Do
tt.ssa D
on
ate
lla C
occa
Intro
du
zion
e al P
ian
o C
artesia
no
IL R
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EN
TO
CA
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IAN
O
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riferimen
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ellea
scisse)e
asse
y(o
asse
delle
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ina
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endico
laritra
loro
.Il
pu
nto
0d
iin
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di
talirette
èch
iamato
orig
ine.
Fissiam
osu
di
esseo
ltread
un
verso
anch
eu
n’u
nità
di
misu
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po
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intro
du
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con
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i
coo
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Co
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un
arbitrario
pu
nto
Pd
el
pian
oal
quale
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ou
nco
pp
iadi
nu
meri
reali(x
1 ,y1 )
ov
ex
1in
dica
la
pro
iezion
edi
Psu
ll’assed
elleascisse
ey
1
lap
roiezio
ne
di
Psu
ll’assed
elleo
rdin
ate.
Le
coo
rdin
atex
1e
y1
indiv
idu
ano
ilpu
nto
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mo
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un
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son
od
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ord
ina
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cartesia
ne
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pu
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P
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Per
determ
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istanza
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A ;y
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Per
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iod
iu
n
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ento
M(x
M;
yM
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le
2
AB
2
AB
)(
)(
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yy
xx
−+
−=
segm
ento
M(x
M;
yM
),co
nsid
eriamo
le
pro
iezioni
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M1 ,
B1
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A,
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B
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x.
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sih
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xx
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x
BA
AB
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11
11
M
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−+
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2
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yB
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M
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+
+
2;
2M
yy
xx
BA
BA
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La
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un
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pian
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toal
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o
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ne
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y+c=
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ne
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B;
yB )
du
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unti
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o
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di
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P:A
Bed
an
che:
SR
:TS
=B
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B.
E,
ug
uag
liand
oi
prim
i
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po
ssiamo
scrivere:
Eq
ua
zion
e di u
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Eq
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B−
xA
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iamo:
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B−
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B=
0.
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e,p
osto
−ax
B−
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B=
csi
ha: y
y
yy
xx
xx
yy
yy
xx
xx
BA
B
BA
B
AB
B
AB
B
− −
=− −
⇒− −
=− −
otten
iamo:
ax+
by−
ax
B−
by
B=
0.
Infin
e,p
osto
−ax
B−
by
B=
csi
ha:
ax+
by+
c=0
(1)
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ella retta
No
tiamo
che
un
pu
nto
app
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di
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azion
e(1
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dd
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equ
azion
e,o
vv
erola
rend
on
ou
na
iden
tità.
Casi
partico
lari:
�S
ea
=0
;b
≠0
;c≠
0si
ha
:
laretta
èp
arallelaall'asse
xb c
y−
=b c
y−
=y
x
Eq
ua
zion
e di u
na
retta
�S
ea
≠0
;b
=0
;c≠
0si
ha:
laretta
èp
arallelaall'asse
y
�S
e a≠
0; b
≠0
; c=0
si ha a
x+by=
0 la retta p
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rigin
e, infatti le
coo
rdin
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(0;0
) sod
disfan
o l'eq
uazio
ne d
ella retta.
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ea
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=0;
c=0
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ax
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uazio
ne
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ttii
a cx
−=
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x
y
�S
ea
≠0
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=0;
c=0
sih
ax
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uazio
ne
dell'asse
y(tu
ttii
suo
ip
un
tih
ann
oin
fattiascissa
nu
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�S
ea
=0
;b
≠0
;c=
0si
ha
y=
0ch
eè
l'equ
azion
ed
ell'assex
(tutti
i
suo
ip
un
tih
ann
oin
fattio
rdin
atan
ulla)
Eq
ua
zion
e di u
na
retta in
form
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licita
Div
idiam
ola
ax+
by+
c=0
per
b≠
0e
otten
iamo
:
yb c
xb a
y
0
b cy
xb a
−−
=⇒
=+
+
Eq
ua
zion
e di u
na
retta in
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a esp
licitaP
on
end
o:
sih
ay=
mx+
qè
l'equ
azion
erich
iesta.
