Francesco Amato
Appunti del Corso di “Sistemi di Controllo Multivariabile”
Elementi di Teoria dell’ottimizzazione
A.A. 2010-11 – Università degli Studi di Napoli Federico II
Versione 1.2 Novembre 2011
1 Introduzione ................................................................................................................................. 2
2 Formulazione di alcuni problemi decisionali in termini di problemi di programmazione
matematica ........................................................................................................................................... 6
2.1 Ottimizzazione della portanza di una superficie mobile ...................................................... 6
2.2 Gestione ottimale di centrali elettriche interconnesse .......................................................... 6
2.3 Soluzione di un sistema di equazioni lineari ........................................................................ 7
3 Definizioni preliminari ................................................................................................................. 8
4 Programmazione non lineare: metodi analitici .......................................................................... 13
4.1 Condizioni necessarie di minimo locale ............................................................................ 14
4.2 Condizioni necessarie e condizioni sufficienti di minimo locale per un problema non
vincolato ......................................................................................................................................... 15
4.3 Problemi con vincoli di uguaglianza .................................................................................. 17
4.4 Un primo problema con vincoli di uguaglianza: Funzione obiettivo di tipo quadratico e
funzioni di vincolo di tipo lineare. Pseudoinversa minima a destra .............................................. 22
4.4.1 Una applicazione della pseudoinversa minima a destra ad un problema di
raggiungibilità ............................................................................................................................ 24
4.5 Un secondo problema con vincoli di uguaglianza: Funzione obiettivo di tipo quadratico
dipendente implicitamente dalla variabile di ottimizzazione e funzioni di vincolo di tipo lineare.
Pseudoinversa minima a sinistra .................................................................................................... 25
4.5.1 Una applicazione della pseudoinversa minima a sinistra: stima parametrica a minimi
quadrati 28
4.5.2 Identificazione della risposta armonica ...................................................................... 29
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1
4.6 Problemi con vincoli di uguaglianza e disuguaglianza ...................................................... 31
5 Appendice A .............................................................................................................................. 35
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2
1 Introduzione
Le tecniche di controllo basate sulla retroazione di stato, laddove questo sia interamente misurabile,
o di uscita, mediante l’uso di osservatori, se da un lato permettono di allocare in posizione
opportuna i poli del sistema a ciclo chiuso e quindi di agire sulla velocità di risposta e sulla
sovraelongazione, dall’altro, non essendo agevole la traduzione di alcune specifiche, quali la
moderazione delle grandezze in gioco (variabili di controllo e di stato), nel dominio del tempo, non
consentono di portare in conto all’atto della sintesi tali specifiche.
Per ovviare a tali inconvenienti è necessario portare in conto tutte le specifiche richieste attraverso
la definizione di una funzione obiettivo e/o di opportuni vincoli; il progetto della legge di controllo
va dunque effettuato in modo che essa ottimizzi tale indice e contemporaneamente soddisfi, se
presenti, preassegnati vincoli sulle variabili di interesse.
A questo proposito, si consideri un processo fisico descritto dalle equazioni
],[)()(),,( 00 fn ttttRtt 0xxxuxfx
Eq. (1.1)
Il problema del controllo ottimo si può porre in questi termini: trovare la legge di controllo
ftt ,0u per il sistema descritto dalle Eq. (1.1) che
a) porti lo stato terminale del sistema in una assegnata regione dello spazio di stato,
individuata dall’equazione s(x)0;
b) soddisfi un indice di qualità scalare del tipo ftJ ,,, fxux , dove xf=x(tf);
c) soddisfi determinati vincoli sulle variabili di ingresso u e/o di stato x, individuati da
equazioni e disequazioni del tipo g(x(t),u(t))=0 e h(x(t),u(t))0.
Successivamente si mostrerà che, sotto opportune ipotesi, la legge di controllo ottimale si può
realizzare utilizzando una retroazione di stato, pervenendo dunque allo schema di Figura 1.1.
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3
Figura 1.1: Retroazione di stato
Laddove lo stato non fosse disponibile per la retroazione si può far ricorso ad una retroazione
dell’uscita tramite osservatore. Dunque il punto chiave sarà quello di esprimere la legge di controllo
ottimo attraverso una retroazione di stato.
Per il momento focalizzeremo la discussione sul problema dell’ottimizzazione. In virtù di quanto
affermato sopra esso si può formalizzare come segue.
Problema 1.1
0uxh
0uxg
0xs
xxuxfx
xux
f
0
fu
))(),((
)(),(
],[)(),,(
.
,),(),(min
00
],[ 0
tt
tt
ttttt
as
tJ
f
ftt f
Il Problema 1.1 è un classico problema di ottimizzazione dinamica che si può risolvere utilizzando i
principi del calcolo variazionale.
Processo
x
Controllore w u
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4
La teoria dell’ottimizzazione dinamica è abbastanza complicata e non verrà affrontata in queste
note. Ciò è giustificato dal fatto che, in molte situazioni, è possibile fare una serie di ipotesi
semplificative che permettono di trasformare il Problema 1.1 in un problema di tipo statico. Tali
ipotesi possono riassumersi come segue:
a) il sistema considerato è stazionario, cioè ),(),,( uxfuxf t ;
b) siamo interessati al comportamento del sistema a regime. Dunque l’indice di costo non
dipenderà più dallo stato e dall’istante terminale, in quanto tf=+ , ed inoltre non dipenderà
più dai valori assunti istante per istante dall’ingresso e dallo stato, ma solo dai valori che
questi assumono a regime; dunque uxxux f ,,),(),( JtJ f . Inoltre a regime
l’equazione differenziale che descrive il modello del processo viene sostituita da una
equazione statica, in quanto lo stato raggiungerà il suo valore di equilibrio; in altri termini
l’equazione del modello diventa f(x,u)=0. Allo stesso modo i vincoli non dipenderanno più
dal tempo, potendosi scrivere
0uxh
0uxg
),(
, .
