C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP. II
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Cap. 2 – NUMERI REALI
In questo capitolo si richiamano le proprietà principali dei numeri reali. I numeri più semplici sono gli interi naturali:
0, 1, 2, …. Essi formano un insieme che si denota con il simbolo
N L’insieme degli interi naturali diversi da 0 lo denotiamo con N*, cioè poniamo N* = N - {0}. Addizionare o moltiplicare due interi naturali è sempre possibile, mentre non si può sempre eseguire la sottrazione o la divisione fra interi. Se poi m, n ∈ N si dice che “m è minore o uguale ad n” (oppure “n è maggiore o uguale ad m”) e si scrive “m ≤ n” (oppure “n ≥ m”), se esiste h ∈ N tale che n = m+h. Se h ≠ 0 si dice “m è strettamente minore di n” e si scrive “m < n”. La relazione ≤ ora definita su è una relazione d’ordine, cioè gode delle seguenti proprietà:
1) ∀ n ∈ N : n ≤ n (proprietà riflessiva), 2) , : ( , )m n m n n m m n∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ = ∀ m, n, p ∈ N : (m ≤ n, n ≤ p ⇒ m ≤ p), (proprietà
transitiva) 3) ∀ m, n ∈ N : (m ≤ n, n ≤ m ⇒ m = n) (proprietà antisimmetrica).
La relazione ≤ permette di confrontare due qualsiasi numeri interi naturali m ed n, in quanto risulta o m ≤ n oppure n ≤ m. In particolare 0 è minore o uguale di qualsiasi intero; inoltre ogni intero n è strettamente minore del suo successivo n+1 e, quindi, non esiste un intero maggiore o uguale di ogni altro intero. Una proprietà fondamentale di N è il cosiddetto "PRINCIPIO DI INDUZIONE COMPLETA" che si enuncia come segue: "Per ogni n ∈ N sia Pn una proprietà attribuibile ad n. Se risulta
i. P0 vera ii. ∀ n ∈ N : (Pn ⇒ Pn+1) (ipotesi d’induzione)
allora Pn è vera per ogni n ∈ N." Questa proprietà si può generalizzare nel modo seguente: "Sia p ∈ N e, per ogni n ≥ p, sia Pn una proprietà attribuibile ad n. Se risulta iii. Pp vera iv. 1: ( )n nn p P P +∀ ≥ ⇒
allora nP è vera per ogni intero n ≥ p." Il principio di induzione completa si adopera per dimostrare molte proprietà degli interi, ad esempio le seguenti uguaglianze:
4) * ( 1):1 2 3 ...2
n nn n +∀ ∈ + + + + = ;
5) * 2:1 3 5 ... (2 1)n n n∀ ∈ + + + + − = ;
6) 3 2
* 2 2 2:1 2 ...3 2 6n n nn n∀ ∈ + + + = + + ;
7) * 3 3 3 2:1 2 ... (1 2 ... )n n n∀ ∈ + + + = + + +
Per dimostrare la 4) poniamo Pn= “1 + 2 + … + n = ( 1)2
n n + ” per ogni n ≥ 1. Risulta P1 vera. Inoltre
se è vera Pn, cioè se
1 + 2 + … + n = 2
)1( +nn ,
aggiungendo n + 1 ad ambo i membri si ottiene
1 + 2 + … + n + (n + 1) = 2
)1( +nn + (n + 1) = 2
)2)(1( ++ nn ,
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cioè è vera anche Pn+1. A questo punto si può affermare, in virtù del principio di induzione completa, che Pn è vera per ogni n ≥ 1, ossia è vera la 4). Un’altra proprietà importante di N è contenuta nella seguente PROP. 1 – Se X è un sottoinsieme non vuoto di N, allora esiste m ∈ X tale che
∀ n ∈ X : m ≤ n (cioè esiste il più piccolo elemento di X). Dim. – Supponiamo per assurdo che non esista il più piccolo elemento di X. Dunque si ha:
∀ m ∈ X ∃ n ∈ X t.c. n < m. Allora, fissato m ∈ X, è infinito l’insieme degli elementi di X (e quindi di N) minori di m: ciò è assurdo in quanto gli elementi di N minori strettamente di m sono 0, 1, …, m-1, dunque sono in numero finito. L’impossibilità di eseguire sempre la sottrazione fra interi naturali ha condotto ad ampliare
con l’aggiunta degli interi negativi -1, -2, …, -n, … ottenendo così l’insieme degli interi relativi. Si ha, dunque,
Z = { 0, 1, -1, 2, -2, …, n, -n, … }. Anche in Z non è sempre possibile la divisione, mentre è sempre possibile, oltre alla sottrazione, anche il confronto. Infatti, come per N, anche in Z si assume che m ≤ n se esiste h∈ tale che n = m + h. Da ciò segue, ad esempio, che -2 < -1 perché -1 = (-2) + 1. È del tutto ovvio che ⊂ . Un ampliamento di Z, reso necessario dall’esigenza di poter effettuare sempre la divisione,
si ottiene aggiungendo a Z i numeri frazionari o razionali, cioè le frazioni del tipo mn
con m ed n
elementi di Z ed n ≠ 0. L’insieme così ottenuto si denota con e si chiama insieme dei numeri
razionali. Se n∈ , n si identifica con la frazione 1n . Grazie a tale identificazione si ha che ⊂
e, quindi, ⊂ ⊂ .
Due frazioni mn
e '
'
mn
si considerano uguali se e solo se ' 'm n m n⋅ = ⋅ .
Su Q le operazioni di addizione e moltiplicazione si definiscono nel seguente modo: ' ' '
' '
m m m n m nn n n n
⋅ + ⋅+ =
⋅;
' '
' '
m m m mn n n n
⋅⋅ =
⋅
Si pone, poi,
0 mn
≤
se e solo se 0 ≤ m ⋅ n; si pone, inoltre,
nm ≤ '
'
nm
se e solo se 0 ≤ '
'
nm -
nm , cioè se e solo se 0 ≤ '
''
nnnmnm
⋅⋅−⋅ .
Ad esempio si ha 32 <
75 perché
75 -
32 =
211 > 0.
