บทที่ 6
สมการเชิงอนุพันธเชิงเสนไมเอกพันธที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว
พิจารณาสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับ 𝑛 ที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว
(𝑎 𝐷 + 𝑎 𝐷 + ⋯ + 𝑎 𝐷 + 𝑎 )𝑦 = 𝑓(𝑥)
----------------(1)
โดยที่ 𝑎 , 𝑎 , … , 𝑎 เปนคาคงตัว
หรือ 𝑃(𝐷)𝑦 = 𝑓(𝑥)
ถา 𝑓(𝑥) ≠ 0 เรียก สมการไมเอกพันธ
ซึ่งมีผลเฉลย คือ 𝑦 = 𝑦 + 𝑦
การหาผลเฉลยของ 𝑦 มี 3 วิธี
1. วิธีเทียบสัมประสิทธิ์
2. ตัวดําเนินการผกผัน
3. วิธีตัวแปรเสริม
6.1 การหาผลเฉลยเฉพาะโดยวิธีเทียบสัมประสิทธิ์
การสรางสมการเอกพันธจากผลเฉลย
พิจารณาสมการเอกพันธที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว
𝑃(𝐷)𝑦 = 0
----------------------------(2)
ถาทราบผลเฉลยของสมการ (2) ก็จะทราบรูปแบบของตัวดําเนินการ 𝑃(𝐷) ได
ทั้งนี้โดยการพิจารณายอนกลับของขบวนการหาผลเฉลยของสมการเอกพันธ
นั่นเอง เชน
- ถาผลเฉลยมีพจน 𝐶 𝑒
o แสดงวาสมการชวย 𝑃(𝑟) = 0 มีรากคือ 𝑟 = 𝑎
� ซึ่งแสดงวาตัวดําเนินการ 𝑃(𝐷) มี 𝐷 − 𝑎 เปนตัว
ประกอบดวย
- ถาผลเฉลยมีพจน 𝐶 𝑒
o แสดงวาสมการชวย 𝑃(𝑟) = 0 มีรากคือ 𝑟 = 𝑎, 𝑎
� ซึ่งแสดงวาตัวดําเนินการ 𝑃(𝐷) มี (𝐷 − 𝑎) เปนตัว
ประกอบดวย
ax
I Czxe
- ถาผลเฉลยมีพจน 𝐶 𝑒
o แสดงวาสมการชวย 𝑃(𝑟) = 0 มีรากคือ 𝑟 = 𝑎, … , 𝑎 (𝑘 ตัว)
� ซึง่แสดงวาตัวดําเนินการ 𝑃(𝐷) มี (𝐷 − 𝑎) เปนตัว
ประกอบดวย
- ถาผลเฉลยมีพจน 𝐶𝑒 cos 𝑏𝑥 และหรือ 𝐶𝑒 sin 𝑏𝑥 o แสดงวาสมการชวย 𝑃(𝑟) = 0 มีรากคือ 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑖
� ซึ่งแสดงวาตัวดําเนินการ 𝑃(𝐷) มี [𝐷 − (𝑎 +
𝑏𝑖)][𝐷 − (𝑎 − 𝑏𝑖)] หรือก็คือ [(𝐷 − 𝑎) − 𝑏 ] เปน
ตัวประกอบดวย
- ถาผลเฉลยมีพจน 𝐶 𝑒 cos 𝑏𝑥 และหรือ
𝐶 𝑒 sin 𝑏𝑥 o แสดงวาสมการชวย 𝑃(𝑟) = 0 มีรากคือ 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑖 (ซ้ํากัน 𝑘
ตัว)
� ซึ่งแสดงวาตัวดําเนินการ 𝑃(𝐷) มี [(𝐷 − 𝑎) − 𝑏 ]
เปนตัวประกอบดวย
k - I×
axbi)E
←*ain't ←TC'
x"
I
ตัวอยาง 6.1.1
(1) 𝑦 = 4𝑒 − 3𝑥 เปนผลเฉลยของสมการ
(𝐷 − 2)𝐷 𝑦 = 0
(2) 𝑦 = 1 + 4𝑥𝑒 + sin 3𝑥 เปนผลเฉลยของสมการ
𝐷(𝐷 − 1) (𝐷 + 9)𝑦 = 0
(3) 𝑦 = −2𝑒 cos 5𝑥 เปนผลเฉลยของสมการ
[(𝐷 − 2) + 25] 𝑦 = 0
2
I-21 LD- o)7 I0 Play -- o
Mrmm
-0 -a-o as in IsiI k I
PlMy=O"
DID -11415+919=0→2I5i
OOMy = -2xe④cosf④odvwobasovvoooramr
Its i
¢D -277251dg =o
orderer n←
Form PCD)y = fix)
I Play =O, Play = fix)
u IYc Yp
PCH = o
r = r, ,rz , .
. .