Il problema di ottimizzazione, sotto le ipotesi semplificative a) e b) può dunque riscriversi nel modo
seguente.
Problema 1.2
0uxh
0uxg
uxu
),(
,
.
,min
as
J
avendo inglobato nella condizione 0uxg ),( anche la condizione 0uxf ),( .
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5
E’ evidente che una volta che è stata trovata la legge di controllo ottimo a regime, bisogna
comunque assicurarsi che tale legge di controllo esibisca buone prestazioni durante il transitorio.
In definitiva un problema di controllo ottimo di tipo generale può riportarsi, sotto le condizioni a) e
b) e inglobando per semplicità di notazione u nel vettore x, ad un problema del tipo seguente.
Problema 1.3
nRX
as
x
xfx
.
min
dove 0xh0xgx )(,)(,nRX .
L’insieme delle metodologie orientate alla soluzione dei problemi statici del tipo Problema 1.3 va
sotto il nome di Programmazione Matematica (PM).
I problemi di programmazione matematica possono suddividersi in lineari e non lineari.
Definizione 1.1
Un problema di programmazione matematica si dice lineare se le funzioni hgf ,, sono lineari.
Altrimenti si dice non lineare.
Nel seguito tratteremo alcune tecniche per la soluzione dei problemi di programmazione non
lineare, dato che la maggior parte dei problemi di controllo ricade in questa categoria. Tali tecniche
si dividono in analitiche e numeriche. Le prime si utilizzano quando si è in presenza di poche
variabili di ottimizzazione e avendo a disposizione l’espressione analitica delle funzioni coinvolte;
le seconde entrano in gioco per problemi di grosse dimensioni e/o quando la funzione obiettivo o i
vincoli non sono esprimibili in forma chiusa.
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6
2 Formulazione di alcuni problemi decisionali in termini di problemi di
programmazione matematica
2.1 Ottimizzazione della portanza di una superficie mobile
Si consideri una superficie di sezione S che si muova in un fluido di tipo Newtoniano con velocità
costante v ; indichiamo con l’angolo formato dalla superficie S con il vettore v (si veda la Figura
2.1). La superficie S sarà sottoposta ad una forza che si oppone al movimento e diretta in direzione
opposta al vettore v (resistenza) e in una forza diretta verso l’alto ortogonalmente a v (portanza L).
Figura 2.1:Portanza di una superficie mobile
Si intuisce che L sarà nulla tanto per =0 che per =/2. In effetti, sotto opportune ipotesi
semplificative si può dimostrare che risulta
cossin2kL
dove k è una costante che dipende da S, |v| e dal tipo di fluido in cui è immersa la superficie. Il
problema è allora quello di trovare il valore di che massimizzi il modulo di L. La soluzione di
questo problema è mostrata in Appendice A, Problema 5.3.
2.2 Gestione ottimale di centrali elettriche interconnesse
Il fabbisogno di potenza elettrica di un utente può porsi nella forma
)(tPPP pr
S
v
L
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7
dove Pr è detta potenza di base e può ritenersi pressoché costante durante il giorno, mentre Pp(t),
detta potenza di picco, dipende dalla richiesta dell’utente all’istante t e quindi è di natura stocastica
e tempo-variante.
Supponiamo che per generare la potenza di base Pr si ricorra al contributo di n centrali elettriche
interconnesse. La centrale i-esima eroga una potenza pi e ha un costo di gestione ci(pi). In genere le
funzioni ci(pi) si possono approssimare come segue
iiiii bpapc 2 .
Si vuole minimizzare la spesa complessiva delle n centrali, soddisfacendo la richiesta dell’utenza.
Denotando con Tnppp 21p il problema può formularsi in questo modo
iMi
n
iri
n
iii
pp
Pp
as
pc
0
.
)(min
1
1p
Si veda il Problema 5.4 per una applicazione numerica.
2.3 Soluzione di un sistema di equazioni lineari
Si supponga di dover risolvere il seguente sistema di equazioni lineari
0,
0,
212
211
xxf
xxf.
Si osservi che tutte le soluzioni della prima equazione sono anche soluzioni dell’equazione
0, 212
1 xxf
Eq. (2.1)
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8
Ovviamente una soluzione Txx 21* x della Eq. (2.1) è anche minimo globale di 212
1 , xxf .
Pertanto il problema di trovare le soluzioni del sistema di equazioni è equivalente al seguente
problema di ottimizzazione
0),(
.
),(min
212
212
1
xxf
as
xxfx
o, in maniera equivalente
0),(
.
),(min
211
212
2
xxf
as
xxfx
.
3 Definizioni preliminari
Definizione 3.1 [Minimo locale]
Data la funzione RRXf n x: , si dice che un punto X*x è di minimo locale per f se
esiste un intorno *xI del punto *x tale che )(*)( xx ff per ogni *xx I .
Definizione 3.2 [Minimo globale]
Data la funzione RRXf n x: , si dice che un punto X*x è di minimo globale per f se
)(*)( xx ff per ogni Xx .
Definizione 3.3 [Gradiente]
Data la funzione RRXf n x: , si chiama gradiente di f il vettore colonna
T
nx
f
x
f
x
ffgrad
21x .
