Probabilita, Statistica e Simulazione

Alberto Rotondi • Paolo Pedroni •Antonio Pievatolo

Probabilita, Statisticae Simulazione

Programmi applicativi scritti con Scilab

3a edizione

Alberto RotondiDipartimento di Fisica Nucleare e Teorica,Universita di Pavia

Paolo PedroniIstituto Nazionale di Fisica Nucleare,Sezione di Pavia

Antonio PievatoloIMATI-CNR, Milano

ISBN 978-88-470-2363-5 e-ISBN 978-88-470-2364-2DOI 10.1007/978-88-470-2364-2

Springer Milan Dordrecht Heidelberg London New York

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Stampato in Italia

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Prefazione

Questo testo nasce dalla collaborazione tra due fisici sperimentali e unostatistico.

Tra i non statistici, i fisici sono forse quelli che piu apprezzano e utilizza-no il calcolo delle probabilita e la statistica, il piu delle volte pero in modopragmatico e manualistico, avendo in mente la soluzione di problemi o applica-zioni tecniche. D’altra parte, nel confronto cruciale fra teoria ed esperimento,occorre a volte utilizzare metodi sofisticati, che richiedono una conoscenzaprofonda dei principi, anche logici e matematici, che stanno alla base dellostudio dei fenomeni casuali. Piu in generale, anche chi non e statistico devespesso affrontare, nell’ambito della ricerca, problemi che richiedono partico-lari doti di attenzione e competenza nel trattamento degli aspetti casuali oaleatori. Queste doti sono invece possedute in modo naturale dallo statistico,il quale fa delle leggi del caso l’oggetto delle proprie ricerche.

Questo testo e maturato con l’intento di cercare una sintesi tra questeesperienze diverse, per fornire al lettore non solo uno strumento utile ad af-frontare i problemi, ma anche una guida ai metodi corretti per comprendereil complicato e affascinante mondo dei fenomeni aleatori.

Un tale obiettivo ha comportato ovviamente delle scelte, talvolta anchedolorose, sia nel tipo sia nella forma dei contenuti. Nella forma, abbiamo cer-cato di non rinunciare alla precisione necessaria per insegnare correttamente iconcetti importanti; nelle applicazioni, abbiamo privilegiato i metodi che nonrichiedono eccessive elaborazioni concettuali preliminari. Abbiamo ad esempiocercato di utilizzare, quando e possibile, metodi approssimati per la stima in-tervallare, con le approssimazioni gaussiane alla distribuzione degli stimatori.Allo stesso modo, nel caso dei minimi quadrati, abbiamo usato in modo estesol’approssimazione basata sulla distribuzione χ2 per la verifica dell’adattamen-to di un modello ai dati. Abbiamo anche evitato di insistere nel trattamen-to formale di problemi complicati nei casi in cui si puo trovare la soluzioneutilizzando il computer e facili programmi di simulazione. Nel nostro testola simulazione riveste quindi un ruolo importante nell’illustrazione di moltiargomenti e nella verifica della bonta di molte tecniche ed approssimazioni.

VI Prefazione

Il libro si rivolge in primo luogo agli studenti dei primi anni dei corsi diindirizzo scientifico, come ingegneria, informatica e fisica. Pensiamo pero cheesso possa risultare utile anche a tutti quei ricercatori che devono risolvereproblemi concreti che coinvolgono aspetti probabilistici, statistici e di simula-zione. Per questo abbiamo dato spazio ad alcuni argomenti, come il metodoMonte Carlo e le sue applicazioni, le tecniche di minimizzazione e i metodidi analisi dei dati, che solitamente non vengono trattati nei testi di carattereintroduttivo.

Le conoscenze matematiche richieste al lettore sono quelle impartite so-litamente nell’insegnamento di Analisi Matematica I dei corsi di laurea adindirizzo scientifico, con l’aggiunta di nozioni minime di Analisi MatematicaII, come i fondamenti della derivazione ed integrazione delle funzioni di piuvariabili.

La struttura del testo consente diversi percorsi didattici e livelli di let-tura. I primi 6 capitoli trattano tutti gli argomenti solitamente svolti in uncorso istituzionale di statistica. A scelta del docente, questo programma puoessere integrato con alcuni argomenti piu avanzati tratti dagli altri capitoli.Ad esempio, in un corso orientato alle tecniche di simulazione, va senz’altroincluso il cap. 7. Le nozioni di probabilita e statistica impartite di solito aglistudenti di fisica nei corsi di laboratorio del primo biennio sono contenute neiprimi 3 capitoli, nel cap. 6 (statistica di base) e nel cap. 11, scritto esplicita-mente per i fisici e per tutti coloro che hanno a che fare con il trattamentodei dati provenienti da esperienze di laboratorio.