Si noti che non hanno alcun significato le frazioni del tipo 0n 0e quindi
0⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
. Inoltre dalla
definizione di prodotto consegue che è sempre possibile dividere una frazione per un’altra non
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nulla: se nm ∈ Q ed { }
'
' 0mn
∈ − , il risultato della divisione di mn
per '
'
mn
è '
'
m nn m
⋅⋅
, infatti si ha
'
'
''
m m n mn n m n
⋅⋅ =
⋅. In altri termini si ha
'
' '
'
mm nn
m n mn
= ⋅
Notiamo, infine, che l’insieme Q, munito delle due operazioni di addizione e moltiplicazione sopra definite, ha una struttura algebrica di corpo. Ciò nonostante in Q non è sempre possibile l’operazione di estrazione della radice di un numero positivo. Ciò è messo in luce nella seguente PROP. 2 - Non esiste alcun numero razionale q tale che q2 = 2. (*) Dim. - Supponiamo per assurdo che esista un numero razionale q tale che q2 = 2. Possiamo supporre
che q = mn
con m ed n interi positivi e primi fra loro. Dunque m2 = 2n2; ciò implica che m2 è pari,
dunque m è pari. Pertanto esiste k ∈ tale che m = 2k, ovvero m2 = 4k2 e, quindi, n2 = 2k2. Perciò n2, e quindi n, è pari. Allora m ed n hanno 2 come divisore comune, e ciò è assurdo per l’ipotesi fatta su m ed n. Quanto detto sopra giustifica l’ampliamento dell’insieme Q dei numeri razionali nell’insieme cosiddetto dei numeri reali, insieme nel quale, come vedremo, è sempre possibile l’operazione di estrazione della radice. Qui ci limitiamo a dare una presentazione assiomatica di questo nuovo insieme. L’insieme dei numeri reali è un insieme , munito di due operazioni + (addizione) e ⋅ (moltiplicazione), e di una relazione d’ordine ≤, che soddisfano le seguenti proprietà (assiomi) algebriche e dell’ordine. Proprietà algebriche di R
1) ;x y y x x y y x+ = + ⋅ = ⋅ 2) ( ) ( ); ( ) ( )x y z x y z x y z x y z+ + = + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 3) ( )x y z x y x z⋅ + = ⋅ + ⋅ 4) 0 . . : 0t c x x x∃ ∈ ∀ ∈ + = (0 è detto lo zero di R) 5) { }1 0 . . :1t c x x x∃ ∈ − ∀ ∈ ⋅ = (1 è detta l’unità di R) 6) . . ( ) 0x x t c x x∀ ∈ ∃− ∈ + − = (-x è detto l’opposto di x) 7) { } 1 10 . . 1x x t c x x− −∀ ∈ − ∃ ∈ ⋅ = (x-1 è detto l’inverso di x)
Proprietà dell’ordine di R
1) x x≤ 2) ( , ) ( )x y y z x z≤ ≤ ⇒ ≤ 3) ( , ) ( )x y y x x y≤ ≤ ⇒ = 4) ( ) ( ) per ognix y x z y z z≤ ⇒ + ≤ + ∈ 5) ( , 0 ) ( )x y z x z y z≤ ≤ ⇒ ⋅ ≤ ⋅ 6) , : ( ) ( ) ( )x y x y y x x y∀ ∈ < ∨ < ∨ = (cioè ≤ è di totale ordine) 7) (assioma di completezza) - Se A e B sono sottoinsiemi non vuoti di R tali che ogni elemento
di A sia minore o uguale di ogni elemento di B, allora esiste almeno un elemento l di R tale
(*) Ciò significa, da un punto di vista geometrico, che la misura della diagonale di un quadrato di lato unitario non è un numero razionale.
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che per ogni Ax ∈ e per ogni y ∈ B risulti x l y≤ ≤ . (l si dice elemento di separazione di A e B)
Conseguenze delle proprietà algebriche
1) ( ) ( )x z y z x y+ = + ⇒ = 2) ( , 0) ( )x z y z z x y⋅ = ⋅ ≠ ⇒ = 3) ( ) ; 0 0 0; ( )x x x x x y z x y x z− − = ⋅ = = ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ 4) { } 1 10 : ( )x x x− −∀ ∈ − = 5) ( 0) ( 0) ( 0)x y x y⋅ = ⇒ = ∨ = 6) (Possibilità della sottrazione) - , | . .a b x t c a x b∀ ∈ ∃ ∈ + = . Tale x è b + (-a) e si denota
con b - a. 7) (Possibilità della divisione) - { }0 , | . .a b x t c a x b∀ ∈ − ∀ ∈ ∃ ∈ ⋅ = . Tale x è 1b a−⋅ e si
denota con ba
(quoziente di b ed a). (*)
8) ( ) ( ) ( ); ( ) ( )x y x y x y x y x y− ⋅ = − ⋅ = ⋅ − − ⋅ − = ⋅
9) 1 1 1 1 1 1( ) ovvero se 0 e 0x y x y x yx y x y
− − − ⎛ ⎞⋅ = ⋅ = ⋅ ≠ ≠⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
10) se 0x x x yy y y
−− = = ≠
−
11) ' ' '
' ' se 0 e 0x x x y x y x yy y y y
⋅ + ⋅+ = ≠ ≠
⋅
12) ' '
'' ' se 0 e 0x x x x y y
y y y y⋅
⋅ = ≠ ≠⋅
13) ' '
' '' ' '
'
se 0, 0, 0
xx y x yy y x y
x y x y xy
⋅= ⋅ = ≠ ≠ ≠
⋅
Conseguenze delle proprietà dell’ordine
1) ( , ) ( )x y z t x z y t≤ ≤ ⇒ + ≤ + 2) ( ) (0 ) ( ) ( 0)x y y x y x x y≤ ⇔ ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ − ≤ 3) ( , 0) ( )x y z y z x z≤ ≤ ⇒ ⋅ ≤ ⋅ 4) (Regola dei segni) - (0 , 0 ) (0 ); ( 0, 0) (0 );x y x y x y x y≤ ≤ ⇒ ≤ ⋅ ≤ ≤ ⇒ ≤ ⋅
(0 , 0) ( 0)x y x y≤ ≤ ⇒ ⋅ ≤ (**) 5) 2: 0x x∀ ∈ ≤ . (dunque 0 < 1) 6) (0 , 0 ' ') ( ' ')x y x y x x y y≤ ≤ ≤ ≤ ⇒ ⋅ ≤ ⋅ 7) 2 2(0 ) ( )x y x y≤ ≤ ⇒ ≤
8) 1(0 ) 0xx
⎛ ⎞< ⇔ <⎜ ⎟⎝ ⎠
(*)Se a ≠ 0, risulta a-1 =
a1 .
(**)Un numero reale x si dice positivo (risp. negativo) se 0 ≤ x (risp. x ≤ 0).
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9) 1 1(0 )x yy x
⎛ ⎞< ≤ ⇒ ≤⎜ ⎟
⎝ ⎠
10) 1 1( 0)x yy x
⎛ ⎞≤ < ⇒ ≤⎜ ⎟
⎝ ⎠
Uno dei molteplici modi per definire i numeri reali è quello di ricorrere alla loro
rappresentazione decimale. In tal modo si possono facilmente distinguere i numeri razionali da quelli irrazionali, in quanto i primi hanno una rappresentazione decimale finita oppure non finita ma periodica, mentre gli altri hanno una rappresentazione decimale non finita e non periodica. Ad esempio si ha
2 30,4; 0,333... ( 0, 3)5 9
= = =
mentre il numero 0,10110111011110…
è irrazionale, come anche il famoso numero p-greco π = 3,1415926535…
È di grande utilità la rappresentazione geometrica dei numeri reali dovuta a Cartesio (1637), perciò detta rappresentazione cartesiana dei reali. Essa consiste nello stabilire una corrispondenza tra punti di una retta e numeri reali, più precisamente una applicazione bigettiva tra una retta ed R.
