1
Grandezze fisiche
Grandezza fisica
Per descrivere qualitativamente e quantitativamente un fenomeno naturale
attribuiamo delle proprietà a quelle entità che partecipano al fenomeno stesso. Ad
esempio un corpo ha una massa, una temperatura, una velocità, occupa una posizione
etc. Queste proprietà vengono chiamate grandezze. Le grandezze fisiche sono
proprietà del corpo che hanno una caratteristica: quella di essere misurabili.
Durante l’evoluzione del fenomeno naturale, le grandezze fisiche che descrivono le
proprietà dei corpi subiscono delle variazioni a causa di interazioni con l’ambiente,
che sono descritte da altre grandezze fisiche, quali ad esempio forze, lavoro o scambi
energetici. Le leggi fisiche sono relazioni causa-effetto perché legano le grandezze
d’interazione (causa) con le variazioni delle grandezze fisiche proprietà del corpo
(effetto).
Sistema Internazionale d’Unità di Misura
Partendo da alcune grandezze fisiche definite come specificato precedentemente e
che vengono dette grandezze fisiche fondamentali, possiamo definire, utilizzando
definizioni e leggi fisiche, nuove grandezze fisiche che vengono dette grandezze
fisiche derivate.
Vi è una certa arbitrarietà nella scelta delle grandezze fisiche di base e, una volta
fissate tali grandezze fisiche fondamentali, vi è una certa arbitrarietà nella scelta delle
unità di misura.
Quando si fissano le grandezze fisiche di base e le corrispondenti unità di misura si è
scelto un sistema di unità di misura. Una volta fissato tale sistema sono
automaticamente fissate le unità di misura delle grandezze derivate.
Il Sistema Internazionale d’Unità di misura è costituito da 7 grandezze di base
indicate nella tabella 1.1 unitamente al nome delle loro unità di misura e al relativo
simbolo.
2
Tabella 1.1. Unità SI di base
Grandezza Unità
Nome Simbolo
Lunghezza Metro M
Massa Chilogrammo Kg
Tempo Secondo S
Intensità di corrente
elettrica
Ampere A
Temperatura Kelvin K
Quantità di sostanza Mole Mol
Intensità luminosa Candela Cd
Accanto alle sette unità fondamentali vengono definite due unità supplementari: il
radiante (rad) e lo steradiante (sr). Il radiante è l’unità di angolo piano ovvero è
quell’angolo piano con il vertice nel centro della circonferenza che sottende un arco
uguale al raggio. Lo steradiante è l’unità di angolo solido.
Poiché in certi casi le unità risultano sconvenienti da usare perché troppo grandi o
troppo piccole, il S.I. prevede anche l’esistenza di multipli e sottomultipli che
seguono la scala decimale. Il prefisso che individua il multiplo e il sottomultiplo, il
fattore corrispondente e il simbolo da anteporre senza interspazio al simbolo
dell’unità sono indicate nella tabella 1.2
Tabella 1.2. Prefissi dei multipli e sottomultipli delle unità SI
Fattore Prefisso Simbolo Fattore Prefisso Simbolo
1018 exa E 10-1 Deci d
1015 peta P 10-2 Centi c
1012 tera T 10-3 Milli m
109 giga G 10-6 Micro μ
106 mega M 10-9 Nano n
103 chilo k 10-12 Pico p
102 etto h 10-15 Femto f
10 deca da 10-18 Atto a
Le definizioni operative e le unità di misura delle grandezze derivate si ottengono
utilizzando le unità di misura delle grandezze di base e le relazioni algebriche tra
ognuna delle grandezze derivate e quelle fondamentali. In tabella 1.3 vengono
elencate alcune grandezze derivate e le corrispondenti unità di misura mentre nella
tabella 1.4 vengono riportate alcune grandezze le cui unità di misura hanno un nome
particolare.
