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Statistica Applicata per l’Ingegneria Industriale -Generazione di numeri casuali – Parte 2 1

Statistica Applicata per l’Ingegneria

Industriale

Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

Esercitazione con generatori di numeri casuali

Seconda parte

Statistica Applicata per l’Ingegneria

Industriale

Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

Sommario

• Trasformazioni di Variabili Aleatorie

– Trasformazione non lineare: numeri casuali di tipo Log-normale

– Numeri casuali di tipo T di student

• Vettori di numeri casuali

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Statistica Applicata per l’Ingegneria

Industriale

Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

Introduzione

• Nelle lezioni di teoria si è visto come funzioni di variabili aleatorie siano anche esse variabili aleatorie.

• Trasformazioni lineari preservano la natura del tipo di variabile aleatoria

• In particolare, trasformazioni lineari di VA Gaussiane sono ancora Gaussiane

• Tale proprietà non è in genere verificata per trasformazioni non lineari

Teoria

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Industriale

Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

Esercizio• Si generi un vettore di 10000 numeri casuali provenienti da una

variabile aleatoria di tipo Gaussiano di media m = 1.0 e deviazione standard s=0.5 (Toolbox Statistics: normrnd; Stixbox: rnorm)

• Di ciascun esito casuale valutare la seguente trasformazione non lineare

– Z = exp(Y)

• Calcolare media e varianza del nuovo campione di dati z

1. Rappresentare graficamente il campione di dati

2. Rappresentare in un opportuno istogramma normalizzato la distribuzione dei dati (comando histo)

3. Confrontare l’istogramma con la funzione densità di probabilità di tipo lognormale con parametri lambda = 1.0 e zeta = 0.5

– (la funzione densità di probabilità per la lognormale è disponibilecon il toolbox statistics, con il comando lognpdf, e con stixboxcon il comando dlognorm)

4. Commentare eventualmente i risultati

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Esercizio (continua)

• La variabile aleatoria di tipo Lognormale è una derivata della gaussiana

• La media e la varianza della lognormale non coincidono con la media e la varianza della Gaussiana generatrice

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

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Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

Esercizio – Trasformazioni non lineari

• Si generino i seguenti gruppi di numeri casuali:

– 5 vettori colonna di numeri casuali provenienti da una variabile aleatoria normale di tipo standard ovvero di media 0 e varianza 1

– Si consideri la seguente combinazione (non lineare) dei numeri casuali così generati

• Rappresentare graficamente il nuovo vettore di numeri casuali z

• Rappresentare i dati in un opportuno istogramma normalizzato usando il comando histo

2 2 2 22 3 4 5

x x x x

>> histo(z,400,0,1)

Programmi WEB (stixbox)

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• Per una rappresentazione grafica significativa si suggerisce di scalare gli assi in modo da evidenziare le variazioni nella zona di maggior interesse

• Confrontare i risultati dell’istogramma con la funzione densita di probabilità della T di student a 4 gradi di libertà

>> axis([-5,5,0, 0.45])

Xmin Xmax Ymin Ymax

>> xx = [-5:0.01:5];>> yy = tpdf(xx,4); (o alternativamente: yy = dt(xx,4);)>> hold on>> plot(xx,yy,'r')

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>> histo(z,400,0,1)

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Esercizio (continua)

• Confrontare infine con la funzione densità di probabilità di una Gaussiana standard

>> yg = normpdf(xx,0,1);>> plot(xx,yg,‘k')

alternativa (Stixbox):>> xx = [-5:0.01:5];>> yg = dnorm(xx,0,1);

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

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Variabili aleatorie vettorialiIntroduzione

• Nelle applicazioni, l’esito di un processo casuale può essere anche rappresentato da più componenti, e non da un semplice scalare

• Esempi:

– misure di concentrazione di più composti sullo stesso campione

– Misure di pressione e temperatura in un reattore nelle stesse condizioni

– etc. etc.

• In tal caso l’esito dell’esperienza aleatoria non è più uno scalare ma un vettore ad N dimensioni

Teoria

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Variabili aleatorie vettoriali

• Nella parte di teoria si è introdotto il concetto di variabile aleatoria di tipo Vettoriale.

• Il Toolbox Statistics di Matlab® permette di generare anche numeri casuali legati a variabili aleatorie di tipo vettoriale.

• L’unico tipo di VA presa in considerazione è di tipo normale (e quella cosiddetta di Student)

• Interesse soprattutto dal punto di vista didattico

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Istruzioni per l’uso

• Per generare numeri casuali (di tipo scalare) provenienti da una VA di tipo normale era necessario definire:

– La media

– La deviazione standard

• Nel caso di una VA vettoriale (di dimensione 2) sarà quindi necessario introdurre almeno:

– Due medie

– Due varianze

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Istruzioni per l’uso

• Le variabili da definire nel generatore di numeri casuali:

– Un vettore mu delle medie delle singole componenti della VA

– Una matrice sigma che includa le varianze delle singole componenti della VA e le covarianze esistenti tra le VA

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Creazione di numeri casuali vettorialiDefinizione media

• Come primo passo si definiscano le medie delle singole componenti.

