GEOMETRIA EUCLIDEA
PROF. VINCENZO LO PRESTI
CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI
I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti
GEOMETRIA
Letteralmente geometria significa misura (metron) della terra (geo).
Lo scopo principale della geometria è quello di studiare e descrivere le forme che l’uomo riscontra nella natura.
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GEOMETRIA
• Ricostruire i confini dei campi cancellati dalle inondazioni dei fiumi;
• Conoscere la capacità di un vaso;
• Misurare il volume delle costruzioni.
Nelle civiltà primitive la geometria aveva un carattere empirico e veniva utilizzata per scopi esclusivamente di ordine pratico:
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STORIA DELLA GEOMETRIA
Nella cultura della civiltà greca la geometria nel corso dei secoli venne sottoposta ad un processo di astrazione per opera di matematici e filosofi greci come Talete, Pitagora, Eudosso.
Presso la civiltà Assiro-Babilonese la geometria cominciò ad assumere un significato astratto indipendentemente dalla sua funzione pratica.
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GEOMETRIA EUCLIDEA
Il processo di astrazione della geometria venne profondamente influenzato da Euclide (III secolo a.c.) che con la sua opera gli “Elementi”, articolata in ben 13 libri, espose in maniera sistematica e generalizzata tutte le conoscenze di geometria.
Nasce quindi la geometria euclidea che per diversi secoli è rimasta il più grande esempio di teoria matematica e di costruzione strutturata delle mente umana.
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STRUTTURA DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti
TRIANGOLO: un poligono di tre lati
POLIGONO: figura geometrica formata da una poligonale e dalla parte finita di piano da essa delimitata
POLIGONALE: spezzata chiusa non intrecciata
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GEOMETRIA EUCLIDEA
SPEZZATA: due o più segmenti consecutivi
SEGMENTO: l’insieme dei punti di una retta compresi tra due punti qualsiasi della retta stessa
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STRUTTURA DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
CONCETTI PRIMITIVI
(elementi di base)
POSTULATI(Regole fondamentali)
NUOVI ENTI
Da cui si deducono
mediante definizioni
mediante dimostrazioni
NUOVE PROPRIETA’
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ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
Gli enti primitivi sono quei concetti immediati che si suppongono accettati da tutti.
Gli enti primitivi della geometria euclidea sono:
PUNTO
RETTA
PIANO
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ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati utilizzando la seguente simbologia:
PUNTI: con le lettere maiuscole dell’alfabeto
A
C
P
B
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ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati utilizzando la seguente simbologia:
RETTE: con le lettere minuscole dell’alfabeto
a
r
s
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ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati utilizzando la seguente simbologia:
PIANI: con le lettere minuscole dell’alfabeto greco
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POSTULATI
I postulati sono delle affermazioni che si devono accettare a priori, cioè proprietà che si suppongono vere e che pertanto non si dimostrano.
(Regole del gioco)
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POSTULATI DI APPARTENENZA
Primo Postulato – Per due punti distinti passa una sola retta
A B
Secondo postulato – Su di una retta ci sono almeno due punti
A B
Terzo postulato – Data una retta e un piano che la contiene esiste un punto del piano che non appartiene alla retta
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POSTULATI DI APPARTENENZA DEL PIANO
Postulato – Per tre punti non allineati passa un solo piano.
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Postulato – Se due punti di una retta appartengono a un piano allora la retta giace interamente sul piano
A
B
r
P
POSTULATI DI APPARTENENZA DEL PIANO
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POSTULATI DI ORDINAMENTO
Postulato – La retta gode delle seguenti proprietà:
P BA RQ
la retta è un insieme ordinato di punti (si può fissare sulla retta un verso di percorrenza tra i due possibili)
non esiste un primo e un ultimo punto (la retta e illimitata)
fra due suoi punti esiste sempre almeno un altro punto (la retta e densa)
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PRIME DEFINIZIONI
FIGURA GEOMETRICA:
Si chiama figura geometrica un qualsiasi insieme di punti.
SPAZIO:
Si chiama spazio l’insieme di tutti i punti.
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DEFINIZIONI
Semiretta
Data una retta orientata su cui viene fissato un punto P, si chiama semiretta l’insieme formato da P e da tutti i punti che lo seguono o che lo precedono.
