Universita degli Studi di Firenze
Facolta di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Fisica e Astrofisica
Tesi di laurea di primo livello
Klein Tunneling in Reticoli OtticiKlein Tunneling in Optical Lattices
Relatore CandidatoDott. Giulio Pettini Jacopo Sisti
Anno Accademico 2011/2012
Indice
Introduzione 2
1 Klein tunneling 31.1 Equazioni d’onda per sistemi quantistici . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Diffusione su di un gradino di potenziale con l’equazione di Schrodinger 41.3 Diffusione su di un gradino di potenziale con l’equazione di Dirac:
paradosso di Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Approccio con il mare di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Equazione di Dirac in reticoli ottici 142.1 Generalita sui potenziali periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Evoluzione temporale di un pacchetto nella base di Wannier . . . . . 182.3 Punti di Dirac in reticoli ottici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Dinamica di Dirac effettiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Simulazione del Klein tunneling 243.1 Introduzione di un potenziale “lento” . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Discussione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Bibliografia 30
1
Introduzione
Nel 1929 Oskar Klein [1] pubblico un articolo in cui e mostrato un risultato para-dossale nella trattazione del processo di diffusione di elettroni su di un gradino dipotenziale utilizzando l’equazione di Dirac. Il paradosso di Klein consiste nel fattoche sono ammesse soluzioni d’onda piana nella regione del potenziale (repulsivo) conun coefficiente di trasmissione che aumenta all’aumentare dell’altezza della barriera.Questo risultato mostra l’inconciliabilita tra la teoria quantistica di singola parti-cella e la relativita speciale. Il paradosso, infatti, e intimamente legato all’esistenzadi soluzioni ad energia negativa conseguenti alla relazione di dispersione relativisti-ca. In fisica classica, grazie al fatto che gli scambi di energia sono continui e che ilsalto tra i due continui e diverso da zero, non sorge alcun tipo di problema. Nellateoria quantistica, tuttavia, tali scambi avvengono in modo discreto e pertanto l’in-terazione tra i continui non puo piu essere ignorata. Ovvero sono possibili processiche portano alla formazione di antiparticelle “provenienti” dal continuo negativo.Ad oggi il paradosso, cosı come la conciliazione tra relativita speciale e meccanicaquantistica, e risolto dalla teoria dei campi la quale, essendo una teoria a molti corpi,spiega in modo naturale la produzione di coppie particella-antiparticella.Nella prima parte della tesi verra presentato il paradosso di Klein riportando lasoluzione dell’equazione di Dirac in una dimensione e ne verra data una spiegazionequalitativa senza far ricorso a teorie di campo.
Nella seconda parte della tesi, dopo aver richiamato i concetti fondamentali deisistemi periodici governati dall’equazione di Schrodinger, mostreremo come in certicasi la loro dinamica possa essere descritta dall’equazione di Dirac. In particolareci riferiremo a sistemi unidimensionali composti da atomi ultrafreddi intrappolatiin potenziali periodici generati da due laser monocromatici di frequenza diversa cheinterferiscono tra loro [2], [3]. In tali sistemi, in cui si possono variare i parametrifisici in modo estremamente preciso e flessibile, e possibile la simulazione di effettiquanto-relativistici, come il Klein tunneling, spesso sperimentalmente inaccessibiliper le particelle elementari. La dinamica relativistica emerge quando, per opportuneintensita e sfasamenti dei laser, ci sono due bande degeneri al centro della zona diBrillouin. Il punto in cui queste si toccano, dove l’energia e doppiamente degenere,e detto punto di Dirac perche la legge di dispersione assume la tipica forma rela-tivistica. Grazie a questo si puo mostrare che e possibile approssimare la dinamicaesatta di Schrodinger con una dinamica effettiva di Dirac.
2
Capitolo 1
Klein tunneling
In questo capitolo verranno richiamate le principali caratteristiche dell’equazione diSchrodinger e di Dirac. Inoltre sara risolto per entrambi il problema della diffusioneunidimensionale su di un gradino di potenziale al fine di mettere in luce le differenzetra le due trattazioni e di presentare il paradosso di Klein. Infine verra data unaspiegazione qualitativa di tale paradosso senza ricorrere alla teoria dei campi.
1.1 Equazioni d’onda per sistemi quantistici
In meccanica quantistica lo stato di una particella viene descritto completamenteda un vettore in uno spazio di Hilbert, in generale di dimensione infinita. Talestato e una funzione del tempo, che viene considerato un parametro. Nel caso nonrelativistico, l’evoluzione temporale dello stato segue l’equazione di Schrodinger, dalnome del fisico austriaco Erwin Schrodinger che la propose nel 1926:
i~∂ψ
∂t= Hψ (1.1)
Per potenziali dipendenti solo dalla posizione x l’hamiltoniana H e:
H =p2
2m+ V −→ − ~2
2m∇2 + V (x) (1.2)
e ψ(x) nella (1.1) e in questo caso una funzione scalare. Pauli ne propose una variantea piu componenti per includere un ulteriore grado di liberta indipendente dallecoordinate: lo spin. Tale equazione non risultava relativisticamente soddisfacente,non essendo ad esempio covariante (infatti la derivata rispetto al tempo e del primoordine mentre quelle spaziali sono del secondo) e in quanto soddisfa la relazione didispersione classica (per una particella libera) E = p2/2m.Nel 1928 Paul Maurice Dirac propose un’equazione d’onda relativistica, lineare nellederivate, per particelle di spin 1/2:
i~∂Ψ
∂t= HΨ =
(cα · p + βmc2
)Ψ (1.3)
3
dove α e β sono matrici hermitiane 4x4 con le ulteriori proprieta1
α2i = I β2 = I [αi, β]+ = 0 (1.4)
([·, ·]+ indica l’anticommutatore).Per il seguito della discussione e utile richiamare alcuni risultati che si ottengonofacilmente manipolando le equazioni d’onda, in particolare vale l’equazione di con-tinuita
∂
∂t(ψ∗ψ) +∇ ·
[− i~
2m(ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗)
]= 0 Schrodinger
∂
∂t
(Ψ†Ψ
)+∇ ·
(Ψ†cαΨ
)= 0 Dirac
(1.5)
dove in entrambi i casi il termine derivato rispetto al tempo e la densita di proba-bilita ρ ≡ Ψ†Ψ e il membro sotto divergenza la densita di corrente di probabilita J.Un’importante osservazione viene dal fatto che se si considerano soluzioni staziona-rie la derivata temporale della densita di probabilita e nulla e cio comporta che losia anche la divergenza della corrente: di conseguenza per un qualunque volume dispazio la corrente entrante deve uguagliare quella uscente.Possiamo adesso analizzare quello che succede in un problema unidimensionale incui sia presente un potenziale a gradino, utilizzando il risultato appena discusso.Consideriamo quindi lo spazio separato in due regioni dal gradino di potenziale esupponiamo che dalla zona in cui e assente il potenziale provenga un fascio di elet-troni in direzione della barriera: nella situazione stazionaria avremo in tale zona unaparte di elettroni incidente a cui e associata una corrente Ji e una parte riflessa concorrente Jr, mentre nell’altra avremo, per le condizioni poste al contorno, solo unacorrente trasmessa Jt.
Essendo il problema unidimensionale, chiamiamo R ≡ |Jr||Ji|
coefficiente di riflessione,
e T ≡ |Jt||Ji|
coefficiente di trasmissione. Questi soddisfano quindi, per la conser-
vazione della corrente, R + T = 1.
1.2 Diffusione su di un gradino di potenziale con
l’equazione di Schrodinger
Iniziamo con lo studiare il problema della diffusione di un fascio monoenergetico dielettroni con massa m su di un gradino di potenziale con l’equazione di Schrodinger.
