Università degli Studi di Genova
Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica
FILTRI ANALOGICI E DIGITALI 1
Prof. Mauro Parodi
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 2
Ringraziamento Queste note ricoprono la quasi totalità delle lezioni del corso di “Filtri Analogici e Digitali 1” e costituiscono la trascrizione delle pagine scritte a mano che distribuii durante lo svolgimento delle lezioni. Si tratta di un lavoro completamente dovuto all’iniziativa personale degli studenti Mauro Gaggero, Orlando Mocci e Matteo Pognani. Infatti, dopo avere superato l’esame finale, essi mi proposero la trascrizione delle note e si offrirono di compierla, dedicandovi i pochi ritagli di tempo libero consentiti dagli studi. Gli studenti che seguiranno le mie lezioni nell’avvenire faranno meno fatica: questo è il primo frutto del loro impegno. Il loro sforzo esprime una sensibilità non comune per la didattica e un interesse per gli argomenti del corso che non soltanto mi dà molta gioia, ma mi incoraggia a svolgere al meglio il mio lavoro di insegnante. A loro, dunque, esprimo tutta la mia gratitudine.
Mauro Parodi
Genova, 8 Marzo 2004
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 3
Indice
1 Proprietà generali di un bipolo RLCM .......................................................................... 4
2 Operazioni elementari di sintesi .................................................................................... 9
3 Immettenze LC ........................................................................................................... 13
4 Immettenze RC........................................................................................................... 21
5 Normalizzazione e denormalizzazione ........................................................................ 29
6 Sintesi di filtri doppiamente terminati ......................................................................... 36
7 Richiami di teoria delle linee....................................................................................... 50
8 Variabile di Richards .................................................................................................. 56
9 Filtri attivi RC............................................................................................................. 61
10 Qualche nota sulla funzione passa banda del secondo ordine .................................... 73
11 Simulazioni di reti a scala LC con reti attive (FDNR) ............................................... 75
12 Sintesi mediante strutture accoppiate ........................................................................ 80
13 Circuiti numerici e trasformata Zeta.......................................................................... 84
14 Teorema di Cohn.................................................................................................... 100
15 Sensibilità............................................................................................................... 102
16 Dipendenza bilineare .............................................................................................. 104
17 Il metodo della rete aggiunta................................................................................... 111
18 Rete aggiunta e sensibilità per l’impedenza fra due punti di un circuito................... 120
19 Un cenno al progetto di filtri tramite ottimizzazione................................................ 124
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 4
+∞−=
0
)()( dtetisI st +∞−=
0
)()( dtetvsV st
1 Proprietà generali di un bipolo RLCM
Se i componenti sono inizialmente nello stato
zero e se v(t), i(t) sono L- trasformabili, si ha:
Se il bipolo è definito su base corrente, si ha
ancora:
)(
)()(
sI
sVsZ =
ove:
V(s) = “risposta”
I(s)= “assegnata”
La struttura di Z(s) è sempre riconducibile a quella di un RAPPORTO DI POLINOMI in s:
1) per s ∈ ℜ , gli integrali che definiscono I(s) e V(s) sono reali anche ( )sZ ∈ ℜ .
Conseguenza: 0a , ... , na ; 0b , ... , mb sono reali.
2) Il bipolo è passivo. Allora in regime sinusoidale, la potenza attiva entrante deve
essere ≥ 0. Ponendo dunque ωjs = nella ( )sZ , deve essere
3) Se qualcuno dei componenti all’interno del bipolo è inizialmente carico, la tensione
( )tv0 a circuito aperto fra A e B evolverà secondo frequenze libere che sono poli di
( )sZ .
0)(Re2
1
0)(Re
2 ≥
=
≥
⋅
⋅
ω
ω
jZ
jZIp
022
110
022
110
...
...
)(
)()(
sbsbsbsb
sasasasa
sq
spsZ
mmmm
nnnn
++++++++== −−
−−
022
110
022
110
...
...
)(
)()(
sbsbsbsb
sasasasa
sq
spsZ
mmmm
nnnn
++++++++== −−
−−
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 5
( )tVo non può crescere indefinitamente nel
tempo in queste condizioni. Perciò:
• i poli possono stare nel semipiano
negativo del piano complesso o
sull’asse immaginario
• quelli sull’asse immaginario devono
essere semplici , altrimenti ( )tVo conterrebbe termini del tipo tjket 0ω con k 1≥
oppure kt per polo in s=0 (vale anche per l’eventuale polo all’infinito).
Perciò il polinomio q(s) ha coefficienti 0b , ...
, mb tutti con lo stesso segno. Considerando
ora lo stesso bipolo in termini di ammettenza
)(
)(
)(
1)(
sp
sq
sZsY == (il che è possibile salvo
nel caso in cui il bipolo sia un cortocircuito) si
può studiare l’evoluzione ( )ti0 della corrente
Poli di ( )sZ :
zeri di q(s)
eventuale polo all’infinito se n > m
( )[ ] ( )[ ] 20
200 ωωω +=−−+− sjsjs
( )[ ] ( )[ ]222 2 baass
jbasjbas
+++=
=−−−∗+−−
0,, >cba
( ) ( ) ( ) ( ).........2 20
22220
21 ω+++++= scsbaassbsq kk
( ) cscs +=−−
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 6
di cortocircuito quando qualche componente interno sia inizialmente carico. Si possono
allora trarre conclusioni analoghe a quelle svolte per ( )sZ . In questo caso i poli sono quelli
di p(s) più un eventuale polo all’infinito se m >n. In particolare, i coefficienti di p(s) hanno
tutti lo stesso segno. Il segno dei coefficienti di p(s) e q(s) può essere preso positivo in tutta
generalità. Infatti per 0→s si hanno le seguenti possibilità:
( )m
n
b
asZ → e questo deve essere un
( ) ∞→sZ (polo semplice nell’origine)( )
=
⋅→
−
−
0
1
1
m
n
m
m
n
b
a
b
sb
asZ
è un
( ) ( ) ( )
=
⋅→∞→→
−
−
0
01
1
n
m
n
n
m
a
b
a
sa
bsY
sYsZ è un
In tutti questi casi il rapporto deve essere positivo. Perciò il segno dei coefficienti ia e dei
coefficienti jb è lo stesso.
I poli sull’asse immaginario devono avere residuo positivo (oltre che essere semplici).
Questo è già stato osservato per un polo di ( )sZ nell’origine (residuo n
m
a
b 1− ) e per un polo
di ( )sY nell’origine (residuo m
n
b
a 1− ).
Riflessioni analoghe si possono fare per un polo all’infinito.
( )m
n
sb
sasZ
0
0↔∞→ con n=m+1 e =0
0
b
a
( )n
m
sa
sbsY
0
0↔∞→ con m=n+1 e =0
0
a
b
mentre per poli complessi coniugati, ad esempio per ( )sZ , si ha
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 7
questa espressione deve avere un senso anche da sola. Esaminandola come tale si ha
( ) =ωjZRe =
+−+
20
2Re
ωωω BAj
022
0
≥−
segnocambia
B
ωω solo per B = 0
( )20
2 ω+=
s
AssZ con A > 0. Ma si ha anche
Per riassumere, un bipolo realizzato con R, L, C, M ha
a) ( )sZ reale per s reale ed è un rapporto fra polinomi in s
b) ( ) 0Re ≥ωjZ ω∀
c) poli di ( )sZ sul semipiano sinistro e/o sull’asse immaginario. Questi ultimi devono
essere semplici e con residuo positivo.
Questi requisiti (o quelli, equivalenti, per ( )sY ) sono necessari e sufficienti per garantire
che ( )sZ sia realizzabile con R, L, C, M. Nel seguito, quando una proprietà si riferirà
indifferentemente a ( )sZ o ( )sY , verrà impiegato il termine “IMMETTENZA”, che si
indicherà con f(s) invece si ( )sZ o ( )sY .
Una immettenza realizzabile si dice FUNZIONE REALE POSITIVA (FRP).
Alcune proprietà delle immettenze realizzabili
1) ( ) ( )( )sq
spsf = ha i coefficienti di p(s) e q(s) tutti positivi (già visto)
2) le parti reale e immaginaria di ( )ωjf sono, rispettivamente, funzioni pari e dispari
di ω . Infatti: ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )sqssq
spssp
sqsq
spsp
sq
spsf
pp
pp
dp
dp
ˆ
ˆ
⋅+⋅+
=++
==
( ) ( ) ( )0
22120
221021
0
2
0
1 >==+
−++=+
+−
= Akk
s
kkjskk
js
k
js
ksZ
ωω
ωω
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 8
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
⋅+⋅+
=
ωωωωωωωω
ωjqjq
jqjpjqjpjf
pp
pppp
222
2
ˆ
ˆˆRe ( ) ( ) ωω jfjf −≡ ReRe
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ω
ωωωωωωωω
ω jfjqjq
jqjpjqjpjf
pp
pppp −−=+
−= Im
ˆ
ˆˆIm
222
3) Le potenze massime n e m di p(s) e q(s) hanno 1≤− mn
4) Le potenze minime di p(s) e q(s) non differiscono di più di un’unità.
5) p(s) e q(s) possono essere, come caso particolare, pari o dispari in s. Nel caso
generale, tuttavia, non può mancare nei polinomi alcuna potenza intermedia.
6) ( )22
πωπ ≤≤− jf
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 9
2 Operazioni elementari di sintesi
Problema generale:
data l’espressione di una ( )sZ o ( )sY realizzabile estrarre un bipolo elementare in modo
tale che ciò che resta sia ancora realizzabile.
Estratta ( )sZ1 , la
( )sZ2 deve essere
ancora realizzabile.
Estratta la ( )sY1 , la
( )sY2 deve essere
ancora realizzabile.
1) Rimozione di un polo all’infinito
( )sZ1 è certamente realizzabile. Per decidere se ( )sZ2 = ( )sZ - ( )sZ1 è realizzabile
osserviamo che:
a) è certamente soddisfatto (( )sZ2 reale per s reale )
b) ( ) ( ) ( ) ( ) 0ReReReRe 12 ≥≡−= ωωωω jZjZjZjZ
c) i poli di ( )sZ2 sono gli stessi di ( )sZ (salvo quello all’infinito, appena
rimosso). I residui dei poli immaginari ijω sono gli stessi di ( )sZ , dunque
positivi per ipotesi.
Res ( )[ ] ( ) ( ) ≡
⋅−−=→= s
b
asZjssZ i
jsjsi
i
0
02 lim ω
ωω ( ) ( ) =−→
sZjs ijs i
ωω
lim Res ( )[ ]ijssZ ω=
( )
( )
sZ
nn
sZ
nn
nn
bsb
divisionedellaresto
b
sa
bsb
asasZ
21
.............
......)(
00
0
0
11
0
+++=
++++
= ++
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 10
Perciò la rimozione dà
con ( )sZ2 ancora realizzabile.
Analogamente, per ( )sY = ( )sYb
sa
bsb
asa
nn
nn
20
0
0
11
0
......
......+=
++++ +
+
la rimozione garantisce
la realizzabilità di ( )sY2 e si ha:
2) Rimozione di un polo nell’origine
Sia ( )sZ =sbsb
asa
mm
nn
10
0
......
......
−++++ ( )1≤− nm
Si può dividere in questo modo
( )( ) ( )
sZ
mm
sZ
m
n
sbsb
resto
sb
asZ
21
011
1
+++=
−−
Si dimostra facilmente che anche ( )sZ2 è realizzabile. Perciò
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 11
Con procedimento e notazioni identiche, ma riferite a una ( )sY , si ha
3) Rimozione di una coppia di poli immaginari coniugati.
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )sZ
s
sk
sqs
sp
sq
spsZ 22
12
1
121
2
2+
+=
+==
ωω
(con 01 >k residuo in 1ωj e 1ωj− )
E’ facile verificare che ( )sZ2 soddisfa ancora tutti i criteri a) b) c) ed è dunque
FRP (realizzabile). Allora:
e:
Con identiche argomentazioni su ( )sY si ottiene
( )
=+
=+
=
ba YY
skkss
sksZ
1
21
1
21
21
1
22
12
ωω
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 12
4) Rimozione di una costante
( ) ( )( ) ( )sZAsq
spsZ 2+== ( )0>A
Siccome occorre che ( ) ( ) 0ReRe 2 ≥−= AjZjZ ωω
( ) ( ) 0ReRe 2 ≥−= AjZjZ ωω è necessario che ( ) ( ) ωω
jZA Remin0 ≤≤ per cui
non sempre è possibile se per almeno un valore di ω si ha ( ) 0Re =ωjZ non
si potrà estrarre alcuna costante. In caso contrario, invece
con ( )ωjZ2 realizzabile
Dualmente, per una ( )sY realizzabile si ha
(qui A rappresenta la conduttanza del resistore).
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 13
3 Immettenze LC
Una ( )sZ composta di sole L e C ha evidentemente ( ) 0Re =ωjZ . Questo implica che
essa sia sempre il rapporto fra un polinomio pari e uno dispari o viceversa. Infatti in
generale:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
++
=
++
=ωωω
ωωωωωω
jqjq
jqjpjqjpjZ
sqssq
spsspsZ
pp
pppp
pp
pp
222
2
ˆ
ˆˆRe
ˆ
ˆ
( ) 0Re ≡ωjZ se
( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆˆ2 =− sqspssqsp pppp
In entrambi i casi l’origine s=0 è un punto significativo: zero
nel primo caso, polo nel secondo caso. Analogamente per
∞=s , che è sempre un polo o uno zero. Gli altri zeri e poli
stanno sull’asse immaginario. Essi sono determinati, sia nel
caso (1) sia nel caso (2), da radici di un polinomio pari.
Considerando allora un polinomio pari come pq del caso
(1): siccome ( ) ( ) 000 ssqsq pp ∀−= , se 0s fosse una radice,
lo sarebbe anche -0s una delle due sarebbe un polo nel semipiano destro per la
( )sZ ( )sZ non sarebbe FRP. Riflessioni del tutto identiche valgono per ( )sY : facendo
riferimento sempre al caso (1), per il quale ( ) ( ) p
p
ps
q
sZsY
ˆ1 == , gli zeri di pp devono
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 14
stare sull’asse immaginario. Analoghe riflessioni valgono per pp e pq nel caso (2). Per
riassumere, impedenze e ammettenze LC hanno la seguente struttura:
Per cui:
( )
( )
= −
+−=
n
r r
rkkH
jY
o
jZ
122
0 2Im
ωωω
ωω
ω
ω
Proprietà
Zeri e poli si alternano sull’asse immaginario.
