C h issà c h i lo sa
I Quiz dell'esame di Geometria
Jorge Raul Cordovez
CLVT
Indice
1 Scaldarsi le mani (simulazione) 5
2 Prova Scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore 15
3 Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore 25
4 Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore 35
5 Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 45
6 Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 55
7 Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 65
8 Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore 75
9 Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore 85
10 Prova Scritta del 3 Febbraio 2012 - 2 Ore 95
11 Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore 99
12 Prova Scritta del 14 Giugno 2010 - 2 ore 107
3
1
Scaldarsi le mani (simulazione)
P r im a Pa r t e (Q u i z )
Q l. Nello spazio siano dati il piano a : x + y — z = l e la retta
( x = t r : < y = 2t
[ z = 3t.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) r C a.(b) Esiste un piano (3 contenente r e parallelo a a.(c) r interseca a.(d) r ed a sono perpendicolari.
Q 2 . Nello spazio sia data la quadrica «2 di equazione
x 2 + 2 y2 + 4z = 0.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) cS è un cilindro.(b) J è u n cono.(c) £1 ha punti in comune con il piano di equazione z = 1.(d) «2 è un paraboloide.
Q 3 . Si consideri l'applicazione lineare / : R3 —> R3 definita da
f (x , y ,z) = ( y - z , z - x , x - y).
5
6 1 - Scaldarsi le mani (simulazione)
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) / è iniettiva.(b) L'immagine Im (/) ha dimensione 2 .(c) / è suriettiva.(d) Il nucleo ker(/) ha dimensione 2.
Q4. Nello spazio sia data la curva ^ di equazione
P(t ) = (e* + l,0,2f)
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) ^ non è regolare;(b) La retta tangente a fé7 nel punto (2 ,0,0) è parallela a T+ 2k.(c) ^ ha vettore tangente nullo in almeno un punto.(d) fé7 non è piana.
Q5. Siano dati i vettori applicati
u = i — j + 3/c, v = j — 2 fc, = 3?— 6J— 3/c.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) il, iT, w sono complanari.(b) w è parallelo a v.(c) u e w formano un angolo acuto.(d) w è parallelo ad u x v (x indica il prodotto vettoriale).
Q 6. Sia data la funzione di due variabili reali f (x ,y ) = x3 + y3.Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) V /( l , 1) = (3,3).(b) / non è derivabile nell'origine.
(d) Il punto (1,1,1) appartiene al grafico di / .
Q7. Nello spazio sia data la sfera S* di equazione
£ 2 + y2 + z2 + 4x + 2y + 2z = 0.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Il centro di 5? è (2 , 1, 1).
1 - Scaldarsi le mani (simulazione) 7
(b) Il centro di 5? ha distanza 1 dal punto (0,0, —2).(C) S? è tangente al piano z — 0 .(d) (0 ,0 , - 2) <E SP.
Q 8. Siano date le matrici
¿ = ( 1 — 2 1 ), b = i yQuale delle seguenti affermazioni è vera?(a) rk(£A) = 2.(b) BA è invertibile.(c) rk(BA) = 1.(d) B A non ha autovalori in R.
Q9. In R4 si considerino i vettori a = (3, -1 ,2 ,0 ), b = (3,0,1, —1) e c = (0, - 2 ,2 ,2). Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) dim(«5f(a, ò, c)) = 3.Ob) dim(jS?(a,6,c)) = 2.(c) a — b + 5c 0 SS (a, b).(d) Esiste d e R4 tale che (a, 6, c, d) sia una base di R4.
Q 10 . Siano A e Rn n e B e Rn l . Supponiamo che il sistema A X = B sia non omogeneo e abbia almeno due soluzioni distinte X i,X 2 G Rn l .Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Il sistema A X = B ha infinite soluzioni.(b) La matrice A è invertibile.(c) Il sistema A X = B non ha altre soluzioni.(d) X i — X 2 è soluzione del sistema A X = B.
Q ll . Sia V un sottospazio di R3.Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) Esiste un sottospazio W C R3 tale che dim (y + W) = dim(W).(b) Se dim(y) = 2, esiste un sottospazio W C R3 con dim(W) = 2 tale che V D W
contenga un solo vettore.(c) Esiste un sottospazio W C R3 tale che V fi W sia vuoto.(d) Per ogni sottospazio W C R3 l'insieme V fi W contiene infiniti vettori.
8 1 - Scaldarsi le mani (simulazione)
Q 12. Sia data una matrice simmetrica A e R3,3 avente - t ( t - 1 )(t - 2) come polinomio caratteristico.Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) 3 è autovalore di A.(b) Esiste P e R3,3 tale che det(PA) = 1.(c) A è diagonalizzabile.(d) A è definita positiva.
Q l. (a) E' falsa perché t + 2t — 3t = 0 ^ 1.(b) E' corretta. Basta considerare il fascio di piani & : (-2À — 3 fi)x 4- Xy + \iz = 0 che
contiene la retta r con X = l e fi =(c) E' falsa. Infatti £ + 2£-3£ = l => 0 = l è assurdo.(d) E' falsa perché (1,2,3) non è proporzionale con (1, 1, —1)
Q2 . (a) E' falsa, in quanto l'equazione di £ non ha nessuna variabile libera.(b) E' falsa, in quanto l'equazione di «=2 non è omogenea.(c) E' falsa. L'intersezione di £ col piano z = 1 non ha punti reali.(d) E' corretta. Infatti tagliando =2 ad esempio con i piani x = k, si ottengono delle
parabole. (Più precisamente è un paraboloide ellittico.)Q3. La matrice associata all'applicazione lineare / è :
che ha rango 2. Per il teorema della dimensione si ha dimKer ( /) = dimR3 - rk(Mf).
(a) E' falsa, infatti dimKer (/) ^ 0.(b) E' corretta, infatti d im lm (/) = rk(M /) = 2.(c) E' falsa in quanto dim lm (/) ^ 3.(d) E' falsa, infatti dimKer ( /) = 1.
Soluzione dei QUIZ
Q4. Il punto (2,0,0) si ottiene con t = 0. Inoltre P'(t) =
(a) E' falsa. Chiaramente la curva fé7 è regolare, infatti non solo ^ è una funzione iniettiva, di classe C°° ma / 0, per ogni t.
1 - Scaldarsi le mani (simulazione) 9
(b) E' corretta, infatti P '(0) =
(c) E' falsa, infatti P'(t) non si annulla per nessun valore t.(d) E' falsa, infatti giace nel piano y = 0.
Q5. (a) E' falsa. Si ricordi che il prodotto misto fra tre vettori non è nullo se solo se essi non sono complanari. Si ha
(b) E' falsa perché i vettori (0,1, - 2) e (3, —6 , -3 ) non sono proporzionali.(c) E' falsa perché il prodotto scalare < (1, - 1,3), (3, - 6 , -3 ) > è zero e i vettori
sono perpendicolari.(d) E' corretta. Infatti
(b) E' falsa perché esistono tutte le derivate parziali di / in (0,0).(c) E' falsa in quanto
d2f d2f w = 6 y -
(d) E' falsa perché 1 + 1 ^ 1 .Q7. L'equazione della sfera 5? la possiamo rappresentare nella forma:
(x + 2)2 + (y + l )2 + (z + l )2 = 6
che risulta essere proporzionale a w. Q6. (a) E' corretta. Infatti,
(a) E' falsa. Infatti il centro è C (—2 , —1, - 1)(b) E' falsa perché d(C, (0,0, - 2)) = \ /4 + 1 + 1 = V6.(c) E' falsa perché d(C, w) = 1 ^ \/6, dove V6 è il raggio di y .
10 1 - Scaldarsi le mani (simulazione)
(d) E' corretta. Basta sostituire le coordinate nell'equazione di y .
Q8. Si ha
B A = 1 V (1 - 2
(a) E' falsa. Infatti rk(A) = 1.(b) E' falsa perché rk(^l) ^ 3.(c) E' corretta. Lo si vede direttamente del prodotto.(d) E' falsa. Siccome B A è singolare allora ammette lo zero come autovalore.
Q9. Si consideri la matrice A delle componenti dei vettori. Si fanno alcune trasformazioni elementari
/3 -1 2 0\ /3 -1 2 0\ /3 -1 2 0\A = 3 0 1 - 1 - 0 1 -1 -1 ~ 0 1 - 1 - 1
\ 0 - 2 2 2/ \ 0 - 2 2 2/ \ 0 0 0 0 /
(a) E' falsa. Infatti i vettori riga sono dipendenti.(b) E' corretta. Infatti rk(A) = 2.(c) E' falsa perché a - b + 5c = (0, —11,11,11) = —11(0,1, -1 , -1 ).(d) E' falsa perché (a, 6, c) sono dipendenti.
Q10. Si usa il teorema di Rouchè-Capelli.
(a) E' corretta. Il sistema se è compatibile ha soluzione unica, oppure ha infinite soluzioni.
(b) E' falsa. L'invertibilità di A implica soluzione unica per il sistema.(c) E' falsa. Se la soluzione non è unica, allora il sistema ha infinite soluzioni.(d) E' falsa perché il sistema non è omogeneo.
Q ll. Si ricorda la formula di Grassmann:
dim(V + W ) = dim(F) + dim(W^) - dim{V n W)
(a) E' corretta. Basta considerare W = V.(b) E' falsa. Si supponga dim W = 2 e si avrebbe che dim(Vr D W) > 1.(c) E' falsa perché V D W contiene almeno il vettore nullo.(d) E' falsa. Basta considerare W = {(0,0,0)}.
Q12 . (a) E' falsa in quanto 3 non è radice del polinomio caratteristico.
1 - Scaldarsi le mani (simulazione) 11
(b) E' falsa. Usando la Formula di Binet, si ha che det(PA) = det P • det A = 1. Ma siccome A è una matrice singolare, det A = 0 .
(c) E' corretta. Infatti il polinomio caratteristico di A ha tre radici reali distinte.(d) E' falsa perché ammette lo zero come autovalore.
12 1 - Scaldarsi le mani (simulazione)
S e c o n d a Pa r t e (E s e r c iz i)Esercizio 1. Sia data l'applicazione lineare / : R3 -> R3 definita da
f (<2,ò, c) = (ci + ò, 26, — ci -4- b -f- 2c).
(i) Determinare la matrice A e R3,3 di / rispetto alla base canonica di R3.(ii) Verificare che A è invertibile.(iii) Determinare gli autovalori di A.(iv) Determinare gli autospazi di A.(v) Determinare D ,P e R3,3, con D diagonale e P invertibile, tali che P ~ XA P = D. Svolgimento dell'esercizio 1.
(i) La matrice associata all'applicazione lineare / rispetto alla base canonica è :
A = M j '^ = | 1 2 0
(ii) Siccome det A = 4 (^ 0), allora A è invertibile.(iii) Gli autovalori di A sono le radici del polinomio caratteristico:
Pa (ì ) = det (A — t i) =1 - t 1 0
0 2 - t 0 - 1 1 2 - t
Gli autovalori di A sono: Ài = 1 con moltiplicità 1 e À2 = 2 con moltiplicità 2.(iv) Gli autospazi di A sono Va ( 1) = J if(( l,0 ,1)) e Va(2) = -£?((1,1,0),(0 , 0 , 1)).(v) Le matrice Z>, P tale che P ~ lAP = D, sono:
(1 0 0\ / I l 0'D = 0 2 0 , P = 0 1 0
\ 0 0 2/ \ 1 0 1
Esercizio 2 . Sia data la funzione
f (x ,y ) = (x - l ) (x2 - y2).
(i) Calcolare / ( —1, 1).(ii) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo e di sella della funzione di /•Nello spazio si consideri la superficie S di equazione z = (x - l ) (x2 — y2).(iii) Calcolare un versore normale fi a <S nel punto di coordinate (0 , - 1, 1).(iv) Scrivere le equazioni parametriche di una retta contenuta nel piano tangente a S nel punto di coordinate (0 , —1 , 1).
1 - Scaldarsi le mani (simulazione) 13
Svolgimento dell'esercizio 2 .
(i) / ( —1, 1) = o.(ii) Facendo il gradiente di / uguale a zero:
v/(x , y) = = (3z2 - y2 ~ 2x, -2 xy + 2y) = (0,0)
si ottengono i punti Po = (0 ,0 ),P i(l, 1), /^ ( l , —1), iM 2/3,0). Calcolando la matrice hessiana di / in ciascuno di questi punti
( d2f d2f \_ i&x — 2 — 2y \ ¿ — 0 1 2 3~ \ - 2 y -2x + 2J >
dx2 dxdy d2f d2f
cioè
\dxdy dy2 ) |F.
Hf(Po) = ( “o 2) ’ Hf ^ ) = ( —2 _o ) ’ Hf W = ( 2 4)- Hf ( P5) = (0 2/ 3) ;
si ottiene che
(a) det Hf(Po) = -4 , allora (0 , 0 ) è un punto di sella per / ;(b) det Hf(Pi) = —4, allora (1, 1) è un punto di sella per / ;
(c) det Ì2/(P 2) = 12 e ^ > 0, allora (1, — 1) è un punto di minimo relativo per / ;
(d) det Hf (P3) = 4/3 e 0 > 0, allora (2/3,0) è un punto di minimo relativo per /•
(iii) La superficie S è rappresentata dalla equazione F (x ìy,z) = x 3 - xy2 - x 2+ y2 - z =0. Il piano tangente alla superficie S nel punto P (0 , - 1, 1) è :
dF dF dFux |P óy |p òz |P
cioè x + 2y + z + l = 0. Il versore normale a S nel punto(iii)
( x = t r : < y = - 1 - t
[ z = 1 + 1
Esercizio 3. Nello spazio siano date le rette r e s rispettivamente di equazione
. I x + y - 2 z = l f\ 2 x + y + z = l, \
3x + y + 4z = 2 x + 3z = 1.
14 1 - Scaldarsi le mani (simulazione)
(i) Verificare che le rette r ed s non hanno punti in comune.(ii) Stabilire se le rette r ed s sono parallele o sghembe.(iii) Determinare l'equazione di uno stesso piano n contenente sia r che s.(iv) Discutere, al variare di h e R, la posizione relativa delle rette r e
j hx + y - 2 z = l t h ‘ \ x + 3z = 1.
Svolgimento dell'esercizio 3.
(i) La matrice che rappresenta il sistema è :
/ I 1 - 2 1 \2 1 1 13 1 4 2
\ 1 0 3 1 /
ed equivalente a
1 - 2 1 \ / I 1 - 2 1 \- 1 5 - 1 ( 0 - 1 5 - 1- 2 10 - 1 0 0 0 1- 1 5 \ 0 0 0 0 /
Si ha
(rk(A) = 2 , rk(yl|fe) = 3) => r fi s = 0.
(ii) Le rette r ed 5 risultano essere parallele (sono nella direzione del vettore (3, -5 , — 1).)(iii) Per determinare il piano n contenente entrambe le rette, basterebbe considerare il
fascio di piani T : \ {x + y — 2z — 1) + /¿(2x + y + z — 1) = 0, dove À, fi sono reali entrambi non nulli che contiene r e se impone il passaggio per un punto Q della retta 5, ad esempio, Q(l, -1 ,0 ). Si ottiene il piano 2x + y + z - l = 0.
(iv) Si ha
Se h = 1, rk(A) = 2 e rk(A\b) = 3, allora le rette r e ht sono parallele.Altrimenti quando h ± 1 rk(A) = 3 e Tk(A\b) = 4 allora le rette r e ht sono sghembe.
2
Prova Scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore
P r im a Pa r t e (Q u i z )
Q l. In un riferimento affine dello spazio £ 3 sia data la quadrica a : x 2 + y 2 — z 2 = 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) a è una sfera di raggio 1 e centro l'origine;(b) a è un cono quadrico;(c) L'intersezione di a con il piano coordinato yz è un'iperbole;(d) Il piano tangente ad a nel punto (1,0,0) è il piano coordinato xy.
Q 2 . Sia data la funzione di due variabili reali
f (x ,y) = x 2 - 3xy
Sia V(0,0) / il vettore gradiente di / calcolato in (0,0).La derivata direzionale di / in 0=(0,0) lungo la direzione del vettore v = ( \ /2/ 2 , \ /2/ 2) :
(a) coincide con V(0,0)/;(b) non esiste;
(c) coincide con il limite limt—>-0 t(d) coincide con il prodotto scalare tra il vettore v e il vettore V(0,o)/-
15
16 2 - Prova Scritta del27Giugno2011-2 ore
Q3. Siano V e W due sottospazi di R4, e sia V di dimensione 3.Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) Esiste un sottospazio W C R4 tale che dim (y + W) = 4;(b) Se dim(W0 = 3, allora dim(W n V). < 1;(c) Se dìm{W) = 1 allora dim(W n V) = 0;(d) Per ogni sottospazio W C R4 l'insieme V D W contiene infiniti vettori.
Q4. Nello spazio sia data la curva ^ di equazione
7 (t) = (t + 1,27r + t,t2 - 3).
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Il punto (0 ,7r, —2) appartiene a fé7 ;(b) La retta tangente a ^ nel punto (2,27r + 1, - 2) è parallela a Ì+ 2k;(c) ^ non è regolare;(d) ^ è contenuta in un piano parallelo all'asse delle 2 .
Q5. Sia V lo spazio vettoriale dei vettori applicati in O; si considerino in V i vettori:
u = 3z + f —4k, v = 4i + 5k, w = z-\- 2 f —3k.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) u, v, w sono complanari;(b) u, v, w formano una base di V ;(c) u e w formano un angolo ottuso;(d) u è ortogonale a v + w.
Q 6. Sia data la funzione di due variabili reali f(x,y) = ^ — . Sia D il dominio diy/x2+y2- 1/ •Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) D è u n insieme aperto illimitato;(b) D è un insieme aperto limitato;(c) D è un insieme chiuso e limitato;(d) D è un insieme chiuso.
Q7. Nello spazio sia data la superficie sferica S? di equazione
£ 2 + y2 + z 2 + 4x + 2y + 2z = 0.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
2 - Prova Scritta del27Giugno 2011-2 ore 17
(a) Il centro di S? è (2,1,1)(b) Il centro di 5? ha distanza 1 dal punto (0,0, — 2)(c) La distanza di 0 = (0,0,0) dal centro di S? è uguale al raggio di 5?(d) (-2 , — 1, — 1) G ^
Q 8 . Sia data la matrice
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Il rango di A è 1;(b) Lo spazio delle righe di A ha dimensione 2 ;(c) La matrice A è invertibile;(d) det(A) =dei(A~1).
Q9. Si consideri la matrice:
(a) Il sistema lineare A X = 0 non ha soluzioni;(b) Esistono matrici B tali che il sistema lineare A X = B abbia una sola soluzione;
(c) La prima, la seconda e la terza riga sono linearmente indipendenti;(d) Due colonne distinte qualsiasi di A formano una base dello spazio delle colon
ne.
Q 10 . Sono date le matrici A e Rm n (dove m ^ n) e B e Rm l ; si supponga che il sistema A X = B abbia una soluzione unicaQuale delle seguenti affermazioni è vera?(a) La matrice A è invertibile;(b) Il rango di A è m:(c) Deve essere m <n:(d) Il rango di A è n.
x + y + zQ ll . Sia / : R3 — R4 l'applicazione lineare definita da / ( y ] = | ^x ' - y '+ z
Quale delle seguenti affermazioni è vera?\4x — 2y + 2z)
18 2 - Prova Scritta del27Giugno 2011-2 ore
(a) /è in ie ttiv a ;(b) L'immagine Im (/) ha dimensione 2;(c) / è suriettiva;(d) Il nucleo ker(/) ha dimensione 2.
Q 12 . Sia data ima matrice simmetrica A e R4,4 avente (t — 2)2(t - 5)2 come polinomio caratteristico.Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) A potrebbe non essere diagonalizzabile, perché possiede autovalori doppi e
non si conoscono le dimensioni dei relativi autospazi;(b) Non esiste nessuna matrice P € M4,4 tale che det(P^4) = 1;(c) La matrice A possiede due autospazi ciascuno di dimensione 2;(d) La matrice A non è invertibile.