3
Tabella 1.3 Alcune grandezze derivate e loro unità di misura
Grandezza Simbolo Unità Grandezza Simbolo Unità
Superficie A m2 Accelerazione A m s-2
Volume V m3 Periodo T s
Densità ρ kg m-3 Viscosità Η N m-2 s
Velocità v m s-1 Calore
specifico
C J kg-1K-1
Velocità
angolare
ω rad s-1 Entropia S J K-1
Tabella 1.4 Alcune grandezze derivate con unità di misura a denominazione speciale
Grandezza Unità Simbolo Grandezza Unità Simbolo
Forza newton N Carica elettrica coulomb C
Energia e
lavoro
joule J Potenziale
elettrico
Volt V
Pressione pascal Pa Capacità
elettrica
Farad F
Potenza watt W Resistenza
elettrica
Ohm Ω
Molto spesso, nonostante l’esistenza di unità SI per tutte le grandezze, si preferisce
l’impiego di alcune unità particolari. Nella tabella 1.5 sono riportate alcune di tali
unità con relativi simboli e corrispondenti fattori di conversione con le unità del SI
Tabella 1.5 Unità di misura legali a tempo indeterminato
Grandezza Unità Simbolo Fattore di conversione
SI
Angolo piano gradi sessagesimali ° (π/180) rad
Energia elettronvolt eV 1.6022∙10-19 J
Massa unità di massa
atomica
tonnellata
u
t
1.6606∙10-27 kg
103 kg
Pressione bar bar 105 Pa
Tempo
minuto
ora
giorno
min
h
d
60 s
3600 s
8.6∙104 s
Volume litro l, L 10-3 m3
4
Grandezze scalari e vettoriali
Per definire una grandezza fisica bisogna dare uno scalare ossia un numero seguito
dall’unità di misura. Le grandezze fisiche, quali ad esempio temperatura, massa, che
sono completamente determinate da uno scalare vengono chiamate grandezze scalari.
Vi sono tuttavia fenomeni naturali quali l’azione che due forze mutuamente
perpendicolari esercitano su un corpo, le rotazioni di un corpo rigido, che non
possono essere spiegati ammettendo che le grandezze che vi compaiono siano scalari,
ma solo facendo l’ipotesi che esistano grandezze che vi siano in natura grandezze
definibili mediante due o più scalari se si utilizza un riferimento cartesiano, o, da un
modulo, da una direzione e da un verso se si utilizzano le coordinate polari. In ogni
caso, indipendentemente dal sistema di riferimento adottato queste grandezze non
sono definibili mediante un solo scalare. Le grandezze che hanno queste proprietà
vengono chiamate grandezze vettoriali o più semplicemente vettori e sono piuttosto
numerose. La posizione di un punto materiale, la velocità, la forza, il campo elettrico,
il momento di dipolo magnetico sono alcuni esempi delle numerose grandezze
vettoriali che verranno analizzate durante le lezioni.
Un vettore viene rappresentato da un segmento orientato: la lunghezza del segmento,
misurata in una certa scala è il modulo del vettore, mentre la retta alla quale
appartiene il segmento e il verso della freccia ne indicano la direzione e il verso. Un
vettore libero è completamente definito dalle tre caratteristiche sopraelencate e quindi
vettori liberi uguali aventi cioè lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso,
rappresentano la stessa grandezza fisica indipendentemente dalla posizione in cui
vengono collocati. Un vettore applicato invece è un segmento orientato di cui è stata
fissata l’ubicazione nello spazio. Le grandezze vettoriali sono indicate da una lettera
con sopra una freccia oppure scritta in grassetto. Per evidenziare il modulo si usa
semplicemente la lettera oppure la lettera con sopra una freccia o scritta in grassetto
racchiusa da due tratti verticali. Ad esempio 𝒂 rappresenta un vettore mentre il suo
modulo viene scritto |𝒂| oppure a o anche |�⃗�|. Occorre ora definire le regole per operare con i vettori.
Operazioni con i vettori
Prodotto di uno scalare per un vettore.
Moltiplicando un vettore a per uno scalare m, si ottiene un vettore 𝒃 = 𝑚 𝒂 avente:
modulo: 𝑏 = |𝑚|𝑎 ; direzione: stessa direzione di a ; verso: stesso verso di a se m è
positivo, verso opposto a quello di a se m è negativo.
