Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici
2
Criteri di stabilità per sistemi dinamici LTI
Introduzione ai criteri di stabilitàRegola dei segni di CartesioCriterio di Routh-HurwitzEsempi di applicazione del criterio di RouthCriterio di JuryEsempi di applicazione del criterio di Jury
Criteri di stabilità per sistemi dinamici LTI
4
Introduzione ai criteri di stabilità (1/2)
I criteri fino ad ora considerati per lo studio della stabilità interna di sistemi dinamici, a dimensione finita, MIMO, lineari e stazionari (LTI), richiedono la conoscenza degli autovalori della matrice A di stato del sistema ⇒ richiedono il calcolo esplicito delle radici del polinomio caratteristico
I criteri che verranno ora introdotti permettono di studiare la stabilità dei sistemi dinamici LTI senza richiedere il calcolo esplicito delle radici di p (λ) ⇒ sono di particolare utilità nei casi in cui
Non si abbiano a disposizione strumenti di calcoloIl polinomio p(λ) dipenda da parametri variabili
( ) 11 1 0( ) det n n
n np I A a a a aλ λ λ λ λ−−= − = + + + +…
5
Introduzione ai criteri di stabilità (2/2)
In particolare:La Regola dei segni di Cartesio fornisce in generale solo una condizione necessaria affinché tutte le radici di p (λ) siano a parte reale strettamente minore di 0Il Criterio di Routh-Hurwitz fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché tutte le radici di p(λ) siano a parte reale strettamente minore di 0Il Criterio di Jury fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché tutte le radici di p (λ) siano in modulo strettamente minori di 1
Criteri di stabilità per sistemi dinamici LTI
7
Regola dei segni di Cartesio (1/3)
Dato il polinomio a coefficienti reali di grado n
il numero di radici reali positive è pari al numero v di variazioni di segno fra coefficienti consecutivi non nulli o è inferiore a v per un multiplo intero di 2Esempio:
c’è una sola variazione di segno in p (λ) ⇒p (λ) ha una sola radice reale positiva; infatti
11 1 0( ) n n
n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…
λ λ λ λ= + − −3 2( ) 1p
λ λ λ λ λ λ= + − − = + −3 2 2( ) 1 ( 1) ( 1)p
8
Regola dei segni di Cartesio (2/3)
Corollario: dato il polinomio a coefficienti reali
il numero di radici reali negative è pari al numero w di variazioni di segno fra coefficienti consecutivi non nulli del polinomio p (−λ) o è inferiore a w per un multiplo intero di 2Esempio:
ci sono 2 variazioni di segno in p (−λ) ⇒p (λ) ha 2 o 0 radici reali negative
11 1 0( ) n n
n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…
λ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ λ λ
= + − − = + − ⇒− = − + − − − − = − + + −
3 2 2
3 2 3 2( ) 1 ( 1) ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) 1 1
pp
9
Regola dei segni di Cartesio (3/3)
Condizione necessaria ma in generale non sufficiente affinché p (λ) abbia tutte le n radici a parte reale strettamente negativa è che non ci siano variazioni di segno fra coefficienti consecutivi non nulliCaso particolare: nel caso n =2
condizione necessaria e sufficiente affinché p (λ) abbia entrambe le radici a parte reale strettamente negativa è che i 3 coefficienti a2, a1 e a0 siano di segno concorde (cioè tutti > 0 oppure tutti < 0) e quindi non presentino alcuna variazione di segno
λ λ λ= + +212 0( )p a a a
Criteri di stabilità per sistemi dinamici LTI
11
Criterio di Routh-Hurwitz (1/3)
Premessa: condizione necessaria affinché tutte le n radici del polinomio a coefficienti reali di grado n
siano a parte reale strettamente minore di 0 è che tutti gli n +1 coefficienti an , an−1, …, a1, a0 siano di segno concorde (cioè tutti > 0 oppure tutti < 0) Il criterio di Routh si esprime con riferimento al segno degli elementi della prima colonna della tabella di Routh avente le seguenti caratteristiche:
