G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Funzione Indica una
relazione o corrispondenza tra due o pi insiemi che soddisfa ad
alcune propriet. Il dominio linsieme di partenza, il codominio
quello di arrivo Ogni elemento del dominio associato con un solo
elemento del codominio. Un elemento del codominio pu essere
associato a pi elementi del dominio della funzione Corrispondenza
biunivoca dominio codominio dominio codominio
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Funzione Le funzioni
pi semplici sono quelle che mettono in relazione due soli insiemi
In genere noi useremo funzioni che mettono in relazioni due insiemi
di numeri reali o parti di essi. Si indica con x la variabile
indipendente Linsieme in cui pu variare la variabile indipendente
si chiama dominio della funzione Si indica con y la variabile
dipendente Linsieme in cui pu variare la variabile dipendente si
chiama codominio della funzione La funzione si scrive come y=f(x)
in cui f rappresenta la legge di corrispondenza tra gli elementi
del dominio e quelli del codominio
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Esempi di funzioni La
legge di corrispondenza pu essere espressa analiticamente y(x)=4x 2
+6x+20(continua) Il dominio coincide con linsieme dei numeri reali
il codominio: reali maggiori di 26.5
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Esempi di funzioni
y(x)=sen(x)(continua) Il dominio coincide con linsieme dei numeri
reali Il codominio corrisponde allintervallo dei numeri reali
compreso tra -1 e 1
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Esempi di funzioni
Oppure pu essere espressa a parole y(x) = allintero immediatamente
pi piccolo di x (non continua) Il dominio coincide con linsieme dei
numeri reali Il codominio coincide con i numeri relativi (interi
con segno)
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Esempi di funzioni -
lottovolante Il profilo dellottovolante stabilisce la
corrispondenza tra la coordinata orizzontale e quella
verticale
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il limite Data la
funzione f(x) Si definisce il limite di f(x) per x che tende ad x o
Se la funzione continua e definita in x o uguale a f(x o )
Altrimenti bisogna guardare il comportamento della funzione nei
pressi di x o Esempi.
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Calcolo della pendenza
La pendenza data da x y x x+ x y(x) y(x+ x) Rapporto
incrementale
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Pendenza in un punto
Con un solo punto non posso calcolare il rapporto incrementale (
x=0, rapporto incrementale non definito) Per calcolare la pendenza
in un punto faccio il limite del rapporto incrementale per x che
tende a 0. Questo limite si chiama derivata della funzione y(x) in
x Corrisponde alla pendenza della retta tangente al grafico nel
punto considerato.
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La funzione derivata
La derivata della funzione y(x) in x la indicheremo: Il calcolo del
limite del rapporto incrementale pu essere anche inteso come una
legge di corrispondenza Rappresenta una funzione: la derivata della
funzione y(x) Calcolando il limite del rapporto incrementale per
ogni valore di x ottengo la funzione derivata:
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La derivata di una
funzione Fornisce una misura della variabilit di una funzione reale
di variabile reale allinterno dellintervallo di definizione. Dove
la derivata positiva la funzione crescente Dove la derivata
negativa la funzione decrescente Dove la derivata nulla la funzione
costante Sul grafico della funzione la derivata corrisponde alla
pendenza del grafico: ossia al coefficiente angolare della retta
tangente al grafico nel punto considerato Nei punti di massimo o di
minimo relativo la pendenza nulla: quindi la derivata nulla.