Soluzione dei QUIZ
Q1 (a) E' falsa perché per essere una sfera dovrebbe essere somma di quadrati.(b) E' falsa perché è un polinomio di secondo grado ma non omogeneo.(c) E ' corretta poiché si ottiene, intersecando con x = 0 :
\ y 2 - z 2 = 1 \ X = 0
(d) E' falsa. Infatti il piano tangente ad a nel punto (1,0,0) è 2x - 2 = 0.
Q2 (a) E' falsa perché la derivata direzionale è uno scalare.(b) E' falsa, infatti vale la d).(c) Anche se la definizione di derivata direzionale sarebbe
t—>-0 ~t
l'alternativa è tuttavia corretta, perché il limite proposto è 0 in accordo con la risposta d).
(d) E' corretta. Infatti la derivata direzionale di f in O, lungo la direzione del vettore v è , per definizione, il prodotto scalare
K ( li(0,0) ’ i£(0,0)) ’ (v /2, /2) >
che in questo caso risulta essere zero.
2 - Prova Scritta del27Giugno 2011-2 ore 19
Commento: questo quiz aveva due risposte esatte.Q3 Si applica la formula di Grassmann
dim(V + W) = dim V + dim W - dim(V fi W)
(a) E' corretta. Basta prendere W un sottospazio complementare a V.(b) E' falsa perchè dim W = 3 => dim (y fi W) > 1.(c) E' falsa. Basta considerare W sottospazio di V.(d) E' falsa perché ad esempio se W = {0^4} l'intersezione sarebbe soltanto il
vettore nullo.
Q4 (a) E' falsa, perché sostituendo il punto in 7 , delle due prime relazioni si otterrebbe t = — 1 = — 7r e questo è una contraddizione.
(c) E' falsa. Infatti La curva fé7 è regolare, infatti 7 non solo è una funzione iniettiva, di classe C°° ma 7 f(t) ^ 0, per ogni t.
(d) E' corretta poiché la curva & é contenuta nel piano x — y — l + 27r = 0 parallelo all'asse z.
Q5 Si osserva che
(a) E' falsa. Il prodotto misto dei vettori è diverso di zero.(b) E' corretta. Infatti l'insieme dei vettori {u, v,w} è linearmente indipendente.(c) E' falsa perché cos 0 > 0, dove cos 0 è l'angolo compresso fra u e w.(d) E' falsa perché il prodotto scalare < u, v + w > zero.
Q6 (a) E' corretta, perché l'insieme e' l'esterno della circonferenza, cioè x 2 + y 2 > 1.(b) E' falsa. L'insieme è illimitato.(c) E' falsa per quanto detto in (a).(d) E' falsa perché 1 l'esterno della circonferenza non è un insieme chiuso.
20 2 - Prova Scritta del27Giugno2011-2 ore
Q7 L'equazione della sfera y la possiamo rappresentare nella forma:
(a; + 2)2 + (y + l )2 + (z + l )2 = 6
dove il suo centro è C ( - 2, — 1, — 1) e il suo raggio è R = \ / 6 -
(a) E' falsa. Infatti il centro è C(-2 , - 1 , - 1 )(b) E' falsa perché d(C, (0,0, — 2)) = y/6.(c) E' corretta perché d(0, C) = V&.(d) E' falsa. Basta sostituire le coordinate del punto nell'equazione di y .
Q8 (a) E' corretta corretta. Infatti tutte le righe sono proporzionali alla riga (3,4,5).(b) E' falsa in quanto due righe sono sempre dipendenti.(c) E' falsa perché det(A) = 0.(d) E' falsa perché A non è invertibile.
Q9 (a) E' falsa perché tutti i sistemi omogenei hanno almeno la soluzione nulla.(b) E' falsa perché rk(A) = 2 . Per il teorema di Rouchè - Capelli, il sistema è
incompatibile oppure ha infinite soluzioni.(c) E' falsa. Basta osservare che (1,1,5) = (1,2 ,3) + (0, —1,2).(d) E' corretta. Infatti prendendo due colonne distinte qualsiasi sono linearmente indipen
denti, inoltre tutti e tre sono dipendenti.
Q10 Si usa i teorema di Rouchè - Capelli.
(a) E' falsa perchè m ^ n .(b) E' falsa perché rk(A) = m = n.(c) E' falsa perché m > n .(d) E' corretta. Infatti rk(A) = rk(A\B) = n - numero di incognite.
Q ll Si usa il teorema della dimensione,
dim Ker / = R3 — dim I m f .
(a) E' falsa in quanto dim Ker / ^ 0./ 1\ / 0 \
(b) E' corretta. Infatti Im(/) =
(c) E' falsa perché dim lm / = 2.(d) E' falsa perché dim Ker / = 1.
12
woì
V2/
2 - Prova Scritta del27Giugno 2011-2 ore 21
Q12 (a) è falsa in quanto ogni matrice simmetrica reale è diagonalizzabile.(b) E' falsa. Siccome A è non singolare, allora P = A ~ x e tale che det(PA) = 1(c) E' corretta. Infatti perché A è diagonalizzabile, dal polinomio caratteristico si deduce
che ammette due autospazzi ciascuno di dimensione 2.(d) E' falsa perché A non ammette lo zero come un suo autovalore.
Se c o n d a Pa r t e (E s e r c iz i)Esercizio 1. Sia dato l'endomorfismo / : K3 -> E 3 definita da
/ x \ ( x + y
(i) Determinare la matrice A e R3,3 di / rispetto alla base canonica di R3;(ii) Provare che / è semplice;(iii) Dire se esistono valori di k e R per cui (k,k,k) sia autovettore di / ;(iv) Determinare D,P e R3,3, con D diagonale e P. ortogonale, tali che
P ~ lA P = D
(v) (*) (facoltativo) Provare che A3 è diagonalizzabile e trovare ima matrice diagonale simile ad A 3.Svolgimento dell'esercizio 1.
(i) la matrice A richiesta è:
A =
(ii) La matrice associata ad / è simmetrica e quindi / è semplice;(iii) Si ha:
/ k \ (1 1 0\A [ k = 1 1 0
\ k j VO 0 1;
f k\Non esistono quindi k ^ 0 tali che 10 1 sia autovettore di / .
iv) Gli autovalori di A sono 0 , 2 , 1. Una base di R3 formata da autospazi di A è data dalle colonne della matrice
22 2 - Prova Scritta del27Giugno2011-2 ore
La matrice P ottenuta da Q normalizzando le colonne è la soluzione cercata:
A /2 /2 —v/2 /2 0 \P ■= s/2/2 V2/2 0
V 0 0 1 )
(v) Una potenza di una matrice simmetrica è simmetrica. Quindi A 3 è simmetrica e pertanto diagonalizzabile. Inoltre se v è autovettore di A relativo ad un autovalore A € 0,2,1 si ha
ì43v = A 2(Av ) = j42(Av) = Aì42(v) = A^4(Av) = A^4(Av) = A2j4v - A3v
Pertanto la matrice diagonale:/ 0 0 0\
0 1 0 \0 0 8/
è simile ad A 3.
Esercizio 2. Sia data la funzione
f (x ,y) = 4x 2 - x y -y
(i) Sia A=(2 ,l). Dire se l'applicazione cU(/) : M2 R (il differenziale di / in A) è suriettiva.(ii) Trovare i punti (x,y) e R2 che appartengono al nucleo di gU(/) e rappresentarli sul piano (0 ,x ,y ).(iii) Determinare gli eventuali punti di stazionarietà di / e precisarne la natura.(iv) (*) (facoltativo) Si consideri ora la funzione g{x,y) = log(/(x,y)).Senza eseguire ulteriori calcoli, ma sfruttando quanto fatto in precedenza, dire se g(x,y) ha punti di stazionarietà, e, in caso affermativo, precisarne la natura.Svolgimento deiresercizio 2 .
(i) Si ha
d t f = ( % • % ) A ~ ( 8* - ”• + = ( i 5 , - 11
Siccome la matrice (15, - 1) ha rango 1, cU / è suriettiva.(ii) I vettori del nucleo sono H i)
2 - Prova Scritta del27Giugno 2011-2 ore 23
Si può rappresentare come una retta passante per l'origine parallela al vettore
(iii) I punti stazionari sono i punti (zo>2/o) soluzioni del sistema:
( 8x — y = 0
l - * V = 0
sostituendo y = 8x della prima equazione nella seconda, si ottiene:
64x3 - 1 = 0
sotto la condizione x ^ 0 . Si ottiene come unica soluzione reale x = 1/4, da cui y = 2. Allora (1/4,2) è l'unico punto stazionario. La matrice Hessiana nel punto
e pertanto il punto stazionario è di sella.(iv) L'immagine del punto stazionario è:
/( l/4 ,2 ) = 1/4 - 1/2 - 1/2 = -3 /4 .
Siccome il log è una funzione monotona crescente, i massimi e minimi di log (f(x,y)) coincidono coi massimi e minimi di f (x,y) purché questi stiano nel dominio. Siccome log(—3/4) = log(/(l/4,2)) non è definito, segue che la funzione proposta non ha neppure punti stazionari.
Esercizio 3. E' dato il sistema
r x + 3y = 0< 3x — Sy — 2z = 0[ 4 x + hz = 0
(i) Discutere le soluzioni del sistema al variare di h e R.(ii) Posto h = — 2, trovare una base dello spazio delle soluzioni.(iii) Si considerino i piani
a : x + 3y = 0fi : 3x — 3y — 2z = 07 : 4x + hz = 0
Senza fare ulteriori calcoli (ma sfruttando i risultati ottenuti in precedenza), discutere, al variare di h e R, le posizione relative dei tre piani e trovarne gli eventuali punti comuni.Svolgimento deiresercizio 3.
24 2 - Prova Scritta del27Giugno 2011-2 ore
(i) Il sistema proposto può scriversi nella forma
A hX = 0
dove( 1 3 0 \
A h := 3 - 3 - 2\4 0 h i
Il sistema omogeneo ha soluzione nulla unica se e solo se det(Ah) ^ 0, ossia se e solo se h ^ — 2. Per h = —2 il sistema ammette un sottospazio undimensionale di soluzioni.
(ii) Una base dello spazio di soluzioni si ottiene, per esempio, risolvendo il sistema
( x + Sy = 0 ì 4x — 2z = 0
da cui x = —3y e z = 2x = —6y. Allora:
ker(A_2) =' —3
, - 6
iii) Per h ^ — 2 i tre piani si intersecano in un solo punto (l'origine). Per h = — 2 i tre piani hanno in comune l'asse z, ossia appartengono al fascio di piani di asse l'asse
3
Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore
P r im a Pa r t e (Q u i z )
Q l. Nello spazio siano dati i punti A = (0 ,1,0), B = (1, 2 , 1), C = (0,2 , - 1). Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) I punti A, B, C sono allineati.
(b) L'area del triangolo di vertici A , B , C è >/6/ 2 .(c) Il piano di equazione x + y — 2z = 0 contiene A, B, C.(d) Non esistono piani contenenti A, B , C.
Q 2 . Nel piano sia data la conica fé7 di equazione
2x2 + xy + y2 = 1.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) ^ è degenere.(b) ^ è un'iperbole.(c) L'asse delle ascisse è tangente a(d) ^ è un'ellisse.
25
26 3 - Prova scritta del 27Giugno 2011-2 ore
Q3. Nello spazio si considerino la sfera y ed il piano n rispettivamente d'equazione
x 2 + y2 + z2 — 4a? = 0, 2x + 2y + z + 2 = 0.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) Il raggio di y è 3.(b) 7r è tangente a y.(c) La distanza di n dal punto (2 ,0,0) è 3.(d) y n 7r è una circonferenza di raggio 3.
Q4. Nello spazio siano dati i tre piani a, fi e 7, rispettivamente d'equazione
a : x + y — z = 1, fi : 2x — y + z = 2, j : x — 2y + 2z = l.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) a n fi fi 7 consiste in un unico punto.(b) Esiste una retta r perpendicolare sia a a che a 7.(c) 7 appartiene al fascio avente asse la retta a n fi.(d) La retta passante per i punto (0,0,0) e (1, —1,2) è contenuta in 7.
Q5. Sia A e R3,6 avente rango 3.Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) L'applicazione lineare \x : R6 -» R3 definita da ¡jl( X ) = A X è tale che dim(ker(/z)) dim(Im(/i)) (qui gli elementi di Rn sono pensati come colonne).
(b) Esiste B e R3,3 con det(£) ^ 0 tale che B A sia la matrice nulla.(c) Sia lA la trasposta di A. Allora la matrice prodotto lA • A è invertibile.(d) Esiste B E R3,1 tale che il sistema A X = B sia incompatibile.
Q 6. Sia data la funzione di due variabili reali /(x , y) = (2 - x 9)(2 - y9).Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) Esiste (a,b) e K2 tale che ¿ ^ ( o , b) £ ^ ¿ ( a , b).(b) Esistono a, b e R tali che Im (/) C [a, b\.
(d) Il punto (0,0) è stazionario per / .
3 - Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore 27
Q7. Sia data la matrice simmetrica
-1 0 1 A = ( 0 - 1 0
1 0 0»3,3
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) Il polinomio caratteristico di A è - 2 t3 + 7t2 — t + 2 .(b) A non è definita.(c) Esiste X e R3,1 non nullo tale che A X = X .(d) A è definita positiva.
Q 8. Sia data l'applicazione lineare / : R3 —» R3 definita da
f ( x , 2/, z) = (x - y + 2z, - x + y + 2z , 2x + 2y).
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) / è suriettiva.(b) (1 ,-8 ,64) g lm (/) .(c) (1,1, —1) G ker(/).(d) / non ha autovalori in R.
Q9. InR 4 si considerino i vettori a = (1, - 2 , - 1, 2), b = (2 , 1, —2 , —1) ec = (1, —3, -1 ,1 ). Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) c g JSf(a,6).(b) Esiste un'applicazione lineare suriettiva / : R4 —> R3 avente a,ò,c e ker(/).(c) dim(«i?(a, 6, c)) = 2 .(d) Esiste d e R4 tale che (a, 6, c, c?) sia una base di R4.
Q 10 . Si consideri la curva parametrizzata 7 (t) = (2t + 1, £3,3 t2 — 1) e sia r la sua retta tangente in 7 (0 ) = (1, 0 , —1).Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) r è perpendicolare al piano di equazione 2x — y = 0 .(b) r interseca il piano di equazione z — 3 nel punto (1,1,3).(c) r è parallela al piano di equazione x — 2y + Az = 0 .(d) r è contenuta nel piano coordinato xz.
28 3 - Prova scritta del27Giugno 2011-2 ore
Q U . Si consideri l'insieme A = { (x,y) e R2 | x 2 - 2y < 0 , x < 5 }.Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) A è aperto.(b) A possiede punti isolati.(c) (2 , 2) è punto d'accumulazione per A.(d) A è compatto.
Q 12 . Si considerino le funzioni / : R2 -> R3 e g : R3 ->* R2 definite da
f(u,v) = (sin ti, cosSu + cost^sin ii), g{x,y,z) = (x2 — y,z3),
e sia J la matrice jacobiana di h = g o / nel punto (7r, 7t / 4).Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) J è la matrice unità 3 x 3 .(b) J è la matrice nulla 2 x 3 .(c) J è una matrice 2 x 2 .(d) J è una matrice diagonale 3 x 2 .
Soluzione dei QUIZ
/° 1 ° \Q l. (a) E' falsa. Infatti il determinante della matrice 1 2 1 è diverso di zero e
VO 2 -1 Jquindi i vettori sono indipendenti.
(b) E' corretta. I tre punti non sono allineati. Seu = B —A, v = C —A, usando il prodotto
vettoriale si può calcolare l'area del triangolo formato per i tre punti: ^ \ u x v \ = ì >/6 .
(c) E' falsa, ad esempio il punto A non appartiene al piano, infatti 0 + 1 - 0 ^ 0.(d) E' falsa perché per tre punti non allineati sempre esiste un piano che li contiene.
Q2 . Le matrici della curva ^ sono:
_ ( 2 1/2 \ - { l /2 1 )
(a) E' falsa in quanto det B = - 7 /4 ^ 0.(b) E' falsa in quanto det A = 7/4 > 0.(c) E' falsa perché ^ interseca y = 0 in due punti distinti.(d) E' corretta poiché det A è positivo.
3 - Prova scritta del27Giugno 2011-2 ore 29
Q3. L'equazione della sfera 5? si può scrivere
(x - 2)2 + y2 + z2 = 4.
dove il centro è C(2,0,0) e il raggio è R = 2 .
(a) E' falsa. Infatti il raggio della sfera è 2 .
(b) E' corretta in quanto d(C, ir) = I2 2 + 2 Q + 1 0 +_jj = 2 = R.* V22 + 22 + l 2
(c) E 'falsa per (a).(d) E' falsa, perché il raggio di S? D n non può essere maggiore di 2.
Q4. Si consideri la matrice A:
(a) E' falsa perché rk(A) ^ 3.(b) E' falsa perché a e j non sono paralleli.(c) E' corretta. Infatti rk(A) = 2 eia terza riga e combinazione lineare delle altre due.(d) E' falsa perché il punto (0,0,0) non appartiene a 7 .
Q5. (a) E' corretta. Siccome rk(;4) = 3 = dimlm(//)) = 3, allora per il teorema della dimensione si ha che:
dimR6 = 6 = dimKer ((//)) + dimlm((/x)) = dim Ker ((/x)) + 3,
di conseguenza dim Ker ((//)) = dimlm ((//)) = 3.(b) E' falsa perché entrambe le matrici A e B hanno rango 3.(c) E' falsa perché il prodotto risulta essere ima matrice 6 x 6 e nonn è detto che il
loro rango sia 6 .(d) E' falsa perché il rango di A è 3.
Q6 . (a) E' falsa per il teorema di Cauchy-Schwarz.(b) E' falsa perché / non è limitata.(c) E' falsa. Infatti si ha che
0 = - 8 • 18x7 + 9 • 8x 7y9, 0 = - 8 • 18y7 + 9 • 8x 9y8.
(d) E' corretta. Infatti f(x,y) = 4 — 2y9 — 2x9 + x 9y9 calcolando le derivate parziali di f si ha:
30 3 - Prova scritta del27Giugno2011-2 ore
? f = -1 8 xs + 9®8y9, IT = - 1 % 8 + 9x8y9 ox oy
ottenendo
f - 1 8 x 8 + 9x8y9 = 0 lSy8 4 - 9x8y9 = 0
pertanto il punto (0 ,0) è un punto di stazionario per f.
Q7. (a) E' falsa. Il polinomio caratteristico della matrice A è PA{t) = —t3 — 2t + 1.(b) E' corretta. Per la regola di Cartesio il polinomio caratteristico di A ha soltanto un
cambiamento di segno e A ammette un autovalore positivo (l'altro è negativo) allora A è non definita.
(c) E' falsa in quanto la matrice A non è la matrice identica.(d) E' falsa perché è non definita.
Q8 . La matrice associata all' endomorfismo / è :
(a) E' corretta per il teorema della dimensione in quanto rk(A) = 3.(b) E' falsa perché / è suriettiva.(c) E' falsa perché il nucleo di / contiene soltanto il vettore nullo.(d) E' falsa perché il polinomio caratteristico è di grado 3.
Q9. (a) E' falsa perché i vettori a, ò, c sono lineam enti indipendenti.(b) E' falsa in quanto il nucleo di / sarebbe di dimensione 1.(c) E' falsa perché dim«if ((a,6,c)) = 3.(d) E' corretta per il teorema di completamento ad una base.
