ESAMI E ESERCITAZIONI A.A. 2011/12
ANDREA RATTO
Sommario. In questo file presentiamo esercitazioni ed esami rela-tivi al Corso Integrato di Matematica per Scienze dell’Architettura.
1. Esame del 16 Gennaio 2012
Tempo a disposizione: 60 minuti
Esercizio 1.1. (4+4 punti) Si consideri la matrice
A =
0 0 00 0 11 0 0
.
(i) Determinare gli autovalori di A .(ii) Stabilire se A e diagonalizzabile.
Esercizio 1.2. (8 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:
y′′(x)− y(x) = x2 + 1y(0) = 0y′(0) = 1
Suggerimento: imporre che la soluzione particolare y∗(x) sia un po-linomio di secondo grado.
Esercizio 1.3. (8 punti) Siano P0 e r rispettivamente il punto dicoordinate [1, 0, 0] e la retta di equazione
(1.1)
2x− z − 1 = 0y − 2 = 0 .
Calcolare dist(P0, r).
Esercizio 1.4. (4+4 punti) Si consideri la funzione f : R → R
definita da:f(x) = x2 · (x3 − 1) .
1
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(i) Determinare i punti di flesso di f .(ii) Per ciascuno dei flessi trovati, scrivere l’equazione della retta
tangente al grafico di f .
Soluzioni:
Soluzione dell’Es. 1.1: (i) Un calcolo elementare fornisce il polinomiocaratteristico:
P (λ) = −λ3 ,
per cui abbiamo un unico autovalore λ1 = 0 .(ii) Poiche ma(λ1) = 3 e mg(λ1) = 1 , la matrice A non risultadiagonalizzabile.
Soluzione dell’Es. 1.2:
y(x) = 2 ex + e−x − x2 − 3 , x ∈ R .
Soluzione dell’Es. 1.3:
dist(P0, r) =
√
21
5.
Soluzione dell’Es. 1.4: (i) Si calcolano:
f ′(x) = x (5x3 − 2) , f ′′(x) = 2 (10 x3 − 1) , x ∈ R .
Quindi si deduce che esiste un unico punto di flesso:
x0 =3
√
1
10(= 10−(1/3) ) .
(ii) In corrispondenza del flesso, l’equazione della retta tangente algrafico di f e:
y = f(x0) + f ′(x0) (x− x0) ,
dove
f(x0) = − 9
1010−(2/3) ; f ′(x0) = − 3
210−(1/3) .
ESAMI E ESERCITAZIONI A.A. 2011/12 3
2. Prova Bonus del 30 Gennaio 2012
Tempo a disposizione: 60 minuti
Esercizio 2.1. (2+2+2+2+2+2 punti)
Si considerino i vettori ~u = [1, 1, 2] e ~v = [0, 1, 3] .
(i) Calcolare l’area del parallelogramma individuato da ~u e ~v.(ii) Calcolare cos θ , dove θ e l’angolo formato da ~u e ~v .(iii) Scrivere l’equazione del piano π che passa per P = [1, 2, 3] ed e
parallelo a ~u e ~v .(iv) Scrivere un sistema di equazioni che definisce la retta r passante
per l’origine e parallela a ~v .(v) Scrivere l’equazione della sfera S avente centro l’origine e pas-
sante per il punto P di cui al (iii) sopra.(vi) Scrivere l’equazione del piano π∗ che contiene P ∗ = [2, 1, 4] e la
retta r di cui al (iv) sopra.
Esercizio 2.2. (4 punti)Risolvere in C :
(z2 + 4) · (z4 + 4) = 0
Esercizio 2.3. (4 punti)Calcolare:
limx→0
ex2 − 1
sin2(4x) cos(3x)
Bonus = Max 0, somma punti − 12
Soluzioni:
Soluzione dell’Es. 2.1:
(i) Area del parallelogramma =√11 .
(ii) cos θ = [ 7/(2√15)] .
(iii) π : x− 3y + z + 2 = 0 .
4 ANDREA RATTO
(iv)
x = 03y − z = 0
.
(v) S : x2 + y2 + z2 = 14 .(vi) π∗ : x+ 6y − 2z = 0 .
Soluzione dell’Es. 2.2: Abbiamo 6 soluzioni:
± 2 i ; −1 ± i ; 1± i .
