Outline 17.1 จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers)
17.2 ยกก ำลงและรำก (Powers and Roots)
17.3 เซทในระนำบเชงซอน (Sets in the Complex Plane)
17.4 ฟงกชนของตวแปรเชงซอน(Functions of a Complex Variable)
17.5 สมกำรโคช-รมนน(Cauchy–Riemann Equations)
17.6 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอกำรทม (Exponential and
Logarithmic Functions)
17.7 ฟงกชนตรโกณและไฮเพอรโบลค (Trigonometric and Hyperbolic
Functions)
17.8 อนเวอรสฟงกชนตรโกณและไฮเพอรโบลค (Inverse Trigonometric and
Hyperbolic Functions)
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers)
• จ ำนวนเชงซอน คอจ ำนวนใดๆทอยในรป 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 โดยท x และ y คอจ ำนวนจรง และ i คอจ ำนวนจนตภำพ= −𝟏
–x คอสวนจรง หรอ Re(z)
–y คอสวนจนตภำพ หรอ Im(z)
–จ ำนวนเชงซอน 2 จ ำนวนจะเทำกน ถำทงสวนจรงและสวนจนตภำพเทำกน
• กำรด ำเนนกำรเกยวกบเลขคณต (Arithmetic operations) ทถกกระท ำกบจ ำนวนเชงซอน 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1และ 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2
– กำรบวก: 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑖 𝑦1 + 𝑦2
– กำรลบ: 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑖 𝑦1 − 𝑦2
– กำรคณ: 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2 + 𝑖 𝑦1𝑥2 + 𝑥1𝑦2
– กำรหำร: 𝑧1
𝑧2=𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2
𝑥22+𝑦2
2 + 𝑖𝑦1𝑥2−𝑥1𝑦2
𝑥22+𝑦2
2
• โมดลส หรอคำสมบรณของ z = 𝑥 + 𝑖𝑦
เทำกบ z = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧𝑧
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers)
• กฏเหลำนใชไดกบจ ำนวนเชงซอน 𝑧1 และ 𝑧2
– กำรสลบท: 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧2 + 𝑧1
𝑧1𝑧2 = 𝑧2𝑧1
– กำรเปลยนหม: 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3
𝑧1 𝑧2𝑧3 = 𝑧1𝑧2 𝑧3
– กำรแจกแจง : 𝑧1 𝑧2 + 𝑧3 = 𝑧1𝑧2 + 𝑧1𝑧3
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers)
ยกก ำลงและรำก (Powers and Roots)
• จ ำนวนเชงซอน 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 สำมำรถถกเขยนใหอยในรป
𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃 ในพกดเชงขว (𝑟, 𝜃)
– 𝑟 คอคำโมดลสของ 𝑧
– 𝜃 คอคำอำกวเมนตของ 𝑧 และ 𝜃 = arg 𝑧
Figure 17.2.1: Polar coordinates
• จ ำนวนเชงซอนยกก ำลงจ ำนวนเตมถกแสดงไดโดย 𝑧𝑛 = 𝑟𝑛(𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜃)