Vediamo come si ottiene una siffatta applicazione. Su una retta r si fissi un verso e lo si chiami positivo; l’altro verso sarà detto negativo. Poi su r
si fissino due punti distinti O ed U di guisa che il segmento OU sia orientato nel verso positivo. Chiameremo semiretta positiva di r la semiretta di r di origine O alla quale appartiene U, negativa l’altra. Denotiamo con r+ (risp. r-) la semiretta positiva (risp. negativa) di r. Dopo ciò, per ogni punto P r∈ poniamo
se P
se PP
OP rx
OP r+
−
⎧ ∈⎪= ⎨− ∈⎪⎩
dove OP è la misura del segmento di estremi O e P rispetto al segmento di estremi O e U, assunto come unità di misura. Si dice, allora, che si è fissato su r un riferimento cartesiano di origine O e punto unità U. La retta r si chiama retta cartesiana o asse cartesiano. Le semirette r+ ed r- si chiamano rispettivamente semiasse positivo e semiasse negativo. Inoltre per ogni punto P r∈ il numero reale xP si chiama ascissa di P (rispetto al riferimento cartesiano assegnato). Evidentemente l’ascissa dell’origine O è lo zero mentre l’ascissa del punto unità U è 1. È anche ovvio che P r+∈ se e solo se 0 Px≤ (e dunque P r−∈ se e solo se 0Px ≤ ). Si dimostra che l’applicazione (di r in R)
P xP è bigettiva, dunque ad ogni punto P della retta r si associa un solo numero reale xP (ascissa di P), viceversa ad ogni numero reale x si associa un solo punto P di r (l’unico punto P tale che xP = x). Per questo motivo si conviene di identificare ogni punto della retta cartesiana con la sua ascissa: ad esempio si parlerà del punto -3 per indicare il punto di ascissa -3. Per lo stesso motivo la retta
cartesiana si chiama anche retta reale. In figura sono rappresentati i punti di ascissa -2, 1, 57,
53
− .
-2
57
− 0 53 1
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Vogliamo ora far vedere come, utilizzando l’assioma di completezza, si può definire la radice quadrata aritmetica di un numero reale positivo; per semplicità costruiamo la radice quadrata di 2. A tal fine si osservi che il più grande intero il cui quadrato è minore di 2 è 1, cioè si ha
12 < 2 < 22 Si osservi che le disuguaglianze sono strette perché, a causa della PROP. 2, non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia uguale a 2. Ora si divida il segmento che unisce 1 e 2 sulla retta cartesiana in 10 parti uguali; i punti di suddivisione hanno le seguenti ascisse
1 1,1 1,2 ……………… 1,8 1,9 2 Tra questi numeri si cerchi il più grande il cui quadrato sia minore di 2; tale numero è 1,4, pertanto risulta
(1,4)2 < 2 < (1,5)2. Si cerca, poi, in modo analogo il più grande numero razionale con due cifre decimali il cui quadrato risulti minore di 2; tale numero è 1,41, pertanto si ha
(1,41)2 < 2 < (1,42)2. Operando allo stesso modo si ottengono le seguenti disuguaglianze:
(1,414)2 < 2 < (1,415)2 e
(1,4142)2 < 2 < (1,4143)2. Tale procedimento non ha mai fine perché non si può mai ottenere un numero razionale il cui quadrato sia uguale a 2. Si vengono così a definire due successioni ( ) e ( )n n n na b∈ ∈ di razionali che soddisfano le condizioni:
1) 2 2: 2n nn a b∀ ∈ < <
2) 1:10n n nn b a∀ ∈ − = .
Per quanto trovato innanzi si ha a0 = 1; a1 = 1,4; a2 = 1,41; a3 = 1,414; a4 = 1,4142 mentre b0 = 2; b1 = 1,5; b2 = 1,42; b3 = 1,415; b4 = 1,4143. Si ha anche
3) 2 2 4:10n n nn b a∀ ∈ − ≤
in quanto 2 2 ( ) ( )n n n n n nb a b a b a− = − ⋅ + e i numeri an e bn sono minori di 2. Considerati gli insiemi
{ } { }A : e B :n na n b n= ∈ = ∈ essi sono separati a causa di 1), dunque per l'assioma di completezza A e B ammettono un elemento di separazione: sia α tale elemento. Risulta pertanto
: n nn a bα∀ ∈ ≤ ≤ e, quindi
4) 2 2 2: n nn a bα∀ ∈ ≤ ≤ . Da 1) e 4) consegue per ogni n ∈ N
2 2 2 2 22n n n na b b aα− ≤ − ≤ − Dimostriamo che 2 2α = . Infatti se per assurdo fosse 22 α< , si avrebbe
2 2 2 40 210n n nb aα< − ≤ − ≤
e, quindi, per ogni n ∈ N
2
4102
nnα
< ≤−
ossia tutti gli interi naturali risulterebbero minori o uguali del numero 2
42α −
; ciò evidentemente è
falso. Pertanto non può essere 2 < α2. In modo analogo si prova che non può essere nemmeno 2 2α < , dunque essendo la relazione d'ordine di R di totale ordine si ha
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2 2α = , ossia α è la radice quadrata aritmetica (cioè positiva) di 2. Si noti che α è l'unica radice quadrata aritmetica di 2, infatti se β è un altro numero reale positivo tale che 2 2β = si ha 2 2α β= e, quindi, α β= . Si noti, ancora, che α non può essere un numero razionale a causa della PROP. 2, dunque la radice quadrata di 2 è un numero irrazionale (ovvero ha una rappresentazione decimale illimitata e non periodica) le cui prime quattro cifre decimali sono quelle trovate innanzi, ossia
2 = 1,4142…… Da quanto dimostrato sopra consegue, evidentemente, che Q gode di tutte le proprietà di R ad eccezione della completezza; infatti se così non fosse, 2 sarebbe un numero razionale. Con procedimento analogo al precedente si può dimostrare la seguente proposizione PROP. 3 - Se *0 edx n≥ ∈ , esiste uno ed un solo numero reale positivo y tale che yn = x. Tale numero si chiama radice n-sima aritmetica di x e si denota con n x . OSS. 1 - Abbiamo visto che 2 è un numero irrazionale, rappresentato sulla retta cartesiana dal
punto P' ottenuto facendo ruotare la diagonale OP del quadrato di lato 1 intorno all'origine O. Ciò vuol dire che, dopo aver rappresentato sulla retta cartesiana tutti i numeri razionali, su di essa restano infiniti "vuoti". Questi ultimi vengono colmati dai numeri irrazionali, e ciò grazie alla corrispondenza biunivoca tra punti della retta e numeri reali.
