8/3/2019 ZetaDispari

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Rosario Turconovembre 2011

Introduzione

In questo breve studio si esamina la zeta ottenibile solo con i numeri dispari, che nel seguito definiamocome Zeta dispari.

La funzione è legata alla funzione Beta di Dirichlet, anche nota come funzione Beta di Catalan.

 Nell'articolo si fa una semplice analisi in campo reale che mostra un evidente legame con la zeta diEulero, si osservano i valoridelle costanti e si analizza il tutto in campo complesso dove si osserva, eliminando determinati numeridispari dalla serie, comegli zeri spariscono.

Definiamo la Zeta Dispari come di seguito:

Zd(s) =

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 x

1 2 3 4 5 60

5

10

Zd(x) in [0..6] (campo reale)

"# Costanti della Zd #"

"Zd(2)="

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"Zd(3)="

"Zd(4)="

"Zd(5)="

"Zd(6)="

"Zd(7)="

"Zd(8)="

"# Valore assoluto della Zd#"

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t 

0 10 20 30 40 50

1

2

|Zd(1/2+I*t)|

Dalle costanti è evidente che, in campo reale, con x pari c'è un

legame della Zd con una potenza x di pi greco; mentre per le potenze

di x dispari c'è un legame della Zd con il

valore della zeta di Riemann valutata in x.

Dal diagramma del modulo della Zd(1/2+I*t) notiamo dei valori a cui la

curva scende sull'asse delle ascisse che, forse, vi dicono qualcosa:

[14.134725, 21.022039, 25.010857, 30.424876, 32.935061, 37.586178,

40.918719, 43.327073, 48.005150, 49.773832, 52.970321, 56.446247,59.347044, 60.831778, 65.112544, 67.079810, 69.546401, 72.067157,

75.704690, 77.144840]

Eh sì: sono gli "zeri non banali" della Zeta dispari e sono identici a

quella della zeta di Riemann e sempre sulla retta critica!

La cosa si ossserva facilmente anche con i valori di t che annullano

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(1)(1)

Zd in corrispondenza a sigma=1/2.

"1/4CIt"

"1/3CIt"

"1/2CIt"

"1CIt"

Simulazioni

Maple e la zeta dispari ci danno un'opportunità di simulazione, non so

se l'avete mai fatto.

Proviamo prima a vedere cosa succede se mettiamo alcuni termini in

meno nella serie facendola partire, ad esempio, da un k diverso da

zero (k=1 stiamo eliminando l'1 soltanto in fondo).

Si osserva che iniziano a sparire gli zero, ad iniziare da quello a t=

14.134725. Se rimettiamo l'1 e eliminiamo il 3 oppure il 3 e il 5,

anche spariscono gli zero, e così via.

L'1, eterno bistrattato (primo o non primo?) ha quindi una grande

responsabilità negli zero (e non si sarebbe neanche detto a primavista!).

Conclusioni

Tutti i numeri dispari sono responsabili sulla retta critica degli

zero, compreso l'1; di conseguenza si potrebbe pensare che nella zeta

di Riemann i pari non contribuiscono agli zeri.

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t 

0 10 20 30 40 50

|Zd(1/2+I*t) senza 1|

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(2)(2)

t 

0 10 20 30 40 50

|Zd(1/2+I*t) senza 1/3^s e 1/5^s|

Riferimenti

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[1] http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_Beta_di_Dirichlet