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Calcolo della derivata
per via analitica Se si conosce lespressione della funzione x(t) x
= x o + v o t + 1/2a o t 2 con x o = 7.2 m, v o = 11.4 m, a o =
-5.0 m Si pu calcolare il valore della derivata allistante di tempo
t 1 (=per es 2s) usando la definizione:
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Regole per il calcolo
della derivata Naturalmente, non neppure necessario fare ogni volta
il limite del rapporto incrementale, ma occorre applicare alcune
regole: Funzione costante Somma di funzioni Prodotto Prodotto di
una costante per una funzione Rapporto di funzioni
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La derivata di alcune
funzioni m reale
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Derivata di una
funzione di funzione A volte ci sono funzioni che dipendono da un
variabile attraverso unaltra funzione: x(t)=Acos( t+ ) x=Acos( )
con (t)= t+ numeri reali
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Moto rettilineo del
punto materiale Punto materiale Punto geometrico dotato di massa
Traiettoria Il luogo dei punti via via occupati dal punto materiale
Moto rettilineo Moto con traiettoria rettilinea Moto di caduta di
un grave, moto alternativo dei pistoni nei cilindri, moto di una
automobile lungo una strada diritta, etc.
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 O Descrizione del moto
rettilineo Studio del moto di caduta di un grave lungo la verticale
Sulla traiettoria definiamo lasse di riferimento (origine e verso)
Usiamo un orologio per trovare la corrispondenza tra listante di
tempo e la posizione in cui si trova il punto materiale (t=0s
inizio dellosservazione)
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Grafico orario Asse
delle ascisse = variabile indipendente (il tempo). necessaria una
scala, per es. 1cm=0,1s Asse delle ordinate = variabile dipendente
(la posizione). Anche qui utile una scala, per es 1 cm=0,2 m I
punti rappresentano le misure, la curva linterpolazione. La curva
interpolante deve essere continua: il punto materiale passa per
tutte le posizioni intermedie. La legge di corrispondenza una
funzione seria, ad ogni istante di tempo corrisponde una sola
posizione (il corpo non si pu trovare in due luoghi diversi allo
stesso istante di tempo). Per lo stesso motivo la funzione
continua
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Legge oraria Il
grafico orario pu anche essere rappresentato mlediante una
espressione matematica (legge oraria) Uso del grafico orario o
della legge oraria: voglio conoscere la posizione del punto
allistante 0,2 s. Con il grafico orario Con la legge oraria
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Grafico orario di un
punto materiale fermo Il grafico orario una retta parallela allasse
delle ascisse (dei tempi) (pendenza = 0) Legge oraria
corrispondente: x = x o (x=0,31 m)
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Grafico orario di un
moto a velocit costante La retta: x=mt+n n= intercetta asse
ordinate m= coefficiente angolare Il grafico orario una retta Legge
oraria corrispondente:
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Moto di unautomobile
su un tratto rettilineo Esiste una relazione tra la pendenza del
grafico orario e la velocit dellautomobile.
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Spostamento e percorso
effettuato Grafico orario di un corpo lanciato verso lalto. Legge
oraria corrispondente x = x o + v o t + 1/2a o t 2 x o = 7.2 m v o
= 11.4 m a o = -5.0 m Consideriamo gli istanti Spostamento= x =x
finale -x iniziale x massimo Percorso effettuato: la lunghezza del
tratto effettivamente percorso Nel caso della figura d=(x massimo
-x 1 )+(x massimo -x 2 ) x iniziale Iniziale: t iniziale x finale
finale: t finale
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il segno dello
spostamento x massimo x finale Spostamento x =x finale -x iniziale
con t > 0 Nel caso di un moto rettilineo non necessario far
ricorso alla rappresentazione vettoriale Il verso del moto viene
rappresentato dal segno di x Se x >0 allora vuol dire che x
finale >x iniziale : il moto avvenuto nella direzione positiva
dellasse delle x Se x
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Velocit media Velocit
scalare Sempre positiva Velocit vettoriale Positiva -->x
crescenti Negativa-->x decrescenti
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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Alla guida di
unautomobile, dopo aver percorso una strata rettilinea per 8,4 km a
70 km/h, siete rimasti senza benzina. Avete quindi proseguito a
piedi, sempre nella stessa direzione, per 2.0 km fino al prossimo
distributore, dove siete arrivati dopo 30 minuti di cammino. Qual
Qual lo spostamento complessivo Il tempo complessivo impiegato La
velocit media