Calcolo differenziale e integraleEsame scritto 11.06.2009
1. Studiare i limiti delle successioni
a)n
nan 5710
= , dimostrare l'esistenza del limite usando la definizione di limite per
una successione.
Calcoliamo il limite
57
5
710
lim5
710
lim5
710lim =
=
=
+ + +
nn
nn
nn
nnn
DefinizioneData la successione numerica { } ,...3,2,1=nna si dice che essa ha per limite il numero l, per + n e si scrive
lann =+ lim
quando 0, 0, t.c. an l n
Sfruttando la definizione di limite per una successione, dimostriamo che la
successione di termine generale n
nan 5710
= ha per limite 75 .
A tale scopo, fissato un numero 0 arbitrario, dobbiamo considerare la disequazione:
cerchiamo, sfruttando le propriet delle potenze, di mettere in evidenza al denominatore e al numeratore la potenza maggiore:
( ) ( )
2714
7
51428
7
51428
751428
75214
75214
625
729
625
729
625
61
625
729625
625
729
625
61625
729625
72962561
729625
729461
729625
72946
=
+
+=
+
+
=
=
+
+=
+
+=
+
+=
+ n
n
nn
nn
nn
nnn
nn
nnn
nnnnn
nnnnn
nnnnna
Infatti 256=257
67=175
42174
42=296
76=29
7
2. Scrivere la definizione di derivata. Calcolare f ' x e determinare l'equazione della retta tangente al grafico di f nel punto x0, f x0 dove:
DefinizioneSia f : I e sia xoI , f si dice derivabile in xo se esiste ed finito il limite
limh0
f xoh f xoh
(limite del rapporto incrementale)
a) f x =3 x7cos x 2 x0=1
scriviamo l'equazione della retta tangente al grafico di f nel punto x0, f x0
y f x0= f ' x0xx0
Valutiamo la funzione nel punto x0=1
f 1=317cos =21=1
Calcoliamo la derivata della f x
D f x=D 3 x7cos x2=D x71 /3cos x2=.
.=D x71 /3D cos x2=13x7
1312 xsin x2=.
.=13x7
232 x sin x2= 1
3 3 x722 xsin x2
quindi :
f ' x= 13 3 x72
2 x sin x2
Valutiamo la derivata prima nel punto x0=1
f ' 1= 13 3172
2 sin= 13 382
= 112
retta tangente:y1= 1
12x1
b) f x =eln x2 x0=1
scriviamo l'equazione della retta tangente al grafico di f nel punto x0, f x0
y f x0= f ' x0xx0
Valutiamo la funzione nel punto x0=1
f 1=e0=1
Calcoliamo la derivata della f x
f una funzione composta del tipo e g x infatti:
D eg x=e g xg ' x
f x =eln x2
D f x=Deln x2
=eln x2 2 xx2 =2 e
ln x2
x
quindi :
f ' x=2 eln x2
x
Valutiamo la derivata prima nel punto x0=1
f ' 1=2 eln 1
1=2
retta tangente:y1=2 x1
3. Sia )(xf , Rx , pi2 periodica e pari definita da 4
)(x
xf = , ]0,[ pix .Disegnare il grafico di
)(xf ( in modo approssimativo). Trovare la serie di Fourier di f .
