1
UNIVERSITA’ DELL’AQUILA
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELLE STRUTTURE, DELLE ACQUE E DEL TERRENO
Esercitazioni del corso di Scienza delle Costruzioni
sul problema di De Saint Venant - Prof. Angelo Luongo
15 Giugno 2009
CASTEL DI SANGRO
LA TEORIA APPROSSIMATA DELLA
FLESSIONE NON UNIFORME (JOURAWSKY)
Francesco D’Annibale [email protected]
2
RICHIAMO DELLE RELAZIONI FONDAMENTALI
Si ha flessione non uniforme del solido di De Saint Venant quando l’unica deformazione generalizzata
diversa da zero è il gradiente di curvatura flessionale ' .
La curvatura flessionale induce entrambi i campi di tensione, quello scalare e quello vettoriale .
Le condizioni di equivalenza su B si scrivono:
0, , , tN d M d m 0 t y a
E’ possibile esprimere il campo scalare attraverso la formula binomia della flessione non uniforme:
y yxx
x y x y
T M zM zTz l y x y xI I I I
3
Il campo di tensione tangenziale y va determinato risolvendo il seguente problema:
in
in 1
0 su
y x
x y
y x
x y
T Ty xI I
T Tx yI I
a
n
La teoria esatta richiede il soddisfacimento di condizioni di equilibrio e di condizioni di compatibilità
cinematica. La teoria approssimata di Jourawsky è invece basata esclusivamente su condizioni di
equilibrio. Poiché il problema dell’equilibrio è indeterminato, una delle due componenti di è scelta
arbitrariamente, in modo da soddisfare delle condizioni di equilibrio in media; l’altra componente è
determinata successivamente imponendo l’equilibrio puntuale.
Poiché il campo scalare soddisfa le condizioni di equivalenza alle basi e il campo vettoriale è
localmente equilibrato, quest’ultimo soddisfa anche la condizione di equivalenza delle forze di taglio
x x y yT T t a a ed il suo momento risultante, dato da tM d y a
è generalmente diverso da
zero. Di conseguenza, il campo è staticamente equivalente ad una forza F t t , applicata in un punto
FF y (centro di flessione) tale da soddisfare la seguente eguaglianza:
4
F y F x y xx T y T x y d =
Richiedendo che questa valga per ogni , x yT T si determinano le coordinate ,F Fx y del centro di
flessione.
Taglio retto
- Taglio retto secondo y
Se y yTt a la formula binomia del campo si riduce a:
y x
x x
T M zz l y y
I I
L’equazione indefinita di equilibrio e la condizione al contorno sul mantello diventano:
in
0 su
y
x
Ty
I
n
Scegliendo una corda arbitraria e considerando come dominio * una delle due parti separata
da è possibile esprimere il flusso attraverso la corda come:
*yc x
x
Tq S
I
5
Questa stabilisce che il flusso delle tensioni tangenziali attraverso una corda è proporzionale al
momento statico rispetto all’asse neutro di una delle due parti di sezione tagliate da . Essa
fornisce l’integrale della componente m m della tensione tangenziale nella direzione m
(normale alla corda). Da quest’unica condizione di equilibrio non può dedursi il valore puntuale di
m ma al più il suo valor medio /m c cq b , dove cb è la lunghezza della corda. La miglior
approssimazione fornita dall’equazione del flusso è costm m su , ovvero:
*ym x
x c
TS
I b
detta formula di Jourawsky.
- Taglio retto secondo x
Se x xTt a la formula binomia del campo si riduce a:
yx
y y
M zTz l x xI I
L’equazione indefinita di equilibrio e la condizione al contorno sul mantello diventano:
6
in
0 su
x
y
T xI
n
Il flusso attraverso la corda è fornito da:
*xc y
y
Tq SI
La tensione tangenziale è fornita da:
*xm y
y c
T SI b
7
Sezioni monoconnesse di piccolo spessore
Se la sezione è aperta e di spessore sottile è opportuno scegliere una famiglia di corde ortogonali alla
linea media della sezione per descrivere la distribuzione delle tensioni tangenziali dovute a taglio.