Ilco
efficiente
msi
chiam
aco
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an
go
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(ind
icain
fattil'in
clinazio
ne
della
rettarisp
ettoal
semiasse
po
sitivo
delle
ascisse);
iln
um
eroq
sich
iama
ord
ina
taa
ll'orig
ine
(indica
qu
anto
staccala
rettasu
ll'assey
,in
fattiper
x=0⇒
y=q
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allafig
ura
seguen
tep
ossiam
oo
sservare
che
sela
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assap
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rigin
e(q
=0
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mx
qu
ind
i
b c-
q
e
b am
=−
=
⇒
osserv
arech
ese
laretta
passa
per
l'orig
ine
(q=
0)
y=m
xq
uin
di
edan
che
du
nq
ue,
ilco
efficiente
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olare
della
retta
passan
tep
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ue
pu
nti
dati
sio
ttiene
dal
rapp
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trala
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zad
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roo
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ate
ela
differen
zad
ellelo
roascisse.
O
KH P
N
Q
r
x ym
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xx
yy
PQ
PQ
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m− −
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Co
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ola
re
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laretta
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terzo
qu
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i)
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em
<0
laretta
giace
nel
secon
do
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uarto
qu
adran
te(ascissa
eo
rdin
ataso
no
disco
rdi)
0m
>
qu
adran
te(ascissa
eo
rdin
ataso
no
disco
rdi)
�S
em
=1
(cioè
y=x)
laretta
èla
bisettrice
del
prim
oe
terzoq
uad
rante
�S
em
=-1
(cioè
y=-x)
laretta
èla
bisettrice
del
secon
do
eq
uarto
qu
adran
te
0m
<
1m
=
1m
−=
Co
efficiente a
ng
ola
re
Esem
pio
:C
alcolare
ilco
efficiente
ang
olare
delle
segu
enti
rette
Co
nsid
erole
segu
enti
rette:
1)
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=0
2)
y+
4x
=0
3)
7y
-2x
+9
=0
Calco
liamo
ilco
efficiente
ang
olare:
1)
2)
3)
2 1 m
2 1
x2 1
y=
⇒+
=
4- m
x 4
y=
⇒−
=
9 2 m
7 9
x7 2
y=
⇒−
=
Retta
pa
ssan
te per u
n p
un
to
Co
nsid
eriamo
ilgen
ericop
un
toP
(x0 ,y
0 )le
infin
iterette
(fasciod
irette)
passan
tip
erq
uel
pu
nto
han
no
laseg
uen
teeq
uazio
ne
:
a(x-x
0 )+b
(y-y0 )=
0⇒
y-y0 =
-a/b
(x-x0 )
cioè
y-y0
= m
(x-x0 )
Rette p
ara
lleli, perp
end
icola
ri dista
nza
di u
n p
un
to d
a
un
a retta
Sian
od
ated
ue
retter:
y=m
1 x+q
1ed
s:
y=m
2 x+q
2si
ha
che:
�r
eds
son
oP
ara
llelise
eso
lose:
m=
m1 =
m2
�r
eds
son
oP
erpen
dico
lari
see
solo
se:m
=m
1 =-1
/m2
�C
on
sidero
ilg
enerico
pu
nto
P(x
0 ,y0 )
ela
rettagen
ericar
.L
a
dista
nza
dd
elp
un
tod
allaretta
èd
atad
a:
ba
yb
xa
22
00
cd
+
++
=
Fa
scio d
i rette pro
prio
E'l'in
sieme
di
tutte
lerette
che
passan
op
eru
n
pu
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.P
erd
etermin
arel'eq
uazio
ne
di
un
fasciod
irette
chiam
iamo
(x0 ,y
0 )il
centro
del
fascioe
(x,y)
ilp
un
tog
enerico
di
un
aretta
qu
alun
qu
ed
elfascio
.S
em
èil
coefficien
te
ang
olare
della
rettap
resain
esame
avrem
o:
yy
−
Si
pu
òn
otare
che
per
og
ni
md
iverso
avrem
ou
na
div
ersaretta
del
fascio,n
eseg
ue
che
l'equ
azio
ne
del
fascio
di
retteè:
y -
y0
= m
(x -
x0 )
xx
yy
0 0m
− −=
Fa
scio d
i rette imp
rop
rio
Si
defin
iscefascio
di
retteim
pro
prie
l'insiem
ed
itu
ttele
rettep
arallelead
un
aretta
data.