Si pone la seguente DEF. 1 - Se x ∈ R, si definisce valore assoluto di x il numero reale
se 0se 0
x xx
x x≤⎧
= ⎨− <⎩
Dalla definizione conseguono le seguenti proprietà
1) ( ): 0 e 0 ( 0)x x x x∀ ∈ ≤ = ⇔ =
2) :x x x∀ ∈ − =
3) 2:x x x∀ ∈ =
4) : (cioè e )x x x x x x x x∀ ∈ − ≤ ≤ ≤ − ≤
5) :x x y x y∀ ∈ ⋅ = ⋅
6) *, :xxx y
y y∀ ∈ ∀ ∈ =
7) ( ) ( ) ( )( )0 :a x a x a x a∀ ≥ = ⇔ = ∨ = −
8) ( )0 : ( )a x a a x a∀ ≥ ≤ ⇔ − ≤ ≤
9) ( ) ( ) ( )( )0 :a x a x a a x∀ ≥ ≥ ⇔ ≤ − ∨ ≤
10) , :x y x y x y∀ ∈ + ≤ + (disuguaglianza triangolare)
11) , :x y x y x y∀ ∈ − ≤ −
P
P’O 1
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Dim. - La 3) consegue dall'uguaglianza |x|2 = x2 e dalla definizione di radice quadrata. Per dimostrare la 10) basta osservare che ex x x y y y− ≤ ≤ − ≤ ≤ e, quindi, sommando membro a membro
( )x y x y x y− + ≤ + ≤ + donde, a causa della 8),
|x + y| ≤ |x| + |y| Esercizi - Si risolvano le seguenti equazioni e disequazioni: 1) | 3x - 2| ≤ 1; 2) |x + 4| > 2; 3) |3x - 2| = |5x + 4|; 4) |9x2 + 4x| ≤ -2.
La 1) equivale a -1 ≤ 3x - 2 ≤ 1, cioè 1 ≤ 3x ≤ 3, ovvero 31 ≤ x ≤ 1.
La 2) equivale a (x + 4 > 2) ∨ (x + 4 < -2), ovvero (x > -2) ∨ (x < -6). Quanto alla 3) si noti che essa equivale a
(3x - 2 = 5x + 4) ∨ (3x - 2 = -(5x + 4)) cioè
(x = -3) ∨ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
41x
La 4) non ha soluzione perché il valore assoluto è sempre positivo. Si pone la seguente DEF. 2 - Se a, b ∈ R ed a ≤ b, i seguenti sottoinsiemi di R
[ ]ba, = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} ] [ba, = {x ∈ R : a < x < b} [ [ba, = {x ∈ R : a ≤ x < b} ] ]ba, = {x ∈ R : a < x ≤ b}
si chiamano rispettivamente intervallo chiuso, aperto, semiaperto a destra, semiaperto a sinistra, di estremi a e b. La differenza b - a dicesi ampiezza dell'intervallo. Il numero
2ba + dicesi centro dell'intervallo.
Se poi a ∈ R, i sottoinsiemi di R [ [+∞,a = {x ∈ R : a ≤ x} ] [+∞,a = {x ∈ R : a < x}
si chiamano rispettivamente intervallo illimitato superiormente chiuso, aperto, di estremo a. Mentre i sottoinsiemi
] ]a,∞− = {x ∈ R : x ≤ a} ] [a,∞− = {x ∈ R : x < a}
si chiamano rispettivamente intervallo illimitato inferiormente chiuso, aperto, di estremo a. OSS. 2 - È evidente che se a ≤ b, allora
] [ ] ] [ ]bababa ,,, ⊂⊂ , ] [ [ [ [ ]bababa ,,, ⊂⊂ e che se a = b, allora
] [ ] ] [ [ ∅=== bababa ,,, , [ ]ba, = {a} Su una retta cartesiana gli intervalli sono rappresentati da segmenti privati, oppure no, di qualche estremo, e da semirette private, oppure no, dell'origine.
a b [ ]ba, ] [+∞,c
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x0 - r x0 x0+r a b
CONVENZIONE 1 - Si pone
R+ = [ [+∞,0 , R − = ] ]0,∞− , R *+ = ] [+∞,0 , R *
− = ] [0,∞− e si chiamano positivi (risp. strettamente positivi) gli elementi di R+ (risp. R *
+ ), negativi (risp. strettamente negativi) gli elementi di R − (risp. R *
− ). In seguito considereremo alcuni tipi particolari di intervalli, detti intorni. A tal fine si pone la seguente DEF. 3 - Se x0 ∈ R ed r ∈ R *
+ , si chiama intorno di x0 di raggio r l'intervallo aperto di estremi x0 - r e x0 + r, cioè
] [rxrx +− 00 , . L'insieme degli intorni di x0 si denota con ℑ(x0). Si chiama, invece, intorno di +∞ (risp. -∞) ogni intervallo del tipo
] [∞+,a (risp. ] [a,∞− ) con a ∈ R. L'insieme degli intorni di +∞ (risp. -∞) si denota con ℑ(+∞) (risp. ℑ(-∞)). OSS. 3 - Ogni intervallo aperto di dati estremi è intorno del suo centro. Infatti se ] [ba, è un siffatto
intervallo, denotato con x0 il suo centro, cioè posto x0 = 2
ba + , e posto r = 2
ab − , risulta
a = x0 - r, b = x0 + r e, quindi,
] [ba, = ] [rxrx +− 00 , .
Dalla definizione di intorno e dalle proprietà del valore assoluto conseguono le seguenti proprietà 1) ∀ x0 ∈ R, ∀ r ∈ R *
+ : (x ∈ ] [rxrx +− 00 , ⇔ | x - x0 | < r) 2) ∀ x0 ∈ R, ∀ r ∈ R *
+ : (x ∈ ] [rxrx +− 00 , - {x0} ⇔ 0 < | x - x0 | < r) 3) ∀ x0 ∈ R, ∀ r, r' ∈ R *
+ : (r < r' ⇒ ] [rxrx +− 00 , ⊂ ] [',' 00 rxrx +− ) 4) ∀ x0 ∈ R, ∀ r, r' ∈ R *
+ : (r < r' ⇒ ] [rxrx +− 00 , ∩ ] [',' 00 rxrx +− = ] [rxrx +− 00 , ) CONVENZIONE 2 - Si pone per ogni x ∈ R -∞ < x, x
< +∞. Si pone, inoltre
-∞ < +∞. Dopo ciò, denotato con
R̂ = R ∪ {-∞} ∪ {+∞} si prova facilmente che la relazione di totale ordine ≤ su R, estesa ad R̂ come sopra, è una relazione di totale ordine su R̂ . R̂ si chiama insieme ampliato dei numeri reali. Si noti che si può rappresentare R̂ mettendo in relazione i punti di una semicirconferenza e quelli di R̂ . (v. figura)
P → P'
c
A BO
P
P’
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A → -∞ B → +∞ Richiami sulle equazioni e disequazioni di 2° grado Si consideri l'equazione di 2° grado (*) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) e si ponga
Δ = b2 - 4ac (Δ si chiama discriminante di (*)) Si prova che
1) se Δ > 0, allora l'equazione (*) ha due soluzioni reali e distinte date da
x1,2 = a
b2
Δ±− (formula risolutiva di (*))
oppure se b = 2k (k ∈ R), allora
x1,2 = a
ackk −±− 2
(formula risolutiva ridotta di (*))
2) se Δ = 0, allora l'equazione (*) ha una sola soluzione reale o, come si suol dire, due soluzioni reali e coincidenti date da
x1 = x2 = ab
2−
3) se Δ < 0, allora l'equazione (*) non ammette soluzioni reali o, come si suol dire, è impossibile. Si noti che se Δ ≥ 0 allora
4) x1 + x2 = ab
− e x1 ⋅ x2 = ac
da cui consegue ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).