Infatti, la componente m , stante il piccolo spessore, è debolmente variabile lungo la corda ed il suo
valore è ben approssimato dal valor medio fornito dalla formula di Jourawsky. Detta s un’ascissa
curvilinea lungo la linea media la formula di Jourawsky fornisce:
*y x
mx
T S ss
I b s
8
in cui:
- *xS s è il momento statico del dominio * s staccato su dalla corda s ortogonale a
all’ascissa s, e avente sm quale normale uscente;
- b s è la lunghezza della corda s .
Se la sezione non gode di simmetria rispetto all’asse baricentrico parallelo a t occorre determinare
anche la posizione del centro di flessione.
Se y yTt a l’ascissa del centro di flessione è fornita da:
tF
y
MxT
=
in cui tM è il momento torcente rispetto a G del campo dovuto a taglio retto yT .
Se x xTt a l’ordinata del centro di flessione è fornita da:
tF
x
MyT
=
in cui tM è il momento torcente rispetto a G del campo dovuto a taglio retto xT .
9
Sezioni tubolari simmetriche
Se la sezione è biconnessa o pluriconnessa la condizione di equilibrio espressa dalla formula di
Jourawsky non è da sola sufficiente a determinare la tensione media sulla corda. Infatti, per isolare un
domino * è necessario considerare C corde (con C grado di connessione della sezione).
Tuttavia, se la sezione gode di proprietà di simmetria, il grado di iperstaticità si abbassa. E’ infatti
sempre possibile considerare un dominio * , anch’esso simmetrico, per il quale gli sforzi di
scorrimento risultino a due a due uguali. Nel caso di sezione tubolare la simmetria rende il problema
isostatico ed è possibile esprimere la tensione tangenziale attraverso la formula di Jourawsky, come:
10
*12
y xm
x
T S ss
I b s
in cui:
- *xS s è il momento statico del dominio * s staccato su dalle corde simmetriche A e B;
- b s è la lunghezza della corda s .
11
ESERCIZIO TAGLIO N. 1 – PROFILO IPE
Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Siano:
1
2
4
200 mm100 mm5,6 mm8,5 mm
5 10 Ny
hbaa
T
12
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4x
2724,80 mm ; I 18455902, 27 mmA
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto:
Diagramma delle tensioni tangenziali
1
2
3
: 0,50
: 0,191.5
: 0,50
s
s
s
13
*
x
3 4
x
21 1 1 1 1 1 1
22 2 2
22 2 2
I
2.7 10 N/mmI
191.58.5 , 0 0, 50 12.97 N/mm8.5 2
191.5 191.52 8.5 50 5.6 5.6 2 2 2
0 39.37 N/mm ,
yx
y
Ts S s
b sT
k
ks s s s
sks s
s
2 22 2 2
3 3 3
2 23 3 3 3
191.5 51.79 N/mm , 191.5 39.37 N/mm2
191.58.58.5 2
0 0 N/mm , 50 12.97 N/mm
s s
ks s
s s
- Il centro di taglio si trova sull’asse y (asse di simmetria).
14
ESERCIZIO TAGLIO N. 2 – PROFILO IPE
Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Siano:
1
2
4
200 mm100 mm5,6 mm8,5 mm
5 10 Ny
hbaa
T
15
Lo stato di sollecitazione indotto sulla sezione dalla forza tagliante Ty è staticamente equivalente ad una forza tagliante
applicata sul centro di taglio e ad un momento torcente Mt derivante dal trasporto di Ty .
62.5 10 N mm2t ybM T
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4x
2724,80 mm ; I 18455902, 27 mmA
SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO
Diagramma delle tensioni tangenziali dovute a taglio
1
2
3
: 0,50
: 0,191.5
: 0,50
s
s
s
16
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto:
*
x
3 4
x
21 1 1 1 1 1 1
22 2 2
22 2 2
I
2.7 10 N/mmI
191.58.5 , 0 0, 50 12.97 N/mm8.5 2
191.5 191.52 8.5 50 5.6 5.6 2 2 2
0 39.37 N/mm ,
yx
y
Ts S s
b sT
k
ks s s s
sks s
s
2 22 2 2
3 3 3
2 23 3 3 3
191.5 51.79 N/mm , 191.5 39.37 N/mm2
191.58.58.5 2
0 0 N/mm , 50 12.97 N/mm
s s
ks s
s s
- Il centro di taglio si trova sull’asse y (asse di simmetria).
