CONCETTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA
Il punto è un’entità geometrica priva di dimensione. Si indica con una lettera maiuscola dell’alfabeto latino. Esso si in-dividua da intersezioni di linee rette o di archi o anche da ambedue.
La linea è una figura geometrica defini-ta dal moto di un punto. Prevede una sola dimensione: la lunghezza.Può esse-re retta, spezzata, curva e mista e si in-dica sempre con una lettera minuscola latina.
La retta è un insieme infinito di punti disposti nelle stessa direzione. Geome-tricamente è individuata da intersezioni di piani e si indica con lettere minuscole latine.
La semiretta è una parte della retta divi-sa da un punto chiamato origine
Il segmento è parte di una retta com-presa da due punti chiamati estremi del segmento. Viene indicato con una lette-ra minuscola mentre gli estremi vengo-no designati con lettere maiuscole en-trambe dell’alfabeto latino.
Il piano è una superficie illimitata. Si de-termina con tre punti non allineati, con due rette parallele o incidenti e con un punto e una retta. Viene indicato con lettere minuscole greche a(alfa), b(beta),d(gamma) ecc.
Il semipiano è una parte di piano delimi-tata da una retta o da un piano.
La linea spezzata aperta
La linea spezzata chiusa
Puntoretta a
Piano
Semipiano Semipiano
A segmento B
semiretta b
semiretta a o
o
La linearetta
curva
mistaspezzata
1
PAGINA 1
Punto
Linea
Piano
GEO
MET
RIA
PIA
NA
1
PAGINA 2
GEO
MET
RIA
PIA
NA
Rette
Angoli
RETTE E ANGOLI
Rette parallele, sono rette appartenenti ad uno stesso piano e non aventi punti in comune.Rette incidenti, sono rette aventi un punto in comune.Rette perpendicolari, sono rette incidenti che dividono il piano in quattro angoli retti (90°).Rette sghembe, rette non complanari e non aventi punti in comune.
Angolo, ciascuna delle due parti di piano delimitate da due semirette aventi l’origine comune. Le due semirette si chiamano lati dell’angolo e il loro punto comune vertice.Angolo convesso, è l’angolo che non contiene i prolungamenti dei suoi latiAngolo concavo, è l’angolo che contiene i prolungamenti dei suoi lati.Angolo piatto, è l’angolo costituito da semirette opposte che dividono il piano in due semipiani. Esso misura 180°.Angolo giro, è l’angolo costituito da semirette coincidenti, comprende tutto il piano e misura 360°.Angolo retto, è la metà di un angolo piatto e misura 90°.Angolo acuto, è < minore di un angolo retto .Angolo ottuso, è > maggiore di un angolo retto.Angoli complementari, angoli la cui somma è uguale ad un angolo retto (90°).Angoli supplementari, angoli la cui somma è uguale ad un angolo piatto (180°)Angoli esplementari, angoli la cui somma è uguale ad un angolo giro(360°)Angoli consecutivi hanno in comune un vertice e un latoAngoli adiacenti sono consecutivi e i due lati non in comune appartengono ad una stessa retta
126°
69°
36°
54°
41°
139°
90°
vertice
v
lato a
lato b
angolo retto angolo acuto
69°
angolo ottuso
angoli complementari
36°
54°
angoli consecutivi
angoli esplementariangoli supplementari
bb
a a
rette parallele
rette incidenti rette perpendicolari
b
b
a
a
90°P
b
a
rette sghembe
360°
angolo giro
a b180°
angolo convesso
angolo concavo
angoli adiacenti
111°
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GEO
MET
RIA
PIA
NA
Soluzioni
geometriche
SOLUZIONI GEOMETRICHE
Trovare l’asse del segmento AB(Esso è la perpendicolare nel punto medio)Tracciare due archi di eguale raggio > AB/2 con centro negli estremi A e B. La retta pas-sante per i punti 1 e 2 risulta l’asse del segmen-to.
Condurre la perpendicolare al punto A, estre-mo del segmento AB.Tracciare un semicerchio puntando in C, punto qualsiasi passante per estremo A. Unire i punti DC e prolungando il segmento sino ad interse-ca-re il semicerchio si definisce il punto E. Il seg-mento AE risulterà perpendicolare al seg-mento AB.
Tracciare una retta parallela ad una retta data ad una distanza convenuta.Definire due perpendicolari alla retta data per i punti 1 e 2,scelti a caso, quindi riportare la di-mensione desiderata sulle due rette e definire i punti 3 e 4 . Unendo i punti 3 e 4 si definisce la parallela richiesta.