Si noti che le uguaglianze 4) sono utili, a volte, per il calcolo diretto (cioè senza l'uso della formula risolutiva) delle soluzioni di (*). Per quanto riguarda, invece, la risoluzione di una disequazione di 2° grado, cioè di una disequazione del tipo
ax2 + bx + c > 0 oppure ax2 + bx + c < 0 si ha quanto segue:
5) Δ > 0 (x1 < x2)
] [ ] [] [] [] [ ] [⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨⎧
+∞∪∞−∈⇔<++
∈⇔>++<
⎪⎩
⎪⎨⎧
∈⇔<++
+∞∪∞−∈⇔>++>
,,0
,00
,0,,0
0
212
212
212
212
xxxcbxax
xxxcbxaxa
xxxcbxaxxxxcbxax
a
6) Δ = 0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −==
abxx
221
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨⎧
−≠⇔<++
>++<
⎪⎩
⎪⎨⎧
<++
−≠⇔>++>
abxcbxax
xdivalorenessunpercbxaxa
xdivalorenessunpercbxaxabxcbxax
a
20
00
02
00
2
2
2
2
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP. II
11
7) Δ < 0
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
<++
>++<
⎩⎨⎧
<++
>++>
xdivaloriituttipercbxaxxdivalorenessunpercbxax
a
xdivalorenessunpercbxaxxdivaloriituttipercbxax
a
00
0
00
0
2
2
2
2
Le 5), 6) e 7) si riassumono nella seguente regola. Il trinomio di 2° grado ax2 + bx + c
5') se Δ > 0, assume valori di segno concorde col segno di a (cioè del suo primo coefficiente) per tutti i valori di x esterni all'intervallo che ha per estremi le radici dell'equazione ax2 + bx + c = 0, mentre assume valori di segno discorde col segno di a per tutti i valori di x interni all'intervallo che ha per estremi le suddette radici;
6') se Δ = 0, assume valori di segno concorde col segno di a per tutti i valori di x diversi
da ab
2− , mentre non assume mai valori di segno discorde col segno di a;
7') se Δ < 0, assume valori di segno concorde col segno di a per tutti i valori di x.
Esercizi - Si risolvano le seguenti disequazioni:
x2 - 5x + 6 < 0; 2x2 + 1 > 4x; (x + 2)(x - 5) < 0; x2 - 25 ≥ 0; -x2 + 9x - 14 > 0; 2x2 - 3x + 5 > 0; x2 - 6x + 9 > 0; x2 - x + 5 < 0; Si risolvano le seguenti disequazioni razionali fratte:
1) 2
51
2+
≥− xx
2) 12
13 −
−≤
− xx
xx
Risolviamo la 1).
0)2)(1(
930)2)(1(
)1(5)2(202
51
22
51
2≥
+−+−
⇔≥+−
−−+⇔≥
+−
−⇔
+≥
− xxx
xxxx
xxxx.
Si ha dunque
] [ ] [+∞∪−∞−∈⇔>+−≤⇔≥+−
,12,0)2)(1(3093
xxxxx
ovvero riportando le soluzioni su un grafico (con tratto continuo si tracciano gli intervalli in cui una disequazione è soddisfatta, con tratto discontinuo gli intervalli in cui la stessa disequazione non è soddisfatta) -2 1 3 Pertanto la 1) è soddisfatta per tutti gli
] [ ] ]3,12, ∪−∞−∈x Risolviamo la 2).
0)12)(3(
330)12)(3(
)1)(3()12(12
13
2
≤−−
−+⇔≤
−−−−−−
⇔−
−≤
− xxxx
xxxxxx
xx
xx
Si ha
0)2)(1(093
>+−≥+−
xxx
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP. II
12
2213 −−
2213 +−
21
2 3 21 3 213 3 0 , ,2 2
1(3 )(2 1) 0 ( 3)(2 1) 0 ,32
x x x
x x x x x
⎤ ⎤ ⎡ ⎡− − − ++ − ≥ ⇔ ∈ − ∞ ∪ +∞⎥ ⎥ ⎢ ⎢
⎦ ⎦ ⎣ ⎣⎤ ⎡− − > ⇔ − − < ⇔ ∈ ⎥ ⎢⎦ ⎣
dunque graficamente 3
0)12)(3(0332
>−−≥−+
xxxx
Pertanto la 2) è soddisfatta per tutti gli
] [3 21 1 3 21, , 3,2 2 2
x⎤ ⎤ ⎤ ⎤− − − +
∈ −∞ ∪ ∪ +∞⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ ⎦ ⎦ ⎦
Estremi di un insieme numerico Chiameremo insieme numerico ogni sottoinsieme non vuoto di R. Si pone la seguente DEF. 4 - Se X è un insieme numerico e se esiste m ∈ X tale che
∀ x ∈ X : m ≤ x allora si dice che m è il minimo (o più piccolo elemento) di X e questo si denota con min X. Se poi esiste M ∈ X tale che
∀ x ∈ X : x ≤ M allora si dice che M è il massimo (o il più grande elemento) di X e questo si denota con max X.
OSS. 4 - Pertanto si ha
m = min X ⇔ ⎩⎨⎧
≤∈∀°∈°
xmxm
:X)2X)1
e
M = max X ⇔ ⎩⎨⎧
≤∈∀°∈°
MxxM
:X)2X)1
OSS. 5 - Non è detto che il minimo o il massimo di un insieme numerico X esista sempre; se esiste, però, esso è unico. Ad esempio si ha
min [a, b] = a, max [a, b] = b. Ma se a < b non esistono il min ] [ba, e il max ] [ba, ; invece esiste il minimo di [ [ba, ed
è a, ma non esiste il max [ [ba, . OSS. 6 - Se esistono il minimo ed il massimo di X si ha sempre
min X ≤ max X. Ricordiamo che un insieme numerico X si dice finito se esiste n ∈ N* ed esiste una applicazione bigettiva f : {1, 2, …, n} → X. Tale intero n è unico e prende il nome di numero cardinale (o numero degli elementi) di X, e si denota con card (X). Ad esempio sono finiti gli insiemi del tipo {1, 2, …, n} o {p+1, p+2, …, p+n} con p, n ∈ N*, mentre sono infiniti gli insiemi N, Z, Q, R ed ogni intervallo non vuoto e non ridotto ad un solo elemento. Si dimostra la seguente PROP.4 - Ogni insieme numerico finito ha minimo e massimo. Inoltre ogni sottoinsieme non vuoto di N ha minimo (ma non sempre il massimo).
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP. II
13
Si pone, poi, la seguente DEF. 5 - Se X è un insieme numerico e se esiste a ∈ R tale che
∀ x ∈ X : x ≤ a (risp. a ≤ x) si dice che X è limitato superiormente (risp. inferiormente) ed a dicesi maggiorante (risp. minorante) di X. Si dice, poi, che X è limitato se è limitato inferiormente e superiormente, ossia se esistono a e b numeri reali tali che
∀ x ∈ X : a ≤ x ≤ b. OSS.7 - Se a è un minorante (risp. maggiorante) di X, allora ogni numero minore (risp. maggiore) di a è un minorante (risp. maggiorante) di X. Pertanto se X è limitato inferiormente (risp. superiormente), allora l'insieme dei suoi minoranti (risp. maggioranti) è infinito. Esempi - Se a < b, allora gli intervalli
[ ] ] [ [ [ ] ]babababa ,,,,,,, sono limitati ma infiniti, mentre gli intervalli
[ [+∞,a e ] [+∞,a sono illimitati superiormente ed infiniti; infine gli intervalli
] ]a,∞− e ] [a,∞− sono illimitati inferiormente ed infiniti. OSS.8 - Se X ha minimo (risp. massimo), allora X è limitato inferiormente (risp. superiormente).