Q10 . Si ha che
La retta r tangente nel punto 70 ha equazioni parametriche:
3 - Prova scritta del27Giugno2011-2 ore 31
(a) E' falsa perché r è nella direzione del vettore (1,0,0).(b) E' falsa perché l'intersezione di r col piano z = 3 è vuota.(c) E' falsa perché < (1,0,0), (1, - 2 ,4) 0.(d) E ' corretta perché il piano coordinato xz ha equazione y = 0 .
Q l l Osservare che A è costituito dai punti che stanno al di sopra della parabola y > x 2 e tali che x > 5.
(a) E' falsa. Infatti esistono dei punti in A per cui nessun intorno è contenuto in A.(b) E' falsa. Infatti per qualsiasi P punto di A, ogni intorno non vuoto di P
interseca A.(c) E' corretta. Infatti ogni disco aperto centrato in (2 ,2) possiede punti distinti da (2,2)
che appartengono ad A. Infatti, per ogni 5 > 0 il punto (2 , 2 + | ) e A (basta sostituire nella definizione di A).
(d) E' falsa perché l'insieme A non è limitato (e non è nemmeno chiuso).
Q12 La matrice jacobiana di h in un suo punto è uguale al prodotto delle jacobiane di g e h che hanno ordine rispettivamente 2 x 3 e 3 x 2, cioè 2 x 2 .
(a) E' falsa.(b) E' falsa.(c) E'corretta.(d) E' falsa.
32 3 - Prova scritta del27Giugno2011-2 ore
S e c o n d a Pa r t e (E s e r c iz i)Esercizio 1. Sia data la matrice
A =
(i) Verificare che è un autovettore di A e determinare il corrispondente autova
lore.(ii) Calcolare il polinomio caratteristico p(t) di A.(iii) Determinare tutti gli autovalori di A.(iv) Determinare una base per ogni autospazio di A.(v) Determinare una matrice invertibile P € R3,3 tale che P ~ lA P sia diagonale.(vi) Stabilire se esiste una matrice Q e R3,3 non nulla e tale che AQ = 5Q. Svolgimento deiresercizio 1.
(ii) Il polinomio caratteristicop a {ì ) si calcola facendo il determinante della matrice
ed è uguale a —t3 + 912 — 151 — 25 = (5 — t )2(—1 — t).(iii) Gli autovalori di A sono Ài = 5 con moltiplicità algebrica 2 e À2 = —1 con
moltiplicità algebrica 1.
(i) Il vettore è un autovettore della matrice A. Infatti:
- 1 - t 0 2 det(A — t • Jrs) = —6 5 — t 2
0 0 5 - t
1,2 . Più precisamente:
(v) Una matrice P invertibile tale che P lA P sia diagonale è :
3 - Prova scritta del27Giugno2011-2 ore 33
(vi) La risposta è affermativa. Basta scegliere Q = (Ci(Q), C2(Q), Cs(Q)) dove ciascuna colonna Ci(Q) sia un autovettore di A relativo a 5, almeno uno non nullo. Per esempio
/ 0 0 0\Q = 1 1 1 .
\ 0 0 0/
Esercizio 2 . Sia data la funzione
f{x,y) = 2x3 + 2y3 - 3xy.
(i) Determinare i punti stazionari di / .(ii) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo (relativi) o di sella della funzione / .Nello spazio si consideri la superficie S di equazione 2x3 + 2y3 - 3xy — z = 0 .
(iii) Verificare che il punto Po = (2 ,1 ,12) appartiene a S.(iv) Determinare l'equazione del piano 7r0 tangente a S nel punto Po-(v) Determinare l'equazione di una retta passante per l'origine O = (0 , 0 , 0 ) e perpendicolare al piano 7r0.
Svolgimento deH'esercizio 2 .
(i) Le derivate parziali di / sono:
g = 6x’ - 3 „ , ! = 6 „ * - 3 x.
Risolvendo il sistema di equazioni:
f 6x2 - 3y = 0 \6y2 - 3 x = 0
si ottengono i punti stazionari di / è sono P i(0,0) e P2( l /2 ,1/2).(ii) Calcolando il determinante la matrice hessiana di / nei punti 1,2
dei Hf (Pi) 0 - 3 - 3 0 = -9 .
Perciò il punto Pi è un punto di sella per / . Invece P2 è un punto di minimo per /
(d e tF / (P2) > 0 , 0 ( 1 / 2 ,1 / 2 ) >0. )
34 3 - Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore
(iii) Il punto Po = (2 ,1,12) G 5, basta sostituire le coordinate nell'equazione di 5, infatti 2 -8 + 2-1 + 3- 2-1 — 12 = 0.
(iv) La equazione del piano tangente no tangente a S nel punto Po è : 21x — z — 30 = 0.(v) Una retta passante per l'origine O = (0,0,0) e perpendicolare al piano 7r0 è :
( x = 2lt\ y = ol z = - t
Esercizio 3. Sia dato il sistema
{ x — 3y + z = 0 2x + y + 5z = b
—ay + 3z = -2 ,
al variare di a,b G M.(i) Determinare i valori di a e b per cui il sistema ha un'unica soluzione, infinite soluzioni oppure è incompatibile.(ii) Determinare le soluzioni del sistema quando a = — 7 eb = — 2.(iii) Determinare un valore di a ed uno di b per cui il sistema non sia risolubile, giustificando la scelta.Nello spazio si considerino i tre piani a, fi e 7, rispettivamente d'equazioni
a : x — 3y + z = 0, ¡3 : 2x + y + 5z = 0, 7 : 3z + 2 = 0.
(iv) Dire se è vero o falso che a fi f3 n 7 è una retta, giustificando la risposta. Svolgimento deiresercizio 3.
(i) La matrice che rappresenta il sistema è :
(ii)(iii)(iv)
3 1 ! f 1 - 3 1
1 5 b 1 ~ 07 3
a 3 — 2 ) ' l o —a 3A\B = 2
Usando il Teorema di Rouchè - Capelli, se a = - 7 e b = - 2 il sistema ha infinite soluzioni. Invece se a ^ 7 il sistema ha soluzione unica. Se a = —7 e b / - 2 allora il sistema è incompatibile.Quando a = — 7 e b = —2, le soluzioni sono : x = — | — ^ z , y = a = —7, b 7 —2 . Infatti rk(A) = 2 e vk(A\B) = 3.La affermazione è falsa, infatti la matrice
- 3 1 01 5 00 3 - 2
e tale che rk(A\B) = rk(A) = 3, allora a D fi n 7 si incontrano in un punto.
4
Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) r ed s hanno un punto in comune;(b) r ed s sono parallele;(c) r ed s sono parallele al piano n : x = 2;(d) r ed s sono contenute nel piano a: x + y = 0 .
Q 2 . Sono dati i vettori applicati
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) u, v, w sono complanari;(b ) u e v sono ortogonali;(c) dim(J£(u,v,w)) = 2;(d) w è parallelo a v.
P r im a Pa r t e (Q u i z )
Q l. Nello spazio sono date le rette
r :x = 0 V = t z = 2t
u = Ï — j, v = Ì + j — 6fc, w = j + 3k
35
36 4 - Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore
Q3. Sia M e M4,6 la matrice di un'applicazione lineare / . Si supponga M di rango 4. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) Il nucleo ker(/) ha dimensione 1;(b) / è suriettiva;(c) l'immagine Im (/) ha dimensione 2;(d) /è in ie ttiv a .
Q4. Nello spazio è data la curva ^ rappresentata parametricamente, al variare di t € IR, da
p(t) = (t2, ì , ^ - 1).
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) ^ è contenuta nel piano z = 1;(b) La retta tangente a ^ nel punto (0,1,0) è parallela all'asse delle z;(c) ^ passa per l'origine O;(d) fé7 non è piana.
Q5. Quale delle seguenti affermazioni è vera?Nello spazio l'equazione x 2 + y - 2z2 = 0 rappresenta
(a) una curva non piana;(b) un cono;(c) un iperboloide;(d) una superficie che ha in comune due rette con il piano y = 0 .
Q 6 . Sia data la funzione di due variabili reali f(x,y) = y 2 + Sx2 — x3.Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) VP/ ^ (0,0), per ogni punto P e E2;(b) (0 ,0 ) è un punto di massimo per / ;
o r(c) — si annulla in infiniti punti;(d) (2 ,1) è un punto stazionario per / .
4 - Prova scritta del 27Giugno 2011-2 ore 37
Q7. Nello spazio sia data la sfera y di equazione
x 2 + y2 + - 4z + 3 = 0.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Il centro di y appartiene al piano z = 0;(b) il piano ir : z — 1 = 0 taglia y secondo una circonferenza di raggio 1;(c) y è tangente al piano n : z = 0;(d) l'asse delle y non ha punti in comune con y .
Q 8. E' data l'applicazione lineare / : R3 ->* R3 definita da
f{x,y,z) = (x + 2y + z,y - 3z , - z)
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) 0 è autovalore per / ;(b) (1,0 ,0 ) è autovettore per / ;(c) (1,0 ,0 ) appartiene a ker(/);(d) (1,0 ,0 ) non appartiene a Im (/).
Q9. E' data la funzione / : R2 -» R2 definita da
f (x ,y) = (x2 + 2 y,x + ey)
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) la matrice jacobiana di / è invertibile in (1,0 );(b) / è una applicazione lineare;(c) / non è differenziabile in (1,0 );(d) la matrice jacobiana di / ha determinante nullo in (1,0 ) .
Q 10. Sia A e Rn,n la matrice dei coefficienti di un sistema lineare omogeneo avente soluzioni non nulle.Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) per qualche B e R71’1 il sistema lineare A X = B non è risolubile;(b) la matrice A è invertibile;(c) per ogni B € R71’1 il sistema lineare A X = B ha infinite soluzioni;(d) per qualche B £ Rn l sistema lineare A X = B ha ima sola soluzione .
38 4 - Prova scritta del 27Giugno 2011-2 ore
Q ll . Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 4.Quale delle seguenti affermazioni è vera?Esistono due sottospazi U e W di V di dimensione 3 tali che:(a) d im o r i W) = 4;(b) dim(E/ n W) = 0;(c) dim({7 n W) = 1;(d) dim(i7 n W) = 2.
Q 12 . Una matrice M e M3,3 ha autovalori 0,1,2 .Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) M è invertibile;(b) M ha polinomio caratteristico p(T) = 1 - T3;(c) M è diagonalizzabile;(d) un autospazio di M ha dimensione 2.
Soluzione dei QUIZ
Q l. (a) E' falsa perché tutti i punti di r hanno la prima coordinata uguale a 0, invece quelli di s uguale a 1.
(b) E' falsa perché r è nella direzione del vettore (0 ,1,2), invece s è nella direzione del vettore (0 ,2 ,1) e questi vettori non sono proporzionali.
(c) E' corretta. Infatti
< (0 , 1, 2), (1, 0 , 0 ) > = 0 , < (0 , 2 , 1), (1, 0 , 0) > = 0 .
(d) E' falsa perché al sostituire le coordinate parametriche di r ed s nell'equazione del piano non si ottiene un'identità.
Q2 . (a) E' falsa perché
< u x v ,u > | =1 - 1 0 1 1 - 60 1 3
= 12(^ 0)-
e affinché tre vettori siano complanari il prodotto misto fra loro deve essere nullo.
(b) E' corretta in quanto il prodotto scalare < (1, - 1, 0 ),(1, - 1, 6) > = 0 .(c) E' falsa in quanto det A ^ 0.(d) E' falsa perché i vettori v e w non sono proporzionali.
4 - Prova scritta del27Giugno 2011-2 ore 39
Q3. Si tratta di una applicazione lineare / : R6 —» R4 con dim Im f = 4. Usando il teorema della dimensione si ha che
dim Ker / = dim R6 - dim Im f = 2.
(a) E' falsa perché dim Ker / = 2.(b) E' corretta perché dim Im/ = dim R4.(c) E' falsa in quanto dim Im / = 4.(d) E' falsa in quanto dim Ker / 0.
tQ4. (a) E' falsa perché — — t = 1 non è una identità.
ó(b) E' corretta. Infatti il punto P (0,1,0) si ottiene conto = 0. Siccome P'(t) = (2£,0 , ¿2-
1) e P '(0) = (0,0, - 1), allora la retta tangente a V nel punto P è parallela all'asse delle z.
(c) E' falsa perché la seconda coordinata di ^ è sempre 1.
(d) E' falsa perché le funzioni polinomiali ^£2, 1 , y — sono linearmente indi-
pendenti nello spazio vettoriale delle funzioni polinomiali.Q5. (a) E' falsa perché è l'equazione di una superficie quadrica.
(b) E' falsa perché non è un'equazione omogenea.(c) E' falsa perché il termine indipendente è zero.(d) E' corretta perché se y = 0 allora x 2 — 2z2 = 0 => (x — y/2z)(x + y/2z) = 0.
' d f d f \ Q oQ6 . (a) E' falsa. Infatti V/(ìc, y) = ^ j = (6x - 3x , 2y) e V /(0 ,0) = 0.
(b) E' falsa. Infatti calcolando il determinante della matrice hessiana nel punto(0,0)
3 « » f i -
a2/ d2f ,dXd y M ^ (° ’0)
6 0 0 2 = 12 > 0
e risulta che (0 , 0 )non può essere punto di minimo.o r
(c) E' corretta, infatti — = 6x — 3x2, e si annulla in tutti punti del tipo (0,y) e (2,y)ox
con y e R.(d) E' falsa in quanto V/ ( 2 , 1) ^ 0.
Q7. L'equazione della sfera 5? si può scrivere
40 4 - Prova scritta del27Giugno2011-2 ore
x 2 + y 2 + ( z - 2)2 = 1 .
dove il centro di 5? è C(0,0, — 2) e il raggio R = 1. Si ha che:
(a) E' falsa perch'è la coordinata z di C è diversa da zero.(b) E' falsa perché il piano ir è esterno alla sferea 5?.(c) E' falsa in quanto la distanza di C al piano z = 0 è 2 .(d) E' corretta in quanto y2 + 3 = 0 non ha punti reali.
Q8. Si osserva che l'endomorfismo / è un isomorfismo. Infatti la matrice A associata a / rispetto alla base canonica è :
che chiaramente ha rango 3.
(a) E' falsa in quanto la matrice A è non singolare e perciò lo zero non è un suo autovalore.
(b) E' corretta in quanto / ( l , 0,0) = 1(1,0,0).(c) E' falsa in quanto Ker / = {(0,0,0)}.(d) E' falsa perché Im/ = R3.
Q9. La matrice jacobiana di / è :
che non è invertibile.(b) E' falsa in quanto / , ad esempio nella sua prima componente, contiene un
polinomio quadratico.(c) E' falsa in quanto le derivate parziali di / sono continue.
(a) E' falsa. Infatti la matrice
2 2(d) E' corretta perché = 0 .
4 - Prova scritta del27Giugno2011-2 ore 41
Q10. Si usa il teorema di Rouché-CapelliE' corretta. Infatti siccome rk(A) < n, si consideri B in modo che Tk(A\B) = n.
(b) E' falsa perché se A è invertibile (cioè rk( A) = n), allora il sistema ha soluzione unica e questa sarebbe propria la soluzione nulla.
(c) E' falsa perché il sistema può essere incompatibile.(d) E' falsa perché rk( A) < n in quanto il suo sistema omogeneo associato ammette
infinite soluzioni.Q ll. Usando la formula di Grassmann si ha:
4 > dim(£7 + W) = dim U + dim W - dim{U DW) = 3 + 3 - dim([/ n W)
(a) E' falsa perché l'intersezione U n W è contenuta sia in U che in W.(b) E' falsa perché dim(17 fi W) > 2 .(c) E' falsa per la (b).(d) E' corretta. Infatti basterebbe considerare U, W tali che U + W = V.
Q12. (a) E' falsa in quanto 0 è un autovalore di M.(b) E' falsa in quanto il polinomio 1 - T 3 = (1 - T )(l + T + T2) ha come unica
soluzione T = 1.(c) E' corretta perché M ha tre autovalori reali distinti.(d) E' falsa perché ogni autovalore di M ha moltiplicità algebrica uguale a l e
la dimensione di un autospazio relativo a un autovalore è sempre minore o uguale alla sua moltiplicità algebrica.
42 4 - Prova scritta del 27 Giugno 2011-2 ore
S e c o n d a Pa r t e (E s e r c iz i)Esercizio 1. Sia h un parametro reale. E' data l'applicazione lineare / : IR4 —» R3 associata, rispetto alle basi canoniche alla matrice
f i - 1 0 0 \A = 0 0 - 1 1
\ 2 h 0 0 /
(i) Posto h = - 2, determinare f{x,y,z,t).(ii) Posto h = - 2, verificare che i vettori (1,1,0,0) e (0,0,1,1) appartengono a ker(/) e ne formano una base.(iii) Verificare che non esistono valori di h tali che / sia iniettiva.(iv) Determinare gli eventuali valori di h tali che / è suriettiva.Svolgimento dell'esercizio 1.
(i) /(x , y , z, £) = (x - y , + i, 2a? - 2y)(ii) Seh = -2 , allora / ( l , 1,0,0) = / ( 0 ,0,1,1) = (0,0,0). Pertanto ((1,1,0,0), (0,0,1,1)) C
Ker / .Siccome i vettori (1,1,0,0), (0 ,0 ,1,1) sono linearmente indipendenti e rkA = 2 = dim Im/ , allora per il teorema della dimensione si ha che dim Ker f = 2 perciò, l'insieme ((1, 1, 0 , 0), (0 , 0 , 1, 1)) è una base del nucleo di / .
(iii) Si ha che rk(A) < 3. Per il teorema della dimensione dim Ker / > l e così / non è iniettiva.
(iv) S e h ^ -2 , allora rk (A) = 3, e così Im / = R3, cioè / è suriettiva.
Esercizio 2 . E' data la funzione
f(x,y) = x 2y - x y - 3 x + 2.
(i) Tra i punti stazionari di / determinare gli eventuali punti di sella.(ii) Dato il punto Po = (—1>0), calcolare il valore del differenziale dp0f applicato al vettore (/i,fc).(iii) Determinare il piano tangente al grafico di f *nel punto di coordinate (1, — 2 , — 1).(iv) Verificare che la retta r : x = 0,z = 2 è contenuta nel grafico di / .Svolgimento deiresercizio 2 .
(i) Per calcolare i punti stazionari di / , si deve calcolare il suo gradiente e uguagliarlo a zero.
= ( l i ’ %*) = 2xy - y - Z ’ x 2 - x ) = (°’°)-
4 - Prova scritta del 27Giugno 2011-2 ore 43
Risolvendo il sistema di equazioni
( 2 x y - y - S = 0 \ x2 - x = 0
si ottengono per / i punti stazionari P(0, -3 ) e Q( 1,3).Per studiare la natura di punti stazionari di / , si usa il metodo della matrice hessiana. infatti
H f ( 0,0) = S (o' - 3)N - 6 -1 - 1 0
Siccome det Hf(0, — 3) < 0, allora P (0 , — 3 ) è un ptmto di sella per / .
JT/(1,3) =— L ( l 3) d2f (1 3)^Qx 2 \L’à> dxdy\L’à) d2f d2 f
\m&*> ié ih3>6 1 1 0
Analogamente siccome det Hf( 1,3) < 0 , allora Q(l, 3) è im punto di sella per / .(ii) Il differenziale dp0f applicato al vettore (h,k) è per definizione.
dpof- (T ) = (3,o)- m = -3h.
(iii) Si ricorda che il grafico di / è : F(x,y,z) = z — f ( x , y) = 0. Allora il piano tangente del grafico di / nel punto di coordinate (1, —2 , —1) è
(2 x - y - 3) |{1 _2 _1} • (x - 1) + (x2 - *)|(lj_2j_1) • {y + 2) - • (2 + 1) = 0
cioè, x + z = 0 .(iv) La retta r ha equazioni parametriche:
( x = 0 r : < y = t
[ z = 2
sostituendo le coordinate di r nell'equazione x2y - xy - 3x + 2 - z = 0, si ottiene l'identità 0 = 0 e pertanto r è contenuta nel grafico di / .