Somma di vettori
Per sommare due vettori 𝒂 e 𝒃 occorre traslare il segmento orientato che rappresenta
il vettore 𝒃, fino a far coincidere la sua origine con l’estremo libero del primo.
5
b
a a + b
Il vettore somma si ottiene congiungendo l’origine del primo vettore con l’estremo
libero del secondo. Praticamente bisogna costruire un parallelogramma avente per lati
i vettori da sommare. Il vettore somma è la diagonale maggiore di detto
parallelogramma.
La somma di due vettori gode della proprietà commutativa
𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 .
La somma di due vettori a e b ha modulo
|𝒂 + 𝒃| = √𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 cos 𝜃
dove θ è l’angolo compreso tra a e b.
Differenza di vettori. La differenza b – a di due vettori è definita come la somma del primo con l’opposto
del secondo, ossia è
𝒃 − 𝒂 = 𝒃 + (−𝒂)
Quindi la differenza di due vettori viene trasformata in una somma.
Praticamente per fare la differenza di due vettori bisogna cambiare verso al secondo
vettore e sommarlo vettorialmente con il primo.
Prodotto scalare
Si definisce prodotto scalare di due vettori a e b lo scalare
𝒂 ∙ 𝒃 = 𝑎𝑏 cos 𝜃 dove 𝜃 ≤ 𝜋 è l’angolo compreso fra i due vettori. Il prodotto scalare è nullo quando è
6
nullo uno almeno dei due vettori oppure i due vettori sono fra loro perpendicolari e
viceversa.
Il prodotto scalare gode della proprietà commutativa 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒃 ∙ 𝒂
Prodotto vettoriale
Si definisce prodotto vettoriale di due vettori a e b il vettore 𝒂 × 𝒃 avente le seguenti
caratteristiche:
modulo: |𝒂 × 𝒃| = 𝑎𝑏 sin 𝜃 ove 𝜃 ≤ 𝜋 è l’angolo compreso fra i due vettori.
Tenendo presente che il prodotto 𝑎 sin 𝜃 è l’altezza del parallelogramma di lati
a e b, il modulo del prodotto vettoriale è l’area di detto parallelogramma;
direzione: perpendicolare al piano individuato dai vettori a e b;
verso: i vettori 𝒂 × 𝒃, a, b devono formare una terna destra ossia disposti
indice e medio della mano destra come a e b, il pollice diretto
perpendicolarmente ad essi indica il verso di 𝒂 × 𝒃. Il prodotto vettoriale è
nullo quando è nullo uno almeno dei vettori oppure i vettori sono fra loro
paralleli e viceversa.
Componenti cartesiane di un vettore
Proiettiamo un vettore a, lungo due direzioni fra loro perpendicolari che assumeremo
come assi x ed y, ossia mandiamo le perpendicolari dall’estremo libero del vettore ai
due assi.
Le proiezioni 𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 del vettore vengono chiamate le componenti scalari (cartesiane)
del vettore (o più semplicemente componenti). Geometricamente, nel caso il vettore
7
sia posizionato la sua origine nell’origine del sistema di riferimento, esse
rappresentano le coordinate cartesiane del punto A estremo del vettore Le
componenti possono essere calcolate considerando il triangolo rettangolo OAB .Si
hanno infatti le seguenti relazioni
𝑎𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 𝑎𝑦 = 𝑎 sin 𝜃
ove 𝜃 è l’angolo formato dal vettore 𝒂 con l’asse positivo delle ascisse. Le
componenti 𝑎𝑥, 𝑎𝑦 possono essere quindi positive o negative a seconda del quadrante
in cui si trova l’estremo del vettore. Se il vettore ha la direzione di un asse, la
componente lungo tale asse è il modulo del vettore con il segno positivo o negativo
secondo che il verso del vettore sia concorde o discorde con quello dell’asse.