, rn
road GCD) fix) = O - Cl )
odor QLD) PCD) y = GCD) fix) =0 - (2)
Ironman Girl Per) = O
horn r -- r, , rz , . . . , rn , ri , 's 's . - .
,r!- -Yo Yg
y = Yc -19gImran GCD ) PCD) yp
= GID) thx) =O
Mr
.
'
. yp www.bommrww goin
QCD) PCD)y = GCD) fix ) =o
y --Yi- Yp
MI herobornNorton ( D 't 4) y = 5e× - 4×2-
j8n①sowmionnhrr CD't4) y = O
of sunrise r42=o IN r -- Izi
brr.IN②= C,2x t Cgsinax→r -- I
→r-- go, o
an fix) = 5£ - 4×23
IN QCD ) = (D -1) D
answersQlD7Py=QlD7fhY-÷(D -1) D'ID'd
-147g = (D - 1) D'Chie"- 4×3 = O
I random Do r = ±2i, 1,0 , 0,0
Idwal008688
y = C,coszx + Isin 2X tGe't Cqtcgxtdxd-To 9g
duduyq= Cge
"
-14,
+ Ex -1 Ex'd
9W y,
= ae"
+ b + cx + dx2
binvohsvsaner (D'-14)y = se
"- 4×2
9W y,
= ae"
+ b + cx + dx2
binvohsvsanr (D'-14)y = se
"- 4×2
ur y 'p , y "p IN yp'
-. aitc + adx
y "p=ae× + ad
2brush Dypt4yp = 5e× - 4X&
ae×tzd t 4ae×t4bt4dx +4dXd=5e× - 4×2
5ae×t ( ad
-146) -14CX t 4dx& =5e× -4×2
inundation of5a = 5 IN a = Izdxab-
- O IN b = I2
42--0 IN C -o
ud = -4 IN D= - I
oldyp = ex -11g -
xd
gtggsvwoloovrnrw N du
y = dioszxedzsinzx text 1g -xd*
วิธีเทียบสัมประสิทธิ์
พิจารณาสมการไมเอกพันธ
𝑃(𝐷)𝑦 = 𝑓(𝑥) ----------(1)
มีสมการเอกพันธสัมพัทธเปน
𝑃(𝐷)𝑦 = 0 ----------(2)
มีสมการชวยของ (2) คือ 𝑃(𝑟) = 0
สมมติมีรากของสมการชวย คือ 𝑟 = 𝑟 , 𝑟 , … , 𝑟
------------ก็จะไดผลเฉลยเติมเต็ม 𝑦 ซึ่งก็คือผลเฉลยทั่วไปของสมการ (2)
ในการหา 𝑦 สมมติ 𝑓(𝑥) ในสมการ (1) เปนผลเฉลยของสมการเอกพันธ
สมการหนึ่งใหเปน
𝑄(𝐷)𝑓(𝑥) = 0 -----------(3)
ซึ่ง 𝑄(𝐷) คือตัวดําเนินการที่จะตองหาตอไป
สมการ (3) มีสมการ คือ 𝑄(𝑟) = 0
---------------สมมติมีรากของ 𝑄(𝑟) = 0 คือ 𝑟 = 𝑟′ , 𝑟′ , … , 𝑟′
ตอไป เอา 𝑄(𝐷) ดําเนินการสมการ (1) และโดยสมการ (3) จะได
𝑄(𝐷)𝑃(𝐷)𝑦 = 𝑄(𝐷)𝑓(𝑥) = 0 ---------(4)
สมการ (4) มีสมการชวย 𝑄(𝑟)𝑃(𝑟) = 0 ซึ่งมีรากเปน
𝑟 = 𝑟 , 𝑟 , … , 𝑟 , 𝑟′ , 𝑟′ , … , 𝑟′
ดังนั้น สมการ (4) มีผลเฉลย 2 ชุดรวมกัน
- คือชุดที่ไดจาก 𝑟 = 𝑟 , 𝑟 , … , 𝑟 ซึ่งคือผลเฉลยของ 𝑦
- กับอีกชุดที่ไดจาก 𝑟 = 𝑟′ , 𝑟′ , … , 𝑟′ ซึ่งคือผลเฉลยของ 𝑦
ทําใหไดวา ผลเฉลยของสมการ (4) คือ
𝑦 = 𝑦 + 𝑦
พิจารณา 𝑦 ผลเฉลยเฉพาะของสมการ (1) มี
𝑄(𝐷)𝑃(𝐷)𝑦 = 𝑄(𝐷)𝑓(𝑥) [𝑃(𝐷)𝑦 = 𝑓(𝑥) ]
= 0 [สมการ (3)]
ดังนั้นจะเห็นวา 𝑦 สอดคลองสมการ (4)
พิจารณา ถา 𝑦 = 𝑦 + 𝑦 ผลเฉลยของสมการ (4) เปนผลเฉลยของ
สมการ (1) จะได
𝑃(𝐷)(𝑦 + 𝑦 ) = 𝑓(𝑥)
𝑃(𝐷)𝑦 + 𝑃(𝐷)𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑃(𝐷)𝑦 = 𝑓(𝑥) เพราะวา 𝑃(𝐷)𝑦 = 0
แสดงวา 𝑦 สอดคลองสมการ (1) สําหรับบางคาของสัมประสิทธของ 𝑦
สําหรับสัมประสิทธิ์บางคาของ 𝑦 ดังกลาว
----------------- 𝑦 = 𝑦
และคาสัมประสิทธิ์บางคาเหลานี้หาไดโดยวิธีเทียบสัมประสิทธิ์
ตัวอยาง 6.1.2 จงหาผลเฉลยของสมการ (𝐷 + 4)𝑦 = 5𝑒 − 4𝑥
ตัวอยาง 6.1.3
จงหาผลเฉลยของสมการ (𝐷 − 3𝐷 + 4)𝑦 = 16𝑥 − 50 cos 3𝑥
PCD ) fix )
a-mm -
JIM ① an yc IN r'- zr - 4--0 ldrourvrh
( r - 4) ( x-117=0
.
