F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
BIBLIOGRAFIA
• M. SALERNO - G. COSTANTINI: Cap. 4
• G. MARTINELLI - M. SALERNO: “Vol. I” - pp. 64-115
• R. PERFETTI: Cap. 3
• G. RIZZONI: pp. 55-75
• DANIELE - LIBERATORE - GRAGLIA - MANETTI: pp. 377-404
D-0
D. METODI DI ANALISI CIRCUITALE
• Generalità (problema fondamentale della Teoria dei Circuiti)
• Schema concettuale dell’analisi circuitale
• Metodo dei Nodi e sue estensioni
• Estensione del metodo dei Nodi
• Metodo delle Maglie
• Estensione del metodo delle Maglie
• Metodo basato sui Tagli (equilibrio delle correnti)
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti D-1
GENERALITÀ
CIRCUITONoti: parametri costitutivi
dei componenti e grafo di
connessione
CAUSE/ECCITAZIONI
V0 , I0 V t , I t
EFFETTI/USCITE
( ramo, o un
opportuno
sottoinsieme)
• L’Analisi Circuitale, o calcolo di una rete elettrica, può essere considerata
come il PROBLEMA FONDAMENTALE DELLA T.d.C., in analogia con ciò
che era stato definito problema fondamentale dell’e.m.
(+ cond. iniz.)
• Per un grafo con R rami: 2R incognite (V ed I ramo)
• Relazioni costitutive note: R equazioni (una ramo = bipolo)
• Per la chiusura del problema occorrono altre R equazioni
Leggi di Kirchhoff: R equazioni K1: (N-1) + K2: (R-N+1)
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
GENERALITÀ (continua…)
D-2
• Le nozioni e le proprietà topologiche utilizzate, grazie all’individuazione
dei sottoinsiemi di variabili indipendenti, garantiscono la corretta chiusura
del problema (sistemi risolventi né ridondanti, né sottodimensionati).
Ia A Ic 0
Vc B Va 0
IMPORTANTE: poiché K1 e K2 sono legate tra loro da , basta
applicare una delle due leggi ed ottenere un numero di equazioni di equilibrio
sufficienti alla chiusura del problema minore di R:
B A T
Se si applica K1) N-1 equazioni
Se si applica K2) R-N+1 equazioni
SISTEMA RISOLVENTE: Si ottiene applicando K1 o K2 e sostituendo le relaz.
costitutive dei componenti
• I metodi organizzati di analisi circuitale dipendono dalla scelta delle
incognite (variabili ausiliarie), ovvero dalla legge di Kirchhoff applicata
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
SCHEMA CONCETTUALE DELL’ANALISI CIRCUITALE
D-3
DATI: INCOGNITE: LEGGI: LEGAME TRA K.:
• GRAFO del circuitoB A T
K1• [V] ed [I] di tutti i rami
(escluse le eccitaz.)• REL. COST. degli elementi
(incluse le eccitaz. Io e Vo)K2
Va a
Ia Vc
c
Ic
Ia A Ic Vc A T Va Relaz. costitutive co-albero: K2)
Relazioni costitutive albero: K1)
• Lo schema rende bene l’idea della dualità nel mod. circuitale, che si riflette
nella dualità dei metodi d’analisi
A
A T
a
c Costitutive
co-albero
Costitutive
albero
Ia Ic
Vc Va
K1)
MAGLIE/ANELLI
Legge: K2
Var. aux.: [Ic]
N. equaz.: R-N+1
TAGLI/NODI
Legge: K1
Var. aux.: [Va]
N. equaz.: N-1
(K2
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
METODO BASATO SUI TAGLI (equilibrio delle correnti)
D-4
• Deve essere possibile dedurre le correnti dalle tensioni per ciascun
componente: per l’albero ; per il co-alberoVa a
Ia Vc c
Ic
• Scelto un albero, le [Va] costituiscono un sottoinsieme di variabili
indipendenti VARIABILI AUSILIARIE
Vc A T Va • Le [Vc] si ricavano da esse grazie alla K2:
Lo scopo del metodo basato sui Tagli è quello di costruire un sistema
risolvente che abbia come incognite le [Va], applicando l’equilibrio delle
correnti K1 ed utilizzando le relazioni costitutive (N-1 equaz.).