• กำรคณและกำรหำรในรปเชงขว
𝑧1𝑧2 = 𝑟1𝑟2[𝑐𝑜𝑠 (𝜃1 + 𝜃2) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 (𝜃1 + 𝜃2)] 𝑧1𝑧2=𝑟1𝑟2 [𝑐𝑜𝑠 (𝜃1 − 𝜃2) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 (𝜃1 − 𝜃2)]
• จำกสมกำรดำนบน ไดวำ
𝑧1𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 ,𝑧1𝑧2=𝑧1𝑧2
arg 𝑧1𝑧2 = arg 𝑧1 + arg 𝑧2
arg 𝑧1
𝑧2= arg 𝑧1 − arg 𝑧2
ยกก ำลงและรำก (Powers and Roots)
• สตรของเดอมวร (DeMoivre’s formula) มประโยชนในกำรหำเอกลกษณตรโกณมตบำงอยำง
– เมอ 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃 ,สตรของเดอมวรกลำววำ
𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑛 = (𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜃) • รำกของจ ำนวนเชงซอนมคำเทำกบ
𝑤𝑘 = 𝑟1𝑛 𝑐𝑜𝑠
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛+ 𝑖𝑠𝑖𝑛
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
– เมอ 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1 คอจ ำนวนคำรำกท n
ยกก ำลงและรำก (Powers and Roots)
เซทในระนำบเชงซอน (Sets in the Complex Plane)
• ถำแตละจด z ของเซท S เปนจดทอยภำยใน(interior point), S
จะเปนเซทเปด (open set) ดงรปซำยมอ
Figure 17.3.2: Open set Figure 17.3.3: Open set magnified view of a point near x = 1
• ถำมจด z1 และ z2 ในเซทเปด S ถกเชอมตอโดยเสนทมหลำยมมทวทง S เรำจะเรยก S วำ “connected set”
• เซททถกเชอมตอเหลำนจะถกเรยกวำ “โดเมน”
• รเจยน (region) คอโดเมนในระนำบเชงซอน
ทงหมด, บำงสวน, หรอ ไมมขอบเขต
• รเจยน ทประกอบดวยจดทงหมดของขอบเขตจะถกเรยกวำปด
(closed)
เซทในระนำบเชงซอน (Sets in the Complex Plane)
Figure 17.17.3.6: Connected
set
ฟงกชนของตวแปรเชงซอน(Functions of a Complex Variable)
• ฟงกชนของตวแปรเชงซอน 𝑓 จำกเซท 𝑍 ไป 𝑊 คอควำมสมพนธ (rule of correspondence) ซงก ำหนดวำแตละองคประกอบใน 𝑍 สมพนธแบบหนงตอหนงแตละองคประกอบใน 𝑊 โดยท Z เซทของจ ำนวนเชงซอน 𝑧
– ถำ 𝑤 เปนองคประกอบใน 𝑊 ถกก ำหนดไปหำ 𝑧 ใน 𝑍, w คอ ภำพ (image) ของ 𝑧 และถกเขยนเปน 𝑤 = 𝑓(𝑧)
– 𝑍 เปนโดเมนของ 𝑓
– เซทของทกภำพใน 𝑊 คอเรนจ (range) ของ 𝑓 𝑤 = 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)
• กรำฟของ 𝑤 = 𝑓(𝑧) ไมสำมำรถถกวำดไดเนองจำกมนตองกำรทงหมด 4 แกนในระบบพกด 4 มต
• ฟงกชนจะถกแปลเปนกำรแมปปง (mapping ) หรอกำรแปลง(transformation) จำกระนำบ 𝑧 ไประนำบ 𝑤
Figure 17.4.1: Mapping from z-plane to w-plane