'
.re - n
,4
ask yo =C,e-''
+ Cae"
② em AID) an fix) = 16 X - 50 cos 371
IN QCD) = Ddfp?r -- goTizi
⑦ GID) PCD)y = GID) fix ) = O
DID? ( DHHD - 47g = O
8 rundown In Bo re - 1,4 , 0,0 ,Isi
Id y =D, e-''
tf e"
-1 Cg + fix t Geossxxfsinzx
I-TqTdyq= dz + GX t Csos Ht dgsinzx
IN yp= At bx t dcoszx
+ dsinzx
warmthand ( D? 3D - 4) y = 1671-50 cos 3X
IN yp= A t b x t d coszx
+ dsinzx
warmthand ( D? 3D - 4) y = 1671-50 cos 3X
in yp'
, yp" lot
yp'= b - 3C sin 3X t 3d cos 371
yp"
= -9C cos 3X - gdsinzx
branch D} - 3 Dy - 4g = 167 - 50 Cos 371
- 9C cos 34 - gdsinzx - 3b -19414371 - gdcoszx- 49 - 4bX - 4C cos 37 - 4dsIn3X = 16×-50 Cos 3X
(- 4A - 2b) - ab X t (- 13C - ad) cos 3X + (ad - 13d) sin 311=16×-5005371
snow Endo:Dnot-4A - 36=0
::÷÷÷÷÷÷'"47×9 ; -177d - Sid = - 450 - 77 Yp =3 - 4X t By Cos H t of sin 34C27×13 ; 177 C - 169 d = O
- H)
"""i - "od
a ÷ :%9÷I:÷÷m×¥in9C - 131¥) -- O
ci "I
UNIT pep, fix )
I b
(D'
-1213-11)y = 7+75 sin 2X
y = e-'' ( d
, tczx) +7- 12052×-9 sin 2X
Sot ① an Yc
② Q """" " " " "" " t" }y gyp⑦ QLD) PCD)y i QCD)fix 1--0
y = yet Yq④ set yp = nsivyq ⇒ or
nuohfonr
⑤ ingrown.sn/
6.2 การหาผลเฉลยเฉพาะดวยตัวดําเนินการผกผัน (inverse operator)
สมการไมเอกพันธที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงตัว
𝑃(𝐷)𝑦 = 𝑓(𝑥)
เขียนผลเฉลยเฉพาะ 𝑦 ของสมการในรูป
𝑦 =1
𝑃(𝐷) 𝑓(𝑥)
โดยนิยาม ( ) วาเปนตัวดําเนินการผกผันของตัวดําเนินการ 𝑃(𝐷) ซึ่งสมบัติวา
𝑃(𝐷)1
𝑃(𝐷) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)
ตัวดําเนินการผกผันมีสมบัติอื่น ๆ นอกจากสมบัติในบทนิยามดังนี้
1. 𝑃(𝐷)( ) 𝑓(𝑥) ≠ ( ) 𝑃(𝐷)𝑓(𝑥) (ตางเปนคาคงตัว)
2. ( )
[𝐶 𝑓 (𝑥) + 𝐶 𝑓 (𝑥)] = 𝐶( )
𝑓 (𝑥)+𝐶( )
𝑓 (𝑥)
(สมบัติเชิงเสน)
3. ( ) ( )𝑓(𝑥) = ( ) ( )
𝑓(𝑥) = ( ) ( )𝑓(𝑥) (สมบัติ
สลับที่ได)
①worse
กรณี 𝑷(𝑫) = 𝑫𝒏
คือสมการเปน 𝐷 𝑦 = 𝑓(𝑥)
เขียนผลเฉลยเฉพาะเปน 𝑦 = 𝑓(𝑥)
แต 𝑦 ในสมการ 𝐷 𝑦 = 𝑓(𝑥) หาไดจาก
𝑦 = … 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 … 𝑑𝑥 = … 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
ดังนั้นจึงไดวา
𝑓(𝑥) = ∫ … ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 -----------------(1)