17
SOTTOPROBLEMA DI TORSIONE UNIFORME
62.5 10 N mmtM
- Calcolo delle rigidezze torsionali delle parti componenti la sezione:
31 3
32
1 2 3
1 100 8.5 20470.831 183 5.6 10712.63
51654.2
i i i i
jj
K G J G J
K G G K
K G G
K K K K G
18
- Ripartizione del momento torcente nelle parti componenti la sezione:
tt
tt1 1 t3
tt 2 2
990762 N mm
518475 N mm
i ij
j
jj
jj
MM KK
MM K MK
MM KK
- Calcolo della tensione tangenziale massima in ogni parte componente la sezione:
2t1max1 max3
1
2t 2max2
2
8,5 411.39 N/mm
5,6 271.03 N/mm
MJMJ
19
Diagramma delle tensioni tangenziali dovute a torsione
20
ESERCIZIO TAGLIO N. 3 – PROFILO T
Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Siano:
1
2
4
100 mm80 mm6 mm8 mm
5 10 Ny
hbaa
T
21
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4x0
1192 mm ;I 1133696,93 mm ;
72,85 mm.G
A
y
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto:
Diagramma delle tensioni tangenziali
1
2
: 0, 40
: 0,96
s
s
22
*
x
3 4
x
21 1 1 1 1 1 1
22 2 2
2 22 2 2 2
I
44 10 N/mmI
8 96 , 0 0, 40 40.85 N/mm8
2 8 40 96 6 96 6 2
0 108.93 N/mm , 96 120.74 N/mm ,
yx
y
G
G G
G
Ts S s
b sT
k
ks s y s s
sks y s y
s s y
2
2 2 96 0 N/mms
- Il centro di taglio si trova sull’asse y (asse di simmetria).
23
ESERCIZIO TAGLIO N. 4 – PROFILO T
Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Siano:
1
2
4
100 mm80 mm6 mm8 mm
5 10 Ny
hbaa
T
24
Lo stato di sollecitazione indotto sulla sezione dalla forza tagliante Ty è staticamente equivalente ad una forza tagliante
applicata sul centro di taglio e ad un momento torcente Mt derivante dal trasporto di Ty .
62 10 N mm2t ybM T
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4x0
1192 mm ;I 1133696,93 mm ;
72,85 mm.G
A
y
SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO
Diagramma delle tensioni tangenziali dovute a taglio
1
2
: 0, 40
: 0,96
s
s
25
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto:
*
x
3 4
x
21 1 1 1 1 1 1
22 2 2
2 22 2 2 2
I
44 10 N/mmI
8 96 , 0 0, 40 40.85 N/mm8
2 8 40 96 6 96 6 2
0 108.93 N/mm , 96 120.74 N/mm ,
yx
y
G
G G
G
Ts S s
b sT
k
ks s y s s
sks y s y
s s y
2
2 2 96 0 N/mms
- Il centro di taglio si trova sull’asse y (asse di simmetria).
SOTTOPROBLEMA DI TORSIONE UNIFORME
62 10 N mmtM
26
- Calcolo delle rigidezze torsionali delle parti componenti la sezione:
31
32
1 2
1 96 6 691231 80 8 13653.33
20565.3
i i i i
jj
K G J G J
K G G
K G G
K K K G
- Ripartizione del momento torcente nelle parti componenti la sezione:
tt
tt1 1
6tt2 2
672199 N mm
1.328 10 N mm
i ij
j
jj
jj
MM KK
MM KK
MM KK
- Calcolo della tensione tangenziale massima in ogni parte componente la sezione:
2t1max1
1
2t 2max 2
2
6 583.50 N/mm
8 778 N/mm
MJMJ
27
Diagramma delle tensioni tangenziali dovute a torsione
28
ESERCIZIO TAGLIO N. 5
Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Sia: 410 NyT
29
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4 4x
13600 mm ; I 8221 10 mm .A
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto:
Diagramma delle tensioni tangenziali
1
2
3
4
5
: 0, 40
: 0,100
: 0, 200
: 0, 40
: 0,100
s
s
s
s
s
30
*
x
4 4
x
211 1 1 1 1 1 1
2 2 2
2 22 2 2 2
I
1.21 10 N/mmI
20 50 , 0 0, 40 0.34 N/mm20 2
4020 40 50 20 100 20 2
0 0.34 N/mm , 100 1.56 N/mm
yx
y
Ts S s
b sT
k
sks s s s
ks s
s s
33 3 3
2 2 23 3 3 3 3 3
44 4 4 4 4 4 4
402 20 40 50 2 20 100 100 20 10020 2 2
0 3.11 N/mm , 100 3.72 N/mm , 200 3.11 N/mm
20 50 , 0 0, 40 0.34 20 2
sks s
s s s
sks s s s
2
5 5 5
2 25 5 5 5
N/mm
4020 40 50 20 10020 2
0 0.34 N/mm , 100 1.56 N/mm
ks s
s s
- Il centro di taglio si trova sull’asse y (asse di simmetria).