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
METODO BASATO SUI TAGLI (continua…)
D-5
Esempio (circuito resistivo con generatore di corrente):
G2 G4
G5Ig
1 3
4
2
G1 G3
Ig 2 A
G1 1/ R1 2 W1
G2 G4 G5 1 W1
G3 1/ R3 3 W1
4
6
1 3
42
5
1 32
albero scelto
(rami: 2,4,5)
4
1 32
42
5grafo circuitale
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
METODO BASATO SUI TAGLI (continua…)
D-6
i2
i4
i5
1 0 1
1 1 1
1 1 1
i1
i3
i6
0
Ia A Ic 0
4
6
1 3
42
5
1 32 K1: equilibrio delle correnti ai
tagli fondamentali:i1 i2 i6 0a)
i1 i3 i4 i6 0b)
i1 i3 i5 i6 0c)
ba
c
Nota: si possono scegliere alberi diversi e quindi
insiemi di tagli fondamentali diversi (cioè sistemi
risolventi diversi).
Si vuole un metodo, sempre basato sull’equilibrio delle correnti (K1), in cui la
scelta dell’albero (e di conseguenza la scrittura del sistema risolvente) sia
meno arbitraria. Questo è il metodo dei Nodi.
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti D-7
• È una particolarizzazione del metodo basato sui tagli dove si fanno alcune
considerazioni topologiche per effettuare la scelta dell’albero
CIRCUITO AUMENTATO: si aggiungono rami fittizi a G = 0 (circuiti aperti)
in modo che tutte le coppie di nodi siano connesse (grafo “a maglie
complete”)
• Scelto un nodo di riferimento (terra o massa) è univocamente determinato
l’albero: insieme dei rami, fittizi e non, che collegano il riferimento a tutti gli
altri nodi
I tagli fondamentali sono tali che la K1 si applica alle correnti uscenti da
ciascun nodo (escluso quello di riferimento).
Le variabili ausiliarie [E] coincidono quindi con le tensioni dei nodi rispetto
al riferimento (sono a tutti gli effetti tensioni di rami di albero [Va], in numero di
N-1).
METODO DEI NODI O DEI POTENZIALI NODALI
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti D-8
Esempio (circuito resistivo con generatori di corrente):
METODO DEI NODI (continua…)
RIFE.
12
3
Grafo
aumentato
12 3
RIFE.
ALBERO
• Può non coincidere con
nessun albero del circuito
iniziale. Come avviene in
questo caso per la presenza
del ramo fittizio che va dal
nodo al riferimento.2
NOTA: Le nozioni topologiche sono ridotte al minimo ed il metodo può
essere applicato direttamente per ispezione visiva.
+G1
1
aIg1 2 G3
Ig2 +
+
G = 0 G2
3
+
+
b c
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
PROCEDIMENTO GENERALE DEL METODO DEI NODI
per circuiti resistivi con solo generatori di corrente
D-9
1) Scegliere un nodo di rife. è univocamente determinato l’albero (del
circuito aumentato);
2) Considerare come var. ausiliarie le N-1 tens. nodali rispetto al rife. [E];
3) Si determina il sistema risolvente: [GNODI] [E] = [INODI]
(matr. coeff. simmetrica (N-1)x(N-1) )
GNODI (k,k) = somma conduttanze rami resistivi connessi al nodo k (escl. rife.)
GNODI (k,i) = somma cambiata di segno di tutte le conduttanze dei rami resistivi
che congiungono i nodi k ed i escl. il rife. (nulla se connessi solo da ramo
fittizio); il segno “ - “ è dovuto al fatto che un ramo che congiunge due nodi,
qualunque sia l’orientazione, risulta sempre uscente da uno ed entrante
nell’altro.
INODI (K) = somma algebrica correnti dei Ig, positive se entranti nel nodo k-mo
(escluso il rife.) o negative se uscenti.
4) Si determinano le incognite [E] risolvendo il sistema.
5) Si determinano tutte le tensioni [V] come differenza delle [E], e tutte le
correnti [I] tramite le relazioni costitutive.