P
Origine
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DEFINIZIONI
Segmento
Data una retta orientata e due suoi punti A e B, si chiama segmento l’insieme dei punti A e B e di quelli che sono compresi tra essi.
AEstremo
BEstremo
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DEFINIZIONI
Segmenti consecutivi
Due segmenti si dicono consecutivi se hanno un estremo in comune.
AB
C
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DEFINIZIONI
Segmenti adiacenti
Due segmenti si dicono adiacenti se oltre ad essere consecutivi appartengono alla stessa retta
AB
C
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Si chiama poligonale un insieme di segmenti consecutivi
DEFINIZIONI
Lati
Vertici
A
B
C
D
E
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POSTULATO DI PARTIZIONEDEL PIANO
Postulato- Data una retta r su un piano , presi due punti qualsiasi A e B del piano, se A e B appartengono alla stessa regione il segmento AB non interseca la retta r, se A e B appartengono a regioni diverse il segmento AB interseca la retta r.
A’ B’
rA
B
(Per passare da una parte all’altra si deve per forza attraversare la retta che non può essere aggirata)
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DEFINIZIONI
Semipiano
Data una retta r su di un piano , si chiama semipiano di origine r ciascuna delle due parti in cui il piano viene diviso dalla retta r.
Origine o frontiera
r
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DEFINIZIONI
Angolo Date due semirette con l’origine in comune si chiama angolo ciascuna delle due parti in cui viene diviso il piano.
AngoloAngolo
Lati
Vertice
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DEFINIZIONI
ab
Modi per indicare un angolo
a
b
V
B
A
AVB
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DEFINIZIONI
Angoli consecutivi: Quando hanno il vertice e un lato in comune
a
b
c
V
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DEFINIZIONI
Angoli adiacenti Quando sono consecutivi e i lati non comuni appartengono alla stessa retta
a
b
c
V
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DEFINIZIONI
Angolo piatto Quando i lati sono semirette opposte.
a
b
V
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DEFINIZIONI
Angolo giro Quando i lati sono semirette sovrapposte cioè coincidenti e l’angolo coincide con l’intero piano.
b
V
a
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DEFINIZIONI
Angolo nullo
b=0
V
a
Quando i lati sono semirette sovrapposte cioè coincidenti e l’angolo comprende soltanto i punti delle semirette.
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Una figura geometrica può essere:• Convessa – quando il segmento
che unisce due punti qualsiasi della figura appartiene per intero alla stessa figura
concava
convessa
• Concava – quando esistono almeno due punti tali che il segmento che li unisce non
appartiene per intero alla figura
FIGURE GEOMETRICHE CONCAVE E CONVESSE
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DEFINIZIONI
Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.
F2
F1
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DEFINIZIONI
Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.
V
F1
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DEFINIZIONI
Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.
V
F1
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DEFINIZIONI
Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.
V
F1
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DEFINIZIONI
Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.
V
F1
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DEFINIZIONI
Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.
V
F1
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DEFINIZIONI
Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.
V
F1
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DEFINIZIONI
Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.
V
F1
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DEFINIZIONI
Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.
V
F1
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DEFINIZIONI
Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.
V
F1
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DEFINIZIONI
Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.
V
F1 F2
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POSTULATO SULLA CONGRUENZA
La relazione di congruenza tra figure geometriche è una relazione di equivalenza perchè gode delle proprietà:- Riflessiva – Ogni figura è congruente a se stessa;- Simmetrica – Se F1F2 risulta anche F2F1
- Transitiva – Se F1F2 e F2F3 risulta anche F1F3
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POSTULATO DEL TRASPORTO DEI SEGMENTI
Dato un segmento AB e una semiretta di origine O esiste ed è unico il punto P sulla semiretta in modo che OPAB
O
A
B
P
OPAB
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POSTULATO DEL TRASPORTO DEGLI ANGOLI
Dato un angolo ab e un fascio orientato di semirette con origine nella semiretta c, esiste ed è unica la semiretta d tale che cdab
a
b
O
c
d
cdab
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DEFINIZIONI
Lunghezza di un segmento
Si chiama lunghezza di un segmento la caratteristica comune che hanno un insieme di segmenti congruenti fra loro
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DEFINIZIONI
Ampiezza di un angolo
Si chiama ampiezza di un angolo la caratteristica comune che hanno un insieme di angoli congruenti fra loro
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CONFRONTO TRA SEGMENTI
C
B
D
Il confronto tra due segmenti viene eseguito sovrapponendoli l’uno sull’altro in modo da far coincidere un estremo.