Il viceversa non è vero; se, però, un minorante (risp. maggiorante) a di X appartiene ad X, allora a = min X (risp. a = max X).
Dalla OSS.8 e dalla PROP.4 consegue la PROP.5 - Ogni insieme finito è limitato (e, quindi, ogni insieme illimitato è infinito). OSS.9 - In generale non è vero che un insieme limitato sia finito, oppure che un insieme infinito
sia illimitato: ad esempio un intervallo [a,b], con a < b, è infinito ma limitato. Dalla definizione di insieme limitato superiormente (risp. inferiormente) e, conseguentemente, di insieme illimitato (cioè non limitato) superiormente (risp. inferiormente) consegue la PROP.6 - Un insieme numerico X è illimitato superiormente se e solo se
∀ α ∈ R ∃ x ∈ X t.c. α < x Analogamente X è illimitato inferiormente se e solo se
∀ α ∈ R ∃ x ∈ X t.c. x < α. Si noti che un insieme numerico può essere limitato inferiormente (risp. superiormente) senza avere minimo (risp. massimo), come accade per un intervallo non vuoto e aperto ] [ba, . Perciò si introduce un concetto sostitutivo di quello di minimo e di massimo, cioè il concetto di estremo superiore ed estremo inferiore. Per far ciò premettiamo la seguente PROP.7 - Se X è limitato inferiormente, allora l'insieme dei suoi minoranti è dotato di massimo. Se X è limitato superiormente, allora l'insieme dei suoi maggioranti è dotato di minimo. Dim. - Sia X limitato inferiormente. Dunque è non vuoto l'insieme dei minoranti di X. Denotato con M tale insieme, cioè posto
M = {α ∈ R : ∀ x ∈ X : α ≤ x} risulta
∀ α ∈ M, ∀ x ∈ X : α ≤ x.
Allora, a causa dell’assioma di completezza (cfr. pag. 3), esiste un elemento di separazione degli insiemi M ed X, cioè esiste ℓ ∈ R tale che
∀ α ∈ Μ, ∀ x ∈ Χ : α ≤ ℓ ≤ x.
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP. II
14
Da ciò consegue che ℓ è un minorante di X (quindi ℓ ∈ Μ) e che ℓ è il più grande elemento di M. Analogamente si dimostra la seconda parte della proposizione . Ciò giustifica la seguente DEF. 6 – Se X è limitato inferiormente, si chiama estremo inferiore di X, e si denota con infX, il più
grande elemento dell’insieme dei minoranti di X. Se X, invece, è limitato superiormente, si chiama estremo superiore di X, e si denota con supX, il più piccolo elemento dell’insieme dei maggioranti di X.
OSS. 10 – Se X è limitato inferiormente (risp. superiormente) ed M è l’insieme dei suoi minoranti
(risp. maggioranti), si ha: infX = maxM (risp. supX = minM)
Sussistono le seguenti due proposizioni. PROP. 8 – Se X è limitato, allora
infX ≤ supX PROP. 9 – Se X è dotato di massimo (risp. di minimo), allora
supX = maxX (risp. infX = minX)
OSS. 11 – Non è sempre vero che se X è limitato superiormente (risp. inferiormente) X è dotato di massimo (risp. di minimo). Se, però, supX ∈ X (risp. infX ∈ X), allora X ha massimo (risp. minimo) e risulta
maxX = supX (risp. minX = infX)
Molto utili sono le seguenti caratterizzazioni dell’estremo inferiore ed estremo superiore. PROP. 10 – (Proprietà caratteristiche dell’estremo superiore) – Se X è limitato superiormente e se
ℓ ∈ R, allora sono equivalenti le seguenti proposizioni:
a) ℓ = supX
b) .. 0 )2
:)1
⎩⎨⎧
<−∈∃>∀≤∈∀
x ctXxxXx
εε
Dim. a) ⇒ b). Per ipotesi ℓ è il più piccolo dell’insieme dei maggioranti di X. Dunque ℓ è un
maggiorante di X, cioè è vera la 1) della b). Se poi, si considera ε > 0 , essendo ℓ − ε < ℓ, non può essere ℓ − ε un maggiorante di X in quanto ℓ è più piccolo dei maggioranti di X. Pertanto esiste x ∈ Χ t.c. ℓ − ε < x e, quindi, è vera la 2) della b). b) ⇒ a) Supponiamo vera la b). La 1) della b) esprime che ℓ è un maggiorante di X. Proviamo, ora, che ℓ è il più piccolo dei maggioranti di X e cioè, che ℓ è minore o uguale di ogni maggiorante di X. Infatti se, per assurdo, ciò non fosse vero, allora esisterebbe un maggiorante ℓ′ di X tale che ℓ′ < ℓ.
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP. II
15
Posto ε = ℓ − ℓ′ si ha ℓ′ = ℓ − ε e, per la 2) della b), esiste x ∈ Χ tale che ℓ − ε < x, ovvero ℓ′ < x. Ma ciò contraddice l’ipotesi che ℓ′ è maggiorante di X. Pertanto è vero che ℓ è il più piccolo dei maggioranti di X, cioè è vera la a).
In modo analogo si dimostra la PROP 11 – (Proprietà caratteristiche dell’estremo inferiore) – Se X è limitato inferiormente e se
ℓ ∈ R , allora sono equivalenti le seguenti proposizioni:
a) ℓ = infX
b) ⎩⎨⎧
+<∈∃>∀≤∈∀
εε x t.c.X x 0 )2:)1 xXx
Si adotta poi la seguente CONVENZIONE 3 – Se X non è limitato inferiormente (risp. superiormente) si pone
infX = - ∞ (risp. supX = + ∞)
Dalla PROP. 5 consegue, dunque, la seguente PROP. 12 – Se X è un insieme numerico, allora sono equivalenti le seguenti proposizioni:
a) infX = − ∞ (risp. supX = + ∞) b) ∀ α ∈ R ∃ x ∈ Χ t.c. x < α (risp. ∀ α ∈ R ∃ x ∈ Χ t.c. α < x ).
Dimostriamo la seguente PROP. 13 – L’insieme N degli interi naturali è illimitato superiormente. Dim. – Supponiamo per assurdo che N sia limitato superiormente. Allora, posto ℓ = sup N, si ha
che ℓ ∈ R e, per la PROP. 10, esiste n ∈ N tale che ℓ − 1 < n, cioè ℓ < n + 1. Ciò è assurdo in quanto, essendo ℓ un maggiorante di N, risulta n + 1 ≤ ℓ.
