Biologia computazionale
A.A. 2010-2011 semestre II
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANODocente: Giorgio Valentini
Istruttore: Matteo Re
5 Evoluzione e filogenesi - 2
C.d.l. Biotecnologie Industriali e Ambientali
Metodi basati su:
• Distanza• Massima parsimonia (minima evoluzione)• Massima verosimiglianza
Abbiamo già discusso un medoto basato su distanze:
UPGMA
Costruzione di alberi filogenetici:Classi di metodi disponibiliBio CS
Abbiamo già discusso un medoto basato su distanze:
UPGMA
Costruzione di alberi filogenetici:Classi di metodi disponibiliBio CS
Abbiamobisogno di altri metodi?
Cosa non va in UPGMA? (rivediamo l’esempio…)
Costruzione di alberi filogenetici:problemi con UPGMA…Bio CS
A B C D
A 0 6 6 7
B 0 4 5
C 0 3
D 0 A B C D
Quest’albero … implica che la distanza tra B e C ha lo stesso valore della distanza tra B e D?
Ma la matrice delle distanze non conteneva valori diversi?
?
Costruzione di alberi filogenetici:problemi con UPGMA…Bio CS
• UPGMA calcola la media delle due distanze e pone sia C che D alla medesima distanza (1.5) da B …
• Cosa succede se le velocità evolutive dopo la divergenza sono diverse?
A B C D
A B C D
A 0 7 6 7
B 0 4 5
C 0 3
D 0
4
.5.5
1 22.5
NB: è un effetto dell’ipotesi dell’orologio molecolare!
Costruzione di alberi filogenetici:problemi con UPGMA…Bio CS
TAXA MOLTO SIMILI
• Velocità evolutive differenti (non contemplate dall’ipotesi dell’orologio molecolare) possono causare problemi a UPGMA
• Specialmente nel caso di taxa molto simili (distanze molto piccole)!
A B C
A 0 4 3
B 0 3
C 0
A B C
1
2 11
Questo albero
Produce questa matrice..che produce quest’albero
BCA
… e i due alberi sono DIVERSI !
Costruzione di alberi filogenetici:CronogrammiBio CS
Alberi ultrametrici( cronogrammi)
Le distanze (nei cronogrammi) devono obbedire a 4 regole:
Non-negatività: d(a,b) ≥ 0Distinguibilità: d(a,b) = 0 if and only if a = bSimmetria: d(a,b) = d(b,a)Disug. triangolare: d(a,c) ≤ d(a,b) + d(b,c)
Inoltre devono anche soddisfare la:Condizione dei tre punti: d(a,b) ≤ max( d(a,c), d(b,c) )
1 1 1 12
31
1
13
a b c
10.4 2
1
a c b
Costruzione di alberi filogenetici:CronogrammiBio CS
Alberi ultrametrici( cronogrammi)
Le distanze (nei cronogrammi) devono obbedire a 4 regole:
Non-negatività: d(a,b) ≥ 0Distinguibilità: d(a,b) = 0 if and only if a = bSimmetria: d(a,b) = d(b,a)Disug. triangolare: d(a,c) ≤ d(a,b) + d(b,c)
Inoltre devono anche soddisfare la:Condizione dei tre punti: d(a,b) ≤ max( d(a,c), d(b,c) )
1 1 1 12
31
1
13
a b c
10.4 2
1
a c b
Costruzione di alberi filogenetici:Motivi dei problemi di UPGMABio CS
• UPGMA è molto sensibile alla presenza di velocità evolutive differenti (assume che esse siano uguali su tutti i rami).
• Il clustering funziona SOLO SE i dati sono ultrametrici • Le distanze sono ultrametriche SE soddisfano la ‘condizione dei tre
punti'.
A B C
Per ogni combinazione di tre taxa, le due distanze maggiori devono essere uguali.
Condizione dei tre punti:
A B C
Costruzione di alberi filogenetici:Esempio di errore di UPGMABio CS
A B C D E
B 5
C 4 7
D 7 10 7
E 6 9 6 5
F 8 11 8 9 8
Velocità evolutive non costanti
TOPOLOGIA ERRATA
Costruzione di alberi filogenetici:Esempio di errore di UPGMABio CS
A B C D E
B 5
C 4 7
D 7 10 7
E 6 9 6 5
F 8 11 8 9 8
Velocità evolutive non costanti
TOPOLOGIA ERRATA
Esiste un metodo chiamato Neighbor Joining che avrebbe ricostruito la
topologia dell’albero in modo corretto.
