1
Università degli Studi di Padova
SCIENZE MM.FF.NN. Laurea in Matematica
Laboratorio di Rilevamento e Geomatica
ANALISI CON FUNZIONI SPLINE DI ACQUISIZIONI LINEARI
CON LASER A SCANSIONE
Relatori: Prof. Giuseppe Salemi
Prof. Francesco Fassò
Laureanda: TINA BABETTO
A. A. 2004 / 2005
2
Settore di interesse
Settore ARCHITETTONICOARCHITETTONICO:
Rilievi effettuati con moderne apparecchiature laser scanning :
I dati vengono acquisiti con uno scanner laser, capace di determinare velocemente e con un alto grado di precisione la geometria dell’oggetto.
L’acquisizione avviene su una griglia di campionamento, per definizione discreta
3
Esempi di acquisizione
4
Problema
Una volta acquisiti i dati vengono elaborati mediante software attualmente il mercato offre strumenti in grado di effettuare elaborazione globaleglobale dei dati
Punto debolePunto debole
Non è possibile effettuare un’analisi del singolo dettaglio
SOLUZIONE: analisi con interpolazione del rilievo linea per linea , punto per punto
5
Strumento
• scanner Cyrax 2500
• Software Cyclone
LASER A SCANSIONE
Dimensione: 35,6 x 30,48 x 58,42 cm
Angolo di ripresa: 40° x 40°
Range di utilizzo medio: 1,5 – 50 m
Range di utilizzo massimo: 80 –100 m
Velocità di acquisizione: 1000 punti/secondo
6
Acquisizione:
rappresenta un possibile profilo di una struttura architettonica
Linea iniziale dell’acquisizione
7
Acquisizione:
In realtà:
8
Funzioni di interpolazione polinomiali SPLINE
Strumenti matematici utilizzati:
SPLINE
Cubica
Bézier
Composite Bézier
Ambiente di lavoro: Mathematica 4.1
9
Definizione:
Sia a = x0< x1<…. < xn = b una suddivisione dell’intervallo [a,b] e sia m N.
Una funzione sm: [a,b] R è chiamata SPLINE di grado m rispetto a questa
suddivisione se s Cm-1[a,b] e se la restrizione di s ad ogni sottointervallo [xi,xi+1]
è un polinomio di grado al più m.
Utilizzo:
Nella grafica 3D sono utilizzate per l’approssimazione di curve.
Funzioni di interpolazione SPLINE
SPLINE CUBICA (m=3)
s3= a0i + a1ix + a2i x2 + a3ix
3
10
Definizione:
i coefficienti b0,b1…..,bn R 2 nella rappresentazione di un polinomio p Pk nella base di Bernstein
x [a,b],
sono chiamati punti di controllo , o punti di BÉZIER, di p.
COMPOSITE BÉZIER: serie di curve di Bézier di classe C1 che interpola alternativamente nodi e punti di controllo
Funzioni di interpolazione SPLINE
),;()(0
baxBbxp nk
n
kk
11
Acquisizione
12
Acquisizione
13
I morfotipi I modelli campionati sono 5:
Punti allineati
Box
Curva
Triangolo
Picco
Box
14
Applicazione
Per ogni tipologia di spline si è eseguita l’interpolazione :
• su ogni singolo morfotipo
• su composizioni di morfotipi diversi
• su composizioni di morfotipi diversi a passi di campionatura diversi
• su ripetizioni dello stesso morfotipo
• su sequenze con morfotipi distanziati (“effetto rilassamento”)
15
Muro.jpg
Codice in Mathematica 4.1
16
Singolo morfotipo
Interpolazione CompositeBézier a confronto: Box con 2 passi di campionamento diversi
17
Esempi di interpolazioni su 2 sequenze di morfotipi
BÉZIER :
Triangolo + 2*Box
COMPOSITE
BÉZIER :Curva + Linea + Box + Picco + Triangolo
18
Campionatura diversa
Interpolazione con passo di campionamento diverso per ogni morfotipo
19
Sequenza “rilassata”
20
Costruzione 3D
Dall’ultima sequenza, ripetendo la funzione n volte…
21… si ottiene una parete
Muro.jpg
Costruzione 3D
22
Conclusioni
• La sperimentazione ha indicato alcune “linee” guida per l’analisi di singoli morfotipi derivanti da acquisizioni con laser a scansione.
• Inoltre, è stata studiata la sequenza di morfotipi elementari, variandone la composizione, la ripetizione e la complessità strutturale.
• E’ stato approntato un metodo alternativo di analisi delle linee di acquisizione applicabile a situazioni diverse.
• I risultati ottenuti in ambito architettonico-strutturale sono facilmente esportabili in altri ambiti (ad es. biostereometria).
23
24
Perturbazioni
errore umano
morfotipo affetto da errore
errore di macchina
25
Perturbazioni
gli effetti dell’interpolazione cambiano
In caso di perturbazioni l’interpolazione non approssima esattamente l’andamento cercato è necessario effettuare una depurazione dall’ errore (se possibile)