① PCD)e
Yp =mum
กรณ ี𝑷(𝑫) = (𝑫 − 𝒂)𝒏
คือสมการเปน (𝐷 − 𝑎) 𝑦 = 𝑓(𝑥)
เขียนผลเฉลยเฉพาะเปน 𝑦 = ( ) 𝑓(𝑥)
คูณสมการดวย 𝑒 ได
𝑒 (𝐷 − 𝑎) 𝑦 = 𝑒 𝑓(𝑥) -------------(2)
จากสมบัติของตัวดําเนินการขอที่วา
𝑒 𝑃(𝐷 + 𝑚)𝑦 = 𝑃(𝐷)𝑒 𝑦)
ถาให 𝑚 = −𝑎 และ 𝑃(𝐷) = 𝐷 จะได
𝑒 (𝐷 − 𝑎) 𝑦 = 𝐷 𝑒 𝑦 ------------(3)
ดังนั้นโดย (2) และ (3) จะได
𝐷 𝑒 𝑦 = 𝑒 𝑓(𝑥)
และโดย (1) จะได
𝑒 𝑦 = … 𝑒 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑦 = 𝑒 … 𝑒 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
ดังนั้นจึงไดวา
( )
𝑓(𝑥) = 𝑒 ∫ … ∫ 𝑒 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ----------------.(4)
pop,
"My = fa ,
If t.im?I
e-"y = Ipn e-"fix )
no
Yp =
~
nah
fix I = ex f e-"fix, dx
ตัวอยาง 6.2.1 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ
(𝐷 − 5𝐷 + 𝐷 + 21𝐷 − 18)𝑦 = 𝑒
D,D -9
PCD)Yp
/ fix )v k
gin; - 3X
- Dp -
-1-- e BeD.4-5173+04211) - 18
- 3X I - 5 1 21 - 18
=- e if :i's :(D -37243+2) -D-
-2 12 -18
- I -6
=L e'' fixe-"dx traore: "
(p-31412+2)→d- " dx cr - zur - z)
x
=i_efe÷lCD-3740+2)
=µ÷i"Se" "
ldx-a,
Mr " fed×= 're I47312
2
= e''' Sfi" "
Cdx)
=e"' [email protected].
=e" he;÷) -
- e-144
@got Yp=%y #
ตัวอยาง 6.2.1 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ
(𝐷 + 𝐷 − 𝐷 − 1)𝑦 = 𝑒
D&D -11) - ( Dtl)
Sold 2x -- CD'- 1) (Ptl)
- Yp =1- e=D - 1) ( DTD
'd
(D- 1) ( Dti)'d
=¥i+÷+÷Ie"(p-1) (DH)2X g@e
"- t.ae
"-Hai ÷ ;÷i¥.
=¥e" fixe"dx =±¥¥HIHH(D-1) ID-1112
- z,
e-''
fete"dx - { Effie"dxYz= Acp#ftp.lpthtcco-D17=1 ; I = 4A i .
A -- I
,
D=-l ; I = -2C .
'
.de -I
; 2. D= Oi I = A - B -d
.
'
. B - A - C - l
Tp -
-D* -
- ft 's - ' = -I,
6.3 การหาผลเฉลยเฉพาะโดยวิธีตัวดําเนินการผกผัน 𝒚𝑷 = 𝟏𝑷(𝑫) 𝒇(𝒙)
เมื่อ 𝑓(𝑥) มีรูปแบบเฉพาะ
การหาผลเฉลยเฉพาะโดยวิธีที่กลาวมาในตอนที่ผานมานั้นเปนวิธีหาผล
เฉลยเฉพาะโดยทั่วไป ในตอนนี้จะกลาวถึงวิธีการหาผลเฉลยเฉพาะเมื่อ 𝑓(𝑥)
มีรูปแบบเปนฟงกชันพหุนาม (𝑥 ) ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล (𝑒 ) ฟงกชัน
sine หรือ cosine
1. เมื่อ 𝑓(𝑥) = 𝑥
พจิารณา 𝑦 =( )
𝑥
= (𝐴 + 𝐴 𝐷 + 𝐴 𝐷 + ⋯ + 𝐴 𝐷 + ⋯ )𝑥
ซึ่ง ( )
= 𝐴 + 𝐴 𝐷 + 𝐴 𝐷 + ⋯ + 𝐴 𝐷 + ⋯
