1 Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Corso di “Fondamenti di Automatica” A.A. 2013/14
Diagrammi di Bode
Prof. Carlo Cosentino Dipartimento di Medicina Sperimentale e Clinica
Università degli Studi Magna Graecia di Catanzaro tel: 0961-3694051
[email protected] http://bioingegneria.unicz.it/~cosentino
Funzione di Risposta Armonica
Data la funzione di trasferimento W(s), abbiamo visto come ricavare la
funzione di risposta armonica W(j)
Tale funzione permette di determinare immediatamente la risposta a regime
ad un segnale sinusoidale di pulsazione
Vogliamo ora tracciare l’andamento del modulo e della fase di W(j) al
variare di
2 Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Definizione dei Diagrammi
Utilizzeremo due coppie di assi cartesiani, una per il diagr. del modulo e una
per quello della fase
In entrambi i diagrammi si riporta in ascissa la quantità log10.
Tale scelta è dovuta al fatto che i diagrammi possono essere tracciati su
valori di diversi ordini di grandezza: la scala logaritmica permette di
mantenere una uguale accuratezza di tracciamento a qualsiasi ordine di
grandezza e di contenere il disegno in uno spazio ragionevole.
3 Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
4
Per quanto riguarda il valore in ordinata:
Il modulo viene riportato in dB (decibel), e si calcola dalla formula
|W(j)|dB=20log10|W(j)|
La fase viene riportata in gradi
Anche in questo caso la scelta della scala è collegata al range
ammissibile di valori che può essere assunto dalle grandezze da
tracciare
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Diagrammi Logaritmici
5 Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Forma Generale della W(j)
La W(j) può essere espressa genericamente nella seguente forma
Si noti che tale forma è composta da quattro fattori elementari
Nel seguito, per comodità di notazione utilizzeremo la variabile s,
sottointendendo che i diagrammi si riferiscono alla rispettiva trasformata di
Fourier
6
jsj p npnp
p
j
q nqnq
q
i
i
jss
ss
ssss
KsWjW
2
2
2
2
211
211
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Fattori Elementari
Costante: K
Zero/Polo nell’origine di molteplicità : s
Fattore binomio: (1+s)1 zero/polo semplice in -1/
Fattore trinomio:
zero/polo doppio in , con coeff. di smorzamento
N.B. se ||1 il fattore trinomio va espresso come prodotto di due fattori
binomio, poiché le radici sono reali
7
1
2
22
1
nn
ss
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Richiami: Proprietà del Logaritmo
Ricordiamo alcune proprietà del logaritmo:
Dunque, i diagrammi di W(j) si possono facilmente ottenere (per somma e
sottrazione) da quelli di ciascun fattore elementare
8
xnx
yxyx
yxxy
nloglog
logloglog
logloglog
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Fattore Costante: K
9 Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Polo/Zero nell’Origine: (j)
10 Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Diagrammi Asintotici
Calcolando il modulo e la fase dei termini binomio e trinomio si ottiene un’espressione complessa
Per tracciare il diagramma in modo rapido, si valutano gli asintoti di tale espressione, per 0 e per
Si procede quindi al tracciamento dei diagrammi asintotici
Gli asintoti (orizzontali) del diagr. della fase vengono raccordati con un segmento che parte una decade prima e finisce una decade dopo del punto di rottura
11 Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Diagr. Asintotici Zero Semplice: (1+ j)
12
1010 log1log20
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Diagr. Asintotici Polo Semplice: (1+ j)-1
13
1010 log1log20
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Diagr. Asintotici Zeri Complessi:
14
nn
j2
12
2
1010 loglog40 n
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Diagr. Asintotici Poli Complessi:
15
1
2
22
1
nn
j
1010 loglog40 n
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Inizio diagramma
Cambi di pendenza nei punti di rottura
Tabelle Diagramma Moduli
Indipendente dal segno della parte reale
Zero semplice +20 dB/decade
Polo semplice -20 dB/decade
Coppia di zeri compl. +40 dB/decade
Coppia di poli compl. -40 dB/decade
16
Zero nell’origine +20 dB/decade
Polo nell’origine -20 dB/decade
Il prolungamento
interseca l’asse
verticale a|K|dB }
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2009/10 17
Tabelle Diagramma delle Fasi
Contributi costanti per [0,]
Cambi di pendenza una decade prima e una dopo i punti di rottura
Quando uno zero/polo è elevato ad un indice maggiore di uno, i valori
corrispondenti vanno moltiplicati per tale indice.
