Carlo methods in financial engineering, vo-lume 53 of Applications of Mathematics (New York). Springer-Verlag,New York, 2004. Stochastic Modelling and Applied Probability.

[72] Charles A. Hall and Thomas A. Porsching. Numerical analysis of partialdifferential equations. Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1990.

[73] Houde Han and Xiaonan Wu. A fast numerical method for theBlack-Scholes equation of American options. SIAM J. Numer. Anal.,41(6):2081–2095 (electronic), 2003.

[74] J. Michael Harrison and David M. Kreps. Martingales and arbitragein multiperiod securities markets. J. Econom. Theory, 20(3):381–408,1979.

[75] J. Michael Harrison and Stanley R. Pliska. Martingales and stochasticintegrals in the theory of continuous trading. Stochastic Process. Appl.,11(3):215–260, 1981.

[76] S. L. Heston. A closed-form solution for options with stochastic volatilitywith applications to bond and currency options. Rev. Finan. Stud.,6:327–343, 1993.

[77] David G. Hobson and L. C. G. Rogers. Complete models with stochasticvolatility. Math. Finance, 8(1):27–48, 1998.

[78] L. Hormander. Hypoelliptic second order differential equations. ActaMath., 119:147–171, 1967.

[79] Chi-fu Huang and Robert H. Litzenberger. Foundations for financialeconomics. North-Holland Publishing Co., New York, 1988.

[80] Nobuyuki Ikeda and Shinzo Watanabe. Stochastic differential equa-tions and diffusion processes, volume 24 of North-Holland MathematicalLibrary. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, second edition,1989.

[81] J. E. Ingersoll. Theory of Financial Decision Making. Blackwell, Oxford,1987.

504 Bibliografia

[82] Kiyosi Ito. On stochastic processes. I. (Infinitely divisible laws ofprobability). Jap. J. Math., 18:261–301, 1942.

[83] Kiyosi Ito. Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo, 20:519–524,1944.

[84] Patrick Jaillet, Damien Lamberton, and Bernard Lapeyre. Variationalinequalities and the pricing of American options. Acta Appl. Math.,21(3):263–289, 1990.

[85] Lishang Jiang and Min Dai. Convergence of binomial tree methods forEuropean/American path-dependent options. SIAM J. Numer. Anal.,42(3):1094–1109 (electronic), 2004.

[86] B. Jourdain and C. Martini. Approximation of American put pricesby European prices via an embedding method. Ann. Appl. Probab.,12(1):196–223, 2002.

[87] B. Jourdain and Claude Martini. American prices embedded in Euro-pean prices. Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire, 18(1):1–17,2001.

[88] Ioannis Karatzas. On the pricing of American options. Appl. Math.Optim., 17(1):37–60, 1988.

[89] Ioannis Karatzas. Optimization problems in the theory of continuoustrading. SIAM J. Control Optim., 27(6):1221–1259, 1989.

[90] Ioannis Karatzas. Lectures on the mathematics of finance, volume 8 ofCRM Monograph Series. American Mathematical Society, Providence,RI, 1997.

[91] Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve. Brownian motion andstochastic calculus, volume 113 of Graduate Texts in Mathematics.Springer-Verlag, New York, second edition, 1991.

[92] Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve. Methods of mathemati-cal finance, volume 39 of Applications of Mathematics (New York).Springer-Verlag, New York, 1998.

[93] Masasumi Kato. On positive solutions of the heat equation. NagoyaMath. J., 30:203–207, 1967.

[94] I. J. Kim. The analytic valuation of American options. Rev. FinancialStudies, 3:547–572, 1990.

[95] David Kinderlehrer and Guido Stampacchia. An introduction to va-riational inequalities and their applications, volume 31 of Classics inApplied Mathematics. Society for Industrial and Applied Mathematics(SIAM), Philadelphia, PA, 2000. Reprint of the 1980 original.

[96] Peter E. Kloeden and Eckhard Platen. Numerical solution of stochasticdifferential equations, volume 23 of Applications of Mathematics (NewYork). Springer-Verlag, Berlin, 1992.

[97] Arturo Kohatsu-Higa and Miquel Montero. Malliavin calculus in finan-ce. In Handbook of computational and numerical methods in finance, pa-ges 111–174 http://elis.sigmath.es.osaka--u.ac.jp/∼kohatsu/.Birkhauser Boston, Boston, MA, 2004.