Esercizio 3. Nello spazio è data la retta r : {x,y,z) = (-2,1,0) + ¿(-1, - 1,3).(i) Verificare che r è parallela alla retta s : 3y + z = l , x - y = - 2 .
44 4 - Prova scritta del27Giugno2011-2 ore
(ii) Determinare il piano ni contenente sia r che s .(iii) Determinare il piano 7t2 contenente r e parallelo all'asse delle y.(iv) Verificare che r è parallela alla retta tangente alla curva ^ : P(t) = (2et ì2et , — 6t) nel punto P (0 ).
Svolgimento deiresercizio 3.
(i) La retta r è nella direzione del vettore ( - 1 , —1,3). D'altra parte, la direzione della retta s si può calcolare facendo il prodotto vettoriale (0,3,1) x (1,—1,0) = (1 , 1 , -3 ). Si ha che (—1, —1,3) = (—1)(1 , 1, -3 ) e dunque r ed s sono parallele.
(ii) Si determina il fascio di piani che contiene la retta s
& : À(3y + z - 1) + fi{x - y + 2) = 0; A,/ìGM,
À, fi non entrambi nulli.Imponendo il passaggio per un punto della retta r, ad esempio (—2 , 1, 0), si ha che
2À = fi.
Il piano 7ri che contiene le rette r ed s e
7Ti : 2x + y + z + 3 = 0.
(iii) Il fascio di piani che contiene la retta r
i À(x — y + 3) + fi(3x + z + 6) = 0; À,/i E M,
con À, fi G R non entrambi nulli.Imponendo l'annullamento del prodotto scalare ((À+3/z, —À, fi), (0,1,0)) = 0 (dove <,> indica il prodotto scalare), si ha che A = 0 . Si ottiene il piano n2 : 3x + z + 6 = 0 che contiene alla retta r ed è parallelo all'asse delle y.
(iv) Si osserva che P(0) = (2 , 2 , 0).Per calcolare la retta tangente alla curva ^ si calcola P f(t) = (2et , 2e£, - 6), allora P '( 0 ) = (2 , 2 , — 6) che chiaramente è nella direzione della retta r.
5
Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore
P r im a Pa r t e (Q u i z )
Q l. Nello spazio sia data la curva fé7 di equazioni parametriche
f(t) = (2 cosi,3 sin t. — t3).
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) fé7 è contenuta in un piano;(b) fé7 è una curva chiusa(c) La tangente a ^ nel punto (2,0,0) è parallela all'asse delle y(d) Esistono punti di fé7 in cui non si può trovare la tangente
Q2. Sia 7r il piano per 0(0,0,0) perpendicolare a Ì + j + k. Qual è vera?(a) Il punto 5(1,0,1) giace in ir(b) La retta r di equazioni (x,y,z) = (¿,1 , — t) è parallela a n(c) Ogni punto della retta r di equazioni {x,y,z) = (t,l, — t) ha distanza 1 da ir(d) La retta s di equazioni (a?,y,z) = (1 + £,1,2 — t) interseca ir
Q 3 . Nello spazio sia data la quadrica Q di equazione x 2 — y2 = 3. Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Le sezioni di Q con i piani z = k (dove k è una costante reale) sono insiemi non
vuoti(b) Q è una iperbole equilatera(c) Q è un cono(d) Q è un paraboloide a sella
45
46 5 - Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore
Q4. Sia 4 G l 3x5 una matrice di rango 3, e si consideri la sua trasposta 54. Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) La matrice A è invertibile(b) La matrice prodotto A 54 è invertibile(c) La matrice prodotto 54 A è invertibile(d) Il rango di 54 può essere maggiore di 3
Q5. L'equazione x 2 + 3xy + Sy2 — 4 = 0 rappresenta:(a) una conica riducibile(b) una coppia di rette(c) una iperbole(d) un'ellisse
Q 6 . Sia data la matrice
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) A è diagonalizzabile(b) La matrice A possiede solo autovalori nulli(c) A possiede l'autovalore nullo e la dimensione dell'autospazio ad esso associato
è uguale a 2(d) Il polinomio caratteristico possiede una radice semplice
Q7. Nello spazio sia data la superficie y di equazioni parametriche
f{u,v) = (v cosu,vsinu, — uv)
e si consideri il punto A=( 1,0,0) e y . Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) La matrice Jacobiana di / in (0,1) ha rango 1(b) Il piano tangente a y nel punto A è ortogonale all'asse delle x(c) Le colonne della matrice Jacobiana di / in (0,1) sono linearmente indipendenti
(d) Non esistono curve piane contenute in y
Q 8. Nello spazio dei vettori ordinari applicati in O, sono dati i vettori
u = 3i, v = 7i + j, w = i + 2j — 3k
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
5 - Prova scritta del 15 Luglio2011-2 ore 47
(a) u, v, w non sono complanari(b) w è ortogonale al prodotto vettoriale di v con u(c) w è ortogonale a ù + v(d) Esistono valori di a ,b e R per cui w=av + bu
Q9. Un sistema lineare A X = B di 2 equazioni e 2 incognite con det(yl) ^ 0:(a) non è mai risolubile(b) se è risolubile ha una incognita libera(c) ha sempre due incognite libere(d) ha una sola soluzione
Q io. Siano date le rette r ed s rispettivamente di equazioni (x,y,z) = (t,t,t) e (x,y,z) = (t + l,t, — t). Dire quale delle seguenti affermazioni è vera.
(a) r ed s sono incidenti in un unico punto(b) r ed s sono incidenti in due punti(c) r ed 5 sono parallele(d) r ed s non si intersecano
Q ll . L'applicazione lineare / : M4 —>• R2 definita da f (x,y,z,t) = {x — y + x — y + 1) :(a) ha nucleo di dimensione 3(b) ha immagine di dimensione 3(c) è associata a una matrice con quattro righe e due colonne(d) è suriettiva
Q 12 . Si consideri la funzione / : R2 R definita da f (x ,y) = e*2+i/2-1. Lo sviluppo di Taylor al primo ordine di / in (0,0) è :
(a) e-1 + x + y(b) 2x + 2y.(c) e-1 , e quindi l'origine è un punto stazionario(d) ex2 + ey \
48 5 - Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore
Soluzione dei QUIZ
Q l. (a) E' falsa perché l'insieme {2 cos t , 3 sin t , —3t3, 1} è linearmente indipendente,(b) E' falsa. Infatti non esistono t,tf e R, distinti tali che f (t ) = /(£')•
(c) E' corretta. Infatti II punto (2,0,0) si ottiene con t = 0 e f{t)\t_0 = che è nella
(d) E' falsa in quanto l + £ + l + 2 - £ = 0 è u n assurdo.
Q3. (a) E' corretta. Infatti le sezioni sono iperbole.(b) E' falsa perché z è libera.(c) E' falsa. Infatti l'equazione non è omogenea.(d) E' falsa per (b).
Q4. (a) E' falsa perché la matrice A non è quadrata.(b) E' corretta. Infatti il prodotto A tA G l 3x3 è di rango 3.(c) E' falsa perché il prodotto1A A e R5x5 non è detto che sia di rango 5.(d) E' falsa perché rk(.A) = rk(£A).
Q5. Le matrici della conica sono:
direzione dell'asse y.(d) E' falsa. Infatti per ogni t e R, esiste f ( t ) .
Q2 . Il piano ir passante per O e perpendicolare al vettore ì + J + k ha equazione
x + y + z = 0 .
(a) E' falsa perché 1 + 0 + 1 = 2.
(b) E' corretta. Infatti il prodotto scalare < > = 0.
(c) E' falsa perché d( , 7r) =
3/280
dove det B = -23 e det A = 23/4.
(a) E' falsa perché det B ^ 0.
5 - Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 49
(b) E' falsa per lo stesso motivo di (a).(c) E' falsa perché non accade che det A < 0.(d) E' corretta. Infatti det A > 0.
Q6. (a) E' falsa. Infatti il polinomio caratteristico di A e x 2 che possiede soltanto come radice lo zero con moltiplicità due, ma l'autospazio relativo è unidimensionale. Per questo motivo, A non è diagonalizzabile.
(b) E' corretta. Infatti lo zero è autovalore di A.(c) E' falsa. Infatti la dimesione dell'autospazio relativo al autovalore zero è 1.(d) E' falsa perché l'autovalore zero ha moltiplicità 2 .
Q7. La matrice jacobiana di / nel punto(0,l) è:
(a) E' falsa perché il rango della matrice jacobiana di / è 2.(b) E' falsa perché l'asse delle x è contenuto in y.(c) E' corretta. Infatti basta osservare J( f ) (o,i)-(d) E' falsa. Ad esempio, se u = 0, la retta (x,y,z) = (t , 0,0) è contenuta in y .
Q8. Il determinante della matrice
è diverso da zero. Cioè il prodotto misto dei vettori u, v, w non è nullo.
(a) E' corretta. Infatti Vannullarsi il determinante della matrice A è condizione necessaria e sufficiente affinché i vettori siano complanari.
(b) E' falsa. Infatti < w ,v x u >± 0.(c) E' falsa. Infatti < w , ù + v > ^ 0.(d) E' falsa. Infatti i tre vettori sono linearmente indipendenti.
A =3 0 07 1 01 2 - 3
Q9. (a) E' falsa perché A è invertibile.(b) E' falsa. Per il teorema di Rouché-Capelli il sistema non ha incognite libere.(c) E' falsa per (b).
50 5 - Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore
(d) E' corretta. Infatti X = A l B è l'unica soluzione.Q10 . Le rappresentazioni parametriche delle rette r ed s sono rispettivamente:
(x = t (x = tf + 1r : <y = t s : y = t'
( z = t Kz =
(a) E' falsa. Infatti
( t = t' + 1 < t = t' =» i i + 1 => l = 0
[ t = - t '
che è un assurdo.(b) E' falsa perché sono due rette distinte.(c) E' falsa perché r è nella direzione del vettore (1,1,1) invece s di (1,1, — 1) e non
sono proporzionali.(d) £ ' corretta per (a).
Q ll. La matrice associata ad / è
' 1 - 1 0 1A - 1 1 - 1 0 1
che ha rango 1 ed è uguale alla dimensione deirimmagine di / e per il teorema della dimensione,
dim R4 = dim Ker / + dim Im/
(a) E' corretta. Infatti dim Ker f = 3.(b) E' falsa. Infatti d im lm / = 1.(c) E' falsa. La matrice associata ha due righe e quattro colonne.(d) E' falsa. Infatti Im / ^ R2.
Q12 . Lo sviluppo di Taylor intorno all'origine è:
f (x,y) = / ( 0 ,0) + / ' (0 ,0)® + / ' ( 0 ,0 )2/ = e-1
(a) E' falsa.(b) E' falsa.(c) E'corretta.(d) E' falsa.
5 - Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 51
S e c o n d a Pa r t e (E s e r c iz i)
Esercizio 1 . Nello spazio sia dato il piano n e la sfera S rispettivamente di equazione
7r:x + y — z —1 = 0, S : x 2 + y2 + z2 - 4 r - 2y + = 0
(i) Determinare centro e raggio di S.(ii) Determinare raggio e centro della circonferenza S D n.(iii) Posto TTh : x -\-y — z + h = 0 trovare h tale che tth sia tangente ad S.Svolgimento dell'esercizio 1.
(i) La sfera S si può scrivere nella forma:
(x - 2)2 + (y - 1 f + {z + 2 f = 9.
Il centro di S è C(2 , 1, —2) e il suo raggio è 3.(ii) Si osserva che il centro di S appartiene al piano 7r, allora il centro della circonferen
za S D 7r in questo caso è sempre il punto C(2 , 1, - 2) e il raggio della circonferenza coincide con il raggio di S.
(iii) Per trovare h si calcola
Allora h = 3\/3 — 5 oppure h = -3 \/3 - 5.
Esercizio 2 . Si consideri l'applicazione lineare / : £4 definita dalle equazioni
/ 3 \ 3
- 1 V 0 /
/ i \01
V i/
/ 8\60
V2/
(i) Trovare la matrice di / rispetto alle basi canoniche di R3 e di R4.(ii) Trovare la dimensione e una base di Ker (/).(iii) Trovare la dimensione e una base di Im (/), e dire se f è suriettiva.(iv) Dire se il vettore
/12\92
\ 3 /
appartiene all'immagine di / .
52 5 - Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore
Svolgimento dell'esercizio 2 .
(i) La matrice di / rispetto alle base canoniche di R3 e R4 è
M f =
(ii) Per calcolare il nucleo di /
Ker / = {( y ì € R3/M / ])>'si risolve il sistema omogeneo associato alla matrice M f. Siccome
3 1 8\ ( ° 1 2\3 0 6 1 0 2
-1 i o r 0 0 00 1 2) Vo 0 0 /
- y =■- - 2 z, cioè:
Ker / = { f - 2 z ) e R3/ z €
Si ha che dim Ker / = 1 e una sua base è { ^ - 2 J }.
(iii) Usando il teorema della dimensione, si ha che
dim lm / = dim E 3 — dim Ker / = 2,
allora / non è suriettiva perché I m f ^ R4.3 \ /1 \ / 8 \
Risulta che I m f = JZf( 3 - 1
0 /
01
W
60
V2/
) = # (
3 \ 3
- 1 0 /
e ima base per Im / è , ad esempio, è costituita dai vettori {
A \ o ì
W 3 \ / A3 0
- 1 > 1 0 / \ 1/
}•
(iv) Ilpxmto
/ 12\92
V 3 /non appartiene a Im /, inaftti non esistono a , /3 reali tali che
5 - Prova scritta del 15Luglio 2011-2 ore 53
/ 12\ ( 3 f 1'9 3
+ 130
2 = a - 1 1\ z ) o ) U
Infatti delle relazioni
' 3a + p = 12 3a = 9
< - a + 13 = 2 U = 3
si ottiene un assurdo.Esercizio 3. Sia data la funzione
f (x ,y) = xy2 - x - y2 + 1.
(i) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo e di sella della funzione di / .Nello spazio si considerino la superficie S di equazione z = xy2 — x — y2 + 1 e il punto Po = (1,0 ,0).(ii) Si verifichi che Po £ S e si determini il piano tangente r a S nel punto Po.(iii) Si determini in forma cartesiana la retta normale a r passante per Po. Svolgimento deiresercizio 3.
(i) Si determinano i punti stazionari di / :
v / ( * . » ) = ( 2^ : ^ ) = ( S ) -
Si ottengono i punti A ( l , l ) e B ( l , - l ) . Si determina la matrice hessiana di /
H U) = ( j y 2 X - 2) •
Si ha che det Ha {J) = 0 2 2 0
0 - 2 - 2 0 = - 4 < 0.
I punti A e B sono punti di sella per / .(ii) Il punto Po € S. Infatti 0 = 0 — 1 — 0 + 1.
II piano tangente a 5 in Po è :
( - 1)(® - 1) + 0 (y - 0) + ( - l ) ( z - 0) = 0 ,
cioè: t : x + z — 1 = 0 .
54 5 - Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore
(iii) La retta normale a r passante per il punto Po è
f x = 1 - h t
< y = ol Z = t
6
Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore
P r im a Pa r t e (Q u i z )
Q l. In R2 si consideri l ' insieme
A = j(z.2/) | j z 2 + ì y 2 - 1 < 0, \y\ < 3 j .
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) La frontiera di A contiene il punto (2 ,0).(b) La frontiera di A è vuota.(c) Il punto (2 ,3) appartiene alla frontiera di A.(d) Il punto (2 ,3) è esterno ad A.
Q 2 . Nel piano si considerino il punto P = (—1,1) e la circonferenza ^ di equazione
4 + 4x + x 2 — Ay + y2 = 0.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Esiste un'unica retta passante per P e tangente a(b) Il raggio di ^ è 8 .(c) Non esistono rette passanti per P e tangenti a(d) Esistono infinite rette passanti per P e tangenti a fé7.
55
56 6 - Prova scritta del 15Luglio2011-2 ore
Q3. Nello spazio si consideri la superficie parametrizzata S? definita da
f (u , v) = (cos(u — v), u + v, u — v).
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Il piano tangente a 5? in /(0 ,0) è perpendicolare al vettore i.(b) La retta normale a S? in / (0 ,0) è parallela al vettore —2ì+ j .(c) Il piano tangente a 5? in / (0 ,0 ) è parallelo al piano coordinato Oxz.(d) La retta normale a S? in / (0 ,0) ha equazioni parametriche (x,y,z) = (£,£,£).
Q4. Nello spazio si consideri la curva parametrizzata fé7 definita da
a(t) = (1 + sin i,\/5 cosi + sin i,4 + sini).
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) La retta tangente a ^ in a(0) è parallela a —21 + j.(b) Il piano osculatore a ^ in a(0) è parallelo al piano coordinato Oxy.(c) 11 piano osculatore a ^ in a(0) è parallelo al piano coordinato Oxz.(d) ^ è contenuta in un piano.
Q5. Si consideri la funzione definta da
= 1 + (—1 + x )2 + (1 + y )2 '
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Il punto (1, — 1) non appartiene al dominio di / .(b) / ha punti di sella e un minimo relativo.(c) / ha un massimo relativo e un minimo relativo.(d) / ha un solo punto stazionario.
Q 6. Nel piano si consideri la conica ^ di equazione
6x + x 2 + 4y + 2 xy + y2 = 0.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) ^ è un'ellisse.(b) fé7 è un'iperbole.(c) fé7 è una parabola.(d) fé7 è degenere.
6 - Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 57
Q7. Sia data la matrice simmetrica
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) 2 è autovalore di A.(b) A è semidefinita.(c) 4(0,5,0) è autovettore di A.(d) A è definita negativa.
Q 8 . Sia data l'applicazione lineare / : R4 —»> R4 definita da
f ((2,ò,c,oi) = (cl + 6 + c + d, a + 26 -b 4c H- 8cZ, (2 — 6 c — d, 3<z -h 26 ~h 6c -|- 8c?).
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) / è iniettiva.(b) / è un isomorfismo.(c) dim(Im(/)) = 4.(d) / ha un autovalore in R.
Q9. Sia A G R4’4.Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) det(A tA) < 0.(b) Per ogni B e R4’4 si ha det(3i4 - 2 B ) = 3 det(A) - 2 det(B).(c) Per ogni À G R si ha det(À^4) = À det(^4).(d) det(-A) = det (A).
Q10. In R3 siano dati i sottospazi U = { (a,a + 6,6) | a ,6 G R } e V = { (c + d,d, — c — d) | c,d G R }.Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) u n V = 0.(b) dim(i7 n F) = 1.(c) dim({7) + dim(F) = 3.(d) U U V = R3.
Q l l . Nello spazio sono dati i due vettori applicati u, v.Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) S e u ,v sono versori, allora, per ogni vettore w, risulta \ (u x v,vj) \ = \w\.
58 6 - Prova scritta del 15 Luglio2011-2 ore
(b) Se i vettori u, v non sono paralleli, risulta (u x v,v) 0.(c) Per ogni vettore w risulta \ (u x v,w) \ < \w\ • \u\ • \v\.(d) Esiste un unico vettore w tale che (u x v,w) = 0.
Q12. InR 4 si considerino i vettori a = (1, - 1, —1,-1 ), b = ( 2 ,-3 ,-1 ,-2 ) , c = (1,-1,0,1), d = (0 , - 1,0 , — 2) e sia
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) y (a ,b ,c4 ) = R4.(b) Il sistema A X = 04,1 ha oo2 soluzioni.(c) esiste e e R4 tale che «if(a,ò,c,d,e) = R4.(d) a, b, c, d sono linearmente indipendenti.
Soluzione dei QUIZ
Q l. L'insieme A è l'intersezione dell'intemo dell'ellisse compreso il suo bordo, con l'insieme dei punti (x,y ) e R2 tali che — 3 < y < 3.