ฟงกชนของตวแปรเชงซอน(Functions of a Complex Variable)
• ลมตของ 𝑓 ท 𝑧0 คอ lim𝑧→𝑧0𝑓 𝑧 = 𝐿
ส ำหรบ 휀 > 0 จะม δ > 0 ดงนน 𝑓 𝑧 − 𝐿 < 휀
เมอไหรกตำมท 0 < 𝑧 − 𝑧0 < δ
* f must be defined in a
neighborhood of z0
Figure 17.4.5: Geometric meaning of a complex limit
ฟงกชนของตวแปรเชงซอน(Functions of a Complex Variable)
สมกำรโคช-รมนน(Cauchy–Riemann Equations)
• สมกำรโคช-รมนน สมพนธกบอนพนธยอยล ำดบท 1
–ถำ 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) สำมำรถหำอนพนธไดทจด 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ดงนน ทจด 𝑧 จะมอนพนธยอยล ำดบท 1 ของ 𝑢 และ 𝑣 และสอดคลองกบ สมกำรโคช-รมนน
𝜕𝑢
𝜕𝑥=𝜕𝑣
𝜕𝑦 และ 𝜕𝑢
𝜕𝑦= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
• คำจรงของฟงกชน 𝜙(𝑥, 𝑦) ซงมอนพนธยอยล ำดบท 2 ตอเนองในโดเมน 𝐷 และสอดคลองกบสมกำรลำปลำซ จะถกเรยกวำ ฮำรโมนค (harmonic) ใน 𝐷
• ฟงกชนจะเปนฟงกชนวเครำะหในโดเมน ถำมนมอนพนธทกจด
• ถำ 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) เปนฟงกชนวเครำะหในโดเมน 𝐷ดงนนฟงกชน u และ v เปนฮำรโมนค
สมกำรโคช-รมนน(Cauchy–Riemann Equations)
ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอกำรทม (Exponential and Logarithmic Functions)
• ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอ
𝑒𝑧 = 𝑒𝑥+𝑖𝑦 = 𝑒𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝑦)
• อนพนธของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอ
𝑑𝑒𝑧
𝑑𝑧= 𝑒𝑧
• มคำเปนอนฟนตของคำลอกำลทมของจ ำนวนเชงซอน 𝑧 ln 𝑧 = log𝑒 𝑧 + 𝑖 𝜃 + 2𝑛𝜋 , 𝑛 = 0,±1,±2,…
ฟงกชนตรโกณและไฮเพอรโบลค (Trigonometric and Hyperbolic Functions)
• ส ำหรบจ ำนวนเชงซอน ใดๆ 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
sin 𝑧 =𝑒𝑖𝑧 − 𝑒−𝑖𝑧
2𝑖 , cos 𝑧 =
𝑒𝑖𝑧 + 𝑒−𝑖𝑧
2
• คำอนพนธและคำเอกลกษณของจ ำนวนเชงซอนของฟงกชนตรโกณมต จะเหมอนกบฟงกชนจ ำนวนจรง
• ฟงกชนไฮเพอรโบลคไซนและโคไซน เทยบไดกบจ ำนวนจรง
sinh 𝑧 =𝑒𝑧 − 𝑒−𝑧
2 , cosh 𝑧 =
𝑒𝑧 + 𝑒−𝑧
2
อนเวอรสฟงกชนตรโกณและไฮเพอรโบลค (Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions)
• อนเวอรสของฟงกชนลอกำลทมและอนพนธ มคำดงน
sin−1 𝑧 = −𝑖 𝑙𝑛 𝑖𝑧 + 1 − 𝑧212
𝑑sin−1𝑧
𝑑𝑧=
1
1 − 𝑧212
cos−1 𝑧 = −𝑖 𝑙𝑛 𝑧 + 𝑖 1 − 𝑧212
𝑑cos−1𝑧
𝑑𝑧=
1
1 − 𝑧212
tan−1 𝑧 =𝑖
2𝑙𝑛𝑖 + 𝑧
𝑖 − 𝑧 𝑑tan−1𝑧
𝑑𝑧=1
1 + 𝑧2
Outline
18.1 คอนทวรอนทกรล (Contour Integrals)
18.2 ทฤษฎบทของโคช-กรซำต (Cauchy–Goursat Theorem)
18.3 ควำมเปนอสระของเสนทำง (Independence of the Path)