È costituita in generale da n +1 righeGli elementi delle prime due righe sono costituiti dai coefficienti di p (λ ), opportunamente distribuitiL’ultima riga è costituita dal coefficiente a0 di p(λ )
11 1 0( ) n n
n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…
12
Criterio di Routh-Hurwitz (2/3)
11 1 0( ) n n
n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…
−−
− −−
− −
− −
−
−
−−−
0
42
1 53
4 6
5 73
2
123
0 0 0
n nn
n nn
n n
n
n
nn
n a a an a a an b bn c c c
a
b
13
Criterio di Routh-Hurwitz (2/3)
11 1 0( ) n n
n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…
− − −−− −
− − −−−− = − = − …1 1 53
2 24 2 62
53 , ,n n nnn n
n n nnnn
a a a ab bb bb bc c
−−
− −−
− −
− −
−
−
−−−
0
42
1 53
4 6
5 73
2
123
0 0 0
n nn
n nn
n n
n
n
nn
n a a an a a an b bn c c c
a
b
− −− −
− − −−− −= − = − …2 4
1 11 1 53
42 , ,n n n nn n
n n nnn n
a a a aa aa a a abb
14
Criterio di Routh-Hurwitz (2/3)
11 1 0( ) n n
n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…
− − −−− −
− − −−−− = − = − …1 1 53
2 24 2 62
53 , ,n n nnn n
n n nnnn
a a a ab bb bb bc c
− −− −
− − −−− −= − = − …2 4
1 11 1 53
42 , ,n n n nn n
n n nnn n
a a a aa aa a a abb
−
−−
− −−
− −
− −−
−−−
0
42
1 53
2 6
5 73
4
123
0 0 0
n
n nn
n nn
n n
n nn
b
n a a an a a an b bn c c c
a
15
Criterio di Routh-Hurwitz (2/3)
11 1 0( ) n n
n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…
− − −−− −
− − −−−− = − = − …1 1 53
2 24 2 62
53 , ,n n nnn n
n n nnnn
a a a ab bb bb bc c
−−
− −−
−− −
− −−
−−−
0
42
1 53
42 6
3 5 7
123
0 0 0
n nn
n nn
nn n
n nn
n a a an a a an b b
c c
a
cb
n
− −− −
− − −−−− = − = − …2 4
1 11 1 53
42 , ,n n n nn n
n n nnnn
a a a aa aa a a ab b
16
Criterio di Routh-Hurwitz (2/3)
11 1 0( ) n n
n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…
− − −−− −
− − −−−− = − = − …1 1 53
2 24 2 62
3 5, ,n n nnn n
n n nnn n
a a a ab bb bb b cc
−−
− −−
−− −
−− −
−−−
0
5
42
1 53
42 6
73
123
0 0 0
n nn
n nn
nn n
nnn
n a a an a a an b b
c
a
cb
n c
− −− −
− − −−−− = − = − …2 4
1 11 1 53
42 , ,n n n nn n
n n nnnn
a a a aa aa a a ab b
17
Criterio di Routh-Hurwitz (2/3)
11 1 0( ) n n
n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…
−−
− −−
−− −
− −−
−−−
0
42
1 53
42 6
5 73
123
0 0 0
n nn
n nn
nn n
n nn
n a a an a a an b b
c
a
bn c c
− −− −
− − −−−− = − = − …2 4
1 11 1 53
42 , ,n n n nn n
n n nnnn
a a a aa aa a a ab b
− − −−− −
− − −−−− = − = − …1 1 53
2 24 2 62
53 , ,n n nnn n
n n nnnn
a a a ab bb bb bc c
18
Criterio di Routh-Hurwitz (3/3)
Criterio di Routh-Hurwitz:condizione necessaria e sufficiente affinché tutte le radici di p (λ) siano a parte reale strettamente minore di 0 è che tutti gli elementi della prima colonna della tabella di Routh siano di segno concorde (cioè tutti > 0 oppure tutti < 0)
0
42
1 53
42 6
5 73
123
0 0 0
n nn
n nn
nn n
n nn
n a a an a a an b b bn c c c
a
−−
− −−
−− −
− −−
−−−
19
Corollario del criterio di Routh-Hurwitz
Corollario del criterio di Routh-Hurwitz:se la tabella di Routh può essere completata (cioènessun elemento della sua prima colonna è nullo):
Nessuna radice di p (λ) ha parte reale nullaIl numero di radici di p (λ) a parte reale strettamente maggiore di 0 è dato dal numero delle variazioni di segno presenti nella prima colonna della tabella
0
42
1 53
42 6
5 73
123
0 0 0
n nn
n nn
nn n
n nn
n a a an a a an b b bn c c c
a
−−
− −−
−− −
− −−
−−−
Criteri di stabilità per sistemi dinamici LTI
21
Dato il seguente polinomio di grado n = 4
analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Esempio #1 (1/6)
4 3 2( ) 6 8 1p λ λ λ λ λ= + + + +
( ) 2
1 8 6 1 48 6 47 66 1
= − = − − =b
2 0 2
1 1 3
0
4 1 8 1 03 6 1 0 0210 1 0 0
−
− −=
b b bc c c
a
22
Dato il seguente polinomio di grado n = 4
analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Esempio #1 (2/6)
4 3 2( ) 6 8 1p λ λ λ λ λ= + + + +
( )01 1 6 0 6 6 16 0
= − = − − =b
0 2
1 1 3
0
4 1 8 1 03 6 1 0 02 47 610 1 0 0
−
− −=
b bc c c
a
23
Dato il seguente polinomio di grado n = 4
analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Esempio #1 (3/6)
4 3 2( ) 6 8 1p λ λ λ λ λ= + + + +
421 0 6 06 0 −− = − = = =…b b
2
1 1 3
0
4 1 8 1 03 6 1 0 02 47 6 110 1 0 0
−
− −=
bc c c
a
24
Dato il seguente polinomio di grado n = 4
analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Esempio #1 (4/6)
4 3 2( ) 6 8 1p λ λ λ λ λ= + + + +
16 47 66 1 47 6 11 47
47 6 1 47 6−
= − = − =c
1 1 3
0
4 1 8 1 03 6 1 0 02 47 6 1 010 1 0 0
− −=
c c ca
25
Dato il seguente polinomio di grado n = 4
analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Esempio #1 (5/6)
4 3 2( ) 6 8 1p λ λ λ λ λ= + + + +
1 3
0
4 1 8 1 03 6 1 0 02 47 6 1 01 11 470 1 0 0
− −=
c ca
1 36 0 47 6 0
47 6 0− −= − = = =…c c
26
Dato il seguente polinomio di grado n = 4
analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Tutti gli elementi della prima colonna sono concordi ⇒ tutte le radici di p (λ) sono a parte reale < 0
Esempio #1 (6/6)
4 3 2( ) 6 8 1p λ λ λ λ λ= + + + +
=0
4 1 8 1 03 6 1 0 02 47 6 1 0 01 11 47 0 0 00 1 0 0 0a
27
Dato il seguente polinomio di grado n = 3
analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthNon tutti i coefficienti di p (λ) sono di segno concordepoiché a1=0 ⇒ non tutte le radici di p (λ) sono a parte reale < 0
Esempio #2 (1/5)
3 2( ) 0.2 1.2 1.2p λ λ λ= + +
28
Dato il seguente polinomio di grado n = 3
analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Esempio #2 (2/5)
3 2( ) 0.2 1.2 1.2p λ λ λ= + +
( ) 1
0.2 0 1.2 0.24 0 1.2 0.21.2 1.2
= − = − − = −b
1 1
0
3 0.2 0 02 1.2 1.2 010 1.2 0
−=b b
a
29
Dato il seguente polinomio di grado n = 3
analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Esempio #2 (3/5)
3 2( ) 0.2 1.2 1.2p λ λ λ= + +
1 30.2 0 1.2 01.2 0− −= − = = =…b b
1
0
3 0.2 0 02 1.2 1.2 01 0.20 1.2 0
−−=
ba
30
Dato il seguente polinomio di grado n = 3
analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Ci sono due variazioni di segno nella prima colonna ⇒ due radici di p (λ) sono a parte reale > 0
Esempio #2 (4/5)
3 2( ) 0.2 1.2 1.2p λ λ λ= + +
−=0
3 0.2 0 02 1.2 1.2 01 0.2 0 00 1.2 0 0a
31
Dato il seguente polinomio di grado n = 3
analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Non ci sono elementi nulli nella prima colonna ⇒ nessuna radice di p (λ) è a parte reale nulla ⇒ solo una radice di p (λ) è a parte reale < 0
Esempio #2 (5/5)
3 2( ) 0.2 1.2 1.2p λ λ λ= + +
−=0
3 0.2 0 02 1.2 1.2 01 0.2 0 00 1.2 0 0a
32
Dato il seguente polinomio a coefficienti reali ai ≠ 0
analizzarne le radici solo mediante il criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:
La prima colonna della tabella è data esattamente dai coefficienti del polinomio p (λ) ⇒il criterio e il corollario di Routh-Hurwitz dimostrano la regola di Cartesio per polinomi di II grado
Esempio #3
212 0( )p a a aλ λ λ= + +
2 0
1
0
21 00 0
a aaa
33
Dato il seguente polinomio in cui il parametro
per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?Condizione necessaria è che tutti i coefficienti di p (λ) siano di segno concorde ⇒
Per avere una condizione necessaria e sufficiente, occorre calcolare la tabella di Routh
Esempio #4 (1/9)
∈k4 3 2( ) 6 8= + + + +p k kλ λ λ λ λ
⎫• = > ∀⎪• = > ∀ ⎪⎪• = > ∀ ⇒ >⎬⎪• = >⎪
• = > ⎪⎭
4
3
2
1
0
1 0,6 0,8 0, 0
00
a ka ka k ka ka k
34
Dato il seguente polinomio in cui il parametro
per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Esempio #4 (2/9)
4 3 2( ) 6 8= + + + +p k kλ λ λ λ λ
2 0 2
1 1 3
0
4 1 8 03 6 0 0210 0 0
−
− −=
kk
b b bc c c
a k
∈k
( ) 2
