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Meccanica2019-2020
Dinamica del punto materiale
Dinamica del punto materiale
Forza elastica
xukxxF�
�
)( −=
Equazione del moto?
sin( )P
x A tω φ= +m
kP =ωcon
Se assumiamo condizioni iniziali
0)0( xx =0)0( =v
)2/sin(0 πω += txx P )cos(0 tx Pω=)sin(0 txv PP ωω−=
0sin xA =φcos 0
PAω φ =
0/ 2, A xφ π= =
2
20
d x kx
dt m+ =
cos( )P Pv A tω ω φ= +Equazione della velocità?
0l
F�
F�
l
Costante elastica0k >
0x l l= −(molla «ideale»)
Dinamica del punto materiale
Forza elasticaSupponiamo una velocità iniziale non nulla:
0)0( xx =0)0( vv =
0sin xA =φ 0cos vAP =φω
1cossin
2
0
2
022 =
+
=+PA
v
A
x
ωφφ
2
2
02
0
P
vxA
ω+=
0
0
cos
sin
v
x
P
=φω
φFase iniziale:
Sfruttiamo2 2sin cos 1α α+ =
Ampiezza:
+
+= PP
P v
xt
vxtx ωω
ω 0
0
2/1
2
2
02
0 arctansin)(
Equazione del moto:
Pv
x ωφ0
0tan =
= P
v
x ωφ0
0arctan
00 =vPer si ritrovano i risultati precedenti arctan / 2 α π α→ → ∞
Avremo ancora moto armonico
ma con valori diversi di ampiezza e fase iniziale
sin( )P
x A tω φ= +
Dinamica del punto materiale
Forza elastica
I punti P e Q sono fermi
21 FF��
−= 43 FF��
−=
Poiché anche la molla nel suo insieme è ferma la risultante delle forze esterne deve essere nulla:
041 =+ FF��
41 FF��
−=Per mantenere una molla libera deformata di una quantità x
dobbiamo applicare agli estremi due forze uguali e contrarie di modulo kx
Applicata dall’esterno
Forza elastica -kx
Forza elastica +kx
Reazione vincolare
l0l
Equilibrio statico
1F�
2F�
3F�
4F�
xll =− )( 0
Applichiamo a P una forza costante che mantenga la molla (ideale) tesa con uno spostamento costante
1F�
Fili e carrucole
Tensione del filo teso a una estremità da una forza AF�
B A
All’altro estremo il vincolo esercita la forza AB FTF
���
−==
β
Carrucola: consente di cambiare direzione alla forza senza modificarne l’intensità
AF�
BF�
z
Omg mgF =
21 TTFA
���
+=
ZuT�
cos2 β−=
Forza applicata al perno:
“Filo ideale”: inestensibile, massa trascurabile
Elemento infinitesimo ds bilancia la forza
AFT��
−= A
All’interno del filo ogni elemento infinitesimo è in equilibrio statico tra coppie di forze
TT��
−,
NF�
TF�
Moto curvilineo
NT uR
vmu
dt
dvm
��
2
+= NT FF��
+=
TF →�
Forza tangenziale Variazione del modulo della velocità
NF →�
Forza centripeta Variazione della direzione
Azone del vincolo: NF�
→
Na�
Ta�
La causa della variazione di direzione nel moto curvilineo è spesso data dalla risposta vincolare
Effetto della presenza di vincoli
T Na a a= +� � �
NT amamF��
�
+=
Pendolo semplice• Punto di massa m, vincolato a un filo ideale,
nei pressi della superficie terrestre
• Posizione generica individuata dall’angolo θ
amgmTF FTOT
��
��
=+=
sin Tmg maθ− =cosF NT mg maθ− =
Accelerazione tangenziale in funzione della accelerazione angolare:
2
2
dt
dL
θ=
θsingaT −=
θsing−=2
2sin 0
d g
dt L
θ θ+ =Equazionedifferenziale del moto del pendolo
2
20
d g
dt L
θ θ+ =
Nel limite di piccole oscillazioni (piccoli valori di θ):
Moto armonicosemplice
31sin ...