Bibliografia 505

[98] Arturo Kohatsu-Higa and Miquel Montero. Malliavin calculus in finan-ce. In Handbook of computational and numerical methods in finance,pages 111–174. Birkhauser Boston, Boston, MA, 2004.

[99] Arturo Kohatsu-Higa and Roger Pettersson. Variance reduction me-thods for simulation of densities on Wiener space. SIAM J. Numer.Anal., 40(2):431–450 (electronic), 2002.

[100] A. N. Kolmogorov. Selected works. Vol. II, volume 26 of Mathema-tics and its Applications (Soviet Series). Kluwer Academic PublishersGroup, Dordrecht, 1992. Probability theory and mathematical stati-stics, With a preface by P. S. Aleksandrov, Translated from the Russianby G. Lindquist, Translation edited by A. N. Shiryayev [A. N. Shiryaev].

[101] A. N. Kolmogorov. Selected works of A. N. Kolmogorov. Vol. III. Klu-wer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1993. Edited by A. N.Shiryayev.

[102] Kolmogorov, A. N. and Fomin, S. V. Elementi di teoria delle funzionie di analisi funzionale. Ed. Mir, Mosca, 1980. IV edizione.

[103] Hiroshi Kunita and ShinzoWatanabe. On square integrable martingales.Nagoya Math. J., 30:209–245, 1967.

[104] Harold J. Kushner. Probability methods for approximations in stocha-stic control and for elliptic equations. Academic Press [Harcourt BraceJovanovich Publishers], New York, 1977. Mathematics in Science andEngineering, Vol. 129.

[105] O.A. Ladyzhenskaya and N.N. Ural’tseva. Linear and quasi-linearequations of parabolic type. Transl. Math. Monographs 23, AmericanMathematical Society, Providence, RI, 1968.

[106] Peter Lakner. Martingale measures for a class of right-continuousprocesses. Math. Finance, 3(1):43–53, 1993.

[107] Damien Lamberton. American options . in Statistics in finance, Hand,David J. (ed.) and Jacka, Saul D. (ed.) Arnold Applications of StatisticsSeries. London: Arnold. x, 340 p., 1998.

[108] Damien Lamberton and Bernard Lapeyre. Introduction to stochasticcalculus applied to finance. Chapman & Hall, London, 1996. Translatedfrom the 1991 French original by Nicolas Rabeau and Francois Mantion.

[109] Damien Lamberton and Gilles Pages. Sur l’approximation des reduites.Ann. Inst. H. Poincare Probab. Statist., 26(2):331–355, 1990.

[110] E. Lanconelli. Lezioni di Analisi Matematica 2. Pitagora EditriceBologna, 1995.

[111] E. Lanconelli. Lezioni di Analisi Matematica 2, Seconda Parte. PitagoraEditrice Bologna, 1997.

[112] E. Lanconelli and S. Polidoro. On a class of hypoelliptic evolutionoperators. Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino, 52(1):29–63, 1994.

[113] Paul Langevin. Sur la theorie du mouvement brownien. C.R. Acad. Sci.Paris, 146:530–532, 1908.

[114] E. E. Levi. Sulle equazioni lineari totalmente ellittiche alle derivateparziali. Rend. Circ. Mat. Palermo, 24:275–317, 1907.

506 Bibliografia

[115] G.M. Lieberman. Second order parabolic differential equations. WorldScientific, Singapore, 1996.

[116] Alexander Lipton. Mathematical methods for foreign exchange. WorldScientific Publishing Co. Inc., River Edge, NJ, 2001. A financialengineer’s approach.

[117] L. MacMillan. Analytic approximation for the American put price. Adv.in Futures and Options Research, 1:119–139, 1986.

[118] Paul Malliavin. Stochastic calculus of variation and hypoelliptic opera-tors. Proc. int. Symp. on stochastic differential equations, Kyoto 1976,195-263 (1978)., 1978.

[119] A.-M. Matache, P.-A. Nitsche, and C. Schwab. Wavelet Galerkin pricingof American options on Levy driven assets. Quant. Finance, 5(4):403–424, 2005.

[120] Robert C. Merton. Theory of rational option pricing. Bell J. Econom.and Management Sci., 4:141–183, 1973.

[121] Robert C. Merton. Continuous-time finance. Cambridge, MA:Blackwell. xix, 732 p. , 1999.

[122] P. A. Meyer. Probability and Potentials. Blaisdell Publishing Company,Waltham, Mass, 1966.