Poiché 𝑎 e 𝜃 sono le coordinate polari di 𝒂 nel riferimento avente polo il punto O
(0,0) e asse polare quello delle ascisse, le relazioni precedenti forniscono un legame
tra coordinate cartesiane e polari di un vettore e permettono il calcolo delle
coordinate cartesiane se si conoscono quelle polari. Viceversa, dalle suddette
equazioni si possono ricavare le componenti polari note quelle cartesiane. Infatti
quadrando e sommando tali equazioni si ottiene
𝑎 = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦
2
e dividendo la componente cartesiana y per quella lungo l’asse x si ottiene
tan 𝜃 =𝑎𝑦
𝑎𝑥
Operazioni con le componenti cartesiane dei vettori
Le operazioni di somma, differenza, prodotto scalare e vettoriale di due vettori
possono essere espresse mediante le componenti cartesiane dei vettori.
Somma e differenza
Siano 𝒂 e 𝒃 i due vettori ed ( 𝑎𝑥, 𝑎𝒚) ( 𝑏𝑥, 𝑏𝒚) le rispettive componenti cartesiane. Il
vettore somma 𝒂 + 𝒃 ha componenti (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥) e (𝑎𝑦 + 𝑏𝑦) ossia le componenti
cartesiane del vettore somma sono la somma delle componenti dei singoli vettori
relative ad uno stesso asse.
Facendo considerazioni analoghe si dimostra che le componenti cartesiane del
vettore differenza si si ottengono facendo la differenza delle componenti dei singoli
vettori relative ad uno stesso asse
8
Prodotto scalare
Se 𝒂 e 𝒃 hanno componenti ( 𝑎𝑥, 𝑎𝒚) e ( 𝑏𝑥, 𝑏𝒚) il prodotto scalare 𝒂 ∙ 𝒃 si calcola
mediante le seguente espressione
𝒂 ∙ 𝒃 = 𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑎𝑦𝑏𝑦
Prodotto vettoriale
Siano ( 𝑎𝑥, 𝑎𝒚) ( 𝑏𝑥 , 𝑏𝒚) le componenti dei vettori 𝒂 e 𝒃, il prodotto vettoriale 𝒂 × 𝒃
è un vettore diretto lungo l’asse z a avente componente
(𝒂 × 𝒃)𝒛 = 𝑎𝑥𝑏𝑦 − 𝑎𝑦𝑏𝑥
I risultati ottenuti nel caso bidimensionale si estendono facilmente al caso
tridimensionale
Legge fisica
Si è detto che una legge fisica è una relazione che lega le grandezze d’interazione con
le grandezze fisiche proprietà del corpi. Le più semplici leggi fisiche sono la
proporzionalità diretta e quella inversa. Due grandezze sono direttamente
proporzionali quando il loro rapporto è costante, mentre sono inversamente
proporzionali quando il loro prodotto è costante. Ogni legge fisica può essere
rappresentata graficamente in un sistema cartesiano riportando una grandezza in
ascisse e l’altra in ordinate. Nel caso della proporzionalità diretta si ottiene una retta,
mentre nel caso della proporzionalità inversa si ottiene un ramo di iperbole equilatera.
Nell’ambito della fisica medica sono molto importanti sia la funzione esponenziale
che quella logaritmica in quanto la prima rappresenta la legge con cui viene eliminato
un farmaco dal nostro organismo mentre la seconda è la legge con cui il nostro
sistema sensoriale risponde alle sensazioni esterne.