Costruzione di alberi filogenetici:NeighborJoining (NJ)Bio CS
A
B
C
D
a
b
xc
d
A e B sono neighbors (“vicini”) poichè sono connessi da un singolo nodo interno.
Anche C e D sono vicini, ma A e D non lo sono.
Neighbor Joining e costruzione di alberi additivi (filogrammi, lunghezza rami proporzionale a distanze genetiche)
Costruzione di alberi filogenetici:Alberi additiviBio CS
Condizione dei 4 punti
A
B
C
D
dAC + dBD = dAD + dBC = a + b + c + d + 2x = dAB + dCD + 2x
a
b
xc
d
dAB + dCD < dAC + dBD
dAB + dCD < dAD + dBC
Se l’albero è additivo, allora deve essere rispettata la:
vicini non-vicini
Fondamentalmente dice che la distanza tra i vicini è minore di quella tra i non-vicini.
Condizione dei 4 punti
Costruzione di alberi filogenetici:Neighbor Joining (NJ)Bio CS
A
B
C
D
Partiamo da una struttura a stella (nessuna struttura gerarchica)
Lunghezza dell’albero Distanze pair-wise
Numero di taxa
NJ: costruzione dell’albero più corto
Costruzione di alberi filogenetici:Neighbor Joining (NJ)Bio CS
(Saitou and Nei, 1987)
N
i
N
jiij
N
i iY
XX
DN
D
DLL
33
1221
1)3(
1
Possiamo utilizzare queste formule per calcolare la lunghezza del nuovo albero:
N
iiYXX
N
kkkXY LLLNDD
NL
321
321 2))(2()(
)2(2
1
Costruzione di alberi filogenetici:Neighbor Joining (NJ)Bio CS
(Saitou and Nei, 1987)
Ad ogni passo tutte le coppie di vicini vengono esaminate e viene scelta quella che produce l’albero più corto (criterio di minima evoluzione).
Costruzione di alberi filogenetici:Neighbor Joining (NJ)Bio CS
(Saitou and Nei, 1987)
Come nel caso di UPGMA ad ogni ciclo viene aggiunto un ramo interno … ma adesso è sempre il ramo più corto possibile !
Costruzione di alberi filogenetici:Neighbor Joining (NJ)Bio CS
(Saitou and Nei, 1987)
Come nel caso di UPGMA ad ogni ciclo viene aggiunto un ramo interno … ma adesso è sempre il ramo più corto possibile !
Albero non radicato
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Massima parsimonia
• Definizione:
parsimònia s. f. [dal lat. parsimonia, der. di parcĕre «risparmiare» (supino parsum)]. – La qualità di chi è parco; moderazione, giusta misura nell’uso del denaro o di altri beni, per un senso di doverosa economia o per abituale frugalità di vita: avere, usare p.; …
Principio, o legge, della p.: uno dei modi con cui viene denominato il principio (altrimenti detto legge di economia, o principio del minimo sforzo, o del minimo mezzo, o del minimo lavoro) così enunciato da G. Galilei nel «Dialogo sopra i due massimi sistemi» (Giornata seconda): la natura ... non opera con l’intervento di molte cose quel che si può fare col mez(z)o di poche, volendo significare che ogni fenomeno naturale si realizza sempre con il minimo dispendio sia di materia sia di energia.
http://www.treccani.it/vocabolario/parsimonia/
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
E’ possibile applicare il concetto di parsimonia alla costruzione di alberi filogenetici?
In fondo gli alberi filogenetici sono IPOTESI evolutive (come gli allineamenti utilizzati per definire le distanze tra i membri di un set di sequenze…). Quindi tra tutte le possibili ipotesi (alberi) vorremmo scegliere quella che spiega le sequenze con il minor numero di eventi evolutivi (da qui il termine parsimonia).
Tra tutte le possibili ipotesi in grado di spiegare i dati
(sequenze) vogliamo scegliere la più SEMPLICE
RASOIO DI OCCAM
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Massima parsimonia:
• Osserviamo ogni colonna di un allineamento multiplo e costruiamo un albero che la “descriva”
• Costruiamo un albero consenso
atgccgca-actgccgcaggagatcaggactttcatgaatatcatcatgcgtggga-ttcagacctccatacgtgccccaggagatctggactttcacc---tggatcatgcgaccgtacctact-atgg-t-cgtgccgcaggagatcaggactttca-gt--g-aatcatctgg-cgc--c-aat--tcgt-ac-tgccccaggagatctggactttcaaa---ca-atcatgcgcc-g-tc-tataattccgtacgtgccgcaggagatcaggactttcag-t--a-tatcatctgtc-ggc--tag
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Massima parsimonia:
• Cosa intendiamo quando ci riferiamo ad un albero in grado di “descrivere” (spiegare) una colonna del multiallineamento?