18
Parte reale negativa Parte reale positiva
Zero semplice +45 -45 °/decade -45 +45 °/decade
Polo semplice -45 +45 °/decade +45 -45 °/decade
Coppia di zeri compl. +90 -90 °/decade -90 +90 °/decade
Coppia di poli compl. -90 +90 °/decade +90 -90 °/decade
K < 0 -180° per [0,)
Zero nell’origine +90° per [0,)
Polo nell’origine -90° per [0,)
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Esempio
Calcoliamo il diagramma complessivo della f.d.t.
Poniamo la f.d.t. nella forma generale
Quindi, sommiamo i diagr. dei fattori 5, (1+0.2j), e sottraiamo quelli di
(1+j), (1+0.1j)
19
)10)(1(
)5(10
ss
ssW
)1.01)(1(
)2.01(5
jj
jjW
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Esempio
20 Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Diagrammi Reali
Il tracciamento dei diagrammi reali può essere effettuato calcolando modulo
e fase in maniera puntuale
Ciò può essere fatto agevolmente mediante calcolatore, ad es. in Matlab si
può utilizzare il comando bode
Nel tracciamento manuale, si può migliorare il diagramma effettuando delle
correzioni in alcuni punti opportuni
21 Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Diagrammi Reali Zero Semplice
22 Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Diagrammi Reali Poli Complessi
23 Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Esempi
Tracciare i diagrammi di Bode per le seguenti fdt
24
)10010(
5.010002
sss
ssW
)255(
22
ss
sssW
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2009/10 25 10
-210
-110
010
110
2
-300
-200
-100
0
100
10-2
10-1
100
101
102
-40
-20
0
20
40
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2009/10 26 10
-210
-110
010
110
2
-300
-200
-100
0
100
10-2
10-1
100
101
102
-40
-20
0
20
40
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2009/10 27 10
-210
-110
010
110
2
-300
-200
-100
0
100
10-2
10-1
100
101
102
-40
-20
0
20
40
Esempi
28
)10010(
5.010002
sss
ssW
10-1
100
101
102
-40
-20
0
20
40
60
10-1
100
101
102
-200
-150
-100
-50
0
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Esempi
29
)255(
22
ss
sssW
10-1
100
101
102
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
10-1
100
101
102
-400
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Ritardo di Tempo
La fdt del ritardo di tempo T è
Sostituendo s=j otteniamo
Il modulo è unitario per ogni , mentre la fase è pari a -T
30
TsesW
TjejW
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Diagramma del Ritardo di Tempo
31 Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Sistema con Ritardo
Si consideri la fdt
Tracciare i diagrammi di Bode di W(jω) per T=0.4
32
sTe
ssW
1
1
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Sistemi a Sfasamento Minimo
Data una coppia di diagrammi di Bode di modulo e fase, non è possibile
determinare univocamente la fdt corrispondente
Abbiamo infatti visto che uno stesso sfasamento può essere dato da un polo
a parte reale negativa e da uno zero a parte reale positiva (e viceversa)
Alla luce di queste osservazioni, è importante definire la classe dei sistemi a
sfasamento minimo
33 Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14
Sistemi a Sfasamento Minimo
Un sistema si dice a sfasamento minimo se la sua fdt soddisfa le seguenti
condizioni
Guadagno positivo
Poli e zeri hanno tutti parte reale negativa o nulla
Non sono presenti ritardi di tempo
Sotto queste ipotesi, esiste una corrispondenza biunivoca tra il diagramma
dei moduli e quello delle fasi
Tale corrispondenza è espressa dalla formula di Bode
34
0
22log10arg
d
jGjG
ej dBdB
Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2013/14