Infatti:
( )
( )
( )( )( )
=
+
>−
−−−++=
n
r r
rr
r
kkH
jY
o
jZ
d
d
1222
22
20 0
22Im
22
ωω
ωωωωω
ω
ω
ω
ωω
per cui
( )
( )
ω
ω
jY
o
jZ
Im è sempre crescente. Ad esempio, per ( ) ( ) ωω jZX Im= si possono
avere queste possibilità:
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 15
Da
( )
( )
= +++=
n
r r
r
s
sk
s
kHs
sY
o
sZ
122
0 2
ω
Con le operazioni elementari di sintesi si ricavano le due SINTESI CANONICHE DI
FOSTER
Sintesi LC secondo CAUER
1) Rimozione iterata di poli all’infinito
Si supponga di avere una ( )sZ realizzabile con sole L e C. Posto che all’infinito ci
sia un polo, esso può essere rimosso tramite un induttore 1L
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 16
Considerando ( ) ( )sZsY
22
1= e rimuovendo il polo all’infinito tramite un
condensatore si ha
( ) ( )sYsCsLsZ
321
1
++=
( )3
33
10
YZY ==∞ ha un polo all’infinito che si può rimuovere tramite un
induttore, e così via.
La sintesi descritta corrisponde allo sviluppo di ( )sZ in frazioni continue:
( )
11
11
4
3
2
1
++
++=
sCsL
sCsLsZ
il primo elemento è 1L se ( )sZ ha un polo all’infinito; se ( )∞Z è uno zero, il primo
elemento è 2C .
2) Rimozione iterata di poli nell’origine
E’ un meccanismo perfettamente duale. Supponendo che ( )sZ abbia un polo
nell’origine, esso si rimuoverà con un condensatore:
( ) ( ) ( )sYsCsZ
sCsZ
212
1
111 +=+=
( ) ( ) ;000 22 ∞== YZ
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 17
il polo di ( )sY2 nell’origine si rimuoverà con un induttore, e così via.
Lo sviluppo di ( )sZ in frazioni continue ha la seguente struttura:
( )
11
1111
11
4
3
2
1
++
++=
sLsC
sLsC
sZ
La realizzabilità con sole L e C richiede:
a) immettenza con poli e zeri semplici, alternati, sull’asse immaginario;
b) polo o zero sia nell’origine sia all’infinito;
c) rapporto fra i coefficienti di grado massimo ( )( )sq
sp positivo.
Esempio
( )( )
( ) ( ) ( )
>
>⋅=++
+=
0
0ˆ91
422
2
U
sZUss
ssU
sZ
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 18
Sviluppiamo ( ) ( )( ) ( ) 9
2
1
2
91
4ˆ2
22
122
2
++
+=
+++
=s
sk
s
sk
ss
sssZ
( ) ( )16
3ˆ2
1lim
2
11 2
=+=−→
sZs
sk
s
( ) ( )16
5ˆ2
9lim
2
92 2
=+=−→
sZs
sk
s
Come si può verificare facilmente dal fatto che i residui “veri” sono Uk1 e Uk2
( ) ( ) ( )( ) ( )sY
Uss
ss
UsY ˆ1
4
9112
22
=+
++=
( )4
2ˆ2
10
+++=
s
sk
s
kHssY
con ( )
1ˆ
lim ==∞→ s
sYH
s
( )4
9ˆlim00 ==
→sYsk
s
( )8
15ˆ2
4lim
2
41 2
=+=−→
sYs
sk
s
( )4
415
49
ˆ2 +
++=s
s
sssY ( )
+++=
44
154
91
2s
s
ss
UsY
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 19
Si noti che anche in questo caso il coefficiente U moltiplicativo della ( )sZ “moltiplica” i
valori delle induttanze e “divide” i valori delle capacità.
Sintesi con Cauer 1
( ) ( )( ) ( )91
4ˆ22
2
+++
=ss
sssZ Per iniziare con un polo all’infinito si parte dall’ammettenza:
=
++
++=
+++
+=
96
4
11
0
4
96
10
2
33
2
s
sss
ss
ss
dopo qualche passaggio:
ss
ss
18
51
5
121
6
11
0
++
++
La moltiplicazione per U divide i valori di capacità e moltiplica quelli di induttanza:
( ) ( ) ( )( )
=
+++
+=
+++
+=
ss
ss
ss
sssZ
4
910
10
4
91
10ˆ
3
24
2
22
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 20
Sintesi con Cauer 2
Per iniziare con un polo nell’origine si parte dall’ammettenza:
=(dopo alcuni passaggi)
ss
ss
15
3111
691
601
1
16
3111
9
41
10
++
++=
Come di consueto il termine U divide le capacità e moltiplica le induttanze.
( ) =
+++
+=
3
42
4
109
10ˆ
ss
sssZ ( ) =
+
++
+=
42
3
4
314
1
9
41
10ˆ
ss
sss
sZ
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 21
4 Immettenze RC
Le proprietà di una impedenza RC si possono dedurre da quelle di una LC. Il passaggio da
un bipolo LC a uno RC con la stessa struttura topologica può essere descritto, in linea di
principio, così:
( )k
k CsLssZ
ˆ1
ˆˆ +=αβ ( )k
k sCRsZ
1+=αβ
Il passaggio da ( )sZ ˆαβ a ( )sZαβ , salvo le ovvie ridefinizioni del significato dei coefficienti
dal punto di vista delle dimensioni fisiche, avviene così:
( )k
k CsLsZ
s 2ˆ1
ˆˆ1 +=αβ ;
posto ss →2ˆ si ha ( )k
kss sC
LsZs
1ˆ
ˆ1
2ˆ
+=→
αβ che ha la stessa struttura del
terminek
k sCR
1+ . In linea di principio, quindi, si passa da ( )sZLC ˆ a ( )sZRC così:
( ) ( )sZsZs RC
ssLC →
→2ˆ
ˆˆ1
.
Considerata allora la struttura di ( )sZLC ˆ :
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 22
( ) = +
++=n
r r
rLC s
sk
s
ksHsZ
122
0
ˆ
ˆ2ˆ
ˆˆω
si ha:
( ) = +
++=⋅n
r r
rLC s
k
s
kH
ssZ
1222
0
ˆ
2
ˆˆ1
ˆω
per cui, col passaggio ss →2ˆ e la ridenominazione opportuna di alcuni simboli, si ha:
( ) = +
++=n
r r
rRC s
k
s
kHsZ
1
0
σ
rr
rr kk
σω →
→2
2
ove rσ , proveniente da 2rω , è >0 e rk sostituisce rk2 in quanto associato a un polo in
rs σ−= invece della coppia di poli complessi coniugati della LCZ . Con la stessa metodica
di passaggio si possono dedurre altre proprietà considerando una espressione di ( )sZLC ˆ
strutturata come rapporto di polinomi
Questa espressione evidenzia che, per ( )sZRC :
a) l’origine può essere un polo, ma non uno zero;
b) gli zeri sono reali e negativi: 1z
σ− , 2zσ− , ecc.
c) i poli sono reali e negativi: 1σ− , 2σ− , ecc.
Per σ=s (asse reale) si ha poi:
( )( )
=
<+−+−=
n
r r
rRC
s
kkZ
d
d
122
0 0σσ
σσ
per cui si ha alternanza fra zeri e poli sull’asse reale.
Inoltre
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 23
Grafici qualitativi di ( )σRCZ :
con polo nell’ origine
( 00 >k )
senza polo nell’origine
( 00 =k )
Perciò, per poter realizzare un’impedenza con soli elementi R e C occorre che siano
verificate queste proprietà:
a) poli e zeri devono essere semplici, reali e negativi;
b) poli e zeri devono alternarsi sull’asse reale;
c) il primo “punto critico” più vicino all’origine è sempre un polo; il più lontano, uno
zero;
d) il rapporto fra i coefficienti di grado massimo nei polinomi ( )sp e ( )sq (livello)
deve essere positivo.
Queste condizioni sono anche sufficienti per la realizzabilità con R e C.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 24
Lo sviluppo per ( )sYRC non ha la stessa struttura di quello per ( )sZRC (nel caso LC,
invece, la struttura era la stessa).
Le due sintesi canoniche (Foster) sono qui descritte:
( ) = +
++=m
r r
rRC s
k
s
kHsZ
1
0
σ
( ) ∞
= +++=
10
r r
rRC s
skHsksY
σ
N.B. I resistori sono definiti, nella figura, tramite il valore di resistenza.
Vediamo ora le sintesi canoniche di Cauer.
1) Da ( )sZRC si può rimuovere anzitutto la costante corrispondente al minimo valore
di ( ) ωjZRCRe . E’ facile verificare che ( ) 0Re <ωω
jZd
dRC e che il minimo si
ottiene all’infinito. Allora:
( ) = +
++=m
r r
rRC s
skHsksY
10 σ
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 25
( )sZ2 è ancora realizzabile, e ha ( ) =∞ 02Z si considera ( ) ( )sZsY
22
1= che ha
un polo all’infinito e si rimuove come un condensatore, poi il processo ricomincia
su ( )sZ3
Si ottiene così una rete a scala:
( )
++
++=
43
2
1
11
1
sCR
sCRsZRC
2) La costante massima estraibile da ( )sYRC è quella che corrisponde al minimo di
( ) ωjYRCRe sull’asse immaginario. E’ facile verificare che tale valore è ( )0RCY
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 26
( )sY2 è ancora realizzabile, con ( ) = 002Y si considera ( ) ( )sYsZ
22
1= e si
rimuove il polo corrispondente, che è espresso da un condensatore 2C . Il
procedimento continua e si ottiene una rete a scala.
Questa sintesi opera dunque su s=0;
( )
++
++=
4
3
2
1
111
1111
sCR
sCR
sYRC
Esempio
E’ facile verificare che i criteri di realizzabilità RC sono soddisfatti. Allora, posto
( ) ( )sZMsZRCˆ= si ha:
( )4
83
24
18
30
42ˆ 210
++
+++=
++
+++=
ssss
k
s
k
s
kHsZ
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 27
( )( ) 3
2
1
12
3
031ˆ
1ˆ 210 +
++
++=+
++
++==s
s
s
ss
s
sk
s
skHsk
sZsY
Con Cauer 1 si ha:
( )
s
s
ssss
sssZ
3
11
2
31
3
41
2
11
10
86
34ˆ23
2
++
++
+=++++=
Con Cauer 2:
( ) =
+
+++
+=
++++
+=++++=
2
3232
22
23
8
5
4
768
1
8
31
0
68
43
10
34
86ˆ
ss
sssssss
ssss
ssssY
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 28
s
s
s
44
31
21
9681
88
491
7
321
8
31
0
++
++
+
Quindi:
Nota: I resistori sono caratterizzati dal valore numerico riferito alla resistenza.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 29
5 Normalizzazione e denormalizzazione
Nei procedimenti di sintesi si opera frequentemente con numeri molto grandi o molto
piccoli.
Esempio
FaradnF 9123 1010101 −− =⋅=
Ω=Ω 61010M
HH 51010 −=µ
Inoltre le frequenze associate ai segnali possono essere, a loro volta, numeri “grandi”
66 102101 ⋅=→= πωHzMHz
88 10210100 ⋅=→= πωHzMHz
Conviene allora effettuare alcune normalizzazioni.
Normalizzazione in frequenza
nss ⋅= 0ω
In questo modo, imponendo che l’impedenza non muti per i singoli componenti
elementari:
LLLsLsLssL nnnnnn 00 ωω ===
00
1111 ωω
CCCsCsCssC n
nnnnn
===
RRn ≡
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 30
Normalizzazione in ampiezza
K
ZZKZZ nn ==
nn KLLsKLsL ==
K
CC
sC
K
sCn
n
==1
nKRR =
Non di rado si impiegano contemporaneamente la normalizzazione in frequenza e quella in
ampiezza.
In questo modo si può ottenere la sintesi di impedenze normalizzate e “scalare” i valori in
frequenza e in ampiezza al termine del procedimento.
Esempio
Consideriamo 1
822
3
++
==n
nnn
s
ss
K
ZZ con
0ωs
sn =
E’ facile verificare che i requisiti di realizzabilità LC nel dominio normalizzato sono
rispettati. Lo sviluppo di Foster dà:
( ) +
+=1
62
2n
nnnn s
sssZ
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 31
Per: 340 10;10 == Ksradω si ottiene:
HenryK
HenryK
6.06
;2.02
00
==ωω
nFK
7.16106
100
106
1
6
1 97
0
≈=⋅
= −
ω
La stessa impedenza, con Cauer 1, dà
( )
++=
n
nnnn
s
sssZ
6
1
6
12 ( ) =
=0ω
sKZsZ n
KsK
ss
K
s
sKs
K
66
12
66
20
0
00
0
0ω
ωωω
ωω +
+=+
+
Quindi:
(la rete, data la semplicità, ha la stessa
struttura di quella ottenuta con Foster)
Esempio
Sia ( )18202
424
3
+++
=nn
nnnn
ss
sssZ realizzabile con L e C come si può verificare.
Lo sviluppo in frazione continua di Cauer 1 dà
++==
1
6
2
20
20
0
ω
ωω s
ss
KZKZ n
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 32
Con nKZZ = e 0ω
ssn = la sintesi è
Filtro passa-basso prototipo e trasformazione in frequenza
Una funzione di trasferimento ( )ωjH il cui modulo ha le caratteristiche di figura:
Si dice passa-basso prototipo. Esso non può essere realizzato perché viola il principio di
causalità: una transizione a gradino in frequenza implica una risposta all’impulso del tipo
( )sin t
t, ossia una funzione che inizia in ∞− anche se l’ingresso impulsivo è applicato in
0=t . La realizzabilità fisica richiede di approssimare il passa-basso con funzioni di nω
che impiegano POLINOMI: soltanto così è possibile, fra l’altro, sintetizzare circuiti che
rappresentino tali approssimazioni. Fra le approssimazioni, verranno considerate quelle di
Butterworth e quelle di Chebyshev. Preliminarmente però, si vuole considerare l’insieme
di trasformazioni in frequenza che permettono il passaggio dal filtro passa-basso agli altri
tipi di filtro. Per loro tramite, come si vedrà, diventa possibile effettuare la sintesi
preliminare sul passa-basso prototipo e passare poi a quello desiderato tramite la
trasformazione in frequenza opportuna, che definisce anche i cambiamenti nei parametri
del circuito.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 33
1) Passa- basso → passa-alto
nnss
ωωωω 00 −== perciò la banda passante del piano ns viene proiettata in ( )+∞,0ω
e simmetricamente in ( )−∞− ,0ω . La banda oscura cade fra 0ω− e 0ω+ .