Definizione 3.4 [Matrice Hessiana]
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9
Data la funzione RRXf n x: , si chiama matrice Hessiana di f la seguente matrice
quadrata
2
2
2
2
1
2
2
2
22
2
12
21
2
21
2
21
2
nnn
n
n
f
x
f
xx
f
xx
f
xx
f
x
f
xx
f
xx
f
xx
f
x
f
H
La matrice Hessiana risulta essere simmetrica quando sono soddisfatte le ipotesi del Teorema di
Schwartz.
Definizione 3.5 [Jacobiano]
Data la funzione vettoriale mn RRX xg : , si chiama Jacobiano di g la seguente matrice
Tmx
Tx
Tx
n
mmm
n
n
ggrad
ggrad
ggrad
x
g
x
g
x
g
x
g
x
g
x
g
x
g
x
g
x
g
2
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
x
g
Si consideri ora una funzione mn RR xg : ; l’insieme dei punti 0: xgxnRS
definisce una iper - superficie in Rn. Si dà la seguente definizione.
Definizione 3.6 [Piano tangente]
Si assuma che la funzione mn RR xg : sia derivabile in x; si definisce piano tangente in x alla
iper - superficie S l’insieme dei punti
0: yx
x
gy
nRM .
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10
In altri termini il piano tangente è composto da tutti i vettori yRn che sono ortogonali ai gradienti
delle funzioni gi(x), i=1,…,m, che definiscono la iper – superficie S .
Definizione 3.7 [Matrice semidefinita e definita positiva]
Una matrice quadrata e simmetrica nnR Q si dice essere semidefinita positiva (negativa), e si
scrive Q0 (Q0) quando
nR xQxxT 0)( ;
si dice essere definita positiva (negativa), e si scrive Q>0 (Q<0), quando
0xQxxT nR0)( .
Nel seguito sono formulate alcune condizioni affinché una matrice sia definita (semidefinita)
positiva. Ricordiamo, a questo proposito, che gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti
reali.
Teorema 3.1 [CNES affinché una matrice sia definita positiva]
Una matrice nnR Q risulta essere definita (semidefinita) positiva se e solo se tutti gli autovalori
sono maggiori (maggiori o uguali) di zero.
Dimostrazione.
Data una matrice simmetrica Q esiste sempre una matrice ortogonale1
nnR n21 uuuT , TTT 1 tale che
ΛQTT T
Eq. (3.1)
dove ),,,( 21 ndiag Λ , Ri è l’i-esimo autovalore di Q e ui è il corrispondente
autovettore. Inoltre T, essendo ortonormale, gode della proprietà che 0jTi uu se ji e
12 ii
Ti uuu .
1 Una matrice
nnR T si dice ortogonale se risulta ITTT .
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11
Dalla Eq. (3.1) segue che
n
i
T
iii
T
n
T
T
n
n
T
1
2
1
2
1
21
00
00
00
uu
u
u
u
uuu
TΛQT
da cui si ha
n
iii
n
i
T
iii
n
i
Tiii
1
2
1
1
ux
uxux
xuuxQxx
T
TT
TT
Eq. (3.2)
Dall’ultima uguaglianza si ricava che se i>0, i=1,…,n, evidentemente xTQx>0 per ogni x0;
infatti sicuramente xT ui0 per qualche i, essendo x0 e i vettori ui linearmente indipendenti.
D’altro canto se per qualche i risultasse i<0 ponendo x=ui si avrebbe dalla Eq. (3.2) che
0
2
i
i
iT
uQxx
che contraddirebbe il fatto che xTQx è definita positiva.
Teorema 3.2 [Test di Sylvester –Matrici definite]
Una matrice nnR Q risulta essere definita positiva se e solo se tutti i suoi minori principali sono
maggiori di zero, cioè
011 q
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12
02212
1211
0
21
22212
11211
nnnn
n
n
qqq
qqq
qqq
Teorema 3.3 [Test di Sylvester – Matrici semidefinite]
Una matrice nnR Q risulta essere semidefinita positiva se e solo se tutti i suoi minori i cui
elementi diagonali sono anche elementi diagonali di Q sono maggiori o uguali a zero; ad esempio
una matrice 33RQ risulta essere semidefinita positiva se e solo se
0,, 332211 qqq
0,,3323
2322
3313
1311
2212
1211
0
332313
232212
131211
qqq
qqq
qqq
Si noti che se Q è definita positiva esiste uno scalare >0 tale che
nR xxQxx2T ;
in particolare si ha
nR xxQQxx2T
min
dove Qmin denota il più piccolo autovalore di Q.
Definizione 3.8 [Direzione ammissibile]
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13
Dato un insieme nRX e un punto Xx , di dice che il vettore nRd individua una direzione
ammissibile in x se esiste uno scalare 0 tale che X dx per ogni ,0 . Come si può
notare dalla figura Figura 3.1 d individua un segmento orientato che parte dal punto x e si svolge
parallelamente a d.
Figura 3.1: Direzione ammissibile
Facciamo alcune considerazioni sulle direzioni ammissibili:
- Se nRX ogni vettore nRd individua una direzione ammissibile.
- Se nRX e x è un punto interno a X allora ogni vettore nRd individua una direzione
ammissibile in x.
Il concetto di direzione ammissibile è molto utile nel calcolo del minimo di una funzione. Infatti per
dimostrare che un punto x è di minimo locale basta far vedere che muovendosi lungo una qualsiasi
direzione ammissibile in x la funzione obiettivo f(x) è non decrescente. Ciò ci consente di studiare il
comportamento della funzione f(x) come se essa dipendesse di volta in volta da una sola variabile.
4 Programmazione non lineare: metodi analitici
x1
x2
x d
x +d
d
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4.1 Condizioni necessarie di minimo locale
Teorema 4.1 [Condizione necessaria del I ordine]
Data una funzione RRXf n x: derivabile in X, condizione necessaria affinché x* sia un
minimo locale di f è che per ogni direzione d ammissibile
0)*( dxT
x fgrad .
