Analisi della varianza
• L’analisi della varianza (ANOVA, Analysis of Variance), è una tecnica di analisi dei dati che consente di verificare ipotesi relative alle differenze tra le medie di due o più popolazioni.
VD: scala a intervalli o a rapporti equivalenti
VI: almeno categoriale
Diversi modelli…sulla base del numero delle VI e delle VD
• 1 VI: disegni ad una via
• 2 o più VI: disegni fattoriali
• 1 VD: analisi della varianza univariata
• 2 o più VD: analisi della varianza multivariata (MANOVA)
ANALISI DELLA VARIANZA UNIVARIATA: DISEGNI TRA I SOGGETTI
• Vengono definiti anche disegni per gruppi indipendenti. Ad ogni trattamento o condizione che rappresenta le modalità della VI, corrisponde un diverso gruppo di soggetti.
La VI (chiamata FATTORE) è una variabile che il ricercatore impiega come variabile sperimentale.
La VD è una variabile il cui valore si suppone sia determinato da FATTORI (VI) che il ricercatore ritiene determinanti per lo studio degli effetti dovuti ai livelli prescelti per quei fattori
Quando si usa
Quando i disegni di ricerca sono più complessi rispetto a quelli in cui si usa il test t di Student; Quando si devono confrontare più di due gruppi; Quando si vuole testare l’ipotesi di uguaglianza tra medie di più fattori (VI);
• Anche in questo caso la presenza di una VI definisce il disegno ad una via, mentre la
presenza di almeno due VI definisce il disegno fattoriale!
Il modello di base dell’ANOVA è un modello lineare che fornisce indicazioni rispetto agli effetti dovuti ai fattori sperimentali. Se vi è una sola VI si esprime attraverso l’espressione:
Media generale dei punteggi sul campione totale
Componente residuo o errore casuale specifico per ogni soggetto all’interno del livello di trattamento
Effetto dovuto al trattamento e costante all’interno di esso
Il valore dell’errore dipende da: - differenze individuali tra i soggetti -Errore di specificazione del modello -Non attendibilità delle misure
Assunzioni
Gli errori devono distribuirsi con forma normale, avere media uguale a zero e varianza stimabile a partire dai dati; La varianza degli errori deve essere uguale in ogni gruppo; Il test statistico utilizzato per la verifica delle ipotesi fa riferimento alla distribuzione F Gli errori devono essere indipendenti, ciò accade se i punteggi di ciascun soggetto non sono condizionati da quelli di altri soggetti. Quando l’assegnazione dei soggetti alle diverse condizioni viene fatta in modo casuale e gli individui ricevono individualmente il trattamento, le misure oggetto di osservazioni non sono soggette a condizionamento probabilistico. L’indipendenza viene meno se il trattamento implica interazione tra le persone.
Dividendo le devianze (SS) per i rispettivi gradi di libertà si ottengono le stime delle varianze (MS) che si distinguono in:
VARIABILITA’ TOTALE
VARIABILITA’ TRA I GRUPPI VARIABILITA’ ENTRO I GRUPPI
Trattamento Differenze individuali Errore casuale
Differenze individuali Errore casuale
Il modello si basa sulle stime campionarie dei parametri della popolazione
Dato osservato
stima
Media generale del campione
Differenza tra la media dei gruppi e la media generale del campione. Esprime quanto il punteggio del soggetto i è determinato dall’appartenenza alla condizione j.
Differenza tra il punteggio del soggetto e la media del gruppo in cui si trova. Esprime la variabilità dei punteggi del soggetto i all’interno di ogni gruppo J
La devianza È rappresentata dalla somma dei quadrati degli scostamenti di ciascun punteggio dalla media.
SCOMPOSIZIONE DELLA DEVIANZA:
Somma dei quadrati degli scarti dei punteggi (Yij) rispetto alla media generale
Devianza tra i gruppi Devianza entro i gruppi
O Dev. BETWEEN o Dev. WITHIN
Sommatoria dei quadrati degli scarti dei punteggi medi del gruppo di appartenenza, alla media generale
Sommatoria dei quadrati degli scarti dei punteggi di ciascun singolo soggetto dalla media del gruppo di appartenenza.