Conseguenze sui componenti:
sLC
sC
sCs n
nnn
=
⋅=→00
111
ωω
sC
Ls
Ls
Ls
n
nnn
1
1
1
0
0 =
⋅=→
ω
ω
(le dimensioni fisiche non “tornano” perché ns , nC , nL sono normalizzati a termini di
riferimento).
2) Passa-basso → passa banda
+−
=s
ss
ccn
0
0
0
12
ωωωω
ω
120 cc ωωω =
12 ccB ωω −=
−=ωω
ωωωω 0
0
0
Bn
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 34
Esempio
per 0=nω 0ωω ±=n
per 1=nω 10
0
0 =
−ωω
ωωω
B =⋅−
10
0
20
2
B
ωωωωω
020
2 =−− Bωωω
(sostituendo):
Conseguenze sui componenti:
3) Passa-basso → elimina-banda
(trasformazione reciproca di quella che porta al passa-banda)
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 35
+=
s
s
B
sn
0
0
0
1
ωω
ω
−−=
ωω
ωωω
ω0
0
0
1
B
n
con 0ω e B definiti come nel caso precedente.
In questo caso la banda oscura è ( )21
, cc ωω .
Conseguenze sui componenti:
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 36
6 Sintesi di filtri doppiamente terminati
Riferimento generale:
Posto di essere in regime sinusoidale, si ha, impiegando fasori riferiti ai valori efficaci:
massima potenza entrante nella porta : quella che si ha in condizioni di adattamento
energetico
In generale 1
2
1
1
2 R
EP ⋅≤
. La potenza uscente dalla porta (dissipata da 2R ) è 2
2
2
R
V
.
Essa non può superare quella entrante, perché il doppio bipolo è passivo , per cui
⋅≤≤1
2
12
2
2 1
2 R
EP
R
V
( )
passività
diVincolo
R
R
E
V
jS
221
1
2
2
22
ω
≤
Il doppio bipolo, oltre ad essere passivo, è senza perdite. Perciò la potenza attiva
complessivamente entrante in esso è zero:
1
2
max
1
2 R
EP ⋅=
0ReRe 2211 =+ ∗∗ IVIV
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 37
Si ha:
−==
−=
222
111
111
IRV
IZV
IREV
2
2
2
2
2222
111
11
11
ReRe
;
R
V
R
VVIV
ZR
EI
ZR
ZEV
−≡
−=
+=
+=
∗∗
Pertanto:
( ) ( ) =⋅++
=
+⋅
+= ∗
∗∗
1
1111
2
1111
111 ReReRe Z
ZRZR
E
ZR
E
ZR
ZEIV
( ) ( ) 211
1111
2∗
∗
+⋅
++=
ZZ
ZRZR
E
La condizione 0ReRe 2211 =+ ∗∗ IVIV diventa ( ) ( ) 02
2
2
211
1111
2
=−+
⋅++
∗
∗ R
VZZ
ZRZR
E
( ) ( ) 2
2
12
21 1 ωρω jR
RjS −=⋅
Perciò:
La funzione di trasferimento ( )ωjE
V
2 al variare di ω è soggetta al vincolo di passività che
stabilisce un limite superiore per il modulo:
1
2
2
22
R
R
E
V≤
ovvero ( )1
22
21 R
RjS ≤ω
Scelta ( )ωjE
V
2 , la rete LC si può determinare attraverso la sintesi di una ( )sZ1 tale che,
per ωjs = :
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 38
2
1
2
2
2
11
11 41R
R
E
V
RZ
RZ⋅−=
+−
Questo procedimento richiede di fare alcune scelte, connesse al fatto che l’espressione
coinvolge il modulo quadrato del coefficiente di riflessione. Per descrivere il procedimento
(almeno nelle linee essenziali) si può considerare un esempio. Supponiamo che sia
richiesto:
( )6
0
2
2
1
+
=
ωω
ω kj
E
V
(passa-basso)
0ω : pulsazione di TAGLIO
Il vincolo di passività 1
2
2
22
R
R
E
V≤
significa, in questo caso:
1
2max
1
22
42
R
Rk
R
Rk =≤
Per brevità di scrittura, indichiamo con:
0ωωω =n la pulsazione normalizzata;
0ωs
sn = la variabile normalizzata di Laplace;
Il termine 6
6
0
11 nωωω +=
+ viene considerato proveniente da 61 ns− (per nn js ω= si
riottiene il termine di partenza).
Scegliamo 1
2max 4R
Rkk == si ha:
( ) ( )6
2
1
2
22
2
12
21 1
12
nn R
Rj
E
V
R
RjS
ωωω
+=⋅=⋅
Perciò
( ) ( )6
62
6
2
11
11
n
nr
nr jj
ωωωρ
ωωρ
+=
+=−
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 39
Ora, nel dominio di Laplace il corrispondente di questo risultato è:
Ricordiamo ora che:
deve avere la struttura di un rapporto di polinomi
Poniamo allora:
( ) ( )( )n
nn sq
sps ±=ρ e sostituiamo
( ) ( )( ) ( ) −
−=−⋅−⋅
6
6
1 n
n
nn
nn
s
s
sqsq
spsp ( ) ( )( ) ( )
−=−⋅
−=−⋅6
6
1 nnn
nnn
ssqsq
sspsp
a) ( ) ;11 RZsq n +↔ siccome 11 RZ + è una impedenza realizzabile, non può avere zeri
(nè poli) nel semipiano destro. Allora neppure ( )nsq può averli.
Si sa che ( ) ( ) 61 nnn ssqsq −=−⋅
Gli zeri di 61 ns− sono per 16 =ns ( ),1,0;2 =≡ ke kj π .
Posto allora ϕjn es = si ha
326 πϕπϕ k
ee kkjj == 5,,1,0 =k
( )
( )
−
ππ
πππ
3
5,0,
3:
3
4,,
3
2:
n
n
sqdiZeri
sqdiZeri
2
3
2
1
3
2sin
3
2cos3
2
jjej
+−=+= πππ
1−=πje
2
3
2
13
4
jej
−−=+ π
Simmetria quadrantale
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 40
( ) ( ) =
+++
−+=2
3
2
11
2
3
2
1jssjssq nnnn ( ) =
+
++
++
1
2
2
4
3
2
11
nn ss
nn ss
122 23 +++= nnn sss
b) ( ) ( ) −=−⋅ 6nnn sspsp scegliamo ( ) 3
nn ssp = ( ( )nsp è associato a 11 RZ − , che
non è necessariamente una impedenza realizzabile per via del segno -).
Ora, (entrambe valide)
Scegliendo, ad esempio, pq
pqRZ
+−⋅= 11 si ha:
10
11
10
11
0
1
11
11
R
CC
R
CsC
sR
CsR n
nn
nn ωωω
=
=⋅
=⋅ analogamente per 2C
0
1
0
1011
1
ωω
ωR
LLLR
s
Ls
RLsR n
n
nnn = !
"##$
%=⋅=⋅
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 41
Facendo riferimento alla struttura iniziale si ha:
Se, come avviene frequentemente, 21 RR = , non sono necessari provvedimenti di
adattamento.
Esercizio
Verificare che, scegliendo pq
pqRZ
−+⋅= 11 , si ottiene la sintesi duale
con 2=nC
Le riflessioni sulla 1R all’estremità destra sono esattamente le stesse del caso precedente.
Generalizzazione
Le funzioni (approssimazioni) di Butterworth per un filtro passa-basso. La funzione appena
considerata per ( )ωjS21
( )( )
21 2
1
1m
n
S jωω
∝+
(nell’esempio, 3=m )
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 42
si dice approssimazione di Butterworth di ordine m “massimamente piatta”. Infatti,
siccome per 0→x si ha:
( )( ) ( ) ( ) +
++++=
± !3
21
!2
11
1
132 xlllxll
lxx l
(Taylor)
ponendo ( ) mnxl 2;
2
1 ω== si ha:
+−=+
m
nm
nmn
42
2 8
3
2
11
1
1 ωωω
le prime 12 −m soluzioni sono nulle in 0=nω . Per
1=nω ( )0ωω = si ha mm
n
∀=+ 2
1
1
12ω
0ω : pulsazione di taglio
La pendenza asintotica fuori banda è m⋅− 20 decadedB
Il polinomio ( )nsq (ottenuto, nell’esempio precedente, per 3=m ) si può definire una volta
per tutte tabulando i suoi coefficienti al variare di m
( ) mnmnnn sasasasq ++++= 2
211
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 43
Le approssimazioni di Chebyshev per un filtro passa-basso
In questo caso
( )
+
∝
pmC
jS
ωωε
ω22
21
1
1 con
Proprietà dei polinomi di Chebyshev
Dati ( ) 10 =zC
( ) zzC =1
i successivi si definiscono con la formula ricorsiva :
Esempio
( )( ) zzzC
zzC
34
123
3
22
−=
−=
eccetera
a) ( ) 1≤zCm per [ ]1,1+−∈z
b) gli m zeri di mC cadono tutti in [ ]1,1+−
c) ( ) ( )
( )
=−=
+ 00
10
12
2
m
mm
C
C ( )( ) 11
11
12
2
±=±=±
+m
m
C
C
Inoltre:
Definiamo, come di consueto, p
n ωωω = .
( ) ( ) ( )zCzzCzC mmm 11 2 −+ −=
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 44
Il termine ( )nmC ωε 221
1
+ si può rappresentare in modo abbastanza generale con il
grafico:
Ossia:
1) Per [ ]1,1+−∈nω , il termine ( )nmC ωε 221
1
+ oscilla fra i valori 1 e
21
1
ε+ ,
assumendo il valore massimo 1 per m volte (ordine del polinomio)
2) In 0=nω il termine vale
3) In 1=nω il termine vale sempre 2
1
1
12
>+ ε
(perché 1>ε ) pωω = non è la
frequenza di taglio a 3 dB.
4) L’ampiezza dell’oscillazione in [ ]1,1+−∈nω è 2
2 2
1
1
11 ε
ε≅
+− per εε << 1 è il
parametro che controlla tale oscillazione (“ripple”).
5) Per 1>>nω il termine ( )nmC ωε 221
1
+ ( )nmC ωε1→ il tasso di “discesa” della
funzione è controllato da m .
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 45
6) Fissati ε e m , la funzione ( )ωjS21 è fissata eccetto per il coefficiente moltiplicativo e
per la denormalizzazione da nω a ω .
La determinazione di ρ a partire da ( )ωjS21 segue un criterio simile a quello visto nel
caso di Butterworth. In questo caso, però, la localizzazione degli zeri di ( )sq è più
laboriosa, perché i polinomi di Chebyshev sono meno maneggevoli e perché il
prolungamento analitico da cui si parte:
( ) ( )nn jsnmnm jsCC ωεωε =−+
=+ 2222 1
1
1
1
porta a ragionare su polinomi (in particolare ( )nsq ) i cui zeri dipendono da ε . (*)
Il procedimento richiede l’impiego delle funzioni iperboliche. Anche se concettualmente
semplice, i calcoli possono essere onerosi, per cui, fissati ε e l’ordine m , i coefficienti che
determinano il polinomio ( )nsq si possono trovare in tabelle precompilate oppure si
possono generare su calcolatore.
(*) Alcuni dettagli:
se
( ) ( )nmn CR
RjS
ωεω
222
12
21 1
1
+=⋅
allora
( ) ( )( )
( )
+=
+−=
nm
nm
nmn
C
C
Cj
ωεωε
ωεωρ
22
22
22
2
11
11
( ) ( )( ) ( )nn
nn
sqsq
spsp
−⋅−⋅
Da qui si sceglie ( )nsq prendendo gli zeri del denominatore che hanno parte reale 0< .
A differenza di Butterworth, però, questi non stanno su un cerchio di raggio unitario.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 46
Un esempio di progetto
Progettare un filtro di Chebyshev con le seguenti caratteristiche
Banda: 100− KHz ; ripple: 0.0988 dB
Attenuazione in banda oscura 30≥ dB a 20 KHz
Resistenza di riferimento: 50 Ω a entrambe le porte
Quindi: Hzp4102 ⋅= πω ;
( ) ( )21021010 1log10
1
1log201log20 ε
ε+=
+− 0988.0= dB 023.0110 10
0988.02 =−=ε
152.0=ε
( )
+
∝
pmC
jH
ωωε
ω221
1; per 2=
pωω
(cioè a 20 kHz) si ha
( )
= −
pm nC
ωωω 1coshcosh
( )( )( )
≥+
−−
dBn
302coshcosh1
1log201log20
1221010ε
( )( ) ( )( ) 312212210 102coshcosh1
10
302coshcosh1log ≥+≥+ −− nn εε
( ) ≅−≥−
023.0
101102coshcosh
3
2
312
εn ( ) 5.2082coshcosh 12 ≥−n
( ) ( )5.208cosh2cosh 11 −− ≥ n ; ( )
( ) 58.42cosh
5.208cosh1
1
=≥ −
−
n 5=n
Tramite l’impiego delle tabelle si trovano i valori normalizzati con 4102 ⋅= πω p e
5021 == RR si trovano i valori veri che sono
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 47
Esempio
dal passa-basso prototipo a un elimina-banda
Si vuole sintetizzare un filtro elimina-banda con 30 10=ω e 210=B .
Le resistenze di riferimento sono Ω== 10021 RR .
Ricordiamo che
210 cc ωωω = ; 12 ccB ωω −= quindi
Scegliamo un filtro di Butterworth con 3=n . Il passa-basso normalizzato (già visto) è
la trasformazione da considerare implica
Il filtro arresta-banda effettivo è dunque
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 48
Fra i vantaggi della sintesi di filtri che terminano alle porte con resistori, uno è di
particolare rilievo
Assumiamo che la rete operi in condizioni di adattamento energetico, ossia che
Allora, nel circuito di partenza, la potenza entrante in AB (porta ) è
( )max1
2
1 4P
R
EP ==
La stessa potenza “esce” dalla porta ed è dissipata su 2R , perché il filtro LC è senza
perdite.
La potenza 2P dissipata su 2R , in queste condizioni, è la massima possibile . Allora
immaginiamo di variare il valore di uno degli elementi del filtro (ad esempio, un induttore)
rispetto al valore di progetto ioL .
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 49
E’ immediato concludere che ogni variazione rispetto al valore nominale ioL altera la
condizione di adattamento energetico alle porte 2P scende. Tuttavia, intorno al valore
ioL , la sensibilità di 2P ai cambiamenti di ioL è modesta, perché
02 =∂∂
ioLiL
P
Lo stesso ragionamento si applica al valore nominale di un condensatore (e anche a 1R e
2R ).