1Queste derivano dall’imposizione che l’equazione di Dirac soddisfi, come si vede iterandola, lacorretta relazione di dispersione relativistica E2 = p2c2 + m2c4. Il fatto che la dimensione dellematrici sia 4x4 e invece dovuto all’impossibilita di soddisfare tali proprieta per dimensioni inferiori.
4
Supponiamo che l’onda, proveniente da −∞, si propaghi lungo l’asse x e che ilpotenziale sia definito come segue:
V (x) =
0 se x < 0
V0 se x > 0
Occorre quindi risolvere l’equazione:
i~∂ψ
∂t= − ~2
2m
∂2ψ
∂x2+ V (x)ψ (1.6)
Considerando che non provenga niente da +∞, le soluzioni stazionarie risultanoessere
ψ(x < 0) = ciei(px− Et)/~ + cre
i(−px− Et)/~
ψ(x > 0) = ctei(px− Et)/~ (1.7)
dove p =√
2mE/~; p =√
2m(E − V0)/~ (E > V0); p = i√
2m(V0 − E)/~ (E < V0).Imponendo la continuita della soluzione e della sua derivata in x = 0 si ha:
ci + cr = ct
(ci − cr)p = ctp(1.8)
Infine, posto r ≡ p/p, si ottiene il seguente coefficiente di riflessione:
R =
∣∣∣∣crci∣∣∣∣2 =
∣∣∣∣1− r1 + r
∣∣∣∣2 (1.9)
Per E > V0 si ha r ∈ R, per cui
R =
(1− r1 + r
)2
; T =4r
(1 + r)2(1.10)
Mentre per E < V0 si ha r ∈ iR e quindi
R = 1 ; T = 0 (1.11)
ossia in questo caso non si ha onda trasmessa ma solo evanescente.
1.3 Diffusione su di un gradino di potenziale con
l’equazione di Dirac: paradosso di Klein
Passiamo adesso a studiare il problema dal punto di vista dell’interpretazione disingola particella dell’equazione di Dirac e ricaviamo il risultato seguendo il testodi Greiner [4]. Tale risultato, che appare a prima vista incomprensibile sia classica-mente che quantisticamente, prende il nome di paradosso di Klein, dal nome del fisico
5
che per primo lo ricavo [1]. Una spiegazione del paradosso apparente richiede neces-sariamente il coinvolgimento delle antiparticelle, e quindi delle soluzioni a energianegativa nel contesto dell’equazione di Dirac. Accenneremo a questa interpretazionein seguito.Ripartiamo quindi dall’equazione di Dirac in una dimensione x, con V (x) nella formaa gradino gia descritta in precedenza nel contesto dell’equazione di Schrodinger:
i~∂Ψ
∂t= HΨ = (cαp+ βmc2 + V )Ψ (1.12)
dove α rappresenta la prima componente di α.Consideriamo soluzioni nelle varie regioni della forma:
Ψi(x < 0) = ui(p)ei(px− Et)/~ onda incidente
Ψr(x < 0) = ur(p)ei(−px− Et)/~ onda riflessa
Ψt(x > 0) = ut(p)ei(px− Et)/~ onda trasmessa
dove si assume E > 0 e p > 0 poiche l’onda incidente si propaga nella direzionepositiva di x e si e messo il segno meno davanti all’impulso dell’onda riflessa perchequesta si propaga nella direzione opposta.Mostriamo come si possano calcolare i coefficienti di riflessione e trasmissione, nel-l’interpretazione di singola particella, senza ricorrere alla dipendenza dall’impulso,ossia alla soluzione esplicita, per le varie componenti degli spinori u.Inserendo le varie funzioni d’onda nella (1.12) si ottengono le seguenti uguaglianze:
(E
c− αp− βmc
)ui = 0 (1.13)(
E
c+ αp− βmc
)ur = 0 (1.14)(
E − V0
c− αp− βmc
)ut = 0 (1.15)
dalle quali, moltiplicando a sinistra per la stessa matrice dopo aver fatto le sosti-tuzioni α −→ −α e β −→ −β, si ottengono le seguenti relazioni di dispersione perl’onda incidente, riflessa e trasmessa rispettivamente:
E2 = m2c4 + p2c2
(E − V0)2 = m2c4 + p2c2 (1.16)
A questo punto si vede subito che la prima equazione ha sempre soluzioni reali2
per p, mentre la seconda no. Infatti ponendo V0 = E + mc2ε con ε ∈ R si ha chem2c2(ε2 − 1) ≥ 0 =⇒ ε ≤ −1 ∪ ε ≥ 1 e quindi:
p ∈ R V0 ≤ E −mc2 ∪ V0 ≥ E +mc2
p ∈ iR E −mc2 < V0 < E +mc2
2Cio e vero poiche per situazioni fisiche si deve ovviamente avere E ≥ mc2.
6
Caso V0 ≤ E −mc2 e V0 ≥ E +mc2:
I due casi in cui p risulta reale possono essere trattati insieme. Per prima cosaoccorre imporre la continuita in x = 0 che comporta ui + ur = ut (poiche in x ≤ 0si deve avere Ψ = Ψi + Ψr mentre in x ≥ 0 Ψ = Ψt).Sommando la (1.13) con la (1.14) si ottiene facilmente(
E
c− βmc
)(ui + ur) = αp (ui − ur) (1.17)
Dalla (1.15) e ricordandosi che ui + ur = ut si ricava che:(E
c− βmc
)(ui + ur) =
(αp+
V0
c
)(ui + ur) (1.18)
che confrontata con la (1.17) permette di scrivere:[V0
c+ α(p− p)
]ui = −
[V0
c+ α(p+ p)
]ur (1.19)
Possiamo manipolare la precedente equazione moltiplicando a sinistra entrambi imembri per V0/c− α(p+ p) ottenendo:
ur = −(V0/c)2 − 2(V0/c)αp+ (p2 − p2)
(V0/c)2 − (p+ p)2
ui (1.20)
e infine, usando le relazioni di dispersione (1.16) si ottiene:
ur =2 (αp− E/c)V0/c
(V0/c)2 − (p+ p)2
ui ≡ rui (1.21)
Chiaramente, poiche α e hermitiana, prendendo il complesso coniugato della (1.21)si ha u†r = u†i r. Pertanto:
u†rur = u†i rrui =
[2V0/c
(V0/c)2 − (p+ p)2
]2
u†i (−E/c+ αp)2 ui =
=
[2V0/c
(V0/c)2 − (p+ p)2
]2 [(E/c)2 + p2
]u†iui − 2(Ep/c)u†i αui
(1.22)
Infine, usando3 u†i αui = (pc/E)u†iui, ricaviamo l’espressione del coefficiente di rifles-sione4
u†rur =
[2V0m
(V0/c)2 − (p+ p)2
]2
u†iui ≡ Ru†iui (1.23)
3Ricordiamo che α e l’operatore v/c, infatti le leggi del moto in rappresentazione di Heisenbergcomportano che x = − i
~ [x,H] = − ic~ α[x, p] = cα.
4Il coefficiente di riflessione si definisce da Jr = cu†rαur = RJi = R · cu†i αui, ma poiche vale che
u†i αui = (pc/E)u†iui e u†rαur = (pc/E)u†rur, risulta anche u†rur = Ru†iui.