COR. 1 – (Proprietà Archimedea) – Per ogni a ∈ R *
+ e per ogni b ∈ R esiste n ∈ N tale che na > b. Dim. Se a ∈ R *
+ e b ∈ R, poiché N è illimitato superiormente allora esiste n ∈ N tale che b/a < n (cfr. PROP. 12), ovvero na > b.
COR. 2 – (Densità di Q in R) – Per ogni a, b ∈ R tale che a < b, esiste q ∈ Q tale che
a < q < b. Dim. Se a, b ∈ R ed a < b, per il COR. 1 esiste n ∈ N tale che n(b − a) > 1. Fissato un tale n, sia
m il più piccolo intero > na. Dunque si ha
m - 1 ≤ na < m e quindi
na < m ≤ na + 1 < nb
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP. II
16
da cui, posto q =nm , consegue
a < q < b
COR. 3 – Per ogni a, b ∈ R tali che a < b esiste α ∈ R − Q tale che a < α < b.
Dim. Se a, b ∈ R ed a < b, si ha anche 22
ba< e quindi, per il COR. 2 esiste q ∈ Q tale che
22bqa
<<
e da ciò consegue
2a q b< <
Posto α = 2q si ha che α ∈ R − Q ed a < α < b.
ESERCIZI
1) Se a < b, allora
inf ] a , b [ = inf ] a , b ] = inf [ a , b [ = inf [ a, b ] = a e
sup ] a , b [ = sup ] a , b ] = sup [ a , b [ = sup [ a, b ] = b Dim. – Proviamo ad esempio che inf ] a , b [ = a. A tal fine dimostriamo che a soddisfa le proprietà
caratteristiche dell’estremo inferiore di ] a , b [ (cfr. PROP. 11). Infatti si ha:
∀ x ∈ ] a , b [ : a < x
e quindi è soddisfatta la prima della b) della PROP. 11. Sia, ora, ε > 0 e sia c = min {a + ε, b}. Poiché a < b ed a < a + ε, si ha anche a < c. Allora considerato x ∈ ] a , c [ si ha che x ∈ ] a , b [ ed x < a + ε; dunque è soddisfatta anche la seconda della b) della PROP. 11, pertanto a = inf ] a , b [. Si noti che inf [ a , b [ = inf [ a, b ] = a in quanto min [ a , b [ = min [ a, b ] = a.
2) Se a ∈ R risulta inf ] a , +∞ [ = inf [ a , +∞ [ = a; sup ] a , +∞ [ = sup [ a , +∞ [ = +∞ e sup ] −∞ , a [ = sup ] −∞ , a ] = a; inf ] −∞ , a [ = inf ] −∞ , a ] = −∞
3) Risulta
inf R = inf R − = inf R *− = −∞; sup R − = sup R *
− = 0 e sup R = sup R + = sup R *
+ = +∞; inf R + = inf R *+ = 0
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP. II
17
4) Se A e B sono insiemi numerici limitati, allora
Sup (A ∪ B) = max { supA, supB} ed inf (A ∪ B) = min {infA, infB}
5) Se A e B sono insiemi numerici limitati e se A ⊂ B, allora
supA ≤ supB , infB ≤ infA.
Se poi A e B sono dotati di massimo (risp. di minimo), allora maxA ≤ maxB, minB ≤ minA
Estremi di una funzione reale Sia X un insieme numerico e sia ƒ : X → R una funzione reale definita in X. Si pone la seguente DEF. 7 – Si chiama immagine di ƒ l’insieme numerico
ƒ(X) = {y ∈ R : ∃ x ∈ X t.c. y = ƒ(x)}
ossia l’insieme dei valori di ƒ. Più in generale, se A ⊂ X, si chiama immagine per ƒ di A l’insieme
ƒ(A) = {y ∈ R : ∃ x ∈ A t.c. y = ƒ(x)}.
Ciò premesso, in quel che segue riferiremo tutti i concetti relativi ad un insieme numerico (minimo, massimo, maggiorante, minorante, estremo superiore, estremo inferiore) all’insieme ƒ(X) immagine di ƒ. Si pone, dunque, la seguente DEF.8 – Se esiste il minimo (risp. il massimo) di f(X), si dice che esiste il minimo (risp. il massimo)
di f e si denota con
minx X∈
ƒ(X) (risp. maxx X∈
ƒ(X))
OSS.12 – Pertanto se m ∈ R si ha
m = minx X∈
ƒ(x)⇔ 0 01 ) t.c. ( ) (cioè ( ))2 ) : ( ) (cioè ( ) : )
x X m x m Xx X m x y X m y
° ∃ ∈ = ƒ ∈ ƒ⎧⎨ ° ∀ ∈ ≤ ƒ ∀ ∈ ƒ ≤⎩
e analogamente
m = maxx X∈
ƒ(x)⇔ 0 01 ) t.c. ( ) (cioè ( ))2 ) : ( ) (cioè ( ) : )
x X m x m Xx X x m y X y m
° ∃ ∈ = ƒ ∈ ƒ⎧⎨ ° ∀ ∈ ƒ ≤ ∀ ∈ ƒ ≤⎩
Dunque dire che ƒ è dotata di minimo (risp. di massimo) significa che
∃ x0 ∈ Χ t.c ∀ x ∈ X : ƒ(x 0 ) ≤ ƒ(x) (risp. ƒ(x) ≤ ƒ(x 0 ))
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP. II
18
Si pone anche la seguente DEF.9 – Si chiama minorante (risp. maggiorante) di ƒ ogni minorante (risp. maggiorante) di ƒ(X).
Si dice che ƒ è limitata inferiormente (risp. superiormente) se esiste almeno un minorante (risp. maggiorante) di ƒ. Si dice che ƒ è limitata se è limitata inferiormente e superiormente.
OSS.13 – Pertanto ƒ è limitata inferiormente (risp. superiormente) se
∃ a ∈ R t.c. ∀ x ∈ X : a ≤ ƒ(x) (risp. ƒ(x) ≤ a)
Infine si dà la seguente DEF.10 – Si chiama estremo inferiore (risp. superiore) di ƒ l’estremo inferiore (risp. superiore) di
ƒ(X) e si denota con
inf ( )x X
f x∈
Xx
xfrisp∈
))(sup.(
OSS.14 – Pertanto se f è limitata inferiormente (risp. superiormente) l’estremo inferiore (risp.
superiore) di f è il più grande (risp. il più piccolo) elemento dell’insieme dei minoranti (risp. maggioranti) di f.