Soluzione dell’Es. 2.3:1
16.
3. Esame dell’ 1 Febbraio 2012
Tempo a disposizione: 60 minuti
Esercizio 3.1. (4+4 punti) Si consideri la matrice
A =
0 0 01 0 11 0 0
.
(i) Determinare gli autovalori di A .(ii) Stabilire se A e diagonalizzabile.
Esercizio 3.2. (8 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:
y′′(x) + y(x) = x+ 1y(0) = 0y′(0) = 1
Esercizio 3.3. (8 punti) Siano P0 e r rispettivamente il punto dicoordinate [1, 0, 0] e la retta di equazione
(3.1)
2x+ z = 0y − z − 2 = 0 .
Calcolare dist(P0, r).
ESAMI E ESERCITAZIONI A.A. 2011/12 5
Esercizio 3.4. (8 punti) Si consideri la funzione f : R2 → R definitada:
f(x, y) = y x2 .
Calcolare
I =
∫∫
Ω
f(x, y) dx dy ,
dove
Ω =
[x, y] ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1 , y ≤ x ≤ y + y2
.
Soluzioni:
Soluzione dell’Es. 3.1: (i) Un calcolo elementare fornisce il polinomiocaratteristico:
P (λ) = −λ3 ,
per cui abbiamo un unico autovalore λ1 = 0 .(ii) Poiche ma(λ1) = 3 e mg(λ1) = 1 , la matrice A non risultadiagonalizzabile.
Soluzione dell’Es. 3.2:
y(x) = − cosx+ x+ 1 , x ∈ R .
Soluzione dell’Es. 3.3: La proiezione ortogonale di P0 su r risultaessere il punto
Q =
[
5
9,8
9, − 10
9
]
.
Da cio si calcola
dist(P0, r) = dist(P0, Q) =
√20
3.
Soluzione dell’Es. 3.4:
I =
∫ 1
0
[
y
∫ y2+y
y
x2 dx
]
dy
=
∫ 1
0
[ y
3[(y + y2)3 − y3]
]
dy = . . . =59
168.
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4. Esame del 22 Febbraio 2012
Tempo a disposizione: 60 minuti
Esercizio 4.1. (2+6 punti) Si consideri la matrice
A =
[
0 −1−1 0
]
.
(i) Determinare gli autovalori di A, indicando per ciascuno di essiil valore della molteplicita algebrica e della molteplicita geome-trica.
(ii) Determinare (se possibile) una matrice invertibile P ∈ M2(R)tale che P−1 · A · P sia una matrice diagonale.
Esercizio 4.2. (8 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:
y′′(x) + y(x) = x2
y(0) = 0y′(0) = 0
Esercizio 4.3. (7 punti) Siano P0 e Π rispettivamente il punto dicoordinate [1, 1, 2] e il piano di equazione
Π : x+ 2z − 1 = 0 .
Determinare le coordinate del punto P ′ simmetrico di P rispetto a Π .
Esercizio 4.4. (7 punti) Si consideri la funzione f : R2 → R definitada:
f(x, y) = y2 x .
Calcolare
I =
∫∫
Ω
f(x, y) dx dy ,
dove
Ω =
[x, y] ∈ R2 : 0 ≤ x2 + y2 ≤ 1 , x ≤ 0 , y ≥ 0
.
ESAMI E ESERCITAZIONI A.A. 2011/12 7
Soluzioni:
Soluzione dell’Es. 4.1: (i) Un calcolo elementare fornisce il polinomiocaratteristico:
P (λ) = λ2 − 1 ,
per cui abbiamo due autovalori λ1 = 1 e λ2 = −1 , ognuno dei qualicon molteplicita algebrica e geometrica pari a uno (si veda [1] p.352).(ii) (si veda [1] p.357 e p.360) Dal calcolo in (i) si conclude che A ediagonalizzabile e si determina:
P =
[
1 1−1 1
]
.
Soluzione dell’Es. 4.2: (Si veda [1] p.330 e p.335).
y(x) = 2 cosx+ x2 − 2 , x ∈ R .
Soluzione dell’Es. 4.3: (Si veda [1] p.107). La proiezione ortogonaledi P0 su Π risulta essere il punto
Q =
[
1
5, 1,
2
5
]
.