7
E’ utile riscrivere il coefficiente di riflessione in funzione delle sole variabili V0 ed E,ma in questo caso va esplicitato il segno di p, il che risulta cruciale nell’interpre-tazione di singola particella: infatti, a differenza di p che e chiaramente positivo perla scelta della direzione di propagazione, p puo essere positivo o negativo a secondadel potenziale.Per rendercene conto possiamo riprendere la relazione cu†i αui = pc2/Eu†iui la quale,se riscritta per l’onda trasmessa, risulta essere: cu†t αut = pc2/(E − V0)u†tut. Dallameccanica relativistica possiamo interpretare la grandezza pc2/E come la velocita digruppo del fascio incidente e pc2/(E−V0) come quella del fascio trasmesso; tuttavia,quest’ultima risulta negativa per V0 > E (se p > 0) e quindi per evitare di avere unfascio trasmesso che provenga da z = +∞ occorre imporre p < 0!A questo punto possiamo riscrivere il coefficiente di riflessione perV0 < E −mc2 ∪ V0 > E +mc2 come:
R =
2V0mc2
V 20 −
(√E2 −m2c4 +
√(E − V0)2 −m2c4
)2
2
; V0 < E −mc2
R =
2V0mc2
V 20 −
(√E2 −m2c4 −
√(E − V0)2 −m2c4
)2
2
; V0 > E +mc2
(1.24)
Caso E −mc2 < V0 < E +mc2:
In questo caso p risulta immaginario puro, quindi possiamo porre p = i~µ e diconseguenza la funzione d’onda, nella regione x > 0, puo essere scritta nel seguentemodo:
Ψt = ute−µx− iEt/~ (1.25)
Adesso riprendiamo la (1.21) nella quale sostituiamo l’espressione per p ottenendo
ur =2 (αp− E/c)V0/c
(V0/c)2 − (p+ i~µ)2
ui (1.26)
Trattando il numeratore come fatto nel paragrafo precedente, otteniamo l’espres-sione del coefficiente di riflessione nel regime di V0 in considerazione. In tale regime,come gia detto, p e immaginario e quindi nella regione x > 0 si ha solo ondaevanescente:
u†rur =4 [(E/c)2 − p2] (V0/c)
2[(V0/c+ p)2 + µ2~2
] [(V0/c− p)2 + µ2~2
]u†iui ≡ Ru†iui (1.27)
A questo punto, utilizzando le relazioni di dispersione per p e p e ricordando ancheche p2 = −~2µ2, si ottiene:(
V0
c± p)2
+ µ2~2 = 2V0
c
(E
c± p)
(1.28)
8
e quindi sostituendo nella (1.27) si vede immediatamente che in questo caso R = 1.
Discussione dei risultati
Riassumiamo a questo punto i risultati per il coefficiente di riflessione nelle varieregioni di V0:
R =
2V0mc2
V 20 −
(√E2 −m2c4 +
√(E − V0)2 −m2c4
)2
2
; V0 < E −mc2
R = 1 ; E −mc2 < V0 < E +mc2
R =
2V0mc2
V 20 −
(√E2 −m2c4 −
√(E − V0)2 −m2c4
)2
2
; V0 > E +mc2
(1.29)
Il paradosso di Klein deriva dal fatto che per V0 > E + mc2 si ha p ∈ R e quindiun’onda trasmessa e un coefficiente di trasmissione T = 1−R non nullo. Inoltre, intale regione T aumenta all’aumentare di V0. Per vederlo, e anche per commentarel’interpretazione di singola particella sin qui cercata, merita riscrivere l’energia el’altezza del gradino in unita di mc2 come:
E = mc2(1 + ξ)
V0 = E +mc2(1 + η) = mc2(2 + ξ + η) (1.30)
con ξ, η ∈ (0,+∞). Si ha quindi che il coefficiente di riflessione nell’ultima delleequazioni (1.29), puo essere riscritto, con facili passaggi:
R =
2 + ξ + η
2 + ξ + η + ξη[1− sgn(p)
√1 + 2/ξ
√1 + 2/η
]2
(1.31)
nella quale abbiamo tuttavia reintrodotto il segno di p per fare alcune precisazioni.Abbiamo infatti visto in precedenza che, per avere una velocita di gruppo positivanella regione z > 0, va scelto p < 0 e con cio si trova chiaramente che si ha sempreR < 1. Viceversa, scegliendo p > 0 si otterrebbe R > 1 come in altri testi5. Tuttaviaquesta scelta confliggerebbe con la descrizione di singola particella e la conseguenteassenza di una corrente che provenga da x > 0. In conclusione quindi, in questoapproccio, la scelta p < 0 appare l’unica sensata. Per fare un esempio numericodi quali valori si ottengono, prendiamo p = mc e quindi E =
√2mc2, ossia un
fattore relativistico γ =√
2 che corrisponde a elettroni incidenti viaggianti a circail 70% della velocita della luce (in questo caso inoltre ξ =
√2 − 1 ' 0.414). Nel
limite V0 → ∞ (η → ∞) si ottiene un valore R ' 0.17 e quindi un coefficiente ditrasmissione T ' 0.83, mentre ad esempio per η = 2 si ottiene ancora R ' 0.3 equindi che il 70% degli elettroni vengono trasmessi!
5In questo il testo di Greiner si distingue dal Bjorken and Drell [5].
9
1.4 Approccio con il mare di Dirac
Dirac, per spiegare la stabilita degli atomi senza considerare come non fisiche lesoluzioni a energia negativa, postulo che gli stati ad esse associati fossero tutti oc-cupati (mare di Dirac). In base al principio di esclusione di Pauli, cio impediscequindi che gli elettroni possano “cadere” in tali stati in seguito a scambi discreti dienergia.Nella regione V0 > E + mc2 il ruolo delle soluzioni a energia negativa, fisicamenteassociate alle antiparticelle, non puo essere trascurato e la loro l’inclusione permetteuna prima spiegazione del paradosso di Klein.Senza riportare i conti espliciti, ci limitiamo a riassumere il procedimento riportatoda Greiner, che calcola le soluzione esplicite per gli spinori u(p) e quindi le correntinelle varie regioni.
Se si coinvolgono le soluzioni ad energia negativa non ci sono piu motivi per im-porre la condizione p < 0 e pertanto il risultato che si ottiene e un coefficiente diriflessione R > 1 e, come vedremo, una corrente trasmessa diretta verso x negativi.Quindi adesso passiamo a risolvere direttamente l’equazione di Dirac unidimensio-nale (lungo la direzione x) con il potenziale a gradino:
i~∂Ψ(x, t)
∂t= −i~c α∂Ψ(x, t)
∂x+ βmc2Ψ(x, t) (1.32)
Poiche cerchiamo soluzioni stazionarie si pone Ψ(x, t) = Φ(x)e−iEt/~ da cui, dopoaver esplicitato le componenti di Φ e risolto le equazioni differenziali, si ottiene
Φ(x) =
AC
p(V )c
E +mc2 − VA
p(V )c
E +mc2 − VC
eip(V )
~x
+
BD
− p(V )c
E +mc2 − VB
− p(V )c
E +mc2 − VD
e−ip(V )
~x
(1.33)
con p(V )c =√
(E − V )2 −m2c4.Adesso conviene introdurre delle notazioni piu comode. Si scrivera ΦI = Φinc + Φrifl
e ΦII = Φtras per le due soluzioni nella regione x < 0 e x > 0 rispettivamente; poisi porra p ≡ p(0) e p ≡ p(V0) in modo da poter scrivere
10
Φ =
ΦI = Φinc + Φrifl = A
1
0pc
E +mc2
0
eip
~x
+B
1
0
− pc
E +mc2
0
e−i p
~x
se x < 0
ΦII = Φtras = D
1
0−pc
V0 − E −mc2
0
eip
~x
se x > 0
(1.34)dove, poiche un potenziale scalare non puo generare spin-flip, si e posto per sem-plicita C = 06; inoltre nella regione II e stata tenuta solamente la soluzione di ondauscente.Per trovare i coefficienti di trasmissione e necessario calcolare le correnti di proba-bilita, ovvero J(x, t) = cΨ†αΨ. Poiche il sistema e unidimensionale le correnti lungole altre due direzioni ortogonali sono nulle. Per la componente x si ha invece:
Jinc(x) = cΦ†incαΦinc = cA∗(
pc
E +mc20 1 0
)e−i p
~xA
10pc
E +mc2
0
eip
~x
=
= AA∗2pc2
E +mc2ex
(1.35)
Con un calcolo completamente analogo si trova anche:
Jrifl(x) = −BB∗ 2pc2
E +mc2ex Jtras(x) = −DD∗ 2pc2
V0 − E −mc2ex (1.36)
A questo punto si ritrova cio che e stato anticipato prima: senza l’imposizione p < 0risulta una corrente trasmessa diretta verso sinistra.Per determinare i coefficienti di riflessione e trasmissione e necessario trovare i rap-porti B
Ae DA
e per fare cio occorre sfruttare la continuita in x = 0. In particolare siottiene facilmente che:
R =|Jrifl||Jinc|
=(1 + γ)2
(1− γ)2; con γ ≡ p
p
E +mc2
V0 − E −mc2(1.37)
Per il coefficiente di trasmissione invece risulta
T =|Jtras||Jinc|
=4γ
(1− γ)2(1.38)
6Questa imposizione unita alla continuita della funzione in x = 0 fa si che risultino nulle anchele seconde e quarte componenti della parte riflessa e trasmessa.