หาไดโดยวิธีกระจายอนุกรม Laurent และถา 𝑃(𝐷) แยกตัวประกอบเปนกําลังหนึ่งท้ังหมด ก็อาจ
ใชทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem) มาชวยดวย ในทางปฏิบัติใชวิธีหารยาวโดยตรงโดย
เอา 1 ตั้งหารดวย 𝑃(𝐷) ซึ่งเรียงลําดับกําลังของ 𝐷 จากนอยไปมาก
AmIIe'm= o
O
ตัวอยาง 6.3.1 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ
(𝐷 − 3𝐷 + 2)𝑦 = 2𝑥 − 9𝑥 + 2𝑥 − 16
PID)Yp foe )
b d
ion;- l (2x
'-9×42×-16 )Yp = -
D}- 3D -12
=/'zt¥D+gD4¥D't.yfsxtaxtsx.no/....7.s ,'''t ' "
F-ID 1-DI-
{ D -123=43-affix - s) -12416×2-18×+2) ¥. :p' ' +¥1,4'
tag ( tax- is) t 2,26/12) to -10 go
'- y'- yo'
II orbiter
yp= x'
-914×-8 t - tf -127¥-+6493-= X +X - 19 =-3
I # -H -112
ตัวอยาง 6.3.2 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ
𝐷 (𝐷 − 1)𝑦 = 𝑥
" i :*.x: ⇒÷#
" ""t
= 1,4 f- i - D'- . . . ) xd
= Ipe, f - x'- 2)
= ISS e - x'- as cdx 14
:
Y p= D
'
2. เมื่อ 𝑓(𝑥) = 𝑒
พิจารณา 𝑦 =( )
𝑒
จากสมบัติของตัวดําเนินการขอที่วา
𝑃(𝐷)𝑒 = 𝑃(𝑚)𝑒 --------(1)
จะได 𝑃(𝐷)( ) = ( )
( )= 𝑒
ดังนั้น ได ( )
𝑒 =( )
ถา 𝑃(𝑎) ≠ 0 --------(2)
แตถา 𝑃(𝑎) = 0 จะไมไดสูตร (2) ดังกลาวนี้
พิจารณา 𝑃(𝐷) ตองมี (𝐷 − 𝑎) เปนตัวประกอบอยู อยางนอย 1 ตัว
สมมติมีซ้ํากัน 𝑘 ตัว ดังนั้น
𝑃(𝐷) = 𝑄(𝐷)(𝐷 − 𝑎)
𝑄(𝐷) คือตัวดําเนินการอันดับ 𝑛 − 𝑘 เมื่อ 𝑃(𝐷) เปนตัวดําเนินการอันดับ 𝑛
และ 𝑄(𝑎) ≠ 0 จากสมบัติตัวดําเนินการขอที่วา
(𝐷 − 𝑚) 𝑥 𝑒 = 𝑒 = 𝑒 𝑛!
จะได 𝑄(𝐷)(𝐷 − 𝑎) 𝑒 𝑥 = 𝑄(𝐷)𝑒 𝑘!
= 𝑄(𝑎)𝑒 𝑘! [โดย (1)]
เพราะนั้น จะได ( )( ) 𝑒 = ( ) !
คาของ 𝑄(𝑎)𝑘! อาจหาไดโดยการพิจารณาจาก 𝑃(𝐷) = 𝑄(𝐷)(𝐷 − 𝑎) มี
พหุนามชวยของ 𝑃(𝐷) คือ 𝑃(𝑟) = 𝑄(𝑟)(𝑟 − 𝑎)
------โดยสูตร Leibnitz’s rule ที่วา
(𝑓𝑔)( ) = 𝑛𝑖 𝑓( )𝑔( )
จะได
𝑃( )(𝑟) = [𝑄(𝑟)(𝑟 − 𝑎) ]( )
= 𝑛𝑖 𝑄( )(𝑟)[(𝑟 − 𝑎) ]( )
= 𝑄( )(𝑟)(𝑟 − 𝑎) + 𝑛1 𝑄( )(𝑟)[(𝑟 − 𝑎) ]
+ 𝑛2 𝑄( )(𝑟)[(𝑟 − 𝑎) ]" + ⋯
+ 𝑛𝑛 − 1 𝑄 (𝑟)[(𝑟 − 𝑎) ]( )
+ 𝑄(𝑟)[(𝑟 − 𝑎) ]( )
- ถา 𝑛 < 𝑘
o จะได 𝑃( )(𝑎) = 0 เพราะวาทุกพจนทางขวาจะยังมี (𝑟 − 𝑎)
คูณอยูดวย
- และเมื่อ 𝑛 = 𝑘
o พจนสุดทายคือ 𝑄(𝑟)[(𝑟 − 𝑎) ]( ) จะเปนพจนเดียวที่ไมมี
(𝑟 − 𝑎) คูณดวยเพราะวา 𝑄(𝑟)[(𝑟 − 𝑎) ]( ) = 𝑄(𝑟)𝑘!
(เมื่อ 𝑛 = 𝑘) ในขณะที่พจนอื่น ๆ จะยังมี (𝑟 − 𝑎) คูณอยูดวย
ดังนั้นเมื่อ 𝑟 = 𝑎 จะได
𝑃( )(𝑎) = 0 + 0 + ⋯ + 0 + 𝑄(𝑎)𝑘!