Se invece f non è limitata inferiormente (risp. superiormente) allora si ha:
inf ( )x X
f x∈
= −∞ ( . sup ( ) )x X
risp f x∈
= +∞
Dalle PROP.9 e PROP.10 conseguono le seguenti altre due. PROP.14 – Se f è limitata inferiormente ed ∈R, allora sono equivalenti le seguenti proposizioni:
a) inf ( )x X
f x∈
=
b) ⎩⎨⎧
+<∈∃>∀≤∈∀
εε )(. t.c 0)2)(:)1
xfXxxfXx
PROP.15 – Se f è limitata superiormente ed ∈R, allora sono equivalenti le seguenti proposizioni:
a) sup ( )x X
f x∈
=
b) 1) : ( )2) 0 t.c. ( )
x X f xx X f xε ε
∀ ∈ ≤⎧⎨ ∀ > ∃ ∈ − <⎩
Evidentemente sussiste anche la seguente PROP.16 – Sono equivalenti le seguenti proposizioni:
a) inf ( )x X
f x∈
= −∞ ( . sup ( ) )x X
risp f x∈
= +∞
b) ∈∀α R ))( risp. ()(. t.c xfxfXx <<∈∃ αα Esempi – 1) Data la funzione f: ] [ →1,0 R definita ponendo
] [1
)(:1,0+
=∈∀x
xxfx
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP. II
19
si ha
] [ .21,0)1,0( ⎢⎣
⎡⎥⎦⎤=f
Infatti si ha per ogni ] [1,0∈x
−=+
= 11
)(x
xxf1
1+x
e quindi
] [ ;21
1110
21
1111
11
21211101,0 <
+−<⇒−<
+−<−⇒<
+<⇒<+<⇒<<⇒∈
xxxxxx
da ciò consegue che
] [ .21,0)1,0( ⎢⎣
⎡⎥⎦⎤⊂f
D’altra parte se ] [ ,)( ed 1,0 che ha si,1
posto,21,0 yxfx
yyxy =∈−
=⎢⎣⎡
⎥⎦⎤∈ ossia
] [).1,0(21,0 f⊂⎢⎣
⎡⎥⎦⎤
Dall’uguaglianza ] [ ⎢⎣⎡
⎥⎦⎤=
21,0)1,0(f segue che f è limitata e risulta
] [ ] [.
21
21,0sup)(sup , 0
21,0inf)(inf
1,01,0=⎢⎣
⎡⎥⎦⎤==⎢⎣
⎡⎥⎦⎤=
∈∈xfxf
xx
2) Si consideri la funzione f: R → R definita ponendo
∈∀x R : .12)( −= xxf
Poiché risulta f (R) = R, si ha allora
inf ( )x X
f x∈
= −∞ , sup ( )x X
f x∈
= +∞
Rappresentazione geometrica di R 2 In un piano α assegniamo due rette ortogonali x ed y ed indichiamo con O il loro punto d’intersezione . Fissiamo anche su ciascuna di esse un riferimento cartesiano di origine O (in particolare i punti unità U 1 ed U 2 dell’asse x e dell’asse y rispettivamente, si possono fissare di guisa che 21 OUU =Ο ). Quando ciò si sia fatto, si dice allora che si è fissato sul piano α un riferimento cartesiano ortogonale (x,y) e le rette x ed y si chiamano assi cartesiani ortogonali del riferimento.
Se P α∈ , indichiamo con P ) (risp. yx P la proiezione ortogonale di P su x (risp. su y) e con x P (risp. Py ) l’ascissa di ) (risp. yx PP rispetto al riferimento cartesiano su x (risp. su y). Il numero reale x P si chiama ascissa (o prima coordinata) di P; il numero reale Py si chiama ordinata (o seconda coordinata) di P.
x
y
yP
2U
1U xP
Px
PPy
O
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP. II
20
In tal modo resta definita una applicazione di α in R2 (= R x R)
),( PP yxP
Si prova che tale applicazione è bigettiva, cioè risulta
1) ' '' ( ) ( )P P P PP P x x y y≠ ⇒ ≠ ∨ ≠ e
2) ∈∀ ),( yx R 2 t.c. ( ) ( )P PP x x y yα∃ ∈ = ∧ =
Gli assi x ed y si chiamano rispettivamente asse delle ascisse (o asse delle x) e asse delle ordinate (o asse delle y). Noi supporremo sempre che i punti unità U 1 ed U 2 siano equidistanti da O e che gli assi siano disposti come in figura. Da 1) e 2), poi, consegue che se (x, y) ∈ R2, ad (x, y) resta associato un unico punto P del piano α , quello per cui xP = x e yP = y; tale punto prende il nome di immagine di (x, y) su α (oppure rappresentazione geometrica di (x,y) su α ). Ciò consente di rappresentare geometricamente, sul piano α , un qualsiasi sottoinsieme di R 2 . Ad esempio se dcba ≤≤ e , l’insieme
[ ] [ ], , a b c d×
è rappresentato sul piano α da un rettangolo di dimensioni cdab −− e (vedi fig.1) mentre gli insiemi
[ ]×ba, R ed R [ ]dc,× sono rappresentati da due strisce (vedi fig. 2 )
Sul piano α si può rappresentare anche il grafico di una funzione reale definita in un insieme numerico.
d
c
fig. 1
y
x
y
x
fig. 2
• • a b O a b
c
d
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP. II
21
Ricordiamo, intanto, che se X ed Y sono insiemi qualsiasi e se YXf →: è una funzione di X in Y, denotato con )(xf il valore di f nell’elemento x di X, il grafico di f è, per definizione, il sottoinsieme di X x Y dato da
( ){ }.)(:, xfyYXyxG f =×∈=
In particolare, se X è un insieme numerico ed →Xf : R, allora 2RR ⊂×⊂ XG f , dunque fG si può rappresentare sul piano α .
Ad esempio se [ ] R→5,1:f è la funzione costante di costante valore 2 definita nell’intervallo [ ]5,1 , il grafico di f è rappresentato su α dal segmento (parallelo all’asse delle x) di estremi (1,2) e (5,2). Mentre la funzione identica di R, cioè la funzione RRR →:i definita ponendo, per ogni R∈x ,
xxi =)(R ha come grafico l’insieme
{ }yxyxGi =∈= :),( 2RR
dunque è rappresentato su α alla bisettrice del I e III quadrante. Più in generale se R∈ba, con
0≠a e se RR →:,baf è la funzione definita ponendo, per ogni R∈x ,
baxxf ba +=)(,
allora il grafico di baf , è rappresentato dalla retta del piano passante per i punti ,0 e (0, )b ba
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
. In
particolare 1,2f ha come grafico la retta passante per i punti 1 ,0 e (0,1)2
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
, come in figura.
Si noti che il grafico di baf , è una retta in quanto per ogni
R∈21 , xx con 21 xx ≠ risulta costante il rapporto
)()()(
12
1,2, axx
xfxf baba =−
−
2(1,2) (5,2)
21
−
x 1 5
fG
iG
y
x
2,1fG 1
y
x 1 x 2 x 3
y
x
f )( 3, xba f )( 2, xba
f )( 1, xba
E
DC
AB
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP. II
22
Dunque se 321 e , xxx sono numeri reali distinti allora
23
2,3,
12
1,2, )()()()(xx
xfxfxx
xfxf babababa
−
−=
−
−
pertanto i triangoli ABC e CDE sono simili e , quindi, gli angoli ECDCAB ˆ e ˆ sono uguali: da ciò consegue che:
°=+=+ 90ˆˆˆˆ CABBCAECDBCA
e quindi, essendo °= 90ˆDCB , si ha che l’angolo ed , ossia ,180ˆ ECAECA °= sono allineati. Il grafico della funzione baf , risulta, pertanto, una retta. L’uguaglianza
, ( ) (cioè )a by f x y ax b= = + prende il nome di equazione della retta ed a prende il nome di pendenza (o coefficiente angolare) della retta.