Dimostrazione.
Se x* è un punto di minimo locale per f comunque si consideri una direzione d ammissibile si ha
per 0 sufficientemente piccolo
**** xdxxdx ffgradffT
x ,
da cui segue
0* dT
x xfgrad
Commento. La condizione non è anche sufficiente perché per quelle direzioni d lungo le quali
0)*( dxT
x fgrad
non si può concludere che
** xdx ff .
In questi casi bisogna esaminare il termine quadratico. Ciò viene fatto nel prossimo teorema.
Teorema 4.2 [Condizione necessaria del II ordine]
Data una funzione RRXf n x: due volte derivabile in X, condizione necessaria affinché
x* sia un minimo locale di f è che
a) per ogni direzione d ammissibile si abbia
0* dxT
xfgrad ;
b) per ogni vettore d per cui la a) è soddisfatta con il segno di uguaglianza risulti
0dxHd fT *
Dimostrazione.
La a) segue dal Teorema 4.1. Inoltre per ogni vettore d per cui nella a) vale il segno di uguaglianza,
se x* è un punto di minimo locale per f , deve risultare
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* *2
*
*2
***
2
2
xdxHdx
dxHddxxdx
f
T
f
T
ff
fgradffT
x
da cui segue l’asserto.
Commento. La condizione non è anche sufficiente perché per quelle direzioni d lungo le quali
0*
0*
dxHd
dx
f
T
T
x fgrad
non si può concludere che
** xdx ff .
In questi casi bisognerebbe esaminare il termine cubico.
4.2 Condizioni necessarie e condizioni sufficienti di minimo locale per un problema non
vincolato
Le condizioni necessarie enunciate nel paragrafo precedente valgono sia nel caso di problemi
vincolati che di problemi non vincolati. In quest’ultimo caso è possibile dare una versione delle
condizioni necessarie più semplice; ciò è dovuto al fatto che ogni direzione è ammissibile.
Teorema 4.3 [Condizione necessaria del I ordine problema non vincolato]
Data una funzione RRf n x: derivabile in Rn, condizione necessaria affinché x* sia un
minimo locale di f è che risulti
0* xfgradx .
Dimostrazione.
Per il Teorema 4.1 deve risultare per un dato vettore dRn
0* dxT
x fgrad .
D’altro canto, poiché anche -dRn
, deve essere pure
0* dxT
x fgrad .
Da cui segue che
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0* dxT
x fgrad .
Poiché l’ultima uguaglianza deve valere per ogni dRn segue l’asserto.
Teorema 4.4 [Condizione necessaria del II ordine problema non vincolato]
Data una funzione RRf n x: due volte derivabile in Rn, condizione necessaria affinché x* sia
un minimo locale di f è che risulti
a) 0*)( xfgradx
b) *xH f semidefinita positiva.
Dimostrazione.
La prima condizione discende banalmente dal Teorema 4.3. Per quanto riguarda la seconda
condizione, dalla b) del Teorema 4.2 discende immediatamente che deve risultare per ogni dRn
0dxHd fT *
da cui segue l’asserto.
Teorema 4.5 [Condizione sufficiente di minimo locale problema non vincolato]
Data una funzione RRf n x: due volte derivabile in Rn, condizione sufficiente affinché x* sia
un minimo locale di f è che risulti
a) 0* xfgradx
b) *xH f definita positiva.
Dimostrazione.
Poiché *xH f è definita positiva si ha per qualche >0 e per ogni dRn
2* ddxHd f T
Ora per un >0 sufficientemente piccolo si ha
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17
2
*
* perchè *2
*
*2
***
2
2
2
2
f
T
f
T
dx
0xdxHdx
dxHddxxdx
f
fgradf
fgradff
x
T
x
Da cui segue
02
**2
2
dxdx
ff
e quindi l’asserto.
In definitiva per risolvere un problema non vincolato si trovano prima tutti i punti che soddisfano la
condizione necessaria del I ordine. Quindi si studia la matrice Hessiana della funzione f valutata in
tali punti. Se, in un dato punto, l’Hessiana risulta definita positiva siamo in presenza di un minimo
locale; se risulta semidefinita positiva non si può concludere nulla; negli altri casi il punto non è di
minimo locale.
Ovviamente il minimo globale risulta essere il più piccolo tra tutti i minimi locali.
Esempio.
Le condizioni esaminate nel caso non vincolato sono valide anche nel caso vincolato laddove si
considerino punti interni all’insieme X.
4.3 Problemi vincolati: vincoli di uguaglianza
Consideriamo il seguente problema con vincoli di uguaglianza.
Problema 4.1
xx fmin
s. a
0xg )(
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18
dove nRx e Tmggg )()()()( 21 xxxxg con m<n.
Prima di risolvere il Problema 4.1 osserviamo che in un problema con vincoli di uguaglianza tutti i
punti che soddisfano la condizione di vincolo sono di frontiera, e quindi i risultati del Paragrafo 4.2
non si possono applicare.
La strada da seguire consiste nel partizionare il vettore x in due vettori come segue
w
yx ,
dove yRn-m
e wRm
, e successivamente esprimere il vettore w in funzione del vettore y.
A questo punto enunciamo un lemma che ci sarà utile nel seguito; esso generalizza il Teorema 4.3
sostituendo le direzioni ammissibili con quelle del piano tangente. Sia S la superficie individuata
dall’equazione vincolare g(x)=0.