Per poter disegnare il grafico della funzione 4
)(x
xf = , dobbiamo sfruttare le seguenti
informazioni:
4)(
xxf = , ]0,[ pix ( in questo caso la funzione non definita in un intervallo di ampiezza pi2 ,
bisogna prolungare la funzione)
)(xf una funzione pi2 periodica e pari definita in ]0,[ pix :
)(xf una funzione pi2 periodica se: xxfxf =+ )()2( pi
)(xf una funzione pari se: )()( xfxf =
grafico della funzione nellintervallo ]0,[ pi
la serie di Fourier ( ) ( ){ }=
++1
0 sincos2 k
kk kxbkxaa
)(xf una funzione pari, allora il prodotto ( )kxxf cos)( una funzione pari, e il prodotto ( )kxxf sin)( una funzione dispari, pertanto:
( )( )
==
=
=
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
0sin)(1
cos)(2
)(2
0
00
dxkxxfb
dxkxxfa
dxxfa
k
k
=
]0,[,4
[,0[,4
4 pi
pi
per
per
x
xx
Utilizzando le formule, bisogna integrare nellintervallo [ ]pi,0
= pipi 00 )(2 dxxfa = pipi 0 4
2 dxx = pipi 021
xdx =pi
pi 0
2
221
x
=422
1 2 pipipi
=
;
( )= pipi 0 cos)(2 dxkxxfak = ( )pipi 0 cos4
2 dxkxx = ( )pipi 0 cos21 dxkxx =
= ( ) ( )
pipi
pi 00
sinsin21 dx
kkx
kkxx =
( ) pipi 0sin
21 dx
kkx
= ( ) pi
pi 02
cos21
kkx
=
= ( )[ ]pipi
02 cos21 kxk
= ( ) ( ){ }0coscos2
12 pipi
kk
= ( ){ }1cos2
12 pipi
kk
=
dispari per
pari per
kk
k
,1,0
2pi
Per avere un idea del comportamento dei coefficienti, possiamo procedere nel seguente modo:
k dispari, ad esempio k = 1 (ma anche per k = 3,5,).Sostituiamo k = 1 nel coseno (ma non nel denominatore)
( ){ }1cos2
12 pipi
kk
= { }112
12 k pi
= 21k pi
;
k pari, ad esempio k = 2 (ma anche per k=4,6,) Sostituiamo k = 2 nel coseno (ma non nel denominatore)
( ){ }1cos2
12 pipi
kk
= { }112
12 k pi
= 0 ;
k dispari vuol dire k = 2n-1 ( per n=1,2,3,)
Scriviamo la serie di Fourier:
( ) ( ){ }=
++1
0 sincos2 k
kk kxbkxaa
= ( )=
+1
0 cos2 k
k kxaa
= ( ) ( )( )
=
+1
2 12cos1221
8 kxk
kpipi
=
= ( )( )
( )
=
121212cos
21
8 k kxk
pi
pi.
4. Risolvere le seguenti equazioni differenziali ( scrivere le formule e ove necessario, calcolare gli integrali elementari) :
768)(2)( 2
2
+=xx
exyxyx
, 084 =++ yyy .
768)(2)( 2
2
+=xx
exyxyx
Equazione differenziale lineari del primo ordine La soluzione generale dellequazione )()( xbyxay += data da
+= cdxexbexy dxxadxxa )()( )()(sostituendo si ricava:
+
=
cdxexx eexy dxx
dx 2
2
22
768)( =
+
cdxexx ee xx
x 22
22
768
=
+
cdxxxe x 76822 = [ ]cxxe x +++ 7ln1ln2 ;
Risoluzione:
dxxx 7682
analizziamo il acb 42 = del polinomio 762 xx ,poich 0642836 >=+= , possiamo scomporre 762 xx ,
)7)(1(762 += xxxx , ( -1 e 7 sono le radici del polinomio)
Poniamo:
768
2 xx
= 1+x
A+
7xB
,
dove, A e B sono costanti da determinare.
768
2 xx
= )7)(1()1()7(
+
++
xxxBxA
= )7)(1(7
+
++
xxBBxAAx
= )7)(1(7)(+
++
xxBAxBA
768
2 xx
= )7)(1(7)(+
++
xxBAxBA
,
=
=
=
=
=+
=+
11
88870
BA
BBA
BABA
768
2 xx
= 1
1+
x+
71x
dxxx 7682 = ++ dxxx 7111 = ++ dxxdxx 7111 = 7ln1ln ++ xx
Equazione differenziale lineari del secondo ordine a coefficienti costanti (omogenea)
084 =++ yyy
equazione caratteristica
0842 =++
radici i22421
8422,1 ==
=
2 radici complesseIn questo caso la soluzione generale dellequazione omogenea data da
( ) ( )( )tCtCex t 22 sincos)( 212 += 5. Scrivere la definizione: derivata direzionale, derivata parziale ,differenziabilit . Sia
yyxyxxf 432)( 22 +++= .
i. Trovare le derivate parziali f x , f y e la derivata direzionale Dv f nel punto
1,1 dove
=
3sin,
3cos pipiv .Scrivere l'equazione del piano tangente al grafico nel
punto ( ))1,1(,1,1 fii. Trovare i massimi e i minimi locali di f. Esistono massimi e minimi assoluti?