Visto
che
lerette
son
otu
tteparallele
allora
da
un
aretta
all'altravarierà
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all'orig
ine,
cioè
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qu
indi
l’equ
azion
eall'o
rigin
e,cio
èq
,q
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di
l’equ
azion
e
gen
ericad
elfascio
è:
y =
m1 x
+ q
do
ve
qe'v
aria
bile
edm
1e'u
nn
um
erod
ato
.
Esercizi su
lle rette
Esercizio
1:
Scrivere
l'equ
azio
ne
della
rettap
assa
nte
per
ilp
unto
A(2
,-1)
eda
vente
coefficien
tea
ng
ola
re5
.
Utilizziam
ola
form
ula
dell'eq
uazio
ne
della
rettap
assante
per
un
pu
nto
:
y -y
0=
m(x -
x0 )
So
stituen
do
sih
a:
y-
(-1)
=5
(x-
2)
⇒y
=5
x–
11
Esercizio
2:
Esercizio
2:
Scrivere
l'equ
azio
ne
della
rettap
assa
nte
per
ip
unti
A(-2
,3)
eB
(1,-5
).
Utilizziam
ola
form
ula
dell'eq
uazio
ne
della
rettap
assante
per
du
ep
un
ti
sih
a:
07
3y
8x
21
2x
35
3y
=+
+⇒
+ +=
−−
−
Esercizi su
lle rette
Esercizio
3:
Scrivere
l'equ
azio
ne
della
rettap
assa
nte
per
A(3
,0)
e
pa
rallela
alla
rettar
di
equ
azio
ne:
y=
-2x
+5
.
La
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ha
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tean
golare
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-2.
Utilizziam
ola
form
ula
dell'eq
uazio
ne
della
rettap
assante
per
un
pu
nto
.S
ostitu
end
osi
ottien
e:
y-
0=
-2(x
-3
)⇒
y=
-2x
+6
Esercizio
4:
Scrivi
l'equ
azio
ne
della
rettap
assa
nte
per
A(-2
,1)
eE
sercizio4
:S
crivil'eq
uazio
ne
della
rettap
assa
nte
per
A(-2
,1)
e
perp
end
icola
rea
llaretta
rd
ieq
uazio
ne
y=
-1/2
x+
3.
La
rettar
ha
coefficien
tean
go
larem
=-1
/2q
uin
di
ilco
efficiente
ang
olare
della
rettarich
iestaè:
m=
2.
Utilizziam
ola
form
ula
dell'eq
uazio
ne
della
rettap
assante
per
un
pu
nto
.
So
stituen
do
sio
ttiene:
y -1
= 2
(x +2) ⇒
y = 2
x -5
La
Circo
nferen
za
Nella
geo
metria
euclid
ea,u
na
circon
ferenza
èil
luo
go
dei
pu
nti
del
pian
oeq
uid
istanti
da
un
pu
nto
fisso,
detto
centro
.L
ad
istanza
di
questi
pu
nti
dal
centro
sid
efinisce
rag
gio
.
L’eq
uazio
ne
cartesiana
ocan
on
icad
ella
circon
ferenza
è:
x2+
y2-2
ax-2
by+
c=0 (1
)
do
ve
c=a
2+b
2-r2.
do
ve
c=a
2+b
2-r2.
IlC
entro
della
circon
ferenza:
C(a
,b).
L'eq
uazio
ne
della
circon
ferenza
con
centro
nell'o
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ee
ragg
ior
èd
atad
a:
x2+
y2=
r(2
)
Da
cui
siricav
ach
el’eq
uazio
ne
gen
ericad
ellacirco
nferen
zad
icen
tro
C(x
0 ,y0 )
erag
gio
r:(x-x
0 )2+
(y-y0 )
2=r
(3)
La
Circo
nferen
zaL
aco
nd
izion
ed
irealtà
della
circon
ferenza:
a2+
b2-c>
0
Co
efficiente
ang
olare
della
rettatan
gen
tein
un
suo
pu
nto
di
ascissax
0 :
Esercizio
1:
Scrivere
l'equ
azio
ne
della
circonferen
zad
icen
troil
pu
nto
C(-1
,2
)e
rag
gio
r=
3.