Il calcolo della devianza
DEVIANZA TOTALE
DEVIANZA BETWEEN DEVIANZA WITHIN
Dalla Devianza alla Varianza Le varianze si ottengono dividendo le devianze per i rispettivi gradi di libertà:
Riflette l’effetto del trattamento sperimentale, delle differenze individuali e dell’errore
Riflette l’effetto delle differenze individuali e dell’errore casuale
n è il numero di osservazioni, K è il numero di livelli del fattore between.
Varianza totale:
Varianza Between
Varianza Within
ipotesi del disegno sperimentale
Le medie sono da considerarsi statisticamente identiche tra loro e quindi appartenenti ad una medesima distribuzione campionaria delle medie
Almeno una delle medie è statisticamente diversa dalle altre e quindi non appartengono tutte ad una medesima distribuzione campionaria delle medie
Se non è rigettabile l’ipotesi nulla (H0) allora non deve risultare nessuna differenza statisticamente significativa tra tutte le medie delle sotto-popolazioni prese in esame;
In base all’ipotesi nulla, le sotto collezioni di dati sottoposte a verifica provengono dalla stessa popolazione per cui risultano avere tutte gli stessi parametri;
Pertanto i punteggi dei soggetti appartenenti ad uno dei gruppi sono distribuiti in modo identico rispetto ai punteggi dei soggetti appartenenti a qualsiasi altro;
Se è vera l’ipotesi alternativa (H1) allora c’è una differenza statisticamente significativa tra almeno due medie tra i livelli del fattore sperimentale;
Se è vera l’ipotesi alternativa le sotto-collezioni di dati sottoposti a verifica possono provenire da distribuzioni probabilistiche con parametri differenti, per cui possono risultare non tutte tra loro omogenee; almeno uno dei livelli del fattore sperimentale si differenzia parametricamente dagli altri.
F= varianza tra i soggetti /varianza entro i soggetti
Se la probabilità associata (p-value) al valore di F osservato è minore di un valore critico fissato a priori (ad esempio 0.05), rifiuta H0. In questo caso si può concludere che per il fattore between, almeno uno dei livelli di esso non risulta omogeneamente distribuito rispetto agli altri in base ai parametri ritenuti comuni (o identici con uguale media e varianza campionaria).
Se la VI ha più di due livelli, il rifiuto dell’ipotesi nulla implica che almeno due tra i gruppi identificati dalla variabile presentano medie significativamente diverse tra loro (contrasto diverso da 0). Per sapere quali sono questi gruppi è necessario effettuare: Confronti pianificati Confronti post-hoc
COME PROCEDERE NELL’ANALISI DELLA VARIANZA UNIVARIATA 1.Identificazione della variabile dipendente e del fattore between (o dei fattori between); 2.Definizione del modello di analisi; 3.Analisi descrittiva dei dati; 4.Verifica delle assunzioni teoriche; 5.Adattamento del modello ai dati; 6.Verifica della significatività degli effetti; 7.Eventuale analisi post-hoc.
• Un ricercatore vuole verificare l’efficacia di programmi di formazione che prevedono: a)l’assegnazione di obiettivi (condizione A); b) l’assegnazione di obiettivi e un feedback sui risultati (condizione B); c) una condizione di controllo in cui non si danno né obiettivi né risultati (condizione C). Tre gruppi di soggetti vengono sottoposti ognuno ad una condizione diversa ottenendo i risultati che vengono presentati nel data file.
Case: numero d’ordine assegnato ai soggetti
Condizio: è la VI i cui livelli rappresentano le condizioni 1: condizione A 2: condizione B 3: condizione C
Risolti: numero di problemi risolti dai soggetti. E’ la nostra VD
5 soggetti per condizione. Il disegno della varianza è omogeneo
Ipotesi nulla: le tre medie dei tre gruppi che corrispondono alle 3 condizioni della variabile sono relative a campioni che provengono dalla stessa popolazione Ipotesi alternativa: almeno due medie sono diverse (almeno due medie sono relative a campioni che provengono da popolazioni diverse).
