Fisica II – secondo modulo Lezione VII C.C.L. Matematica, a.a.2017/18
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Calendario Lezioni
G.Manca2
Fisica II@Math, 2o mod. a.a.2017-18
Fine lezioni di teoria
Inizio laboratorio
2° parziale ?
Lun-Mer-Gio-Ven : 9-11 (teoria), Mar 15-17 (esercizi); meta` Maggio : inizio Lab !
Onde elettromagnetiche
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Lo spettro delle onde elettromagnetiche
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• Sensibilità dell'occhio alla radiazione e.m. ! = λν, ν=frequenza
Microonde
Lo spettro delle onde elettromagnetiche
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Microonde
Lo spettro delle onde elettromagnetiche
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Microonde
Lo spettro delle onde elettromagnetiche
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Microonde
Lo spettro delle onde elettromagnetiche
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Microonde
Lo spettro delle onde elettromagnetiche
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Microonde
Lo spettro delle onde elettromagnetiche
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Microonde
Scala delle lunghezze d'onda
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Penetrazione delle onde e.m. nell'atmosfera
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Produzione e di onde radio e microonde•Onde radio
➠ Sorgenti artificiali: circuiti oscillanti
•Microonde➠ Sorgenti artificiali:
- circuiti oscillanti ad alta frequenza- ciclotroni- magnetron (forno a microonde)
•Onde radio e microonde in astronomia
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Sorgenti nell'infrarosso• Emissione di radiazioni elettromagnetiche da parte di corpi“caldi”•Dispositivi elettronici
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Radiazione di corpo nero•Una sorgente a temperatura T emette radiazioni elettromagnetichenell'intero spettro (fatto salvo il principio di conservazione dell'energia!)• La lunghezza d'onda del massimo di emissione dipende dallatemperatura
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Luce visibile
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Sorgenti e propagazione della luce• I corpi portati ad una temperatura sufficientemente elevata emettono radiazione luminosa.
– Intorno ai 600oC l’emissione e’ di colore rosso scuro
– A ~1200oC l’emissione e’ arancione vivo
– A ~6000oC e’ di colore giallo-biancastro
• I corpi illuminati da una sorgente luminosa diffondono la luce in tutte le direzioni
• La propagazione della luce in un mezzo omogeneo e isotropo avviene in linea retta
• L’intensita’ di una radiazione luminosa (ovvero la potenza irraggiata per unita’ di superficiedisposta perpendicolarmente alla luce) diminuisce con l’inverso del quadrato della distanza r:
! ∝#
$%
– L’intensita’ della radiazione solare che giunge sulla superficie terrestre (in direzioneperpendicolare ai raggi solari) e’ detta costante solare, ed e’ pari a 1.367 kW/m2
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Ultravioletti, raggi X, raggi gamma•Sorgenti raggi ultravioletti:➠sole➠fotoni di diseccitazione di atomi➠…
•Sorgenti di raggi X➠Fotoni di diseccitazione di atomi, bremmstrahlung...
•Sorgenti di raggi g:➠Fotoni provenienti da transizioni nucleari
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Proprietà generali delle onde• Un'onda è una perturbazione che si propaga
• Nelle onde elastiche, atomi e molecole del mezzo oscillano intorno alla loro posizione di equilibrio
• Ciò che si propaga nelle onde non è materia, ma energia
• In maniera analoga si comportano i campi E e B nelle onde elettromagnetiche
• Le onde e.m. non hanno bisogno di un mezzo per propagarsi
• La perturbazione di un campo (elettrico o magnetico, ma anche di temperatura, pressione, densità...) che si propaga nello spazio è detta funzione d'onda
• Le onde piane possono essere descritte da:
!"#
!$"−
&
'"
!"#
!("= 0 (equazione di D’Alembert)
➠ξ = ξ ,, . : perturbazione, v = velocita` di propagazione
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Equazione di D’Alembert• L'equazione è lineare in x
➠Piccole oscillazioni nel caso delle onde elastiche
➠Linearità delle equazioni di Maxwell per le onde e.m.
