ESERCITAZIONE 15 : FUNZIONIGONIOMETRICHE
Giacomo Tommei
e-mail: [email protected]
web: www.dm.unipi.it/∼tommei
Ricevimento: su appuntamentoDipartimento di Matematica, piano terra, studio 114
12 Marzo 2013
Circonferenza goniometrica
La circonferenza goniometrica e una circonferenza di raggio unitariocentrata nell’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali.
A
B
C
D
O P’
P’’
OP=1
P(x , y )P P
x = cosP
y = sinP
α
α
α
y
x A
B
C
D
Ο
P T
Q
y = tanT
α
x = cotQ
α
α
α
x
y
Giacomo Tommei
Funzioni goniometriche - Valori
Principali valori delle funzioni goniometriche per angoli compresi tra 0 eπ/2; ND sta per “non definita”.
cosα sinα tanα cotα
0 1 0 0 ND
π/6√
3/2 1/2√
3/3√
3
π/4√
2/2√
2/2 1 1
π/3 1/2√
3/2√
3√
3/3
π/2 0 1 ND 0
Giacomo Tommei
Funzioni goniometriche - Grafici
| cos(x)| ≤ 1, cos(−x) = cosx ∀x ∈ R| sin(x)| ≤ 1, sin(−x) = − sinx ∀x ∈ R
Giacomo Tommei
Funzioni goniometriche - Grafici
Il grafico di sinx e spesso chiamato sinusoide e qualunque altra curvaottenuta da una sinusoide tramite traslazioni, o piu in generale tramiteaffinita, si chiama curva sinusoidale, grafico di una funzionesinusoidale.Una funzione sinusoidale f : R→ R e caratterizzata da quattro grandezze,espresse da numeri reali:
il periodo T (per seno e coseno vale T = 2π);
l’ampiezza A, data da A = (M −m)/2, dove M e il valore massimo em il valore minimo assunto da f (per seno e coseno vale A = 1);
il valor medio y, dato da y = (M +m)/2, che rappresenta il puntocentrale dell’intervallo di variazione di f (per seno e coseno si hay = 0);
la fase x0, che e l’ascissa positiva del primo punto di massimo (ilcoseno ha fase x0 = 0, mentre il seno ha fase x0 = π/2).
Una generica funzione sinusoidale f(x) con periodo T , ampiezza A, valormedio y e fase x0 si puo scrivere
f(x) = A cos
(2π
T(x− x0)
)+ y
Giacomo Tommei
Esercizio 1
Determina una funzione sinusoidale che descriva la quantita di una certa
sostanza nella corteccia di un albero, che varia nel tempo periodicamente
con periodo 48 ore, con valore minimo 60 mg alle ore 8 e valore massimo
120 mg alle ore 16.
Giacomo Tommei
Esercizio 1Sappiamo che il periodo T e uguale a 48 ore, l’ampiezza vale
A =M −m
2=
120− 60
2= 30
il valor medio e dato da
y =M +m
2=
120 + 60
2= 90
mentre la fase e x0 = 16. Quindi, tenendo conto dell’espressione (??), la funzione cercata e
f(x) = 30 cos
(2π
48(x− 16)
)+ 90
Giacomo Tommei
Esercizio 2
Calcola il periodo e disegna il grafico delle seguenti funzioni a partire daigrafici di y = sinx e y = cosx:
a) y = sin 4x b) y = cosx
2c) y = 4 sin(2x+ 1) d) y = 2 + sin
x
2
Giacomo Tommei
Funzioni goniometriche - Grafici
Sinistra: grafico della funzione y = tanx.Destra: grafico della funzione y = cotx.
Giacomo Tommei
Funzioni goniometriche inverse - Grafici
Sinistra: grafico della funzione y = arccosx.Destra: grafico della funzione y = arcsinx.
Giacomo Tommei
Funzioni goniometriche inverse - Grafici
Grafico della funzione y = arctanx. Tale funzione presenta due asintotiorizzontali, ovvero due rette orizzontali, y = π/2 e y = −π/2, alle quali lafunzione si avvicina indefinitamente quando la variabile indipendente xcresce verso +∞ o descresce verso −∞ rispettivamente.