Perciò:
Un filtro LC adattato energeticamente ha una “IMMUNITA’ NATURALE” alle variazioni
del valore dei suoi elementi.
La condizione di adattamento energetico è soddisfatta approssimativamente almeno nei
campi di frequenza in cui il filtro deve trasferire potenza su 2R . Gli zeri di trasmissione
inoltre, sono usualmente introdotti da un singolo lato della rete a scala LC, per cui sono
facilmente accordabili e piuttosto stabili. Ne consegue che i filtri così concepiti sono
affidabili ANCHE nei campi di frequenza in cui 2P dovrebbe essere nulla (banda oscura).
Per tutti questi motivi, i filtri LC sono anche il punto di partenza per alcune importanti
realizzazioni fondate su reti attive o su altre impostazioni.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 50
7 Richiami di teoria delle linee
Facciamo riferimento alla cella elementare:
( )( )
,
,
V V s x
I I s x
=
=
( )0
0
dVZIV Zdx I V dV ZIdx dV dx
I Ydx V dV I dI YVdx YdxdV dI YVdx dI dIYV
dx
= −
= ⋅ + + = +
= + + + = + + ≅ +
= −
da cui
( )2
2
d VZ YV ZYV
dx= − − = oppure ( )
2
2
d IY ZI YZI
dx= − − =
Si ricercano soluzioni del tipo “a variabili separabili”, per cui la dipendenza da x sia del
tipo xe γ± . Si ha
( )2
2 22
0 postod
ZY V ZYdx
γ γ γ→ − = = le possibili funzioni sono xe γ± .
Allora
con , , , tali chex x
i ri r i rx x
i r
V V e V eV V I I
I I e I e
γ γ
γ γ
− +
− +
= += +
( )i i i
x x x xi r i r
r r r
Z ZV I I
YV e V e Z I e I e
Z ZV I I
Y
γ γ γ γ γγ γ
γ
− + − +
= =
− + = − +
= − = −
Z
γ è l’impedenza caratteristica 0Z della linea.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 51
Nel caso più semplice (linea ideale) la cella è:
2
0
[ ] : /
[ ] : /
s LC s LC L H m
sL LZ C F m
sC C
γ = =
= =
Altrimenti un modello più realistico è
( )( )
0
R sL G sC
R sLZ
G sC
γ = + +
+=+
Consideriamo un tratto di linea di lunghezza l.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 52
E’ abbastanza naturale scegliere le variabili descrittive alle porte come in figura (1I e 2I
dirette nello stesso modo) e cercare la matrice di trasmissione: [ ]1 2
1 2
V VT
I I
=
.
Equazioni:
1
0 1 11
0 0 0 1 1
1 0 12 1 0 1
10 0
(0)
(0)2 22( )
2(0)
i r
i r
ii
l lri r
rl li r
V V V V
V V Z I VI I VZ Z V Z I V
V V Z IV V l V e V e V Z IV
V VI I e e
Z Z
γ γ
γ γ
− +
− +
= = +
+
= = − == +
= −= = + −=
= = −
0 1 1 1 0 12
1 0 1 1 0 10 2
2 2
2 2
l l
l l
Z I V V Z IV e e
V Z I V Z IZ I e e
γ γ
γ γ
− +
− +
+ −
= + + −
= + risolviamo rispetto a 1 1,V I
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
0
00
00
1cosh sinh2 2
sinh cosh1
2 2
l l l l
l l l l
Ze e e e l Z l
ZZZ
e e e
γ γ γ γ
γ γ γ γ
γ γγ γ
− −
− −
+ − − −∆ = = =
−− +
( )( ) ( ) ( )
1
2 0 20 2 0 2
0 2 0
sinhcosh sinh
coshV
V Z lZ V l Z I l
Z I Z l
γγ γ
γ−
∆ = = +
( )( ) ( ) ( )
1
22 0 2
0 2
coshsinh cosh
sinhI
l VV l Z I l
l Z I
γγ γ
γ∆ = = +
−
Quindi
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1 2 2 0 0
21 2
0 0
cosh coshsinh sinh[ ] 1
sinh cos sinh cosh h
V V l I Z l Zl l
TVI l I ll l
Z Z
γ γγ γ
γ γγ γ
= + =
= +
Questa matrice assume un significato particolare nel caso di linea ideale
( 0 0,L
Z R s LCC
γ= = = ) e regime sinusoidale (s jω= ). In questo caso
ll j LC l j
vγ ω ω= ⋅ = . Si ricorda che
1v
LC= è la velocità di fase della linea. Siccome
2 22 2
f f lf j LC l j l j l j
v f
π πω π ω πλ λ
= ⋅ = = = .
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 53
La matrice T, tenendo conto che:
( ) ( )( ) ( )
cosh cos
sinh sin
j LCl LCl
j LCl j LCl
ω ω
ω ω
=
= diventa
( ) ( )( ) ( )
0
0
cos sin
[ ] sincos
LCl jR LCl
T LClj LCl
R
ω ω
ωω
=
Se il tratto di linea è connesso all’estremità a un bipolo di impedenza LZ
Si ha:
( ) ( )( ) ( )
1 0 2
2 2
1 20
cos sin
sincos
L
L
L
V LCl Z jR LCl I
V Z I LClI j Z LCl I
R
ω ω
ωω
= ⋅ +
= = ⋅ +
Alla prima porta si misura
( ) ( )( ) ( )
011 0
1 0
cos sin
cos sin
L
L
Z LCl jR LClVZ R
I R LCl jZ LCl
ω ω
ω ω
+= =
+
Ricordiamo ora che 2
LC l lπωλ
⋅ = ⋅ quindi
20
1
1
per :4
per :2
L
L
Rl Z
Z
l Z Z
λ
λ
= == =
1 0
01
2per 0 (linea cortocircuitata) : tan
per (linea aperta) :2
tan
L
L
lZ Z jR
RZ Z j
l
πλ
πλ
= =
= ∞ = −
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 54
Le interpretazioni fisiche di alcuni tra questi risultati sono assai interessanti e vale la pena
di considerarle.
1)
1 0
2tan
lZ jR
πλ
= ; per 1
l
λ<< (es. 0ω → ) abbiamo
1 0
2 2eq
l L lZ jR j j Ll j L
C LCl
π π ω ωλ ω
≅ = =
Perciò, per 1l
λ<< , la linea cortocircuitata equivale a un induttore (parametro concentrato)
di induttanza L l⋅ che è l’induttanza della coppia di fili chiusi in cortocircuito
all’estremità. Il parametro L (henry/m) dipende dalla geometria della linea (doppino,
coassiale, microstriscia ecc.) e si calcola dalla teoria dei campi elettromagnetici.
2)
01 2
tan
RZ j
lπλ
= − ; per 1
l
λ<< (es. 0ω → ) abbiamo
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 55
01
1 12
eq
LR CZ j j j j
l Cl CLC lπ ω ωωλ
≅ − = − = − = −⋅
perciò, per 1l
λ<< , la linea aperta equivale a un condensatore (parametro concentrato) di
capacità Cl , capacità della coppia di fili lunghi l. Il parametro C (farad/m) si determina,
analogamente a quello L, dalla soluzione del problema di campi elettromagnetici connesso
alla geometria della linea.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 56
8 Variabile di Richards
Il termine 2 l
LC lπ ωλ
= ⋅ può ora essere espresso come l
LC l Tv
ωω ω ϑ⋅ = = = dove T
indica il tempo di ritardo del tratto di linea.
Supponiamo di avere a che fare con tratti di linea tutti con ritardo T (linee commisurate) e
definiamo la variabile complessa di Richards:
2
2
1tanh
1
ST ST ST
ST ST ST
e e eS j sT
e e e
− −
− −
− −= Σ + Ω = =+ +
per s jω= si ha tanh tan tanS j T j T jω ω ϑ= = = .
Nota: la variabile di Richards è ADIMENSIONALE.
La trasformazione sT S→ rispecchia il fatto che
( )( )
( )
( )
( ) ( )2 2
2 2
1 1tanh tanh
1 1
sT jk sT
sT jk sT
e esT jk sT
e e
π
ππ− − −
− − −
− −− = ≡ =+ +
I quadranti II e III del piano S (semipiano sinistro 0Σ < ) vanno nel semipiano sinistro del
piano s. Ciò avviene con periodicità, evidenziata dalle strisce.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 57
Per s jω= , ( ) ( ) ( )tanh tan 0 e tanS j j T j T Tω ω ω= Σ + Ω = = Σ = Ω =
Un resistore R rimane tale anche nel piano S. Le tre impedenze base 00, ,
RR SR
S hanno la
struttura che nel piano s hanno 1
, ,R sLsC
. Ne consegue che le condizioni di realizzabilità
di una ammettenza o di una funzione di filtro sono, in termini di S, le stesse che valgono
per un circuito RLC nel dominio di Laplace s, pertanto si impiegano le stesse sintesi.
Esempio
Sintetizzare ( )3
2 2
4 300100 100
1 1
S S SZ S S
S S
+= = ++ +
.
Preso ora ( )6 610 sec tanh 10T S s− −= = , si ha
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 58
( ) ( ) ( )( )
3
2
tanh 4 tanh100
tanh 1
ST STZ S
ST
+= ⋅
+
Il comportamento della funzione reattanza nei due domini è:
tan
51; ,
4 43
1;4
3tan ,
2 2
T
A a
B b
K T k
ωπ π
π
π πω
Ω =
= =
= − =
= ∞ = =
Si notino le strisce più larghe centrate su 0Tω = e Tω π= .
In sostanza, l’andamento di ( )X ω è ottenuto da quello di ( )X Ω riportandolo
successivamente con opportune “deformazioni”.
Questo risultato suggerisce una proprietà importante nel caso dei filtri: la periodicità insita
nella trasformazione tan TωΩ = implica che i filtri a linea commisurata siano
MULTIBANDA. Perciò lo stesso filtro si può usare, in vari campi di frequenza, come
passa-basso, passa-alto, passa-banda.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 59
Esempio
Il filtro passa basso prototipo di Chebyshev con ( )( )20.1 10 1p pdB Logα α ε= = + e
3n = , per 1 2 1R R= = è:
Per realizzare un filtro a linea commisurata con 1010 secT −= e 1 2 50R R= = Ω si procede
così:
01 031 3
1 50 5050 48.6145
1.0285Z R R
SC SC= ⋅ = = = = Ω
2 02 250 50 50 1.1468 57.34Z Sl R l= ⋅ = ⋅ = ⋅ = Ω
Quindi il filtro a linea commisurata è:
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 60
Per cui può funzionare come passa-basso, passa-banda, passa-alto (solo se il campo di
frequenze utile è più ristretto della banda, ad esempio se 3 5
4 4Tω π ω π= ≤ < .
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 61
9 Filtri attivi RC
Rispetto ai filtri passivi si possono usare a frequenze piuttosto basse e sono più sensibili
alle variazioni dei valori dei componenti.
Impiegano però amplificatori operazionali, resistori e condensatori, quindi hanno minori
dimensioni, maggiore stabilità, assenza di induttori.
1. Concettualmente una funzione di trasferimento ( )T s può essere scritta come
prodotto di ( )iT s di secondo ordine (come caso particolare ( )iT s può essere di
primo ordine)
( ) ( ) ( )2
21
Mi i i
i i ii i i i
m s c s dT s T s T s K
n s a s b=
+ += =+ +∏
2. Si possono impiegare strutture basate sulla retroazione, che sono generalmente
meno sensibili alle tolleranze dei componenti (ma più complesse di quelle in
cascata).
Sintesi di ( )iT s del primo ordine
( )( )
20
1i
Z sV
V Z s= −
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 62
( )( )
20
1
1i
Z sV
V Z s= +
Esempio
Realizzare ( ) , 0i
AsT s A B
s B= − >
+
Dato il segno meno, si usa il primo dei due circuiti precedenti:
22
11
0
KK ZZ As s Bs B K
K KZ s BZ
As As
=++= = >
+ =
Esempio
Realizzare ( ) , , 0i
s AT s K K A B
s B
+= >+
. Si sceglie il secondo circuito, quindi
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 63
( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 1
11 1
K s A K s A s B K s KA BZ Zs AK
Z s B Z s B s B s B
+ + − − − + −++ = = − = =+ + + +
Scelta 2Zs B
α=+
e ( ) ( )2 1
ZK s KA B
α=− + −
con ( ) ( )1 0, 0K KA B− > − > .
Sintesi di filtri del secondo ordine: Passa basso
Retroazione positiva
02
V A
V s Bs H=
+ +
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 64
1 2 1 2
1 1 2 1 2 2
1 2 1 2
1
1
1 1 1
1
B
A
A KR R C C
RK
R
KB
R C R C R C
HR R C C
=
= +
−= + +
=
Si può agire su 1 2 1 2, , , , ,A BR R C C R R in modo da ottenere valori desiderati per A, B, H.
Retroazione negativa
02
V A
V s Bs H=
+ +
1 2 1 2
1 1 2 1 3 1
2 3 1 2
1
1 1 1
1
AR R C C
BR C R C R C
HR R C C
= −
= + +
=
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 65
Sintesi di filtri del secondo ordine: Passa alto
Retroazione positiva
2
02
V Ks
V s Bs H=
+ +
2 2 2 1 1 1
1 2 1 2
1
1 1 1
1
B
A
RK
R
KB
R C R C R C
HR R C C
= +
−= + +
=
Retroazione negativa
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 66
20
2
V Ks
V s Bs H=
+ +
1
3
1 2
2 2 3
1 2 2 3
11
1
CK
C
C CB
R C C
HR R C C
= −
+= +
=
Sintesi di filtri del secondo ordine: Passa banda
Retroazione positiva
02
V As
V s Bs H=
+ +
1 1
1 1 3 2 3 1 2 1
1 2
1 2 3 1 2
1
1 1 1 1
B
A
KA
R C
RK
R
KB
R C R C R C R C
R RH
R R R C C
=
= +
−= + + +
+=
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 67
Retroazione negativa
02
V As
V s Bs H=
+ +
1 2
2 2 2 1
1 2 1 2
1
1 1
1
AR C
BR C R C
HR R C C
= −
= +
=
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 68
Circuiti con tre amplificatori operazionali
Possono essere impiegati per realizzare, con la stessa configurazione, i vari tipi di filtri del
secondo ordine.