Analizza-Modello Lineare generalizzato-Univariata
Il rifiuto di H0 ci dice che almeno 2 gruppi sono diversi tra loro, Ma non ci dicono quali sono questi gruppi. Se il ricercatore non ha ipotesi specifiche sceglie i Contrasti. HELMERT (ogni categoria del fattore , tranne l’ultima, viene confrontata con le medie delle categorie successive. Es: media gruppo 1vs media gruppo 2 e gruppo 3 aggregati; media gruppo 2 vs media gruppo 3
Ripetuto: ogni categoria del fattore (tranne la prima) viene confrontata con la categoria che la precede
Polinomiale: analizza la significatività delle diverse componenti polinomiali: lineare, quadratica, cubica…
Deviazione: ogni categoria del fattore (tranne quella di riferimento che può essere quella iniziale o finale) viene confrontata con la media totale
Semplice: ogni categoria del fattore viene confrontata con quella di riferimento
Differenza: ogni categoria del fattore viene confrontata con la media delle categorie precedenti
Altri tipi di comandi per diversi contrasti
Se il ricercatore non ha ipotesi rispetto a quali gruppi confrontare può utilizzare i confronti post hoc per individuare quali coppie di medie differiscono in modo significativo.
I test di Bonferroni o di Tukey HSD (Honestly Significant Difference –Opzione Tukey) sono i test di confronto multiplo più comunemente utilizzati che comportano un’inflazione della probabilità di commettere un errore di I tipo (rifiutare l’ipotesi nulla quando è vera)
grafico…
Medie marginali stimate relative ad ogni livello di ogni fattore indicato o ad ogni cella di interazione tra fattori
Confronta gli intervalli di confidenza e la significatività delle medie confrontate
Grandezza dell’effetto: porzione di variabilità totale attribuibile all’effetto (eta quadrato parziale) per ogni effetto e ogni parametro stimato. .06 basso; da .06 a .14 moderato; da .14 elevato
Potenza osservata: Stima della potenza della verifica del test (probabilità di rifiutare l’ipotesi nulla quando è falsa). Dipende dal numero di sg, livello di alpha e grandezza dell’effetto. I valori accettabili sono pari a .80
Levene's Test of Equality of Error Variancesa
Dependent Variable: risolt i
2.626 2 12 .113
F df 1 df 2 Sig.
Tests the null hy pothes is that the error v ariance of
the dependent variable is equal across groups.
Design: Intercept+condizioa.
Descriptive Statistics
Dependent Variable: risolti
6.8000 2.38747 5
7.0000 2.54951 5
2.2000 .83666 5
5.3333 2.99205 15
condizio
condizione A
condizione B
condizione C
Total
Mean Std. Dev iation N Statistiche descrittive: Le condizioni sperimentali presentano medie maggiori rispetto a quella di controllo.
Verifichiamo se le varianze della VD sono omegenee nei diversi livelli della VI. Il test di Levene non è significativo, l’assunzione di omoschedasticità è dunque rispettata
Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable: risolti
73.733b 2 36.867 8.574 .005 .588 17.147 .911
426.667 1 426.667 99.225 .000 .892 99.225 1.000
73.733 2 36.867 8.574 .005 .588 17.147 .911
51.600 12 4.300
552.000 15
125.333 14
Source
Corrected Model
Intercept
condizio
Error
Total
Corrected Total
Ty pe III Sum
of Squares df Mean Square F Sig.
Part ial Eta
Squared
Noncent .
Parameter
Observ ed
Powera
Computed using alpha = .05a.
R Squared = .588 (Adjusted R Squared = .520)b.
Test degli effetti tra i soggetti
Modello Corretto: Effetto attribuibile alla regressione della VD sulle VI Intercetta:effetto della media generale Condizio: effetto del fattore, ovvero della VI che viene manipolata dal ricercatore Errore: casuale Totale corretto: senza quindi considerare l’intercetta
Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable: risolti
73.733b 2 36.867 8.574 .005 .588 17.147 .911
426.667 1 426.667 99.225 .000 .892 99.225 1.000
73.733 2 36.867 8.574 .005 .588 17.147 .911
51.600 12 4.300
552.000 15
125.333 14
Source
Corrected Model
Intercept
condizio
Error
Total
Corrected Total
Ty pe III Sum
of Squares df Mean Square F Sig.
Part ial Eta
Squared
Noncent .
Parameter
Observ ed
Powera
Computed using alpha = .05a.
R Squared = .588 (Adjusted R Squared = .520)b.