18.4 สตรโคชอนทกรล (Cauchy’s Integral Formulas)
คอนทวรอนทกรล (Contour Integrals)
• ให 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) สำมำรถหำคำไดททกจดบนเสนโคงเรยบ 𝐶 ซงคอ 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
• แบง 𝐶เปน 𝑛 สวนดงน 𝑎 = 𝑡0 < 𝑡1 < ⋯ < 𝑡1 = 𝑏 บนชวง [𝑎, 𝑏] • 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 = 𝑥 𝑡0 + 𝑖𝑦 𝑡0 , … , 𝑧𝑛 = 𝑥𝑛 + 𝑖𝑦𝑛 = 𝑥 𝑡𝑛 + 𝑖𝑦 𝑡𝑛
โดยให ∆𝑧𝑘= 𝑧𝑘 − 𝑧𝑘−1 , 𝑘 = 1,2, … , 𝑛
• ให 𝑃 เปนนอรมของสวนซงมคำมำกทสดของ ∆𝑧𝑘
• เลอกจดตวอยำง 𝑧𝑘∗ = 𝑥𝑘
∗ + 𝑖𝑦𝑘∗ บนแตละสวน(จดแดง)
• หำผลรวม 𝑓(𝑧𝑘
∗)
𝑛
𝑘=1
∆𝑧𝑘
คอนทวรอนทกรล (Contour Integrals)
• อนทกรลของ 𝑓(𝑧) บนเสนโคงเรยบ 𝐶 ซงตอเนองเปนชวงๆ (contour or path) ถกเรยกวำ คอนทวรอนทกรลหรอคอมเพลกซอนทกรล
𝑓(𝑧)𝐶
𝑑𝑧 = lim𝑃 →0 𝑓(𝑧𝑘
∗)
𝑛
𝑘=1
∆𝑧𝑘
𝐶 ถกก ำหนดโดย 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
• คอนทวรอนทกรล จะมคำเทำกบ
𝑓(𝑧)𝐶
𝑑𝑧 = 𝑓 𝑧 𝑡𝑏
𝑎
𝑧′(𝑡)𝑑𝑡
• ถำ 𝑓 ตอเนองบนเสนโคงเรยบ 𝐶 และถำ 𝑓(𝑧) ≤ 𝑀
ส ำหรบทกจด 𝑧 บน 𝐶, ดงนน 𝑓 𝑧𝐶𝑑𝑧 ≤ 𝑀𝐿
โดยท 𝐿 เปนควำมยำวของ 𝐶
–ทฤษฎขอบเขต (Bounding Theorem)
หรอบำงครงถกเรยกวำ “ML-inequality”
– มประโยชนในเรองทฤษฎของกำรอนทเกรทจ ำนวนเชงซอน
คอนทวรอนทกรล (Contour Integrals)
• จงหำขอบเขตบนของโจทย โดยใช ML-inequality โดยท 𝐶 คอวงกลม 𝑧 = 4
• ในขอ 3, 𝐶 คอ quarter ของวงกลม 𝑧 = 4 จาก 𝑧 = 4𝑖 ถง 𝑧 = 4
คอนทวรอนทกรล (Contour Integrals)
≤𝑒48𝜋
3≈ 457
𝑒𝑧
𝑧 + 1𝐶
𝑑𝑧
𝑒𝑧
𝑧2 + 1𝐶
𝑑𝑧
1
𝑧3𝐶
𝑑𝑧
≤8𝜋 𝑒𝑧
𝑧 2 − 1=𝑒48𝜋
15≈ 91.5
≤2𝜋
4 3=𝜋
32
ทฤษฎบทของโคช-กรซำต (Cauchy–Goursat Theorem)
• ประเภทโดเมน
• โดเมนจะเปน simply connected ถำทกๆ simple closed contour 𝐶 ทงหมดทอยใน
โดเมนนปดลอมเพยงจด 𝐷 (หรอ โดเมนไมมร)
• โดเมนทไมเปน simply connected จะเปน multiply connected
•โดเมนทม 1 “hole” จะเปน doubly connected
•โดเมนทม 2 “hole” จะเปน triply connected
• ตำมททฤษฎบทของโคช-กรซำตกลำวไว เมอ 𝑓เปนฟงกชนวเครำะห (analytic) ในโดเมน 𝐷 ทเปนแบบ simply connected คำของคอน
ทวรอนทกรล 𝑓 𝑧 𝑑𝑧𝐶 มคำเทำกนส ำหรบเสนโคงปด 𝐶 ซงอย
ภำยใน 𝐷 ทงหมด
• ถำ 𝑓 เปนฟงกชนวเครำะห ททกๆจดทอยภำยใน
หรอบนคอนทวร 𝐶, แลว 𝑓 𝑧 𝑓𝑧𝐶= 0
ทฤษฎบทของโคช-กรซำต (Cauchy–Goursat Theorem)
• กำรพสจนทฤษฎบทของโคช-กรซำต (Cauchy–Goursat theorem) จะใช
ทฤษฎบทของกรน (Green’s theorem) และสมกำรของโคช-รมนน (Cauchy-
Riemann equations)
• 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) และ 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑖𝑦
• 𝑓 𝑧 𝑑𝑧𝐶= 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑖𝑑𝑦𝐶
= 𝑢(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 − 𝑣(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝐶+
𝑖 𝑣 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑢(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝐶= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥−𝜕𝑢
𝜕𝑦𝐷𝑑𝐴 + 𝑖
𝜕𝑢
𝜕𝑥−𝜕𝑣
𝜕𝑦𝐷𝑑𝐴
• ถำ 𝑓 เปน analytic, ดงนน 𝜕𝑢𝜕𝑦
= −𝜕𝑣
𝜕𝑥 และ 𝜕𝑢
𝜕𝑥=𝜕𝑣
𝜕𝑦 ท ำให 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 0𝐶
ทฤษฎบทของโคช-กรซำต (Cauchy–Goursat Theorem)
• ในโดเมนทเปนแบบ multiply connected, 𝑓(𝑧)𝐶𝑑𝑧 ≠ 0
– สมมตวำ 𝐶, 𝐶1, … , 𝐶𝑛 เปนเสนโคงแบบ simple closed ทมทศทำงเปนบวก 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛 อยใน 𝐶
– แตบรเวณทอยภำยในของแตละ 𝐶𝑘 , 𝑘 = 1,2, … , 𝑛 จะไมมจดรวมกน
– 𝑓 เปนฟงกชนวเครำะหบนแตละคอนทวรและทแตละจดภำยใน 𝐶 แตไมใชภำยนอก 𝐶𝑘 , 𝑘 = 1,2, … , 𝑛
𝑓 𝑧
𝐶
𝑑𝑧 = 𝑓 𝑧 𝑑𝑧
𝐶𝑘
𝑛
𝑘=1
ทฤษฎบทของโคช-กรซำต (Cauchy–Goursat Theorem)
𝑓 𝑧
𝐶
𝑑𝑧 = 𝑓 𝑧 𝑑𝑧
𝐶𝑘
𝑛
𝑘=1
จงหำคำ 𝑑𝑧
𝑧2+1𝐶 โดยท 𝐶 คอวงกลม 𝑧 = 3
1
𝑧2 + 1=1/2𝑖
𝑧 − 𝑖−1/2𝑖
𝑧 + 𝑖
𝑑𝑧
𝑧2 + 1𝐶
=1
2𝑖 1
𝑧 − 𝑖−1
𝑧 + 𝑖𝑑𝑧
𝐶
𝑑𝑧
𝑧2 + 1𝐶
=1
2𝑖 1
𝑧 − 𝑖−1
𝑧 + 𝑖𝑑𝑧
𝐶1
+1
2𝑖 1
𝑧 − 𝑖−1
𝑧 + 𝑖𝑑𝑧
𝐶2
=1
2𝑖2𝜋𝑖 − 0 + 0 − 2𝜋𝑖 = 0
ทฤษฎบทของโคช-กรซำต (Cauchy–Goursat Theorem)
ควำมเปนอสระของเสนทำง (Independence of the Path)
• คอนทวรอนทกรล 𝑓 𝑧 𝑑𝑧𝐶 เปนอสระของ
เสนทำง ถำคำของมนมคำเทำกนในทกเสนทำงคงท 𝐶 ดวยจดเรมตน 𝑧0และจดสนสด 𝑧1 ใน 𝐷
• ถำ 𝑓 เปนฟงกชนวเครำะหใน simply connected
domain 𝐷, ดงนน 𝑓 𝑧 𝑑𝑧𝐶 เปนอสระของ
เสนทำง 𝐶 Figure 18.3.1: If f is analytic in D, integrals on C and C1 are equal
ควำมเปนอสระของเสนทำง (Independence of the Path)
• ถำมฟงกชน 𝐹 ทสำมำรถมได โดยท 𝐹′ 𝑧 = 𝑓(𝑧) ดงนน, 𝐹
เปนปฏยำนพนธของ 𝑓 (antiderivative)
• ตวอยำง , 𝐹 𝑧 = −cos 𝑧 เปนปฏยำนพนธของ 𝑓 𝑧 = sin 𝑧 เพรำะวำ 𝐹′ 𝑧 = sin 𝑧
• ถำ 𝑓 ฟงกชนทตอเนองในโดเมน 𝐷 และ 𝐹 เปนปฏยำนพนธของ 𝑓 ในโดเมน 𝐷 , ดงนน ส ำหรบทกคอนทวร C ซงมจดเรมตน 𝑧0และจดสนสด 𝑧1 ใน 𝐷
𝑓 𝑧 𝑑𝑧
𝐶
= 𝐹 𝑧1 − 𝐹 𝑧0
สตรโคชอนทกรล (Cauchy’s Integral Formulas)
• ทฤษฎบทของโคช-กรซำต มควำมส ำคญหลำยอยำง
–คำของฟงกชนวเครำะห 𝑓 ทจด 𝑧0 ใดๆในโดเมนแบบ
simply connected สำมำรถถกแทนดวยคอนทวรอนทกรล
𝑓 𝑧0 =1
2𝜋𝑖 𝑓(𝑧)
𝑧 − 𝑧0𝐶
𝑑𝑧
– ฟงกชนวเครำะห 𝑓 ในโดเมนแบบ simply connected สำมำรถ
หำอนพนธทกล ำดบ 𝑓(𝑛) 𝑧0 =𝑛!