9
Esercizi
Il Sistema Internazionale di Unità di Misura
1) Nel Sistema Internazionale il prefisso Giga equivale a
a) 1015
b) 1012
c) 109
d) 106
e) 103
Nel Sistema Internazionale il prefisso Giga equivale a 109
2) Nel Sistema Internazionale il prefisso milli equivale a
a) 10-12
b) 10-9
c) 10-6
d) 10-3
e) 10-2
Nel Sistema Internazionale il prefisso milli equivale a 10-3
3) L’unità di misura SI dell’angolo piano è
a) il grado sessagesimale
b) il grado centesimale,
c) il grado centigrado
d) il radiante
e) il metro
Nel Sistema Internazionale l’unità di misura dell’angolo è il radiante
4) Un volume di un litro è equivalente a
a) 10-1 kg
b) 10-2 kg
c) 10-3 kg
d) 10-3 m3
e) 10-2 m3
10
E’
1 𝐿 = 10−3𝑚3 ossia il volume di un litro è equivalente a 10-3m3
5) Si considerino tre grandezze indicate con v, a ed s ed espresse rispettivamente in
metri al secondo (ms-1), metri al secondo quadrato (ms-2) e metri (m). Tenendo
presente le loro unità di misura, la relazione corretta tra le summenzionate
grandezze è
a) a = v / s
b) a = v / s2
c) a = v2 / s
d) a = (v/s)2
e) nessuna delle precedenti relazioni
Il secondo membro deve essere espresso in m s -2 perché tali sono le unità di misura
del primo. Analizzando le unità di misura delle possibili risposte si deduce che la
risposta corretta è v2/s. Le sue unità di misura sono infatti m2s-2m-1 = ms-2
6) Se la grandezza a viene misurata in metri (m) e la grandezza b in secondi (s), la
grandezza a+b è misurata in
a) ms-1
b) ms
c) m-1s
d) m-1s-1
e) le grandezze non si possono sommare perché non sono omogenee
La grandezza a + b non ha senso perché si possono sommare solo grandezze
omogenee.
7) Se una grandezza a viene misurata in metri (m) e la grandezza b in secondi (s), la
grandezza a/b è misurata in
a) ms-1
b) ms
c) m-1s
d) m-1s-1
e) le grandezze non si possono dividere perché non sono omogenee
Le unità di misura della grandezza a/b si ottengono dividendo le unità di misura di a
con quella di b. Si ottiene quindi ms-1
11
8) Si consideri la relazione 𝑎 = 2−𝑏𝑡ove 𝑎 è una grandezza fisica adimensionale e 𝑡
è un tempo misurato in secondi (s). La grandezza 𝑏 deve essere espressa in
a) s
b) s-1
c) s-2
d) s2
e) adimensionale
Poiché l’esponente deve essere adimensionale, b deve avere come unità di misura s-1
9) Si consideri la relazione 𝑎 = log 𝑐 ove 𝑎 e 𝑐 sono grandezze fisiche. La
grandezza 𝑐 deve essere espressa in
a) m
b) m-1
c) kg
d) adimensionale
e) nessuna delle precedenti risposte
Poiché l’argomento del logaritmo deve essere un numero puro, c deve essere
adimensionale
10) Si consideri la relazione s = a + b c ove s ed a sono grandezze fisiche espresse
in metri (m). Se b viene espresso in m2, la grandezza c deve essere espressa in
a) m3
b) m – 3
c) m – 2
d) m – 1
e) m
Si possono sommare soltanto grandezze omogenee e quindi, poiché la grandezza a
viene espressa in metri (m), tale deve essere anche il prodotto bc. Di conseguenza,
essendo b espresso in m2, c deve essere espresso in m-1.
12
11) Si consideri l’espressione 𝑠 = 𝑣𝑞 𝑔⁄ ove 𝑠 è una grandezza fisica misurata in
m, 𝑣 in ms-1, e 𝑔 in ms-2. Affinché tale espressione sia dimensionalmente corretta,
il valore dell’esponente 𝑞 deve essere
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) nessuna delle precedenti risposte
Il secondo membro deve essere espresso in metri perché tali sono le unità del primo
membro. Sostituendo le unità di misura si ottiene
(𝑚𝑠−1)𝑞 ∙ (𝑚𝑠−2)−1 = 𝑚 ossia
𝑚𝑞−1 ∙ 𝑠2−𝑞 = 𝑚 Affinché questa relazione sia vera deve essere 𝑚𝑞−1 = 𝑚 oppure 𝑠2−𝑞 = 1 e
quindi, in ogni caso, si ha
𝑞 = 2
Conversione di unità di misura
12) La densità del mercurio è 13.546 g cm-3. Utilizzando le unità di base del S.I.
tale valore può essere espresso come
a) 135.46 kg m-3
b) 1354.6 kg m-3
c) 1354.6 kg m-3
d) 13546 kg m-3
e) 1.3546 kg m-3
Consideriamo le seguenti equivalenze 1 g = 10 – 3 kg 1 cm 3 = 10 – 6 m 3.