[123] P. A. Meyer. Un cours sur les integrales stochastiques. In Seminairede Probabilites, X (Seconde partie: Theorie des integrales stochastiques,Univ. Strasbourg, Strasbourg, annee universitaire 1974/1975), pages245–400. Lecture Notes in Math., Vol. 511. Springer, Berlin, 1976.

[124] Andrew Ronald Mitchell and D. F. Griffiths. The finite differencemethod in partial differential equations. John Wiley & Sons Ltd.,Chichester, 1980. A Wiley-Interscience Publication.

[125] Marek Musiela and Marek Rutkowski. Martingale methods in financialmodelling, volume 36 of Stochastic Modelling and Applied Probability.Springer-Verlag, Berlin, second edition, 2005.

[126] J. C. Nash. Compact numerical methods for computers. Adam Hil-ger Ltd., Bristol, second edition, 1990. Linear algebra and functionminimisation.

[127] Salih N. Neftci. Introduction to the mathematics of financial derivatives.2nd ed. Orlando, FL: Academic Press. xxvii, 527 p. , 2000.

[128] A. A. Novikov. A certain identity for stochastic integrals. Teor.Verojatnost. i Primenen., 17:761–765, 1972.

[129] David Nualart. The Malliavin calculus and related topics. Probabi-lity and its Applications (New York). Springer-Verlag, Berlin, secondedition, 2006.

[130] Daniel Ocone. Malliavin’s calculus and stochastic integral represen-tations of functionals of diffusion processes. Stochastics, 12:161–185,1984.

[131] Bernt Oksendal. An introduction to Malliavin Calculus with applica-tions to Economics. http://www.nhh.no/for/dp/1996/wp0396.pdf,1997.

Bibliografia 507

[132] Bernt Oksendal and Kristin Reikvam. Viscosity solutions of optimalstopping problems. Stochastics Stochastics Rep., 62(3-4):285–301, 1998.

[133] O. A. Oleınik and E. V. Radkevic. Second order equations withnonnegative characteristic form. Plenum Press, New York, 1973.

[134] R. E. A. C. Paley, N. Wiener, and A. Zygmund. Notes on randomfunctions. Math. Z., 37(1):647–668, 1933.

[135] Andrea Pascucci. Free boundary and optimal stopping problems forAmerican Asian options. apparira su Finance and Stochastics, 2007.

[136] S. Polidoro. On a class of ultraparabolic operators of Kolmogorov-Fokker-Planck type. Matematiche (Catania), 49(1):53–105, 1994.

[137] S. Polidoro. Uniqueness and representation theorems for solutions ofKolmogorov-Fokker-Planck equations. Rend. Mat. Appl. (7), 15(4):535–560, 1995.

[138] S. Polidoro. A global lower bound for the fundamental solution ofKolmogorov-Fokker-Planck equations. Arch. Rational Mech. Anal.,137(4):321–340, 1997.

[139] WilliamH. Press, Saul A. Teukolsky,WilliamT. Vetterling, and Brian P.Flannery. Numerical recipes in C++. Cambridge University Press,Cambridge, 2002. The art of scientific computing, Second edition,updated for C++.

[140] Philip E. Protter. Stochastic integration and differential equations,volume 21 of Applications of Mathematics (New York). Springer-Verlag, Berlin, second edition, 2004. Stochastic Modelling and AppliedProbability.

[141] P.-A. Raviart and J.-M. Thomas. Introduction a l’analyse numerique desequations aux derivees partielles. Collection Mathematiques Appliqueespour la Maıtrise. [Collection of Applied Mathematics for the Master’sDegree]. Masson, Paris, 1983.

[142] Daniel Revuz and Marc Yor. Continuous martingales and Brownianmotion, volume 293 ofGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften[Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag,Berlin, third edition, 1999.

[143] L.C.G. Rogers and Z. Shi. The value of an Asian option. J. Appl.Probab., 32(4):1077–1088, 1995.

[144] Walter Rudin. Functional analysis. International Series in Pure andApplied Mathematics. McGraw-Hill Inc., New York, second edition,1991.

[145] P.A. Samuelson. Rational theory of warrant prices. Indust. Manag.Rev., 6:13–31, 1965.

[146] Marta Sanz-Sole. Malliavin calculus. Fundamental Sciences. EP-FL Press, Lausanne, 2005. With applications to stochastic partialdifferential equations.

[147] Antoine Savine. A theory of volatility. In Recent developments in mathe-matical finance (Shanghai, 2001), pages 151–167.World Sci. Publishing,River Edge, NJ, 2002.