()
2
0
2
0
ax
r
ax
m−
−
−±
=
C(-1
,2
)e
rag
gio
r=
3.
L'eq
uazio
ne
della
circon
ferenza
sio
ttiene
imm
ediatam
ente
sostitu
endo
nella
gen
ericaeq
uazio
ne
(x-x0 )
2+(y-y
0 )2=
rle
coo
rdin
ated
elcen
troC
edil
valo
red
ir.
Si
ottien
e:
(x+1
)2+
(y-2)
2=9
esv
olg
end
oi
calcoli
avrem
o:
x2+
y2+
2x-4
y-4=
0
La
Circo
nferen
za
Esercizio
2:
Scrivere
l'equ
azio
ne
della
circonferen
zad
icen
troil
punto
C(2
,-3
)e
passa
nte
per
ilp
un
toP
=(-1
,1).
Inq
uesto
casoil
ragg
ion
on
èd
atodirettam
ente,
ma
sicalco
la
imm
ediatam
ente
com
ed
istanza
trai
du
ep
un
tiC
eP
.
()
()
()
()
516
91
31
22
22
2=
+=
−−
++
=−
+−
=p
cp
cy
yx
xrL'eq
uazio
ne
della
circon
ferenza,
ora
siottien
eso
stituen
do
nella
gen
ericaeq
uazio
ne
(x-x0 )
2+(y-y
0 )2=
rle
coo
rdin
ated
elcen
troC
edil
valo
red
ir:
(x-2)
2+(y+
3)
2=2
5e
svo
lgen
do
icalco
liav
remo
:
x2+
y2-4
x+6y-1
2=
0
Le co
nich
e
Ing
eom
etriaan
alitica,co
nsezio
ne
con
ica,
osem
plicem
ente
con
ica,
si
inten
de
gen
ericamen
teu
na
curv
ap
iana
che
sialu
og
od
eip
unti
otten
ibili
intersecan
do
lasu
perficie
di
un
con
ocirco
lareretto
con
un
pian
o.
La
sup
erficieco
nica
può
esserein
tersecatad
aun
pian
oα
no
np
assante
per
ilv
erticed
elco
no
Vin
trem
od
id
istinti:
Le co
nich
e
�S
eil
con
oè
intersecato
da
pian
ich
eco
nil
suo
assefo
rman
oan
go
li0<
θ≤
π/2
lasezio
ne,
così
otten
uta,
èu
na
ellisse.
Se,
inp
articolare,
il
pian
oè
anch
ep
erpen
dico
lareall'asse
lasezio
ne
è
un
acirco
nferen
za
�S
esi
interseca
ilco
no
con
un
pian
op
aralleloa
un
asu
aretta
gen
eratricesi
ottien
eu
na
conica
chiam
atap
ara
bo
la(co
me
siv
ede
infig
ura
AL
èu
na
gen
eratricedel
con
oed
ilpian
odi
intersezio
ne
èp
aralleload
AL
)
Le co
nich
e
�S
esi
interseca
ilco
no
con
un
pian
op
aralleloal
suo
assesi
determ
inan
ocu
rve
aperte
(eillim
itate)
chiam
ateip
erbo
li.
Le
curv
ep
receden
tiso
no
dette
con
iche
no
nd
egen
eri.V
iso
no
po
ile
cosid
dette
con
iche
deg
eneri
otten
ute
serven
do
sid
ipian
ich
ep
assano
per
ilv
erticeV
del
con
o
Le co
nich
e
Dal
pu
nto
di
vista
della
geo
metria
analitica
laco
nica
èu
na
curv
ach
e
vien
erap
presen
tatada
un
aeq
uazio
ne
di
secon
do
grad
oin
due
variab
ili.
Se
sico
nsid
eral'eq
uazio
ne
qu
adratica
nella
form
a:
si ha la seg
uen
te casistica:
0c
fy2
gx
2b
yh
xy2
ax
22
=+
++
++
�se h
2=
ab
, l'equ
azion
e rapp
resenta u
na p
ara
bo
la
�se h
2<
ab
e a=
be h
=0
, l'equ
azion
e determ
ina u
na ellisse
�se h
2>
ab
, l'equ
azion
e rapp
resenta u
na ip
erbo
le
La
pa
rab
ola
La
pa
rab
ola
èu
na
sezion
eco
nica
gen
eratad
all'intersezio
ne
di
un
con
ocirco
lareretto
eu
np
iano
parallelo
au
na
rettag
eneratrice
del
con
o.