Ipotesi di lavoro: Costruiamo tutti i possibili alberi per una colonna del multiallineamento e poi scegliamo il migliore
PROBLEMI:
• Come costruiamo tutti i possibili alberi per una data colonna?• Come riconosciamo l’albero migliore?
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Massima parsimonia:
• Come costruiamo tutti i possibili alberi per una data colonna?
• Come riconosciamo l’albero migliore?
Ad ogni nodo interno dell’albero possiamo mettere A oppure G. Alle foglie, invece, dobbiamo rispettare le proporzioni osservate (3A, 1G).
AGCTAACTAACTAACT
Topologie possibili : 1
A A A G
? (A or G)
? (A or G)
? (A or G)
Al posto dei TAXA abbiamo i nucleotidi (osservati)
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Massima parsimonia:
• Come costruiamo tutti i possibili alberi per una data colonna?• Come riconosciamo l’albero migliore?
Consideriamo il nucleotide più frequente (A) come ancestor …
AGCTAACTAACTAACT
Alberi possibili : 1
A A A G
A or G
00
A
A or G
0 if A1 if G 0 if A
0 if A 1 if A
Al posto dei TAXA abbiamo nt
scelta: A
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Massima parsimonia:
• Come costruiamo tutti i possibili alberi per una data colonna?• Come riconosciamo l’albero migliore?
Scegliamo i nucleotidi ai nodi interni in modo da spiegare i taxa (nt osservati) minimizzando il numero totale di sostituzioni!
AGCTAACTAACTAACT
Alberi possibili : 1
A A A G
A
A
A
1 if ATotale sostituzioni : 1(non male…)
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Come determinare tutti i possibili alberi?
• Quando gli organismi sono 2 esiste un unico albero possibile:
A B
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Come determinare tutti i possibili alberi?
• Se gli organismi fossero 3• Il terzo potrebbe posizionarsi …
A B
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Come determinare tutti i possibili alberi?
E se gli organismi fossero 4 ? Per ognuno dei tre possibli alberi precedenti potremmo aggiungere
il quarto organismo ad ognuno dei loro 4 rami (o potremmo usarlo come una nuova radice)
Il numero di possibili alberi con 4 organismi è quindi: 3*5=15
A B
Se partissimo da quest’albero con 3 organismi
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Numero dei possibili alberi:
Ni : n. di alberi dati i taxa Bi : n. di rami in un albero dati i taxa Bi=Bi-1+2, e anche i * 2-2 Ni=Ni-1*(Bi-1+1)
+ 1 a causa della potenziale nuova radice
N2= 1 B2=2
Taxa Rami Alberi
2 2 1
3 4 3
4 6 15
5 8 105
6 10 945
7 12 10,395
8 14 135,135
9 16 2,027,025
10 18 34,459,425
11 20 654,729,075
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Numero dei possibili alberi:
Ni : n. di alberi dati i taxa Bi : n. di rami in un albero dati i taxa Bi=Bi-1+2, e anche i x 2-2 Ni=Ni-1*(Bi-1+1)
+ 1 a causa della potenziale nuova radice
N2= 1 B2=2
Taxa Rami Alberi
2 2 1
3 4 3
4 6 15
5 8 105
6 10 945
7 12 10,395
8 14 135,135
9 16 2,027,025
10 18 34,459,425
11 20 654,729,075
A cosa assomiglia questo tasso di
crescita?
A cosa assomiglia questo tasso di
crescita?
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Numero dei possibili alberi:
Ni : n. di alberi dati i taxa Bi : n. di rami in un albero dati i taxa Bi=Bi-1+2, e anche i x 2-2 Ni=Ni-1*(Bi-1+1)
+ 1 a causa della potenziale nuova radice
N2= 1 B2=2
Taxa Rami Alberi
2 2 1
3 4 3
4 6 15
5 8 105
6 10 945
7 12 10,395
8 14 135,135
9 16 2,027,025
10 18 34,459,425
11 20 654,729,075
E’ definito da una relazione di ricorrenza, quindi …
Giusto… come al solito, esponenziale
E’ definito da una relazione di ricorrenza, quindi …
Giusto… come al solito, esponenziale
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Possiamo “risparmiare” qualche albero rinunciando alla radice:
• Alberi radicati e non radicati• Ovunque sia la radice “appiattitela”
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Regole per alberi non radicati:
• Sono anch’essi biforcati• Non è possibile che 3 rami partano da uno stesso nodo
A
B C
D
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Possibili alberi non radicati per 4 taxa:
• Tre alberi possibili
A
B C
D
A
D C
B
A
C B
D
Esistono altre combinazioni?
