Filtri digitaliFiltri digitali
Introduzione
Programma del CorsoProgramma del Corso
Basi di elaborazione numerica Introduzione ai filtri digitali Progetto di filtri analogici Progetto di filtri digitali ricorsivi (IIR) Progetto di filtri digitali non-ricorsivi (FIR) Filtri Multirate Filtri Non-Lineari ???
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Sequenze di dati (nomenclatura)Sequenze di dati (nomenclatura)
Sequenza: {x(n)}Campione: x(n)
Indice: n
Sequenze fondamentali:
Impulso )(0 nu
Gradino )(1 nu
Esponenziale complesso njenx )(
….
{h(n)}
{h (n)}r
)()( mnhnhr
n: indice della seq.m: ritardo
)()()}({ mnumana om
Una qualunque sequenza puo’ essere pensata come una combinazione lineare di tante sequenze impulsive opportunamente ritardate e pesate
n = 0
RitardoRitardo
Sistemi LTI (Linearity)Sistemi LTI (Linearity)
LTILTI
x(n) y(n)
Linearita’:
)()( and )()( 2211 nynxnynx
)()()()( 2121 nybnyanxbnxa
Sistemi LTI (Time Invariant)Sistemi LTI (Time Invariant)
LTILTI
x(n) y(n)
Invarianza Temporale:
)()( nynx
)()( NnyNnx
ConvoluzioneConvoluzione
LTILTIu (n)o h(n)x(n) y(n)
)()()()()()( 0 mnhmxnymnumxnx mm
x (n) y(n)
)()()( mnxmhny m
Con una semplice sostituzione degli indici (m = n - m)
Causalita`Causalita`
Si definisce causale un sistema per cui
0per0)( nnh
Ovvero il sitema non e’ “anticipativo”
Stabilita`Un sistema e` stabile se, sollecitato con un ingresso “limitato”risponde con un’uscita pur essa “limitata”.Condizione necessaria e sufficiente per la stabilita’ e’:
)(nh
Espressioni per “y(n)”Espressioni per “y(n)”
Convoluzione
)()()( mnxmhny m
M N
jjii jnyainxbny0 1
)()()(
Differenze finite
Vi sono 2 categorie di Filtri Lineari:• FIR (Finite Impulse response)
in cui l’uscita dipende solo dall’ingresso• IIR (Infinite Impulse Response)
in cui e’ presente una “retroazione”
Risposta in frequenzaRisposta in frequenza
Si solleciti un sistema lineare avente una risposta impulsiva “h(n)”con un segnale di tipo:
)()( njenx L’uscita risulta essere:
)()(
)(
)()( )(
j
mjm
nj
mnjm
eHnx
emhe
emhny
Ove “H(e j)” prende il nome di “riposta in frequenza”
Risposta in frequenza - Proprieta’:Risposta in frequenza - Proprieta’:
njn
j enheH )()(
Funzione continua in Periodica di periodo 2 Se h(n) è reale
modulo simmetrico e fase antisimmetrica “Re(H)” simmetrico ed “Im(H)” antisimmetrico
Risposta in frequenza - Proprieta’:Risposta in frequenza - Proprieta’:
Essendo “H” periodica può essere sviluppata in serie di Fourier:
deeHnh
enheH
njj
njj
)()(
)()(
21
nje
)( jnj eHe
deeXnx njnj )()( 21
deeXeHny njnjnj )()()( 21
LTILTI
Ovvero:
)()()( jjj eXeHeY
Sequenza temporaleSequenza temporale
)()( nTxnx
nTjTj enTxeX )()(
Se si vuole mantenere il legame temporale con il segnale analogico
X(t)
X(nT)
T
La risposta in frequenza risultaperiodica di periodo 2/T
T
T
nTjTjT
nTjTj
deeXnTx
enTxeX
/
/2 )()(
)()(
dejXtx
dtetxjX
tjA
tjA
)()(
)()(
21
Legame spettro analogico - digitaleLegame spettro analogico - digitale
dejXtx tj
A )()( 21
dejXnTx nTj
A )()( 21
dejXnTx nTjm
m AmT
T
)1(2
)1(221 )()(
')()(2
'2'21
deejXnTx mnTjnTjAm
TT
T
mT
j
')()( '2'21
dejXnTx nTjAm
T
T
mT
j
deeXnTx nTjTjT T
T )()( 2