สรุปไดวาในกรณี 𝑓(𝑥) = 𝑒 มีผลเฉลยเฉพาะ 𝑦 =( )
𝑒 ดังนี ้
- ถา 𝑃(𝑎) ≠ 0
o มี 𝑦 =( )
𝑒 =( )
- ถา 𝑃(𝑎) = 0
o มี 𝑦 =( )
𝑒 = ( )( ) 𝑒 = ( ) ! , 𝑄(𝑎) ≠ 0
หรือ 𝑦 =( )
𝑒 =( )
, 𝑃 (𝑎) ≠ 0
T
o
OPerl,Pca) = O
pp.in , P'cat = O '¥⇒yp=eatr)
,P"
ca) = O X
P'"in p¥oVk"ta '
ตัวอยาง 6.3.3 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ
(𝐷 + 2)(𝐷 + 3)𝑦 = 3𝑒
A. = - 1
b
a = - l,Pcr)= (r -12) ( r -13 )
Pf - i) - (1) (2) =L to
" yp=3e a
2
ตัวอยาง 6.3.4 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ
(𝐷 − 1) (𝐷 + 1)𝑦 = −2𝑒
4=7/ 9--1
(D- al"GID) L
wa -- i ,Pcr) = Ct - a)
'
( rti)
PCM - O
JI PCD) - (p - IPCD -11) i.
K -- 3
no
g.p=
- 2e"X}
per, _- ( r -n'htt)- Pfr) - ( rt ) 't (rtl)3(r-tf
P"'ll) =p.ph/r-i-i3rt3)X 3
= (r-1114 r -12)
= - L E X p "cr) e- er-p'T + Car-12124-D
- p"fr) = gft- 1) their-121k)12
-12 (r - 1) (4)
X 3 = 88-8 tsr -14
= E X + sr - 8
-
6 = 248 - 12
p'"
ca) 724-12--1240
9% PCD) =D - 1) (Dtl) =D" -2133-120-1
Arrow CD4-2124217 - I)y =L -Ze't)
9=1,Pcr ) = r 4-289+2 r - I
PG ) = I- 2+2-1--0
Ptr) =4r3 - 68+2 ,Pti ) -- 4 - b -12=0
I
p"cry = 128 - 128 ,
p"c1 ) s 12-12=0
P'"Cr ) = der -12 ,P"'ll ) s 24 - 12--12=10
yp =-Lexx'
.
'
.
K - 3
- X12
Pl D)y s fix)
Yp = 7- fix ,PCD)
⑦ fix, = Xmm
Yp = 1- xPID)
= ( Ao t A,D + AZD't - . . ) xm
ax
④ fix , = e"
j Yp = ¥,e
① Plat fo ; yp -- ePla)
② Peal =o ; Yp -- a¥pa*ea×=ea×
Qlalk !
nooo y=
,
eat =pfIYn , P''Yano
3. เมื่อ 𝑓(𝑥) = cos 𝑎𝑥 หรือ sin 𝑎𝑥
จากเอกลักษณของออยเลอร 𝑒 = cos 𝑎𝑥 + 𝑖 sin 𝑎𝑥
ดังนั้นได
cos 𝑎𝑥 = สวนจริงของ 𝑒 เขียน cos 𝑎𝑥 = Re(𝑒 )
และ
sin 𝑎𝑥 = สวนจินตภาพของ 𝑒 เขียน sin 𝑎𝑥 = Im(𝑒 )
ดังนั้นถามีสมการ 𝑃(𝐷)𝑦 = cos 𝑎𝑥 หรือ 𝑃(𝐷)𝑦 = sin 𝑎𝑥
จะได 𝑦 =( )
cos 𝑎𝑥 หรือ 𝑦 = ( ) sin 𝑎𝑥
=1
𝑃(𝐷)Re 𝑒 =
1𝑃(𝐷)
Im 𝑒
= Re1
𝑃(𝐷)𝑒 = Im
1𝑃(𝐷)
𝑒
นั่นคือ( )
cos 𝑎𝑥 = Re( )
𝑒 และ( )
sin 𝑎𝑥 = Im( )
𝑒
O
l It
ตัวอยาง 6.3.5 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ
(𝐷 − 4𝐷 + 3)𝑦 = 20 cos 𝑥
a-- I
going to-
yp = 1- (20 cosx )D'-413+3 → ions
in a -- i
= 20 Re ( p÷,¥ e ) PID) -- D2-YD-13
Pci ) -- i'-Yi -13
=2oRe( gig )= 2-yi.to
= 20 Ref ( oosxtisinx ) (atyi )¥C2t⇒
=2oRe(×)
Yp = QCOSX - 45in X #
Sh (DQ-413+3)y = 205in X
Yp =ctcosxtssinx K
ตัวอยาง 6.3.6 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ
(𝐷 − 𝐷 + 4𝐷 − 4)𝑦 = 4 sin 2𝑥
9--2H
g=E ,fix> ee
IFI yp = 4 Im f e
" "
)Dorm PCD) = D
'- D'-14 D- y
plz i ) = @if -fi) 't 4121'
) - 4
= -si -14 tri - 4=0
110'.Doiron
Pcr , = r'- r2 -14 r - y ,
Pc zito
Ptr ) = 3rd- 28 -14 ,plz i ) = - 12 -4 I -14
= -8 - yi €0
"
a. =aInf÷÷÷)"⇒
= - 'nH÷÷i÷÷⇒= -¥In facosax - iaosax +
iasinsxtsinax)
= Is ( cos2x - 25in 2x ) *
fix) = e"qcx) j PID) y = fix )
Yp = 1- ea×qcx)PCD)
on PID) e"y = e
"
PCDta)yJar y = 7- qcx)
PtDta)
IN pep) eat 1-qcx)= e"P¥p÷µ