481 8 6 48 66 6
−= − = − − =
kb kk
35
Dato il seguente polinomio in cui il parametro
per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Esempio #4 (3/9)
4 3 2( ) 6 8= + + + +p k kλ λ λ λ λ
0 2
1 1 3
0
486
4 1 8 03 6 0 0
2
10 0 0
−
− −
−
=
k
kk
b b
c c ca k
∈k
( )01 6 0 6 66 0
= − = − − =kb k k
36
Dato il seguente polinomio in cui il parametro
per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Esempio #4 (4/9)
4 3 2( ) 6 8= + + + +p k kλ λ λ λ λ
2
1 1 3
0
486
4 1 8 03 6 0 0
2
10 0 0
−
− −
−
=
k
kk
k b
c c ca k
∈k
421 0 6 06 0 −− = − = = =…b b
37
Dato il seguente polinomio in cui il parametro
per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Esempio #4 (5/9)
4 3 2( ) 6 8= + + + +p k kλ λ λ λ λ
1 1 3
0
486
4 1 8 03 6 0 0
2 0
10 0 0
− −
−
=
k
kk
k
c c ca k
∈k
148
48 66
6 36 (48 ) (12 )48 48
−−
− − −= − = − =− −
kk
k k k k k kc k k k
38
Dato il seguente polinomio in cui il parametro
per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Esempio #4 (6/9)
4 3 2( ) 6 8= + + + +p k kλ λ λ λ λ
1 3
0
486
(12 )48
4 1 8 03 6 0 0
2 0
1
0 0 0− −
−
−−=
k
k kk
kk
k
c c
a k
∈k
1 348
48 66
6 00
0− −−
−= − = = =…kkc c
39
Dato il seguente polinomio in cui il parametro
per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:
⇒ occorre vedere per quali k tutti gli elementi della prima colonna della tabella di Routh sono concordi
Esempio #4 (7/9)
4 3 2( ) 6 8= + + + +p k kλ λ λ λ λ
−
−−=0
486
(12 )48
4 1 8 03 6 0 0
2 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
k
k kk
kk
k
a k
∈k
40
−
−−
−−
=• > ∀• > ∀• − > ⇒ <
• > ⇒ − > < ⇒ < <
• = > ⇒ >
0
0
486
(12 )48
(12 )48
4 1 8 03 6 0 0
2 0 0
1 0 0 0
0 0 0 01 0,6 0,(48 ) 6 0 48
0 (12 ) 0, poiché 48 0 12
0 0
k
k kk
k kk
kk
k
a kkk
k k
k k k k
a k k
Esempio #4 (8/9)
41
Tutti gli elementi della prima colonna della tabella di Routh sono di segno concorde (e in particolare > 0) per
⇒ per tali valori di k le radici del polinomio p (λ)sono tutte a parte reale strettamente negativa
Esempio #4 (9/9)
0 12< <k
42
Dato il seguente polinomio in cui il parametro
per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?Condizione necessaria è che tutti i coefficienti di p (λ) siano di segno concorde ⇒
Per avere una condizione necessaria e sufficiente, occorre calcolare la tabella di Routh
Esempio #5 (1/4)
3 2( ) (15 1) 50= + + + +p k k kλ λ λ λ∈k
• = > ∀ ⎫⎪• = > ⎪ ⇒ >⎬• = + > ⇒ > − ⎪
• = > ⇒ > ⎪⎭
3
2
1
0
1 0,0
015 1 0 1/1550 0 0
a ka k
ka k ka k k
43
Dato il seguente polinomio in cui il parametro
per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Esempio #5 (2/4)
3 2( ) (15 1) 50= + + + +p k k kλ λ λ λ∈k
+
= 1
0
3 1 15 1 02 50 01 00 50 0
kk kb
a k
150 (15 1)1 15 1 15 49
50− ++= − = − = −
k k kkb k kk k k
44
Dato il seguente polinomio in cui il parametro
per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:
⇒ occorre vedere per quali valori di k tutti gli elementi della prima colonna della tabella di Routhsono di segno concorde
Esempio #5 (3/4)
3 2( ) (15 1) 50= + + + +p k k kλ λ λ λ∈k
+
−=0
3 1 15 1 02 50 01 15 49 0 00 50 0 0
kk k
ka k
45
La tabella di Routh corrispondente è la seguente:
⇒ per k > 49/15 le radici del polinomio p (λ) sono tutte a parte reale strettamente positiva
Esempio #5 (4/4)
+
−=
• > ∀• >
⇒ > =• − > ⇒ >• = >
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭
0
0
3 1 15 1 02 50 01 15 49 00 50 0
1 0,0
49 15 3.2615 49 0 49 15
50 0
kk k
ka kk
kkk k
a k
46
Dato il seguente polinomio in cui i parametri
per quali α,β le radici sono tutte a parte reale < 0 ?Condizione necessaria è che tutti i coefficienti di p (λ) siano di segno concorde ⇒
Per avere una condizione necessaria e sufficiente, occorre calcolare la tabella di Routh
Esempio #6 (1/7)
4 3 2( ) ( 5) 2 3= + + + + + +p λ λ λ α λ λ β, ∈α β