A
C
B
D
A
AB<CD AB>CD
C
B
D
A
AB CD
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SOMMA DI SEGMENTI
Dati due segmenti la loro somma è il segmento che si ottiene disponendoli uno adiacente all’altro
A BC D
A
B
D
C
AB+CD=AD
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DIFFERENZA DI SEGMENTI
Dati due segmenti AB e CD con AB>CD la differenza AB-CD è il segmento DB che si ottiene sovrapponendo i due segmenti facendo coincidere gli estremi A e C.
BAC D
C
D
B
A
AB-CD=DB
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MULTIPLO DI UN SEGMENTO
Dato un segmento AB e un numero naturale n>1 si chiama multiplo di AB secondo il numero n la somma di n segmenti congruenti con AB.
BA
n.AB = AF
n=3
BC DE FA
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SOTTOMULTIPLO DI UN SEGMENTO
Il seguente postulato (Eudosso-Archimede) ci assicura la divisibilità di un segmento in un numero qualsiasi di segmenti congruenti.
BA AC = AB/3n=3
DC
Dato un segmento AB e un numero naturale n>1 esiste ed è unico il sottomultiplo di AB rispetto al numero n
BAn=5
EC D F AC = AB/5
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PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO
BA
Punto medio del segmento AB
M
Dato un segmento AB esiste ed è unico il punto che divide il segmento in due parti congruenti. Questo punto prende il nome di punto medio.
AMMB
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CONFRONTO TRA ANGOLI
P
a
b
Qc
d
R
f e
S
g
h
b
ac
d
Oab<cd
f
ae
b
Oab>ef
ag
bh
Oab=gh
a a a
b
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SOMMA TRA ANGOLI
P
a
b
Qc
d
bbcd
O
ad= ab+cd
a
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DIFFERENZA TRA ANGOLI
P
a
b
Qc
d
b
ac
d
O
db= ab-cd
a
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MULTIPLO DI UN ANGOLO
Dato un angolo ab e un numero naturale n>1 si chiama multiplo di ab secondo il numero n la somma di n angoli congruenti con ab.
n=3
P
a
b
b
d
O
ad= 3 ab
a
c
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SOTTOMULTIPLO DI UN ANGOLO
Il seguente postulato (Eudosso-Archiemde) ci assicura la divisibilità di un angolo in un numero qualsiasi di angoli congruenti.
Dato un angolo ab e un numero naturale n>1 esiste ed è unico il sottomultiplo dell’angolo ab rispetto al numero n
n=3
P
a
b
ac= ab/3
c
n=5
P
a
b
ac= ab/5
c
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BISETTRICE DI UN ANGOLO
O
a
b
c
Dato un angolo ab esiste ed è unica la semiretta che divide l’angolo in due parti congruenti. Questa semiretta prende il nome di bisettrice.
Bisettrice dell’angolo ab
accb
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DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI
O
a
b
c → bisettrice
Si chiama angolo retto ciascuno dei due angoli in cui la bisettrice divide l’angolo piatto.
Angolo retto
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DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI
Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è un angolo piatto
P
c
d
Qa
b
bbcd
O
Se ab+cd = π gli angoli ab e cd si dicono supplementari
a
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DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI
Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è un angolo retto
P
c
d
Qa
b
bbc
d
O
Se ab+cd = π/2 gli angoli ab e cd si dicono complementari
a
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DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI
Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma è un angolo giro
O
Se ab+cd = 2π gli angoli ab e cd si dicono
esplementari
ad
bc
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DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI
Un angolo si dice acuto se è minore dell’angolo retto
Qa
b
Se ab< π/2 ab è acuto
Un angolo convesso si dice ottuso se è maggiore dell’angolo retto
Qa
b
Se ab>π/2 ab è ottuso
π/2 π/2