DefinizioneSia A un aperto di R2 e sia RAf : . Si definisce derivata direzionale di f, nel punto
AyxP ),( 00 e nella direzione , con 1= il limite:
( )h
yxfhyhxfyxfDh
),(),(lim, 002010000
++=
se esiste ed finito.Otteniamo le derivate parziali f x per )0,1( e f y per )1,0(
DefinizioneSia A un aperto di R2 e sia RAf : . Si dice che f differenziabile nel punto AyxP ),( 00 se f derivabile in AyxP ),( 00 ( meglio se esiste il gradiente ( ) ( )( ) ,,, 0000 yxfyxfgradf yx= ) e se vale la seguente relazione:
),()(),()(),(),(),(
lim00
00000000
0),( 00 yyxxyyyxfxxyxfxxfyxf yx
yyxx
o in modo equivalente se:
)),(()(),()(),(),(),( 0000000000 yyxxoyyyxfxxyxfyxfyxf yx +++=Per calcolare la derivata direzionale fDv sfruttiamo il seguente teorema:
TeoremaSe f una funzione differenziabile di due variabili, la derivata direzionale nella direzione di un qualsiasi versore ( )21, vvv nel punto ( )00 ,P yx data da:
( ) 21 vfvfvgradffD yxv P +== , 1 =vprodotto scalare tra gradf e v .
i. yyxyxxf 432)( 22 +++=
derivate parziali prime :yxf x 22 += , 462 ++= yxf y
Per calcolare la derivata direzionale fDv sfruttiamo il seguente teorema:
TeoremaSe f una funzione differenziabile di due variabili, la derivata direzionale nella direzione di un qualsiasi versore ( )21, vvv nel punto ( )00 ,P yx data da:
( ) 21 vfvfvgradffD yxv P +== , 1 =v prodotto scalare tra gradf e v .
=
23,
21v
( ) ( ) ( ) ( )4622322
21
23,
21462,22, ++++=
+++= yxyxyxyxfD yxv
( ) ( ) ( ) 3624622322
21
1,1 +=++++= fDv
Equazione del piano tangente:
( ) ( )00000000 ),(),(),( yyyxfxxyxfyxfz yx ++= dove 1,1 00 == yxsostituendo si ricava:
( ) ( )1)1,1(1)1,1()1,1( +++= yfxffz yx
0462)1,1(022)1,1(
24321)1,1(
=+=
==
=+=
y
x
fff
2=z
ii. massimi e minimi locali
yxf x 22 += , 462 ++= yxf y
I max e i min sono quei punti che mi annullano le derivate parziali prime:
=
=
=+
=
=++
=+
=++
=+
11
0230230
0462022
xy
xxxy
yxyx
yxyx
Per determinare i massimi e i minimi locali bisogna studiare l' hessiano della funzione:
2=xxf ; 6=yyf ; 2=xyf ;
04126222
),( >==yxH e 02 >=xxf , nel punto ( )1,1 P la funzione ha un minimo locale.
Riscriviamo la funzione in modo opportuno ( come somma di due quadrati)
2)1()(2)12(2)(
42)(432432)(2222
22222222
+++=++++=
=+++=++++=+++=
yyxyyyxyyyxyyyyxyxyyxyxxf
quindi ( )1,1 P un punto di minimo assoluto. Infatti la funzione la somma di due quadrati e -2, assume sempre valori maggiori o uguali a -2 ( uguali a -2 per x = 1 e y = -1 nel punto di minimo).
6. Scrivere la definizione dell'integrale curvilineo di 2 specie
.
Sia ( ) .1
1ln 2222 dy
yyedxye xx
+++=
essendo un parametro reale
i. Trovare tutti le funzioni tali che sia esatta in R2
ii. Trovare una funzione potenziale ),( yxU per tale e calcolare
, essendo una curva
regolare qualsiasi che congiunge i punti )3,3ln( e )0,2009( .
Definizione dell'integrale curvilineo di 2 specie
.
Sia dyyxbdxyxa ),(),( + una forma differenziale in R2 e sia [ ] 2Rba,: una curva
=
=
)()(
:tyytxx
, allora
( ) ( ){ } +=
dttytytxbtxtytxa )()(),()()(),(
i. esatta in R2 se
( ){ }
+
=+
2222
11ln
yye
xye
yxx
( ){ } 2222 121ln
yyeye
yxx
+=+
22
22
12
1 yye
yye
xxx
+=
+
22
22
12
12
yye
yye xx
+=
+
22 = e quindi 1=
( ) .1
1ln 2222 dy
yyedxye xx
++=
ii. ),( yxU tale che :
( )
+=
+=
dyy
yeyU
yexU
x
x
22
22
1
1ln
integrando la prima relazione si ricava che:
( ) ( ) )(1ln21)(1ln 2222 ygyeygdxyeU xx ++=++=
e derivando U rispetto alla y otteniamo la seguente uguaglianza:
)(1 2
2 ygy
yeyU x
++
=
= 22
1 yye x
+
da cui si ricava che cyg =)(
( ) cyeyxU x ++= 22 1ln21),(
2ln912ln
181)4ln(
21)1ln(
21)3,3(ln)0,2009( 23ln220092 ==+== eeUU
7. Sia V il solido di rotazione in R3 ottenuto girando il grafico di zy 2= , ]1,3[ z rispetto all'asse Oz.
a. Disegnare il solido V (in modo approssimativo)b. Calcolare il volume di V.c. Verificare che il bordo laterale V una superficie regolare e calcolare l'area di V . Potete rappresentare V come il grafico di una funzione?
Per poter disegnare il solido conviene rappresentare graficamente la funzione zy 2= , ]1,3[ z
poich ]1,3[ z si ha che ]6,2[y2yz =
possiamo fare il seguente grafico:
poich un solido di rotazione, possiamo rappresentare V come grafico della funzione
( ) 222 2zyx =+ , svolgendo i calcoli 4
222 yxz += (tronco di cono)
questo per il semplice motivo che se tagliamo il volume con un piano parallelo al piano Oxy otteniamo dei dischi di raggio z2 e centro nell'asse Oz.
Volume: ( )= ba
dzzfVvol 2)()( pi
( ) [ ] ( ) pipipipipi3
329134
3442)(
1
3
1
3
13
222=====
zdzzdzzVvol
Per verificare che il bordo una superficie regolare conviene utilizzare la seguente parametrizzazione:
=
=
=
=
vzuvyuvx
vur sin2cos2
),( ]1,3[);2,0[ vu pi
da cui determiniamo i vettori:
( )0,cos2,sin2 uvuvru e ( )1,sin2,cos2 uurv ottenuti derivando rispetto alla u e alla v le componenti della parametrizzazione
Il bordo laterale una superficie regolare sse vu rr sempre diverso dal vettore nullo, ossia se 0 vu rr
vkujvuivuuuvuv
kjirr yx 4sin2cos2
1sin2cos20cos2sin2 =
=
052164 22 >=+= vvvrr vu da cui si ricava che il bordo laterale una superficie regolare.
Il bordo superiore un disco determinato dalla relazione 422
( ) ( ) ( ) 251
411
41
44 2222
22
2
22
2
=+=++
+=+
++
+=
yxyx
yxy
yxxrr yx
L'area del bordo laterale data dall'integrale dxdyrrD
yx { }364:),( 22
ESERCIZI
Data la serie di potenze ( )=
+
+
1 2120082
n
nn
xn
. Trovare:
i) Il suo raggio di convergenza.
ii) Linsieme di tutte le x tali che la serie converge.
La serie ( )=
+
+
1 2120082
n
nn
xn
una serie di potenze, per poter determinare il suo raggio
di convergenza si possono applicare i seguenti criteri:
Criterio del rapporto
Sia = 1n
nnxa una serie di potenze, se esiste il la
a
n
n
x=
+
lim 1 , allora il raggio di convergenza
della serie l1
= .
Criterio della radice
Sia = 1n
nnxa una serie di potenze, se esiste il lan nx = lim , allora il raggio di convergenza
della serie l1
= .
Applichiamo il criterio del rapporto:
lim 1n
n
x aa +
=
( )( ) 20082
120082
lim
1
n
nn
n
x ++
+ +
=
( )( ) 200821
20082 lim1
+
+
+ +
n
n
x
nn
=
( )( ) 120082
20082 lim1
+
+
+ +
nn
n
n
x =
( ) ( )( ) ( )
1
2200812
2200812
lim1
1
+
+
+ ++
nn
nn
nn
x =
( ) ( )
( )
12
20081
2200812
lim1
+
+
+ +
nn
n
n
x = 2;
21
=
i) Linsieme di tutte le x tali che la serie converge.
Sicuramente la serie converge per 21
21
Criterio del rapporto
Sia = 1n
na una serie a termini positivi
se esiste il laa
n
nx
=+
1lim , allora :
=
>
==yxH e 02 >=xxf , nel punto ( )1,3P la funzione ha un minimo locale.Riscriviamo la funzione in modo opportuno ( come somma di due quadrati)
1)1()3(
112)3(2962106)(22
2222222
++=
=+++=+++=++=
yyxyyyxyyyxyxyyxyxxf
quindi ( )1,3P un punto di minimo assoluto. Infatti la funzione la somma di due quadrati e -1 e, assume sempre valori maggiori o uguali a -1 ( uguali a -1 per x = -3 e y = 1 nel punto di minimo).