Lemma 4.1
Condizione necessaria affinché un punto x* sia un minimo locale di f soggetto ai vincoli g(x)=0 è
che a) g(x*)=0 e b) per ogni variazione infinitesima dx che non violi i vincoli del problema, e
quindi tale da appartenere al piano tangente ad S in x*, cioè tale che
0xxx
g
d* ,
risulti
0* xxx dfgradT
Dal Lemma 4.1 immediatamente discende il seguente corollario.
Corollario 4.1
Condizione necessaria affinché un punto x* sia un minimo locale di f soggetto ai vincoli g(x)=0 è
che risulti
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0wxw
gyx
y
g
w
yx0wxyx
0xg
wy
ddc
d
dddfgraddfgradb
a
TT
**)
:**)
*)
Per trovare una condizione di minimo locale più agevole ricaviamo dalla c) del Corollario 4.1
l’espressione di dw
yxy
gx
w
gw dd **
1
,
e sostituiamolo nella b). Si ottiene
0yxy
gx
w
gxx
yxy
gx
w
gxyx
wy
wy
dfgradfgrad
dfgraddfgrad
TT
TT
****
****
1
1
Poiché dy è arbitrario l’ultima condizione è equivalente a richiedere
0xy
gx
w
gxx wy
****
1
TTfgradfgrad .
Quindi possiamo enunciare il seguente teorema.
Teorema 4.6 [Condizioni necessarie del primo ordine per la soluzione del Problema 4.1]
Condizione necessaria affinché un punto x* sia un minimo locale di f soggetto ai vincoli g(x)=0 è
che risulti
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20
0xy
gx
w
gxx wy
****
1
TTfgradfgrad
0xg *
Si può arrivare ad una formulazione equivalente a quella del Teorema 4.6 passando per un problema
fittizio non vincolato. Introduciamo a questo proposito la funzione Lagrangiana
)()(:),( xgλxλxT fl
dove Tm 21λ si chiama vettore dei moltiplicatori di Lagrange.
Facciamo vedere che il calcolo di un minimo locale per il problema non vincolato avente per
funzione obiettivo la Lagrangiana restituisce le stesse condizioni del Teorema 4.6.
Ricordiamo che la condizione necessaria del primo ordine per un problema non vincolato richiede
che il gradiente della funzione obiettivo sia nullo nel punto di minimo. Nel nostro caso, ricordando
che x=[yT w
T]T si ha
0*)(**,
0*****,
0*****,
xgλx
λxw
gxλx
λxy
gxλx
ww
yy
lgrad
fgradlgrad
fgradlgrad
T
T
Eq.(4.1)
Ricavando dalla seconda equazione * si ha
*** xxw
gλ w fgrad
T
e sostituendo nella prima
0xxw
gx
y
gx wy
**** fgradfgrad
TT
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che restituisce la condizione del Teorema 4.6. In definitiva il nostro problema con vincoli di
uguaglianza si può ricondurre ad un problema non vincolato avente come funzione obiettivo la
Lagrangiana. Ciò è riassunto nel prossimo teorema.
Teorema 4.7 [Condizioni necessarie del primo ordine utilizzando la Lagrangiana]
Condizione necessaria affinché un punto x* sia un minimo locale di f soggetto ai vincoli g(x)=0 è
che
a) g(x*)=0
b) Esista un vettore mR*λ tale che 0λxx
gxλx x
*****,
T
x fgradlgrad
La determinazione delle soluzioni della equazione b) del Teorema 4.7 richiede la valutazione dei
moltiplicatori di Lagrange. Si può quindi concludere che il relativo aggravio di complessità dal
punto di vista computazionale è il prezzo da pagare per aver sostituito un problema di
ottimizzazione vincolata con uno di ottimizzazione non vincolata.
Al solito, introducendo gli Hessiani delle funzioni coinvolte, si possono dimostrare i teoremi
seguenti che contengono condizioni necessarie del secondo ordine e condizioni sufficienti.
Teorema 4.8 [Condizione necessaria del secondo ordine per la soluzione del Problema 4.1]
Condizione necessaria affinché un punto x* sia un minimo locale di f soggetto ai vincoli g(x)=0 è
che
a) g(x*)=0
b) Esista un vettore mR*λ tale che 0λxx
gxx
***
T
fgrad
c) ***1
xHxHigf
m
ii sia semidefinita positiva sul piano tangente in x* alla iper –
superficie definita dai vincoli.
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Si noti che la condizione c) del Teorema 4.8 è equivalente alla seguente
0yxx
gyyyxHxHy
igfT *::0***
1
nm
ii RS .
Se nel Teorema 4.8 nella condizione c) si richiede la definitezza positiva in luogo della
semidefinitezza, si ottiene una condizione sufficiente di minimo locale.
Teorema 4.9 [Condizione sufficiente per la soluzione del Problema 4.1]
Condizione sufficiente affinché un punto x* sia un minimo locale di f soggetto ai vincoli g(x)=0 è
che
a) g(x*)=0
b) Esista un vettore mR*λ tale che 0λxx
gxx
***
T
fgrad
c) ***1
xHxHigf
m
ii sia definita positiva sul piano tangente in x* alla iper – superficie
definita dai vincoli.
Esempio.
In generale, le n+m equazioni che si ottengono scrivendo le condizioni necessarie del primo ordine
sono non lineari. Ciò limita fortemente l’utilizzo di tali condizioni analitiche.
4.4 Un primo problema con vincoli di uguaglianza: Funzione obiettivo di tipo quadratico e
funzioni di vincolo di tipo lineare. Pseudoinversa minima a destra
Di particolare importanza nell’ambito dei problemi di controllo sono i problemi di PM in cui la
funzione obiettivo è di tipo quadratico e le funzioni di vincolo sono lineari. Tale problema può
formalizzarsi come segue:
Problema 4.2
bFx
QxxT
x
as.
min
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con xRn , FR
mxn , m<n, Q>0 ed F di pieno rango riga.