Circuiti a variabili di stato
Utilizzano due integratori e un sommatore. Lo schema a blocchi è:
21 4
2 5 3
1 1 2
1 3 3 4 5 2 4
2 1 12 1
2 5 31 1
1 1 2
3 242
3 2 1 2
2 5 32
1 1 2
passa alto
1 1passa banda
1
1passa basso
in
in
in in
in in
V K sK KV s sK K K
V K V K V K V Ks
V V KV V
K KK s V K s V s sK K K
V VKK s
V V K KK KV K s V s sK K K
−=
+ +
= − − +
= − = − =
+ +
= −
−
= − =
+ +
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 69
Il circuito effettivo può avere la struttura seguente:
Con 6 7
3 45
3 4
R R
R RR
R R
=
=+
si ottiene:
66 6 631 3 2
33 4 6
62 1 1 1 1 4
1 1 4
63 2 2 2 2 5
2 2 5
1
1
in
RR R RKV V V V
RR R R
RV V K R C K
sC R R
RV V K R C K
sC R R
== − − +
= − ⋅ = =
= − ⋅ = =
Le espressioni di 1 5, ...,K K sono da sostituire in quelle di 31 2, ,in in in
VV V
V V V dello schema a
blocchi per i tre tipi di filtro del secondo ordine.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 70
Circuito biquad
31
14 3 11
1 1 341 3
1 1 1 1 12 2
2
3 2
1
1 1
in
in
V VVRR R RR
sC R RRV V V
V sC R sC RsC VR
V V
−
= −+
= − −
+ += −
= −
( )
3 14 11 3 3 1 4 1
2 2 3
1 1 1 11 1 1 1
1 2 2 3 2 3 2
111 1
1 11 1
in
in
R CR CV V V R C R C
sC R V Vs sR C R C s s
R C R CV sC R V sC V R
= − − + = −+ +
+ + = − − =
Quindi
3 4 1 4 1 2 4 1 2
2
2 21 1 3 2 1 23 1 1 1 3 1
2 21 1
1 1
1 1 1
11 1 11
1
in
V R C R C R R C CsV ssR C s R C R R C CR C R C R Cs sC R
R C sR C
− −= − = =
+ ++ +
+ +
+
che rappresenta un passa basso del secondo ordine.
31 4 12 2
2
1 1 3 2 1 2
1in in
s
VV R CsC R
sV V sR C R R C C
−= =
+ +
che rappresenta un passa banda del secondo ordine.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 71
La realizzazione di altre funzioni richiede l’impiego di un quarto amplificatore
operazionale, connesso ai morsetti A, B, D. Le equazioni già scritte NON VENGONO
MODIFICATE. Il circuito connesso a A, B, D è il seguente circuito sommatore:
3 0 8 8 810 3 1
7 5 6 8 6 5 7
inin
V V V R R RVV V V V
R R R R R R R+ + = − = − − −
Sostituendo le espressioni di 1
in
V
V e 3
in
V
V si ottiene:
0 8 8 3 82 2
6 5 7
2 2 4 1 28 2
26 5 7
1 1 3 2 1 2
2 2 2
7 1 1 3 2 1 2 2 4 1 2 6 58
2
1 1 3 2 1 2
2
7 18
11 1
1
1 1 1 1
1
1 1
in in
V R R V RsC R
V R R V R
R R R C CR sC
sR R RsR C R R C C
sC Rss
R R C R R C C R R C C R RR
ss
R C R R C C
s sR R C
R
= − − − =
−
= − + ⋅ + =
+ +
+ + − +
= − ⋅ =+ +
⋅ += − ⋅ 1 7 4 1 5 7 3 2 1 2 6 2 4 1 2
2
1 1 3 2 1 2
2
7 1 1 7 4 5 2 1 2 7 3 6 48
2
1 1 3 2 1 2
1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1
1
R R C R R R R C C R R R C Cs
sR C R R C C
ss
R C R R R R R C C R R R RR
ss
R C R R C C
− + ⋅ − ⋅
=+ +
⋅ + − + −
= − ⋅+ +
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 72
Per
5 7
1 7 4 5 1 4
6 7
3 7 4 6 3 4
1 10
1 10
R R
R R R R R R
R R
R R R R R R
− = =
− = =
si ottiene un passa alto.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 73
10 Qualche nota sulla funzione passa banda
del secondo ordine
Abbiamo visto nel circuito biquad la relazione
1 4 1
2
1 1 3 2 1 2
1in
s
V R CsV s
R C R R C C
−=
+ +
Nel caso generale la relazione può essere scritta come
( )0
2 200
K sQ
H ss s
Q
ω
ω ω=
+ +
da cui, posto s jω=
( )0
2 22 2 0 0 0
0
0 0
1 1
jKK KQ
H jj Q jQ
Q j
ω ωω ω ω ω ωωω ω ω
ωω ω ω
= = =− − + + + −
( )H jω è massimo per 0ω ω= e vale ( )0
H j Kω ω
ω=
= .
Le pulsazioni per guadagno 3dB sotto il valore massimo sono quelle che danno
( )2
2 0
0
1 22
KH j Q
ωωωω ω
= + − =
Posto 0
xωω
= si ricava
( )2
2 2 1 1 411 1 0
2
QQ x Q x x Qx x Q x
x Q
± ± +
− = ± − = ± − = =
dove i segno che danno 0x < vanno scartati. Siccome 21 4 1Q+ > restano le possibilità:
( ) ( )( )2 2 11,2 2 1
0 0
1 1 11 1 4 1 1
2 2x Q x x
Q Q Q
ω ωω ω
= ± + + − = − − = = −
Perciò la larghezza di banda si ottiene come
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 74
QB 0
12
ωωω =−=
Il confronto con la 1
in
V
V del biquad (a meno del segno, che non importa) dà:
20 00
4 1 1 1 3 2 1 2
1 1 1; ;K B
Q R C Q R C R R C C
ω ω ω= = = =
quindi si possono controllare separatamente K, la larghezza di banda B e la 0ω .
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 75
11 Simulazioni di reti a scala LC con reti attive (FDNR)
Si parte da una rete a scala doppiamente terminata su elementi resistivi. Le realizzazioni
classiche per i filtri mostrano che tali reti sono poco sensibili alle variazioni dei paramentri
delle impedenze longitudinali e trasversali. Pertanto esse sono un buon punto di partenza.
1 2, ,... nZ Z Z sono bipoli LC.
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
1 2 1 2 2 3 2 3 1 1 1 2 3 2 3 3
1 1 2 1 1 1 2
0 0
0 0N l l N l N l N N l
E R J Z J J E R Z J Z J
Z J J Z J Z J J Z J Z Z Z J Z J
Z J J Z R J Z J Z Z R J− − − − −
= + − = + −
= − + + − = − + + + −
= − + + = − + + +
La struttura del sistema è dunque del tipo:
[ ]1
20
0
ij ji
l
JE
J Z Zcon
i j
J
=
=
≠
Z
Dividiamo ora tutte le impedenze per sα . Per avere il primo membro immutato, le correnti
di maglia ( )1,...,iJ i l= vanno moltiplicate per sα .
[ ] 1
; ss
αα
= = Z Z J J (*)
Si ha:
22 2 l l
RV R J sJ
sα
α= = ⋅
quindi la tensione 2V non muta. Pertanto 2V
E non muta. Allora lo scalamento (*) mantiene
la stessa 2V
E.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 76
Vediamo le conseguenze dello scalamento.
La FDNR (Frequency-Dependent Negative Resistor) si realizza tramite il circuito di
Riordan:
( )
( )( )
( )
2 4
1 11 1
1 23 2 3 1 3 2 3
2
4 43 4 4 3 3
5 54 5
1
V V V
I sC V VI sC V V
V VsC V V V V sC R V V
RR RV V V V V V V VR RR R
= =
= −= −
−
= − − = −
− − = = +
=
Quindi
( ) 4 2 41 3 2 3 2 3 2 3 2 3
5 5
1 1 1R R R
V V sC R sC R V V sC R sC R sCR R
= + − + = + − −
=
+−= VR
RRsCsCI
5
4231 11 VDsV
R
RRCCs ˆ2
5
42312 = dove 5
4231ˆR
RRCCD =
Nota: Il circuito richiede un terminale a massa.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 77
Esempio di applicazione
Trasformare la rete a scala LC impiegando FDNR.
Scegliamo 610α −= . Si ha
I FDNR longitudinali non hanno estremi a massa. In questi casi si possono impiegare due
circuiti di Riordan in serie:
Un modo alternativo di procedere potrebbe essere basato sulla adozione di giratori per la
realizzazione dei due induttori longitudinali.
Ricordiamo l’equazione costitutiva dei giratori:
R rapporto di girazione.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 78
( ) ( )1 2 2 21 2 1 1 1
2 1
V RIV R sCV sCR RI sCR I sLI dove L CR
V RI
=
= − = − − = = =
= −
Nel caso dei circuiti attivi abbiamo:
1 2,R R rapporti di girazione.
Con 31 2 10R R= = Ω si ha
1 21 22 6 2 6
1 2
1.27 1.081.27 1.08
10 10
L LC F e C F
R Rµ µ= = = = = =
Anche i giratori si realizzano con operazionali:
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 79
( )
2
x x
yxx y
y
V V RI V V RI
V VV VV V V
R RV
sC V VR
− = = −
−−
= = −
− =
Quindi
( ) ( ) 22 y y
y
V RI V V V V RIRsC RI V V sCR I
RsC V V V
− = − = +
= =
− =
R = rapporto di girazione.
Per evitare il “morsetto a massa” si possono adottare due circuiti in serie:
I limiti di queste soluzioni stanno nel fatto che la matrice di resistenza del giratore, che nel
caso ideale è definita da 1 1
2 2
0
0
V IR
V IR
=
−
nel caso reale contiene anche “piccoli” termini sulla diagonale principale, che perturbano il
risultato desiderato. Inoltre gli amplificatori operazionali operano come tali in un campo di
frequenze limitato, quindi non si possono impiegare per fare giratori al di fuori di tale
campo di frequenze.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 80
12 Sintesi mediante strutture accoppiate
In questo caso il circuito attivo si ottiene simulando le equazioni che descrivono la rete a
scala.
Caratterizziamo i bipoli longitudinali con le ammettenze Y e le correnti; quelli trasversali
con le impedenze Z e le tensioni.
( )( )
( )( )( )
1 1 2
2 2 1 3
3 3 2 4
4 4 3 5
5 5 4 6
0 6 6 5
I Y E V
V Z I I
I Y V V
V Z I I
I Y V V
V V Z I
= −= −
= −
= −
= −
= =
Definiamo ( )1,3,5k kV rI k= = , ottenendo:
( )
( )
( ) ( )
( )
1 1 2
21 32
3 3 2 4
43 54
5 5 4 6
650
V rY E V
ZV V V
r
V rY V V
ZV V V
r
V rY V V
ZV V
r
= −
= −
= −
= −
= −
=
Definiamo ora
1 1 3 3 5 5
62 42 4 6
; ;
; ;
T rY T rY T rY
ZZ ZT T T
r r r
= = =
= = =
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 81
con i quali si ottienila struttura a blocchi (leap-frog) seguente:
Le sintesi di 1 6,...T T si effettuano con operazionali.
I blocchi tipici per la realizzazione con operazionali sono:
( )1yxx y
VVYV V V V
r r rY+ = − = − +
zV V= − (invertitore)
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 82
Il circuito a blocchi “leap-frog” va particolareggiato tenendo conto delle inversioni di
segno necessarie per l’uscita e anche per il fatto che gli ingressi ,x yV V vengono sommati e
non sottratti.
Esempio
Consideriamo il filtro passa basso:
( )( )
( )
( )
( )
( )
1 11 1
1 1 22
1 1 2 221 3 22
2 2 1 3
3 3 2 4 3 33 3 2 43
4 4 3 43 44
44
4 4
1
1
rT rY
R sLV rY E V
ZI Y E V TZr sC rV V V
V Z I I rr
I Y V V T rYV rY V VsL
V Z I ZRV V
r Z rTr sC R
= =+
= −= − = =
= −
= −
= − = == −
=
== =
+
A meno del segno, le kT sono tutte realizzabili cono operazionali, resistori e condensatori.
Infatti:
1 11 2 2
1 1
1 R LrT Y s
R sL rY r r− = − ↔ − = +
+
2 22
1 1T Y sC
sC r rY− = − ↔ − =
33 2
3
1 LrT Y s
sL rY r− = − ↔ − =
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 83
4
4 44 4
4 4 4 4
11 1
1
RsC RrT Y sC
sC R rY R R
+− = − ↔ − = = ++
Lo schema leap-frog deve tener conto che i blocchi realizzati sono con 1 2 3 4, , ,T T T T− − − −
e che in ingresso le tensioni vengono sommate e non sottratte. Ecco i dettagli della
trasformazione:
Il dettaglio dei blocchi non è rappresentato per brevità.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 84
13 Circuiti numerici e trasformata Zeta
Il termine circuito (o filtro) numerico (o digitale) indica un algoritmo di calcolo eseguito su
un segnale numerico di ingresso e che produce in uscita un segnale numerico. Il segnale di
ingresso è quindi costituito da una
Campionamento del segnale
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 85
Se Tτ << ( ) ( ) ( )
( ) t
n
T
nTttxtx
δ
δ∞+
−∞=
∗ −⋅=
se per 0<t ( ) 0=tx (come usuale in un sistema fisico) allora
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∞
=
∗ ⇔−==0n
T nTtnTxttxtx δδ modulazione impulsiva
La funzione ( )tTδ è periodica di periodo T si può esprimere in serie di Fourier
( ) Njn tT n
n
t C e ωδ+∞
=−∞=
dove:
2
N T
πω =
( )0
1N
T jn tn TC t e dT
Tωδ −= ≡
( )
0
1 1N
T jn tt e dTT T
ωδ − =
perciò ( ) 1Njn t
Tn
t eT
ωδ+∞
=−∞=
Ora, dalla ( ) ( ) ( ) ( )1Njn t
Tn
x t t x t x t eT
ωδ+∞
∗
=−∞= =
trasformando con Laplace:
( ) ( )1N
n
X s X s jnT
ω+∞
∗
=−∞= −
ai poli di ( )sX corrispondono infiniti poli di ( )sX ∗
( ) ( )1N
n
X j X j jnT
ω ω ω+∞
∗
=−∞= −
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 86
Lo spettro del segnale campionato ripete lo spettro del segnale analogico su tutto l’asse ωj
(aliasing). La ricostruzione del segnale analogico richiede dunque un filtro passa-basso a
valle del convertitore D/A. Occorre inoltre che le bande ripetute di ( )ωjX ∗ NON SI
SOVRAPPONGANO, altrimenti sarà impossibile isolare con il filtro lo spettro ( )ωjX
(SPECTRA FOLDING).