2𝜋𝑖
𝑓(𝑧)
(𝑧−𝑧0)𝑛+1𝐶𝑑𝑧
• ตำมทสตรโคชอนทกรลกลำวไว ส ำหรบฟงกชนวเครำะห 𝑓 ในโดเมน 𝐷
แบบ simply connected, ดวย 𝐶 เปนคอนทวรแบบ simple
closed อยใน 𝐷 และจด 𝑧0 ใดๆทอยภำยใน 𝐶 ดงแสดงในรปดำนลำง
𝑓 𝑧0 =1
2𝜋𝑖 𝑓(𝑧)
𝑧 − 𝑧0𝐶
𝑑𝑧
สตรโคชอนทกรล (Cauchy’s Integral Formulas)
𝑧2 − 4𝑧 + 4
𝑧 + 𝑖𝐶
𝑑𝑧 =? โดยท 𝐶 คอวงกลม 𝑧 = 2
𝑧2 − 4𝑧 + 4
𝑧 + 𝑖𝐶
𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖𝑓 −𝑖 = 2𝜋𝑖 −𝑖 2 + 4𝑖 + 4 = 2𝜋(−4 + 3𝑖)
𝑧
𝑧2 + 9𝐶
𝑑𝑧 =? โดยท 𝐶 คอวงกลม 𝑧 − 2𝑖 = 4
𝑧
𝑧2 + 9𝐶
𝑑𝑧 = 𝑧
(𝑧 + 3𝑖)(𝑧 − 3𝑖)𝐶
𝑑𝑧 = 𝑧/(𝑧 + 3𝑖)
𝑧 − 3𝑖𝐶
𝑑𝑧
= 2𝜋𝑖𝑓 3𝑖 = 2𝜋𝑖3𝑖
6𝑖= 𝜋𝑖
สตรโคชอนทกรล (Cauchy’s Integral Formulas)
𝑓 𝑧0 =1
2𝜋𝑖 𝑓(𝑧)
𝑧 − 𝑧0𝐶
𝑑𝑧
𝑧 + 1
𝑧4 + 4𝑧3𝐶
𝑑𝑧 =? โดยท 𝐶 คอวงกลม 𝑧 = 1
สตรโคชอนทกรล (Cauchy’s Integral Formulas)
= 𝑧 + 1
𝑧3(𝑧 + 4)𝐶
𝑑𝑧 = (𝑧 + 1)/(𝑧 + 4)
𝑧3𝐶
𝑑𝑧
=2𝜋𝑖
2!𝑓′′ 0
𝑓 𝑛 𝑧0 =𝑛!