Molte pagine sono dedicate alla risoluzione completa di numerosi eserci-zi inseriti direttamente nei capitoli ad illustrazione degli argomenti trattati.Raccomandiamo al lettore anche i problemi (tutti con soluzione) riportati allafine di ogni capitolo.

Il testo e stato scritto nel corso di diversi anni, nel tempo “libero” dagliimpegni dell’insegnamento e della ricerca. Molte parti del materiale che quipresentiamo sono state collaudate in alcuni corsi per fisici, istituzionali e didottorato, sull’analisi statistica dei dati e sulle tecniche di simulazione MonteCarlo. Ringraziamo tutti gli studenti e i colleghi che ci hanno dato consigli,suggerimenti e corretto errori e imprecisioni.

Le principali modifiche introdotte in questa terza edizione sono la revisionedella prima parte del cap. 6 (Statistica di base) e di tutto il cap. 10 (Minimiquadrati).

Nel capitolo 6 sono state riportate nuove formule per il calcolo degli in-tervalli di confidenza per la stima di efficienze e frequenze negli esperimentidi conteggio. Le formule proposte hanno una migliore probabilita di includereil valore vero (copertura), come risulta dalla verifica, con tecniche di simu-lazione, riportata in dettaglio nel par. 7.11 (Simulazione degli esperimenti diconteggio).

Il cap. 10 (Minimi quadrati), seguendo anche le indicazioni di alcuni lettori,e stato interamente rivisto e reso piu chiaro e leggibile, almeno a nostro parere.

Prefazione VII

Anche in questa edizione e stato mantenuto l’utilizzo, in tutto il testo, delsoftware libero SCILAB1. I programmi che abbiamo scritto e utilizzato neltesto si possono ottenere dal sito web

http://www.mi.imati.cnr.it/~marco/springer/

Consigliamo quindi una lettura interattiva, che allo studio di un argomentofaccia seguire l’uso delle routine secondo le modalita indicate nel testo e leistruzioni tecniche contenute in queste pagine web.

Ringraziamo ancora i lettori che ci hanno segnalato errori o imprecisionie la Springer per la fiducia che ha continuato ad accordarci.

Pavia, giugno 2011

Alberto RotondiPaolo Pedroni

Antonio Pievatolo

1 http://www.scilab.org

VIII Prefazione

Come utilizzare il testo

Figure, equazioni, definizioni, teoremi, tabelle ed esercizi sono numerati pro-gressivamente all’interno di ogni capitolo.

Le sigle delle citazioni (ad esempio [57]) si riferiscono all’elenco riportatonella bibliografia alla fine del libro.

La soluzione dei problemi e a pagina 499. Puo anche essere utile la tabelladei simboli riportata nelle pagg. 493–494.

I codici di calcolo come histplot sono indicati su sfondo grigio. Le rou-tine che iniziano con lettera minuscola sono quelle originali di SCILAB, chepossono essere liberamente copiate da

http://www.scilab.org,

mentre quelle che cominciano in maiuscolo sono scritte dagli autori e si trovanoin

http://www.mi.imati.cnr.it/~marco/springer/

In questo sito si trovano anche tutte le informazioni per la installazione e l’usodi SCILAB, una guida all’uso delle routine scritte dagli autori e materialedidattico complementare al testo.

Indice

Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

1 La probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Caso, caos e determinismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Il concetto di probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Probabilita assiomatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Prove ripetute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7 Teorema di Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8 L’approccio bayesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Rappresentazione dei fenomeni aleatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Funzione cumulativa o di ripartizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4 La rappresentazione dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5 Variabili aleatorie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6 La distribuzione binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.7 Variabili aleatorie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.8 Media, Varianza e Deviazione Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.9 Operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.10 Il campione casuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.11 Criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3 Calcolo elementare delle probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2 Proprieta della distribuzione binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3 La distribuzione di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