La
pa
rab
ola
pu
òan
che
esseredefin
itaco
me
luo
go
geo
metrico
dei
punti
equ
idistan
tid
au
np
un
toF
detto
fuo
coe
un
aretta
rd
ettad
irettrice.L
aretta
passan
tep
eril
fuo
coe
perp
endico
larealla
direttrice
sich
iama
asse
della
parab
ola.
L'asse
della
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ola
èu
nasse
di
simm
etriae
interseca
lap
arabo
lan
elvertice.
Un
ap
ara
bo
laco
nasse
pa
rallelo
all'a
ssey
èrap
presen
tatada
all'a
ssey
èrap
presen
tatada
un
'equ
azion
ed
eltip
o:
y=a
x2+
bx
+c
Un
ap
ara
bo
laco
nasse
pa
rallelo
all'a
ssex
èrap
presen
tatada
un
'equ
azion
ed
eltip
o:
x=
ay
2+b
y+c
La
pa
rab
ola
: pa
ram
etri a, b
e c
1)
Ilco
efficiente
adeterm
ina
ilv
ersocu
iè
rivolta
laco
nca
vità(d
etta
anch
eap
ertura)
della
parab
ola
�a
> 0
: con
cavità v
erso l’alto
(ord
inate crescen
ti), vertice in
basso
�a
< 0
: con
cavità v
erso il b
asso (o
rdin
ate decrescen
ti), vertice in
alto
�a
= 0
: parab
ola d
egen
ere (in u
na retta)
La
pa
rab
ola
: pa
ram
etri a, b
e c
2)
Ico
efficienti
ae
bso
no
legati
allapo
sizion
edell'a
ssed
isim
metria
della
parab
ola,
l’equ
azion
ed
itale
rettap
arallelaall’asse
yè
:
3)
Ilp
unto
d’in
tersezione
della
parab
ola
con
l’assey
dip
end
edal
coefficien
tec
:il
valo
red
ell’ord
inata
di
talep
un
toè
pro
prio
c
L’o
rdin
ata
del
verticed
ipen
de
da
a,
be
ce
sip
uò
otten
ere
a2 b
x−
=
4)
L’o
rdin
ata
del
verticed
ipen
de
da
a,
be
ce
sip
uò
otten
ere
utilizzan
do
larelazio
ne:
5)
L’a
scissad
elvertice
dip
end
eda
ae
b:
ilsu
ovalo
resi
pu
òotten
ere
utilizzan
do
larelazio
ne:
xV =
-b/2
a a4
ac
4b
y2
V
+−
=
La
pa
rab
ola
: pa
ram
etri a, b
e c
6)
La
mu
tua
po
sizion
edi
parab
ola
easse
xd
ipen
de
da
a,
be
c,
più
precisam
ente
dalla
loro
com
bin
azion
eesp
ressad
alco
sidd
etto
discrim
ina
nte
:∆∆∆ ∆
=b
2-4
ac
�∆
>0
:l’asse
xè
secante
rispetto
allap
arabo
la
�∆
=0
:l’asse
xè
tang
ente
rispetto
allap
arabo
la
�∆
<0
:l’assex
èestern
oalla
parab
ola
La
pa
rab
ola
cara
tteristiche
Pa
rab
ola
con
asse
vertica
le
�D
iscrimin
an
te:∆
=b
2−
4a
c
�E
qu
azion
ed
ell'asse
di
simm
etria:
x=
-b/2
a
�C
oo
rdin
ated
elvertice:
V(-b
/2a
;-∆∆∆ ∆
/4a
)
�C
oo
rdin
ated
elfu
oco
:F
(-b/2
a;
(1- ∆ ∆ ∆ ∆
)/4a
)
La
pa
rab
ola
cara
tteristiche
�E
qu
azion
ed
ellad
irettrice:y=
-(1
+ ∆ ∆ ∆ ∆)/4
a
Pa
rab
ola
con
asse
orizzo
nta
le
�D