SQ Devianza
Gradi di libertà per ciascuna componente
Varianza
Effect size (Grandezza dell’effetto): % di variabilità totale attribuibile all’effetto N.B. >.14 elevato
La potenza statistica è >.80
Estimates
Dependent Variable: risolti
6.800 .927 4.779 8.821
7.000 .927 4.979 9.021
2.200 .927 .179 4.221
condizio
condizione A
condizione B
condizione C
Mean Std. Error Lower Bound Upper Bound
95% Conf idence Interval
Stime
Gli intervalli di confidenza per le medie dei primi due gruppi si sovrappongono, quindi non c’è differenza tra i due gruppi, mentre il limite superiore del gruppo di controllo è inferiore dei gruppi precedenti
Multiple Comparisons
Dependent Variable: risolti
Tukey HSD
-.2000 1.31149 .987 -3.6989 3.2989
4.6000* 1.31149 .011 1.1011 8.0989
.2000 1.31149 .987 -3.2989 3.6989
4.8000* 1.31149 .008 1.3011 8.2989
-4.6000* 1.31149 .011 -8.0989 -1.1011
-4.8000* 1.31149 .008 -8.2989 -1.3011
(J) condizio
condizione B
condizione C
condizione A
condizione C
condizione A
condizione B
(I ) condizio
condizione A
condizione B
condizione C
Mean
Dif f erence
(I -J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Conf idence Interval
Based on observ ed means.
The mean dif ference is signif icant at the .05 level.*.
Confronti multipli
Confronti tra tutte le possibili coppie
Se la significatività è inferiore a .05 ovvero l’intervallo di confidenza non comprende lo zero, la differenza tra le medie confrontate è statisticamente diversa da 0, quindi le due medie confrontate sono statisticamente diverse.
In questo caso la media del gruppo C è statisticamente diversa dalla media del gruppo A e del gruppo B
CONFRONTI POST HOC
risolti
Tukey HSDa,b
5 2.2000
5 6.8000
5 7.0000
1.000 .987
condizio
condizione C
condizione A
condizione B
Sig.
N 1 2
Subset
Means for groups in homogeneous subsets are displayed.
Based on Ty pe II I Sum of Squares
The error term is Mean Square(Error) = 4.300.
Uses Harmonic Mean Sample Size = 5.000.a.
Alpha = .05.b.
Sottoinsiemi omogenei
I gruppi che non differiscono statisticamente vengono inseriti nello stesso sottoinsieme (es A e B sottoinsieme 2) e viene riportato il livello di significatività
Contrast Results (K Matrix)
.200
0
.200
1.311
.881
-2.657
3.057
-4.700
0
-4.700
1.136
.001
-7.175
-2.225
Contras t Est imate
Hy pothesized Value
Dif f erence (Estimate - Hy pothes ized)
Std. Error
Sig.
Lower Bound
Upper Bound
95% Conf idence Interval
f or Dif f erence
Contras t Est imate
Hy pothesized Value
Dif f erence (Estimate - Hy pothes ized)
Std. Error
Sig.
Lower Bound
Upper Bound
95% Conf idence Interval
f or Dif f erence
condizio Dif f erence
Contras t
Lev el 2 v s. Lev el 1
Lev el 3 v s. Prev ious
risolti
Depende
nt
Variable
Risultato del contrasto (matrice k)
Nei contrasti si confrontano solo 2 medie. In questo caso il primo contrasto livello 2 vs livello 1 confronta le condizioni A e B e non risulta statisticamente significativo. Il secondo contrasto livello 3 vs livello precedente confronta il livello precedente con la condizione C e risulta statisticamente significativo. Possiamo concludere che le condizioni A e B favoriscono una migliore performance, rispetto alla condizione di controllo che non sembra avere efficacia
Utilizzo Differenza o Contrasto inverso di Helmert al fine di confrontare la condizione di controllo C vs le due condizioni sperimentali A e B aggregate
CONTRASTI
Effetto principale che rappresenta l’effetto medio di una VI sulla VD senza considerare i valori delle altre VI
Interazione: 2 variabili interagiscono se l’effetto di una VI sulla VD si verifica solo a determinati livelli dell’altra VI
Due variabili interagiscono se l’effetto di una VI sulla VD non è lo stesso per tutti i livelli dell’altra VI.
Abbiamo almeno 2 VI e sempre una VD. Questo presuppone che andremo a valutare due tipi di effetti:
DISEGNO FATTORIALE TRA I SOGGETTI (2VI)
• Vogliamo verificare quale tipo di psicoterapia (di gruppo o individuale) sia particolarmente efficace considerando i livelli di ostilità dei pazienti (alta o bassa), sulla base della quantità di sintomi riportati alla fine del percorso terapeutico.