Divisione del segmento AB in un numero qual-siasi di parti uguali (applicazione del teorema di Talete)Condurre da A la semiretta r con un angolo a piacere. Dividere la semiretta in un numero de-finito di parti uguali. Unire gli estremi C e B e tracciare rette parallele alla CB per i punti 1, 2, 3, 4, 5. I punti 1’, 2’, 3’, 4’ e 5’ sono i punti di divisione del segmento AB in parti uguali.
Tracciare la bisettrice di un angolo qualsiasi.Tracciare l’arco 1-2 di centro O . Determinare il punto P intersezione di due archi uguali trac-cia-ti dai punti 1 e 2. La semiretta uscente dal pun-to O passante per P è la bisettrice dell’angolo dato.
Divisione di un angolo retto in tre parti uguali Descrivere un arco con centro nel vertice V e raggio a piacere. Centrando nei punti interse
zione 1 e 2 con lo stesso raggio si trovano i punti 3 e 4 . Le rette uscenti dal vertice V passanti per i punti 3 e 4 dividono l’angolo in tre parti uguali.
Punto di tangenza di una retta ad una circonferenzaPer determinare il punto di tangenza di una retta con una circonferenza occorre tracciare il raggio perpendicolare alla retta data. L’intersezione rappresenta il punto di tangenza.
In un cerchio l’asse di una corda qualsiasi passa per il centroL’asse di una corda di un cerchio passerà inevitabilmente per il centro del cerchio perché esso è equidistante da A e B
Disegnare le tangenti ad una circonferenza passanti per un punto esterno PUnire il punto P con C, centro della circonferenza e trovare il suo punto medio, utilizzando la costru-zione dell’asse di un segmento. Quindi con centro in M tracciare un arco di cerchio intersecando la circonferenza nei punti 1 e 2. Le semirette uscenti dal punto P e passanti per i punti 1 e 2 costitui-ranno le tangenti al cerchio.
1
B
2
A M
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
E
r
r
r
s
s
1
1
1 1
1
2
22
2
2
3
3
3
4
4
4
d
v
o
o
P
5
1' 2' 3' 4' 5'
P
M
90°
1
PAGINA
GEO
MET
RIA
PIA
NA
TR
IAN
GO
LI
TRIANGOLI E TRIGONOMETRIA
TRIANGOLI
Definizione: il triangolo è una parte di piano delimitata da tre segmenti a due a due consecutivi.
Caratteristiche dei triangoli in base alla lunghezza dei lati.
Triangolo equilatero: lati uguali.Triangolo isoscele: due lati uguali.Triangolo scaleno: lati disuguali.
Caratteristiche dei triangoli in base alle ampiezze degli angoli. La somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°- in ogni triangolo due angoli sono certamente acuti e a seconda dell’ ampiezza del terzo avremo: Triangolo rettangolo: angolo retto (90°). Triangolo ottusangolo: angolo ottuso (>90°). Triangolo acutangolo: angolo acuto (>90°).
Altezze, bisettrici, assi, mediane e loro punto di intersezione.L’altezza di un triangolo è la semiretta perpendicolare condotta da un vertice al lato opposto; il punto di intersezione delle tre altezze è denominato ortocentro
La bisettrice di un triangolo è la semiretta che uscendo da un vertice divide l’angolo in due parti uguali; il punto di intersezione delle tre bisettrici è denominato incentro.
La mediana di un triangolo è la semiretta che uscendo da un vertice divide il lato opposto in due parti uguali; il punto di intersezione delle tre mediane è denominato baricentro.
L’asse di un triangolo è la semiretta perpendicolare ad un lato nel suo punto medio; il punto di intersezione dei tre assi è denominato circocentro (centro del cerchio che ha per raggio la distanza circocentro-vertice).