{α βα β
αα α βα β
β β
⎫• = > ∀ ∀⎪• = > ∀ ∀ ⎪⎪ > −• = + > ⇒ > − ⇒⎬ > −⎪• = > ∀ ∀⎪
• = + > ⇒ > − ⎪⎭
4
3
2
1
0
1 0, ,1 0, ,
55 0 53
2 0, ,3 0 3
aaaaa
47
Dato il seguente polinomio in cui i parametri
per quali α,β le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Esempio #6 (2/7)
2 0
1
0
4 1 5 3 0
3 1 2 0 0
2 0
1 0 0
0 3 0 0
+ +
= +
b bc
a
α β
β
4 3 2( ) ( 5) 2 3= + + + + + +p λ λ λ α λ λ β, ∈α β
( ) 2
1 5 1 2 ( 5) 31 2
+= − = − − + = +b α α α
48
Dato il seguente polinomio in cui i parametri
per quali α,β le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Esempio #6 (3/7)
0
1
0
4 1 5 3 0
3 1 2 0 0
2 3 0
1 0 0
0 3 0 0
+ +
+
= +
bc
a
α β
α
β
4 3 2( ) ( 5) 2 3= + + + + + +p λ λ λ α λ λ β, ∈α β
01 3 1 31 0
+= − = +b β β
49
Dato il seguente polinomio in cui i parametri
per quali α,β le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:
Esempio #6 (4/7)
1
0
4 1 5 3 0
3 1 2 0 0
2 3 3 0
1 0 0
0 3 0 0
+ +
+ +
= +
ca
α β
α β
β
4 3 2( ) ( 5) 2 3= + + + + + +p λ λ λ α λ λ β, ∈α β
13 2( 3) 2 31 2 ( 3)
3 3 3 3+ − + − +
= − + = − =+ + + +
cβ α α β
αα β α α
50
Dato il seguente polinomio in cui i parametri
per quali α,β le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:
⇒ occorre vedere per quali α,β tutti gli elementi della prima colonna della tabella sono concordi
Esempio #6 (5/7)
α βα
α β
α β
β
− ++
+ +
+ +
= +0
2 33
4 1 5 3 0
3 1 2 0 0
2 3 3 0 0
1 0 0 0
0 3 0 0 0a
4 3 2( ) ( 5) 2 3= + + + + + +p λ λ λ α λ λ β, ∈α β
51
0
0
2 33
2 33
4 1 5 3 0
3 1 2 0 0
2 3 3 0
1 0 0
0 3 0 01 0, ,1 0, ,
3 0 3
0 2 3 0, poiché 3 2 3
3 0 3
− ++
− ++
+ +
+ +
= +• > ∀ ∀• > ∀ ∀• + > ⇒ > −
• > ⇒ − + > > − ⇒ < +
• = + > ⇒ > −
a
a
α βα
α βα
α β
α β
βα βα β
α α
α β α β α
β β
Esempio #6 (6/7)
52
Tutti gli elementi della prima colonna della tabella di Routh sono di segno concorde (e in particolare > 0) per
⇒ per tali valori di α,β le radici del polinomio p (λ)sono tutte a parte reale strettamente negativaRappresentando geometricamente i vari vincoli sul piano cartesiano (α,β ), si vede che il vincolo α > −3 è già automaticamente soddisfatto dalla condizione
Esempio #6 (7/7)
{ } { }3 2 3 3− < < + ∧ > −β α α
3 2 3− < < +β α
Criteri di stabilità per sistemi dinamici LTI
54
Criterio di Jury (1/3)
Condizione necessaria e sufficiente affinché tutte le n radici del polinomio a coefficienti reali di grado n
siano in modulo strettamente minori di 1 è cheNel caso n =2, siano soddisfatte 3 disuguaglianze:
Nel caso n >2, oltre alle 3 precedenti disuguaglianze, siano soddisfatte anche altre n − 2 disuguaglianze fra i moduli di alcuni elementi della tabella di Juryseguente, costituita da n − 1 coppie di righe
11 1 0( ) n n
n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…
0
1) ( 1) 02) ( 1) ( 1) 03) | | | |
= >− = − >
>
n
n
pp
a a
λλ
55
Criterio di Jury (2/3)
11 1 0( ) −
−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ
−−
− −
−−
− − −
−
−− −
−−−−
1 10 2 2
1 12 2 0
1 10 2 2
1 12 3 0
10 2 2
42 3 0
10 2
12 0
1122
22
nnn
n n n
nn
n n n
n
nn n
n a a a a a an a a a a a a
n b b b b bn b b b b bn c c c cn c c c c
t t tt t t
56
Criterio di Jury (2/3)
11 1 0( ) −
−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ
−−
− −
−−
− − −
−
−− −
−−−−
1 10 2 2
1 12 2 0
1 12 2
1 12 3 0
10 2 2
42 3
2
12
0
0
10
0
1122
22
nnn
n n n
nn
n n n
n
nn n
b
n a a a a a an a a a a a a
n b b b bn b b b b bn c c c cn c c c c
t t tt t t
− −== = …1 0 20
1
0
200 1 2, , ,n n
nnn
naa aa aa aa a
aa a b bb
57
Criterio di Jury (2/3)
11 1 0( ) −
−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ
−−
− −
−−
− − −
−
−− −
−−−−
1 10 2 2
1 12 2 0
10 2 2
1 12 3 0
10 2 2
42 3
2
12
1
0
10
0
1122
22
nnn
n n n
nn
n n n
n
nn n
n a a a a a an a a a a a a
n b b b bn b b b b bn c c c cn c c c c
t t tt t t
b
− −= == …0 10
0 1
0 2