Si noti che se nel Problema 4.2 si pone Q=I il problema diventa quello di minimizzare la norma di
x soggetta al vincolo Fx=b.
Poiché il problema in esame presenta solo vincoli di uguaglianza si può utilizzare per la sua
soluzione la teoria sviluppata nella sezione 4.3. In questo caso la Lagrangiana risulta essere definita
come segue
bFxλQxxλx TTl ),( .
Ora si ha (si vedano il Problema 5.1 e il Problema 5.2)
λFQxλxT
x 2),(lgrad
ed inoltre
bFxλxλ ),(lgrad .
Dunque, in accordo al Teorema 4.7, i punti di minimo si possono trovare imponendo le condizioni
bFx
0λFQxT
2 .
Dalla prima equazione si ricava
λFQxT1
2
1*
Eq. (4.2)
che, sostituita nella seconda porge
bλFQF T1
2
1
da cui
bFFQλ112* T .
Infine sostituendo nella Eq. (4.2) si ha
bFbFFQFQxRM
QTT :*
111 ,
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che è quindi un possibile punto di minimo. Ora ponendo
mmb
b
b
2
1
2 , b
f
f
f
F
T
T
T1
si ha
021
QHHH
QxxxfQxxTT
m
ibi
iTi
e quindi x* è effettivamente un punto di minimo (globale essendo l’unico punto di minimo).
La matrice RMQF è detta pseudoinversa minima a destra. L’aggettivo “minima” ricorda che tale
matrice è legata al calcolo del minimo della forma quadratica xTQx; l’aggettivo “pseudoinversa a
destra” discende dal fatto che
IFFQFFQFF 111 TTRM
Q .
4.4.1 Una applicazione della pseudoinversa minima a destra ad un problema di raggiungibilità
Si consideri il sistema lineare a tempo discreto descritto dalle equazioni
mn RkRkkkk )(,)(,)0(),()()1( 0 uxxxBuAxx
che supponiamo essere raggiungibile.
Un classico problema è quello di trovare la legge di controllo che in N>n passi porti lo stato del
sistema in uno stato desiderato x minimizzando l’energia impiegata dal controllore, portata in
conto attraverso un indice di costo del tipo
1
0
N
i
T ii uQu i , Qi>0, i=0,…,N-1.
Dalla teoria della raggiungibilità per i sistemi a tempo discreto si ha che
1
1
0
21
Nu
u
u
BBABAxAxNN
0N
N
che, ponendo
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25
NmR
N
u
u
u
u
FBBABA
bxAx
NN
0
N
N
1
1
0
21
,
può essere riscritta
bFu .
Dunque il problema di ottimizzazione in esame può essere formulato come
Problema 4.3
bFu
QuuT
as.
min
ove si è posto
0
1
1
0
NQ00
0Q0
00Q
Q
che ammette come soluzione
bFuRM
Q* .
Esempio.
4.5 Un secondo problema con vincoli di uguaglianza. Pseudoinversa minima a sinistra
Si consideri il seguente problema.
Problema 4.4
εbFx
Qεεx
as
T
.
min ,
con Rm, xR
n, m>n, Q>0 ed F di pieno rango colonna.
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Questo tipo di problema si incontra nella risoluzione dei sistemi di equazioni lineari sovraspecificati
del tipo Fx=b , in cui il numero delle equazioni è superiore al numero delle incognite. In questo
caso si sceglie la soluzione x che minimizza la norma (eventualmente pesata dalla matrice Q) della
differenza =Fx-b.
Si noti che il Problema 4.4 presenta la particolarità che la funzione obiettivo dipende implicitamente
dal vettore delle variabili di ottimizzazione x.
In accordo al Teorema 4.7 una condizione necessaria affinché il punto x* sia un minimo locale è la
seguente. Sia
bεFxλQεελεxTT ),,(l
si ha
0λF
Fxλλε,x
T
Txx
gradlgrad ,
0λQε
ελQεελε,xTT
εε
2
, gradlgrad
0bεFxλε,xλ ,lgrad
Eq. (4.3)
A questo punto moltiplicando la seconda delle Eq. (4.3) per FT e utilizzando la prima delle Eq. (4.3)
si ottiene
0QεF
λFQεFλQεF
T
TTT
2
22.
Eq. (4.4)
D’altro canto dalla terza delle Eq. (4.3) si ottiene
bFxε
che, sostituita nella Eq. (4.4), restituisce
0QbFQFxFTT .
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27
Pertanto un punto candidato ad essere minimo è
QbFQFFxTT 1
*
.
Eq.(4.5)
Per verificare che il punto sia effettivamente un minimo, notiamo che il Problema 4.4 può
riscriversi
bvF
vQvv
~.
~min
as
T
ove si è posto v=[xT T
]T ,
Q0
00Q~
, IFF ~
.
La condizione sufficiente di minimo richiede che la matrice
Q
HHHvQvvfvQv
~2
~
1
~*
~
Ti
Ti
T
m
ibi
sia definita positiva per ogni vettore
0~
:0
~
:
*
yFRyyv
bvFRyy mn
vv
mn .
Dunque deve essere
0yFyyQyT ~
:0~ mnR .
Eq. (4.6)
Partizionando
TT2
T1 yyy
la Eq. (4.6) può essere riscritta come
0y
yIFy
y
yQyy
2
1
2
1T2
T1
:0~ mnR
o ciò che è lo stesso
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0yFyyQyy 212T2 :0 mnR .