iscrimin
an
te:∆
=b
2−
4a
c
�E
qu
azion
ed
ell'asse
di
simm
etria:
y=-b
/2a
�C
oo
rdin
ated
elvertice:
V(-∆∆∆ ∆
/4a
;-b
/2a
)�
Co
ord
inate
del
vertice:V
(-∆∆∆ ∆/4
a;
-b/2
a)
�C
oo
rdin
ated
elfu
oco
:F
((1- ∆ ∆ ∆ ∆
)/4a
;-b
/2a
)
�E
qu
azion
ed
ellad
irettrice:x
=-
(1+ ∆ ∆ ∆ ∆
)/4a
La
pa
rab
ola
Esercizio
1:
Determ
inare
l'equ
azio
ne
della
para
bo
lap
assa
nte
per
i
pu
nti
A(-1
;3)
B(0
;4)
C(3
;-5)
Sap
piam
och
el’eq
uazio
ne
della
parab
ola
è:y
=ax
2+b
x+
c.S
ostitu
end
oi
trep
un
tiab
biam
o:
A(-1
;3)
⇒3
=a-b
+c
B(0
;4) ⇒
4=
+c
C(3
;-5) ⇒
-5=
9a+
3b
+c
Per
cui
dob
biam
oriso
lvere
ilsistem
ad
ieq
uazio
ne:
Per
cui
dob
biam
oriso
lvere
ilsistem
ad
ieq
uazio
ne:
Da
cui
otten
iamo
:c=
4;
b=
0;
a=-1
cioè
lap
arabo
lah
aeq
uazio
ne
y=
-x2+
4
=+
= =
⇒
=+
=
=
⇒
−=
++
=
=+
−
-93b
9-
9b
1-
ba
4c
-93b
9a
-1b
-a
4c
5c
b3
a9
4c
3c
ba
La
pa
rab
ola
Esercizio
2:
Determ
inare
l'equ
azio
ne
della
pa
rab
ola
aven
teil
vertice
inV
(1;3
)e
passa
nte
per
A(3
;-1)
Ilvertice
cifo
rnisce
du
eco
ndizio
ni
laterza
lafo
rnisce
ilp
assagg
ioper
ilp
un
toA
.Q
uin
di
abb
iamo
:
c3b
9a
1-
A
(3;-1
)
cb
a3
2a b
-1
)
3;1
(V
++
=⇒
++
= =⇒
Osserv
azione:
3=
a+
b+
cè
otten
uta
sostitu
end
ole
coord
inate
del
vertice
nell’eq
uazio
ne
della
parab
ola
(ilvertice
èu
npu
nto
della
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ola).
Ilsistem
ad
ariso
lvere
è:
La
parab
ola
ha
equ
azion
e:y
=-x
2+2
x+
2
cb
a3
+
+=
= = =
⇒
=+
+
+= =
⇒
−=
+−
=+
−
−=
2c
2b
-1a
-13
a3
a
3a
c
-2a
b
1c
a6
a9
3c
a2
a
a2
b
L’ip
erbo
le
L’ip
erbo
leè
un
asezio
ne
conica
gen
eratad
all'intersezio
ne
di
un
cono
circolare
rettoco
nu
np
iano
parallelo
alsu
oasse.
L’ip
erbole
pu
òan
che
esseredefin
itaco
me
luo
go
geo
metrico
dei
pu
nti
del
pian
op
eri
quali
risulta
costan
tela
differen
zad
elled
istanze
da
due
pu
nti
fissiF
1 ;F
2d
ettifu
och
i:
Co
nsid
eriamo
id
ue
fuo
chi
F1
edF
e
)1(
a
2P
FP
F2
1=
−
Co
nsid
eriamo
id
ue
fuo
chi
F1
edF
e
con
sideriam
oco
me
assex
laretta
passan
tep
eressi
eco
me
assey
laretta
adessa
perp
end
icolare
ep
assante
per
il
pu
nto
med
iod
i.
Detta
2c
lalo
ro
distan
za,i
fuo
chi
avran
no
coo
rdin
ate:
F1 (−
c;0) ed
F2
(c;0)
F2
F1
L’ip
erbo
le
Utilizzan
do
la(1
)tram
iteop
po
rtune
tramite
opp
ortu
ne
trasform
azioni
avrem
o:
equ
azion
ecartesian
ad
ell’iperb
ole
do
ve:
b2
=a
2-
c2.