11
Da cio si vede subito che, poiche γ > 0, risulta R > 1.Si puo dimostrare, con un rapido calcolo, che vale T − R = 1 in accordo conl’equazione di continuita.
Discussione
Si puo tentare di spiegare il paradosso considerando che nelle due regioni x < 0 ex > 0 vi siano due continui di stati di energia negativa. Poiche nella regione x > 0 epresente un potenziale V0 > E +mc2, il corrispondente continuo risulta “alzato” ditale quantita. Cio e sufficiente a far si che ci sia una sovrapposizione tra gli elettronidel continuo positivo (in x < 0) e quelli del continuo negativo (x > 0) (vedi figura(1.1) ).Tale sovrapposizione permette che vengano strappati elettroni al continuo negativoi quali generano una corrente verso sinistra e, di conseguenza, risulta esserci ancheuna corrispondente corrente di positroni (rappresentati da lacune nel continuo ne-gativo) verso destra; questo spiega il segno, apparentemente assurdo, della correntetrasmessa.
Figura 1.1: Senza potenziale i due continui sono separati da un salto energetico di 2mc2 e quindi epossibile trascurare l’interazione con quello negativo (1). Se un potenziale V0 > E+mc2 e presentei due continui si possono sovrapporre e la loro interazione non e piu trascurabile (2).
Il paradosso di Klein nasce dall’uso di uno strumento inadeguato (l’equazione diDirac come equazione quantistico-relativistica di singola particella) per un proble-ma fisico intrinsecamente a molti corpi. Anche se gia nell’interpretazione del maredi Dirac il paradosso trova una sua prima spiegazione, il formalismo adatto a de-scrivere in modo soddisfacente processi con creazione e distruzione di particelle e lateoria quantistica dei campi [6], [7].Per spiegare in modo qualitativo il fenomeno, bisogna intanto sottolineare che ilgradino di potenziale cosı presentato e solo una schematizzazione7. Sauter [8] mostro
7Infatti un gradino non e altro che una funzione di Heaviside, quindi risulta che il campo elettricoche lo genera deve essere formalmente una delta di Dirac.
12
infatti che se si ipotizza un andamento continuo del potenziale (egli ne ipotizzo unolineare tra la zona con V (x) = 0 e quella con V (x) = V0) in modo che V0 vengaraggiunto in uno spazio confrontabile o maggiore della lunghezza d’onda Comptondell’elettrone, l’effetto del Klein tunneling scompare. In pratica il fenomeno richiedeche sia attivata un’energia sufficiente alla creazione di una coppia elettrone-positronein uno spazio minore o uguale di una lunghezza d’onda Compton. Se si pensa a uncampo elettrico costante si ottiene la condizione:
eEd ≥ 2mc2 (1.39)
con d ≤ λC = ~/mc ossiaE ≥ 2m2c3/e~ (1.40)
che comporta quindi E ≥ 1018 V/m, ovvero un campo elettrico enorme!In tale situazione si ha quindi energia sufficiente alla creazione di coppie, le qualivengono poi accelerate in direzioni opposte dal campo elettrico. Il coefficiente diriflessione R > 1 trova cosı una sua semplice spiegazione qualitativa. Non vi e quindialcun paradosso e una trattazione completa, come gia detto, si ottiene in teoriaquantistica dei campi. Tuttavia cio esula dall’interesse della tesi nella quale oltrealla descrizione del paradosso vogliamo mostrare come si possano mimare sistemiquanto-relativistici in reticoli ottici.In tempi recenti infatti il Klein tunneling e un argomento che ha ripreso interesse.Cio e dovuto al fatto che, in determinate condizioni fisiche, la dinamica di atomiultrafreddi intrappolati in reticoli ottici [2], [3] puo essere descritta in modo efficaceda un’equazione di Dirac. Inoltre, in questi sistemi, si ha una grande flessibilita nelcontrollo dei parametri e di conseguenza si possono simulare effetti come il Kleintunneling con campi critici arbitrariamente ridotti.Una discussione di questi sistemi e l’oggetto del prossimo capitolo.
13
Capitolo 2
Equazione di Dirac in reticoliottici
In questo capitolo cercheremo in primo luogo di mostrare come l’equazione di Diracintervenga a descrivere sistemi periodici nei quali due bande energetiche siano de-generi (o quasi) in qualche punto della zona di Brillouin.Nello spazio a disposizione, e per cio che interessa prioritariamente in questa tesi,richiameremo solo alcune proprieta fondamentali dei sistemi periodici. Subito dopoci concentreremo su un paio di esempi realizzabili sperimentalmente intrappolandoatomi freddi nei minimi di potenziali periodici ottenuti dall’interferenza di laser diopportune frequenze e ampiezze. Non ci addentreremo sugli aspetti sperimentali maci limiteremo ad analizzare le conseguenze fisiche che sono oggetto della tesi.
2.1 Generalita sui potenziali periodici
Spesso in natura e in laboratorio si ha a che fare con potenziali che possono essereassunti con buona approssimazione periodici. Proprio grazie a questa periodicita, sipossono ottenere informazioni molto utili sulle autofunzioni e sull’energia indipen-dentemente dalle soluzioni complete dell’equazione di Schrodinger.Nel seguito richiameremo il teorema di Bloch e la nozione di banda[9], fondamentalenello studio dei reticoli cristallini e dei reticoli ottici.Un potenziale V = V (x) si dice periodico se, dati tre vettori a1, a2, a3 linear-mente indipendenti e applicati in un punto O, vale che V (x + R) = V (x) doveR = n1a1 + n2a2 + n3a3 con n1, n2, n3 ∈ Z.L’insieme degli elementi generati dagli a1, a2, a3 nel modo suddetto viene chiamatoreticolo diretto o di Bravais, mentre i generatori sono i vettori base del reticolo. Ireticoli di Bravais hanno un’importante proprieta: sono insiemi chiusi rispetto allasomma e al prodotto per un numero intero.Grazie alla periodicita, il potenziale puo essere sviluppato in serie di Fourier:
V (x) =∑k
vkeik·x (2.1)
e poiche V (x + R) = V (x) deve essere eik·(x+R) = eik·x. Quindi risulta:
ek·R = 1 (2.2)
14
L’insieme dei vettori k che soddisfano la (2.2) viene chiamato reticolo reciproco. Sipuo dimostrare che un reticolo reciproco e un reticolo di Bravais e che il reciprocodel reciproco non e altro che il reticolo di partenza.Poiche il reciproco e un reticolo di Bravais anche questo deve avere una base divettori; tale base e in corrispondenza con quella del reticolo diretto nel seguentemodo:
b1 = 2πa2 × a3
a1 · (a2 × a3); b2 = 2π
a3 × a1
a1 · (a2 × a3); b3 = 2π
a1 × a2
a1 · (a2 × a3)(2.3)
La cella elementare del reticolo di Bravais si dice zona di Brillouin.