Lo spectra-Folding si ha quando lo spettro del segnale ha una frequenza massima Bω che
cade oltre 2Nω
Il teorema del campionamento, o teorema di Shannon, afferma che si possono campionare
e, successivamente, ricostruire senza distorsione segnali analogici a banda limitata
utilizzando una pulsazione di campionamento Nω tale che 2N Bω ω> , ove Bω è la
massima pulsazione dello spettro del segnale analogico
1) In teoria, nessun segnale fisico ha uno spettro limitato. Per essere con spettro limitato,
un segnale dovrebbe estendersi nel tempo da ∞− a ∞+ . Tutti i segnali limitati nel
tempo hanno uno spettro da ∞− a ∞+ .
2) In pratica si considerano a banda limitata i segnali il cui contenuto armonico è
trascurabile oltre una certa Bω : in questi casi l’errore prodotto dalla sovrapposizione
degli spettri p trascurabile
3) Per far sì che la condizione sia rispettata, spesso si fa precedere a tutta la sequenza di
blocchi un filtro analogico passa-basso con il compito di limitare il contenuto armonico
del segnale applicato al filtro numerico. Tale filtro si dice anti-aliasing.
Trasformata Z – qualche richiamo
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 87
Sia ( )tf una funzione a valori reali (o complessi) definita in [ )+∞,0 e tale che
( ) RAAetf t ∈>≤ λλ ;0
Fissato un numero positivo T, si dice trasformata Z del campionamento di( )tf la ( )zF
definita da
( ) ( )∞
=
−=0n
nznTfzF ( z complessa ) ( )0
nT
n
eF z A
z
λ∞
=
≤
Quindi per ( )F z si ha convergenza se TT
ezz
e λλ
>< 1
Legame con la variabile s di Laplace:
( ) Tzezeez TTjsT ωσωσ =∠=== + ;
ωσ jA += con 0<σ
( ) TjT eeAZ ωσ= con ( ) 1<= TeAZ σ
perciò il semipiano sinistro del piano s sta dentro il cerchio 1=z
ωσ jB += con 0>σ
( ) TjT eeBZ ωσ= con ( ) 1>= TeBZ σ
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 88
perciò il semipiano destro del piano s sta fuori del cerchio 1=z .
L’asse ωj va sul cerchio 1=z . Inoltre, per ωjs = , si ha
NN
jjTj
jseeez ω
ωπω
πωω
ω
22
==== per
+−∈2
,2
NN ωωω si fa un giro completo sul cerchio
1=z . Poi tutto si ripete:
Ne consegue che, nella:
( ) ( )+∞
−∞=
∗ −=n
NjnsXT
sX ω1 i poli di ( )sX ∗ , equispaziati nella direzione dell’asse
immaginario a distanza TN
πω 2= e infiniti, vanno in un unico insieme nel piano z.
Si ha ora
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +−+−+=−== ∞
=
∗ TtTxTtTxtxnTtnTxttxtxn
T 2200
δδδδδ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++== −−∗∗ TsT eTxeTxxtxLsX 220
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞
=
−−− =+++=0
21 20n
nznTxzTxzTxxzX
Alcune proprietà
1) Oltre alla linearità si possono citare
2) Traslazione: se ( ) ( )[ ] ( ) ( ) kzzXzYTknxnTy −⋅=⇔−=
3) Se ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] −+= = =
TngnTxnTgiTxnTgn
i
10
( ) ( ) ( ) += − zGzzXzG 1 ( ) ( ) ( )11 1 −
=−
= − z
zzX
z
zXzG
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 89
4) Funzione di trasferimento ( ) ( )( ) =zX
zYzG ”risposta impulsiva” ( ) ( )zGzY ≡ per
( ) ( ) ,0,0,11 == kxzX
5) All’integrale di convoluzione ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−≡−=∞ t
dtxgdtxgty00
ττττττ (siccome
deve essere 0t tτ τ− > < e l’estremo superiore di integrazione effettivo è t )
corrisponde una sommatoria nel discreto ( ) ( ) ( )[ ]TinxiTgnTyn
i
−= =0
Trasformate notevoli
Per ( ) ( ) ,,, 20 aTaTat eeekxetx −−−− =→=
( )n
n
aTaTaT
z
ezezezX ∞
=
−−−−−
=+++=0
2211
Per aTaT
ezz
e −−
>< 1 la sommatoria converge e si ha ( )aTaT ez
z
z
ezX −− −
=−
=1
1
Per ( ) ( ) ( )j
eeTntxttx
TjnTjn
2sinsin
ωω
ωω−
∗ −===
( )
−
=
−= ∞
=
−∞
=
∞
=
−−
∗
000 2
1
2 n
nTj
n
nTj
n
nTjnTjn
z
e
z
e
jz
j
eezX
ωωωω
Per 11 =>< ±±
Tj
Tj
ezz
eω
ω
si ha
( )
−
−−
=
!
"
#
−=
−=
−=
−=
−∗
−−
∞
=
−
∞
=
$
$
TjTj
TjTjn
nTj
TjTjn
nTj
ezezj
zzX
ez
z
z
ez
e
ez
z
z
ez
e
ωω
ωω
ω
ωω
ω
11
2
1
1
1
1
0
0
( ) 1cos2
sin
12 22 +−=%%&
'(()*
++−+−−−
−
Tzz
Tz
eezz
ezez
j
zTjTj
TjTj
ωω
ωω
ωω
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 90
Antitrasformata Z
Un metodo si basa sulla divisione iterata di ( ) ( )( )zq
zpzF =
( ) ( ) ,, 102
21
10 ffkfzfzffzF =+++= −− è la sequenza di campioni
Un altro metodo si basa sullo sviluppo in frazioni parziali, con le quali si possono
identificare porzioni elementari della sequenza. Le “basi” di riferimento più comuni sono
( )
az
za
z
zk
z
z
k
−↔
−↔
−↔
21
11
Solitamente conviene sviluppare in frazioni parziali ( )z
zF e poi moltiplicare nuovamente
per z .
Esempio
( ) ( )( )( )
( )( ) ( ) ( )2
1
1
1
21
1
21232 −+
−−=
−−=
−−=
+−=
zzzzz
zF
zz
z
zz
zzF
( ) ( ) kkfzz
zzF 21
2
2
1+−=
−+
−−=
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 91
La variabile di Richards nel dominio digitale
Sia T l’intervallo di campionamento del segnale da filtrare. Indichiamo con TN
πω 2= la
pulsazione corrispondente. Il teorema del campionamento limita il campo utile di
pulsazioni: 2
0 Nωω ≤≤T
π
= . In tale campo un segnale continuo può essere ricostruito
senza ambiguità dai suoi campioni. Se lo spettro del segnale esce da tale campo, si verifica
il fenomeno di aliasing. Pertanto la massima frequenza utilizzabile è 2Nω
. Le funzioni di
filtro ( )sH che abbiamo imparato a trattare nel caso continuo sono definite su tutto il piano
complesso. Perciò è opportuno considerare una trasformazione detta trasformazione di
Richards, dal piano ωσ js += a un piano Ω+Σ= jλ tale che
22
22
2tanh
sTsT
sTsT
ee
eesT−
−
+
−==λ sT
sT
e
e−
−
+−=
1
1
Lo sviluppo della trasformazione dà, con qualche calcolo
2tanh
2tan1
2tan
2tanh1
2tanh
2tan1
22
22
TT
TTj
TT
j σω
ωσσω
λ+
−+
+=Ω+Σ= e questa mostra che
1) Punti nel semipiano destro ( )0>σ vanno nel semipiano destro ( )0>Σ
2) Punti nel semipiano sinistro ( )0<σ vanno nel semipiano sinistro ( )0<Σ
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 92
3) L’asse ωj va sull’asse Ωj con corrispondenza periodica: per
0 tan tan2 N
Tj j j
ω ωσ λ πω
= → = Ω = =
Per cui il campo
∈
2,0 Nωω viene mandato in ( )+∞∈Ω ,0 (simmetricamente per
−∈ 0,
2Nωω ). Al di fuori di questo campo, la mappatura sull’asse Ωj semplicemente si
ripete in modo periodico. La trasformazione mantiene come regione di stabilità il
semipiano sinistro del piano complesso: 0<Σ . Si può pensare, dunque, alle funzioni di
filtro nel caso continuo come ( )λH . La trasformazione λ→s permette di filtrare segnali
a banda limitata
+−2
,2
NN ωωimpiegando le funzioni ( )λH concepite senza questa
restrizione. Il passaggio ( ) ( )zHH →λ , ricordando che sTez = , è assai diretto:
1
1
1
1
1
1
2tan −
−
−
−
+−=
+−==
z
z
e
esTsT
sT
λ Funzione bilineare di z
Tramite questa trasformazione, il semipiano sinistro 0<Σ viene mandato entro il cerchio
1<z . La frontiera (asse Ωj ) corrisponde alla frontiera del cerchio 1=z . Perciò, nel
piano z, la regione di stabilità è per 1≤z : i poli di ( )zH devono essere dentro il cerchio.
Esempio
Realizzazione di un filtro passa-basso in z con le seguenti caratteristiche:
Frequenza di taglio a 3dB: 310 Hz 30 102 ⋅= πω
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 93
Attenuazione a 3=sf KHz : 15≥ dB
Il periodo T di campionamento sia T 410−= ( )4102 ⋅= πωN (2Nω
cade, si noti, oltre sf
che è in banda oscura)
Poniamo 3249.10
tan2
10102tan
2tan
430
0 =
=
⋅⋅==Ω− ππω T
Poniamo 0Ω
= λλn
+−⋅
Ω= −
−
1
1
0 1
11
z
z.
Scegliamo l’approssimazione di Butterworth, con indice m da individuare in base
all’attenuazione prescritta.
La frequenza 3=sf KHz corrisponde a 3764.110
3tan
2
101032tan
43
=
=
⋅⋅⋅=Ω− ππ
s
( )m
jH2
0
1
1
ΩΩ+
∝Ω
Avere almeno 15 dB di attenuazione per sΩ=Ω significa porre
( )( ) ;101151log1015
0log20 5.1
2
0
2
01010 ≥
ΩΩ
+≥
!
"##$
%
ΩΩ
+≥Ω
m
s
m
s
sH
H
;110 5.1
2
0
−≥&&'(
))*+
ΩΩ,
m
s ( )2185.1
log2
110log
010
5.110 =-=
../0
1123
ΩΩ
−≥ mm
s
( )1056.4595.0
1056.0
212
122
002
20
0
2
0
++=
Ω+Ω+Ω
=
+4456
7789
Ω+445
67789
Ω
=:λλλλλλ
λH
( ) ( )( ) ( ) ( ) =
++−+−
+=
+;;<=
>>?@
+−+;;<
=>>?@
+−
=−−−
−
−
−
−
− 21221
21
1
12
1
1 11056.14595.01
11056.0
1056.1
14595.0
1
1
1056.0
zzz
z
z
z
z
zzH
( )( ) ( ) ( ) =
+++−++−++
−−−−−
−−
21221
21
211056.14595.021
211056.0
zzzzz
zz
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 94
( )( ) ( ) 21
21
1056.04595.0121056.011056.4595.01
211056.0−−
−−
+−++−+++++
zz
zz
( )21
21
646107888.156511
211056.0-- z.z.
zz
+−++=
−−
poli: 0.5715 0.2937 1p pz j z= ± <
Filtri passa-alto e passa-banda
Il fatto che il limite superiore di pulsazione trattabile per un segnale campionato a T sia
2N
T
ω π= esclude di fatto la possibilità di operare su quel segnale un vero filtraggio passa-
alto: la massima frequenza che può essere “fatta passare” garantendo la ricostruibilità del
segnale è 2Nω
. Per i filtri passa-banda si può impiegare, nel piano λ , una trasformazione
da passa-basso prototipo a passa-banda del tipo di quella già incontrata nel caso continuo.
Supponiamo che la banda di frequenze da “passare” sia 21 ωωω ≤≤ , con 22Nωω ≤ .
Definiamo
Nωπω 2,1
2,1 tan=Ω trasformazione: 1
1
12 1
1−
−
+−=
Ω+ΩΩ−Ω
Ω→z
zλλ
λλ
dove 21ΩΩ=Ω
Stabilità e classificazione di filtri digitali
Nei procedimenti considerati si è giunti ad ottenere una funzione di trasferimento per il
filtro digitale la cui struttura è
( ) ( )( )1
1
1
0
1−
−
=
−
=
−
=+
=
zN
zM
zb
zazH
n
i
ii
m
i
ii
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 95
La stabilità richiede che i poli cadano tutti all’interno del cerchio 1=z , ovvero nel
semipiano sinistro del piano λ . Se ( ) 11 ≡−zN ( )ibi ∀= 0 allora ( ) =
−=m
i
ii zazH
0
e il filtro
si dice di tipo FIR (Finite duration Impulse Response ): la risposta all’impulso è codificata
con 1+m campioni. Si tratta di una funzione stabile, perché i suoi m poli sono tutti
nell’origine. La realizzazione di un filtro FIR è assai semplice. Un filtro FIR è in grado di
dare una risposta in fase lineare a tutte le frequenze (dimostrazione non riportata).
Se ( ) 11 ≠−zN il filtro si dice di tipo IIR (Infinite duration Impulse Response)
I blocchi fondamentali per la sintesi
I blocchi fondamentali sono
1) Sommatore
2) Moltiplicatore
3) Blocco di ritardo unitario
La loro realizzazione tramite circuiti logici è piuttosto semplice. In ogni caso, essi possono
essere considerati anche come operazioni da realizzare in forma software, impiegando un
calcolatore o un microprocessore.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 96
Filtri IIR – sintesi
La funzione ( ) ( )( )zX
zY
zb
zazH
n
i
ii
m
i
ii
=+
=
=
−
=
−
1
0
1 corrisponde a una equazione alle differenze nella
forma:
( ) ( ) ( )=
−
=
− −=n
i
ii
m
i
ii zbzYzazXzY
10
Nota: se mn ≠ basta sopprimere i blocchi moltiplicatori in eccesso.