La
(2)
èl’eq
uazio
ne
dell’ip
erbo
lech
e
(2)
1
b y
a x2 2
2 2
=−
La
(2)
èl’eq
uazio
ne
dell’ip
erbo
lech
e
interseca
l’assed
ellex.
Se
interseca
l’assed
elley
l’equ
azion
ed
iven
ta:
1
b y
a x2 2
2 2
−=
−
L’ip
erbo
le
Ca
siP
artico
lari:
�P
erx
=0
l’equ
azione
div
enta:
lacu
rva
no
nin
terseca
l’assey
�P
ery
=0
l’equ
azion
ed
iven
ta:
1
b y2 2
−=
ax
ax
a x
1
22
2 2
±=
⇒=
⇒=
lacu
rva
interseca
l’assex
nei
pu
nti
A1 (−
a;0
)A
2 (a;0
)ch
e
ven
go
no
chiam
ativertici
dell’ip
erbo
le.
L’ip
erbo
le
Co
nsid
eriamo
leseg
uen
tifo
rmu
lesu
ll’iperb
ole:
�E
qu
azion
ed
ell’iperb
ole
che
interseca
l’assex:
�F
uo
chi:
F1 (-c;0
)ed
F2 (c;0
)co
n
�A
sinto
ti:y=
(-b/a
)x,y=
b/a
x
1
b y
a x2 2
2 2
=−
ba
c2
2+=
�A
sinto
ti:y=
(-b/a
)x,y=
b/a
x
�E
ccentricità:
e=c/a
�C
oefficien
tean
go
lared
ellaretta
tang
ente
inu
nsu
op
un
todi
ascissa
x0 :
ax
xa b
m2
20
0
±±
=
L’ip
erbo
le
Co
nsid
eriamo
leseg
uen
tifo
rmu
lesu
ll’iperb
ole:
�E
qu
azion
ed
ell’iperb
ole
che
interseca
l’assey:
�F
uo
chi:
F1 (0
;-c)ed
F2 (0
;c)co
n
�A
sinto
ti:y=
(-b/a
)x,y=
b/a
x
1
b y
a x2 2
2 2
−=
−
ba
c2
2+=
�A
sinto
ti:y=
(-b/a
)x,y=
b/a
x
�E
ccentricità:
e=c/a
�C
oefficien
tean
go
lared
ellaretta
tangen
tein
un
suo
pu
nto
di
ord
inata
y0 :
ay
y
a bm
220
0
±±
=
L’ip
erbo
le
Se
gli
asinto
tiso
no
perp
end
icolari
(sea
=b
)l'ip
erbole
sid
iceip
erbo
le
equ
ilatera
.C
on
sideriam
ole
segu
enti
form
ule
sull’ip
erbo
leeq
uilatera:
�E
qu
azion
ed
ell’iperb
ole
equ
ilatera:
�L
un
gh
ezzad
elsem
iassetrasv
erso:
x cy
=
c 2a
=
�C
oo
rdin
ated
eiv
erticisu
lsem
iassetrasv
erso:A
1 (-;
)A
(;
)
con
c>0
�C
oo
rdin
ated
eifu
och
i:F
1 (-;-
)F
2(
;)
con
c>0
c
cc
cc
c2
c2
c2
c2
L’ip
erbo
le
La
figu
raseg
uen
tem
ostra
ilgrafico
di
un
’iperb
ole
equ
ilatera
con
equ
azion
e:y=
1/x
L’ip
erbo
le
La
figu
raseg
uen
tem
ostra
com
eal
variare
di
av
arial’eccen
tricità
dell’ip
erbo
le(rico
rdo
che
e=c/a
)
L’ip
erbo
le
Esercizio
1:
Scrivere
l'equ
azio
ne
dell'ip
erbo
lea
vente
per
assi
gli
assi
coo
rdin
ati
ep
assa
nte
per
ip
un
tiP
(2,3
),Q
(4,7
)
Se
imp
on
iamo
all'equ
azione
gen
eraledell'ip
erbo
leil
passag
gio
per
i
pu
nti
Pe
Qo
tteniam
o:
14
91
6
e
19
4
ba
ba
22
22
=−
=−
Po
nen
do
do
vrem
oriso
lvere
ilsistem
a:
Qu
ind
il’eq
uazio
ne
del’ip
erbo
leè:
ba
ba
ba
22
1v
e
1
u=
=
13 3
v
e
13
10
u
1
v49
u16
1v
9u
4=
=⇒
=−
=−
1
13 y
3
13 x
10
22
=−
L’ip
erbo
le
Ilcu
ig
raficoè:
L’ellisse
L’ellisse
èu
na
sezione
con
icag
enerata
dall'in
tersezione
di
un
con
o
circolare
rettoco
np
iani
che
con
ilsu
oasse
form
ano
ang
oli
0<
θ≤
π/2
.