(a) E' vera, per banale sostituzione;(b) E' falsa, per esempio per la (a);(c) No, infatti è esterno (in particolare non è punto di accumulazione);(d) E' corretta, per le stesse ragioni anticipate in (c).
Commento. Questo quiz aveva due risposte corrette.
Q2 . L'equazione di ^ si può esprimere (x + 2)2 + (y — 2)2 = 4.
(a) E' falsa perché il punto P non appartiene alla circonferenza.(b) E' falsa perché il raggio della circonferenza è 2 .(c) E' corretta. Infatti il punto P è interno alla circonferenza.(d) Per un pianto passano al massimo due tangenti ad una circonferenza.
Q3. Si ha che Po(0,0) = (1,0,0). Inoltre Pu = (0 ,1, 1), Pv = (0 , 1, - 1). Il piano tangente a y in / ( 0 , 0 ) è :
x — 1 y z 0 1 1 = 00 1 - 1
6 - Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 59
si ottiene x — 1 = 0 .
(a) E' corretta. Infatti il piano tangente a S? in /(0 ,0) è perpendicolare l vettore i.(b) E' falsa perché la retta normale è nella direzione del vettore (1,0,0).(c) E' falsa perché il piano tangente è perpendicolare al piano y = 0.(d) E' falsa per (b).
Q4. (a) E' falsa perché la retta tangente è nella direzione del vettore i 4- j + k .(b) E' falsa. Infatti il piano osculatore a fé7 in a (0) è £ — z + 3 = 0 .
(c) E' falsa per (b).(d) E' corretta. Infatti, la curva è contenuta nel piano f f è x — z + 3 = 0 (basta ricavare
il sin t dalla prima equazione e sostituire nella terza).Q5. Facendo il gradiente di / uguale a zero:
si ha che 2x - 2 = 0 e 2y + 2 = 0 .
(a) E' falsa perché / ( 1, - 1) = 1.(b) E' falsa perché la / è differenziabile ovunque nel dominio e possiede un solo
punto stazionario di / .(c) E' falsa per lo stesso motivo di (b)(d) E' corretta. Infatti l'unico punto stazionario di f è (1, — 1).
Q6 . Le matrici della conica sono:
(a) E' falsa perché il determinante di A non è positivo.(b) E' falsa perché il determinante di A non è negativo.(c) E' corretta. Infatti det B = - l e det A = 0.(d) E' falsa perché il determinante di B è diverso da zero.
Q7. (a) E' falsa perché 2 non è soluzione del polinomio caratteristico di A. Il polinomio caratteristico di A è : — t3 - 712 — 5¿4-10.
60 6 - Prova scritta del 15Luglio2011-2 ore
(b) E' falsa perché lo zero non è un autovalore di A.(c) E' corretta. Infatti
/ —4 0 — 3\ /0 \ /0 \0 - 2 0 1 [ 5 ) = —2 -15 ) .
\ —3 0 - 1/ \ 0/ W
(d) E' falsa perché il polinomio caratteristico di A ha un cambiamento di segno. Q8. La matrice associata ad / è :
f i 1 - 1 1 \
M ( f ) = ; _ ! ; _ i\0 -1 3 5
che ha rango 3. Per il teorema della dimensione dimKer (/) = 1.
(a) E' falsa in quanto li nucleo di / ha dimensione 1.(b) E' falsa in quanto / non è iniettiva.(c) E' falsa in quanto dim Im (/) = 3.(d) E' corretta. Infatti siccome M ( f ) è non singolare ammette lo zero come autovalore.
Q9 (a) E' falsa. Per esempio se A è la matrice nulla, il determinante è zero.(b) E' falsa. Infatti perché il determinante non è lineare.(c) E' falsa. Per esempio det(—I4) ^ — det(Ì4), dove I4 è la matrice identità di
ordine 4.(d) E' corretta. Infatti det(-A ) = ( - l ) n • det(^4) con n pari.
Q10 Si ha che U = Jgf(( 1 ,1 ,0),(0,1,1)) e V = Jf ( ( l , 0, -1 ) ,(1 ,1, -1 )).Usando la Formula di Grassmann
dim(C7 C\V) = dim U + dim V - dim(i7 + V) = 2 + 2 - 3 = 1.
(a) E' falsa perché l'intersezione fra due sottospazi vettoriali ha sempre il vettore nullo in comune.
(b) E'corretta perché dim(17 + V) = 3.(c) E' falsa perché dim U + dim V = 4.(d) E' falsa perché l'unione in questo caso non è un sottospazio.
Q l l (a) E' falsa. Per esempio si considerino i vettori u = (1,0,0),?; = (0,1,0), tt; = (2, 2, 2).
(b) E' falsa. Infatti se due righe di un determinante si ripetono vale zero.(c) E' corretta. Infatti
I(u X v,w)\ < \u x v\ • \vj\
6 - Prova scritta del 15 Luglio 2011-2 ore 61
per la disuguaglianza di Schwarz. Inoltre \uxv\ = \u\ • \v\• sin(u, v), da cui \uxv\ < \u\ • \v\. Mettendo insieme le due disuguagliane si prova la verità dell'enunciato.
(d) E' falsa perché esistono infiniti vettori che soddisfano la relazione, ad esempio tutti i multipli di w.
Q12 (a) E' falsa perché i 4 vettori sono linearmente dipendenti.(b) E' falso. Infatti rk(A) = 4 e per il teorema di Rouché-Capelli il sistema ha
soluzione unica.(c) E' corretta per il teorema di completamento ad una base.(d) E 'falsa per (a).
62 6 - Prova scritta del 15Luglio 2011-2 ore
S e c o n d a Pa r t e (E s e r c iz i)Esercizio 1. Sia dato l'endomorfismo di IR3 definito da
/(a , 6, c) = ( -2 a + b + c, b + c, 8ò - c).
(i) Determinare la matrice di / rispetto alla base canonica di R 3.(ii) Verificare che / R un isomorfismo.(iii) Determinare tutti gli autovalori di / .(iv) Determinare una base per ogni autospazio di / .(v) Determinare una matrice invertibile P € R3,3 tale che P ~ lAP sia diagonale.
Svolgimento deiresercizio 1.
(i) La matrice A d i f rispetto alle base canoniche è :
A =-200
1 1 ' 1 1 8 - 1
(ii) L'endomorfismo / è isomorfismo perché il determinante di A è diverso da zero.(iii) Gli autovalori di / sono le radici del polinomio caratteristico:
Pa (ì) = det(^4 — t i) =- 2 - t 1 1
0 1 - t 10 8 - 1 - t
= (—2 — t)(t2 — 9)
cioè gli autovalori di / sono: Ài = - 2 , À2 = 3 , À3 = - 3.(iv) Gli autospazi d i /s o n o tutti unidimensionali e sono V /( - 2) = Jif ((1,0,0)), V/(3) =
j£f((3,5,10)), Vf{—3) = Ji?((3,l, - 4)). Ciascun generatore è base del rispettivo autospazio.
(v) Le matrice P, D tale che P ~lA P = D, sono:
/I 3 3 \ ( - 2 0 0 \P = 0 5 1 , P = [ 0 3 0
\0 1 0 - 4 / \ 0 0 -3 /
Esercizio 2 . Sia data la funzione
f{x,y) = (y — 2 )(2x2 — y2).
(i) Calcolare / ( 0 ,1).(ii) Determinare i punti stazionari di / .(iii) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo (relativi) o di sella della funzione / .Nello spazio si consideri la superficie S di equazione z = (y — 2)(2x2 — y2).
6 - Prova scritta del 15 Luglio 2011-2 ore 63
(iv) Determinare l'equazione cartesiana del piano tangente a S nel punto (0,1,1).(v) Determinare le equazioni parametriche di una retta contenuta nel piano tangente a S nel punto (0 ,1,1).
Svolgimento deiresercizio 2 .
(i) / ( 0 ,1) = 1-(ii) Gli eventuali punti stazionari di / si calcolano facendo il gradiente di / uguale a
zero:
V /(x ,2/) = J = (4xV - 8z, 2x 2 - 3y2 + 4y) = (0,0)
si ottengono i punti Pi(2,\Z2),P2(2, - v/2),P3(0,0),P4(0,4/3).(iii) Calcolando la matrice hessiana di / in ciascuno di questi punti
/ d2f d2f \
a \ > i — 1>2,3,4 / I Pi
dx2 dxdy d2f &j_
\dxdy dy2 ) )P.
_ ( 4y — 8 4x
Ax — 6y + 4 ì
cioè :
"/<*>= C i -8 -6 + 4). = 8
= ( o 8 2) . » / W = ( - 80/ 3 -°8)-Siccome det Hf(Pì) < 0, z = 1,2,3, allora P1 .P2.P2> sono punti di sella per / .Invece siccome det Hf(P4) > 0, f xx < 0, allora P4 è un massimo per / .
(iv) Il piano tangente alla superficie S di equazione F( x ìy ìz) = 2x 2y - y33 - Ax2 + 2y2 - z = 0 nel punto P (0 ,1,1) è dato da
£ ( * - o ) + f : (9 - D + f : (2 —1 ) = 0<9z|p d y , / dz\p
cioè y — z = 0 .(v) Due punti del piano y - z = 0 sono (0 ,1, 1), (1,0,0). Una retta contenuta nel piano
èZ = (i,l - i , l -£).
64 6 - Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore
Esercizio 3. Sia date le rette r e s rispettivamente di equazioni
f x - y - z - 1 = 0 f x — 2y + 1 = 0[ 2 x — Sy — z — 2 = 0 , ' \ x — y — z + 1 = 0 .
(i) Verificare che le rette r e s non hanno punti in comune.
(ii) Stabilire se le rette r e s sono parallele o sghembe.(iii) Determinare 1' equazione di un piano contenente entrambe le rette.(iv) Al variare di h e R, determinare la posizione della retta r rispetto al piano tth di equazione
hx — y + hz + 1 = 0 .
Svolgimento deiresercizio 3.
(i) Si ha:
(A\b)1 - 1 - 1 1 \2 - 3 - 1 21 - 2 0 - 1
Vi - 1 - 1 - 1 /
che è equivalente alla matrice
/I -1 -1 1 \0 -1 1 00 0 0 -2
\o 0 0 -2 /
Il sistema è incompatibile e l'intersezione fra le due rette è vuota.(ii) Siccome rk(^4) = 2 , rk(A\b) = 3, allora le rette r, s sono parallele e distinte.
(iii) Si considera il fascio di piani che contiene la retta r, ossia À(x — y — z — 1) + fi(2x — 3y — z - 2) = 0, con A e /x non entrambi nulli. Poi se impone il passaggio per un punto della retta s . Si ottiene il piano y = z.
(iv) Usando il teorema di Rouché-Capelli , si ottiene che se h = 1/3, r fi nh = 0. Altrimenti si incontrano in un punto.
7
Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore
Q 1. Nello spazio è data la curva fé7 rappresentata parametricamente, al variare di t e R,
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) fé7 è contenuta nel piano x — y + 2 = 0;(b) La retta tangente a fé7 nel punto (—1,1,0) è ortogonale al piano xy ;(c) fé7 passa per l'origine O;(d) fé7 non è regolare.
Q 2 . Quale delle seguenti affermazioni è vera?Nello spazio l'equazione x 2 + y2 - 2z2 = 0 rappresenta
(a) una conica;(b) una sfera;(c) una superficie che ha in comune una circonferenza con il piano x = 0;(d) un cono.
P r im a Pa r t e (Q u i z )
da
65
66 7 - Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore
Q3. Nello spazio vettoriale R3 sono dati i sottospazi U = j£?((l,0,0),(2,3,4)) e V = if((2 ,0 ,0),(2 ,0 ,4)).Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) U C\V contiene il solo vettore nullo;(b) U + V ^ R3;(c) (3,0,0) eunv-,(d) U C V
Q4. Nello spazio è dato il piano tt : 2x — y — 5 = 0 Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) 7r è parallelo alla retta r : (x, y, z) = (£, 2 1 + 41) ;(b) 7r ha un punto in comune con la retta r : (x, y, z) = (t, 2t, 1 + 41);(c) 7r è parallelo alla retta 5 : (x, y, z) = (2£, - t , 1) ;(d) 7r è ortogonale alla retta r : (x, y, z) = (t , 2£, 1 + 4i) .
Q5. Sono dati i vettori applicati u = T+ 2j + Ah e v = 4i — 2k. Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) l'angolo tra u e v è acuto;(b) |u| < |u| ;(c) dim(jz? («,{;)) = 2;(d) il è ortogonale a il +
Q 6 . Sia data la funzione di due variabili reali f (x,y) = y /x 2 + y2 — 1.Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) g ( 2 , l > = -l;
(b) le linee di livello di / sono circonferenze ;(c) il grafico di / è un ellissoide;(d) il piano tangente al grafico di / in P(2,l,2) è parallelo al piano z = 0.
Q7. Sia f (x,y) una funzione di due variabili reali che ammette 0(0,0) come punto stazionario e sia 7r il piano tangente al grafico di / nel punto Q(0 ,0 , / ( 0 ,0)).Quale delle seguenti affermazioni è vera?(ai 7r è parallelo al piano xy ;(b) 7r è parallelo all asse z;(c) 7r e il grafico di / hanno solo il punto Q in comune;(d) 7r è ortogonale al vettore V/(0,Ò).
7 - Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 67
Q 8. E' data l'applicazione lineare / : R3 -» R4 definita da
f (x,y,z) = (x + 2y + z,x + 2y + z,y - 3z, - z)
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) non esistono vettori di R3 che hanno per immagine (1,0,0,0);(b) (1,0 ,0) appartiene a ker(/);(c) / è suriettiva;(d) dim(lm(f)) = 2.
Q9. Nello spazio è data la circonferenza fé7 di equazioni
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) Il centro di fé7 appartiene al piano z = 0;(b) fé7 passa per 0 (0 ,0 ,0 ) ;(c) fé7 ha raggio 2;(d) l'asse delle z non ha punti in comune con fé7.
Q 10 . Sia A e Rm,n la matrice dei coefficienti di un sistema lineare A X = B che non ha soluzioni.Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) il rango di A è m;(b) il rango di A deve essere maggiore di m;(c) il sistema lineare A X = O non è risolubile;(d) il rango di A deve essere minore di m.
Q ll . Sia data la matrice
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) A ha tre autovalori distinti;(b) A è invertibile;(c) un autospazio di A ha dimensione 2;(d) i è autovalore di A.
x 2 + y2 + z2 - 4z = 0, z - 1 = 0
A =
68 7 - Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore
Q12. È data in R2,2 la matrice M = ^
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) M rappresenta una rotazione nel piano di 27r/3 radianti ;(b) M ammette 0 come autovalore;(c) M è una matrice simmetrica;(d) M non è invertibile.
Soluzione dei QUIZ
Q l. (a) E' corretta Infatti sostituendo le coordinate parametriche della curva ^ nell'equazione del piano x — y + 2 = 0, si ottiene l'identità t — 1 — t — 1 + 2 = 0 .
(b) E' falsa. Siccome P'(t) = (1,1, t2 — 1), allora la retta tangente alla curva fé7 nel punto (—1, 1, 0 ) è nella direzione del vettore (1, 1, —1) invece il piano z = 0 è ortogonale al vettore (0 ,0 ,1).
(c) E' falsa. Se (0,0,0) €fé?/ £ - l = 0 = £ + l e d i conseguenza 1 = —1 che è un assurdo.
(d) E' falsa perché ^ è iniettiva, fé7 è C°°, e ^' {t ) ^ 0, per ogni t.Q2 . (a) E' falsa in quanto non è una curva piana.
(b) E' falsa in quanto i coefficienti dei termini al quadrato non sono uguali.(c) L'intersezione con il piano x = 0 è la curva y2 — 2z2 = 0 che non rappresenta
una circonferenza.(d) E' corretta in quanto è un'equazione informa canonica omogenea di grado 2.
Q3. Usando la formula di Grassmann si ottiene:
dim(U + V) = dim U + dim V - dim(C7 D V) = 3.
Notare che U D V = -S?((l, 0,0)), ma siccome U + V < R3 e dim(£/ + V) = 3, alloraU + V = R3.
(a) E' falsa. Per esempio (1,0,0) e U fi V.(b) E' falsa . Segue immediatamente della formula di Grassmann.(c) E' corretta in quanto U n V = Jf ( ( l , 0,0)) e (3,0,0) = 3 • (1,0,0).(d) E' falsa. Per esempio (2,3,4) e U, ma (2,3,4) non appartiene a V.
Q4. (a) E' corretta in quanto < (2 , —1, 0), (1, 2 ,4) > = 0 .(b) E' falsa. Infatti sostituendo le coordinate parametriche di r in n si ottiene 21 —
2 i - 5 = 0 = > - 5 = 0 assurdo.
7 - Prova Scritta del 15 Luglio 2011 -2 ore 69
(c) E 'falsa in quanto < (2 , —1,0), (2 , —1,0) 0 .(d) E' falsa in quanto i vettori (2 , - 1,0) e (1,2 ,4) non sono proporzionali.
Q5. (a) E' falsa perché il prodotto scalare è negativo. Infatti, < (1, 2 ,4), (4,0, - 2) > = -4 .
(b) E' falsa perché \ / l 2 + 22 + 42 < \/42 + 02 + 22.(c) E' corretta perché i due vettori sono linearmente indipendenti e generano un sottospa
zio vettoriale di dimensione 2.(d) E' falsa. Infatti il prodotto scalare < (1,2 ,4), (5,2 , 2) > = 17 ^ 0.
Q6 . (a) E 'falsa infatti
(b) E' corretta perché le linee di livello di f sono equazioni del tipo x 2+y2 = k2+ 1, k e R.(c) E' falsa perché x 2 + y2 — z2 — 1 = 0 è un ' iperboloide ad una falda.(d) E' falsa, infatti, il piano tangente al grafico di / nel punto (2 ,1,2) è :
g ) , , s _ 1 ) + ( | )" 7 1(2,1,2) X * 7 1(2,1,2) X 7 1(2,1,2)
cioè
2x + y — 2z — 1 = 0 .
Q7. (a) E' corretta perché se il punto (0,0) è un punto stazionario di / vuol dire che le sue derivate parziali rispetto a x e y si annullano nel punto (0 , 0 ), allora ilpiano tangente è della forma i §£ ] ■ z = 0.
' 7 l(0,0,/(0,0))(b) E' falsa perché il prodotto scalare (0,0,1) • (0,0, a) ^ 0 con a = f §£) ^
7 l(0,0,/(0,0))0 .
(c) E' falsa perché in generale una superficie e un piano si intersecano lungo una curva. La funzione / potrebbe per esempio avere nel punto P un punto di sella.
(d) E' falsa in quanto il punto (0,0) G n .Q8. (a) E' corretta. Per vedere che non esiste vettore in R3 che abbia come immagine (1,0,0,0)
si prova l'incompatibilità del sistema
f x + 2 y + z = 1 x + 2 y + z = 0
y — 3z = 0 - z = 0
70 7 - Prova Scritta del 15 Luglio2011-2 ore
Per il teorema di Rouché-Capelli il rango della matrice dei coefficienti è 3, mentre il rango della matrice completa è 4. Infatti
/ I 2 1 1\ n 2 1 1 \ n 2 1 1 \1 2 1 0 0 0 0 - 1 0 1 - 3 00 1 - 3 0 0 1 - 3 0 0 0 - 1 0
\ 0 0 - 1 o) Vo 0 - 1 0 1 Vo 0 0 - 1 /
(b) E' falsa in quanto / ( 1,0,0) ^ (0,0,0,0).(c) E' falsa in quanto dim Im (/) < 3 ^ 4 .(d) E' falsa perché dim lm (/) = 3.