Dividendole membro a membro si ottiene 1 g cm-3 = 103 kg m – 3 . Di conseguenza
13.546 g cm-3 sono equivalenti a 13546 kg m – 3
13) La velocità di un’automobile è di 72 km h-1. Espressa mediante le unità di base
del S.I. è
a) 7.2 ms-1
b) 25.92 ms-1
c) 2.592 ms-1
d) 259.2 ms-1
e) 20 ms-1
13
Consideriamo le seguenti equivalenze
1 𝑘𝑚 = 10 3𝑚 1 ℎ = 3.6 ∙ 103𝑠 Dividendole membro a membro si ottiene
1 𝑘𝑚ℎ−1 =1
3.6𝑚𝑠−1
Di conseguenza
72 𝑘𝑚ℎ−1 =72
3.6𝑚𝑠−1
ossia
72𝑘𝑚ℎ−1 = 20 𝑚𝑠−1
14) Un intervallo temporale di anno (365 giorni) espresso mediante l’ unità del
S.I. è
a) 86400 s
b) 3.15 · 107 s
c) 2.59 · 106 s
d) 5.75 · 105 s
e) 6.11 · 105 s
Per ottenere un intervallo temporale di 365 giorni espresso in secondi occorre tenere
presente che
1 ℎ = 3.6 ∙ 103𝑠 1 𝑑 = 3.6 ∙ 103 ∙ 24𝑠 1 𝑦 = 365 𝑑 Si ha quindi
1 𝑦 = 365 ∙ 3.6 ∙ 103 ∙ 24𝑠 In notazione scientifica con tre cifre significative si ha
1 𝑦 = 3.15 ∙ 107𝑠
15) Una portata di 5 litri al minuto è espressa in unità SI da
a) 3.1 · 10 - 5 m3 s-1
b) 8.3 · 10 - 5 m3 s-1
c) 1.2 · 10 - 4 m3 s-1
d) 5.2 · 10 - 5 m3 s-1
e) 6.6 · 10 - 6 m3 s-1
Consideriamo le seguenti equivalenze
1𝐿 = 10−3𝑚3 1 min = 60 𝑠 Dividendole membro a membro si ottiene
1 𝐿𝑚𝑖𝑛−1 =1
6 ∙ 104𝑚3𝑠−1 = 1.667 ∙ 10−5 𝑚3𝑠−1
Quindi si ha 5 𝐿 𝑚𝑖𝑛−1 = 5 ∙ 1.667 ∙ 10−5 𝑚3𝑠−1 ossia, in notazione scientifica e
con tre cifre significative,
5 𝐿 𝑚𝑖𝑛−1 = 8.33 ∙ 10−5𝑚3𝑠−1
14
16) Un volume di 4.32 · 103 cm3 espresso mediante l’unità SI è
a) 4.32 · 10-3 m3
b) 4.32 · 10-2 m3
c) 4.32 m3
d) 4.32 · 106 m3
e) 4.32 · 109 m3
Poiché 1 𝑐𝑚3 = 10−6𝑚3, 4.32 ∙ 103𝑐𝑚3 sono equivalenti a 4.32 ∙ 103 ∙10−6𝑚3ossia a 4.32 ∙ 10−3𝑚3
Rappresentazione cartesiana di un vettore
17) Un vettore 𝒂 di modulo 40 forma con l’asse delle ascisse di un sistema di
riferimento cartesiano un angolo di 135°. Le sue componenti lungo gli assi di quel
sistema sono
a) 𝑎𝑥 = 20.4 𝑎𝑦 = −20.4
b) 𝑎𝑥 = −20.4 𝑎𝑦 = 20.4
c) 𝑎𝑥 = 20.4 𝑎𝑦 = 20.4
d) 𝑎𝑥 = −28.3 𝑎𝑦 = 28.3
e) 𝑎𝑥 = 28.3 𝑎𝑦 = −28.3
Un vettore di modulo 𝑎 che forma un angolo α con l’asse positivo delle ascisse ha
componenti cartesiane date da
𝑎𝑥 = 𝑎 cos α 𝑎𝑦 = 𝑎 sin 𝛼
15
(vedi figura 1. 1s) Nel caso in esame
𝑎 = 40 𝛼 = 135° e quindi
𝑎𝑥 = −28.3 𝑎𝑦 = 28.3
18) Il modulo del vettore 𝒂 di componenti 𝑎𝑥 = 12 𝑎𝑦 = 16 è
a) 40
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Il segmento orientato che rappresenta il vettore ha origine nel punto (0,0) ed estremità