5. (4 pt) Scrivere la definizione dell'integrale curvilineo di 2 specie
. Sia
.)(1
2 332 dyexdxex
x yy ++
=
i. Trovare tutte le funzioni )(1 RC con 0)0( = tali che sia esatta in R2
ii. Trovare una funzione potenziale ),( yxU per tale e calcolare
, essendo una curva
regolare qualsiasi che congiunge i punti )2ln,1( e )10,0(
i. esatta in R2 se
{ }yy exx
exx
y33
2 )(12
=
+
yyy exxe
xxe
xx
y3
23
23
2 16
123
12
+=
+=
+
{ } yy exexx
33 )()( =
yy exexx 33
2 )(16
=
+
)(1
62 xx
x =+
integrando ambo i membri si ricava
cxdxxxx ++=
+= )1ln(31 6)( 22
ma poich 0)0( = si ha che c = 0, quindi )1ln(3)( 2xx += .
.)1ln(31
2 3232 dyexdxex
x yy ++
=
ii. ),( yxU tale che :
+=
+
=
y
y
exyU
exx
xU
32
32
)1ln(3
12
integrando la prima relazione si ricava che:
)()1ln(1
2 3232 ygexdxex
xU yy ++=+
=
e derivando U rispetto alla y otteniamo la seguente uguaglianza:
)()1ln(3 32 ygexyU y
++=
= yex 32 )1ln(3 + da cui si ricava che cyg =)(
cexyxU y ++= 32 )1ln(),(2ln8)2ln()1ln()2ln,1()10,0( 2ln330 === eeUU
6. (3 pt ) Sia 2R definita da 164 22 , xy 3 .Disegnare ( in modo approssimativo ) e calcolare larea di .
Per risolvere disequazioni del tipo 0),( >yxf (dove ),( yxf una funzione ) occorre tracciare nel piano la curva di equazione 0),( =yxf .In seguito si tiene presente che tale curva pu dividere il piano in due o pi regioni.Per determinare il segno della ),( yxf basta calcolare la funzione in un qualsiasi punto della regione considerata.Una volta noto il segno della ),( yxf in tale punto, si pu stabilire se la regione considerata verifica o meno la disequazione .Nel nostro caso dobbiamo risolvere un sistema di disequazioni:
>
+
3 164 22
xyxy
yx
Per determinare la soluzione del sistema conviene considerare lintersezione tra le regioni di piano i cui punti verificano le singole disequazioni del sistema.Per determinare necessario rappresentare graficamente le disequazioni:
164 22 + yx , xy > , xy 3 .1. 164 22 + yx
1622 =+ yx rappresenta una circonferenza con centro nellorigine e raggio r = 4,
422 =+ yx rappresenta una circonferenza con centro nellorigine e raggio r = 2,
Le due circonferenze suddividono il piano in tre regioni
Per determinare la regione del piano che soddisfa alla disequazione 164 22 + yx , possiamo procedere nel seguente modo:Consideriamo un punto 3P , ad esempio )0,0(O e verifichiamo se O soddisfa alla disequazione
164 22 + yx
16004 + 1604 FALSO
Questo sufficiente per dire che i punti della regione 3 non soddisfano la disequazione.Consideriamo un punto 1P , ad esempio )5,0(P e verifichiamo se P soddisfa alla disequazione
169 22 + yx
162504 + 16254 FALSO
Questo sufficiente per dire che i punti della regione 1 non soddisfano la disequazione.Possiamo concludere che la disequazione soddisfatta da tutti i punti della regione 2 .Infatti se prendiamo in considerazione un punto 2P , ad esempio ( )3,0P si ricava che 1694 .2. xy > , xy = rappresenta una retta,
come si pu notare ogni retta divide il piano in due semipiani,
Poich per il punto ( )0,1P vale xy > , linsieme che verifica la disequazione il semipiano tratteggiato.3. xy 3 ,
xy 3= rappresenta una retta, la quale divide il piano in due semipiani
Il semipiano che soddisfa la disequazione quello tratteggiato, infatti il punto ( )0,1P verifica xy 3 .