Teorema di Bloch e bande energetiche
Vogliamo trattare sistemi non relativistici. Nel caso di atomi freddi intrappolatiin reticoli ottici, si possono ottenere sistemi in buona approssimazione non inte-ragenti; questi quindi sono governati, in prima approssimazione, dall’equazione diSchrodinger in presenza del solo potenziale periodico [9]:
i~∂ψ(x, t)
∂t= Hψ(x, t) = − ~2
2m∇2
xψ(x, t) + V (x)ψ(x, t) (2.4)
dove V (x + R) = V (x) per ogni R appartenente al reticolo diretto.Tale problema viene semplificato molto dal fatto che l’hamiltoniana e invariante
per traslazioni discrete di R e quindi commuta con l’operatore T (R) = eip ·R/~.Infatti in questo caso vale il teorema di Bloch, che afferma che gli autostati ψndell’hamiltoniana in equazione (2.4) soddisfano:
ψn(x + R) = eik ·Rψn(x) (2.5)
e possono essere posti nella seguente forma:
ψn(x) = eik · xun,k(x) (2.6)
con un,k(x+R) = un,k(x). Le autofunzioni e gli autovalori dell’hamiltoniana vengonoa dipendere da k e risultano periodici nello spazio reciproco:
ψn,k+K(x) = ψn,k(x)
En(k + K) = En(k)(2.7)
dove K e un vettore del reticolo reciproco. L’insieme di livelli energetici al variaredi k con n fissato viene detto banda.Le funzioni di Bloch sono definite in tutto lo spazio e soddisfano la condizione dinormalizzazione: ∫
dx ψ∗n,k(x)ψn′,k′(x) = δnn′δ(k− k′) (2.8)
mentre la loro parte periodica e definita e normalizzata nella cella elementare Ω diWigner-Seitz: ∫
Ω
dx u∗n,k(x)un′,k(x) =Ω
(2π)3δnn′ (2.9)
15
Dall’equazione agli autovalori:
Hψn,k = En(k)ψn,k (2.10)
si ricava facilmente:
e−ik · xHeik · xun,k ≡ H(k)un,k = En(k)un,k (2.11)
ossia le un,k sono autofunzioni, con gli stessi autovalori En(k) delle ψn,k, dell’hamil-
toniana H(k) = e−ik · xHeik · x = H(p + ~k). Le un,k sono quindi, per ogni k, unset completo e ortonormale, e sono queste che vengono calcolate risolvendo numeri-camente l’eq.(2.11) per ricavare le energie di banda e per risalire eventualmente allefunzioni di Bloch.
Stati di Wannier in una dimensione
Per molte applicazioni risultano utili gli stati di Wannier che, al contrario dellefunzioni di Bloch (generalmente molto dislocate, si pensi per esempio al caso limitedella particella libera), possono essere definiti in modo da risultare molto localizzatiintorno ai siti reticolari.Se a e il passo reticolare e B = −kB ≤ k ≤ kB; kB = π/a indica la prima zona diBrillouin, la definizione di stato di Wannier in una dimensione e la seguente:
|wmj〉 =
√a
2π
∫Bdk e−ikja|ψmk〉 (2.12)
in cui |ψmk〉 e l’m-esimo autostato di Bloch, j ∈ Z numera le celle.L’equazione (2.12) definisce gli stati di Wannier di singola banda; piu in generale sipossono definire stati di Wannier di banda composta:
|wmj〉 =
√a
2π
∫Bdk e−ikja
∑a
Uma(k)|ψak〉 (2.13)
dove U †U = UU † = 1 e U
(k +
2πm
a
)= U(k) con m ∈ Z.
Tali stati sono una base ortonormale e completa dello spazio di Hilbert.Ricordando infatti le seguenti due identita
a
2π
∫Bdk ei(j
′ − j)ka = δj′j ;a
2π
∑j
ei(k − q)ja = δ(k − q) (2.14)
per l’ortonormalita si ha che
〈wn′,j′ |wn,j〉 =a
2π
∫Bdk
∫Bdq eia(qj′ − kj)∑
m′m
〈ψm′,q|U∗n′m′(q)Unm(k)|ψm,k〉
=a
2π
∫Bdk eiak(j′ − j)∑
m
U∗n′m(k)Unm(k)
16
=a
2π
∫Bdk eiak(j′ − j)δn′n
= δj′jδn′n (2.15)
mentre per la completezza∑ni
|wn,i〉〈wn,i| =a
2π
∫Bdk
∫Bdq∑i
ei(q − k)ia∑m′m
∑n
U∗nm′(q)Unm(k)|ψm,k〉〈ψm′,q|
=
∫Bdk∑m′m
δm′m|ψm,k〉〈ψm′,k|
=∑m
∫Bdk|ψm,k〉〈ψm,k| = I
Per verificare le proprieta nel caso di Wannier di banda singola basta osservare chein tal caso risulta Unm(k) = δnm.E’ importante sottolineare che gli stati di Wannier non sono autostati dell’hamilto-niana. Infatti, poiche le energie di banda dipendono dalla variabile k, risulta
〈wnj|H|wnj′〉 =a
2π
∫Bdk
∫Bdq eikja〈ψnk|H|ψnq〉e−iqj
′a
=a
2π
∫Bdk
∫Bdq εn(q)δ(k − q)ei(kj − qj
′)a
=a
2π
∫Bdk εn(k)eika(j − j′)
(2.16)
Un risultato analogo vale per gli stati di Wannier di banda composta.Un altro fatto degno di nota e che gli stati di Wannier non sono univocamentedefiniti. Infatti, mentre uno stato di Bloch rimane autostato dell’hamiltoniana an-che dopo la trasformazione |ψ〉 → eiφ(k) |ψ〉 con φ(k + 2πm/a) = φ(k), a causadell’integrazione su k la definizione degli stati di Wannier cambia. La funzione φ(k)fissa quindi la gauge1. In particolare, si puo scegliere una gauge in cui risulta mini-mo lo spread 〈x2〉 − 〈x〉2 delle funzioni di Wannier wni(x) = 〈x|wni〉 e in tal caso siparla di funzioni massimamente localizzate [10].Un’altra proprieta delle funzioni di Wannier e:
wn,j(x) =
√a
2π
∫Bdk e−ikjaeikxjψnk(x− xj) = wn,0(x− xj) (2.17)
dove si e usato il teorema di Bloch per le ψnk(x) e si e posto xj = aj.La relazione (2.13) tra stati di Bloch e di Wannier puo essere facilmente invertita:
|ψmk〉 =
√a
2π
∑nj
eikjaU∗n,m(k) |wnj〉 (2.18)
1Infatti e linguaggio comune nella letteratura specifica parlare di trasformazioni di gauge inquanto la fase φ(k) e una funzione continua di k.
17
2.2 Evoluzione temporale di un pacchetto nella
base di Wannier
Poiche gli stati di Wannier sono una base dello spazio di Hilbert (relativo all’hamilto-niana periodica H) e possibile sviluppare un generico pacchetto |Ψ(t)〉 nel seguentemodo2:
|Ψ(t)〉 =∑m,j
χmj(t) |wmj〉 (2.19)
Dall’equazione di moto si ha
i~ |Ψ〉 = i~∑mj
˙χmj |wmj〉 = H |Ψ〉 =∑mj
χmjH |wmj〉 (2.20)
e proiettando su |wni〉 si ottiene
i~ ˙χni =∑m,j
Hni;mjχmj (2.21)
dove si e posto Hni;mj = 〈wni|H |wmj〉.Adesso abbiamo quindi un’equazione differenziale per i coefficienti dove compaionogli elementi di matrice dell’Hamiltoniana sugli stati di Wannier.Chiaramente tali passaggi valgono sia per Wannier di banda composta che di singolabanda.Dalla (2.13) risulta che per gli elementi di matrice vale
Hni;mj =a
2π
∫Bdk
∫Bdq eia(qi− kj)∑
a,b
U∗nb(q)Uma(k)εa(k)δabδ(k − q)
=a
2π
∫Bdk eiak(i− j)∑
a
U∗na(k)Uma(k)εa(k) (2.22)
per cui l’equazione di moto scritta in modo esplicito e
i~ ˙χni =∑m,j
a
2π
∫Bdk eiak(i− j)∑
a
U∗na(k)Uma(k)εa(k)χmj. (2.23)
Nel caso particolare di non mescolamento delle bande la matrice Unm(k) e l’identitaδnm, per cui si ottiene una forma relativamente semplice:
i~ ˙χni =∑m,j
a
2π
∫Bdk eiak(i− j)∑
a
δnaδmaεa(k)χmj
2I seguenti passaggi, qui intesi per Wannier di banda composta, valgono anche per Wannier dibanda singola.