,,8")
PCD-197 /
eat gin =L e' qcx )Pasta) PCD)
ax
Yp = Le qcx)PCD)
ax
= e 1- qcx)PCD ta)
ตัวอยาง 6.3.7 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ
(𝐷 − 4𝐷 + 2)𝑦 = (𝑥 + 𝑥)𝑒
axqcxl e
th
jail 2X 2-
yp = 1- e ( xxx )
D2- YD -12 no
RXy ( x' TX ) p't -14
= e-
(D-1212-41131-27+2 -4/13 - 8
-12
= :# """ ÷€÷=e"fz - e:-. . .. )lx%) a.±. -
2
=e"fzcx'tx) -413%7×1 - . . .]In2
÷¥
=e"fx÷ : - E, ] r2X
=
ez f - x'- x - i )
*
ตัวอยาง 6.3.8 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ
(𝐷 + 1)𝑦 = 𝑥 sin 𝑥
qlx)
L ga,e' qcx ,
aImfeix )''Iyp=¥xInle
")
on.
-- In xe
"
) I
' 'te" :*. IIti
ink"h÷i÷iH i÷÷:D2-
Cti ) 2Eye"f÷n. )) etii
=Imµei×( xxix) )= Itai - i -- si
Zi
itnfeixf.is/lx-i+ixl)=IzImflcosxtisinx)ifx- t ) - x ) )=- { Imficx - 1) cosx - xcosx - Cx -Hsin - ixsinx)
Yp = x.sinx-gx.tl #
a. "' dad, + a. Kiddy t azcxiy -- fix) - as
Yc = C,U,Cx ) + Czuzcx) - (2)
shfvwoioovorosownrionwvvrdsnnonrfu )
%yp = Vix) Unix) t VIX) Uzlx) -(3)
y'
p= Vix) U, 'm tuixivicxltqlxuztxlty.HN#- mm
441I 2 18am① (3) of rwolodCMONN CD
② VIXMix ) t 02674,1 X) - O - (5)2
Ior
Yp"
= Vix) 4,1×7 tvzcx ) 424×7 - Cb)
y"p = vinu ,"ex, + u,4x7Y4x, + qcxs4z"ex) -14*1×294"
annular
fix) = aol.in [ y"
p ) ta , ex ) ( y'
p ) tazcxllyp]
= vixif ) trim ( ) +9.1hL ]
=go.lxlfvilxiytxi-ricxsujcxdvicxsu.tn+ ozEx7Uz'Cx ) = -
90N)
Vix ) , tix)= ?
mash,(7) am Vix) , rdx,
yah -
- friendx , vzcxs -- fuzixidx
Yp = tix ' 41×7 1- text 41×7
6.4 การหาผลเฉลยเฉพาะโดยวิธีแปรตัวแปรเสริม
วิธีเปลี่ยนตัวแปรเสริมเปนวิธีหาผลเฉลยเฉพาะอีกวิธีหนึ่ง ซึ่งเปนวิธีที่ใชได
ทุกกรณีของฟงกชัน ( )f x ดังวิธีการตอไปนี้
(1) จากสมการเชิงอนุพันธสามัญ ( ) ( )F D x f x
หาผลเฉลยเติมเต็ม cy จากสมการ ( ) 0F D x
สมมุติได 1 1 2 2c n ny C y C y C y � � �
(2) เปนคาคงที่ 1 2, ,..., nC C C ใหเปนตัวพารามิเตอร
1 2, ,..., nQ Q Q ซึ่งตางเปนฟงกชันของ x
คือสมมุติให 1 1 2 2p n ny y y yQ Q Q � � �
โดยกําหนดเงื่อนไขสําหรับ 1 2, ,..., nQ Q Q ในรูปของระบบสมการเชิง
เสนดังนี้
1 1 2 2 0n ny y yQ Q Qc c c� � �
1 1 2 2 0n ny y yQ Q Qc c c c c c� � �
( 1) ( 1) ( 1)
1 1 2 2 ( )n n nn ny y y f xQ Q Q� � �c c c� � �
(3) หาคา 1 2, ,..., nQ Q Qc c c โดยใชกฎของคราเมอร (Cramer’s rule)
(4) หาคา 1 2, ,..., nQ Q Q ไดจากการอินทิเกรต 1 2, ,..., nQ Q Qc c c
จะไดวา ผลเฉลยเฉพาะราย 1 1 2 2p n ny y y yQ Q Q � � �
และผลเฉลยทั่วไป คือ c py y y �
ตัวอยาง 6.4.1 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ
𝑦 + 𝑦 = tan 𝑥
f-Cx)
L•
JI' ① any ,mornin 82+1 - old r= Ii
to' ye = Cicosx + Czsinx
IN yp = Vix) cosx + vzlxisinx
82 Sanudo
r,'cx) cosx + vzlcx > sinx = O - cm
Vix) thnx) t Ix ) SX - tanx - ②I
xsinx; vicxsinxcosx + Ix) sink = o -
⑦ xcosx ; vicx ) cosxf -sinx) t vzlcx ) 2x = sin x - (4)
(3) the) ; q'ex) = sin x
.