2210 , , ,n n
n
n
n n
a a a aa
aa
aa aa abb b
58
Criterio di Jury (2/3)
11 1 0( ) −
−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ
−−
− −
−−
− − −
−
−− −
−−−−
1 10 2 2
1 12 2 0
1 10 2
1 12 3 0
10 2 2
42 3
2
12
2
0
10
0
1122
22
nnn
n n n
nn
n n n
n
nn n
n a a a a a an a a a a a a
n b b b bn b b b b bn c c c cn c c c c
t t tt t t
b
− −= = = …0 1 0 20
0 1 2210 , ,,n n n
n nn
a a a aa aa a a aa ab bb
59
Criterio di Jury (2/3)
11 1 0( ) −
−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ
−−
− −
−
− − −
−
−− −
−−−−−
1 10 2 2
1 12 2 0
1 10 2
1 12 3 0
10 2 2
42 3 0
10 2
12 0
21122
22
nnn
n n n
n
n n n
n
nn
n
n
n a a a a a an a a a a a a
n b b b bn b b b b bn c c c cn c c c c
t t tt t t
b
− −= = = …0 1 0 20
0 1 210 2, , ,n n n
n nn
a a a aa aa a a aa ab b b
− −− − ==… 0 2
2
10
112 ,,
n nn nnn
aa a aaa aab b
60
Criterio di Jury (2/3)
11 1 0( ) −
−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ
−−
− −
−
− − −
−
−− −
−−−−−
1 10 2 2
1 12 2 0
10 2 2
1 12 3 0
10 2 2
42 3 0
1
1
1
0 2
2 0
1122
22
nnn
n n n
n
n n n
n
nn
n
n
n a a a a a an a a a a a a
n b b b bn b b b b bn c c c cn c c c c
t t tt t t
b
− −= = = …0 1 0 20
0 1 210 2, , ,n n n
n nn
a a a aa aa a a aa ab b b
−−− −= =… 10 2 0
1212, ,
n n nnnn
a a a aa a a abb
61
Criterio di Jury (2/3)
11 1 0( ) −
−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ
−−
−
− − −
−
−−
−
−− −
−−−−
1 10 2 2
1 12 2 0
1 10 2 2
10 2 2
42 3 0
10 2
12 0
1 12 3 0
1122
22
n n
nnn
n n n
nn
n
nn n
n
n a a a a a an a a a a a a
n b b b b bnn c c c cn
b b b b
c c c c
t t tt t t
b
62
Criterio di Jury (2/3)
11 1 0( ) −
−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ
−−
− −
−−
− − −
−
−− −
−−−−
1 10 2 2
1 12 2 0
1 10 2 2
1 12 3 0
1 2 2
42 3
2
0
0
10 2
1 0
1122
22
nnn
n n n
nn
n n n
n
nn n
n a a a a a an a a a a a a
n b b b b bn b b b b bn c c cn c c c c
t t tt t t
c
− −
−−− −−= == …10 1
1
00 2
1 1 20 11 20 , , ,n
nn
n
n nn
b bb bb bbb b
b bb cc c
63
Criterio di Jury (2/3)
11 1 0( ) −
−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ
−−
− −
−−
− − −
−
−− −
−−−−
1 10 2 2
1 12 2 0
1 10 2 2
1 12 3 0
0 2 2
42 3
1 2
12
1
0
0
0
1122
22
nnn
n n n
nn
n n n
n
nn n
n a a a a a an a a a a a a
n b b b b bn b b b b bn c c cn c c c c
tt
c
t tt t
−
−
− − −
−− == = …10 10
1 2
0 2
1 0 1 10 21 ,, ,n n
n nn nn
b b b bb b b
b bbb bcc c
64
Criterio di Jury (2/3)
11 1 0( ) −
−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ
−−
− −
−−
− − −
−− −
−
−−−−
1 10 2 2
1 12 2 0
1 10 2 2
1 12 3 0
10 2
42 3
10 2
12
2
0
0
1122
22
nnn
n n n
nn
n n n
n
n
n n
n a a a a a an a a a a a a
n b b b b bn b b b b bn c c cn c c c c
tt
c
t tt t
− −
− −− −−= = =…1 10 00 2
1 10 1 1 21 20 , , ,n n
n nn nn
b b b bb bb b b bb b cc c
65
Criterio di Jury (2/3)
11 1 0( ) −
−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ
−−
−
−− −
−
−−
− − −
−
−−−−
1 10 2 2
1 12 2 0
1 10 2 2
1 12 3 0
10 2 2
10 2
12
42 0
0
3
1122
22
nnn
n n n
nn
n n
n
n
n n
n
n a a a a a an a a a a a a
n b b b b bn b b b b bn c c c cn
t
c
t
c
tt t
c
t
c
66
Criterio di Jury (2/3)
11 1 0( ) −
−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ
−−
− −
−−
− − −
−
−− −
−−−−
1 10 2 2
1 12 2 0
1 10 2 2
1 12 3 0
10 2 2
42 3 0
10 2
12 0
1122
22
nnn
n n n
nn
n n n
n
nn n
n a a a a a an a a a a a a
n b b b b bn b b b b bn c c c cn c c c c
z z zz z z
67
Devono essere soddisfatte le seguenti n – 2 diseguaglianze:
Criterio di Jury (3/3)
11 1 0( ) −
−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ
−−
− −
−−
− − −
−
−− −
−−−−
1 10 2 2
1 12 2 0
1 10 2 2
1 12 3 0
10 2 2
42 3 0
10 2
12 0
1122
22
nnn
n n n
nn
n n n
n
nn n
n a a a a a an a a a a a a
n b b b b bn b b b b bn c c c cn c c c c
z z zz z z
n nb b c c z z10 0 2 0 2, , ,− −> > >…
Criteri di stabilità per sistemi dinamici LTI
69
