I NUMERI COMPLESSI
Perché ampliare i numeri reali?
L’insieme dei numeri reali ha una “struttura”
matematica che permette di risolvere moltissimi
problemi, ma è insufficiente nella risoluzione di
equazione del tipo:
2 1 0x
E se provassimo a risolvere queste equazioni?
Unità immaginaria e numeri immaginari
Chiamiamo i una soluzione dell’equazione
i si chiama unità immaginaria. Vale che
i² = -1,
Chiamiamo numeri immaginari “ il prodotto fra numeri reali e unitàimmaginaria”
2i… -4i … -i …
In questo modo si risolve il problema dell’estrazione di radice
di un numero reale negativo
2 1 0x
Numeri complessi in forma
algebrica
Un numero complesso z si scrive nella forma
z = x+iy
Dove x,y sono numeri reali:
x è la parte reale
y è il coefficiente della parte immaginaria
Questi sono gli oggetti del nuovo insieme numerico:
C
Addizione e sottrazione Addizione (legge di composizione interna a C):
(a + ib)+(c + id)=(a + c)+ i(b + d)
Questa operazione ha le seguenti proprietà:
Estende la consueta operazione di somma tra reali;
Gode della proprietà associativa e commutativa.
Esiste l’elemento neutro 0
Ogni elemento z=a+ib ammette in C un “simmetrico” rispetto all’addizione (-z=-a-ib) che si chiama opposto di z .
Sottrazione (legge di composizione interna)
(a + ib) - (c + id) = (a-c)+ i (b-d)
Come definire la moltiplicazione?
La moltiplicazione deve soddisfare alcune condizioni:
1. Deve estendere la moltiplicazione tra numeri reali;
2. Deve soddisfare la proprietà i² = -1;
3. Deve essere commutativa e associativa;
4. Deve godere della proprietà distributiva rispetto all’addizione;
Moltiplicazione
(a + ib) · (c + id) = (a + ib) · c + (a + ib) ·(id)
=
= [ac + i(bc)] + [i(ad)+ (ib) ·(id)] =
= ac + i(bc) + i(ad) – bd =
(ac – bd) + i(bc + ad)
Coniugato
Dato un numero complesso
si dice coniugato di z il numero complesso che
ha la stessa parte reale e parte immaginaria
opposta:
z
z a ib
.
Reciproco
Ogni elemento z = a + ib , con a e b non
contemporaneamente nulli, ammette in C un
“simmetrico” rispetto alla moltiplicazione, che si chiama reciproco di z , dato da
2 2 2 2
1 1 z a bi
z a ib z z a b a b
Divisione tra complessi
La divisione in C si può introdurre utilizzando quanto
abbiamo fatto per il reciproco di un numero
complesso (non nullo).
(con c e d non entrambi nulli) si può calcolare con il
seguente prodotto:
a ib
c id
1
a ibc id
Rappresentazione geometrica: come
punti di un piano piano
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con assi x
e y, e un numero complesso u= x + iy , i numeri reali x e y si
possono interpretare come l’insieme vettori , dove P è il
punto di coordinate (x,y) e O è l’origine degli assiOP
Il piano ottenuto si chiama di Argand-Gauss o piano di Gauss.
L’asse delle ascisse viene anche chiamato asse reale e quello
delle ordinate asse immaginario.
Il modulo di un numero complesso è il modulo
del vettore che rappresenta u.
|u-v| è il modulo del vettore
22 yxu
PQ
Somma
Opposto e coniugato
Sottrazione
Moltiplicazione per un
numero intero
z
.
Se n è un intero positivo, si definisce il complesso
nu come la somma di u con se stesso n volte
e –nu come la somma di –u con se stesso n volte
Geometricamente, stiamo considerando
i multipli interi del vettore dato
Moltiplicazione per un numero intero
Forma goniometrica(immagini tratte dal sito de “Il Giardino di Archimede”)
|z| si chiama modulo di z
θ si chiama argomento di z
•Il modulo di z si indica con |z|
•L’argomento principale (quello compreso tra 0 e 2π) con arg(z)
Da z=x+iy si passa a
22|| yxz
||cos
z
x
||sin
z
y
)sin(cos|| izz
y
x
z
θ
|z|
o
Moltiplicazione in forma goniometrica
)sin(cos 1111 iz )sin(cos 2222 iz
)]sin()[cos( 21212121 izz
Eseguendo la moltiplicazione e ricordando le formule
di addizione del coseno e del seno
Il modulo si ottiene moltiplicando i moduli
L’argomento si ottiene addizionando gli argomenti
Divisione in forma goniometrica
111 iyxz
222 iyxz )0( 2 z
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
2
1
yx
yxyxi
yx
yyxx
z
z
)sin(cos 1111 iz
)sin(cos 2222 iz )0( 2 z
)sin()cos( 21212
1
2
1
i
z
z
Il modulo si ottiene dividendo i moduli
L’argomento si ottiene sottraendo gli argomenti
Forma Algebrica Forma goniometrica
Potenza
z
.
formula di De Moivre
)sin(cos iz
)sin(cos ninz nn