L’ultima condizione può essere riscritta in modo equivalente
nR 111 0 yQFyFyTT .
L’ultima condizione è verificata poiché Q è definita positiva e F è di rango pieno colonna; quindi il
punto x* definito nella Eq.(4.5) è effettivamente un punto di minimo.
La matrice
QFQFFFTTLM
Q
1
è detta pseudoinversa minima a sinistra. Infatti si ha
IQFFQFFFFTTLM
Q 1
.
4.5.1 Una applicazione della pseudoinversa minima a sinistra: stima parametrica a minimi
quadrati
Consideriamo una relazione causa – effetto tra due grandezze x e y. Supponiamo che sia nota la
struttura della dipendenza tra x e y
)()()( 2211 xxx nn fkfkfky
Eq.(4.7)
con nTn Rkkk 21k .
Siano ,,,1,, Niyi ix i risultati di N esperimenti; poiché, ovviamente, il modello fornito dalla
Eq.(4.7) non descrive perfettamente il fenomeno in esame, si ha
Niyfkfkfky iinniii ,,1,)()()(ˆ 2211 xxx .
Il problema della stima ai minimi quadrati è quello di trovare il vettore dei parametri k che
minimizzi la norma pesata dello scarto tra gli effetti misurati yi e gli effetti calcolati dal modello
teorico iy , cioè
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29
εbFk
Qεεk
as
T
.
min
ove si è posto
NNnNN
n
n
iii
N
y
y
y
xfxfxf
xfxfxf
xfxfxf
yy
2
1
21
22221
11211
2
1
,
ˆ:,
bF
ε
e dunque la soluzione è pari a
bFkLM
Q* .
Esempio numerico.
4.5.2 Identificazione della risposta armonica
Supponiamo di aver determinato sperimentalmente la risposta armonica di un sistema lineare che
esibisca un comportamento riconducibile a quello di un sistema del primo ordine:
j
GW
1.
Il problema è determinare G e in modo tale che la funzione ricavata teoricamente sia il più
possibile simile a quella ricavata sperimentalmente.
Si ha
j
GWjW
1
Dunque
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30
GjWjW 1
da cui
0
WW
GWW.
Le ultime uguaglianze possono essere riscritte come segue
G
W
W
W
W
0
1
e quindi
W
W
W
WG1
0
1 .
Poiché l’inversa esiste, con una unica misura sperimentale della risposta armonica si riuscirebbero
ad ottenere i valori di G e e quindi W().
Tuttavia, poiché nella pratica la risposta armonica non è misurata con precisione assoluta, si
effettuano più misure che portano al sistema di equazioni
G
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
NN
NN
N
N
0
1
0
1
0
1
22
22
11
11
2
2
1
1
Questo è un sistema sovraspecificato, la cui soluzione può essere trovata con le tecniche di
pseudoinversione descritte nella Sezione 4.5.
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31
4.6 Problemi con vincoli di uguaglianza e disuguaglianza
Si consideri il problema
Problema 4.5
pih
mig
as
f
i
i
,,10
,,10
.
min
x
x
xx
Definizione 4.1 [Vincolo attivo]
Un vincolo di disuguaglianza hi(x)0 è detto essere attivo in un punto nRx se risulta 0xih ;
inattivo se risulta 0xih .
Si noti che i vincoli attivi in un punto sono gli unici che limitano le direzioni di spostamento
ammissibili in quel punto. Ovviamente i vincoli di uguaglianza sono per definizione sempre attivi
qualunque sia xRn.
Teorema 4.10 [Condizione necessaria del primo ordine per la soluzione del Problema 4.5]
Condizione necessaria affinché un punto x* sia un minimo locale di f soggetta ai vincoli
0xh0xg , è che esista un vettore mR*λ e un vettore pR*μ tali che
0*0*)
,,10)
,,10*)
*****)
xx
x
0μxx
hλx
x
gxx
hgiv
pjiii
pjhii
fgradi
j
jj
TT
Dimostrazione. Cominciamo con il far vedere che esiste un vettore mR*λ e un vettore pR*μ
tale che la condizione i) risulta valida. A questo proposito denotiamo con J l’insieme degli indici
dei vincoli attivi in x*, in altri termini
Jjh j 0*x .
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32
Ora consideriamo il problema fittizio
Jjh
mig
as
f
j
i
0
,,10
.
min
x
x
xx
Il punto x* è ovviamente soluzione di questo problema con soli vincoli di uguaglianza. La
condizione necessaria di minimo dunque richiede che esista un vettore mR*λ e scalari reali j* ,
Jj , tali che
0xμλxx
gx x
Jjjj
T
x hgradfgrad *****
A questo punto basta scegliere j=0, Jj .
La condizione ii) è dimostrata automaticamente. Infatti per un dato j o risulta hj(x*)=0 oppure j=0.
Per quanto riguarda la condizione iii), per come è stato costruito il vettore * risulta j=0 per
Jj . Resta da far vedere che per i vincoli attivi, e cioè per Jj risulta j0. Supponiamo per
assurdo che esista un kJ tale che k<0.