18
=∑j
a
2π
∫Bdk eiak(i− j)εn(k)χnj (2.24)
In generale invece, dalla (2.23), si definisce la matrice
Mnm(k) ≡∑a
U∗na(k)Uma(k)εa(k) (2.25)
che, essendo periodica in k, puo essere sviluppata in serie di Fourier
Mnm(k) =∑`
M `nme−ika` (2.26)
Inserendo quest’ultima nella (2.23) e sfruttando
a
2π
∫Beiak(i− j − `) = δi,j+` (2.27)
si ottienei~ ˙χni =
∑m,j,`
M `nmχmjδi,j+` (2.28)
A questo punto si pone s = j + ` e successivamente si somma su s. In questo modol’equazione precedente diventa
i~ ˙χni =∑m,`
M `nmχm, i−` (2.29)
Adesso consideriamo i coefficienti dello sviluppo del pacchetto sulla base di Wannierχm,i. Questi presentano una dipendenza continua dal tempo e una dipendenzaspaziale discreta labellata dall’indice di sito i. Se la scala di variazione del pacchettoe grande rispetto al passo reticolare a, e possibile approssimare le χm,i con dellefunzioni lisce χm(x, t) (labellate, questa volta, solamente dall’indice m) in modotale che si abbia
χm(xi, t) = χmi(t) (2.30)
Tale sostituzione e chiamata approssimazione coarse-grain. Per le funzioni χm(x, t)vale quindi
χm(x− x`, t) = e−i` p
~aχm(x, t). (2.31)
Risostituendo nella (2.29), risulta
i~ ˙χn(x, t) =∑m,`
M `nme−i` p
~aχm(x, t)
=∑m
Mnm(p)χm(x, t) (2.32)
dove nell’ultimo passaggio si e sfruttata l’equazione (2.26).In conclusione, l’equazione di moto con la sola hamiltoniana periodica H in ap-prossimazione coarse-grain si puo scrivere come
i~ ˙χn(x, t) =∑m
∑α
U∗nα(p)Umα(p)εα(p)χm(x, t) (2.33)
19
In questa espressione l’indice m scorre su tutto lo spettro discreto mentre l’indiceα solo sulle bande che si mescolano. Se nb e il numero di bande che si mescolano,per m > nb la matrice U sara la delta di Kronecker e quindi ritroveremo equazionidiagonali senza accoppiamenti tra coefficienti con indici diversi.
2.3 Punti di Dirac in reticoli ottici
L’esempio piu noto di come emerga l’equazione di Dirac in reticoli periodici e sicu-ramente dato dalla struttura (bidimensionale) del grafene [11], che ormai puo ancheessere realizzata con reticoli ottici [12]. Molto schematicamente ci limitiamo qui ariassumere le caratteristiche principali che derivano dalla simmetria. In questo casosi fanno interagire opportunamente tre laser generando un potenziale [12]:
V (x) = V0 3 + 2 cos (b1 · x) + 2 cos (b2 · x) + 2 cos [(b1 + b2) · x] (2.34)
con
b1/2 =√
3kLex ±
√3ey
2(2.35)
e kL il vettore d’onda dei laser. Per tassellare lo spazio si puo scegliere come cellaelementare un rombo (figura 2.1(a)) con vettori base:
a1/2 =2π
3kL
(√3ex ∓ ey
)(2.36)
e tali che ai ·bj = 2πδij. La cella elementare ha una base data dai punti A e B dovesi trovano i minimi degeneri del potenziale, i quali forniscono la struttura a nidod’ape.
B
A
A
B
A
A
A
A
B
A B
B
B
B
B
A
a1
a2
(a) Reticolo diretto dell’honeycomb
(a)
-1-0.5
0 0.5
1kx
-1 -0.5 0 0.5 1ky
-0.25
0
0.25
0.5
E-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
-1 -0.5 0 0.5 1
E
kx
(b)exact
tbonly t0
t0 and t1
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
-1 -0.5 0 0.5 1
E
ky
(c)
(b) Punti di Dirac nell’honey-comb
Figura 2.1: Struttura bidimensionale dell’honeycomb
20
Il reticolo reciproco e dato dalle combinazioni lineari con coefficienti interi dei vettorib1,b2 e la prima zona di Brillouin risulta di forma esagonale avente ai vertici deipunti, detti di Dirac, nei quali le prime due bande si toccano (figura 2.1(b)).Si puo dimostrare che vicino a tali punti il sistema e descritto da un’equazione diDirac in due dimensioni. Tuttavia, per ragioni di spazio e di semplicita non ci adden-treremo ulteriormente in questo esempio bensı in quello di un reticolo bicromaticounidimensionale.
Reticolo bicromatico in una dimensione
Il potenziale sul quale ci concentreremo viene realizzato sperimentalmente facendointeragire due laser di lunghezze d’onda una doppia dell’altra, da cui l’aggettivobicromatico. Precisamente si ha [13]
V (x) =V1
2cos(2kLx) +
V2
2cos(4kLx+ φ) (2.37)
In figura (2.2) e riportato il potenziale per V1 = 5Er, V2 = 1.56Er con Er = ~2k2L/2m
e per φ = 0 e φ = π con le relative strutture a bande. Come si vede i minimidel potenziale (degeneri o meno) definiscono la struttura di un reticolo con baseunidimensionale e con cella elementare contenente i due minimi al suo interno.La struttura delle bande per questo potenziale non ha in generale punti di Dirac senon per particolari valori di V1, V2 che corrispondono al caso in figura con φ = π.In questa configurazione non sono (come nel grafene) le prime due bande a toccarsibensı la prima e la seconda eccitata. Il punto di Dirac si trova, come mostrato infigura, esattamente al centro della zona di Brillouin.Attorno a k = 0, per valori della fase φ da 0 a π e con i particolari valori V1 = 5Er,V2 = 1.56Er, l’energia della seconda e terza banda sono ben approssimate dall’e-spressione:
ε1,2(k) = ED ±√m2c4 + ~2k2c2 (2.38)
dove mc2 rappresenta la meta del salto energetico tra le due bande mentre c rap-presenta la pendenza delle bande in k = 0 quando la fase e φ = π. E’ importantenotare che solo m e una funzione della fase φ.Questo mostra quindi come le eccitazioni abbiano una legge di dispersione efficacedi tipo relativistico. Inoltre, come detto, giocando sui parametri fisici (cosa che spe-rimentalmente e ben controllata) si riescono a mimare situazioni con diversi valoriper la massa e la velocita efficaci. Questo fa capire come anche i campi critici nelmimare il Klein tunneling possano essere resi accessibili.
2.4 Dinamica di Dirac effettiva
Concentrandosi quindi nell’esempio appena esposto del reticolo unidimensionale,poiche per k ' 0 la prima e la seconda banda eccitata sono molto vicine tra di lororispetto alle altre possiamo considerare il sistema come se fosse a due sole bande3.
3Ovvero si trascura la probabilita di transizione verso la prima banda e tutte le altre bandesuperiori.