• Una proprietà importante: le soluzioni dell'equazionedi D'Alembert devono avere la forma:
ξ = ξ #, % = ξ # − '% oppure ξ = ξ #, % = ξ # + '%
• Poiché una combinazione linearedelle soluzioni è ancora una soluzione, la soluzione più generale avrà la forma
ξ #, % = ξ) # − '% + ξ* # + '%
• Dalla forma generale della soluzione si evince la proprietà dell'equazione di d'Alembert di rappresentare una perturbazione che si propaga con velocità ±v
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ξ #+ − '%+
ξ # − '%
' % − %+
Traslazionerigida
Principio di sovrapposizione• Vale il principio di sovrapposizione:
• se due onde agiscono insieme, la perturbazione che si ottiene in ogni posizione e ad ogniistante è la somma delle perturbazioni che si otterrebbero se ciascuna onda agisseindipendentemente
• Dunque la presenza di un'onda non influenza l'altra
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Sviluppo in serie di Fourier• Il teorema di Fourier afferma che una funzione periodica f(t) di periodo T, tale cheT sia divisibile in un numero finito di intervalli in cui f è continua e monotona, puòessere scritta come
• Per funzioni impulsive:
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! " = $% +'()*
+$(sin /ω" + 1(cos /ω"
$( = 256%
7! " sin /ω" 1( = 2
56%
7! " cos /ω"$( = 2
56%
7! " sin /ω"
! " = 6%
+$ ω sinω" + 1 ω cosω" 8ω
$ ω = 1π 6;+
+! " sinω"8" 1 ω = 1
π 6;+
+! " cosω"8"
Se sovrapposizione insieme
continuo termini armonici
Onde armoniche• Possiamo trattare le onde periodiche basandoci sulle onde armoniche del tipo
ξ ", $ = ξ&sin * " − ,$ + ϕ
➠k è il numero d'onda [L-1], f la costante di fase
• Possiamo riscrivere la funzione d'onda nella formaξ ", $ = ξ&sin *" − ω$ + ϕ
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ω = *, pulsazione [t-1 ]
λ =2π
*lunghezzad'onda[l]
Inoltre:
D =2π
ωperiodo [t]
ν =1
D=ω
2πfrequenza [t-1]
, = λνvelocita` [lt -1]
Onde armoniche• In tutti i punti di un piano perpendicolare all'asse x, la fase !" −ω% dell'onda piana ξ ", % = ξ)sin !" − ω% sarà la stessa
• Il fronte d'onda è dunque un piano perpendicolare all'asse x➠il fronte d'onda è definito come una superficie su cui, in un dato istante,
la fase è costante
• La funzione d'onda piana può essere scritta in una forma indipendente dal sistema di coordinate scelto
ξ .⃗, % = ξ)sin ! ⋅ .⃗ − ω%
il vettore d'onda k indica la direzione di propagazione
• L'equazione di d'Alembert diventa:
∇1ξ −2
34546
574= 0 =>
546
594+
546
5;4+
546
5<4−
2
34546
574= 0
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Onde sferiche• Un'onda emessa da una sorgente puntiforme in un mezzo isotropodarà luogo a un fronte d'onda sferico
• L'ampiezza dell'onda dipende da r
• L'intensità è proporzionale al quadrato dell'ampiezza
• Ogni superficie sferica avente centro nella sorgente verràattraversata dalla stessa Potenza P
• Dunque: ξ ", $ = & " sin *" − ω$ & " - ∝ / " =0
1234
ξ ", $ =56
3sin *" − ω$ => Onda sferica armonica
& " =ξ7
"=> / " =
/7
"-
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Sorgente puntiforme
L'equazione di d'Alembert in coordinate polari sferiche• La forma dell'equazione di d'Alembert in coordinate polari sferiche siottiene ricordando che
∇"ξ =1
&"'
'&&"'ξ
'&
•Dunque:(
)*
+
+)&"
+,
+)−
(
.*
+*,
+/*= 0
• Poiché (
)*
+
+)&"
+,
+)=
(
)
+* ),
+)*(da dimostrare)
posto 1 = &ξ
➠+*2
+)*−
(
.*
+*2
+/*= 0 ; 1 & = 14sin 8& − ω: ; ξ & =
2 )
)=
2;
)sin 8& − ω:
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Onde elettromagnetiche piane• Partiamo dalle equazioni di Maxwell nel vuoto in assenza di sorgenti
• Cerchiamo una soluzione di onda piana, che si propaga lungo x
• E e B dipenderanno solo da x e da t, quindi saranno nulli tutti i termini del tipo:
!"#
!$= 0; !"#
!'= 0 ; !(#
!$= 0 ;
!(#
!'= 0 ; ) = *, ,, -
• Scrivendo le eq. di Maxwell in componenti ed eliminando i termini nulli:!".