'
. vzlx ) =) sinxdx = - cosx
xcosx; vicxscosdx + iacxssinxcosx = O - (5)
⑦ xsinx ; y'cxyfsindx) t rztx> cosxsinx = sinxsinx-⑥COSX
E) Hot ; vjix , = -
sink=
cosh - I=cos x -L
- -
cosy cost cosy
= Cos X - Sec x
.
'
.
o,Cx) Osx - SKCX ) DX = sinx - hrcsecxttanx)
I. yp
,
= fsinx - lncsecxttanx)) cost ttcosx) (sin x)y= - cos x hr ( seex + tan x )
#
ทฤษฎีบท 6.4.1 ถา 𝑎 (𝑥), 𝑎 (𝑥), … , 𝑎 (𝑥), 𝑓(𝑥) เปนฟงกชันของ 𝑥
ตอเนื่องบนชวง 𝐼 โดย 𝑎 (𝑥) ≠ 0 และถา 𝐶 𝑢 (𝑥) + 𝐶 𝑢 (𝑥) + ⋯ +
𝐶 𝑢 (𝑥) เปนผลเฉลยเติมเต็มของสมการเชิงอนุพันธ
𝑎 (𝑥)𝑦( ) + 𝑎 (𝑥)𝑦( ) + ⋯ + 𝑎 (𝑥)𝑦′ + 𝑎 (𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)
แลวจะมีผลเฉลยเฉพาะเปน
𝑦 = 𝑣 (𝑥)𝑢 (𝑥) + 𝑣 (𝑥)𝑢 (𝑥) + ⋯ + 𝑣 (𝑥)𝑢 (𝑥)
โดยที่ 𝑣 (𝑥), 𝑣 (𝑥), … , 𝑣 (𝑥) สอดคลองเงื่อนไข
𝑣 (𝑥)𝑢 (𝑥) + 𝑣 (𝑥)𝑢 (𝑥) + ⋯ + 𝑣 (𝑥)𝑢 (𝑥) = 0
𝑣 (𝑥)𝑢′ (𝑥) + 𝑣 (𝑥)𝑢′ (𝑥) + ⋯ + 𝑣 (𝑥)𝑢′ (𝑥) = 0
⋮
𝑣 (𝑥)𝑢( )(𝑥) + 𝑣′ (𝑥)𝑢( )(𝑥) + ⋯ + 𝑣′ (𝑥)𝑢( )(𝑥) = 0
𝑣 (𝑥)𝑢( )(𝑥) + 𝑣′ (𝑥)𝑢( )(𝑥) + ⋯ + 𝑣′ (𝑥)𝑢( )(𝑥) =𝑓(𝑥)
𝑎
yes C , 4,47 -1 Gaza) t . . .t Cn Unix )
ตัวอยาง 6.4.2 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการ
𝑦 − 6𝑦 + 11𝑦 − 6𝑦 = 𝑒
Ao -- I
g.tax,
Ijoin showmriwno r
'- Gr't Mr -6=0
( r - 1) Cr -2) (r- 3) = O
r = 1,2 , 3
ye = die"
+ Cze"
+ Ge"
TW yp = vine"
+ vine"
+ gene"
Idr:WoomerIX 3 X
x
vine tvzx> e tr,'m e = o
X 2X 3X
vykx> C tvglxxae.tv>Tx ) Che = O
2X 3X 4X×
¥lx) e + qlxk.me try'cx> late = e
2X six
o e e2X H
O 2C 3e
vii. =lut=e"it :* ! :/2X BX#
e e
/ !! one"
ze"/ e''e'"e"
) ! ! ! )x 2X 3X
e 4e ae
4X 4 X
= 3 e - 2 e-
ex ( 25-23 )4 X 3 X
= e = e→-
i. rinse.
"
ax ! If6
'
:
VIX ) , Vy Cx )
y p = ? #