• Ovvero:

– La marginale relativa a Y1 ha media 0

– La marginale relativa a Y2 ha media 0.

>> mu = [0,0]

mu =

0 0

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Creazione di numeri casuali vettorialiDefinizione varianza

• Le varianze delle singole marginali è definita nella matrice sigma. lungo la diagonale

• I termini fuori diagonale sono nulli (per il momento)

>> sigma = [1.0,0;0,2]

sigma =

1.0000 0

0 2.0000

Varianza di Y1

Varianza di Y2

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Generazione di numeri casuali vettoriali -Istruzioni

• È possibile ora generare coppie di numeri casuali di tipo vettoriali con le medie e le covarianze definite prima.

• Il comando da eseguire è:

>> xvec= mvnrnd(mu,sigma,n);

Output Input

Vettore media

della VA vettoriale

[d×1]

Matrice varianze della VA vettoriale

[d×d]

Numero di coppie di numeri

casuali da generare

(scalare: n)

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Matrice numeri casuali generati. [n×d]

Ciascuna riga si riferisce ad un’esperienza.

Le colonne sono le differenti componenti

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Variabili aleatorie vettoriali – Analisi delle singole componenti

• Rappresentazione su grafico delle osservazioni della prima componente del vettore di numeri casuali

• Rappresentazione su istogramma (normalizzato) della prima componente del campione

>> xvec1 = xvec(:,1)

>> plot(xvec1,’r.’);

>> histo(xvec1, 40, 0, 1)

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Variabili aleatorie vettoriali – Analisi delle singole componenti

• Confronto con la pdf di una VA scalare Gaussiana di media e varianza coincidenti con la prima componente:

• Stima scalari associati alla prima componente del campione (da confrontare quindi con la marginale Y1):

>> mean(xvec1)

>> var(xvec1)

>> hold on>> xx = [-3:0.05:3]’;>> yy = normpdf(xx,0,sqrt(0.5));>> plot(xx,yy,’r-’)

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Variabili aleatorie vettoriali – Analisi delle singole componenti

• Ripetere la procedura per la seconda componente.

• In particolare:

– Valutare media e varianza

– Confrontare graficamente l’istogramma delle frequenze relative normalizzato con la pdf di una Gaussiana di media m=0 e deviazione standard s = √2

• È possibile trarre delle prime conclusioni sul set di dati?

>> xvec2 = xvec(:,2)

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Variabili aleatorie vettoriali

• Più interessante potrebbe essere l’analisi CONGIUNTA delle due componenti

>> cov(xvec1,xvec2)

>> corrcoef(xvec1,xvec2)

• Anche per via grafica:

>> plot(xvec1,xvec2,’r.’)

>> axis square

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-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-6

-4

-2

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Variabili aleatorie vettoriali

• È possibile rappresentare la frequenza assoluta con cui si osservano i risultati nel piano x1-x2:

• È possibile anche una rappresentazione tridimensionale della frequenza relativa

>> gkde2(xvec)

>> histogram2(xvec)

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Variabili aleatorie vettoriali

• Esercizio:

• Si ripeta la procedura considerando il seguente vettore media e la seguente matrice di covarianza:

>> mu = [0, 0]’;

>> sigma = [1.0, 1.3; 1.3, 2.0];

• Commentare i risultati

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• Esercizio:

• Si ripeta la procedura considerando il seguente vettore media e la seguente matrice di covarianza:

>> mu = [0, 0]’;

>> sigma = [1.0,sqrt(2)-0.001;sqrt(2)-0.001,2.0];

• Commentare i risultati

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Generazione di numeri casuali - Esempio• In conclusione:

• Entrambi le componenti Y1 e Y2 sono casuali e la probabilità che ciascuna di esse (indipendentemente dall’altra) assuma un certo valore è stabilito dalla sua media e varianza.

• PERÒ …

• La probabilità che Y1 assuma un certo valore è sensibilmente condizionata da quello che fa Y2, e viceversa.

• Le Variabili Aleatorie Y1 e Y2 sono DIPENDENTI.

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Generazione di numeri casuali di tipo vettoriale - Considerazioni

• La dipendenza tra le due VA Y1 e Y2 è stabilita dal termine fuori diagonale della matrice

• La matrice in questione prende il nome di Matrice di Covarianza

• Nel primo caso (termine fuori diagonale nullo) la dispersione di Y1 non dipendeva da Y2 (e viceversa).

• Le VA erano INDIPENDENTI