21
Figura 2.2: Potenziale con fase relativa di φ = 0 (a1) e con fase relativa φ = π (a2). Si vede chenel primo caso in k = 0 la seconda e terza banda sono separate da un piccolo salto energetico (b1),mentre nel secondo caso queste due bande si toccano (punto di Dirac) (b2).
Pertanto per gli autostati di Bloch si puo scrivere
H
(ψ1,k
ψ2,k
)=
(ε1(k) 0
0 ε2(k)
)(ψ1,k
ψ2,k
)(2.39)
con ε1,2 dati dalla (2.38). A questo punto se si applica la rotazione (che chiaramentenon modifica gli autovalori)
R(θ(k)) =
(cosθ senθ−senθ cosθ
)(2.40)
dove
tg(θ(k)) =mc2
~kc+√m2c4 + ~2k2c2
(2.41)
l’equazione (2.39) diviene4
H
(ψ1,k
ψ2,k
)=
(ED + ~kc −mc2
−mc2 ED − ~kc
)(ψ1,k
ψ2,k
). (2.42)
Per arrivare a metterla in forma di Dirac, riprendiamo il generico pacchetto dell’e-quazione (2.19).
4Nell’articolo [13], in cui i passaggi sono omessi, le equazioni (2.42), (2.44) e (2.46) hanno delledifferenze di segno. Tuttavia la trattazione che segue e del tutto autoconsistente.
22
Dalla (2.33) si vede subito che se si applica l’approssimazione coarse-grain si ottiene[13]:
i~ ˙χn(x, t) =∑m
∑α
R∗nα(θ(p))Rmα(θ(p)) εα(p)χm(x, t) n,m, α = 1, 2 (2.43)
Ovvero in modo esplicito si puo scrivere
i~∂
∂t
(χ1(x, t)χ2(x, t)
)=
(ED + pc −mc2
−mc2 ED − pc
)(χ1(x, t)χ2(x, t)
). (2.44)
La dinamica effettiva di Dirac risulta chiara se si applica l’ulteriore trasformazionecostante
U =1√2
(1 −11 1
); (2.45)
e si pone inoltre ED = 0 in quanto comporta solo una ridefinizione dello zerodell’energia. Cosı si ottiene (richiamando allo stesso modo lo spinore):
i~∂
∂t
(χ1(x, t)χ2(x, t)
)=
(mc2 pcpc −mc2
)(χ1(x, t)χ2(x, t)
). (2.46)
E’ facile verificare che questa ha la forma dell’equazione di Dirac unidimensionale:
i~∂
∂tΨ(x, t) = (cσxp+ σzmc
2)Ψ(x, t) (2.47)
dove Ψ(x, t) e uno spinore a due componenti.
23
Capitolo 3
Simulazione del Klein tunneling
Nel capitolo precedente abbiamo mostrato come l’evoluzione di un pacchetto sot-toposto a un potenziale periodico possa, sotto certe condizioni, essere governatadall’equazione di Dirac libera.Vedremo adesso come l’aggiunta di un potenziale non periodico che vari molto lenta-mente rispetto alle dimensioni del pacchetto possa essere inserito nella (2.46) in mododa non modificare la struttura di tipo Dirac dell’equazione.
3.1 Introduzione di un potenziale “lento”
L’hamiltoniana completa e data ora da:
H ′ = H + Vs (3.1)
dove H e l’hamiltoniana periodica e Vs e il potenziale “lento”.Riprendendo l’equazione di moto (2.21) risulta che gli elementi di matrice devonoessere i seguenti
H ′ni;mj = Hni;mj + 〈wni|Vs |wmj〉 (3.2)
dove questa volta gli stati di Wannier di banda composta della (2.13) sono quelliche si ottengono se si pone
U(k) = U ⊗R(θ(k)) (3.3)
con U data dalla (2.45) e R(θ(k)) data dalla (2.40). Chiaramente la parte di hamil-toniana corrispondente al potenziale non e diagonale nella base di Wannier, infattisi ha
〈wni|Vs |wmj〉 =a
2π
∫Bdk
∫Bdq ei(qi−kj)a 〈ψnq|Vs |ψmk〉 (3.4)
in cui ovviamente, per potenziali non costanti, 〈ψnq|Vs |ψmk〉 6= δnmδ(q − k)Vs.Nell’articolo [13] gli autori approssimano gli elementi di matrice del potenziale nelmodo seguente:
〈wni|Vs |wmj〉 =
∫dx w∗ni(x)Vs(x)wmj(x) ' Vs(xi)δijδnm (3.5)
24
avendo assunto che le funzioni di Wannier siano fortemente localizzate attorno aiminimi del potenziale e prendendo il potenziale costante sulla scala di localizzazionedelle funzioni stesse. A questo punto il risultato segue dall’ortonormalita delle fun-zioni. Tale approssimazione e molto drastica perche come abbiamo detto in prece-denza le funzioni di Wannier dipendono dalla gauge e quelle massimamente localiz-zate andrebbero ottenute con una matrice di rotazione che ne minimizzi lo spread[15]. D’altra parte la (3.3) non e stata ottenuta con tale procedura e di conseguenzala struttura delle Wannier meriterebbe di un approfondimento, tuttavia questo vaal di la dello scopo della tesi.A questo punto si puo osservare che gli elementi Vs(xi) derivano da un poten-ziale continuo e quindi risulta naturale applicare anche a questi l’approssimazionecoarse-grain. In questo modo si ottiene
i~∂
∂t
(χ1(x, t)χ2(x, t)
)=
(mc2 + Vs(x) pc
pc −mc2 + Vs(x)
)(χ1(x, t)χ2(x, t)
)(3.6)
E’ importante osservare che lo spinore a due componenti della (3.6) e normaliz-zato a uno. Per fare vedere cio si puo riprendere il pacchetto della (2.19) dal qualerisulta
〈Ψ|Ψ〉 =∑ni,mj
χniχ∗mj 〈wmj|wni〉
=∑ni,mj
χniχ∗mjδnmδij
=∑ni
|χni|2 = 1 (3.7)
Adesso poiche siamo interessati a un pacchetto composto da funzioni di Wannierrelative alla prima e seconda banda eccitata e ricorrendo nuovamente all’approssi-mazione coarse-grain, tale condizione si scrive∑
i
(|χ1(xi)|2 + |χ2(xi)|2
)'∫dx(|χ1(x)|2 + |χ2(x)|2
)= 1 (3.8)
Grazie alla (3.6) si puo pensare quindi di simulare effetti quanto-relativistici. Questoe stato esposto sempre nell’articolo [13] dove e stato utilizzato il potenziale
Vs(x) = −V0 e−2x2/W 2
0 − Fx (3.9)
con F = 0.0076 Er, V0 = 19.77 Er e W0 = 157 Er.Per la simulazione numerica e stato usato un pacchetto gaussiano preparato ini-zialmente con sovrapposizioni con piccolo spread in k di stati della seconda bandaeccitata e con quasimomento medio kc = 0.95 π/a. Gli autori hanno quindi calcolatol’evoluzione temporale della distribuzione spaziale delle densita di probabilita per
25
valori della fase φ = 0, φ = 0.8π e φ = π sia risolvendo numericamente l’equazionedi Schrodinger sia la dinamica effettiva di Dirac. Per questi valori della fase si ot-tengono rispettivamente, nella dinamica di Dirac, i valori efficaci mc2 = 0.78Er,mc2 = 0.24Er e mc2 = 0, rispettivamente.Come si vede dalla figura (3.1), per φ = 0 (pannelli a1 e b1) il pacchetto non oltrepas-sa la trappola ottica e si ha riflessione totale. Per φ = 0.8π (pannelli a2 e b2) gliatomi si comportano come particelle relativistiche con massa efficace mc2 = 0.24Ere si ha parziale riflessione e trasmissione; infine per φ = π (pannelli a3 e b3) la massaefficace e nulla e gli atomi riescono a scappare completamente dalla trappola ottica.Questi ultimi due casi simulano il Klein tunneling.