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Possibili alberi non radicati per 5 taxa:
• Per ognuno dei tre alberi (da 4 taxa) possiamo aggiungere un ramo ad ognuno dei 5 rami disponibili
• 3*5=15 alberi
A
B C
D
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
“Radicare” un albero:
• Outgroup• Includere un organismo che sappiamo a priori essere più
distante evolutivamente da ogni taxa rispetto ad ogni distanza tra i taxa appartenenti all’albero da radicare
A
B C
D
se outgroup si posiziona qui …
outgroup A B C D
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Numero di alberi non radicati:
Ni : num. alberi dati i taxa Bi : num. rami in un albero dati i taxa Bi=Bi-1+2, e anche i * 2-3 Ni=Ni-1*(Bi-1)
non serve il +1 per l’eventuale nuova radice … qui non ci sono radici
N2= 1 B2=2
Taxa Rami Alberi
3 3 1
4 5 3
5 7 15
6 9 105
7 11 945
8 13 10,395
9 15 135,135
10 17 2,027,025
11 19 34,459,425
12 21 654,729,075
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Comparazione (alberi non radicati vs radicati):
• Riduzione consistente del numero di alberi
• … e nonstante questo abbiamo guadagnato un solo taxa (in termini di relazione tra num. alberi e num. taxa)
Taxa Alb. non radicati Alb. radicati
3 1 3
4 3 15
5 15 105
6 105 945
7 945 10,395
8 10,395 135,135
9 135,135 2,027,025
10 2,027,025 34,459,425
11 34,459,425 654,729,075
12 654,729,075 13,749,310,575
Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS
Come possiamo ridurre la complessità del problema?
Non possiamo utilizzare la programmazione dinamica … Il problema non è composto da
sottoproblemi ripetitivi Ogni sottoproblema è un albero …
e ogni albero è unico …
La complessità è ancora
esponenziale…
La complessità è ancora
esponenziale…
EURISTICHE
Costruzione di alberi filogenetici:Euristiche che evitano l’enumerazione di
tutti gli alberi
Bio CS
• Ignorare larghi subset di possibili soluzioni
• Utilizzare euristiche o metodi di predizione
Ignorare questacombinazione di rami
Costruzione di alberi filogenetici:euristica Branch and Bound
Bio CS
Poniamo un limite superiore ragionevole alla lunghezza complessiva dell’albero utilizzando un algoritmo veloce (ad es. UPGMA)
Poi esploriamo le possibili soluzioni purchè non superino la lunghezza stimata inizialmente
B & B dipende molto dalla qualità dei dati … e non garantisce di trovare la soluzione ottimale
Costruzione di alberi filogenetici:euristica Branch and Bound
Bio CS
Branch and Bound ci fa “perdere” taxa nella soluzione finale? NO
Ci fa perdere alcune “topologie” tra le possibili soluzioni? SI (è proprio questo il suo obiettivo … ma tra di esse potrebbe esserci la soluzione ottimale)
A
B C
DXX
X
Non preoccupiamoci di questi possibili modi di ramificare … vanno oltre la soglia di lunghezza
Torniamo all’algoritmo di Massima parsimonia
Bio CS
In alcune colonne i simboli sono tutti uguali Non forniscono nessuna informazione Tutti gli alberi hanno costo minimo
In alcune colonne i simboli sono tutti diversi Anche queste sono inutili
Colonne informative devono contenere almeno due simboli diversi ed almeno uno di essi deve essere ripetuto almeno due volte
AGCTAACTAACTACCT
A A A A
A
00
A
A00
0 0
Massima Parsimonia: l’albero consenso
Bio CS
• Ogni colonna genera un albero• Se le topologie coincidono l’algoritmo
finisce qui• Se esistono topologie differenti
utilizziamo un criterio di “maggioranza”• Se il campione (numero di sequenze) è
troppo piccolo eseguiamo un bootstrapping :• Estraiamo casualmente sequenze dal
multiallineamento• Generiamo più alberi• Etichettiamo i rami con la percentuale
di occorrenze in cui compaiono in un albero
• Queste informazioni vengono utilizzate come misura di “ripetibilità” (più un ramo è frequente e più lo consideriamo supportato dai dati)
Metodi per costruire alberi filogeneticiBio CS
Metodi basati su:
• Distanza• Massima parsimonia• Massima verosimiglianza
Questi li abbiamo visti…
Il seguito nella prossima puntata …