ORTOCENTRO
(punto d'incontro delle altezze) BARICENTRO
(punto d'incontro delle mediane)
INCENTRO
(punto d'incontro delle bisettrici)CIRCOCENTRO
(punto d'incontro degli assi dei lati)
CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI
RISPETTO AI LATI
CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI
RISPETTO AGLI ANGOLI
h h h
AA B B
C
C
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
OO O O
EQUILATERO ISOSCELE SCALENO
ACUTANGOLORETTANGOLO
ipotenusa
cate
to
cateto
90
a
b
c
... CENNI TRIGONOMETRICIIn un triangolo rettangolo, un cateto è uguale alla ipotenusa per il seno dell'angolo oppostoal cateto stesso. oppure uguale all'ipotenusa
a = c sena
a
b
b
a = c cosb
In un triangolo rettangolo' un cateto è uguale all'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto
a = b tga
La tangente di un angolo acuto di un triangolo è uguale al rapporto fra il cateto opposto, e l'altro cateto
a = b cotg
1
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GEO
MET
RIA
PIA
NA
A B
C
A B
C
D
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B C
D
EF
A
B C
D
E
A
B
C D
E
F
G
HI
L
OO
O O
O
O
D
1
2
3 4
12 3
POLIGONI INSCRITTI
1
PAGINA 6
GEO
MET
RIA
PIA
NA
C
BA
CD
BA
C
D
E
BA
F
I
L C
D
E
BA
H
GF
C
D
E
BA
H
G
F C
DE
BA
O OO
1
1
2
1
34
2
1
2
13
42
3
lato
lato lato lato
lato lato
POLIGONI DATO IL LATO
1
PAGINA 7
GEO
MET
RIA
PIA
NA
COSTRUZIONE DI UN POLIGONO DATA LA MISURA DEL LATO E IL NUMERO DEI LATI
SUDDIVISIONE DI UNA CIRCONFERENZA DI RAGGIO DATO IN UN NUMERO N DI LATI UGUALI
Si divide il diametro verticale per il numero dei lati del poligono. Si traccia il diametro orizzontale prolungandolo verso destra. Si traccia un arco di circonferenza dal punto D con apertura DC sino ad incontrare il punto E. Dal punto E fuori esce una semiretta passante per il punto 2 sino alla circonferenza. F D risultera' il lato del poligono cercato.(In questo caso del dodecagono. )_
Raggio esagono : CBRaggio ettagono: 7BRaggio ennagono: 9BRaggio undecagono: 11B
N.B. Per costruire poligoni dato il lato e il numero dei lati si riporta sulla verticale, partendo dal punto C, 1/6 dellamisura del lato pari al numero dei lati del poligono da disegnare numerandoli iniziando da 7 e continuando progressivamente.
D
E
A B
C
A B
C
M
F1
3
4
5
6
7
8
9
10
7
89
10
2
11
11
POLIGONI DI N. LATI
1
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GEO
MET
RIA
PIA
NA
AB CD EF
A B
C
D
EF
G H
O
1 2 3 41
2
3
4
5
6
7
8
9
1'
1 2 3 4 5 6 7
2'
3'
4'
5'
6'
7'
88'
A
BC
D
E
F
G
H1
2
3 4
5
67
8
9 10
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4545
SPIRALI POLICENTRICHE
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GEO
MET
RIA
PIA
NA
diametro
arcocirconferenzacerchio
raggiocorda freccia
segmento circolarea due basi
segmento circolare corona circolare settore circolare
semicerchio semicirconferenza
quadrante
circonfernzeesterne
circonfernzetangenti
circonfernzesecantii
circonfernzetangenti interne
circonfernzeconcentriche
LA CIRCONFERENZA E LE SUE DIVISIONI
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GEO
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NA
A B
C
D
A B
C
D
A B
C
D
OA B
C
D
E
F GOA B
C
D
E
A B
C
D
asse minore asse minore
1 2
34
1 2
34
1 2
1 2
3 4
1
2
3
4
5 6
1 2
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asse
mag
gio
re
asse
mag
gio
re
OVOLI E OVALI
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GEO
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PIA
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A B
C
A B
C
D
A
B
C
DE
F
G
H
O A B
C
D
O
Ellisse per tre puntiCostruire l'Ellisse con i raggi vettori o raggi focali
ELLISSE : assi coniugati
Dati due assi coniugati, trovare l'asse maggiore a l'asse minore dell'ellisse.Gli assi coniugati sono: A B e C D
Dal punto D si conduce la perpendicolare all'asse AB; su questa si riporta la lunghezza DL = OB. Si unisce L con O e se ne trova il punto medio M; Si centra in M con apertura MO, fino ad intersecare il segmento DM nei punti P e Q. I segmenti OQ e OP sono le direzioni degli assi dell'ellisse, mentre DQ e DP sono le dimensioni dei semiassi cercati.
Q
L
P M
90°
Costruire l'Ellisse con Stainer
Costruzione dell'Ellisse dati i due assi AB e CD
ELLISSI
AO
Dati gli assi trovare i fuochi.Con raggio AO puntare il compasso in C e tracciare l'arco di cerchio
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GEO
MET
RIA
PIA
NA
A B C D E
F
G H I L M N
O
P Q R S T U
V
Z
direttrice
verticefuocodirettrice
raggio vettore
ascissaordinataasse
F
O
V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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2
3
4
PARABOLA
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GEO
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1
1
12 3 4 5 6 7 8 9 10
F1
A B C D E F
F
F
G H I L M N O P Q R S T U
V
V
V V
Z
Asinto
to
Asinto
to
Asintoto
Asintoto
Asse traverso
Asse non traverso
V : verticeF: fuoco
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Raggio vettore
Ass
e
IPERBOLE