!/= 0 ; !(.
!/= 0 ; !".
!0= 0; !(.
!0= 0
• Le componenti x di B ed E sono costanti.In assenza di sorgenti :
1/ *, 2 = 0 3/ *, 2 = 0
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Onde e.m.piane
• I) + III) =>
• II) + IV) =>
• E e B si propagano lungo l'asse x con velocità ! =#
$%&%
• Nota: se le onde e.m. si propagano in un mezzo materiale, anzichè nel vuoto, la
velocità sarà ' =#
$&< !
• Le funzioni d'onda devono essere funzioni di x-vt () = *, ,)
-. = -. / − '1 , 2. = 2. / − '1
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34-5
3/4− ε7µ7
34-5
314= 0
34-:
3/4− ε7µ7
34-:
314= 0
342:
3/4− ε7µ7
342:
314= 0
3425
3/4− ε7µ7
3425
314= 0
3-5
3/=32:
31
3-:
3/= −
325
31
32:
3/= ε7µ7
3-5
31
325
3/= −ε7µ7
3-:
31
I)
II) IV)
III)
Onde e.m. pianePongo ! = # − %&,
'(
')=1,
'(
'*=-v
•'+,
')=
'-.
'*=>
'+,
')=
'-.
'*
'+,
'(
'(
')=
'-.
'(
'(
'*=>
'+,
'(= −%
'-.
'(
➠/0 = −+,
1(A meno di una costante che descrive eventuali casi stazionari)
➠/2 =+.
1
Dunque posso scrivere B in termini di E
• 3 = 30 # − %& 45 + 32 # − %& 8̂ => / = −+, ):1*
145 +
+. ):1*
18̂
1) 3 = %/
2) 3 ⋅ / = 0
3) 3×/ = 3/4#
• E e B sono perpendicolari tra loro e perpendicolari alla direzione di propagazione dell'onda
• LE ONDE ELETTROMAGNETICHE SONO TRASVERSALI
• E e B sono propozionali tra loro
• La costante di proporzionalità è c (nel vuoto) o v<c (in un mezzo materiale)Fisica II@Math, 2o mod. a.a.2017-18 G.Manca 30
Ci ricordiamo…?