Da cio si calcola
P ′ = 2Q− P =
[
− 3
5, 1, − 6
5
]
.
Soluzione dell’Es. 4.4: Conviene usare le coordinate polari (si veda[1] p.466 e p.474).
I =
∫ 1
0
ρ4 dρ ·∫ π
(π/2)
sin2 θ cos θ dθ = − 1
15.
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5. Prova Bonus del 12 Marzo 2012
Tempo a disposizione: 60 minuti
Esercizio 5.1. (2+2+2+2+2+2 punti)
Si considerino i vettori ~u = [1,−1, 2] e ~v = [4, 1, 3] .
(i) Calcolare l’area A del parallelogramma individuato da ~u e ~v.(ii) Calcolare il volume V del parallelepipedo individuato da ~u , ~v
e ~k .(iii) Scrivere l’equazione del piano π che passa per P = [0, 2, 3] ed e
parallelo a ~u e ~v .(iv) Scrivere un sistema di equazioni che definisce la retta r passante
per l’origine e parallela a ~v .(v) Scrivere l’equazione della sfera S avente centro l’origine e pas-
sante per il punto P di cui al (iii) sopra.(vi) Scrivere l’equazione del piano π∗ che contiene P ∗ = [2, 1, 4] e la
retta r di cui al (iv) sopra.
Esercizio 5.2. (4 punti)Risolvere in C :
(z2 +√7 z + 4) · (z4 − 4) = 0
Esercizio 5.3. (2 punti) Sia z = 3− 4i : calcolare
Re(1/z) e Im(1/z) .
Bonus = Max 0, somma punti − 12
ESAMI E ESERCITAZIONI A.A. 2011/12 9
Soluzioni:
Soluzione dell’Es. 5.1:
(i) A = 5√3 .
(ii) V = 5 .(iii) π : x− y − z + 5 = 0 .(iv)
x− 4y = 03y − z = 0
.
(v) S : x2 + y2 + z2 = 13 .(vi) π∗ : x− 10y + 2z = 0 .
Soluzione dell’Es. 5.2: Abbiamo 6 soluzioni:
−√7± 3 i
2; ±
√2 ; ±
√2 i .
Soluzione dell’Es. 5.3:
Re(1/z) =3
25e Im(1/z) =
4
25.
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6. Esame del 18 Aprile 2012
(Tempo a disposizione: 50 minuti)
Esercizio 6.1. (10 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:
y′′(x) + 2y′(x) + y(x) = x ;y(0) = 0 ;y′(0) = 1 .
Esercizio 6.2. (10 punti) La lastra Ω ha la forma di triangolo, convertici di coordinate P1 = [0, 0], P2 = [3, 1] e P3 = [3, 3]. Supponendoche Ω sia realizzata con materiale omogeneo, determinare le coordinatedel suo baricentro.
Esercizio 6.3. (10 punti) Sia f(x), x ∈ R, la funzione definita da:
f(x) = cos(3 x2) .
Scrivere il polinomio di Taylor di ordine 3 di f(x), centrato in x0 = 0.
Soluzioni:
Soluzione dell’Es. 6.1: Il procedimento di soluzione e illustrato in[1], pp.330-337. L’integrale generale risulta essere:
y(x) = c1 e−x + c2 x e
−x + y∗(x) ,
dove, cercando la soluzione particolare sotto forma di polinomio diprimo grado, si ottiene:
y∗(x) = x− 2 .
Ora, imponendo le condizioni iniziali, si perviene all’unica soluzione delproblema di Cauchy:
y(x) = 2 e−x + 2 x e−x + x− 2 , x ∈ R .
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Soluzione dell’Es. 6.2:
Ω =
[x, y] ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 3 , (1/3) x ≤ y ≤ x
.
Dato che la densita e costante, le coordinate del baricentro di Ω sonodate da (si veda [1], p. 472):
[xB , yB] =
[
1
Area(Ω)
∫∫
Ω
x dx dy ,1
Area(Ω)
∫∫
Ω
y dx dy
]
.
Quindi si calcola: Area(Ω) = 3 e poi:
[xB , yB] =
[
2,4
3
]
.
Soluzione dell’Es. 6.3: Come illustrato in [1], p.224:
P T0,3 (x) = f(0) + f ′(0) x+ f ′′(0)
x2
2+ f ′′′(0)
x3
6.