Q9. Per calcolar il centro della la circonferenza fé7 si determina l'equazione della rettal passante per il centro della sfera x 2 + y2 + z2 — 4z = 0 e ortogonale al piano z — 1 = 0 . Si ottiene
Notate che il centro della sfera è il punto C (0,0 ,2) e il raggio è R = 2 . Sostituendo le coordinate di l nell'equazione del piano si ottiene che t = — 1, perciò il centro di ^ è il punto Cf(0 , 0 , 1). Invece il raggio della circonferenza è
(a) E' falsa, perché il centro ha terza coordinata z ^ 0.(b) E' falsa, perché la circonferenza giace nel piano z = 1.(c) E' falsa perché fé7 ha raggio \/3.(d) E' corretta perché il centro della circonferenza giace sull'asse z.
Q10 . (a) E' falsa perché se rk(A) = m, per il teorema di Rouché - Capelli il sistema sarebbe compatibile.
(b) E' falsa in quanto rk(A) < min{m,n}.(c) E' falsa in quanto un sistema omogeneo è sempre compatibile.(d) E' corretta. E' conseguenza diretta del teorema di Rouché-Capelli.
Q ll. Il polinomio caratteristico della matrice A è
r = y/R2 - d(C, C ' ) 2 = = Vd.
- t 1 0Pt(A) = det(A — t i) = 1 — t 0 = — t(t + l)(t — 1).
0 0 - t
(a) E' corretta in quanto pt{A) ha tre radici reali distinte.(b) E' falsa perché A ammette lo zero come autovalore.
7 - Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 71
(c) E' falsa in quanto ci sono esattamente tre autospazi e ognuno ha dimensione 1.(d) E' falsa perché l'unità immaginaria v ^ T non è tra le radici del polinomio
carateristico di A.
Q12. (a) E ' corretta. Si tratta di una matrice ortogonale speciale
(b) E' falsa in quanto M è non singolare perché det M = l e con ciò lo zero non è autovalore.
(c) E' falsa perché lM ^ M.(d) E' falsa in quanto det M ± 0.
Esercizio 1. Sia V = {(x,y ,z) e M3|x + y — z = 0, x — y + z = 0} e sia / : R3 —>* R3 l'applicazione lineare avente come nucleo il sottospazio V e tale che A = 2 è autovalore con autospazio generato dai vettori ( l , l , l ) e ( l , l , 2).(i) Determinare una base per V.(ii) Provare che / non è suriettiva.(iii) Scegliere una base 9& per R3 formata da autovettori di / e scrivere la matrice associata ad / rispetto alla base SS.Svolgimento deH'esercizio 1 .
(i) L'insieme V è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato alla
matrice j ^ . Riducendo questa matrice mediante operazioni elementa
ri di riga si ottiene:
V = {(x,y,z)\x = 0, y = z}. Una base di V è formata dell'insieme {(0,1,1)}. (ii) / non è suriettiva, infatti
M = cos(27r / 3) sin(27r / 3) — sin(27r/3) cos(27r/3)
S e c o n d a Pa r t e (E s e r c iz i)
i i - i i - i i
I m / = Jgf((0,0,0),(2,2>2),(2,2,4)) = JS?((2,2,2),(2,2,4)).
(ii) Una base B§ per M3 formata da autovettori di / è l'insieme ordinato
« = ((0 ,1,1), (1,U ) , (1,1,2 ))
72 7 - Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore
La matrice associata a / rispetto alla base SS è :
0 0 0 0 2 0 0 0 2
Esercizio 2 . E' data la funzione / : R2 —>> R3 definita da:
f{u,v) = (ucosv, 2uv, usinv).
(i) Scrivere la matrice jacobiana della funzione / .
(ii) Trovare le curve coordinate della superficie S rappresentata parametricamente da (x, y,z) = (u cos v, 2uv, u sin v) passanti per il punto (1, 0 , 0 ) e dire di che curve si tratta.(iii) Determinare il piano tangente a S nel punto di coordinate (1,0,0) e un versore n ad esso ortogonale, (iv) Verificare che l'asse delle x è contenuto in S.
Svolgimento deiresercizio 2 .
(i) La matrice Jacobiana di / è :
(ii) Si ha che f (u,v) = (ucosv^uv ,us inv) , in particolare il punto (1, 0 , 0) si ottiene con u0 = 1, vq = 0 . Allora le curve coordinate di S che contengono il punto (1 , 0 , 0 ) sono la retta y = z = 0 e la curva (x, y, z) = (cos v, 2v, sin v).
(iii) Considerando che Pu( 1,0) = (1, 0 , 0), e Pv( 1,0) = (0 , 2 , 1). Il piano tangente a S nel punto di coordinate (1, 0 , 0) è :
x — 1 y z1 0 0 = 00 2 1
Esercizio 3.(i) Discutere al variare del parametro reale h il sistema
x + y + z = h, hx — y + z = 1, x + 3y — z = h.
7 - Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 73
(ii) Utilizzando i risultati precedenti, determinare, al variare del parametro reale h, in che posizione reciproca si trovano i tre piani ir± : x + y + z = '• hx - y + z =1, 7t3 : x + 3y - z = h. In particolare dire se ci sono dei valori di h per cui i tre piani appartengono a un fascio.
Svolgimento deiresercizio 3.
(i) Si usa il teorema di Rouchè - Capelli. Si ha:
(.A\b)1 1 h\ ( 1 ì 1 h \ ( 1 ì 1
- 1 1 1 ~ [ h + 1 0 2 h il ^ U + i 0 23 - 1 h ) V 0 2 - 2 0 / V o 1 - 1
/ i 0 2 h \[ h + 1 0 2 /i + lV 0 1 - 1 0 /
kO
0 2 h\ / I 0 2 h \ A 0 20 2 / h + l 1 ~ 0 0 2h/h "1" 1 1 - Ti ~ 0 0 11 - 1 0/ \ 0 1 - 1 0 / V o 1 - 1
h(1 - h ) ( h +
0
Se h ^ — 1 e ft ^ 0, allora il sistema è compatibile e ha soluzione unica perché rk^4 = rk(A\b) = 3. Se h = 0
In questo caso, il sistema è incompatibile, infanti rkASe h = - 1
/ 1 0 20 0 2
VO 1 -1
2 ^ ik{A\b) = 3.
Il sistema è compatibile con soluzione unica.(ii) Per nessun valore di h , rk A = 2 , rk(A\b) = 2. Non esiste fascio che contenga i piani
tti 5 tt2, tt3* Invece quando h = 0, il sistema è incompatibile. Altrimenti i tre piani si intersecano in un unico punto.
8
Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore
Q l. Un sistema lineare A X = B con A matrice quadrata non invertibile;(a) non è risolubile;(b) se è risolubile ha una incognita libera;(c) se è risolubile ha solo la soluzione nulla;(d) si può risolvere se ogni colonna della matrice B è combinazione lineare delle
colonne di A.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) u, v, w sono linearmente indipendenti;(b) Il prodotto misto dei tre vettori vale 1.(c) u, v, w non sono complanari.(d) Il volume del parallelepipedo generato dai tre vettori è nullo;
Q3. L'equazione x 2 - 3xy + 8y2 = 1 rappresenta(a) un'iperbole;(b) una coppia di rette distinte;(c) una parabola;(d) un'ellisse.
P r im a Pa r t e (Q u i z )
Q 2 . Siano dati i vettori di R3 u =
75
76 8 - Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore
Q4. Siano dati la retta r e il piano n rispettivamente di equazioni {x,y,z) = (£,£,£) e 2x - y — z — 3 = 0. Dire quale delle seguenti affermazioni è vera.(a) r e 7r sono incidenti;(b) r e 7r sono ortogonali;(c) r fi 7r = 0;(d) Il fascio avente per asse r contiene il piano 7r.
(a) si annulla su almeno un vettore non nullo di R3.(b) èsuriettiva;(c) èiniettiva;(d) ha nucleo di dimensione 1;
Q 6 . La funzione/(x,y) = e ^ 2+2/2_1)(a) ha un punto di minimo neU'origine;(b) non possiede punti stazionari;(c) è tale che il piano tangente al grafico nel punto (0 ,0 , l/e ) èe -x+e-y-e-z + 1 = 0;
(d) non possiede minimi assoluti.
Q7. Nello spazio sia data la sfera y di equazione
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Il centro di y è (2,1,1).(b) Il centro di y ha distanza 1 dal punto (0,0, - 2).(c) La distanza del piano 4x + 2y + 2z = 0 dal centro della sfera è uguale al raggio.(d) (0 ,0 , - 2) G y .
Q 8 . Sia data la funzione / : R2 —> R definita da
Q5. L'applicazione lineare / : R3 —> R2 definita da
4x2 + 4 y2 + 4 z2 + 4x + 2y + 2z = 0.
f (x,y) = 1 + \ / l 2 — 3x2 - 4 y2
(a) La funzione non possiede né massimi né minimi assoluti;(b) Il dominio della funzione è chiuso e limitato;
8 - Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore 77
(c) la funzione non possiede punti stazionari;(d) Il piano tangente al grafico della / neH'origine coincide con il piano xy.
( 1 1 5 \I l o 3
Q9. Si consideri la matrice: B := q 2\2 2 10 )
(a) Il rango di B è 3;(b) L'immagine dell'applicazione lineare R3 ->> R4 associata a B ha dimensione 3;(c) Le prima, la seconda e la terza riga sono linearmente indipendenti;(d) Due colonne distinte qualsiasi di B formano una base dello spazio delle colon
ne.
Q 10 . Sia 7 (t) = (t3 - 2 + 41, 2t3 + 1 - 2i, t) una curva nello spazio.Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) La curva 7 non è differenziabile;(b) La retta tangente alla curva 7 in ogni suo punto è parallela a i + j.(c) La curva 7 è differenziabile ma non regolare;(d) La curva 7 è piana;
Q ll . Sia V il sottinsieme di R4 definito da V :=
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) V non è il nucleo di un'applicazione lineare(b) V è immagine di un'applicazione lineare R4(c) F è u n sottospazio di R4 di dimensione 2;(d) V è un sottospazio di R3 di dimensione 1;
r (x\ 2x + 3z = 0y I e K 4 x — y -¡-2z — t = 0 >
x - h y + z + t = 0
r* -> j R3
Q 12 . Sia f (x,y,z) = z2 + z2y — x 3 - x — y - z e si consideri la superficie 5 / di equazione f (x,y,z) = 0 . Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) Sf è regolare nell'origine e ha ivi piano tangente uguale a x + y + z ^ O ;(b) Sf è una quadrica;(c) Sf possiede punti in cui non è regolare.(d) 5 / è un cono con vertice nell'origine;
78 8 - Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore
Soluzione dei QUIZ
Q l. (a) E' falsa. Per esempio se B è la matrice nulla, il sistema è risolubile.(b) E' falsa. Per esempio si prenda A una matrice quadrata 3 x 3 con tutti gli
elementi uguale a 1 e B = 0, allora ci sono due incognite liberi.(c) E' falsa. L'esempio dato in (b) è risolubile e ammette infinite soluzioni.(d) E' corretta. E' conseguenza immediata del teorema di Rouché-Capelli.
Q2 . Si ha- 4
1-6
= 0 .
(a) E' falsa perché il determinante di A è nullo.(b) E' falsa perché il prodotto misto dei tre vettori è equivalente al valore del
determinate calcolato sopra.(c) E' falsa perché tre vettori non sono complanari se il prodotto misto è diverso
da zero.(d) E ' corretta. Il valor assoluto del prodotto misto di tre vettori equivale al volume del
parallelepido da loro generato.
Q3. Le matrici della conica sono:
e“( - f T i ) H ^ ~*3/2dove det B = -2 1 /4 ^ 0 e det A = 21/4 > 0
(a) E' falsa perché det A > 0.(b) E' falsa perché det B ^ 0.(c) E' falsa perché det A ± 0.(d) E' corretta perché det A > 0.
Q4. (a) E' falsa Infatti 2t — t — t — S = 0, cioè - 3 = 0 assurdo.(b) E' falsa perché il vettore (1,1,1) non è proporzionale al vettore (2 , — 1, — 1).(c) E' corretta per Vosservazione fatta in (a).(d) E' falsa perché ir non contiene r.
Q5. Per il teorema della dimensione si ha
dim Ker / = dimR3 — dim Im / = 2.
8 - Prova Scritta del 13 Settembre 2011 -2 ore 79
(a) E' corretta perché il nucleo di f è diverso del vettore nullo.(b) E' falsa perché d im lm / ^ 2 .(c) E' falsa perché dimKer f ^ 0.(d) E' falsa perché dim Ker / = 2.
Q6. Siccome la funzione esponenziale è strettamente crescente, basta porre 2x = 0, 2y = 0. L'unico punto stazionario di / è (0,0). La matrice Hessiana nel punto (0 , 0 ) è:
(a) E' corretta. Infatti f ammette un punto minimo nell'origine.(b) E' falsa perché (0,0) è un punto stazionario di / .(c) E' falsa. Il piano tangente al grafico di / nel punto (0,0,1 /e) ha i coefficienti di
X e di y nulli.(d) E' falsa, perché (0,0) < f (x,y) per ogni (x, y) G R2.
Q7. L'equazione della sfera 5? si pu ò scrivere nel modo seguente:
(* + 1/ 2)2 + (y + 1/4)2 + (z + 1/4)2 = 3/8
(a) E'falsa, infatti il centro è C (—1 /2 ,-1 /4 ,-1 /4 ) .(b) E' falsa. Infatti d(C, (0,0, -2 )) = V (( l/2 )2 + (1/4)2 + (7/4) 2 ± ^/3/8.(c) E' corretta. Infatti la distanza del piano 4x + 2y + 2z = 0 al centro della sfera è uguale
V m .(d) E' falsa perché al sostituire le coordinate del punto (0,0, - 2) nella equazione
di y si ottiene 12 = 0 .
Q8. (a) E' falsa, infatti per ogni (x,y) nel dominio si ha
1 < f{x,y) < 1 + Vl2.
Quindi ha un massimo assoluto nell'origine e una curva (un'ellisse) di minimi assoluti.
(b) E' corretta. Infatti il dominio è l'interno insieme al bordo dell'ellisse Sx2 + 4y2 < 12 che è un insieme chiuso è limitato.
(c) E' falsa perché l'origine è un punto stazionario per / .(d) E' falsa, infatti il piano tangente al grafico di / nell'origine è z — 1 — \/l2 = 0.
Q9. (a) E' falsa perché rkB = 2.
80 8 - Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore
(b) E' falsa perché la dimensione deirimmagine dell'applicazione lineare associata a B coincide con rkB.
(c) E'falsa. Infatti ( 0 , - 1, 2) = (1,1,5) - (1,2,3).(d) E' corretta. Infatti due a due i vettori colonne di B sono indipendenti.
Q10. (a) E' falsa. Infatti le coordinate parametriche della curva sono polinomi.(b) E' falsa perché 7 è regolare.(c) E' falsa perché la retta tangente è nell direzione del vettore (312 + 4 ,6£2 - 2 , 1).(d) E' corretta. Infatti il piano che contiene la curva 7 è : n : 2x - y - lOz + 5 = 0. Una
forma per determinare si la curva è piana è quella di scegliere tre di suoi punti non allineati; ad esempio, A (—2 , 1 ,0), B (3 ,1 ,1), C(14,13,2). Si determina l'equazione del piano passante per tali punti:
Si sostituiscono le equazioni parametriche di 7 in quella di n e siccome si ottiene 0 = 0, si conclude che la curva è piana.
Q ll. (a) E' falsa perché il sistema è omogeneo.(b) E' falsa perché V è proprio il nucleo di un'applicazione lineare.(c) E' corretta, infatti la matrice dei coefficienti ha rango 2. Segue del teorema della
dimensione che V ha dimensione 2.(d) E' falsa perché è un sottospazio di R4 di dimensione 2 .
Q12. (a) E' corretta. Infatti si ha che
e il piano tangente in (0 , 0 , 0) è proprio x + y + z = 0 .(b) E' falsa in quanto il polinomio è cubico.(c) E' falsa in quanto è una funzione polinomiale.(d) E' falsa in quanto l'equazione non è omogenea di grado 2.
x + 2 y — 1 z 7r : 5 0 1 = 0 .
16 12 2
S e c o n d a Pa r t e (E s e r c iz i)
Esercizio 1. Sia dato l'endomorfismo di M2 definito, per ogni vettore G M2, da:
/( x \ (Sx + 4y\ \ y J + 9 y )
(i) Trovare la matrice M j ’s di / rispetto alla base canonica £ = (ei ,e2);
8 - Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore 81
(ii) Determinare gli autovalori di / ;(iii) Determinare gli autospazi di / ;(iv) Stabilire se / è un endomorfismo semplice;(v) Trovare una base V di IR2 tale che la matrice associata M j ìV di / sia diagonale.
Svolgimento dell'esercizio 1.
F F(i) La matrice di / rispetto alla base canonica è : Mj ’ =
(ii) Gli autovalori di / sono le radici del polinomio caratteristico della matrice M ^,£ che viene dato da:
det(3 4 X 9 l a. ) = * 2- 12»+11 = 0.
Le soluzioni della equazione ci danno gli autovalori: Ài = 1, À2 = 11.
(iii) Gli autospazi sono Va . = Ker ^ 4 ^ 9 ^ ^ i = 1,2 e otteniamo:
^1 = { a ( “ 2) | A e R } Vn = { A ( j ) | A € R }
(iv) / è semplice, infatti ci sono due autovalori distinti.(v) Una base V di M2 per cui la matrice associata di / sia diagonale si ottiene con gli
autovettori:
Esercizio 2 . Sia data la funzione
f (x,y) = x3 + y2 + xy
e sia Sf la superficie grafico di / , definita dall'equazione F(x, y, z) = 0 con F(x, y, z) := f {x, y) — z.
(i) Provare che (1, 1,3) e Sf .(ii) Trovare il piano tangente a Sf nel punto (1,1,3).(iii) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo e di sella della funzione /•(iv) Calcolare un versore normale 1$ a Sf nel punto di coordinate (0 , —1, 1). Svolgimento ddl'esercizio 2 .
(i) Risulta: F( x ìy ìz) = f{x,y) - z = x 3 + y2 + xy - z = 0, allora (1, 1, 3) e Sf , infatti1 + 1 + 1 — 3 = 0.
82 8 - Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore
dF dF dF(ii) Le derivate parziali di F sono: -7— = Sx2 + y, -7— = 2y + x, -7— = — 1 che valutate
ox oy oznel punto (1,1,3) diventano rispettivamente 4,3, — 1.Il piano tangente y r a F i n (1,1,3) è : 4(x - 1) + 3 (y — 1) — (z — 3) = 0 , cioè :4x + 3y — z — 4 = 0.
(iii) Facendo il gradiente di / uguale a zero:
v/(x,y) = ( ^ > § 0 = (3z2 + y , x + 2y) = (0,0)
si ottengono i punti P = (0 ,0),Q (l/6 , -1 /12).La matrice Hessiana di / è
/ a V d2f \tj _ I dx2 dxdy
\dxdy dy2 )
6x 1 1 2
Siccome d e tif /(P ) = — 1, allora il punto P è un punto di sella per / . Invece, il punto Q è un punto di minimo, infatti det Hf(Q) = 1 e f Xx{Q) = 1 > 0 .
(iv) Valutando le derivate parziali di F rispettivamente nel punto di coordinate (0, -1 ,1 )si ottiene il vettore (1, 2 , 1) che risulta essere un vettore normale 1$ a Sf . Per averlo
versore basta dividere per il modulo e otteniamo (-L , - 1 , -L ).
Esercizio 3. Nello spazio siano dati il piano n e la sfera S rispettivamente di equazione
ir : x + y — z — 1 = 0 , S : x 2 + y2 + z2 — 4x — 2y + 4z = 0
(i) Determinare centro e raggio di 5.(ii) Scrivere equazioni cartesiane per la circonferenza S D n.(iii) Determinare raggio e centro della circonferenza S n n.(iv) Posto nh '• x + y — z + h = 0, determinare per quale o quali valori di h il piano tth interseca la sfera S lungo un cerchio massimo.