31
ESERCIZIO TAGLIO N. 6
Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Sia: 43 10 NyT
32
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4 4x
16000 mm ; I 18033 10 mm .A
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto:
Diagramma delle tensioni tangenziali
1
2
: 0,100
: 0,300
s
s
33
*
x
4 4
x
21 1 1 1 1 1 1
22 2 2
2 22 2 2 2
2 2
I
1.66 10 N/mmI
10 150 , 0 0, 100 2.5 N/mm10
10 100 150 20 150 20 2
0 1.25 N/mm , 300 1.25 N/mm
15
yx
y
Ts S s
b sT
k
ks s s s
sks s
s s
s
20 3.12 N/mm
- Il centro di taglio si trova sull’asse y (asse di simmetria).
34
ESERCIZIO TAGLIO N. 7
Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Sia:
20 kNyT
35
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
3 4x
2296 mm ; I 11561.82 10 mm .A
SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO:
Diagramma delle tensioni tangenziali dovute a taglio
1
2
3
4
: 0,50
: 0,50
: 0, 200
: 0,50
s
s
s
s
36
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto
*
x
3 4
x
I
1.73 10 N/mmI
yx
y
Ts S s
b sT
k
211 1 1 1 1 1 1
2 2 2
2 22 2 2 2
3 3
2 38.19 , 0 0, 50 5.46 N/mm2 2
1 502 50 38.19 2 4 88.19 2 4 2
0 1.37 N/mm , 50 9.0 N/mm
1 502 50 38.19 2 4 52 4 2
sks s s s
ks s
s s
ks
33
2 2 23 3 3 3 3 3
24 4 4 4 4 4 4
0 88.19 2 4 88.19 2
0 9.0 N/mm , 200 4.91 N/mm , 88.19 15.72 N/mm1 2 2 111.81 , 0 0, 50 9.67 N/mm2 2
ss
s s sks s s s
- Il centro di taglio si trova sull’asse y (asse di simmetria).
Poiché la forza di taglio non è applicata sull’asse di simmetria essa genera momento torcente sulla sezione.
37
SOTTOPROBLEMA DI TORSIONE UNIFORME:
2
6t
206000 N/mm 0,3
50 10 N mmy
E
M T
- Calcolo delle rigidezze torsionali delle parti componenti la sezione:
31
226
2
61 2
1 46 2 122.673
4 200 1004 9.14 10d 2 200 100 1004 4 2
9.143 10
i i i i
jj
K G J G J
K G G
GGK Gsb s
K K K G
38
- Ripartizione del momento torcente nelle parti componenti la sezione:
tt
tt1 1
tt 2 2
13.41 N mm
999987 N mm
i ij
j
jj
jj
MM KK
MM KK
MM KK
- Calcolo della tensione tangenziale massima in ogni parte componente la sezione:
2t1max1
1
2t2max2
2t2max2
2 0.22 N/mm
4 6.25 N/mm2 4
2 12.5 N/mm2 2
MJ
Mb
Mb
39
Diagramma delle tensioni tangenziali dovute a torsione
40
ESERCIZIO TAGLIO N. 8
Data la sezione in figura, sollecitata da due forze taglianti Ty e Tx:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Siano:
100 kN
100 kNy
x
T
T
41
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4 4x
4 4y
9900 mm ; I 11137.7 10 mm ;
I 8008,3 10 mm .