VD: sintomi
VI1: psicoterapia (gruppo o individuale)
VI2: ostilità (alta o bassa)
Effetto principale del Fattore 2
Effetto principale del Fattore 1
Effetto interazione (parte della media di una cella ji che non dipende dall’errore che non viene spiegata dalla media generale né dagli effetti principali)
Termine residuale (errore)
IPOTESI Effetti principali H0: μ Gruppo = μ Individuale indipendentemente dal livello di ostilità
H1: μ Gruppo ≠ μ Individuale indipendentemente dal livello di ostilità
H0: μBassa = μAlta indipendentemente dal tipo di psicoterapia,
H1: μ Bassa ≠ μ Alta indipendentemente dal tipo di psicoterapia,
H0: (μ Gruppo − μ Individuale) Bassa = (μ Gruppo − μ Alta) Individuale oppure (μ Bassa − μ Alta)Gruppo = (μBassa − μAlta) Individuale. Nella popolazione di pazienti con bassa ostilità la differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti in psicoterapia individuale e di gruppo è uguale alla differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti in psicoterapia individuale e di gruppo nella popolazione di pazienti con alta ostilità
H1: Almeno una differenza è significativa: nella popolazione di pazienti con bassa ostilità la differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti in psicoterapia individuale e di gruppo è diversa rispetto alla differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti in psicoterapia individuale e di gruppo nella popolazione di pazienti con alta ostilità, oppure nella popolazione di pazienti che seguono una psicoterapia individuale la differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti con alta e bassa ostilità è diversa rispetto alla differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti con alta e bassa ostilità nella popolazione di pazienti in psicoterapia di gruppo
IPOTESI INTERAZIONI
Between-Subjects Factors
indiv iduale 10
di gruppo 10
bassa 10
alta 10
.00
1.00
psicot
.00
1.00
ost ilità
Value Label N
Descriptive Statistics
Dependent Variable: nsintomi
7.0000 1.58114 5
7.4000 2.40832 5
7.2000 1.93218 10
10.0000 1.58114 5
14.8000 1.92354 5
12.4000 3.02581 10
8.5000 2.17307 10
11.1000 4.40833 10
9.8000 3.63608 20
ost ilità
bassa
alta
Total
bassa
alta
Total
bassa
alta
Total
psicot
indiv iduale
di gruppo
Total
Mean Std. Dev iation N
Media di ciascun livello, quella totale, la deviazione standard e il numero di soggetti sui quali sono state calcolate le statistiche.
Levene's Test of Equality of Error Variancesa
Dependent Variable: nsintomi
.623 3 16 .611
F df 1 df 2 Sig.
Tes ts the null hy pothes is that the error v ariance of
the dependent variable is equal across groups.
Des ign: Intercept+ps icot * ostilitàa.
Effetti principali
Variabilità totale con incluso l’effetto dell’intercetta
Variabilità totale con escluso l’effetto dell’intercetta
possiamo rifiutare l’ipotesi nulla per tutti e tre gli effetti e dunque possiamo concludere che c’è un effetto principale del tipo di psicoterapia, un effetto principale del livello di ostilità, e un effetto di interazione tipo di psicoterapia × livello di ostilità.
% di variabilità totale attribuibile all’effetto Valori>.14
interazione
Per comprendere la direzione degli effetti, di solito si può far riferimento al grafico di interazione
Numero di sintomi simile per i gruppi di ostilità in caso di psicoterapia individuale, ma molto diverso in caso di psicoterapia di gruppo,
Numero medio di sintomi maggiore in caso di alto livello di ostilità
In caso di psicoterapia individuale il numero di sintomi è comunque minore rispetto al caso della psicoterapia di gruppo, all’interno della quale, ad ogni modo, vi è un numero medio di sintomi maggiore in caso di alto livello di ostilità
Costruire i post hoc con la sintassi!