Verifica: detta ( )zψ la variabile ausiliaria, si ha
( ) ( ) ( ) ( )zzbzzbzXz ψψψ 22
11
−− −−=
( ) ( ) ( )zYzzaza =++ − ψψ 110
( ) ( )
=
−
=
−=
+m
i
ii
n
i
ii za
zY
zb
zX
01
1
Questo genere di sintesi è estremamente semplice, perché richiede soltanto la conoscenza
di coefficienti ia e ib . Il circuito ottenuto è canonico, perché contiene il minimo numero
possibile di unità di ritardo. Questo numero è pari all’ordine di ( )zH ( )nm,max . La
struttura circuitale è tuttavia sensibile alle variazioni dei coefficienti possibili
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 97
deviazioni della effettiva risposta in frequenza e rumore dovuto all’accumulo degli
arrotondamenti. Questi inconvenienti salgono con l’ordine di ( )zH .
La situazione può essere migliorata fattorizzando dapprima la funzione di trasferimento
( )zH in termini quadratici (più eventualmente un termine di primo ordine per funzioni di
grado dispari). Ciascun termine viene realizzato separatamente e i vari blocchi sono poi
connessi in cascata.
Perciò la
( ) ( )∏
=+
= −
−
kk
i
ii
i
ii
zHzb
zazH
1
con 1
1
110
1 −
−
++
=z
zH
k
kkk β
αα (ordine 1)
oppure con 2
21
1
22
110
1 −−
−−
++++
=zz
zzH
kk
kkkk ββ
ααα (ordine 2)
Per il blocco di ordine 1 si ha:
( )( ) 1
1
110
110
11
1
10
1
1
1−
−
−
−
−+
+=
+=
+=
=
=+=−
z
z
x
y
zy
zx
z
y
x
k
kk
k
k
kkk
kkkkk
kk
βαα
ααψβψ
ψηηαψαψηβ
Si noti che esso è ottenibile da quello di ordine 2 con 02 =kα e 02 =kβ
Catena risultante:
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 98
( ) ( )∏=k
k zHzH
In alternativa, ( )zH può essere sviluppata in frazioni parziali
( ) ( )+=
+++
+= −−
−
ii
i ii
ii zHKzz
zKzH ˆ
1 22
11
110
ββαα
Ciascun termine ( )zH iˆ ha la struttura appena vista per i termini di ordine2 ma con il ramo
k2α cancellato.
Un eventuale termine di ordine 1 si ottiene ancora dallo stesso circuito ponendo 01 =kα e
02 =kβ :
11
0
1 −+=
zx
y
k
k
k
k
βα
La struttura risultante è, in questo caso, parallela:
Filtri FIR- sintesi
( ) =
−=m
r
rr zazH
0
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 99
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 100
14 Teorema di Cohn
Consideriamo un circuito fatto di soli bipoli LTI. Uno di essi è un generatore E; gli altri
sono descritti attraverso l’impedenza. Le impedenze “interne” si indicano con hZ . Ogni
bipolo è descritto con la convenzione normale.
Associamo al circuito sopra descritto un secondo circuito, nel quale il solo bipolo esterno
muta l’impedenza da Z a Z Zδ+ .
La “perturbazione” Zδ modificherà tensioni e correnti rispetto al circuito precedente.
Applichiamo il teorema di Tellegen due volte. Nella prima consideriamo le tensioni del
primo circuito ( ), ,hE V V e le correnti del secondo ( )', ,E E hI I I I Iδ δ+ + . Abbiamo:
( ) ( )' 0E E h hh
E I I V I V I Iδ δ+ + + + =
( I )
Nella seconda consideriamo gli insiemi duali, ossia le tensioni del secondo circuito
( )', ,hE V V Vδ+ e le correnti del primo circuito ( ), ,E hI I I . Abbiamo:
( )' 0E h hh
EI V I V V Iδ+ + + =
( II )
Dalla ( I ) si ha:
' 2 0E E h h hh
EI E I Z I I ZI ZI Iδ δ+ + + + + =
( a )
Dalla ( II ), trascurando i termini contenenti il prodotto di due “perturbazioni”, si ha:
[ ]' 0E h h hh
EI Z I I ZI Z I I Z Iδ δ+ + + + =
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 101
Ossia
' 2 2 0E h h hh
EI Z I I ZI ZI I I Zδ δ+ + + + =
( b )
Sottraendo ( b ) da ( a ) si ha:
2 0EE I I Zδ δ− =
Ora, nel circuito di partenza l’impedenza misurabile alla porta del generatore è:
( ) ( )( )2 2 2 2
EE E E E
E E E E EE
dZE E E E EZ Z I I
I d I I I IIδ δ δ− − −= = = = − =
− − −
Ma si è appena trovato che
2
E
II Z
Eδ δ=
quindi:
22
2EE E
E I IZ Z Z
I E Iδ δ δ
= ⋅ = Teorema di Cohn
L’influenza di Zδ sull’impedenza misurata sul lato “E” è pesata dal quadrato del rapporto
fra la corrente sul lato “Z” e quella sul lato “E”.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 102
15 Sensibilità
La sensibilità relativa di una funzione di rete T rispetto a un parametro x, indicata con TxS
di definisce come:
( )( )ln
lnTx
TTT x TS
xx T xx
∂∂∂ = =∂∂ ∂
Esempio
( )( )
( )( )
( )
1
2
2 2 1 12
21 2 1 21 2
1 2
1 2 2 2 12
2 1 21 2
1 2
; TR
TR
R R R RVT S
RE R R R RR RR R
R R R R RS
R R RR RR R
−= = = − =+ ++
+
+ −= =
+++
Per avere T
T
∆ preciso entro qualche percento, si tiene conto del fatto che
1 2
1 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 T TR R
dR dRT T dT T TdT dR dR dR dR S S
R R T T R T R R R
∂ ∂ ∂ ∂= + = + = +∂ ∂ ∂ ∂
da cui
1 2
1 2
1 2
T TR R
R RTS S
T R R
∆ ∆∆ +
che indica come influiscono le tolleranze di fabbricazione 1
1
R
R
∆ e 2
2
R
R
∆ sulla tolleranza
T
T
∆ risultante.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 103
Il calcolo di T
x
∂∂
si riporta di fatto a quello di una V
x
∂∂
o di una I
x
∂∂
. Per esempio, se
inT Z= ci si riporta ad avere inV
x
∂∂
con inI assegnata.
1in in inin
in in
V Z VTT Z
I x x I x
∂ ∂∂= = = =∂ ∂ ∂
Quando i parametri x sono molti, il calcolo delle derivate parziali di T rispetto a tutti i
parametri è proibitivo. Il metodo da adottare, allora, è quello della rete aggiunta, che si
basa sul teorema di Tellegen.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 104
16 Dipendenza bilineare
Una qualsiasi funzione di rete T di un circuito lineare dipende in modo bilineare
dall’impedenza di un suo componente. Consideriamo il caso:
o
g
VT
V
Si vuole evidenziare la dipendenza di T da Z. Esempi:
Il bipolo Z si può rappresentare come
Se ora rimuoviamo temporaneamente il legame tra grandezza pilotante e pilotata (YV
diventa iYV , con iV “esterna”) si ottiene una rete con due ingressi ,g iV V e due uscite
,oV V .
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 105
Le due uscite dipendono linearmente dai due ingressi, e si ha:
o g i
g i
V aV bYV
V cV dYV
= +
= +
con , , ,a b c d da identificare. Supponendo di averli determinati, il circuito originale si
ottiene ponendo iV V= , da cui:
( )1 1o g g
o gg g
V aV bYV cVV aV bY
V cV dYV V dY cV dY
= +
= +
= +
− = −
quindi
( ) ( ) ( )1
1 1o g g g
a dY bcY a Y ad bc aZ ad bcV V V V
dY dY Z d
− + − − − −
= = =
− − −
che è una relazione bilineare.
I termini effettivamente da identificare sono ( ), ,a d ad bc− . Si ha anzitutto:
0 0i m i
o o
g gV g V
V Va
V V= =
= ≡
Perciò a è la T che si ha “quando Z è infinita”: poniamo a T∞=
0g
Ti V
Vd Z
YV=
= = −
iYV è, in questo caso, un generatore “indipendente” di corrente.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 106
IL rapporto i
V
YV vale TZ− , ovvero il negativo dell’impedenza di Thevenin fra A e B.
Infine, scegliamo una coppia di ingressi ,g iV V in modo che fra A e B sia 0V = :
0
o g i
g i
V aV bYV
cV dYV
= +
= +
i g o g
c bcYV V V a V
d d
= − = −
Perciò:
: 0i
oo
g YV V
Vad bcT
d V=
− = =
che è il valore di T quando 0V = . Quindi ( ) o T oad bc dT Z T− = = −
Infine si ha:
( ) o T
T
T Z T ZT Z
Z Z∞ +=
+
che è una relazione bilineare in Z.
La sensibilità TZS si esprime come:
( ) [ ]( ) ( )[ ]2
T o TT oTZ T
o T T o TT
T Z Z T Z T Z T TZ ZT ZS Z Z Z
Z T T Z T Z Z Z T Z T ZZ Z
∞ ∞ ∞
∞ ∞
+ − + −+∂= ⋅ = ⋅ ⋅ =∂ + + ++
Quindi noti , ,T oZ T T∞ la sensibilità si può calcolare senza effettuare derivate.
Esempio
Sensibilità della funzione di trasferimento o
g
VT
V= di una rete a scala alle impedenze dei
rami longitudinali e trasversali.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 107
Si ha, in generale:
( )[ ]T k oZ T k
k k T k o T
Z T TTS Z Z
Z T Z Z T Z T Z∞
∞
−∂= =∂ + +
Per l’impedenza di un ramo longitudinale 2 1k lZ Z += si ha, ricordando quanto esposto:
Per cui, determinata TZ , si ha:
( )2 1
2 12 1 2 1
T o lZ T l
l T o T l T
T ZS Z Z
Z Z T Z Z Z+
++ +
− −= =+ +
Si noti, quindi, che non occorre determinare oT .
Per l’impedenza di un ramo trasversale 2k lZ Z= si osserva che, quando con opportuni gV
e iYV si ottiene 0V = :
0 0oV perchè V= =
anche oV diventa nulla, per cui 0oT = . Determinata TZ fra A e B con rete passivata
(circuito non riportato) si ha:
( )22 2 2
T TZ T l
l T l l T
T ZS Z Z
Z Z T Z Z Z∞
∞
= =+ +
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 108
perciò non occorre determinare T∞ .
Il caso in cui T sia l’impedenza xyZ fra due punti di un circuito si tratta in modo simile.
Infatti:
gxy
g
VZ
I=
Per valutare la dipendenza di xyZ da Z si rinnova, come già fatto in precedenza, il legame
fra le variabili descrittive V e I di Z:
Questa rete viene trattata come se avesse due ingressi ,g iI V e due uscite ,gV V . Si ha:
( )g g i
g i
V aI bYVlinearità
V cI dYV
= +
= +
questa generalizzazione permette di esplicitare la dipendenza, nel circuito originario, di
xyZ da Z.
Infatti, ponendo iV V= nelle equazioni precedenti si ha:
( )1g g
g
V aI bYV
V dY cI
= +
− =
da cui si ottiene:
( ) ( ) ( )1
1 1 1g g g g g g
a dY bcY a Y ad bc aZ ad bccV aI bY I I I I
dY dY dY Z d
− + − − − −
= + = = =
− − − −
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 109
che è una relazione bilineare.
Consideriamo, anche in questo caso, i termini da identificare.
Anzitutto
0 0i i
g g
g gV YV
V Va Z
I I ∞
= =
= ≡ =
a è dunque l’impedenza xyZ quando la Z collegata fra A e B è infinita.
0g
Ti I
Vd Z
YV=
= = −
d− è quindi l’impedenza di Thevenin TZ fra A e B.
Scegliamo ora una coppia di ingressi gI e iV in modo che tra A e B sia 0V = .
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 110
0
g g i
g i i g
V aI bYV
ccI dYV YV I
d
= +
= + = −
da cui otteniamo:
: 0i
gg g
g YV V
Vbc ad bcV a I
d d I=
−
= − =
Quindi
o
ad bcZ
d
− =
che è il valore di Z quando 0V = .
Riprendendo la relazione generale si ha:
( )g o Txy
g T
V aZ ad bc Z Z Z ZZ
I Z d Z Z∞− − += = =
− +
che è una relazione bilineare in Z.
La sensibilità xyZ
ZS si può esprimere come:
( ) ( )( )
( )( )( )2
xyZ xy T o T T oZ T
xy o T T o TT
Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZS Z ZZ
Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z
∞ ∞ ∞
∞ ∞
∂ + − + + −= = =∂ + + ++
Noti , ,T oZ Z Z∞ la sensibilità si calcola senza ricorrere a derivate.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 111
17 Il metodo della rete aggiunta
Consideriamo per semplicità un
circuito N in cui la funzione T sia i
u
V
V.
Supponiamo che esso contenga bipoli
kZ , generatori di corrente pilotati in
tensione e nullori. Estensioni ad altri
componenti e altre T si potranno
dedurre in seguito. Lo strumento da
impiegare, come anticipato, è il
teorema di Tellegen, da applicare
anche a lati che sono circuiti aperti
(come G-H o come Ck-Dk).
Conviene allora riformulare il circuito
di partenza mettendo su tali lati
generatori di corrente con corrente
nulla.
In vista della definizione della rete aggiunta conviene dare variabili descrittive anche per i
nullori.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 112
Ovviamente 0=nuV , 0=nui (nullatore), noV , noi sono “indeterminate”, o meglio,
determinate dal resto del circuito (noratore).
È così possibile ridisegnare il circuito N di partenza “completato” con il metodo sopra
detto: esso ha variabili di lato per ogni lato del grafo, e questo include come lati anche i
circuiti aperti di interesse per l’analisi.
A tale circuito N ne affianchiamo un altro N con lo stesso grafo ma con i lati ancora di
natura imprecisata.
In N come in N , si noti, ogni lato ha ora le due variabili descrittive tensione e corrente
con la convenzione degli utilizzatori. Le variabili in N sono indicate come in N ma hanno
in più un “^” per contraddistinguerle.
Detti kV e ki gli insiemi di tensioni e correnti in N
kV e ki
gli insiemi di tensioni e correnti in N
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 113
si ha, fra le altre relazioni implicate dal teorema di Tellegen
= 0kkiV
= 0ˆ
kkiV
Consideriamo ora in N un sistema di tensioni e correnti perturbate (ma in modo
compatibile con il grafo):
kkk VVV ∆+→ ; kkk iii ∆+→
si ha:
( )( ) =∆+
=∆+
0ˆ0ˆ
kkk
kkk
iiV
iVV(date le precedenti)
=∆=∆
0ˆ0ˆ
kk
kk
iV
iV e ancora, per differenza:
( )=∆−∆ 0ˆˆ
kkkk iViV
che è la forma sulla quale operare per definire la rete aggiunta. Sui termini entro parentesi
(eventualmente coinvolgendo contemporaneamente più lati del grafo, ad esempio, nel caso
di generatori pilotati) si agisce con il seguente criterio:
fare in modo che i componenti della rete aggiunta N siano tali da mantenere la uV∆ ed
evidenziare le variazioni di tutti i parametri dei componenti di N , annullando i coefficienti
delle kV∆ e ki∆ su tutti i lati uk ≠ .