Dato il seguente polinomio di grado n = 3
analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryAffinché tutte le radici di p (λ) siano in modulo strettamente minori di 1 devono esser soddisfatte
Le 3 seguenti disuguaglianze che non richiedono la costruzione della tabella di Jury
Esempio #1 (1/3)
λ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p
( )
λλ
λλ
= >= = + + + = >
− = − >− = − = − − + − + = >>
= = > = =
3
0
3 0
1) ( 1) 0?( 1) 2 1 1 0.5 4.5 0
2) ( 1) ( 1) 0?( 1) ( 1) 2 1 1 0.5 1.5 0
3) | | | |?| 2| 2 | 0.5| 0.5
n
n
pp
pp
a aa a
70
Dato il seguente polinomio di grado n = 3
analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryAffinché tutte le radici di p (λ) siano in modulo strettamente minori di 1 devono esser soddisfatte
Essendo n >2, anche n − 2 = 1 disuguaglianza che richiede la costruzione della tabella di Jury seguente, costituita da n − 1 = 2 coppie di righe
Esempio #1 (2/3)
λ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p
71
Dato il seguente polinomio di grado n = 3
analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryLa tabella di Jury corrispondente è la seguente:
Esempio #1 (3/3)
λ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p
−0 2
2 0
21
1
3 0.5 1 1 23 2 1 1 0.522 3.75
b bb b b
bb
= = − = = − =10 20.5 2 0.5 13.75 , 1.52 0.5 2 1
b b b
72
Dato il seguente polinomio di grado n = 3
analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryLa tabella di Jury corrispondente è la seguente:
Esempio #1 (3/3)
λ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p
− −− − − −
− 0 2
3 0.5 1 1 23 2 1 1 0.52 3.75 1.5 1.52 1.5 1.5 3.75 3.75
b
73
Dato il seguente polinomio di grado n = 3
analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryLa tabella di Jury corrispondente è la seguente:
Tutte le disuguaglianze richieste dal criterio di Jurysono soddisfatte ⇒ tutte le radici del polinomio p (λ)sono in modulo strettamente minori di 1
Esempio #1 (3/3)
λ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p
− −− − − −
− 0 2
3 0.5 1 1 23 2 1 1 0.52 3.75 1.5 1.52 1.5 1.5 3.75 3.75
b
= − = > = − =0 23.75 3.75 1.5 1.5b b
74
Dato il seguente polinomio di grado n = 4
analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryAffinché tutte le radici di p (λ) siano in modulo strettamente minori di 1 devono esser soddisfatte
Le 3 seguenti disuguaglianze che non richiedono la costruzione della tabella di Jury
Esempio #2 (1/4)
λ λ λ λ λ= + + + −4 3 2( ) 2 3 0.5 1p
λλ
λλ
= >= = + + + − = >
− = − >− = − = − + − − = >>
= = > = − =
4
0
4 0
1) ( 1) 0?( 1) 2 1 3 0.5 1 5.5 0
2) ( 1) ( 1) 0?( 1) ( 1) 2 1 3 0.5 1 2.5 0
3) | | | |?| 2| 2 | 1| 1
n
n
pp
pp
a aa a
75
Dato il seguente polinomio di grado n = 4
analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryAffinché tutte le radici di p (λ) siano in modulo strettamente minori di 1 devono esser soddisfatte
Essendo n >2, anche altre n − 2 = 2 disuguaglianzeche richiedono la costruzione della tabella di Juryseguente, costituita da n − 1 = 3 coppie di righe
Esempio #2 (2/4)
λ λ λ λ λ= + + + −4 3 2( ) 2 3 0.5 1p
76
Dato il seguente polinomio di grado n = 4
analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryLa tabella di Jury corrispondente è la seguente:
Esempio #2 (3/4)
λ λ λ λ λ= + + + −4 3 2( ) 2 3 0.5 1p
−
−−
−
310 2
013 2
10 2
12 0
2
0
4 1 0.5 3 1 24 2 1 3 0.5 1332 10 52
.
b b b bb b bb bc c cc c c c
− −= = − = = −− 10
1 2 1 13 , 2.52 1 2 0.5
b b
− −= = − = = −2 31 3 1 0.59 , 22 3 2 1
b b
77
Dato il seguente polinomio di grado n = 4
analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryLa tabella di Jury corrispondente è la seguente:
Esempio #2 (3/4)
λ λ λ λ λ= + + + −4 3 2( ) 2 3 0.5 1p
−
−−
− − − −− − −
−− 2
10 2
12 0 0
4 1 0.5 3 1 24 2 1 3 0.5 13 3 2.5 9 23 2 9 2.