Giacomo Tommei
Formule varie - Addizione e sottrazione
cos(α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ
cos(α− β) = cosα cosβ + sinα sinβ
sin(α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ
sin(α− β) = sinα cosβ − cosα sinβ
tan(α+ β) =tanα+ tanβ
1− tanα tanβ
tan(α− β) =tanα− tanβ
1 + tanα tanβ
Giacomo Tommei
Formule varie - Duplicazione e bisezione
cos 2α = cos2 α− sin2 α
sin 2α = 2 sinα cosα
tan 2α =2 tanα
1− tan2 α
cos(α
2
)= ±
√1 + cosα
2
sin(α
2
)= ±
√1− cosα
2
tan(α
2
)= ±
√1− cosα
1 + cosα
Giacomo Tommei
Formule varie - Parametriche
Le formule parametriche permettono di esprimere il seno, il coseno e latangente di un angolo α (α 6= π + 2 k π) come funzione razionale dellavariabile t = tan(α/2).
cos α =1− t2
1 + t2
sin α =2 t
1 + t2
tan α =2 t
1− t2
Giacomo Tommei
Formule varie - Prostaferesi e Werner
Le formule di prostaferesi permettono di trasformare somme di funzionigoniometriche in prodotti.
cosα+ cosβ = 2 cos
(α+ β
2
)cos
(α− β
2
)cosα− cosβ = −2 sin
(α+ β
2
)sin
(α− β
2
)sinα+ sinβ = 2 sin
(α+ β
2
)cos
(α− β
2
)sinα− sinβ = 2 cos
(α+ β
2
)sin
(α− β
2
)Le formule di Werner si utilizzano per trasformare prodotti di funzionigoniometriche in somme.
cosα cosβ =1
2[cos(α+ β) + cos(α− β)]
sinα sinβ =1
2[cos(α− β)− cos(α+ β)]
sinα cosβ =1
2[sin(α+ β) + sin(α− β)]
Giacomo Tommei
Esercizio 3
Risolvi le disequazioni
a) sinx ≥ 1
2b) sinx ≤
√3
2c) sin 3x ≥ −
√2
2
d) cosx ≤√
2
2e) cosx ≤ −1
2f) cos 2x ≥
√3
2
g) tanx ≥ 1 h) tanx ≤ −√
3
3i) tan
x
2≥ −√
3
Giacomo Tommei
Esercizio 4
Risolvi l’equazione2 cos2 x− 5 cosx+ 2 = 0
L’equazione contiene solo la funzione goniometrica cos x, la quale compare al grado 2, al grado1 e al grado 0. Operando la sostituzione t = cos x si ottiene un’equazione di secondo grado in t
2 t2 − 5 t + 2 = 0
che sappiamo facilmente risolvere
t =5±√
25− 16
4=
5± 3
4
ottenendo le due soluzioni t1 = 1/2 e t2 = 2. Per trovare quindi le soluzioni dell’equazione dipartenza dobbiamo adesso risolvere
cos x =1
2e cos x = 2
La seconda non ammette soluzioni in quanto −1 ≤ cos x ≤ 1, mentre la prima ha come soluzioni
x =π
3+ 2 k π ∨ x =
5
3π + 2 k π k ∈ Z
Giacomo Tommei
Esercizio 4
Risolvi l’equazione2 cos2 x− 5 cosx+ 2 = 0
L’equazione contiene solo la funzione goniometrica cos x, la quale compare al grado 2, al grado1 e al grado 0. Operando la sostituzione t = cos x si ottiene un’equazione di secondo grado in t
2 t2 − 5 t + 2 = 0
che sappiamo facilmente risolvere
t =5±√
25− 16
4=
5± 3
4
ottenendo le due soluzioni t1 = 1/2 e t2 = 2. Per trovare quindi le soluzioni dell’equazione dipartenza dobbiamo adesso risolvere
cos x =1
2e cos x = 2
La seconda non ammette soluzioni in quanto −1 ≤ cos x ≤ 1, mentre la prima ha come soluzioni
x =π
3+ 2 k π ∨ x =
5
3π + 2 k π k ∈ Z
Giacomo Tommei
Esercizio 5
Risolvi la seguente equazione
tanx =cosx
1 + sinx
Giacomo Tommei