Sia ora dx un vettore infinitesimo che individua una direzione ammissibile in x* e tale che
movendosi lungo dx tutti i vincoli attivi continuano a rimanere tali, eccezion fatta per il k-esimo che
diventa inattivo. Si consideri la trasposta della condizione a) del Teorema (già dimostrata)
0xx
hμx
x
gλxx
***** TTT
fgrad
Si moltiplichino ambo i membri di tale uguaglianza per dx. Si ottiene
0xxx
hμxx
x
gλxxx
dddfgrad TTT
*****
Eq. (4.8)
Ora xxx
gd*
rappresenta l’incremento subito dalla funzione g spostandosi da x* a x*+dx . Tale
incremento deve essere nullo per non violare i vincoli di uguaglianza g(x)=0 . Allo stesso modo
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33
xxx
hd*
rappresenta l’incremento subito dalla funzione h spostandosi da x* a x*+dx; a questo
proposito si ha che
vincolideiattivitàperkJjsedgrad
perchèJjsedgradT
jj
j
T
jj
0*
00*
xxh
xxh
x
x
Dunque la Eq. (4.8) si riduce a
0xxhμxx xx dgraddfgradT
kkT
***
o ciò che è lo stesso
xxhμxx xx dgraddfgradT
kkT
***
Ora si ha
inattivo diventa che vincolodel incrementol' è perchè 0*
assurda ipotesil'per 0
xxhx dgradT
k
k
Dunque si otterrebbe
0* xxx dfgradT
che è assurdo poiché xxx dfgradT
* è l’incremento di f in un intorno di x* che per ipotesi è
punto di minimo. Dunque resta dimostrato che deve essere k>0 .
Il vettore μ si chiama vettore dei moltiplicatori di Kuhn-Tucker.
Esempio numerico.
Al solito si possono enunciare condizioni necessarie e condizioni sufficienti del secondo ordine
utilizzando le matrici Hessiane.
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34
Teorema 4.11 [Condizione necessaria del secondo ordine per la soluzione del Problema 4.5]
Condizione necessaria affinché un punto x* sia un minimo locale di f soggetta ai vincoli
0xh0xg , è che esista un vettore mR*λ e un vettore pR*μ tali che
*in attivi vincoliai tangentepiano sul
positiva tasemidefini è *****)
0*0*)
,,10)
,,10*)
****)
11
x
xxxH
xx
x
0μx
hλx
x
gx
f
p
i
ih
m
i
ig
j
jj
TT
x
iiHHiv
hgiv
pjiii
pjhii
fgradi
Teorema 4.12 [Condizione sufficiente per la soluzione del Problema 4.5]
Condizione sufficiente affinché un punto x* sia un minimo locale di f soggetta ai vincoli
0xh0xg , è che esista un vettore mR*λ e un vettore pR*μ tali che
*in attivi vincoliai tangentepiano sul
positiva definita è *****)
0*0*)
,,10)
,,10*)
****)
11
x
xxxH
xx
x
0μx
hλx
x
gx
f
p
i
ih
m
i
ig
j
jj
TT
x
iiHHiv
hgiv
pjiii
pjhii
fgradi
Esempio.
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35
5 Appendice A
Problema 5.1: Mostrare che, assegnata una matrice simmetrica QRnxn
, risulta
QxQxxx 2Tgrad .
Soluzione. Si ha
nnnn
n
Tnnnnnn
T
nnnnnn
nn
Tn
i
n
jjiij
n
n
i
n
jjiij
n
i
n
jjiij
T
x
x
xqxqxqxqxq
xqxxqx
xxqxqx
xxqx
xxqx
xxqgradgrad
1
1
111
111212111
21111
2111
1
1 11 11
1 1
2
22222
22
xx Qxx
Problema 5.2: Mostrare che, assegnati i vettori Rm, xR
n e una matrice FR
nxm, risulta
λFFxλT
x Tgrad
Soluzione. Si ha
mmnn
m
Tmnmnmm
Tm
i
n
jjiji
n
m
i
n
jjiji
m
i
n
jjiji
T
ff
ff
ffff
xfx
xfx
xfgradgrad
1
1
111
111111
1 11 11
1 1xx Fxλ
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36
Problema 5.3: Mostrare che, per un assegnato k>0 , il problema di ottimizzazione
0
.
cossinmax 2
as
k
ammette come soluzione
3
2arcsin* .
Soluzione. Il problema può essere messo in forma standard come segue
0
0
.
cossinmin 2
as
k
Si noti che il problema presenta vincoli di disuguaglianza stretti; essi sono dunque sempre inattivi;
inoltre non ci sono vincoli di uguaglianza. Di conseguenza i moltiplicatori di Lagrange non ci sono
e i due moltiplicatori di Kuhn-Tucker sono nulli, e la Lagrangiana coincide con la funzione
obiettivo. Utilizzando la condizione necessaria affinché si abbia un punto di minimo (Teorema
4.10) si ha
0
0
0cossin2
kd
d
Eq. (5.1)
Derivando la prima delle Eq. (5.1) si ottiene
2sin3sin
cos2sinsin
sincossin2cossin
2
22
322
k
k
kkkd
d
che ammette come soluzione ,0 che scartiamo per incompatibilità dei vincoli e
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37
3
2arcsin*
3
2arcsin*
2
1
che sono entrambi possibili punti di minimo, soddisfacendo i vincoli di disuguaglianza.
Ora per applicare la condizione sufficiente dobbiamo valutare
22
22
22
2
2
sin62sin3cos
cossin62sin3cos
2sin3sincossin
k
kk
kd
dk
d
d
Ora nei punti candidati si ha 02sin3 2 ; dunque in tali punti
22
2
2
sincos6cossin kkd
d
che risulta positivo per *1 e negativo per *2 .
Problema 5.4: risolvere il problema delle n centrali elettriche interconnesse descritto nel Paragrafo
2.2 con i seguenti valori dei parametri
2n
22
1
1
2222
2111
ppc
ppc
15totP
10
10
2
1
M
M
p
p
Appunti del Corso di “Sistemi di Controllo Multivariabile”
Elementi di Teoria dell’ottimizzazione
A.A. 2010-11 – Università degli Studi di Napoli Federico II
Versione 1.2 Novembre 2011 – Francesco Amato
38
Soluzione: T105* p .