Tipo di Psicoterapia e del Livello di Ostilità
i confronti dei livelli di Tipo di Psicoterapia sui singoli livelli di Livello di Ostilità mostrano come il numero medio di sintomi di chi segue una psicoterapia di gruppo sia comunque maggiore di quello di chi segue una psicoterapia individuale
Non c’è differenza significativa fra le medie di Basso e Alto livello di Ostilità in caso di psicoterapia individuale, mentre c’è una differenza significativa fra le medie dei livelli di Ostilità in caso di psicoterapia di gruppo, con alti livelli di ostilità associati ad un numero medio di sintomi maggiore
IL MODELLO UNIVARIATO ENTRO I SOGGETTI
I disegni entro i soggetti sono disegni in cui si utilizzano gli stessi soggetti per le diverse condizioni sperimentali (ovvero nei livelli della VI). In questi casi l’analisi della varianza viene anche detta per prove (o misure) ripetute
Mentre le differenze tra Gruppo Sperimentale e Gruppo di controllo possono dipendere sia dall’effetto del trattamento sia dalla diversa composizione dei due gruppi. In un disegno a misure ripetute sono invece gli stessi soggetti a fungere da “controllo di se stessi”.
variazione dovuta ai singoli trattamenti cui sono stati sottoposti i soggetti,
Rappresenta la variazione sistematica esistente tra i punteggi totali ottenuti dai singoli soggetti
l’effetto di interazione tra il fattore π ed il fattore τ attraverso tutti i soggetti.
Il termine d’errore εij è già stimato all’interno dell’effetto d’interazione, pertanto esso va considerato nullo.
• Le misure sono rilevate più volte sugli stessi soggetti.
• Gli effetti del trattamento dipendono dalle differenze osservate fra le prove di ogni soggetto.
Assunzioni
• Gli errori devono essere indipendenti (il punteggio di un soggetto non influenza quello di altri soggetti).
• Gli errori devono seguire la distribuzione normale multivariata e devono avere media uguale a 0.
• La varianza delle differenze tra tutte le coppie delle misure ripetute deve essere uguale «Sfericità». Se le varianze tra le diverse rilevazioni dovessero essere differenti, il modello a misure ripetute potrebbe produrre un stima distorta della significatività dell’effetto nel tempo.
• …se osservo la crescita in peso di un gruppo di bambini nelle prime tre settimane: fattore entro i soggetti tempo in tre settimane = 3 livelli, VD peso, l’ipotesi di sfericità presuppone che le varianze degli aumenti tra la 3^ e la 4^ settimana e quelli tra la 4^ e la 5^ (e anche quella tra la 3^ e 5^) siano uguali
•Il modello di ANOVA a misure ripetute potrebbe produrre un stima distorta della significatività dell’effetto del tempo.
test di Mauchly
• Esempio:
• Vogliamo studiare se in un piccolo gruppo di studenti il tipo di rinforzo (lode, silenzio o critica) possa influire sul numero di problemi da risolvere in un compito, si da per una settimana un determinato rinforzo, nella seconda un altro rinforzo e nella terza l’ultimo rinforzo a tutti i soggetti e alla fine delle 3 settimane si registra il numero di problemi risolti.
• Determinare, per un valore Alpha=0,05, quale tipo di rinforzo influenzi maggiormente, rispetto agli altri, il rendimento degli studenti.
L’ipotesi H0 presume che non vi siano, in media, differenze statisticamente significative riguardo il numero di problemi risolti nelle tre differenti condizioni sperimentali.
L’ipotesi H1 presume che vi siano almeno due medie che differiscono tra loro, riguardo il numero di problemi risolti nelle tre differenti condizioni sperimentali.
Ognuna delle 3 colonne corrisponde ad un livello del fattore within.
ANALIZZA-MODELLO LINEARE GENRALIZZATO-MISURE RIPETUTE
in tale finestra si da un’etichetta al (ai) fattore/i within e si indica il numero di livelli per ciascun fattore
Il fattore ha 3 livelli
Nei disegni entro i soggetti SPSS non permette di effettuare i confronti post hoc. Questi possono essere effettuati tramite la finestra opzioni scegli e do il confronto tra le medie marginali effettuato con il metodo di correzione di Sidak o Bonferroni.
I contrasti consentono di verificare il grado di differenza tra i livelli di un fattore. È possibile specificare un contrasto per ciascun fattore del modello (in un modello a misure ripetute, un contrasto per ciascun fattore tra soggetti).
Within-Subjects Factors
Measure: MEASURE_1
rinforzo
silenzio
critica
f actor1
1
2
3
Dependent
Variable
Descriptive Statistics
20.0000 1.87083 5
17.0000 2.12132 5
14.0000 2.34521 5
rinf orzo
silenzio
crit ica
Mean Std. Dev iation N
Mauchly's Test of Sphericityb
Measure: MEASURE_1
.188 5.022 2 .081 .552 .607 .500
Within Subjects Ef f ectf actor1
Mauchly 's W
Approx.