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
PROCEDIMENTO GENERALE DEL METODO NODI (continua…)
D-10
Esempio:
E
E1
E2
E3
GNODI G1 0 0
0 G3 G3
0 G3 G2 G3
INODI Ig1 Ig2
Ig1Ig2
G1 G2 G3 1 W1
Ig1 3 A Ig2
2 A
1 0 0
0 1 1
0 1 2
E1
E2
E3
5
3
2
E1 5 Volt E2 8 Volt E3 5 Volt
vg1 E2 E1 13
vg2 E3 E1 10
vg3 E2 E3 3
i1 G1 E1 5
i2 G2 E3 5
i3 G3 vG3 3
+G1
1
a Ig1 2 G3
Ig2 +
+
G2
3
++
b c1 3
RIFE.
ALBERO
2
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
PROCEDIMENTO GENERALE DEL METODO NODI (continua…)
D-11
Esempio
(segue):+
G1
1
a Ig1 2 G3
Ig2 +
+
G2
3
++
b c1 3
RIFE.
ALBERO
2
i1i2
i3
ica=0
i1 Ig1 Ig2 0
ica i3 Ig1 0
i2 i3 Ig2 0
G1E1 Ig1 Ig2
G3 E2 E3 Ig1G2E3 G3 E2 E3 Ig2
applicazione diretta
equilibrio correnti
ai tagli nodali:
NOTA: il sistema risolvente finale è ovviamente lo stesso ottenuto tramite applicazione
del procedimento per ispezione visiva effettuata in precedenza.
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti D-12
• VALIDITÀ DEL SISTEMA RISOLVENTE:
a) Num. equaz. = num. incognite Il numero di equazioni coincide con il
numero dei nodi (N-1) e quindi con il numero delle incognite (tensioni nodali
escluso il riferimento)
b) Le equaz. sono indipendenti Ciascuna equazione esprime l’equilibrio
delle correnti su un nodo. Per ciascun nodo è definito uno specifico
potenziale nodale, quindi in ogni equazione è presente almeno una incognita
che sicuramente non è presente nelle altre
c) Le [E] sono le uniche incognite Ciascuna corrente facente parte di una
equaz. di equilibrio o è un termine noto (se il ramo corrispondente è un gen.
ind. di corr.) o è una combinazione lineare di variabili ausiliarie [E] con
coefficienti noti (conduttanze Ga e Gc)
PROCEDIMENTO GENERALE DEL METODO NODI (continua…)
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
ESTENSIONE DEL METODO DEI NODI
D-13
1) PRESENZA DI GEN. INDIP. DI TENSIONE:
• Si aggiungono come incognite le correnti che scorrono nei gen. ind. di tensione.
• Per ogni incognita aggiuntiva si aggiunge una equazione che è data dal
vincolo imposto dal gen. ind. di tens.: il problema è chiuso ma aumenta
l’ordine del sist. risolvente (una equaz. in più per ogni gen. di tens. presente).
• Si può scegliere il riferimento in modo che l’albero contenga il maggior
numero di gen. ind. di tens. presenti. In tal modo alcune tensioni nodali E
sono note fin dall’inizio: infatti se il gen. di tens. è in un ramo tra un nodo ed il
riferimento allora la rispettiva tensione nodale risulta nota (diminuisce il
numero delle incognite)
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
Ig7
1 23
465R5 R4
R1Vg2
R3
+
+Vg3Ix3
Ix2
RIFE.
Vg6
+Ix6
1) Presenza di gen. ind. di
tens.:
R1 R5 1 R3 1
2
R4 1
3 Ig7
3 Vg2 1
Vg3 2 Vg6 1
ESTENSIONE DEL METODO DEI NODI (continua…)
D-14
+ Eq. di vincolo:
E3 Vg2 1
E5 Vg3 2
E4 E6 Vg6
• Non è stato possibile scegliere il rife. in
modo che tutte le Vg coincidessero con
variabili ausiliarie (soltanto due)
3 incognite
aggiuntive
G1 0 0 0 0
0 G3 G3 0 0
0 G3 G3 G4 G4 0
0 0 G4 G4 G5 G5
0 0 0 G5 G5
1
3
4
5
6
1 3 4 5 6
E1
E3
E4
E5
E6
Ig7
I x2 I x6 I x3 Ig7 I x6
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ESTENSIONE DEL METODO DEI NODI (continua…)
D-15
Valori numerici:
E1 3
2 2E4 Ix 2
2 5E4 6 Ix6
3E4 8 E6 Ix3
2 E6 I x6 3
E1 3
E4 4 3
E6 7 3
Ix 2 14 3
Ix3 5 3
Ix 6 8 3
+ vincolo: E4 E6 1
Dalle [E] e dalle rel. cost. si ricavano tutte le altre grandezze di interesse
(Il sist. risolvente finale è di 6 equaz.)