•Onde trasversali
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Indice di rifrazione• Il rapporto tra la velocità della luce nel vuoto e quella in un mezzo materiale èl'indice di rifrazione del mezzo
! =#
$
• n =1 per il vuoto, n>1 per tutti gli altri mezzi
$ =%
&'=
%
&(&)'(')
=*
&('(
(κ, = µ., κ0 = εr)
• In molti mezzi materiali, 34 = 1 entro un'accuratezza di 10-5, per cui
! ≈ 34
➠ n in generale dipende dalla lunghezza d'ondaFisica II@Math, 2o mod. a.a.2017-18 G.Manca 32
Indice di rifrazione e dipendenza da l
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Densità di energia delle onde e.m. • La densità di energia associata al campo elettrico e al campo magnetico nel vuoto è:
• Abbiamo visto che per onde piane E=cB. Dunque:
• La densità di energia si ripartisce in maniera uguale tra campo elettrico e campo magnetico• Il risultato, ottenuto per onde piane, è valido in generale
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!"#
!V=1
2ε)*
+!",
!V=
1
2µ).+
!"/0
!1=!"#
!V+!",
!V=1
2ε)*
+ +1
2µ).+ =
1
2ε)*
+ +1
2µ)
*+
3+=1
2ε)*
+ +1
2µ)ε)µ)*
+
!"/0
!V= ε)*
+
Vettore di Poynting• Calcoliamo il flusso di energia per unità di tempo
• Considero il volume dV disposto perpendicolarmente alla direzione di propagazione dell'onda
• !"#$ = ε'()dV = ε'(
)dΣ-dt =/
01(2dΣdt
• La potenza istantanea e` 3 = 4567
d8 = ε'-()dΣ =
9
012)dΣ- =
/
01(2
• Possiamo associare a questa quantità il vettore
• ;⃗ = ε'-() <= =
9
012) <= ovvero ;⃗ =
/
01(×2 VETTORE DI POYNTING
• Il vettore di Poynting segue la direzione di propagazione dell'onda ed ha modulo pari all'energiache nell'unità di tempo attraversa una superficie perpendicolare alla direzione di propagazione
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=
-d?
dΣ
Intensità• Per un'onda armonica piana:
•Questa quantità è il flusso istantaneo di energia per unità di tempo• Il valore medio è
ovvero, con !eff = %&'
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( = ε*!'+ = ε*+!*'sin' /0 − ω3
(4 = ε*+!*' 1678*
9:sin' /0 − ω3 ;3 = 1
2 ε*+!*'
= = (4 = 12 ε*+!*' = ε*+!eff'
Esercizio: generalizzare l'espressione del vettore di Poynting e dell'intensità nei mezzi omogenei ed isotropi
Pressione di radiazione• Oltre all'energia, le onde e.m. trasportano quantità di moto
• Su una superficie illuminata, la luce esercita una pressione
• Infatti, supponiamo che l'onda e.m. incida normalmente su una superficie su cui è presente una carica con densitàsuperficiale s
• E mette in moto la carica dq dandole la velocità v
• dFe=dq E giace sul piano della superficie
• dFe non esercita pressione, ma cede alla carica una potenza:
• L'intensità assorbita dalla carica è:
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!E
B
. dq
v
"#$ ⋅ '⃗ = ")*'
+ ="#$"Σ
⋅ '⃗ =")
"Σ*' = σ*'
(assumo che la superficie assorbacompletamente l'energia dell'onda e non rifletta)
Pressione di radiazione• Il campo magnetico non compie lavoro su dq
• B agisce su dq tramite !"# = !%'⃗×)
• dFm è perpendicolare alla superficie ed esercita pressione
*+,- =-./
-0=
-1
-0') = σ') =
345
6=
7
6(I=Intensita` ceduta dall’onda)
• Inoltre l'impulso per unità di superficie dovuto all'onda è: -./
-0!8
questa è la quantità di moto ceduta all'unità di superficienell'unità di tempo
• Se invece l'onda viene riflessa, comunicherà alla superficie una quantità di moto doppia. Anche la pressione sarà doppia (cfr urto elastico e totalmente anelastico)
• Abbiamo dunque, per incidenza normale:
*+,- =7
6Assorbimento completo
*+,- =97
6Riflessione completa
• Nel caso di incidenza ad un angolo q, si ha :; = :<cos9θ;
=>Solo la componente della quantità di moto normale alla superficie contribuisce all'interazione; inoltre l'area investita èmaggiore
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Perché la coda delle comete non segue la traiettoria del nucleo?
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Ipotesi di Keplero → pressione della luce (corpuscolare) del sole