508 Bibliografia

[148] Martin Schweizer. Martingale densities for general asset prices. J. Math.Econom., 21(4):363–378, 1992.

[149] Ichiro Shigekawa. Stochastic analysis, volume 224 of Translations ofMathematical Monographs. American Mathematical Society, Providen-ce, RI, 2004. Translated from the 1998 Japanese original by the author,Iwanami Series in Modern Mathematics.

[150] A. N. Shiryaev. Probability, volume 95 of Graduate Texts in Mathema-tics. Springer-Verlag, New York, second edition, 1996. Translated fromthe first (1980) Russian edition by R. P. Boas.

[151] A.N. Shiryaev. Probability, volume 95 of Graduate Texts inMathematics. Springer-Verlag, New York, second edition, 1989.

[152] Steven E. Shreve. Stochastic calculus for finance. I. Springer Finance.Springer-Verlag, New York, 2004. The binomial asset pricing model.

[153] Steven E. Shreve. Stochastic calculus for finance. II. Springer Finance.Springer-Verlag, New York, 2004. Continuous-time models.

[154] A. V. Skorohod. On a generalization of the stochastic integral. Teor.Verojatnost. i Primenen., 20(2):223–238, 1975.

[155] G. D. Smith. Numerical solution of partial differential equations. OxfordApplied Mathematics and Computing Science Series. The ClarendonPress Oxford University Press, New York, third edition, 1985. Finitedifference methods.

[156] J. Michael Steele. Stochastic calculus and financial applications, volu-me 45 of Applications of Mathematics (New York). Springer-Verlag,New York, 2001.

[157] Christophe Stricker. Arbitrage et lois de martingale. Ann. Inst. H.Poincare Probab. Statist., 26(3):451–460, 1990.

[158] Daniel W. Stroock and S. R. S. Varadhan. Diffusion processes withcontinuous coefficients. I. Comm. Pure Appl. Math., 22:345–400, 1969.

[159] Daniel W. Stroock and S. R. S. Varadhan. Diffusion processes withcontinuous coefficients. II. Comm. Pure Appl. Math., 22:479–530, 1969.

[160] Daniel W. Stroock and S. R. Srinivasa Varadhan. Multidimensionaldiffusion processes, volume 233 of Grundlehren der MathematischenWissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences].Springer-Verlag, Berlin, 1979.

[161] Hiroshi Tanaka. Note on continuous additive functionals of the 1-dimensional Brownian path. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw.Gebiete, 1:251–257, 1962/1963.

[162] Domingo Tavella and Curt Randall. Pricing Financial Instruments: TheFinite Difference Method. John Wiley & Sons, 2000.

[163] A. Tychonov. Theoremes d’unicite pour l’equation de la chaleur. Math.Sbornik, 42:199–216, 1935.

[164] G. E. Uhlenbeck and L. S. Ornstein. On the theory of the Brownianmotion. Physical Review, 36:823–841, 1930.

[165] S.R.Srinivasa Varadhan. PDE in finance.http://math.nyu.edu/faculty/varadhan/, 2004.

Bibliografia 509

[166] Stephane Villeneuve and Antonino Zanette. Parabolic ADI methods forpricing American options on two stocks. Math. Oper. Res., 27(1):121–149, 2002.

[167] Albert T. Wang. Generalized Ito’s formula and additive functionalsof Brownian motion. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete,41(2):153–159, 1977/78.

[168] D. V. Widder. Positive temperatures on a semi-infinite rod. Trans.Amer. Math. Soc., 75:510–525, 1953.

[169] David Williams. Probability with martingales. Cambridge MathematicalTextbooks. Cambridge University Press, Cambridge, 1991.

[170] Paul Wilmott, Sam Howison, and Jeff Dewynne. The mathematics offinancial derivatives. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. Astudent introduction.

[171] Jerzy Zabczyk. Mathematical control theory: an introduction. Systems &Control: Foundations & Applications. Birkhauser Boston Inc., Boston,MA, 1992.

[172] Han Zhang. The Malliavin Calculus.http://web.maths.unsw.edu.au/∼mathsoc/han zhang thesis.pdf,2004.

