Analisi matematica I Primitive e integrali indefiniti
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Analisi matematica I
2
Calcolo integrale
Primitive e integrali indefiniti
Regole di integrazione
Integrali definiti secondo Riemann
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Integrali impropri
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Calcolo integrale
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Primitive e integrali indefiniti
Definizione di primitiva
Caratterizzazione delle primitive
Integrale indefinito
Definizione di primitiva generalizzata
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Primitive e integrali indefiniti
6
Definizione di primitiva
Sia definita su un intervallo
Si dice primitiva di in (o su ) ogni funzione derivabile in e tale che
Chiameremo integrabili (in senso indefinito)sull’intervallo le funzioni che ammettono una primitiva su
f
f I IF I
F 0(x) = f(x), ∀x ∈ I
I,I
I ⊆ R
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Esempio 1
Sia su
La funzione
è una primitiva di
Ogni funzione della forma
è una primitiva di in quanto la derivata di una costante è nulla
f(x) = x I = R
F (x) =1
2x2
G(x) =1
2x2 + c , c ∈ Rf ,
f
8
Esempio 2
Sia su
Le funzioni
sono primitive di su
f(x) =1
xI = (−∞, 0)
f I
F (x) = log |x|+ c , c ∈ R
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Primitive e integrali indefiniti
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Proposizione
Siano e due primitive di sull’intervallo
esiste una costante tale che
IF G f
⇒ c
G(x) = F (x) + c, ∀x ∈ I
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Dimostrazione
Introduciamo la funzione ausiliaria
Derivandola, si ha
Ricordando la Proprietà
si ottiene la tesi
H(x) = G(x)− F (x)
H 0(x) = G0(x)− F 0(x) = f (x) − f(x) = 0, ∀x ∈ I
costante,H 0(x) = 0, ∀x ∈ I H(x) = ∀x ∈ I⇔
12
Teorema
Sia una funzione integrabile (in senso
indefinito) su e sia una sua primitiva
le primitive di sono tutte e sole le funzioni
f
I F
F (x) + c , c ∈ R
⇒ f
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Primitive e integrali indefiniti
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Definizione
L’insieme di tutte le primitive di in un intervallo
viene indicato con il simbolo
Si legge integrale indefinito di oppure
“integrale di in ”.
Se è una primitiva di avremo
f
I ⊆ R Zf(x) dx
f(x)
f ,
dx
Zf(x) dx =
©F (x) + c : c ∈ R
ª= F (x) + c
f ,F
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Esempio 1
Sia
Ricordando che una primitiva di
è data dalla funzione
Dunque
f(x) = x3
Dx4 = 4x3,
F (x) =1
4x4
Zx3 dx =
1
4x4 + c , c ∈ R
f
16
Esempio 2
Sia
Ricordando che si ha
Dunque
f(x) = e5x
De5x = 5e5x,
F (x) =1
5e5x
c ∈ RZe5x dx =
1
5e5x + c ,
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Esempio 3
Sia
Ricordando che si ha
Dunque
f(x) = sin 4x
D cos 4x = −4 sin 4x,
F (x) = −14cos 4x
Zsin 4x dx = −1
4cos 4x+ c , c ∈ R
18
Interpretazione geometrica
Il Teorema di caratterizzazione delle primitive
afferma che
I grafici di tutte le primitive di una funzione
integrabile si ottengono l’uno dall’altro per
traslazione verticale f
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Interpretazione geometrica
Le primitive di una stessa funzione differiscono
per una costante additiva
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Interpretazione geometrica
Per selezionare una particolare primitiva di
si assegna il suo valore in un punto
Conoscendo una particolare primitiva di
in si vuole determinare la primitiva
di che vale in
Scriviamo
da cui ricaviamo e dunque
abbiamo
y0 x0 ∈ IF (x)
f(x) I
f(x)G(x) = F (x) + c0 y0 x0
G(x0) = F (x0) + c0 = y0c0 = y0 − F (x0)
G(x) = F (x)− F (x0) + y0
f
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Interpretazione geometrica
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Tabella
per oppure( x > 0 x < 0)
(α 6= −1)
Zex dx = ex + c
Z1
xdx = log |x|+ c
Zxα dx =
xα+1
α + 1+ c
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Tabella
Z1
1 + x2dx = arctanx+ c
Zcosx dx = sinx+ c
Zsinx dx = − cosx+ c