il punto con coordinate cartesiane le componenti 𝑎𝑥 ed 𝑎𝑦 del vettore stesso. Di
conseguenza si ha
𝑎 = √(𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦
2)
Nel nostro caso essendo 𝑎𝑥 = 12 𝑎𝑦 = 16 si ottiene 𝑎 = 20
Somma di vettori
19) Il modulo del vettore somma di due vettori di modulo 3 e 4 è
a) 7
b) 5
c) 1
d) 0
e) non si può valutare
Non si conosce l’angolo formato dalle direzioni dei vettori e quindi non si può
valutare la loro somma
20) Il modulo della somma di due vettori che hanno la stessa direzione, versi
opposti e moduli 3 e 4 è
a) 7
b) 5
c) 1
d) 0
e) non si può valutare
16
La somma di due vettori aventi la stessa direzione e versi opposti si effettua come la
sottrazione di segmenti appartenenti alla stessa retta in geometria. Il modulo del
vettore somma è quindi il modulo della differenza dei moduli dei due vettori. I
vettori 𝒂 e 𝒃 hanno moduli 3 e 4 rispettivamente e quindi il modulo della somma
vettoriale è 1
|𝒂 + 𝒃| = 1
21) Il modulo della somma di due vettori che racchiudono un angolo di 90° e
hanno moduli 3 e 4 è
a) 7
b) 5
c) 1
d) 0
e) non si può valutare
Il vettore somma è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono i due vettori
di modulo 3 e 4. Di conseguenza si ha
|𝒂 + 𝒃| = √32 + 42 = 5
22) Il modulo della somma di due vettori con la stessa direzione, lo stesso verso e
moduli 3 e 4 è
a) 7
b) 5
c) 1
d) 0
e) non si può valutare
La somma di due vettori aventi la stessa direzione e lo stesso verso si effettua come la
somma di segmenti appartenenti alla stessa retta in geometria. Il modulo del vettore
somma è quindi il modulo della somma dei moduli dei due vettori. I vettori 𝒂 e 𝒃
hanno moduli 3 e 4 rispettivamente e quindi il modulo della somma vettoriale è 7
|𝒂 + 𝒃| = 7
17
Prodotto scalare
23) Il prodotto scalare di due vettori che racchiudono un angolo 60° e hanno
moduli 4 e 5 è
a) – 20
b) 0
c) 10
d) 20
e) non si può valutare
Ricordando che l’espressione del prodotto scalare tra due vettori 𝒂 e 𝒃 formanti un
angolo 𝜃 è
𝒂 ∙ 𝒃 = 𝑎𝑏 cos 𝜃
poiché nel caso in esame 𝑎 = 4 𝑏 = 5 𝜃 = 60° si ha 𝒂 ∙ 𝒃 = 10
24) Il prodotto scalare di due vettori con moduli 4 e 5, la stessa direzione e versi
opposti è
a) –20
b) 0
c) 10
d) 20
e) non si può valutare
I due vettori avendo la stessa direzione e versi opposti formano un angolo θ di 180°.