Calcolando le derivate si ricava:
f(0) = 1 ; f ′(0) = 0 ; f ′′(0) = 0 ; f ′′′(0) = 0 .
Ne segue che il polinomio richiesto e costante uguale a 1 .
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7. Esercitazione del 31 Maggio 2012
Esercizio 7.1. (10 punti) La regione Ω ha la forma di triangolo, convertici di coordinate P1 = [0, 0], P2 = [3, 1] e P3 = [3, 3]. Calcolare:
I =
∫∫
Ω
x dx dy .
Esercizio 7.2. (10 punti) Calcolare:
I =
∫∫
Ω
x y dx dy ,
doveΩ =
[x, y] ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4 , x ≥ 0 e y ≤ 0
.
Esercizio 7.3. (10 punti) Studiare gli estremi locali del campo scalaref : R2 → R definito da:
f(x, y) = x2 − xy + y2 .
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8. Esame dell’11 giugno 2012
(Tempo a disposizione: 60 minuti)
Esercizio 8.1. (10 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:
y′′(x) + y(x) = x2 ;y(0) = 1 ;y′(0) = 1 .
Esercizio 8.2. (10 punti) La regione Ω ha la forma di triangolo, convertici di coordinate P1 = [0, 0], P2 = [3, 1] e P3 = [3, 3]. Calcolare:
I =
∫∫
Ω
x dx dy .
Esercizio 8.3. (7 punti) Determinare le soluzioni del seguente siste-ma lineare:
x1 + x2 + x3 + x4 = 0x1 + x2 − 2x3 − x4 = 0
Esercizio 8.4. (7 punti) Stabilire se la seguente matrice e diagona-lizzabile:
0 0 10 1 0−1 0 0
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Soluzioni:
Soluzione dell’Es. 8.1: L’integrale generale e:
y(x) = c1 cos x + c2 sin x + x2 − 2 .
La soluzione dell’esercizio e:
y(x) = 3 cos x + sin x + x2 − 2 .
Soluzione dell’Es. 8.2:
Ω =
[x, y] ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 3 , (1/3) x ≤ y ≤ x
.
I = 6 .
Soluzione dell’Es. 8.3:
t[−x2 − (1/3) x4, x2, − (2/3) x4, x4 ] ∈ R4 : x2, x4 ∈ R
Soluzione dell’Es. 8.4: Si verifica che il polinomio caratteristico haradici NON reali ± i , per cui la matrice non e diagonalizzabile.
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9. Esame del 28 giugno 2012
(Tempo a disposizione: 60 minuti)
Esercizio 9.1. (8 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:
y′′(x) + y(x) = x+ 2 ;y(0) = 0 ;y′(0) = 1 .
Esercizio 9.2. (8 punti) Calcolare
I =
∫∫
Ω
x dx dy ,
doveΩ =
[x, y] ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1 , x ≤ 0 , y ≥ 0
.
Esercizio 9.3. (8 punti) Determinare le soluzioni del seguente siste-ma lineare:
x1 + x2 − 2x3 = 0x1 − 2x2 + x3 = 0x1 + x2 − 2x3 = 0
Esercizio 9.4. (8 punti) Sia
A =
1 1 11 1 11 1 1
Determinare gli autovalori di A , indicando per ciascuno di essi lamolteplicita algebrica e quella geometrica.
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Soluzioni:
Soluzione dell’Es. 9.1: L’integrale generale e:
y(x) = c1 cos x + c2 sin x + x + 2 .
Imponendo le condizioni iniziali si trova facilmente la soluzione dell’e-sercizio:
y(x) = −2 cosx + x + 2 .
Soluzione dell’Es. 9.2:
I = − 1
3.
Soluzione dell’Es. 9.3:
t[ x3, x3, x3 ] ∈ R3 : x3 ∈ R
.
Soluzione dell’Es. 9.4: Si trova:
λ1 = 0 ,
con ma(λ1) = 2 = mg(λ1) , e
λ2 = 3 ,
con ma(λ2) = 1 = mg(λ2) (la matrice A e diagonalizzabile, fatto peraltro ovvio dato che si tratta di una matrice simmetrica).
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10. Esame del 13 Luglio 2012
(Tempo a disposizione: 60 minuti)
Esercizio 10.1. (8 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:
y′(x) = 2 x [ y(x) ]−2 ;y(0) = 1 .