Z1√1− x2
dx = arcsinx+ c
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Esempio 1
Cerchiamo la primitiva di G(x) f(x) = cosx
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Esempio 1
Cerchiamo la primitiva di
tale che
Una primitiva di è
G(x0) = G(π
2) = 5 = y0
F (x) = sinxf(x)
G(x) f(x) = cosx
26
Esempio 1
Cerchiamo nella forma
Dalla condizione otteniamo
La primitiva cercata è
G(x) G(x) = sinx+ c0
G(π
2) = 5
5 = sinπ
2+ c0 da cui c0 = 4
G(x) = sinx+ 4
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Esempio 2
Cerchiamo il valore in della primitiva di
che si annulla in
Una primitiva di è
x1 = 3 G
f(x) = 6x2 + 5x x0 = 1
F (x) = 2x3 +5
2x2
f(x)
28
Esempio 2
Imponendo la condizione otteniamo
La primitiva cercata è
G(1) = 0,
0 = 2 +5
2+ c0 da cui c0 = −
9
2
G(x) = F (x) + c0 = 2x3 +
5
2x2 − 9
2
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Esempio 2
La primitiva cercata è
Il suo valore in è
G(x) = F (x) + c0 = 2x3 +
5
2x2 − 9
2
x1 = 3 G(3) = 72
30
Esempio 3
Sia
Vogliamo determinare tutte le primitive di
su
Ragioniamo dapprima sugli intervalli
e separatamente
f(x) = sin |x|− sinx x < 0
x ≥ 0sinx
se
se=
f(x)R
I1 = (−∞, 0)I2 = (0,+∞)
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31
Esempio 3
Nell’intervallo tutte le primitive di sono
della forma
Nell’intervallo tutte le primitive di sono
della forma
f(x)I1,
F1(x) = cosx+ c1 con c1 ∈ R
I2, f(x)
F2(x) = − cosx+ c2 c2 ∈ Rcon
sef(x) = sinx x ∈ I2
f(x) = − sinx se x ∈ I1
32
Esempio 3
La generica primitiva di su si scrive
comef(x) R
x < 0se
se
F1(x)
F2(x)F (x) =
x > 0
F (x)
x < 0se
se x > 0=
cosx+ c1
− cosx+ c2
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Esempio 3
deve essere continua in
Dobbiamo raccordare le primitive trovate,
imponendo la condizione
Ciò equivale a ossia
F x = 0
limx→0−
F (x) = limx→0+
F (x)
F1(0) = F2(0),
1 + c1 = −1 + c2
34
Esempio 3
Ad esempio, sia otteniamo
In conclusione la generica primitiva di su
è
c1 = c, c2 = 2 + c
f(x) R
F (x) =
cosx+ c x < 0,
x ≥ 0
se
se− cosx+ 2 + c
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Esempio 4
Si consideri la funzione continua definita a tratti
Procedendo come nell’Esempio precedente
otteniamo
f(x) =x ≤ 1,
(x− 2)2se
se
F (x) =
1
2x2 + c1
1
3(x− 2)3 + c2
x < 1,se
se
x
x > 1
x > 1
36
Esempio 4
Imponendo la continuità in si ha x = 1,
1
2+ c1 = −
1
3+ c2
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Esempio 4
Da tale relazione, ponendo si ha c1 = c
c2 =5
6+ c
1
2+ c1 = −
1
3+ c2
38
Da tale relazione, ponendo si ha
Dunque
Esempio 4
F (x) =
1
2x2 + c
1
3(x− 2)3 + 5
6+ c
se
se
x ≤ 1,
x > 1
c2 =5
6+ cc1 = c
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Esempio 4
Vogliamo determinare la primitiva di che si
annulla in
Poiché usiamo la seconda espressione di
e imponiamo la condizione
x0 = 3f(x)
x0 > 1,
F (x) F (3) = 0
F (3) =1
3(3− 2)3 + 5
6+ c = 0 c = −7
6da cui
40
Esempio 4
Ne segue che la primitiva cercata è
F (x) =
1
2x2 − 7
61
3(x− 2)3 − 1
3
se
se
x ≤ 1,
x > 1
F (3) = 0 c = −76
⇒
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41
Esempio 4
Se vogliamo determinare la primitiva di che
si annulla in possiamo imporre
l’annullamento dell’una o dell’altra espressione
di in quanto esse coincidono in tale punto
f(x)
F (x),
x0 = 1,
42
Esempio 4
La primitiva cercata è
limx→1−
F (x) = limx→1+
F (x) = 0
se
se
1
2x2 − 1
2
1
3(x− 2)3 + 1
3
F (x) =
x ≤ 1,
x > 1
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Primitive e integrali indefiniti
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Definizione
Sia definita su un intervallo
Si dice primitiva generalizzata di in (o su )
ogni funzione
Continua in
Derivabile in tranne al più un numero finito di
punti e tale che
f I
f I I
F
I
I
x1, . . . , xn
F 0(x) = f(x), ∀x ∈ I \ {x1, . . . , xn}
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45
Esempio
Si consideri la funzione definita a tratti
f(x) =
x < 0,
√x+ 1 x ≥ 0
se
se
1
x2 + 1+ 1
46
Esempio
Procedendo come in precedenza otteniamo
se
se
F (x) =
x < 0,
2
3(x+ 1)3/2 + c2 x > 0
arctanx+ x+ c1