[173] Peter G. Zhang. Exotic Options. World Scientific, second edition, 2001.[174] Xiao Lan Zhang. Numerical analysis of American option pricing in a

jump-diffusion model. Math. Oper. Res., 22(3):668–690, 1997.[175] You-lan Zhu, Xiaonan Wu, and I-Liang Chern. Derivative securities and

difference methods. Springer Finance. Springer-Verlag, New York, 2004.[176] A. K. Zvonkin. A transformation of the phase space of a diffusion process

that will remove the drift. Mat. Sb. (N.S.), 93(135):129–149, 152, 1974.

Indice analitico

(Ft), 148BV ([a, b]), 162

C[0, T ], 150

C1,2, 39

C∞0 , 476

CαP , 298

E [X | G], 55EP , 54

Lp, 24

Nμ,σ2 , 19P (· | B), 33P ∼ Q, 53PX , 21

V(2)t (·, ς), 168V[a,b](·, ς), 162Wk,p, 477

X+, 23

Ac, 317B, 16

B(C[0, T ]), 151

F (f), 487FX, 63, 177

FXt , 177

Fτ , 183Γ (t, x), 19, 40

Lp, 194

L2loc, 208Lip, 477

Liploc, 477

L1loc, 476

Lploc, 215

Mc,loc, XIV, 210

M 2c , 175

N , 17

P[a,b], 165ΦX , 21

R+, 17

ST , 249∗, 488∩−stabile, 469χ2, 29

δij , 233dQdP

, 53

〈X,Y 〉t, 187, 214〈X〉t, 186, 213�, 53

D1,∞, 452

D1,p, 452

D′, 481Q, 3841A, 18

⊗, 36σ-algebra, 15

di un tempo d’arresto, 183

generata, 15

da una v.a., 31

prodotto, 36

σ(X), 31

∼, 21, 53Cov(X), 25

cov (·, ·), 25, 49var (·), 25θ-schema, 434

∨, 181∧, 66, 181f = o(g), 111

mB, 20

512 Indice analitico

Approssimazione dell’identita, 485Approssimazioni successive, 323

Arbitraggio, 5, 79, 273Asiatica, 292

Assoluta continuita, 53Attesacondizionata a una σ-algebra , 55

condizionata ad un evento, 54della distribuzione

chi-quadro, 29di Dirac , 27

esponenziale, 27log-normale, 29

normale, 27uniforme, 26

Base numerabile, 474Bayes, 61

Berry-Esseen, 445Binomiale, 91Bismut-Elworthy, 465

Bond, 4Bordo parabolico, 252

Borel-Cantelli, 377Borelliani, 16

Burkholder, 214

Calcolo di Malliavin, 447

Calibrazione, 402del modello binomiale, 109

Campo vettoriale, 362Capitalizzazione

composta, 5semplice, 4

Caratterizzazione di Levy del motoBrowniano, 237

Clark-Ocone, 459Co-variazione quadratica, 171, 187

Coefficientedi diffusione, 216, 315di drift, 216, 315

Commutatore, 362Complementare, 15

Condizionedi Hormander, 363

di Kalman, 360di Novikov, 372

di stabilita, 436

Condizioni al bordodi Cauchy-Dirichlet, 431di Neumann, 431

Convergenzain Lp, 490in distribuzione, 491in legge, 491in probabilita, 490puntuale, 490uniforme, 474

Convoluzione, 488Copertura del rischio, 3Covarianza, 25Crank-Nicholson, 434Curva rettificabile, 163

Dato iniziale in L1loc, 45Davis, 214Decomposizione di Doob, 64Delta, 99, 462

di Asiatica, 465di Dirac, 18hedging, 276

Densitadi transizione, 157di una distribuzione, 17Gaussiana, 19log-normale, 226

Deriva, 216Derivata

debole, 476di Malliavin, 450di Radon-Nikodym, 53distribuzionale, 480

Derivato, 1Americano, 128Europeo, 83path-dependent, 83path-independent, 83replicabile, 83, 270

Differenze finite, 430Diffusione, 216, 315Distanza, 473Distribuzione, 17, 480

chi-quadro, 29congiunta, 36di Cauchy, 19di Dirac, 18di una somma di v.a., 38

Indice analitico 513

di una v.a., 21esponenziale, 18finito-dimensionale, 153log-normale, 29, 225marginale, 36multi-normale, 49, 51normale, 19normale standard, 28uniforme, 18

Distribuzioni finito-dimensionali, 158Disuguaglianzadi Burkholder-Davis-Gundy, 214di Doob, 70, 173di Gronwall, 318di Holder, 71di Jensen, 57di Markov, 30esponenziale, 334massimale, 333massimale di Doob, 70