10.5 3
2 52
c c cc c
b
c c
78
Dato il seguente polinomio di grado n = 4
analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryLa tabella di Jury corrispondente è la seguente:
Esempio #2 (3/4)
λ λ λ λ λ= + + + −4 3 2( ) 2 3 0.5 1p
−
−−
− − − −− − −
−− 2
10 2
12 0 0
4 1 0.5 3 1 24 2 1 3 0.5 13 3 2.5 9 23 2 9 2.
10.5 3
2 52
c c cc c
b
c c
− − − − − −− − − − − −
= = = =− = =10 23 2 3 9 3 2.52 3 2 2.5 2 9
5, 10.5, 22c c c
79
Dato il seguente polinomio di grado n = 4
analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryLa tabella di Jury corrispondente è la seguente:
Esempio #2 (3/4)
λ λ λ λ λ= + + + −4 3 2( ) 2 3 0.5 1p
−
−−
− − − −− − − −
− −−
2
0
0
4 1 0.5 3 1 24 2 1 3 0.5 13 3 2.5 9 23 2 9 2
10.5.5 3
2 5 10.5 222 22 10.5 5
bc
c
80
La tabella di Jury corrispondente è la seguente:
Non tutte le disuguaglianze richieste dal criterio di Jury sono soddisfatte ⇒ non tutte le radici di p (λ)sono in modulo strettamente minori di 1
Esempio #2 (4/4)
−
−−
− − − −− − − −
−−
−2
4 1 0.5 3 1 24 2 1 3 0.5 13 3 2.5 9 23 2 9
102.5 3
.52 5 10.5 222 22 10.5 5
b
>= − = = − =0 33 3 2 2b b
= = = =0 25 5 22 22ma c c<
81
Dato il seguente polinomio in cui il parametro
per quali k tutte le radici sono in modulo < 1 ?Affinché tutte le radici di p (λ) siano in modulo strettamente minori di 1 devono esser soddisfatte
Le 3 seguenti disuguaglianze che non richiedono la costruzione della tabella di Jury
Esempio #3 (1/4)
∈kλ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p k
λλ
λλ
= >= = + > ⇒ > −
− = − >− = − = − > ⇒ <>
= = > = = ⇒ <
3
0
3 0
1) ( 1) 0?( 1) 4 0.5 0 8
2) ( 1) ( 1) 0?( 1) ( 1) 2 0.5 0 4
3) | | | |?| 2| 2 | 0.5 | 0.5| | | | 4
n
n
pp k kp
p k ka a
a a k k k
82
Dato il seguente polinomio in cui il parametro
per quali k tutte le radici sono in modulo < 1 ?Affinché tutte le radici di p (λ) siano in modulo strettamente minori di 1 devono esser soddisfatte
Essendo n >2, anche n − 2 = 1 disuguaglianza che richiede la costruzione della tabella di Jury seguente, costituita da n − 1 = 2 coppie di righe
Esempio #3 (2/4)
λ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p k∈k
83
Dato il seguente polinomio in cui il parametro
per quali k tutte le radici sono in modulo < 1 ?La tabella di Jury corrispondente è la seguente:
Esempio #3 (3/4)
λ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p k∈k
−10 2 2
12 020.25 4
3 0.5 1 1 23 2 1 1 0.522
kk
b b bb kb b
b
= = − = = − =210 2
0.5 2 0.5 10.25 4, 0.5 22 0.5 2 1k kb k b k bk
84
Dato il seguente polinomio in cui il parametro
per quali k tutte le radici sono in modulo < 1 ?La tabella di Jury corrispondente è la seguente:
Esempio #3 (3/4)
λ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p k∈k
− − −
− − −
2
22
0
3 0.5 1 1 23 2 1 1 0.52 0.25 4 0.5 2 0.5 22 0.5 2 0.5 2 0.25 4
kk
k k kk k k
bb
85
Dato il seguente polinomio in cui il parametro
per quali k tutte le radici sono in modulo < 1 ?La tabella di Jury corrispondente è la seguente:
⇒ deve essere soddisfatta anche la disuguaglianza
Esempio #3 (3/4)
λ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p k∈k
− − −
− − −
2
22
0
3 0.5 1 1 23 2 1 1 0.52 0.25 4 0.5 2 0.5 22 0.5 2 0.5 2 0.25 4
kk
k k kk k k
bb
= − > = −20 20.25 4 0.5 2b k b k
86
Dato il seguente polinomio in cui il parametro
per quali k tutte le radici sono in modulo < 1 ?Affinché tutte le radici di p (λ) siano in modulo strettamente minori di 1 deve risultare allora che
⇒ occorre complessivamente che −2 < k < 4
Esempio #3 (4/4)
∈kλ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p k
λλ
= = + > ⇒ > −− = − = − > ⇒ <
> ⇒ <
= − > = − ⇔+ ⋅ − > − ⇔< + > ⇒ > −
02
0 2
1) ( 1) 4 0.5 0 82) ( 1) ( 1) 2 0.5 0 43) | | | | | | 4
4) | 0.25 4| | 0.5 2||0.5 2| |0.5 2| |0.5 2|per | | 4,|0.5 2| 1 2
n
n
p k kp k k
a a kb k b k
k k kk k k