Ciò si ottiene ragionando sulle varie categorie di componenti (o lati) e considerando i
termini della sommatoria associati ad essi.
Ingresso (lato i) e uscita (lato u)
( ) ( )iiiiuuuu iViViViV ∆−∆+∆−∆ ˆˆˆˆ termini della sommatoria
ora, 0=∆ iV perché il generatore Vi in ingresso è fissato
0=∆ ui poiché il generatore ui in uscita è fissato (è anche nullo, ma non
serve che lo sia!)
quindi i due termini ( ) per i due lati si riducono a:
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 114
iiuu iViV ∆−∆ ˆˆ
ma ii∆ non interessa basta porre 0ˆ =iV , ossia mettere sul lato MN della rete aggiunta N un corto circuito
in questo modo:
(lato u) + (lato i) uuiV ˆ∆→
Bipoli (lato k-esimo) con k kZ k ZV Z i=
Per una variazione kZ∆ la relazione costitutiva fornisce
( ) ( ) ( )k k k k k k kz z k k Z Z z k z k zV V Z Z i i V Z i Z i+ ∆ = + ∆ + ∆ ∆ = ∆ + ∆
(il termine kk zZ i∆ ∆ si trascura).
Sostituendo kZV∆ nel termine corrispondente della sommatoria si ha:
( )kkkkkkkkkkk ZZkZZZZkZkZZZZ iiZiViiZiZiViV ˆˆˆˆˆ ∆=∆−∆+∆=∆−∆
purché kkkk ZZZZk iViiZ ∆=∆ ˆˆ , ossia purché:
Perciò le variazioni indesiderate si autoelidono lasciando kZ tale e quale anche in N : ogni
R, L, C (o altro) rimane invariata.
Lati per i generatori pilotati (lati kc e km )
( ) ( )kkkkkkkk mmmmcccc iViViViV ∆−∆+∆−∆ ˆˆˆˆ termini della sommatoria
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 115
ora, 0=∆kci perché il “generatore” di corrente
kci è fisso (a valore zero, ma questo non
importa)
inoltre ( ) ( )( ) ∆+∆+=∆+=kkkkkkkkk ccmmmmcmm VVggiiVgi
sostituendo nelle due parentesi () () si ha
( ) ( )ˆˆ ˆ0k k k k k k k k kc c m m m m c m cV i V i V g V g V
∆ − + ∆ − ∆ + ∆
per avere 0≠ solo il termine con kmg∆ occorre che sia
( )
===∆+−∆
kkk
k
kkkkkk
mmc
mmmmmcc Vgi
iiVVgiV ˆˆ
0ˆ0ˆˆˆ
per cui, nel passaggio da N a N , il componente è ancora un generatore pilotato con
parametro kmg identico ma con lati scambiati
Nullori (lati un e on )
( ) ( )oooouuuu nnnnnnnn iViViViV ∆−∆+∆−∆ ˆˆˆˆ termini della sommatoria
ora, 0=∆unV e 0=∆
uni perché il lato un in N è un nullatore
ci si riduce a oooo nnnn iViV ∆−∆ ˆ che deve scomparire del tutto, il che avviene se
==
0ˆ0ˆ
o
o
n
n
V
i sul lato on di N c’è un nullatore. Sul lato on di N non ci sono prescrizioni
è un noratore.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 116
Risultato: nel passaggio da N a N il nullore permuta i suoi lati: il nullatore va sul lato on ,
il noratore sul lato un .
Conclusione: per la rete aggiunta così costituita la sommatoria da cui si è partiti si riduce
così:
0ˆˆˆ =∆−+∆+∆
Z g
kkkkkN N
mcmZZkuu VVgiiZiV
perciò, assegnato ui in uscita tramite un generatore di corrente costante, l’espressione
suddetta rappresenta il differenziale totale della funzione
( )11,..., ,..., , ,..., ,...,Z k Ng
u k N m m mV Z Z Z g g g . Si ha, per variazioni sufficientemente piccole
kk ZZ
uk
u iiiZ
V ˆˆ1−=
∂∂
; kk
k
mcum
u VVig
V ˆˆ1=
∂∂
La rete aggiunta N ha, per riassumere, la struttura
La mappa completa di passaggio da N a N (includendo cioè anche gli altri tipi di
generatori pilotati) si ottiene facilmente, ed è riassunta di seguito
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 117
Determinazione della sensibilità rispetto ai componenti con il metodo della rete
aggiunta
La funzione di trasferimento considerata è
i
u
V
VH =
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 118
Le relazioni generate con la rete aggiunta sono
kk ZZ
uk
u iiiZ
V ˆˆ1−=
∂∂
; kk
k
mcum
u VVig
V ˆˆ1=
∂∂
da esse è possibile ottenere le espressioni di sensibilità in termini di variazione dei
parametri quali R, L, C, gm.
Per un resistore kR
1 ˆˆk k k
u
iH k k kR R R
uk k u u
i
V
VR R RHS i i
VH R R V iV
∂
∂ = = − ∂ ∂
ma kk RRk ViR = ; =
kk RRk ViR ˆˆ si può riscrivere il risultato come
ˆ 1ˆ
k k
k
R RHR
k u u
V VS
R V i−
# Per un induttore kL ( );k kk k L k LZ sL V sL i= =
( ) ( )ˆ1 1ˆ
ˆ ˆk k
k k k
u
L LiH k k k kL L L
uk k k u k uu u
i
VV VVL sL sL sLH H
S i iVH L H sL sL V sL Vi iV
∂
∂ ∂ = = = − = −
∂ ∂ ∂
Per un condensatore kC 1 1
;k kk C C
k k
Z V isC sC
= =
k
H kC
k
C HS
H C
∂∂
osserviamo che, in termini di una generica ( )kCf , si può scrivere
∂∂=
∂∂
kk dC
df
fCper ( )
kk C
Cf1= si ha
∂
∂−=∂
∂
k
kk
C
CC 1
12
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 119
==
∂
∂−=
∂
∂−=
∂
∂−=kkk CC
uuk
k
u
ku
k
u
ku
k
k
k
kHC ii
iVsC
sC
V
sCV
C
V
CV
C
C
H
CH
CS ˆ
ˆ111
1
11
1
1
1
122
uu
kCC
iV
sCVVkk
ˆ1ˆ
=
Per un generatore pilotato kmg
uu
mcm
m
u
u
m
m
mHg iV
VVg
g
V
V
g
g
H
H
gS kkk
k
k
k
k
km ˆ1ˆ
ˆ =∂∂=
∂∂=
Le altre possibili generalizzazioni (altri generatori pilotati oppure altre H) si possono
costruire facilmente con questi stessi metodi.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 120
18 Rete aggiunta e sensibilità per
l’impedenza fra due punti di un circuito
L’impedenza fra due punti N e M si considera come una funzione di trasferimento nella
quale è assegnata in ingresso la corrente e si considera come “uscita” la tensione agli
estremi: HI
VZ ==
Consideriamo allora un circuito N con le caratteristiche “interne” identiche a quelle già
considerate per il caso i
u
V
V.
Le varianti rispetto al caso già considerato sono:
1) non si consideriamo più morsetti G-H per una Vu (⇔ non c’è un “lato u”)
2) fra N e M si pone un generatore di corrente ii e si considera la tensione “in uscita”
agli stessi estremi.
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 121
Attenzione: in vista dell’applicazione del teorema di Tellegen, la iV è presa con la
convenzione degli utilizzatori (per cui i
i
i
VZH −== )
La costruzione della rete aggiunta è del tutto analoga a quella già vista, salvo per l’unico
lato esterno i (non c’è lato u). Per esso la sommatoria di Tellegen ha il termine:
iiii iViV ∆−∆ ˆˆ ma 0=∆ ii perché ii è fissata (l’ingresso è assegnato) per cui, per mantenere
il termine ii iV ˆ∆ , occorre assegnare 0ˆ ≠ii con un generatore di corrente nella rete aggiunta.
Il resto della sommatoria è completamente identico a quello già incontrato per i
u
V
VH = .
Complessivamente si ha 0ˆˆˆ =∆−+∆+∆ k
g
kk
Z
kk mN
CmN
ZZkii VVgiiZiV
Quindi i
ZZ
k
i
i
ii
Z
Vkk
ˆ
ˆ−=
∂∂
; ˆˆ 1 1
ˆ ˆk k k k
k
i
Z Z Z ZiZ k k k iZ
k k i k k ii ii
i
Vi i V ViZ Z Z VZ
SZ Z Z V Z Z Vi iV
i
∂ − ∂∂ = = = − = −
∂ ∂ ∂
−
i
mC
m
i
i
VV
g
Vkk
k
ˆ
ˆ=
∂∂
; i
mC
i
m
m
i
i
i
i
m
m
mZg
i
VV
V
g
g
i
V
i
V
g
g
Z
Z
gS kkk
k
k
k
k
km ˆ
ˆ=
∂
−∂
−
=∂∂=
si noti l’analogia tra questi risultati e quelli ottenuti per l caso in cui i
u
V
VH = .
Esempio
Calcolare le sensibilità della funzione di trasferimento i
u
V
V rispetto alle variazioni dei
componenti
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 122
1) calcoliamo uV e le tensioni della rete
11
11 +
=sCR
sCRVV iR ;
11 +=
sCR
VV i
C ; 11
22 +
−==sCR
VRgVV im
Ru
2) costruiamo la rete aggiunta.
uRm IRVV ˆˆˆ22
−==
ummmR IsCR
RRg
sCR
RVgV ˆ
11.ˆˆ
1
21
1
11 +
−=+
+= ; um
RC IsCR
RRgVV ˆ
1ˆˆ
1
211 +
+=−=
3) Si ha ora
kk ZZ
uk
u iiIZ
V ˆˆ1−=
∂∂
; i
u
V
VH = ;
uuk
ZZZZ
uu
k
k
u
u
k
k
kHZ
IVZ
VVii
IV
Z
Z
V
V
Z
Z
H
H
ZS kk
kkk ˆ
ˆˆ
ˆ1 −=
−=∂∂=
∂∂=
quindi, per 1RZk = oppure 2RZk = basta sostituire. Ad esempio
Per k
k sCZ
1= si ha
quindi, in questo caso:
1ˆ
11ˆ1
1
1
1
1
1
21
1
1
2 +−=
++−
+−−=
sCR
sCRI
sCR
RRsCg
sCR
sCV
IsCR
VRgsCS u
mi
uim
HC
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 123
Per generatori pilotati si ha:
1 ˆˆ
k k k
m k kk
k k
m m mH ug m m
m u m u u
g g gVHS V V
H g V g V I
∂∂= = =
∂ ∂
nel caso dell’esempio, in particolare:
( )22 1
1
1 ˆ 1ˆ 1
1
m
H m ig u
m i u
g VS R I
g R V sCRIsCR
= − =
+
−+
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 124
19 Un cenno al progetto di filtri tramite ottimizzazione
Sia ( )ω0H una funzione di trasferimento “desiderata”, sia ( )ωH la funzione di rete in N.
Per rendere ( )ωH “il più vicina possibile” a ( )ω0H , si può considerare il funzionale E
costituito pesando l’errore quadratico su un numero discreto M di pulsazioni.
( ) ( ) 2
01
M
i i ii
E W H j H jω ω=
−
con iW funzione peso predefinita e maggiore di 0.
Sia jF un parametro della rete (esempio R,L,C, mg ). Si ha:
( ) ( ) NjjHjHF
WF
E M
iii
ji
j
,,11
2
0 =−∂∂=
∂∂
=
ωω
ricordiamo che:
( ) ( ) ( )iii jHjHjH ωωω ∗⋅=
( ) ( ) ( ) ( ) =∂∂−=
∂∂ ∗
=
2
1
102 ii
M
i jiii
j
jHjHF
jHjHWF
E ωωωω
( ) ( ) ( ) ( )0
1
12
2i
M
i i ii j ji i j
H HW H j H j H H
F FH j H j ω
ω ωω ω
∗∗
∗=
∂ ∂
= − ⋅ ⋅ + =
∂ ∂
( ) ( ) ( )
0
1
2 Re 1, ,
i
Mi i
ii ji
j
H j H j HW H j N
FH jω
ω ωω
∗
=
− ∂
= ⋅ =
∂
Le jF
H
∂∂
sono note dalla rete aggiunta ad ogni pulsazione iω
Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 125
Perciò:
il gradiente del funzionale E può essere calcolato direttamente a partire dalle derivate della
( )ωjH rispetto ai componenti jF . Questi, inoltre, si possono ottenere in modo esplicito
dalla rete aggiunta.
Ottenuto il gradiente di E, si può avviare un procedimento di minimizzazione rispetto a
[ ]NFF ,,1 . Indicando con T
NF
E
F
EE
∂∂
∂∂=∇ ,,
1 e con ( ) ( ) ( )[ ]TK
NKK FFF ,,1 = il vettore
dei valori di tentativo dei parametri del circuito al passo k, si ha, ad esempio:
( ) ( )( )KFF
KK EtFF=
+ ∇−=1
ove t>0 è il passo di avanzamento nella direzione del gradiente. Esso può essere scelto, ad
esempio, col criterio del gradiente ottimo, ricercando, ad ogni passo:
( )( )( )KFF
K
tEtFE
=>∇−
0min
Altri algoritmi facilmente utilizzabili e basati sul gradiente sono:
1) metodo delle tangenti parallele
2) metodo dei gradienti coniugati
Occorre infine ricordare che è possibile vincolare ciascun parametro jF a stare in un
intervallo di valori prescritto (vincoli espressi da disequazioni maxmin jjj FFF ≤≤ )
aggiungendo termini opportuni al funzionale E da minimizzare (rif. Condizioni di Karush-
Kuhn-Tucker). E’ anche possibile introdurre vincoli su jF espressi da equazioni (è un caso
più semplice del precedente ed è meno frequente in questo genere di applicazioni).
Comunque, entrambi i tipi di vincolo poggiano sull’aggiunta ad E di termini opportuni
tramite moltiplicatori di Lagrange.