R1 R5 1 W
R3 1 2 R4 1 3 W
Ig7 3 A
Vg2 Vg6 1 Vg3 2 V
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ESTENSIONI DEL METODO DEI NODI (continua…)
D-16
2) PRESENZA DI GENERATORI CONTROLLATI:
• Si amplia notevolmente la classe e l’interesse dei circuiti analizzabili
1) Ipo. provvisoria: Si applica il metodo dei nodi considerando i gen. contr.
alla stregua di gen. indip.
NOTA: mentre i gen. indip. introducono termini noti, i gen. contr.
introducono grandezze in funzione delle incognite del problema e
quindi contribuiscono alla matrice dei coefficienti e non alla
colonna dei termini noti, rendendola non simmetrica.
2) Per ogni gen. contr. presente si aggiunge la relativa eq. di vincolo.
3) Si risolve il sist. risolvente complessivo.
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
ESTENSIONE DEL METODO DEI NODI (continua…)
D-17
2) presenza di due gen. di corrente controllati in corrente:
12
4
R4
R5
+
++
3
R6i1 i2
ix3
V3
R4 1 R5 1
2i1 2vR5
R6 1
3V3 1 i2 3iR6
E1
E2
E3
i1
i2 ix3
i x3
G4 G5 G4 G5
G4 G4 0
G5 0 G5 G6
1
2
3
1 2 3
Si considerano i1 e i2come gen. ind. di corr.:
+ vincolo dovuto
al gen. di tens.:E3 E2 V3
+ vincoli dovuti alle rel.
cost. dei gen. controllati.:
i1 2 E1 E3 i2 3G6E3
E1
E2
E3
0
ix3
ix3
G4 G5 2 G4 G5 2
G4 G4 3G6
G5 0 G5 G6
La [GT] non è
più simmetrica
ecc...
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METODO DELLE MAGLIE
D-18
• Si può ricavare dal metodo dei tagli/nodi per dualità (vedi “schema concettuale”)
– Variabili ausiliarie: correnti rami co-albero (R-N+1)
– Legge applicata: equilibrio tensioni
– Sistema risolvente: , con:
Ic K2
RM Ic VM • Simmetrica per circuiti di soli
resistori e gen. ind. di tens.
• No maglie di soli Vg
– Matrice dei coefficienti: RM RN1 RN1
RM k ,k RM k ,i
somma delle resistenze sui rami resistivi della maglia k-ma
somma algebrica resistenze su rami resistivi in comune
tra la maglia k-ma e la maglia i-ma; segno “+” se il verso
delle correnti di maglia è concorde, altrimenti “-”.
– Vettore termini noti: VM RN1 1
VM k somma algebrica delle tensioni dei gen. indip. di tens. presenti
sulla maglia k-ma; segno “+” se la corrente di maglia esce dal
morsetto positivo, altrimenti “-”.
NOTA: il metodo delle maglie si può applicare per ispezione visiva, introducendo la
nozione di “corrente fittizia di maglia”: le m.f. sono percorse da tali correnti e le
correnti dei rami sono determinate dalla combinazione lineare di esse
F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti
ESTENSIONE METODO DELLE MAGLIE
D-19
1) PRESENZA GEN. INDIP. DI CORRENTE:
Aggiunta delle tensioni dei gen. di corr. come incognite: si può fare in
modo che essi coincidano con i rami co-albero (in tal modo diminuisce il
numero delle incognite).
2) PRESENZA DI GENERATORI CONTROLLATI:
Si considerano i gen. contr. come gen. indip. e si utilizzano le eq. di
vincolo: perdita della simmetria della matrice RM