A
SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO SECONDO y
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto per Ty :
Diagramma delle tensioni tangenziali per Ty
1
2
3
4
: 0,100
: 0,100
: 0, 200
: 0, 200
s
s
s
s
42
*
x
4 4
x
I
8.9 10 N/mmI
yx
y
Ts S s
b sT
k
211 1 1 1 1 1 1
2 2 2
2 22 2 2 2
10 189.9 , 0 0, 100 12.57 N/mm10 2
10010 100 189.9 10 89.9 10 2
0 12.57 N/mm , 100 20.64 N/mm
sks s s s
ks s
s s
33 3 3
2 23 3 3 3
23 3
4 4 4
24 4 4 4
1002 10 100 189.9 2 10 100 89.9 10 89.910 2 2
0 41.27 N/mm , 200 39.45 N/mm
89.9 44.9 N/mm
10 115.110
0 0 N/mm , 200 20.67
sks s
s s
sks s
s s
2 N/mm
43
SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO SECONDO x
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto per Tx :
Diagramma delle tensioni tangenziali per Tx
1
2
3
4
5
6
: 0,100
: 0,100
: 0,100
: 0,100
: 0, 200
: 0, 400
s
s
s
s
s
s
44
*
y
3 4
y
21 1 1 1 1 1 1
22 2 2
2 22 2 2 2
3
I
1.25 10 N/mmI
10 100 , 0 0, 100 12.48 N/mm10
10 100 100 10 100 10 2
0 12.48 N/mm , 100 18.73 N/mm
xy
x
Ts S sb s
Tk
ks s s s
sks s
s s
s
23 3 3 3 3 3
44 4 4
2 24 4 4 4
5 5
66 6 6
6 6
10 100 , 0 0, 100 12.48 N/mm10
10 100 100 10 100 10 2
0 12.48 N/mm , 100 18.73 N/mm
0
10 200 10 2
k s s s
sks s
s s
s
sks s
s
2 2 2
6 6 6 60 0 N/mm , 200 24.97 N/mm , 400 0 N/mms s
Dall’equilibrio dei momenti rispetto al baricentro G, con la notazione in figura, si determina la posizione yF del centro
di taglio.
45
100
10
100
2 40
400
60
110.08 200 89.92
10
10 10
10
55.85 mm
c a b x F
a
b
c
F
F F F T y
F ds
F ds
F ds
y
La sezione è, dunque, sollecitata anche da momento torcente, dato da:
6t 5.58 10 N mmx FM T y
46
ESERCIZIO TAGLIO N. 9
Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
70 kNyT
47
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4 4x
4 4y
8200 mm ; I 3551.8 10 mm ;
I 1787.3 10 mm .
A
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto:
Diagramma delle tensioni tangenziali dovute a taglio
1
2
3
4
: 0,110
: 0, 200
: 0,110
: 0,110
s
s
s
s
48
*
x
3 4
x
I
1.97 10 N/mmI
yx
y
Ts S s
b sT
k
21 1 1 1 1 1 1
22 2 2
2 2 22 2 2 2 2 2
3 3
10 100 , 0 0, 110 21.68 N/mm10
10 110 100 20 100 20 2
0 10.84 N/mm , 200 10.84 N/mm , 100 20.7 N/mm
10 110 100 20 2010
ks s s s
sks s
s s s
ks
3
2 23 3 3 3
4 4
2000 100 10 1002
0 21.68 N/mm , 110 0 N/mm
0
s
s s
s
Dall’equilibrio dei momenti rispetto al baricentro G, con la notazione in figura, si determina la posizione xF del centro
di taglio.
100
10
200
10
28.15 mm
a y F
a
F
F T x
F ds
x
La sezione è, dunque, sollecitata anche da una momenti torcente, dato da: 6
t 110 9.67 10 N mmy FM T x
49
ESERCIZIO TAGLIO N. 10
Data la sezione (in figura), sollecitata da una forza tagliante T:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Siano:
380 mm90 mm80 mm20 mm50 kN
abcsT
50
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4I
4II
22000 mm ; I 671773333.34 mm ;
I 216651878.78 mm ;45 ;140.18 mm;140.18 mm.