Dividendi, 272, 416Doeblin, 218Drift, 216, 315Dualita, 456

Equazionedel calore, 39di Black&Scholes, 119, 267di Kolmogorov, 296di Volterra, 316differenziale stocastica, 315

Esempio di Tanaka, 326Estensione di uno spazio di probabilita,

329Eulero-Monte Carlo, 442Evento, 17certo, 17trascurabile, 17

Famiglia∩−stabile, 469monotona, 469monotona di funzioni, 471stabile rispetto all’intersezione, 469

Filtrazione, 62, 148, 177Browniana, 178continua a destra, 177naturale, 62, 148standard, 177

standard per un processo stocastico,177

Formuladi Ito -Doeblin, 218di Bayes, 61di Bismut-Elworthy, 465di Black&Scholes, 246, 272con dividendi, 272con parametri variabili, 273opzione Call, 118opzione Put, 117

di Clark-Ocone, 459di Feynman-Kac, 349di Ito, 222, 230, 234deterministica, 167

di Put-Call parity, 6di Tanaka, 242

Funzionale, 480semplice, 449

Funzionea variazione limitata, 162caratteristica, 49continua a destra, 165di distribuzione normale standard, 28di distribuzione, 21di volatilita implicita, 398generalizzata, 480Holderiana in senso parabolico, 298indicatrice, 18integrabile, 23Lipschitziana, 162, 477Skorohod-integrabile, 459sommabile, 23localmente, 476

test, 476

Gamma, 464Girsanov, 370Greche, 280Gronwall, 318Guadagno, 78

normalizzato, 78Gundy, 214

Holder, 71Heston, 385, 466

i.i.d., 92Identita di Green, 261


Indipendenza, 33Integrale, 22di Ito, 198di Riemann-Stieltjes, 165di Skorohod, 457stocastico, 198anticipativo, 457

Integrazione per parti stocastica, 461Inviluppo di Snell, 132Ipotesistandard per SDE, 317usuali, 177

Isometria di Ito, 195, 201, 229

Jensen, 57

Kalman, 360Kolmogorov, 362, 364Kronecker, 233

Leggedei grandi numeri, 493di un processo stocastico, 152forte dei grandi numeri, 438, 494

Lemmadi Borel-Cantelli, 377di Gronwall, 318

Localizzazione, 430

Malliavin, 447Markov, 30Martingala, 171discreta, 63esponenziale, 223, 235, 367locale, 210stime massimali per, 332

Matricedi correlazione, 238di covarianza, 25ortogonale, 238

Mean reversion, 385Mercato, 75completo, 86discreto, 75incompleto, 11libero da arbitraggi, 6, 79normalizzato, 76

Metododella parametrice, 300

della variazione delle costanti, 454Eulero-Monte Carlo, 442Monte Carlo, 438standard, 26

Metrica, 473Euclidea, 473uniforme, 474

mg, 171Milstein, 429Misura, 16σ-finita, 37armonica, 344assolutamente continua, 53di Lebesgue, 18di probabilita, 16martingala, 80, 97, 379neutrale al rischio, 97prodotto, 36

Misureequivalenti, 53

Modificazione, 153Mollificatore, 485Moneyness, 397Monte Carlo, 438, 447Morrey, 480Moto Brownianod-dimensionale, 227canonico, 152correlato, 231, 232, 236, 238geometrico, 224reale, 149standard, 178

Neumann, 431Novikov, 372Nucleo di Poisson, 344Numeraire, 76Numero

casuale, 20pseudo-casuale, 441

Operatoreaggiunto, 47, 303caratteristico, 328del calore, 39di Black&Scholes, 120di Kolmogorov, 362, 364di Laplace, 39retrogrado, 48


Optional sampling, 68Opzione, 1Americana, 1, 128Asiatica, 292con media aritmetica, 107, 292con media geometrica, 107, 292con strike fisso, 292con strike variabile, 292

Call, 1, 102con barriera, 108Europea, 1, 83lookbackcon strike fisso, 107con strike variabile, 107

plain vanilla, 2Put, 1replicabile, 83

p.s., 62Parametro di finezza, 160Partizione, 160diadica, 448

Payoff, 1, 83di un derivato Americano, 129

PDE, XIIIdi Kolmogorov, 296

Penalizzazione, 308Ponte Browniano, 365Portafoglio, 76, 264autofinanziante, 76, 264di arbitraggio, 79, 273Markoviano, 266predicibile, 77replicante, 83, 270valore di, 264