Un qualunque segnale continuo:
Campionato con periodo T:
Suddividendo l’integrale:
Sostituendo: ’ = - 2m/T:
Semplificando:
Ma paragonando il risultato ottenuto con quanto si e’ visto per i segnali digitali, ovvero:
Si perviene al legame tra le rappresentazioni spettrali del segnale originale e del suo campionato:
)(1
)( 2 mT
jjXT
eX AmTj
Legame spettro analogico - digitaleLegame spettro analogico - digitale
X(t)
T
Partendo da un segnale analogico Con un certo spettro
Definito un certo intervallo di campionamento T ed operando il campionamento del segnale
Legame spettro analogico - digitaleLegame spettro analogico - digitale
X(t)
X(nT)
T
Si ottiene un segnale digitale Con un certo spettro digitale
Lo spettro digitale (periodico) e’ ottenibile come sovrapposizionedi infinite repliche, opportunamente traslate, dello spettro analogico
AliasingAliasing
X(t)
T
Una modifica dell’intervallo TComporta una modifica nella
periodicità dello spettro
X(nT)
ALIASING: Se si sceglie un periodo di campionamento troppo elevato (in riferimento alla massima frequenza del segnale analogico) si possono avere distorsioni dovute alla sovrapposizione degli spettri
AliasingAliasing
X(t)
T
Una modifica dell’intervallo TComporta una modifica nella
periodicità dello spettro
X(nT)
ALIASING: Se si sceglie un periodo di campionamento troppo elevato (in riferimento alla massima frequenza del segnale analogico) si possono avere distorsioni dovute alla sovrapposizione degli spettri
Teorema di ShannonTeorema di Shannon
X(t)
T
X(nT)
Per non avere aliasing l’intervallo di campionamento deve esserescelto in base alla seguente regola:
MT
Mf
T2
1
Ovvero:
Le componenti armoniche a frequenza superiore DEVONO venir filtrate
M
InterpretazioneInterpretazione
Per campionare un segnale si deve usare una frequenza di campionamento (fT) almeno doppia della massima frequenza del segnale (fN) (Nyquist)
In un segnale con una sola frequenza si devono prendere almeno 2 campioni per periodo per poter ricostruire il segnale
Trasformata “Z”Trasformata “Z”
Data una certa sequenza “x(n)” di definisce:
nn znxzX )()( ))(()(
2
1)( 1
Re1
1
ns
n
C
zzXdzzzXj
nx
Proprietà:
Linearità:
)()( 11 zXnx )()()()( 2121 zbXzaXnbxnax
)()( 110 zXznnx n
o
Ritardo:
)()( 11 zXnx
)()()( zHzXzY
Convoluzione:
)()()( nhnxny
Trasformata “Z” (proprietà)Trasformata “Z” (proprietà)
Legame con la risposta in frequenza:
njn
j enxeX
)()(
nn znxzX )()(
r = 1
Re
ImZ-plane ej
Applicazioni ai filtri lineariApplicazioni ai filtri lineari
M N
jjii jnyainxbny0 1
)()()(Poiché un filtro digitale lineare può essere rappresentato tramite una equazione alle differenze finite:
Sfruttando la trasformata Z: M N
ijj
iii zzYazzXbzY
0 1
)()()(
Mi
ii
Ni
jj zbzXzazY01
)(1)(
N
ijj
Mi
ii
za
zb
zX
zYzH
1
0
1)(
)()(
Si perviene ad una rappresentazione del filtro secondo la trasf.Z come un rapporto di due polinomi in Z.H è la Z-trasf. della risposta impulsiva h(n)
Filtri digitali lineariFiltri digitali lineari
Z-1 Z-1 Z-1
Z-1 Z-1 Z-1
b0 b1 bM-1 bM
aN aN-1 a1
x(n)
y(n)
FIR: ai = 0IIR : ai = 0 bi = hi
M N
jjii jnyainxbny0 1
)()()(
Differenze finite
)()()( inxihny i
Convoluzione