Svolgimento deH'esercizio 3.
(i) L'equazione della sfera S si può scrivere : (x - 2)2 + (y — l )2 + (z + 2)2 = 9. Segue che il centro è C (2 ,1, - 2) e il raggio R è 3.
(ii) L'equazioni cartesiane della circonferenza S D 7r sono:
8 - Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore 83
(iii) Si determina la retta l passante per il centro della sfera e perpendicolare al piano ir:l —\ (x = 2 + i, y = 1 + z = - 2 — t), t e R. Il centro della circonferenza si ottiene facendo Ir\n. Sostituendo le coordinate parametriche della retta nell'equazione del piano, si ha che t = —4/3. Il centro della circonferenza è : C' = (2/3, —1/3, —2/3). Per calcolare il raggio r della circonferenza, possiamo usar il teorema di Pitagora,infatti, r = y/ 9 — d(C,C')2 =
(iv) Basta imporre che d((2 , 1, - 2), n) = 0, cioè |5 + h\ = 0 e allora h = —5.
9
Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore
P r im a Pa r t e (Q u i z )
Q l. In R2 si consideri l ' insieme
A = {(z,y) | 1 < x 2 + y2 < 4 } .
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) (0,0) è interno ad A.(b) A è compatto.(c) ( \ /2 , 0) è esterno ad A.(d) R2 \ A è chiuso.
Q 2 . Nello spazio sia data la sfera S di equazione
x 2 + y2 + z2 — 4x + 2z + 1 = 0 .
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Il piano d'equazione x + y + z = 2 passa per il centro di S.(b) La retta di equazioni parametriche (x,y,z) = (t,t,t) interseca S in due punti
distinti.(c) Esiste un piano ir tale che ir D S sia una circonferenza di raggio 1.(d) Il raggio di S è 1.
Q3. Nello spazio sia data la curva C di equazioni parametriche
(x,y,z) = (3 cosi, 5 sin ¿,4 cosi), t e R.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
85
86 9 - Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore
(a) C è contenuta nella sfera di equazione x 2 + y2 + z2 = 25.(b) La curva C passa per il punto (4,2,2).(c) La retta di equazioni parametriche {x.y^z) = (5,5,5), s e R, è tangente a C.(d) C è contenuta nella sfera di equazione x 2 + y2 + z2 = 5.
Q4. Si consideri la funzione/(x ,y) = e4*2-*'a+2«'.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) / non è derivabile neU'origine.(b) / non ha punti stazionari.(c) Il punto (2 , — 3) è un massimo relativo per / .(d) Lo sviluppo di Maclaurin al primo ordine di / è 1 + 2y.
Q5. Per ogni h e R si consideri nel piano la conica Ch di equazione
x 2 + 2 xy + hy2 = 2x.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) Per ogni h e R, Ch è non degenere.(b) Esistono infiniti h e R tali che Ch sia una parabola.(c) Per ogni h e R, Ch è un'ellisse.(d) Esistono infiniti h e R tali che Ch sia un'iperbole.
Q 6 . Nello spazio siano date la retta r ed il piano a rispettivamente d'equazioni
{ 2xX- z i - Zz - 2 = 0, a : x - 2 y + l = 0.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) r e a si intersecano in un punto.(b) r C a.(c) r e a sono paralleli.(d) r è perpendicolare a a.
Q7. Sia / : R3 —> R4 l'applicazione lineare definita da
f{x,y,x) = {x + y + 2z,2x + 2y, - x - y - 2z, - 2x - 2y).
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) / è iniettiva.
9 - Prova Scrìtta del 13 Settembre 2011 - 2 ore 87
(b) ( -2 ,-3 ,2 ,3 ) ¿ I n i (/).(c) La matrice di / rispetto alle basi canoniche ha rango 2.(d) dim(ker(/)) = 2 .
Q 8 . Nello spazio siano dati i punti A = (1, - 1, 1), B = ( - 2 , —1, -1 ), C = (1,1, - 3) eO = (0 ,0 ,0 ).Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) I punti A, B, C sono allineati.(b) \AB\ = 2\OC\.(c) I punti A, B ,C e O sono complanari.(d) I vettori O A, OB, OC sono linearmente indipendenti.
Q9. Sia data una matrice A e R3’4 di rango 3.Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) I sistemi A X = 03,i e *AX = 04,i sono equivalenti.(b) Per ogni B e R3,1 il sistema A X = B non ha un'unica soluzione.(c) Per ogni B e M4,1 il sistema lA X = B ha un'unica soluzione.(d) Il sistema lA X = 04,i è incompatibile.
Q10. In R3 si considerino i vettori a = (1, - 1, - 1), b = (2, - 3, - 1), c = (3, — 4,2) e sia A la matrice avente tali vettori come righe.Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) S f (a,6,c) = R3.(b) Il sistema A X = O34 ha infinite soluzioni.(c) y/3a + (1 - ^ 6)i> = 7r3c.(d) Esiste d e R3 tale che d g (a,6,c).
Q l l . Siano date le matrici
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) det(A21B 17) = -1 .(b) 2 A - 3B non ha autovalori in R.(c) det(A21B 17) = 7r3.(d) A e B sono linearmente dipendenti in R3,3.
A = B =
88 9 - Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore
Q 12 . Si consideri l'applicazionef(u,v) = (u2,uv,v2).
Quale delle seguenti affermazioni è vera?(a) La matrice jacobiana di / in (0,0) non esiste.(b) (1,0,4) appartiene aH'immagine di / .(c) La matrice jacobiana di / in (0,0) è nulla.(d) / non è continua in (0 ,0).
Q l. (a) E' falsa. Infatti 1 < 0 < 4 è un'assurdo.(b) E' falsa perché l'insieme non è chiuso.(c) E' falsa perché 1 < 2 < 4.(d) E' corretta. Infatti l'insieme è aperto.
Q2 . (a) E' falsa. Infatti 2 + 0 - 1 ^ 2.(b) E' falsa perché St2 - 2t + 1 = 0 non ha soluzioni reali.(c) E' corretta. Infatti il raggio della sfera è 2 .(d) E' falsa per quanto detto in (c).
Q3. (a) E' corretta. Infatti 25(cos21 + sin2 1) = 25.(b) E' falsa perché 3 cos 4 + 5 sin 24 cos 2 ^ 0 .(c) E' falsa. Infatti il vettore tangente alla curva C non è nella direzione del vettore
(d) E' falsa per quanto detto nel punto (a).Q4. (a) E' falsa perché esistono tutte le derivate parziali di / nell'origine.
(b) E' falsa. Il punto (0, —1) è un punto stazionario per / .(c) E' falsa perché il punto P (2 , -3 ) non è un punto stazionario per / .(d) E' corretta. Infatti il polinomio di Mac-Laurin è :
Soluzione dei QUIZ
f (x,y) = / ( 0,0) + (— )|(0j0)* + ( ^ ) | ( 0,0)V = 1 + 2 y.
Q5. Le matrici della conica sono
9 - Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore 89
(a) E' falsa perché se h = 0, allora det B = 0 e la conica sarebbe degenere.(b) E' falsa perché la conica è parabola quando det A = 0, cioè per h = 1.(c) E' falsa perché la conica è un'ellisse quando det A > 0, cioè soltanto per h > 1.(d) E' corretta. Infantti è iperbole quando det A < 0, cioè per h < 1.
Q6. Il sistema dato delle 3 equazioni è rappresentato dalla matrice:
/ I - 1 - 1 1 (A\b) = 2 - 3 - 1 2
\ 1 - 2 0 - 1
che è equivalente alla matrice
1 - 1 - 1 10 - 1 1 00 0 0 - 2
(a) E' falsa perché il sistema (^4|b) è incompatibile.(b) E' falsa per la stessa motivazione di (a).(c) E' corretta. Infatti ik(A\b) = 2 e rk(A) = 3.(d) E' falsa perché sono r e a sono paralleli.
Q7. La matrice A associata a / rispetto alle base canoniche è :
/ 1 1 2 \A o o n
1 12 2
- 1 - 1\ — 2 -2
20
-20
(a) E' falsa. Infatti per il teorema della dimensione dimKer / = 3 - rk(A) = 1.(b) E' falsa perché (-2 , - 3 , 2 , 3 ) = - | ( l , 2 , - l , - 2 ) - § (1 ,0 ,-1 ,0 ).(c) E'corretta. Infatti rk(^4) = 2.(d) E' falsa per la stessa motivazione di (a).
Q8 . (a) E' falsa perché l'insieme dei punti {(1, - 1, 1), ( - 2 , - 1, - 1), (1, 1, - 3)} è linearmente indipendente, infatti
1 - 1 1 -2 - 1 - 11 1 - 3
90 9 - Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore
(b) E' falsa perché \/l3 ^ 2 • vTL(c) E' falsa perché il prodotto misto fra i vettori OA, OB, OC non è nullo.(d) E' corretta per la stessa motivazione di (a).
Q9. Si usa il teorema di Rouché-Capelli.
(a) E' falsa. Innanzitutto il numero di incognite dei due sistemi sono diversi.(b) E' corretta. Infatti il numero di incognite è 4 e rk(A) = 3.(c) E' falsa perché è rk(tA) = 3.(d) E' falsa perché i sistemi lineari omogenei sono compatibili.
Q10 . Si ha
n - i - i \ / i - i - i \ / i - ì - nA = 2 - 3 -1 ~ 0 -1 1 - 0 - 1 1 .
\ 3 - 4 2 / \ 0 - 1 5 / \0 0 1 /
(a) E’ correta. Infatti la matrice A ha rango 3.(b) E' falsa. Per il teorema di Rouché-Capelli il sistema ha soluzione unica.(c) E' falsa. Infatti \/3 + 2 - 2 v^6 ^ Zir3.(d) E' falsa perché l'insieme dei punti {a, b, c} è una base per IR3.
Q ll. Si usa il teorema di Binet. Infatti det(A • B) = det A • det i? = 1 • — 1 = — 1.
(a) E' corretta. Infatti det (A21 B 17) = -1 .(b) E' falsa perché il polinomio caratteristico ha grado 3 e allora ammette almeno
una radice reale.(c) E' falsa per quanto detto in (a).(d) E' falsa. Basta osservare l'elemento (1,2) di ciascuna delle matrice, infatti uno
è nullo invece l'altro no.
Q12 . La matrice jacobiana di / è
(2u 0 \J (f ) = [ V li .
\ 0 2v )
(a) E' falsa. Infatti la matrice jacobiana neU'origine è la matrice nulla di ordine 3 x 2 .
(b) E' falsa. Inffatti se u = 0, allora sostituendo nella prima coordinata si ottiene un'assurdo. Lo stesso accade se v = 0 .
9 - Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore 91
(c) E' corretta per quanto osservato prima.(d) E' falsa. Infatti le coordinate parametriche di / sono polinomi e allora / è
continua.
S e c o n d a Pa r t e (E s e r c iz i)Esercizio 1. Sia dato l'endomorfismo / : R3 -» R3 avente matrice
rispetto alla base canonica, (i) Determinare il nucleo di / : 0 è autovalore di /?(ii) Determinare una base dell'immagine di / .(iii) Determinare v e R3 non appartenente all'immagine di / .(iv) Determinare tutti gli autovalori di / .(v) Determinare una base di R3 formata da autovettori di / .Svolgimento deiresercizio 1 .
(i) Per calcolare il nucleo di / si risolve il sistema omogeneo associato alla matrice A. Infatti,
/ —3 4 — 2\ / I O 0 A = -3 4 - 2 ~ 0 1 - 1/2
V—2 2 - 1 / VO 0 0
e si ottiene x = 0, y = \z , cioè Ker / = ((0,1,2)).Lo zero è un autovalore di / in quanto la matrice A è singolare.
(ii) Si ha che Im / = Jgf((-3, -3 , - 2), (4 ,4 ,2), ( - 2 , - 2 , - 1)) = JSf((-3, -3 , - 2), (1, 1 , 1/ 2)). Una base per l'immagine di / è l'insieme {(-3 , -3 , -2 ), (1,1,1/2)}.
(iii) Il vettore (0,1,0) non appartiene all'immagine di / .(iv) Per calcolare gli autovalori di / se determinano le radici del polinomio caratteri
stico della matrice A
-3 - t 4 - 2 - 3 4 - t - 2 - 2 2 - 1 - t
Gli autovalori di / sono : Ài = 0, À2 = 1, À3 = —1.(iv) Un base di autovettori di / si calcola determinando delle base per ciascun auto
spazio.V>(0) = Ker (A) = JSf ((0 ,1 ,2».
92 9 - Prova Scrìtta del 13 Settembre 2011 - 2 ore
yjf(l) = Ker (A — I) = 1,0)).V fW = Ker (A +1) — -£?((1, 1,1)).Una base di R3 costituita di autovettori di / è l'insieme {(0,1, 2), (1, 1,0), (1,1,1)}.
Esercizio 2 . Sia data la funzione
f (x,y) = x 3 - 3y3 - 2 7 x + y + 3.
(i) Determinare i punti stazionari di / .(ii) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo (relativi) e di sella della funzione / .Nello spazio si consideri la superficie S di equazione z = f(x,y).(iii) Determinare l'equazione cartesiana del piano tangente alla superficie S nel punto(0,0,3).(iv) Determinare le equazioni parametriche della retta normale alla superficie S nel punto (0 , 1,1).
Svolgimento dell'esercizio 2 .
(i) Per calcolare i punti stazionari di / si pone il suo gradiente uguale a zero.
V/(*,Srt =
Si ottengono i punti >1(3,1/3), B(3, -1 /3 ), C ( - 3,1/3), £>(-3, -1 /3 ).(ii) Si determina la matrice hessiana di /
H{f ) (<òx 0 \ V 0 - 1 8y ) -
18 00 - 618 00 6
Si ha:*det HA(f) =
*det HB(f) =
relativo per / .
*det Hc (f) =
massimo relativo per / .
*det HD( f ) = _108 °6
= -108 < 0. Allora A è un punto di sella per / .
= 108 > 0. Allora siccome f xx > 0, B è un punto di minimo
-18 0 0 - 6 108 > 0 . Allora siccome f xx < 0, C è un punto di
= -108 < 0. Allora D è un punto di sella per / .
9 - Frova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore 93
(iii) Il piano tangente alla superficie S nel punto P (0 , 0,3) dove S ha per equazione z = f (x,y) si calcola
e dunque
dF dF dF( x - 0 ) + ^ ~ ( y - 0 ) + ^ - ( z - 3 ) = 0
dx \ P dy |p v d z \ P
27 x — y + z — 3 = 0.
(iv) Le equazioni parametriche della retta normale alla superficie S nel punto (0 , 1 ,1) sono:
(x, y , z) = (-27£, 1 - 8i, 1 - i).
Esercizio 3. Sia data la matrice
Ak =« 1 1 1\0 1 k 1 1 2 1 2
^0 0 1 k)
al variare di k e R.(i) Determinare il rango di Ak al variare di k G R.(ii) Risolvere in R4 il sistema lineare omogeneo avente matrice A 0, determinandone esplicitamente una base dello spazio delle soluzioni.
Nello spazio siano dati i piani a, 7, Sk rispettivamente d'equazioni
a : 2x-+-y + z + l = 0 , f a : y + kz + 1 = 0 , 7 : x + 2y + 2: + 2 = 0 , Sk : z + k = 0.
(iii) Stabilire per quali valori di k e R l'intersezione a n fi 7 fi 4 è non vuota.
Svolgimento dell'esercizio 3.
(i) Per calcolare il rango della matrice Ak, si fanno delle operazioni elementari opportune in modo di ottenere una matrice ridotta equivalente ad Ak. Infatti
Ak
(2 1 1 1\ 0 1 k 1 1 2 1 2
\ 0 0 1 k )
(0 - 30 11 2
\ 0 0
- 1k11
"3 \ 1 2
f i 2 1 2 \0 1 k 10 0 3k - 1 0
\ 0 0 1 k )
Se k = | oppure k = 0, allora rk(A^) = 3. Altrimenti rk(Afc) = 4.
94 9 - Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore
(ii) Per risolvere il sistema omogeneo relativo ad A q, si osserva che
A q =( 1 2 1 2 \ 0 1 0 1 0 0 1 0
\ 0 0 0 0 /
/ I 0 0 0 \ 0 1 0 1 0 0 1 0
\ 0 0 0 0 /
cioè x = 0 , y + 1 = 0 , 2 = 0 .Lo spazio delle soluzioni è l'insieme {(0, y, 0, —y)/y €
(ii) Basta osservare che detta
( ¿ 1*) =
= Jgf((0 ,l,0 , - 1)).
(2 1 1 - i \ (0 - 3 -1 3 \ ( \ 2 1 ~ 2\0 1 k - 1 0 1 k - 1 0 0 3fc - 1 01 2 1 - 2
rj1 2 1 - 2 0 1 k - 1
\ 0 0 1 - k ) ^0 0 1 - k ) ^0 0 1 - k j
Sek = 1/3 oppure se k = 0 si ha che rk(A) = rk(A\b) = 3 e i tre piani a n ^ fi7 Pi Sh si incontrano in un punto. Altrimenti si ha rk(A) = 3 e rk(A\B) = 4 e le rette risultano essere sghembe.
Prova Scritta del 3 Febbraio 2012 - 2 Ore
10
Q l. Sia dato il seguente endomorfismo di R3 : /(a , b, c) = (0 , 0 , b).
(a) Se ne trovi il nucleo con una base.(b) Se ne trovino gli autovalori e gli autospazi.
Soluzione.
(a)Ker / = {(a,ì),c)GR3/ / ( a , M ) = (0,0,0)}
= { (aA c)G R 3/ ( 0 , 0 ,ò) = (0 , 0 , 0)}
JS?((1, 0 , 0), (0 , 0 , 1)).
Una base per il nucleo di / è l'insieme {(1,0,0), (0,0,1)}.(b) Lo zero è l'unico autovalore di / e il suo autospazio relativo V) (0) coincide con
Ker/ .
Q 2 . Siano dati il piano 7r : x + z = 0 e la retta r : x = t, y = 0, z = 2t.
(a) Si trovi la proiezione ortogonale di r su 7r.(b) Si trovi su 7r una retta sghemba con r.
Soluzione.
(a) Si determina il fascio & di piani contenente la retta r : & : X(2x — z) + fiy = 0, con À, fi non entrambi nulli.Si impone che il prodotto scalare < (2À, ¿¿, -À), (1 , 0 , 1) > = 0 . Si ottiene À = 0 . La proiezione ortogonale di r sul piano ir è la retta:
95
96 10 - Prova Scritta del 3 Febbraio 2012 - 2 Ore
y = 0 , x + z = 0 .
(b) Si considerino, per esempio i due punti P( 1,0, —1), Q (0,1,0) del piano n. Sia l la retta che li contiene. Le rette l ed r hanno intersezione vuota. Inoltre siccome le equazioni parametriche di l sono x = 1 + y = - t ' , z = — 1 - t ' , l non è parallela con r. Allora l ed r sono sghembe.
Q3. Si stabilisca per quali valori di m reale l'equazione x 2 + 4y2 + 4mxy = 2x rappresenta una parabola.
Soluzione.La matrice della conica è
/ 1 2 m - 1\B = [ 2m 4 0
V-l 0 0 JAffinché la conica sia effettivamente una parabola è necessario che 4 — 4m 2 = 0, cioè deve essere m — \ oppure m = —1.
Q4. Quale dei segueti è uno spazio vettoriale?
(a) L'insieme delle funzioni reali di una variabile reale che hanno derivata seconda doppia della derivata prima ovunque;
(b) L'insieme delle matrici quadrate di ordine 7 con determinante = 4;(c) L'insieme dei vettori dello spazio tridimensionale V3 che non sono paralleli al
vettore 2 i + k(d) L'insieme delle funzioni reali di una variabile reale continue ovunque tranne
che in x = —2 .