Esercizio 10.2. (8 punti) Calcolare
I =
∫∫
Ω
y dx dy ,
doveΩ =
[x, y] ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 , y ≥ 0
.
Esercizio 10.3. (6 punti) Risolvere (se possibile) il seguente sistemalineare:
x1 + x2 − 2x3 = 0x1 − 2x2 + x3 = 0x1 + x2 − x3 = 1
Esercizio 10.4. (10 punti) Siano rispettivamente f il campo scalaresu R2 definito da f(x, y) = y − x , e γ la curva parametrizzata da:
γ =
x = 2 ty = 3 t , 0 ≤ t ≤ 1 .
Calcolare∫
γ
f ds .
18 ANDREA RATTO
Soluzioni:
Soluzione dell’Es. 10.1: Si tratta di un’equazione differenziale avariabili separabili (si veda [1] pp. 337-339). La soluzione richiesta e:
y(x) =3√
3x2 + 1 , x ∈ R .
Soluzione dell’Es. 10.2: Si procede utilizzando le coordinate polari(si veda [1] pp. 464, 474). Si ottiene:
I =14
3.
Soluzione dell’Es. 10.3: Si tratta di un sistema di Cramer di ordine3. L’unica soluzione di questo sistema e:
t[ 1, 1, 1 ] .
Soluzione dell’Es. 10.4: Si tratta di un semplice integrale di lineadi prima specie (si veda [1] p. 390):
∫
γ
f ds =
∫ 1
0
f(γ(t)) |γ ′ (t)| dt =
∫ 1
0
t√13 dt =
√13
2.
ESAMI E ESERCITAZIONI A.A. 2011/12 19
11. Esame del 4 Settembre 2012
Esercizio 11.1. (10 punti) La regione Ω ha la forma di triangolo,con vertici di coordinate P1 = [0, 0], P2 = [1, 1] e P3 = [1, 2]. Calcolare:
I =
∫∫
Ω
x dx dy .
Esercizio 11.2. (10 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:
y′′(x)− 2y′(x) + y(x) = x ;y(0) = 2 ;y′(0) = 1 .
Esercizio 11.3. (10 punti) Studiare gli estremi locali del camposcalare f : R2 → R definito da:
f(x, y) = x2 − xy + y2 .
20 ANDREA RATTO
Soluzioni:
Soluzione dell’Es. 11.1:
Ω =
[ x, y ] ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 , x ≤ y ≤ 2x
; I =1
3.
Soluzione dell’Es. 11.2:
y(x) = x+ 2 , x ∈ R .
Soluzione dell’Es. 11.3:
Il campo scalare f ha un solo punto critico P = [0, 0] : si verificafacilmente, attraverso lo studio della matrice Hessiana, che P e unpunto di minimo locale.
Lo studente diligente potrebbe poi cercare di dimostrare che, in realta,P e un minimo assoluto (questo, non difficile, lavoro non e pero richiestoal momento dell’esame).
ESAMI E ESERCITAZIONI A.A. 2011/12 21
12. Esame del 20 Settembre 2012
Esercizio 12.1. (10 punti) Calcolare:
I =
∫∫
Ω
x y2 dx dy ,
doveΩ =
[x, y] ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 9 , x ≤ 0 e y ≤ 0
.
Esercizio 12.2. (10 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:
y′′(x) + 2y′(x) + y(x) = 1 + x ;y(0) = 0 ;y′(0) = 0 .
Esercizio 12.3. (10 punti) Risolvere (se possibile) il seguente sistemalineare:
x1 + x2 − x3 + x4 = 02x1 − x2 + x3 − x4 = 0x1 = 1 .
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Soluzioni:
Soluzione dell’Es. 12.1:
I = − 81
5.
Soluzione dell’Es. 12.2:
y(x) = e−x + x− 1 .
Soluzione dell’Es. 12.3:
Il sistema lineare non ammette alcuna soluzione.
Riferimenti bibliografici
[1] A. Ratto, A. Cazzani. Matematica per le Scuole di Architettura, LiguoriEditore, Napoli (2010) pp.1-636.
Universita degli Studi di Cagliari, Dipartimento di Matematica e In-
formatica, Viale Merello 93, 09123 Cagliari, Italia
E-mail address : [email protected]