G
G
A
xy
SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO SECONDO I
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto per TI :
Diagramma delle tensioni tangenziali per TI
1
2
3
: 0,90
: 0,80
: 0,380
s
s
s
51
*III
II
4 4I
II
I
1.63 10 N/mmI
Ts S sb s
Tk
211 1 1 1 1 1 1
22 2 2
2 22 2 2 2
3 3
220 77.52 , 0 0, 90 1.61 N/mm20 2 2
90 2 220 90 77.52 20 141.67 20 2 2 2 2
0 1.61 N/mm , 80 3.08 N/mm
2
sks s s s
sks s
s s
ks
33
2 2 23 3 3 3 3 3
90 2 80 2 220 90 77.52 20 80 141.67 20 84.6 0 2 2 2 2 2 2
0 3.08 N/mm , 380 0 N/mm , 119.64 3.91 N/mm
ss
s s s
52
SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO SECONDO II
Diagramma delle tensioni tangenziali per TII
1
2
3
4
5
6
: 0,90
: 0,80
: 0,380
: 0,90
: 0,80
: 0,380
s
s
s
s
s
s
*III
I
5 4II
I
I
5.26 10 N/mmI
Ts S sb s
Tk
53
211 1 1 1 1 1 1
22 2 2
2 22 2 2 2
220 148.5 , 0 0, 90 2.65 N/mm20 2 2
90 2 220 90 148.5 20 212.13 20 2 2 2 2
0 2.65 N/mm , 80 5.79 N/mm
sks s s s
sks s
s s
33 3 3
2 23 3 3 3
44 4 4 4 4
90 2 80 2 220 90 148.5 20 80 212.13 20 268.7 20 2 2 2 2 2 2
0 5.79 N/mm , 380 14.12 N/mm
220 148.5 , 0 0, 20 2 2
sks s
s s
sks s s
24 4
55 5 5
2 25 5 5 5
6 6
90 2.65 N/mm
90 2 220 90 148.5 20 212.1320 2 2 2 2
0 2.65 N/mm , 80 5.79 N/mm
90 2 80 220 90 148.5 20 80 212.1320 2 2 2 2
s
sks s
s s
ks
66
2 26 6 6 6
220 268.7 2 2
0 5.79 N/mm , 380 14.12 N/mm
ss
s s
Dall’equilibrio dei momenti rispetto al baricentro G, con la notazione in figura, si determina la posizione xF del centro
di taglio.
54
II
90
10
80
20
380
30
2 50.18 2 249.8 2 130.2
20
20
10
722.3 mm
a b c F
a
b
c
F
F F F T x
F ds
F ds
F ds
x
La sezione è, dunque, sollecitata anche da una coppia torcente, il cui modulo è:
7t
2 390 760.6 3.80 10 N mm2F GM T x x T
55
ESERCIZIO TAGLIO N. 11
Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Siano:
200 mm300 mm10 mm
50 kNy
abs
T
56
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4x
33800 mm ; I 1177628942.9 mm .A
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto:
Diagramma delle tensioni tangenziali dovute a taglio
1
2
3
4
5
: 0, 200
: 0,500
: 0, 200
: 0, 200
: 0, 200
s
s
s
s
s
57
*
x
5 4
x
I
4.24 10 N/mmI
yx
y
Ts S s
b sT
k
21 1 1 1 1 1 1
22 2 2
2 2 22 2 2 2 2 2
3 3 3
10 355.08 , 0 0, 200 3.01 N/mm10
10 200 355.08 10 355.08 10 2
0 3.01 N/mm , 500 5.25 N/mm , 355.08 5.69 N/mm
1010
ks s s s
sks s
s s s
ks s
3
2 2 23 3 3 3 3 3
4 4 4
24 4 4 4
5 5
55.08 2
0 0 N/mm , 200 0.38 N/mm , 55.08 0.06 N/mm
20010 200 55.08 20 144.92 20 2
0 0.19, 200 1.42 N/mm
10 200 3520
s
s s s
ks s
s s
ks
5
25 5 5 5
500 2005.08 10 500 355.08 10 200 55.082 2
20 200 144.92 20 144.92
0 1.2, 200 0 N/mm
s
s s
- Il centro di taglio si trova sull’asse y (asse di simmetria).
Poiché la forza di taglio non è applicata sull’asse di simmetria essa genera momento torcente sulla sezione, pari a:
7t 10 N mmyM T a