Prendendo in considerazione le soluzioni comuni delle tre disequazioni ( facendo lintersezione) si ricava :
Per determinare larea di , bisogna calcolare
dxdy
= dxdyArea )(
Conviene esprimere in coordinate polari:
=
=
sincos
yx
dddxdy =
Dalla 164 22 + yx si ricava che ( ) ( ) 16sincos4 22 + e quindi 164 2 ossia 42
Dalle disequazioni xy 3 , xy > e dal grafico si ricava che 4
33
pipi
La retta xy 3= , ha coefficiente angolare 3 e quindi forma con lasse delle x un angolo la cui
3=tg 3pi = .
La retta xy = , ha coefficiente angolare -1 e quindi forma con lasse delle x un angolo la cui
1=tg 4
3pi = .
= dxdyArea )( =
43
3
4
2
pi
pi
dd =
43
3
4
2
2
2
pi
pi
d = 4
3
3
24
216
pi
pi
d = 43
3
6
pi
pi
d =
3436 pipi =
12
496 pipi = pi25
;
7. (5 pt) Sia V il solido di rotazione in R3 ottenuto girando il grafico di zy = 3 , ]1,9[ z rispetto all'asse Oz.a. Disegnare il solido V (in modo approssimativo)b. Calcolare il volume di V.c. Verificare che il bordo laterale V una superficie regolare e calcolare l'area di V . Potete rappresentare V come grafico di una funzione?
Per poter disegnare il solido conviene rappresentare graficamente la funzione zy = 3 ]1,9[ z
poich ]1,9[ z si ha che ]9,3[y
Riscrivendo z in funzione della y ( )zy = 92 9
2yz = , possiamo fare il seguente grafico:
grafico del solido:
poich un solido di rotazione, possiamo rappresentare V come grafico della funzione
( )222 3 zyx =+ , svolgendo i calcoli 9
22 yxz += (paraboloide di rotazione)
questo per il semplice motivo che se tagliamo il volume con un piano parallelo al piano Oxy otteniamo dei dischi di raggio z3 e centro nell'asse Oz.
Volume: ( )= ba
dzzfVvol 2)()( pi
( ) ( ) pipipipipi 360281
219
2993)(
1
9
1
9
21
9
2=
=
===
zdzzdzzVvolPer verificare che il bordo una superficie regolare conviene utilizzare la seguente parametrizzazione:
+=
=
=
=
9
),(22 yxz
yyxx
yxr
da cui determiniamo i vettori:
92,0,1 xrx e
92,1,0 yry ottenuti derivando rispetto alla x e alla y le componenti della
parametrizzazione
1. per ottenere
+
9,,
22 yxxx
yxxrx =
92,0,1 xrx .
2. per ottenere
+
9,,
22 yxyy
yyxry =
92,1,0 yry
Il bordo laterale una superficie regolare sse yx rr sempre diverso dal vettore nullo, ossia se 0 yx rr
kjyixkjy
x
iy
x
y
xkji
rr yx ++=+
=
=9
292
1001
920921
921920
92109201
0194
94 22 >++= yxrr yx da cui si ricava che il bordo laterale una superficie regolare.
Il bordo superiore un disco determinato dalla relazione 922
(proiezione della superficie nel piano Oxy)
dxdyyxdxdyrrAreaDD
yxlaterale ++== 1)(94 22per risolvere questo integrale conviene passare alle coordinare polari
=
=
cossin
yx
da cui si ricava che pi
dddxdy =
2093
( ) ( )
=
=
+=
+
=
+
+
=
=
+
+=
+=
+=
=
+=
++=
=++==
+
pipipipi
pipipi
pipi
2
0
23
232
0
9
3
23
22
0
9
3
23
22
0
9
3
121
2
2
0
9
3
22/1
22
0
9
3
2/12
2
0
9
3
2/12
2
0
9
3
22
0
9
3
2222
22
537431
94
32
89
23
194
89
121
194
89
1941
94
891
94
98
891
94
1941)sincos(
94
1)(94
dddd
dddddd
dddd
dxdyyxdxdyrrAreaDD
yxlaterale
( ) ( )
= 23
23
5372
3pi
Area = Area(disco superiore) +Area(disco inferiore)+ Area(laterale).
Appunti 04-Giu-2009
Funzione potenziale
Solido di rotazione con calcolo del volume, verifica della regolarit della superficie e calcolo della superficie.
Area di una porzione di piano compresa tra due circonferenze concentriche e due rette
Funzione s(t), ascissa curvilinea di una curva
soluz esercizi serie potenza e fourier.pdfsoluz esercizi serie potenza e fourier.pdfCriterio del rapportoCriterio della radiceCriterio del rapportoCriterio della radiceCriterio del rapportoCriterio della radice
giugno2008.pdfConvergenza uniforme