Figura 3.1: Evoluzione temporale di Schrodinger in un reticolo bicromatico con V1 = 5 Er eV2 = 1.56 Er e fasi relative (a1) φ = 0, (a2) φ = 0.8 π e (a3) φ = π. Dinamica di Dirac effettivacon (b1) mc2 = 0.78 Er, (b2) mc2 = 0.24 Er e mc2 = 0.Immagine presa dall’articolo [13].
3.2 Discussione
Terminiamo fornendo una spiegazione qualitativa dei risultati mostrati in figura(3.1), ovvero dell’analogia con il Klein tunneling, basata sulle equazioni semiclassicheper un pacchetto d’onda che si muove in un potenziale periodico con l’aggiunta diun potenziale esterno “lento” [9].In questo approccio, la procedura standard consiste nel considerare un pacchettod’onda normalizzato, costituito dalla sovrapposizione di autofunzioni di Bloch diuna data banda
Ψn(x, t) =
∫dk fn(k, t)ψnk(x) (3.10)
con quasimomento medio kc e larghezza ∆k, posizione media xc e larghezza ∆x (ingenerale si considerano pacchetti molto centrati attorno a kc e spread ∆x dell’ordinedi qualche passo reticolare).L’hamiltoniana completa
H = H0 + V (x) (3.11)
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e costituita da H0, che e la parte periodica con autovalori εn(k), mentre V (x) e ilpotenziale esterno non periodico. Le equazioni semiclassiche si ricavano nell’ipotesiche V (x) sia debolmente variabile in x, ovvero possa, con buona approssimazione,essere considerato costante sulla scala ∆x.In queste condizioni si puo scrivere
H = H0 + V (xc) +d
dxV (x)
∣∣∣∣xc
(x− xc) (3.12)
I primi due termini vanno cosı a ridefinire un’hamiltoniana periodica di ordine zeroH0 = H0 + V (xc) con autovalori spostati di V (xc), ovvero εn(k) = εn(k) + V (xc), econ autofunzioni di ordine zero che sono ancora autofunzioni di Bloch di H0.In approssimazione adiabatica, le equazioni semiclassiche del moto per il baricentrodel pacchetto nello spazio reale e nello spazio reciproco risultano [9]:
xc =1
~∂εn(kc)
∂kc(3.13)
kc = −1
~∂V (xc)
∂xc(3.14)
Il caso piu noto e quello di un potenziale lineare in x come quello dovuto alla presenzadi un campo elettrico costante o all’azione del campo gravitazionale. Considerandoad esempio quest’ultimo, si ha V (x) = −mgx e pertanto le equazioni semiclassichepossono essere facilmente integrate. Risulta infatti
~kc = mg (3.15)
ovvero che il quasimomento medio e lineare nel tempo. La prima delle equazioni(3.14) e quindi immediatamente integrabile e fornisce la traiettoria per la posizionemedia del pacchetto in funzione del tempo che risulta, a meno di costanti di inte-grazione
xc(t) =εn(kc(t))
mg(3.16)
Il risultato e quindi, a causa della struttura periodica delle energie di banda, unmoto periodico noto come oscillazioni di Bloch, il cui periodo e facilmente ottenibileimponendo che il quasimomento medio recuperi il suo valore dopo avere percorsouna zona di Brillouin kc(t+ TB)− kc(t) = 2π/a, ovvero
TB =h
mga(3.17)
Il centro del pacchetto inverte la sua velocita ogni semiperiodo di Bloch, in quantol’energia di banda ha punti stazionari al centro della zona di Brillouin (k = 0) e aibordi (k = ±π
a). L’ampiezza di oscillazione risulta il rapporto tra la larghezza in
energia della banda e la forza
∆xc =∆εnmg
. (3.18)
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Prima di passare alla discussione relativa alla figura (3.1), commentiamo brevementela figura (3.2-a), dove e raffigurato il potenziale lento usato in [13] insieme alle bandeenergetiche (nel caso di φ = π) “visti” da un pacchetto centrato sul minimo relativodel potenziale stesso (le energie in ordinata sono date in unita di ER). Alternati-vamente, in figura (3.2-b) vengono riportate le bande, assieme al potenziale totale,ricalcolando le stesse ad ogni valore della posizione del baricentro del pacchetto xc.
Figura 3.2: Potenziale slow e le prime quattro bande energetiche. In (a) e mostrata la situazioneenergetica considerando il pacchetto centrato nel minimo relativo del potenziale; in (b) le bandesono state ricalcolate per ogni posizione del baricentro del pacchetto.
Passiamo adesso alla spiegazione qualitativa di quanto accade nella simulazione difigura (3.1) utilizzando la descrizione semiclassica. Per fare cio, ci riferiremo anchealla figura (3.3), dove a destra sono riportate schematicamente la seconda e la primabanda eccitata, che possono essere sia molto vicine che eventualmente toccarsi acentro banda. Questo sistema, come visto, e riconducibile in modo efficace a parti-celle o antiparticelle di Dirac libere.Tale sistema viene considerato con l’aggiunta di una barriera lineare (pannello disinistra in figura 3.3) verso la quale si muove un pacchetto preparato nel ramo destrodella seconda banda eccitata (ossia una particella) con velocita data dalla (3.13)1.E opportuno sottolineare che le equazioni semiclassiche sono ricavate a rigore in ap-prossimazione adiabatica, ossia ipotizzando che il moto avvenga seguendo la curvadi dispersione di una sola banda; tuttavia tenendo conto della probabilita di tran-sizione Landau-Zener tra le due bande [16], la trattazione puo essere estesa al casoin questione.Nel caso generale quindi il pacchetto, avvicinandosi a k = 0, ha una certa probabilitaP non nulla di transire dal ramo destro della banda superiore al ramo sinistro dellabanda inferiore proseguendo il suo moto senza invertire la velocita e una probabili-ta (1 − P ) di proseguire sul ramo sinistro della banda superiore invertendo la suavelocita. Questa situazione simula cio che accade nei pannelli (a2) e (b2) in figura(3.1) e corrisponde a parziale riflessione e trasmissione. Quindi, in analogia al Kleintunneling trattato nel primo capitolo, si ha che la trasmissione attraverso la barriera
1E quindi dalla (2.38) con l’espressione caratteristica per una particella relativistica.
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e possibile grazie alla conversione di una particella in un’antiparticella2.Se le bande si toccano il pacchetto passa con probabilita uno dalla banda superiorea quella inferiore e si ha trasmissione totale. Questa situazione corrisponde al casodi particella relativistica a massa nulla (pannelli a3 e b3). Infine quando le bandesono molto separate e la probabilita di transizione e trascurabile, tutto il pacchettorimane nella banda superiore e si ha riflessione totale (pannelli a1 e b1 di figura 3.1).
Figura 3.3: Se non avviene la transizione (b-I) non vi e tunneling attraverso la barriera (a-I). Se,invece, avviene una transizione verso la banda inferiore (b-II) la particella riesce ad attraversare latrappola (a-II).
2Si noti che per m 6= 0 (quindi per φ 6= π, ovvero quando c’e un salto energetico finito tra laseconda e terza banda) e per k = 0 dalla (2.41) si ha tgθ(k) = 1, e quindi a meno di fattori difase costanti la matrice U(k) in (3.3) risulta essere l’identita. Cio implica che per k = 0 (p = 0)le componenti χ1 e χ2 nella (2.46) corrispondono ad ampiezze relative a stati corrispondenti,rispettivamente, alla seconda banda e alla prima banda eccitata. Questo e consistente con il fattoche per particelle a riposo le due componenti degli spinori di Dirac corrispondono a stati di energiapositiva e negativa. Per k 6= 0 invece U(k) in (3.3) non e l’identita e mescola le componenti dellospinore.
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