Chi-Square df Sig.
Greenhous
e-Geisser Huy nh-Feldt Lower-bound
Epsilona
Tests the null hypothesis that the error cov ariance matrix of the orthonormalized transf ormed dependent v ariables is
proportional to an identity matrix.
May be used to adjust the degrees of f reedom for the averaged tests of s ignif icance. Corrected tests are displayed in
the Tests of Within-Subjects Ef f ects table.
a.
Des ign: Intercept
Within Subjects Design: f actor1
b.
Il test non è significativo, i dati soddisfano l’assunzione di sfericità. La stima degli effetti non è distorta. Le varianze tra le diverse rilevazioni sono uguali.
Tests of Within-Subjects Effects
Measure: MEASURE_1
90.000 2 45.000 67.500 .000 .944 135.000 1.000
90.000 1.103 81.563 67.500 .001 .944 74.483 1.000
90.000 1.214 74.118 67.500 .000 .944 81.964 1.000
90.000 1.000 90.000 67.500 .001 .944 67.500 1.000
5.333 8 .667
5.333 4.414 1.208
5.333 4.857 1.098
5.333 4.000 1.333
Sphericity Assumed
Greenhouse-Geisser
Huy nh-Feldt
Lower-bound
Sphericity Assumed
Greenhouse-Geisser
Huy nh-Feldt
Lower-bound
Source
f actor1
Error(f ac tor1)
Ty pe III Sum
of Squares df Mean Square F Sig.
Part ial Eta
Squared
Noncent .
Parameter
Observ ed
Powera
Computed using alpha = .05a.
Test degli effetti entro i soggetti
Statistiche che correggono i gdl se la sfericità non è rispettata. Dato che in questo caso è rispettata, leggiamo solo i valori «Assumendo la sfericità»
Sommatoria quadrati trattamento
media quadrati trattamento
Significatività: l’effetto delle misure risulta significativo (vedi anche medie)
Pairwise Comparisons
Measure: MEASURE_1
3.000* .316 .002 1.747 4.253
6.000* .707 .003 3.199 8.801
-3.000* .316 .002 -4.253 -1.747
3.000* .447 .008 1.229 4.771
-6.000* .707 .003 -8.801 -3.199
-3.000* .447 .008 -4.771 -1.229
(J) f ac tor12
3
1
3
1
2
(I ) f ac tor11
2
3
Mean
Dif f erence
(I -J) Std. Error Sig.a
Lower Bound Upper Bound
95% Conf idence Interval f or
Dif f erencea
Based on est imated marginal means
The mean dif ference is signif icant at the .05 lev el.*.
Adjustment f or multiple comparisons: Bonf erroni.a.
Confronti a coppie
Visualizzo i confronti a coppie per verificare se tra i livelli della variabile within vi siano differenze statisticamente rilevanti.
Tutti i confronti sono statisticamente diversi da 0
Tests of Within-Subjects Contrasts
Measure: MEASURE_1
45.000 1 45.000 90.000 .001 .957 90.000 1.000
101.250 1 101.250 62.308 .001 .940 62.308 1.000
2.000 4 .500
6.500 4 1.625
f actor1
Lev el 2 v s. Lev el 1
Lev el 3 v s. Prev ious
Lev el 2 v s. Lev el 1
Lev el 3 v s. Prev ious
Source
f actor1
Error(f actor1)
Ty pe III Sum
of Squares df Mean Square F Sig.
Part ial Eta
Squared
Noncent.
Parameter
Observ ed
Powera
Computed using alpha = .05a.
CONTRASTI
La differenza è significative per tutti i confronti
A seconda del tipo di rinforzo cambia il numero di problemi risolti dagli studenti (minimo di 14 con la critica, a una massimo di 20 con la lode e 17 con il silenzio). Pertanto il numero medio di problemi risolti è differente in base al tipo di rinforzo dato.
Modello fattoriale Misto
• Nei disegni fattoriali misti almeno un fattore è entro i soggetti e almeno un altro fattore è tra i soggetti.
• La struttura è simile a quella del modello fattoriale tra i soggetti con l'eccezione che in questo modello tutti i soggetti vengono testati in tutti i trattamenti(variabile entro)e soltanto ad un livello della variabile tra; nel modello fattoriale tra i soggetti, invece, i soggetti appartenenti ai diversi gruppi vengono assegnati a trattamenti differenti.