2𝜋𝑖
𝑓(𝑧)
(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1
𝐶
𝑑𝑧
=2𝜋𝑖
2!−6
(0 + 4)3
= −3𝜋𝑖
32
𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝐶
𝑑𝑧 =? โดยท 𝐶 คอ
สตรโคชอนทกรล (Cauchy’s Integral Formulas)
= 𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝐶1
𝑑𝑧 + 𝑧3 + 3
𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝐶2
𝑑𝑧
= (𝑧3 + 3)/(𝑧 − 𝑖)2
𝑧𝐶1
𝑑𝑧 + (𝑧3 + 3)/𝑧
(𝑧 − 𝑖)2𝐶2
𝑑𝑧
= 2𝜋𝑖 × 3 +2𝜋𝑖
1!𝑓′ 𝑖
= 6𝜋𝑖 + 2𝜋𝑖(2𝑖 − 3/𝑖2)
= 6𝜋𝑖 − 4𝜋 + 6𝜋𝑖
= 12𝜋𝑖 − 4𝜋
𝑓 𝑛 𝑧0 =𝑛!
2𝜋𝑖
𝑓(𝑧)
(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1
𝐶
𝑑𝑧
𝑓 𝑧0 =1
2𝜋𝑖 𝑓(𝑧)
𝑧 − 𝑧0𝐶
𝑑𝑧
𝑓(𝑧)
𝑧 − 𝑧0𝐶
𝑑𝑧 = 𝑓 𝑧 − 𝑓 𝑧0 + 𝑓(𝑧0)
𝑧 − 𝑧0𝐶
𝑑𝑧
𝑓(𝑧)
𝑧 − 𝑧0𝐶
𝑑𝑧 = 𝑓 𝑧 − 𝑓 𝑧0𝑧 − 𝑧0𝐶
+ 𝑓 𝑧0𝑧 − 𝑧0𝐶
𝑑𝑧 = 𝑓 𝑧 − 𝑓 𝑧0𝑧 − 𝑧0𝐶
+ 2𝜋𝑖𝑓 𝑧0
เนองจำก 𝑓 ตอเนองท 𝑧0 จะท ำให 𝑓 𝑧 − 𝑓 𝑧0 < 휀 ส ำหรบ 휀 > 0 แตเลกมำกๆ
และ 𝑧 − 𝑧0 < 𝛿 ส ำหรบ 𝛿 > 0 และถำเรำเลอก 𝐶1ใหเปน 𝑧 − 𝑧0 =𝛿
2 ดงนน ใช
ML-inequality
𝑓 𝑧 −𝑓 𝑧0
𝑧−𝑧0𝐶𝑑𝑧 ≤
2
𝛿2𝜋𝛿
2= 2𝜋휀 = 0 เนองจำก 휀 เลกมำกๆ
สตรโคชอนทกรล (Cauchy’s Integral Formulas)
• ตำมทสตรโคชอนทกรลกลำวไวเกยวกบอนพนธ, ส ำหรบฟงกชนวเครำะห 𝑓 ในโดเมน 𝐷 แบบ simply connected ซงม 𝐶 เปนคอนทวรแบบ simple closed ทอยภำยใน 𝐷 และ 𝑧0 เปนจดใดๆทอยภำยใน 𝐶 อนพนธของฟงกชนวเครำะห 𝑓 ทจด 𝑧0 จะเทำกบ
𝑓 𝑛 𝑧0 =𝑛!
2𝜋𝑖
𝑓(𝑧)
(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1
𝐶
𝑑𝑧
สตรโคชอนทกรลส ำหรบอนพนธ (Cauchy’s Integral Formulas for Derivatives)
• ถำเรำมคอนทวร 𝐶 เปนวงกลม 𝑧 − 𝑧0 = r ดงนน,มนเปนไปตำมสตรโคช
อนทกรลส ำหรบอนพนธ และ ML-inequality ดงนน
𝑓 𝑛 (𝑧0) =𝑛!
2𝜋 𝑓(𝑧)
(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1
𝐶
𝑑𝑧 ≤𝑛!
2𝜋𝑀1
𝑟𝑛+12𝜋𝑟 =
𝑛!𝑀
𝑟𝑛
โดยท 𝑀 คอจ ำนวนจรง ซง 𝑓(𝑧) ≤ 𝑀 ส ำหรบทกจดบน 𝐶 ผลจำกสมกำรนจะถกเรยกวำ
“Cauchy’s inequality” ซงจะถกใชในกำรพสจนทฤษฎบทของลววว (Liouville’s
Theorem) (The only bounded entire functions are constants)
สตรโคชอนทกรล (Cauchy’s Integral Formulas)