L’ellisse
può
anch
eessere
defin
itaco
me
luo
go
geo
metrico
dei
pu
nti
del
pian
oper
iq
uali
risulta
costan
tela
som
ma
delle
distan
zeda
du
ep
un
ti
fissiF
1 ;F
2d
ettifu
och
i:
indich
iamo
con
2c
ladistan
zatra
id
ue
fuo
chi
eco
n2
ala
som
ma
id
ue
fuo
chi
eco
n2
ala
som
ma
costan
te.D
ettir
1ed
r2
led
istanze
da
un
pu
nto
della
curv
ad
alfu
oco
siav
rà:
)(
ar
r1
2
21
=+
L’ellisse
Dalla
defin
izione
sip
osso
no
ded
urre
facilmen
tele
seguen
tip
rop
rietà
di
simm
etria:
�la
rettaF
1 F2
(infig
ura
la
rettaA
B)
passan
teper
id
ue
fuo
chi
ela
rettaad
essa
perp
endico
larenel
suo
pu
nto
med
io(in
figu
rala
rettaC
D)
son
oassi
di
simm
etriap
erl'ellisse;
�il
pu
nto
Op
un
tom
edio
del
segm
ento
con
giu
ngen
te
id
ue
fuo
chi
(intersezio
ne
dei
preced
enti
assi)è
centro
di
simm
etriap
erl'ellisse.
O
L’ellisse
Utilizzan
do
la(1
)tram
iteo
pp
ortu
ne
tramite
op
po
rtune
trasform
azion
iav
remo
:
equ
azion
ecartesian
ad
ell’ellisse
(2)
1
2 2
2 2
=+
b y
a x
L’ellisse
Ca
siP
artico
lari:
�P
era
>b
l’assefo
caleF
1 F2
èp
aralleloall’asse
x
�P
era
<b
l’assefo
caleF
1 F2
èp
aralleloall’asse
y
�P
era
=b
sio
ttiene
l'equ
azion
edi
un
acirco
nferen
zaco
ncen
tro�
Per
a=
bsi
ottien
el'eq
uazio
ne
di
un
acirco
nferen
zaco
ncen
tro
nell'o
rigin
ee
ragg
ioa.
L’ellisse
Co
nsid
eriamo
leseg
uen
tifo
rmu
lesu
ll’ellisse:
�E
qu
azion
ecartesian
ad
ell’ellisse:
�F
uo
chi:
F1 (-c;0
)ed
F2 (c;0
)co
n,
sea
2>b
2
F1 (0
;-c)ed
F2 (0
;c)co
n,
sea
2<b
2
12 2
2 2
=+
b y
a x
ba
c2
2−=
ab
c2
2−=
�V
ertici:(a
;0),
(-a;0
),(0
;-b),
(0;b
)
�E
ccentricità:
e=c/a
�L
un
gh
ezzaasse
mag
gio
re:2
a
�L
un
gh
ezzaasse
min
ore:
2b
�C
oefficien
tean
go
lared
ellaretta
tang
ente
inu
nsu
op
un
todi
ascissa
x0 :
xa
xm
−±
=2
20
0
ab
c
L’ellisse
Esercizio
1:
Determ
inare
ae
bin
mo
do
che
l'ellissep
assi
per
ip
un
tiP
(-3,1
,)e
Q(-2
,2).
So
stituiam
ole
coord
inate
dei
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