Premio esercizio anticipato, 415Prezzod’arbitraggio, 9, 85, 390d’esercizio, 1di Black&Scholes, 117, 118di mercato del rischio, 279, 380neutrale al rischio, 8, 85, 127

Principiodel massimo debole, 252del massimo discreto, 435di non arbitraggio, 274, 389

Probabilitacondizionata a un evento, 33del mondo reale, 92

neutrale al rischio, 8

oggettiva, 92

Problema

a frontiera libera, 141

con ostacolo, 304

delle martingale, 327

di Cauchy, 39

non omogeneo, 46

di Cauchy-Dirichlet, 252

inverso, 402

retrogrado, 48

Processi

indistinguibili, 153

modificazioni, 153

Processo

L2-continuo, 203

a variazione limitata, 185

adattato, 62, 149

arrestato, 66

co-variazione quadratica, 187, 213,214

continuo, 148

crescente, 185

densita, 380

di Ito, 216, 231

di Markov, 94

predicibile, 64

progressivamente misurabile, 155

semplice, 194

sommabile, 62, 147

stocastico, 62, 147

variazione quadratica, 186, 213

Proprieta

di Markov, 93, 155

di riproduzione, 257

Put-Call parity, 6, 392

per opzioni Americane, 136

Rappresentazione di martingale, 459

Realizzazione canonica, 152

Regola della catena, 452

Regolarizzazione, 485

Relazione di dualita, 457

Rendimento atteso, 150

Replicazione, 4, 83

Riduzione della varianza, 441

Ritorno alla media, 385


Scadenza, 1SDE, XIII, 315

Simbolo di Kronecker, 233Skorohod, 457

Sobolev, 480

Soluzioneclassica del problema di Cauchy, 39

debole di una SDE, 315, 326fondamentale, 39, 250

forte di una SDE, 315

Sotto-insieme denso, 475Sottostante, 1

Spazio

campione, 17di probabilita, 17

di Sobolev, 477, 479metrico, 473

separabile, 475

topologico, 473Speculazione, 3

Stabile rispetto all’intersezione, 469Stima a priori, 306

Stime

interne di Schauder, 306interne in Sp, 306

massimali, 332Stopping time, 66, 180

Straddle, 3, 391

Strategia, 76, 264ammissibile, 80, 389

d’esercizio di un derivato Americano,129

replicante, 9, 389

stop-loss, 247super-replicante, 13

Strike, 1Sub-martingala, 171

discreta, 63

Successione regolarizzante, 485Super-martingala, 171

discreta, 63Supporto, 476

di una distribuzione, 483

Tasso

a breve, 263di rendimento atteso, 110, 225

localmente privo di rischio, 263

Tempod’arresto, 66, 180d’esercizio di un derivato Americano,

129di entrata, 181di occupazione, 243localeBrowniano, 244di un processo di Ito , 246

Teoremadel limite centrale, 445, 494, 495di Berry-Esseen, 445di decomposizione di Doob, 64di Doobdi optional sampling, 68, 183

di Doob-Meyer, 186di Dynkin, I, 470di Dynkin, II, 471di Fubini e Tonelli, 36di Girsanov, 370di Ito, 222di Levy, 237, 492di Radon-Nikodym, 53di Sobolev-Morrey, 305, 480di Wierstrass, 475

Titolo localmente non rischioso, 4Topologia, 473

Euclidea, 473generata, 473uniforme, 474

Trasformatadi Fourier, 487di una martingala, 65

Trinomiale, 122

v.a., 20semplice, 22

Valoreatteso, 24scontato, 5

Variabile aleatoria, 20Varianza, 25

della distribuzionechi-quadro, 29di Dirac, 27esponenziale, 27log-normale, 29normale, 27uniforme, 26


riduzione della, 441Variazionedelle costanti, 454prima, 162quadratica, 168processo, 186