In questi disegni misti la variabilità totale viene divisa in due parti: entro e tra i soggetti. All’interno vi è un’ulteriore divisione legata alla variabilità sistematica e variabilità d’errore.
Abbiamo una varianza residua per:
• Effetto principale del fattore tra i soggetti
• Effetto principale del fattore entro i soggetti
• Interazione tra il fattore entro e fattore tra
• A 6 soggetti vengono somministrati 10 stimoli insalienti e 10 stimoli non-insalienti (fattore W), però 3 soggetti sono sottoposti ad uno stimolo di «priming» che annuncia le caratteristiche dello stimolo, mentre altri 3 no (fattore B). La somma dei ricordi corretti è la VD
• VD: ricordi corretti
• Fattore within a 2 livelli (stimolo insaliente e non-insaliente)
• Fattore between a 2 livelli (priming e assenza di priming)
Il fattore priming è tra i soggetti
Within-Subjects Factors
Measure: MEASURE_1
non_ins
insalien
f actor1
1
2
Dependent
Variable
Between-Subjects Factors
si 3
no 3
1.00
2.00
priming
Value Label N
Descriptive Statistics
4.3333 .57735 3
3.0000 1.00000 3
3.6667 1.03280 6
8.6667 1.52753 3
5.6667 .57735 3
7.1667 1.94079 6
priming
si
no
Total
si
no
Total
non_ins
insalien
Mean Std. Dev iation N
Tests of Within-Subjects Effects
Measure: MEASURE_1
36.750 1 36.750 55.125 .002 .932 55.125 1.000
36.750 1.000 36.750 55.125 .002 .932 55.125 1.000
36.750 1.000 36.750 55.125 .002 .932 55.125 1.000
36.750 1.000 36.750 55.125 .002 .932 55.125 1.000
2.083 1 2.083 3.125 .152 .439 3.125 .276
2.083 1.000 2.083 3.125 .152 .439 3.125 .276
2.083 1.000 2.083 3.125 .152 .439 3.125 .276
2.083 1.000 2.083 3.125 .152 .439 3.125 .276
2.667 4 .667
2.667 4.000 .667
2.667 4.000 .667
2.667 4.000 .667
Sphericity Assumed
Greenhouse-Geisser
Huy nh-Feldt
Lower-bound
Sphericity Assumed
Greenhouse-Geisser
Huy nh-Feldt
Lower-bound
Sphericity Assumed
Greenhouse-Geisser
Huy nh-Feldt
Lower-bound
Source
f actor1
f actor1 * priming
Error(f ac tor1)
Ty pe III Sum
of Squares df Mean Square F Sig.
Part ial Eta
Squared
Noncent .
Parameter
Observ ed
Powera
Computed using alpha = .05a.
Dal momento che abbiamo solo 2 livelli non è possibile verificare la condizione di sfericità , dunque non compare nessuna correzione per la sua mancata verifica
Solo l’effetto principale dello stimolo risulta significativo
Effetti entro i soggetti
Estimates
Measure: MEASURE_1
3.667 .333 2.741 4.592
7.167 .471 5.858 8.475
f actor1
1
2
Mean Std. Error Lower Bound Upper Bound
95% Conf idence Interval
Medie marginali attese per i fattori entro i soggetti
Gli stimoli insalienti (2) danno un maggior ricordo di risposte esatte rispetto agli stimoli non-insalienti (1)
Levene's Test of Equality of Error Variancesa
.400 1 4 .561
2.571 1 4 .184
non_ins
insalien
F df 1 df 2 Sig.
Tests the null hypothes is that the error variance of the
dependent variable is equal across groups.
Design: Intercept+priming
Within Subjects Design: f actor1
a.
Verifica l’ipotesi nulla che la varianze d’errore della VD è uguale tra i gruppi
Estimates
Measure: MEASURE_1
6.500 .471 5.191 7.809
4.333 .471 3.025 5.642
priming
si
no
Mean Std. Error Lower Bound Upper Bound
95% Conf idence Interv al
Medie marginali attese per i fattori tra soggetti
Effetti tra i soggetti
Gli effetti tra i soggetti esaminano le differenze tra i gruppi (primng vs non priming) effettuando una media delle misure della variabile entro (insalinte vs non-saliente/2).
Dalla prima tabella vediamo che la presenza del priming facilita il ricordo degli stimoli
Questo fattore è significativo