X Indice

3.4 Densita di Gauss o normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.5 Calcolo di distribuzioni in SCILAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.6 Legge 3-sigma e gaussiana standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.7 Il teorema Limite Centrale: universalita della gaussiana . . . . . 863.8 Processi stocastici poissoniani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.9 La densita χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.10 La densita uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.11 Disuguaglianza di Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.12 Come utilizzare il calcolo delle probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4 Calcolo delle probabilita per piu variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.2 Distribuzioni statistiche multidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.3 Covarianza e correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.4 Densita gaussiana bidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.5 Generalizzazione in piu dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.6 Insiemi di probabilita in piu dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.7 La distribuzione multinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5 Funzioni di variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.2 Funzione di una variabile aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.3 Funzioni di piu variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.4 La trasformazione della media e della varianza . . . . . . . . . . . . . 1655.5 Medie e varianze per n variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6 Statistica di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.2 Intervalli di confidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.3 Determinazione degli intervalli di confidenza . . . . . . . . . . . . . . . 1856.4 Cenno all’approccio bayesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1866.5 Alcune notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.6 Stima della probabilita da grandi campioni . . . . . . . . . . . . . . . . 1886.7 Stima della probabilita da piccoli campioni . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.8 Intervalli di stima per eventi poissoniani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.9 Stima della media da grandi campioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.10 Stima della varianza da grandi campioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.11 Stima di media e varianza da piccoli campioni . . . . . . . . . . . . . . 2096.12 Come utilizzare la teoria della stima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.13 Stime da una popolazione finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.14 Verifica di una ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2206.15 Verifica di compatibilita tra due valori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Indice XI

6.16 Stima della densita di una popolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2286.17 Verifica di compatibilita tra campione e popolazione . . . . . . . . 2346.18 Verifica di ipotesi con test non parametrici . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.19 Stima della correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

7 Il metodo Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2617.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2617.2 Cos’e il metodo Monte Carlo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2627.3 Fondamenti matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2657.4 Generazione di variabili aleatorie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2677.5 Generazione di variabili aleatorie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . 2707.6 Metodo del rigetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2747.7 Metodo di ricerca lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2817.8 Metodi particolari di generazione casuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2827.9 Studio Monte Carlo di distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2887.10 Determinazione degli intervalli di confidenza . . . . . . . . . . . . . . . 2917.11 Simulazione degli esperimenti di conteggio . . . . . . . . . . . . . . . . . 2957.12 Bootstrap non parametrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

8 Applicazioni del metodo Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3078.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3078.2 Studio dei fenomeni di diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3078.3 Simulazione dei processi stocastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3158.4 Il numero di addetti ad un impianto: simulazione sincrona . . . 3208.5 Il numero di addetti ad un impianto: simulazione asincrona . . 3268.6 Algoritmo di Metropolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3278.7 Il modello di Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3308.8 Calcolo di integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3348.9 Campionamento ad importanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3388.10 Campionamento stratificato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3398.11 Integrali multidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

9 Inferenza statistica e verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3479.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3479.2 Il metodo della massima verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3499.3 Proprieta degli stimatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3549.4 Teoremi sugli stimatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3579.5 Intervalli di confidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3669.6 Il metodo dei minimi quadrati e la massima verosimiglianza . . 3709.7 Adattamento di densita (best fit) ad istogrammi . . . . . . . . . . . . 3729.8 La media pesata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3769.9 Verifica delle ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

XII Indice

9.10 Test di potenza massima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3839.11 Funzioni test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3869.12 Test sequenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

10 Minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39910.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39910.2 Predittori osservati senza errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40210.3 Errori sui predittori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40510.4 Rette dei minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40810.5 Minimi quadrati lineari: caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41410.6 Minimi quadrati lineari pesati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41910.7 Fit con errori sistematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42110.8 Proprieta delle stime dei minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42410.9 Verifica del modello e determinazione di forme funzionali . . . . 42710.10 Ricerca delle correlazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43410.11 Test di adattamento del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43910.12 Minimizzazione non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

11 Analisi dei dati sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44511.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44511.2 Terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44611.3 Grandezze fisiche costanti e variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44711.4 Sensibilita e accuratezza degli strumenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44811.5 Incertezza nelle operazioni di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45111.6 Misure indirette e propagazione degli errori . . . . . . . . . . . . . . . . 45411.7 Definizione dei tipi di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46511.8 Misure del tipo M(0, 0, Δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46611.9 Misure del tipo M(0, σ, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46711.10 Misure del tipo M(0, σ, Δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47011.11 Misure del tipo M(f, 0, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47211.12 Misure del tipo M(f, σ, 0), M(f, 0, Δ), M(f, σ, Δ) . . . . . . . 47711.13 Studio di un caso: gli esperimenti di Millikan . . . . . . . . . . . . . . . 48211.14 Alcune note sul metodo scientifico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

Appendice A Tabella dei simboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

Appendice B Funzioni generatrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

Appendice C Soluzioni dei problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

Appendice D Tabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517D.1 Integrale della densita gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517D.2 Valori quantili della densita di Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

Indice XIII

D.3 Integrale della densita χ2 ridotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518D.4 Valori quantili di χ2 non ridotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519D.5 Valori quantili della densita F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533