6θ θ θ= − +
αLaT =
mg�
FT�
L
Verso opposto a θ > 0(“forza di richiamo”)
0θ >0θ <
O
P
θ
Moto circolare
Componenti normale e tangente alla traiettoria
F centripeta:
F tangenziale:
θcosmgθsinmg
θ
( )y f θ=
y θ=
31
6y θ θ= −
siny θ=
θ
L
gP =ω
Pulsazione e periodo:
g
LT
P
πω
π2
2 ==
Equazione del moto:
Condizioni iniziali
)sin()( max φωθθ += tt PPer l’angolo θ
)sin(max φωθ += tL P
Velocità angolare:
dt
dt
θω =)( )cos(max φωθω += tPP
Velocità angolare Pulsazione
Velocità lineare:
dt
dstv =)( )cos(max φωθω += tL PP
Indipendenti- dalla massa
Moto armonicosemplice0
2
2
=+ θθL
g
dt
dPiccoleoscillazioni
- dall’ampiezzadell’oscillazione
Pendolo semplice
mg�
FT�
L
O
P
θ
θcosmgθsinmg
θ
Velocità massima: cos( ) 1Ptω φ+ = ( ) 0
Ptω φ+ = 0θ =
Velocità nulla: cos( ) 0Ptω φ+ = ( ) / 2
Ptω φ π+ =
maxθ θ=
Coordinata s(t) lungo la traiettoria:
)()( tLts θ=
( )s t
Tensione massima:
)cos( NF agmT += θ
+=
L
vgm
2
cosθ
max( ) cos( )P P
v t L tω θ ω φ= +Per piccole oscillazioni:
gLT /2π=Limite delle piccole oscillazioni:
Per grandi oscillazioni: moto periodico ma non armonico
Approssimazione sul periodo
Pendolo semplice
( )2 2 2
max( ) cos cos ( )F P PT t m g L tθ ω θ ω φ= + +
Componente perpendicolare alla traiettoria:
NF mamgT =− θcos
Equazione del moto: )sin()( max φωθθ += tt P
Tensione del filo
( ) / 2Ptω ϕ π+ =
mg�
FT�
L
O
P
θ
θcosmgθsinmg
θ
( ) 0tθ = ( ) 0Ptω φ+ = 0θ→ =
Tensione minima: max( )tθ θ=
max 7 / 0.1%T Tθ < ° → ∆ <max 50 / 5%T Tθ < ° → ∆ <
Pendolo semplice
Tensione del filo
Forza peso
sFT ∆=
TF�
Dinamica del punto materiale
Lavoro della forza
θcos sF ∆=
dsFB
A cos= θ
Il lavoro è l’integrale di linea della forza lungo la traiettoria
Lavoro della forza: sFW�
�
∆⋅≡
Lavoro totale compiuto da una forza nello spostamento di P dal punto A al punto B A
B
=
∆⋅=n
i
ii sFW1
�
�
Passando al limite:B
ABA
W F ds= ⋅�
�
F�
sd�
A
B
θ
dsFB
AT =
Consideriamo un punto P in moto, soggetto a una forzaP
Forza tangenziale:proiezione in direzionedello spostamento
F�
Forza e la direzione dello spostamentoin generale variano da un punto all’altro della traiettoria
s∆�F�
F�
s�∆
θP compie uno spostamento lungo la sua traiettorias∆�
iii sFW�
�
∆⋅=
iF�is
�∆ θ
Forza costantesu ogni piccolo spostamento
/ 2θ π< “Lavoro motore” ( 0)W >
“Lavoro nullo”/ 2θ π= ( 0)W =
“Lavoro resistente”/ 2θ π> ( 0)W <
Dinamica del punto materiale
Lavoro della forzaLa forza agente può essere la risultante di diverse forze
1
NB
iA
i
F ds=
= ⋅ �
�
1
NB
iA
i
F ds=
= ⋅ �
�
1
NB
iA
i
F ds=
= ⋅�
�
1
N
i
i
W=
=
B
ABA
W F ds= ⋅�
�
Lavoro totale:
Il lavoro della risultante è pari alla somma del lavorodelle singole forze agenti
0=W
- Non agiscono forze
- La risultante è nulla
- La risultante è sempre ortogonale alla traiettoria E.g.: Moto circolare uniforme
F�sd
�
A
B
θ1 1
1
...N
N i
i
F F F F F=
= + + + =� � � � �
- Spostamento nullo
Dinamica del punto materiale
Potenza
dt
dWP =
Nell’intervallo di tempo infinitesimo: potenza istantanea
θcosFv=
Energia cinetica
dsmaT= dsdt
dvm= ds
m dvdt
=dsFdW T=Introduciamo la II Legge di Newton nella definizione di lavoro:
F�
sd�
A
B
θ
22
2
1
2
1AB mvmv −=
Energia cinetica: EK =½mv2
dt
sdF
�
�
⋅=
Potenza istantanea
NB: Energia cinetica: Definita a meno di una costante C Poniamo C = 0 per avere energia nulla per v = 0
t∆Lavoro compiuto nell’intervallo di tempo
vFT=Forza tangenziale
WP
t
∆≡∆Potenza media
vF�
�
⋅=
v�
Variazione del modulo della velocità
Integriamo sul finito fra A e B:
B
A
v
ABv
W mv dv=
Av�
Bv�
mv dv=
KAKBK EEE ∆=−≡ ,,
Energia cinetica
Unità di misura
Lavoro = Forza . Spostamento ]J[]mN[ =× Joule Energia cinetica, altre forme di energia
Potenza = Energia/Tempo ]W[]sJ[ -1 =× Watt
Energia cinetica e quantità di moto:
2
2
1mvEK = vmp
�� =m
pEK
2
2
=
KmEp 2=modulo della quantità di moto
(NB: Vale per ogni tipo di forza)
2 2[kg m s ]−=
2 3[kg m s ]−=
“Teorema dell’energia cinetica”
Il lavoro della forza tra A e B è parialla variazione di energia cinetica tra A e B
, ,AB K B K AW E E= −