Soluzione.
(a) E' corretta. Infatti se / " = 2/ ' , e g" = 2g". Allora / " + g" = 2 ( / ' + g'). Inoltre A/" = 2(À/')•
(b) E' falsa. Infatti se A è una matrice di ordine 7 tale che det(A) = 4, alloradet(-A ) = —4. Invece det(A + (—A)) = 0.
(c) E' falsa. Per esempio i vettori i + j + k, ì — j non sono paralleli al vettore 2Ì + k, ma si la loro somma.
(d) E' falsa. Per esempio la funzione f (x) = Risulta che f (x) - f (x) = 0 e la funzione costante 0 è continua in tutto R.
10 - Prova Scritta del 3 Febbraio 2012 - 2 Ore 97
Q5. Si discuta la risolubilità del sistema linearemx + z + 1 = 0 x + y — mz — t = 0 x + y = 2 ,dove m e R, indicando, quando è risolubile, il numero di incognite libere. Posto m = 0, si risolva il sistema.Soluzione.La matrice (A\b) del sistema è :
e il sistema è sempre risolubile perché rk(A\B) = rk(A) = 3. Il numero di incognite liberi è 1.Se m = 0, allora v(A\b) è equivalente alla matrice
e in questo caso la soluzione del sistema è l'insieme {(#, 2 — x, —2 ,2)/x G R}. Q 6. Data la matrice
Se m ^ 0, allora v(A\b) è equivalente alla matrice
1 1 0 0 2 0 —m 1 1 —2 m0 O r n i 2
1 1 0 0 2 0 0 1 0 - 20 0 0 1 2
dove h e C, se ne determine il rango al variare di h . Soluzione.Nel caso che h = 0, si ha che
Nel caso che 0, si ha che
0 i 0 0' 0 0 2/h 0 0 0 0 0
In ogni modo, per qualunque h si ha che rk(Ah) = 2 .
11
Prova Scritta del 27 Febbraio 2012-2 ore
Q l. Sia A e R3,4 una matrice a 3 righe e 4 colonne avente rango 3 e sia X e R4,1 una matrice a 4 righe e una colonna. Allora
(a) Il sistema lineare A X = B ha una sola soluzione, qualunque sia B.(b) Esiste B tale che A X = B non ha soluzione.(c) Le soluzioni del sistema omogeneo A X = O dipendono sempre da due inco
gnite libere.(d) Il sistema A X = B ha infinite soluzioni, qualunque sia B.
P r im a Pa r t e (Q u i z )
Q 2 . Siano dati i vettori di R3
(a) dim £(u,v,w ) = 3 per ogni t e R.(b) Esiste t e R tale che w e £(u,v).(c) u, v, w sono linearmente dipendenti per ogni t e R.(d) Esiste t e R tale che u e £(v,w).
99
100 11 - Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore
Q3. E' data la forma quadratica f (x,y) = —2x2 + 4xy + y2 .(a) La matrice associata a / ha un autovalore nullo.(b) La matrice associata ha polinomio caratteristico multiplo di T 2 + 1.(c) Esiste (£1,2/1) ^ (0,0) per cui si ha f (xi , yi ) = 0.(d) /(*,y) > 0 per ogni (x,y) € R2 non nullo.
Q4. Nello spazio sia r la retta passante per il punto (1,1,2) e parallela al vettore i—j+2k.
(a) r è ortogonale al piano 2x + y + z = 0 .(b) r appartiene al piano x — y + 2z = 0 .(c) r e il piano x — y + 2z = 0 sono incidenti.(d) r è parallela al piano x — y + 2z = 4.
Q5. E' data l'applicazione lineare / : R3 —> R2 associata alla matrice ^ — ^ 2 2 2 )
(a) (1,0 ,0) appartiene al nucleo di / .(b) / è iniettiva.(c) L'immagine di / ha dimensione 1.(d) Esistono vettori di R3 che hanno per immagine (1,1).
Q 6 . Data la funzione /(x,y) = cos(x2 + y2)
(a) / ha un punto di minimo in (0 ,0).(b) / non possiede punti stazionari.(c) Il piano tangente al grafico di / nel punto (0,0,1) è z — 1 = 0.(d) f xx(0 ,0) ^ 0 .
Q7. Nello spazio sia data la circonferenza fé7 di equazioni
4x2 + 4y2 + 4z2 — 4x = 0, 2x — 1 = 0
(a) Il centro di fé7 è (2 ,1,1).(b) fé7 ha raggio 4.(c) L'asse delle z non ha punti in comune con fé7.(d) (0,0, — 2) G fé7.
11 - Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore 101
Q 8. Sia data la funzione / : R2 R definita da
f(x,y) = 1 + x + y
(a) L'insieme di livello —1 è vuoto.(b) Il punto (1,1,0) appartiene al grafico di / .(c) La funzione / non possiede punti stazionari.(d) La funzione / non è differenziabile nell'origine.
Q9. Si consideri la matrice:
B :=
(a) B è invertibile.(b) (2,0,0) è autovettore di B .(c) B ha un autovalore semplice e uno doppio.(d) B ha un autospazio di dimensione 2.
Q i o . Sia 7 la curva nello spazio rappresentata parametricamente da 7 (t) = (t2- 1 , sin t , cos
(a) La curva 7 passa per l'origine.(b) Esiste t e R tale che 7 f(t) = 0 .(c) La curva 7 è piana.(d) Il punto (—1,0,1) appartiene alla curva 7 .
Q ll . Sia V il sottinsieme di M3 definito da
V := x — y + 2z x + y + z -
(a) V contiene 3 vettori linearmente indipendenti.(b) V è un sottospazio di R3 di dimensione 2.(c) V è un sottospazio di R3 di dimensione 1.(d) V è immagine di un'applicazione lineare R3 —> R4.
102 11 - Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore
Q 12. Si consideri nello spazio la superficie S di equazione x 2 + y2 = 1.
(a) S è una circonferenza di raggio 1.(b) S è un cono .(c) S ha nel punto (1,0 ,0) piano tangente di equazione x + y + z = 0;(d) S possiede punti in comune con il piano z = 1.
Soluzione dei QUIZ
Q l. Si usa il Teorema di Rouché-Capelli.
(a) E' falsa. Per esempio se B è la matrice nulla, il sistema ha infinite soluzioni.(b) E' falsa perché rk(A) = 3 = rk(A\B) e il sistema è compatibile.(c) E' falsa. Siccome rk(A) = 3, il numero di incognite libere è 1.(d) E' corretta. Infatti, il sistema avrà 4 — 3 = 1 incognite libere.
Q2 . (a) E' falsa. Se t = 0 i vettori u,v sono linearmente dipendenti.(b) E' falsa perché u e v hanno la terza coordinata uguale a zero(c) E' falsa perché se t = 1 i vettori risultano essere indipendenti.(d) E' corretta. Infatti (1,0,0) = 1/2(2,0,0) + 0(1,1,3).
Q3. (a) E' falsa perché la matrice A associata a / è non singolare.(b) E' falsa perché il polinomio caratteristico è T 2 + T — 6 .(c) E' corretta per il teorema degli zeri.(d) E' falsa perché / ammette autovalori di segni discordi.
Q4. La retta r ha equazioni parametriche: (x, y, z) = (1 + t, 1 — t, 2 + 21).
(a) E' falsa perché (1, —1,2) non è nella direzione di (2 , 1, 1).(b) E' falsa perché l + £ — l + i + 4 + 4£ non si annulla identicamente.(c) E' corretta. Infatti l'intersezione è il punto (1/3,5/3,2/3).(d) E' falsa perché la retta r è perpendicolare al piano x — y + 2z = 4.
Q5. (a) E 'falsa p e rc h é /( l, 0,0) = (1, 2).(b) E' falsa perché dimKer / = 2.(c) E' corretta. Infatti rk(A) = 1.(d) E' falsa perché Im f è generata dal vettore (1,2) e l'insieme {(1, 2), (1,1)} è
linearmente indipendente.
11 - Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore 103
Q6 . Si osserva che
V/(a:,y) = = (-2 x s in (a ;2 + y2), -2a;sin(a;2 + y2))
(a) E' falsa perché /ex (0 ,0) = 0.(b) E' falsa perché (0,0) è un punto stazionario per / .(c) E' corretta. Infatti i coefficienti di x e y sono nulli. Il piano tangente al grafico di f nel
punto (0 , 0 , 1) è - 1 (z - 1) = 0 .(d) E' falsa per (a).
Q7. (a) E' falsa perché il centro di ^ è (1/ 2 ,0,0).(b) E' falsa perché il raggio di ^ è 1/ 2 .(c) E' corretta. Sebbene l'origine appartiene alla sfera, non appartiene al piano.(d) E' falsa. Infatti (0,0, -2 ) per esempio è un punto che non appartiene al piano,
(nemmeno alla sfera).Q8 . (a) E' falsa perché l'insieme di livello — 1 di / è una retta.
(b) E' falsa, infatti il grafico di / è F(x, y , z ) = f (x,y) — z = 0, cioè F(x, y , z ) =l + x + y - z = 0.
(c) E' corretta perché le derivate parziali di f sono costanti.(d) E' falsa. Infatti la funzione / è differenziabile nell'origine in quanto è un
polinomio.Q9. (a) E' falsa perché ha l'ultima riga nulla.
(c) E' falsa. Gli autovalori di B sono 1, —1,0.(d) E' falsa. Infatti la dimensione di ciascun autospazio di B è unidimensionale.
Q10. (a) E' falsa perché se t2 - 1 = 0, allora t = 1 oppure t = — 1 e sint ^ 0.(b) E' falsa. Infatti 7 f(t) = (2£, cosi, - sin t).(c) E' falsa. Infatti l'insieme {t2 — 1, sin t , cos 1} è indipendente.(d) E' corretta. Infatti 7 (0 ) = (-1 ,0 ,1 ).
Q ll. Si ha che V = {(3£, —t, —2t)/t e R}.
(a) E' falsa perché tutti i vettori di V sono combinazione lineare di (3, - 1, —2).(b) E' falsa perché V è unidimensionale.(c) E' corretta. Basterebbe osservare che sono tre gradi di libertà meno due vincoli indi-
pendenti.(d) E' falsa perché V è il nucleo di un'applicazione lineare R3 -» R4.
104 11 - Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore
Q12 . (a) E' falsa perché è un cilindro.(b) E' falsa perché non è l'equazione di un polinomio omogeneo di secondo grado.(c) E' falsa perché II piano tangente nel punto (1,0,0) è 2x - z — 2 = 0.(d) E' corretta. Possiedono in comune una circonferenza.
Esercizio 1. E' data l'applicazione lineare / : R4 —> R3 definita, per ogni vettore(;x,y,z,t) G R4, da:
f(x,y,z, t) = (x - y - t , x - z - t , y - z)
(i) Trovare la matrice M e T di / , dove £ = (ei,e2, e3, e4) e 7 = (fi, f2 > Ì3) sono le basi canoniche rispettivamente di R4 e di R3.(ii) Determinare una base del nucleo di / .(iii) Provare che / non è suriettiva e determinare un vettore di R3 privo di controim- magini.(iv) Dato il vettore v = (0,1,1) G R3, determinare l'insieme f ~ l (0,1,1) delle sue controimmagini.Svolgimento ddl'esercizio 1.
(i) La matrice associata ad / rispetto alle base canoniche è :
(iii) Usando il teorema della dimensione, si ha che
dim Im/ = dim R4 - dim Ker / = 4 - 2 = 2.
e allora / non è suriettiva. Infatti Im / = ((1, 1,0), (0,1,1)). Ad esempio (0,0,1) è privo di controimmagini.
(iv)
/ - 1(0 , 1 , 0 ) = {(x,y , z , t ) € R4/ f ( x , y , z , t ) = (0 ,1, 0 )} = {(z+t , l+z, z , t ) / z , t € K}.
S e c o n d a Pa r t e (E s e r c iz i)
(ii)
Ker / = {(*, y, z, t) e R4/ f ( x , y , z, t) = (0,0,0)} = Jf(( 1,0,0,1), (1,1,1,0))
Esercizio 2 . Sia data la funzione
f ( x , y ) = 2y3 + ( y - x)2 - 6x
11 - Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore 105
e sia Sf la superfìcie grafico di / , cioè la superficie di equazione F( x ìy ìz) = 0 dove F(x,y,z) := f {x, y) - z.
(i) Calcolare il gradiente di / e il gradiente di F.(ii) Trovare il piano tangente a Sf nel punto (1,1 , — 4).(iii) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo e di sella della funzione / .(iv) Dare una rappresentazione parametrica della retta passante per il punto di coordinate (0 , - 1, - 1) ortogonale al piano tangente a Sf in quel punto.Svolgimento deiresercizio 2 .
(i) I gradienti di / e F sono rispettivamente
V / = (—2y + 2x - 6 , 6y2 + 2y - 2x) , V F = ( - 2y + 2x - 6 , 6y2 + 2y - 2x, - 1).
(ii) Il piano tangente a Sf nel punto (1,1, -4 ) è6x — 6y + z - 1-4 = 0.(iii) Imponiamo il gradiente di / = 0. Si ha
f - 2 y + 2x — 6 = 0 \ 6 y 2 + 2y - 2x = 0
I punti stazionari di / sono P{4 ,1); Q(2 , —1).Calcolando la matrice hessiana di / in ogni punto stazionario, si ottiene
" '< /> = ( - 2 u ) . « « ( / ) - ( _ ! w )
Siccome det H p ( f ) e det Hp( f ) sono entrambi positivi (inoltre f xx > 0), i punti P e Q sono punti di minimo per / .
(iv) La retta passante per il punto di coordinate (0,—1,—1 ) ortogonale al piano tangente a Sf in quel punto è
( x = At { y = - l - A t y z = - ì + 1
Esercizio 3. Nello spazio sono date le rette r i ed r 2 rappresentate parametricamente da:
ri : (x,y,z) = (31 + 1,3t,t)\ r2 : {x,y,z) = (u,2u, - u)
(i) Verificare che ri ed r 2 sono sghembe.(ii) Determinare due piani distinti che contengono la retta ri.(iii) Determinare il piano che contiene ri ed è parallelo a r 2.Svolgimento deiresercizio 3.
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(i) Le rette n e r 2 non sono parallele. Infatti ri è nella direzione del vettore (3,3,1), invece r 2 è nella direzione del vettore (1, 2 , - 1) e questi vettori non sono proporzionali.Inoltre ri D r 2 = 0. Infatti se
( 3t + 1 = u < 3t = 2u [ t = —u.
Dalle ultime due equazioni del sistema si ricava facilmente t = u = 0. Sostituiti tali valori nella prima equazione si ottiene 1 = 0, l'assurdo che prova che le rette ri e r 2 sono sghembe.
(ii) La retta ri è l'intersezione dei piani x - 3z - 1 = 0, y - 3z = 0.
(iii) Si considera il fascio di piani che contiene r i, cioè:
À(x — 3z — 1) + ¡i(y — 3z = 0) = 0
con Xe fi non entrambi nulli. Se impone che il prodotto scalare
< (A, fi, -3À - 3fi), (1,2, -1 ) > = 0.
Si ottiene la relazione 4À = —5/x. Il piano richiesto è 5x — 4y — 3z - 5 = 0.
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Prova Scritta del 14 Giugno 2010 - 2 ore
(Un esempio di esame vecchio formato)
Q l. Esercizio ( 6 punti) Dati i parametri reali 6 e c, considerare il sistema
(a) posto b = 0 ,c = 1 risolvere il sistema;(b) posto 6 = 1 trovare i valori di c per i quali il sistema ammette soluzioni
Q 2 . Esercizio (6 punti) Sia / : R 2 2 — > R 2,2 l'applicazione lineare cosi' definita:
x + t 0 0 x 4- 1
(a) determinare una base e la dimensione di Ker/ . La funzione / e' iniettiva?(b) determinare una base e la dimensione di Im/ . La funzione / e' suriettiva?
(a) posto 6 = 1 trovare gli autovalori ed una base per gli autospazi di A. La matrice A e' diagonalizzabile?
(b) trovare i valori di 6 per i quali il vettore (1,1) e' un autovettore della matrice A.
Q4. Esercizio(7 punti) Consideriamo i punti A (l,0,1),£(1,1,0) e C(0,1,1).
(a) Trovare l'area del triangolo di vertici A,B e C e stabilire se il triangolo e' rettangolo.
(b) Trovare delle equazioni per la circonferenza passante per A,B e C.
Q3. Esercizio (6 punti) Dato 6 e R consideriamo la matrice A =
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Q5. Esercizio(4 punti) Dato il numero reale a e R si consideri la funzione f(x,y) = (x - y )2 + a(y - a)2.
(a) Posto a = 1 si determinino gli eventuali punti di massimo, di minimo e di sella della funzione.
(b) determinare, se esistono, i valori di a per i quali il punto P ( —1, - 1) sia un punto di massimo per la funzione.
Q 6. Esercizio(3 punti) Si dimostri vera o falsa la seguente affermazione: per ogni funzione f (x) derivabile su R , f (x) e f ' (x) sono linearmente indipendenti.
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SOLUZIONI
Q l. (a) Posto b = 0 e c = 1, si osserva che la terza equazione è la somma delle prime due. Quindi solo le prime due equazioni sono indipendenti e si trova facilmente x = —z e y = 1. Dunque la soluzione generale del sistema è, posto
dove nell'ultima ugualianza si sono evidenziate una soluzione particolare e una base del nucleo della matrice dei coefficienti del sistema.
(b) Per b = 1, siccome la somma dei primi membri delle prime due equazioni uguaglia il primo membro della terza equazione, il sistema ha evidentemente soluzione se e solo se tale relazione è verificata anche dai secondi membri, cioè se e solo se c = 2 .
Q 2 . (a) Si ha che
cioè se e solo se x = — t . Ponendo t = u si ha che
Il nucleo di / ha dunque dimensione 3 e
è una sua base. La / non è iniettiva.(b) La / è sicuramente non suriettiva, poiché la dim I m( f ) = 1 (per il teorema di
dimensione nucleo e immagine). Ogni vettore deU'immagine si può scrivere in modo unico come:
(X + ‘ x + t) = (* + »>(o?)e, quindi,
è una base dell'immagine.
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Q3. (a) Se b = 1 la matrice A possiede l'autovalore doppio 1. Essa è ovviamente nondiagonalizzabile, poiché rk(A — 1 ) = 1. Una base dell'autospazio deirunico autovalore 1 è ei, il primo vettore della base canonica di M2.
(b) Si trova facilmente 6 = 3.Q4. (a) Siccome
e i prodotti scalari di ogni coppia di tali 3 vettori sono non nulli, il triangolo non è rettangolo. L'area si calcola per esempio come
(b) Basta mettere a sistema l'equazione di una qualsiasi sfera passante per A,B,C, per esempio x 2 + y2 + z2 — 2 = 0, coll'equazione del piano x + y z - 2 = 0, individuato da A,B,C.
Q5. (a) Se a = 1, la funzione f a assume solo valori positivi o nulli. La somma di due quadrati è nulla se e solo se entrambi gli addendi sono nulli, quindi se e solo se y = 1 e, quindi, x = 1. Il punto (1,1) è un punto di minimo assoluto, come si può facilmente verificare anche col criterio del determinante hessiano.
(b) Il punto (-1 , - 1) è stazionario per f a se e solo se a = - 1. In tal caso però si ha un punto di sella, e la questione non ha quindi soluzione.
Q 6 . L'affermazione è chiaramente falsa, poiché se f (x) = k è una funzione costante, f (x) e f ( x ) sono (k , 0 ), due funzioni linearmente dipendenti.
L'anno prossimo aggiungo gli altri. Ciao. Jorge