Esercizio 5L’equazione da risolvere contiene tre funzioni goniometriche distinte che e possibile ridurre adue esprimendo la tangente come rapporto tra seno e coseno:
sin x
cos x=
cos x
1 + sin x
Poiche abbiamo delle frazioni dobbiamo imporre che i denominatori siano diversi da zero:
cos x 6= 0 ⇔ x 6=π
2+ k π
1 + sin x 6= 0 ⇔ sin x 6= −1 ⇔ x 6=3
2π + 2 k π
Quindi l’insieme di esistenza della nostra equazione e
{x ∈ R : x 6=π
2+ k π}
Riducendo allo stesso denominatore le due frazioni e portando tutto a primo membro si ottiene
− cos2 x + sin x + sin2 x
(1 + sin x) cos x= 0
Quest’ultima equazione e equivalente a
− cos2x + sin x + sin
2x = 0
in quanto abbiamo gia escluso i casi in cui il denominatore si annulla. Utilizzando la relazionefondamentale (− cos2 x = sin2 x− 1) si ottiene
sin2x− 1 + sin x + sin
2x = 0 ⇔ 2 sin
2x + sin x− 1 = 0
Giacomo Tommei
Esercizio 5
Ci siamo cosı ricondotti ad un’equazione di un tipo gia visto: operando la sostituzione t = sin xsi ha l’equazione di secondo grado in t
2 t2
+ t− 1 = 0
che ammette le soluzioni t = −1 e t = 1/2. Per trovare quindi le soluzioni dell’equazione in xdobbiamo adesso risolvere
sin x = −1 e sin x =1
2
La prima ha come soluzioni
x =3
2π + 2 k π
ma tali soluzioni non appartengono all’insieme di definizione dell’equazione e pertanto nonsono accettabili; infatti se sin x = −1 si annulla il denominatore del secondo membrodell’equazione di partenza. La seconda equazione ha come soluzioni
x =π
6+ 2 k π ∨ x =
5
6π + 2 k π k ∈ Z
che appartengono all’insieme di definizione e sono quindi accettabili.
Giacomo Tommei
Esercizio 6
Risolvi la seguente equazione lineare in sinx e cosx√
3 sinx+ cosx = 1
In questa equazione sono presenti, al grado 1, due funzioni goniometriche dello stesso angolo x(seno e coseno). Ci sono almeno due possibili metodi per ridursi ad un’equazione elementare:
utilizzando le formule di addizione e sottrazione;
utilizzando la relazione fondamentale.
Giacomo Tommei
Esercizio 6
Risolvi la seguente equazione lineare in sinx e cosx√
3 sinx+ cosx = 1
In questa equazione sono presenti, al grado 1, due funzioni goniometriche dello stesso angolo x(seno e coseno). Ci sono almeno due possibili metodi per ridursi ad un’equazione elementare:
utilizzando le formule di addizione e sottrazione;
utilizzando la relazione fondamentale.
Giacomo Tommei
Esercizio 7
Risolvi le seguenti equazioni in R:a) sinx = 1/(4 cosx) b) 4 sin2 x− 1 = 0
c)√
3 sinx− cosx = 1 d) sinx+ cosx = 1e) 2 sin(2x)− 3 tanx = 0 f) 2 sinx/x = 0g) sinx− cosx− cos(2x) = 0 h) tan3 x− 1 = 0i) cos2 x+ 4 sinx cosx+ sin2 x = 1
l) 2√
3 sin2 x− 2 sinx cosx−√
3 = 0
Giacomo Tommei
Esercizio 8
Risolvi le seguenti disequazioni in R:a) 2 cos2 x ≤ 1 b) 4 sin2 x > 3c) cos 2x+ 5 sinx− 3 ≤ 0 d) sin 2x < cosx
e)√
1− sin2 x ≤ cosx f) 2 cos 2x− 1 ≥ 0g) cosx/(1 + 2 sinx) > 0 h) −3 cosx/x ≤ 0i) cos 2x− 2 cosx+ 1 > 0 l) (1− 2 | sinx|)/(2 sinx+ 1) > 0
Giacomo Tommei