Vega, 464Volatilita, 110, 150, 225

implicita, 285, 398locale, 401path dependent, 403storica, 398

Collana Unitext - La Matematica per il 3+2

a cura di

F. Brezzi (Editor-in-Chief)P. BiscariC. CilibertoA. QuarteroniG. RinaldiW.J. Runggaldier

Volumi pubblicati

A. Bernasconi, B. CodenottiIntroduzione alla complessita computazionale1998, X+260 pp. ISBN 88-470-0020-3

A. Bernasconi, B. Codenotti, G. RestaMetodi matematici in complessita computazionale1999, X+364 pp, ISBN 88-470-0060-2

E. Salinelli, F. TomarelliModelli dinamici discreti2002, XII+354 pp, ISBN 88-470-0187-0

S. BoschAlgebra2003,VIII+380 pp, ISBN 88-470-0221-4

S. Graffi, M. Degli EspostiFisica matematica discreta2003, X+248 pp, ISBN 88-470-0212-5

S.Margarita, E. SalinelliMultiMath - Matematica Multimediale per l’Universita2004, XX+270 pp, ISBN 88-470-0228-1

A. Quarteroni, R. Sacco, F. SaleriMatematica numerica (2a Ed.)2000, XIV+448 pp, ISBN 88-470-0077-72002, 2004 ristampa riveduta e corretta(1a edizione 1998, ISBN 88-470-0010-6)

A partire dal 2004, i volumi della serie sono contrassegnati da unnumero di identificazione. I volumi indicati in grigio si riferisconoa edizioni non piu in commercio

13. A. Quarteroni, F. SaleriIntroduzione al Calcolo Scientifico (2a Ed.)2004, X+262 pp, ISBN 88-470-0256-7(1a edizione 2002, ISBN 88-470-0149-8)

14. S. SalsaEquazioni a derivate parziali – Metodi, modelli e applicazioni2004, XII+426 pp, ISBN 88-470-0259-1

15. G. RiccardiCalcolo differenziale ed integrale2004, XII+314 pp, ISBN 88-470-0285-0

16. M. ImpedovoMatematica generale con il calcolatore2005, X+526 pp, ISBN 88-470-0258-3

17. L. Formaggia, F. Saleri,A.VenezianiApplicazioni ed esercizi di modellistica numericaper problemi differenziali2005,VIII+396 pp, ISBN 88-470-0257-5

18. S. Salsa, G.VerziniEquazioni a derivate parziali - Complementi ed esercizi2005,VIII+406 pp, ISBN 88-470-0260-52007, ristampa con modifiche

19. C. Canuto,A. TabaccoAnalisi Matematica I (2a Ed.)2005, XII+448 pp, ISBN 88-470-0337-7(1a edizione, 2003, XII+376 pp, ISBN 88-470-0220-6)

20. F. Biagini, M. CampaninoElementi di Probabilita e Statistica2006, XII+236 pp, ISBN 88-470-0330-X

21. S. Leonesi, C. ToffaloriNumeri e Crittografia2006,VIII+178 pp, ISBN 88-470-0331-8

22. A. Quarteroni, F. SaleriIntroduzione al Calcolo Scientifico (3a Ed.)2006, X+306 pp, ISBN 88-470-0480-2

23. S. Leonesi, C. ToffaloriUn invito all’Algebra2006, XVII+432 pp, ISBN 88-470-0313-X

24. W.M. Baldoni, C. Ciliberto, G.M. Piacentini CattaneoAritmetica, Crittografia e Codici2006, XVI+518 pp, ISBN 88-470-0455-1

25. A. QuarteroniModellistica numerica per problemi differenziali (3a Ed.)2006, XIV+452 pp, ISBN 88-470-0493-4(1a edizione 2000, ISBN 88-470-0108-0)(2a edizione 2003, ISBN 88-470-0203-6)

26. M.Abate, F. TovenaCurve e superfici2006, XIV+394 pp, ISBN 88-470-0535-3

27. L. GiuzziCodici correttori2006, XVI+402 pp, ISBN 88-470-0539-6

28. L. RobbianoAlgebra lineare2007, XVI+210 pp, ISBN 88-470-0446-2

29. E. Rosazza Gianin, C. SgarraEsercizi di finanza matematica2007, X+184 pp, ISBN 978-88-470-0610-2

30. A.MachıGruppi – Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi2007, XII+349 pp, ISBN 978-88-470-0622-5

31. Y. Biollay,A. Chaabouni, J. StubbeMatematica si parte! A cura di A. Quarteroni2007, XII+196 pp, ISBN 978-88-470-0675-1

32. M.ManettiTopologia2008, XII+298 pp, ISBN 978-88-470-0756-7

33. A. PascucciCalcolo stocastico per la finanza2008, XVI+518 pp, ISBN 978-88-470-0600-3

Date post:	13-Dec-2016
Category:	Documents
Upload:	andrea
View:	299 times
Download:	16 times

[UNITEXT] Calcolo stocastico per la finanza ||

Documents