Il loro prodotto scalare risulta
𝒂 ∙ 𝒃 = −𝑎𝑏 Poiché 𝑎 = 5 𝑏 = 4
𝒂 ∙ 𝒃 = −20
18
25) Il prodotto scalare di due vettori che racchiudono un angolo di di 90° e con
moduli 4 e 5 è
a) – 20
b) 0
c) 10
d) 20
e) non si può valutare
I due vettori formano un angolo di 90° e, di conseguenza, il loro prodotto scalare è
nullo ossia
𝒂 ∙ 𝒃 = 0
26) Il prodotto scalare tra due vettori con moduli 4 e 5, la stessa direzione e lo
stesso verso è
a) –20
b) 0
c) 10
d) 20
e) non si può valutare
I due vettori avendo la stessa direzione e lo stesso verso formano un angolo di 0°
e di conseguenza il loro prodotto scalare è, per definizione,
𝒂 ∙ 𝒃 = 𝑎𝑏 Poiché 𝑎 = 4 e 𝑏 = 5 risulta 𝒂 ∙ 𝒃 = 20
19
27) Il prodotto scalare tra un vettore 𝒂 di modulo 4 e un vettore 𝒃 di modulo 5 vale
a) –20
b) 0
c) 10
d) 20
e) non si può valutare
Poiché non si conosce l’angolo formato dalle direzioni dei due vettori non si può
valutare il loro prodotto scalare
Prodotto vettoriale
28) Il modulo del prodotto vettoriale 𝒂 × 𝒃 tra un vettore 𝒂 di modulo 9 e un
vettore 𝒃 di modulo 3 è
a) 27
b) 3
c) –27
d) 0
e) non si può valutare
Poiché non si conosce l’angolo formato dalle direzioni dei due vettori non si può
valutare il loro prodotto vettoriale.
29) Il modulo del prodotto vettoriale 𝒂 × 𝒃 tra il vettore 𝒂 di modulo 9 e il vettore
𝒃 di modulo 3 che hanno direzioni coincidenti e versi opposti è
a) 0
b) 12
c) 27
d) 6
e) non si può valutare
L’angolo formato dai vettori 𝒂 e 𝒃 aventi la stessa direzione e verso opposto è di
180° e quindi il modulo del loro prodotto vettoriale è
|𝒂 × 𝒃| = 𝑎𝑏 sin 180° = 0
20
30) Il modulo del prodotto vettoriale 𝒂 × 𝒃 tra il vettore a di modulo 3 formante
un angolo di π/2 con il vettore 𝒃 di modulo 9 è
a) 0
b) 12
c) 27
d) 6
e) non si può valutare
I due vettori formano un angolo di 90° e quindi, per definizione, il modulo del loro
prodotto vettoriale è
|𝒂 × 𝒃| = 𝑎𝑏
Essendo 𝑎 = 9 𝑏 = 3 si ottiene
|𝒂 × 𝒃| = 27
31) Il modulo del prodotto vettoriale 𝒂 × 𝒃 tra il vettore 𝒂 di modulo 4 e il vettore
𝒃 di modulo 5 che hanno direzioni e versi coincidenti è
a) –20
b) 0
c) 10
d) 20
e) non si può valutare
I due vettori avendo la stessa direzione e lo stesso verso formano un angolo di 0°. Il
modulo del prodotto vettoriale è, per definizione,
|𝒂 × 𝒃| = 𝑎𝑏 sin 0° = 0
32) Una grandezza definita come prodotto vettoriale di un vettore 𝒂 con un vettore
𝒃 è
a) un vettore parallelo al vettore 𝒂
b) un vettore parallelo al vettore 𝒃
c) un vettore parallelo sia al vettore 𝒂 che al vettore 𝒃
d) un vettore perpendicolare sia al vettore 𝒂 che al vettore 𝒃
e) uno scalare
Per definizione di prodotto vettoriale è un vettore perpendicolare sia al vettore 𝒂 che
al vettore 𝒃.